Matemáticas universitarias — Grado 2 · Bachelor Year 2

8Funciones de una variable real

Antes de que el análisis pase a funciones de funciones (Capítulo 10) vale la pena conocer el paisaje de una variable con mayor detalle que Se requiere el año 1: qué tan discontinua puede ser una función monótona, qué tan regular debe ser una función convexa y qué propiedades especiales disfrute de derivados (Darboux). Estos resultados estructurales son breves, agudo y querido por los examinadores.

8.1 Funciones monótonas

Teorema 8.1 (Regularidad de funciones monótonas)

Sea $f \colon I \to \R$ creciente en un intervalo.

En cada punto interior $a$ , existen límites unilaterales:

$f(a^-) = \sup_{x < a} f(x) \;\leq\; f(a) \;\leq\; f(a^+) = \inf_{x > a} f(x) ;$

cada discontinuidad es un saltar.
El conjunto de discontinuidades de $f$ es como máximo contable.

Demostración. (1) El conjunto $\{f(x) : x < a\}$ no está vacío, limitado arriba por $f(a)$ : su supremo $s$ satisface $f(x) \to s$ como $x \to a^-$ (dado $\varepsilon$ , algo de $f(x_0) > s - \varepsilon$ y monotonicidad atrapa $f(x) \in \intoc{s - \varepsilon}{s}$ para $x \in \intoo{x_0}{a}$ ). Simétricamente a la derecha.

(2) A cada discontinuidad $a$ adjunte el intervalo abierto no vacío $J_a = \intoo{f(a^-)}{f(a^+)}$ (un auténtico salto). Para $a < b$ discontinuidades, $J_a$ y $J_b$ son disjuntas: $f(a^+) \leq f(c) \leq f(b^-)$ para cualquier $c$ entre ellas. Cada $J_a$ contiene un racional; discontinuidades distintas obtienen racionales distintos: una inyección de la discontinuidad establecida en $\Q$ , que es contable (Proposición 1.6). ∎

Ejemplo 8.2

El límite es claro: corrija una enumeración $(r_n)$ de $\Q \cap \intoo{0}{1}$ y establezca $f(x) = \sum_{n : r_n \leq x} 2^{-n}$ (una definición de familia resumible, Definición 7.8). Entonces $f$ está aumentando en $\intcc{0}{1}$ y discontinuo exactamente en cada racional de $\intoo{0}{1}$ (salte $2^{-n}$ en $r_n$ ): una función monótona poder será discontinuo sobre un conjunto contable denso.

Ejemplo 8.3 (Los saltos no pueden pesar más que la subida.)

Para $f$ aumentando en $\intcc{a}{b}$ , los saltos tienen un presupuesto: si $a < c_1 < \dots < c_m < b$ son discontinuidades con saltos $s_i = f(c_i^+) - f(c_i^-) > 0$ , luego eligiendo entrelazado puntos $a < c_1 < t_1 < c_2 < \dots$ y usando monotonicidad en cada pieza,

\sum_{i=1}^{m} s_i \;\leq\; f(b) - f(a) :

el ascenso total limita el salto total. Consecuencia: para cada $k$ , como máximo $k\,\bigl(f(b) - f(a)\bigr)$ discontinuidades tiene salto $\geq \frac1k$ — un refinamiento cuantitativo de Teorema 8.1 (2), desde el conjunto de discontinuidades es la unión contable sobre $k$ de estos conjuntos finitos. en el función de salto racional anterior, el presupuesto se gasta exactamente: los saltos $2^{-n}$ suman a $1 = f(1^+) - f(0^-)$ en lo obvio sentido extendido. Las funciones monótonas pueden saltar densamente, pero sólo con una estricta asignación.

8.2 Funciones convexas

Lema 8.4 (Desigualdad de pendiente)

Sea $f$ convexo en $I$ y $x < y < z$ en $I$ . entonces

\frac{f(y) - f(x)}{y - x} \;\leq\; \frac{f(z) - f(x)}{z - x} \;\leq\; \frac{f(z) - f(y)}{z - y} :

las pendientes de las cuerdas aumentan en ambos puntos finales.

Demostración. Escribe $y = \frac{z - y}{z - x}\,x + \frac{y - x}{z - x}\,z$ : a combinación convexa, ya que los dos coeficientes son positivos y suma a $1$ . La convexidad da

f(y) \;\leq\; \frac{z-y}{z-x}\,f(x) + \frac{y-x}{z-x}\,f(z).

Para la desigualdad izquierda, reste $f(x)$ de ambos lados, usando $\frac{z-y}{z-x} - 1 = -\frac{y-x}{z-x}$ :

f(y) - f(x) \leq \frac{y - x}{z - x}\bigl(f(z) - f(x)\bigr),

y dividir por $y - x > 0$ . Para la desigualdad correcta, reste en lugar de $f(z)$ :

f(z) - f(y) \geq f(z) - \frac{z-y}{z-x}f(x) - \frac{y-x}{z-x}f(z) = \frac{z - y}{z - x}\bigl(f(z) - f(x)\bigr),

y dividir por $z - y > 0$ . Ambos pasos mostrados son iguales. identidad baricéntrica leída frente a un punto final diferente. ∎

Teorema 8.5 (Regularidad de funciones convexas)

Sea $f$ convexo en un intervalo $I$ .

En cada punto interior, $f$ tiene finitos unilaterales. derivados $f'_g \leq f'_d$ ; ambas son funciones crecientes del punto; en particular $f$ es continuo en el interior de $I$ (pero posiblemente no en los puntos finales).
$f$ se encuentra encima de cada línea de apoyo: para interior $a$ y cualquier $m \in \intcc{f'_g(a)}{f'_d(a)}$ ,

$f(x) \geq f(a) + m(x - a) \qquad (x \in I).$
(Jensen, ponderado) Para $x_i \in I$ y pesos $\lambda_i \geq 0$ , $\sum\lambda_i = 1$ :

$f\Bigl(\sum_i \lambda_i x_i\Bigr) \leq \sum_i \lambda_i f(x_i) .$

Demostración. (1) Repare el interior de $a$ . Por Lema 8.4, la pendiente $\tau(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$ es una función creciente de $h$ (en ambos lados, y $\tau(h_-) \leq \tau(h_+)$ para $h_- < 0 < h_+$ ). Por lo tanto, $\tau$ tiene un límite finito como $h \to 0^-$ (creciente, delimitado arriba por cualquier pendiente recta) — esto es $f'_g(a)$ — y como $h \to 0^+$ ( $f'_d(a)$ ), con $f'_g(a) \leq f'_d(a)$ . finito Las derivadas unilaterales fuerzan continuidad en $a$ . Monotonicidad en el punto: para $a < b$ interior, $f'_d(a) \leq \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \leq f'_g(b)$ , nuevamente por la desigualdad de pendiente.

(2) Para $x > a$ : $\frac{f(x) - f(a)}{x - a} \geq f'_d(a) \geq m$ ; para $x < a$ : $\frac{f(a) - f(x)}{a - x} \leq f'_g(a) \leq m$ . ambos reorganizar al reclamo.

(3) Inducción en el número de puntos exactamente como en el Año 1 volumen (el caso de dos puntos es la definición) — o de un solo trazo: aplicar (2) en $a = \sum\lambda_i x_i$ y promediar la línea de soporte desigualdades en los puntos $x_i$ con pesos $\lambda_i$ : $\sum_i \lambda_i f(x_i) \geq f(a) + m\sum_i\lambda_i(x_i - a) = f(a)$ . ∎

Convexidad en una imagen: entre -1.5 y 2 el gráfica de f(x) = x2 se mantiene por debajo de su cuerda (la definición) y por encima de la línea de soporte en x = 0.5 ( (2)) — cada desigualdad de esta El problema del fin de semana del capítulo es una reordenación de estos dos posiciones. — Convexidad en una imagen: entre $-1.5$ y $2$ el gráfica de $f(x) = x^2$ se mantiene por debajo de su cuerda (la definición) y por encima de la línea de soporte en $x = 0.5$ (Teorema 8.5 (2)) — cada desigualdad de esta El problema del fin de semana del capítulo es una reordenación de estos dos posiciones.

