Matemáticas universitarias — Grado 3 · Bachelor Year 3

13Espacios de Hilbert

Un espacio de Hilbert es un espacio de Banach cuya norma procede de un producto escalar — y esa única estructura adicional restaura, en dimensión infinita, casi toda la geometría euclídea: existen las proyecciones ortogonales, toda funcional continua es un producto escalar contra un vector fijo (Riesz), y las bases ortonormales desarrollan cada vector en una serie convergente con contabilidad pitagórica (Parseval). El punto culminante del capítulo es una deuda saldada: el sistema trigonométrico es una base ortonormal de $L^2$ , de modo que la identidad de Parseval vale para toda función de cuadrado integrable — el enunciado que en segundo año solo pudo demostrarse para funciones $\mathcal C^1$ a trozos. Terminamos con Lax–Milgram, el lema caballo de batalla del enfoque variacional de las ecuaciones diferenciales.

En todo el capítulo, $H$ es un espacio vectorial sobre $K = \R$ o $\C$ .

13.1 Productos escalares; el teorema de la proyección

Definición 13.1

Un producto escalar es una aplicación $\langle \cdot,\cdot\rangle \colon H\times H \to K$ , lineal en la segunda variable, con $\langle y, x\rangle = \overline{\langle x, y\rangle}$ y $\langle x, x\rangle > 0$ para $x \neq 0$ . Induce la norma $\norm x = \langle x, x\rangle^{1/2}$ , la desigualdad de Cauchy–Schwarz $\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x\norm y$ (la demostración de segundo año — el discriminante — no cambia) y la ley del paralelogramo

\norm{x + y}^2 + \norm{x - y}^2 = 2\norm x^2 + 2\norm y^2 .

Un espacio de Hilbert es un espacio con producto escalar completo para esa norma. Ejemplos: $\ell^2$ (el Problema 8.1) y, el fundamental, $L^2(\mu)$ con $\langle f, g\rangle = \int\bar fg\,\dd\mu$ — completo por Riesz–Fischer (el Teorema 12.4); el producto escalar es finito por Cauchy–Schwarz ( $=$ Hölder en $p = q = 2$ ).

Teorema 13.2 (Proyección sobre un convexo cerrado)

Sean $C \neq \varnothing$ un subconjunto convexo cerrado del espacio de Hilbert $H$ y $x \in H$ . Existe un único $p_C(x) \in C$ con

\norm{x - p_C(x)} = d(x, C),

caracterizado por: $\operatorname{Re}\langle x - p_C(x),\ c - p_C(x)\rangle \leq 0$ para todo $c \in C$ . La aplicación $p_C$ es $1$ -lipschitziana.

Demostración. Sean $d = d(x, C)$ y $(c_n) \subseteq C$ con $\norm{x - c_n} \to d$ . Paralelogramo sobre $x - c_n$ y $x - c_m$ :

\norm{c_n - c_m}^2 = 2\norm{x - c_n}^2 + 2\norm{x - c_m}^2 - 4\,\bigl\|x - \tfrac{c_n + c_m}2\bigr\|^2 \leq 2\norm{x{-}c_n}^2 + 2\norm{x{-}c_m}^2 - 4d^2

(la convexidad pone el punto medio en $C$ ): el miembro derecho tiende a $0$ , luego $(c_n)$ es de Cauchy, y su límite $p \in C$ (cerrado) alcanza $d$ . Unicidad: dos minimizadores dan, por la misma identidad, $\norm{p - p'}^2 \leq 2d^2 + 2d^2 - 4d^2 = 0$ .

Caracterización: para $c \in C$ , $t \in \intoc01$ , el vector $p + t(c - p) \in C$ , luego

d^2 \leq \norm{x - p - t(c-p)}^2 = d^2 - 2t\operatorname{Re}\langle x - p, c - p\rangle + t^2\norm{c-p}^2 ;

divídase por $t \to 0^+$ : $\operatorname{Re}\langle x - p, c - p\rangle \leq 0$ . Recíprocamente, esta desigualdad da $\norm{x - c}^2 = \norm{x - p}^2 - 2\operatorname{Re}\langle x - p, c - p\rangle + \norm{p - c}^2 \geq \norm{x-p}^2$ . Lipschitz: para $x, y$ con proyecciones $p, q$ , súmense las dos desigualdades variacionales (con $c = q$ y con $c = p$ , respectivamente): $\operatorname{Re}\langle x - y - (p - q), p - q\rangle \geq 0$ , luego $\norm{p - q}^2 \leq \operatorname{Re}\langle x - y, p - q\rangle \leq \norm{x - y}\norm{p - q}$ . ∎

Teorema 13.3 (Descomposición ortogonal)

Sea $F$ un subespacio cerrado de $H$ . Entonces $p_F$ es lineal, $x - p_F(x) \perp F$ para todo $x$ , y

H = F \oplus F^\perp, \qquad F^\perp = \{y : \langle y, f\rangle = 0\ \forall f\in F\}, \qquad (F^\perp)^\perp = F .

Para un subespacio general, $(F^\perp)^\perp = \bar F$ ; en particular, $F$ es denso si y solo si $F^\perp = \{0\}$ .

Demostración. Para un subespacio, la caracterización variacional con $c = p_F(x) \pm f$ ( $f \in F$ , con ambos signos, y $\iu f$ en el caso complejo) obliga a $\langle x - p_F(x), f\rangle = 0$ : el residuo es ortogonal a $F$ . Descomposición $x = p_F(x) + (x - p_F(x))$ con $F \cap F^\perp = \{0\}$ ( $\langle y, y \rangle = 0$ ); la linealidad de $p_F$ se sigue de la unicidad de tales descomposiciones (ambos miembros son lineales en ellas). $(F^\perp) ^\perp \supseteq F$ siempre; recíprocamente, si $x \perp F^\perp$ , escríbase $x = f + g$ : $g = x - f \in F^\perp$ y $\langle g, g\rangle = \langle x, g\rangle - \langle f, g\rangle = 0$ : $x = f \in F$ . Para un subespacio general $F$ : $F^\perp = \bar F^{\,\perp}$ (continuidad del producto escalar), luego $(F^\perp)^\perp = \bar F$ por el caso cerrado; y la densidad equivale a $\bar F = H$ , que equivale a $F^\perp = 0$ . ∎

Teorema 13.4 (Representación de Riesz)

Para toda funcional lineal continua $\varphi \in H'$ existe un único $a \in H$ con

\varphi(x) = \langle a, x\rangle \quad (x \in H), \qquad \norm\varphi_{H'} = \norm a .

Demostración. Si $\varphi = 0$ : $a = 0$ . En caso contrario, $F = \ker\varphi$ es un subespacio propio cerrado; tómese $u \in F^\perp$ , $\norm u = 1$ (el Teorema 13.3: $F^\perp \neq 0$ porque $F \neq H$ ). Para todo $x$ , el vector $\varphi(x)u - \varphi(u)x \in \ker\varphi$ y, por tanto, $\perp u$ :

0 = \langle u, \varphi(x)u - \varphi(u)x\rangle = \varphi(x) - \varphi(u)\langle u, x\rangle : \qquad \varphi(x) = \langle \overline{\varphi(u)}\,u,\ x\rangle .

Así que $a = \overline{\varphi(u)}u$ sirve. Unicidad: $\langle a - a', x\rangle = 0$ para todo $x$ ; evalúese en $x = a - a'$ . Normas: $\abs{\varphi(x)} \leq \norm a\norm x$ (Cauchy–Schwarz), con igualdad en $x = a$ . ∎

Ejemplo 13.5 (Una proyección, calculada hasta el final)

En $H = L^2(\intcc01)$ , ¿cuál es la mejor aproximación de $f(x) = x^2$ por una función afín? El subespacio $F = \operatorname{Vect}(1, x)$ es cerrado (de dimensión finita), y $p_F(f) = a + bx$ queda caracterizada por la ortogonalidad del residuo a $1$ y a $x$ :

\int_0^1(x^2 - a - bx)\,\dd x = 0, \qquad \int_0^1x\,(x^2 - a - bx)\,\dd x = 0,

es decir, $\frac13 = a + \frac b2$ y $\frac14 = \frac a2 + \frac b3$ : $a = -\frac16$ , $b = 1$ . Luego $p_F(x^2) = x - \frac16$ , y el error es

d(f, F)^2 = \int_0^1\Bigl(x^2 - x + \frac16\Bigr)^2\dd x = \frac1{180}, \qquad d(f, F) = \frac1{6\sqrt5} .

Dos observaciones que conviene interiorizar. Primera: el cálculo no es más que un sistema lineal $2\times2$ — las ecuaciones normales; para la base de los monomios, su matriz $\bigl(\frac1{i+j+1}\bigr)$ es la célebremente mal condicionada matriz de Hilbert, y ortogonalizar primero (polinomios de Legendre, el Problema 13.1) es el remedio. Segunda: la mejor aproximación uniforme de $x^2$ por funciones afines es otra ( $x - \frac18$ , por equioscilación): cada norma tiene su propia geometría, y solo la hilbertiana responde con un sistema lineal.

13.2 Bases ortonormales

Definición 13.6

Una familia $(e_i)_{i\in I}$ es ortonormal si $\langle e_i, e_j\rangle = \delta_{ij}$ , y una base hilbertiana (base ortonormal) si, además, sus combinaciones lineales finitas son densas en $H$ (la familia es total). Trataremos el caso numerable $I = \N$ que, por Gram–Schmidt, cubre todo $H$ separable (Proposición 13.8).

Teorema 13.7 (Bessel, Parseval)

Sea $(e_n)_{n\in\N}$ ortonormal en $H$ , y $c_n(x) = \langle e_n, x\rangle$ .

(Bessel) $\sum_n\abs{c_n(x)}^2 \leq \norm x^2$ , y la serie $\sum_nc_n(x)e_n$ converge en $H$ , con suma $p_F(x)$ , $F = \overline{\operatorname{Vect}}(e_n)$ .
Son equivalentes: (i) $(e_n)$ es una base hilbertiana; (ii) $x = \sum_nc_n(x)e_n$ para todo $x$ ; (iii) Parseval: $\norm x^2 = \sum_n\abs{c_n(x)}^2$ para todo $x$ ; (iv) el único vector ortogonal a todos los $e_n$ es $0$ .
Si $(e_n)$ es una base hilbertiana, $x \mapsto (c_n(x))_n$ es un isomorfismo isométrico $H \to \ell^2$ (todo espacio de Hilbert separable de dimensión infinita «es» $\ell^2$ ), y $\langle x, y\rangle = \sum_n\overline{c_n(x)}c_n(y)$ .

