12السبين والجمل ذات المستويين

حل التمرين 12.1.

(أ) بالضرب المباشر. (ب) $[\hat S_x, \hat S_y] = (\hbar/2)^2\,2\iu\sigma_z = \iu\hbar\hat S_z$. (ج) $\hat S^2 = (\hbar/2)^2 \times 3\,\mathbb 1 = \tfrac34\hbar^2$: وهي حقًّا $\tfrac12\cdot\tfrac32\hbar^2$. (د) تولّد $\{\mathbb 1, \sigma_x, \sigma_y, \sigma_z\}$ الأبعاد الحقيقية الأربعة للمصفوفات الهرميتية $2\times2$ (أي $a + \vect b\cdot\vect\sigma$ مع $a, \vect b$ حقيقيين).

حل التمرين 12.2.

(أ) $\ket{\pm x} = (\ket\uparrow \pm \ket\downarrow)/\sqrt2$؛ و $\ket{\pm y} = (\ket\uparrow \pm \iu\ket\downarrow)/\sqrt2$. (ب) النصف والنصف. (ج) النصف والنصف من جديد: $|\braket{\pm y}{+x}|^2 = |1 \mp \iu|^2/4 = \tfrac12$. (د) الحالة $\ket{+x}$: على خط الاستواء عند $\varphi = 0$؛ والقياس على $z$ أو على $y$ يسقطها على قطبين يبعدان $90^\circ$ — فيكون دائمًا $\cos^2(45^\circ) = \tfrac12$.

حل التمرين 12.3.

(أ) $\cos^2(\theta/2)$. (ب) $\cos^2(\theta/2) \times \cos^2(\theta/2) = \cos^4(\theta/2)$. (ج) عند $\theta = 90^\circ$: $(\tfrac12)^2 = \tfrac14$، وهو عدد سلسلة المستقطِبات. (د) تافهًا عند $\theta = 0$؛ والدرس الحقيقي أن القياسات الوسيطة اللطيفة أقلّ كلفة — أي نهاية الخطوات الصغيرة في التمرين 8.5، حيث تمرّر دورات صغيرة كثيرة الحالةَ بخسارة متلاشية.

حل التمرين 12.4.

(أ) $2\mu_{\text{B}}B = 116\,\text{µ}\mathrm{eV}$: ومنه $\nu = 28\,\mathrm{GHz}$. (ب) $2 \times 2.79\,\mu_{\text{N}}B = 0.18\,\text{µ}\mathrm{eV}$: ومنه $\nu = 42.6\,\mathrm{MHz}$. (ج) في مقابل $k_{\text{B}}T = 25.9\,\mathrm{meV}$: يكون استقطاب الإلكترونات $\sim2 \times 10^{-3}$ واستقطاب البروتونات $\sim3 \times 10^{-6}$ — فجماهير السبينات الحرارية شبه مخلوطة تمامًا. (د) الرنين الإلكتروني: ميكروويف؛ والرنين النووي: راديو — أي ثلاث رتب بينهما، وفيزياء واحدة.

حل التمرين 12.5.

(أ) $\dd\langle\hat S_x\rangle/\dd t = -\gamma B_0\langle\hat S_y\rangle$ و $\dd\langle\hat S_y\rangle/\dd t = \gamma B_0\langle\hat S_x\rangle$ و $\dd\langle\hat S_z\rangle/\dd t = 0$. (ب) $\langle\hat S_x\rangle = \tfrac\hbar2\cos\omega_0t$ و $\langle\hat S_y\rangle = \tfrac\hbar2\sin\omega_0t$ (والإشارة بحسب إشارة $\gamma$). (ج) وكلاهما ظاهر من (ب). (د) الحالة تراكب من الحالتين الذاتيتين للطاقة؛ ويتقدم طورها النسبي عند $\omega_0$، وذلك الطور الدائر هو المبادرة — فالمستويان المستقران والمتجهة الدائرة قراءتان لتطور واحد ذي مستويين.

حل التمرين 12.6.

(أ) عوّض واستعمل متطابقات نصف الزاوية. (ب) $\cos\tfrac\theta2\cos\tfrac{\pi-\theta}2 + \eu^{\iu\pi}\sin\tfrac\theta2\sin\tfrac{\pi-\theta}2 = \cos\tfrac\theta2\sin\tfrac\theta2 - \sin\tfrac\theta2\cos\tfrac\theta2 = 0$. (ج) على خط الاستواء، عند $\varphi = 0, \pi$ (من أجل $\sigma_x$) وعند $\varphi = \pm\pi/2$ (من أجل $\sigma_y$). (د) دوران مقداره $180^\circ$ حول أيّ محور استوائي — فنبضة $\pi$ في الرنين المغناطيسي هي بوابة النفي في الكيوبت.

حل التمرين 12.7.

(أ) في المرجع الدائر تقف الإثارة ساكنة، بينما يطرح دوران المرجع المقدارَ $\omega/\gamma$ من المجال الساكن الفعّال (وهي المحاسبة نفسها التي في قوة العطالة بمرجع دائر). (ب) لا يبقى غير $B_1$: فتبادر متجهة بلوخ حول محور $B_1$ المستعرض (الثابت) عند $\Omega_1 = |\gamma|B_1$ — أي انقلاب مطّرد. (ج) $t_\pi = \pi/\gamma B_1 = 1/(2 \times 42.58\,\text{ MHz/T} \times 10\,\text{µ}\mathrm{T}) = 1.2\,\mathrm{ms}$. (د) لولب سريع يضيّق مخروطه: مبادرة عند $128\,\mathrm{MHz}$ حول $z$، مع تحرك بطيء نزولًا عند $426\,\mathrm{Hz}$ — أي بريمة بألف لفة من قطب إلى قطب.

