Matemáticas universitarias — Grado 2 · Bachelor Year 2

5Espacios vectoriales normados

Cuando el espacio métrico es un espacio vectorial y la distancia procede de una norma, la topología y el álgebra lineal empiezan a interactuar: las aplicaciones lineales son continuas exactamente cuando están acotadas sobre la bola unidad, la dimensión finita obliga a todas las normas a coincidir y la completitud convierte las series absolutamente convergentes en convergentes. La divisoria entre dimensión finita e infinita —cristalizada en el teorema de Riesz— es la lección más profunda del capítulo.

En todo el capítulo, $E, F$ son espacios vectoriales sobre $K = \R$ o $\C$ .

5.1 Normas

Definición 5.1

Una norma sobre $E$ es una aplicación $\norm{\,\cdot\,} \colon E \to \R_+$ tal que, para todos $x, y \in E$ y $\lambda \in K$ :

\norm x = 0 \iff x = 0, \qquad \norm{\lambda x} = \abs\lambda\,\norm x, \qquad \norm{x + y} \leq \norm x + \norm y .

Entonces $d(x, y) = \norm{x - y}$ es una distancia y se aplica todo el Capítulo 4. La desigualdad triangular inversa $\bigl|\norm x - \norm y\bigr| \leq \norm{x - y}$ hace que la propia norma sea $1$ -lipschitziana; la suma y la multiplicación por escalares son continuas (estimaciones $\norm{(x + y) - (x' + y')} \leq \norm{x - x'} + \norm{y - y'}$ , etc.).

Ejemplo 5.2

Sobre $K^n$ :

\norm{x}_1 = \sum_i \abs{x_i}, \qquad \norm{x}_2 = \Bigl(\sum_i \abs{x_i}^2\Bigr)^{1/2}, \qquad \norm{x}_\infty = \max_i \abs{x_i}

( $\norm\cdot_2$ es una norma por Cauchy–Schwarz, volumen del primer año). Sobre $C(\intcc{a}{b})$ :

\norm f_\infty = \sup \abs f, \qquad \norm f_1 = \int_a^b \abs f, \qquad \norm f_2 = \Bigl(\int_a^b \abs f^2\Bigr)^{1/2},

siendo las dos últimas normas gracias a la positividad estricta de la integral y a la desigualdad integral de Cauchy–Schwarz (volumen del primer año). Sobre matrices: cualquier norma sobre $\mathcal M_n(K) \simeq K^{n^2}$ ; las normas de operador de más abajo son las estructuralmente importantes.

Definición 5.3 (Normas equivalentes)

Dos normas $N_1, N_2$ sobre $E$ son equivalentes cuando existen constantes $c, C > 0$ con

c\,N_1 \leq N_2 \leq C\, N_1 .

Dos normas equivalentes tienen los mismos abiertos, las mismas sucesiones convergentes y de Cauchy, y los mismos subconjuntos compactos y completos: el mismo análisis.

Ejemplo 5.4 (No equivalencia en dimensión infinita)

Sobre $C(\intcc{0}{1})$ se cumple siempre $\norm f_1 \leq \norm f_\infty$ , pero no hay ninguna cota recíproca: $f_n(x) = x^n$ tiene $\norm{f_n}_\infty = 1$ y $\norm{f_n}_1 = \frac{1}{n+1} \to 0$ . Así pues, $f_n \to 0$ para $\norm\cdot_1$ pero no para $\norm\cdot_\infty$ : las dos normas discrepan sobre la propia noción de convergencia.

Ejemplo 5.5 (Constantes explícitas en dimensión $n$ )

Sobre $K^n$ , las tres normas clásicas son equivalentes con constantes óptimas:

\norm x_\infty \leq \norm x_2 \leq \norm x_1 \leq \sqrt n\,\norm x_2 \leq n\,\norm x_\infty ,

donde la cota central $\norm x_1 \leq \sqrt n\norm x_2$ procede de Cauchy–Schwarz contra el vector de unos. Vectores extremales: $e_1$ convierte las dos primeras desigualdades en igualdades, y $(1, 1, \dots, 1)$ las dos últimas. La dimensión $n$ aparece visiblemente en las constantes: es la semilla cuantitativa del fracaso en dimensión infinita, pues cuando $n \to \infty$ no sobrevive ninguna constante uniforme, que es exactamente lo que exhibe el Ejemplo 5.4 sobre espacios de funciones.

Las bolas unidad de las tres normas clásicas de ℝ2, encajadas tal como dictan las desigualdades del : bola más pequeña, norma más grande. La redondez importa: los lados planos del rombo y del cuadrado son exactamente los fallos de convexidad estricta que se explotan en el problema de fin de semana del y en el de este capítulo (pregunta 4). — Las bolas unidad de las tres normas clásicas de $\R^2$ , encajadas tal como dictan las desigualdades del Ejemplo 5.5: bola más pequeña, norma más grande. La redondez importa: los lados planos del rombo y del cuadrado son exactamente los fallos de convexidad estricta que se explotan en el problema de fin de semana del Capítulo 8 y en el de este capítulo (pregunta 4).

5.2 Aplicaciones lineales continuas

Teorema 5.6 (Caracterización)

Para una aplicación lineal $u \colon E \to F$ entre espacios normados, las afirmaciones siguientes son equivalentes:

$u$ es continua;
$u$ es continua en $0$ ;
$u$ está acotada sobre la bola unidad cerrada: $\sup_{\norm x \leq 1} \norm{u(x)} < \infty$ ;
existe $C \geq 0$ con $\norm{u(x)} \leq C \norm x$ para todo $x$ ;
$u$ es lipschitziana.

La menor de esas constantes $C$ es la norma de operador $\vertiii{u} = \sup_{\norm x \leq 1}\norm{u(x)} = \sup_{x \neq 0} \frac{\norm{u(x)}}{\norm x}$ ; hace del espacio $\mathcal{L}_c(E, F)$ de las aplicaciones lineales continuas un espacio normado, con

\vertiii{v \circ u} \leq \vertiii v\, \vertiii u .