Demostración. (1) Para $N$ finito: $x - \sum_{n\leq N}c_ne_n \perp e_k$ ( $k \leq N$ ), de modo que Pitágoras da $\norm x^2 = \sum_{n\leq N}\abs{c_n}^2 + \norm{x - \sum_{n\leq N}c_ne_n}^2$ : Bessel. Las sumas parciales $S_N = \sum_{n\leq N}c_ne_n$ son de Cauchy: $\norm{S_N - S_M}^2 = \sum_{M<n\leq N}\abs{c_n}^2$ , cola de una serie convergente; el límite está en $F$ , y $x - \lim S_N \perp$ cada $e_k$ (continuidad), luego $\perp F$ : por la unicidad de la descomposición ortogonal, $\lim S_N = p_F(x)$ .

(2) (i) $\Rightarrow$ (ii): $F = H$ , luego $p_F = \mathrm{id}$ . (ii) $\Rightarrow$ (iii): Pitágoras en el límite ( $\norm{S_N}^2 = \sum_{n \leq N}\abs{c_n}^2 \to \norm x^2$ ). (iii) $\Rightarrow$ (iv): $x \perp$ para todos los $e_n$ da $\norm x^2 = 0$ . (iv) $\Rightarrow$ (i): $F^\perp = \{0\}$ (ser ortogonal a todos los $e_n$ es serlo a $F$ ), de modo que $F$ es denso por el Teorema 13.3; pero $F$ , una clausura, ya es cerrado: $F = H$ .

(3) La aplicación es lineal, isométrica por (iii) (luego inyectiva) y sobreyectiva: dado $(c_n) \in \ell^2$ , la serie $\sum c_ne_n$ converge (de Cauchy como en (1)) a una preimagen. La fórmula del producto escalar es la polarización a partir de (iii), o un cálculo directo de límites. ∎

Proposición 13.8 (Gram–Schmidt)

Sea $(x_n)$ una sucesión linealmente independiente. Poniendo inductivamente $\tilde e_n = x_n - \sum_{k<n}\langle e_k, x_n\rangle e_k$ y $e_n = \tilde e_n/\norm{\tilde e_n}$ se obtiene una familia ortonormal $(e_n)$ con las mismas envolturas finitas: $\operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_n) = \operatorname{Vect} (x_1, \dots, x_n)$ . En consecuencia, todo espacio de Hilbert separable (con un subconjunto denso numerable) tiene una base hilbertiana.

Demostración. Inducción: $\tilde e_n \perp e_k$ ( $k < n$ ) por construcción, y $\tilde e_n \neq 0$ por independencia; las envolturas coinciden en cada etapa (cambio de base triangular). Para $H$ separable: de una sucesión densa extráigase una subfamilia linealmente independiente con envoltura densa (descártese cada vector que esté en la envoltura de los anteriores — la envoltura no cambia) y ortonormalícese: el resultado es total. ∎

Teorema 13.9 (El sistema trigonométrico; Parseval, por fin)

En $L^2(\intcc{-\pi}\pi)$ con $\langle f, g\rangle = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \bar fg$ , la familia $e_n(t) = \eu^{\iu nt}$ , $n \in \Z$ , es una base hilbertiana. En consecuencia, para toda $f \in L^2$ — en particular, para toda $f$ $2\pi$ -periódica continua a trozos — con $c_n(f) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\eu^{-\iu nt}\dd t$ :

f = \sum_{n\in\Z}c_n(f)\,\eu^{\iu nt} \ \ \text{en } L^2, \qquad \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\abs f^2 = \sum_{n\in\Z}\abs{c_n(f)}^2 .

Esto demuestra, con toda generalidad, la identidad de Parseval que segundo año admitió.

Demostración. La ortonormalidad es un cálculo directo (segundo año). Totalidad: sea $f \in L^2$ $\perp$ a todos los $e_n$ , es decir, con todos los coeficientes de Fourier nulos. Las funciones $2\pi$ -periódicas continuas son densas en $L^2(\intcc{-\pi}\pi)$ : en efecto, $\mathcal C_c(\intoo{-\pi}\pi)$ es denso (el Teorema 12.6(2)) y tales funciones se extienden periódica y continuamente. Los polinomios trigonométricos son $\norm\cdot_\infty$ -densos entre las funciones periódicas continuas (Stone–Weierstrass, el Corolario 7.16(c)), y $\norm\cdot_2 \leq \norm\cdot_\infty$ : los polinomios trigonométricos son densos en $L^2$ . Pero $f \perp$ a todo polinomio trigonométrico y, por tanto, $f \perp$ a un subespacio denso: $f \in (\text{denso})^\perp = \{0\}$ (el Teorema 13.3). El criterio (iv) del Teorema 13.7 concluye; y (ii) y (iii) se traducen en la fórmula mostrada (reindexando el conjunto numerable $\Z$ ; la serie doblemente infinita converge incondicionalmente — las sumas parciales sobre cualquier familia exhaustiva convergen, por el argumento de la cola $\ell^2$ ). ∎

Teorema 13.10 (Lax–Milgram)

Sean $H$ un espacio de Hilbert real y $a \colon H\times H \to \R$ bilineal, continua ( $\abs{a(u,v)} \leq M\norm u\norm v$ ) y coerciva ( $a(u, u) \geq \alpha\norm u^2$ , $\alpha > 0$ ). Entonces, para toda $\varphi \in H'$ existe un único $u \in H$ con

a(u, v) = \varphi(v) \qquad \text{para todos } v \in H .

Demostración. Para $u$ fijo, $v \mapsto a(u, v)$ es lineal continua: Riesz da un único $Au \in H$ con $a(u,v) = \langle Au, v\rangle$ ; $A$ es lineal con $\norm{Au} \leq M\norm u$ (unicidad de los representantes, y después la cota). Coercividad: $\alpha\norm u^2 \leq a(u,u) = \langle Au, u\rangle \leq \norm{Au}\norm u$ , luego $\norm{Au} \geq \alpha\norm u$ : $A$ es inyectiva con imagen cerrada (una sucesión de Cauchy de imágenes $Au_n$ obliga a que $u_n$ sea de Cauchy). La imagen es densa: $w \perp \operatorname{im}A$ da $0 = \langle Aw, w\rangle \geq \alpha\norm w^2$ . Cerrada y densa: $A$ es biyectiva. Dada $\varphi$ , sea $f$ su representante (Riesz) y $u = A^{-1}f$ : $a(u, v) = \langle f, v\rangle = \varphi(v)$ , de manera única ( $a(u - u', \cdot) = 0$ y coercividad). ∎

Observación 13.11

Cuando $a$ es simétrica, la solución de Lax–Milgram es el único minimizador de la energía $J(v) = \frac12a(v,v) - \varphi(v)$ (el Ejercicio 13.9): la existencia de soluciones de problemas variacionales de un solo golpe. Aplicado a espacios de funciones adecuados (los espacios de Sóbolev de un curso posterior), esto resuelve problemas de contorno para ecuaciones diferenciales — la puerta de entrada moderna a las ecuaciones en derivadas parciales.

13.3 Ejercicios

Ejercicio 13.1 ★

(a) Demostrar las identidades de polarización (caso real: $4\langle x, y\rangle = \norm{x+y}^2 - \norm{x-y}^2$ ; caso complejo: la versión de cuatro términos). (b) Demostrar que $\norm\cdot_1$ sobre $L^1(\intcc01)$ y $\norm\cdot_\infty$ sobre $\mathcal C(\intcc01)$ violan la ley del paralelogramo: estas normas no proceden de ningún producto escalar.

Solución

Solución de Ejercicio 13.1.

(a) Caso real: desarróllese $\norm{x \pm y}^2 = \norm x^2 \pm 2\langle x,y\rangle + \norm y^2$ y réstese. Caso complejo (producto escalar lineal en la segunda entrada): desarrollando como antes,

\langle x, y\rangle = \frac14\sum_{k=0}^{3} \iu^k\,\bigl\|\iu^kx + y\bigr\|^2,

cada término aporta $\iu^k\cdot2\operatorname{Re}\bigl( (-\iu)^k\langle x,y\rangle\bigr)$ , cuya suma es $4\langle x,y\rangle$ (compruébense los cuatro valores de $k$ ; el $\sum\iu^k (\norm x^2 + \norm y^2) = 0$ ).

(b) $L^1$ : $f = \mathbf 1_{\intcc0{1/2}}$ , $g = \mathbf 1_{\intcc{1/2}1}$ : $\norm{f\pm g}_1^2 = 1$ cada uno, suma $2$ ; $2\norm f_1^2 + 2\norm g_1^2 = 1 \neq 2$ . Norma del supremo: $f = \mathbf 1$ , $g(t) = t$ en $\intcc01$ : $\norm{f + g}_\infty^2 + \norm{f-g}_\infty^2 = 4 + 1 = 5 \neq 4 = 2 + 2$ . Al incumplir la ley del paralelogramo, estas normas no están inducidas por ningún producto escalar (que quedaría forzado por desarrollo directo).

Ejercicio 13.2 ★

En $H = L^2(\intcc01)$ (real): (a) calcúlese la proyección de $f$ sobre el subespacio de las funciones constantes e interprétese; (b) calcúlese la proyección sobre $\{g : g = 0 \text{ en casi todo punto de } \intcc0{1/2}\}$ ; (c) calcúlese $d\bigl(x \mapsto x,\ \operatorname{Vect}(\mathbf 1)\bigr)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 13.2.

(a) $p(f) = \bigl(\int_0^1f\bigr)\mathbf 1$ : en efecto, $f - \int f \perp$ las constantes ( $\int(f - \int f)c = 0$ ). La mejor aproximación constante de $f$ en media cuadrática es su promedio — el primer caso de esperanza condicional (Capítulo 22).

