¿Qué es Plano tangente?

Ejemplo 19.6 (El plano tangente del helicoide)

Para el helicoide $\sigma(u, v) = (v\cos u,\ v\sin u,\ au)$, en el punto $\sigma(0, 1) = (1, 0, 0)$:

de modo que el plano tangente es $a\,y = z$. Contiene toda la generatriz horizontal $\{(t, 0, 0)\}$ (dirección $\sigma_v$): como en el cono del Ejercicio 19.1, en una superficie reglada por rectas cada generatriz está dentro del plano tangente a lo largo de ella. La otra dirección tangente $\sigma_u$ es la velocidad de la hélice $u \mapsto \sigma(u, 1)$: una carta, dos curvas trazadas y todo el plano tangente queda generado; la Proposición 19.5 en acción.

Ejemplo 19.8

Para la esfera $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$: $\nabla f = 2(x, y, z)$, luego el plano tangente en $M_0$ es ortogonal al radio $\vect{OM_0}$; el hecho clásico de que el radio y el plano tangente son perpendiculares, con ecuación $\langle M_0, M\rangle = R^2$.

Ejemplo 19.9 (Plano tangente de un grafo)

Para $z = f(x, y)$ en $(x_0, y_0)$: aplicando la Proposición 19.7 a $F(x,y,z) = f(x,y) - z$,

la parte afín del desarrollo de Taylor de primer orden: el plano tangente es el grafo de la diferencial, como debe ser.