Physics · الكتاب 3 · Bachelor Year 1

الفيزياء الجامعية — السنة الأولى

الفيزياء الجامعية — السنة الأولى · Bachelor Year 1

12قوانين نيوتن في الديناميك

يقفز مظلّي من الطائرة، فيكفّ خلال بضع عشرة ثانية عن التسارع: إذ يدفعه الهواء عند مئتَي كيلومتر في الساعة بقوة تساوي تمامًا جذب الأرض له. وسيارة تدخل منعطفًا بسرعة مفرطة فتخون الإطارات؛ وشاحنة على طريق جبلية تزحف في تُرس منخفض، يمسكها الاحتكاك نفسه الذي يتيح لها التوقف على المستوي. وقد وصف التحريكُ الحركاتِ؛ أما الديناميك فيفسّرها، انطلاقًا من قانون واحد يربط تسارع جسم بالقوى المؤثرة فيه. ويذكر هذا الفصل قوانين نيوتن الثلاثة، ويجرد القوى التي تُلاقى في مستوى هذا المجلد — الوزن والنوابض والخيوط والتماسّ والاحتكاك الجاف والمائعي — ويبيّن كيف يُنتقل من رسم للقوى إلى معادلة تفاضلية وحلّها.

محطة الفضاء الدولية منظورةً من المكوك المغادر (وكالة الفضاء الأمريكية): فكل ما على متنها في سقوط حرّ معًا، ولذلك لا يبدو أن لأيّ شيء على متنها وزنًا.
محطة الفضاء الدولية منظورةً من المكوك المغادر (وكالة الفضاء الأمريكية): فكل ما على متنها في سقوط حرّ معًا، ولذلك لا يبدو أن لأيّ شيء على متنها وزنًا.

12.1 الكتلة وكمية الحركة والقوانين الثلاثة

تعريف 12.1 (الكتلة وكمية الحركة والقوة)

للنقطة المادية كتلة عطالية m>0m > 0 (بالكيلوغرام)، وهي مقياس لمقاومتها لتغيّرات السرعة، ولا تتوقف على المرجع. وكمية حركتها في مرجع هي

p→=m v→(kg m/s).\vect p = m\,\vect v \qquad (\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}).

والقوة F→\vect F (بالنيوتن) هي تأثير جسم آخر في النقطة؛ والقوى تُجمع جمع المتجهات، والمحصلة هي مجموعها ∑F→\sum\vect F.

مبرهنة 12.2 (قوانين نيوتن)

  1. مبدأ العطالة. توجد مراجع تُسمّى عطالية (أو غاليلية) تتحرك فيها نقطة لا تخضع لأيّ قوة، أو تخضع لقوى محصلتها معدومة، على خطّ مستقيم بسرعة ثابتة. وكل مرجع في انسحاب مستقيم منتظم بالنسبة إلى مرجع عطالي هو مرجع عطالي.

  2. قانون كمية الحركة. في مرجع عطالي،

     ⁣dp→ ⁣dt=∑F→,أيm a→=∑F→  من أجل كتلة ثابتة m.\frac{\dd\vect p}{\dd t} = \sum\vect F, \qquad \text{أي}\qquad m\,\vect a = \sum\vect F \ \text{ من أجل كتلة ثابتة } m .
  3. الفعل ورد الفعل. إذا أثّر الجسم AA بالقوة F→A→B\vect F_{A\to B} في الجسم BB، أثّر BB بالقوة F→B→A=−F→A→B\vect F_{B\to A} = -\vect F_{A\to B} في AA، على امتداد المستقيم الواصل بينهما.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

ملاحظة 12.3 (ماذا تقول القوانين)

القانون الأول ليس حالة خاصة من الثاني: فهو يعرّف المراجع التي يصحّ فيها الثاني. وعمليًّا يكون مختبر على الأرض عطاليًّا بدقة ممتازة في تجارب تدوم دقائق (والفصل 18 تكمّم الخطأ)؛ ومرجع مرتبط بالشمس والنجوم البعيدة أفضل منه بعد. والقانون الثاني معادلة متجهية: أي ثلاث معادلات سلّمية، واحدة لكل محور، و اختيار المحاور (الفصل 11) هو القرار الأول في كل مسألة. والقانون الثالث يصحّ في كل لحظة من أجل قوى التماسّ والجاذبية في هذا المجلد.

تعريف 12.4 (الجملة المغلقة؛ انحفاظ كمية الحركة)

الجملة المغلقة جملة لا تتبادل مادة مع الخارج. ومن أجل جملة من النقاط المادية تتلاشى القوى الداخلية مثنى مثنى (بالقانون الثالث)، وتحقق كمية الحركة الكلية P→=∑miv→i\vect P = \sum m_i\vect v_i العلاقة  ⁣dP→/ ⁣dt=∑F→ext\dd\vect P/\dd t = \sum\vect F_{\mathrm{ext}}: فتنحفظ حين تنعدم القوى الخارجية (والفصل 19 تطوّر هذا).

12.2 القوى المعتادة

قضية 12.5 (الوزن والجاذبية)

قرب سطح الأرض يُجذب جسم كتلته mm بقوة وزنه P→=mg→\vect P = m\vect g، حيث g→\vect g هو مجال الجاذبية المحلي، g≈9.81 m/s2g \approx 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}، موجَّهًا إلى أسفل (نحو المركز تقريبًا). وأعمّ من ذلك: كتلة MM على بعد rr تجذب mm بالقوة F→=−GMm/r2 e→r\vect F = -GMm/r^2\,\vect e_r (الفصل 16)؛ وعند سطح كرة نصف قطرها RR يكون g=GM/R2g = GM/R^2. ولاحظ الوحدة: إن N/kg\mathrm{N}/\mathrm{kg} وm/s2\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} هما الشيء نفسه، ولهذا تسقط الأجسام كلها سقوطًا واحدًا.

