حقل الأعداد العقدية কী?

مثال 3.3 (تمرين كامل على المقياس والعمدة)

اكتب $w = \dfrac{3 + 4\iu}{1 - 2\iu}$ في الشكل الجبري واحسب مقياسه بطريقتين. بالضرب في مرافق المقام:

ومباشرةً: $\abs w = \sqrt{1 + 4} = \sqrt5$. وبقاعدة القسمة (القضية 3.2 (3)): $\abs w = \frac{\abs{3 + 4\iu}}{\abs{1 - 2\iu}} = \frac5{\sqrt5} = \sqrt5$ — الجواب نفسه، دون حاجة إلى الشكل الجبري. والدرس يتعمّم: تنتقل المقاييس والعمد انتقالًا حسنًا عبر الجداءات والقسمات، وينتقل الجزآن الحقيقي والتخيلي انتقالًا حسنًا عبر المجاميع. فاختر التمثيل الذي يلائم العمليات المطروحة، ولا تحوّل إلا مضطرًّا.

مثال 3.4 (معادلات يدخلها المرافق)

حُلَّ في $\C$: $\;z + 2\conj z = 6 + 2\iu$. المعادلة التي تخلط $z$ مع المرافق $\conj z$ ليست كثيرة حدود في $z$؛ والحركة الموثوقة هي التفكيك إلى إحداثيتين حقيقيتين. فمع $z = x + \iu y$:

فتصير المعادلة $3x = 6$ و $-y = 2$: والحل الوحيد هو $z = 2 - 2\iu$. (وللتحقق: $(2 - 2\iu) + 2(2 + 2\iu) = 6 + 2\iu$.) وبطريقة أخرى، رافق المعادلة كلها لتحصل على $\conj z + 2z = 6 - 2\iu$ وحُلَّ الجملة الخطية في المجهولين $z, \conj z$ — الجواب نفسه، وهي حيلة مفيدة عندما تكون المعاملات عقدية. فالمعادلات في $z$ و $\conj z$ هي في الحقيقة جمل من معادلتين حقيقيتين؛ وتوقّع «الدرجة $1$، حلّ واحد» سليم هنا، لكن $z\conj z = -1$ (وهي بلا حلّ) يُظهر إخفاق الحدس الكثيرحدودي بمجرد ظهور الجداءات.

مثال 3.15 (الجذور التكعيبية للعدد $-27$)

حُلَّ $z^3 = -27$. الشكل الأسّي للطرف الأيمن: $-27 = 27\,\eu^{\iu\pi}$، ومنه فالجذور الثلاثة هي

وتحققان. أولًا: الجذر الحقيقي $-3$ هو البيّن، والآخران دورانان له بالزاويتين $\pm\frac{2\pi}3$ — أي، على نحو مكافئ، $-3j$ و $-3j^2$. وثانيًا يؤكد الجبر ذلك: $z^3 + 27 = (z + 3)(z^2 - 3z + 9)$، ومميّز المعادلة من الدرجة الثانية هو $9 - 36 = -27 < 0$ وجذراها $\frac{3 \pm 3\iu\sqrt3}2 = z_0, \conj{z_0}$. والفكرة النافذة: من أجل الأطراف اليمنى الحقيقية، تأتي الجذور غير الحقيقية دائمًا في أزواج مترافقة، فيكون رسم مجموعة الحلول متناظرًا بالنسبة إلى المحور الحقيقي — وهو تمهيد لمبرهنة التعميل الحقيقي في الفصل 8.