جميع الكتب
حول المدرب تسجيل الدخول ابدأ القراءة

الفيزياء · المسرد

ما معنى سبين النصف؟

تعريف 12.2 الفيزياء الجامعية — السنة الثالثة · الفصل 12 — السبين والجمل ذات المستويين

يحمل الإلكترون (وكذلك البروتون والنترون والكواركات) عزمًا حركيًا ذاتيًا مقداره j=12j = \tfrac12: أي فضاء حالات ثنائي البعد يولّده ∣↑⟩,∣↓⟩\ket\uparrow, \ket\downarrow (وهما الحالتان الذاتيتان للمؤثر S^z\hat S_z بالقيمتين ±ℏ/2\pm\hbar/2)، وعليه

S→^=ℏ2 σ→^,σx=(0110),  σy=(0−ii0),  σz=(100−1)\hat{\vect S} = \frac\hbar2\,\hat{\vect\sigma} , \qquad \sigma_x = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} ,\; \sigma_y = \begin{pmatrix}0&-\iu\\\iu&0\end{pmatrix} ,\; \sigma_z = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}

— وهي مصفوفات باولي، التي تحقق جبر العزم الحركي في أصغر بيت ممكن له. والحالة العامة α∣↑⟩+β∣↓⟩\alpha\ket\uparrow + \beta\ket\downarrow سبينور. أما العزم المغناطيسي للإلكترون فهو

μ→^=−g μBℏ S→^,g≈2:\hat{\vect\mu} = -g\,\frac{\mu_{\text{B}}}{\hbar}\,\hat{\vect S} , \qquad g \approx 2 :

أي ضعف المعدل المداري لكل وحدة عزم حركي — وهو الشذوذ الذي قاسه أينشتاين ودي هاس (التمرين 10.12) والذي ستتنبأ به معادلة ديراك لاحقًا. والسبين ليس دورانًا لشيء: فلا نصف قطر ولا “كرة دوّارة” يصمد أمام التدقيق — بل هو ذاتي، كالشحنة.

أمثلة

مثال 12.3 (مرشّحات شتيرن–غيرلاخ المتسلسلة)

انتقِ الحزمة Sz=+ℏ/2S_z = +\hbar/2، ثم قِس SzS_z من جديد: تجيب كل الذرات بالقيمة ++. وقِس SxS_x بدلًا منه: فتجد النصف والنصف — إذ إن الحالة ∣↑⟩\ket\uparrow هي التراكب (∣+x⟩+∣−x⟩)/2(\ket{+x} + \ket{-x})/\sqrt2. والآن أبقِ الحزمة Sx=+S_x = + وقِس SzS_z مرة أخرى: فتجد النصف والنصف من جديد — إذ محا قياس SxS_x حدّةَ SzS_z السابقة. فثلاثة مغانط تكفي لعرض اللاتوافق والانهيار وقاعدة بورن؛ وهذه السلسلة هي المثال 8.7 مؤدّاةً بالذرات.

مثال 12.1 (شتيرن–غيرلاخ)

العزم المغناطيسي μ→\vect\mu في مجال غير منتظم يحسّ القوة Fz=μz ∂Bz/∂zF_z = \mu_z\,\partial B_z/\partial z: فالانحراف يقيس μz\mu_z. والتوقع الكلاسيكي: عزوم موجَّهة عشوائيًا، أي مروحة متصلة. والتوقع الكمومي من أجل العزوم المدارية: 2l+12l + 1 بقعة: واحدة أو ثلاث أو خمس — فردية دائمًا. والمشاهَد في الفضة (وفي الهدروجين): بقعتان متناظرتان ولا شيء بينهما. فالمركبة المقيسة تأخذ قيمتين بالضبط — وهو توقيع j=12j = \tfrac12 الممنوع على المدارات، والعرض المباشر للتكميم: فالجهاز أداة قياس لمركبة سبين واحدة، وتنشطر الحزمة إلى قيمتيها الذاتيتين.

مثال 12.7 (البنية فوق الدقيقة وخط 21 سنتيمترًا)

في الحالة الأساسية للهدروجين يتفاعل سبينا الإلكترون والبروتون عبر عزميهما المغناطيسيين: فتنفصم حالات السبين الأربع إلى ثلاثي وأحادي يفصل بينهما ΔE=5.9 µeV\Delta E = 5.9\,\text{µ}\mathrm{eV} لا غير — وهو الانفصام فوق الدقيق، مع ν=1420 MHz\nu = 1420\,\mathrm{MHz} و λ=21 cm\lambda = 21\,\mathrm{cm}. والانتقال بطيء بطئًا عبثيًا (انقلاب واحد كل عشرة ملايين سنة)، لكن المجرّة تحوي 106610^{66} ذرة هدروجين: فخط 21 سنتيمترًا ساطع بما يكفي لأن يكون قد رسم الأذرع الحلزونية والتواء القرص، و— عبر انزياحات دوبلر فيه — منحنيات الدوران المسطحة التي تحاجّ للمادة المظلمة. والفيزياء نفسها، في الحالة الأساسية للسيزيوم، تفصم المستويين بالمقدار 9 192 631 770 Hz9\,192\,631\,770\,\mathrm{Hz} بالضبط: فمنذ 1967 صار تعريف الثانية انقلابَ سبين فوق دقيق معدودًا (التمرين 12.12).

اقرأ في الفصل ←