¿Qué es Espín un medio? — Física

Definición 12.2 Física universitaria — tercer año · Capítulo 12 — Espín y sistemas de dos niveles

El electrón (y el protón, el neutrón, los quarks) lleva un momento angular intrínseco con $j = \tfrac12$ : un espacio de estados bidimensional generado por $\ket\uparrow, \ket\downarrow$ (estados propios de $\hat S_z$ con $\pm\hbar/2$ ), sobre el cual

\hat{\vect S} = \frac\hbar2\,\hat{\vect\sigma} , \qquad \sigma_x = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} ,\; \sigma_y = \begin{pmatrix}0&-\iu\\\iu&0\end{pmatrix} ,\; \sigma_z = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}

— las matrices de Pauli, que realizan el álgebra del momento angular en su hogar más pequeño posible. Un estado general $\alpha\ket\uparrow + \beta\ket\downarrow$ es un espinor. El momento magnético del electrón es

\hat{\vect\mu} = -g\,\frac{\mu_{\text{B}}}{\hbar}\,\hat{\vect S} , \qquad g \approx 2 :

el doble del ritmo orbital por unidad de momento angular — la anomalía que Einstein y de Haas habían medido (Ejercicio 10.12) y que la ecuación de Dirac predeciría más tarde. El espín no es la rotación de nada: ningún radio ni ninguna “bola que gira” sobreviven al escrutinio — es intrínseco, como la carga.

Ejemplos

Ejemplo 12.3 (Filtros de Stern–Gerlach encadenados)

Selecciónese el haz con $S_z = +\hbar/2$ y mídase $S_z$ de nuevo: todos los átomos responden $+$ . Mídase $S_x$ en su lugar: mitad y mitad — el estado $\ket\uparrow$ es la superposición $(\ket{+x} + \ket{-x})/\sqrt2$ . Consérvese ahora el haz con $S_x = +$ y mídase $S_z$ una vez más: mitad y mitad otra vez — la medida de $S_x$ borró el $S_z$ antes bien definido. Tres imanes bastan para exhibir la incompatibilidad, el colapso y la regla de Born; esta cadena es el Ejemplo 8.7 ejecutado con átomos.

Ejemplo 12.1 (Stern–Gerlach)

Un momento magnético $\vect\mu$ en un campo inhomogéneo siente la fuerza $F_z = \mu_z\,\partial B_z/\partial z$ : la desviación mide $\mu_z$ . Expectativa clásica: momentos orientados al azar y un abanico continuo. Expectativa cuántica para momentos orbitales: $2l + 1$ manchas: una, tres, cinco — siempre impar. Lo observado para la plata (y para el hidrógeno): dos manchas, simétricas y nada en medio. La componente medida toma exactamente dos valores — la firma de $j = \tfrac12$ , prohibida a las órbitas, y la exhibición directa de la cuantización: el aparato es un instrumento de medida de una componente del espín, y el haz se parte en sus dos valores propios.

Ejemplo 12.7 (Estructura hiperfina y la línea de 21 cm)

En el estado fundamental del hidrógeno, los espines del electrón y del protón interaccionan a través de sus momentos magnéticos: los cuatro estados de espín se desdoblan en un triplete y un singlete separados por solo $\Delta E = 5.9\,\text{µ}\mathrm{eV}$ — el desdoblamiento hiperfino, $\nu = 1420\,\mathrm{MHz}$ , $\lambda = 21\,\mathrm{cm}$ . La transición es absurdamente lenta (una inversión cada diez millones de años), pero la Galaxia contiene $10^{66}$ átomos de hidrógeno: la línea de 21 cm es lo bastante brillante como para haber cartografiado los brazos espirales, el alabeo del disco y — a través de sus desplazamientos Doppler — las curvas de rotación planas que abogan por la materia oscura. La misma física, en el estado fundamental del cesio, desdobla niveles en exactamente $9\,192\,631\,770\,\mathrm{Hz}$ : desde 1967, la definición del segundo es una inversión hiperfina de espín contada una a una (Ejercicio 12.12).

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