(b) $p(f) = f\,\mathbf 1_{\intcc{1/2}1}$ : la diferencia $f\mathbf 1_{\intcc0{1/2}}$ es ortogonal a toda $g$ que se anule en $\intcc0{1/2}$ .

Ejercicio 13.3 ★★

(a) Demostrar que, para un subespacio $F$ : $F$ denso $\iff$ $F^\perp = \{0\}$ , y dese un ejemplo en $\ell^2$ de un subespacio denso propio (de modo que $F^\perp = 0$ sin que $F = H$ : el teorema de descomposición necesita genuinamente que $F$ sea cerrado). (b) Demostrar que si $x_n \to x$ y $y_n \to y$ en norma, entonces $\langle x_n, y_n\rangle \to \langle x, y\rangle$ , y localícense dos lugares del capítulo donde se usó esta continuidad.

Solución

Solución de Ejercicio 13.3.

(a) La equivalencia es el Teorema 13.3 ( $\bar F = (F^\perp)^\perp$ , y $\bar F = H \iff F^\perp = \{0\}$ ). Ejemplo: el espacio $F$ de las sucesiones finitas es denso en $\ell^2$ (truncamiento) y propio: $F^\perp = \{0\}$ y sin embargo $F \neq \ell^2$ — para un subespacio no cerrado, $H = F \oplus F^\perp$ falla de manera flagrante ( $F \oplus \{0\} \neq H$ ).

(b) $\abs{\langle x_n, y_n\rangle - \langle x, y\rangle} \leq \abs{\langle x_n - x, y_n\rangle} + \abs{\langle x, y_n - y\rangle} \leq \norm{x_n - x}\sup_n\norm{y_n} + \norm x\,\norm{y_n - y} \to 0$ (las sucesiones convergentes están acotadas). Se usó: en el Teorema 13.7(1) para ver que $x - \lim S_N \perp e_k$ , y en el Teorema 13.3 para ver que $F^\perp = \bar F^{\,\perp}$ .

Ejercicio 13.4 ★★

Aplíquese Gram–Schmidt a $1, x, x^2$ en $L^2(\intcc{-1}1)$ (medida de Lebesgue): obténganse los tres primeros polinomios de Legendre normalizados y compruébese que coinciden con $\sqrt{n + \frac12}\,P_n$ para los polinomios de Rodrigues $P_n$ del Problema 13.1.

Solución

Solución de Ejercicio 13.4.

$e_0 = \frac1{\sqrt2}$ . A continuación, $x \perp \mathbf 1$ ya lo es ( $\int_{-1}^1x = 0$ ), y $\int_{-1}^1x^2 = \frac23$ : $e_1 = \sqrt{\tfrac32}\,x$ . Después $x^2 - \langle e_0, x^2\rangle e_0 = x^2 - \frac13$ (y $\perp e_1$ por paridad), con

\int_{-1}^1\Bigl(x^2 - \frac13\Bigr)^2\dd x = \frac25 - \frac49 + \frac29 = \frac{8}{45}: \qquad e_2 = \sqrt{\tfrac{45}8}\,\Bigl(x^2 - \frac13\Bigr).

Comparación: $P_0 = 1$ , $P_1 = x$ , $P_2 = \frac{3x^2 - 1}2$ , y $\sqrt{n + \tfrac12}\,P_n$ da $\frac1{\sqrt2}$ , $\sqrt{\frac32}x$ , $\sqrt{\frac52}\,\frac{3x^2-1}2 = \sqrt{\frac{45}8}\bigl(x^2 - \frac13\bigr)$ : exactamente $e_0, e_1, e_2$ .

Ejercicio 13.5 ★★

Aplíquese Parseval (el Teorema 13.9) a $f(t) = t$ y a $f(t) = t^2$ en $\intcc{-\pi}\pi$ — ahora legítimamente para estas funciones (continuas, aunque antes la identidad exigía cuidados de tipo $\mathcal C^1$ a trozos en la discontinuidad de empalme): recupérense

\sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6, \qquad \sum_{n\geq1}\frac1{n^4} = \frac{\pi^4}{90} .

Solución

Solución de Ejercicio 13.5.

Para $f(t) = t$ : $c_0 = 0$ y, integrando por partes, $c_n = \frac{\iu(-1)^n}{n}$ para $n \neq 0$ : $\abs{c_n}^2 = \frac1{n^2}$ . Parseval:

\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi t^2\dd t = \frac{\pi^2}3 = \sum_{n\neq0}\frac1{n^2} = 2\sum_{n\geq1}\frac1{n^2} \ \Longrightarrow\ \sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6 .

Para $f(t) = t^2$ : $c_0 = \frac{\pi^2}3$ , $c_n = \frac{2(-1)^n}{n^2}$ ( $n \ne 0$ ). Parseval:

\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^4\dd t = \frac{\pi^4}5 = \frac{\pi^4}9 + \sum_{n\neq0}\frac4{n^4} \ \Longrightarrow\ \sum_{n\geq1}\frac1{n^4} = \frac18\Bigl(\frac{\pi^4}5 - \frac{\pi^4}9\Bigr) = \frac{\pi^4}{90} .

No hacen falta salvedades de tipo $\mathcal C^1$ a trozos: el Teorema 13.9 cubre toda función de $L^2$ .

Ejercicio 13.6 ★★

(a) Hallar $a \in L^2(\intcc01)$ con $\int_0^{1/2}f = \langle a, f\rangle$ para toda $f$ ; calcúlese $\norm\varphi$ para esa funcional. (b) Demostrar que la evaluación $f \mapsto f(\frac12)$ , definida sobre el subespacio $\mathcal C(\intcc01) \subseteq L^2(\intcc01)$ , no es continua para $\norm\cdot_2$ : no existe representante de Riesz (la evaluación no es una noción de $L^2$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 13.6.

(a) $\varphi(f) = \int_0^{1/2}f = \langle\mathbf 1_{\intcc0{1/2}},\ f\rangle$ : el representante es $a = \mathbf 1_{\intcc0{1/2}}$ , y $\norm\varphi = \norm a_2 = \frac1{\sqrt2}$ (el Teorema 13.4).

(b) Tómense las funciones triangulares $f_n$ con pico $1$ en $\frac12$ y soporte de anchura $\frac2n$ : $f_n(\tfrac12) = 1$ mientras que $\norm{f_n}_2^2 \leq \frac2n \to 0$ : ninguna constante $C$ puede dar $\abs{f(\frac12)} \leq C\norm f_2$ . La evaluación puntual carece de sentido en $L^2$ — sus elementos son clases módulo conjuntos nulos — y este cálculo es la razón cuantitativa.

Ejercicio 13.7 ★★★

Sean $H$ separable con base hilbertiana $(e_n)$ , y $(x_k)$ una sucesión acotada. (a) Demostrar que alguna subsucesión converge débilmente: existe $x$ con $\langle y, x_{k_j}\rangle \to \langle y, x\rangle$ para todo $y \in H$ . (Extracción diagonal sobre los coeficientes $\langle e_n, x_k\rangle$ ; constrúyase $x$ mediante Bessel y la acotación uniforme de las normas.) (b) Demostrar que $e_n \rightharpoonup 0$ pero $\norm{e_n} = 1$ : los límites débiles pueden perder norma. Demuéstrese $\norm x \leq \liminf\norm{x_{k_j}}$ en (a).

Solución

Solución de Ejercicio 13.7.

(a) Sea $M = \sup_k\norm{x_k}$ . Las sucesiones escalares $(\langle e_n, x_k\rangle)_k$ están acotadas por $M$ : una extracción diagonal da $x_{k_j}$ con $\langle e_n, x_{k_j}\rangle \to \gamma_n$ para todo $n$ . Para cada $N$ : $\sum_{n\leq N}\abs{\gamma_n}^2 = \lim_j\sum_{n\leq N}\abs{\langle e_n, x_{k_j}\rangle}^2 \leq M^2$ (Bessel), luego $(\gamma_n) \in \ell^2$ y $x = \sum_n\gamma_ne_n \in H$ (el Teorema 13.7(3)). Para $y \in H$ :

\abs{\langle y, x_{k_j} - x\rangle} \leq \Bigl|\sum_{n\leq N}\overline{c_n(y)}\bigl(\langle e_n, x_{k_j}\rangle - \gamma_n\bigr)\Bigr| + 2M\Bigl(\sum_{n>N}\abs{c_n(y)}^2\Bigr)^{1/2},

usando el desarrollo $\langle y, z\rangle = \sum\overline{c_n(y)}c_n(z)$ y Cauchy–Schwarz sobre la cola; elíjase $N$ y después $j$ : convergencia débil a $x$ .

(b) $\langle y, e_n\rangle = c_n(y) \to 0$ para todo $y$ (colas $\ell^2$ ): $e_n \rightharpoonup 0$ , y sin embargo $\norm{e_n} = 1$ : la norma no es débilmente continua. En (a): $\norm x^2 = \sum\abs{\gamma_n}^2 \leq \liminf_j\norm{x_{k_j}}^2$ (secciones finitas y Bessel de nuevo): los límites débiles solo pueden perder norma.

Ejercicio 13.8 ★★

(Adjuntos) Para $T \in \mathcal L(H)$ , demostrar que existe un único $T^* \in \mathcal L(H)$ con $\langle Tx, y\rangle = \langle x, T^*y\rangle$ (Riesz), y que $\vertiii{T^*} = \vertiii T$ . Calcúlese el adjunto del desplazamiento $S$ en $\ell^2$ y demuéstrese $\ker T^* = (\operatorname{im}T)^\perp$ — dedúzcase $\overline{\operatorname{im}T} = (\ker T^*)^\perp$ .

Solución

Solución de Ejercicio 13.8.