Demostración. (1 $\Rightarrow$ 2) es trivial. (2 $\Rightarrow$ 3): la continuidad en $0$ con $\varepsilon = 1$ da un $\delta$ con $\norm x \leq \delta \Rightarrow \norm{u(x)} \leq 1$ ; la homogeneidad reduce entonces cualquier $x$ con $\norm x \leq 1$ dentro de esa bola y lo devuelve:

\norm{u(x)} = \frac1\delta\,\norm{u(\delta x)} \leq \frac1\delta ,

ya que $\norm{\delta x} \leq \delta$ . (3 $\Rightarrow$ 4): para $x \neq 0$ , aplíquese la cota a $\frac{x}{\norm x}$ . (4 $\Rightarrow$ 5): $\norm{u(x) - u(y)} = \norm{u(x - y)} \leq C\norm{x - y}$ . (5 $\Rightarrow$ 1) es conocido.

Axiomas de norma para $\vertiii\cdot$ : la homogeneidad y la separación son claras ( $\vertiii u = 0$ obliga a $u = 0$ sobre la bola y, por tanto, en todas partes); la desigualdad triangular sale de $\norm{(u + v)(x)} \leq \norm{u(x)} + \norm{v(x)}$ . Submultiplicatividad: $\norm{v(u(x))} \leq \vertiii v\,\norm{u(x)} \leq \vertiii v \vertiii u \norm x$ . ∎

Ejemplo 5.7

Sobre $\bigl(C(\intcc{0}{1}), \norm\cdot_\infty\bigr)$ : la evaluación $f \mapsto f(0)$ tiene norma de operador $1$ ; la integración $f \mapsto \int_0^1 f$ tiene norma $1$ ; la aplicación $f \mapsto \int_0^1 t f(t)\dd t$ tiene norma $\int_0^1 t\,\dd t = \frac12$ (cota superior por la desigualdad triangular para integrales, alcanzada en $f \equiv 1$ ). Pero la derivación, de $(C^1, \norm\cdot_\infty)$ en $(C^0, \norm\cdot_\infty)$ , no es continua: $\norm{\sin(nx)}_\infty = 1$ mientras que la derivada tiene norma del supremo $n$ . Lineal no implica continua en dimensión infinita.

Ejemplo 5.8 (Dos normas, dos veredictos sobre una misma sucesión)

Sobre $C(\intcc01)$ , sea $g_n(x) = \sqrt{n}\,x^n$ . Entonces

\norm{g_n}_1 = \frac{\sqrt n}{n + 1} \longrightarrow 0, \qquad \norm{g_n}_2^2 = \frac{n}{2n + 1} \longrightarrow \frac12, \qquad \norm{g_n}_\infty = \sqrt n \longrightarrow \infty :

una sucesión, tres normas, tres comportamientos —convergencia a cero, ausencia de convergencia (las normas se estabilizan en $\frac1{\sqrt2}$ mientras que el límite puntual es $0$ ) y explosión—. La masa que se concentra cerca de $x = 1$ es invisible para $\norm\cdot_1$ , medio visible para $\norm\cdot_2$ y dominante para $\norm\cdot_\infty$ . En dimensión infinita, “¿es convergente?” no es una pregunta sobre una sucesión: es una pregunta sobre una sucesión y una norma.

Método 5.9 (Cómo calcular una norma de operador)

Siempre en dos movimientos. Cota superior: estímese $\norm{u(x)}$ por $C\norm x$ mediante desigualdades triangulares, Cauchy–Schwarz o cotas integrales; eso demuestra $\vertiii u \leq C$ . Testigo: exhíbase o bien un $x_0 \neq 0$ concreto con $\norm{u(x_0)} = C\norm{x_0}$ (la cota se alcanza), o bien una sucesión de vectores unitarios $x_n$ con $\norm{u(x_n)} \to C$ (la cota se aproxima). Ambos movimientos son obligatorios: una cota superior sola da únicamente $\vertiii u \leq C$ , y un testigo solo, únicamente $\vertiii u \geq C$ . En dimensión infinita el testigo puede tener que ser una sucesión, pues el supremo no tiene por qué alcanzarse (Ejercicio 5.8).

Ejemplo 5.10 (Los operadores diagonales ven todas las normas igual)

Para $D = \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)$ sobre $K^n$ con cualquiera de las normas $\norm\cdot_1, \norm\cdot_2, \norm\cdot_\infty$ : de $\abs{d_ix_i} \leq \bigl(\max_j\abs{d_j}\bigr)\abs{x_i}$ coordenada a coordenada se sigue $\norm{Dx} \leq \max_j\abs{d_j}\,\norm x$ ; y $x = e_{j_0}$ (un índice maximizante) la alcanza. Luego $\vertiii D = \max_j\abs{d_j}$ en los tres casos: para las aplicaciones diagonales, todas las normas razonables cuentan la misma historia, el mayor factor de dilatación. Todo lo difícil de las normas de operador tiene que ver con el comportamiento no diagonal, y por eso las normas adaptadas del problema de fin de semana de este capítulo (pregunta 22) funcionan obligando antes a la matriz a hacerse diagonal.

Ejemplo 5.11 (Sumas por columnas: el gemelo en norma $1$ del Ejercicio 5.4)

Sobre $(\R^n, \norm\cdot_1)$ , la norma de operador de una matriz $A$ es la mayor suma de valores absolutos por columnas. Apliquemos el método: para $\norm x_1 \leq 1$ ,

\norm{Ax}_1 = \sum_i\Bigl|\sum_j a_{ij}x_j\Bigr| \leq \sum_j \abs{x_j}\sum_i\abs{a_{ij}} \leq \Bigl(\max_j\sum_i\abs{a_{ij}}\Bigr)\norm x_1 ,

y la cota se alcanza en $x = e_{j_0}$ para una columna maximizante $j_0$ : el testigo más pulcro imaginable. Así, para $A = \left(\begin{smallmatrix}1 & -2\\ 3 & 1\end{smallmatrix}\right)$ resulta $\vertiii A_1 = \max(1 + 3,\ 2 + 1) = 4$ , mientras que también $\vertiii A_\infty = 4$ (por filas), coincidencia en este caso y no ley: altérense asimétricamente las entradas y las dos normas se separan. Filas para $\norm\cdot_\infty$ , columnas para $\norm\cdot_1$ : la regla mnemotécnica es que los vectores unitarios de cada norma (patrones de signos o vectores de la base, respectivamente) seleccionan las sumas correspondientes.

