الفيزياء الجامعية — السنة الثالثة · Bachelor Year 3

1ميكانيك لاغرانج

حاول أن تكتب قانون نيوتن لبندول مزدوج: قوتا شدّ لا تُعرف أيّ منهما سلفًا، وكلتاهما تغيّر اتجاهها في كل لحظة، وأربع معادلات سلّمية يجب فكّ اشتباكها لمجرد معرفة كيف تتطور زاويتان. ثم افعل الشيء نفسه من أجل خرزة على حلقة دوّارة، أو سلسلة من النوابض المتقارنة، أو ذراع آلية. فالقوى التي تحفظ تماسك الجملة — من قضبان وسكك ومفاصل — لا تؤدي أيّ شغل، ومع ذلك تُلزمنا طريقة نيوتن بحملها في كل حساب. يعرض هذا الفصل الصياغة التي نشرها لاغرانج سنة 1788: نصف الجملة بالإحداثيات القليلة التي يمكنها أن تتغير فعلًا، ونكتب دالة واحدة $L = E_k - E_p$ ، فتعطي وصفة واحدة معادلات الحركة في أيّ إحداثيات، وقد حُذف كل قضيب وكل سكة سلفًا. والأفضل من ذلك أن الصياغة الجديدة تُظهر ما تخفيه صياغة نيوتن: فكل تناظر في $L$ يعطي مقدارًا محفوظًا — كمية الحركة من تجانس الفضاء، والطاقة من تجانس الزمن — وهي نتيجة لإيمي نويتر غدت المبدأ المنظّم للفيزياء في ميادين تتجاوز الميكانيك بكثير.

1.1 من القوى إلى الإحداثيات

تعريف 1.1 (القيود ودرجات الحرية والإحداثيات المعمّمة)

القيد شرط هندسي مفروض على مواضع جملة — فالخرزة تبقى على سلكها، وقضيب البندول يحفظ طولًا ثابتًا، وعجلتا محور واحد تدوران معًا. والقيد الذي يمكن التعبير عنه بمعادلة $f(\vect r_1, \dots, \vect r_N, t) = 0$ بين الإحداثيات (وربما الزمن أيضًا) يسمّى هولونوميًا. وعدد الطرق المستقلة التي ما زال التشكيل قادرًا على التغير بها هو عدد درجات الحرية $n$ ؛ وكل جملة من $n$ مقادير مستقلة $q_1, \dots, q_n$ تحدّد التشكيل تحديدًا تامًّا هي جملة إحداثيات معمّمة — زوايا أو أطوال أو أيّ خليط مناسب. ومشتقاتها بالنسبة إلى الزمن $\dot q_1, \dots, \dot q_n$ هي السرعات المعمّمة.

مثال 1.2 (إحصاء درجات الحرية)

نقطة على طاولة: $n = 2$ . بندول مستوٍ ثابت الطول: زاوية واحدة، $n = 1$ . بندول مزدوج: زاويتان، $n = 1 + 1 = 2$ . خرزة على حلقة صلبة: زاوية واحدة، $n = 1$ — حتى لو أُجبرت الحلقة نفسها على الدوران، لأن الدوران المفروض لا يضيف أيّ حرية. جسم صلب حر في الفضاء: ثلاثة إحداثيات لمركزه وثلاث زوايا، $n = 6$ . غاز من $N$ جزيئة حرة (نقاط): $n = 3N$ . وكل قيد هولونومي يحذف درجة حرية واحدة: فنقطتان يربطهما قضيب لهما $3 + 3 - 1 = 5$ .

الإحداثيات المعمّمة: تُوصف كل جملة بالزوايا التي يمكنها أن تتغير فعلًا، لا بالإحداثيات الديكارتية لكتلها. ولا تظهر فيها قط شدّات القضبان ولا ردّ فعل الحلقة الناظمي.

1.2 مبدأ الفعل الأصغري

تعريف 1.3 (اللاغرانجية والفعل)

اللاغرانجية لجملة ميكانيكية تشتق قواها من طاقة كامنة $E_p$ هي دالة الإحداثيات والسرعات، وربما الزمن أيضًا

L(q, \dot q, t) = E_k - E_p ,

أي الطاقة الحركية ناقص الطاقة الكامنة، معبَّرًا عنهما بالإحداثيات المعمّمة. والفعل لحركة متصورة $q(t)$ بين طرفين ثابتين $q(t_1)$ و $q(t_2)$ هو العدد

S[q] = \int_{t_1}^{t_2} L\big(q(t), \dot q(t), t\big)\,\dd t .

والفعل $S$ دالّية: تبتلع مسلكًا كاملًا وتعيد عددًا واحدًا، بواحدة الجول-ثانية — وهي واحدة ثابت بلانك.

مبرهنة 1.4 (مبدأ هاميلتون ومعادلات أويلر–لاغرانج)

من بين جميع الحركات المتصورة التي تصل الطرفين نفسيهما في الزمن نفسه، الحركة الفعلية هي التي تجعل الفعل مستقرًا (مبدأ هاميلتون، أو مبدأ الفعل الأصغري). وعلى نحو مكافئ، تحقق الحركة معادلات أويلر–لاغرانج

\frac{\dd}{\dd t}\frac{\partial L}{\partial\dot q_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 , \qquad i = 1, \dots, n :

أي معادلة واحدة من المرتبة الثانية لكل درجة حرية، في أيّ إحداثيات اختيرت.

برهان. نشوّه المسلك: $q_i(t) \to q_i(t) + \delta q_i(t)$ مع $\delta q_i(t_1) = \delta q_i(t_2) = 0$ . وحتى المرتبة الأولى،

\delta S = \int_{t_1}^{t_2}\sum_i\Big( \frac{\partial L}{\partial q_i}\,\delta q_i + \frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\,\delta\dot q_i\Big)\dd t = \int_{t_1}^{t_2}\sum_i\Big( \frac{\partial L}{\partial q_i} - \frac{\dd}{\dd t}\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\Big)\delta q_i\,\dd t ,

بعد مكاملة الحد الثاني بالتجزئة ( $\delta\dot q_i = \dd(\delta q_i)/\dd t$ ) وإهمال الحد الحدّي الذي ينعدم عند الطرفين الثابتين. فإذا كان $\delta S = 0$ من أجل كل تشويه، وجب أن ينعدم القوس في كل لحظة ومن أجل كل $i$ — إذ لو كان موجبًا في موضع ما لأعطى نتوء $\delta q_i$ مركَّز هناك $\delta S \neq 0$ . والعكس يُقرأ من السطر نفسه. ∎

مبدأ هاميلتون: من بين كل المسالك ذات الطرفين نفسيهما والمدة نفسها، الفعلي منها هو الذي يجعل S = ∈t L\, t مستقرًا — فالتشويهات من المرتبة الأولى q لا تغيّر S إلا في المرتبة الثانية. — مبدأ هاميلتون: من بين كل المسالك ذات الطرفين نفسيهما والمدة نفسها، الفعلي منها هو الذي يجعل $S = \int L\,\dd t$ مستقرًا — فالتشويهات من المرتبة الأولى $\delta q$ لا تغيّر $S$ إلا في المرتبة الثانية.

قضية 1.5 (استعادة نيوتن)

من أجل جسيم بالإحداثيات الديكارتية، $L = \tfrac12 m(\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2) - E_p(x,y,z)$ ، وتُكتب معادلات أويلر–لاغرانج $m\ddot x = -\partial E_p/\partial x$ وكذلك من أجل $y$ و $z$ : أي $m\vect a = \vect F$ بالضبط. فميكانيك لاغرانج وميكانيك نيوتن متوافقان حيثما صحّ كلاهما؛ غير أن الصياغة الجديدة تصمد لتغيير الإحداثيات، وهو ما لا تصمد له معادلات نيوتن بمركباتها.

برهان. لدينا $\partial L/\partial\dot x = m\dot x$ و $\partial L/\partial x = -\partial E_p/\partial x$ ؛ ومعادلة أويلر–لاغرانج هي $\dd(m\dot x)/\dd t + \partial E_p/\partial x = 0$ . ∎

ملاحظة 1.6 (لماذا تختفي قوى القيد)

شدّة القضيب، وردّ فعل السكة الناظمي، تعملان عموديًا على كل انتقال يسمح به القيد: فلا تؤديان أيّ شغل في حركة توافق القيد. ولمّا كان الفعل مبنيًا من طاقات لا تُحسب إلا على مثل هذه الحركات، فإن هذه القوى لا تدخل قط في $L$ — وتلك هي المعجزة العملية للطريقة. والتبرير العام (مبدأ دالامبير في الأشغال الافتراضية) مُسلَّم به هنا؛ وفي كل جملة من جمل هذا الكتاب يمكن التحقق من الوصفة الآتية أمام نيوتن مباشرة، كما بدأت تفعل القضية 1.5. وإذا أُريدت قوة القيد نفسها — هل ينكسر القضيب؟ — عدنا إلى نيوتن من أجل تلك القوة وحدها، والحركة معلومة سلفًا.

