Physics · الكتاب 5 · Bachelor Year 3

الفيزياء الجامعية — السنة الثالثة

الفيزياء الجامعية — السنة الثالثة · Bachelor Year 3

8صياغة الميكانيك الكمومي

خذ ثلاثة مرشّحات استقطاب. اثنان منها، متقاطعان عند 90∘90^\circ، يحجبان الضوء حجبًا تامًّا؛ فأدخل الثالث بينهما عند 45∘45^\circ يعبر الضوء من خلالها — فإضافة عائق تفتح الطريق. ولا تصمد أمام هذه التجربة أيّ صورة للمرشّحات على أنها مناخل؛ والذي يصمد هو الجبر الخطي: فاستقطاب الفوتون متجهة، وكل مرشّح يقيسه على محور ويسقطه، والاحتمالات مربعات المركبات. ويرسي هذا الفصل ذلك الجبر أساسًا فعليًا للميكانيك الكمومي. فالدوال الموجية في الفصول السابقة لم تكن إلا ثوبًا ملموسًا واحدًا لجسد أشدّ تجريدًا: فالحالات متجهات في فضاء هيلبرت، والمرصودات مؤثرات هرميتية، والقيم المقيسة قيم ذاتية، والاحتمالات مربعات جداءات سلّمية، والتطور مولَّد بالهاميلتونية. خمس مسلَّمات، كلها تعمل سلفًا في كل ما حسبناه — وهي، متى صيغت صياغة نظيفة، أقوى من أن تعجز عن جمل لا تصفها موجة على مستقيم: استقطاب الفوتون، وسبين الإلكترون، والنيوترينوات التي تتذبذب هويتها عبر الأرض.

8.1 الحالات متجهات

تعريف 8.1 (فضاء الحالات والكِتّات والأقواس)

تؤلف حالات جملة كمومية فضاءً متجهيًا عقديًا مزوَّدًا بجداء داخلي — أي فضاء هيلبرت H\mathcal H (وتُطوَّر رياضياته في كتاب رياضيات السنة الثالثة). والحالة متجهة، تُكتب كِتًّا ∣ψ⟩\ket\psi، منظَّمة: ⟨ψ | ψ⟩=1\braket\psi\psi = 1. والجداء الداخلي لحالتين هو العدد العقدي ⟨φ | ψ⟩\braket\varphi\psi، وهو خطي مرافق في الخانة الأولى، مع ⟨φ | ψ⟩=⟨ψ | φ⟩∗\braket\varphi\psi = \braket\psi\varphi^*. وفي أساس متعامد نظامي {∣ei⟩}\{\ket{e_i}\}،

∣ψ⟩=∑ici∣ei⟩,ci=⟨ei | ψ⟩,∑i∣ci∣2=1.\ket\psi = \sum_i c_i\ket{e_i} , \qquad c_i = \braket{e_i}\psi , \qquad \sum_i|c_i|^2 = 1 .

والدالة الموجية في الفصول السابقة هي عائلة مركبات ∣ψ⟩\ket\psi على المواضع: ψ(x)=⟨x | ψ⟩\psi(x) = \braket{x}{\psi}؛ فلا يضيع شيء، وتصير الجمل ذات فضاءات الحالات المنتهية — ولا يمكن حلمها أمواجًا — قابلة للوصف.

مثال 8.2 (استقطاب الفوتون: عالم ثنائي البعد)

فوتون يمضي على المحور zz يحمل حالة استقطاب في فضاء هيلبرت ثنائي البعد، أساسه ∣H⟩\ket H (أفقي) و ∣V⟩\ket V (شاقولي). والضوء المستقطب بالزاوية θ\theta هو التراكب

∣θ⟩=cos⁡θ ∣H⟩+sin⁡θ ∣V⟩,\ket\theta = \cos\theta\,\ket H + \sin\theta\,\ket V ,

والاستقطاب الدائري هو التركيب العقدي (∣H⟩±i∣V⟩)/2(\ket H \pm \iu\ket V)/\sqrt2: فكون المعاملات عقدية ليس زينة بل فيزياء. وكل جملة كمومية ذات مستويين — سبين أو جزيء النشادر أو كيوبت فائق الناقلية — هي هذا الفضاء المتجهي نفسه في ثياب مختلفة.

حالة استقطاب بوصفها متجهة: مربعات مركباتها على أساس محلّل هي احتمالات النتائج — أي هندسة صارت احتمالًا.
حالة استقطاب بوصفها متجهة: مربعات مركباتها على أساس محلّل هي احتمالات النتائج — أي هندسة صارت احتمالًا.

8.2 المرصودات مؤثرات

تعريف 8.3 (المرصودات)

المرصودة مؤثر خطي A^\hat A على H\mathcal H يكون هرميتيًا: أي ⟨φ | A^ψ⟩=⟨A^φ | ψ⟩\braket{\varphi}{\hat A\psi} = \braket{\hat A\varphi}{\psi} من أجل كل الحالات (وبلغة المصفوفات، A=A∗⊤A = A^{*\top}). ومتجهاته الذاتية وقيمه الذاتية، A^∣a⟩=a∣a⟩\hat A\ket{a} = a\ket{a}، تحمل الفيزياء: فالقيم aa هي القيم المقيسة الممكنة. ومن الحالات المألوفة: الموضع (x^\hat x: الضرب في xx)، وكمية الحركة (p^=−iℏ  ⁣d/ ⁣dx\hat p = -\iu\hbar\,\dd/\dd x)، والطاقة (H^=p^2/2m+V(x^)\hat H = \hat p^2/2m + V(\hat x)) — وفي بُعدين، أيّ مصفوفة هرميتية 2×22\times2.

مبرهنة 8.4 (لماذا هرميتي)

للمؤثر الهرميتي قيم ذاتية حقيقية، ومتجهاته الذاتية ذات القيم الذاتية المتمايزة متعامدة؛ وعلى فضاءات هذا الكتاب تؤلف متجهاته الذاتية أساسًا متعامدًا نظاميًا للفضاء H\mathcal H (وهي المبرهنة الطيفية، مبرهنةً في البعد المنتهي في كتاب رياضيات السنة الثانية؛ أما من أجل المؤثرات غير المحدودة x^\hat x و p^\hat p و H^\hat H فالعبارة الكاملة تنتمي إلى النظرية الطيفية في السنة الثالثة وهي مُسلَّم بها). فالقيم المقيسة يجب أن تكون حقيقية والنتائج المتمايزة يجب أن تكون متعامدة: فالهرميتية هي بالضبط شرط أن يمثّل مؤثرٌ قياسًا.

برهان جزئي. a⟨a | a⟩=⟨a | A^a⟩=⟨A^a | a⟩=a∗⟨a | a⟩a\braket aa = \braket{a}{\hat Aa} = \braket{\hat Aa}{a} = a^*\braket aa: فالقيمة aa حقيقية. ومن أجل A^∣a⟩=a∣a⟩\hat A\ket a = a\ket a و A^∣b⟩=b∣b⟩\hat A\ket b = b\ket b: نجد a⟨b | a⟩=⟨b | A^a⟩=⟨A^b | a⟩=b⟨b | a⟩a\braket ba = \braket{b}{\hat Aa} = \braket{\hat Ab}{a} = b\braket ba، ومنه (a−b)⟨b | a⟩=0(a - b)\braket ba = 0. ∎

مثال 8.5 (مرصودة ذات مستويين)

على فضاء الاستقطاب، في الأساس (∣H⟩,∣V⟩)(\ket H, \ket V)، لننظر في

A^=(0110):\hat A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix} :

وهي هرميتية؛ وقيمها الذاتية ±1\pm1؛ ومتجهاتها الذاتية (∣H⟩±∣V⟩)/2(\ket H \pm \ket V)/\sqrt2 — أي الاستقطابان عند ±45∘\pm45^\circ. وقياس A^\hat A يعني السؤال “قطري أم مضاد للقطري؟”، والأساس الذاتي هو جوابا هذين السؤالين. وكل مستقطِب عند 45∘45^\circ في التجربة الافتتاحية هو هذه المصفوفة في زجاج.

