ما معنى المستوي المماس؟ — الرياضيات

تعريف 19.4 الرياضيات الجامعية — السنة 2 · الفصل 19 — السطوح

ليكن $\sigma$ نظاميا في $(u_0, v_0)$ ، $M_0 = \sigma(u_0, v_0)$ . المستوي المماس $T_{M_0}S$ هو المستوي المار بالنقطة $M_0$ والموجه بالمتجهتين $\operatorname{Vect}(\sigma_u, \sigma_v)$ (المشتقتان الجزئيتان في $(u_0, v_0)$ ). والناظم الواحدي هو

n(u_0, v_0) = \frac{\sigma_u \wedge \sigma_v} {\norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}} .

أمثلة

مثال 19.6 (المستوي المماس للسطح اللولبي)

من أجل السطح اللولبي $\sigma(u, v) = (v\cos u,\ v\sin u,\ au)$ ، في النقطة $\sigma(0, 1) = (1, 0, 0)$ :

\sigma_u = (0,\ 1,\ a), \qquad \sigma_v = (1,\ 0,\ 0), \qquad \sigma_u \wedge \sigma_v = (0,\ a,\ -1),

فالمستوي المماس هو $a\,y = z$ . وهو يحوي المولّد المستقيمي الأفقي كله $\{(t, 0, 0)\}$ (باتجاه $\sigma_v$ ): وكما في مخروط التمرين 19.1، فإن كل سطح مسطّر بمستقيمات يقع كل مولّد مستقيمي فيه داخل المستوي المماس على طوله. والاتجاه المماس الآخر $\sigma_u$ هو سرعة اللولب $u \mapsto \sigma(u, 1)$ : فخريطة واحدة، ومنحنيان مرسومان، ويتولد المستوي المماس كله — أي القضية 19.5 في العمل.

مثال 19.8

من أجل الكرة $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ : $\nabla f = 2(x, y, z)$ ، ومنه فإن المستوي المماس في $M_0$ متعامد مع نصف القطر $\vect{OM_0}$ — وهي الحقيقة الكلاسيكية القائلة إن نصف القطر والمستوي المماس متعامدان، بالمعادلة $\langle M_0, M\rangle = R^2$ .

مثال 19.9 (المستوي المماس لتمثيل بياني)

من أجل $z = f(x, y)$ في $(x_0, y_0)$ : بتطبيق القضية 19.7 على $F(x,y,z) = f(x,y) - z$ ،

z = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0) ,

أي الجزء الأفيني من نشر تايلور من الرتبة الأولى — فالمستوي المماس هو التمثيل البياني للتفاضل، كما يجب.

اقرأ في الفصل ←