الفيزياء الجامعية — السنة الأولى · Bachelor Year 1

13الشغل والطاقة والطاقة الكامنة

يكفّ دراج عن الدوس في أعلى تلّة فيصل إلى الأسفل بسرعة تتوقف على مقدار الهبوط لا على شكل الطريق. ويسقط قافز بالحبل المطاطي ستين مترًا فيتوقف، لحظةً، عند الموضع الذي يكون فيه شدّ الحبل قد أكل كل السرعة التي منحه إياها السقوط. وتهتزّ ذرة هدروجين مرتبطة بذرة كلور في بئر عمقها هو الطاقة التي يكلّفها تمزيق الجزيء. وفي كل حالة يُتبادَل عدد واحد بين صور — الحركة والارتفاع والاستطالة والرابطة — ولا يتغير مجموعه. ويبني هذا الفصل هذه المحاسبة انطلاقًا من قانون نيوتن الثاني: الشغل والاستطاعة، ومبرهنة الطاقة الحركية، والطاقات الكامنة للقوى التي تسمح بها، وانحفاظ الطاقة الميكانيكية الذي يحوّل كثيرًا من مسائل الديناميك إلى سطر واحد من الجبر، ويبيّن، عبر شكل بئر الطاقة الكامنة، أيّ المواضع مستقرّ.

بندول المحاضرة: تُطلق كرة البولنغ من عند الأنف فتعود إلى الأنف ولا تتجاوزه — فالطاقة الميكانيكية تنحفظ، ولا تُتجاوز قط.

13.1 الاستطاعة والشغل

تعريف 13.1 (استطاعة قوة وشغلها)

إن استطاعة قوة $\vect F$ مؤثرة في نقطة تتحرك بالسرعة $\vect v$ هي

\mathcal P = \vect F\cdot\vect v \qquad (\text{بالواط}),

وشغلها بين اللحظتين $t_1$ و $t_2$ (أي بين الموضعين $A$ و $B$ ) هو الاستطاعة المتراكمة،

W_{A\to B} = \int_{t_1}^{t_2}\vect F\cdot\vect v\,\dd t = \int_A^B \vect F\cdot\dd\vect\ell \qquad (\text{بالجول}),

أي مجموع الأشغال الأولية $\delta W = \vect F\cdot\dd\vect\ell$ على امتداد الانتقالات الأولية $\dd\vect\ell = \vect v\,\dd t$ على المسار. ويكون الشغل موجبًا إذا دفعت القوة في اتجاه الحركة (فتكون محرّكة)، وسالبًا إذا عاكستها (فتكون مقاوِمة)، ومعدومًا إذا كانت عمودية عليها.

قضية 13.2 (أشغال تُصادَف)

قوة ثابتة: $W_{A\to B} = \vect F\cdot\vect{AB}$ ، أيًّا كان المسار. وللوزن: $W = mg(z_A - z_B)$ ، مع $z$ مقيسًا نحو الأعلى.
نابض صلابته $k$ ، من الاستطالة $x_A$ إلى $x_B$ : $W = \tfrac12 k(x_A^2 - x_B^2)$ .
ردّ الفعل العمودي لسطح ثابت، وشدّ خيط على جسم يتحرك عموديًّا عليه: $W = 0$ (فالقوة $\perp$ الانتقال).
الاحتكاك الحركي والسحب: $W < 0$ دائمًا (لأن القوة تعاكس الحركة النسبية)، ويتوقف الشغل على طول المسار.

برهان. من أجل $\vect F$ ثابتة: $\int\vect F\cdot\dd\vect\ell = \vect F\cdot\int\dd\vect\ell = \vect F\cdot\vect{AB}$ ؛ ومع $\vect F = -mg\vect e_z$ يكون $\vect F\cdot\vect{AB} = -mg(z_B - z_A)$ . وللنابض: $\vect F\cdot\dd\vect\ell = -kx\,\dd x$ ، ومنه $\int_{x_A}^{x_B}-kx\,\dd x = \tfrac12 k(x_A^2 - x_B^2)$ . وللاحتكاك: $\vect T = -\mu N\vect v/v$ ، ومنه $\vect T\cdot\vect v = -\mu Nv < 0$ . ∎

الشغل الأولي لقوة على امتداد انتقال صغير لنقطة تأثيرها: فلا يعمل إلا مركّبة F على امتداد الحركة. وبجمعه على امتداد المسار من A إلى B نحصل على W_A B. — الشغل الأولي لقوة على امتداد انتقال صغير لنقطة تأثيرها: فلا يعمل إلا مركّبة $\vect F$ على امتداد الحركة. وبجمعه على امتداد المسار من $A$ إلى $B$ نحصل على $W_{A\to B}$ .

13.2 مبرهنة الطاقة الحركية

مبرهنة 13.3 (مبرهنتا الطاقة الحركية والاستطاعة)

في مرجع عطالي تحقق الطاقة الحركية $E_k = \tfrac12 mv^2$ لنقطة مادية العلاقة

\frac{\dd E_k}{\dd t} = \sum\mathcal P_i = \Big(\sum\vect F_i\Big)\cdot\vect v, \qquad E_k(B) - E_k(A) = \sum_i W_{i,A\to B}:

أي إن تغيّر الطاقة الحركية بين موضعين يساوي مجموع أشغال جميع القوى المؤثرة على امتداد الطريق.

