Matemáticas universitarias — Grado 2 · Bachelor Year 2

8Funciones de una variable real

Antes de que el análisis pase a las funciones de funciones (Capítulo 10) conviene conocer el paisaje de una variable con más detalle del que exigía el primer año: cuán discontinua puede ser una función monótona, cuán regular ha de ser una función convexa y de qué propiedades especiales gozan las derivadas (Darboux). Estos resultados estructurales son breves, afilados y muy queridos por los examinadores.

8.1 Funciones monótonas

Teorema 8.1 (Regularidad de las funciones monótonas)

Sea $f \colon I \to \R$ creciente sobre un intervalo.

En todo punto interior $a$ existen los límites laterales:

$f(a^-) = \sup_{x < a} f(x) \;\leq\; f(a) \;\leq\; f(a^+) = \inf_{x > a} f(x) ;$

toda discontinuidad es un salto.
El conjunto de discontinuidades de $f$ es a lo sumo numerable.

Demostración. (1) El conjunto $\{f(x) : x < a\}$ es no vacío y está acotado superiormente por $f(a)$ : su supremo $s$ cumple $f(x) \to s$ cuando $x \to a^-$ (dado $\varepsilon$ , algún $f(x_0) > s - \varepsilon$ , y la monotonía atrapa $f(x) \in \intoc{s - \varepsilon}{s}$ para $x \in \intoo{x_0}{a}$ ). Simétricamente por la derecha.

(2) A cada discontinuidad $a$ asociémosle el intervalo abierto no vacío $J_a = \intoo{f(a^-)}{f(a^+)}$ (un salto auténtico). Para discontinuidades $a < b$ , los intervalos $J_a$ y $J_b$ son disjuntos: $f(a^+) \leq f(c) \leq f(b^-)$ para cualquier $c$ intermedio. Cada $J_a$ contiene un racional, y discontinuidades distintas reciben racionales distintos: se obtiene una inyección del conjunto de discontinuidades en $\Q$ , que es numerable (Proposición 1.6). ∎

Ejemplo 8.2

La cota es óptima: fijemos una enumeración $(r_n)$ de $\Q \cap \intoo{0}{1}$ y pongamos $f(x) = \sum_{n : r_n \leq x} 2^{-n}$ (una definición mediante familias sumables, Definición 7.8). Entonces $f$ es creciente sobre $\intcc{0}{1}$ y discontinua exactamente en cada racional de $\intoo{0}{1}$ (con salto $2^{-n}$ en $r_n$ ): una función monótona puede ser discontinua sobre un conjunto numerable denso.

Ejemplo 8.3 (Los saltos no pueden superar el ascenso)

Para $f$ creciente sobre $\intcc{a}{b}$ , los saltos tienen presupuesto: si $a < c_1 < \dots < c_m < b$ son discontinuidades con saltos $s_i = f(c_i^+) - f(c_i^-) > 0$ , entonces, eligiendo puntos intercalados $a < c_1 < t_1 < c_2 < \dots$ y usando la monotonía en cada trozo,

\sum_{i=1}^{m} s_i \;\leq\; f(b) - f(a) :

el ascenso total acota el salto total. Consecuencia: para cada $k$ , a lo sumo $k\,\bigl(f(b) - f(a)\bigr)$ discontinuidades tienen salto $\geq \frac1k$ , refinamiento cuantitativo del Teorema 8.1 (2), ya que el conjunto de discontinuidades es la unión numerable sobre $k$ de esos conjuntos finitos. En la función de saltos racionales de más arriba, el presupuesto se gasta exactamente: los saltos $2^{-n}$ suman $1 = f(1^+) - f(0^-)$ en el sentido extendido evidente. Las funciones monótonas pueden saltar densamente, pero solo con una asignación estricta.

8.2 Funciones convexas

Lema 8.4 (Desigualdad de las pendientes)

Sea $f$ convexa sobre $I$ y $x < y < z$ en $I$ . Entonces

\frac{f(y) - f(x)}{y - x} \;\leq\; \frac{f(z) - f(x)}{z - x} \;\leq\; \frac{f(z) - f(y)}{z - y} :

las pendientes de las cuerdas crecen en ambos extremos.

Demostración. Escribamos $y = \frac{z - y}{z - x}\,x + \frac{y - x}{z - x}\,z$ : una combinación convexa, pues los dos coeficientes son positivos y suman $1$ . La convexidad da

f(y) \;\leq\; \frac{z-y}{z-x}\,f(x) + \frac{y-x}{z-x}\,f(z).

Para la desigualdad de la izquierda, réstese $f(x)$ de ambos miembros, usando $\frac{z-y}{z-x} - 1 = -\frac{y-x}{z-x}$ :

f(y) - f(x) \leq \frac{y - x}{z - x}\bigl(f(z) - f(x)\bigr),

y divídase por $y - x > 0$ . Para la de la derecha, réstese en cambio de $f(z)$ :

f(z) - f(y) \geq f(z) - \frac{z-y}{z-x}f(x) - \frac{y-x}{z-x}f(z) = \frac{z - y}{z - x}\bigl(f(z) - f(x)\bigr),

y divídase por $z - y > 0$ . Ambos pasos son la misma identidad baricéntrica leída contra un extremo distinto. ∎

Teorema 8.5 (Regularidad de las funciones convexas)

Sea $f$ convexa sobre un intervalo $I$ .

En todo punto interior, $f$ tiene derivadas laterales finitas $f'_g \leq f'_d$ ; ambas son funciones crecientes del punto; en particular, $f$ es continua en el interior de $I$ (aunque quizá no en los extremos).
$f$ queda por encima de cada recta de apoyo: para $a$ interior y todo $m \in \intcc{f'_g(a)}{f'_d(a)}$ ,

$f(x) \geq f(a) + m(x - a) \qquad (x \in I).$
(Jensen, con pesos) Para $x_i \in I$ y pesos $\lambda_i \geq 0$ con $\sum\lambda_i = 1$ :

$f\Bigl(\sum_i \lambda_i x_i\Bigr) \leq \sum_i \lambda_i f(x_i) .$

Demostración. (1) Fijemos $a$ interior. Por el Lema 8.4, la pendiente $\tau(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$ es una función creciente de $h$ (en ambos lados, y $\tau(h_-) \leq \tau(h_+)$ para $h_- < 0 < h_+$ ). Por tanto $\tau$ tiene límite finito cuando $h \to 0^-$ (creciente y acotada superiormente por cualquier pendiente por la derecha) —ese es $f'_g(a)$ — y cuando $h \to 0^+$ ( $f'_d(a)$ ), con $f'_g(a) \leq f'_d(a)$ . La existencia de derivadas laterales finitas fuerza la continuidad en $a$ . Monotonía respecto del punto: para $a < b$ interiores, $f'_d(a) \leq \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \leq f'_g(b)$ , de nuevo por la desigualdad de las pendientes.

(2) Para $x > a$ : $\frac{f(x) - f(a)}{x - a} \geq f'_d(a) \geq m$ ; para $x < a$ : $\frac{f(a) - f(x)}{a - x} \leq f'_g(a) \leq m$ . Ambas se reordenan hasta la afirmación.

(3) Inducción sobre el número de puntos, exactamente como en el volumen del primer año (el caso de dos puntos es la definición); o de un golpe: aplíquese (2) en $a = \sum\lambda_i x_i$ y promédiense las desigualdades de la recta de apoyo en los puntos $x_i$ con pesos $\lambda_i$ : $\sum_i \lambda_i f(x_i) \geq f(a) + m\sum_i\lambda_i(x_i - a) = f(a)$ . ∎

La convexidad en una imagen: entre -1.5 y 2, la gráfica de f(x) = x2 queda por debajo de su cuerda (la definición) y por encima de la recta de apoyo en x = 0.5 ( (2)); toda desigualdad del problema de fin de semana de este capítulo es una reordenación de estas dos posiciones. — La convexidad en una imagen: entre $-1.5$ y $2$ , la gráfica de $f(x) = x^2$ queda por debajo de su cuerda (la definición) y por encima de la recta de apoyo en $x = 0.5$ (Teorema 8.5 (2)); toda desigualdad del problema de fin de semana de este capítulo es una reordenación de estas dos posiciones.

