चक्रण एक-बटा-दो क्या है? — भौतिकी

परिभाषा 12.2 विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 3 · अध्याय 12 — चक्रण और द्वि-स्तरीय तंत्र

इलेक्ट्रॉन (और प्रोटॉन, न्यूट्रॉन तथा क्वार्क) $j = \tfrac12$ का कोई अंतर्जात कोणीय संवेग ढोता है: अर्थात् एक द्विविमीय अवस्था-समष्टि, जिसे $\ket\uparrow, \ket\downarrow$ फैलाते हैं ( $\hat S_z$ की अभिलक्षणिक अवस्थाएँ, $\pm\hbar/2$ के साथ), और जिस पर

\hat{\vect S} = \frac\hbar2\,\hat{\vect\sigma} , \qquad \sigma_x = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} ,\; \sigma_y = \begin{pmatrix}0&-\iu\\\iu&0\end{pmatrix} ,\; \sigma_z = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}

— अर्थात् पाउली आव्यूह, जो कोणीय संवेग के बीजगणित को उसके सबसे छोटे संभव घर में साकार करते हैं। कोई व्यापक अवस्था $\alpha\ket\uparrow + \beta\ket\downarrow$ एक स्पिनर है। इलेक्ट्रॉन का चुंबकीय आघूर्ण है

\hat{\vect\mu} = -g\,\frac{\mu_{\text{B}}}{\hbar}\,\hat{\vect S} , \qquad g \approx 2 :

अर्थात् प्रति एकांक कोणीय संवेग कक्षकीय दर का दुगुना — वही विषमता, जिसे आइंस्टाइन–दे हास ने नापा था (अभ्यास 10.12) और जिसकी भविष्यवाणी बाद में डिराक का समीकरण करेगा। चक्रण किसी वस्तु का घूमना नहीं है: न कोई त्रिज्या, न कोई “घूमती गेंद” जाँच के आगे टिकती है — वह अंतर्जात है, आवेश की तरह।

उदाहरण

उदाहरण 12.3 (शृंखलाबद्ध श्टर्न–गेरलाख छन्ने)

$S_z = +\hbar/2$ वाला पुंज छाँटिए और $S_z$ फिर नापिए: सारे परमाणु $+$ ही उत्तर देते हैं। इसके बदले $S_x$ नापिए: आधे-आधे — अर्थात् अवस्था $\ket\uparrow$ ही अध्यारोपण $(\ket{+x} + \ket{-x})/\sqrt2$ है। अब $S_x = +$ वाला पुंज रखिए और $S_z$ एक बार और नापिए: फिर आधे और आधे — $S_x$ की माप ने पहले से तीखे $S_z$ को मिटा दिया। असंगति, संकुचन और बोर्न का नियम दिखाने के लिए तीन चुंबक बहुत हैं; यह शृंखला परमाणुओं से किया गया उदाहरण 8.7 ही है।

उदाहरण 12.1 (श्टर्न–गेरलाख)

किसी असमांगी क्षेत्र में कोई चुंबकीय आघूर्ण $\vect\mu$ बल $F_z = \mu_z\,\partial B_z/\partial z$ अनुभव करता है: अतः विक्षेपण $\mu_z$ नाप देता है। चिरसम्मत अपेक्षा: आघूर्ण यादृच्छिक दिशाओं में, और एक संतत पंखा। कक्षकीय संवेगों के लिए क्वांटम अपेक्षा: $2l + 1$ धब्बे: एक, तीन, पाँच — सदा विषम। चाँदी के लिए (और हाइड्रोजन के लिए) प्रेक्षित: दो धब्बे, सममित, और बीच में कुछ नहीं। नापा गया घटक ठीक दो ही मान लेता है — $j = \tfrac12$ की छाप, जो कक्षाओं के लिए वर्जित है, और क्वांटन का सीधा प्रदर्शन: यंत्र किसी एक चक्रण-घटक का माप-उपकरण है, और पुंज उसके दो अभिलक्षणिक मानों में बँट जाता है।

उदाहरण 12.7 (अतिसूक्ष्म संरचना और 21 cm रेखा)

हाइड्रोजन की मूल अवस्था में इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन के चक्रण अपने चुंबकीय आघूर्णों से अन्योन्यक्रिया करते हैं: चारों चक्रण-अवस्थाएँ एक त्रिक और एक एकक में बँट जाती हैं, जिनके बीच केवल $\Delta E = 5.9\,\text{µ}\mathrm{eV}$ का अंतर है — वही अतिसूक्ष्म विपाटन, $\nu = 1420\,\mathrm{MHz}$ , $\lambda = 21\,\mathrm{cm}$ । यह संक्रमण हास्यास्पद रूप से धीमा है (प्रति एक करोड़ वर्ष में एक पलटाव), पर मंदाकिनी में $10^{66}$ हाइड्रोजन परमाणु हैं: अतः 21 cm रेखा इतनी चमकीली है कि उसने सर्पिल भुजाएँ, चकती का मोड़, और — अपने डॉप्लर खिसकावों से — वे सपाट घूर्णन-वक्र भी नक्शे पर ला दिए जो श्याम पदार्थ का तर्क देते हैं। वही भौतिकी सीज़ियम की मूल अवस्था में स्तरों को ठीक $9\,192\,631\,770\,\mathrm{Hz}$ जितना विपाटित करती है: और 1967 से सेकंड की परिभाषा गिनकर पूरा किया गया कोई अतिसूक्ष्म चक्रण-पलटाव ही है (अभ्यास 12.12)।

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