O que é Plano tangente? — Matemática

Definição 19.4 Matemática universitária — Graduação 2 · Capítulo 19 — Superfícies

Seja $\sigma$ regular em $(u_0, v_0)$ , $M_0 = \sigma(u_0, v_0)$ . O plano tangente $T_{M_0}S$ é o plano por $M_0$ dirigido por $\operatorname{Vect}(\sigma_u, \sigma_v)$ (derivadas parciais em $(u_0, v_0)$ ). A normal unitária é

n(u_0, v_0) = \frac{\sigma_u \wedge \sigma_v} {\norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}} .

Exemplos

Exemplo 19.6 (O plano tangente do helicoide)

Para o helicoide $\sigma(u, v) = (v\cos u,\ v\sin u,\ au)$ , no ponto $\sigma(0, 1) = (1, 0, 0)$ :

\sigma_u = (0,\ 1,\ a), \qquad \sigma_v = (1,\ 0,\ 0), \qquad \sigma_u \wedge \sigma_v = (0,\ a,\ -1),

de modo que o plano tangente é $a\,y = z$ . Ele contém toda a geratriz horizontal $\{(t, 0, 0)\}$ (direção $\sigma_v$ ): como no cone do Exercício 19.1, uma superfície regrada por retas tem cada geratriz contida no plano tangente ao longo dela. A outra direção tangente $\sigma_u$ é a velocidade da hélice $u \mapsto \sigma(u, 1)$ : uma carta, duas curvas desenhadas, e o plano tangente inteiro é gerado — a Proposição 19.5 em ação.

Exemplo 19.8

Para a esfera $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ : $\nabla f = 2(x, y, z)$ , de modo que o plano tangente em $M_0$ é ortogonal ao raio $\vect{OM_0}$ — o fato clássico de que raio e plano tangente são perpendiculares, com equação $\langle M_0, M\rangle = R^2$ .

Exemplo 19.9 (Plano tangente de um gráfico)

Para $z = f(x, y)$ em $(x_0, y_0)$ : aplicando a Proposição 19.7 a $F(x,y,z) = f(x,y) - z$ ,

z = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0) ,

a parte afim do desenvolvimento de Taylor de primeira ordem — o plano tangente é o gráfico da diferencial, como deve ser.

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