ما معنى سبين النصف؟ — الفيزياء

تعريف 12.2 الفيزياء الجامعية — السنة الثالثة · الفصل 12 — السبين والجمل ذات المستويين

يحمل الإلكترون (وكذلك البروتون والنترون والكواركات) عزمًا حركيًا ذاتيًا مقداره $j = \tfrac12$ : أي فضاء حالات ثنائي البعد يولّده $\ket\uparrow, \ket\downarrow$ (وهما الحالتان الذاتيتان للمؤثر $\hat S_z$ بالقيمتين $\pm\hbar/2$ )، وعليه

\hat{\vect S} = \frac\hbar2\,\hat{\vect\sigma} , \qquad \sigma_x = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} ,\; \sigma_y = \begin{pmatrix}0&-\iu\\\iu&0\end{pmatrix} ,\; \sigma_z = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}

— وهي مصفوفات باولي، التي تحقق جبر العزم الحركي في أصغر بيت ممكن له. والحالة العامة $\alpha\ket\uparrow + \beta\ket\downarrow$ سبينور. أما العزم المغناطيسي للإلكترون فهو

\hat{\vect\mu} = -g\,\frac{\mu_{\text{B}}}{\hbar}\,\hat{\vect S} , \qquad g \approx 2 :

أي ضعف المعدل المداري لكل وحدة عزم حركي — وهو الشذوذ الذي قاسه أينشتاين ودي هاس (التمرين 10.12) والذي ستتنبأ به معادلة ديراك لاحقًا. والسبين ليس دورانًا لشيء: فلا نصف قطر ولا “كرة دوّارة” يصمد أمام التدقيق — بل هو ذاتي، كالشحنة.

أمثلة

مثال 12.3 (مرشّحات شتيرن–غيرلاخ المتسلسلة)

انتقِ الحزمة $S_z = +\hbar/2$ ، ثم قِس $S_z$ من جديد: تجيب كل الذرات بالقيمة $+$ . وقِس $S_x$ بدلًا منه: فتجد النصف والنصف — إذ إن الحالة $\ket\uparrow$ هي التراكب $(\ket{+x} + \ket{-x})/\sqrt2$ . والآن أبقِ الحزمة $S_x = +$ وقِس $S_z$ مرة أخرى: فتجد النصف والنصف من جديد — إذ محا قياس $S_x$ حدّةَ $S_z$ السابقة. فثلاثة مغانط تكفي لعرض اللاتوافق والانهيار وقاعدة بورن؛ وهذه السلسلة هي المثال 8.7 مؤدّاةً بالذرات.

مثال 12.1 (شتيرن–غيرلاخ)

العزم المغناطيسي $\vect\mu$ في مجال غير منتظم يحسّ القوة $F_z = \mu_z\,\partial B_z/\partial z$ : فالانحراف يقيس $\mu_z$ . والتوقع الكلاسيكي: عزوم موجَّهة عشوائيًا، أي مروحة متصلة. والتوقع الكمومي من أجل العزوم المدارية: $2l + 1$ بقعة: واحدة أو ثلاث أو خمس — فردية دائمًا. والمشاهَد في الفضة (وفي الهدروجين): بقعتان متناظرتان ولا شيء بينهما. فالمركبة المقيسة تأخذ قيمتين بالضبط — وهو توقيع $j = \tfrac12$ الممنوع على المدارات، والعرض المباشر للتكميم: فالجهاز أداة قياس لمركبة سبين واحدة، وتنشطر الحزمة إلى قيمتيها الذاتيتين.

مثال 12.7 (البنية فوق الدقيقة وخط 21 سنتيمترًا)

في الحالة الأساسية للهدروجين يتفاعل سبينا الإلكترون والبروتون عبر عزميهما المغناطيسيين: فتنفصم حالات السبين الأربع إلى ثلاثي وأحادي يفصل بينهما $\Delta E = 5.9\,\text{µ}\mathrm{eV}$ لا غير — وهو الانفصام فوق الدقيق، مع $\nu = 1420\,\mathrm{MHz}$ و $\lambda = 21\,\mathrm{cm}$ . والانتقال بطيء بطئًا عبثيًا (انقلاب واحد كل عشرة ملايين سنة)، لكن المجرّة تحوي $10^{66}$ ذرة هدروجين: فخط 21 سنتيمترًا ساطع بما يكفي لأن يكون قد رسم الأذرع الحلزونية والتواء القرص، و— عبر انزياحات دوبلر فيه — منحنيات الدوران المسطحة التي تحاجّ للمادة المظلمة. والفيزياء نفسها، في الحالة الأساسية للسيزيوم، تفصم المستويين بالمقدار $9\,192\,631\,770\,\mathrm{Hz}$ بالضبط: فمنذ 1967 صار تعريف الثانية انقلابَ سبين فوق دقيق معدودًا (التمرين 12.12).

اقرأ في الفصل ←