برهان. اضرب قانون نيوتن الثاني سلّميًّا في $\vect v$ : $m\vect a\cdot\vect v = \tfrac{\dd}{\dd t}(\tfrac12 m\vect v\cdot\vect v) = \dd E_k/\dd t$ ، بينما $(\sum\vect F_i)\cdot\vect v = \sum\mathcal P_i$ . ثم كامِل بالنسبة إلى الزمن. ∎

مثال 13.4 (مسافة الكبح)

سيارة كتلتها $1000\,\mathrm{kg}$ عند $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ (أي $E_k = 386\,\mathrm{kJ}$ ) تُكبَح بقوة ثابتة $7.0\,\mathrm{kN}$ فتتوقف بعد $d = E_k/F = 55\,\mathrm{m}$ : فالمسافة تكبر مع مربع السرعة. ولمّا كانت قوة الكبح العظمى $\mu_smg$ (الفصل 12)، كانت أقصر مسافة توقف $v^2/2\mu_sg$ أيًّا كانت كتلة السيارة — وهي تتضاعف على طريق مبتلّة حيث ينتصف $\mu_s$ .

13.3 القوى المحافظة والطاقة الكامنة

تعريف 13.5 (قوة محافظة؛ طاقة كامنة)

تكون قوة محافظة إذا لم يتوقف شغلها بين نقطتين على المسار المتّبع. وبالتكافؤ، توجد دالة في الموضع، هي الطاقة الكامنة $E_p$ ، تحقق

W_{A\to B} = E_p(A) - E_p(B) = -\Delta E_p , \qquad \delta W = -\dd E_p ,

مع تعريف $E_p$ إلى غاية ثابت جمعي (أي باختيار مبدأ).

قضية 13.6 (القوة انطلاقًا من الطاقة الكامنة)

تشتقّ القوة المحافظة من طاقتها الكامنة:

\vect F = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,E_p = -\frac{\partial E_p}{\partial x}\,\vect e_x - \frac{\partial E_p}{\partial y}\,\vect e_y - \frac{\partial E_p}{\partial z}\,\vect e_z ,

وفي بُعد واحد $F_x = -\dd E_p/\dd x$ : أي إن القوة موجَّهة نحو الطاقة الكامنة المتناقصة، “نزولًا” على بيان $E_p$ .

برهان. $\delta W = F_x\dd x + F_y\dd y + F_z\dd z = -\dd E_p = -(\partial_xE_p\,\dd x + \partial_yE_p\,\dd y + \partial_zE_p\,\dd z)$ من أجل كل انتقال: فتُطابَق المعاملات (وهو تفاضل دالة لعدة متغيرات، من درس الرياضيات). ∎

قضية 13.7 (الطاقات الكامنة المعتادة)

الوزن: $E_p = mgz + \text{ثابت}$ (مع $z$ نحو الأعلى).
النابض: $E_p = \tfrac12 k(\ell - \ell_0)^2 + \text{ثابت}$ .
جاذبية نيوتن لكتلة $M$ : $E_p = -GMm/r + \text{ثابت}$ ، ويُختار الثابت عادةً بحيث $E_p \to 0$ عند اللانهاية.
القوة الكهرساكنة على شحنة $q$ في كمون $V$ : $E_p = qV$ (الفصل 27).

أما الاحتكاك الحركي وسحب المائع فهما ليسا محافظَين (إذ يتوقف شغلهما على المسار، وهو سالب دائمًا).

برهان. كلٌّ منها يُقرأ من أشغال القضية 13.2: $W = -\Delta E_p$ . وفي الجاذبية يكون $\vect F = -GMm/r^2\,\vect e_r$ ، ومنه $\delta W = -GMm\,\dd r/r^2 = -\dd(-GMm/r)$ . ∎

13.4 الطاقة الميكانيكية

مبرهنة 13.8 (الطاقة الميكانيكية)

لتكن $E_m = E_k + E_p$ هي الطاقة الميكانيكية، حيث $E_p$ هي مجموع الطاقات الكامنة للقوى المحافظة. عندئذ

\Delta E_m = W_{\text{غير المحافظة}} ,

أي مجموع أشغال القوى غير المحافظة. فإذا لم تعمل تلك القوى شغلًا (بلا احتكاك، أو قوى ترابط عمودية على الحركة)، كانت $E_m$ منحفظة: أي إن الحركة محافظة.

برهان. $\Delta E_k = W_{\text{المحافظة}} + W_{\text{غير المحافظة}} = -\Delta E_p + W_{\text{غير المحافظة}}$ . ∎

طريقة 13.9 (استعمال الطاقة)

حين تطلب مسألة سرعةً عند موضع (لا زمنًا ولا قوة)، فابدأ بالطاقة:

عدّد القوى؛ وتحقق أيّها يعمل شغلًا وأيّها محافظ؛
اكتب $E_m$ عند الموضعين، مع مبدأ واضح للطاقة الكامنة $E_p$ ؛
ساوِ بينهما (مضيفًا $W_{\text{غير المحافظة}}$ إن وُجد احتكاك) وحُلّ بالنسبة إلى السرعة أو الموضع المجهول.