8.3 المسلَّمات

مبرهنة 8.6 (قواعد الميكانيك الكمومي)

(م1) حالة الجملة كِت منظَّم ∣ψ⟩\ket\psi في فضاء هيلبرت الخاص بها. (م2) كل مقدار قابل للقياس مؤثر هرميتي A^\hat A. (م3) النتائج الممكنة الوحيدة لقياس A^\hat A هي قيمه الذاتية. (م4) على حالة ∣ψ⟩\ket\psi، تقع النتيجة aa باحتمال P(a)=∣⟨a | ψ⟩∣2\mathcal P(a) = |\braket a\psi|^2 (وهي قاعدة بورن؛ ومن أجل قيمة ذاتية منحلّة، تُجمع مربعات المركبات على فضائها الذاتي). ومتوسط تجارب كثيرة هو ⟨A^⟩=⟨ψ∣A^∣ψ⟩\langle\hat A\rangle = \bra\psi\hat A\ket\psi. (م5) بُعيد قياس أعطى aa مباشرةً، تكون الحالة هي إسقاط ∣ψ⟩\ket\psi (منظَّمًا) على الفضاء الذاتي للقيمة aa — وهو الانهيار: فالقياس تفاعل يترك الجملة في الحالة الموافقة لجوابه هو. (م6) بين قياسين تتطور الحالة تطورًا واحديًا وفق معادلة شرودنغر iℏ  ⁣d ⁣dt∣ψ(t)⟩=H^∣ψ(t)⟩\iu\hbar\,\dfrac{\dd}{\dd t}\ket{\psi(t)} = \hat H\ket{\psi(t)}.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

مثال 8.7 (المستقطِبات الثلاثة، محسوبة)

ضوء شاقولي يلاقي محلّلًا متقاطعًا عند 90∘90^\circ: فيكون ∣⟨H | V⟩∣2=0|\braket HV|^2 = 0 — أي انطفاء. فأدخل مستقطِبًا عند 45∘45^\circ: تعبره الحالة ∣V⟩\ket V باحتمال ∣⟨45∘ | V⟩∣2=12|\braket{45^\circ}{V}|^2 = \tfrac12 وتنهار إلى ∣45∘⟩\ket{45^\circ} (بالمسلَّمة م5)؛ ثم تعبر تلك الحالة المحلّلَ الأفقي باحتمال ∣⟨H | 45∘⟩∣2=12|\braket{H}{45^\circ}|^2 = \tfrac12. فالنفوذ الصافي 14\tfrac14 بدل الصفر: فالمرشّح الأوسط لا “يفتح ثقبًا” — بل يؤدي قياسًا، ويعيد الانهيار تحضير الفوتون. ولا منخل كلاسيكي يفعل هذا؛ والإسقاط لا يفعل غيره.

تجربة المستقطِبات الثلاثة بوصفها ثلاثة قياسات متتالية: إسقاط ثم انهيار ثم إسقاط جديد. فمرشّح مضاف يزيد الضوء النافذ — وهو مستحيل على المناخل، تلقائي في الإسقاطات.
تجربة المستقطِبات الثلاثة بوصفها ثلاثة قياسات متتالية: إسقاط ثم انهيار ثم إسقاط جديد. فمرشّح مضاف يزيد الضوء النافذ — وهو مستحيل على المناخل، تلقائي في الإسقاطات.

ملاحظة 8.8 (ما الذي لا يبيحه الانهيار)

الانهيار آنيّ في الصياغة، والارتباطات الكمومية بين جسيمات متباعدة حقيقية ومقيسة — لكن لا رسالة تركبها: فالنتائج عند كاشف واحد، مقروءةً وحدها، لا تُميَّز من رمي قطعة نقد مهما فُعل بعيدًا. والعشوائية الكمومية غير قابلة للردّ أيضًا: فقاعدة بورن تعطي احتمالات حتى حين تكون الحالة معلومة تمامًا — إذ لا شيء آخر يمكن معرفته. وكلتا العبارتين مبرهنة من مبرهنات الصياغة، مختبَرة بدقة عالية؛ والانزعاج منهما محترَم وقد قاد قرنًا من التجارب، ربح الميكانيكُ الكمومي كلَّ واحدة منها.

8.4 المبدّلات والارتياب

تعريف 8.9 (المبدّلة؛ المرصودات المتوافقة)

مبدّلة مؤثرين هي [A^,B^]=A^B^−B^A^[\hat A, \hat B] = \hat A\hat B - \hat B\hat A. والمثال المؤسِّس، انطلاقًا من p^=−iℏ  ⁣d/ ⁣dx\hat p = -\iu\hbar\,\dd/\dd x:

[x^,p^]=iℏ.[\hat x, \hat p] = \iu\hbar .

وتكون مرصودتان متوافقتين حين [A^,B^]=0[\hat A, \hat B] = 0: فتقبلان عندئذٍ أساسًا ذاتيًا مشتركًا ويمكن معرفتهما معًا؛ وقياس إحداهما لا يزعج حالة حادّة في الأخرى. ومجموعة مرصودات متبادلة يكون أساسها الذاتي المشترك وحيدًا (أي CSCO) هي ما يعنيه “وسم حالة وسمًا تامًّا” — والوسوم (n1,n2,n3)(n_1, n_2, n_3) في العلبة كانت هذا بالضبط.

مبرهنة 8.10 (علاقة الارتياب في العموم)

في أيّ حالة، يحقق الانحرافان المعياريان لمرصودتين

ΔA  ΔB ≥ 12 ∣⟨[A^,B^]⟩∣.\Delta A\;\Delta B \ \ge\ \tfrac12\,\big|\langle[\hat A, \hat B]\rangle\big| .

ومن أجل x^\hat x و p^\hat p: Δx Δp≥ℏ/2\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2 — أي علاقة هايزنبرغ، وقد صارت الآن مبرهنة من الجبر الخطي لا قاعدة تخمينية. فاللاتوافق كمّي: إذ يحدّد حجم المبدّلة أرضية الحدّة المشتركة.

برهان جزئي. ليكن α^=A^−⟨A⟩\hat\alpha = \hat A - \langle A\rangle و β^=B^−⟨B⟩\hat\beta = \hat B - \langle B\rangle. تعطي متراجحة كوشي–شوارتز في كتاب رياضيات السنة الثالثة ΔA2ΔB2=∥α^ψ∥2∥β^ψ∥2≥∣⟨α^ψ | β^ψ⟩∣2\Delta A^2\Delta B^2 = \|\hat\alpha\psi\|^2\|\hat\beta\psi\|^2 \ge |\braket{\hat\alpha\psi}{\hat\beta\psi}|^2؛ والجزء التخيلي من ذلك الجداء هو 12i⟨[A^,B^]⟩\tfrac1{2\iu}\langle[\hat A, \hat B]\rangle، و ∣z∣2≥(Im⁡z)2|z|^2 \ge (\operatorname{Im}z)^2. ∎

ملاحظة 8.11 (الظلّ الكلاسيكي)

اقسم على iℏ\iu\hbar ودع ℏ→0\hbar \to 0: فتصير المبدّلات أقواس بواسون الواردة في الفصل 2، و {x,p}=1\{x, p\} = 1 صدًى للعلاقة [x^,p^]=iℏ[\hat x, \hat p] = \iu\hbar، وستعود أقواس العزم الحركي المحسوبة هناك مبدّلات، بلا تغيير، في الفصل 10. وقاعدة ديراك — أي القوس الكلاسيكي مضروبًا في iℏ\iu\hbar — هي كيف نجا هيكل الميكانيك من الثورة.