Ejemplo 8.6 (Discontinuidad en un extremo)

Sobre $\intcc{0}{1}$ , la función $f(0) = 1$ , $f(x) = 0$ para $x > 0$ , es convexa y discontinua en el extremo $0$ : el enunciado (1) es óptimo.

Ejemplo 8.7 (Esquinas y el haz de rectas de apoyo)

Para $f(x) = \abs x$ en $a = 0$ : las derivadas laterales son $f'_g(0) = -1$ y $f'_d(0) = +1$ , y el Teorema 8.5 (2) reparte una recta de apoyo para cada pendiente $m \in \intcc{-1}{1}$ :

\abs x \geq m\,x \qquad (x \in \R,\ -1 \leq m \leq 1),

cada una con igualdad exactamente sobre una semirrecta o en $0$ . Una función convexa es derivable en $a$ precisamente cuando el haz se reduce a una única recta ( $f'_g(a) = f'_d(a)$ ); las esquinas llevan todo un intervalo de tangentes. Este haz es el germen en dimensión finita del subdiferencial de la optimización convexa, y la razón de que las funciones convexas sean tan robustas: aun donde falla la derivada sobrevive la geometría de apoyo, que es todo lo que usó la demostración de Jensen.

Ejemplo 8.8 (Desigualdad de las medias potenciales)

Para $0 < p < q$ y $x_i$ positivos con pesos $\lambda_i$ que suman $1$ , aplicando Jensen a la función convexa $t \mapsto t^{q/p}$ en los puntos $x_i^p$ :

\Bigl(\sum \lambda_i x_i^{p}\Bigr)^{1/p} \leq \Bigl(\sum \lambda_i x_i^{q}\Bigr)^{1/q} :

las medias potenciales crecen con el exponente, lo que contiene la desigualdad entre medias aritmética y cuadrática y, en el límite $p \to 0$ (Ejercicio 8.6), una vez más la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica.

La media potencial M_p de los valores 1, 2, 4 (con pesos iguales), como función del exponente p: creciente desde = 1 (cuando p -∈fty) hasta = 4 (cuando p +∈fty), pasando por las medias armónica (p = -1), geométrica (el hueco en p = 0, de valor 2), aritmética (p = 1) y cuadrática (p = 2). Toda la cadena clásica de desigualdades entre medias es una única curva creciente, demostrada en la parte III del problema de fin de semana de este capítulo. — La media potencial $M_p$ de los valores $1, 2, 4$ (con pesos iguales), como función del exponente $p$ : creciente desde $\min = 1$ (cuando $p \to -\infty$ ) hasta $\max = 4$ (cuando $p \to +\infty$ ), pasando por las medias armónica ( $p = -1$ ), geométrica (el hueco en $p = 0$ , de valor $2$ ), aritmética ( $p = 1$ ) y cuadrática ( $p = 2$ ). Toda la cadena clásica de desigualdades entre medias es una única curva creciente, demostrada en la parte III del problema de fin de semana de este capítulo.

Ejemplo 8.9 (Entropía máxima)

Para un vector de probabilidad $(p_1, \dots, p_n)$ (positivo y de suma $1$ ), la entropía $H(p) = -\sum_i p_i\ln p_i$ cumple

H(p) \leq \ln n , \qquad\text{con igualdad si y solo si } p_i = \frac1n \text{ para todo } i .

Demostración por Jensen (Teorema 8.5 (3)) aplicado a la función cóncava $\ln$ con pesos $p_i$ en los puntos $\frac{1}{p_i}$ :

H(p) = \sum_i p_i\ln\frac{1}{p_i} \leq \ln\Bigl(\sum_i p_i\,\frac1{p_i}\Bigr) = \ln n ,

donde la igualdad obliga a que todos los puntos $\frac1{p_i}$ sean iguales (concavidad estricta), es decir, a que $p$ sea uniforme. Equivalentemente, esto es el Ejercicio 8.7 con $q$ uniforme. La incertidumbre se maximiza con la ignorancia repartida uniformemente: el principio variacional que hay detrás de la codificación, la mecánica estadística y las apariciones de la entropía en el Capítulo 22.

Método 8.10 (Cómo hallar la función convexa que hay tras una desigualdad)

La mayoría de las desigualdades clásicas son Jensen disfrazado; para desvestir una: (1) normalícese de modo que aparezca una media ponderada (pesos positivos que sumen $1$ ; divídase por una masa total si hace falta); (2) obsérvese qué función se aplica dentro y qué función fuera de la media: la afirmación “ $f(\text{media}) \leq$ media de $f$ ” nombra la $f$ convexa; (3) certifíquese la convexidad con la segunda derivada y trátese la igualdad mediante la estricticidad; (4) si no se ve ninguna media, tómense antes logaritmos: los productos y las potencias pasan a ser medias, y la concavidad de $\ln$ arrastra las desigualdades entre medias, la de Young y sus parientes (el problema de fin de semana de este capítulo ejecuta los pasos 1–4 sobre cada una de ellas). Si ni siquiera los logaritmos revelan una media, pruébese a leer la desigualdad como monotonía de pendientes (Lema 8.4); allí viven los enunciados de superaditividad como el del Ejercicio 8.9.

Observación 8.11 (Errores frecuentes)

(i) La convexidad no se conserva por productos: $x$ y $(x - 1)^2$ son convexas sobre $\intcc{0}{2}$ , pero su producto $x(x-1)^2$ tiene segunda derivada $6x - 4$ , negativa sobre $\intco{0}{\frac23}$ : no es convexa; tampoco se conserva por composición sin monotonía (Ejercicio 8.10). (ii) Jensen se invierte para funciones cóncavas: la mitad de las desigualdades clásicas son la versión cóncava con $\ln$ ; aplicar la forma convexa a $\ln$ es la manera más rápida de demostrar al revés la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica. (iii) La convexidad en el punto medio por sí sola no implica convexidad: hace falta la continuidad (o simplemente la acotación) (Ejercicio 8.8); los contraejemplos patológicos viven más allá de los axiomas de este libro. (iv) Una función convexa sobre un intervalo abierto es continua, incluso localmente lipschitziana (Ejercicio 8.12); en los extremos no hay nada gratis. (v) Las derivadas cumplen Darboux pero no tienen por qué ser continuas (Ejemplo 8.15): “ $f'$ no tiene saltos” nunca significa “ $f'$ es continua”.

8.3 La propiedad de Darboux

Teorema 8.12 (Darboux)

Sea $f$ derivable sobre un intervalo $I$ . Entonces $f'$ toma todos los valores comprendidos entre dos cualesquiera de sus valores, aun cuando $f'$ no tiene por qué ser continua.

Demostración. Sean $a < b$ en $I$ y $v$ estrictamente comprendido entre $f'(a)$ y $f'(b)$ , digamos $f'(a) < v < f'(b)$ . La función $g(x) = f(x) - vx$ es derivable con $g'(a) < 0 < g'(b)$ : su mínimo sobre $\intcc{a}{b}$ (alcanzado, por continuidad sobre un compacto) no está en $a$ (justo después de $a$ , $g$ decrece por debajo de $g(a)$ ) ni en $b$ (justo antes de $b$ , $g$ está por debajo de $g(b)$ ): es interior, y allí $g'(c) = 0$ , es decir, $f'(c) = v$ . (Esto fue un ejercicio con estrella del primer año; su lugar en la teoría es este.) ∎

Ejemplo 8.13 (¿Qué funciones son derivadas?)

El teorema de Darboux es una máquina de no existencia. La función parte entera $\lfloor x\rfloor$ no es la derivada de ninguna función sobre $\R$ : toma los valores $0$ y $1$ pero se salta $\frac12$ sobre $\intcc{0}{1}$ , cosa que el Teorema 8.12 prohíbe a las derivadas. El mismo veredicto alcanza a toda función con un salto —el signo, la de Heaviside, todas las funciones escalonadas, por inocentes que parezcan—; sus “primitivas” ( $\abs x$ para el signo, etc.) solo existen lejos del salto y allí se anudan con una esquina. En cambio, la $f'$ salvajemente discontinua del Ejemplo 8.15 sí es una derivada: su discontinuidad es una oscilación, que Darboux tolera. La frontera entre ambos comportamientos es exactamente el corolario de ausencia de saltos de más abajo.