والطاقة لا تعطي أبدًا الزمن ولا قوى الترابط؛ ومن أجل هذه ارجع إلى قانون نيوتن — غالبًا بالسرعة التي وفّرتها الطاقة للتوّ.

مثال 13.10 (قانون السرعة في الحلقة)

في الحلقة عديمة الاحتكاك من المسألة 11.1 يكون ردّ فعل المضمار عموديًّا على الحركة فلا يعمل شغلًا: أي إن $E_m$ تنحفظ. ومع $z = R(1 - \cos\theta)$ فوق الأسفل، يكون $\tfrac12 mv^2 + mgR(1 - \cos\theta) = \tfrac12 mv_0^2$ : أي قانون السرعة $v^2 = v_0^2 - 2gR(1 - \cos\theta)$ المستعمل هناك، وقد اشتُقّ الآن في سطر واحد. ثم تنتج سرعة الدخول الدنيا $\sqrt{5gR}$ من شرط القمة $v^2 \geq gR$ في المثال 12.16.

مثال 13.11 (طاقة تضيع في الاحتكاك)

ينزلق جسم على منحدر زاويته $\alpha$ وارتفاعه $h$ مع احتكاك حركي $\mu_d$ : فيكون $W_{\text{غير المحافظة}} = -\mu_dmg\cos\alpha \times h/\sin\alpha = -\mu_dmgh\cot\alpha$ ، ومنه $\tfrac12 mv^2 = mgh(1 - \mu_d\cot\alpha)$ . ومن أجل $h = 2.0\,\mathrm{m}$ و $\alpha = 30^\circ$ و $\mu_d = 0.20$ يكون $v = 5.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ بدلًا من $6.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ أي إن ثلث الطاقة الكامنة صار حرارة.

13.5 التوازن والاستقرار والمخططات الطورية

قضية 13.12 (التوازن والاستقرار في بُعد واحد)

نقطة مادية تتحرك على محور تحت قوة محافظة طاقتها الكامنة $E_p(x)$ :

تكون في توازن عند $x_0$ إذا وفقط إذا كان $F(x_0) = -E_p'(x_0) = 0$ : أي عند القيم الحدية للطاقة $E_p$ ؛
ويكون التوازن مستقرًّا إذا كانت $E_p$ ذات نهاية صغرى محلية هناك ( $E_p''(x_0) > 0$ ): إذ يولّد انتقال صغير قوةً مُعيدة؛ وغير مستقرّ عند نهاية عظمى؛
وبجوار توازن مستقر تكون الحركات الصغيرة توافقية، مع

$\omega_0^2 = \frac{E_p''(x_0)}{m} .$

برهان. بصيغة تايلور (من درس الرياضيات): $E_p(x) \approx E_p(x_0) + \tfrac12 E_p''(x_0)(x - x_0)^2$ ، ومنه $F \approx -E_p''(x_0)(x - x_0)$ ، ثم $m\ddot x = -E_p''(x_0)(x - x_0)$ — أي نابض صلابته $E_p''(x_0)$ . ومن أجل $E_p'' < 0$ تكون “الصلابة” سالبة: أي ابتعاد أسّي. ∎

منظر طاقة كامنة في بُعد واحد: النهايات الصغرى مواضع توازن مستقر، والنهاية العظمى موضع توازن غير مستقر. فجسيم طاقته E_1 دون الحاجز محبوس في بئر واحدة بين نقطتَي رجوع (حيث E_p = E_1، وهما السهمان) ويهتزّ؛ وبالطاقة E_2 فوق الحاجز يمرّ بحرّية من بئر إلى أخرى. — منظر طاقة كامنة في بُعد واحد: النهايات الصغرى مواضع توازن مستقر، والنهاية العظمى موضع توازن غير مستقر. فجسيم طاقته $E_1$ دون الحاجز محبوس في بئر واحدة بين *نقطتَي رجوع* (حيث $E_p = E_1$ ، وهما السهمان) ويهتزّ؛ وبالطاقة $E_2$ فوق الحاجز يمرّ بحرّية من بئر إلى أخرى.

تعريف 13.13 (نقاط الرجوع؛ الحركة المرتبطة والحرّة)

في حركة محافظة في بُعد واحد طاقتها $E_m$ ، لا يمكن للجسيم أن يوجد إلا حيث $E_p(x) \leq E_m$ (لأن $E_k \geq 0$ )؛ والنقاط التي فيها $E_p = E_m$ هي نقاط الرجوع، حيث تنعدم السرعة ثم تنقلب. فإذا حُبست الحركة بين نقطتَي رجوع في بئر طاقة كامنة كانت مرتبطة ودورية؛ وإذا استطاعت بلوغ اللانهاية كانت حرّة؛ أما حاجز الطاقة الكامنة الأعلى من $E_m$ فلا يمكن اجتيازه.

