Adjunto; endomorfismos simétricos কী?

Ejemplo 12.12 (El adjunto depende del producto escalar)

Sobre $\R^2$, tomemos el producto escalar con pesos $\langle x, y\rangle_D = x_1y_1 + 2x_2y_2$ (de matriz $D = \operatorname{diag}(1,2)$) y $u$ de matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ en la base canónica. De $\langle u(x), y\rangle_D = (Ax)^{\mathsf T}Dy = x^{\mathsf T}(A^{\mathsf T}D)y$ y $\langle x, u^*(y)\rangle_D = x^{\mathsf T}(DA^*)y$, la matriz del adjunto es

Comprobación de sensatez en $x = (1,0)$, $y = (0,1)$:

y en $x = (0,1)$, $y = (1,0)$:

Moraleja: “$\operatorname{Mat}(u^*) = \operatorname{Mat}(u)^{\mathsf T}$” es un enunciado sobre bases ortonormales únicamente; en general interviene la métrica $D$, exactamente como en la reducción simultánea del problema de fin de semana.