طريقة 1.7 (وصفة لاغرانج)

(1) نحصي درجات الحرية ونختار الإحداثيات $q_i$ — زوايا من أجل الدورانات، وفواصل على السكك. (2) نعبّر عن المواضع $\vect r(q_i, t)$ ، ونشتقّها لنحصل على السرعات، ونكتب $E_k$ ؛ ونكتب $E_p$ . (3) $L = E_k - E_p$ ، مع إهمال أيّ ثابت جمعي. (4) معادلة أويلر–لاغرانج واحدة لكل إحداثي. (5) قبل الحل، نجني المقادير المحفوظة: الإحداثيات الدورية (التعريف 1.10) ودالة الطاقة (القضية 1.14). (6) نتحقق من الحالات الحدية: الزوايا الصغيرة، وإيقاف الدوران، والحالات الخاصة المعروفة.

مثال 1.8 (البندول في ثلاثة أسطر)

إحداثي واحد $\theta$ ؛ ولدينا $\vect v = \ell\dot\theta\,\vect e_\theta$ ، ومنه $E_k = \tfrac12 m\ell^2\dot\theta^2$ و $E_p = -mg\ell\cos\theta$ . عندئذٍ $L = \tfrac12 m\ell^2\dot\theta^2 + mg\ell\cos\theta$ ، ومنه $\dd(m\ell^2\dot\theta)/\dd t = -mg\ell\sin\theta$ :

\ddot\theta = -\frac{g}{\ell}\sin\theta ,

وهي المعادلة التي حصل عليها كتاب السنة الأولى من عزم الثقل — من دون ذكر الشدّة قط.

مثال 1.9 (خرزة على حلقة دوّارة)

خرزة كتلتها $m$ تنزلق على حلقة دائرية شاقولية نصف قطرها $R$ مُجبرة على الدوران حول قطرها الشاقولي بسرعة زاوية ثابتة $\omega$ (المثال 1.2). لها إحداثي واحد هو الزاوية القطبية $\theta$ ابتداءً من الأسفل. ولسرعة الخرزة مركبة $R\dot\theta$ على طول الحلقة ومركبة $\omega R\sin\theta$ ناتجة عن الدوران المفروض، عمودية عليها:

L = \tfrac12 mR^2\dot\theta^2 + \tfrac12 m\omega^2R^2\sin^2\theta + mgR\cos\theta , \qquad mR^2\ddot\theta = m\omega^2R^2\sin\theta\cos\theta - mgR\sin\theta .

مواضع التوازن حيث $\ddot\theta = 0$ : الأسفل $\theta = 0$ (والأعلى، وهو غير مستقر دائمًا)، ثم، عندما يكون $\omega^2 > g/R$ ، زوج جديد $\cos\theta_{\text{توازن}} = g/\omega^2R$ . وبكتابة المعادلة في الشكل $mR^2\ddot\theta = -\dd U_{\text{فعّال}}/\dd\theta$ مع الطاقة الكامنة الفعّالة

U_{\text{فعّال}}(\theta) = -mgR\cos\theta - \tfrac12 m\omega^2R^2\sin^2\theta

تصير الهندسة ظاهرة: فدون السرعة الحرجة $\omega_{\text{c}} = \sqrt{g/R}$ يكون الأسفل بئرًا؛ وفوقها يصير الأسفل قمة وتستقر الخرزة على المنحدر، فترتفع كلما دارت الحلقة أسرع — وهو مبدأ المنظّم الطاردي الذي كان يضبط الآلات البخارية.

الكمون الفعّال للخرزة على الحلقة الدوّارة. فعندما يتجاوز القيمة √g/R تنشطر البئر الوحيدة في الأسفل إلى بئرين متناظرتين: وترتفع زاوية التوازن مع تزايد سرعة الدوران. — الكمون الفعّال للخرزة على الحلقة الدوّارة. فعندما يتجاوز $\omega$ القيمة $\sqrt{g/R}$ تنشطر البئر الوحيدة في الأسفل إلى بئرين متناظرتين: وترتفع زاوية التوازن مع تزايد سرعة الدوران.

1.3 التناظرات وقوانين الانحفاظ

تعريف 1.10 (كمية الحركة المعمّمة والإحداثي الدوري)

كمية الحركة المعمّمة المرافقة للإحداثي $q_i$ هي

p_i = \frac{\partial L}{\partial\dot q_i} .

من أجل إحداثي ديكارتي هي كمية الحركة العادية $m\dot x$ ؛ ومن أجل زاوية هي عزم حركي. والإحداثي الذي لا يظهر في $L$ (وإن ظهرت سرعته) يسمّى دوريًا.

قضية 1.11 (الإحداثيات الدورية تعطي قوانين انحفاظ)

إذا كان $q_i$ دوريًا انحفظت كمية حركته المرافقة: فمن $\partial L/\partial q_i = 0$ ينتج $\dd p_i/\dd t = 0$ . واختيار الإحداثيات بحيث يكون أكبر عدد ممكن منها دوريًا هو أنجع خطوة منفردة في حل مسألة ميكانيكية.

برهان. مباشرةً من معادلة أويلر–لاغرانج من أجل $q_i$ . ∎

مثال 1.12 (قوة مركزية تُحل بالنظر)

جسيم في كمون مركزي $E_p(r)$ ، بالإحداثيات القطبية في مستوي حركته:

L = \tfrac12 m(\dot r^2 + r^2\dot\varphi^2) - E_p(r) .

الإحداثي $\varphi$ دوري، ومن ثمّ ينحفظ $p_\varphi = mr^2\dot\varphi$ — وهو العزم الحركي: أي قانون كبلر في المساحات، الذي اشتقّه كتاب السنة الأولى من معادلة العزوم، يسقط هنا قبل حل أيّ معادلة. والمعادلة القطرية المتبقية هي $m\ddot r = mr\dot\varphi^2 - E_p'(r)$ ، أي الحركة الأحادية البعد في الكمون الفعّال $E_p(r) + p_\varphi^2/2mr^2$ الوارد في ذلك الكتاب.

مبرهنة 1.13 (مبرهنة نويتر)

لكل تناظر متصل للاغرانجية مقدار محفوظ يقابله. وبدقة: إذا كان الانزياح $q_i \to q_i + \varepsilon\,K_i(q)$ يترك $L$ بلا تغيير حتى المرتبة الأولى في $\varepsilon$ من أجل كل الحركات، فإن

Q = \sum_i p_i\,K_i(q)

ثابت على طول كل حركة فعلية. فتجانس الفضاء (الثبات بالانسحاب) يعطي كمية الحركة؛ وتماثل مناحي الفضاء (الثبات بالدوران) يعطي العزم الحركي؛ وتجانس الزمن يعطي الطاقة (القضية 1.14).

برهان. الثبات حتى المرتبة الأولى يعني $0 = \delta L = \sum_i\big(\partial_{q_i}L\,K_i + \partial_{\dot q_i}L\,\dot K_i\big)\varepsilon$ . وعلى حركة فعلية لدينا $\partial_{q_i}L = \dot p_i$ بحسب أويلر–لاغرانج، فيكون القوس $\sum_i(\dot p_iK_i + p_i\dot K_i) = \dd Q/\dd t$ . والإحداثي الدوري هو الحالة الخاصة $K_i = \delta_{ij}$ . أما حالة انزياح الزمن فتحتاج إلى الحساب المستقل الوارد في القضية 1.14؛ والمبرهنة الكاملة، من أجل تحويلات تغيّر $t$ أيضًا أو تعدّل $L$ بمشتق تام، تُبرهن في دروس الميكانيك التحليلي وهي مُسلَّم بها هنا في هذا التعميم. ∎

قضية 1.14 (دالة الطاقة)

على طول أيّ حركة، فإن دالة الطاقة

h = \sum_i \dot q_i\,\frac{\partial L}{\partial\dot q_i} - L \qquad\text{تحقق}\qquad \frac{\dd h}{\dd t} = -\frac{\partial L}{\partial t} .