تعريف 13.14 (المخطط الطوري)

المخطط الطوري لحركة في بُعد واحد هو جملة المنحنيات التي ترسمها النقطة $(x, \dot x)$ في المستوي الطوري. وفي جملة محافظة يكون كل منحن خطَّ مستوى $\tfrac12 m\dot x^2 + E_p(x) = E_m$ : فمنحنيات مغلقة حول مواضع التوازن المستقر (أي اهتزازات)، ومنحنيات مفتوحة للحركة الحرّة، وبينها، مارّةً بمواضع التوازن غير المستقر، المنحنيات الفاصلة التي تفصل الصنفين. وتُقطع المنحنيات في اتجاه عقارب الساعة ( $\dot x > 0$ يعني $x$ متزايدًا) ولا تتقاطع أبدًا.

المخطط الطوري للبندول البسيط، 1/2 2 + _02(1 - ) = ثابت. المنحنيات المغلقة (بالأزرق): تأرجحات حول التوازن المستقر = 0؛ والمنحنيات المفتوحة (بالبرتقالي): دورات كاملة؛ وبينها المنحني الفاصل (بالأحمر) المارّ بموضعَي التوازن غير المستقر = ±π، وهو الحركة التي تبلغ القمة بالكاد. — المخطط الطوري للبندول البسيط، $\tfrac12\dot\theta^2 + \omega_0^2(1 - \cos\theta) = \text{ثابت}$ . المنحنيات المغلقة (بالأزرق): تأرجحات حول التوازن المستقر $\theta = 0$ ؛ والمنحنيات المفتوحة (بالبرتقالي): دورات كاملة؛ وبينها المنحني الفاصل (بالأحمر) المارّ بموضعَي التوازن غير المستقر $\theta = \pm\pi$ ، وهو الحركة التي تبلغ القمة بالكاد.

مثال 13.15 (منظر البندول)

$E_p = -mg\ell\cos\theta$ : نهاية صغرى عند $\theta = 0$ مع $E_p'' = mg\ell$ ، ومنه $\omega_0^2 = g\ell/(m\ell^2) = g/\ell$ — وهي نتيجة الاهتزازات الصغيرة في المثال 12.12 مقروءةً من تقوّس البئر؛ ونهاية عظمى عند $\theta = \pi$ ، أي البندول المقلوب، وهو غير مستقرّ. وبالطاقة $E_m < mg\ell$ : اهتزاز بين $\pm\theta_{\max}$ ؛ وبالطاقة $E_m > mg\ell$ : يتجاوز القمة ويدور؛ وعند $E_m = mg\ell$ : المنحني الفاصل، أي اقتراب من القمة بطيء إلى ما لا نهاية.

13.6 تمارين

تمرين 13.1 ★

يُرفع صندوق كتلته $20\,\mathrm{kg}$ مسافة $3.0\,\mathrm{m}$ بسرعة ثابتة في $5.0\,\mathrm{s}$ . احسب شغل قوة الرفع وشغل الوزن والاستطاعة المقدَّمة. ثم يُدفع الصندوق نفسه $3.0\,\mathrm{m}$ على أرضية معاملها $\mu_d = 0.30$ : احسب شغل الاحتكاك.

حل

حل التمرين 13.1.

قوة الرفع $+mgh = 20 \times 9.81 \times 3.0 = 589\,\mathrm{J}$ ؛ والوزن $-589\,\mathrm{J}$ ؛ والاستطاعة $589/5.0 = 118\,\mathrm{W}$ . والاحتكاك: $-\mu_dmgd = -0.30 \times 196 \times 3.0 = -177\,\mathrm{J}$ .

تمرين 13.2 ★

احسب الطاقة الحركية لسيارة كتلتها $1000\,\mathrm{kg}$ عند $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ؛ ومسافة التوقف بقوة كبح ثابتة $7.0\,\mathrm{kN}$ ؛ وماذا يحدث للمسافة إن تضاعفت السرعة؟

حل

حل التمرين 13.2.

$E_k = \tfrac12 \times 1000 \times 27.8^2 = 386\,\mathrm{kJ}$ ؛ و $d = E_k/F = 55\,\mathrm{m}$ ؛ ومضاعفة $v$ تضاعف $E_k$ و $d$ أربع مرات: أي $220\,\mathrm{m}$ .

تمرين 13.3 ★

يُضغط نابض صلابته $500\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ بمقدار $10\,\mathrm{cm}$ ثم يُطلق على كرة كتلتها $50\,\mathrm{g}$ على مضمار أفقي عديم الاحتكاك. احسب الطاقة المخزونة وسرعة الكرة.

حل

حل التمرين 13.3.

$E_p = \tfrac12 \times 500 \times 0.10^2 = 2.5\,\mathrm{J}$ ؛ و $v = \sqrt{2 \times 2.5/0.050} = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

تمرين 13.4 ★

يُطلق بندول طوله $1.0\,\mathrm{m}$ من السكون عند $60^\circ$ : احسب السرعة في الأسفل بالطاقة؛ ثم، بقانون نيوتن، احسب الشدّ هناك (بوحدة $mg$ ).