برهان. قانون نيوتن في الجاذبية مسلَّم ويُستكشف في الفصل 16؛ و g=GM/R2=6.67×10−11×5.97×1024/(6.37×106)2=9.8 m/s2g = GM/R^2 = 6.67\times10^{-11} \times 5.97\times10^{24}/(6.37\times10^6)^2 = 9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}. ∎

قضية 12.6 (النابض والخيط)

نابض مثالي صلابته kk وطوله الطبيعي ℓ0\ell_0، ممدود إلى الطول ℓ\ell على امتداد المتجهة الواحدية u→\vect u المشيرة من طرفه الثابت إلى الجسم، يؤثر في الجسم بما يسمّى القوة المرجِعة

F→=−k(ℓ−ℓ0) u→(قانون هوك),\vect F = -k(\ell - \ell_0)\,\vect u \qquad (\text{قانون هوك}),

نحو طوله الطبيعي. أما الخيط المثالي (عديم الكتلة وغير قابل للاستطالة) فيؤثر بقوة شدّ T→\vect T على امتداده، ساحبًا، بالمقدار نفسه عند طرفيه وعلى امتداده كله (حتى فوق بكرة عديمة الكتلة عديمة الاحتكاك).

برهان. قانون هوك نموذج تجريبي صالح للتشوّهات الصغيرة. أما الخيط: فعنصر عديم الكتلة يحقق 0=T→1+T→20 = \vect T_1 + \vect T_2 بقانون نيوتن الثاني، ومنه يُنقل الشدّ دون تغيّر. ∎

قضية 12.7 (قوى التماسّ: رد الفعل الناظمي والاحتكاك الجاف)

يؤثر سطح صلب في جسم يلامسه بقوة رد فعل ناظمي N→\vect N عمودي على السطح ودافع (N≥0N \geq 0: فالسطح لا يستطيع أن يسحب)، وبقوة احتكاك مماسية T→\vect T. وقوانين كولوم: إن لم ينزلق الجسم كان ∣T→∣≤μsN\abs{\vect T} \leq \mu_s N (فالاحتكاك السكوني يتكيّف مع ما يلزم، إلى ذلك الحدّ)؛ وإن انزلق بسرعة v→g\vect v_g بالنسبة إلى السطح كان T→=−μdN v→g/∣v→g∣\vect T = -\mu_d N\,\vect v_g/\abs{\vect v_g} (وهو الاحتكاك الحركي، المعاكس للانزلاق)، مع معاملين μd≤μs\mu_d \leq \mu_s من رتبة 0.10.1 إلى 11 حسب المواد، لا يتوقفان على مساحة التماسّ ولا على السرعة.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

يسارًا: القوى المؤثرة في كتلة على مستوٍ مائل — الوزن ورد الفعل الناظمي والاحتكاك على امتداد السطح — والمحاور الطبيعية. ويمينًا: قوانين كولوم: عند السكون يوازن الاحتكاك القوة المطبَّقة حتى _sN؛ وحالما يبدأ الانزلاق يهبط إلى _dN ويبقى هناك. يسارًا: القوى المؤثرة في كتلة على مستوٍ مائل — الوزن ورد الفعل الناظمي والاحتكاك على امتداد السطح — والمحاور الطبيعية. ويمينًا: قوانين كولوم: عند السكون يوازن الاحتكاك القوة المطبَّقة حتى _sN؛ وحالما يبدأ الانزلاق يهبط إلى _dN ويبقى هناك.
يسارًا: القوى المؤثرة في كتلة على مستوٍ مائل — الوزن ورد الفعل الناظمي والاحتكاك على امتداد السطح — والمحاور الطبيعية. ويمينًا: قوانين كولوم: عند السكون يوازن الاحتكاك القوة المطبَّقة حتى μsN\mu_sN؛ وحالما يبدأ الانزلاق يهبط إلى μdN\mu_dN ويبقى هناك.

قضية 12.8 (الاحتكاك المائعي)

جسم يتحرك بسرعة v→\vect v في مائع ساكن يشعر بقوة سحب معاكسةً للمتجهة v→\vect v: فعند السرعات الصغيرة (جسم صغير في مائع لزج) تكون خطية، F→=−αv→\vect F = -\alpha\vect v — ومن أجل كرة نصف قطرها rr في مائع لزوجته η\eta يكون α=6πηr\alpha = 6\pi\eta r (ستوكس)؛ وعند السرعات الكبيرة (أجسام كبيرة سريعة في الهواء أو الماء) تكون تربيعية،

F→=−12 ρ CxS v v→,\vect F = -\tfrac12\,\rho\,C_xS\,v\,\vect v ,

حيث ρ\rho كثافة المائع، و SS مقطع الجسم المواجه للجريان، و CxC_x معامل سحب عديم البعد (يساوي 0.50.5 لكرة، و0.30.3 لسيارة، و11 لقرص مستوٍ). وعدد رينولدز ρvL/η\rho vL/\eta (الملاحظة 1.10) هو الحَكَم: فخطية دون 11، وتربيعية فوق 10001000 تقريبًا.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

ملاحظة 12.9 (قوى أخرى)

دافعة أرخميدس محصلةُ قوى ضغط، وتُشتقّ في الفصل 21؛ أما القوتان الكهربائية والمغناطيسية في شحنة فموضوع الفصل 17. وكل قوى هذا الفصل نماذج لتفاعلات تماسّ أو تفاعلات مجال، صالحة ضمن حدود معلنة — فنابض هوك ينكسر، واحتكاك كولوم يفشل عند الضغوط العالية، وسحب ستوكس يفشل عند السرعات العالية. وجزء من كل حلّ هو التحقق من انطباق النموذج المستعمل.

12.3 حلّ مسألة في الديناميك

طريقة 12.10 (من الوضع إلى المعادلة)

  1. الجملة: سمِّ الجسم المعامَل نقطةً.
  2. المرجع: سمِّه وتحقق من أنه عطالي (أو عامله على أنه كذلك بالدقة المطلوبة).
  3. القوى: أحصِ كل جسم يلامس الجملة أو يجذبها، وارسم كل قوة على مخطط (وهو مخطط القوى)؛ ولا يدخل شيء غير ذلك.
  4. الإحداثيات: اختر محاور ملائمة للحركة (الطريقة 11.18) وعبّر عن a→\vect a.
  5. اسقط العلاقة ma→=∑F→m\vect a = \sum\vect F على المحاور؛ واستعمل القيود (فالجسم على سطح يبقى عليه: a⊥=0a_\perp = 0؛ والخيط الثابت الطول: قيمتا سرعة متساويتان عند طرفيه).
  6. حلّ ثم تحقق: من الأبعاد والحالات الحدية و الإشارات (N≥0N \geq 0، و ∣T∣≤μsN\abs T \leq \mu_sN عند السكون).