فإذا لم تتعلق $L$ بالزمن صراحةً انحفظت $h$ . وإذا كانت العلاقات $\vect r(q)$ بين المواضع والإحداثيات خالية من الزمن أيضًا — لا دوران مفروض ولا سند متحرك — كانت $E_k$ شكلًّا تربيعيًا في $\dot q_i$ وكان $h = E_k + E_p$ : أي الطاقة الميكانيكية. أما مع قيد متعلق بالزمن فتبقى $h$ محفوظة عندما يكون $\partial L/\partial t = 0$ ، لكنها ليست الطاقة: إذ يتبادل المحرك الذي يفرض القيد الشغل مع الجملة.

برهان. $\dd h/\dd t = \sum_i(\ddot q_ip_i + \dot q_i\dot p_i) - \sum_i(\partial_{q_i}L\,\dot q_i + \partial_{\dot q_i}L\,\ddot q_i) - \partial_tL$ . تتلاشى الحدود في $\ddot q_i$ ؛ وتحوّل معادلات أويلر–لاغرانج $\dot p_i$ إلى $\partial_{q_i}L$ فيتلاشى الزوج التالي؛ ويبقى $-\partial_tL$ . وإذا كان $E_k = \tfrac12\sum a_{jk}(q)\dot q_j\dot q_k$ أعطت متطابقة أويلر للأشكال التربيعية $\sum\dot q_i\,\partial E_k/\partial\dot q_i = 2E_k$ ، ومنه $h = 2E_k - (E_k - E_p) = E_k + E_p$ . ∎

مثال 1.15 (الحلقة الدوّارة تحفظ $h$ لا $E$ )

من أجل خرزة المثال 1.9، ليس في $L$ زمن $t$ صريح، ومن ثمّ ينحفظ $h = \tfrac12 mR^2\dot\theta^2 + U_{\text{فعّال}} (\theta)$ — لكن الطاقة الميكانيكية $E = \tfrac12 mR^2\dot\theta^2 + \tfrac12 m\omega^2R^2\sin^2\theta - mgR\cos\theta$ لا تنحفظ: إذ يتغير $E = h + m\omega^2R^2\sin^2\theta$ كلما انزلقت الخرزة. والفرق هو شغل المحرك الذي يبقي $\omega$ ثابتة بينما تتغير مسافة الخرزة عن المحور.

1.4 الجسيمات المشحونة والاهتزازات الصغيرة

قضية 1.16 (لاغرانجية جسيم مشحون)

في مجال كهرطيسي موصوف بالكمونين $V$ و $\vect A$ (مع $\vect E = -\vect\nabla V - \partial_t\vect A$ و $\vect B = \operatorname{\vect{curl}}\vect A$ ، كما في كتاب السنة الثانية)، تعطي اللاغرانجية

L = \tfrac12 m\vect v^{\,2} - qV + q\,\vect v\cdot\vect A

بواسطة معادلات أويلر–لاغرانج قوة لورنتز بالضبط $m\dot{\vect v} = q(\vect E + \vect v\wedge\vect B)$ . فالقوة المغناطيسية، التي لا تؤدي شغلًا ولا تشتق من طاقة كامنة عادية، تدخل عبر حدّ خطي في السرعة؛ وتصير كمية الحركة المرافقة $\vect p = m\vect v + q\vect A$ ، ولم تعد $m\vect v$ وحدها.

برهان. من أجل المركبة $x$ : $p_x = m\dot x + qA_x$ ، و $\partial_xL = -q\,\partial_xV + q\,\vect v\cdot\partial_x\vect A$ . وتعطي معادلة أويلر–لاغرانج $m\ddot x = -q\,\partial_xV - q\,\dd A_x/\dd t + q\,\vect v\cdot\partial_x\vect A$ . وعلى الحركة $\dd A_x/\dd t = \partial_tA_x + (\vect v\cdot\vect\nabla)A_x$ ، ومنه $m\ddot x = qE_x + q\big[\vect v\cdot\partial_x\vect A - (\vect v\cdot \vect\nabla)A_x\big]$ ، والقوس هو المركبة $x$ للمقدار $\vect v\wedge(\vect\nabla\wedge\vect A) = \vect v\wedge\vect B$ — انشر كليهما للتحقق. ∎

قضية 1.17 (الاهتزازات الصغيرة والأنماط الذاتية)

بجوار توازن مستقر $q^{\text{توازن}}$ ، ننشر $L$ حتى المرتبة الثانية في الانزياحات $u_i = q_i - q_i^{\text{توازن}}$ : $L \approx \tfrac12\sum m_{ij}\dot u_i\dot u_j - \tfrac12\sum k_{ij}u_iu_j$ بمصفوفتين متناظرتين ثابتتين. فتكون معادلات الحركة خطية، وتكون كل حركة تراكبًا من الأنماط الذاتية: اهتزازات جماعية $u_i(t) = a_i\cos(\Omega t + \phi)$ تهتز فيها الإحداثيات كلها بتواتر واحد مشترك، وتحقق السعات والتواترات $\sum_j(k_{ij} - \Omega^2m_{ij})\,a_j = 0$ — وهي مسألة قيم ذاتية لمصفوفة، ولها $n$ نمطًا من أجل $n$ درجة حرية.

برهان. تنعدم الحدود الخطية عند التوازن؛ وتُكتب معادلات أويلر–لاغرانج للدالة $L$ التربيعية $\sum_jm_{ij}\ddot u_j = -\sum_jk_{ij}u_j$ . وإدخال الاهتزاز التجريبي يعطي الجملة الخطية المذكورة، التي ليس لها متجهة سعات غير معدومة إلا عندما يكون $\det(k_{ij} - \Omega^2m_{ij}) = 0$ : أي $n$ قيمة للمقدار $\Omega^2$ ، جميعها موجبة عند توازن مستقر. وأما كون الحركة العامة تراكبًا من الأنماط فهو قطر جملة من شكلين تربيعيين، وهي نتيجة من الجبر الخطي في كتاب الرياضيات للسنة الثانية؛ والتمام مُسلَّم به. ∎

مثال 1.18 (بندولان متقارنان بنابض)

بندولان متماثلان (الكتلة $m$ ، الطول $\ell$ )، كرتاهما موصولتان بنابض صلابته $k$ يكون مرتخيًا حين يتدليان شاقوليًا. ومن أجل الزوايا الصغيرة،

L = \tfrac12 m\ell^2(\dot\theta_1^2 + \dot\theta_2^2) - \tfrac12 mg\ell(\theta_1^2 + \theta_2^2) - \tfrac12 k\ell^2(\theta_2 - \theta_1)^2 .

يوحي التناظر بالتركيبين $s = \theta_1 + \theta_2$ و $d = \theta_1 - \theta_2$ اللذين يفصلان المعادلتين: النمط المتوافق في الطور ( $\theta_1 = \theta_2$ ، والنابض خامل) عند $\Omega_1 = \sqrt{g/\ell}$ ، والنمط المتعاكس ( $\theta_1 = -\theta_2$ ، والنابض ممدود مرتين) عند $\Omega_2 = \sqrt{g/\ell + 2k/m}$ . وأطلق بندولًا واحدًا — وهو خليط متساوٍ من النمطين — فتهاجر الطاقة كلها من بندول إلى الآخر ثم تعود بتواتر النبضات $(\Omega_2 - \Omega_1)/2\pi$ : وهي تجربة البندولين المتقارنين، والآلية الكامنة وراء كل انتقال للطاقة بالرنين، من الدارات المُوالَفة إلى الاهتزازات الجزيئية.

النمطان الذاتيان للبندولين المتقارنين. ففي حالة التوافق في الطور لا يمتد النابض أبدًا ويكون التواتر تواتر البندول الحر؛ وفي حالة التعاكس تشعر كل كرة بالنابض مضاعفًا.

بندول مزدوج مرسوم بتعريض ضوئي طويل: إحداثيان، ولاغرانجية واحدة، وحركة لا تتنبأ بها أيّ صيغة زمنًا طويلًا — فآلة الفعل الأصغري في هذا الفصل تكتب المعادلات، والفوضى تُبقي حلولها متواضعة.

