स्पर्श समतल क्या है? — गणित

परिभाषा 19.4 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · अध्याय 19 — पृष्ठ

मान लीजिए $\sigma$ $(u_0, v_0)$ पर नियमित है, $M_0 = \sigma(u_0, v_0)$ । स्पर्श समतल $T_{M_0}S$ वह समतल है जो $M_0$ से होकर जाता है और $\operatorname{Vect}(\sigma_u, \sigma_v)$ से दिशित है ( $(u_0, v_0)$ पर आंशिक अवकलज)। इकाई अभिलंब है

n(u_0, v_0) = \frac{\sigma_u \wedge \sigma_v} {\norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}} .

उदाहरण

उदाहरण 19.6 (हेलिकॉइड का स्पर्श समतल)

हेलिकॉइड $\sigma(u, v) = (v\cos u,\ v\sin u,\ au)$ के लिए, बिंदु $\sigma(0, 1) = (1, 0, 0)$ पर:

\sigma_u = (0,\ 1,\ a), \qquad \sigma_v = (1,\ 0,\ 0), \qquad \sigma_u \wedge \sigma_v = (0,\ a,\ -1),

अतः स्पर्श समतल $a\,y = z$ है। उसमें पूरा क्षैतिज रेखक $\{(t, 0, 0)\}$ समाया है (दिशा $\sigma_v$ ): अभ्यास 19.1 के शंकु की तरह, सरल रेखाओं से रेखित कोई भी पृष्ठ अपने हर रेखक को उसके अनुदिश स्पर्श समतल के भीतर रखता है। दूसरी स्पर्शी दिशा $\sigma_u$ कुंडली $u \mapsto \sigma(u, 1)$ का वेग है: एक चार्ट, दो खींचे गए वक्र, और पूरा स्पर्श समतल जनित — प्रतिज्ञप्ति 19.5 काम करती हुई।

उदाहरण 19.8

गोले $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ के लिए: $\nabla f = 2(x, y, z)$ , अतः $M_0$ पर स्पर्श समतल त्रिज्या $\vect{OM_0}$ के लांबिक है — यही वह शास्त्रीय तथ्य है कि त्रिज्या और स्पर्श समतल परस्पर लंब होते हैं, और समीकरण $\langle M_0, M\rangle = R^2$ है।

उदाहरण 19.9 (ग्राफ़ का स्पर्श समतल)

$(x_0, y_0)$ पर $z = f(x, y)$ के लिए: $F(x,y,z) = f(x,y) - z$ पर प्रतिज्ञप्ति 19.7 लगाने पर,

z = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0) ,

अर्थात् प्रथम-कोटि टेलर प्रसार का आनत भाग — स्पर्श समतल अवकल का ग्राफ़ है, जैसा होना ही चाहिए।

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