مثال 12.11 (كتلة على مستوٍ مائل)

كتلة mm على مستوٍ مائل بزاوية α\alpha، بمعاملين μs\mu_s و μd\mu_d. والمحاور: xx نازلًا على المنحدر، و yy على امتداد الناظم. والوزن (mgsin⁡α,−mgcos⁡α)(mg\sin\alpha, -mg\cos\alpha)، ورد الفعل (0,N)(0, N)، والاحتكاك (−T,0)(-T, 0) إن انزلقت نازلةً. وعلى yy: N=mgcos⁡αN = mg\cos\alpha. وعند السكون على xx: T=mgsin⁡α≤μsN=μsmgcos⁡αT = mg\sin\alpha \leq \mu_sN = \mu_smg\cos\alpha، أي tan⁡α≤μs\tan\alpha \leq \mu_s: فالكتلة تصمد حتى الزاوية arctan⁡μs\arctan\mu_s — وهو قياس للمعامل μs\mu_s لا يحتاج إلى ميزان. وعند الانزلاق: ma=mgsin⁡α−μdmgcos⁡αma = mg\sin\alpha - \mu_dmg\cos\alpha، ومنه a=g(sin⁡α−μdcos⁡α)a = g(\sin\alpha - \mu_d\cos\alpha)، مستقلًّا عن mm: أي 3.2 m/s23.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} من أجل α=30∘\alpha = 30^\circ و μd=0.2\mu_d = 0.2.

مثال 12.12 (النواس البسيط)

كتلة mm على خيط طوله ℓ\ell، بزاوية θ\theta عن الشاقول النازل. وبالإحداثيات القطبية عند نقطة التعليق: a→=−ℓθ˙2 e→r+ℓθ¨ e→θ\vect a = -\ell\dot\theta^2\,\vect e_r + \ell\ddot\theta\,\vect e_\theta؛ والقوى: الوزن mg(cos⁡θ e→r−sin⁡θ e→θ)mg(\cos\theta\,\vect e_r - \sin\theta\,\vect e_\theta) و الشدّ −Te→r-T\vect e_r. وعلى e→θ\vect e_\theta: mℓθ¨=−mgsin⁡θm\ell\ddot\theta = -mg\sin\theta، أي

θ¨+gℓsin⁡θ=0,\ddot\theta + \frac{g}{\ell}\sin\theta = 0 ,

وهي من أجل الزوايا الصغيرة (sin⁡θ≈θ\sin\theta \approx \theta) المعادلةُ التوافقية مع ω0=g/ℓ\omega_0 = \sqrt{g/\ell}: فالدور T0=2πℓ/gT_0 = 2\pi\sqrt{\ell/g}، وهو القيمة k=2πk = 2\pi التي لم تستطع المثال 1.8 تقديمها. وعلى e→r\vect e_r: T=mgcos⁡θ+mℓθ˙2T = mg\cos\theta + m\ell\dot\theta^2 — فالخيط يشدّ أشدّ ما يشدّ عند الأسفل حيث تكون السرعة أكبر ما تكون.

يسارًا: النواس البسيط وقوتاه والأساس القطبي المستعمل لإسقاط قانون نيوتن. ويمينًا: جسم يسقط من السكون تحت وزنه وقوة سحب: فتقترب سرعته من السرعة الحدية v_∈fty، اقترابًا أسّيًّا في السحب الخطي (= m/)، وعلى صورة ظلّ زائدي في السحب التربيعي (= v_∈fty/g). يسارًا: النواس البسيط وقوتاه والأساس القطبي المستعمل لإسقاط قانون نيوتن. ويمينًا: جسم يسقط من السكون تحت وزنه وقوة سحب: فتقترب سرعته من السرعة الحدية v_∈fty، اقترابًا أسّيًّا في السحب الخطي (= m/)، وعلى صورة ظلّ زائدي في السحب التربيعي (= v_∈fty/g).
يسارًا: النواس البسيط وقوتاه والأساس القطبي المستعمل لإسقاط قانون نيوتن. ويمينًا: جسم يسقط من السكون تحت وزنه وقوة سحب: فتقترب سرعته من السرعة الحدية v∞v_\infty، اقترابًا أسّيًّا في السحب الخطي (τ=m/α\tau = m/\alpha)، وعلى صورة ظلّ زائدي في السحب التربيعي (τ=v∞/g\tau = v_\infty/g).

قضية 12.13 (السقوط مع السحب؛ السرعة الحدية)

جسم كتلته mm يسقط من السكون تحت وزنه وقوة سحب يبلغ سرعة حدية تتوازن عندها القوتان. ففي السحب الخطي: mv˙=mg−αvm\dot v = mg - \alpha v و v=v∞(1−e−t/τ)v = v_\infty(1 - \eu^{-t/\tau}) مع v∞=mg/αv_\infty = mg/\alpha و τ=m/α\tau = m/\alpha. وفي السحب التربيعي: mv˙=mg−12ρCxSv2m\dot v = mg - \tfrac12\rho C_xSv^2 و v=v∞tanh⁡(t/τ)v = v_\infty\tanh(t/\tau) مع

v∞=2mgρCxS,τ=v∞g.v_\infty = \sqrt{\frac{2mg}{\rho C_xS}}, \qquad \tau = \frac{v_\infty}{g} .