Corolario 8.14

Una derivada no tiene discontinuidades de salto: si existen $f'(a^-)$ y $f'(a^+)$ , ambos valen $f'(a)$ . Las discontinuidades de una derivada son siempre de tipo oscilatorio (la derivada de $x^2\sin\frac1x$ en $0$ , volumen del primer año).

Demostración. Si $f'(a^+) = \lim_{x\to a^+} f'(x)$ existe y difiere de $f'(a)$ , los valores estrictamente comprendidos entre ambos quedarían saltados por $f'$ en un entorno por la derecha, en contra de Darboux sobre los intervalos $\intcc{a}{a + h}$ . (Alternativamente: el teorema del valor medio fuerza $f'(a) = \lim_{h\to0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = f'(a^+)$ , siendo el cociente incremental un valor de $f'$ en un punto intermedio.) Lo mismo por la izquierda. ∎

Ejemplo 8.15 (La derivada oscilante canónica)

Sea $f(x) = x^2\sin\frac1x$ para $x \neq 0$ y $f(0) = 0$ . En $0$ : $\bigl|\frac{f(h) - f(0)}{h}\bigr| = \abs{h\sin\frac1h} \leq \abs h \to 0$ , luego $f'(0) = 0$ existe. Fuera de $0$ ,

f'(x) = 2x\sin\frac1x - \cos\frac1x ,

cuyo primer término tiende a $0$ mientras que $\cos\frac1x$ oscila por todo $\intcc{-1}{1}$ en cada intervalo $\intoo{0}{\delta}$ : el límite $f'(0^+)$ no existe. Así pues, $f'$ está definida en todas partes y es discontinua en $0$ y, exactamente como predice el Corolario 8.14, la discontinuidad es una oscilación y no un salto: en cada $\intoo{0}{\delta}$ , $f'$ sigue barriendo todo un intervalo alrededor de $0$ . Las derivadas pueden ser salvajes, pero solo de la manera compatible con Darboux.

Observación 8.16 (Dónde se usa este capítulo)

La convexidad es el motor de la industria de las desigualdades: el problema de fin de semana de este capítulo fabrica a partir de ella las de Young, Hölder y Minkowski y la cadena de medias potenciales, que consumen la teoría de normas del Capítulo 5 y las estimaciones integrales del Capítulo 9; Jensen reaparece en probabilidad como las desigualdades sobre momentos del Capítulo 22. La regularidad de las monótonas vuelve en el Capítulo 9 (las funciones monótonas son integrables) y, en el volumen del tercer año, como la derivabilidad en casi todo punto de las funciones monótonas, donde el “numerables saltos” pasa a ser el primer paso de la teoría de Lebesgue.

8.4 Ejercicios

Ejercicio 8.1 ★

Determina los conjuntos de discontinuidades y los tamaños de los saltos de $\lfloor x \rfloor$ ; $\;x - \lfloor x\rfloor$ ; $\;\lfloor x \rfloor + \sqrt{x - \lfloor x\rfloor}$ ; y de la función del ejemplo que sigue al Teorema 8.1, restringida a los racionales diádicos $r_n$ .

Solución

Solución de Ejercicio 8.1.

$\lfloor x\rfloor$ : saltos de tamaño $1$ en cada entero. $x - \lfloor x\rfloor$ : saltos de tamaño $-1$ en los enteros (límite por la izquierda $1$ , valor $0$ ). $\lfloor x\rfloor + \sqrt{x - \lfloor x\rfloor}$ : en un entero $n$ , el límite por la izquierda es $(n - 1) + 1 = n$ y el valor es $n$ : es continua en todas partes (la raíz cuadrada repara el salto), aunque no derivable en los enteros. La función de saltos racionales: restringiendo la construcción a una enumeración de los diádicos, salta $2^{-n}$ exactamente en el $n$ -ésimo racional diádico y es continua en el resto.

Ejercicio 8.2 ★

Demuestra que una función creciente $f \colon I \to \R$ con la propiedad del valor intermedio (la imagen de cualquier subintervalo es un intervalo) es continua.

Solución

Solución de Ejercicio 8.2.

Supongamos que $f$ creciente tiene una discontinuidad en un punto interior $a$ : entonces $f(a^-) < f(a^+)$ (Teorema 8.1) y la imagen de $I$ se salta el intervalo abierto no vacío $\intoo{f(a^-)}{f(a^+)}$ salvo, quizá, el único valor $f(a)$ : la imagen de cualquier subintervalo que contenga a $a$ en su interior no es un intervalo (tiene un hueco al menos a un lado de $f(a)$ ). Esto contradice la propiedad del valor intermedio. Las discontinuidades en los extremos se excluyen del mismo modo con huecos unilaterales.

Ejercicio 8.3 ★

¿Cuáles de las siguientes son convexas en su dominio? $x \mapsto x\ln x$ ( $x > 0$ ); $\;x \mapsto \ln(1 + \eu^x)$ ; $\;x \mapsto \sqrt{1 + x^2}$ ; $\;x \mapsto x^3$ .

Solución

Solución de Ejercicio 8.3.

$x\ln x$ : segunda derivada $\frac1x > 0$ : convexa. $\ln(1 + \eu^x)$ : derivada $\frac{\eu^x}{1 + \eu^x} = 1 - \frac{1}{1 + \eu^x}$ , creciente: convexa. $\sqrt{1 + x^2}$ : segunda derivada $(1 + x^2)^{-3/2} > 0$ : convexa. $x^3$ : no es convexa sobre $\R$ ( $f'' = 6x$ cambia de signo); solo lo es sobre $\R_+$ .

Ejercicio 8.4 ★★

Sea $f$ convexa sobre $\R$ y acotada superiormente. Demuestra que $f$ es constante. (Si $f(a) \neq f(b)$ , la desigualdad de las pendientes propaga la pendiente no nula de la cuerda: más allá del punto con el valor mayor, $f$ crece al menos linealmente, en contra de la acotación. Trátense ambos signos de la pendiente.) Deduce que una función convexa sobre $\R$ con asíntota en ambos extremos es afín.

Solución

Solución de Ejercicio 8.4.

Supongamos $f(a) \neq f(b)$ , digamos $f(b) > f(a)$ con $a < b$ (el caso $f(b) < f(a)$ es simétrico, mirando hacia la izquierda). Para $x > b$ , la desigualdad de las pendientes (Lema 8.4) sobre $a < b < x$ da

\frac{f(x) - f(a)}{x - a} \geq \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = m > 0 \quad\Longrightarrow\quad f(x) \geq f(a) + m(x - a) \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty,

en contra de la acotación superior. Por tanto $f$ es constante.

Asíntotas: si $f(x) - (\alpha x + \beta) \to 0$ en $+\infty$ y $f(x) - (\alpha' x + \beta') \to 0$ en $-\infty$ , la función convexa $g(x) = f(x) - (\alpha x + \beta)$ está acotada superiormente cerca de $+\infty$ ; la convexidad más una asíntota en $-\infty$ (que fuerza $\alpha' \leq \alpha$ y después $\alpha' = \alpha$ al comparar pendientes en $\mp\infty$ : las pendientes de una función convexa crecen) hace que $g$ esté acotada superiormente en todo $\R$ y, por tanto, sea constante e igual a $0$ en el límite: $f$ es afín.

Ejercicio 8.5 ★★

Sea $f$ derivable sobre $I$ con $f'$ monótona. Demuestra que $f'$ es continua (combina el Teorema 8.1 y el Corolario 8.14).

Solución

Solución de Ejercicio 8.5.

$f'$ es monótona, así que por el Teorema 8.1 sus únicas discontinuidades posibles son saltos, con límites laterales existentes en todas partes. Por el Corolario 8.14, una derivada no tiene discontinuidades de salto. Luego $f'$ no tiene discontinuidad alguna: es continua.