Proposición 5.12 (Aplicaciones bilineales)

Una aplicación bilineal $b \colon E \times F \to G$ es continua si y solo si $\norm{b(x,y)} \leq C\norm x\,\norm y$ para cierta $C$ ; y entonces es lipschitziana sobre los acotados. (Mismo esquema de demostración; el producto $(u, v) \mapsto v \circ u$ y la multiplicación de matrices son los ejemplos clave.)

Demostración. Si se cumple la cota:

b(x,y) - b(x_0,y_0) = b(x - x_0,\, y) + b(x_0,\, y - y_0),

luego $\norm{b(x,y) - b(x_0,y_0)} \leq C\norm{x - x_0}\norm y + C\norm{x_0}\norm{y - y_0}$ : hay continuidad en $(x_0, y_0)$ y una cota lipschitziana donde $\norm x, \norm y \leq R$ . Recíprocamente, la continuidad en $(0,0)$ da un $\delta$ con $\norm{b(x,y)} \leq 1$ para $\norm x, \norm y \leq \delta$ ; reescálense ambas variables. ∎

5.3 Dimensión finita

Teorema 5.13 (Equivalencia de normas en dimensión finita)

Sobre un espacio de dimensión finita, todas las normas son equivalentes. En consecuencia, en dimensión finita la convergencia, el ser abierto, la compacidad y la completitud son nociones independientes de la norma; compacto $=$ cerrado y acotado; el espacio es completo; y toda aplicación lineal (o multilineal) desde un espacio de dimensión finita es continua.

Demostración. Fijemos una base e identifiquemos $E \simeq K^n$ ; basta comparar una norma cualquiera $N$ con $\norm\cdot_\infty$ .

Una dirección es álgebra: $N(x) = N(\sum x_i e_i) \leq \sum \abs{x_i} N(e_i) \leq C \norm x_\infty$ con $C = \sum N(e_i)$ . Esto muestra además que $N$ es continua sobre $(K^n, \norm\cdot_\infty)$ (es $C$ -lipschitziana: $\abs{N(x) - N(y)} \leq N(x - y)$ ).

La otra es topología: la esfera unidad $S = \{x : \norm{x}_\infty = 1\}$ es cerrada y acotada en $(K^n, \norm\cdot_\infty)$ y, por tanto, compacta (Teorema 4.16 (2), válido para $\C^n \simeq \R^{2n}$ ). La función continua $N$ alcanza su mínimo $c$ sobre $S$ ; y $c > 0$ , ya que $N$ solo se anula en $0 \notin S$ . La homogeneidad extiende la cota: $N(x) \geq c \norm{x}_\infty$ para todo $x$ .

Consecuencias: todos los enunciados se reducen a $(K^n, \norm\cdot_\infty)$ , donde son conocidos (Teorema 4.9, Teorema 4.16); y una aplicación lineal $u$ desde un $E$ de dimensión finita cumple $\norm{u(x)} \leq \sum\abs{x_i} \norm{u(e_i)} \leq C'\norm{x}_\infty$ : la cota (4) del Teorema 5.6. ∎

Corolario 5.14

Todo subespacio de dimensión finita de un espacio normado es cerrado.

Demostración. Es completo para la norma inducida (Teorema 5.13), y los subconjuntos completos son cerrados (Definición 4.7). ∎

Ejemplo 5.15 (Una mejor aproximación calculada por simetría)

En $\bigl(C(\intcc{-1}{1}), \norm\cdot_\infty\bigr)$ , ¿a qué distancia está $f(x) = \abs x$ del subespacio (cerrado, de dimensión dos) de las funciones afines $a + bx$ ? Por simetría, sustituir $a + bx$ por $a - bx$ no altera $\norm{f - (a \pm bx)}_\infty$ , y el punto medio $a$ lo hace al menos igual de bien (desigualdad triangular sobre la media): basta considerar las constantes. Para una constante $a$ :

\norm{\abs x - a}_\infty = \max\,(1 - a,\ a) \geq \frac12 ,

mínimo en $a = \frac12$ : la distancia es $\frac12$ , alcanzada por la constante $\frac12$ . Obsérvese la curva de error $\abs x - \frac12$ : alcanza $\pm\frac12$ alternativamente en $x = -1, 0, 1$ , es decir, tres extremos de signo alterno para una mejor aproximación desde una familia de dos parámetros. Ese patrón de equioscilación no es casual: es la firma de la optimalidad que el problema de fin de semana de este capítulo convierte en el teorema de Chebyshev.

Ejemplo 5.16 (Subespacios cerrados frente a densos)

En $E = \bigl(C(\intcc{0}{1}), \norm\cdot_\infty\bigr)$ , cada $\R_n[X]$ (polinomios de grado $\leq n$ , restringidos a $\intcc01$ ) es un subespacio de dimensión finita y, por tanto, cerrado: un límite uniforme de polinomios de grado $\leq n$ lo es también. Pero la unión $\R[X]$ de todos ellos es densa en $E$ (teorema de aproximación de Weierstrass, demostrado en el Capítulo 10), y los subespacios propios densos son todo lo contrario de cerrados. Moraleja: el ser cerrado es un privilegio de los subespacios de dimensión finita; apilando pisos cerrados se puede construir un rascacielos denso.

Teorema 5.17 (Riesz)

La bola unidad cerrada de un espacio normado $E$ es compacta si y solo si $\dim E < \infty$ .

Demostración. Dimensión finita: basta con ser cerrada y acotada (Teorema 5.13).

Recíprocamente, supongamos $\dim E = \infty$ . Lema de Riesz: para todo subespacio cerrado propio $F \subsetneq E$ y todo $\varepsilon \in \intoo{0}{1}$ existe un vector unitario $x$ con $d(x, F) \geq 1 - \varepsilon$ . Demostración: tómese $y \notin F$ , sea $\delta = d(y, F) > 0$ ( $F$ es cerrado), elíjase $f \in F$ con $\norm{y - f} \leq \frac{\delta}{1 - \varepsilon}$ y póngase $x = \frac{y - f}{\norm{y - f}}$ : para todo $g \in F$ ,

\norm{x - g} = \frac{\norm{y - (f + \norm{y-f}\,g)}}{\norm{y - f}} \geq \frac{\delta}{\norm{y-f}} \geq 1 - \varepsilon ,

pues el numerador es una distancia de $y$ a un punto de $F$ .