برهان. الخطي: معادلة من الرتبة الأولى، τv˙+v=v∞\tau\dot v + v = v_\infty (المبرهنة 7.2). والتربيعي: مع u=v/v∞u = v/v_\infty يكون u˙=(1−u2)/τ\dot u = (1 - u^2)/\tau؛ وبفصل المتغيرات، ∫ ⁣du/(1−u2)=artanh⁡u=t/τ\int\dd u/(1 - u^2) = \operatorname{artanh}u = t/\tau (فالكسر الناطق 1/(1−u2)=12[1/(1−u)+1/(1+u)]1/(1 - u^2) = \tfrac12[1/(1 - u) + 1/(1 + u)] يتكامل إلى 12ln⁡1+u1−u\tfrac12\ln\frac{1 + u}{1 - u})، ومنه u=tanh⁡(t/τ)u = \tanh(t/\tau). ∎

مثال 12.14 (سرعتان حديتان)

مظلّي كتلته m=80 kgm = 80\,\mathrm{kg}، منبطحًا، CxS≈0.8 m2C_xS \approx 0.8\,\mathrm{m}^{2} في الهواء (ρ=1.2 kg/m3\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}): فيكون v∞=2×785/(1.2×0.8)=40 m/sv_\infty = \sqrt{2 \times 785/(1.2 \times 0.8)} = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}، ويُبلَغ (إلى 90%90\%) في نحو 1.5τ=6 s1.5\tau = 6\,\mathrm{s}. وقطرة ضباب نصف قطرها r=10 µmr = 10\,\text{µ}\mathrm{m}، في نظام ستوكس (حيث ηالهواء=1.8×10−5 Pa s\eta_{\text{الهواء}} = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}): v∞=mg/6πηr=1.2 cm/sv_\infty = mg/6\pi\eta r = 1.2\,\mathrm{cm}/\mathrm{s} — ولهذا يعلق الضباب في الهواء.

12.4 الحركة على دائرة: قوى القيد

قضية 12.15 (الشرط المركزي)

النقطة المتحركة على دائرة نصف قطرها RR بقيمة سرعة vv يجب أن تتلقى من محصلة القوى مركّبةً قدرها mv2/Rmv^2/R موجَّهة نحو المركز. وأيًّا كان ما يوفّرها — شدّ خيط أو احتكاك أو رد فعل طريق مائل أو الجاذبية — فهو الذي يثبّت قيمة السرعة العظمى أو الصغرى التي تكون الحركة عندها ممكنة.

برهان. قانون نيوتن الثاني مع تسارع فريني: فالمركّبة الناظمية للمحصلة ∑F→\sum\vect F تساوي mv2/ρmv^2/\rho. ∎

مثال 12.16 (ثلاث دوائر)

المنعطف المستوي: يجب أن يوفّر الاحتكاك mv2/R≤μsN=μsmgmv^2/R \leq \mu_sN = \mu_smg، ومنه v≤μsgRv \leq \sqrt{\mu_sgR}: أي 20 m/s20\,\mathrm{m}/\mathrm{s} من أجل R=50 mR = 50\,\mathrm{m} و μs=0.8\mu_s = 0.8. والمنعطف المائل بزاوية β\beta بلا احتكاك: يكون رد الفعل N→\vect N ناظميًّا على الطريق؛ فشاقوليًّا Ncos⁡β=mgN\cos\beta = mg، و أفقيًّا Nsin⁡β=mv2/RN\sin\beta = mv^2/R، ومنه v2=gRtan⁡βv^2 = gR\tan\beta — وهي قيمة السرعة الوحيدة التي يُؤخذ عندها المنعطف بلا أيّ احتكاك. والحلقة: عند القمة، مع N→\vect N مشيرًا إلى أسفل نحو المركز، N+mg=mv2/RN + mg = mv^2/R، ويقتضي N≥0N \geq 0 أن v≥gRv \geq \sqrt{gR}: ودون ذلك تغادر العربة المضمار (وهي المسألة 11.1 من جديد، مفسَّرةً الآن).

منعطف مائل منظورًا في مقطع عرضي: فبلا احتكاك يجب أن يمسك رد فعل الطريق الناظمي السيارةَ من أعلى وأن يدفعها نحو المركز؛ والمركّبة الأفقية N توفّر mv2/R، وهو ما يحدث عند قيمة سرعة واحدة بالضبط، v = √gR.
منعطف مائل منظورًا في مقطع عرضي: فبلا احتكاك يجب أن يمسك رد فعل الطريق الناظمي السيارةَ من أعلى وأن يدفعها نحو المركز؛ والمركّبة الأفقية Nsin⁡βN\sin\beta توفّر mv2/Rmv^2/R، وهو ما يحدث عند قيمة سرعة واحدة بالضبط، v=gRtan⁡βv = \sqrt{gR\tan\beta}.

12.5 تمارين

تمرين 12.1 ★

يقف شخص كتلته 70 kg70\,\mathrm{kg} على ميزان في مصعد. فماذا يقرأ الميزان (بالنيوتن وبوحدة “الكيلوغرام”) حين يتسارع المصعد إلى أعلى بمقدار 2.0 m/s22.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}، وإلى أسفل بمقدار 2.0 m/s22.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}، وحين يتحرك بسرعة ثابتة، وحين يسقط سقوطًا حرًّا؟

حل

حل التمرين 12.1.

قراءة الميزان N=m(g+a)N = m(g + a) حيث aa التسارع نحو الأعلى: فإلى أعلى، 70×11.81=827 N70 \times 11.81 = 827\,\mathrm{N} (أي “84 kg84\,\mathrm{kg}”)؛ وإلى أسفل، 70×7.81=547 N70 \times 7.81 = 547\,\mathrm{N} (أي “56 kg56\,\mathrm{kg}”)؛ وبسرعة ثابتة، 687 N687\,\mathrm{N} (أي 70 kg70\,\mathrm{kg})؛ وفي السقوط الحرّ، 00.

تمرين 12.2 ★

كتلة m1=2.0 kgm_1 = 2.0\,\mathrm{kg} على طاولة عديمة الاحتكاك مربوطة بخيط فوق بكرة عديمة الاحتكاك بكتلة معلَّقة m2=1.0 kgm_2 = 1.0\,\mathrm{kg}. أوجد التسارع والشدّ.

حل

حل التمرين 12.2.