1.5 تمارين

تمرين 1.1 ★

أحصِ درجات الحرية واقترح إحداثيات معمّمة: (أ) جسيم داخل وعاء ثابت؛ (ب) أسطوانة تتدحرج من دون انزلاق على مستوٍ مائل ثابت؛ (ج) بندول مزدوج ينزلق محوره العلوي على سكة أفقية؛ (د) ثقالة (كتلتان وقضيب صلب) في الفضاء؛ (ه) خرزتان على السلك الدائري الثابت نفسه. أيّ قيد في هذه القائمة يربط بين السرعات لا بين المواضع، ولماذا يمكن مع ذلك مكاملته ليصير هولونوميًا؟

حل

حل التمرين 1.1.

(أ) 2 (زاويتان على سطح الوعاء). (ب) 1: الفاصلة $x$ على طول المنحدر، وزاوية الدوران مرتبطة بها بالتدحرج، $x = R\phi$ . (ج) 3: $X$ و $\theta_1$ و $\theta_2$ . (د) 5: ثلاثة من أجل المركز، واثنتان من أجل اتجاه القضيب. (ه) 2: زاوية لكل خرزة. وشرط التدحرج علاقة بين السرعات، $\dot x = R\dot\phi$ ؛ وفي هذه المسألة المستوية يُكامل فورًا فيعطي $x = R\phi + \text{ثابت}$ ، ومن ثمّ فهو هولونومي. (أما كرة تتدحرج على مستوٍ فلا يُكامل شرطها، ويحتاج ميكانيك لاغرانج إلى توسيع.)

تمرين 1.2 ★

من أجل البندول المستوي (المثال 1.8): (أ) تحقق من أبعاد $L$ ومن أبعاد $p_\theta = \partial L/\partial\dot\theta$ ؛ (ب) عيّن $p_\theta$ فيزيائيًّا؛ (ج) استنتج دور الاهتزازات الصغيرة؛ (د) احسب الفعل $S$ لاهتزازة صغيرة كاملة سعتها $\theta_0$ — وفسّر النتيجة قبل الحساب (ما المتوسط الزمني للمقدار $E_k - E_p$ في اهتزاز توافقي؟).

حل

حل التمرين 1.2.

(أ) $[L] = \mathrm{J}$ ؛ و $[p_\theta] = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ — أي عزم حركي، لأن $\theta$ عديمة الأبعاد. (ب) المقدار $p_\theta = m\ell^2\dot\theta$ هو العزم الحركي للكرة حول المحور. (ج) تعطي $\ddot\theta = -(g/\ell)\theta$ الدور $T = 2\pi\sqrt{\ell/g}$ . (د) بقياس $E_p$ من وضع التوازن، يكون للاهتزاز التوافقي متوسطان زمنيان متساويان للطاقة الحركية والطاقة الكامنة، ومنه $\langle L\rangle = 0$ و $S = 0$ على دور كامل — ويؤكد الحساب ذلك: $S = \int_0^T\tfrac12 m\ell^2\theta_0^2[\omega^2\sin^2 \omega t - (g/\ell)\cos^2\omega t]\,\dd t = 0$ لأن $\omega^2 = g/\ell$ .

تمرين 1.3 ★

آلة أتوود: كتلتان $m_1$ و $m_2$ معلقتان بخيط مثالي على بكرة عديمة الكتلة. (أ) اختر إحداثيًا واحدًا واكتب $L$ . (ب) أوجد التسارع. (ج) احتاجت معالجة نيوتن إلى الشدّة — فأين ذهبت؟ (د) كيف تستعيد الشدّة متى عُرفت الحركة؟

حل

حل التمرين 1.3.

(أ) ليكن $x$ هبوط $m_1$ (فترتفع $m_2$ بالمقدار $x$ ): $L = \tfrac12(m_1 + m_2)\dot x^2 + (m_1 - m_2)gx$ . (ب) $(m_1 + m_2)\ddot x = (m_1 - m_2)g$ : أي $a = (m_1 - m_2)g/(m_1 + m_2)$ . (ج) تؤثر الشدّة في طرفَي خيط غير قابل للاستطالة: ففي أيّ انتقال مسموح يتقاصّ شغلاها، فلا تدخل قط في $L$ . (د) نيوتن على $m_1$ وحدها: $T = m_1(g - a) = 2m_1m_2g/(m_1 + m_2)$ .

تمرين 1.4 ★

جسيم حر بالإحداثيات الأسطوانية: $L = \tfrac12 m(\dot r^2 + r^2\dot\varphi^2 + \dot z^2)$ . (أ) ما الإحداثيات الدورية، وما كميات الحركة المحفوظة؟ (ب) لماذا لا ينحفظ $p_r$ مع أن لا قوة تؤثر؟ (ج) اكتب معادلة أويلر–لاغرانج من أجل $r$ وفسّر الحدّ $mr\dot\varphi^2$ . (د) تحقق من أن مستقيمًا يُقطع بسرعة ثابتة يحققها.

حل

حل التمرين 1.4.

(أ) $\varphi$ و $z$ : ينحفظ $p_\varphi = mr^2\dot\varphi$ (وهو العزم الحركي حول المحور) وينحفظ $p_z = m\dot z$ . (ب) يظهر $r$ في $L$ عبر $r^2\dot\varphi^2$ ، فليس دوريًا: $\dot p_r = mr\dot\varphi^2 \neq 0$ . ولا خطأ في ذلك — فالمقدار $p_r = m\dot r$ هو المركبة القطرية لمتجهة ثابتة $\vect p$ ، والمركبة على اتجاه يدور لا يلزم أن تكون ثابتة. (ج) $m\ddot r = mr\dot\varphi^2$ : أي الحدّ الطاردي، وهو ثمن استعمال إحداثيات مرتبطة باتجاهات دائرة. (د) من أجل مستقيم على المسافة $b$ يُقطع بالسرعة $v$ : $r = \sqrt{b^2 + v^2t^2}$ و $r^2\dot\varphi = bv$ ؛ ومنه $\ddot r = b^2v^2/r^3 = r(bv/r^2)^2 = r\dot\varphi^2$ .

تمرين 1.5 ★★

كتلة $m$ تنزلق على وجه عديم الاحتكاك (زاويته $\alpha$ ) لإسفين كتلته $M$ ، وهو نفسه حر في الانزلاق على أرض عديمة الاحتكاك. (أ) اختر إحداثيين: فاصلة الإسفين $X$ ومسافة الكتلة $s$ نزولًا على الوجه؛ واكتب $L$ . (ب) أيّ الإحداثيين دوري، وأيّ قانون انحفاظ يعبّر عنه؟ (ج) أوجد التسارعين. (د) تحقق من الحالتين الحديتين $M \to \infty$ و $\alpha \to 90^\circ$ .

حل

حل التمرين 1.5.

(أ) موضع الكتلة $(X + s\cos\alpha,\ -s\sin\alpha)$ ، ومنه

L = \tfrac12 M\dot X^2 + \tfrac12 m\big(\dot X^2 + 2\dot X\dot s\cos\alpha + \dot s^2\big) + mgs\sin\alpha .

(ب) $X$ دوري: فينحفظ $P = (M + m)\dot X + m\dot s\cos\alpha$ — وهو كمية الحركة الأفقية الكلية، إذ لا تؤثر أيّ قوة أفقية خارجية. (ج) معادلة $s$ هي $\ddot s + \ddot X\cos\alpha = g\sin\alpha$ ؛ ومع $\ddot X = -m\ddot s\cos\alpha/(M + m)$ المأخوذة من (ب)،

\ddot s = \frac{(M + m)g\sin\alpha}{M + m\sin^2\alpha} , \qquad \ddot X = -\frac{mg\sin\alpha\cos\alpha}{M + m\sin^2\alpha} .

(د) $M \to \infty$ : $\ddot s \to g\sin\alpha$ ، أي المستوي المائل الثابت؛ و $\alpha \to 90^\circ$ : $\ddot s \to g$ و $\ddot X \to 0$ — أي سقوط حر على وجه شاقولي، من دون دفع للإسفين.

تمرين 1.6 ★★

البندول الكروي: كرة على قضيب طوله $\ell$ ، حرة في الزاويتين ( $\theta$ ابتداءً من الشاقول النازل، و $\varphi$ حوله). (أ) اكتب $L$ . (ب) عيّن الإحداثي الدوري والمقدار المحفوظ $p_\varphi$ . (ج) أرجع حركة $\theta$ إلى كمون فعّال وارسمه تقريبيًا. (د) من أجل الحركة المخروطية $\theta = \theta_0$ ، استعد علاقة البندول المخروطي $\cos\theta_0 = g/\ell\omega^2$ الواردة في كتاب السنة الأولى.