8.5 التطور والانحفاظ

قضية 8.12 (تطور المتوسطات؛ المقادير المحفوظة)

من أجل مرصودة لا تتعلق بالزمن صراحةً،

 ⁣d⟨A^⟩ ⁣dt=iℏ ⟨[H^,A^]⟩.\frac{\dd\langle\hat A\rangle}{\dd t} = \frac{\iu}{\hbar}\,\big\langle[\hat H, \hat A]\big\rangle .

والمرصودة التي تتبادل مع الهاميلتونية محفوظة — أي إن احتمالاتها، لا متوسطها وحده، مجمَّدة؛ فالتناظرات تعطي قوانين الانحفاظ من جديد، بلغة التبادل الآن. والحالات المستقرة هي المتجهات الذاتية للمؤثر H^\hat H، ولا تتطور إلا بالطور e−iEt/ℏ\eu^{-\iu Et/\hbar}؛ أما تراكب مستويين فينبض عند تواتر بور (E2−E1)/h(E_2 - E_1)/h، كما أظهرت آبار كتاب السنة الثانية.

برهان. نشتقّ ⟨ψ∣A^∣ψ⟩\bra\psi\hat A\ket\psi وندخل المسلَّمة م6 و مرافقتها:

 ⁣d⟨A^⟩ ⁣dt=iℏ⟨ψ∣H^A^∣ψ⟩−iℏ⟨ψ∣A^H^∣ψ⟩=iℏ ⟨[H^,A^]⟩.\frac{\dd\langle\hat A\rangle}{\dd t} = \frac{\iu}{\hbar}\bra\psi\hat H\hat A\ket\psi - \frac{\iu}{\hbar}\bra\psi\hat A\hat H\ket\psi = \frac{\iu}{\hbar}\,\langle[\hat H, \hat A]\rangle . \qedhere

∎

طريقة 8.13 (الميكانيك الكمومي بالمصفوفات)

من أجل أيّ مسألة ذات مستويات منتهية: (1) اختر أساسًا يناسب السؤال (محاور المحلّل، أو الحالات الذاتية للطاقة)؛ (2) اكتب الحالات متجهات عمودية والمرصودات مصفوفات هرميتية؛ (3) قطّر ما يُقاس — فالقيم الذاتية هي النتائج، ومربعات المركبات هي الاحتمالات؛ (4) طوّر الحالات الذاتية للطاقة بالأطوار e−iEit/ℏ\eu^{-\iu E_it/\hbar} وأعد التعبير عنها في أساس القياس؛ (5) وبعد القياس، ابدأ من جديد من الحالة المسقَطة. والمسألة 8.1 كلها هذه الوصفة مطبَّقة على كون ذي مستويين.

ثلاثة مستقطِبات على منضدة: كل واحد منها قياس، يسقط حالة الضوء على محور. فقاطع بين اثنين لا يعبر شيء؛ ثم أدخل ثالثًا بينهما بزاوية يعود الضوء — أي مسلَّمات هذا الفصل مؤدّاة على طاولة.
ثلاثة مستقطِبات على منضدة: كل واحد منها قياس، يسقط حالة الضوء على محور. فقاطع بين اثنين لا يعبر شيء؛ ثم أدخل ثالثًا بينهما بزاوية يعود الضوء — أي مسلَّمات هذا الفصل مؤدّاة على طاولة.

8.6 تمارين

تمرين 8.1 ★

في أساس متعامد نظامي (∣1⟩,∣2⟩)(\ket1, \ket2)، لتكن ∣ψ⟩=(2∣1⟩+i∣2⟩)/5\ket\psi = (2\ket1 + \iu\ket2)/\sqrt5 و ∣φ⟩=(∣1⟩−∣2⟩)/2\ket\varphi = (\ket1 - \ket2)/\sqrt2. (أ) تحقق من التنظيمين. (ب) احسب ⟨φ | ψ⟩\braket\varphi\psi و ⟨ψ | φ⟩\braket\psi\varphi. (ج) احسب احتمال إيجاد ∣ψ⟩\ket\psi في الحالة ∣φ⟩\ket\varphi. (د) أنشئ الحالة المتعامدة مع ∣ψ⟩\ket\psi (إلى طور).

حل

حل التمرين 8.1.

(أ) (4+1)/5=1(4 + 1)/5 = 1 و (1+1)/2=1(1 + 1)/2 = 1. (ب) ⟨φ | ψ⟩=(2−i)/10\braket\varphi\psi = (2 - \iu)/\sqrt{10}؛ و ⟨ψ | φ⟩=(2+i)/10\braket\psi\varphi = (2 + \iu)/\sqrt{10}: أي مرافقان. (ج) ∣(2−i)∣2/10=1/2|(2 - \iu)|^2/10 = 1/2. (د) نحلّ ⟨ψ | χ⟩=0\braket\psi\chi = 0: فنجد ∣χ⟩=(∣1⟩−2i∣2⟩)/5\ket\chi = (\ket1 - 2\iu\ket2)/\sqrt5.

تمرين 8.2 ★

أيّ هذه المصفوفات هرميتي، وما القيم الذاتية والمتجهات الذاتية المنظَّمة لما هو كذلك؟

(0110),(0−ii0),(11−11),(21−i1+i3).\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix} , \quad \begin{pmatrix}0 & -\iu\\ \iu & 0\end{pmatrix} , \quad \begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix} , \quad \begin{pmatrix}2 & 1-\iu\\ 1+\iu & 3\end{pmatrix} .
حل

حل التمرين 8.2.

الأولى: هرميتية؛ وقيمها ±1\pm1 مع (∣1⟩±∣2⟩)/2(\ket1 \pm \ket2)/\sqrt2. والثانية: هرميتية؛ وقيمها ±1\pm1 مع (∣1⟩±i∣2⟩)/2(\ket1 \pm \iu\ket2)/\sqrt2. والثالثة: ليست هرميتية (فمنقولها المرافق يختلف عنها). والرابعة: هرميتية؛ و λ2−5λ+4=0\lambda^2 - 5\lambda + 4 = 0 يعطي 11 و 44، بمتجهتين ذاتيتين (−(1−i)∣1⟩+∣2⟩)/3\big({-(1 - \iu)}\ket1 + \ket2\big)/\sqrt3 و (∣1⟩+(1+i)∣2⟩)/3\big(\ket1 + (1 + \iu)\ket2\big)/\sqrt3.

تمرين 8.3 ★

ضوء مستقطب بالزاوية α\alpha يلاقي محلّلًا بالزاوية β\beta. (أ) اكتب الحالتين في الأساس (∣H⟩,∣V⟩)(\ket H, \ket V) و احسب احتمال النفوذ. (ب) استعد قانون مالوس. (ج) من أجل سيل من NN فوتونًا، ما تباين العدد النافذ؟ (د) ضوء دائري (∣H⟩+i∣V⟩)/2(\ket H + \iu\ket V)/\sqrt2 على محلّل خطي بأيّ زاوية: ما النفوذ؟ فسّر استقلال الجواب عن الزاوية.