التسارع aa نفسه لكليهما (لأن الخيط غير قابل للاستطالة): m1a=Tm_1a = T و m2a=m2g−Tm_2a = m_2g - T، ومنه a=m2g/(m1+m2)=3.3 m/s2a = m_2g/(m_1 + m_2) = 3.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} و T=m1a=6.5 NT = m_1a = 6.5\,\mathrm{N}.

تمرين 12.3 ★

كتلة تنزلق على مستوٍ مائل بزاوية 30∘30^\circ مع μd=0.20\mu_d = 0.20. احسب تسارعها وقيمة سرعتها بعد 5.0 m5.0\,\mathrm{m} من السكون. وهل تتوقف الإجابة على كتلتها؟

حل

حل التمرين 12.3.

a=g(sin⁡α−μdcos⁡α)=9.81(0.50−0.17)=3.2 m/s2a = g(\sin\alpha - \mu_d\cos\alpha) = 9.81(0.50 - 0.17) = 3.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}؛ وv=2×3.2×5.0=5.7 m/sv = \sqrt{2 \times 3.2 \times 5.0} = 5.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}. ولا أثر للكتلة.

تمرين 12.4 ★

كتلة 0.50 kg0.50\,\mathrm{kg} معلَّقة بنابض صلابته 200 N/m200\,\mathrm{N}/\mathrm{m}. أوجد الاستطالة السكونية؛ ثم التواتر الزاوي ودور تذبذباتها الشاقولية حول التوازن (وبيّن أن معادلة الحركة توافقية).

حل

حل التمرين 12.4.

kΔℓ=mgk\Delta\ell = mg: ومنه Δℓ=0.50×9.81/200=2.5 cm\Delta\ell = 0.50 \times 9.81/200 = 2.5\,\mathrm{cm}. ومع xx الانتقالَ عن التوازن يكون mx¨=−kxm\ddot x = -kx (إذ يتلاشى الوزن مع الاستطالة السكونية): ومنه ω0=k/m=20 rad/s\omega_0 = \sqrt{k/m} = 20\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} و T=0.31 sT = 0.31\,\mathrm{s}.

تمرين 12.5 ★★

صندوق موضوع على منصة مائلة، ويبدأ بالانزلاق عند 22∘22^\circ. أوجد μs\mu_s. وسيارة على طريق مستوٍ مع μs=0.80\mu_s = 0.80: أوجد قيمة السرعة العظمى في منعطف نصف قطره 50 m50\,\mathrm{m}، وعلى طريق مبتلّ مع μs=0.40\mu_s = 0.40.

حل

حل التمرين 12.5.

μs=tan⁡22∘=0.40\mu_s = \tan 22^\circ = 0.40. وفي المنعطف: v≤μsgRv \leq \sqrt{\mu_sgR}: أي 0.8×9.81×50=20 m/s\sqrt{0.8 \times 9.81 \times 50} = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s} (أي 71 km/h71\,\mathrm{km}/\mathrm{h})؛ وعلى المبتلّ، 14 m/s14\,\mathrm{m}/\mathrm{s} (أي 50 km/h50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}).

تمرين 12.6 ★★

السرعات الحدية: لمظلّي (m=80 kgm = 80\,\mathrm{kg}، CxS=0.70 m2C_xS = 0.70\,\mathrm{m}^{2}، ρ=1.2 kg/m3\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3})؛ ولقطرة ضباب نصف قطرها 10 µm10\,\text{µ}\mathrm{m} في الهواء (η=1.8×10−5 Pa s\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s})، باستعمال قانون ستوكس. وتحقق بعدد رينولدز من أن كل نظام هو النظام الصحيح.

حل

حل التمرين 12.6.

المظلّي: v∞=2×785/(1.2×0.70)=43 m/sv_\infty = \sqrt{2 \times 785/(1.2 \times 0.70)} = 43\,\mathrm{m}/\mathrm{s}؛ وRe=ρvL/η≈1.2×43×0.5/1.8×10−5≈106\mathrm{Re} = \rho vL/\eta \approx 1.2 \times 43 \times 0.5/1.8\times10^{-5} \approx 10^6: أي تربيعي. والقطرة: m=43πr3ρw=4.2×10−12 kgm = \tfrac43\pi r^3\rho_w = 4.2 \times 10^{-12}\,\mathrm{kg} و v∞=mg/6πηr=4.1×10−11/3.4×10−9=1.2 cm/sv_\infty = mg/6\pi\eta r = 4.1\times10^{-11}/3.4\times10^{-9} = 1.2\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}؛ وRe=1.2×0.012×2×10−5/1.8×10−5=0.02\mathrm{Re} = 1.2 \times 0.012 \times 2\times10^{-5}/1.8\times10^{-5} = 0.02: أي خطي.

تمرين 12.7 ★★

نواس طوله ℓ\ell يُترك من السكون عند θ0=60∘\theta_0 = 60^\circ. وبمعلومية أن قيمة سرعته عند الأسفل هي 2gℓ(1−cos⁡θ0)\sqrt{2g\ell(1 - \cos\theta_0)} (بالطاقة، في الفصل التالي)، أوجد شدّ الخيط عند الأسفل بوحدات mgmg، وعند نقطة الإفلات.

حل

حل التمرين 12.7.

عند الأسفل: v2=2gℓ(1−cos⁡60∘)=gℓv^2 = 2g\ell(1 - \cos 60^\circ) = g\ell؛ ومنه T=mg+mv2/ℓ=2mgT = mg + mv^2/\ell = 2mg. وعند نقطة الإفلات: v=0v = 0 و T=mgcos⁡θ0=0.5mgT = mg\cos\theta_0 = 0.5mg.

