عائلة قابلة للجمع কী?

مثال 7.10 (القابلية للجمع بعدّ الأقطار)

من أجل أي $s > 0$ تكون العائلة $\bigl((m + n)^{-s}\bigr)_{m, n \geq 1}$ قابلة للجمع؟ نجمّع المجاميع الجزئية المنتهية حسب الأقطار $m + n = k$: فالقطر $k$ يحمل $k - 1$ زوجًا، ويسهم كلٌّ منها بالمقدار $k^{-s}$، ومن ثم تُحدّ المجاميع المنتهية بالضبط (وتستنفد)

وهي متسلسلة ذات حدود موجبة مكافئة للمقدار $k^{1-s}$: فهي قابلة للجمع إذا وفقط إذا $s - 1 > 1$، أي $s > 2$. فالدليل ذو البعدين يلتهم قوة كاملة: أي إن مستويًا من الحدود “أكثر تباعدًا ببعد واحد” من مستقيم — فهندسة عدّ مجموعة الأدلة، لا حجم الحدود المفردة، هي التي تقرّر القابلية للجمع. (ويبيّن الإحصاء نفسه أن $\bigl((m^2 + n^2)^{-1}\bigr)$ ليست قابلة للجمع: فعلى القطر $m + n = k$، كل حدّ لا يقلّ عن $k^{-2}$، و$(k-1)\cdot k^{-2}$ يُجمع مثل المتسلسلة التوافقية.)

مثال 7.12 (إعادة ترتيب متلبّسة بالجرم)

مجموع المتسلسلة التوافقية المتناوبة هو $\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2$ (مجلد السنة الأولى). ولنعد ترتيبها على صورة “موجب واحد، ثم سالبان”:

وبتجميع كل كتلة من ثلاثة،

ومن ثم تتقارب المتسلسلة المعاد ترتيبها إلى $\frac12\ln 2$ — أي نصف المجموع الأصلي، بالحدود نفسها بالضبط. فالمتسلسلات المتقاربة لا بإطلاق تتذكّر ترتيب حدودها؛ والعائلات القابلة للجمع هي بالضبط تلك التي لا تتذكّره.

مثال 7.17 (تقييم مجموع مزدوج)

من أجل $s > 1$ حقيقي، لتكن $\zeta(s) = \sum_{n\geq1} n^{-s}$. وبعدّ القواسم بالجمع المزدوج — فالعائلة $(m^{-s}n^{-s})$ على $(m,n) \in (\N^*)^2$ قابلة للجمع (وهي جداء متسلسلتين موجبتين متقاربتين) — وبالتجميع حسب الجداء $q = mn$:

حيث $d(q)$ عدد قواسم $q$. فالعائلات القابلة للجمع تحوّل التوافقيات إلى تحليل.