حل

حل التمرين 8.3.

(أ) ⟨β | α⟩=cos⁡βcos⁡α+sin⁡βsin⁡α=cos⁡(β−α)\braket\beta\alpha = \cos\beta\cos\alpha + \sin\beta\sin\alpha = \cos(\beta - \alpha): فالاحتمال cos⁡2(β−α)\cos^2(\beta - \alpha). (ب) الشدّة ∝\propto عدد الفوتونات: أي مالوس. (ج) كل فوتون تجربة مستقلة: فالتباين NP(1−P)N\mathcal P(1 - \mathcal P) — والضجيج نفسه يشهد بوجود الفوتونات. (د) ∣cos⁡β+isin⁡β∣2/2=1/2|\cos\beta + \iu\sin\beta|^2/2 = 1/2 من أجل كل β\beta: فالضوء الدائري لا يفضّل أيّ محور مستعرض.

تمرين 8.4 ★

(أ) برهن على أن [x^,p^]=iℏ[\hat x, \hat p] = \iu\hbar بالتأثير في دالة اختبار. (ب) احسب [x^2,p^][\hat x^2, \hat p] و [x^,p^2][\hat x, \hat p^2]. (ج) بيّن أن [A^,B^C^]=[A^,B^]C^+B^[A^,C^][\hat A, \hat B\hat C] = [\hat A, \hat B]\hat C + \hat B[\hat A, \hat C]. (د) استنتج [x^,p^n]=iℏ np^n−1[\hat x, \hat p^n] = \iu\hbar\,n\hat p^{n-1} وفسّر: أيّ عملية كلاسيكية يحاكيها [x^,⋅ ][\hat x, \cdot\,]؟

حل

حل التمرين 8.4.

(أ) (x^p^−p^x^)f=−iℏ(xf′−(xf)′)=iℏf(\hat x\hat p - \hat p\hat x)f = -\iu\hbar(xf' - (xf)') = \iu\hbar f. (ب) [x^2,p^]=2iℏx^[\hat x^2, \hat p] = 2\iu\hbar\hat x؛ و [x^,p^2]=2iℏp^[\hat x, \hat p^2] = 2\iu\hbar\hat p. (ج) نضيف ونطرح B^A^C^\hat B\hat A \hat C. (د) بالتراجع مع (ج): iℏ np^n−1\iu\hbar\,n\hat p^{n-1} — فالمؤثر [x^,⋅][\hat x, \cdot] يعمل عمل iℏ ∂/∂p\iu\hbar\,\partial/\partial p، وهو الظلّ الكمومي لقوس بواسون مع xx.

تمرين 8.5 ★★

قياسات متتالية. فوتون يبدأ في الحالة ∣V⟩\ket V. (أ) يلاقي مستقطِبين عند 45∘45^\circ ثم 0∘0^\circ (أفقي): احسب احتمال نجاته من الاثنين، مع إظهار الانهيار الوسيط صراحةً. (ب) استبدل بالمستقطِب الأوسط مستقطِبين عند 30∘30^\circ و 60∘60^\circ: ما النفوذ؟ (ج) ومع N−1N - 1 مستقطِبًا وسيطًا بخطوة 90∘/N90^\circ/N: بيّن أن احتمال النجاة هو cos⁡2N(π/2N)\cos^{2N}(\pi/2N) وقدّره من أجل N=2,5,20N = 2, 5, 20. (د) في النهاية N→∞N \to \infty يدور الاستقطاب من دون أيّ خسارة: علّق (وتُستعمل دورة “زينون الكمومية” هذه على كيوبتات حقيقية).

حل

حل التمرين 8.5.

(أ) ∣⟨45∘ | V⟩∣2=12|\braket{45^\circ}{V}|^2 = \tfrac12، ثم انهيار، ثم ∣⟨H | 45∘⟩∣2=12|\braket{H}{45^\circ}|^2 = \tfrac12: والمجموع 14\tfrac14. (ب) بأخذهما بالترتيب 60∘60^\circ ثم 30∘30^\circ (أي ثلاث خطوات مقدارها 30∘30^\circ): (cos⁡230∘)3=27/64≈0.42(\cos^230^\circ)^3 = 27/64 \approx 0.42. (ج) تعبر كل خطوة مقدارها π/2N\pi/2N باحتمال cos⁡2(π/2N)\cos^2(\pi/2N): فالنجاة [cos⁡2(π/2N)]N=0.25[\cos^2(\pi/2N)]^N = 0.25 و 0.600.60 و 0.880.88 من أجل N=2,5,20N = 2, 5, 20. (د) لمّا N→∞N \to \infty تؤول النجاة إلى 11: فقياسات كثيرة لطيفة تسوق الحالة عبر 90∘90^\circ بلا خسارة — أي القياس مستعملًا مقود قيادة.

تمرين 8.6 ★★

على فضاء المستويين، A^=(0110)\hat A = \begin{pmatrix}0&1\\1&0 \end{pmatrix} و B^=(100−1)\hat B = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}. (أ) احسب [A^,B^][\hat A, \hat B]: أهما متوافقتان؟ (ب) الحالة هي ∣1⟩\ket1: أعطِ إحصاءات نتائج قياس B^\hat B، ثم إحصاءات قياس A^\hat A بعد قياس B^\hat B أعطى +1+1. (ج) قِس A^\hat A أولًا (والنتيجة +1+1)، ثم B^\hat B، ثم A^\hat A من جديد: بأيّ احتمال يناقض قياس A^\hat A الأخير الأولَ؟ (د) ماذا كانت مبدّلة معدومة ستقتضي في (ج)؟

حل

حل التمرين 8.6.

(أ) [A^,B^]=(0−220)≠0[\hat A, \hat B] = \begin{pmatrix}0 & -2\\ 2 & 0\end{pmatrix} \neq 0: أي غير متوافقتين. (ب) قياس B^\hat B على ∣1⟩\ket1: يعطي +1+1 يقينًا، ولا حاجة إلى انهيار؛ ثم يعطي A^\hat A القيمتين ±1\pm1 باحتمال 12\tfrac12 لكل منهما. (ج) بعد A^→+1\hat A \to +1 تكون الحالة (∣1⟩+∣2⟩)/2(\ket1 + \ket2)/\sqrt2؛ فيُنهيها B^\hat B إلى ∣1⟩\ket1 أو ∣2⟩\ket2 (باحتمال 12\tfrac12 لكل منهما)؛ وفي الحالتين يعطي A^\hat A الأخير ±1\pm1 باحتمال 12\tfrac12: أي تناقض باحتمال 12\tfrac12. (د) المرصودات المتبادلة تتقاسم الحالات الذاتية: فالقياس الأوسط ما كان ليزعج، ولكان التكرار متفقًا يقينًا.

تمرين 8.7 ★★

(أ) من أجل الحالة الغاوسية في التمرين 7.1 مقصورةً على بُعد واحد، احسب Δx\Delta x و Δp\Delta p (باستعمال زوج فورييه أو بالمكاملة) وتحقق من المساواة في علاقة هايزنبرغ. (ب) أيّ الحالات تشبّع مبرهنة الارتياب العامة (اذكر الشرط من حالة المساواة في كوشي–شوارتز)؟ (ج) إلكترون محصور في Δx=0.1 nm\Delta x = 0.1\,\mathrm{nm}: ما أدنى مقياس لطاقته الحركية؟ (د) والسؤال نفسه من أجل كرية (10 g10\,\mathrm{g}) موطَّنة إلى ميكرومتر: استنتج.