حل

حل التمرين 13.4.

$\tfrac12 mv^2 = mg\ell(1 - \cos 60^\circ)$ : ومنه $v = \sqrt{g\ell} = 3.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . والشدّ: $T - mg = mv^2/\ell = mg$ ، ومنه $T = 2mg$ .

تمرين 13.5 ★★

ينزلق جسم من السكون على منحدر زاويته $30^\circ$ وارتفاعه $2.0\,\mathrm{m}$ ، مع $\mu_d = 0.20$ . احسب السرعة في الأسفل بمبرهنة الطاقة؛ ثم نسبة الطاقة الكامنة الابتدائية الضائعة في الاحتكاك.

حل

حل التمرين 13.5.

شغل الاحتكاك $-\mu_dmg\cos\alpha\,(h/\sin\alpha)$ ، ومنه

\tfrac12 mv^2 = mgh(1 - \mu_d\cot\alpha) = mgh(1 - 0.35),

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 2.0 \times 0.65} = 5.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ أي إن $35\%$ ضاعت.

تمرين 13.6 ★★

باستعمال $E_p = -GMm/r$ ، بيّن أن السرعة اللازمة للإفلات من جذب الأرض انطلاقًا من سطحها هي $v_e = \sqrt{2GM/R}$ ، واحسبها ( $M = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ و $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ). وما سرعة الإفلات من جرم له الكثافة نفسها ونصف قطر مضاعف؟

حل

حل التمرين 13.6.

يجب أن يكون $E_m = \tfrac12 mv^2 - GMm/R \geq 0$ حتى يبلغ الجسم اللانهاية (حيث $E_p = 0$ و $v \to 0$ ): ومنه $v_e = \sqrt{2GM/R}$ ، أي

v_e = \sqrt{\frac{2 \times 6.67\times10^{-11} \times 5.97\times10^{24}}{6.37\times10^6}} = 11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}.

وبالكثافة نفسها، $M \propto R^3$ : ومنه $v_e \propto R$ ، أي $22.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

تمرين 13.7 ★★

القفز بالحبل المطاطي: قافز كتلته $70\,\mathrm{kg}$ ، وحبل طوله الطبيعي $20\,\mathrm{m}$ وصلابته $50\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ، يقفز من السكون. أوجد الاستطالة العظمى للحبل، والهبوط الكلي، والشدّ الأعظمي (بوحدات الوزن). وأين تكون السرعة أكبر ما تكون؟

حل

حل التمرين 13.7.

في النقطة الدنيا: $mg(\ell_0 + x) = \tfrac12 kx^2$ ، أي $25x^2 - 687x - 13734 = 0$ ، ومنه $x = 41\,\mathrm{m}$ ؛ والهبوط الكلي $61\,\mathrm{m}$ ؛ و $T_{\max} = kx = 2.0\,\mathrm{kN} = 3.0\,mg$ (أي محصلة $2\,\mathrm{g}$ نحو الأعلى). وتكون السرعة أكبر ما تكون حيث تنعدم القوة المحصلة، $kx = mg$ : أي $x = 14\,\mathrm{m}$ ، على بعد $34\,\mathrm{m}$ تحت نقطة القفز.

تمرين 13.8 ★★

دراج (كتلته مع الدراجة $80\,\mathrm{kg}$ ) يصعد منحدرًا ميله $5\%$ بسرعة $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ضد سحب $\tfrac12\rho C_xSv^2$ حيث $C_xS = 0.50\,\mathrm{m}^{2}$ . احسب الاستطاعة ضد الثقالة وضد السحب والاستطاعة الكلية.

حل

حل التمرين 13.8.

الثقالة: $mgv\sin\alpha = 80 \times 9.81 \times 5.0 \times 0.05 = 196\,\mathrm{W}$ ؛ والسحب: $\tfrac12\rho C_xSv^3 = 0.5 \times 1.2 \times 0.50 \times 125 = 38\,\mathrm{W}$ ؛ والمجموع $234\,\mathrm{W}$ .

تمرين 13.9 ★★

لجسيم كتلته $m$ طاقة كامنة $E_p(x) = E_0[(x/a)^4 - 2(x/a)^2]$ . أوجد مواضع التوازن واستقرارها، وعمق الآبار، والتواتر الزاوي للاهتزازات الصغيرة حول موضع مستقر.

حل

حل التمرين 13.9.

$E_p' = 4E_0(x^3/a^4 - x/a^2) = 0$ : ومنه $x = 0, \pm a$ . و $E_p'' = E_0(12x^2/a^4 - 4/a^2)$ : فهو $-4E_0/a^2$ عند $0$ (نهاية عظمى غير مستقرة، $E_p = 0$ )، وهو $+8E_0/a^2$ عند $\pm a$ (نهايتان صغريان مستقرتان، $E_p = -E_0$ ): أي بئران عمقهما $E_0$ ؛ و $\omega_0^2 = 8E_0/ma^2$ .

