Qu'est-ce que « Le spin un demi » ? — Physique

Définition 12.2 Physique universitaire — 3e année · Chapitre 12 — Le spin et les systèmes à deux niveaux

L’électron (comme le proton, le neutron, les quarks) porte un moment cinétique intrinsèque de $j = \tfrac12$ : un espace d’états à deux dimensions engendré par $\ket\uparrow, \ket\downarrow$ (états propres de $\hat S_z$ pour $\pm\hbar/2$ ), sur lequel

\hat{\vect S} = \frac\hbar2\,\hat{\vect\sigma} , \qquad \sigma_x = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} ,\; \sigma_y = \begin{pmatrix}0&-\iu\\\iu&0\end{pmatrix} ,\; \sigma_z = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}

— les matrices de Pauli, qui réalisent l’algèbre du moment cinétique dans son plus petit logement possible. Un état général $\alpha\ket\uparrow + \beta\ket\downarrow$ est un spineur. Le moment magnétique de l’électron vaut

\hat{\vect\mu} = -g\,\frac{\mu_{\text{B}}}{\hbar}\,\hat{\vect S} , \qquad g \approx 2 :

le double du taux orbital par unité de moment cinétique — l’anomalie qu’Einstein et de Haas avaient mesurée (Exercice 10.12) et que l’équation de Dirac allait prédire. Le spin n’est la rotation de rien : aucun rayon, aucune « boule qui tourne » ne résiste à l’examen — il est intrinsèque, comme la charge.

Exemples

Exemple 12.3 (Filtres de Stern–Gerlach en cascade)

Sélectionnez le faisceau $S_z = +\hbar/2$ et mesurez $S_z$ de nouveau : tous les atomes répondent $+$ . Mesurez plutôt $S_x$ : moitié-moitié — l’état $\ket\uparrow$ est la superposition $(\ket{+x} + \ket{-x})/\sqrt2$ . Gardez maintenant le faisceau $S_x = +$ et mesurez $S_z$ une fois encore : moitié-moitié de nouveau — la mesure de $S_x$ a effacé le $S_z$ auparavant bien défini. Trois aimants suffisent à exhiber incompatibilité, réduction et règle de Born ; cette cascade est Exemple 8.7 jouée avec des atomes.

Exemple 12.1 (Stern–Gerlach)

Un moment magnétique $\vect\mu$ dans un champ inhomogène subit la force $F_z = \mu_z\,\partial B_z/\partial z$ : la déviation mesure $\mu_z$ . Attente classique : des moments orientés au hasard, un éventail continu. Attente quantique pour des moments orbitaux : $2l + 1$ taches : une, trois, cinq — toujours un nombre impair. Observé pour l’argent (et pour l’hydrogène) : deux taches, symétriques, rien entre elles. La composante mesurée ne prend exactement que deux valeurs — la signature de $j = \tfrac12$ , interdite aux orbites, et l’exposition directe de la quantification : l’appareil est un instrument de mesure d’une composante du spin, et le jet se scinde selon ses deux valeurs propres.

Exemple 12.7 (Structure hyperfine et raie à 21 cm)

Dans l’état fondamental de l’hydrogène, les spins de l’électron et du proton interagissent par leurs moments magnétiques : les quatre états de spin se séparent en un triplet et un singulet distants de $\Delta E = 5.9\,\text{µ}\mathrm{eV}$ seulement — la séparation hyperfine, $\nu = 1420\,\mathrm{MHz}$ , $\lambda = 21\,\mathrm{cm}$ . La transition est absurdement lente (un basculement tous les dix millions d’années), mais la Galaxie contient $10^{66}$ atomes d’hydrogène : la raie à 21 cm est assez brillante pour avoir cartographié les bras spiraux, le gauchissement du disque et — par ses décalages Doppler — les courbes de rotation plates qui plaident pour la matière noire. La même physique, dans l’état fondamental du césium, sépare des niveaux d’exactement $9\,192\,631\,770\,\mathrm{Hz}$ : depuis 1967, la définition de la seconde est un basculement de spin hyperfin que l’on compte (Exercice 12.12).

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