Ejercicio 8.6 ★★

(La media geométrica como límite) Para $x_i$ positivos y pesos $\lambda_i$ que suman $1$ , demuestra que

\lim_{p \to 0^+} \Bigl(\sum_i \lambda_i x_i^p\Bigr)^{1/p} = \prod_i x_i^{\lambda_i} ,

mediante $x_i^p = \eu^{p\ln x_i} = 1 + p\ln x_i + O(p^2)$ , y deduce la desigualdad ponderada entre las medias aritmética y geométrica a partir del Ejemplo 8.8.

Solución

Solución de Ejercicio 8.6.

Tomemos logaritmos:

\frac1p \ln\Bigl(\sum_i \lambda_i x_i^p\Bigr) = \frac1p \ln\Bigl(1 + p\sum_i \lambda_i \ln x_i + O(p^2)\Bigr) = \sum_i \lambda_i \ln x_i + O(p) \xrightarrow[p \to 0^+]{} \sum_i \lambda_i \ln x_i ,

usando $\sum\lambda_i = 1$ y $\ln(1 + u) = u + O(u^2)$ . Exponenciando se obtiene la media geométrica. Ahora bien, para todo $p \in \intoo{0}{1}$ , la desigualdad de las medias potenciales (Ejemplo 8.8, con exponentes $p < 1$ ) da

\Bigl(\sum_i \lambda_i x_i^p\Bigr)^{1/p} \leq \sum_i\lambda_i x_i ;

haciendo $p \to 0^+$ en el miembro izquierdo resulta $\prod_i x_i^{\lambda_i} \leq \sum_i \lambda_i x_i$ : la desigualdad ponderada entre las medias aritmética y geométrica.

Ejercicio 8.7 ★★

(Desigualdad de la entropía) Usando la convexidad estricta de $t \mapsto t\ln t$ , demuestra que para $p_i, q_i$ positivos con $\sum p_i = \sum q_i = 1$ :

\sum_i p_i \ln\frac{p_i}{q_i} \geq 0 ,

con igualdad si y solo si $p = q$ . (Escribe el miembro izquierdo como $\sum q_i\, \varphi\bigl(\frac{p_i}{q_i}\bigr)$ con $\varphi(t) = t\ln t$ y aplica Jensen con pesos $q_i$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 8.7.

Con $\varphi(t) = t\ln t$ (convexa: $\varphi'' = \frac1t > 0$ ) y pesos $q_i$ en los puntos $t_i = \frac{p_i}{q_i}$ :

\sum_i p_i \ln\frac{p_i}{q_i} = \sum_i q_i\, \varphi\Bigl(\frac{p_i}{q_i}\Bigr) \;\geq\; \varphi\Bigl(\sum_i q_i \frac{p_i}{q_i}\Bigr) = \varphi(1) = 0 ,

por Jensen (Teorema 8.5 (3)). La igualdad en Jensen para una función estrictamente convexa obliga a que todos los puntos $t_i$ coincidan: $\frac{p_i}{q_i}$ es constante y, sumando, la constante vale $1$ : $p = q$ . (Esta cantidad —la divergencia de Kullback–Leibler— regresa en el mundo del Capítulo 22.)

Ejercicio 8.8 ★★★

(Convexidad en el punto medio) $f \colon I \to \R$ es convexa en el punto medio cuando $f\bigl(\frac{x+y}{2}\bigr) \leq \frac{f(x) + f(y)}{2}$ siempre. Demuestra que una función continua convexa en el punto medio es convexa. (Establece la desigualdad de convexidad para pesos diádicos $\frac{k}{2^m}$ por inducción sobre $m$ , y pasa después al límite usando la densidad y la continuidad.)

Solución

Solución de Ejercicio 8.8.

Pesos diádicos. Por inducción sobre $m$ : el caso $m = 1$ es la hipótesis. Para un peso $\lambda = \frac{k}{2^{m+1}}$ (con $k$ impar), escribamos $\lambda = \frac12(\lambda_1 + \lambda_2)$ con $\lambda_j = \frac{k \mp 1}{2^{m+1}}$ , ambos de denominador $2^m$ tras simplificar; entonces

f\bigl(\lambda x + (1{-}\lambda)y\bigr) = f\Bigl(\tfrac{u + v}{2}\Bigr) \leq \frac{f(u) + f(v)}{2} \leq \lambda f(x) + (1 - \lambda) f(y),

donde $u = \lambda_1 x + (1 - \lambda_1)y$ y $v = \lambda_2 x + (1-\lambda_2)y$ , usando la convexidad en el punto medio y después la hipótesis de inducción sobre $u$ y $v$ .

Paso al límite. Para $\lambda \in \intcc{0}{1}$ arbitrario, tómense diádicos $\lambda_n \to \lambda$ : la continuidad de $f$ y de las aplicaciones afines pasa al límite la desigualdad $f(\lambda_n x + (1-\lambda_n)y) \leq \lambda_n f(x) + (1-\lambda_n)f(y)$ : $f$ es convexa.

Ejercicio 8.9 ★★★

Sea $f$ convexa sobre $\intco{0}{+\infty}$ con $f(0) \leq 0$ . Demuestra que $x \mapsto \frac{f(x)}{x}$ es creciente sobre $\intoo{0}{+\infty}$ , y deduce que, para $f$ convexa con $f(0) = 0$ , se cumple $f(x + y) \geq f(x) + f(y)$ para $x, y \geq 0$ (superaditividad).

Solución

Solución de Ejercicio 8.9.

Para $0 < x < y$ : la desigualdad de las pendientes (Lema 8.4) en los puntos $0 < x < y$ da

\frac{f(x) - f(0)}{x} \leq \frac{f(y) - f(0)}{y}, \qquad\text{es decir,}\qquad \frac{f(x)}{x} \leq \frac{f(y)}{y} + f(0)\Bigl(\frac1x - \frac1y\Bigr).

Como $f(0) \leq 0$ y $\frac1x - \frac1y > 0$ , el último término es $\leq 0$ : $\frac{f(x)}{x} \leq \frac{f(y)}{y}$ . Luego $x \mapsto \frac{f(x)}x$ crece.

Superaditividad para $f(0) = 0$ : para $x, y > 0$ (los casos con una variable nula son triviales),

f(x) = x\,\frac{f(x)}{x} \leq x\,\frac{f(x+y)}{x+y}, \qquad f(y) \leq y\,\frac{f(x+y)}{x+y},

por la monotonía recién demostrada; sumando resulta $f(x) + f(y) \leq f(x+y)$ .

Ejercicio 8.10 ★

Sea $f$ convexa sobre $I$ y $g$ convexa creciente sobre un intervalo que contenga a $f(I)$ . Demuestra que $g \circ f$ es convexa, y muestra con un contraejemplo que no puede prescindirse de la monotonía de $g$ .

Solución

Solución de Ejercicio 8.10.

Para $x, y \in I$ y $\lambda \in \intcc01$ : convexidad de $f$ , después monotonía de $g$ y después convexidad de $g$ :

g\bigl(f(\lambda x + (1{-}\lambda)y)\bigr) \leq g\bigl(\lambda f(x) + (1{-}\lambda)f(y)\bigr) \leq \lambda\,g(f(x)) + (1{-}\lambda)\,g(f(y)).

Contraejemplo sin monotonía: $g(t) = -t$ es convexa (afín) pero decreciente, $f(x) = x^2$ es convexa, y $g \circ f = -x^2$ es estrictamente cóncava.

Ejercicio 8.11 ★★

(Hermite–Hadamard) Sea $f$ convexa y continua sobre $\intcc{a}{b}$ . Demuestra que

f\Bigl(\frac{a+b}{2}\Bigr) \;\leq\; \frac{1}{b - a}\int_a^b f(t)\,\dd t \;\leq\; \frac{f(a) + f(b)}{2} .

(Izquierda: intégrese una recta de apoyo en el punto medio. Derecha: acótese $f$ por la cuerda.)

Solución

Solución de Ejercicio 8.11.