تمرين 12.8 ★★

منعطف نصف قطره 200 m200\,\mathrm{m} مائل بزاوية 15∘15^\circ. فبأيّ قيمة سرعة يمكن أخذه بلا أيّ احتكاك؟ وماذا يجب أن يفعل الاحتكاك عند قيم أدنى وعند قيم أعلى؟

حل

حل التمرين 12.8.

v=gRtan⁡β=9.81×200×0.268=23 m/sv = \sqrt{gR\tan\beta} = \sqrt{9.81 \times 200 \times 0.268} = 23\,\mathrm{m}/\mathrm{s} (أي 82 km/h82\,\mathrm{km}/\mathrm{h}). وعند سرعة أدنى تميل السيارة إلى الانزلاق نازلةً على الميل، فيجب أن يشير الاحتكاك صاعدًا؛ وعند سرعة أعلى يشير نازلًا ليضيف قوة مركزية.

تمرين 12.9 ★★

نواس مخروطي: كتلة على خيط طوله ℓ=1.0 m\ell = 1.0\,\mathrm{m} ترسم دائرة أفقية، والخيط يصنع 30∘30^\circ مع الشاقول. أوجد السرعة الزاوية والدور والشدّ (بوحدات mgmg).

حل

حل التمرين 12.9.

Tcos⁡α=mgT\cos\alpha = mg و Tsin⁡α=mω2ℓsin⁡αT\sin\alpha = m\omega^2\ell\sin\alpha: ومنه ω=g/ℓcos⁡α=9.81/0.866=3.4 rad/s\omega = \sqrt{g/\ell\cos\alpha} = \sqrt{9.81/0.866} = 3.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}، والدور 1.9 s1.9\,\mathrm{s}؛ وT=mg/cos⁡α=1.15mgT = mg/\cos\alpha = 1.15mg.

تمرين 12.10 ★★★

سيارة كتلتها 1000 kg1000\,\mathrm{kg} تبلغ 100 km/h100\,\mathrm{km}/\mathrm{h} من السكون في 8.0 s8.0\,\mathrm{s} بتسارع ثابت. أوجد محصلة القوى، وأصغر معامل احتكاك بين الإطارات القائدة والطريق إذا كانت العجلات القائدة تحمل الوزن كله. وما الذي يحدّ سيارة رياضية على طريق مبتلّ؟

حل

حل التمرين 12.10.

a=27.8/8.0=3.5 m/s2a = 27.8/8.0 = 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} و F=3.5 kNF = 3.5\,\mathrm{kN}؛ ويعطي F≤μsmgF \leq \mu_smg أن μs≥a/g=0.35\mu_s \geq a/g = 0.35. وعلى طريق مبتلّ يحدّ μs≈0.4\mu_s \approx 0.4 التسارعَ قرب 0.4g0.4g مهما يكن المحرك: فالتماسك لا الاستطاعة.

تمرين 12.11 ★★★

جسم يسقط من السكون بسحب خطي، τ=m/α=0.50 s\tau = m/\alpha = 0.50\,\mathrm{s}. اكتب v(t)v(t) واشتقّ المسافة المقطوعة z(t)z(t)؛ واحسب v∞v_\infty و zz بعد 2.0 s2.0\,\mathrm{s}؛ وقارنها بالسقوط الحرّ.

حل

حل التمرين 12.11.

v=v∞(1−e−t/τ)v = v_\infty(1 - \eu^{-t/\tau}) و v∞=gτ=4.9 m/sv_\infty = g\tau = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}؛ وz=∫v=v∞[t−τ(1−e−t/τ)]z = \int v = v_\infty[t - \tau(1 - \eu^{-t/\tau})]. وعند 2.0 s2.0\,\mathrm{s}: 4.9×(2.0−0.5×0.98)=7.4 m4.9 \times (2.0 - 0.5 \times 0.98) = 7.4\,\mathrm{m}، في مقابل 12gt2=20 m\tfrac12 gt^2 = 20\,\mathrm{m} في الخلاء.

تمرين 12.12 ★★★

سيارة كتلتها mm تسير على الوجه الداخلي لحلقة دائرية شاقولية نصف قطرها RR (المسألة 11.1). عبّر عن رد فعل المضمار الناظمي بدلالة الزاوية θ\theta من الأسفل و قيمة السرعة v(θ)v(\theta)؛ واستنتج قيمة السرعة الصغرى عند القمة؛ وباستعمال v2=v02−2gR(1−cos⁡θ)v^2 = v_0^2 - 2gR(1 - \cos\theta)، أوجد قيمة سرعة الدخول الصغرى و رد الفعل عند الأسفل في تلك الحالة.

حل

حل التمرين 12.12.

الإسقاط القطري (نحو المركز): N−mgcos⁡θ=mv2/RN - mg\cos\theta = mv^2/R، ومنه N=m(v2/R+gcos⁡θ)N = m(v^2/R + g\cos\theta). وعند القمة (حيث θ=π\theta = \pi): N=m(v2/R−g)≥0N = m(v^2/R - g) \geq 0 إذا وفقط إذا كان v≥gRv \geq \sqrt{gR}. ومع قانون قيمة السرعة، vالقمة2=v02−4gR≥gRv_{\text{القمة}}^2 = v_0^2 - 4gR \geq gR: أي v0≥5gRv_0 \geq \sqrt{5gR}؛ وعندئذٍ يكون عند الأسفل N=m(5g+g)=6mgN = m(5g + g) = 6mg.

السقوط الحرّ مع الهواء: فبعد بضع ثوانٍ يوازن السحب التربيعي الوزنَ ويسقط المظلّي بسرعة حدية قرب 200\, km/ h — وهي مسألة نهاية الأسبوع.
السقوط الحرّ مع الهواء: فبعد بضع ثوانٍ يوازن السحب التربيعي الوزنَ ويسقط المظلّي بسرعة حدية قرب 200 km/h200\,\mathrm{km}/\mathrm{h} — وهي مسألة نهاية الأسبوع.

12.6 مسألة: المظلّي

مسألة 12.1

مسألة نهاية الأسبوع — من باب الطائرة إلى الأرض: سقوط حرّ، وهواء يدفع، ومظلّة تُفتح بسرعة مفرطة، والهبوط — قانون حركة واحد وقانونا سحب

مظلّي بعتاده كتلته m=80 kgm = 80\,\mathrm{kg}. والهواء: ρ=1.2 kg/m3\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} و η=1.8×10−5 Pa s\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}. وفي السقوط منبطحًا، CxS=0.80 m2C_xS = 0.80\,\mathrm{m}^{2}؛ وتحت المظلّة المفتوحة، CxS=25 m2C_xS = 25\,\mathrm{m}^{2}. و g=9.81 m/s2g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}؛ ويُحسب zz نازلًا من نقطة القفز.