حل

حل التمرين 8.7.

(أ) Δx=σ\Delta x = \sigma و Δp=ℏ/2σ\Delta p = \hbar/2\sigma (فتحويل فورييه لغاوسية عرضها σ\sigma عرضه 1/2σ1/2\sigma في kk): والجداء ℏ/2\hbar/2 بالضبط. (ب) المساواة في كوشي–شوارتز: β^∣ψ⟩∝α^∣ψ⟩\hat\beta\ket\psi \propto \hat\alpha\ket\psi بنسبة تخيلية صرفة — ومن أجل x,px, p لا تحلّ هذه المعادلة التفاضلية إلا غاوسيات. (ج) Δp≥5.3×10−25 kg m/s\Delta p \ge 5.3 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}: ومنه E∼Δp2/2me≈1 eVE \sim \Delta p^2/2m_{\text{e}} \approx 1\,\mathrm{eV} — فالذرات آلات بالإلكترون-فولط لأنها علب بالأنغستروم. (د) Δv≥5×10−27 m/s\Delta v \ge 5 \times 10^{-27}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}: أي لا شيء، أبدًا.

تمرين 8.8 ★★

(أ) انطلاقًا من القضية 8.12، استعد زوج إهرنفست من أجل x^\hat x و p^\hat p مع H^=p^2/2m+V\hat H = \hat p^2/2m + V. (ب) بيّن أن الزوجية Π^\hat\Pi (حيث Π^ψ(x)=ψ(−x)\hat\Pi\psi(x) = \psi(-x)) هرميتية، ومربعها المطابقة، وقيمها الذاتية ±1\pm1. (ج) بيّن أن [H^,Π^]=0[\hat H, \hat\Pi] = 0 من أجل كمون متناظر واستنتج أن للمستويات غير المنحلّة زوجية محددة. (د) أيّ واقعة مشاهَدة عن مستويات بئر مزدوجة متناظرة يفسّرها ذلك (تذكّر ثنائي النشادر في كتاب السنة الثانية)؟

حل

حل التمرين 8.8.

(أ) [H^,x^]=−iℏp^/m[\hat H, \hat x] = -\iu\hbar\hat p/m و [H^,p^]=iℏV′(x^)[\hat H, \hat p] = \iu\hbar V'(\hat x) يعطيان  ⁣d⟨x⟩/ ⁣dt=⟨p⟩/m\dd\langle x\rangle/\dd t = \langle p\rangle/m و  ⁣d⟨p⟩/ ⁣dt=−⟨V′⟩\dd\langle p\rangle/\dd t = -\langle V'\rangle. (ب) تغيير المتغير في الجداء الداخلي يُظهر الهرميتية؛ و Π^2=1\hat\Pi^2 = \mathbb 1 يفرض القيمتين الذاتيتين ±1\pm1. (ج) V(−x)=V(x)V(-x) = V(x) يجعل H^\hat H أعمى عن الزوجية؛ فوجب أن تكون الحالة الذاتية غير المنحلّة حالةً ذاتية للمؤثر Π^\hat\Pi أيضًا: زوجية أو فردية. (د) الثنائي شبه المنحلّ للبئر المزدوجة المتناظرة: حالة زوجية وأخرى فردية — أي زوج انقلاب النشادر، المنفصم بالنفق، والمشعّ عند 24 GHz24\,\mathrm{GHz}.

تمرين 8.9 ★★

جملة تامة في العمل. في العلبة المربعة الثنائية البعد، يُولَّد المستوي E∝5E \propto 5 بالحالتين ∣1,2⟩\ket{1,2} و ∣2,1⟩\ket{2,1}. (أ) بيّن أن الطاقة وحدها لا تسم الحالات. (ب) ليبدّل S^\hat S المتغيرين x↔yx \leftrightarrow y: بيّن أن S^\hat S هرميتي ويتبادل مع H^\hat H، وأوجد حالاته الذاتية داخل المستوي. (ج) تحقق من أن الزوج (H^,S^)(\hat H, \hat S) يسم كل حالة من هذا المستوي وسمًا وحيدًا. (د) أعطِ العبرة العامة: الانحلال يعني أن مجموعة الوسوم لم تكتمل بعد، والتناظر يقدّم الوسم الناقص.

حل

حل التمرين 8.9.

(أ) تتقاسم الحالتان EE: فإعلان الطاقة يترك احتمالين. (ب) يبدّل S^\hat S الوسمين: وهو هرميتي، ومربعه المطابقة، ويتبادل مع H^\hat H المتناظر؛ وداخل المستوي تكون حالاته الذاتية (∣1,2⟩±∣2,1⟩)/2(\ket{1,2} \pm \ket{2,1})/\sqrt2 بقيمتين ذاتيتين ±1\pm1. (ج) (E,+)(E, +) و (E,−)(E, -): أي وسمان وحيدان. (د) الانحلال عنوان ناقص؛ والتناظر الذي يسبّبه يقدّم الرقم الناقص أيضًا.

تمرين 8.10 ★★★

ارتياب الطاقة والزمن بأمانة. من أجل أيّ مرصودة A^\hat A، عرّف زمن التطور τA=ΔA / ∣ ⁣d⟨A^⟩/ ⁣dt∣\tau_A = \Delta A\,/\,|\dd\langle\hat A\rangle/\dd t| — وهو زمن انتقال المتوسط بانحراف معياري واحد. (أ) انطلاقًا من المبرهنة 8.10 و القضية 8.12، برهن على أن ΔE  τA≥ℏ/2\Delta E\;\tau_A \ge \hbar/2. (ب) لماذا ليس هذا ارتيابًا بين مرصودتين (فما الزمن، في الصياغة)؟ (ج) طبّقه على حالة ذرية مثارة عمرها 10 ns10\,\mathrm{ns}: احسب عرض الخط. (د) طبّقه على ساعة معصمك: بأيّ حدّة يمكن أن تكون طاقة جملة إذا تغيّر فيها شيء مرئي كل ثانية؟

حل

حل التمرين 8.10.

(أ) ΔE ΔA≥12∣⟨[H^,A^]⟩∣=ℏ2∣ ⁣d⟨A⟩/ ⁣dt∣\Delta E\,\Delta A \ge \tfrac12|\langle[\hat H, \hat A]\rangle| = \tfrac\hbar2|\dd\langle A\rangle/\dd t|؛ ثم نقسم. (ب) الزمن وسيط في النظرية لا مؤثر: فالعلاقة تحدّ من سرعة تطور أيّ شيء قابل للقياس، عند انتشار طاقي معطى. (ج) ΔE∼ℏ/2τ=3.3×10−8 eV\Delta E \sim \hbar/2\tau = 3.3 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}: أي عرض خط طبيعي مقداره بضعة ميغاهرتز. (د) التغير المرئي في كل ثانية لا يقتضي غير ΔE≳5×10−35 J\Delta E \gtrsim 5 \times 10^{-35}\,\mathrm{J} — ومن أجل الطاقات العيانية لا قيد البتة: فللساعات أن تدقّ.

