10العزم الحركي الكمومي

حل التمرين 10.1.

(أ) $[\hat y\hat p_z - \hat z\hat p_y,\ \hat z\hat p_x - \hat x\hat p_z]$: لا يبقى إلا الحدود التي تتقاسم زوجًا $\hat z, \hat p_z$، فتعطي $\iu\hbar(\hat x\hat p_y - \hat y\hat p_x)$. (ب) $[\hat L^2, \hat L_z] = \sum_i[\hat L_i^2, \hat L_z] = \hat L_x[\hat L_x, \hat L_z] + [\hat L_x, \hat L_z]\hat L_x + (x \to y)$: فتتقاصّ الحدود الأربعة زوجين زوجين. (ج) $[\hat L_z, \hat x] = \iu\hbar\hat y$: فالمؤثر $\hat L_z$ يولّد الدورانات حول $z$ — في المؤثرات كما في الحالات. (د) حدّة مركبتين معًا تفرض (بالمبدّلة) حدّة الثالثة بقيمة معدومة للثلاث معًا: ولا يحقق ذلك غير $l = 0$.

حل التمرين 10.2.

(أ) $\hat L_z = \hbar\operatorname{diag}(1, 0, -1)$. (ب) $\hat L_+ = \hbar\sqrt2\,\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0 \end{pmatrix}$، و $\hat L_-$ منقولها. (ج) $\hat L_x = \dfrac{\hbar}{\sqrt2}\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0 \end{pmatrix}$: وكثير حدودها المميِّز $\lambda(\lambda^2 - \hbar^2)$. (د) المتجهة الذاتية للقيمة $L_x = +\hbar$ هي $\tfrac12(1, \sqrt2, 1)$: فالاحتمالات $\tfrac14, \tfrac12, \tfrac14$ من أجل $m = +1, 0, -1$.

حل التمرين 10.3.

(أ) $I = \mu r_0^2 = 1.46 \times 10^{-46}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$؛ و $B = \hbar^2/2I = 3.8 \times 10^{-23}\,\mathrm{J} = 0.24\,\mathrm{meV}$. (ب) $2B/h = 115\,\mathrm{GHz}$ و $\lambda = 2.6\,\mathrm{mm}$. (ج) $231\,\mathrm{GHz}$ و$346\,\mathrm{GHz}$. (د) يعطي التباعد $B$، ومنه $I = \mu r_0^2$: أي طول رابطة جزيء يبعد سنوات ضوئية، بنحو نصف الدقة النسبية للتباعد.

حل التمرين 10.4.

(أ) $m\hbar$ مع $m = -2 \dots 2$. (ب) $\cos\theta = 2/\sqrt6$: ومنه $\theta = 35.3^\circ$. (ج) الاصطفاف التامّ كان سيجعل $L_x = L_y = 0$ حادّتين مع $L_z$ — وهو ممنوع بالمبدّلات إلا في الحالة التافهة $l = 0$. (د) $l/\sqrt{l(l+1)} \to 1$: فمن أجل $l$ الكبيرة ينغلق المخروط على المحور ويعود السهم الكلاسيكي.

حل التمرين 10.5.

(أ) مع انعدام التعلق بالمتغير $\varphi$، يعطي المؤثر $-\hbar^2(\sin\theta)^{-1}\partial_\theta(\sin\theta\,(-\sin\theta)) = 2\hbar^2\cos\theta$. (ب) والحساب نفسه مع العامل $\eu^{\pm\iu\varphi}$: فالقيمة الذاتية $2\hbar^2$؛ ويعطي $\hat L_z$ القيمة $\pm\hbar$. (ج) $\cos\theta$ و $\sin\theta\,\eu^{\pm\iu \varphi}$ يغيّران الإشارة تحت $\vect r \to -\vect r$ (أي $\theta \to \pi - \theta$ و $\varphi \to \varphi + \pi$): فالزوجية $-1 = (-1)^1$. (د) لأنهما متجهتان ذاتيتان للمؤثر الهرميتي $\hat L_z$ بقيمتين ذاتيتين مختلفتين.

حل التمرين 10.6.

(أ) $2J + 1$ حالة تتقاسم المستوي (وهو الانحلال)؛ وعامل بولتزمان يفرض ضريبة على طاقته. (ب) نعظّم الجداء: فيعطي $\dd/\dd J = 0$ العلاقة $2 = (2J+1)^2B/k_{\text{B}}T$، أي $J_{\max}$ المذكور. (ج) عند $10\,\mathrm{K}$: $J_{\max} \approx 0.8$، فيسود $J = 1$ ويسطع الخطان عند $115\,\mathrm{GHz}$ و$230\,\mathrm{GHz}$؛ وعند $300\,\mathrm{K}$: $J_{\max} \approx 7$. (د) $T \approx 2B(J_{\max} + \tfrac12)^2/ k_{\text{B}} \approx 310\,\mathrm{K}$ — أي ميزان حرارة دوراني.

حل التمرين 10.7.