Construyamos ahora vectores unitarios $x_1, x_2, \dots$ por inducción: $F_k = \operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_k)$ es de dimensión finita y, por tanto, cerrado (Corolario 5.14) y propio; el lema de Riesz con $\varepsilon = \frac12$ proporciona un unitario $x_{k+1}$ con $d(x_{k+1}, F_k) \geq \frac12$ . La sucesión cumple $\norm{x_p - x_q} \geq \frac12$ para $p \neq q$ : no tiene subsucesión convergente, luego la bola unidad no es compacta. ∎

Ejemplo 5.18 (Riesz como detector de dimensión)

¿Es $C(\intcc01)$ de dimensión finita? Riesz responde sin exhibir ninguna familia libre infinita explícita: la sucesión $f_n(x) = x^n$ está en la bola unidad cerrada y cumple, para $m > n$ , $\norm{f_n - f_m}_\infty \geq f_n(x_0) - f_m(x_0) > 0$ en puntos adecuados, cosa que el problema de fin de semana de este capítulo (pregunta 16) cuantifica con limpieza, obteniendo una subsucesión cuyos términos están a distancia mutua $\geq \frac14$ . No hay subsucesión convergente, luego la bola no es compacta y $\dim C(\intcc01) = \infty$ por el Teorema 5.17. La compacidad de la bola unidad es una dicotomía perfecta: se cumple en dimensión finita y falla en dimensión infinita, sin terreno intermedio; la geometría sola lee el tipo de dimensión.

5.4 Espacios de Banach

Definición 5.19

Un espacio de Banach es un espacio normado completo. Ejemplos: todo espacio normado de dimensión finita (Teorema 5.13); $\bigl(C(\intcc{a}{b}), \norm\cdot_\infty\bigr)$ (Teorema 4.9); $\mathcal{L}_c(E, F)$ si $F$ es de Banach (mismo esquema de demostración que para las funciones continuas). Contraejemplo: $\bigl(C(\intcc{0}{1}), \norm\cdot_1\bigr)$ (Ejercicio 5.7).

Ejemplo 5.20 (La norma de operador de la integración)

Sobre $\bigl(C(\intcc01), \norm\cdot_\infty\bigr)$ , sea $T(f)(x) = \int_0^x f(t)\,\dd t$ (un endomorfismo: $T(f)$ es continua). Apliquemos el Método 5.9. Cota superior:

\abs{T(f)(x)} \leq \int_0^x\abs f \leq x\,\norm f_\infty \leq \norm f_\infty ,

luego $\vertiii T \leq 1$ . Testigo: $f \equiv 1$ da $T(f)(x) = x$ y $\norm{T(f)}_\infty = 1 = \norm f_\infty$ : se alcanza y $\vertiii T = 1$ . Pero obsérvese que $\vertiii{T^2} = \frac12 \neq \vertiii T^2$ : en efecto, $T^2(f)(x) = \int_0^x(x - t)f(t)\dd t$ cumple $\abs{T^2(f)(x)} \leq \frac{x^2}2\norm f_\infty$ , de nuevo alcanzado en $f \equiv 1$ ; y, en general, $\vertiii{T^n} = \frac1{n!}$ : la cota submultiplicativa $\vertiii T^n = 1$ se equivoca por un factorial. Este es exactamente el fenómeno que el truco de la iterada del problema de fin de semana del Capítulo 4 convierte en resolubilidad global de las ecuaciones diferenciales lineales.

Teorema 5.21 (Convergencia absoluta en espacios de Banach)

En un espacio de Banach, si $\sum \norm{u_n} < \infty$ entonces $\sum u_n$ converge y $\norm{\sum u_n} \leq \sum\norm{u_n}$ . (La teoría completa de las series en espacios normados es el Capítulo 7.)

Demostración. Sumas parciales $S_N$ : para $q > p$ , $\norm{S_q - S_p} \leq \sum_{n=p+1}^{q}\norm{u_n}$ , que tiende a $0$ (criterio de Cauchy para la serie real de las normas); luego $(S_N)$ es de Cauchy y por tanto converge. La desigualdad pasa al límite desde la desigualdad triangular finita. ∎

Ejemplo 5.22 (La exponencial de matrices, primer contacto)

La exponencial de matrices: $\mathcal{M}_n(K)$ con cualquier norma submultiplicativa ( $\vertiii{AB} \leq \vertiii A \vertiii B$ ) es de Banach (dimensión finita). Entonces, para toda $A$ ,

\eu^A = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!}

converge absolutamente ( $\vertiii{A^k/k!} \leq \vertiii A^k /k!$ , sumable): está bien definida. El Capítulo 16 la explota sistemáticamente.

Ejemplo 5.23 (Una serie de Neumann que termina)

Para $A = \left(\begin{smallmatrix}0 & \frac12\\ 0 & 0\end{smallmatrix}\right)$ : $\vertiii A < 1$ en cualquier norma de operador construida sobre las normas del Ejemplo 5.2, y $A^2 = 0$ , de modo que la serie geométrica se derrumba:

(I - A)^{-1} = \sum_{k \geq 0} A^k = I + A = \begin{pmatrix}1 & \tfrac12\\ 0 & 1\end{pmatrix},

lo que se verifica con $(I - A)(I + A) = I - A^2 = I$ . La nilpotencia trunca la serie exactamente igual que truncaba la exponencial en el Capítulo 3; y el ejemplo calibra las expectativas: la inversa de Neumann es una serie infinita en general, y un polinomio precisamente cuando la perturbación es nilpotente, mientras que el error tras $N$ términos siempre está acotado por la cola geométrica $\vertiii A^{N+1}/(1 - \vertiii A)$ .