Desigualdad de la izquierda: sea $m = \frac{a+b}2$ y tómese una recta de apoyo en $m$ (Teorema 8.5 (2)): $f(t) \geq f(m) + \mu(t - m)$ para todo $t \in \intcc ab$ . Integrando sobre $\intcc{a}{b}$ , el término lineal se integra a $\mu\int_a^b(t - m)\dd t = 0$ (por simetría en torno a $m$ ), luego $\int_a^b f \geq (b - a)f(m)$ .

Desigualdad de la derecha: sobre $\intcc ab$ , la convexidad acota $f$ por su cuerda: $f(t) \leq f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(t - a)$ . Integrando: $\int_a^b f \leq (b-a)f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\cdot\frac{(b-a)^2}2 = (b - a)\,\frac{f(a) + f(b)}2$ . Divídase por $b - a$ .

Ejercicio 8.12 ★★★

Demuestra que una función convexa sobre un intervalo abierto $I$ es localmente lipschitziana: para todo segmento $\intcc{a}{b} \subseteq I$ y todo margen $\delta > 0$ con $\intcc{a - \delta}{b + \delta} \subseteq I$ , la restricción de $f$ a $\intcc{a}{b}$ es lipschitziana con constante $\max\Bigl(\bigl|\frac{f(a) - f(a - \delta)}{\delta}\bigr|, \bigl|\frac{f(b + \delta) - f(b)}{\delta}\bigr|\Bigr)$ (atrapa toda pendiente de cuerda entre esas dos mediante la desigualdad de las pendientes).

Solución

Solución de Ejercicio 8.12.

Sean $a - \delta < a \leq x < y \leq b < b + \delta$ , todos en $I$ . Dos aplicaciones de la desigualdad de las pendientes (Lema 8.4), primero a $a - \delta < a \leq x < y$ y después a $x < y \leq b < b + \delta$ :

\frac{f(a) - f(a - \delta)}{\delta} \leq \frac{f(y) - f(x)}{y - x} \leq \frac{f(b + \delta) - f(b)}{\delta}

(las pendientes de las cuerdas crecen cuando ambos extremos se desplazan hacia la derecha). Por tanto, toda pendiente de cuerda dentro de $\intcc ab$ queda atrapada entre dos números fijos, y

\abs{f(y) - f(x)} \leq K\,\abs{y - x}, \qquad K = \max\Bigl(\Bigl|\frac{f(a) - f(a-\delta)}{\delta}\Bigr|, \Bigl|\frac{f(b+\delta) - f(b)}{\delta}\Bigr|\Bigr):

$f$ es lipschitziana sobre $\intcc ab$ . Todo punto del abierto $I$ tiene alrededor un segmento con margen así: es localmente lipschitziana y, por tanto, (de nuevo) continua sobre $I$ .

8.5 Problema: la caja de herramientas de la convexidad

Una sola definición —la cuerda por encima de la gráfica— genera toda la caja de herramientas de las desigualdades clásicas. Este problema de fin de semana la construye en orden lógico: criterios de convexidad y Jensen estricto, después Young, Hölder y Minkowski (las partidas de nacimiento de las $p$ -normas), la cadena completa de medias potenciales desde el mínimo hasta el máximo, y dos dividendos de corona: la desigualdad de Carleman y Hölder leída como dualidad. Todo se demuestra; nada se importa.

Problema 8.1

Problema de fin de semana — Young, Hölder, Minkowski y la cadena de medias potenciales

En todo el problema, $p, q > 1$ son exponentes conjugados: $\frac1p + \frac1q = 1$ ; los vectores son $a = (a_1, \dots, a_n) \in \R^n$ ; y los pesos $\lambda_i > 0$ cumplen $\sum_i\lambda_i = 1$ .

Parte I — Criterios y Jensen estricto.

Sea $f$ derivable sobre un intervalo $I$ . Demuestra que $f$ es convexa si y solo si $f'$ es creciente (una implicación pasando al límite en la desigualdad de las pendientes, Lema 8.4; la otra por el teorema del valor medio). Deduce el criterio $C^2$ : $f'' \geq 0$ .
Supongamos $f'' > 0$ sobre $I$ . Demuestra que $f$ es estrictamente convexa (desigualdad estricta para $x \neq y$ y $\lambda \in \intoo01$ ) y que una función estrictamente convexa cumple la desigualdad de Jensen (Teorema 8.5 (3)) con igualdad únicamente cuando todos los $x_i$ coinciden.
Certifica las materias primas de la caja: $-\ln$ es estrictamente convexa sobre $\intoo{0}{+\infty}$ ; $t \mapsto t^r$ es allí estrictamente convexa para $r > 1$ y estrictamente cóncava para $0 < r < 1$ ; y $\exp$ es estrictamente convexa sobre $\R$ .
(Desigualdad de Young) Para $a, b \geq 0$ , demuestra que

$ab \;\leq\; \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q},$

con igualdad si y solo si $a^p = b^q$ (aplica la concavidad de $\ln$ a los dos puntos $a^p, b^q$ con pesos $\frac1p, \frac1q$ ).
Vuelve a deducir en una línea, a partir de la concavidad de $\ln$ , la desigualdad ponderada entre las medias aritmética y geométrica:

$\prod_i x_i^{\lambda_i} \leq \sum_i\lambda_ix_i \qquad (x_i > 0),$

con su caso de igualdad; compárala con la vía del límite del Ejercicio 8.6.

Parte II — Hölder y Minkowski. Escribamos $\norm{a}_p = \bigl(\sum_i \abs{a_i}^p\bigr)^{1/p}$ y $\norm{a}_\infty = \max_i\abs{a_i}$ .

(Hölder) Demuestra que

$\sum_{i=1}^{n}\abs{a_ib_i} \;\leq\; \norm a_p\,\norm b_q ,$

con igualdad si y solo si los vectores $(\abs{a_i}^p)$ y $(\abs{b_i}^q)$ son proporcionales (normaliza $\norm a_p = \norm b_q = 1$ y aplica Young término a término).
Identifica los casos particulares: $p = q = 2$ (Cauchy–Schwarz) y el par extremo $(p, q) = (1, \infty)$ : enuncia y demuestra $\sum\abs{a_ib_i} \leq \norm a_1\norm b_\infty$ .
(Minkowski) Para $p \geq 1$ , demuestra que

$\norm{a + b}_p \leq \norm a_p + \norm b_p$

(escribe $\abs{a_i + b_i}^p \leq \abs{a_i + b_i}^{p-1}(\abs{a_i} + \abs{b_i})$ y aplica Hölder a cada producto). Concluye: $\norm\cdot_p$ es una norma sobre $\R^n$ para todo $p \in \intco{1}{+\infty}$ , completando el panorama del Capítulo 5.
Versiones integrales: para $f, g$ continuas sobre $\intcc{a}{b}$ , enuncia y demuestra Hölder y Minkowski para $\norm f_p = \bigl(\int_a^b\abs f^p\bigr)^{1/p}$ (las mismas demostraciones, con la positividad estricta de la integral para la discusión de la igualdad).
Demuestra la monotonía $\norm a_q \leq \norm a_p$ para $1 \leq p \leq q$ , el límite $\norm a_p \to \norm a_\infty$ cuando $p \to \infty$ , y la comparación inversa con la constante óptima:

$\norm a_p \leq n^{\frac1p - \frac1q}\,\norm a_q$

(Hölder contra el vector constante). Identifica los vectores que alcanzan cada igualdad.
(Interpolación) Para $1 \leq p < r < q$ y $\theta \in \intoo01$ con $\frac1r = \frac\theta p + \frac{1-\theta}q$ , demuestra que

$\norm a_r \leq \norm a_p^{\theta}\, \norm a_q^{1-\theta}$

(aplica Hölder con exponentes $\frac{p}{\theta r}$ y $\frac{q}{(1-\theta)r}$ a $\abs{a_i}^{\theta r}\abs{a_i}^{(1-\theta)r}$ ).

Parte III — La cadena de medias potenciales, al completo. Para $p \neq 0$ pongamos $M_p = \bigl(\sum_i\lambda_i x_i^p\bigr)^{1/p}$ (con $x_i > 0$ ), y $M_0 = \prod_i x_i^{\lambda_i}$ .