(أ) ينفصم المستوي الأعلى إلى خمسة والأدنى إلى ثلاثة، وكلها بالتباعد نفسه $\mu_{\text{B}}B$. (ب) وبتساوي التباعدات، $h\nu = h\nu_0 + (\Delta m)\mu_{\text{B}}B$ و $\Delta m \in \{0, \pm1\}$: فثلاثة مواضع لا غير. (ج) $\mu_{\text{B}}/h = 14\,\mathrm{GHz}/\mathrm{T}$، فيكون الانفصام عند $B = 2\,\mathrm{T}$ مقداره $28\,\mathrm{GHz}$، أي $\Delta\lambda = \lambda^2\Delta\nu/c \approx 23\,\mathrm{pm}$ — وهو قابل للتمييز منذ محزّزات زيمان سنة 1896. (د) سبين الإلكترون نفسه، بعامله الشاذّ $g \approx 2$: فالنقوش “الشاذّة” كانت بصمات السبين قبل أن يُسمّى السبين (الفصل 12).

حل التمرين 10.8.

بالوحدات المذكورة $U_{\text{فعّال}} = -2/x + l(l+1)/x^2$. (أ) من أجل $l = 1$: الأصغرية عند $x = 2$ (أي $r = 2a_0$)، وعمقها $-E_{\text{I}}/2$. (ب) $U_{\text{فعّال}} > 0$ من أجل $x < 1$: فداخل نصف قطر بور واحد يفوز الجدار. (ج) $\psi \sim r^l$ بجوار المبدأ: فحالات $l = 0$ وحدها لها كثافة غير معدومة عند $r = 0$. (د) أسر إلكترون يقتضي كثافة إلكترونية عند النواة: فإلكترونات $s$، وهي وحدها التي لا يحجزها الجدار الطاردي، هي المبتلَعة.

حل التمرين 10.9.

(أ) $\hat L_x = (\hat L_+ + \hat L_-)/2$ يغيّر $m$: فتنعدم العناصر القطرية. (ب) بالتناظر يتساوى المربعان المستعرضان، ومجموعهما $\langle\hat L^2 - \hat L_z^2\rangle$. (ج) عند $m = l$: $\Delta L_x\Delta L_y = l\hbar^2/2 = \tfrac\hbar2 \,l\hbar$: أي مساواة — فالحالة الممدودة مصطفّة إلى أقصى ما يبيحه الجبر. (د) المخروط: $L_z$ حادّة، ومتوسطان مستعرضان معدومان، وانتشاران مستعرضان متساويان — أي متجهة محددة الطول و الإسقاط، ملطَّخة ديمقراطيًا في السمت.

حل التمرين 10.10.

(أ) بحساب الطاقة مع $E_J = BJ(J+1)$: فالانتقال $J \to J + 1$ يضيف $2B(J+1)$؛ والانتقال $J \to J - 1$ يطرح $2BJ$. (ب) $\Delta J = 0$ ممنوع، ويبدأ الفرعان عند $\pm 2B$: فلا شيء يقع عند التواتر الاهتزازي الصرف. (ج) مشطان تباعدهما $2B$ يحفّان بفجوة، وشدّاتهما ترتفع حتى $J_{\max}$ ثم تهبط. (د) عرض النطاق هو امتداد المشطين المعمور، وهو ينمو وفق $\sqrt{T}$: وتلك الأجنحة المعمورة حراريًّا هي بالضبط حيث يبقى نطاق الدفيئة المشبَع ممتصًّا.

حل التمرين 10.11.

(أ) $\|\hat J_\pm\ket{j,m}\|^2 = \bra{j,m}\hat J_\mp\hat J_\pm \ket{j,m} = \hbar^2[j(j+1) - m(m\pm1)]$. (ب) الصعود وراء $m = j$ كان سيعطي $j(j+1) - j(j+1) = 0$ ثم نظائم سالبة بعد خطوة واحدة: فوجب أن تحوي السلسلة الحالة العليا المُفناة. (ج) يختلف الأعلى والأدنى بعدد صحيح من الخطوات الواحدية: أي $2j \in \mathbb N$ ومنه $j = 0, \tfrac12, 1, \tfrac32, \dots$ (د) لا يستعمل الجبر دوالّ موجية البتة؛ ولا يفرض إلا اشتراطُ أن تكون $\eu^{\iu m\varphi}$ أحادية القيمة على الدائرة أن يكون $m$ صحيحًا — وهو شرط يلزم الحركة المدارية ويترك العزوم الحركية الذاتية (أي السبين) حرة في أن تكون نصف صحيحة.

حل التمرين 10.12.

(أ) $n\hbar$ في وحدة الحجم. (ب) $\omega = n\hbar V/(\tfrac12 Ma^2) = 2n\hbar/\rho a^2 = 2 \times 8.5 \times 10^{28} \times 1.055 \times 10^{-34}/ (7900 \times 10^{-4}) \approx 2.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ — أي غير مرئي في دفعة واحدة. (ج) والقلب على وقع رنين الليف يراكم $\sim Q$ ركلة: فيكون $\omega \sim 2 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$، أي تأرجحات بالملّيراديان على دور من الثواني — وهي مرئية بمرآة وحزمة ضوء، كما رآها أينشتاين ودي هاس. (د) خرجت النسبة الجيرومغناطيسية المقيسة $e/m_{\text{e}}$، أي ضعف القيمة المدارية $e/2m_{\text{e}}$: فمغناطيسية الحديد ليست تيارات مدارية بل سبين الإلكترون، وستشرح الفصول التالية عامله $g \approx 2$.