Ejemplo 5.24 (La exponencial de un generador de rotaciones)

Tomemos $A = \left(\begin{smallmatrix}0 & -\theta\\ \theta & 0\end{smallmatrix}\right)$ . Entonces $A^2 = -\theta^2 I$ , de modo que las potencias cierran un ciclo de periodo cuatro y la serie se separa en partes par e impar:

\eu^{A} = \sum_{k}\frac{A^k}{k!} = \Bigl(\sum_{j}\frac{(-1)^j\theta^{2j}}{(2j)!}\Bigr) I + \Bigl(\sum_{j}\frac{(-1)^j\theta^{2j+1}}{(2j+1)!}\Bigr) \frac{A}{\theta} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix},

donde todos los reagrupamientos están autorizados por la convergencia absoluta. La exponencial de un generador antisimétrico es una rotación, calculada aquí puramente a partir de la serie, tres capítulos antes de que la ecuación diferencial $x' = Ax$ (Capítulo 16) explique por qué: $\eu^{tA}$ es un movimiento circular uniforme. La moraleja: las identidades entre series de matrices se demuestran exactamente como las escalares, una vez que una norma submultiplicativa certifica la convergencia absoluta.

Ejemplo 5.25 (Norma del supremo quiere decir uniforme: el diccionario)

El enunciado $\norm{f_n - f}_\infty \to 0$ es la convergencia uniforme: un solo número, $\sup_x\abs{f_n(x) - f(x)}$ , acota el error en todos los puntos a la vez. El diccionario en acción sobre $f_n(x) = x^n$ en $\intcc{0}{1}$ : puntualmente, $f_n \to 0$ en $\intco{0}{1}$ y $f_n(1) = 1$ ; en norma, $\norm{f_n - 0}_\infty = 1 \not\to 0$ , y en efecto el límite puntual es discontinuo y por tanto inalcanzable como límite en $\norm\cdot_\infty$ dentro de $C(\intcc01)$ (que es cerrado para límites uniformes, Teorema 4.9). Sobre $\intcc{0}{a}$ con $a < 1$ : $\norm{f_n}_\infty = a^n \to 0$ ; la convergencia uniforme se restablece encogiendo el dominio. Todo enunciado de convergencia del Capítulo 10 es un enunciado sobre esta única norma; tener el diccionario presente reduce a la mitad aquel capítulo.

Observación 5.26 (Errores frecuentes)

(i) Una norma de operador depende de ambas normas elegidas: una misma matriz tiene $\vertiii\cdot_\infty$ dada por las sumas por filas (Ejercicio 5.4) y una $\vertiii\cdot_1$ distinta (sumas por columnas); hablar de “la” norma de una matriz sin nombrar las normas subyacentes carece de sentido. (ii) $\vertiii{AB} \leq \vertiii A\,\vertiii B$ es una desigualdad, por lo general estricta: las potencias pueden encogerse mucho más deprisa de lo que sugiere la cota $\vertiii A^k$ , que es todo el sentido de las normas adaptadas (problema de fin de semana de este capítulo, pregunta 22). (iii) “Lineal implica continua” es un privilegio de la dimensión finita: la derivación sobre polinomios es lineal y no acotada (Ejemplo 5.7). (iv) La convergencia absoluta de $\sum u_n$ solo sirve de algo cuando el espacio es completo (el Ejercicio 7.9 construye el contraejemplo). (v) En dimensión infinita, un supremo sobre la bola unidad es un supremo de verdad: no hay que suponer que se alcanza (Ejercicio 5.8).

Observación 5.27 (Perspectivas dentro de este volumen)

Quedan fijadas tres citas. Con el Capítulo 7: en un espacio de Banach las series absolutamente convergentes convergen, de modo que las series geométrica y exponencial de operadores pasan a ser herramientas cotidianas —invertir $I - A$ , definir $\eu^{A}$ (Ejemplo 7.2)—. Con el Capítulo 10 y el Capítulo 11: la convergencia de sucesiones de funciones y de series de potencias es la convergencia en $\bigl(C, \norm\cdot_\infty\bigr)$ (Ejemplo 5.25), y el radio de convergencia es un enunciado sobre qué series geométricas dominan. Con el Capítulo 14: las normas $\norm\cdot_2$ y $\norm\cdot_\infty$ discrepan de verdad sobre $C(\intcc{0}{1})$ (Ejemplo 5.8), y por eso la convergencia en media cuadrática de las series de Fourier y la convergencia uniforme son dos teoremas distintos con dos precios distintos.

Observación 5.28 (Dónde se usa este capítulo)

Las normas de operador y la serie geométrica mueven los argumentos de perturbación del Capítulo 15 (teorema de la función inversa) y la exponencial de matrices del Capítulo 16; la equivalencia de normas autoriza en silencio todo argumento del tipo “elige tu norma favorita” en el Capítulo 10 y más allá; y la divisoria finito/infinito del teorema de Riesz —hecha cuantitativa en el problema de fin de semana de este capítulo— es la razón de que el volumen del tercer año necesite herramientas nuevas (convergencia débil, Arzelà–Ascoli, proyecciones en espacios de Hilbert) allí donde este volumen aún podía extraer subsucesiones convergentes.

5.5 Ejercicios

Ejercicio 5.1 ★

Sobre $\R^2$ , dibuja las bolas unidad de $\norm\cdot_1$ , $\norm\cdot_2$ y $\norm\cdot_\infty$ , y demuestra las desigualdades $\norm x_\infty \leq \norm x_2 \leq \norm x_1 \leq 2\norm x_\infty$ con las mejores constantes en dimensión $2$ .

Solución

Solución de Ejercicio 5.1.

Bolas unidad: un rombo ( $\norm\cdot_1$ ), un disco ( $\norm\cdot_2$ ) y un cuadrado ( $\norm\cdot_\infty$ ), encajados en ese orden. Desigualdades: $\norm x_\infty \leq \norm x_2$ (un cuadrado es a lo sumo la suma); $\norm x_2 \leq \norm x_1$ (elevando al cuadrado: $x_1^2 + x_2^2 \leq (\abs{x_1} + \abs{x_2})^2$ ); $\norm x_1 \leq 2\norm x_\infty$ (dos términos, cada uno $\leq \max$ ). Optimalidad: $(1, 0)$ convierte las dos primeras en igualdades; $(1, 1)$ da $\norm x_1 = 2\norm x_\infty$ y muestra además que $\norm x_2 = \sqrt2 \norm x_\infty$ y $\norm x_1 = \sqrt2 \norm x_2$ son las razones extremas en la otra dirección.

Ejercicio 5.2 ★

¿Es $N(f) = \abs{f(0)} + \norm{f'}_\infty$ una norma sobre $C^1(\intcc{0}{1})$ ? Compárala con $\norm{f}_\infty$ : una de las desigualdades se cumple y la otra falla (exhíbelo).