حل

حل التمرين 1.6.

(أ) $L = \tfrac12 m\ell^2(\dot\theta^2 + \sin^2\theta\,\dot\varphi^2) + mg\ell\cos\theta$ . (ب) $\varphi$ دوري: $p_\varphi = m\ell^2\sin^2\theta\,\dot\varphi$ ، وهو العزم الحركي الشاقولي. (ج) بحذف $\dot\varphi$ ، ينحفظ $\tfrac12 m\ell^2\dot\theta^2 + U_{\text{فعّال}}(\theta)$ مع

U_{\text{فعّال}}(\theta) = \frac{p_\varphi^2}{2m\ell^2\sin^2\theta} - mg\ell\cos\theta :

أي جدار عند $\theta = 0$ وعند $\theta = \pi$ (من أجل $p_\varphi \neq 0$ ) وأصغرية واحدة بينهما — فتتمايل الكرة بين دائرتين. (د) عند الأصغرية، $\dot\theta = 0$ مع $\theta = \theta_0$ ثابتة: $p_\varphi^2\cos\theta_0/m\ell^2\sin^3\theta_0 = mg\ell\sin\theta_0$ ؛ وبإدخال $p_\varphi = m\ell^2\sin^2\theta_0\,\omega$ نجد $\ell\omega^2\cos\theta_0 = g$ .

تمرين 1.7 ★★

بندول (كتلته $m$ ، طوله $\ell$ ) معلق بعربة كتلتها $M$ حرة في التدحرج على سكة أفقية. (أ) بالإحداثيين $X$ (العربة) و $\theta$ ، اكتب $L$ . (ب) ما المقدار المحفوظ، ولماذا فيزيائيًّا؟ (ج) خطّط من أجل $\theta$ الصغيرة وبيّن أن تواتر الاهتزاز هو $\Omega = \sqrt{(1 + m/M)\,g/\ell}$ . (د) فسّر الحالتين $M \to \infty$ و $M \to 0$ — لماذا ترفع العربة الخفيفة التواتر؟

حل

حل التمرين 1.7.

(أ) الكرة في $(X + \ell\sin\theta,\ -\ell\cos\theta)$ :

L = \tfrac12(M + m)\dot X^2 + m\ell\cos\theta\,\dot X\dot\theta + \tfrac12 m\ell^2\dot\theta^2 + mg\ell\cos\theta .

(ب) $X$ دوري: فينحفظ $(M + m)\dot X + m\ell\cos\theta\,\dot\theta$ — وهو كمية الحركة الأفقية للجملة كلها (فالسكة لا تدفع إلا شاقوليًا). (ج) من أجل الزوايا الصغيرة: $(M + m)\ddot X + m\ell\ddot\theta = 0$ و $\ell\ddot\theta + \ddot X + g\theta = 0$ ؛ وبحذف $\ddot X$ نجد $\ell\ddot\theta\,[1 - m/(M + m)] = -g\theta$ ، ومنه $\Omega^2 = (M + m)g/M\ell = (1 + m/M)\,g/\ell$ . (د) $M \to \infty$ : أي المحور الثابت، $\Omega^2 = g/\ell$ . ومن أجل $M$ صغيرة: ترتدّ العربة عكس الكرة، ويجري التأرجح حول نقطة بينهما (مركز الكتلة الثابت)، فيقصر البندول الفعّال — ومن ثمّ يرتفع التواتر، ويتباعد لمّا $M \to 0$ .

تمرين 1.8 ★★

جسيم شحنته $q$ في مجال منتظم $\vect B = B\vect e_z$ ، موصوف بالكمون $\vect A = \tfrac12\vect B\wedge\vect r$ . (أ) اكتب $L$ بالإحداثيات الديكارتية. (ب) استنتج معادلات الحركة وتحقق من أنها تصف دائرة السيكلوترون عند $\omega_{\text{c}} = qB/m$ . (ج) احسب كميتي الحركة المرافقتين $p_x$ و $p_y$ : هل هما $m\dot x$ و $m\dot y$ ؟ وهل تنحفظان؟ (د) بيّن أن $L$ مكتوبة بالإحداثيات الأسطوانية يكون فيها $\varphi$ دوريًا، وعيّن المقدار المحفوظ $p_\varphi$ من أجل دائرة مركزها على المحور.

حل

حل التمرين 1.8.

(أ) $\vect A = \tfrac12 B(-y, x, 0)$ : $L = \tfrac12 m(\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2) + \tfrac12 qB(x\dot y - y\dot x)$ . (ب) معادلة $x$ : $\dd(m\dot x - \tfrac12 qBy)/\dd t = \tfrac12 qB\dot y$ ، أي $m\ddot x = qB\dot y$ ؛ وكذلك $m\ddot y = -qB\dot x$ : أي حركة دائرية عند $\omega_{\text{c}} = qB/m$ ، مع $\dot z$ ثابتة. (ج) $p_x = m\dot x - \tfrac12 qBy \neq m\dot x$ ؛ وليس $x$ ولا $y$ دوريًا ( $\partial L/\partial x = \tfrac12 qB\dot y$ )، فلا تنحفظ أيّ من كميتي الحركة — ولا تنحفظ إلا تراكيب مثل $m\dot x - qBy$ (تحقق: مشتقه معدوم). (د) بالإحداثيات الأسطوانية $A_\varphi = \tfrac12 Br$ : $L = \tfrac12 m(\dot r^2 + r^2\dot\varphi^2 + \dot z^2) + \tfrac12 qBr^2\dot\varphi$ ؛ والإحداثي $\varphi$ دوري، و $p_\varphi = mr^2\dot\varphi + \tfrac12 qBr^2$ . وعلى دائرة نصف قطرها $R$ مركزها على المحور، $\dot\varphi = -\omega_{\text{c}}$ ، ومنه $p_\varphi = -qBR^2 + \tfrac12 qBR^2 = -\tfrac12 qBR^2$ .

تمرين 1.9 ★★

من أجل الخرزة على الحلقة الدوّارة (المثال 1.9): (أ) احسب دالة الطاقة $h$ وتحقق من انحفاظها بمعادلة الحركة؛ (ب) احسب الطاقة الميكانيكية $E$ وبيّن أن $E - h = m\omega^2R^2\sin^2\theta$ ؛ (ج) أوجد الاستطاعة التي يقدمها المحرك بدلالة $\theta$ و $\dot\theta$ ؛ (د) أوجد تواتر الاهتزازات الصغيرة حول التوازن المائل عندما يكون $\omega^2 > g/R$ ، وبيّن أنه ينعدم لمّا $\omega^2 \to g/R$ — وهو التباطؤ الذي يُنذر بانشطار البئر.

حل

حل التمرين 1.9.

(أ) $h = \dot\theta\,\partial L/\partial\dot\theta - L = \tfrac12 mR^2\dot\theta^2 - \tfrac12 m\omega^2R^2\sin^2\theta - mgR\cos\theta = \tfrac12 mR^2\dot\theta^2 + U_{\text{فعّال}}$ ؛ و $\dd h/\dd t = \dot\theta\,[mR^2\ddot\theta + U_{\text{فعّال}}'(\theta)] = 0$ بحسب معادلة الحركة. (ب) $E = \tfrac12 mR^2\dot\theta^2 + \tfrac12 m\omega^2R^2\sin^2\theta - mgR\cos\theta = h + m\omega^2R^2\sin^2\theta$ . (ج) $P = \dd E/\dd t = m\omega^2R^2\sin2\theta\,\dot\theta$ : وهي موجبة ما دامت الخرزة تصعد مبتعدة عن المحور (فالمحرك يعمل ضد عطالة الخرزة)، وسالبة في طريق العودة. (د) $U_{\text{فعّال}}'' = mgR\cos\theta - m\omega^2R^2\cos2\theta$ ؛ وعند $\cos\theta_{\text{توازن}} = g/\omega^2R$ يساوي $m\omega^2R^2\sin^2\theta_{\text{توازن}}$ ، ومنه $\omega_{\text{اهتزاز}} = \omega\sin\theta_{\text{توازن}} = \omega\sqrt{1 - (g/\omega^2R)^2} \to 0$ لمّا $\omega^2 \to g/R$ : فتنبسط القوة المعيدة في اللحظة نفسها التي تندمج فيها البئران.