Para $y$ fijo, $x \mapsto \langle y, Tx\rangle$ es una funcional lineal continua; Riesz da un único $T^*y$ con $\langle y, Tx\rangle = \langle T^*y, x\rangle$ para todo $x$ — conjugando, $\langle Tx, y\rangle = \langle x, T^*y\rangle$ . La unicidad hace lineal a $T^*$ ;

\norm{T^*y} = \sup_{\norm x = 1}\abs{\langle T^*y, x\rangle} = \sup_{\norm x=1}\abs{\langle y, Tx\rangle} \leq \vertiii T\,\norm y,

luego $\vertiii{T^*} \leq \vertiii T$ , y $T^{**} = T$ da la igualdad. Desplazamiento: $\langle Sx, y\rangle = \sum_{n\geq1} x_n\bar y_{n+1} = \langle x, S^*y\rangle$ con $(S^*y)_n = y_{n+1}$ : el desplazamiento hacia atrás. Núcleo e imagen: $T^*y = 0$ si y solo si $\langle x, T^*y\rangle = 0$ para todo $x$ , si y solo si $\langle Tx, y\rangle = 0$ para todo $x$ , si y solo si $y \perp \operatorname{im}T$ : $\ker T^* = (\operatorname{im}T)^\perp$ ; y tomando $\perp$ y usando el Teorema 13.3, $\overline{\operatorname{im}T} = (\ker T^*)^\perp$ .

Ejercicio 13.9 ★★

Sea $a$ como en Lax–Milgram y, además, simétrica. Demostrar que $u$ resuelve $a(u, \cdot) = \varphi$ si y solo si $u$ minimiza $J(v) = \frac12a(v, v) - \varphi(v)$ , y que el mínimo se alcanza en exactamente un punto. (Complétese el cuadrado: $J(u + w) - J(u) = \frac12a(w,w) \geq \frac\alpha2\norm w^2$ .) Aplicación: vuélvase a deducir el teorema de la proyección sobre subespacios cerrados a partir de Lax–Milgram.

Solución

Solución de Ejercicio 13.9.

Si $a(u, \cdot) = \varphi$ : para todo $w$ ,

J(u + w) - J(u) = a(u, w) - \varphi(w) + \tfrac12a(w,w) = \tfrac12a(w,w) \geq \tfrac\alpha2\norm w^2,

estrictamente positivo para $w \neq 0$ : $u$ es el único minimizador. Recíprocamente, en un minimizador la función $t \mapsto J(u + tw)$ (un polinomio de segundo grado en $t$ ) tiene derivada nula en $0$ : $a(u, w) - \varphi(w) = 0$ para todo $w$ . La proyección, redemostrada: para un subespacio cerrado $F$ , aplíquese Lax–Milgram en el espacio de Hilbert $F$ con $a(u,v) = \langle u, v\rangle$ ( $M = \alpha = 1$ ) y $\varphi(v) = \langle x, v\rangle$ : existe un único $p \in F$ con $\langle p, v\rangle = \langle x, v\rangle$ para todo $v \in F$ , es decir, $x - p \perp F$ — y, por el caso simétrico, $p$ minimiza $\frac12\norm v^2 - \langle x, v\rangle = \frac12\norm{v - x}^2 - \frac12\norm x^2$ sobre $F$ : la proyección.

Ejercicio 13.10 ★★★

(El sistema de Haar) En $\intcc01$ , sea $h_{0} = \mathbf 1$ y, para $n = 2^j + k$ ( $j \geq 0$ , $0 \leq k < 2^j$ ):

h_n = 2^{j/2}\Bigl(\mathbf 1_{[k2^{-j},\,(k + \frac12)2^{-j})} - \mathbf 1_{[(k+\frac12)2^{-j},\,(k+1)2^{-j})} \Bigr).

Demostrar que $(h_n)_{n\geq0}$ es ortonormal en $L^2(\intcc01)$ y total. (Ortogonalidad: soportes disjuntos o encajados; totalidad: las envolturas finitas contienen todas las funciones escalonadas diádicas, que son densas — mediante el Teorema 12.6(1) y la aproximación diádica de los intervalos.) El sistema de Haar es el antepasado de las ondículas.

Solución

Solución de Ejercicio 13.10.

Normalización: $\int h_n^2 = 2^j\cdot 2^{-j} = 1$ . Ortogonalidad: dos funciones de Haar distintas tienen o bien soportes de interiores disjuntos (producto nulo en casi todo punto), o bien el soporte de la más fina está contenido en una mitad donde la más gruesa es constante — y entonces la integral del producto es esa constante por $\int h_{\text{fina}} = 0$ ; contra $h_0 = \mathbf 1$ , de nuevo $\int h_n = 0$ . Totalidad: la envoltura de $\{h_0, \dots, h_{2^J-1}\}$ consta de las funciones escalonadas sobre la malla diádica de paso $2^{-J}$ ; ambos espacios tienen dimensión $2^J$ y las funciones de Haar son independientes (ortonormales): la envoltura es todo ese espacio de funciones escalonadas. Las funciones escalonadas diádicas son densas en $L^2(\intcc01)$ : las funciones simples son densas (el Teorema 12.6(1)), los conjuntos medibles se aproximan por uniones finitas de intervalos (el Ejercicio 9.7) y los intervalos por diádicos (los extremos se mueven $\leq 2^{-J}$ ). Por el Teorema 13.7, el sistema de Haar es una base hilbertiana.

Ejercicio 13.11 ★★

(Proyecciones ortogonales, caracterizadas) Sean $H$ un espacio de Hilbert y $P \in \mathcal L(H)$ con $P^2 = P$ , $P \neq 0$ . Demuéstrese la equivalencia de: (i) $P$ es la proyección ortogonal sobre $\operatorname{im}P$ ; (ii) $P = P^*$ (el Ejercicio 13.8); (iii) $\vertiii P = 1$ . (Para (iii) $\Rightarrow$ (i): si algún $x \in (\ker P)^\perp$ cumpliera $Px \neq x$ , considérese $x + t(Px - x)$ — o directamente: para $u \in \operatorname{im}P$ y $v \in \ker P$ , desarróllese $\norm{P(u + tv)}^2 \leq \norm{u + tv}^2$ para todo $t \in \R$ y conclúyase $\langle u, v\rangle = 0$ .) Exhíbase una proyección no ortogonal en $\R^2$ y calcúlese su norma.

Solución

Solución de Ejercicio 13.11.

(i) $\Rightarrow$ (ii): para la proyección ortogonal, $\langle Px, y\rangle = \langle Px, Py\rangle = \langle x, Py\rangle$ (insértense las descomposiciones $x = Px + (x - Px)$ , etc., y anúlense los términos cruzados). (ii) $\Rightarrow$ (iii): $\norm{Px}^2 = \langle P^2x, x\rangle = \langle Px, x\rangle \leq \norm{Px}\norm x$ , luego $\vertiii P \leq 1$ , y $Pu = u$ sobre la imagen no nula: $= 1$ . (iii) $\Rightarrow$ (i): $H = \operatorname{im}P \oplus \ker P$ (algebraicamente, a partir de $P^2 = P$ ); tómense $u = Pu \in \operatorname{im}P$ , $v \in \ker P$ , $t \in \R$ : $\norm{P(u + tv)}^2 = \norm u^2$ ha de ser $\leq \norm{u + tv}^2 = \norm u^2 + 2t\operatorname{Re}\langle u, v\rangle + t^2\norm v^2$ para todo $t$ , lo que obliga a $\operatorname{Re}\langle u, v\rangle = 0$ (compárense los términos lineales cuando $t \to 0^\pm$ ); y sustituyendo $v$ por $\iu v$ se anula también la parte imaginaria: $\operatorname{im}P \perp \ker P$ , que es exactamente la ortogonalidad de la proyección. Ejemplo: $P(x, y) = (x + y, 0)$ en $\R^2$ : $P^2 = P$ , con imagen el eje $x$ , núcleo la recta $y = -x$ , y $\vertiii P = \sup\frac{\abs{x+y}}{\norm{(x,y)}} = \sqrt2$ (alcanzado en $(1,1)/\sqrt2$ ): una proyección oblicua tiene norma $> 1$ . (Para el registro, (ii) también da (i) directamente: $\ker P = \ker P^* = (\operatorname{im}P)^\perp$ por Ejercicio 13.8.)

Ejercicio 13.12 ★★★

(Teorema ergódico de von Neumann) Sean $U \in \mathcal L(H)$ unitario ( $U^*U = UU^* = I$ ), $F = \ker(U - I)$ el espacio de puntos fijos, $P$ la proyección ortogonal sobre $F$ y $A_n = \frac1n\sum_{k=0}^{n-1}U^k$ . (a) Demostrar $\ker(U - I) = \ker(U^* - I)$ (a partir de $\norm{Ux - x}^2 = 2\norm x^2 - 2\operatorname{Re}\langle Ux, x\rangle$ y de la unitariedad) y dedúzcase $\overline{\operatorname{im}(U - I)} = F^\perp$ . (b) Demostrar que $A_nx \to x$ para $x \in F$ , y $A_nx \to 0$ para $x \in \operatorname{im}(U - I)$ (telescopado), y después para $x \in \overline{\operatorname{im}(U - I)}$ (cota uniforme $\vertiii{A_n} \leq 1$ ). (c) Concluir: $A_nx \to Px$ para todo $x \in H$ — las medias temporales convergen a la proyección sobre los invariantes. (d) Detállese para $H = L^2(\R/\Z)$ y $Uf = f(\cdot + \alpha)$ con $\alpha$ irracional: identifíquese $F$ (úsense series de Fourier, el Teorema 13.9) y dedúzcase que $\frac1n\sum_{k<n}f(x + k\alpha) \to \int_0^1f$ en $L^2$ : la equidistribución $L^2$ de las rotaciones irracionales.

Solución

Solución de Ejercicio 13.12.

(a) Para $U$ unitario: $\norm{Ux - x}^2 = 2\norm x^2 - 2\operatorname{Re}\langle Ux, x\rangle$ y $\norm{U^*x - x}^2 = 2\norm x^2 - 2\operatorname{Re}\langle x, Ux\rangle$ : ambos se anulan a la vez, luego $\ker(U - I) = \ker(U^* - I)$ . Entonces, usando $\ker T^* = (\operatorname{im}T)^\perp$ (el Ejercicio 13.8) con $T = U - I$ y $T^* = U^* - I$ :

\overline{\operatorname{im}(U - I)} = \bigl(\ker(U^* - I)\bigr)^\perp = F^\perp .