Ejemplo 8.6 (Discontinuidad del punto final)

En $\intcc{0}{1}$ , la función $f(0) = 1$ , $f(x) = 0$ para $x > 0$ es convexo pero discontinuo en el punto final $0$ : la declaración (1) es agudo.

Ejemplo 8.7 (Esquinas y haz de líneas de soporte)

Para $f(x) = \abs x$ en $a = 0$ : las derivadas unilaterales son $f'_g(0) = -1$ y $f'_d(0) = +1$ , y Teorema 8.5 (2) reparte una línea de apoyo para cada pendiente $m \in \intcc{-1}{1}$ :

\abs x \geq m\,x \qquad (x \in \R,\ -1 \leq m \leq 1),

cada una una igualdad exactamente en una media línea o en $0$ . un convexo La función es diferenciable en $a$ precisamente cuando la gavilla se colapsa en una sola línea ( $f'_g(a) = f'_d(a)$ ); las esquinas llevan un intervalo de tangentes. Esta gavilla es de dimensión finita. germen del subdiferencial de optimización convexa — y la razón por la que las funciones convexas son tan robustas: incluso cuando La derivada falla, la geometría de soporte sobrevive, que es todo. que utilizó la prueba de Jensen.

Ejemplo 8.8 (Desigualdad media de potencia)

Para $0 < p < q$ y $x_i$ positivo con pesos $\lambda_i$ sumando a $1$ , aplicando Jensen al $t \mapsto t^{q/p}$ convexo en los puntos $x_i^p$ :

\Bigl(\sum \lambda_i x_i^{p}\Bigr)^{1/p} \leq \Bigl(\sum \lambda_i x_i^{q}\Bigr)^{1/q} :

potencia significa aumentar con el exponente — que contiene AM–QM, y, en el límite $p \to 0$ (Ejercicio 8.6), el AM–GM una vez más la desigualdad.

La potencia media M_p de los valores 1, 2, 4 (igual pesos), en función del exponente p: aumentando desde = 1 (como p -∈fty) a = 4 (como p +∈fty), pasando por el armónico (p = -1), geométrico (el espacio en p = 0, valor 2), medias aritméticas (p = 1) y cuadráticas (p = 2). Toda la cadena de desigualdades medias clásicas es una curva creciente — probada en el fin de semana de este capítulo problema, Parte III. — La potencia media $M_p$ de los valores $1, 2, 4$ (igual pesos), en función del exponente $p$ : aumentando desde $\min = 1$ (como $p \to -\infty$ ) a $\max = 4$ (como $p \to +\infty$ ), pasando por el armónico ( $p = -1$ ), geométrico (el espacio en $p = 0$ , valor $2$ ), medias aritméticas ( $p = 1$ ) y cuadráticas ( $p = 2$ ). Toda la cadena de desigualdades medias clásicas es una curva creciente — probada en el fin de semana de este capítulo problema, Parte III.

Ejemplo 8.9 (Entropía máxima)

Para un vector de probabilidad $(p_1, \dots, p_n)$ (positivo, sumando $1$ ), la entropía $H(p) = -\sum_i p_i\ln p_i$ satisface

H(p) \leq \ln n , \qquad\text{with equality iff } p_i = \frac1n \text{ for all } i .

Prueba de Jensen (Teorema 8.5 (3)) aplicada a el cóncavo $\ln$ con pesos $p_i$ en los puntos $\frac{1}{p_i}$ :

H(p) = \sum_i p_i\ln\frac{1}{p_i} \leq \ln\Bigl(\sum_i p_i\,\frac1{p_i}\Bigr) = \ln n ,

igualdad obligando a todos los puntos $\frac1{p_i}$ iguales (estricta concavidad), es decir, $p$ uniforme. De manera equivalente, esto es Ejercicio 8.7 con uniforme $q$ . La incertidumbre es maximizado por la ignorancia uniformemente extendida — la variación Principio detrás de la codificación, la mecánica estadística y la entropía. apariciones de Capítulo 22.

Método 8.10 (Encontrar la función convexa detrás de una desigualdad)

La mayoría de las desigualdades clásicas son Jensen disfrazado; desnudarse uno: (1) normalizar para que aparezca promedio ponderado (pesos positivos, sumando $1$ — dividir por una masa total si necesario); (2) observe qué función se aplica dentro versus fuera del promedio: el reclamo “ $f(\text{average}) \leq$ el promedio de $f$ ” nombra el convexo $f$ ; (3) certificar la convexidad mediante la segunda derivada, y manejar la igualdad a través del rigor; (4) si no se ve ningún promedio, tome primero los logaritmos — productos y las potencias se convierten en promedios, y la concavidad de $\ln$ lleva AM–GM, Young y sus familiares (el fin de semana de este capítulo problema ejecuta los pasos 1 a 4 en cada uno de ellos). Si incluso los logaritmos lo hacen no revela un promedio, intente leer la desigualdad como monotonicidad de pendientes (Lema 8.4) — declaraciones de superaditividad como Ejercicio 8.9 en vivo allí.

Observación 8.11 (Errores comunes)

(i) Los productos $x$ y $(x - 1)^2$ no conservan la convexidad. son convexos en $\intcc{0}{2}$ , pero su producto $x(x-1)^2$ tiene segunda derivada $6x - 4$ , negativa en $\intco{0}{\frac23}$ — no convexo; ni se conserva la convexidad por composición sin monotonicidad (Ejercicio 8.10). (ii) Jensen gira hacia el cóncavo funciones: la mitad de las desigualdades clásicas son las cóncavas $\ln$ -versión; aplicar la forma convexa a $\ln$ es la forma más rápida de demostrar AM–GM hacia atrás. (iii) Punto medio la convexidad por sí sola no implica convexidad — continuidad (o se necesita mera delimitación) (Ejercicio 8.8); el Los contraejemplos patológicos viven más allá de los axiomas de este libro. (v) Una función convexa en un intervalo abierto es continuo, incluso localmente Lipschitz (Ejercicio 8.12); en puntos finales, nada es gratis. (v) Los derivados obedecen a Darboux pero No es necesario que sea continuo (Ejemplo 8.15): “ $f'$ no tiene saltos” nunca significa “ $f'$ es continuo”.

8.3 La propiedad Darboux

Teorema 8.12 (Darboux)

Sea $f$ diferenciable en un intervalo $I$ . Entonces $f'$ toma cada valor entre dos de sus valores — aunque $f'$ no necesita ser continuo.

Demostración. Deje $a < b$ en $I$ y $v$ estrictamente entre $f'(a)$ y $f'(b)$ , diga $f'(a) < v < f'(b)$ . La función $g(x) = f(x) - vx$ es diferenciable con $g'(a) < 0 < g'(b)$ : su mínimo en $\intcc{a}{b}$ (obtenido: continuidad en un compacto) no está en $a$ (justo después de $a$ , $g$ disminuye por debajo de $g(a)$ ) ni en $b$ (justo antes de $b$ , $g$ está debajo de $g(b)$ ): es interior, y allí $g'(c) = 0$ , es decir $f'(c) = v$ . (Este fue un ejercicio destacado del Año 1; es El lugar en la teoría es aquí.) ∎

Ejemplo 8.13 (¿Qué funciones son derivadas?)

El teorema de Darboux es una máquina de la inexistencia. La función del suelo $\lfloor x\rfloor$ no es la derivada de ninguna función en $\R$ : toma los valores $0$ y $1$ pero omite $\frac12$ en $\intcc{0}{1}$ , que Teorema 8.12 prohíbe derivados. El mismo veredicto afecta a todas las funciones con un salto — signo, Heaviside, todas las funciones escalonadas — por inocentes que sean ellos miran; sus “antiderivadas” ( $\abs x$ para signo, etc.) existe sólo lejos del salto y anuda allí con una esquina. Contraste: el tremendamente discontinuo $f'$ de Ejemplo 8.15 is un derivado — es la discontinuidad es una oscilación que Darboux tolera. el El límite entre los dos comportamientos es exactamente el mismo. Corolario sin saltos a continuación.