تمرين 1.10 ★★★

البندول المزدوج المتماثل ( $m_1 = m_2 = m$ ، $\ell_1 = \ell_2 = \ell$ ). (أ) بيّن أنه من أجل الزوايا الصغيرة $L = \tfrac12 m\ell^2(2\dot\theta_1^2 + 2\dot\theta_1\dot\theta_2 + \dot\theta_2^2) - \tfrac12 mg\ell(2 \theta_1^2 + \theta_2^2)$ . (ب) اكتب معادلتي الحركة. (ج) أوجد التواترين الذاتيين $\Omega_\pm^2 = (2 \mp \sqrt2)\,g/\ell$ وشكل كل نمط ( $\theta_2 = \pm\sqrt2\,\theta_1$ ). (د) عند السعات الكبيرة تكون هذه الجملة مثالًا نموذجيًا على الفوضى: اشرح في بضعة أسطر ما الذي يبطل تحليل الزوايا الصغيرة، ولماذا لا يضيع أيّ قانون انحفاظ.

حل

حل التمرين 1.10.

(أ) المواضع $x_2 = \ell(\sin\theta_1 + \sin\theta_2)$ وما إليها؛ وبإبقاء الحدود التربيعية يكون حدّ السرعة المتقاطع $m\ell^2\dot\theta_1\dot\theta_2$ ، فنجد $L$ المذكورة. (ب) $2\ddot\theta_1 + \ddot\theta_2 = -2\omega_0^2\theta_1$ و $\ddot\theta_1 + \ddot\theta_2 = -\omega_0^2\theta_2$ ، مع $\omega_0^2 = g/\ell$ . (ج) بإدخال $\theta_i = a_i\cos\Omega t$ : $\det\begin{pmatrix} 2\omega_0^2 - 2\Omega^2 & -\Omega^2\\ -\Omega^2 & \omega_0^2 - \Omega^2\end{pmatrix} = \Omega^4 - 4\omega_0^2\Omega^2 + 2\omega_0^4 = 0$ ، ومنه $\Omega_\pm^2 = (2 \mp \sqrt2)\omega_0^2$ ؛ ويعطي السطر الثاني $a_2/a_1 = \Omega^2/(\omega_0^2 - \Omega^2) = \pm\sqrt2$ : أي الكرتان معًا (النمط البطيء)، والكرتان متعاكستان (النمط السريع). (د) عند السعات الكبيرة يجعل تقارن $\sin$ و $\cos$ المعادلات غير خطية؛ فلا تتراكب الحلول بعد ذلك، وتتباعد الشروط الابتدائية المتجاورة أسّيًا (الفوضى). ومع ذلك تبقى الطاقة محفوظة تمامًا — إذ ليس في $L$ زمن صريح — فالفوضى تخصّ إمكان التنبؤ لا الانحفاظ.

تمرين 1.11 ★★★

مسألة أقصر زمن هبوط. تنزلق خرزة بلا احتكاك من السكون عند المبدأ على منحنٍ $y(x)$ (حيث $y$ نازلة) إلى النقطة $(a, b)$ . (أ) باستعمال انحفاظ الطاقة، بيّن أن زمن الهبوط هو $T = \int_0^a\sqrt{(1 + y'^2)/2gy}\,\dd x$ — وهو دالّية يقوم فيها $x$ بدور الزمن. (ب) المقدار تحت التكامل $F(y, y')$ خالٍ من $x$ صراحةً: بيّن أن $h = y'\,\partial F/\partial y' - F$ ثابت على طول المنحني الأمثل (وهو الحساب نفسه الوارد في القضية 1.14). (ج) استنتج $y(1 + y'^2) = 2r$ من أجل ثابت $r$ ، وتحقق من أن الدويري $x = r(\phi - \sin\phi)$ ، $y = r(1 - \cos\phi)$ يحققها. (د) بيّن أن هبوط الخرزة إلى أسفل قوس واحد يستغرق $\pi\sqrt{r/g}$ ، وقارنه بالمزلق المستقيم إلى النقطة نفسها.

حل

حل التمرين 1.11.

(أ) يعطي $v = \sqrt{2gy}$ و $\dd s = \sqrt{1 + y'^2}\,\dd x$ تلك الدالّية. (ب) الحساب الوارد في القضية 1.14 مع $x$ بدل الزمن: $\dd h/\dd x = -\partial F/\partial x = 0$ . (ج) $h = -1/\sqrt{2gy(1 + y'^2)}$ ، ومنه $y(1 + y'^2) = 2r$ . ومن أجل الدويري، $y' = \sin\phi/(1 - \cos\phi)$ و $1 + y'^2 = 2/(1 - \cos\phi)$ ، ومن ثمّ $y(1 + y'^2) = 2r$ . (د) $\dd t = \dd s/v = \sqrt{r/g}\,\dd\phi$ (إذ يتقاصّ كل تعلق بالمتغير $\phi$ )، فيُبلغ الأسفل ( $\phi = \pi$ ) في $\pi\sqrt{r/g}$ — مهما تكن نقطة الانطلاق: فالدويري متساوي الأزمنة أيضًا. أما المزلق المستقيم إلى $(\pi r, 2r)$ فيستغرق $\sqrt{\pi^2 + 4}\,\sqrt{r/g} \approx 3.72\sqrt{r/g}$ ، أي أطول بنحو $18\%$ من $\pi\sqrt{r/g}$ .

تمرين 1.12 ★★★

فيرما بوصفه فعلًا أصغريًا. ينتقل الضوء في وسط قرينته $n(y)$ بين نقطتين في أقصر زمن (كتاب السنة الثانية). (أ) بيّن أن زمن الانتقال على المنحني $y(x)$ هو $T = \tfrac1c\int n(y)\sqrt{1 + y'^2}\,\dd x$ . (ب) لمّا كان المقدار تحت التكامل خاليًا من $x$ صراحةً، استعمل المقدار المحفوظ $h$ من التمرين السابق لتبيّن أن $n(y)\big/\sqrt{1 + y'^2} = \text{ثابت}$ ، وتحقق من أن هذا هو قانون سنيل $n\sin i = \text{ثابت}$ من أجل شعاع تُقاس زاويته عن الشاقول. (ج) فوق طريق ساخنة تتزايد القرينة مع الارتفاع وفق $n(y) \approx n_0(1 + \beta y)$ ؛ بيّن أن شعاعًا يكاد يكون أفقيًا ينحني بنصف قطر تقعّر $R \approx 1/\beta$ . (د) من أجل $\beta = 1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{-1}$ ، من أيّ مسافة يرى سائق عيناه على ارتفاع $1.2\,\mathrm{m}$ فوق الطريق سراب “الماء” عليها؟

حل

حل التمرين 1.12.

(أ) $\dd t = \dd s/(c/n)$ . (ب) ينحفظ $h = -n(y)/\sqrt{1 + y'^2}$ ؛ ويكون $1/\sqrt{1 + y'^2} = \cos\theta$ (حيث $\theta$ زاوية الميل) $= \sin i$ من أجل $i$ مقيسة عن الشاقول: $n\sin i = \text{ثابت}$ — أي قانون سنيل مطبَّقًا باستمرار. (ج) من أجل شعاع يكاد يكون أفقيًا، تعطي $n\cos\theta \approx \text{ثابت}$ مع $\theta$ صغيرة $\theta\,\dd\theta = \dd n/n \approx \beta\,\dd y$ ؛ ولمّا كان $\dd y = \theta\,\dd x$ ، كان التقعّر $\dd\theta/\dd x = \beta$ ، أي $R = 1/\beta \approx 83\,\mathrm{km}$ ، وينحني الشعاع صعودًا (نحو $n$ الأكبر). (د) شعاع من العين، مماسّ للطريق بعد انحنائه بنصف قطر $R$ ، يلامسها عند $d = \sqrt{2hR} = \sqrt{2 \times 1.2 \times 8.3e4} \approx 450\,\mathrm{m}$ : وأبعد من تلك المسافة لا تُرى الطريق نفسها — بل تُرى السماء منكسرة صعودًا، وهو “الماء” المتلألئ.

بندول فوكو في البانثيون بباريس. إحداثيات معمّمة، وقيد، ومرجع يدور ببطء: يظهر دوران القاعة في معادلات الحركة — وانزياح مستوي التأرجح يتيح لقبو أن يقيس دوران الأرض. الصورة: أولغا خوميتسيفيتش، CC BY 2.0.