(b) Sobre $F$ : $U^kx = x$ , luego $A_nx = x$ . Para $x = (U - I)y$ : $A_nx = \frac1n(U^ny - y)$ , de norma $\leq \frac2n\norm y \to 0$ . Para $x$ en la clausura: dado $\varepsilon$ , tómese $x' = (U - I)y$ con $\norm{x - x'} < \varepsilon$ ; y como $\vertiii{A_n} \leq \frac1n\sum\vertiii{U^k} = 1$ , $\norm{A_nx} \leq \norm{A_n(x - x')} + \norm{A_nx'} \leq \varepsilon + o(1)$ .

(c) Descompóngase $x = Px + (x - Px)$ con $Px \in F$ y $x - Px \in F^\perp = \overline{\operatorname{im}(U - I)}$ (apartado (a)): $A_nx = Px + A_n(x - Px) \to Px + 0$ .

(d) En la base de Fourier $e_m(x) = \eu^{2\iu\pi mx}$ : $Ue_m = \eu^{2\iu\pi m\alpha}e_m$ , luego $Ue_m = e_m$ si y solo si $m\alpha \in \Z$ , si y solo si $m = 0$ ( $\alpha$ irracional): $F = \C\mathbf 1$ y $Pf = \langle\mathbf 1, f\rangle\mathbf 1 = \int_0^1f$ . El teorema se lee $\frac1n\sum_{k<n}f(\cdot + k\alpha) \to \int_0^1f$ en $L^2(\R/\Z)$ : las medias sobre la órbita de una rotación irracional se equidistribuyen — la sombra $L^2$ del teorema de equidistribución de Weyl, obtenida por pura geometría hilbertiana.

13.4 Problema: polinomios ortogonales

Problema 13.1

Problema de fin de semana — Legendre, Hermite y cuadratura de Gauss

Sean $I \subseteq \R$ un intervalo y $w > 0$ un peso continuo sobre el interior de $I$ tal que $\int_I \abs t^nw(t)\dd t < \infty$ para todo $n$ ; trabajaremos en $H = L^2(I, w\,\dd\lambda)$ con $\langle f, g\rangle = \int_I \bar fg\,w$ . Gram–Schmidt aplicado a $1, t, t^2, \dots$ produce los polinomios ortogonales $(p_n)$ para $w$ (normalización mónica: $p_n = t^n + \cdots$ ).

Parte I — Teoría general.

Demostrar que $p_n$ es ortogonal a todo polinomio de grado $< n$ y que $(p_0, \dots, p_n)$ es una base de $\R_n[t]$ .
(Recurrencia a tres términos) Demostrar que existen reales $a_n, b_n$ con

$p_{n+1}(t) = (t - a_n)\,p_n(t) - b_n\,p_{n-1}(t), \qquad b_n = \frac{\norm{p_n}^2}{\norm{p_{n-1}}^2} > 0 .$

(Desarróllese $t\,p_n$ en la base $(p_k)_{k \leq n+1}$ y anúlense coeficientes por ortogonalidad, usando $\langle tp_n, p_k\rangle = \langle p_n, tp_k\rangle$ .)
(Raíces) Demostrar que $p_n$ tiene $n$ raíces distintas, todas interiores a $I$ . (Sean $t_1 < \dots < t_m$ los cambios de signo interiores de $p_n$ ; si $m < n$ , evalúese $p_n$ contra $\prod_{i\leq m}(t - t_i)$ y contradígase la ortogonalidad.)

Parte II — Legendre ( $I = \intcc{-1}1$ , $w = 1$ ). Defínase $P_n(t) = \frac{1}{2^nn!}\,\frac{\dd^n}{\dd t^n}\bigl[(t^2 - 1)^n\bigr]$ (Rodrigues).

Demostrar que $\deg P_n = n$ con coeficiente director $\frac{(2n)!}{2^n(n!)^2}$ y, integrando por partes $n$ veces, que $\langle P_n, Q\rangle = 0$ para todo polinomio $Q$ de grado $< n$ : los $P_n$ son (salvo normalización) los polinomios ortogonales para $w = 1$ .
Calcular $\norm{P_n}_2^2 = \frac{2}{2n+1}$ (intégrese por partes $n$ veces contra sí mismo y redúzcase a una integral de tipo Beta o de Wallis, Ejercicio 11.8).
Demostrar que los polinomios de Legendre normalizados forman una base hilbertiana de $L^2(\intcc{-1}1)$ (Weierstrass, el Corolario 7.16, más la densidad de $\mathcal C$ en $L^2$ ), y desarróllese $f(t) = \abs t$ hasta grado $2$ : calcúlese la mejor aproximación cuadrática en $L^2$ de $\abs t$ .

Parte III — Hermite ( $I = \R$ , $w(t) = \eu^{-t^2}$ ). Defínase $H_n(t) = (-1)^n\eu^{t^2}\frac{\dd^n}{\dd t^n}\eu^{-t^2}$ .

Demostrar que $H_n$ es un polinomio de grado $n$ con coeficiente director $2^n$ , que $H_{n+1} = 2tH_n - H_n'$ y que $\langle H_m, H_n\rangle_w = \delta_{mn}\,2^nn!\sqrt\pi$ (de nuevo, por partes).
Demostrar que la familia de Hermite es total en $L^2(\R, \eu^{-t^2}\dd t)$ , admitiendo un resultado del Capítulo 14: si $g \in L^1(\R)$ cumple $\int g(t)\eu^{-\iu\xi t}\dd t = 0$ para todo $\xi$ , entonces $g = 0$ en casi todo punto. (Para $f \perp$ todos los $H_n$ , es decir, $\perp$ todos los polinomios: demuéstrese que $z \mapsto \int f(t)\eu^{-t^2}\eu^{-\iu zt}\dd t$ está bien definida, desarróllese la exponencial en serie, justifíquese el intercambio por dominación y concluir que la transformada de Fourier de $f\eu^{-t^2}$ se anula.)

Parte IV — Cuadratura de Gauss. Fíjese $n$ , sean $t_1 < \dots < t_n$ las raíces de $p_n$ (Parte I) y defínanse los pesos $w_i = \int_I \ell_i(t)\,w(t)\dd t$ , donde los $\ell_i$ son los polinomios de la base de interpolación de Lagrange en los $t_i$ .

Demostrar que la fórmula de cuadratura $Q(f) = \sum_iw_if(t_i)$ es exacta sobre todos los polinomios de grado $\leq n - 1$ (interpolación) y, de hecho — el milagro —, sobre todos los de grado $\leq 2n - 1$ : escríbase $P = qp_n + r$ y úsese la ortogonalidad sobre el cociente $q$ .
Demostrar que los pesos son positivos (aplíquese la regla a $\ell_i^2$ , de grado $2n - 2$ ) y dedúzcase del teorema de Pólya (el Ejercicio 8.9) que la cuadratura de Gauss converge: $Q_n(f) \to \int_I fw$ para toda $f$ continua sobre un $I$ compacto.
Para $n = 2$ , $I = \intcc{-1}1$ , $w = 1$ : calcúlense los nodos $\pm\frac1{\sqrt3}$ y los pesos $1, 1$ , y compruébese a mano la exactitud sobre $1, t, t^2, t^3$ . Compárese con la regla del trapecio sobre esos mismos dos puntos de evaluación.

Parte V — Chebyshev: los polinomios que mejor oscilan. Ahora $I = \intcc{-1}1$ y $w(t) = \frac1{\sqrt{1 - t^2}}$ .

Demostrar que $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ define un polinomio $T_n$ de grado $n$ (establézcase $T_{n+1} = 2t\,T_n - T_{n-1}$ a partir de una identidad trigonométrica), con coeficiente director $2^{n-1}$ para $n \geq 1$ ; y que la sustitución $t = \cos\theta$ da

$\langle T_m, T_n\rangle_w = \int_0^\pi\cos m\theta\,\cos n\theta\,\dd\theta = 0 \ (m \neq n), \qquad \norm{T_0}_w^2 = \pi,\ \ \norm{T_n}_w^2 = \frac\pi2 :$

los $T_n$ son los polinomios ortogonales para este peso, y los desarrollos de Chebyshev son series de Fourier en cosenos disfrazadas.
Localícense explícitamente las $n$ raíces $t_k = \cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}$ y los $n + 1$ extremos $s_j = \cos\frac{j\pi}n$ de $T_n$ en $\intcc{-1}1$ , donde $T_n(s_j) = (-1)^j$ : la gráfica equioscila entre $\pm1$ .
(Minimax) Demostrar que, entre todos los polinomios mónicos de grado $n$ , el polinomio $2^{1-n}T_n$ tiene la menor norma del supremo en $\intcc{-1}1$ , a saber $2^{1-n}$ — y que es el único minimizador. (Si un $P$ mónico cumpliera $\sup\abs P < 2^{1-n}$ , la diferencia $2^{1-n}T_n - P$ , de grado $\leq n-1$ , alternaría de signo en los $n+1$ puntos de equioscilación.)
Aplicación a la interpolación: para nodos $t_1 < \dots < t_n$ en $\intcc{-1}1$ , el error de la interpolación de Lagrange de una función $\mathcal C^n$ involucra $\omega(t) = \prod_i(t - t_i)$ . Demostrar que tomar las raíces de Chebyshev como nodos minimiza $\sup_{\intcc{-1}1}\abs\omega$ , y dese la cota resultante $\norm{f - L_nf}_\infty \leq \frac{\norm{f^{(n)}}_\infty} {2^{n-1}\,n!}$ — compárese con nodos equiespaciados (enúnciese el fenómeno de Runge como advertencia).
Comprobar $\abs{T_n'(\pm1)} = n^2$ (derívese $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ y tómense límites $\theta \to 0, \pi$ ): los polinomios acotados por $1$ en $\intcc{-1}1$ pueden tener derivada tan grande como $n^2$ en el borde (la desigualdad de Markov dice que no más — solo el enunciado). ¿En qué parte del intervalo la cota de la derivada es solo $O(n)$ ?
(Cuadratura de Chebyshev–Gauss) Demostrar que la regla de Gauss para el peso $w$ en las $n$ raíces de Chebyshev tiene pesos iguales $w_i = \frac\pi n$ (exactitud sobre $T_0, \dots, T_{n-1}$ más las sumas trigonométricas $\sum_{k=1}^n\cos\bigl(j\tfrac{(2k-1)\pi}{2n}\bigr) = 0$ para $1 \leq j \leq n - 1$ ): la más uniforme de todas las cuadraturas. Escríbase para $n = 3$ .