Demuestra que $p \mapsto M_p$ es creciente en todo $\R^*$ : trata el caso $p < q < 0$ mediante la identidad recíproca $M_{-p}(x) = M_p(1/x)^{-1}$ , y salva el paso por $0$ probando que $M_p \leq M_0 \leq M_q$ para $p < 0 < q$ (aplica la concavidad de $\ln$ a $x_i^q$ y la desigualdad invertida para exponentes negativos).
Demuestra los límites $M_p \to \max_i x_i$ cuando $p \to +\infty$ y $M_p \to \min_i x_i$ cuando $p \to -\infty$ .
Escribe la cadena $\min \leq \mathrm{MH} \leq \mathrm{MG} \leq \mathrm{MA} \leq \mathrm{MC} \leq \max$ para pesos iguales, y demuestra la consecuencia clásica: para $a_1, \dots, a_n$ positivos,

$\Bigl(\sum_i a_i\Bigr)\Bigl(\sum_i\frac1{a_i}\Bigr) \geq n^2 .$
Relaciona medias y normas: para pesos iguales $\lambda_i = \frac1n$ se tiene $M_p(x) = n^{-1/p}\norm x_p$ . Reconcilia en una frase las dos monotonías —las medias crecen con $p$ mientras que las normas decrecen (pregunta 10)— mediante el factor $n^{-1/p}$ .
Determina los casos de igualdad a lo largo de toda la cadena de la pregunta 14 (con pesos positivos): la igualdad en cualquier punto obliga a que todos los $x_i$ sean iguales; la convexidad estricta rinde sus frutos.

Parte IV — Dividendos.

(Young con mando) Para $a, b \geq 0$ y $\varepsilon > 0$ , demuestra que

$ab \leq \varepsilon\,\frac{a^p}{p} + \varepsilon^{-q/p}\,\frac{b^q}{q},$

y el caso caballo de batalla $ab \leq \varepsilon a^2 + \frac{b^2}{4\varepsilon}$ : el truco de absorción usado por todo el análisis.
(Camino a Carleman) Sea $c_k = \frac{(k+1)^k}{k^{k-1}}$ . Demuestra la identidad telescópica $\prod_{k=1}^{n}c_k = (n+1)^n$ y deduce, aplicando la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica a los números $c_ka_k$ ,

$(a_1a_2\cdots a_n)^{1/n} \leq \frac{1}{n(n+1)}\sum_{k=1}^{n} c_k a_k \qquad (a_k > 0).$
(Desigualdad de Carleman) Suma sobre $n$ , intercambia el orden de sumación (familias sumables positivas, Teorema 7.14) y usa $\sum_{n \geq k}\frac{1}{n(n+1)} = \frac1k$ y $c_k/k = \bigl(1 + \frac1k\bigr)^k < \eu$ para concluir: para toda serie convergente $\sum a_k$ de términos positivos,

$\sum_{n=1}^{\infty}(a_1a_2\cdots a_n)^{1/n} \;\leq\; \eu\sum_{k=1}^{\infty}a_k .$
Para $f$ continua y positiva sobre $\intcc{0}{1}$ , demuestra que

$\Bigl(\int_0^1 f\Bigr)\Bigl(\int_0^1\frac1f\Bigr) \geq 1,$

con igualdad si y solo si $f$ es constante (Cauchy–Schwarz sobre $\sqrt f\cdot\frac1{\sqrt f}$ ).
(Geometría de las bolas) Usando el caso de igualdad de Minkowski, prueba que para $1 < p < \infty$ la esfera unidad de $\norm\cdot_p$ no contiene ningún segmento (la norma es estrictamente convexa en el sentido del Problema 5.1), mientras que para $p = 1$ y $p = \infty$ sí lo contiene: exhibe las piezas planas.

Parte V — Dualidad y síntesis.

(Hölder como dualidad) Demuestra que para todo $a \in \R^n$

$\norm a_p = \max_{\norm b_q \leq 1}\ \sum_i a_ib_i ,$

exhibiendo explícitamente un $b$ maximizante. (La $p$ -norma es la dual de la $q$ -norma: el germen en dimensión finita de la dualidad $L^p$ .)
(Momentos) Sea $X$ una variable aleatoria que toma un número finito de valores positivos $x_i$ con probabilidades $\lambda_i$ . Reformula la pregunta 12 así: $r \mapsto \E[X^r]^{1/r}$ es creciente; es la desigualdad de momentos (de Liapunov), que se reutilizará en el Capítulo 22.
Resuelve con herramientas nombradas, en dos líneas cada uno: (i) para $a, b, c$ positivos, $a^3 + b^3 + c^3 \geq \frac{(a+b+c)^3}{9}$ ; (ii) para $x_1, \dots, x_n$ positivos, $\bigl(\sum_i\sqrt{x_i}\bigr)^2 \leq n\sum_i x_i$ .
(Síntesis) Traza la genealogía en cinco frases: de la definición por cuerdas al lema de las pendientes; de las pendientes a las rectas de apoyo y a Jensen; de la concavidad de $\ln$ a Young, a Hölder, a Minkowski y a las $p$ -normas; de Jensen a la cadena de medias potenciales y a los momentos; de la desigualdad entre medias aritmética y geométrica a Carleman. Nombra las cumbres (Hölder–Minkowski; Carleman) y di adónde se dirige la caja de herramientas: a los espacios $L^p$ del volumen del tercer año, cuyos axiomas son exactamente las preguntas 6 y 8.

Solución

Solución de Problema 8.1.

1. Convexa $\Rightarrow$ $f'$ creciente: para $a < b$ , la desigualdad de las pendientes da, para $h > 0$ pequeño, $\frac{f(a+h) - f(a)}h \leq \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \leq \frac{f(b) - f(b-h)}{h}$ ; haciendo $h \to 0$ : $f'(a) \leq \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \leq f'(b)$ . Recíprocamente, si $f'$ crece y $x < y < z$ , el teorema del valor medio da $c_1 \in \intoo{x}{y}$ y $c_2 \in \intoo yz$ con

\frac{f(y) - f(x)}{y - x} = f'(c_1) \leq f'(c_2) = \frac{f(z) - f(y)}{z - y},

y esa desigualdad de pendientes con tres puntos, aplicada con $y = \lambda x + (1 - \lambda)z$ , se reordena hasta la desigualdad de convexidad. Para $C^2$ : $f'' \geq 0$ si y solo si $f'$ crece.

2. Si $f'' > 0$ , entonces $f'$ es estrictamente creciente, y el cálculo anterior con el valor medio da una desigualdad estricta entre las dos pendientes de cuerda: convexidad estricta. Apoyo estricto: en un punto interior $a$ con pendiente de apoyo $m$ , si $f(x_0) = f(a) + m(x_0 - a)$ para algún $x_0 \neq a$ , entonces sobre el segmento de $a$ a $x_0$ la recta de apoyo y la cuerda coinciden, y la convexidad estricta en el punto medio da $f\bigl(\frac{a + x_0}2\bigr) < f(a) + m\,\frac{x_0 - a}2$ , en contra de la desigualdad de apoyo. Luego $f(x) > f(a) + m(x - a)$ para todo $x \neq a$ . Jensen estricto: con $a = \sum\lambda_ix_i$ , promediar las desigualdades de apoyo da $\sum\lambda_if(x_i) \geq f(a)$ , con igualdad si y solo si cada término es una igualdad, es decir, si y solo si todo $x_i = a$ .

3. $(-\ln)'' = \frac1{t^2} > 0$ ; $(t^r)'' = r(r - 1)t^{r-2}$ , positiva para $r > 1$ y negativa para $0 < r < 1$ ; y $\exp'' = \exp > 0$ . Todo estricto por la pregunta 2.

4. Los casos $ab = 0$ son triviales. Para $a, b > 0$ , concavidad de $\ln$ en los puntos $a^p, b^q$ con pesos $\frac1p, \frac1q$ :

\ln\Bigl(\frac{a^p}p + \frac{b^q}q\Bigr) \geq \frac1p\ln(a^p) + \frac1q\ln(b^q) = \ln(ab),

y $\ln$ es creciente: $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ . Igualdad si y solo si los dos puntos coinciden (concavidad estricta): $a^p = b^q$ .