تمرين 8.11 ★★★

برهان مبرهنة الارتياب. مع α^,β^\hat\alpha, \hat\beta كما في النص: (أ) برّر ΔA2=∥α^∣ψ⟩∥2\Delta A^2 = \|\hat\alpha\ket\psi\|^2 باستعمال الهرميتية؛ (ب) طبّق كوشي–شوارتز واقسم ⟨α^ψ | β^ψ⟩\braket{\hat\alpha\psi}{\hat\beta\psi} إلى جزأين هرميتي و مضاد هرميتي، وعيّنهما بمتوسطَي المبدّلة والمبدّلة المضادّة؛ (ج) استنتج، واذكر متى تتحقق المساواة؛ (د) بيّن أنه من أجل [A^,B^]=iℏ[\hat A, \hat B] = \iu\hbar لا يمكن لأيّ حالة أن تكون متجهة ذاتية لأيّ من المرصودتين مع بقاء الانحرافين منتهيين — ووفّق ذلك مع الأمواج المستوية.

حل

حل التمرين 8.11.

(أ) ∥α^ψ∥2=⟨ψ | α^2ψ⟩=ΔA2\|\hat\alpha\psi\|^2 = \braket{\psi}{\hat\alpha^2\psi} = \Delta A^2 بهرميتية α^\hat\alpha. (ب) ⟨α^ψ | β^ψ⟩=12⟨{α^,β^}⟩+12⟨[A^,B^]⟩\braket{\hat\alpha \psi}{\hat\beta\psi} = \tfrac12\langle\{\hat\alpha, \hat\beta\}\rangle + \tfrac12\langle[\hat A, \hat B]\rangle: فالحدّ الأول حقيقي (الجزء الهرميتي)، والثاني تخيلي صرف. (ج) ∣z∣2≥(Im⁡z)2|z|^2 \ge (\operatorname{Im}z)^2 يعطي المبرهنة؛ وتقتضي المساواة متجهتين متناسبتين وانعدام متوسط المبدّلة المضادّة. (د) للحالة الذاتية للمؤثر A^\hat A انحراف ΔA=0\Delta A = 0، فيفرض 0≥ℏ/20 \ge \hbar/2: وهو مستحيل على حالات قابلة للتنظيم. أما الأمواج المستوية فلا “تحققه” إلا بكونها مثاليات غير قابلة للتنظيم خارج فضاء هيلبرت.

تمرين 8.12 ★★★

القِدر المراقَبة. جملة ذات مستويين تبدأ في ∣1⟩\ket1 وتقود هاميلتونيتها اهتزازًا شبيهًا باهتزاز رابي: فبعد الزمن tt تكون الحالة cos⁡(ωt)∣1⟩+sin⁡(ωt)∣2⟩\cos(\omega t)\ket1 + \sin(\omega t)\ket2 (خذ هذا معطى). (أ) من دون أيّ قياس، متى يكتمل الانتقال إلى ∣2⟩\ket2؟ (ب) قِس “في أيّ حالة؟” عند الأزمنة T/N,2T/N,…T/N, 2T/N, \dots مع T=π/2ωT = \pi/2\omega: بيّن أن احتمال إيجاد الجملة ما زالت في ∣1⟩\ket1 عند كل فحص هو [cos⁡2(π/2N)]N[\cos^2(\pi/2N)]^N. (ج) قدّره من أجل N=1,4,20,100N = 1, 4, 20, 100 وبيّن أنه يؤول إلى 11: فالمراقبة المتواترة تجمّد التطور (وهو أثر زينون الكمومي، المشاهَد بأيونات محصورة سنة 1990). (د) اشرح في جملة واحدة أيّ مسلَّمة تقوم بالتجميد.

حل

حل التمرين 8.12.

(أ) عند ωt=π/2\omega t = \pi/2، أي t=Tt = T. (ب) عند كل فحص تكون الحالة قد دارت بالمقدار π/2N\pi/2N؛ فتوجد في ∣1⟩\ket1 باحتمال cos⁡2(π/2N)\cos^2(\pi/2N) وتنهار عائدة إلى ∣1⟩\ket1؛ والفحوص مستقلة، ومن ثمّ الجداء. (ج) 00 و 0.530.53 و 0.880.88 و 0.980.98: فالقِدر المراقَبة عن كثب لا تغلي أبدًا. (د) مسلَّمة الإسقاط (م5): إذ تعيد كل مشاهدة التطور إلى خط انطلاقه.

مؤتمر سولفاي سنة 1927 (صورة بعدسة بنجامان كوبري، ملك عام): من بنوا مسلَّمات هذا الفصل، في غرفة واحدة — وهم لا يزالون يتجادلون، في ذلك الأسبوع نفسه، في معنى القياس.
مؤتمر سولفاي سنة 1927 (صورة بعدسة بنجامان كوبري، ملك عام): من بنوا مسلَّمات هذا الفصل، في غرفة واحدة — وهم لا يزالون يتجادلون، في ذلك الأسبوع نفسه، في معنى القياس.

8.7 مسألة: النيوترينوات تبدّل ثيابها في الطيران

مسألة 8.1

مسألة نهاية الأسبوع — تذبذبات ذات مستويين عبر الأرض

تولد النيوترينوات في التفاعلات النووية حالاتِ نكهة — نيوترينو إلكتروني ∣νe⟩\ket{\nu_e} أو نيوترينو ميوني ∣νμ⟩\ket{\nu_\mu} — لكنها تنتشر حالاتِ طاقة (أي كتلة) ذاتية ∣ν1⟩,∣ν2⟩\ket{\nu_1}, \ket{\nu_2}. والأساسان لا ينطبقان: بل بينهما دوران بزاوية مزج θ\theta،

∣νe⟩=cos⁡θ ∣ν1⟩+sin⁡θ ∣ν2⟩,∣νμ⟩=−sin⁡θ ∣ν1⟩+cos⁡θ ∣ν2⟩.\ket{\nu_e} = \cos\theta\,\ket{\nu_1} + \sin\theta\,\ket{\nu_2} , \qquad \ket{\nu_\mu} = -\sin\theta\,\ket{\nu_1} + \cos\theta\,\ket{\nu_2} .

وقد نال اكتشافُ أن النيوترينوات تتذبذب من ثمّ بين النكهات — ومن ثمّ أن لها كتلة — جائزة نوبل لسنة 2015. وتستنتج هذه المسألة الأثر بلا شيء وراء هذا الفصل. فلنيوترينو فوق نسبي كمية حركته pp وكتلته mim_i طاقة Ei≈pc+mi2c4/2pc≈E+mi2c4/2EE_i \approx pc + m_i^2c^4/2pc \approx E + m_i^2c^4/2E.

الجزء الأول — إعداد الصياغة.

  1. تحقق من أن تعامد (∣ν1⟩,∣ν2⟩)(\ket{\nu_1}, \ket{\nu_2}) ونظاميتهما يجعلان (∣νe⟩,∣νμ⟩)(\ket{\nu_e}, \ket{\nu_\mu}) متعامدين نظاميين أيضًا.
  2. لماذا يجب أن يكون أساس الانتشار هو الأساس الذاتي للطاقة، مهما يكن الأساس الذي وُلد فيه النيوترينو؟ (فأيّ مسلَّمة تحكم الطيران الحر؟)
  3. يولد نيوترينو ميوني عند t=0t = 0. اكتب ∣ψ(0)⟩\ket{\psi(0)} في أساس الكتلة.
  4. اكتب ∣ψ(t)⟩\ket{\psi(t)}، وكل مركبة كتلية تحمل طورها e−iEit/ℏ\eu^{-\iu E_it/\hbar}.
  5. بيّن أن الطور الشامل لا أثر له وأخرج e−iE1t/ℏ\eu^{-\iu E_1t/\hbar} عاملًا: فلا يقود الفيزياء إلا الطور النسبي Δϕ=(E2−E1)t/ℏ\Delta\phi = (E_2 - E_1)t/\hbar.
  6. عبّر عن E2−E1E_2 - E_1 بدلالة Δm2=m22−m12\Delta m^2 = m_2^2 - m_1^2 و EE، من أجل نيوترينوات فوق نسبية.