Corolario 8.14

Un derivado no tiene discontinuidades de salto: si $f'(a^-)$ y $f'(a^+)$ existen, son iguales a $f'(a)$ . Las discontinuidades de un derivadas son siempre de tipo oscilación ( $x^2\sin\frac1x$ ’s derivado en $0$ , volumen del año 1).

Demostración. Si $f'(a^+) = \lim_{x\to a^+} f'(x)$ existe y difiere de $f'(a)$ , los valores estrictamente entre ellos serán omitidos por $f'$ en un barrio correcto — contradiciendo a Darboux a intervalos $\intcc{a}{a + h}$ . (Alternativamente: el teorema del valor medio obliga $f'(a) = \lim_{h\to0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = f'(a^+)$ , el el cociente de diferencias es un valor $f'$ en un punto intermedio). Lo mismo a la izquierda. ∎

Ejemplo 8.15 (La derivada oscilante canónica)

Deje $f(x) = x^2\sin\frac1x$ para $x \neq 0$ y $f(0) = 0$ . en $0$ : $\bigl|\frac{f(h) - f(0)}{h}\bigr| = \abs{h\sin\frac1h} \leq \abs h \to 0$ , por lo que $f'(0) = 0$ existe. Lejos de $0$ ,

f'(x) = 2x\sin\frac1x - \cos\frac1x ,

cuyo primer término tiende a $0$ mientras que $\cos\frac1x$ oscila hasta $\intcc{-1}{1}$ en cada intervalo $\intoo{0}{\delta}$ : el El límite $f'(0^+)$ no existe. Entonces $f'$ está definido en todas partes menos discontinuo en $0$ — y, exactamente como Corolario 8.14 predice, la discontinuidad es una oscilación, no un salto: en cada $\intoo{0}{\delta}$ , $f'$ todavía barre un intervalo completo alrededor de $0$ . Los derivados pueden ser salvajes, pero sólo de forma compatible con Darboux.

Observación 8.16 (Dónde se utiliza este capítulo)

La convexidad es el motor de la industria de la desigualdad: esto El problema del fin de semana del capítulo fabrica Young, Hölder, Minkowski y la cadena de potencia-significa de ella, que Capítulo 5’s norma la teoría y las estimaciones integrales de Capítulo 9 consumen; Jensen reaparece en probabilidad como el momento de las desigualdades de Capítulo 22. La regularidad monótona regresa en Capítulo 9 (las funciones monótonas son integrables) y, en el volumen del Año 3, como la diferenciabilidad casi en todas partes de funciones monótonas — donde “contablemente muchos saltos” se convierte en el primer paso de la teoría de Lebesgue.

8.4 Ceremonias

Ejercicio 8.1 ★

Determinar los conjuntos de discontinuidades y los tamaños de salto: $\lfloor x \rfloor$ ; $\;x - \lfloor x\rfloor$ ; $\;\lfloor x \rfloor + \sqrt{x - \lfloor x\rfloor}$ ; la función del siguiente ejemplo Teorema 8.1 restringido a racionales diádicos $r_n$ .

Solución

Solución de Ejercicio 8.1.

$\lfloor x\rfloor$ : saltos de tamaño $1$ en cada número entero. $x - \lfloor x\rfloor$ : saltos de tamaño $-1$ en números enteros (límite izquierdo $1$ , valor $0$ ). $\lfloor x\rfloor + \sqrt{x - \lfloor x\rfloor}$ : en un entero $n$ , límite izquierdo $(n - 1) + 1 = n$ y valor $n$ : continuo en todas partes (la raíz cuadrada repara el salto), aunque no diferenciable en números enteros. La función de salto racional: restringiendo la construcción a una enumeración de las diádicas, salta por $2^{-n}$ exactamente en el $n$ -ésimo racional diádico y es continuo en otro lugar.

Ejercicio 8.2 ★

Demuestre que una función creciente $f \colon I \to \R$ con la propiedad de valor intermedio (su imagen de cualquier subintervalo es una intervalo) es continuo.

Solución

Solución de Ejercicio 8.2.

Supongamos que el aumento de $f$ tiene una discontinuidad en el interior de $a$ : entonces $f(a^-) < f(a^+)$ (Teorema 8.1) y la imagen de $I$ pierde el intervalo abierto no vacío $\intoo{f(a^-)}{f(a^+)}$ excepto posiblemente el valor único $f(a)$ : la imagen de cualquier subintervalo que contenga $a$ en su interior no es un intervalo (tiene un hueco en al menos un lado de $f(a)$ ). esto contradice la propiedad del valor intermedio. Punto final Las discontinuidades se excluyen del mismo modo en el caso de huecos unilaterales.

Ejercicio 8.3 ★

¿Cuáles de los siguientes son convexos en su dominio? $x \mapsto x\ln x$ ( $x > 0$ ); $\;x \mapsto \ln(1 + \eu^x)$ ; $\;x \mapsto \sqrt{1 + x^2}$ ; $\;x \mapsto x^3$ .

Solución

Solución de Ejercicio 8.3.

$x\ln x$ : segunda derivada $\frac1x > 0$ : convexa. $\ln(1 + \eu^x)$ : derivada $\frac{\eu^x}{1 + \eu^x} = 1 - \frac{1}{1 + \eu^x}$ , creciente: convexa. $\sqrt{1 + x^2}$ : segunda derivada $(1 + x^2)^{-3/2} > 0$ : convexo. $x^3$ : no convexo en $\R$ ( $f'' = 6x$ cambia de signo); convexo solo en $\R_+$ .

Ejercicio 8.4 ★★

Sea $f$ convexo en $\R$ y acotado arriba. Demuestre que $f$ es constante. (If $f(a) \neq f(b)$ , the slope inequality propagates the nonzero chord slope: beyond the point with the larger value, $f$ grows at least linearly — contradicting boundedness. Treat both signs of the slope.) Deducir que una función convexa en $\R$ con una asíntota en ambos extremos es afín.

Solución

Solución de Ejercicio 8.4.

Supongamos $f(a) \neq f(b)$ , digamos $f(b) > f(a)$ con $a < b$ (el caso $f(b) < f(a)$ es simétrico, mirando hacia la izquierda). Para $x > b$ , la pendiente desigualdad (Lema 8.4) en $a < b < x$ da

\frac{f(x) - f(a)}{x - a} \geq \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = m > 0 \quad\Longrightarrow\quad f(x) \geq f(a) + m(x - a) \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty,

limitación contradictoria arriba. Por tanto, $f$ es constante.

Asíntotas: si $f(x) - (\alpha x + \beta) \to 0$ en $+\infty$ y $f(x) - (\alpha' x + \beta') \to 0$ en $-\infty$ , el convexo la función $g(x) = f(x) - (\alpha x + \beta)$ está limitada arriba cerca $+\infty$ ; convexidad más una asíntota en $-\infty$ (que fuerza $\alpha' \leq \alpha$ y luego $\alpha' = \alpha$ comparando pendientes en $\mp\infty$ : pendientes de una función convexa aumentan) hace $g$ acotado arriba en todo $\R$ , por lo tanto constante $= 0$ en el límite: $f$ es afín.

Ejercicio 8.5 ★★

Sea $f$ diferenciable en $I$ con $f'$ monótono. demostrar que $f'$ es continuo (combine Teorema 8.1 and Corolario 8.14).

Solución

Solución de Ejercicio 8.5.

$f'$ es monótono, por lo que Teorema 8.1 es el único posibles discontinuidades son saltos, existiendo límites unilaterales en todas partes. Por Corolario 8.14, un derivado no tiene discontinuidades de salto. Por lo tanto, $f'$ no tiene ninguna discontinuidad: continuo.