Solución

Solución de Ejercicio 5.2.

Axiomas de norma: la homogeneidad y la desigualdad triangular se heredan término a término; separación: $N(f) = 0$ obliga a $f' = 0$ (luego $f$ constante) y a $f(0) = 0$ , es decir, $f = 0$ . Es una norma.

Comparación: $\norm f_\infty \leq N(f)$ , ya que $\abs{f(x)} \leq \abs{f(0)} + \abs{\int_0^x f'} \leq \abs{f(0)} + \norm{f'}_\infty$ . El recíproco falla: tómese $f_n(x) = \frac1n \sin(nx)$ ; entonces $\norm{f_n}_\infty \leq \frac1n \to 0$ mientras que $N(f_n) = 0 + \norm{\cos(nx)}_\infty = 1$ . Ninguna constante $C$ da $N \leq C\norm\cdot_\infty$ .

Ejercicio 5.3 ★

Calcula la norma de operador de $u(f) = \int_0^1 f(t)\,\eu^t\,\dd t$ de $\bigl(C(\intcc{0}{1}), \norm\cdot_\infty\bigr)$ en $\R$ , y la del desplazamiento $S(x_1, x_2, \dots, x_n) = (x_2, \dots, x_n, 0)$ sobre $(K^n, \norm\cdot_\infty)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 5.3.

$\abs{u(f)} \leq \norm f_\infty \int_0^1 \eu^t\,\dd t = (\eu - 1)\norm f_\infty$ , con igualdad para $f \equiv 1$ : $\vertiii u = \eu - 1$ .

Desplazamiento: $\norm{S(x)}_\infty = \max(\abs{x_2}, \dots, \abs{x_n}) \leq \norm x_\infty$ , con igualdad en $x = e_2$ : $\vertiii S = 1$ (para $n \geq 2$ ).

Ejercicio 5.4 ★★

Sobre $(\R^n, \norm\cdot_\infty)$ , demuestra que la norma de operador de una matriz $A$ es $\vertiii A_\infty = \max_i \sum_j \abs{a_{ij}}$ (la mayor suma de valores absolutos por filas). Calcúlala para $\begin{pmatrix} 1 & -2\\ 3 & 1\end{pmatrix}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 5.4.

Cota superior: para $\norm x_\infty \leq 1$ ,

\abs{(Ax)_i} = \Bigl|\sum_j a_{ij}x_j\Bigr| \leq \sum_j \abs{a_{ij}},

luego $\norm{Ax}_\infty \leq \max_i \sum_j \abs{a_{ij}}$ . Alcanzada: sea $i_0$ un índice que realice el máximo y tómese $x_j = \operatorname{sign}(a_{i_0 j})$ (entradas de módulo $1$ ); entonces $(Ax)_{i_0} = \sum_j \abs{a_{i_0 j}}$ . De ahí la fórmula. Para la matriz dada, las sumas por filas son $3$ y $4$ : $\vertiii A_\infty = 4$ .

Ejercicio 5.5 ★★

Demuestra que $GL_n(K)$ es abierto en $\mathcal{M}_n(K)$ y que $A \mapsto A^{-1}$ es continua sobre él. Indicación: para el carácter abierto, si $\vertiii H < \frac{1}{\vertiii{A^{-1}}}$ entonces $A + H = A(I + A^{-1}H)$ con $\vertiii{A^{-1}H} < 1$ , y $I + B$ es invertible para $\vertiii B < 1$ por la serie geométrica (Teorema 5.21); para la continuidad, acota $(A+H)^{-1} - A^{-1}$ con la misma serie.

Solución

Solución de Ejercicio 5.5.

Serie geométrica: para $\vertiii B < 1$ , la serie $\sum B^k$ converge absolutamente en el Banach $\mathcal{M}_n(K)$ (Teorema 5.21, pues $\vertiii{B^k} \leq \vertiii B^k$ ), y

(I - B)\sum_{k=0}^{K} B^k = I - B^{K+1} \longrightarrow I :

por continuidad del producto (Proposición 5.12), $(I - B)\sum_{k\geq0} B^k = I$ , de modo que $I - B$ es invertible con inversa la suma (y $\vertiii{(I-B)^{-1}} \leq \frac{1}{1 - \vertiii B}$ ).

Carácter abierto: para $A$ invertible y $\vertiii H < \frac{1}{\vertiii{A^{-1}}}$ se tiene $A + H = A(I + A^{-1}H)$ con $\vertiii{A^{-1}H} \leq \vertiii{A^{-1}}\vertiii H < 1$ : invertible. Así pues, una bola alrededor de $A$ se queda en $GL_n$ .

Continuidad de la inversión: con $B = -A^{-1}H$ ,

(A + H)^{-1} - A^{-1} = \bigl((I - B)^{-1} - I\bigr)A^{-1} = \Bigl(\sum_{k \geq 1} B^k\Bigr) A^{-1},

de norma $\leq \frac{\vertiii B}{1 - \vertiii B}\vertiii{A^{-1}} \to 0$ cuando $H \to 0$ .

Ejercicio 5.6 ★★

Sea $\varphi$ una forma lineal sobre un espacio normado $E$ . Demuestra que $\varphi$ es continua si y solo si $\ker\varphi$ es cerrado. (Si $\ker\varphi$ es cerrado y $\varphi \neq 0$ , toma $a$ con $\varphi(a) = 1$ y $r > 0$ con $B(a, r) \cap \ker\varphi = \emptyset$ ; deduce $\abs{\varphi(h)} \leq \frac{1}{r}\norm h$ mediante un argumento de escala sobre $a - \frac{h}{\varphi(h)}$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 5.6.

Continua $\Rightarrow$ núcleo cerrado: imagen recíproca del cerrado $\{0\}$ (Teorema 4.6).

Recíprocamente, supongamos $\ker\varphi$ cerrado y $\varphi \neq 0$ . Tomemos $a$ con $\varphi(a) = 1$ ; como $a \notin \ker\varphi$ y el núcleo es cerrado, alguna bola $B(a, r)$ no lo corta. Sea ahora $h \in E$ con $\varphi(h) \neq 0$ : el vector $a - \frac{h}{\varphi(h)}$ está en $\ker\varphi$ y, por tanto, fuera de $B(a, r)$ :

\Bigl\Vert \frac{h}{\varphi(h)} \Bigr\Vert \geq r \quad\Longrightarrow\quad \abs{\varphi(h)} \leq \frac{\norm h}{r},

desigualdad trivialmente cierta también cuando $\varphi(h) = 0$ : es la cota (4) del Teorema 5.6, luego $\varphi$ es continua.

