¿Qué es espacio conexo?

Ejemplo 4.28

$GL_n(\R)$ no es conexo: $\det$ es continua (un polinomio en las entradas) sobre $\R^*$, que no es conexo; las imágenes recíprocas de $\R_+^*$ y $\R_-^*$ parten $GL_n(\R)$. (Cada pieza es de hecho conexa por caminos, un ejercicio agradable que va más allá de lo que necesitamos.) En cambio, $GL_n(\C)$ sí es conexo por caminos: Ejercicio 4.10.

Ejemplo 4.29 (Un punto fijo que solo debe a la conexidad)

Toda $f \colon \intcc01 \to \intcc01$ continua tiene un punto fijo, sin hipótesis de contracción ni iteración alguna. Consideremos $g(x) = f(x) - x$, continua sobre el conexo $\intcc01$:

y el teorema del valor intermedio (Teorema 4.27 (2)) proporciona un cero de $g$, es decir, un punto fijo de $f$. Contrástese con Banach (Teorema 4.12): aquí la existencia es topológica y gratuita, pero se pierden la unicidad y el algoritmo —$f = \mathrm{id}$ tiene todos los puntos fijos, y la iteración de una $f$ que no contrae puede ciclar indefinidamente—. Los dos teoremas de punto fijo de este capítulo responden a preguntas distintas y con monedas distintas.

Ejemplo 4.30 ($\R$ y $\R^2$ no son homeomorfos)

La conexidad es una huella dactilar topológica. Supongamos que $h \colon \R^2 \to \R$ fuera un homeomorfismo (una biyección continua con inversa continua). Quitemos un punto $a \in \R^2$: la restricción $h \colon \R^2\setminus\{a\} \to \R\setminus\{h(a)\}$ sigue siendo un homeomorfismo. Pero $\R^2$ menos un punto es conexo por caminos —únanse dos puntos cualesquiera por un segmento, dando un rodeo por un segundo segmento a través de un punto auxiliar si $a$ bloquea el directo—, luego es conexo (Teorema 4.27 (3)); mientras que $\R$ menos un punto se parte en dos semirrectas abiertas no vacías: no es conexo. Y la conexidad se conserva por aplicaciones continuas: contradicción. El plano y la recta son genuinamente distintos como espacios topológicos, hecho que el cardinal por sí solo (¡las biyecciones al estilo del Ejercicio 1.3 existen!) es demasiado grosero para percibir.

Ejemplo 6.22 (La curva seno del topólogo)

Sean $\Gamma = \{(x, \sin\frac1x) : 0 < x \leq 1\}$ y $S = \bar\Gamma = \Gamma \cup (\{0\}\times[-1,1])$ (todo punto $(0, y)$ con $\abs y \leq 1$ es límite de puntos de $\Gamma$: resuélvase $\sin\frac1x = y$ cerca de $0$). Entonces $S$ es conexo — clausura del conexo $\Gamma$, imagen continua de $(0, 1]$ (el Teorema 6.20(3)) — pero no es conexo por caminos: un camino de $(1, \sin 1)$ a $(0,0)$ tendría que recorrer abscisas $\to 0$ mientras la ordenada oscila entre $\pm1$; el Ejercicio 6.9 lo hace riguroso. La conexión y la conexión por caminos son genuinamente distintas.