1.6 مسألة: المكنسة التي تقف مقلوبة

مسألة 1.1

مسألة نهاية الأسبوع — بندول كابيتزا المقلوب

يستطيع بندول صلب أن يقف مستقرًا فوق محوره إذا هُزّ المحور صعودًا ونزولًا بسرعة كافية — وهو اكتشاف حلّله كابيتزا سنة 1951، لافت إلى حدّ يشبه خدعة الحواة، وهو المبدأ الذي تحصر به المجالات الكهربائية المتذبذبة أيونات مفردة. ونمذج البندول بكتلة نقطية $m$ في طرف قضيب صلب عديم الكتلة طوله $\ell = 40\,\mathrm{cm}$ ؛ و $\theta$ هي الزاوية عن الشاقول النازل؛ و $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

الجزء الأول — البندول الصلب. المحور مثبَّت في البداية.

اكتب اللاغرانجية ومعادلة الحركة.
أعطِ تواتر الاهتزازات الصغيرة $f_0$ حول $\theta = 0$ ، وقيمته.
بيّن أن $h = E$ هنا، واستعمل انحفاظها لإيجاد أصغر سرعة إطلاق للكرة، في الأسفل، توصلها إلى الأعلى.
خطّط المعادلة بجوار $\theta = \pi$ (بوضع $\theta = \pi + \epsilon$ ) وبيّن أن $\ddot\epsilon = +(g/\ell)\epsilon$ : بأيّ سرعة ينمو ميل ابتدائي مقداره جزء من ألف من الدرجة؟ أعطِ الزمن اللازم لنموّه بعامل $e$ .
تسقط مكنسة موازَنة على طرف إصبع في نحو ثانية، ومع ذلك لا تقف وحدها أبدًا: اذكر في جملة واحدة ما تقوله المعادلة المخطَّطة عن التوازن $\theta = \pi$ .

الجزء الثاني — هزّ المحور. يتذبذب المحور الآن شاقوليًا، وارتفاعه $y_{\text{s}}(t) = a\cos\Omega t$ مع $a = 2.0\,\mathrm{cm}$ و $\Omega$ قابل للضبط.

اكتب إحداثيي الكرة وبيّن أن $\vect v^{\,2} = \ell^2\dot\theta^2 - 2a\Omega\ell\sin(\Omega t)\sin\theta\,\dot\theta + a^2\Omega^2\sin^2\Omega t$ .
بيّن أن لاغرانجيتين تختلفان بمشتق زمني تام $\dd F(q,t)/\dd t$ تعطيان معادلات أويلر–لاغرانج نفسها.
باستعمال هذه الحرية، أرجع اللاغرانجية إلى $L = \tfrac12 m \ell^2\dot\theta^2 - ma\Omega^2\ell\cos(\Omega t)\cos\theta + mg\ell\cos\theta$ . (إرشاد: يجتمع $\sin(\Omega t)\sin\theta\,\dot\theta$ مع حدّ في $\cos(\Omega t)\cos\theta$ ليعطيا مشتقًا تامًّا؛ ويجوز إهمال الحدود التي تتعلق بالزمن $t$ وحده.)
استنتج معادلة الحركة

$\ddot\theta = -\frac{g}{\ell}\sin\theta + \frac{a\Omega^2}{\ell}\cos(\Omega t)\sin\theta .$

وفسّر الحدّ الثاني على أنه استبدال المقدار $g + \ddot y_{\text{s}}$ بالثقل: فالبندول يعيش في مصعد.
هل تنحفظ دالة الطاقة $h$ الآن؟ وهل تنحفظ الطاقة؟ وما الذي يضخّ الطاقة داخلًا وخارجًا؟
في نظام كابيتزا يكون $a \ll \ell$ و $\Omega \gg \omega_0 = \sqrt{g/\ell}$ : تحقق من ذلك من أجل $a = 2\,\mathrm{cm}$ و $\ell = 40\,\mathrm{cm}$ و $\Omega/2\pi = 40\,\mathrm{Hz}$ ، وفسّر فيزيائيًّا لماذا لا تستطيع الكرة حينئذٍ ملاحقة الإثارة.

الجزء الثالث — فصل السريع عن البطيء. ابحث عن الحركة في الشكل $\theta(t) = \Theta(t) + \xi(t)$ : انزياح بطيء $\Theta$ يضاف إليه تموّج صغير $\xi$ عند تواتر الإثارة.

بإبقاء الحدّ الأكبر وحده في كل طرف، بيّن أن التموّج يحقق $\ddot\xi \approx +(a\Omega^2/\ell)\cos(\Omega t) \sin\Theta$ ، مع تجميد $\Theta$ على المقياس الزمني للإثارة.
استنتج $\xi(t) = -(a/\ell)\cos(\Omega t)\sin\Theta$ ، وتحقق من أن سعته صغيرة من رتبة $a/\ell$ .
انشر $\sin\theta = \sin(\Theta + \xi)$ حتى المرتبة الأولى في $\xi$ وأدخله في معادلة الحركة.
خذ المتوسط على دور إثارة واحد، مع تثبيت $\Theta$ : باستعمال $\langle\cos\Omega t\rangle = 0$ و $\langle\cos^2\Omega t\rangle = \tfrac12$ ، بيّن أن

$\ddot\Theta = -\frac{g}{\ell}\sin\Theta - \frac{a^2\Omega^2}{2\ell^2}\sin\Theta\cos\Theta .$
بيّن أن هذه حركة في الكمون الفعّال

$U_{\text{فعّال}}(\Theta) = mg\ell\Big({-\cos\Theta} + \frac{a^2\Omega^2}{4g\ell}\sin^2\Theta\Big) .$
قارن بالخرزة على الحلقة الدوّارة (المثال 1.9): الرياضيات نفسها، وإشارة الحدّ الجديد معاكسة — فما الذي يفعله الهزّ بتوازن الأسفل ولم يفعله الدوران؟
ارسم $U_{\text{فعّال}}$ تقريبيًا من أجل إثارة بطيئة وأخرى سريعة، وصف كل توازن واستقراره في كل حالة.

الجزء الرابع — المكنسة تقف.

بنشر $U_{\text{فعّال}}$ بجوار $\Theta = \pi$ ، بيّن أن الوضع المقلوب مستقر بالضبط عندما يكون

$a^2\Omega^2 > 2g\ell .$
احسب تواتر الإثارة الحرج $f_{\text{c}} = \Omega_{\text{c}}/2\pi$ لبندولنا، وكذلك السرعة القصوى للمحور $a\Omega_{\text{c}}$ والتسارع الأقصى $a\Omega_{\text{c}}^2$ (بواحدة $g$ ) الذي يتطلبه.
عند $\Omega = 2\Omega_{\text{c}}$ ، أوجد تواتر التمايل البطيء للبندول الواقف حول $\Theta = \pi$ ، وقيمته؛ وتحقق من أنه بطيء فعلًا بالمقارنة مع الإثارة.
ومع بقاء $\Omega = 2\Omega_{\text{c}}$ ، ما سعة التموّج $\xi$ عند $\Theta$ تبتعد قليلًا عن $\pi$ ، بالدرجات، من أجل $a/\ell = 0.05$ ؟ وهل تفضح صورة فوتوغرافية الخدعة؟
إلى أيّ حدّ يمكن أن تميل المكنسة عن الشاقول وتعود؟ بيّن أن بئر الوقوف تمتد على $|\Theta - \pi| < \arccos(2g\ell/a^2\Omega^2)$ ، وقدّرها عند $\Omega = 2\Omega_{\text{c}}$ .
يُبقي البهلوان مكنسة موازَنة على طرف إصبع ساكن قائمة أيضًا — فبأيّ آلية مختلفة تمامًا؟ سمِّ الخاصية التي يتميز بها بندول كابيتزا ولا تحتاج إلى تغذية راجعة.
لخّص النتيجة الموسومة: محور يُهزّ بسعة $2\,\mathrm{cm}$ عند $45\,\mathrm{Hz}$ — أي ضعف التواتر الحرج — يمسك بندولًا طوله $40\,\mathrm{cm}$ مقلوبًا، في بئر تمتد إلى نحو $75^\circ$ عن الشاقول، ويتمايل برفق عند $1.4\,\mathrm{Hz}$ تقريبًا. فأين في الفيزياء يُستعمل هذا الحصر بالتوسيط نفسه لإمساك جسيم مشحون مفرد؟

حل

حل المسألة 1.1.