Ejercicio 8.6 ★★

(Media geométrica como límite) Para $x_i$ positivo y pesos $\lambda_i$ sumando $1$ , probar

\lim_{p \to 0^+} \Bigl(\sum_i \lambda_i x_i^p\Bigr)^{1/p} = \prod_i x_i^{\lambda_i} ,

vía $x_i^p = \eu^{p\ln x_i} = 1 + p\ln x_i + O(p^2)$ , y deducir la desigualdad AM-GM ponderada de Ejemplo 8.8.

Solución

Solución de Ejercicio 8.6.

Toma logaritmos:

\frac1p \ln\Bigl(\sum_i \lambda_i x_i^p\Bigr) = \frac1p \ln\Bigl(1 + p\sum_i \lambda_i \ln x_i + O(p^2)\Bigr) = \sum_i \lambda_i \ln x_i + O(p) \xrightarrow[p \to 0^+]{} \sum_i \lambda_i \ln x_i ,

utilizando $\sum\lambda_i = 1$ y $\ln(1 + u) = u + O(u^2)$ . La potenciación da la media geométrica. Ahora, para cada $p \in \intoo{0}{1}$ , la desigualdad de media potencia (Ejemplo 8.8, exponentes $p < 1$ ) da

\Bigl(\sum_i \lambda_i x_i^p\Bigr)^{1/p} \leq \sum_i\lambda_i x_i ;

dejando $p \to 0^+$ a la izquierda se obtiene $\prod_i x_i^{\lambda_i} \leq \sum_i \lambda_i x_i$ : la desigualdad AM-GM ponderada.

Ejercicio 8.7 ★★

(Desigualdad de entropía) Usando la convexidad estricta de $t \mapsto t\ln t$ , demuestre que para $p_i, q_i$ positivo con $\sum p_i = \sum q_i = 1$ :

\sum_i p_i \ln\frac{p_i}{q_i} \geq 0 ,

con igualdad si $p = q$ . (Write the left side as $\sum q_i\, \varphi\bigl(\frac{p_i}{q_i}\bigr)$ with $\varphi(t) = t\ln t$ and apply Jensen with weights $q_i$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 8.7.

Con $\varphi(t) = t\ln t$ (convexo: $\varphi'' = \frac1t > 0$ ) y pesos $q_i$ en los puntos $t_i = \frac{p_i}{q_i}$ :

\sum_i p_i \ln\frac{p_i}{q_i} = \sum_i q_i\, \varphi\Bigl(\frac{p_i}{q_i}\Bigr) \;\geq\; \varphi\Bigl(\sum_i q_i \frac{p_i}{q_i}\Bigr) = \varphi(1) = 0 ,

por Jensen (Teorema 8.5 (3)). Igualdad en Jensen para una función convexa estrictamente fuerza todos los puntos $t_i$ para que coincida: $\frac{p_i}{q_i}$ constante, y sumatoria, la La constante es $1$ : $p = q$ . (Esta cantidad — el Kullback–Leibler divergencia — retornos en el mundo de Capítulo 22.)

Ejercicio 8.8 ★★★

(Convexidad del punto medio) $f \colon I \to \R$ es punto medio convexo cuando $f\bigl(\frac{x+y}{2}\bigr) \leq \frac{f(x) + f(y)}{2}$ siempre. Demuestre que una función convexa de punto medio continuo es convexo. (Establish the convexity inequality for dyadic weights $\frac{k}{2^m}$ by induction on $m$ , then pass to the limit using density and continuidad.)

Solución

Solución de Ejercicio 8.8.

Pesos diádicos. Por inducción sobre $m$ : el caso $m = 1$ es el hipótesis. Para el peso $\lambda = \frac{k}{2^{m+1}}$ (impar $k$ ), escriba $\lambda = \frac12(\lambda_1 + \lambda_2)$ con $\lambda_j = \frac{k \mp 1}{2^{m+1}}$ , ambos del denominador $2^m$ después simplificación; entonces

f\bigl(\lambda x + (1{-}\lambda)y\bigr) = f\Bigl(\tfrac{u + v}{2}\Bigr) \leq \frac{f(u) + f(v)}{2} \leq \lambda f(x) + (1 - \lambda) f(y),

donde $u = \lambda_1 x + (1 - \lambda_1)y$ y $v = \lambda_2 x + (1-\lambda_2)y$ , usando la convexidad del punto medio y luego la inducción hipótesis sobre $u, v$ .

Paso al límite. Para $\lambda \in \intcc{0}{1}$ arbitrario, tome diádicas $\lambda_n \to \lambda$ : continuidad de $f$ y de los mapas afines pasa la desigualdad $f(\lambda_n x + (1-\lambda_n)y) \leq \lambda_n f(x) + (1-\lambda_n)f(y)$ al límite: $f$ es convexo.

Ejercicio 8.9 ★★★

Sea $f$ convexo en $\intco{0}{+\infty}$ con $f(0) \leq 0$ . probar que $x \mapsto \frac{f(x)}{x}$ está aumentando en $\intoo{0}{+\infty}$ , y deduce que para $f$ convexo con $f(0) = 0$ : $f(x + y) \geq f(x) + f(y)$ para $x, y \geq 0$ (superaditividad).

Solución

Solución de Ejercicio 8.9.

Para $0 < x < y$ : la desigualdad de pendiente (Lema 8.4) en los puntos $0 < x < y$ da

\frac{f(x) - f(0)}{x} \leq \frac{f(y) - f(0)}{y}, \qquad\text{i.e.}\qquad \frac{f(x)}{x} \leq \frac{f(y)}{y} + f(0)\Bigl(\frac1x - \frac1y\Bigr).

Desde $f(0) \leq 0$ y $\frac1x - \frac1y > 0$ , el último término es $\leq 0$ : $\frac{f(x)}{x} \leq \frac{f(y)}{y}$ . Entonces $x \mapsto \frac{f(x)}x$ aumenta.

Superaditividad para $f(0) = 0$ : para $x, y > 0$ (los casos con una variable cero son triviales),

f(x) = x\,\frac{f(x)}{x} \leq x\,\frac{f(x+y)}{x+y}, \qquad f(y) \leq y\,\frac{f(x+y)}{x+y},

por la monotonicidad recién demostrada; agregando da $f(x) + f(y) \leq f(x+y)$ .

Ejercicio 8.10 ★

Sea $f$ convexo en $I$ y $g$ convexo creciente en un intervalo que contiene $f(I)$ . Demuestre que $g \circ f$ es convexo y demuestre con un contraejemplo que la monotonicidad de $g$ no puede ser cayó.

Solución

Solución de Ejercicio 8.10.

Para $x, y \in I$ y $\lambda \in \intcc01$ : convexidad de $f$ , luego monotonicidad de $g$ , luego convexidad de $g$ :

g\bigl(f(\lambda x + (1{-}\lambda)y)\bigr) \leq g\bigl(\lambda f(x) + (1{-}\lambda)f(y)\bigr) \leq \lambda\,g(f(x)) + (1{-}\lambda)\,g(f(y)).

Contraejemplo sin monotonicidad: $g(t) = -t$ es convexo (afín) pero decreciente, $f(x) = x^2$ es convexo y $g \circ f = -x^2$ es estrictamente cóncavo.

Ejercicio 8.11 ★★

(Hermite–Hadamard) Sea $f$ convexo y continuo en $\intcc{a}{b}$ . probar

f\Bigl(\frac{a+b}{2}\Bigr) \;\leq\; \frac{1}{b - a}\int_a^b f(t)\,\dd t \;\leq\; \frac{f(a) + f(b)}{2} .

(Izquierda: integrar una línea de soporte en el punto medio. Derecha: atado $f$ por la cuerda.)

Solución

Solución de Ejercicio 8.11.

Desigualdad izquierda: deja a $m = \frac{a+b}2$ y toma un soporte. línea en $m$ (Teorema 8.5 (2)): $f(t) \geq f(m) + \mu(t - m)$ para todos los $t \in \intcc ab$ . Integrando sobre $\intcc{a}{b}$ : el término lineal se integra a $\mu\int_a^b(t - m)\dd t = 0$ (simetría alrededor de $m$ ), por lo que $\int_a^b f \geq (b - a)f(m)$ .

