Apa itu Bidang singgung? — Matematika

Definisi 19.4 Matematika Universitas — Tahun 2 · Bab 19 — Permukaan

Misalkan $\sigma$ regular di $(u_0, v_0)$ , dengan $M_0 = \sigma(u_0, v_0)$ . Adapun bidang singgung $T_{M_0}S$ adalah bidang lewat $M_0$ yang diarahkan $\operatorname{Vect}(\sigma_u, \sigma_v)$ (dengan turunan parsialnya di $(u_0, v_0)$ ). Sedangkan normal satuannya adalah

n(u_0, v_0) = \frac{\sigma_u \wedge \sigma_v} {\norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}} .

Contoh

Contoh 19.6 (Bidang singgung helikoidnya)

Untuk helikoid $\sigma(u, v) = (v\cos u,\ v\sin u,\ au)$ , di titik $\sigma(0, 1) = (1, 0, 0)$ :

\sigma_u = (0,\ 1,\ a), \qquad \sigma_v = (1,\ 0,\ 0), \qquad \sigma_u \wedge \sigma_v = (0,\ a,\ -1),

jadi bidang singgungnya adalah $a\,y = z$ . Ia memuat seluruh garis pembangun mendatarnya $\{(t, 0, 0)\}$ (yakni arah $\sigma_v$ ): sebab seperti pada kerucut Latihan 19.1, permukaan yang dibangun garis lurus punya tiap garis pembangunnya terletak di dalam bidang singgung sepanjangnya. Adapun arah singgung lainnya $\sigma_u$ adalah kecepatan heliks $u \mapsto \sigma(u, 1)$ : jadi satu bagan, dua kurva tergambar, dan seluruh bidang singgungnya terentang — yakni Proposisi 19.5 yang beraksi.

Contoh 19.8

Untuk bola $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ : berlaku $\nabla f = 2(x, y, z)$ , jadi bidang singgung di $M_0$ ortogonal terhadap jari-jari $\vect{OM_0}$ — yakni fakta klasik bahwa jari-jari dan bidang singgungnya saling tegak lurus, dengan persamaan $\langle M_0, M\rangle = R^2$ .

Contoh 19.9 (Bidang singgung sebuah grafik)

Untuk $z = f(x, y)$ di $(x_0, y_0)$ : dengan menerapkan Proposisi 19.7 pada $F(x,y,z) = f(x,y) - z$ ,

z = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0) ,

yakni bagian afin uraian Taylor orde pertamanya — jadi bidang singgungnya adalah grafik diferensialnya, sebagaimana mestinya.

Baca dalam konteks →