Ejercicio 5.7 ★★

Demuestra que $\bigl(C(\intcc{0}{1}), \norm\cdot_1\bigr)$ no es completo: prueba que las funciones $f_n$ , rampas afines de $0$ a $1$ sobre $\bigl[\frac12 - \frac1n, \frac12\bigr]$ (con valor $0$ antes y $1$ después), forman una sucesión de Cauchy sin límite continuo para $\norm\cdot_1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 5.7.

Sea $f_n$ igual a $0$ sobre $\intcc{0}{\frac12 - \frac1n}$ , afín hasta el valor $1$ en $\frac12$ , y luego $1$ sobre $\intcc{\frac12}{1}$ . Para $m \geq n$ , $f_m - f_n$ tiene soporte en un intervalo de longitud $\frac1n$ y valores en $\intcc{-1}{1}$ : $\norm{f_m - f_n}_1 \leq \frac1n$ , luego es de Cauchy.

Supongamos $f_n \to f$ en $\norm\cdot_1$ con $f$ continua. Sobre $\intcc{0}{\frac12 - \delta}$ (con $\delta$ fijo): $\int \abs{f} = \int\abs{f - f_n} \leq \norm{f - f_n}_1 \to 0$ para $n > \frac1\delta$ , luego $\int_0^{1/2 - \delta}\abs f = 0$ y, por positividad estricta, $f = 0$ allí; y esto para todo $\delta$ : $f = 0$ sobre $\intoo{0}{\frac12}$ . Análogamente, $f = 1$ sobre $\intcc{\frac12}{1}$ (allí todas las $f_n$ valen $1$ ). Por continuidad en $\frac12$ : $0 = 1$ , absurdo. No existe límite: el espacio no es completo.

Ejercicio 5.8 ★★★

Sobre $E = C(\intcc{0}{1})$ con $\norm\cdot_\infty$ , considera

\varphi(f) = \sum_{n \geq 1} (-1)^n\, 2^{-n} f\bigl(\tfrac1n\bigr).

Demuestra que $\varphi$ es una forma lineal continua bien definida con $\vertiii\varphi = 1$ , pero que el supremo que define $\vertiii\varphi$ no se alcanza sobre la bola unidad cerrada. (Cota superior: desigualdad triangular. Norma $= 1$ : constrúyanse funciones continuas $f_K$ con $\norm{f_K}_\infty \leq 1$ y $f_K(\frac1n) = (-1)^n$ para $n \leq K$ ; los puntos $\frac1n$ están aislados entre sí. No alcanzado: la igualdad obligaría a $f(\frac1n) = (-1)^n$ para todo $n$ , incompatible con la continuidad de $f$ en $0$ , pues $\frac1n \to 0$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 5.8.

Bien definida y continua: $\abs{\varphi(f)} \leq \sum 2^{-n} \norm f_\infty = \norm f_\infty$ , así que $\varphi$ es una forma lineal con $\vertiii\varphi \leq 1$ (la serie converge absolutamente para cada $f$ ).

Norma $1$ : fijemos $K$ ; los puntos $1, \frac12, \dots, \frac1K$ son distintos dos a dos, de modo que existe una función continua $f_K$ , con $\norm{f_K}_\infty \leq 1$ , tal que $f_K(\frac1n) = (-1)^n$ para $n \leq K$ (interpolación afín a trozos, constante cerca de $0$ ). Entonces

\varphi(f_K) \geq \sum_{n=1}^{K} 2^{-n} - \sum_{n > K} 2^{-n} = 1 - 2^{-K+1} \xrightarrow[K \to \infty]{} 1 .

No se alcanza: si $\norm f_\infty \leq 1$ y $\varphi(f) = 1$ , cada término ha de aportar su máximo, es decir, $(-1)^n f(\frac1n) = 1$ para todo $n$ (en otro caso, el déficit estricto de un término no puede compensarse, pues todos los términos son $\leq 2^{-n}$ ). Luego $f(\frac1n) = (-1)^n$ ; pero $\frac1n \to 0$ y $f$ es continua en $0$ , lo que forzaría la convergencia contradictoria de $(-1)^n$ . Así pues, el supremo no es un máximo, cosa imposible en dimensión finita, donde la bola unidad cerrada es compacta.

Ejercicio 5.9 ★★★

Sea $E$ un espacio normado en el que la bola unidad cerrada es compacta. Vuelve a deducir, sin citar el Teorema 5.17, que toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente, y demuestra que toda forma lineal sobre $E$ es continua si y solo si $\dim E < \infty$ . (Para la dimensión infinita, constrúyase una forma discontinua definiéndola libremente sobre una sucesión libre normalizada y extendiéndola, admitiendo la existencia de un complementario algebraico.)

Solución

Solución de Ejercicio 5.9.

Sucesiones acotadas: una sucesión acotada está en alguna bola cerrada $\overline B(0, R) = R\,\overline B(0,1)$ , que es compacta (imagen de la bola unidad compacta por el homeomorfismo $x \mapsto Rx$ ): extráigase allí.

Formas lineales: si $\dim E < \infty$ , toda aplicación lineal desde $E$ es continua (Teorema 5.13). Recíprocamente, supongamos $\dim E = \infty$ (lo cual, por el Teorema 5.17, queda de hecho excluido por la hipótesis de compacidad; el interés de esta pregunta es la implicación entre las dos propiedades en espacios normados generales): elíjase una sucesión libre normalizada $(e_n)$ , complétese hasta una base algebraica (admitida) y defínase $\varphi(e_n) = n$ y $\varphi = 0$ sobre los demás vectores de la base, extendiendo linealmente. Entonces $\abs{\varphi(e_n)} = n$ con $\norm{e_n} = 1$ : no está acotada sobre la bola unidad, luego es discontinua. Así pues, “todas las formas son continuas” obliga a la dimensión finita.