Desigualdad correcta: en $\intcc ab$ , límites de convexidad $f$ por su acorde: $f(t) \leq f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(t - a)$ . Integrando: $\int_a^b f \leq (b-a)f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\cdot\frac{(b-a)^2}2 = (b - a)\,\frac{f(a) + f(b)}2$ . dividir por $b - a$ .

Ejercicio 8.12 ★★★

Demuestre que una función convexa en un intervalo abierto $I$ es localmente Lipschitz: para cada segmento $\intcc{a}{b} \subseteq I$ y margen $\delta > 0$ con $\intcc{a - \delta}{b + \delta} \subseteq I$ , la restricción de $f$ a $\intcc{a}{b}$ es Lipschitz, con constante $\max\Bigl(\bigl|\frac{f(a) - f(a - \delta)}{\delta}\bigr|, \bigl|\frac{f(b + \delta) - f(b)}{\delta}\bigr|\Bigr)$ (atrapa cada pendiente de cuerda entre estos dos por la pendiente desigualdad).

Solución

Solución de Ejercicio 8.12.

Dejemos $a - \delta < a \leq x < y \leq b < b + \delta$ , todo en $I$ . Dos aplicaciones de la desigualdad de la pendiente. (Lema 8.4), primero a $a - \delta < a \leq x < y$ , luego a $x < y \leq b < b + \delta$ :

\frac{f(a) - f(a - \delta)}{\delta} \leq \frac{f(y) - f(x)}{y - x} \leq \frac{f(b + \delta) - f(b)}{\delta}

(Las pendientes de las cuerdas aumentan cuando ambos puntos finales se mueven hacia la derecha). Por lo tanto cada pendiente de cuerda dentro de $\intcc ab$ está atrapada entre dos fijos números, y

\abs{f(y) - f(x)} \leq K\,\abs{y - x}, \qquad K = \max\Bigl(\Bigl|\frac{f(a) - f(a-\delta)}{\delta}\Bigr|, \Bigl|\frac{f(b+\delta) - f(b)}{\delta}\Bigr|\Bigr):

$f$ es Lipschitz en $\intcc ab$ . Cada punto del abierto $I$ tiene un segmento con margen a su alrededor: localmente Lipschitz, por lo tanto (nuevamente) continuo en $I$ .

8.5 Problema: la caja de herramientas de convexidad

Una definición — la cuerda encima del gráfico — genera la toda la caja de herramientas de las desigualdades clásicas. Este problema de fin de semana lo construye en orden lógico: criterios de convexidad y estricto Jensen, luego Young, Hölder y Minkowski (las partidas de nacimiento de los $p$ -normas), la cadena potencia-media completa desde el mínimo hasta el máximo, y dos dividendos de corona — la desigualdad de Carleman, y Hölder leído como una dualidad. Todo está probado; nada es importado.

Problema 8.1

Problema de fin de semana — Joven, Hölder, Minkowski, y la cadena potencia-media

En todo momento, $p, q > 1$ son exponentes conjugados: $\frac1p + \frac1q = 1$ ; los vectores son $a = (a_1, \dots, a_n) \in \R^n$ ; los pesos $\lambda_i > 0$ satisfacen $\sum_i\lambda_i = 1$ .

Parte I — Criteria and strict Jensen.

Sea $f$ diferenciable en un intervalo $I$ . demostrar que $f$ es convexo si y sólo si $f'$ es creciente (one direction by passing to the limit in the slope inequality Lema 8.4; the other by the mean value theorem). Deducir el $C^2$ criterio $f'' \geq 0$ .
Supongamos $f''> 0$ en $I$ . Demuestre que $f$ es estrictamente convexo (desigualdad estricta para $x \neq y$ y $\lambda \in \intoo01$ ), y que un estrictamente convexo la función satisface la desigualdad de Jensen (Teorema 8.5 (3)) con igualdad solo cuando coincidan todos los $x_i$ .
Certificar las materias primas de la caja de herramientas: $-\ln$ es estrictamente convexo en $\intoo{0}{+\infty}$ ; $t \mapsto t^r$ es estrictamente convexo allí para $r > 1$ y estrictamente cóncavo para $0 < r < 1$ ; $\exp$ es estrictamente convexo en $\R$ .
(Desigualdad de Young) Para $a, b \geq 0$ , demuestre

$ab \;\leq\; \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q},$

con igualdad si y solo si $a^p = b^q$ (apply the concavity of $\ln$ to the two points $a^p, b^q$ with weights $\frac1p, \frac1q$ ).
Vuelva a derivar AM-GM ponderado en una línea del concavidad de $\ln$ :

$\prod_i x_i^{\lambda_i} \leq \sum_i\lambda_ix_i \qquad (x_i > 0),$

con el caso de igualdad; comparar con la ruta límite de Ejercicio 8.6.

Parte II — Hölder and Minkowski. Escribir $\norm{a}_p = \bigl(\sum_i \abs{a_i}^p\bigr)^{1/p}$ y $\norm{a}_\infty = \max_i\abs{a_i}$ .

(Hölder) Demostrar

$\sum_{i=1}^{n}\abs{a_ib_i} \;\leq\; \norm a_p\,\norm b_q ,$

con igualdad si y solo los vectores $(\abs{a_i}^p)$ y $(\abs{b_i}^q)$ son proporcionales (normalize $\norm a_p = \norm b_q = 1$ and apply Young termwise).
Identificar los casos especiales: $p = q = 2$ (Cauchy–Schwarz) y el par de puntos finales $(p, q) = (1, \infty)$ : estado y prueba $\sum\abs{a_ib_i} \leq \norm a_1\norm b_\infty$ .
(Minkowski) Para $p \geq 1$ , demuestre

$\norm{a + b}_p \leq \norm a_p + \norm b_p$

(write $\abs{a_i + b_i}^p \leq \abs{a_i + b_i}^{p-1}(\abs{a_i} + \abs{b_i})$ and apply Hölder to each product). Concluir: $\norm\cdot_p$ es un norma en $\R^n$ por cada $p \in \intco{1}{+\infty}$ , completando la imagen de Capítulo 5.
Versiones integrales: para $f, g$ continuo en $\intcc{a}{b}$ , declarar y probar Hölder y Minkowski para $\norm f_p = \bigl(\int_a^b\abs f^p\bigr)^{1/p}$ (mismas pruebas, con la estricta positividad de la integral para la igualdad discusión).
Demuestre la monotonicidad $\norm a_q \leq \norm a_p$ para $1 \leq p \leq q$ , el límite $\norm a_p \to \norm a_\infty$ como $p \to \infty$ y a la inversa. comparación con la constante aguda:

$\norm a_p \leq n^{\frac1p - \frac1q}\,\norm a_q$

(Hölder against the constant vector). Identificar los vectores que logran cada igualdad.
(Interpolación) Para $1 \leq p < r < q$ y $\theta \in \intoo01$ con $\frac1r = \frac\theta p + \frac{1-\theta}q$ , demuestre

$\norm a_r \leq \norm a_p^{\theta}\, \norm a_q^{1-\theta}$

(apply Hölder with exponents $\frac{p}{\theta r}$ and $\frac{q}{(1-\theta)r}$ to $\abs{a_i}^{\theta r}\abs{a_i}^{(1-\theta)r}$ ).

Parte III — The power-mean chain, complete. Para $p \neq 0$ , configure $M_p = \bigl(\sum_i\lambda_i x_i^p\bigr)^{1/p}$ ( $x_i > 0$ ) y $M_0 = \prod_i x_i^{\lambda_i}$ .