5. Concavidad de $\ln$ con pesos $\lambda_i$ : $\ln\bigl(\sum\lambda_ix_i\bigr) \geq \sum\lambda_i\ln x_i = \ln\prod x_i^{\lambda_i}$ ; exponénciese. Igualdad si y solo si todos los $x_i$ son iguales (pregunta 2). La vía del Ejercicio 8.6 obtenía la misma desigualdad como límite de medias potenciales; aquí es una sola aplicación de Jensen: la caja de herramientas trae redundancia de serie.

6. Si $a = 0$ o $b = 0$ , la desigualdad es trivial. Normalicemos: sustituyendo $a$ por $a/\norm a_p$ y $b$ por $b/\norm b_q$ , podemos suponer $\norm a_p = \norm b_q = 1$ y hay que probar $\sum\abs{a_ib_i} \leq 1$ . Young término a término:

\sum_i\abs{a_i}\abs{b_i} \leq \sum_i\Bigl(\frac{\abs{a_i}^p}{p} + \frac{\abs{b_i}^q}{q}\Bigr) = \frac1p + \frac1q = 1 .

Igualdad si y solo si cada desigualdad de Young es ajustada: $\abs{a_i}^p = \abs{b_i}^q$ para todo $i$ ; deshecha la normalización, $(\abs{a_i}^p)$ es proporcional a $(\abs{b_i}^q)$ .

7. $p = q = 2$ es Cauchy–Schwarz, con el mismo caso de igualdad (proporcionalidad). Extremo: $\sum\abs{a_ib_i} \leq \bigl(\max_i\abs{b_i}\bigr)\sum_i\abs{a_i} = \norm a_1\norm b_\infty$ , inmediato término a término.

8. Para $p = 1$ es la desigualdad triangular término a término. Para $p > 1$ , con $q$ conjugado:

\norm{a+b}_p^p = \sum_i\abs{a_i + b_i}^p \leq \sum_i\abs{a_i+b_i}^{p-1}\abs{a_i} + \sum_i\abs{a_i+b_i}^{p-1}\abs{b_i},

y Hölder en cada suma, notando que $(p - 1)q = p$ :

\sum_i\abs{a_i+b_i}^{p-1}\abs{a_i} \leq \Bigl(\sum_i\abs{a_i+b_i}^{p}\Bigr)^{1/q}\norm a_p = \norm{a + b}_p^{p/q}\,\norm a_p ,

y análogamente con $b$ . Por tanto $\norm{a+b}_p^p \leq \norm{a + b}_p^{p/q}\bigl(\norm a_p + \norm b_p\bigr)$ ; si $a + b \neq 0$ , divídase por $\norm{a+b}_p^{p/q}$ y úsese $p - \frac pq = 1$ . Junto con la homogeneidad y la separación (claras), $\norm\cdot_p$ es una norma sobre $\R^n$ .

9. Para $f, g$ continuas sobre $\intcc ab$ : Hölder

\int_a^b\abs{fg} \leq \Bigl(\int_a^b\abs f^p\Bigr)^{1/p}\Bigl(\int_a^b\abs g^q\Bigr)^{1/q}

mediante la misma normalización más Young puntual, integrado; y Minkowski $\norm{f + g}_p \leq \norm f_p + \norm g_p$ mediante la misma separación y Hölder en cada pieza. La separación de la norma usa la positividad estricta: una función continua $\abs f^p$ de integral nula es idénticamente nula (volumen del primer año).

10. Monotonía: podemos suponer $\norm a_p = 1$ ; entonces cada $\abs{a_i} \leq 1$ , luego $\abs{a_i}^q \leq \abs{a_i}^p$ y $\norm a_q^q \leq 1$ : $\norm a_q \leq 1 = \norm a_p$ . La igualdad exige $\abs{a_i}^q = \abs{a_i}^p$ para todo $i$ , es decir, $\abs{a_i} \in \{0, 1\}$ ; con $\sum\abs{a_i}^p = 1$ esto deja exactamente una coordenada de módulo $1$ : hay igualdad si y solo si $a$ tiene a lo sumo una coordenada no nula. Límite: $\norm a_\infty \leq \norm a_p \leq n^{1/p}\norm a_\infty$ y $n^{1/p} \to 1$ . Comparación inversa: Hölder con exponentes $\frac qp$ y su conjugado $\frac{q}{q-p}$ , aplicado a $\abs{a_i}^p\cdot 1$ :

\norm a_p^p = \sum_i\abs{a_i}^p\cdot 1 \leq \Bigl(\sum_i\abs{a_i}^{q}\Bigr)^{p/q}\,n^{1 - p/q} = \norm a_q^{p}\; n^{1-p/q},

de donde $\norm a_p \leq n^{\frac1p - \frac1q}\norm a_q$ , con igualdad si y solo si todos los $\abs{a_i}$ son iguales (el caso de igualdad de Hölder contra el vector constante).

11. Escribamos $\abs{a_i}^r = \abs{a_i}^{\theta r}\,\abs{a_i}^{(1-\theta)r}$ y apliquemos Hölder con los exponentes conjugados $\frac{p}{\theta r}$ y $\frac{q}{(1-\theta)r}$ (conjugados precisamente porque $\frac{\theta r}p + \frac{(1-\theta)r}q = 1$ ):

\norm a_r^r = \sum_i \abs{a_i}^{\theta r}\abs{a_i}^{(1-\theta)r} \leq \Bigl(\sum_i\abs{a_i}^{p}\Bigr)^{\theta r/p} \Bigl(\sum_i\abs{a_i}^{q}\Bigr)^{(1-\theta)r/q} = \norm a_p^{\theta r}\,\norm a_q^{(1-\theta)r} .

Tomando raíces $r$ -ésimas: las $p$ -normas son log-convexas en $\frac1p$ .

12. Ambos negativos: si $p < q < 0$ , entonces $0 < -q < -p$ , y $M_{-q}(y) \leq M_{-p}(y)$ para los exponentes positivos (caso del curso, Ejemplo 8.8) aplicado a $y = (1/x_i)$ ; invertir la identidad $M_p(x) = M_{-p}(1/x)^{-1}$ invierte la desigualdad hasta $M_p(x) \leq M_q(x)$ . Puente: para $q > 0$ , la concavidad de $\ln$ da $\ln M_q = \frac1q\ln\bigl(\sum\lambda_ix_i^q\bigr) \geq \frac1q\sum\lambda_i\ln x_i^q = \ln M_0$ ; para $p < 0$ , esa misma concavidad da $\ln\bigl(\sum\lambda_ix_i^p\bigr) \geq p\sum\lambda_i\ln x_i$ , y dividir por $p < 0$ invierte: $\ln M_p \leq \ln M_0$ . Por tanto $M_p \leq M_0 \leq M_q$ siempre que $p < 0 < q$ : junto con los dos casos de igual signo, $M$ crece en todo $\R^*$ (y a través de $0$ ).

13. Sea $x_{\max} = \max x_i$ , alcanzado en $i^*$ . Para $p > 0$ :

\lambda_{i^*}^{1/p}\,x_{\max} \leq M_p \leq x_{\max},

y $\lambda_{i^*}^{1/p} \to 1$ : $M_p \to x_{\max}$ . Para $p \to -\infty$ : $M_p(x) = M_{-p}(1/x)^{-1} \to \bigl(\max_i\frac1{x_i}\bigr)^{-1} = \min_ix_i$ .

14. Con $\lambda_i = \frac1n$ , la cadena $M_{-\infty} \leq M_{-1} \leq M_0 \leq M_1 \leq M_2 \leq M_{+\infty}$ se lee

\min \leq \frac{n}{\sum\frac1{a_i}} \leq \Bigl(\prod a_i\Bigr)^{1/n} \leq \frac{\sum a_i}{n} \leq \sqrt{\frac{\sum a_i^2}{n}} \leq \max .

La desigualdad entre las medias aritmética y armónica ( $M_{-1} \leq M_1$ ) se reordena directamente hasta $\bigl(\sum a_i\bigr)\bigl(\sum\frac1{a_i}\bigr) \geq n^2$ .

