Wat is Spin een half? — Natuurkunde

Definitie 12.2 Universitaire natuurkunde — jaar 3 · Hoofdstuk 12 — Spin en stelsels met twee niveaus

Het elektron (en het proton, het neutron, de quarks) draagt een intrinsiek impulsmoment met $j = \tfrac12$ : een tweedimensionale toestandsruimte opgespannen door $\ket\uparrow, \ket\downarrow$ (eigentoestanden van $\hat S_z$ met $\pm\hbar/2$ ), waarop

\hat{\vect S} = \frac\hbar2\,\hat{\vect\sigma} , \qquad \sigma_x = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} ,\; \sigma_y = \begin{pmatrix}0&-\iu\\\iu&0\end{pmatrix} ,\; \sigma_z = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}

— de paulimatrices, die de algebra van het impulsmoment in haar kleinst mogelijke huis verwezenlijken. Een algemene toestand $\alpha\ket\uparrow + \beta\ket\downarrow$ is een spinor. Het magnetische moment van het elektron is

\hat{\vect\mu} = -g\,\frac{\mu_{\text{B}}}{\hbar}\,\hat{\vect S} , \qquad g \approx 2 :

tweemaal het baantempo per eenheid impulsmoment — de anomalie die Einstein en De Haas hadden gemeten (Oefening 10.12) en die de vergelijking van Dirac later zou voorspellen. Spin is geen rotatie van iets: geen straal en geen “tollende bal” houdt stand bij nadere beschouwing — zij is intrinsiek, net als lading.

Voorbeelden

Voorbeeld 12.3 (Gekoppelde stern-gerlachfilters)

Selecteer de bundel met $S_z = +\hbar/2$ en meet $S_z$ opnieuw: alle atomen antwoorden $+$ . Meet in plaats daarvan $S_x$ : half om half — de toestand $\ket\uparrow$ is de superpositie $(\ket{+x} + \ket{-x})/\sqrt2$ . Houd nu de bundel met $S_x = +$ en meet nog eens $S_z$ : opnieuw half om half — de meting van $S_x$ wiste de eerder scherpe $S_z$ . Drie magneten volstaan om onverenigbaarheid, ineenstorting en de regel van Born te tonen; deze keten is Voorbeeld 8.7, uitgevoerd met atomen.

Voorbeeld 12.1 (Stern–Gerlach)

Een magnetisch moment $\vect\mu$ in een inhomogeen veld voelt de kracht $F_z = \mu_z\,\partial B_z/\partial z$ : de afbuiging meet $\mu_z$ . Klassieke verwachting: willekeurig gerichte momenten, een doorlopende waaier. Kwantumverwachting voor baanmomenten: $2l + 1$ vlekken — één, drie, vijf, altijd oneven. Waargenomen voor zilver (en voor waterstof): twee vlekken, symmetrisch, niets ertussen. De gemeten component neemt precies twee waarden aan — de handtekening van $j = \tfrac12$ , banen verboden, en de rechtstreekse vertoning van de kwantisering: het toestel is een meetinstrument voor één spincomponent, en de bundel splitst in haar twee eigenwaarden.

Voorbeeld 12.7 (Hyperfijnstructuur en de 21 cm-lijn)

In de grondtoestand van waterstof wisselwerken de spins van het elektron en het proton via hun magnetische momenten: de vier spintoestanden splitsen in een triplet en een singlet die slechts $\Delta E = 5.9\,\text{µ}\mathrm{eV}$ uit elkaar liggen — de hyperfijnsplitsing, $\nu = 1420\,\mathrm{MHz}$ , $\lambda = 21\,\mathrm{cm}$ . De overgang is absurd traag (één omklap per tien miljoen jaar), maar de Melkweg bevat $10^{66}$ waterstofatomen: de 21 cm-lijn is helder genoeg om de spiraalarmen, de kromming van de schijf en — via haar dopplerverschuivingen — de vlakke rotatiekrommen in kaart te hebben gebracht die voor donkere materie pleiten. Dezelfde natuurkunde splitst in de grondtoestand van cesium de niveaus met precies $9\,192\,631\,770\,\mathrm{Hz}$ : sinds 1967 is de definitie van de seconde een uitgetelde hyperfijne spinomklap (Oefening 12.12).

Lees in het hoofdstuk →