الجزء I — بلا هواء.

  1. اكتب قانون نيوتن الثاني وأعطِ v(t)v(t) و z(t)z(t)؛ واحسبهما معًا عند t=10 st = 10\,\mathrm{s}.
  2. احسب الوزن.
  3. يشعر المظلّي بأنه “بلا وزن” في هذه المرحلة مع أن الجاذبية تعمل بكاملها. فسّر ذلك بالقوى (ما الذي ينقص مقارنةً بالوقوف على الأرض).
  4. هل مرجع الأرض عطالي بما فيه الكفاية لهذه المسألة؟ وسمِّ ما يُهمَل.

الجزء II — السقوط عبر الهواء.

  1. اكتب قوة السحب في السقوط منبطحًا بدلالة vv.
  2. اكتب معادلة الحركة من أجل v(t)v(t).
  3. أوجد السرعة الحدية v∞v_\infty (بوحدتَي m/s\mathrm{m}/\mathrm{s} و km/h\mathrm{km}/\mathrm{h}).
  4. مع u=v/v∞u = v/v_\infty و τ=v∞/g\tau = v_\infty/g، بيّن أن  ⁣du/ ⁣dt=(1−u2)/τ\dd u/\dd t = (1 - u^2)/\tau؛ واحسب τ\tau.
  5. حلّ بفصل المتغيرات وبيّن أن v=v∞tanh⁡(t/τ)v = v_\infty\tanh(t/\tau).
  6. بعد كم من الزمن يكون v=0.9v∞v = 0.9v_\infty؟ و 0.99v∞0.99v_\infty؟
  7. بيّن أن z(t)=v∞τln⁡cosh⁡(t/τ)z(t) = v_\infty\tau\ln\cosh(t/\tau) واحسب المسافة المقطوعة عند t=10 st = 10\,\mathrm{s}؛ وقارنها بالجزء I.
  8. قدّر عدد رينولدز عند v∞v_\infty مع L=0.5 mL = 0.5\,\mathrm{m} وبرّر القانون التربيعي.

الجزء III — المظلّة تُفتح.

  1. احسب السرعة الحدية الجديدة تحت المظلّة المفتوحة.
  2. لو فُتحت المظلّة لحظيًّا عند v=40 m/sv = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}، فما قيمة التباطؤ بوحدة m/s2\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} وبوحدة gg؟ ولماذا يكون هذا غير مقبول؟
  3. تُفتح المظلّات الحقيقية على مدى نحو 3 s3\,\mathrm{s}. قدّر متوسط التباطؤ ومتوسط قوة الحزام على المظلّي.
  4. حالما تنفتح المظلّة كاملةً تتناقص السرعة نحو v∞v_\infty الجديدة: فما ثابت الزمن الجديد τ′=v∞′/g\tau' = v_\infty'/g، وماذا يعني بالنسبة إلى بلوغ النزول المستقر؟
  5. في النزول المستقر، ما قوة الحزام؟ برّر بالقانون الثاني.
  6. فسّر لماذا تتغير السرعة الحدية بالمقدار 1/CxS1/\sqrt{C_xS}: فبأيّ عامل ترفعها مظلّة نصف المساحة؟
  7. قافز أثقل (100 kg100\,\mathrm{kg}) تحت المظلّة نفسها: فما السرعة الحدية؟

الجزء IV — الهبوط.

  1. قيمة سرعة الهبوط هي v∞v_\infty للمظلّة. فمن أيّ ارتفاع كان يجب القفز، بلا هواء، لبلوغ الأرض بتلك السرعة؟
  2. الهبوط بساقين متيبستين يوقف الجسم على مدى 0.5 m0.5\,\mathrm{m}؛ والتدحرج على مدى 1.5 m1.5\,\mathrm{m}. قدّر متوسط التباطؤ (بوحدة gg) و متوسط القوة على الساقين في كل حالة، واستنتج.
  3. قبيل ملامسة الأرض يسحب المظلّي المقبضين معًا، فيزيد ذلك سحب المظلّة برهةً. فسّر نوعيًّا أثر ذلك في السرعة.

الجزء V — الأشياء الصغيرة تسقط سقوطًا مختلفًا.

  1. قطرة مطر نصف قطرها 1.0 mm1.0\,\mathrm{mm} (مع Cx=0.5C_x = 0.5): احسب سرعتها الحدية بالقانون التربيعي، وتحقق من عدد رينولدز.
  2. قطرة ضباب نصف قطرها 10 µm10\,\text{µ}\mathrm{m}: استعمل قانون ستوكس من أجل v∞v_\infty وتحقق من أن عدد رينولدز صغير فعلًا.
  3. لخّص: معادلة حركة واحدة، ونظاما سحب، و الأعداد الثلاثة (بوحدة m/s\mathrm{m}/\mathrm{s}) التي تقرّر هل يسقط الشيء سقوط حجر أم سقوط ورقة أم لا يسقط البتة.
حل

حل المسألة 12.1.

1. mv˙=mgm\dot v = mg: ومنه v=gtv = gt و z=12gt2z = \tfrac12 gt^2؛ وعند 10 s10\,\mathrm{s}: 98 m/s98\,\mathrm{m}/\mathrm{s} و490 m490\,\mathrm{m}.

2. mg=785 Nmg = 785\,\mathrm{N}.

3. على الأرض تدفع الأرضية إلى أعلى بالقوة N=mgN = mg — وذلك الدفع هو ما يُشعر به وزنًا. أما في السقوط الحرّ فلا قوة تماسّ: إذ تؤثر الجاذبية في كل جزء تأثيرًا واحدًا ولا يضغط شيء.

4. نعم إلى حدود جزء من المئة على مدى دقيقة؛ والمهمَل: دوران الأرض (أي الحدّان الطارد المركزي وكوريوليس، الفصل 18) والرياح.