Demuestre que $p \mapsto M_p$ está aumentando en todos $\R^*$ : tratar $p < q < 0$ por la identidad recíproca $M_{-p}(x) = M_p(1/x)^{-1}$ y puentear a través de $0$ mediante mostrando $M_p \leq M_0 \leq M_q$ para $p < 0 < q$ (apply the concavity of $\ln$ to $x_i^q$ , and the reversed inequality for negative exponents).
Demuestre los límites $M_p \to \max_i x_i$ como $p \to +\infty$ y $M_p \to \min_i x_i$ como $p \to -\infty$ .
Escribe la cadena $\min \leq \mathrm{HM} \leq \mathrm{GM} \leq \mathrm{AM} \leq \mathrm{QM} \leq \max$ para pesos iguales y demuestra el clásico. consecuencia: para $a_1, \dots, a_n$ positivo,

$\Bigl(\sum_i a_i\Bigr)\Bigl(\sum_i\frac1{a_i}\Bigr) \geq n^2 .$
Relacionar medias con normas: para pesos iguales $\lambda_i = \frac1n$ , $M_p(x) = n^{-1/p}\norm x_p$ . reconciliar el dos monotonicidades — significa aumentar con $p$ mientras que normas disminuir (pregunta 10) — en uno oración sobre el factor $n^{-1/p}$ .
Determinar los casos de igualdad a lo largo de toda la cadena de Pregunta 14 (ponderaciones positivas): igualdad en cualquier lugar obliga a todos los $x_i$ a ser iguales — la convexidad estricta vale la pena.

Parte IV — Dividends.

(Joven con pomo) Para $a, b \geq 0$ y $\varepsilon > 0$ , probar

$ab \leq \varepsilon\,\frac{a^p}{p} + \varepsilon^{-q/p}\,\frac{b^q}{q},$

y el caso del caballo de batalla $ab \leq \varepsilon a^2 + \frac{b^2}{4\varepsilon}$ : el truco de absorción utilizado a lo largo del análisis.
(Hacia Carleman) Vamos $c_k = \frac{(k+1)^k}{k^{k-1}}$ . Pruebe la identidad telescópica $\prod_{k=1}^{n}c_k = (n+1)^n$ y deduzca, por AM–GM aplicado a los números $c_ka_k$ ,

$(a_1a_2\cdots a_n)^{1/n} \leq \frac{1}{n(n+1)}\sum_{k=1}^{n} c_k a_k \qquad (a_k > 0).$
(desigualdad de Carleman) Suma sobre $n$ , intercambia el orden de suma (familias sumable positivas, Teorema 7.14), y utilice $\sum_{n \geq k}\frac{1}{n(n+1)} = \frac1k$ y $c_k/k = \bigl(1 + \frac1k\bigr)^k < \eu$ para concluir: por cada $\sum a_k$ convergente con términos positivos,

$\sum_{n=1}^{\infty}(a_1a_2\cdots a_n)^{1/n} \;\leq\; \eu\sum_{k=1}^{\infty}a_k .$
Para $f$ continuo y positivo en $\intcc{0}{1}$ , probar

$\Bigl(\int_0^1 f\Bigr)\Bigl(\int_0^1\frac1f\Bigr) \geq 1,$

con igualdad si $f$ es constante (Cauchy–Schwarz on $\sqrt f\cdot\frac1{\sqrt f}$ ).
(Geometría de las bolas) Usando el caso de igualdad de Minkowski, demuestre que para $1 < p < \infty$ la unidad esfera de $\norm\cdot_p$ no contiene ningún segmento (el norma es estrictamente convexo en el sentido de Problema 5.1), mientras que para $p = 1$ y $p = \infty$ sí: exhibe las piezas planas.

Part V — Duality and synthesis.

(Hölder como dualidad) Demuestre que por cada $a \in \R^n$ ,

$\norm a_p = \max_{\norm b_q \leq 1}\ \sum_i a_ib_i ,$

exhibiendo una maximización $b$ explícitamente. (La norma $p$ es el dual de la norma $q$ — el de dimensión finita germen de la dualidad $L^p$ .)
(Momentos) Sea $X$ una variable aleatoria que tome números finitos muchos valores positivos $x_i$ con probabilidades $\lambda_i$ . Reformule la pregunta 12 como: $r \mapsto \E[X^r]^{1/r}$ está aumentando — el momento (Lyapunov) desigualdad, para ser reutilizada en Capítulo 22.
Resuelva con las herramientas nombradas, en dos líneas cada una: (i) para positivo $a, b, c$ : $a^3 + b^3 + c^3 \geq \frac{(a+b+c)^3}{9}$ ; (ii) para $x_1, \dots, x_n$ positivo: $\bigl(\sum_i\sqrt{x_i}\bigr)^2 \leq n\sum_i x_i$ .
(Síntesis) Dibuja la genealogía en cinco frases: acorde definición del lema de pendiente; pendientes para soportar líneas de Jensen; Concavidad de $\ln$ a Joven a Hölder a Minkowski según las normas $p$ ; Jensen al poder-medio cadena a momentos; AM–GM a Carleman. Nombra las cumbres (Hölder–Minkowski; Carleman), e indique dónde se encuentra La caja de herramientas se titula: los espacios $L^p$ del Año 3. volumen, cuyos axiomas son exactamente las preguntas 6 y 8.

Solución

Solución de Problema 8.1.

1. Convex $\Rightarrow$ $f'$ increasing: para $a < b$ , la desigualdad de pendiente da, para $h > 0$ pequeño, $\frac{f(a+h) - f(a)}h \leq \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \leq \frac{f(b) - f(b-h)}{h}$ ; dejando $h \to 0$ : $f'(a) \leq \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \leq f'(b)$ . En cambio, si $f'$ aumenta y $x < y < z$ : el teorema del valor medio da $c_1 \in \intoo{x}{y}$ , $c_2 \in \intoo yz$ con

\frac{f(y) - f(x)}{y - x} = f'(c_1) \leq f'(c_2) = \frac{f(z) - f(y)}{z - y},

y esta desigualdad de pendiente de tres puntos, aplicada con $y = \lambda x + (1 - \lambda)z$ , se reorganiza en la desigualdad de convexidad. Para $C^2$ : $f'' \geq 0$ si $f'$ aumenta.

2. Si $f'' > 0$ , $f'$ es estrictamente creciente y el El cálculo del valor medio anterior da una desigualdad estricto entre las dos pendientes de la cuerda: convexidad estricta. estricto soporte: en un $a$ interior con pendiente de apoyo $m$ , si $f(x_0) = f(a) + m(x_0 - a)$ para algún $x_0 \neq a$ , entonces en el segmento de $a$ a $x_0$ coinciden la línea de apoyo y la cuerda, y La convexidad estricta en el punto medio da $f\bigl(\frac{a + x_0}2\bigr) < f(a) + m\,\frac{x_0 - a}2$ , contradiciendo la apoyar la desigualdad. Entonces $f(x) > f(a) + m(x - a)$ para todos los $x \neq a$ . Jensen estricto: con $a = \sum\lambda_ix_i$ , promediando las desigualdades de soporte dan $\sum\lambda_if(x_i) \geq f(a)$ , con igualdad si cada término es una igualdad, es decir, si cada $x_i = a$ .

3. $(-\ln)'' = \frac1{t^2} > 0$ ; $(t^r)'' = r(r - 1)t^{r-2}$ , positivo para $r > 1$ , negativo para $0 < r < 1$ ; $\exp'' = \exp > 0$ . Todo estricto por la pregunta 2.

4. Los casos $ab = 0$ son triviales. Para $a, b > 0$ , concavidad de $\ln$ en los puntos $a^p, b^q$ con pesas $\frac1p, \frac1q$ :

\ln\Bigl(\frac{a^p}p + \frac{b^q}q\Bigr) \geq \frac1p\ln(a^p) + \frac1q\ln(b^q) = \ln(ab),

y $\ln$ aumenta: $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ . Igualdad si los dos puntos coinciden (concavidad estricta): $a^p = b^q$ .