Parte VI — Christoffel–Darboux, entrelazado y la matriz de Jacobi. Volvamos a un peso general; $h_k = \norm{p_k}^2$ ( $p_k$ mónicos), $b_k = h_k/h_{k-1}$ .

(Norma mínima) Demostrar que, entre todos los polinomios mónicos de grado $n$ , el ortogonal $p_n$ es el único de norma $L^2(w)$ mínima — identifíquese la minimización como una proyección ortogonal sobre $\R_{n-1}[t]$ (el Teorema 13.2, o la proyección de dimensión finita de segundo año). La propiedad minimax de la pregunta 14 es el mismo enunciado con $L^\infty$ en lugar de $L^2$ : el mismo héroe, dos normas.
(Christoffel–Darboux) Demostrar, por inducción sobre $n$ usando la recurrencia a tres términos, la identidad

$\sum_{k=0}^{n}\frac{p_k(x)\,p_k(y)}{h_k} = \frac{p_{n+1}(x)\,p_n(y) - p_n(x)\,p_{n+1}(y)}{h_n\,(x - y)} \qquad (x \neq y),$

y su forma confluente ( $y \to x$ ): $\sum_{k\leq n}\frac{p_k(x)^2}{h_k} = \frac{p_{n+1}'(x)p_n(x) - p_n'(x)p_{n+1}(x)}{h_n}$ .
Deducir que $p_n$ y $p_{n+1}$ no tienen raíces comunes, y que en toda raíz $x_0$ de $p_{n+1}$ : $p_n(x_0)\,p_{n+1}'(x_0) > 0$ . Concluir el entrelazado de las raíces: entre dos raíces consecutivas de $p_{n+1}$ hay exactamente una raíz de $p_n$ .
(Matriz de Jacobi) Sea $J_n$ la matriz $n\times n$ tridiagonal simétrica con diagonal $a_0, \dots, a_{n-1}$ y entradas fuera de la diagonal $\sqrt{b_1}, \dots, \sqrt{b_{n-1}}$ . Demostrar por inducción que $\det(tI_n - J_n) = p_n(t)$ , de modo que las raíces de $p_n$ son los valores propios de una matriz real simétrica — lo que vuelve a demostrar en una línea que son reales y (con el entrelazado anterior) ata los polinomios ortogonales al mundo espectral del Capítulo 15.
(Síntesis) Móntese el diccionario de las tres familias clásicas (Legendre, Hermite, Chebyshev): intervalo, peso, fórmula definitoria, recurrencia a tres términos, norma y hábitat natural de cada una (cuadratura y aproximación en compactos; análisis gaussiano; métodos minimax y de Fourier en cosenos). Una frase sobre qué dio la teoría general (Partes I y VI) que ningún cálculo individual podía dar.

Parte VII — El término de error y el núcleo que hay detrás de los pesos. Aquí $I$ es compacto y $f \in \mathcal C^{2n}(I)$ .

(Fórmula del error de Gauss) Sea $Hf$ el interpolante de Hermite de grado $\leq 2n - 1$ que iguala $f$ y $f'$ en los nodos $t_1, \dots, t_n$ (demuéstrense su existencia y el error puntual

$f(t) - Hf(t) = \frac{f^{(2n)}(\xi_t)}{(2n)!}\;p_n(t)^2$

mediante el habitual argumento de la función auxiliar). Dedúzcase, integrando esta identidad contra $w$ y encajando entre los extremos de $f^{(2n)}$ , que

$\int_I f\,w - Q_n(f) = \frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n)!}\,h_n \qquad\text{para cierto } \xi \in I,$

con $h_n = \norm{p_n}^2$ como en la Parte VI: la cuadratura de Gauss se equivoca en una derivada $2n$ -ésima, ponderada por la norma al cuadrado del polinomio ortogonal mónico.
(Los pesos son valores de Christoffel) Usando el núcleo reproductor $K_n(x, y) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{p_k(x)p_k(y)}{h_k}$ de $\R_{n-1}[t]$ y la exactitud de $Q_n$ hasta el grado $2n - 2$ , demostrar

$w_i \;=\; \Bigl(\,\sum_{k=0}^{n-1} \frac{p_k(t_i)^2}{h_k}\Bigr)^{\!-1} :$

cada peso es el valor en su nodo de la función de Christoffel — la positividad de los pesos (pregunta 10) otra vez, ahora con fórmula exacta. Compruébese que recupera $w_1 = w_2 = 1$ para $n = 2$ , $I = \intcc{-1}1$ , $w = 1$ .
(Todo cuadra en una integral) Para el peso de Chebyshev y $n = 3$ nodos, calcúlense ambos miembros de

$\int_{-1}^{1}\frac{t^6}{\sqrt{1 - t^2}}\,\dd t = \frac{5\pi}{16}, \qquad Q_3(t^6) = \frac{9\pi}{32},$

de modo que el error de la cuadratura es exactamente $\frac{\pi}{32}$ ; compruébese después que la fórmula del error de la pregunta 23 predice precisamente ese valor (aquí $f^{(6)} = 6!$ es constante y $h_3 = \norm{2^{-2}T_3}_w^2 = \frac\pi{32}$ ): la teoría y el cálculo concuerdan hasta la última cifra.

Solución

Solución de Problema 13.1.

1. Gram–Schmidt garantiza $\operatorname{Vect}(p_0, \dots, p_n) = \operatorname{Vect}(1, \dots, t^n) = \R_n[t]$ y $p_n \perp p_k$ ( $k < n$ ), luego $p_n \perp \R_{n-1}[t]$ . Los $p_k$ , de grados estrictamente crecientes, son independientes: una base.

2. $t\,p_n$ es mónico de grado $n + 1$ : desarróllese $t\,p_n = p_{n+1} + \sum_{k\leq n}c_kp_k$ con $c_k = \langle p_k, tp_n\rangle/\norm{p_k}^2$ . Para $k \leq n - 2$ : $\langle p_k, tp_n\rangle = \langle tp_k, p_n\rangle = 0$ (de grado $k + 1 < n$ ). Luego $tp_n = p_{n+1} + a_np_n + b_np_{n-1}$ , la recurrencia enunciada, con

b_n = \frac{\langle p_{n-1}, tp_n\rangle}{\norm{p_{n-1}}^2} = \frac{\langle tp_{n-1}, p_n\rangle}{\norm{p_{n-1}}^2} = \frac{\langle p_n + (\text{grado menor}),\ p_n\rangle}{\norm{p_{n-1}}^2} = \frac{\norm{p_n}^2}{\norm{p_{n-1}}^2} > 0 .

3. Sean $t_1 < \dots < t_m$ los puntos interiores a $I$ donde $p_n$ cambia de signo, y $q = \prod_{i\leq m}(t - t_i)$ (con $q = 1$ si $m = 0$ ). Entonces $p_nq$ tiene signo constante en $I$ y no es nula en casi todo punto: $\int_Ip_nq\,w \neq 0$ . Si $m < n$ , esto contradice $p_n \perp \R_{n-1}[t]$ . Luego $m = n$ : $p_n$ tiene $n$ raíces interiores distintas (y a lo sumo $n$ raíces en total).

4. $(t^2 - 1)^n$ tiene grado $2n$ ; $n$ derivadas dejan grado $n$ , con coeficiente director $\frac{(2n)(2n-1)\cdots(n+1)}{2^nn!} = \frac{(2n)!}{2^n(n!)^2}$ . Para $\deg Q < n$ , intégrese por partes $n$ veces: todos los términos de frontera contienen una derivada de orden $< n$ de $(t^2-1)^n$ , que se anula en $\pm1$ (raíz de orden $n$ ); tras $n$ pasos, el integrando lleva $Q^{(n)} = 0$ .

5. Con $u = (t^2 - 1)^n$ :

(2^nn!)^2\norm{P_n}^2 = \int_{-1}^1(u^{(n)})^2 = (-1)^n\int_{-1}^1 u\,u^{(2n)} = (2n)!\int_{-1}^1(1 - t^2)^n\dd t ,

( $u^{(2n)} = (2n)!$ ; los términos de frontera se anulan como en la pregunta 4). Y $\int_{-1}^1(1-t^2)^n\dd t = B(\tfrac12, n+1) = \frac{\Gamma(\frac12)\Gamma(n+1)}{\Gamma(n + \frac32)} = \frac{2\cdot4^n(n!)^2}{(2n+1)!}$ (el Ejercicio 11.8). Combinando: $\norm{P_n}^2 = \frac{2}{2n + 1}$ .

6. Los polinomios son $\norm\cdot_\infty$ -densos en $\mathcal C(\intcc{-1}1)$ (Weierstrass, el Corolario 7.16), las funciones continuas son $L^2$ -densas (el Teorema 12.6) y $\norm\cdot_2 \leq \sqrt2\norm\cdot_\infty$ : las envolturas polinómicas son totales, de modo que los $P_n$ normalizados forman una base hilbertiana. Desarrollo de $\abs t$ : el coeficiente contra $P_0$ es $\frac{\langle P_0, \abs t\rangle}{\norm{P_0}^2} = \frac12$ ; contra $P_1$ : $0$ (paridad); contra $P_2$ : $\frac{\int_{-1}^1\abs t\,\frac{3t^2-1}2\dd t}{2/5} = \frac{1/4}{2/5} = \frac58$ . Mejor aproximación cuadrática:

\abs t \approx \frac12 + \frac58\,P_2(t) = \frac{3}{16} + \frac{15}{16}\,t^2 .

7. De $\frac{\dd^{n+1}}{\dd t^{n+1}}\eu^{-t^2} = \frac{\dd^n}{\dd t^n}(-2t\,\eu^{-t^2})$ y Leibniz, $H_{n+1} = 2tH_n - H_n'$ ; la inducción da grado $n$ y coeficiente director $2^n$ . Para $m < n$ , intégrese por partes $n$ veces en $\int H_m H_n\eu^{-t^2} = (-1)^n\int H_m\,\bigl(\eu^{-t^2} \bigr)^{(n)}$ : los términos de frontera (polinomio $\times$ $\eu^{-t^2}$ ) se anulan en $\pm\infty$ , y queda $\int H_m^{(n)}\,\eu^{-t^2} = 0$ . Para $m = n$ : $H_n^{(n)} = 2^nn!$ , luego $\norm{H_n}_w^2 = 2^nn!\int\eu^{-t^2} = 2^nn!\sqrt\pi$ .

