ما معنى المستوي المماس؟

مثال 19.6 (المستوي المماس للسطح اللولبي)

من أجل السطح اللولبي $\sigma(u, v) = (v\cos u,\ v\sin u,\ au)$، في النقطة $\sigma(0, 1) = (1, 0, 0)$:

فالمستوي المماس هو $a\,y = z$. وهو يحوي المولّد المستقيمي الأفقي كله $\{(t, 0, 0)\}$ (باتجاه $\sigma_v$): وكما في مخروط التمرين 19.1، فإن كل سطح مسطّر بمستقيمات يقع كل مولّد مستقيمي فيه داخل المستوي المماس على طوله. والاتجاه المماس الآخر $\sigma_u$ هو سرعة اللولب $u \mapsto \sigma(u, 1)$: فخريطة واحدة، ومنحنيان مرسومان، ويتولد المستوي المماس كله — أي القضية 19.5 في العمل.

مثال 19.8

من أجل الكرة $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$: $\nabla f = 2(x, y, z)$، ومنه فإن المستوي المماس في $M_0$ متعامد مع نصف القطر $\vect{OM_0}$ — وهي الحقيقة الكلاسيكية القائلة إن نصف القطر والمستوي المماس متعامدان، بالمعادلة $\langle M_0, M\rangle = R^2$.

مثال 19.9 (المستوي المماس لتمثيل بياني)

من أجل $z = f(x, y)$ في $(x_0, y_0)$: بتطبيق القضية 19.7 على $F(x,y,z) = f(x,y) - z$،

أي الجزء الأفيني من نشر تايلور من الرتبة الأولى — فالمستوي المماس هو التمثيل البياني للتفاضل، كما يجب.