1. $L = \tfrac12 m\ell^2\dot\theta^2 + mg\ell\cos\theta$ ؛ و $\ddot\theta = -(g/\ell)\sin\theta$ . 2. $f_0 = \sqrt{g/\ell}/2\pi = 0.79\,\mathrm{Hz}$ . 3. التعليق ثابت، ومن ثمّ $h = E = \tfrac12 m\ell^2\dot\theta^2 - mg\ell\cos\theta$ ؛ ومن الأسفل إلى الأعلى $\tfrac12 mv^2 = 2mg\ell$ : أي $v = 2\sqrt{g\ell} = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . 4. $\ddot\epsilon = +(g/\ell)\epsilon$ : أي $\epsilon \propto \eu^{t/\tau}$ مع $\tau = \sqrt{\ell/g} = 0.20\,\mathrm{s}$ . 5. التوازن المقلوب موجود لكنه غير مستقر أسّيًا: فأيّ ميل، مهما يصغر، يتضاعف بالعامل $e$ كل $0.2\,\mathrm{s}$ . 6. الكرة في $(\ell\sin\theta,\ a\cos\Omega t - \ell\cos\theta)$ ؛ اشتقّ وربّع: تجد $\vect v^{\,2}$ المذكورة، وفيها الحدّ المتقاطع $-2a\Omega\ell\sin(\Omega t)\sin\theta\,\dot\theta$ . 7. إذا كان $L' = L + \dd F(q,t)/\dd t$ ، تغيّر الفعل بالمقدار $F(q_2, t_2) - F(q_1, t_1)$ ، وهو ثابت في التغييرات ذات الطرفين الثابتين: فالمسالك المستقرة نفسها، والمعادلات نفسها. 8. الحدّ المتقاطع هو $-ma\Omega\ell\sin(\Omega t)\sin\theta\, \dot\theta = \dd[ma\Omega\ell\sin(\Omega t)\cos\theta]/\dd t - ma\Omega^2\ell\cos(\Omega t)\cos\theta$ ؛ وبإهمال المشتق التام والحدود التي تتعلق بالزمن $t$ وحده ( $\tfrac12 ma^2\Omega^2\sin^2\Omega t$ و $-mga\cos\Omega t$ ) تبقى $L$ المذكورة. 9. $m\ell^2\ddot\theta = -mg\ell\sin\theta + ma\Omega^2\ell\cos(\Omega t)\sin\theta$ . ولمّا كان $\ddot y_{\text{s}} = -a\Omega^2\cos\Omega t$ ، فهذه هي $\ddot\theta = -[(g + \ddot y_{\text{s}})/\ell]\sin\theta$ : أي إن الثقالة الظاهرية تتذبذب في مرجع المحور. 10. تتعلق $L$ الآن صراحةً بالزمن $t$ : فلا تنحفظ $h$ ولا $E$ — إذ يضخّ الهزّاز الطاقة داخلًا وخارجًا عبر المحور. 11. $a/\ell = 0.05$ ؛ و $\Omega = 251\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ مقابل $\omega_0 = 4.9\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : أي نسبة $51$ . وفي دور إثارة واحد ( $25\,\mathrm{ms}$ ) تكاد الثقالة لا تغيّر $\dot\theta$ : فالكرة أبطأ من أن تلاحق، ولا تفعل غير الارتعاش. 12. المقدار $\ddot\xi$ هو أكبر المشتقات ( $\propto\Omega^2$ ) والإثارة أكبر حدود القوة: $\ddot\xi = (a\Omega^2/\ell)\cos(\Omega t)\sin\Theta$ . 13. بالمكاملة مرتين مع تثبيت $\Theta$ : $\xi = -(a/\ell)\cos(\Omega t)\sin\Theta$ ، وسعته على الأكثر $a/\ell = 0.05$ : أي ارتعاش بدرجتين. 14. $\sin\theta \approx \sin\Theta + \xi\cos\Theta$ ، ومنه

\ddot\Theta + \ddot\xi = -\frac{g}{\ell}(\sin\Theta + \xi\cos\Theta) + \frac{a\Omega^2}{\ell}\cos\Omega t\,(\sin\Theta + \xi\cos\Theta) .

15. يقتل التوسيط الحدَّ $\ddot\xi$ ، ثم الحدَّ $\langle\cos\Omega t\rangle$ ، ثم الحدَّ $\langle\xi\rangle$ ؛ والحدّ المتقاطع الباقي هو $(a\Omega^2/\ell)\cos\Theta\,\langle\xi\cos\Omega t\rangle = -(a^2\Omega^2/2\ell^2)\sin\Theta\cos\Theta$ ، فتنتج المعادلة المذكورة من أجل $\Theta$ . 16. $\ddot\Theta = -(1/m\ell^2)\,U_{\text{فعّال}}'(\Theta)$ مع $U_{\text{فعّال}} = mg\ell[-\cos\Theta + (a^2\Omega^2/4g\ell) \sin^2\Theta]$ — اشتقّ للتحقق. 17. الحدّ في $\sin^2$ هو نفسه حدّ الحلقة لكن بإشارة معاكسة: فالدوران كان يحفر بئرين على الجانبين ولا يستطيع إلا تسطيح الأسفل؛ أما الهزّ الشاقولي فيصلّب بئر الأسفل ويحفر بئرًا جديدة في الأعلى. 18. إثارة بطيئة ( $a^2\Omega^2 < 2g\ell$ ): أصغرية عند $\Theta = 0$ ، وأعظمية عند $\pi$ — ولا جديد. وإثارة سريعة: أصغريتان عند $0$ وعند $\pi$ ، تفصل بينهما أعظميتان عند $\cos\Theta^* = -2g\ell/a^2\Omega^2$ ؛ فيهتز البندول المتدلي والبندول الواقف كلاهما اهتزازًا مستقرًا. 19. بجوار $\pi$ ، مع $\Theta = \pi + \epsilon$ : $\ddot\epsilon = [g/\ell - a^2\Omega^2/2\ell^2]\,\epsilon$ ؛ ويقتضي الاستقرار أن يكون القوس سالبًا: $a^2\Omega^2 > 2g\ell$ . 20. $\Omega_{\text{c}} = \sqrt{2g\ell}/a = 140\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : أي $f_{\text{c}} = 22\,\mathrm{Hz}$ ؛ والسرعة القصوى $a\Omega_{\text{c}} = 2.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، والتسارع الأقصى $a\Omega_{\text{c}}^2 = 392\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 40g$ . 21. $\omega_{\text{بطيء}} = \sqrt{a^2\Omega^2/2\ell^2 - g/\ell}$ ؛ وعند $\Omega = 2\Omega_{\text{c}}$ يكون $a^2\Omega^2 = 8g\ell$ ومنه $\omega_{\text{بطيء}} = \sqrt{3g/\ell} = 8.6\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : أي $1.4\,\mathrm{Hz}$ ، أبطأ ثلاثين مرة من إثارة $45\,\mathrm{Hz}$ . 22. $\xi_{\max} = (a/\ell)\sin\Theta$ : فبميل $10^\circ$ عن الشاقول يكون $\xi_{\max} = 0.05\sin170^\circ = 8.7\,\mathrm{mrad} \approx 0.5^\circ$ — فالصورة الفوتوغرافية العادية تُظهر مكنسة واقفة ساكنة. 23. تبلغ بئر الوقوف الأعظميتين المجاورتين: $|\Theta - \pi| < \arccos(2g\ell/a^2\Omega^2)$ ؛ وعند $\Omega = 2\Omega_{\text{c}}$ يكون $\arccos\tfrac14 = 75^\circ$ — وهي بئر متسامحة إلى حدّ لافت. 24. يستعمل البهلوان تغذية راجعة: فالعينان تقيسان الميل، واليد تتسارع جانبيًا لإلغائه. أما استقرار كابيتزا فمفتوح الحلقة — إذ لا تعرف الإثارة أين البندول أبدًا. 25. إذا هُزّ عند $45\,\mathrm{Hz}$ بسعة $2\,\mathrm{cm}$ ، وقف البندول ذو الطول $40\,\mathrm{cm}$ مقلوبًا في بئر مقدارها $75^\circ$ ، متمايلًا عند $1.4\,\mathrm{Hz}$ . والكمون الفعّال الموسَّط نفسه، مصنوعًا بمجال كهربائي رباعي القطب متذبذب بدل محور مهزوز، يحصر أيونات مفردة في مصيدة باول — وهي حصان العمل في الساعات الذرّية والحوسبة الكمومية بالأيونات المحصورة.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (431) في المسرد