الجزء الثاني — صيغة التذبذب.

  1. احسب السعة ⟨νe | ψ(t)⟩\braket{\nu_e}{\psi(t)}.

  2. بيّن أن احتمال الظهور هو

    Pνμ→νe(t)=sin⁡2(2θ) sin⁡2(Δϕ2).\mathcal P_{\nu_\mu \to \nu_e}(t) = \sin^2(2\theta)\,\sin^2\Big(\frac{\Delta\phi}{2}\Big) .

    (استعمل 2sin⁡θcos⁡θ=sin⁡2θ2\sin\theta\cos\theta = \sin2\theta.)

  3. تحقق من الحالتين الحديتين: θ=0\theta = 0 و m1=m2m_1 = m_2. فبم يبرهن إذًا أيّ تذبذب مشاهَد؟

  4. مع t≈L/ct \approx L/c، بيّن أن

    P=sin⁡2(2θ) sin⁡2(Δm2c44ℏc LE),\mathcal P = \sin^2(2\theta)\, \sin^2\Big(\frac{\Delta m^2c^4}{4\hbar c}\,\frac{L}{E}\Big) ,

    وعرّف طول التذبذب Lتذبذب=4πℏcE/Δm2c4L_{\text{تذبذب}} = 4\pi\hbar cE/\Delta m^2c^4.

  5. بيّن أن احتمال النجاة Pνμ→νμ=1−Pνμ→νe\mathcal P_{\nu_\mu \to \nu_\mu} = 1 - \mathcal P_{\nu_\mu\to\nu_e}: فأين استُعملت الواحدية؟
  6. لماذا لا يقيس التذبذب إلا Δm2\Delta m^2، ولا يقيس الكتل نفسها أبدًا؟

الجزء الثالث — قراءة التجارب. تمطر نيوترينوات ميونية جوّية (E≈1 GeVE \approx 1\,\mathrm{GeV}) على كاشف من الأعلى (L≈15 kmL \approx 15\,\mathrm{km}) ومن الأسفل، عبر الأرض (L≈12 800 kmL \approx 12\,800\,\mathrm{km}). وقد وجدت تجربة سوبر-كاميوكاندي (1998) التدفق الآتي من الأسفل منصَّفًا والآتي من الأعلى سليمًا.

  1. باستعمال ℏc=197 MeV fm\hbar c = 197\,\mathrm{MeV}\,\mathrm{fm}، بيّن الصورة العملية Δm2c4 L4ℏcE=1.27 Δm2c4 [eV2] L [km]E [GeV]\dfrac{\Delta m^2c^4\,L}{4\hbar cE} = 1.27\, \dfrac{\Delta m^2c^4\,[\mathrm{eV}^{2}]\ L\,[\mathrm{km}]} {E\,[\mathrm{GeV}]}.
  2. إذا كان التذبذب مكتمل النموّ عند L=12 800 kmL = 12\,800\,\mathrm{km} ومهملًا عند 15 km15\,\mathrm{km} من أجل E=1 GeVE = 1\,\mathrm{GeV}، فحاصر Δm2c4\Delta m^2c^4 تقريبًا.
  3. القيمة المقيسة Δm2c4≈2.5×10−3 eV2\Delta m^2c^4 \approx 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}^{2}: احسب طول التذبذب عند 1 GeV1\,\mathrm{GeV} وتحقق منه أمام المسافتين.
  4. الكبت الآتي من الأسفل قريب من 1/21/2، لا من 00: بيّن أن توسيط sin⁡2\sin^2 على أطوال تذبذب كثيرة (وعلى الطاقات) يعطي 12sin⁡22θ\tfrac12\sin^22\theta، واستنتج أن المزج الجوّي يكاد يكون أعظميًا (θ≈45∘\theta \approx 45^\circ).
  5. ماذا تعطي Δm2c4=2.5×10−3 eV2\Delta m^2c^4 = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}^{2} من أجل الكتلة الأثقل وحدها إذا كانت الأخفّ مهملة — و قارن ذلك بكتلة الإلكترون: فما أغرب خفّة النيوترينوات!
  6. لمضادات النيوترينو المفاعلية E≈4 MeVE \approx 4\,\mathrm{MeV}. وباستعمال صيغة 1.271.27 نفسها، بيّن أن مسافة قاعدية من كيلومتر إلى كيلومترين موالَفة على الانفصام 2.5×10−3 eV22.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}^{2} (وهي تجربة دايا باي)، بينما L≈180 kmL \approx 180\,\mathrm{km} (تجربة كام-لاند) موالَفة على الانفصام “الشمسي” الأصغر 7.5×10−5 eV27.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}^{2} — تحقق من كليهما عدديًا.

الجزء الرابع — ما معنى ذلك.

  1. تصدر الشمس νe\nu_e؛ وطوال عقود لم تحصِ الكواشف إلا ثلث التنبؤ. اشرح “مسألة النيوترينوات الشمسية” وحلّها، كلًّا في جملة واحدة.
  2. لماذا فرضت التذبذبات استنتاج أن للنيوترينوات كتلة، خلافًا للحساب الأصلي في النموذج المعياري؟
  3. جملة كمومية تحفظ ترابط الطور على مدى 1280012800 كيلومتر: فماذا يقول هذا عن مدى ضعف تفاعل النيوترينوات، ولماذا يجب أن يكون الكاشف هائلًا؟
  4. النكهة مرصودة: فلماذا لا يتبادل مؤثرها مع الهاميلتونية الحرة، وأيّ قانون انحفاظ لا يتوفر إذًا للنكهة (بينما تبقى الطاقة وكمية الحركة محفوظتين)؟
  5. للطبيعة ثلاث نكهات وثلاث كتل: فلماذا تصف مع ذلك المعالجة ذات المستويين كل تجربة وصفًا جيدًا؟ (انظر في تراتب المقدارين Δm2\Delta m^2 وأيّهما تفصله كل مسافة قاعدية.)
  6. في صياغة هذا الفصل، سمِّ بالضبط أيّ المكوّنات أنتجت التذبذب: أيّ عدم تطابق بين أساسين، وأيّ مسلَّمة، وأيّ طور.
  7. لخّص النتيجة الموسومة: زاوية دوران قرب 45∘45^\circ وانفصام Δm2c4=2.5×10−3 eV2\Delta m^2c^4 = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}^{2} يجعلان نيوترينو ميونيًا بالجيغا إلكترون-فولط يختفي بطول تذبذب ∼1000 km\sim1000\,\mathrm{km} — أي جبر خطي ذي مستويين، مؤكَّدًا عبر جسم الأرض.
حل

حل المسألة 8.1.

