Wat is Raakvlak?

Voorbeeld 19.6 (Het raakvlak van de helicoïde)

Voor de helicoïde $\sigma(u, v) = (v\cos u,\ v\sin u,\ au)$ is in het punt $\sigma(0, 1) = (1, 0, 0)$:

dus is het raakvlak $a\,y = z$. Het bevat de hele horizontale beschrijvende rechte $\{(t, 0, 0)\}$ (richting $\sigma_v$): net als bij de kegel van Oefening 19.1 ligt bij een oppervlak dat door rechten wordt beschreven, elke beschrijvende rechte in het raakvlak eraan. De andere raakrichting $\sigma_u$ is de snelheid van de schroeflijn $u \mapsto \sigma(u, 1)$: één kaart, twee getekende krommen, en het hele raakvlak is opgespannen — Propositie 19.5 in actie.

Voorbeeld 19.8

Voor de bol $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ is $\nabla f = 2(x, y, z)$, dus staat het raakvlak in $M_0$ loodrecht op de straal $\vect{OM_0}$ — het klassieke feit dat straal en raakvlak loodrecht op elkaar staan, met vergelijking $\langle M_0, M\rangle = R^2$.

Voorbeeld 19.9 (Raakvlak van een grafiek)

Voor $z = f(x, y)$ in $(x_0, y_0)$ geeft Propositie 19.7 toegepast op $F(x,y,z) = f(x,y) - z$:

het affiene deel van de eerste-ordeontwikkeling van Taylor — het raakvlak is de grafiek van de differentiaal, zoals het moet.