تمرين 13.10 ★★★

من أجل الهزّاز التوافقي $E_p = \tfrac12 kx^2$ ، بيّن أن المنحنيات الطورية إهليلجات، وأعطِ نصفَي محورَيها من أجل الطاقة $E$ ، وفسّر لماذا تُقطع كلها في الزمن نفسه.

حل

حل التمرين 13.10.

$\tfrac12 m\dot x^2 + \tfrac12 kx^2 = E$ : أي إهليلج نصفا محورَيه $x_{\max} = \sqrt{2E/k}$ و $\dot x_{\max} = \sqrt{2E/m}$ . والحركة توافقية دورها $2\pi\sqrt{m/k}$ أيًّا كانت السعة (تساوي الأدوار)، ولذلك يستغرق كل إهليلج الزمن نفسه.

تمرين 13.11 ★★★

ينزلق جسم صغير من السكون من قمة نصف كرة عديمة الاحتكاك نصف قطرها $R$ . باستعمال الطاقة وقانون نيوتن، أوجد الزاوية عن الشاقول التي يفارق عندها السطح، والارتفاع، وسرعته عندئذ.

حل

حل التمرين 13.11.

بالطاقة: $v^2 = 2gR(1 - \cos\theta)$ . وعلى المحور الناظمي: $mg\cos\theta - N = mv^2/R$ ، ومنه $N = mg(3\cos\theta - 2)$ ، وهو معدوم عند $\cos\theta = 2/3$ (أي $\theta = 48^\circ$ ): فالارتفاع $2R/3$ والسرعة $\sqrt{2gR/3}$ .

تمرين 13.12 ★★★

سيارة عند $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ تنزلق حتى التوقف على $80\,\mathrm{m}$ بعجلات مقفلة. أوجد $\mu_d$ بالطاقة. وأين ذهبت الطاقة؟ ولماذا يوقف نظام منع الانقفال (الذي يبقي العجلات تتدحرج) على مسافة أقصر؟

حل

حل التمرين 13.12.

$\tfrac12 mv^2 = \mu_dmgd$ : ومنه $\mu_d = 625/(2 \times 9.81 \times 80) = 0.40$ . وقد صارت الطاقة حرارةً في تماسّ الإطار مع الطريق (وأثرَ انزلاق). أما العجلات المتدحرجة فتستعمل الاحتكاك السكوني، $\mu_s > \mu_d$ : أي قوة كبح أكبر ومسافة أقصر، مع الاحتفاظ بالتوجيه.

13.7 مسألة: بئر الطاقة في رابطة كيميائية

مسألة 13.1

مسألة نهاية الأسبوع — ذرّتان ومنحن واحد: الطاقة الكامنة لرابطة تُقرأ منظرًا — أرضيته وجداراه، والاهتزازات الصغيرة في القاع، والطاقة اللازمة للخروج منه

تُنمذَج تآثرات ذرّتَي جزيء ثنائي الذرة بالطاقة الكامنة

E_p(r) = \epsilon\left[\left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12} - 2\left(\frac{\sigma}{r}\right)^{6}\right],

حيث $r$ المسافة بين النواتين. ومن أجل كلوريد الهدروجين خذ $\epsilon = 4.4\,\mathrm{eV}$ و $\sigma = 0.127\,\mathrm{nm}$ ، ودع ذرة الهدروجين الخفيفة ( $m = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ) تتحرك بينما يبقى الكلور الثقيل ساكنًا. ولدينا $1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ و $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ و $N_A = 6.02 \times 10^{23}$ .

الجزء I — المنظر.

أعطِ نهايتَي $E_p$ عندما $r \to 0$ و $r \to \infty$ ، وارسم المنحني تخطيطيًّا.
بيّن أن للطاقة $E_p$ نهاية صغرى وحيدة، عند $r = \sigma$ ، قيمتها $-\epsilon$ .
مع $u = (\sigma/r)^6$ ، بيّن أن $E_p = \epsilon(u^2 - 2u)$ : أي قطع مكافئ في $u$ . واستعِد النهاية الصغرى منه.
عبّر عن القوة $F(r)$ (وهي موجبة إن كانت دافعة) وأعطِ إشارتها على كل جانب من $\sigma$ .
احسب $E_p$ و $F$ عند $r = 1.2\sigma$ (بوحدة $\mathrm{eV}$ وبوحدة $\mathrm{nN}$ ).
ما طاقة تفكّك الجزيء، بوحدة $\mathrm{eV}$ وبوحدة $\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ ؟ (طاقة الرابطة المقيسة في كلوريد الهدروجين هي $431\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ .)
تحقق من محك الاستقرار عند $r = \sigma$ : احسب $E_p''(\sigma)$ .

الجزء II — الاهتزازات الصغيرة.

اكتب نشر تايلور من الرتبة الثانية للطاقة $E_p$ حول $\sigma$ وحدّد صلابة فعّالة $k$ .
احسب $k$ (بوحدة $\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ).
استنتج التواتر الزاوي والتواتر وطول موجة الاهتزاز، وعدد موجاته $1/\lambda$ بوحدة $\mathrm{cm}^{-1}$ .
يقع اهتزاز كلوريد الهدروجين المقيس عند $2990\,\mathrm{cm}^{-1}$ . علّق على مدى التوافق وعلى ما يصيبه النموذج.
عند $300\,\mathrm{K}$ تكون طاقة الاهتزاز المتوسطة من رتبة $k_BT$ . قدّر سعة الاهتزاز وقارنها بالمقدار $\sigma$ .
استنتج السرعة العظمى لذرة الهدروجين في ذلك الاهتزاز.