5. Concavidad de $\ln$ con pesas $\lambda_i$ : $\ln\bigl(\sum\lambda_ix_i\bigr) \geq \sum\lambda_i\ln x_i = \ln\prod x_i^{\lambda_i}$ ; exponenciar. Igualdad si todo $x_i$ igual (pregunta 2). La ruta de Ejercicio 8.6 obtuvo la misma desigualdad que un límite de poder significa; aqui esta es una aplicación de Jensen — la caja de herramientas tiene redundancia incorporado.

6. Si $a = 0$ o $b = 0$ la desigualdad es trivial. Normalizar: reemplazando $a$ por $a/\norm a_p$ y $b$ por $b/\norm b_q$ , podemos asumir $\norm a_p = \norm b_q = 1$ y debemos mostrar $\sum\abs{a_ib_i} \leq 1$ . Jóvenes por trimestre:

\sum_i\abs{a_i}\abs{b_i} \leq \sum_i\Bigl(\frac{\abs{a_i}^p}{p} + \frac{\abs{b_i}^q}{q}\Bigr) = \frac1p + \frac1q = 1 .

Igualdad si cada desigualdad de Young es estricta: $\abs{a_i}^p = \abs{b_i}^q$ para todos $i$ — después de deshacer la normalización, $(\abs{a_i}^p)$ proporcional a $(\abs{b_i}^q)$ .

7. $p = q = 2$ es Cauchy–Schwarz con el mismo caso de igualdad (proporcionalidad). Punto final: $\sum\abs{a_ib_i} \leq \bigl(\max_i\abs{b_i}\bigr)\sum_i\abs{a_i} = \norm a_1\norm b_\infty$ , término inmediato.

8. Para $p = 1$ es la desigualdad del triángulo término a término. Para $p > 1$ , con conjugado $q$ :

\norm{a+b}_p^p = \sum_i\abs{a_i + b_i}^p \leq \sum_i\abs{a_i+b_i}^{p-1}\abs{a_i} + \sum_i\abs{a_i+b_i}^{p-1}\abs{b_i},

y Hölder en cada suma, anotando $(p - 1)q = p$ :

\sum_i\abs{a_i+b_i}^{p-1}\abs{a_i} \leq \Bigl(\sum_i\abs{a_i+b_i}^{p}\Bigr)^{1/q}\norm a_p = \norm{a + b}_p^{p/q}\,\norm a_p ,

lo mismo con $b$ . Por lo tanto $\norm{a+b}_p^p \leq \norm{a + b}_p^{p/q}\bigl(\norm a_p + \norm b_p\bigr)$ ; si $a + b \neq 0$ , divida por $\norm{a+b}_p^{p/q}$ y use $p - \frac pq = 1$ . con homogeneidad y separación (claro), $\norm\cdot_p$ es un norma en $\R^n$ .

9. Para continuo $f, g$ en $\intcc ab$ : Hölder

\int_a^b\abs{fg} \leq \Bigl(\int_a^b\abs f^p\Bigr)^{1/p}\Bigl(\int_a^b\abs g^q\Bigr)^{1/q}

por la misma normalización más puntualmente Young, integrado; y Minkowski $\norm{f + g}_p \leq \norm f_p + \norm g_p$ por el misma división, Hölder en cada pieza. Separación del norma utiliza positividad estricta: un continuo $\abs f^p$ con cero la integral desaparece de forma idéntica (volumen del año 1).

10. Monotonicidad: podemos suponer $\norm a_p = 1$ ; luego cada $\abs{a_i} \leq 1$ , entonces $\abs{a_i}^q \leq \abs{a_i}^p$ y $\norm a_q^q \leq 1$ : $\norm a_q \leq 1 = \norm a_p$ . La igualdad requiere $\abs{a_i}^q = \abs{a_i}^p$ por cada $i$ , es decir, cada $\abs{a_i} \in \{0, 1\}$ ; con $\sum\abs{a_i}^p = 1$ esto deja exactamente una coordenada del módulo $1$ : igualdad iff $a$ tiene como máximo una coordenada distinta de cero. Límite: $\norm a_\infty \leq \norm a_p \leq n^{1/p}\norm a_\infty$ y $n^{1/p} \to 1$ . Comparación inversa: Hölder con exponentes $\frac qp$ y su conjugado $\frac{q}{q-p}$ , aplicado a $\abs{a_i}^p\cdot 1$ :

\norm a_p^p = \sum_i\abs{a_i}^p\cdot 1 \leq \Bigl(\sum_i\abs{a_i}^{q}\Bigr)^{p/q}\,n^{1 - p/q} = \norm a_q^{p}\; n^{1-p/q},

de donde $\norm a_p \leq n^{\frac1p - \frac1q}\norm a_q$ , con igualdad si todos los $\abs{a_i}$ son iguales (la igualdad mayor Hölder caso contra el vector constante).

11. Escriba $\abs{a_i}^r = \abs{a_i}^{\theta r}\,\abs{a_i}^{(1-\theta)r}$ y aplique Hölder con el exponentes conjugados $\frac{p}{\theta r}$ y $\frac{q}{(1-\theta)r}$ (conjugado precisamente porque $\frac{\theta r}p + \frac{(1-\theta)r}q = 1$ ):

\norm a_r^r = \sum_i \abs{a_i}^{\theta r}\abs{a_i}^{(1-\theta)r} \leq \Bigl(\sum_i\abs{a_i}^{p}\Bigr)^{\theta r/p} \Bigl(\sum_i\abs{a_i}^{q}\Bigr)^{(1-\theta)r/q} = \norm a_p^{\theta r}\,\norm a_q^{(1-\theta)r} .

Tome las raíces $r$ -ésima: las normas $p$ son log-convexas en $\frac1p$ .

12. Ambos negativos: si $p < q < 0$ entonces $0 < -q < -p$ y $M_{-q}(y) \leq M_{-p}(y)$ para los exponentes positivos (caso del curso, Ejemplo 8.8) aplicado a $y = (1/x_i)$ ; invirtiendo la identidad $M_p(x) = M_{-p}(1/x)^{-1}$ invierte la desigualdad en $M_p(x) \leq M_q(x)$ . Puente: para $q > 0$ , la concavidad de $\ln$ da $\ln M_q = \frac1q\ln\bigl(\sum\lambda_ix_i^q\bigr) \geq \frac1q\sum\lambda_i\ln x_i^q = \ln M_0$ ; para $p < 0$ , lo mismo la concavidad da $\ln\bigl(\sum\lambda_ix_i^p\bigr) \geq p\sum\lambda_i\ln x_i$ , y al dividir por $p < 0$ se voltea: $\ln M_p \leq \ln M_0$ . Por lo tanto $M_p \leq M_0 \leq M_q$ siempre que $p < 0 < q$ : con los dos casos del mismo signo, $M$ aumenta en todos $\R^*$ (y hasta $0$ ).

13. Vamos $x_{\max} = \max x_i$ , alcanzado en $i^*$ . Para $p > 0$ :

\lambda_{i^*}^{1/p}\,x_{\max} \leq M_p \leq x_{\max},

y $\lambda_{i^*}^{1/p} \to 1$ : $M_p \to x_{\max}$ . Para $p \to -\infty$ : $M_p(x) = M_{-p}(1/x)^{-1} \to \bigl(\max_i\frac1{x_i}\bigr)^{-1} = \min_ix_i$ .

14. Con $\lambda_i = \frac1n$ , la cadena $M_{-\infty} \leq M_{-1} \leq M_0 \leq M_1 \leq M_2 \leq M_{+\infty}$ lee

\min \leq \frac{n}{\sum\frac1{a_i}} \leq \Bigl(\prod a_i\Bigr)^{1/n} \leq \frac{\sum a_i}{n} \leq \sqrt{\frac{\sum a_i^2}{n}} \leq \max .

AM–HM ( $M_{-1} \leq M_1$ ) se reorganiza directamente en $\bigl(\sum a_i\bigr)\bigl(\sum\frac1{a_i}\bigr) \geq n^2$ .

