¿Qué es Subespacio?

Ejemplo 18.4

En $\mathcal{F}(\R, \R)$: las funciones continuas, las derivables, los polinomios de grado $\leq n$ (escrito $K_n[X]$ dentro de $K[X]$), las soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea (el Teorema 5.10 decía justo eso). No ejemplos: $\{f : f(0) = 1\}$ (no contiene el cero), o el grado exactamente $n$ (no estable por la suma).

Ejemplo 18.5 (Subespacio o no: cuatro veredictos, argumentados)

En el espacio de las sucesiones reales:

• $\{u : u \text{ acotada}\}$ sí es un subespacio: $0$ está acotada y, si $\abs{u_n} \leq M$ y $\abs{v_n} \leq M'$, entonces $\abs{u_n + \lambda v_n} \leq M + \abs\lambda M'$.
• $\{u : u_n \to 1\}$ no lo es: falta la sucesión nula (y la suma de dos miembros tiende a $2$).
• $\{u : u \text{ monótona}\}$ no lo es: $u_n = n$ y $v_n = -n + (-1)^n$ son monótonas y su suma $(-1)^n$ no lo es; el axioma que falla es la estabilidad por la suma, aunque el conjunto contenga a $0$ y todos los múltiplos escalares de sus miembros.
• $\{u : u_{n+1} = u_n^2\}$ no lo es: contiene a $0$, pero $2u$ se escapa en cuanto $u$ es un miembro no nulo ($2u_{n+1} \neq (2u_n)^2$ en general) — elevar al cuadrado es la no linealidad.

El orden de trabajo es siempre el mismo: pruébese primero el $0$ (lo más barato) y después la estabilidad — y, para refutar, una pareja explícita de contraejemplo gana a cualquier cantidad de dudas.

Ejemplo 18.12 (Una pareja suplementaria en $K_n[X]$)

Fíjese $a \in K$ y póngase $F = \{P \in K_n[X] : P(a) = 0\}$, $G = \operatorname{Vect}(1)$ (las constantes). Entonces $K_n[X] = F \oplus G$. En efecto, $F \cap G$ consta de las constantes que se anulan en $a$, es decir, $\{0\}$; y todo $P$ se descompone como

La descomposición merece memorizarse: restar el valor en un punto es la forma estándar de proyectar sobre las «funciones que se anulan en $a$». Nótese que $F$ es un subespacio grande y $G$ uno pequeño; una pareja de suplementarios no tiene por qué estar equilibrada en ningún sentido.