Qu'est-ce que « Plan tangent » ? — Mathématiques

Définition 19.4 Mathématiques universitaires — Licence 2 · Chapitre 19 — Surfaces

Soit $\sigma$ régulière en $(u_0, v_0)$ , $M_0 = \sigma(u_0, v_0)$ . Le plan tangent $T_{M_0}S$ est le plan passant par $M_0$ dirigé par $\operatorname{Vect}(\sigma_u, \sigma_v)$ (dérivées partielles en $(u_0, v_0)$ ). La normale unitaire est

n(u_0, v_0) = \frac{\sigma_u \wedge \sigma_v} {\norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}} .

Exemples

Exemple 19.6 (Le plan tangent de l’hélicoïde)

Pour l’hélicoïde $\sigma(u, v) = (v\cos u,\ v\sin u,\ au)$ , au point $\sigma(0, 1) = (1, 0, 0)$ :

\sigma_u = (0,\ 1,\ a), \qquad \sigma_v = (1,\ 0,\ 0), \qquad \sigma_u \wedge \sigma_v = (0,\ a,\ -1),

donc le plan tangent est $a\,y = z$ . Il contient toute la génératrice horizontale $\{(t, 0, 0)\}$ (direction $\sigma_v$ ) : comme pour le cône de l’Exercice 19.1, une surface réglée par des droites a chacune de ses génératrices contenue dans le plan tangent le long de celle-ci. L’autre direction tangente $\sigma_u$ est la vitesse de l’hélice $u \mapsto \sigma(u, 1)$ : une carte, deux courbes tracées, et tout le plan tangent est engendré — la Proposition 19.5 en action.

Exemple 19.8

Pour la sphère $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ : $\nabla f = 2(x, y, z)$ , donc le plan tangent en $M_0$ est orthogonal au rayon $\vect{OM_0}$ — le fait classique que rayon et plan tangent sont perpendiculaires, d’équation $\langle M_0, M\rangle = R^2$ .

Exemple 19.9 (Plan tangent d’un graphe)

Pour $z = f(x, y)$ en $(x_0, y_0)$ : en appliquant la Proposition 19.7 à $F(x,y,z) = f(x,y) - z$ ,

z = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0) ,

la partie affine du développement de Taylor à l’ordre un — le plan tangent est le graphe de la différentielle, comme il se doit.

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