15. Con pesos iguales, $M_p(x) = \bigl(\frac1n\sum\abs{x_i}^p\bigr)^{1/p} = n^{-1/p}\norm x_p$ . A medida que $p$ crece, $\norm x_p$ disminuye (pregunta 10) pero el El normalizador $n^{-1/p}$ aumenta más rápido y el producto aumentos (pregunta 12): significa promedio, normas acumula, y el factor $n^{-1/p}$ es exactamente el tipo de cambio entre los Dos convenciones contables.

16. Cada enlace es una instancia de Jensen estricto. (pregunta 2) con las funciones estrictamente convexas/cóncavas de pregunta 3 ( $t^{q/p}$ , $\ln$ ), por lo que la igualdad en cualquier vínculo fuerza todos los $x_i$ iguales; y $\min = M_p$ o $M_p = \max$ igualmente obliga a todos los valores a ser iguales al extremo común. la cadena es estricto tan pronto como dos $x_i$ difieren.

17. Aplica Joven (pregunta 4) a la pareja $\varepsilon^{1/p}a$ y $\varepsilon^{-1/p}b$ :

ab = (\varepsilon^{1/p}a)(\varepsilon^{-1/p}b) \leq \varepsilon\,\frac{a^p}p + \varepsilon^{-q/p}\,\frac{b^q}q .

Para $p = q = 2$ , reemplazando $\varepsilon$ por $2\varepsilon$ : $ab \leq \varepsilon a^2 + \frac{b^2}{4\varepsilon}$ — el desigualdad de absorción: un producto se comercializa por un pequeño múltiplo de un cuadrado más un múltiplo grande del otro.

18. Telescópico:

\prod_{k=1}^{n}c_k = \frac{\prod_{k=1}^n(k+1)^k} {\prod_{k=1}^{n}k^{k-1}} = \frac{2^1\,3^2\cdots(n+1)^n}{1^0\,2^1\cdots n^{n-1}} = (n+1)^n,

cada factor $(k+1)^k$ del numerador cancelándose contra el siguiente término del denominador. AM–GM en los números $n$ $c_ka_k$ :

(a_1\cdots a_n)^{1/n} = \frac{\bigl(\prod_k c_ka_k\bigr)^{1/n}}{(n+1)} \leq \frac{1}{n+1}\cdot\frac1n\sum_{k=1}^{n}c_ka_k .

19. Sumando sobre $n$ e intercambiando las dos sumas (todos los términos positivos: Teorema 7.14):

\sum_{n\geq1}(a_1\cdots a_n)^{1/n} \leq \sum_{n\geq1}\frac{1}{n(n+1)}\sum_{k=1}^{n}c_ka_k = \sum_{k\geq1}c_ka_k\sum_{n\geq k}\frac1{n(n+1)} = \sum_{k\geq1}\frac{c_ka_k}{k},

utilizando el telescópico $\sum_{n\geq k}\bigl(\frac1n - \frac1{n+1}\bigr) = \frac1k$ . Finalmente $\frac{c_k}k = \frac{(k+1)^k}{k^k} = \bigl(1 + \frac1k\bigr)^k < \eu$ (secuencia creciente con límite $\eu$ , volumen Año 1):

\sum_{n\geq1}(a_1\cdots a_n)^{1/n} \leq \eu\sum_{k\geq1}a_k :

La desigualdad de Carleman. (La constante $\eu$ es óptima, aunque no lo pruebes.)

20. Cauchy–Schwarz (pregunta 9, $p = q = 2$ ) aplicada a $\sqrt f$ y $\frac1{\sqrt f}$ :

1 = \Bigl(\int_0^1\sqrt f\cdot\frac{1}{\sqrt f}\Bigr)^{2} \leq \Bigl(\int_0^1 f\Bigr)\Bigl(\int_0^1\frac1f\Bigr).

Igualdad si $\sqrt f$ y $\frac1{\sqrt f}$ son proporcionales, es decir, $f^2$ constante, es decir, $f$ constante ( $f > 0$ continuo).

21. Vamos $1 < p < \infty$ , $\norm a_p = \norm b_p = 1$ , $a \neq b$ , y supongamos $\bigl\Vert\frac{a+b}2\bigr\Vert_p = 1$ , es decir, Minkowski es una igualdad para $a, b$ . Seguimiento de las preguntas 8 prueba, la igualdad fuerza la igualdad en ambas aplicaciones Hölder y en las desigualdades del triángulo termino: $(\abs{a_i}^p)$ y $(\abs{b_i}^p)$ ambos proporcionales a $(\abs{a_i + b_i}^p)$ , y $a_i, b_i$ del mismo signo — por lo tanto $b = ta$ para algunos $t \geq 0$ , y $\norm b_p = \norm a_p$ da $t = 1$ : $b = a$ , contradicción. Entonces la esfera $p$ no contiene ningún punto medio de puntos de esfera distintos: sin segmento. Para $p = \infty$ en $\R^2$ : todos $(1, t)$ , $\abs t \leq 1$ , se encuentran en la esfera unitaria — un plano borde; para $p = 1$ : el segmento $(t, 1 - t)$ , $t \in \intcc01$ , lo hace.

22. Para $a = 0$ ambos lados desaparecen. De lo contrario Hölder limita cada $\sum a_ib_i$ por $\norm a_p\norm b_q \leq \norm a_p$ . Logro: tomar

b_i = \frac{\operatorname{sign}(a_i)\,\abs{a_i}^{p-1}} {\norm a_p^{p/q}} : \qquad \norm b_q^q = \frac{\sum_i\abs{a_i}^{(p-1)q}}{\norm a_p^{p}} = \frac{\norm a_p^p}{\norm a_p^p} = 1, \quad \sum_ia_ib_i = \frac{\norm a_p^p}{\norm a_p^{p/q}} = \norm a_p ,

utilizando $(p-1)q = p$ y $p - \frac pq = 1$ . Entonces el supremo es un máximo, igual a $\norm a_p$ : cada norma $p$ es la dual norma de su conjugado — el germen de la dualidad $L^p$ – $L^q$ .

23. $\E[X^r] = \sum_i\lambda_ix_i^r$ , entonces $\E[X^r]^{1/r} = M_r(x; \lambda)$ , aumentando en $r$ en pregunta 12 (y hasta $r \to 0, \pm\infty$ por preguntas 12–13): La desigualdad del momento de Lyapunov, puramente una afirmación sobre medios de potencia ponderados. Devuelve para variables aleatorias genuinas. en Capítulo 22.

24. (i) Potencia significa $M_1 \leq M_3$ con pesos iguales: $\frac{a+b+c}3 \leq \bigl(\frac{a^3+b^3+c^3}3\bigr)^{1/3}$ ; cubo y multiplicar por $3$ : $a^3 + b^3 + c^3 \geq \frac{(a+b+c)^3}9$ . (ii) Cauchy–Schwarz contra la constante vector: $\sum_i\sqrt{x_i}\cdot1 \leq \bigl(\sum_ix_i\bigr)^{1/2}n^{1/2}$ ; cuadrado.

25. La definición de cuerda produce el lema de pendiente en uno reordenamiento algebraico; pendientes apretadas en un punto producen derivados unilaterales y líneas de soporte, cuyo promedio ponderado Es Jensen. Aplicado a $-\ln$ , Jensen se vuelve Joven, lo cual sumado contra vectores normalizados es Hölder, que divide y reabsorbido es Minkowski — y las normas $p$ de Capítulo 5 nacen, con su dualidad (pregunta 22) y su geometría (pregunta 21). Jensen aplicó a lo largo del escala de poderes encadena todos los medios desde $\min$ hasta $\max$ (preguntas 12 a 14), que se lee en variables aleatorias es la desigualdad de momento (pregunta 23). Y AM-GM, ponderado por uno truco telescópico, produce el límite de Carleman con su constante irreducible $\eu$ (preguntas 18–19). Cumbres: Hölder: Minkowski y Carleman. Destino: el $L^p$ espacios del volumen del Año 3, cuyos axiomas fundamentales son exactamente preguntas 6 y 8 con integrales en lugar de sumas.