حل التمرين 12.8.

(أ) $\nu = \Delta E/h = 5.9 \times 10^{-6}/4.14 \times 10^{-15} = 1.42 \times 10^{9}\,\mathrm{Hz}$؛ و $\lambda = c/\nu = 21.1\,\mathrm{cm}$. (ب) $\Delta \nu \sim 1/2\pi\tau \sim 10^{-15}\,\mathrm{Hz}$: أي مهمل تمامًا — فكل عرض مشاهَد حركة. (ج) $\Delta\nu = \nu\,(2v/c) = 1420\,\text{ميغاهرتز} \times 1.5 \times 10^{-3} \approx 2\,\mathrm{MHz}$: أي الجانبية ذات القرنين لقرص دائر. (د) يتكلم خط 21 سنتيمترًا حيث يكون الهدروجين ذريًا (دافئًا مبعثرًا)؛ ويتكلم أحادي أكسيد الكربون حيث ازدوج الهدروجين في H$_2$ غير مرئي (باردًا كثيفًا): فيحصيان معًا الوسطَ بين النجمي للمجرّة كله.

حل التمرين 12.9.

(أ) تشكيلان مقترنان بالنفق: فعند الطاقات المنخفضة يكون الفضاء ثنائي البعد — فالنشادر هو سبين $\tfrac12$ متنكّر. (ب) $\nu = \Delta E/h = 24\,\mathrm{GHz}$ و $\lambda = 1.25\,\mathrm{cm}$. (ج) يجب أن تصل الحزمة والحالة العليا معمورة أكثر (منتقاةً بالانحراف الكهرستاتيكي) — أي قلب جمهرة، لا يُنال حراريًّا، إذ يفضّل بولتزمان المستوي الأدنى دائمًا. (د) التضخيم المستحثّ بقلب الجمهرة — وهو مبدأ عمل الليزر، مبرهَنًا عند تواترات الميكروويف أولًا.

حل التمرين 12.10.

(أ) $\mu_{\text{B}} \times 10\,\mathrm{T} = 0.58\,\mathrm{meV}$ — وهو مقياس $\alpha^2E_{\text{I}} \approx 0.7\,\mathrm{meV}$ في التمرين 11.11: فالبنية الدقيقة هي لقاء السبين بالمجال الحركي. (ب) $\Delta E = hc\,\Delta\lambda/ \lambda^2 = 2.1\,\mathrm{meV}$: أي مجال داخلي $\Delta E/2\mu_{ \text{B}} \approx 18\,\mathrm{T}$. (ج) ينمو المجال الداخلي وفق $Z^4$ (فالشحنة النووية مكعَّبة في المجال، ومرة أخرى في نصف قطر المدار): فللذرات الثقيلة بنية دقيقة تُرى بمطياف جيب. (د) $j = \tfrac32$: أربع حالات؛ و $j = \tfrac12$: اثنتان — أي ست في المجموع، وهي بالضبط $2 \times (2l + 1)$ من أجل $l = 1$.

حل التمرين 12.11.

(أ) قيم $S_z$: $+\hbar, 0, 0, -\hbar$؛ والتأثير بالمؤثر $\hat S^2$ (عبر متطابقة السلّم) على التركيب المتناظر يعطي $2\hbar^2$ (أي $S = 1$)، وعلى المتخالف التناظر يعطي $0$ (أي $S = 0$). (ب) الأحادي وحده (والحالة الثلاثية الوسطى) لا يمكن كتابته جداءً — والأحادي هو الزوج المتشابك تشابكًا أعظميًا. (ج) الإصدار يعني أن الثلاثي أعلى: فتشكيل السبينين المتوازيين أعلى طاقةً بمقدار $5.9\,\text{µ}\mathrm{eV}$. (د) يرى كل راصد وحده نتائج عشوائية تمامًا؛ ولا يظهر الترابط إلا حين تُجمع القائمتان معًا — فلا تتغير أيّ إحصاءات موضعية، ومن ثمّ لا ينتشر شيء (وهي حجة الملاحظة 8.8).

حل التمرين 12.12.

(أ) تضع نبضة $\pi/2$ الأولى متجهةَ بلوخ على خط الاستواء؛ وفي أثناء $T$ تبادر عند تواتر الذرة $\nu_0$ بينما يدور المذبذب المحلي عند $\nu$: فيكون فرق الزاوية المتراكم $2\pi\delta T$؛ وتحوّل نبضة $\pi/2$ الثانية ذلك الطور إلى جمهرة — أي مقياس تداخل في الزمن. (ب) $\Delta\delta \sim 1/2T = 1\,\mathrm{Hz}$. (ج) $10^{-4}\,\mathrm{Hz}/9.19 \times 10^{9}\,\mathrm{Hz} \approx 10^{-14}$ — أي ثانية في ثلاثة ملايين سنة. (د) شطر الهدب المطلق نفسه على حامل أعلى $10^5$ مرة يربح $10^5$ في الدقة النسبية: ومن هنا ساعات السترونسيوم والإتربيوم الضوئية عند $10^{-18}$، وإعادة تعريف الثانية المنتظرة.