1. الدوران يرسل زوجًا متعامدًا نظاميًا إلى زوج متعامد نظامي: ⟨νe | νμ⟩=−cos⁡θsin⁡θ+sin⁡θcos⁡θ=0\braket{\nu_e}{\nu_\mu} = -\cos\theta\sin\theta + \sin\theta\cos\theta = 0. 2. المسلَّمة م6: فالطيران الحرّ مولَّد بالمؤثر H^\hat H، وتتطور حالاته الذاتية استقلاليًا بأطوار — مهما يكن الأساس الذي اختاره الإنتاج. 3. ∣ψ(0)⟩=∣νμ⟩=−sin⁡θ∣ν1⟩+cos⁡θ∣ν2⟩\ket{\psi(0)} = \ket{\nu_\mu} = -\sin\theta\ket{\nu_1} + \cos\theta\ket{\nu_2}. 4. ∣ψ(t)⟩=−sin⁡θ e−iE1t/ℏ∣ν1⟩+cos⁡θ e−iE2t/ℏ∣ν2⟩\ket{\psi(t)} = -\sin\theta\,\eu^{-\iu E_1t/\hbar} \ket{\nu_1} + \cos\theta\,\eu^{-\iu E_2t/\hbar}\ket{\nu_2}. 5. تسقط الأطوار الشاملة من كل ∣⟨⋅ | ⋅⟩∣2|\braket\cdot\cdot|^2: فنبقي Δϕ=(E2−E1)t/ℏ\Delta\phi = (E_2 - E_1)t/\hbar. 6. E2−E1=(m22−m12)c4/2E=Δm2c4/2EE_2 - E_1 = (m_2^2 - m_1^2)c^4/2E = \Delta m^2c^4/2E. 7. ⟨νe | ψ(t)⟩=e−iE1t/ℏsin⁡θcos⁡θ (e−iΔϕ−1)\braket{\nu_e}{\psi(t)} = \eu^{-\iu E_1t/\hbar} \sin\theta\cos\theta\,(\eu^{-\iu\Delta\phi} - 1). 8. ∣⋯∣2=sin⁡2θcos⁡2θ ∣e−iΔϕ−1∣2=sin⁡22θ sin⁡2(Δϕ/2)|\cdots|^2 = \sin^2\theta\cos^2\theta\,|{\eu^{-\iu \Delta\phi} - 1}|^2 = \sin^22\theta\,\sin^2(\Delta\phi/2). 9. لا مزج، أو لا انفصام كتلي: إذًا لا تذبذب. وأيّ تذبذب مشاهَد يبرهن على أن θ≠0\theta \neq 0 وأن m1≠m2m_1 \neq m_2 — أي إن النيوترينوات تزن. 10. نعوّض Δϕ=Δm2c4L/2ℏcE\Delta\phi = \Delta m^2c^4L/2\hbar cE؛ ويجعل LتذبذبL_{\text{تذبذب}} الوسيطَ مساويًا π\pi. 11. احتمالا النكهتين مربعا مركبتين في أساس متعامد نظامي لحالة منظَّمة: فمجموعهما 11 — إذ حفظت واحدية التطور النظيم. 12. لا يُرصد إلا الطور النسبي، وهو يحوي E2−E1∝m22−m12E_2 - E_1 \propto m_2^2 - m_1^2: فتتقاصّ الكتل المطلقة. 13. المقدار L4ℏcE\dfrac{L}{4\hbar cE} بالوحدات المذكورة: 103 m/(4×1.973×10−7 eV m×109)=1.2710^{3}\,\mathrm{m}/(4 \times 1.973 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}\,\mathrm{m} \times 10^{9}) = 1.27 لكل eV2\mathrm{eV}^{2}. 14. مكتمل النموّ في الأسفل: 1.27 Δm2×12800≳11.27\,\Delta m^2 \times 12800 \gtrsim 1، أي Δm2c4≳6×10−5 eV2\Delta m^2c^4 \gtrsim 6 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}^{2}؛ ومهمل في الأعلى: 1.27 Δm2×15≪11.27\,\Delta m^2 \times 15 \ll 1، أي ≪5×10−2\ll 5 \times 10^{-2}: فهو إذًا نحو 10−410^{-4}–10−2 eV210^{-2}\,\mathrm{eV}^{2}. 15. Lتذبذب=πE/(1.27 Δm2c4)≈990 kmL_{\text{تذبذب}} = \pi E/(1.27\,\Delta m^2c^4) \approx 990\,\mathrm{km} عند 1 GeV1\,\mathrm{GeV}: فالمسافة 15 km15\,\mathrm{km} لا تُمسّ، و 12 800 km12\,800\,\mathrm{km} ثلاثة عشر طولًا كاملًا — أي النقش المشاهَد بالضبط. 16. على أطوال كثيرة وانتشار في الطاقات يكون ⟨sin⁡2⟩=12\langle\sin^2\rangle = \tfrac12: فالكبت 12sin⁡22θ\tfrac12\sin^22 \theta؛ والقيمة المقيسة، وهي النصف، تفرض sin⁡22θ≈1\sin^22\theta \approx 1 و θ≈45∘\theta \approx 45^\circ — فالطبيعة اختارت المزج الأعظمي. 17. m2c2≈2.5×10−3=0.05 eVm_2c^2 \approx \sqrt{2.5 \times 10^{-3}} = 0.05\,\mathrm{eV}: أي أخفّ عشرة ملايين مرة من الإلكترون — وهي أخفّ مادة معروفة، ولا أحد يعرف بعد لماذا. 18. دايا باي: 1.27×2.5×10−3×1.5/0.004≈1.21.27 \times 2.5 \times 10^{-3} \times 1.5/0.004 \approx 1.2 — أي من رتبة الواحد، فهي موالَفة؛ وكام-لاند: 1.27×7.5×10−5×180/0.004≈4.31.27 \times 7.5 \times 10^{-5} \times 180/0.004 \approx 4.3 — أي من رتبة الواحد من أجل الانفصام الشمسي: فكل مسافة قاعدية مقياس تداخل مضبوط على Δm2\Delta m^2 واحد. 19. المسألة: لم يصل إلا ثلث ما تنبّئ به الشمس من νe\nu_e. والحلّ: أن الثلثين المفقودين يصلان بنكهات أخرى، دار إليها νe\nu_e (وقد أحصت تجربة سنو المجموع فوجدت الشمس بريئة). 20. يقتضي التذبذب Δm2≠0\Delta m^2 \neq 0: أي إن نيوترينو واحدًا على الأقل ثقيل — وهي أول فيزياء مخبرية وراء النموذج المعياري الأصلي. 21. ترابط الطور على 10710^7 متر يعني أنه لم يتفاعل عمليًّا شيء في الطريق: فمقاطع التفاعل من الصغر بحيث تلزم كيلوأطنان من الماء لالتقاط حفنة — ومن هنا خمسون ألف طن في سوبر-كاميوكاندي. 22. مؤثرات النكهة قطرية في أساس النكهة، وهو ليس أساس الطاقة: [H^,النكهة]≠0[\hat H, \text{النكهة}] \neq 0 — فالنكهة ببساطة ليست مقدارًا محفوظًا في الطيران الحر، بينما الطاقة وكمية الحركة كذلك. 23. يختلف الانفصامان بعامل ثلاثين: فعند أيّ L/EL/E يكون أحد التذبذبين نشطًا والآخر إما مجمَّدًا وإما موسَّطًا تمامًا — فترى كل تجربة جملةً فعّالة ذات مستويين. 24. أساس الإنتاج ≠\neq أساس الانتشار (أي الدوران θ\theta)؛ وتقدّم المسلَّمة م6 الطورين؛ وتحوّل قاعدة بورن الطور النسبي إلى احتمال. 25. تعطي θ≈45∘\theta \approx 45^\circ و Δm2c4=2.5×10−3 eV2\Delta m^2c^4 = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}^{2} لنيوترينو ميوني بالجيغا إلكترون-فولط طول تذبذب قرب 1000 km1000\,\mathrm{km}: أي جبر خطي ذي مستويين، محقَّقًا عبر الكوكب، وجائزة نوبل لاختفاء نصف تدفق.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (431) في المسرد