Anulador কী?

Ejemplo 2.7 (Un anulador, en los dos sentidos)

Sea $F = \operatorname{Vect}\bigl((1, 2, 1),\ (1, 0, -1)\bigr) \subseteq \R^3$. Una forma $\varphi = a\,e_1^* + b\,e_2^* + c\,e_3^*$ anula $F$ si y solo si

es decir, $c = a$ y $b = -a$: $F^\circ = \R\,(e_1^* - e_2^* + e_3^*)$, de dimensión $3 - 2 = 1$, como exige el Teorema 2.6. Leído al revés: $F = \{(x, y, z) : x - y + z = 0\}$, el plano recuperado como núcleo de la única forma que genera $F^\circ$. Pasar de una familia generadora a unas ecuaciones es calcular un anulador; pasar de las ecuaciones a una parametrización es calcular un preanulador. (Comprobación: ambos vectores generadores cumplen $x - y + z = 0$.)

Ejemplo 2.11 (El rango leído por los dos lados)

Sea

Rango por columnas: la tercera fila es la suma de las dos primeras, luego $\operatorname{rk} A \leq 2$; las columnas $1$ y $2$ son libres: $\operatorname{rk} A = 2$. Núcleo de la traspuesta: resolviendo $A^{\mathsf T}y = 0$ se obtiene $y \in \R\,(1, 1, -1)$, de modo que $\ker A^{\mathsf T}$ tiene dimensión $1 = 3 - 2$: exactamente $(\operatorname{im} A)^\circ$ bajo la identificación de $(\R^3)^*$ con los vectores fila, tal como afirma la Proposición 2.10; la única relación “fila$_3$ = fila$_1$ + fila$_2$” es el anulador del espacio de columnas. El rango por filas ($2$ filas libres) y el rango por columnas coinciden no por casualidad, sino porque ambos valen $\operatorname{rk} A = \operatorname{rk} A^{\mathsf T}$.

Ejemplo 2.24 (El emparejamiento traza parte el espacio de matrices)

Sobre $\mathcal{M}_2(\R)$, con el emparejamiento $\langle A, B\rangle = \operatorname{tr}(AB)$ del Ejercicio 2.9, descompongamos $M = \left(\begin{smallmatrix}1 & 4\\ 2 & 3\end{smallmatrix}\right)$ en sus partes simétrica y antisimétrica:

Entonces $\operatorname{tr}(SA) = \operatorname{tr} \left(\begin{smallmatrix}-3 & 1\\ -3 & 3\end{smallmatrix}\right) = 0$: las dos partes son “ortogonales” para el emparejamiento traza, caso particular del hecho general (demostrado en el problema de fin de semana de este capítulo) de que las matrices antisimétricas forman exactamente el anulador de las simétricas. La dualidad ve la descomposición $\mathcal{M}_n = \mathcal{S}_n \oplus \mathcal{A}_n$ antes de que se elija ningún producto escalar.