15. Con pesos iguales, $M_p(x) = \bigl(\frac1n\sum\abs{x_i}^p\bigr)^{1/p} = n^{-1/p}\norm x_p$ . Al crecer $p$ , $\norm x_p$ decrece (pregunta 10), pero el normalizador $n^{-1/p}$ crece más deprisa, y el producto crece (pregunta 12): las medias promedian, las normas acumulan, y el factor $n^{-1/p}$ es exactamente el tipo de cambio entre ambos convenios contables.

16. Cada eslabón es un caso de Jensen estricto (pregunta 2) con las funciones estrictamente convexas o cóncavas de la pregunta 3 ( $t^{q/p}$ , $\ln$ ), de modo que la igualdad en cualquier eslabón obliga a que todos los $x_i$ sean iguales; y $\min = M_p$ o $M_p = \max$ obligan igualmente a que todos los valores sean iguales al extremo común. La cadena es estricta en cuanto dos $x_i$ difieren.

17. Apliquemos Young (pregunta 4) al par $\varepsilon^{1/p}a$ y $\varepsilon^{-1/p}b$ :

ab = (\varepsilon^{1/p}a)(\varepsilon^{-1/p}b) \leq \varepsilon\,\frac{a^p}p + \varepsilon^{-q/p}\,\frac{b^q}q .

Para $p = q = 2$ , sustituyendo $\varepsilon$ por $2\varepsilon$ : $ab \leq \varepsilon a^2 + \frac{b^2}{4\varepsilon}$ , la desigualdad de absorción: un producto se cambia por un múltiplo pequeño de un cuadrado más un múltiplo grande del otro.

18. Suma telescópica:

\prod_{k=1}^{n}c_k = \frac{\prod_{k=1}^n(k+1)^k} {\prod_{k=1}^{n}k^{k-1}} = \frac{2^1\,3^2\cdots(n+1)^n}{1^0\,2^1\cdots n^{n-1}} = (n+1)^n,

cancelándose cada factor $(k+1)^k$ del numerador contra el término siguiente del denominador. Desigualdad entre medias aritmética y geométrica sobre los $n$ números $c_ka_k$ :

(a_1\cdots a_n)^{1/n} = \frac{\bigl(\prod_k c_ka_k\bigr)^{1/n}}{(n+1)} \leq \frac{1}{n+1}\cdot\frac1n\sum_{k=1}^{n}c_ka_k .

19. Sumando sobre $n$ e intercambiando las dos sumaciones (todos los términos positivos: Teorema 7.14):

\sum_{n\geq1}(a_1\cdots a_n)^{1/n} \leq \sum_{n\geq1}\frac{1}{n(n+1)}\sum_{k=1}^{n}c_ka_k = \sum_{k\geq1}c_ka_k\sum_{n\geq k}\frac1{n(n+1)} = \sum_{k\geq1}\frac{c_ka_k}{k},

usando la suma telescópica $\sum_{n\geq k}\bigl(\frac1n - \frac1{n+1}\bigr) = \frac1k$ . Por último, $\frac{c_k}k = \frac{(k+1)^k}{k^k} = \bigl(1 + \frac1k\bigr)^k < \eu$ (sucesión creciente de límite $\eu$ , volumen del primer año):

\sum_{n\geq1}(a_1\cdots a_n)^{1/n} \leq \eu\sum_{k\geq1}a_k :

la desigualdad de Carleman. (La constante $\eu$ es óptima, aunque no lo demostramos.)

20. Cauchy–Schwarz (pregunta 9, $p = q = 2$ ) aplicado a $\sqrt f$ y $\frac1{\sqrt f}$ :

1 = \Bigl(\int_0^1\sqrt f\cdot\frac{1}{\sqrt f}\Bigr)^{2} \leq \Bigl(\int_0^1 f\Bigr)\Bigl(\int_0^1\frac1f\Bigr).

Igualdad si y solo si $\sqrt f$ y $\frac1{\sqrt f}$ son proporcionales, es decir, $f^2$ constante, es decir, $f$ constante ( $f > 0$ y continua).

21. Sean $1 < p < \infty$ , $\norm a_p = \norm b_p = 1$ , $a \neq b$ , y supongamos $\bigl\Vert\frac{a+b}2\bigr\Vert_p = 1$ , es decir, que Minkowski es una igualdad para $a, b$ . Siguiendo la demostración de la pregunta 8, la igualdad fuerza la igualdad en ambas aplicaciones de Hölder y en las desigualdades triangulares término a término: $(\abs{a_i}^p)$ y $(\abs{b_i}^p)$ son ambas proporcionales a $(\abs{a_i + b_i}^p)$ , y $a_i, b_i$ tienen el mismo signo; luego $b = ta$ para cierto $t \geq 0$ , y $\norm b_p = \norm a_p$ da $t = 1$ : $b = a$ , contradicción. Así pues, la $p$ -esfera no contiene el punto medio de dos puntos distintos de la esfera: no contiene ningún segmento. Para $p = \infty$ en $\R^2$ : todos los $(1, t)$ con $\abs t \leq 1$ están en la esfera unidad —una arista plana—; y para $p = 1$ lo está el segmento $(t, 1 - t)$ , $t \in \intcc01$ .

22. Para $a = 0$ ambos miembros se anulan. En otro caso, Hölder acota todo $\sum a_ib_i$ por $\norm a_p\norm b_q \leq \norm a_p$ . Se alcanza tomando

b_i = \frac{\operatorname{sign}(a_i)\,\abs{a_i}^{p-1}} {\norm a_p^{p/q}} : \qquad \norm b_q^q = \frac{\sum_i\abs{a_i}^{(p-1)q}}{\norm a_p^{p}} = \frac{\norm a_p^p}{\norm a_p^p} = 1, \quad \sum_ia_ib_i = \frac{\norm a_p^p}{\norm a_p^{p/q}} = \norm a_p ,

usando $(p-1)q = p$ y $p - \frac pq = 1$ . Así pues, el supremo es un máximo e igual a $\norm a_p$ : cada $p$ -norma es la norma dual de su conjugada, el germen de la dualidad $L^p$ – $L^q$ .

23. $\E[X^r] = \sum_i\lambda_ix_i^r$ , de modo que $\E[X^r]^{1/r} = M_r(x; \lambda)$ , creciente en $r$ por la pregunta 12 (y a través de $r \to 0, \pm\infty$ por las preguntas 12–13): la desigualdad de momentos de Liapunov, puramente un enunciado sobre medias potenciales ponderadas. Regresa para variables aleatorias auténticas en el Capítulo 22.

24. (i) Medias potenciales $M_1 \leq M_3$ con pesos iguales: $\frac{a+b+c}3 \leq \bigl(\frac{a^3+b^3+c^3}3\bigr)^{1/3}$ ; elévese al cubo y multiplíquese por $3$ : $a^3 + b^3 + c^3 \geq \frac{(a+b+c)^3}9$ . (ii) Cauchy–Schwarz contra el vector constante: $\sum_i\sqrt{x_i}\cdot1 \leq \bigl(\sum_ix_i\bigr)^{1/2}n^{1/2}$ ; elévese al cuadrado.

25. La definición por cuerdas da el lema de las pendientes con una sola reordenación algebraica; las pendientes comprimidas en un punto producen derivadas laterales y rectas de apoyo, cuya media ponderada es Jensen. Aplicado a $-\ln$ , Jensen pasa a ser Young, que sumado contra vectores normalizados es Hölder, que separado y reabsorbido es Minkowski; y así nacen las $p$ -normas del Capítulo 5, con su dualidad (pregunta 22) y su geometría (pregunta 21). Jensen aplicado a lo largo de la escala de potencias encadena todas las medias desde el $\min$ hasta el $\max$ (preguntas 12–14), que leído sobre variables aleatorias es la desigualdad de momentos (pregunta 23). Y la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica, ponderada con un truco telescópico, da la cota de Carleman con su constante irreducible $\eu$ (preguntas 18–19). Cumbres: Hölder–Minkowski y Carleman. Destino: los espacios $L^p$ del volumen del tercer año, cuyos axiomas fundacionales son exactamente las preguntas 6 y 8 con integrales en lugar de sumas.