8. Sea $f \in L^2(\R, \eu^{-t^2}\dd t)$ ortogonal a todo polinomio, y $g = f\eu^{-t^2}$ . Entonces $g \in L^1$ : $\int\abs f\eu^{-t^2} \leq \bigl(\int\abs f^2\eu^{-t^2}\bigr)^{1/2}\bigl(\int\eu^{-t^2}\bigr)^{1/2}$ (Cauchy–Schwarz). Para $\xi \in \R$ , desarróllese $\eu^{-\iu\xi t}$ : las sumas parciales están dominadas, pues

\sum_k\frac{\abs\xi^k}{k!}\int\abs f\,\abs t^k\eu^{-t^2}\dd t \leq \Bigl(\int \abs f^2\eu^{-t^2}\Bigr)^{1/2} \sum_k\frac{\abs\xi^k}{k!}\Bigl(\int t^{2k}\eu^{-t^2}\Bigr)^{1/2} < \infty

(la última serie converge: $\int t^{2k}\eu^{-t^2} = \Gamma(k+\frac12) \leq k!\,\sqrt\pi$ , de modo que los términos son $O(\abs\xi^k/\sqrt{k!})$ ). La integración término a término (el Corolario 10.7 aplicado a la serie de valores absolutos, y después Fubini para series) da

\int_\R g(t)\,\eu^{-\iu\xi t}\dd t = \sum_k\frac{(-\iu\xi)^k}{k!}\int f(t)\,t^k\,\eu^{-t^2}\dd t = 0 ,

siendo cada integral de tipo $\langle t^k, f\rangle_w$ $= 0$ . Por la inyectividad admitida de la transformada de Fourier (el Capítulo 14), $g = 0$ en casi todo punto, luego $f = 0$ en casi todo punto: la familia de Hermite (cuyas envolturas son los polinomios) es total.

9. Exactitud hasta el grado $n - 1$ : para tales $P$ , $P = \sum_iP(t_i)\ell_i$ exactamente, luego $\int Pw = \sum_iP(t_i)\int \ell_iw = Q(P)$ . Grado $\leq 2n - 1$ : divídase $P = qp_n + r$ , $\deg q \leq n - 1$ , $\deg r \leq n-1$ ; entonces $\int Pw = \int qp_nw + \int rw = 0 + Q(r)$ ( $p_n \perp \R_{n-1}[t]$ ), mientras que $Q(P) = \sum_iw_i\bigl(q(t_i)\,p_n(t_i) + r(t_i)\bigr) = Q(r)$ puesto que los nodos son las raíces de $p_n$ . Iguales.

10. $\ell_i^2$ tiene grado $2n - 2 \leq 2n - 1$ y $\ell_i^2(t_j) = \delta_{ij}$ : $0 < \int\ell_i^2w = Q(\ell_i^2) = w_i$ . Pólya (el Ejercicio 8.9, trasladado a $I$ con peso): la condición (i) se cumple — cada polinomio se integra exactamente en cuanto $2n - 1 \geq$ su grado; y la condición (ii): $\sum_i\abs{w_{i}} = \sum_iw_i = Q(\mathbf 1) = \int_Iw$ , acotada: $Q_n(f) \to \int fw$ para todo $f \in \mathcal C(I)$ , con $I$ compacto.

11. $p_2 = t^2 - \frac13$ mónico (del Ejercicio 13.4): nodos $\pm\frac1{\sqrt3}$ . Pesos: $\ell_1(t) = \frac{t - \frac1{\sqrt3}}{-\frac2{\sqrt3}}$ , y $w_1 = \int_{-1}^1\ell_1 = 1$ ; por simetría $w_2 = 1$ . Exactitud: $\int 1 = 2 = 1 + 1$ ; $\int t = 0 = -\frac1{\sqrt3} + \frac1{\sqrt3}$ ; $\int t^2 = \frac23 = \frac13 + \frac13$ ; $\int t^3 = 0$ . La regla del trapecio de dos puntos (nodos $\pm1$ , pesos $1, 1$ ) solo es exacta hasta el grado $1$ : en $t^2$ devuelve $2$ en lugar de $\frac23$ . El mismo coste, dos grados más de exactitud: el rendimiento de los nodos ortogonales.

12. De $\cos(n{+}1)\theta + \cos(n{-}1)\theta = 2\cos\theta\cos n\theta$ : $T_{n+1} = 2tT_n - T_{n-1}$ con $T_0 = 1$ , $T_1 = t$ ; la inducción da polinomios de grado $n$ con coeficiente director $2^{n-1}$ ( $n \geq 1$ ). Sustituyendo $t = \cos\theta$ ( $w(t)\dd t \mapsto \dd\theta$ ): $\langle T_m, T_n\rangle_w = \int_0^\pi\cos m\theta\cos n\theta\,\dd\theta = 0$ para $m \neq n$ , $= \pi$ para $m = n = 0$ y $= \frac\pi2$ en otro caso (producto a suma). Los grados y la ortogonalidad dos a dos identifican los $T_n$ con la salida de Gram–Schmidt salvo escalares; y un desarrollo de Chebyshev de $f$ es exactamente la serie de Fourier en cosenos de $\theta \mapsto f(\cos\theta)$ .

13. $T_n(t) = 0$ si y solo si $\cos n\theta = 0$ , si y solo si $\theta = \frac{(2k-1)\pi}{2n}$ : las $n$ raíces distintas $t_k = \cos\frac{(2k-1)\pi}{2n} \in \intoo{-1}1$ . Extremos: $\abs{T_n} \leq 1$ en $\intcc{-1}1$ , con $T_n(s_j) = (-1)^j$ en los $n + 1$ puntos $s_j = \cos\frac{j\pi}n$ : equioscilación perfecta.

14. $2^{1-n}T_n$ es mónico con norma del supremo $2^{1-n}$ . Si un $P$ mónico de grado $n$ cumpliera $\sup\abs P < 2^{1-n}$ , la diferencia $D = 2^{1-n}T_n - P$ tendría grado $\leq n - 1$ (los términos directores se cancelan) y, sin embargo, alternaría de signo en $s_0 > \dots > s_n$ (allí $2^{1-n}T_n = \pm2^{1-n}$ domina a $P$ ): al menos $n$ ceros — $D \equiv 0$ , contradicción. Para la unicidad en el caso de igualdad, la misma $D$ cumple $(-1)^jD(s_j) \geq 0$ ; y un polinomio no nulo de grado $\leq n-1$ no puede tener $n$ restricciones extremales débilmente alternantes sin $n$ raíces bien contadas (si $D(s_j) = 0$ para algún $s_j$ interior, ese cero es doble en el recuento, pues $D$ conserva localmente el signo): de nuevo $D \equiv 0$ .

15. La fórmula del error de Lagrange (Rolle, segundo año) da $f - L_nf = \frac{f^{(n)}(\xi_t)}{n!}\,\omega(t)$ , de modo que el error uniforme es a lo sumo $\frac{\norm{f^{(n)}}_\infty} {n!}\,\sup\abs\omega$ , y $\omega$ es mónico de grado $n$ : por la pregunta 14, $\sup_{\intcc{-1}1}\abs\omega \geq 2^{1-n}$ , con igualdad si y solo si los nodos son las raíces de Chebyshev. De ahí la cota óptima $\norm{f - L_nf}_\infty \leq \frac{\norm{f^{(n)}}_\infty}{2^{n-1}n!}$ . Con nodos equiespaciados, $\sup\abs\omega$ es exponencialmente mayor cerca de los extremos, e interpolar incluso $\frac1{1 + 25t^2}$ diverge allí como $n \to \infty$ (fenómeno de Runge); los nodos de Chebyshev son el remedio.

16. Derivando $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ : $T_n'(\cos\theta) = \frac{n\sin n\theta} {\sin\theta}$ , que tiende a $n^2$ cuando $\theta \to 0$ y a $(-1)^{n+1}n^2$ cuando $\theta \to \pi$ : $\abs{T_n'(\pm1)} = n^2$ . En los puntos interiores, $\abs{T_n'(t)} \leq \frac{n}{\sqrt{1 - t^2}} = O(n)$ : la explosión cuadrática vive solo en los bordes (la cota interior de Bernstein frente a la global de Markov).

17. Sean $\theta_k = \frac{(2k-1)\pi}{2n}$ y $S_j = \sum_{k=1}^n\cos(j\theta_k)$ para $1 \leq j \leq n-1$ . Entonces

S_j = \operatorname{Re}\Bigl[\eu^{\iu j\pi/2n} \sum_{k=0}^{n-1}\eu^{\iu jk\pi/n}\Bigr] = \operatorname{Re}\Bigl[\eu^{\iu j\pi/2n}\, \frac{\eu^{\iu j\pi} - 1}{\eu^{\iu j\pi/n} - 1}\Bigr] .

Para $j$ par, el numerador se anula: $S_j = 0$ . Para $j$ impar, el numerador vale $-2$ y $\eu^{\iu j\pi/n} - 1 = \eu^{\iu j\pi/2n}\cdot2\iu\sin\frac{j\pi}{2n}$ , de modo que la expresión entera es $\frac{-2}{2\iu\sin(j\pi/2n)} = \frac{\iu}{\sin(j\pi/2n)}$ : puramente imaginaria, luego $S_j = 0$ de nuevo. Así, la regla de pesos iguales $\frac\pi n\sum_kf(t_k)$ integra $T_0$ ( $\sum w_i = \pi = \int w$ ) y anula $T_1, \dots, T_{n-1}$ exactamente igual que $\int T_jw = 0$ : es exacta hasta el grado $n - 1$ . Los pesos exactos hasta el grado $n-1$ en nodos dados son únicos (base de Lagrange): los pesos de Gauss valen todos $\frac\pi n$ . Para $n = 3$ : nodos $\pm\frac{\sqrt3}2, 0$ y

\int_{-1}^1\frac{f(t)}{\sqrt{1 - t^2}}\,\dd t \approx \frac\pi3\Bigl[f\Bigl(\tfrac{\sqrt3}2\Bigr) + f(0) + f\Bigl(-\tfrac{\sqrt3}2\Bigr)\Bigr],

exacta hasta el grado $5$ .

18. Para $P$ mónico de grado $n$ : $P = p_n + r$ con $r \in \R_{n-1}[t]$ , y $p_n \perp \R_{n-1}[t]$ (pregunta 1), luego $\norm P^2 = \norm{p_n}^2 + \norm r^2 \geq \norm{p_n}^2$ , con igualdad si y solo si $r = 0$ : $p_n$ es el residuo de la proyección ortogonal de $t^n$ sobre $\R_{n-1}[t]^\perp$ , es decir, el polinomio mónico más próximo al subespacio que ha de evitar. El $2^{1-n}T_n$ de Chebyshev responde a la misma pregunta para la norma del supremo: mínima desviación de cero, una vez en $L^2(w)$ y otra en $L^\infty$ .

19. Escríbase $K_n(x, y) = \sum_{k=0}^n\frac{p_k(x)p_k(y)}{h_k}$ . Base $n = 0$ : $(x - y)\frac1{h_0} = \frac{p_1(x)\cdot1 - 1\cdot p_1(y)}{h_0}$ , pues $p_1 = t - a_0$ . Paso: suponiendo la identidad para $n - 1$ ,

(x - y)\,K_n(x,y) = \frac{p_n(x)p_{n-1}(y) - p_{n-1}(x)p_n(y)}{h_{n-1}} + \frac{(x - y)\,p_n(x)p_n(y)}{h_n} ;

sustitúyanse $x\,p_n(x) = p_{n+1}(x) + a_np_n(x) + b_np_{n-1}(x)$ y $y\,p_n(y) = p_{n+1}(y) + a_np_n(y) + b_np_{n-1}(y)$ en el segundo término: las contribuciones de $a_n$ se cancelan, y las de $b_n = \frac{h_n}{h_{n-1}}$ cancelan el término de la inducción; lo que sobrevive es $\frac{p_{n+1}(x)p_n(y) - p_n(x)p_{n+1}(y)}{h_n}$ . La forma confluente se sigue haciendo $y \to x$ (ambos miembros son polinomios en $y$ ).

20. La forma confluente da $p_{n+1}'p_n - p_n'p_{n+1} = h_n\sum_{k\leq n}\frac{p_k^2}{h_k} \geq \frac{h_n}{h_0} > 0$ en todas partes. En una raíz $x_0$ de $p_{n+1}$ : $p_{n+1}'(x_0)\,p_n(x_0) > 0$ , luego $p_n(x_0) \neq 0$ (sin raíces comunes). Entre dos raíces consecutivas $x_0 < x_1$ de $p_{n+1}$ (todas simples, Parte I), $p_{n+1}'$ tiene signos opuestos y, por tanto, también $p_n$ : hay una raíz de $p_n$ en cada uno de los $n$ huecos — y eso agota sus $n$ raíces: entrelazado.

21. Desarrollando $D_n(t) = \det(tI_n - J_n)$ por la última fila: $D_n = (t - a_{n-1})D_{n-1} - b_{n-1}D_{n-2}$ , con $D_0 = 1$ , $D_1 = t - a_0$ : la recurrencia y los datos iniciales de los $p_n$ mónicos, luego $D_n = p_n$ . Las raíces de $p_n$ son los valores propios de la simétrica $J_n$ : reales, y simples por la pregunta 19 — la cuadratura de Gauss es la teoría espectral de una matriz tridiagonal disfrazada, la sombra de dimensión finita del Capítulo 15.

22. Diccionario:

	Legendre	Hermite	Chebyshev
intervalo	$\intcc{-1}1$	$\R$	$\intcc{-1}1$
peso	$1$	$\eu^{-t^2}$	$(1-t^2)^{-1/2}$
fórmula	Rodrigues	$(-1)^n\eu^{t^2} \frac{\dd^n}{\dd t^n}\eu^{-t^2}$	$\cos(n\arccos t)$
norma $^2$	$\frac2{2n+1}$	$2^nn!\sqrt\pi$	$\pi, \frac\pi2$
hábitat	cuadratura	cálculo gaussiano	minimax

(cada una con su recurrencia a tres términos: la forma general para Legendre, $H_{n+1} = 2tH_n - 2nH_{n-1}$ , $T_{n+1} = 2tT_n - T_{n-1}$ ). La teoría general aportó lo que ninguna familia concreta muestra: la realidad y el entrelazado de las raíces, la positividad de los pesos de cuadratura, la existencia misma de la recurrencia y de Christoffel–Darboux — consecuencias de la ortogonalidad sola, uniformes en el peso.

23. Existencia: la aplicación lineal $\R_{2n-1}[t] \to \R^{2n}$ , $P \mapsto (P(t_1), P'(t_1), \dots, P(t_n), P'(t_n))$ , es inyectiva (una $P$ del núcleo tiene $n$ raíces dobles y grado $\leq 2n - 1$ , luego $P = 0$ ) entre espacios de la misma dimensión $2n$ : es biyectiva. Error puntual: fíjese $t$ que no sea nodo y elíjase $K$ de modo que $g(s) = f(s) - Hf(s) - K\,p_n(s)^2$ se anule en $s = t$ . Entonces $g$ se anula en los $n + 1$ puntos distintos $t, t_1, \dots, t_n$ , y $g'$ se anula también en cada $t_i$ (tanto $f - Hf$ como $p_n^2$ tienen allí ceros dobles). Rolle da $n$ ceros de $g'$ estrictamente entre ceros consecutivos de $g$ — distintos de los nodos —, de modo que $g'$ tiene $2n$ ceros distintos; aplicando Rolle $2n - 1$ veces más se obtiene $\xi_t$ con $g^{(2n)}(\xi_t) = 0$ . Como $\deg Hf \leq 2n - 1$ y $p_n^2$ es mónico de grado $2n$ , $g^{(2n)} = f^{(2n)} - K\,(2n)!$ , de donde $K = f^{(2n)}(\xi_t)/(2n)!$ — y la identidad es trivial en los nodos. Integración: $Q_n(f) = Q_n(Hf)$ ( $Hf$ coincide con $f$ en los nodos) y $Q_n(Hf) = \int Hf\,w$ por exactitud hasta el grado $2n - 1$ (pregunta 9), de modo que el error de la cuadratura es $\int(f - Hf)\,w$ . Con $m, M$ los extremos de $f^{(2n)}$ en $I$ , la identidad puntual encaja

\frac{m\,h_n}{(2n)!} \;\leq\; \int_I(f - Hf)\,w \;\leq\; \frac{M\,h_n}{(2n)!} ,

y el teorema del valor intermedio aplicado a la continua $f^{(2n)}$ proporciona $\xi$ . (Para Legendre con $n = 2$ : $h_2 = \int_{-1}^1(t^2 - \frac13)^2\dd t = \frac8{45}$ , de modo que el error es $f^{(4)}(\xi)/135$ .)

24. El núcleo reproduce $\R_{n-1}[t]$ : al desarrollar

q = \sum_k\frac{\langle p_k, q\rangle}{h_k}\,p_k

se obtiene $\int_I K_n(t_i, t)\,q(t)\,w(t)\dd t = q(t_i)$ para todo $q$ de grado $\leq n - 1$ . Tómese $q = \ell_i$ : el miembro izquierdo vale $\ell_i(t_i) = 1$ . Pero $t \mapsto K_n(t_i, t)\,\ell_i(t)$ es un polinomio de grado $\leq (n - 1) + (n - 1) = 2n - 2$ , sobre el que $Q_n$ es exacta (pregunta 9), y se anula en todo nodo $t_j \neq t_i$ (por el factor $\ell_i$ ), de modo que

1 = \int_I K_n(t_i, t)\,\ell_i(t)\,w(t)\dd t = w_i\,K_n(t_i, t_i) = w_i\sum_{k=0}^{n-1}\frac{p_k(t_i)^2}{h_k} .

La suma vale $> 0$ (su término $k = 0$ es $1/h_0 > 0$ ): la fórmula enunciada, y de nuevo la positividad. Comprobación ( $n = 2$ , Legendre): $p_0 = 1$ , $h_0 = 2$ , $p_1 = t$ , $h_1 = \frac23$ ; en $t_i = \pm\frac1{\sqrt3}$ ,

K_2(t_i, t_i) = \frac12 + \frac{1/3}{2/3} = 1, \qquad w_i = 1,

como se halló en la pregunta 11.

25. Sustituyendo $t = \cos\theta$ , la integral es $\int_0^\pi\cos^6\theta\,\dd\theta = \pi\,\frac{5\cdot3\cdot1}{6\cdot4\cdot2} = \frac{5\pi}{16}$ (Wallis, el Ejercicio 11.8). La regla de Chebyshev–Gauss con $n = 3$ (pregunta 17) tiene nodos $\cos\frac\pi6 = \frac{\sqrt3}2$ , $\cos\frac\pi2 = 0$ , $\cos\frac{5\pi}6 = -\frac{\sqrt3}2$ y pesos iguales $\frac\pi3$ :

Q_3(t^6) = \frac\pi3\Bigl(2\cdot\Bigl(\frac{\sqrt3}2 \Bigr)^{6}\Bigr) = \frac\pi3\cdot\frac{54}{64} = \frac{9\pi}{32}, \qquad \frac{5\pi}{16} - \frac{9\pi}{32} = \frac\pi{32} .

Predicción: el polinomio ortogonal mónico de grado $3$ es $2^{-2}T_3 = t^3 - \frac34t$ , con $h_3 = \frac1{16}\norm{T_3}_w^2 = \frac1{16}\cdot\frac\pi2 = \frac\pi{32}$ ; y $f = t^6$ tiene $f^{(6)} = 720 = 6!$ constante, de modo que la pregunta 23 da el error $\frac{6!}{6!}\,h_3 = \frac\pi{32}$ — sin dependencia alguna de $\xi$ , la fórmula está obligada a ser exacta, y lo es.