5. Fd=12ρCxSv2=0.48 v2F_d = \tfrac12\rho C_xSv^2 = 0.48\,v^2 (بوحدات النظام الدولي).

6. m  ⁣dv/ ⁣dt=mg−0.48v2m\,\dd v/\dd t = mg - 0.48v^2.

7. v∞=mg/0.48=1635=40 m/s=146 km/hv_\infty = \sqrt{mg/0.48} = \sqrt{1635} = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 146\,\mathrm{km}/\mathrm{h}.

8. نقسم على mgmg:  ⁣du/ ⁣dt (v∞/g)=1−u2\dd u/\dd t\,(v_\infty/g) = 1 - u^2؛ و τ=40.4/9.81=4.1 s\tau = 40.4/9.81 = 4.1\,\mathrm{s}.

9. ∫0u ⁣du′/(1−u′2)=artanh⁡u=t/τ\int_0^u\dd u'/(1 - u'^2) = \operatorname{artanh}u = t/\tau، ومنه u=tanh⁡(t/τ)u = \tanh(t/\tau).

10. t=τartanh⁡(0.9)=1.47τ=6.1 st = \tau\operatorname{artanh}(0.9) = 1.47\tau = 6.1\,\mathrm{s}؛ ومن أجل 0.990.99: 2.65τ=11 s2.65\tau = 11\,\mathrm{s}.

11. z=∫v∞tanh⁡(t/τ) ⁣dt=v∞τln⁡cosh⁡(t/τ)z = \int v_\infty\tanh(t/\tau)\dd t = v_\infty\tau\ln\cosh(t/\tau)؛ وعند 10 s10\,\mathrm{s}: 166×ln⁡cosh⁡(2.43)=166×1.74=290 m166 \times \ln\cosh(2.43) = 166 \times 1.74 = 290\,\mathrm{m}، في مقابل 490 m490\,\mathrm{m}.

12. Re=1.2×40×0.5/1.8×10−5≈1.3×106\mathrm{Re} = 1.2 \times 40 \times 0.5/1.8\times10^{-5} \approx 1.3 \times 10^{6}: أي أعلى بكثير من 10001000، فتربيعي.

13. v∞′=785/(0.6×25)=52=7.2 m/sv_\infty' = \sqrt{785/(0.6 \times 25)} = \sqrt{52} = 7.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}.

14. السحب =15×1600=24 kN= 15 \times 1600 = 24\,\mathrm{kN}؛ وa=(24000−785)/80=290 m/s2≈30ga = (24000 - 785)/80 = 290\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 30g: فينكسر الحزام، أو ينكسر القافز.

15. متوسط a≈(40−7)/3=11 m/s2≈1.1ga \approx (40 - 7)/3 = 11\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 1.1g؛ وقوة الحزام ≈m(g+a)≈1.7 kN\approx m(g + a) \approx 1.7\,\mathrm{kN}.

16. τ′=7.2/9.81=0.73 s\tau' = 7.2/9.81 = 0.73\,\mathrm{s}: أي إن النزول يصير مستقرًّا خلال بضع ثوانٍ من الانفتاح الكامل.

17. a→=0→\vect a = \vect 0: فقوة الحزام =mg=785 N= mg = 785\,\mathrm{N}.

18. يعطي التوازن mg=12ρCxSv2mg = \tfrac12\rho C_xSv^2 أن v∝(CxS)−1/2v \propto (C_xS)^{-1/2}: فنصف المساحة يعطي 2\sqrt2 ضعف السرعة (أي 10 m/s10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}).

19. v∝mv \propto \sqrt m: ومنه 7.2×100/80=8.1 m/s7.2 \times \sqrt{100/80} = 8.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}.

20. h=v2/2g=52/19.6=2.6 mh = v^2/2g = 52/19.6 = 2.6\,\mathrm{m}: أي قفزة من الطابق الأول.

21. a=v2/2da = v^2/2d: أي 52 m/s252\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} (5.3g5.3g) على 0.5 m0.5\,\mathrm{m}، والقوة m(g+a)≈5 kNm(g + a) \approx 5\,\mathrm{kN}؛ و17 m/s217\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} (1.8g1.8g) على 1.5 m1.5\,\mathrm{m}، أي 2.2 kN2.2\,\mathrm{kN}. فالتدحرج.

22. سحب أكبر (مع بعض الرفع) يتجاوز الوزن برهةً: فيتباطأ القافز ويلامس الأرض دون v∞′v_\infty'.

23. m=43πr3ρw=4.2×10−6 kgm = \tfrac43\pi r^3\rho_w = 4.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{kg} و S=πr2=3.1×10−6 m2S = \pi r^2 = 3.1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}: ومنه v∞=2mg/ρCxS=8.2×10−5/1.9×10−6=6.6 m/sv_\infty = \sqrt{2mg/\rho C_xS} = \sqrt{8.2\times10^{-5}/ 1.9\times10^{-6}} = 6.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}؛ وRe=1.2×6.6×2×10−3/1.8×10−5≈900\mathrm{Re} = 1.2 \times 6.6 \times 2\times10^{-3}/1.8\times10^{-5} \approx 900: أي تربيعي (تقريبًا).

24. v∞=1.2 cm/sv_\infty = 1.2\,\mathrm{cm}/\mathrm{s} (التمرين 12.6)؛ وRe≈0.02≪1\mathrm{Re} \approx 0.02 \ll 1: فينطبق ستوكس، على نحو متسق.

25. mv→˙=mg→+F→السحبm\dot{\vect v} = m\vect g + \vect F_{\text{السحب}}؛ والسحب خطي في vv للأشياء الصغيرة البطيئة، وتربيعي للكبيرة السريعة. و الأعداد: 40 m/s40\,\mathrm{m}/\mathrm{s} لجسم ساقط، و7 m/s7\,\mathrm{m}/\mathrm{s} تحت مظلّة (أو لقطرة مطر)، و1 cm/s1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s} للضباب — وهو القانون نفسه ممتدًّا على أربع رتب من رتب القدر.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد