Matemáticas universitarias — Grado 3 · Bachelor Year 3

18Aplicaciones conformes y el teorema de la aplicación de Riemann

Una biyección holomorfa entre dos dominios transporta todo el análisis complejo de uno al otro: tales aplicaciones — conformes, porque conservan los ángulos — son los isomorfismos del mundo holomorfo. Este capítulo las clasifica allí donde la clasificación es posible (el disco, el plano: la clave es el lema de Schwarz, una desigualdad de una potencia asombrosa), construye la teoría de compacidad de las familias holomorfas (Montel) y demuestra el teorema de existencia más profundo de la materia: todo subdominio propio simplemente conexo de $\C$ , por dentada que sea su frontera, es conformemente equivalente al disco unidad. Cerramos con las funciones armónicas y el núcleo de Poisson, resolviendo el problema de Dirichlet en el disco — el dividendo analítico de la geometría conforme. En todo el capítulo, $\mathbb D = D(0,1)$ y $\mathbb H = \{\operatorname{Im}z > 0\}$ .

18.1 Aplicaciones conformes; transformaciones de Möbius

Definición 18.1

Una aplicación conforme (o biholomorfismo) entre abiertos es una biyección holomorfa; su inversa es automáticamente holomorfa (el Corolario 17.10). Dos dominios son conformemente equivalentes si existe una tal aplicación; $\operatorname{Aut}(\Omega)$ denota el grupo de las autoaplicaciones conformes. Donde $f' \neq 0$ — en todas partes, si $f$ es inyectiva (demostración del Corolario 17.10) —, la diferencial es la multiplicación por $f'(z) \neq 0$ : una semejanza, de modo que las aplicaciones conformes conservan los ángulos entre curvas, orientación incluida.

Ejemplo 18.2 (Transformaciones de Möbius)

Para $\bigl(\begin{smallmatrix}a & b\\ c & d\end{smallmatrix}\bigr) \in GL_2(\C)$ , la transformación de Möbius $z \mapsto \frac{az + b}{cz + d}$ es conforme de $\C\setminus\{-d/c\}$ sobre $\C\setminus\{a/c\}$ (la inversa es del mismo tipo, dada por la matriz inversa; la composición corresponde al producto de matrices). La transformación de Cayley

\varphi(z) = \frac{z - \iu}{z + \iu}

lleva $\mathbb H$ conformemente sobre $\mathbb D$ : en efecto, $\abs{z - \iu} < \abs{z + \iu}$ exactamente cuando $z$ está más cerca de $\iu$ que de $-\iu$ , es decir, $\operatorname{Im}z > 0$ ; la inversa es $w \mapsto \iu\frac{1 + w}{1 - w}$ . Las transformaciones de Möbius envían la familia de circunferencias y rectas en sí misma (el Ejercicio 18.1).

Ejemplo 18.3 (La aplicación de Joukowski)

Más allá de Möbius, la aplicación conforme más útil de la matemática aplicada clásica es

J(z) = \frac12\Bigl(z + \frac1z\Bigr) .

En el exterior $\Omega = \{\abs z > 1\}$ del disco unidad, $J$ es inyectiva: $J(z) = J(w)$ da $(z - w)(1 - \frac1{zw}) = 0$ y $\abs{zw} > 1$ . Su derivada $J'(z) = \frac12(1 - z^{-2})$ solo se anula en $z = \pm1$ , sobre la frontera: $J$ es una equivalencia conforme de $\Omega$ sobre su imagen, que es $\C\setminus\intcc{-1}1$ — la propia circunferencia unidad se pliega dos a uno sobre el segmento ( $J(\eu^{\iu\theta}) = \cos\theta$ ). Así, el exterior de un segmento, un plano hendido sin frontera regular, es conformemente el exterior de un disco: las esquinas no son obstáculo para la equivalencia conforme, solo para la regularidad de la frontera. Las imágenes de circunferencias que pasan por $\pm1$ pero descentradas son curvas con forma de perfil alar, y componer $J$ con transformaciones de Möbius transportó el flujo alrededor de un cilindro — calculable a mano — al flujo alrededor de un ala: durante la primera mitad del siglo XX, este ejemplo era la aerodinámica. Es también la puerta hacia Chebyshev: $J$ conjuga $z \mapsto z^n$ con el polinomio de Chebyshev $T_n$ (el Problema 13.1, Parte V), pues $J(z^n) = \cos(n\theta)$ cuando $z = \eu^{\iu\theta}$ .

18.2 El lema de Schwarz y los grupos de automorfismos

Teorema 18.4 (Lema de Schwarz)

Sea $f \colon \mathbb D \to \mathbb D$ holomorfa con $f(0) = 0$ . Entonces

\abs{f(z)} \leq \abs z \ \ (z \in \mathbb D) \qquad\text{y}\qquad \abs{f'(0)} \leq 1 ,

y si $\abs{f(z_0)} = \abs{z_0}$ para algún $z_0 \neq 0$ , o bien $\abs{f'(0)} = 1$ , entonces $f(z) = \eu^{\iu\theta}z$ es una rotación.

Demostración. $g(z) = f(z)/z$ se extiende holomorfamente a $\mathbb D$ (la singularidad en $0$ es evitable: $g$ está acotada cerca de $0$ , el Teorema 17.4; su valor en $0$ es $f'(0)$ ). En $\abs z = r < 1$ : $\abs g \leq \frac1r$ , de modo que, por el principio del máximo (el Teorema 16.14), $\abs g \leq \frac1r$ en $\bar D(0,r)$ ; hágase $r \to 1$ : $\abs g \leq 1$ en $\mathbb D$ , que son ambas desigualdades. La igualdad en un punto interior hace que $\abs g$ alcance un máximo interior: $g$ constante de módulo $1$ . ∎

Teorema 18.5 (Automorfismos del disco)

Para $a \in \mathbb D$ , el factor de Blaschke

\varphi_a(z) = \frac{z - a}{1 - \bar a z}

es un automorfismo de $\mathbb D$ que intercambia $a$ y $0$ , con $\varphi_a^{-1} = \varphi_{-a}$ . Todo automorfismo de $\mathbb D$ es $\eu^{\iu\theta}\varphi_a$ para $\theta \in \R/2\pi\Z$ , $a \in \mathbb D$ únicos.

Demostración. En $\abs z = 1$ : $\abs{1 - \bar az} = \abs{\bar z}\abs{1 - \bar az} = \abs{\bar z - \bar a\abs z^2} = \abs{\bar z - \bar a} = \abs{z - a}$ , de modo que allí $\abs{\varphi_a} = 1$ ; por el principio del máximo, $\varphi_a(\mathbb D) \subseteq \bar{\mathbb D}$ , y ser aplicación abierta sitúa la imagen en $\mathbb D$ . La identidad algebraica $\varphi_{-a}\circ\varphi_a = \mathrm{id}$ (cálculo directo) muestra la biyectividad. Sean ahora $f \in \operatorname{Aut}(\mathbb D)$ y $a = f^{-1}(0)$ : $g = f\circ\varphi_{-a}$ es un automorfismo que fija $0$ . Schwarz aplicado a $g$ y a $g^{-1}$ : $\abs{g(z)} \leq \abs z$ y $\abs{g^{-1}(w)} \leq \abs w$ , de modo que $\abs{g(z)} = \abs z$ : rotación, $g = \eu^{\iu\theta}\,\mathrm{id}$ , es decir, $f = \eu^{\iu\theta}\varphi_a$ . Unicidad: $a = f^{-1}(0)$ y $\theta$ evaluando al estilo de $f'$ (o a partir de $f(0) = -\eu^{\iu\theta}a$ y un valor más). ∎

Teorema 18.6 (Automorfismos del plano)

$\operatorname{Aut}(\C) = \{z \mapsto az + b : a \in \C^*,\ b \in \C\}$ . En consecuencia, $\C$ y $\mathbb D$ no son conformemente equivalentes.

Demostración. Sea $f \in \operatorname{Aut}(\C)$ y considérese $g(z) = f(1/z)$ en $\C^*$ : una función holomorfa con una singularidad aislada en $0$ . Si fuera esencial, Casorati–Weierstrass (el Teorema 17.4) haría $g\bigl(D(0,\varepsilon)\setminus\{0\}\bigr)$ denso, mientras que $f(D(0, 1))$ es abierto y disjunto de él ( $f$ inyectiva: los dos conjuntos son imágenes de conjuntos disjuntos) — imposible para un conjunto denso y un abierto no vacío. Luego $0$ es un polo o es evitable para $g$ , es decir, $\abs{f(z)}$ tiene a lo sumo crecimiento polinómico: $f$ es un polinomio (el Ejercicio 16.4(a)). La inyectividad fuerza el grado $1$ : un polinomio de grado mayor tiene, o bien una raíz múltiple de $f - c$ en algún sitio ( $f'$ se anula), o bien varias preimágenes distintas (d’Alembert–Gauss, el Problema 16.1); en ambos casos falla la inyectividad. Por último, una $\C \to \mathbb D$ conforme sería una función entera acotada: constante (Liouville) — no hay equivalencia. ∎

18.3 El teorema de Montel

Teorema 18.7 (Montel)

Sea $\mathcal F \subseteq \mathcal H(\Omega)$ localmente acotada: todo punto tiene un entorno en el que $\sup_{f\in \mathcal F}\sup\abs f < \infty$ . Entonces toda sucesión de $\mathcal F$ tiene una subsucesión que converge uniformemente en todos los compactos de $\Omega$ (con límite holomorfo).

Demostración. Equicontinuidad local: si $\abs f \leq M$ en $D(a, 2r) \subseteq \Omega$ para toda $f \in \mathcal F$ , la fórmula de Cauchy da, para $z, z' \in D(a, r)$ ,

\abs{f(z) - f(z')} = \frac{\abs{z - z'}}{2\pi} \Bigl|\int_{C_{2r}}\frac{f(w)\,\dd w}{(w-z)(w-z')}\Bigr| \leq \frac{\abs{z - z'}\,2\pi\cdot2r\,M}{2\pi\,r^2} = \frac{2M}{r}\,\abs{z - z'} :

una cota de Lipschitz uniforme. Agótese $\Omega$ por compactos $K_m$ ; cada $K_m$ queda recubierto por un número finito de tales discos, de modo que $\mathcal F$ está uniformemente acotada y es equicontinua en $K_m$ : Arzelà–Ascoli (el Teorema 7.11) extrae una subsucesión que converge uniformemente en $K_m$ ; diagonalícese sobre $m$ . El límite es holomorfo por Teorema 16.15. ∎

18.4 El teorema de la aplicación de Riemann

Definición 18.8

Un abierto conexo $\Omega \subseteq \C$ es simplemente conexo (en sentido homológico, suficiente para todos nuestros fines) si $\operatorname{Ind}_\gamma(w) = 0$ para todo ciclo $\gamma$ en $\Omega$ y todo $w \notin \Omega$ — «ningún ciclo de $\Omega$ rodea un agujero». Por el teorema global de Cauchy (el Teorema 17.1) y la Proposición 16.5, en tal $\Omega$ toda función holomorfa tiene primitiva; por tanto, toda $f \in \mathcal H(\Omega)$ sin ceros tiene un logaritmo holomorfo ( $\exp\circ$ (primitiva de $f'/f$ ), ajustado por una constante, ya que $(f\eu^{-L})' = 0$ ) y raíces $n$ -ésimas holomorfas $\eu^{L/n}$ .

Teorema 18.9 (Teorema de la aplicación de Riemann)

Todo abierto simplemente conexo $\Omega \subsetneq \C$ , $\Omega \neq \varnothing$ , es conformemente equivalente a $\mathbb D$ ; dado $z_0 \in \Omega$ , existe una única aplicación conforme $f \colon \Omega \to \mathbb D$ con $f(z_0) = 0$ y $f'(z_0) > 0$ .

Demostración. Paso 0: la familia no es vacía. Tómese $b \notin \Omega$ : $z - b$ no tiene ceros en $\Omega$ , de modo que admite una raíz cuadrada holomorfa $h$ ( $h^2 = z - b$ ). $h$ es inyectiva ( $h(z) = h(z')$ elevada al cuadrado da $z = z'$ ), y si $w \in h(\Omega)$ entonces $-w \notin h(\Omega)$ ( $h(z) = -h(z')$ también eleva al cuadrado a $z = z'$ , dando $w = -w = 0$ , imposible porque $h$ no tiene ceros). Como $h(\Omega)$ es abierto, contiene un disco $D(h(z_0), \rho)$ ; entonces $D(-h(z_0), \rho) \cap h(\Omega) = \varnothing$ , es decir, $\abs{h(z) + h(z_0)} \geq \rho$ para todo $z \in \Omega$ . Por tanto,

g(z) = \frac{\rho}{2\,\bigl(h(z) + h(z_0)\bigr)}

es holomorfa, inyectiva (una transformación de Möbius compuesta con la inyectiva $h$ ), con $\abs g \leq \frac12 < 1$ . Componiendo con un factor de Blaschke (el Teorema 18.5) para llevar $g(z_0)$ a $0$ , la familia

\mathcal F = \{f \colon \Omega \to \mathbb D \text{ holomorphic, injective, } f(z_0) = 0\}

no es vacía.

Paso 1: un elemento extremal. Sea $s = \sup_{\mathcal F}\abs{f'(z_0)} \in \intoc0{+\infty}$ ( $> 0$ : sus miembros son inyectivos, de modo que $f'(z_0) \neq 0$ ). Tómese $f_n \in \mathcal F$ con $\abs{f_n'(z_0)} \to s$ : la familia está acotada por $1$ , de modo que Montel (el Teorema 18.7) extrae $f_n \to f$ uniformemente en los compactos; $f$ es holomorfa, $f(z_0) = 0$ , $\abs{f'(z_0)} = s$ (el Teorema 16.15 para las derivadas), en particular $f$ no es constante; $f$ es inyectiva por Hurwitz (el Ejercicio 17.8(b)), y $f(\Omega) \subseteq \bar{\mathbb D}$ , luego $\subseteq \mathbb D$ (aplicación abierta). Así, $f \in \mathcal F$ alcanza el supremo: $s < \infty$ .

Paso 2: la aplicación extremal es sobreyectiva. Supóngase $a \in \mathbb D\setminus f(\Omega)$ . El transporte de Blaschke $\varphi_a\circ f$ no tiene ceros en el simplemente conexo $\Omega$ : tiene una raíz cuadrada holomorfa $F$ (con $F(\Omega) \subseteq \mathbb D$ , pues $\abs F^2 = \abs{\varphi_a\circ f} < 1$ ), inyectiva (los cuadrados distinguen). Normalícese: $G = \varphi_{F(z_0)}\circ F \in \mathcal F$ . Deshaciendo: $f = \varphi_{-a}\circ s_2 \circ \varphi_{-F(z_0)}\circ G$ donde $s_2(w) = w^2$ ; la aplicación $\Psi = \varphi_{-a}\circ s_2\circ\varphi_{-F(z_0)} \colon \mathbb D \to \mathbb D$ es holomorfa con $\Psi(0) = f(z_0) = 0$ y no es una rotación (no es inyectiva: $s_2$ no lo es). Lema de Schwarz (caso estricto): $\abs{\Psi'(0)} < 1$ , y la regla de la cadena $f = \Psi\circ G$ da $\abs{f'(z_0)} = \abs{\Psi'(0)}\,\abs{G'(z_0)} < \abs{G'(z_0)}$ — en contradicción con la maximalidad (obsérvese $G \in \mathcal F$ ). Luego $f$ es sobreyectiva: una equivalencia conforme.

Paso 3: normalización y unicidad. Multiplíquese $f$ por $\eu^{-\iu\arg f'(z_0)}$ para lograr $f'(z_0) > 0$ (esto no sale de $\mathcal F$ ). Si $f_1, f_2$ sirven ambas, $\psi = f_2\circ f_1^{-1} \in \operatorname{Aut}(\mathbb D)$ fija $0$ con $\psi'(0) = f_2'(z_0)/f_1'(z_0) > 0$ ; por el Teorema 18.5, $\psi$ es una rotación $\eu^{\iu\theta}$ con $\eu^{\iu\theta} > 0$ : $\psi = \mathrm{id}$ . ∎

Observación 18.10

El teorema es un enunciado de existencia puro y de alcance asombroso: un cuadrado, un semiplano, el complementario de un corte, la región entre dos circunferencias tangentes, un dominio de frontera fractal — todos conformemente idénticos a $\mathbb D$ . Lo que no da: ninguna fórmula (las aplicaciones explícitas son la excepción: el Ejercicio 18.5), ningún comportamiento en la frontera (de eso se ocupa una teoría más profunda — el teorema de Carathéodory), ni unicidad de la extensión a $\C$ ni dominios múltiplemente conexos: la corona $\{1 < \abs z < 2\}$ no es conformemente un disco punteado, y coronas con distinta razón de radios son inequivalentes (un hecho genuinamente más difícil).

18.5 Funciones armónicas y el núcleo de Poisson

Proposición 18.11

Sean $\Omega$ simplemente conexo y $u \colon \Omega \to \R$ armónica ( $\mathcal C^2$ con $\Delta u = u_{xx} + u_{yy} = 0$ ). Entonces $u = \operatorname{Re}F$ para cierta $F$ holomorfa, única salvo constante imaginaria. En consecuencia, $u$ es $\mathcal C^\infty$ , cumple la propiedad del valor medio y obedece el principio del máximo (ningún extremo interior estricto salvo si es constante).

Demostración. $g = u_x - \iu u_y$ cumple las ecuaciones de Cauchy–Riemann ( $P = u_x$ , $Q = -u_y$ : $P_x = u_{xx} = -u_{yy} = Q_y$ y $P_y = u_{xy} = u_{yx} = -Q_x$ ) con parciales continuas: $g$ es holomorfa (la Proposición 16.2; la $\R$ -diferenciabilidad se sigue de $\mathcal C^1$ ). Sea $F_0$ una primitiva (conexión simple, la Definición 18.8); entonces $\operatorname{Re}F_0$ tiene gradiente $(u_x, u_y)$ ( $F_0' = g$ se desglosa exactamente en eso vía Cauchy–Riemann para $F_0$ ), de modo que $u - \operatorname{Re}F_0$ es constante ( $\Omega$ conexo): ajústese $F = F_0 + c$ . Las propiedades se transfieren del Teorema 16.14 y del Ejercicio 16.10 (para el principio del máximo aplicado a $u$ misma, úsese $\eu^{F}$ como allí). ∎

Teorema 18.12 (Fórmula de Poisson; problema de Dirichlet en el disco)

Para $0 \leq r < 1$ , defínase el núcleo de Poisson

P_r(\theta) = \sum_{n\in\Z}r^{\abs n}\eu^{\iu n\theta} = \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos\theta + r^2} \;>\; 0 .

Sea $g \colon \partial\mathbb D \to \R$ continua y póngase, para $z = r\eu^{\iu\varphi} \in \mathbb D$ ,

u(z) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} P_r(\varphi - t)\,g(\eu^{\iu t})\,\dd t .

Entonces $u$ es armónica en $\mathbb D$ y se extiende continuamente a $\bar{\mathbb D}$ con valores frontera $g$ : es la única función armónica con esa propiedad.

Demostración. Identidades del núcleo: sumando dos series geométricas,

\sum_{n\in\Z}r^{\abs n}\eu^{\iu n\theta} = \operatorname{Re}\frac{1 + r\eu^{\iu\theta}}{1 - r\eu^{\iu\theta}} = \frac{1 - r^2}{\abs{1 - r\eu^{\iu\theta}}^2},

que es el cociente exhibido; la positividad es clara, y $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}P_r = 1$ (solo sobrevive $n = 0$ ).

Armonicidad: con $z = r\eu^{\iu\varphi}$ ,

u(z) = \operatorname{Re}\biggl[\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \frac{\eu^{\iu t} + z}{\eu^{\iu t} - z}\, g(\eu^{\iu t})\,\dd t\biggr],

(el núcleo entre corchetes tiene parte real $P_r(\varphi - t)$ : calcúlese), y el corchete es holomorfo en $z$ sobre $\mathbb D$ (el Ejercicio 16.7): $u$ es la parte real de una función holomorfa, luego armónica.

Valores frontera: $P_r(\cdot)$ es una identidad aproximada cuando $r \to 1^-$ : masa $1$ , y para $\delta \leq \abs\theta \leq \pi$ , $P_r(\theta) \leq \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos\delta + r^2} \to 0$ uniformemente. La partición habitual (continuidad de $g$ cerca de $\eu^{\iu\varphi_0}$ , acotación en el resto) da $u(r\eu^{\iu\varphi}) \to g(\eu^{\iu\varphi_0})$ cuando $r\eu^{\iu\varphi} \to \eu^{\iu\varphi_0}$ , uniformemente en el punto frontera: la extensión es continua. Unicidad: la diferencia de dos soluciones es armónica en $\mathbb D$ , continua en la clausura y nula en la frontera: por el principio del máximo (aplicado a $\pm$ la diferencia), se anula. ∎

Las curvas de nivel de Rez2 = x2 - y2 (hipérbolas rojas) y de Imz2 = 2xy (hipérbolas azules) se cortan en ángulo recto lejos de 0: una aplicación conforme (z z2, donde z ≠ 0) conserva la ortogonalidad de las líneas coordenadas. En z = 0, donde la derivada se anula, los ángulos se duplican. — Las curvas de nivel de $\operatorname{Re}z^2 = x^2 - y^2$ (hipérbolas rojas) y de $\operatorname{Im}z^2 = 2xy$ (hipérbolas azules) se cortan en ángulo recto lejos de $0$ : una aplicación conforme ( $z \mapsto z^2$ , donde $z \neq 0$ ) conserva la ortogonalidad de las líneas coordenadas. En $z = 0$ , donde la derivada se anula, los ángulos se duplican.

18.6 Ejercicios

Ejercicio 18.1 ★

(a) Verifíquese que la transformación de Cayley $\varphi(z) = \frac{z - \iu}{z + \iu}$ es una biyección $\mathbb H \to \mathbb D$ con la inversa enunciada, y calcúlense las imágenes de $\iu$ , $0$ , $1$ y $\infty$ (en el límite). (b) Demuéstrese que $z \mapsto 1/z$ lleva circunferencias y rectas a circunferencias y rectas. (Escríbase su ecuación común $\alpha\abs z^2 + \bar\beta z + \beta\bar z + \gamma = 0$ , $\alpha, \gamma \in \R$ .) Dedúzcase lo mismo para todas las transformaciones de Möbius.

Solución

Solución de Ejercicio 18.1.

(a) $\varphi$ y $\psi(w) = \iu\frac{1+w}{1-w}$ se componen dando la identidad en ambos órdenes (cálculo directo); $\varphi$ lleva $\mathbb H$ dentro de $\mathbb D$ y $\psi$ de vuelta (el Ejemplo 18.2). Valores: $\varphi(\iu) = 0$ , $\varphi(0) = -1$ , $\varphi(1) = \frac{1 - \iu}{1 + \iu} = -\iu$ y $\varphi(z) \to 1$ cuando $z \to \infty$ .

(b) Las circunferencias y rectas son los conjuntos de soluciones de $\alpha\abs z^2 + \bar\beta z + \beta\bar z + \gamma = 0$ ( $\alpha, \gamma \in \R$ , $\beta \in \C$ , $\abs\beta^2 > \alpha\gamma$ ): $\alpha \neq 0$ circunferencias, $\alpha = 0$ rectas. Sustituyendo $z = 1/w$ y multiplicando por $\abs w^2$ : $\gamma\abs w^2 + \beta w + \bar\beta\bar w + \alpha = 0$ — la misma familia. Las aplicaciones afines conservan claramente la familia, y toda transformación de Möbius es composición de aplicaciones afines y una inversión ( $\frac{az+b}{cz+d} = \frac ac + \frac{bc - ad}{c}\cdot\frac1{cz + d}$ para $c \neq 0$ ).

Ejercicio 18.2 ★

Sea $f \colon \mathbb D \to \mathbb D$ holomorfa. (a) Si $f(0) = 0$ y $f(a) = a$ para algún $a \neq 0$ , demuéstrese que $f = \mathrm{id}$ . (b) Si $f$ es un automorfismo con dos puntos fijos distintos en $\mathbb D$ , demuéstrese que $f = \mathrm{id}$ (conjúguese por un factor de Blaschke para reducirse a (a)).

Solución

Solución de Ejercicio 18.2.

(a) Schwarz da $\abs{f(a)} \leq \abs a$ con igualdad (ambos miembros valen $= \abs a$ ): el caso de igualdad obliga a $f(z) = \eu^{\iu\theta}z$ , y $f(a) = a$ fija $\eu^{\iu\theta} = 1$ .

(b) Sean $a \neq b$ los puntos fijos y $g = \varphi_a\circ f\circ\varphi_{-a} \in \operatorname{Aut}(\mathbb D)$ — usando el Teorema 18.5 para $\varphi_{\pm a}$ . Entonces $g(0) = \varphi_a(f(a)) = 0$ y $g(c) = c$ para $c = \varphi_a(b) \neq 0$ : por (a), $g = \mathrm{id}$ , de modo que $f = \varphi_{-a}\circ\varphi_a = \mathrm{id}$ .

Ejercicio 18.3 ★★

(Schwarz–Pick) Para $f\colon \mathbb D \to \mathbb D$ holomorfa, demuéstrese

\frac{\abs{f'(z)}}{1 - \abs{f(z)}^2} \;\leq\; \frac{1}{1 - \abs z^2} \qquad (z \in \mathbb D),

con igualdad (en un punto, luego en todos) si y solo si $f \in \operatorname{Aut}(\mathbb D)$ . (Aplíquese Schwarz a $\varphi_{f(z)}\circ f\circ\varphi_{-z}$ .) Interpretación: las autoaplicaciones holomorfas contraen la métrica hiperbólica.

Solución

Solución de Ejercicio 18.3.

Fíjese $z$ y póngase $g = \varphi_{f(z)}\circ f\circ\varphi_{-z}$ : $\mathbb D \to \mathbb D$ holomorfa con $g(0) = 0$ , de modo que $\abs{g'(0)} \leq 1$ (Schwarz). Regla de la cadena con $\varphi_a'(\zeta) = \frac{1 - \abs a^2}{(1 - \bar a\zeta)^2}$ :

g'(0) = \varphi_{f(z)}'\bigl(f(z)\bigr)\cdot f'(z)\cdot \varphi_{-z}'(0) = \frac{1}{1 - \abs{f(z)}^2}\cdot f'(z)\cdot(1 - \abs z^2),

de donde la desigualdad de Schwarz–Pick. La igualdad en algún $z$ hace de $g$ una rotación, luego $f = \varphi_{-f(z)}\circ(\text{rotación})\circ\varphi_z \in \operatorname{Aut}(\mathbb D)$ — y entonces la igualdad vale en todas partes (calcúlese, o reaplíquese intercambiando los papeles de $f, f^{-1}$ ). Las autoaplicaciones holomorfas del disco son $1$ -lipschitzianas para la métrica hiperbólica $\frac{2\abs{\dd z}}{1 - \abs z^2}$ ; los automorfismos son sus isometrías.

Ejercicio 18.4 ★★

Hállense equivalencias conformes explícitas: (a) la banda $\{0 < \operatorname{Im}z < \pi\} \to \mathbb H$ ; (b) el cuadrante $\{\operatorname{Re}z > 0, \operatorname{Im}z > 0\} \to \mathbb H$ ; (c) el semidisco $\mathbb D\cap\mathbb H \to$ a un cuadrante, y después $\to \mathbb H$ ; (d) $\mathbb D \to \mathbb D$ que lleve $\frac12$ a $0$ con derivada positiva allí.

Solución

Solución de Ejercicio 18.4.

(a) $z \mapsto \eu^z$ : lleva $\{0 < \operatorname{Im}z < \pi\}$ biyectivamente sobre $\mathbb H$ ( $\eu^{x+\iu y} = \eu^x\eu^{\iu y}$ : módulo libre, argumento $y \in \intoo0\pi$ ), es holomorfa con derivada no nula e inversa holomorfa (el $\log$ principal). (b) $z \mapsto z^2$ duplica los argumentos: el cuadrante abierto $\{0 < \arg z < \frac\pi2\}$ va conformemente sobre $\mathbb H$ (inversa: raíz cuadrada principal). (c) $z \mapsto \frac{1 + z}{1 - z}$ lleva $\mathbb D$ sobre el semiplano derecho y conserva la simetría superior/inferior: envía el semidisco superior sobre el primer cuadrante; después elévese al cuadrado, por (b), para llegar a $\mathbb H$ : $z \mapsto \bigl(\frac{1 + z}{1 - z}\bigr)^2$ . (d) El factor de Blaschke $\varphi_{1/2}(z) = \frac{z - \frac12}{1 - \frac z2}$ : $\varphi_{1/2}(\tfrac12) = 0$ y $\varphi_{1/2}'(\tfrac12) = \frac{1 - \frac14}{(1 - \frac14)^2} = \frac43 > 0$ .

Ejercicio 18.5 ★★

(a) Demuéstrese que no existe ninguna aplicación conforme $\C \to \mathbb D$ ni $\C \to \mathbb H$ , ni ninguna $\mathbb D \to \C$ . (b) ¿Cuáles de los siguientes son conformemente equivalentes a $\mathbb D$ ? Justifíquese mediante el Teorema 18.9 o exhibiendo una obstrucción: un cuadrado; $\C\setminus\intoc{-\infty}0$ ; $\mathbb D\setminus\{0\}$ ; $\{1 < \abs z < 2\}$ . (Para los dos últimos: una imagen conforme del disco punteado se extendería sobre el punto quitado por el Teorema 17.4(1) — desarróllese esto.)

Solución

Solución de Ejercicio 18.5.

(a) Una $\C \to \mathbb D$ conforme (o $\mathbb H$ , tras componer con Cayley) es una función entera acotada: constante por Liouville — no biyectiva. Una $\mathbb D \to \C$ conforme tendría inversa conforme $\C \to \mathbb D$ : la misma contradicción.

(b) El cuadrado es convexo, luego simplemente conexo, y propio: conformemente $\mathbb D$ (el Teorema 18.9). El plano hendido $\C\setminus\intoc{-\infty}0$ es estrellado respecto de $1$ (los segmentos desde $1$ evitan el corte), luego simplemente conexo, y propio: conformemente $\mathbb D$ . El disco punteado: si $g \colon \mathbb D\setminus\{0\} \to \mathbb D$ fuera conforme, $g$ está acotada, de modo que $0$ es evitable (el Teorema 17.4): $g$ se extiende a $\tilde g \colon \mathbb D \to \mathbb D$ , y $\tilde g(0)$ , al estar en la imagen abierta $g(\mathbb D\setminus\{0\}) = \mathbb D$ , es también $g(w)$ para cierto $w \neq 0$ ; dos entornos disjuntos de $0$ y $w$ tienen imágenes abiertas que comparten el valor $\tilde g(0)$ , luego comparten otros valores también (abiertos): $g$ toma algún valor dos veces en $\mathbb D\setminus\{0\}$ — en contra de la inyectividad. La corona $A = \{1 < \abs z < 2\}$ : supóngase $F \colon \mathbb D \to A$ conforme. $F$ no tiene ceros en el simplemente conexo $\mathbb D$ , de modo que $F = \eu^L$ con $L$ holomorfa (la Definición 18.8). Sea $\sigma$ la circunferencia $\abs z = \frac32$ contenida en $A$ y $\gamma = F^{-1}\circ\sigma$ , un camino cerrado en $\mathbb D$ ; entonces

1 = \operatorname{Ind}_\sigma(0) = \frac1{2\iu\pi}\int_{F\circ\gamma}\frac{\dd w}{w} = \frac1{2\iu\pi}\int_\gamma\frac{F'}{F} = \frac1{2\iu\pi}\int_\gamma L' = 0

( $L'$ tiene primitiva): contradicción. Ni el disco punteado ni la corona son un disco disfrazado.

Ejercicio 18.6 ★★

Sea $\mathcal F = \{f \in \mathcal H(\mathbb D) : f(0) = 1,\ \operatorname{Re}f > 0\}$ . (a) Demuéstrese que $\mathcal F$ está localmente acotada. (Compóngase con la aplicación de tipo Cayley $w \mapsto \frac{w - 1}{w + 1}$ que lleva el semiplano derecho a $\mathbb D$ , y aplíquese Schwarz.) (b) Dedúzcase la cota de Herglotz: $\abs{f(z)} \leq \frac{1 + \abs z}{1 - \abs z}$ para $f \in \mathcal F$ , con sus casos de igualdad.

Solución

Solución de Ejercicio 18.6.

(a) $T(w) = \frac{w - 1}{w + 1}$ lleva $\{\operatorname{Re}w > 0\}$ conformemente sobre $\mathbb D$ (Cayley rotada: $\abs{w - 1} < \abs{w + 1}$ si y solo si $\operatorname{Re}w > 0$ ), con $T(1) = 0$ . Para $f \in \mathcal F$ , $g = T\circ f\colon \mathbb D \to \mathbb D$ es holomorfa con $g(0) = 0$ : Schwarz da $\abs{g(z)} \leq \abs z$ .

(b) Invirtiendo $T$ : $f = \frac{1 + g}{1 - g}$ , de modo que

\abs{f(z)} \leq \frac{1 + \abs{g(z)}}{1 - \abs{g(z)}} \leq \frac{1 + \abs z}{1 - \abs z} :

localmente acotada (uniformemente en $\abs z \leq r < 1$ ). La igualdad en $z_0 \neq 0$ obliga a $\abs{g(z_0)} = \abs{z_0}$ y al alineamiento: $g$ es una rotación, es decir, $f(z) = \frac{1 + \eu^{\iu\theta}z}{1 - \eu^{\iu\theta}z}$ — los extremales de Herglotz, aplicaciones conformes sobre el semiplano derecho.

Ejercicio 18.7 ★★★

¿Dónde usa la demostración del Teorema 18.9 cada hipótesis? Sígase la pista de: (i) la conexión simple (dos veces); (ii) $\Omega \neq \C$ ; (iii) la conexión. Demuéstrese después que el teorema falla para $\Omega = \C$ y para la corona, señalando qué paso de la demostración se rompe en cada caso.

Solución

Solución de Ejercicio 18.7.

(i) La conexión simple interviene exactamente dos veces, a través de la existencia de raíces cuadradas holomorfas de funciones sin ceros (la Definición 18.8): en el Paso 0 (la raíz de $z - b$ ) y en el Paso 2 (la raíz de $\varphi_a\circ f$ ). (ii) $\Omega \neq \C$ proporciona el punto $b$ del Paso 0 — sin él, la familia $\mathcal F$ carece de aplicaciones acotadas inyectivas (Liouville). (iii) La conexión se usa siempre que hablan el principio de identidad o Hurwitz (el Ejercicio 17.8): el límite extremal es «inyectivo o constante», y la constancia queda excluida por $s > 0$ ; también en «derivada nula implica constante». Fallo para $\C$ : el Paso 0 es imposible, y la conclusión es falsa (el Ejercicio 18.5(a)). Fallo para la corona: no es simplemente conexa — la construcción de la raíz cuadrada se rompe (por ejemplo, la propia $z$ , sin ceros en $A$ , no tiene raíz cuadrada holomorfa: el mismo cálculo de índice que en el Ejercicio 18.5(b) con $\frac12\int_\sigma\frac{\dd z}z \notin 2\iu\pi\Z$ ) — y la conclusión también es falsa.

Ejercicio 18.8 ★★

Resuélvase el problema de Dirichlet en $\mathbb D$ para los datos frontera: (a) $g(\eu^{\iu t}) = \cos t$ ; (b) $g(\eu^{\iu t}) = \cos^2 t$ ; (c) $g = \mathbf 1_{\text{semicircunferencia superior}}$ — para (c), calcúlese $u(0)$ e interprétese vía la propiedad del valor medio. (Desarróllese $g$ en serie de Fourier y úsese la serie de $P_r$ : $u(r\eu^{\iu\varphi}) = \sum_n c_n(g) r^{\abs n}\eu^{\iu n\varphi}$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 18.8.

Sustituyendo el desarrollo de Fourier de $g$ en la integral de Poisson y usando $\frac1{2\pi}\int P_r(\varphi - t)\eu^{\iu nt}\dd t = r^{\abs n}\eu^{\iu n\varphi}$ (léase en la serie de $P_r$ ): $u(r\eu^{\iu\varphi}) = \sum_nc_n(g)\,r^{\abs n}\eu^{\iu n\varphi}$ , con el intercambio justificado por la convergencia normal ( $\abs{c_n} \leq \norm g_\infty$ , $r < 1$ ).

(a) $g = \cos t$ : $c_{\pm1} = \frac12$ , de modo que $u = r\cos\varphi = \operatorname{Re}z = x$ — en efecto armónica y con los valores frontera correctos.

(b) $\cos^2t = \frac12 + \frac{\cos 2t}2$ : $u = \frac12 + \frac{r^2\cos2\varphi}2 = \frac12 + \frac{\operatorname{Re}(z^2)}2 = \frac12 + \frac{x^2 - y^2}{2}$ .

(c) $g = \mathbf 1_{(0,\pi)}$ (semicircunferencia superior): $c_0 = \frac12$ y $c_n = \frac{1 - (-1)^n}{2\iu\pi n}$ para $n \neq 0$ , de modo que

u(r\eu^{\iu\varphi}) = \frac12 + \frac2\pi\sum_{k\geq0} \frac{r^{2k+1}\sin\bigl((2k+1)\varphi\bigr)}{2k + 1}, \qquad u(0) = \frac12 :

el centro ve exactamente el promedio de los datos frontera — la propiedad del valor medio en persona.

Ejercicio 18.9 ★★★

(Harnack) Sea $u \geq 0$ armónica en $\mathbb D$ . Demuéstrese, para $\abs z = r < 1$ :

\frac{1 - r}{1 + r}\,u(0) \;\leq\; u(z) \;\leq\; \frac{1 + r}{1 - r}\,u(0)

(acótese el núcleo de Poisson entre $\frac{1-r}{1+r}$ y $\frac{1+r}{1-r}$ ; aplíquese la representación en discos ligeramente menores y pásese al límite). Dedúzcase: una función armónica en $\C$ acotada inferiormente es constante.

Solución

Solución de Ejercicio 18.9.

A partir de $(1-r)^2 \leq 1 - 2r\cos\theta + r^2 \leq (1+r)^2$ :

\frac{1-r}{1+r} = \frac{1 - r^2}{(1+r)^2} \leq P_r(\theta) \leq \frac{1 - r^2}{(1 - r)^2} = \frac{1+r}{1-r} .

Para $u \geq 0$ armónica en $\mathbb D$ y $s < 1$ : $u_s(z) = u(sz)$ es armónica en un entorno de $\bar{\mathbb D}$ , luego coincide con su integral de Poisson (el Teorema 18.12, unicidad, aplicado a sus propios valores frontera); encajonando el núcleo y usando el valor medio $\frac1{2\pi}\int u_s(\eu^{\iu t})\dd t = u(0)$ :

\frac{1-r}{1+r}\,u(0) \leq u(s\,r\eu^{\iu\varphi}) \leq \frac{1+r}{1-r}\,u(0).

Hágase $s \to 1^-$ con $r\eu^{\iu\varphi}$ fijo (continuidad de $u$ ): las desigualdades de Harnack. Si $u$ es armónica en $\C$ con $u \geq m$ : aplíquese Harnack a $u - m$ en discos $D(0, R)$ , es decir, a $z \mapsto u(Rz) - m$ : para $z$ fijo y $r = \abs z/R \to 0$ , ambas cotas tienden a $u(0) - m$ : $u(z) = u(0)$ — constante (un Liouville bilátero a partir de una cota unilátera).

Ejercicio 18.10 ★★

Usando la invariancia conforme de la armonicidad ( $u\circ f$ es armónica cuando $u$ es armónica y $f$ es holomorfa — demuéstrese localmente vía la Proposición 18.11), resuélvase el problema de Dirichlet en el semiplano superior con datos frontera $\mathbf 1_{\intoo{-\infty}0}$ : demuéstrese que

u(x + \iu y) = \frac1\pi\,\arg(x + \iu y) \qquad (\arg \in \intoo0\pi \text{ en } \mathbb H)

es armónica en $\mathbb H$ (parte imaginaria de un logaritmo holomorfo) con los límites frontera requeridos en todo $x \neq 0$ , y transpórtese al disco por Cayley para volver a deducir Ejercicio 18.8(c).

Solución

Solución de Ejercicio 18.10.

Localmente, $u = \operatorname{Re}F$ con $F$ holomorfa (la Proposición 18.11), de modo que $u\circ f = \operatorname{Re}(F\circ f)$ es armónica donde esté definida: la armonicidad es conformemente invariante. En $\mathbb H$ : el logaritmo principal da $\log z = \ln\abs z + \iu\arg z$ holomorfa en $\mathbb H$ , de modo que $u = \frac1\pi\arg z = \operatorname{Im}\bigl(\frac1\pi\log z\bigr)$ es armónica, con límites frontera: para $x > 0$ , $\arg \to 0$ , $u \to 0$ ; para $x < 0$ , $\arg \to \pi$ , $u \to 1$ : los datos $\mathbf 1_{\intoo{-\infty}0}$ en todo $x \neq 0$ . Transportándola por la transformación de Cayley (que envía $\mathbb D \to \mathbb H$ tras una inversión y hace corresponder la semicircunferencia superior con el semieje negativo, salvo la rotación que se fija siguiendo tres puntos frontera), $u\circ(\text{Cayley})$ resuelve el problema en el disco del Ejercicio 18.8(c); evaluando en el centro se recupera allí $u = \frac12$ , y la forma cerrada $\frac1\pi\arg$ puede contrastarse con la serie sumando identidades de tipo $\sum\frac{r^{2k+1}\sin((2k+1)\varphi)}{2k+1} = \frac12\arctan\frac{2r\sin\varphi}{1 - r^2}$ — la vía elemental hacia la misma respuesta.

Ejercicio 18.11 ★★

(Puntos fijos e iteración en el disco) Sea $f\colon\mathbb D \to \mathbb D$ holomorfa. (a) Demuéstrese que si $f$ tiene dos puntos fijos distintos, entonces $f = \mathrm{id}$ (llévese uno a $0$ mediante un automorfismo y aplíquese el caso de igualdad de Schwarz). (b) Supóngase $f(0) = 0$ y que $f$ no es una rotación. Demuéstrese que las iteradas $f^{\circ n} \to 0$ uniformemente en todo compacto $\bar D(0, r)$ , $r < 1$ (Schwarz da $\abs{f(z)} \leq c_r\abs z$ en $\bar D(0,r)$ con $c_r < 1$ — justifíquese esta constante estricta mediante el principio del máximo aplicado a $f(z)/z$ ). (c) Ilústrese con $f(z) = \frac{z^2 + z}2$ : puntos fijos y velocidad de convergencia de la órbita de $z_0 = \frac12$ .

Solución

Solución de Ejercicio 18.11.

(a) Sea $a \neq b$ fijo. Conjugando por $\varphi_a(z) = \frac{z - a}{1 - \bar az}$ (un automorfismo que intercambia $a$ y $0$ ), $g = \varphi_a\circ f\circ\varphi_a^{-1}$ fija $0$ y el punto $c = \varphi_a(b) \neq 0$ . Schwarz: $\abs{g(z)} \leq \abs z$ , y en $z = c$ se da la igualdad ( $g(c) = c$ ): el caso de igualdad obliga a $g(z) = \lambda z$ con $\abs\lambda = 1$ , y $\lambda c = c$ da $\lambda = 1$ : $g = \mathrm{id}$ , luego $f = \mathrm{id}$ .

(b) $h(z) = f(z)/z$ (singularidad evitable en $0$ ) es holomorfa en $\mathbb D$ con $\abs h \leq 1$ (Schwarz); $\abs h < 1$ en todas partes, pues en caso contrario el principio del máximo (máximo interior de $\abs h$ ) haría de $h$ una constante unimodular, es decir, de $f$ una rotación — excluido. En el compacto $\bar D(0,r)$ , $c_r = \max\abs h < 1$ , de modo que allí $\abs{f(z)} \leq c_r\abs z$ ; además, $f$ lleva $\bar D(0,r)$ dentro de sí mismo ( $c_r\abs z \leq r$ ), de modo que la cota itera: $\abs{f^{\circ n}(z)} \leq c_r^n\,r \to 0$ uniformemente en $\bar D(0, r)$ .

(c) Puntos fijos de $\frac{z^2 + z}2$ : $z^2 + z = 2z$ si y solo si $z(z - 1) = 0$ ; solo $z = 0$ está en $\mathbb D$ ( $z = 1$ está en la frontera). No es una rotación ( $f'(0) = \frac12$ ), de modo que las órbitas tienden a $0$ ; cuantitativamente, $f(z) = \frac z2(1 + z)$ da $\abs{f(z)} \leq \frac{3}{4}\abs z$ en $\abs z \leq \frac12$ y, una vez que la órbita es pequeña, $\abs{f(z)} \approx \frac{\abs z}2$ : asintóticamente geométrica de razón $f'(0) = \frac12$ . A partir de $z_0 = \frac12$ : $z_1 = \frac38$ , $z_2 \approx 0.258$ , $z_3 \approx 0.162$ — se reduce a la mitad en cada paso, como predice el multiplicador.

Ejercicio 18.12 ★★

(Conjugadas armónicas, en concreto) Sea $u(x, y) = x^3 - 3xy^2 + 2y$ . (a) Compruébese que $u$ es armónica en $\R^2$ y hállense todas las conjugadas armónicas $v$ (es decir, $u + \iu v$ holomorfa) integrando las ecuaciones de Cauchy–Riemann; identifíquese $f(z) = u + \iu v$ como polinomio en $z$ . (b) Demuéstrese que en un abierto estrellado toda función armónica admite una conjugada armónica, única salvo constante aditiva (la $1$ -forma $-u_y\,\dd x + u_x\,\dd y$ es cerrada; la maquinaria de primitivas del Teorema 16.8, o el lema de Poincaré del Capítulo 21). (c) Dese el contraejemplo estándar en $\C^*$ : $u = \ln\abs z$ no tiene conjugada global — relaciónese con la forma angular y el índice (Capítulo 21).

Solución

Solución de Ejercicio 18.12.

(a) $\Delta u = 6x - 6x + 0 = 0$ . Cauchy–Riemann exige $v_y = u_x = 3x^2 - 3y^2$ y $v_x = -u_y = 6xy - 2$ . Integrando la primera en $y$ : $v = 3x^2y - y^3 + c(x)$ ; sustituyendo en la segunda: $6xy + c'(x) = 6xy - 2$ , de modo que $c(x) = -2x + C$ . Así, $v = 3x^2y - y^3 - 2x + C$ y

f = u + \iu v = (x^3 - 3xy^2) + \iu(3x^2y - y^3) + 2y - 2\iu x + \iu C = z^3 - 2\iu z + \iu C .

(b) La forma $\omega = -u_y\,\dd x + u_x\,\dd y$ es cerrada precisamente porque $\Delta u = 0$ ( $\partial_y(-u_y) = -u_{yy} = u_{xx} = \partial_x(u_x)$ ). En un abierto estrellado, el lema de Poincaré (el Teorema 21.15; o la construcción de primitivas del Teorema 16.8 aplicada a la holomorfa $u_x - \iu u_y$ ) proporciona $v$ con $\dd v = \omega$ , es decir, el sistema de Cauchy–Riemann: $u + \iu v$ es holomorfa. Dos conjugadas difieren en una función de gradiente nulo: una constante (conexión).

(c) Para $u = \ln\abs z$ en $\C^*$ : $\omega = -u_y\dd x + u_x\dd y = \frac{-y\,\dd x + x\,\dd y}{x^2 + y^2} = \omega_\theta$ , la forma angular (el Ejemplo 21.14), cuya integral a lo largo de la circunferencia unidad vale $2\pi \neq 0$ : no es exacta, de modo que no existe conjugada global — una conjugada sería una determinación continua del argumento, y el índice es exactamente la obstrucción. Localmente (en cualquier subdominio estrellado) sirve $v = \arg z$ y $u + \iu v = \log z$ : el fallo es global, no local.

18.7 Problema: el teorema del área y el teorema del cuarto de Koebe

Problema 18.1

Problema de fin de semana — ¿cuánto ha de cubrir una aplicación univalente?

Una función univalente es una inyección holomorfa. Las funciones univalentes normalizadas en el disco,

\mathcal S = \bigl\{f \in \mathcal H(\mathbb D) \text{ injective},\ f(z) = z + a_2z^2 + a_3z^3 + \cdots\bigr\},

están rígidamente constreñidas: demostraremos la desigualdad de Bieberbach $\abs{a_2} \leq 2$ y deduciremos el teorema del cuarto de Koebe: la imagen de cualquier $f \in \mathcal S$ contiene el disco $D(0, \frac14)$ — la constante universal óptima de la geometría conforme.

Parte I — El teorema del área. Sea $g(w) = w + b_0 + \frac{b_1}w + \frac{b_2}{w^2} + \cdots$ holomorfa e inyectiva en $\{\abs w > 1\}$ .

Para $\rho > 1$ , sea $A_\rho$ el área (medida de Lebesgue) del compacto $K_\rho = \C\setminus g(\{\abs w > \rho\})$ , la región encerrada por la curva de Jordan regular $g(C_\rho)$ . Usando la fórmula del área del teorema de Green–Riemann del volumen de segundo año — el área encerrada es $\frac1{2\iu} \oint\bar\zeta\,\dd\zeta$ a lo largo de la frontera orientada positivamente —, demuéstrese que

$A_\rho = \frac{1}{2\iu}\int_{C_\rho} \overline{g(w)}\,g'(w)\,\dd w = \pi\Bigl(\rho^2 - \sum_{n\geq1}n\,\abs{b_n}^2\rho^{-2n}\Bigr) :$

sustitúyanse las series de Laurent de $\bar g$ y $g'$ en $C_\rho$ e intégrese término a término (convergencia normal; solo sobreviven los productos de frecuencia cero).
Hágase $\rho \to 1^+$ y conclúyase el teorema del área:

$\sum_{n\geq1}n\,\abs{b_n}^2 \;\leq\; 1 .$

En particular, $\abs{b_1} \leq 1$ . ¿Cuándo se da $\abs{b_1} = 1$ ?

Parte II — El $\abs{a_2} \leq 2$ de Bieberbach. Sea $f = z + a_2z^2 + \cdots \in \mathcal S$ .

Demuéstrese que $f(z^2)/z^2$ es holomorfa y sin ceros en $\mathbb D$ , y admite una raíz cuadrada holomorfa $\varphi$ con $\varphi(0) = 1$ ; póngase $h(z) = z\varphi(z^2)$ , de modo que $h(z)^2 = f(z^2)$ . Demuéstrese que $h$ es una función univalente impar en $\mathbb D$ con desarrollo $h(z) = z + \frac{a_2}2z^3 + \cdots$ . (Inyectividad: $h(z)^2 = h(z')^2$ obliga a $z^2 = z'^2$ ; termínese usando la imparidad.)
Aplíquese el teorema del área a $g(w) = 1/h(1/w) = w - \frac{a_2}{2w} + \cdots$ en $\{\abs w > 1\}$ (verifíquense la univalencia y el desarrollo) y conclúyase $\abs{a_2} \leq 2$ .
Demuéstrese que la función de Koebe

$k(z) = \frac{z}{(1 - z)^2} = \sum_{n\geq1}n\,z^n$

pertenece a $\mathcal S$ , tiene $a_2 = 2$ y lleva $\mathbb D$ sobre $\C\setminus\intoc{-\infty}{-\frac14}$ (escríbase $k = \frac14\bigl[\bigl(\frac{1+z}{1 - z}\bigr)^2 - 1\bigr]$ y sígase el rastro de las imágenes): todas las desigualdades que siguen son óptimas.

Parte III — El teorema del cuarto.

Sean $f \in \mathcal S$ y $c \notin f(\mathbb D)$ . Demuéstrese que

$F(z) = \frac{c\,f(z)}{c - f(z)}$

pertenece a $\mathcal S$ , y calcúlese su segundo coeficiente: $A_2 = a_2 + \frac1c$ .
Aplíquese Bieberbach a $f$ y a $F$ : conclúyase $\abs{\frac1c} \leq \abs{A_2} + \abs{a_2} \leq 4$ , es decir, $\abs c \geq \frac14$ . Todo valor omitido tiene módulo $\geq \frac14$ : $f(\mathbb D) \supseteq D(0, \frac14)$ — el teorema del cuarto de Koebe. Compruébese la optimalidad en la función de Koebe.
Dedúzcase una estimación cuantitativa para la aplicación de Riemann: si $\varphi \colon \Omega \to \mathbb D$ es la aplicación de Riemann del Teorema 18.9 en $z_0$ , entonces

$\frac{d\bigl(z_0, \partial\Omega\bigr)}{4} \;\leq\; \frac1{\varphi'(z_0)} \;\leq\; 4\,d\bigl(z_0, \partial\Omega\bigr)$

— demuéstrese al menos la desigualdad izquierda aplicando Koebe a $\varphi^{-1}$ convenientemente normalizada, y la derecha aplicando Schwarz a $\varphi$ en el disco $D(z_0, d) \subseteq \Omega$ .

Parte IV — Perspectiva.

Bieberbach conjeturó (1916) que $\abs{a_n} \leq n$ para todo $n$ , con igualdad solo para las rotaciones de la función de Koebe; de Branges lo demostró en 1985. Verifíquese la conjetura a mano para la función de Koebe y sus rotaciones $\eu^{-\iu\theta}k(\eu^{\iu\theta}z)$ . Llévese después el desarrollo de la pregunta 4 un término más allá: escribiendo $h(z) = z + \frac{a_2}2z^3 + c_5z^5 + \cdots$ , demuéstrese $c_5 = \frac{a_3}2 - \frac{a_2^2}8$ y

$g(w) = w - \frac{a_2}{2}\,w^{-1} + \Bigl(\frac{3a_2^2}8 - \frac{a_3}2\Bigr)w^{-3} + \cdots ,$

de modo que el teorema del área produce la desigualdad afinada $\bigl|\frac{a_2}2\bigr|^2 + 3\bigl|\frac{3a_2^2}8 - \frac{a_3}2\bigr|^2 \leq 1$ . Compruébese en la función de Koebe ( $a_2 = 2$ , $a_3 = 3$ ).

Parte V — El teorema de distorsión. La desigualdad de Bieberbach, transportada por los automorfismos a todo el disco, controla $f'$ en todas partes. Fíjese $f \in \mathcal S$ .

(Transformada de Koebe) Para $z_0 \in \mathbb D$ , sea $\varphi(z) = \frac{z + z_0}{1 + \bar z_0z}$ , un automorfismo del disco (el Teorema 18.5) con $\varphi(0) = z_0$ . Demuéstrese que

$F(z) = \frac{f(\varphi(z)) - f(z_0)} {f'(z_0)\,\bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr)}$

pertenece a $\mathcal S$ (la univalencia se hereda; calcúlese $\varphi'(0) = 1 - \abs{z_0}^2$ y compruébese la normalización; recuérdese $f' \neq 0$ para $f$ inyectiva, Definición 18.1).
Calcúlese el segundo coeficiente $A_2 = \frac12F''(0)$ de $F$ :

$A_2 = \frac12\Bigl[\bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr) \frac{f''(z_0)}{f'(z_0)} - 2\bar z_0\Bigr] ,$

y dedúzcase de Bieberbach (pregunta 4), para $z = r\eu^{\iu\theta}$ , la desigualdad fundamental:

$\Bigl|\,z\,\frac{f''(z)}{f'(z)} - \frac{2r^2}{1 - r^2}\Bigr| \;\leq\; \frac{4r}{1 - r^2} .$
Extráigase la parte real:

$\frac{2r^2 - 4r}{1 - r^2} \;\leq\; \operatorname{Re}\Bigl(z\,\frac{f''(z)}{f'(z)}\Bigr) \;\leq\; \frac{2r^2 + 4r}{1 - r^2} .$
Demuéstrese que $\frac{\dd}{\dd t}\log\bigl| f'(t\eu^{\iu\theta})\bigr| = \frac1t \operatorname{Re}\bigl(z\frac{f''(z)}{f'(z)}\bigr)$ en $z = t\eu^{\iu\theta}$ (para una función $\mathcal C^1$ no nula $g$ de variable real, $\frac{\dd}{\dd t}\log\abs g = \operatorname{Re}(g'/g)$ ), e intégrense las cotas de la pregunta 12 a lo largo del radio para obtener el teorema de distorsión:

$\frac{1 - r}{(1 + r)^3} \;\leq\; \abs{f'(z)} \;\leq\; \frac{1 + r}{(1 - r)^3}, \qquad \abs z = r .$
Dedúzcase el teorema de crecimiento:

$\frac{r}{(1 + r)^2} \;\leq\; \abs{f(z)} \;\leq\; \frac{r}{(1 - r)^2}, \qquad \abs z = r$

(cota superior: intégrese $f'$ en el segmento $[0, z]$ ; cota inferior: si $\abs{f(z)} < \frac14$ , el segmento $[0, f(z)]$ está contenido en $f(\mathbb D)$ por la pregunta 7; tírese de él hacia atrás por $f^{-1}$ — holomorfa por el Corolario 17.10 — y acótese $\abs{f(z)} = \int_\gamma\abs{f'(\zeta)} \,\abs{\dd\zeta} \geq \int_0^r\frac{1 - t}{(1 + t)^3}\,\dd t$ , usando $\abs{\dd\zeta} \geq \dd\abs\zeta$ ).
Verifíquese que la función de Koebe alcanza la igualdad en las cuatro cotas, en $z = r$ para las superiores y en $z = -r$ para las inferiores: $k$ es simultáneamente el miembro más dilatador de $\mathcal S$ y, en el antípoda, el más contractivo.

Parte VI — Rigidez extremal. En todas las desigualdades vistas hasta ahora, la igualdad identifica la función de Koebe salvo rotación. Vamos a demostrarlo y luego a cosechar.

Supóngase que $f \in \mathcal S$ tiene $\abs{a_2} = 2$ . Persíguese la igualdad a través de las preguntas 2–4: el teorema del área obliga a $g(w) = w + b_0 + \eu^{\iu\alpha}/w$ ; la imparidad de $h$ hace $g$ impar, de modo que $b_0 = 0$ ; inviértase para hallar $h$ y después $f$ , y conclúyase que

$f(z) = \eu^{-\iu\theta}k\bigl(\eu^{\iu\theta}z\bigr) \quad\text{con } \eu^{\iu\theta} = -\eu^{\iu\alpha} :$

las rotaciones de la función de Koebe son los únicos miembros de $\mathcal S$ con $\abs{a_2} = 2$ .
Demuéstrese que si $f \in \mathcal S$ omite un valor $c$ con $\abs c = \frac14$ exactamente, entonces $f$ es una rotación de la función de Koebe, e identifíquese $c = -\eu^{-\iu\theta}/4$ (síganse las igualdades por la cadena $4 = \abs{1/c} = \abs{A_2 - a_2} \leq \abs{A_2} + \abs{a_2} \leq 4$ de la pregunta 7): la constante del teorema del cuarto solo se alcanza en la familia extremal.
(Coeficientes a bajo precio) Combínese el teorema de crecimiento con las estimaciones de Cauchy (el Teorema 16.10) en la circunferencia $\abs z = 1 - \frac1n$ para demostrar

$\abs{a_n} \;\leq\; \eu\,n^2 \qquad (n \geq 2) .$

(De Branges, 1985: $\abs{a_n} \leq n$ ; el factor $\eu n$ es el precio de las herramientas elementales.)
(Recubrimiento de subdiscos) Demuéstrese que para todo $0 < r < 1$ ,

$f\bigl(D(0, r)\bigr) \supseteq D\Bigl(0, \frac{r}{(1 + r)^2}\Bigr),$

óptimo para la función de Koebe, y recupérese el teorema del cuarto como $r \to 1^-$ . (Los puntos frontera de la imagen abierta $f(D(0,r))$ están en $f(\partial D(0,r))$ , luego tienen módulo $\geq \frac{r}{(1+r)^2}$ por la pregunta 14; un segmento de $0$ a un punto omitido de módulo menor tendría que cruzar esa frontera.)
(Koebe en todo punto) Sea $f$ univalente en $\mathbb D$ , no necesariamente normalizada, y $z_0 \in \mathbb D$ . Demuéstrese

$\tfrac14\bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr)\abs{f'(z_0)} \;\leq\; d\bigl(f(z_0), \partial f(\mathbb D)\bigr) \;\leq\; \bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr)\abs{f'(z_0)}$

(izquierda: teorema del cuarto aplicado a la transformada de Koebe de la pregunta 10; derecha: Schwarz (el Teorema 18.4) aplicado a $\psi^{-1}\circ\hat g$ , donde $\hat g(w) = f^{-1}\bigl(f(z_0) + dw\bigr)$ , siendo $d$ la distancia y $\psi$ un automorfismo del disco que lleva $0$ a $z_0$ ). ¿Por qué no es vacío $\partial f(\mathbb D)$ ?
Compruébese la pregunta 20 en $f = k$ en $z_0 = r \in \intoo01$ : calcúlese $d\bigl(k(r), \partial k(\mathbb D)\bigr) = \frac{(1+r)^2}{4(1-r)^2}$ y verifíquese que la desigualdad izquierda es una igualdad: la función de Koebe satura su propio teorema en todo punto de $\intoo01$ .
(La moraleja) En diez líneas: ¿qué principio único subyace al teorema del área, y cómo brotan de él Bieberbach, el teorema del cuarto, la distorsión, el crecimiento y el recubrimiento? Compárese con el mundo de Schwarz–Pick del Teorema 18.4: en ambos, una sola desigualdad interior rigidifica toda la geometría, y los extremales son únicos salvo rotación.

Parte VII — Compacidad, inversas y una comprobación con la realidad.

Demuéstrese que la clase $\mathcal S$ es compacta para la convergencia localmente uniforme: está localmente acotada por el teorema de crecimiento, luego es normal (el Teorema 18.7); y un límite localmente uniforme de miembros de $\mathcal S$ vuelve a estar en $\mathcal S$ (las normalizaciones pasan al límite por la convergencia de Weierstrass de las derivadas; la inyectividad sobrevive por Hurwitz, el Ejercicio 17.8, al no ser constante el límite). ¿Por qué importa esto para problemas extremales como el de Bieberbach?
Para $f \in \mathcal S$ , sea $g = f^{-1}$ , definida cerca de $0$ . Demuéstrese que $g(w) = w - a_2w^2 + O(w^3)$ , de modo que el segundo coeficiente de la inversa obedece la misma cota óptima $\abs{A_2} = \abs{a_2} \leq 2$ , con igualdad exactamente para las funciones de Koebe rotadas.
Determínese para qué $a \in \C$ el polinomio $f(z) = z + az^2$ pertenece a $\mathcal S$ : demuéstrese que $f$ es inyectivo en $\mathbb D$ si y solo si $\abs a \leq \frac12$ (factorícese $f(z_1) - f(z_2)$ ). Conclúyase: para los polinomios de grado dos, la cota verdadera de los coeficientes es $\frac12$ , cuatro veces menor que el $2$ de Bieberbach — los extremales de $\mathcal S$ son objetos genuinamente trascendentes, y ningún polinomio se les acerca.

Solución

Solución de Problema 18.1.

1. $g$ es inyectiva y holomorfa; en $C_\rho$ ( $\rho > 1$ ) es regular, y el área encerrada es $\frac1{2\iu}\oint_{g(C_\rho)}\bar\zeta\,\dd\zeta$ (la fórmula del área de Green–Riemann de segundo año, aplicada con orientación positiva). Sustituyendo $\zeta = g(w)$ , $w = \rho\eu^{\iu\theta}$ :

A_\rho = \frac1{2\iu}\int_{C_\rho}\overline{g(w)}\,g'(w)\dd w = \frac\rho2\int_0^{2\pi}\overline{g(\rho\eu^{\iu\theta})} \,g'(\rho\eu^{\iu\theta})\,\eu^{\iu\theta}\,\dd\theta .

Insértense $\bar g = \rho\eu^{-\iu\theta} + \bar b_0 + \sum_m\bar b_m\rho^{-m}\eu^{\iu m\theta}$ y $g' = 1 - \sum_nnb_n\rho^{-n-1}\eu^{-\iu(n+1)\theta}$ : tras multiplicar por $\eu^{\iu\theta}$ , solo los productos de frecuencia cero sobreviven a la integración en $\theta$ (la convergencia normal justifica el trabajo término a término): el par $(\rho\eu^{-\iu\theta})\cdot1$ aporta $2\pi\rho$ , y cada par $\bar b_n\rho^{-n}\eu^{\iu n\theta}\cdot(-nb_n\rho^{-n-1}\eu^{-\iu(n+1)\theta})$ aporta $-2\pi n\abs{b_n}^2\rho^{-2n-1}$ :

A_\rho = \pi\rho^2 - \pi\sum_{n\geq1}n\abs{b_n}^2\rho^{-2n}.

2. Las áreas son no negativas: $\sum_{n\leq N}n\abs{b_n}^2\rho^{-2n} \leq \rho^2$ para todo $N$ ; hágase $\rho \to 1^+$ y después $N \to \infty$ : $\sum_{n\geq1}n\abs{b_n}^2 \leq 1$ . La igualdad en $\abs{b_1} \leq 1$ obliga a que todos los demás $b_n = 0$ : $g(w) = w + b_0 + \eu^{\iu\alpha}/w$ , que aplica sobre el complementario de un segmento de longitud $4$ (una aplicación de tipo Joukowski): los extremales.

3. $f(z)/z = 1 + a_2z + \cdots$ es holomorfa y sin ceros en $\mathbb D$ ( $f$ solo se anula en $0$ , y simplemente: inyectividad), luego también lo es $f(z^2)/z^2$ , que tiene una raíz cuadrada holomorfa $\varphi$ con $\varphi(0) = 1$ (la Definición 18.8; $\mathbb D$ es convexo). Entonces $h(z) = z\varphi(z^2)$ cumple $h^2 = f(z^2)$ , $h(z) = z\bigl(1 + \frac{a_2}2z^2 + \cdots\bigr)$ (serie binómica de la raíz), y $h(z) = z\varphi(z^2)$ es impar por construcción ( $\varphi(z^2)$ es par). Inyectividad: $h(z) = h(z')$ da $f(z^2) = f(z'^2)$ , de modo que $z^2 = z'^2$ , es decir, $z' = \pm z$ ; si $z' = -z$ , la imparidad da $h(z) = -h(z)$ , de modo que $h(z) = 0$ , lo que fuerza $z = 0$ ( $\varphi$ sin ceros): $z = z' = 0$ .

4. $g(w) = 1/h(1/w)$ : para $\abs w > 1$ , $1/w \in \mathbb D\setminus\{0\}$ y allí $h \neq 0$ : bien definida, inyectiva (composición de inyecciones), con desarrollo

g(w) = \frac{1}{\frac1w\bigl(1 + \frac{a_2}{2w^2} + \cdots\bigr)} = w\Bigl(1 - \frac{a_2}{2w^2} + \cdots\Bigr) = w - \frac{a_2}{2}\,w^{-1} + \cdots :

de la forma de la Parte I con $b_1 = -\frac{a_2}2$ . El teorema del área da $\abs{\frac{a_2}2} \leq 1$ : $\abs{a_2} \leq 2$ .

5. $k(z) = \frac z{(1-z)^2} = z\sum_{m\geq0}(m + 1)z^m = \sum_{n\geq1}nz^n$ : coeficientes $a_n = n$ , de modo que $a_2 = 2$ . Univalencia e imagen: $k = \frac14\bigl[w^2 - 1\bigr]$ con $w = \frac{1 + z}{1 - z}$ , una aplicación conforme de $\mathbb D$ sobre el semiplano derecho; $w^2$ lleva ese semiplano conformemente sobre $\C\setminus\intoc{-\infty}0$ ; después $\frac{\cdot - 1}4$ da $\C\setminus\intoc{-\infty}{-\frac14}$ : inyectiva en cada etapa, con la imagen anunciada.

6. $F = \frac{cf}{c - f}$ : como $c \notin f(\mathbb D)$ , el denominador no se anula nunca: $F$ es holomorfa e inyectiva ( $w \mapsto \frac{cw}{c - w}$ es de Möbius, inyectiva fuera de $w = c$ ). Desarrollo: con $f = z + a_2z^2 + \cdots$ ,

F = f\cdot\frac1{1 - f/c} = \bigl(z + a_2z^2\bigr)\Bigl(1 + \frac zc\Bigr) + O(z^3) = z + \Bigl(a_2 + \frac1c\Bigr)z^2 + O(z^3):

$F \in \mathcal S$ con $A_2 = a_2 + \frac1c$ .

7. Bieberbach dos veces: $\abs{a_2} \leq 2$ y $\abs{a_2 + \frac1c} \leq 2$ , de modo que $\abs{\frac1c} \leq 4$ : $\abs c \geq \frac14$ . Todo valor omitido queda fuera de $D(0,\frac14)$ , i.e. $f(\mathbb D) \supseteq D(0, \frac14)$ . Óptimo: la función de Koebe omite $-\frac14$ (pregunta 5).

8. Sean $d = d(z_0, \partial\Omega)$ y $\psi = \varphi^{-1} \colon \mathbb D \to \Omega$ , $\psi(0) = z_0$ , $\psi'(0) = 1/\varphi'(z_0) > 0$ . La normalización $\tilde f(z) = \frac{\psi(z) - z_0}{\psi'(0)}$ está en $\mathcal S$ , de modo que su imagen contiene $D(0, \frac14)$ ; deshaciendo la escala, $\Omega = \psi(\mathbb D) \supseteq D\bigl(z_0, \tfrac{\psi'(0)}4\bigr)$ , luego $d \geq \frac{\psi'(0)}4 = \frac1{4\varphi'(z_0)}$ : la desigualdad izquierda. Para la derecha: $\varphi\circ(z_0 + d\,\cdot)$ lleva $\mathbb D$ dentro de $\mathbb D$ con $0 \mapsto 0$ ; Schwarz acota su derivada en $0$ : $d\,\varphi'(z_0) \leq 1$ , es decir, $\frac1{\varphi'(z_0)} \geq d$ — y juntas

d \leq \frac1{\varphi'(z_0)} \leq 4d .

(La desigualdad izquierda tal como aparece en el enunciado es la misma cadena reordenada.)

9. Para la función de Koebe $a_n = n$ : igualdad en toda la conjetura; sus rotaciones $\eu^{-\iu\theta}k(\eu^{\iu\theta}z) = \sum n\eu^{\iu(n-1)\theta}z^n$ tienen también $\abs{a_n} = n$ . Llevando la pregunta 4 más lejos: $h = z + \frac{a_2}2z^3 + c_5z^5 + \cdots$ con $h^2 = f(z^2)$ ; comparando los coeficientes de $z^6$ : $2c_5 + \frac{a_2^2}4 = a_3$ , de modo que $c_5 = \frac{a_3}2 - \frac{a_2^2}8$ . Entonces

g(w) = \frac1{h(1/w)} = w\Bigl(1 - \frac{a_2}{2w^2} + \Bigl(\frac{a_2^2}4 - c_5\Bigr)\frac1{w^4} + \cdots\Bigr) = w - \frac{a_2}2w^{-1} + \Bigl(\frac{3a_2^2}8 - \frac{a_3}2\Bigr)w^{-3} + \cdots,

y el teorema del área ( $\sum n\abs{b_n}^2 \leq 1$ ) produce

\Bigl|\frac{a_2}2\Bigr|^2 + 3\,\Bigl|\frac{3a_2^2}8 - \frac{a_3}2\Bigr|^2 \leq 1 .

Comprobación con Koebe ( $a_2 = 2$ , $a_3 = 3$ ): $\abs{\frac{a_2}2}^2 = 1$ y $\frac{3\cdot4}8 - \frac32 = 0$ : total exactamente $1$ — extremal, como debía ser.

10. $\varphi$ es un automorfismo del disco con $\varphi(0) = z_0$ , de modo que $f\circ\varphi$ es univalente en $\mathbb D$ (composición de inyecciones), y $f'(z_0) \neq 0$ (la Definición 18.1): $F$ está bien definida y es univalente. $F(0) = 0$ . Regla del cociente:

\varphi'(z) = \frac{(1 + \bar z_0z) - (z + z_0)\bar z_0} {(1 + \bar z_0z)^2} = \frac{1 - \abs{z_0}^2}{(1 + \bar z_0z)^2}, \qquad \varphi'(0) = 1 - \abs{z_0}^2 ,

de modo que $(f\circ\varphi)'(0) = f'(z_0)(1 - \abs{z_0}^2)$ y $F'(0) = 1$ : $F \in \mathcal S$ .

11. Con $G = f\circ\varphi$ : $G'' = f''(\varphi)\,\varphi'^2 + f'(\varphi)\,\varphi''$ , y $\varphi''(z) = -2\bar z_0(1 - \abs{z_0}^2)(1 + \bar z_0z)^{-3}$ da $\varphi''(0) = -2\bar z_0(1 - \abs{z_0}^2)$ . Por tanto,

A_2 = \frac{G''(0)}{2f'(z_0)(1 - \abs{z_0}^2)} = \frac12\Bigl[\bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr) \frac{f''(z_0)}{f'(z_0)} - 2\bar z_0\Bigr] .

Bieberbach para $F$ (pregunta 4): $\abs{A_2} \leq 2$ , es decir, $\bigl|(1 - \abs{z_0}^2)\frac{f''(z_0)}{f'(z_0)} - 2\bar z_0\bigr| \leq 4$ . Multiplíquese todo por $z_0/(1 - \abs{z_0}^2)$ , cuyo módulo es $r/(1 - r^2)$ para $z_0 = r\eu^{\iu\theta}$ , y úsese $z_0\bar z_0 = r^2$ :

\Bigl|\,z_0\frac{f''(z_0)}{f'(z_0)} - \frac{2r^2}{1 - r^2}\Bigr| \leq \frac{4r}{1 - r^2} .

12. Un número complejo a distancia $\rho$ del punto real $c$ tiene parte real en $\intcc{c - \rho}{c + \rho}$ : aplíquese esto a $c = \frac{2r^2}{1-r^2}$ , $\rho = \frac{4r}{1-r^2}$ .

13. Para $\mathcal C^1$ $g$ no nula: $\log\abs g = \frac12\log(g\bar g)$ , de modo que $\frac{\dd}{\dd t}\log\abs g = \frac{g'\bar g + g\bar g'}{2\abs g^2} = \operatorname{Re}\frac{g'}g$ . Con $g(t) = f'(t\eu^{\iu\theta})$ (sin ceros: univalencia), $g'(t) = \eu^{\iu\theta}f''(t\eu^{\iu\theta})$ , de modo que en $z = t\eu^{\iu\theta}$ :

\frac{\dd}{\dd t}\log\bigl|f'(t\eu^{\iu\theta})\bigr| = \operatorname{Re}\Bigl(\eu^{\iu\theta} \frac{f''}{f'}\Bigr) = \frac1t\operatorname{Re}\Bigl(z\frac{f''}{f'}\Bigr) \in \Bigl[\frac{2t - 4}{1 - t^2},\ \frac{2t + 4}{1 - t^2}\Bigr]

por la pregunta 12 con radio $t$ . Como $\frac{\dd}{\dd t}\log\frac{1+t}{(1-t)^3} = \frac1{1+t} + \frac3{1-t} = \frac{2t+4}{1-t^2}$ y $\frac{\dd}{\dd t}\log\frac{1-t}{(1+t)^3} = \frac{-1}{1-t} - \frac3{1+t} = \frac{2t-4}{1-t^2}$ , integrando de $0$ a $r$ (las tres funciones se anulan en $t = 0$ , $f'(0) = 1$ ) se obtiene

\log\frac{1-r}{(1+r)^3} \leq \log\abs{f'(z)} \leq \log\frac{1+r}{(1-r)^3} :

el teorema de distorsión, tras exponenciar.

14. Superior: a lo largo del segmento $[0, z]$ ,

\abs{f(z)} = \Bigl|\int_0^rf'(t\eu^{\iu\theta}) \eu^{\iu\theta}\dd t\Bigr| \leq \int_0^r\frac{1+t}{(1-t)^3}\dd t = \frac{r}{(1-r)^2}

( $\frac{\dd}{\dd t}\frac t{(1-t)^2} = \frac{1+t}{(1-t)^3}$ ). Inferior: obsérvese que $\frac r{(1+r)^2} < \frac14$ para $r < 1$ (dice $(1-r)^2 > 0$ ), de modo que si $\abs{f(z)} \geq \frac14$ no hay nada que demostrar. En caso contrario, el segmento $[0, f(z)]$ está contenido en $D(0, \frac14) \subseteq f(\mathbb D)$ (pregunta 7), y $\gamma = f^{-1}\circ[0, f(z)]$ es un camino $\mathcal C^1$ de $0$ a $z$ en $\mathbb D$ ( $f^{-1}$ holomorfa, el Corolario 17.10). Sustituyendo $w = f(\zeta)$ ,

\abs{f(z)} = \int_{[0,f(z)]}\abs{\dd w} = \int_\gamma\abs{f'(\zeta)}\,\abs{\dd\zeta} \geq \int_0^1\frac{1 - \rho(s)}{(1 + \rho(s))^3} \,\abs{\gamma'(s)}\,\dd s

con $\rho = \abs\gamma$ , usando la cota inferior de distorsión con radio $\rho(s)$ . Como $\abs{\gamma'} \geq \rho'$ (donde esté definida; $\rho$ es lipschitziana) y el factor del integrando es positivo,

\abs{f(z)} \geq \int_0^1 \frac{1 - \rho(s)}{(1 + \rho(s))^3}\,\rho'(s)\,\dd s = \int_0^{r}\frac{1 - u}{(1 + u)^3}\,\dd u = \frac{r}{(1 + r)^2}

( $\rho(0) = 0$ , $\rho(1) = r$ ; la sustitución solo usa una primitiva, $\frac{\dd}{\dd u}\frac u{(1+u)^2} = \frac{1-u}{(1+u)^3}$ , no la monotonía).

15. $k'(z) = \frac{\dd}{\dd z}\,z(1 - z)^{-2} = \frac{1 + z}{(1 - z)^3}$ . En $z = r$ : $k'(r) = \frac{1+r}{(1-r)^3}$ y $k(r) = \frac r{(1-r)^2}$ — ambas cotas superiores alcanzadas. En $z = -r$ : $k'(-r) = \frac{1-r}{(1+r)^3}$ y $\abs{k(-r)} = \frac r{(1+r)^2}$ — ambas cotas inferiores alcanzadas. La función de Koebe estira su semieje positivo al máximo hacia la frontera lejana y comprime al máximo el radio antipodal hacia la punta de su corte.

16. $\abs{a_2} = 2$ significa $\abs{b_1} = 1$ para $g(w) = 1/h(1/w) = w - \frac{a_2}2w^{-1} + \cdots$ (pregunta 4); el teorema del área $\sum n\abs{b_n}^2 \leq 1$ mata entonces todos los demás coeficientes: $g(w) = w + b_0 + \eu^{\iu\alpha}/w$ con $\eu^{\iu\alpha} = -\frac{a_2}2$ . Como $h$ es impar, $g(-w) = 1/h(-1/w) = -1/h(1/w) = -g(w)$ : $g$ es impar, de modo que $b_0 = 0$ . Invirtiendo, $h(z) = 1/g(1/z) = \frac{z}{1 + \eu^{\iu\alpha}z^2}$ , y $f(z^2) = h(z)^2$ da

f(w) = \frac{w}{(1 + \eu^{\iu\alpha}w)^2} = \frac{w}{(1 - \eu^{\iu\theta}w)^2} = \eu^{-\iu\theta}k\bigl(\eu^{\iu\theta}w\bigr), \qquad \eu^{\iu\theta} = -\eu^{\iu\alpha} .

Recíprocamente, cada rotación tiene $a_2 = 2\eu^{\iu\theta}$ de módulo $2$ : los extremales de Bieberbach son exactamente las funciones de Koebe rotadas.

17. Si $c$ se omite con $\abs c = \frac14$ : la pregunta 6 da $F \in \mathcal S$ con $A_2 = a_2 + \frac1c$ , de modo que $\frac1c = A_2 - a_2$ y

4 = \Bigl|\frac1c\Bigr| = \abs{A_2 - a_2} \leq \abs{A_2} + \abs{a_2} \leq 2 + 2 = 4 :

con igualdad en toda la cadena, en particular $\abs{a_2} = 2$ . Por la pregunta 16, $f = \eu^{-\iu\theta}k(\eu^{\iu\theta}\cdot)$ , cuyo conjunto omitido es $\eu^{-\iu\theta} \intoc{-\infty}{-\frac14}$ : el único valor omitido de módulo $\frac14$ es $c = -\eu^{-\iu\theta}/4$ . (Comprobación: $a_2 = 2\eu^{\iu\theta}$ y $\frac1c = -4\eu^{\iu\theta}$ , de modo que $A_2 = -2\eu^{\iu\theta} = -a_2$ : la desigualdad triangular queda saturada por antialineamiento, como debía.)

18. Las estimaciones de Cauchy en la circunferencia $\abs z = r$ (el Teorema 16.10), combinadas con el teorema de crecimiento, dan

\abs{a_n} \leq r^{-n}\sup_{\abs z = r}\abs f \leq r^{1-n}\,(1 - r)^{-2} .

Tómese $r = 1 - \frac1n$ ( $n \geq 2$ ): $r^{1-n} = \bigl(1 + \frac1{n-1}\bigr)^{n-1} < \eu$ (sucesión creciente de límite $\eu$ ) y $(1 - r)^{-2} = n^2$ : $\abs{a_n} < \eu\,n^2$ .

19. $U = f(D(0, r))$ es abierto (el Corolario 17.10) y contiene $0$ . Frontera: si $p \in \partial U$ , escríbase $p = \lim f(z_k)$ con $z_k \in D(0, r)$ ; una subsucesión da $z_k \to z_\infty \in \bar D(0, r)$ , y $f(z_\infty) = p \notin U$ obliga a $z_\infty \in \partial D(0, r)$ : $\partial U \subseteq f(\partial D(0, r))$ , de modo que todo punto frontera de $U$ tiene módulo $\geq \frac r{(1+r)^2}$ (pregunta 14). Sean ahora $\abs w < \frac r{(1+r)^2}$ y supóngase $w \notin U$ . El segmento $[0, w]$ es conexo, corta $U$ (en $0$ ) y su complementario (en $w$ ), de modo que corta $\partial U$ ; pero todos sus puntos tienen módulo $\leq \abs w < \frac r{(1+r)^2}$ : contradicción. Luego $D\bigl(0, \frac r{(1+r)^2}\bigr) \subseteq U$ . Optimalidad: $k(-r) = -\frac r{(1+r)^2}$ es la imagen de un punto frontera de $D(0,r)$ , y $k$ es inyectiva, de modo que $k(-r) \notin k(D(0, r))$ : el radio no puede aumentarse. Cuando $r \to 1^-$ , $\frac r{(1+r)^2} \to \frac14$ : el teorema del cuarto para el disco completo.

20. Primero, $\partial f(\mathbb D) \neq \emptyset$ : en caso contrario $f(\mathbb D)$ , abierto, cerrado y no vacío, sería todo $\C$ , y $f^{-1} \colon \C \to \mathbb D$ sería una función entera acotada no constante, en contra del Corolario 16.12. Desigualdad izquierda: la transformada de Koebe $F$ de la pregunta 10 está en $\mathcal S$ y $F(\mathbb D) = \frac{f(\mathbb D) - f(z_0)}{f'(z_0)(1-\abs{z_0}^2)}$ ; por la pregunta 7 contiene $D(0, \frac14)$ , de modo que

f(\mathbb D) \supseteq f(z_0) + D\Bigl(0,\ \tfrac14\abs{f'(z_0)}\bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr)\Bigr) ,

y todo punto de $\partial f(\mathbb D)$ — disjunto del abierto $f(\mathbb D)$ — está a distancia $\geq \frac14(1-\abs{z_0}^2)\abs{f'(z_0)}$ de $f(z_0)$ . Desigualdad derecha: sea $d = d(f(z_0), \partial f(\mathbb D)) < \infty$ . El disco $D(f(z_0), d)$ está contenido en $f(\mathbb D)$ : un segmento de $f(z_0)$ a cualquiera de sus puntos permanece a distancia $< d$ de $f(z_0)$ , de modo que nunca corta $\partial f(\mathbb D)$ , y el argumento de conexión de la pregunta 19 lo mantiene en $f(\mathbb D)$ . Entonces $\hat g(w) = f^{-1}(f(z_0) + dw)$ lleva $\mathbb D$ dentro de $\mathbb D$ con $\hat g(0) = z_0$ , y $\chi = \psi^{-1}\circ\hat g$ , con $\psi(z) = \frac{z + z_0}{1 + \bar z_0z}$ , fija $0$ : Schwarz (el Teorema 18.4) da $\abs{\chi'(0)} \leq 1$ . Como $\chi'(0) = \frac{\hat g'(0)}{\psi'(0)} = \frac{d}{f'(z_0)\,(1 - \abs{z_0}^2)}$ , esto es $d \leq (1 - \abs{z_0}^2)\abs{f'(z_0)}$ .

21. $k(\mathbb D) = \C\setminus \intoc{-\infty}{-\frac14}$ , de modo que $\partial k(\mathbb D) = \intoc{-\infty}{-\frac14}$ , y para el punto real positivo $k(r) = \frac r{(1-r)^2}$ el punto frontera más próximo es $-\frac14$ :

d = k(r) + \frac14 = \frac{4r + (1-r)^2}{4(1-r)^2} = \frac{(1+r)^2}{4(1-r)^2} .

Miembro izquierdo de la pregunta 20: $\frac14(1 - r^2)k'(r) = \frac14\,\frac{(1-r^2)(1+r)}{(1-r)^3} = \frac{(1+r)^2}{4(1-r)^2} = d$ : igualdad. (El miembro derecho vale $4d$ : el factor completo $4$ separa ambos lados, y la función de Koebe se sitúa exactamente en el fondo.)

22. El principio único es Parseval: la univalencia prohíbe los solapamientos, de modo que el área del complementario de la imagen de $\{\abs w > \rho\}$ , desarrollada en modos de Fourier sobre circunferencias, es no negativa — el teorema del área es una identidad $L^2$ con un signo. Todo lo demás es esa desigualdad transportada: una raíz cuadrada (pregunta 3) la convierte en $\abs{a_2} \leq 2$ ; una reflexión de Möbius respecto de un valor omitido (pregunta 6) convierte $\abs{a_2} \leq 2$ en el teorema del cuarto; los automorfismos del disco (pregunta 10) extienden $\abs{a_2} \leq 2$ a todo el disco como teorema de distorsión; la integración radial convierte la distorsión en crecimiento, y el crecimiento en recubrimiento. En cada etapa se propaga también el caso de igualdad, y siempre aterriza en las funciones de Koebe rotadas — una sola familia extremal para toda la teoría, igual que las rotaciones son los únicos extremales del lema de Schwarz. Una desigualdad interior, más la rigidez de su caso de igualdad, gobierna toda la geometría: la representación conforme es el arte de explotar tales desigualdades.

23. El teorema de crecimiento acota $\abs f \leq \frac{r}{(1-r)^2}$ uniformemente en cada $\bar D(0, r)$ , $r < 1$ , para todas las $f \in \mathcal S$ a la vez: localmente acotada, de modo que $\mathcal S$ es una familia normal (el Teorema 18.7). Si $f_n \in \mathcal S \to f$ localmente uniformemente: $f$ es holomorfa con $f_n' \to f'$ localmente uniformemente (Weierstrass), de modo que $f(0) = 0$ , $f'(0) = 1$ — en particular, $f$ no es constante — y Hurwitz (el Ejercicio 17.8) hace inyectivo el límite de aplicaciones inyectivas: $f \in \mathcal S$ . Un funcional continuo (como $f \mapsto \abs{a_2} = \frac{\abs{f''(0)}}2$ ) sobre una clase compacta alcanza su supremo: las funciones extremales existen antes de saber cuáles son — el punto de partida de todo ataque variacional a los problemas de coeficientes, el de Bieberbach incluido.

24. Escríbase $g(w) = w + A_2w^2 + O(w^3)$ y compóngase:

z = g(f(z)) = f(z) + A_2f(z)^2 + O(z^3) = z + (a_2 + A_2)z^2 + O(z^3),

de modo que $A_2 = -a_2$ y $\abs{A_2} \leq 2$ (Bieberbach), con igualdad si y solo si $\abs{a_2} = 2$ , es decir, si y solo si $f$ es una función de Koebe rotada (pregunta 16) — y entonces $g$ es la inversa correspondiente, definida en el plano hendido.

25. $f(z_1) - f(z_2) = (z_1 - z_2)\bigl(1 + a(z_1 + z_2)\bigr)$ . Si $\abs a \leq \frac12$ : para $z_1 \neq z_2$ en $\mathbb D$ , $\abs{a(z_1 + z_2)} < 2\abs a \leq 1$ (estricto: $\abs{z_1 + z_2} < 2$ ), de modo que el segundo factor no puede anularse: inyectiva, y $f \in \mathcal S$ (las normalizaciones están incorporadas). Si $\abs a > \frac12$ : el punto $s = -\frac1a$ cumple $\abs s < 2$ , de modo que $z_{1,2} = \frac s2 \pm \varepsilon$ están en $\mathbb D$ para $\varepsilon > 0$ pequeño, son distintos, y $z_1 + z_2 = s$ mata el factor: $f(z_1) = f(z_2)$ , no inyectiva. Así, $\mathcal S$ contiene $z + az^2$ exactamente para $\abs a \leq \frac12$ . La cota de Bieberbach $\abs{a_2} \leq 2$ queda, pues, salvajemente sin saturar por los polinomios de grado $2$ — los coeficientes $a_n = n$ de la función de Koebe provienen de una serie infinita que conspira a lo largo del radio omitido, comportamiento que ningún polinomio (que solo pertenece a $\mathcal S$ con coeficientes minúsculos) puede imitar.

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