الجزء III — الاهتزازات الكبيرة والخروج.

صف المخطط الطوري: أيّ الطاقات يعطي منحنيات مغلقة، وأيّها يعطي منحنيات مفتوحة، وما الذي يفصل بينها؟
من أجل $E_m = -\epsilon/2$ ، أوجد نقطتَي الرجوع (بوحدات $\sigma$ ).
بيّن أن منتصفهما يقع وراء $\sigma$ ، وفسّر لماذا يجعل التسخين (أي رفع طاقة الاهتزاز) طول الرابطة المتوسط يكبر — وهو أصل التمدد الحراري.
هل دور الاهتزازات الكبيرة أطول أم أقصر من $2\pi/\omega_0$ ؟ استدلّ من شكل الجدارين.
انطلاقًا من $E_m = -\epsilon/2$ ، ما الطاقة التي يجب تقديمها لتفكيك الجزيء؟ وإذا قُدّمت طاقةً حركية لذرة الهدروجين عند $r = \sigma$ ، فما تلك السرعة؟
ذرّتان تتقاربان من بعيد بطاقة كلية موجبة لا تستطيعان تكوين جزيء مرتبط من تلقاء نفسيهما. لماذا؟ وما اللازم لذلك؟

الجزء IV — الشغل والقوة ودرجة الحرارة.

احسب شغل قوة الرابطة حين ينتقل $r$ من $2\sigma$ إلى $\sigma$ . وهل القوة محرّكة أم مقاوِمة هناك؟
احسب الشغل الذي يجب أن يبذله عامل خارجي لمطّ الرابطة من $\sigma$ إلى $1.5\sigma$ بسرعة متلاشية.
احسب $F$ عند $r = 0.9\sigma$ وقارنه بالحالة $r = 1.2\sigma$ : فماذا يقول عدم التناظر عن الضغط مقابل المطّ؟
عند أيّ درجة حرارة يساوي $k_BT$ المقدارَ $\epsilon$ ؟ ولماذا تتفكك الجزيئات عمليًّا عند درجات حرارة أدنى من ذلك بكثير؟
نموذج أفضل (نموذج مورس) يغيّر شكل الجدارين لكنه يبقي نهاية صغرى عند طول الرابطة. فأيّ النتائج السابقة تبقى بطريقتها دون تغيير، وأيّ الأعداد يتغير؟
لخّص الطرق الثلاث التي استُعملت بها الطاقة: لإيجاد التوازن، ولإيجاد تواتر الاهتزاز، ولإيجاد ما يلزم للإفلات.

حل

حل المسألة 13.1.

1. $r \to 0$ : $+\infty$ (بسبب الحدّ $r^{-12}$ )؛ و $r \to \infty$ : $0^-$ . أي جدار حادّ وبئر وذيل طويل.

2. $E_p' = \epsilon[-12\sigma^{12}/r^{13} + 12\sigma^6/r^7] = 0$ إذا وفقط إذا كان $(\sigma/r)^6 = 1$ : أي $r = \sigma$ و $E_p = \epsilon(1 - 2) = -\epsilon$ .

3. $(\sigma/r)^{12} = u^2$ : ومنه $E_p = \epsilon(u^2 - 2u) = \epsilon[(u - 1)^2 - 1]$ ، وهي أصغرية عند $u = 1$ (أي $r = \sigma$ ) بالقيمة $-\epsilon$ .

4. $F = -E_p' = (12\epsilon/\sigma)[(\sigma/r)^{13} - (\sigma/r)^7]$ : موجبة (دافعة) من أجل $r < \sigma$ ، وسالبة (جاذبة) بعده.

5. $(1/1.2)^6 = 0.335$ و $(1/1.2)^{12} = 0.112$ : ومنه $E_p = \epsilon(0.112 - 0.670) = -0.56\epsilon = -2.5\,\mathrm{eV}$ . و $(1/1.2)^{13} = 0.0935$ و $(1/1.2)^7 = 0.279$ : ومنه $F = (12\epsilon/\sigma)(-0.186) = -2.2\epsilon/\sigma = -2.2 \times 7.0\times10^{-19}/1.27\times10^{-10} = -12\,\mathrm{nN}$ .

6. $\epsilon = 4.4\,\mathrm{eV} = 4.4 \times 96.5 = 425\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ ، وهي قريبة من القيمة المقيسة $431\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ .

7. $E_p'' = \epsilon[156\sigma^{12}/r^{14} - 84\sigma^6/r^8]$ ؛ وعند $\sigma$ : $72\epsilon/\sigma^2 > 0$ : أي إن التوازن مستقرّ.

8. $E_p \approx -\epsilon + \tfrac12(72\epsilon/\sigma^2)(r - \sigma)^2$ : ومنه $k = 72\epsilon/\sigma^2$ .

9. $k = 72 \times 7.0\times10^{-19}/(1.27\times10^{-10})^2 = 3.1 \times 10^{3}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ .

10. $\omega_0 = \sqrt{k/m} = \sqrt{3.1\times10^3/1.67\times10^{-27}} = 1.4 \times 10^{15}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ؛ و $f = 2.2 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ؛ و $\lambda = c/f = 1.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ ؛ و $1/\lambda = 7300\,\mathrm{cm}^{-1}$ .

11. أعلى بعامل $2.4$ : فجدارا النموذج شديدا الانحدار (إذ إن اللبّ $r^{-12}$ بديل خشن عن رابطة تساهمية)، لكن رتبة القدر — وهي اهتزاز في تحت الأحمر عند $10^{14}$ هرتز — صحيحة، والطريقة (أي تقوّس البئر) هي بعينها الطريقة المستعملة مع كمونات أفضل.

12. $\tfrac12 kA^2 \approx k_BT$ : ومنه $A = \sqrt{2k_BT/k} = \sqrt{8.3\times 10^{-21}/3.1\times10^3} = 1.6 \times 10^{-12}\,\mathrm{m} = 0.013\sigma$ : أي إن الرابطة تكاد لا ترتعش.

13. $v_{\max} = A\omega_0 = 1.6\times10^{-12} \times 1.4\times10^{15} = 2.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

14. $-\epsilon < E_m < 0$ : منحنيات مغلقة حول $(\sigma, 0)$ — أي اهتزاز وحركة مرتبطة؛ و $E_m > 0$ : منحنيات مفتوحة — أي انفصال الذرّتين؛ و $E_m = 0$ : المنحني الفاصل، حيث تبلغ الذرة اللانهاية بالكاد.

15. $u^2 - 2u = -\tfrac12$ مع $u = (\sigma/r)^6$ : ومنه $u = 1 \pm 1/\sqrt2 = 1.71$ أو $0.293$ ؛ ومن $r = \sigma u^{-1/6}$ نجد $0.915\sigma$ و $1.23\sigma$ .

16. المنتصف $1.07\sigma > \sigma$ : فالجدار الخارجي ألين من الداخلي، ولذلك تجد الذرة حيّزًا أوسع في الخارج؛ والمسافة المتوسطة زمنيًّا تكبر مع الطاقة — فالروابط المسخّنة تطول، والأجسام الصلبة تتمدد.

17. أطول: لأن القوة المعيدة على الجانب الخارجي اللين أضعف مما يفترضه التقريب التوافقي، فتستغرق العودة زمنًا أطول.

18. $\epsilon/2 = 2.2\,\mathrm{eV} = 3.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ ؛ وإذا قُدّمت طاقةً حركية عند $\sigma$ : $v = \sqrt{2 \times 3.5\times10^{-19}/1.67\times10^{-27}} = 2.0 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

19. بانحفاظ الطاقة: ما كان فيه $E_m > 0$ يبقى $> 0$ ، فالمنحني مفتوح، وتتباعد الذرّتان بعد لقاء واحد. ولا بدّ من جسم ثالث (جزيء آخر أو جدار أو فوتون) يحمل الفائض بعيدًا.

20. $W = E_p(2\sigma) - E_p(\sigma) = \epsilon(2^{-12} - 2 \times 2^{-6}) + \epsilon = 0.97\epsilon = 4.3\,\mathrm{eV}$ ، وهو موجب: فالجذب يسحب الذرة إلى الداخل، أي إن القوة محرّكة.

21. $W_{\text{خارجي}} = E_p(1.5\sigma) - E_p(\sigma) = \epsilon(0.0077 - 0.176) + \epsilon = 0.83\epsilon = 3.7\,\mathrm{eV}$ .

22. $(1/0.9)^{13} = 3.93$ و $(1/0.9)^7 = 2.09$ : ومنه $F = +22\epsilon/\sigma = +120\,\mathrm{nN}$ ، أي عشرة أضعاف الجذب عند $1.2\sigma$ : فضغط رابطة بنسبة $10\%$ يكلّف أكثر بكثير من مطّها بنسبة $20\%$ .

23. $T = \epsilon/k_B = 7.0\times10^{-19}/1.38\times10^{-23} = 5.1 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ . والغازات الحقيقية تتفكك دون ذلك بكثير لأن الطاقات موزَّعة: فجزء من الجزيئات يحمل أضعاف $k_BT$ (الفصل 20).

24. تبقى: التوازن عند النهاية الصغرى، و $k = E_p''$ عند النهاية الصغرى، وطاقة التفكك $=$ العمق، ونقاط الرجوع من $E_p = E_m$ ، وعدم التناظر $\Rightarrow$ التمدد. ويتغير: قيمة $k$ وقيمة التواتر وقيم نقاط الرجوع.

25. التوازن: $E_p' = 0$ ؛ والاهتزاز: $\omega_0^2 = E_p''/m$ ؛ والإفلات: مقارنة $E_m$ بحافة البئر.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد