Qu'est-ce que « Sous-espace vectoriel » ? — Mathématiques

Définition 18.3 Mathématiques universitaires — Licence 1 · Chapitre 18 — Espaces vectoriels

$F \subseteq E$ est un sous-espace vectoriel lorsque $0_E \in F$ et que $F$ est stable par addition et par multiplication externe — de façon équivalente :

F \neq \emptyset \qquad\text{et}\qquad \forall x, y \in F,\ \forall \lambda \in K,\quad x + \lambda y \in F .

Un sous-espace vectoriel est lui-même un espace vectoriel. Toute intersection de sous-espaces est un sous-espace ; une réunion ne l’est presque jamais (même démonstration qu’à Exercice 7.6).

Exemples

Exemple 18.4

Dans $\mathcal{F}(\R, \R)$ : les fonctions continues, les fonctions dérivables, les polynômes de degré $\leq n$ (notés $K_n[X]$ à l’intérieur de $K[X]$ ), les solutions d’une équation différentielle linéaire homogène (le Théorème 5.10 disait exactement cela). Contre-exemples : $\{f : f(0) = 1\}$ (pas de vecteur nul), les polynômes de degré exactement $n$ (non stable par addition).

Exemple 18.5 (Sous-espace ou non : quatre verdicts, argumentés)

Dans l’espace des suites réelles :

$\{u : u \text{ bornée}\}$ est un sous-espace : $0$ est bornée, et si $\abs{u_n} \leq M$ , $\abs{v_n} \leq M'$ , alors $\abs{u_n + \lambda v_n} \leq M + \abs\lambda M'$ .
$\{u : u_n \to 1\}$ n’en est pas un : la suite nulle manque (et la somme de deux membres tend vers $2$ ).
$\{u : u \text{ monotone}\}$ n’en est pas un : $u_n = n$ et $v_n = -n + (-1)^n$ sont monotones, leur somme $(-1)^n$ ne l’est pas ; c’est la stabilité par addition qui tombe en défaut, alors même que l’ensemble contient $0$ et tous les multiples scalaires de ses membres.
$\{u : u_{n+1} = u_n^2\}$ n’en est pas un : il contient $0$ mais $2u$ s’en échappe dès que $u$ en est un membre non nul ( $2u_{n+1} \neq (2u_n)^2$ en général) — l’élévation au carré est la non-linéarité coupable.

L’ordre de travail est toujours le même : tester $0$ d’abord (le moins cher), puis la stabilité — et pour réfuter, un seul contre-exemple explicite vaut mieux que n’importe quelle quantité de doute.

Exemple 18.12 (Un couple de supplémentaires dans $K_n[X]$ )

Fixons $a \in K$ et posons $F = \{P \in K_n[X] : P(a) = 0\}$ , $G = \operatorname{Vect}(1)$ (les constantes). Alors $K_n[X] = F \oplus G$ . En effet $F \cap G$ est formé des constantes s’annulant en $a$ , c’est-à-dire $\{0\}$ ; et tout $P$ se décompose en

P = \underbrace{\bigl(P - P(a)\bigr)}_{\in F} + \underbrace{P(a)}_{\in G} .

La décomposition mérite d’être mémorisée : retrancher la valeur en un point est la façon standard de projeter sur les « fonctions s’annulant en $a$ ». Remarquons que $F$ est un gros sous-espace et $G$ un tout petit ; un couple de supplémentaires n’a aucune raison d’être équilibré.

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Exemples

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