Ejercicio 5.10 ★★

Sobre $C(\intcc{0}{1})$ , demuestra $\norm f_1 \leq \norm f_2 \leq \norm f_\infty$ (Cauchy–Schwarz para la primera) y prueba con la familia $f_n(x) = x^n$ que ninguna de las dos desigualdades puede invertirse salvo constante: las tres normas son no equivalentes dos a dos.

Solución

Solución de Ejercicio 5.10.

Cauchy–Schwarz con la función constante $1$ : $\norm f_1 = \int_0^1 \abs f\cdot 1 \leq \bigl(\int_0^1 f^2\bigr)^{1/2}\bigl(\int_0^1 1\bigr)^{1/2} = \norm f_2$ . Y $\norm f_2^2 = \int f^2 \leq \norm f_\infty^2$ . Para $f_n(x) = x^n$ :

\norm{f_n}_1 = \frac1{n+1}, \qquad \norm{f_n}_2 = \frac1{\sqrt{2n+1}}, \qquad \norm{f_n}_\infty = 1 .

Entonces $\norm{f_n}_2/\norm{f_n}_1 = \frac{n+1}{\sqrt{2n+1}} \to \infty$ y $\norm{f_n}_\infty/\norm{f_n}_2 = \sqrt{2n+1} \to \infty$ : no hay desigualdades recíprocas y ningún par es equivalente.

Ejercicio 5.11 ★★

(Distancia a un hiperplano) Sea $\varphi$ una forma lineal continua no nula sobre un espacio normado $E$ . Demuestra que

d\bigl(x, \ker\varphi\bigr) = \frac{\abs{\varphi(x)}}{\vertiii\varphi} \qquad (x \in E),

y comprueba sobre el Ejercicio 5.8 que el ínfimo no tiene por qué alcanzarse en ningún punto del hiperplano.

Solución

Solución de Ejercicio 5.11.

Cota inferior de la distancia: para $h \in \ker\varphi$ , $\abs{\varphi(x)} = \abs{\varphi(x - h)} \leq \vertiii\varphi\,\norm{x - h}$ ; tomando el ínfimo sobre $h$ : $d(x, \ker\varphi) \geq \abs{\varphi(x)}/\vertiii\varphi$ .

Cota superior: podemos suponer $\varphi(x) \neq 0$ . Dado $\varepsilon > 0$ , tómese un unitario $u$ con $\abs{\varphi(u)} \geq \vertiii\varphi - \varepsilon > 0$ y póngase $h = x - \frac{\varphi(x)}{\varphi(u)}\,u$ : entonces $\varphi(h) = 0$ y

\norm{x - h} = \frac{\abs{\varphi(x)}}{\abs{\varphi(u)}} \leq \frac{\abs{\varphi(x)}}{\vertiii\varphi - \varepsilon}.

Haciendo $\varepsilon \to 0$ : $d(x, \ker\varphi) \leq \abs{\varphi(x)}/\vertiii\varphi$ ; hay igualdad.

No alcanzado: tómese $\varphi$ del Ejercicio 5.8 ( $\vertiii\varphi = 1$ , no alcanzado) y cualquier $x$ con $\varphi(x) \neq 0$ . Si algún $h \in \ker\varphi$ realizara $\norm{x - h} = \abs{\varphi(x)}$ , el vector unitario $v = (x - h)/\norm{x - h}$ cumpliría $\abs{\varphi(v)} = \abs{\varphi(x)}/\norm{x - h} = 1 = \vertiii\varphi$ : la norma de operador se alcanzaría, contradicción.

Ejercicio 5.12 ★★★

Sobre $E = \R[X]$ (todos los polinomios), sean $N_1(P) = \sup_{\intcc{0}{1}}\abs P$ y $N_2(P) = \sup_{\intcc{0}{2}}\abs P$ . Prueba que $N_1 \leq N_2$ pero que $N_1$ y $N_2$ no son equivalentes; deduce que la identidad $(E, N_2) \to (E, N_1)$ es una biyección lineal continua cuya inversa es discontinua. Prueba por último que $(E, N_1)$ no es completo (sumas parciales de Taylor de $\eu^x$ ). Los tres fenómenos son imposibles en dimensión finita; di por qué.

Solución

Solución de Ejercicio 5.12.

$N_1 \leq N_2$ es la monotonía del supremo respecto del dominio, de modo que la identidad $(E, N_2) \to (E, N_1)$ es $1$ -lipschitziana. Para $P_n(x) = (x/2)^n$ : $N_2(P_n) = 1$ (alcanzado en $x = 2$ ) mientras que $N_1(P_n) = 2^{-n}$ ; una cota $N_2 \leq CN_1$ daría $1 \leq C2^{-n}$ para todo $n$ : imposible. Así pues, las normas no son equivalentes y la identidad inversa es una biyección lineal discontinua.

Incompletitud: sea $S_n = \sum_{k=0}^{n}\frac{X^k}{k!}$ . Para $m > n$ , $N_1(S_m - S_n) \leq \sum_{k>n}\frac1{k!} \to 0$ : de Cauchy para $N_1$ . Si $S_n \to P$ en $(E, N_1)$ , entonces puntualmente $P(x) = \lim S_n(x) = \eu^x$ sobre $\intcc{0}{1}$ ; pero un polinomio de grado $d$ no puede coincidir con $\eu^x$ en un intervalo (derívese $d + 1$ veces: el miembro izquierdo muere y $\eu^x$ no). No hay límite en $E$ : no es completo.

En dimensión finita los tres fenómenos son imposibles: todas las normas son equivalentes, todo espacio normado es completo, y la inversa de una biyección lineal es lineal desde un espacio de dimensión finita y, por tanto, continua (Teorema 5.13).

5.6 Problema: mejor aproximación y teorema de Chebyshev

¿Con qué precisión puede aproximarse una función mediante polinomios de grado dado, y qué polinomio lo hace mejor? Por el lado de la existencia, la respuesta pertenece a este capítulo: la compacidad en dimensión finita hace que las mejores aproximaciones existan. Por el lado explícito, un caso no trivial se resuelve por completo a mano: entre todos los polinomios mónicos de grado $n$ , el de menor norma del supremo sobre $\intcc{-1}{1}$ es el polinomio de Chebyshev (normalizado), de norma $2^{1-n}$ : el teorema extremal de Chebyshev. El problema demuestra ambas caras y mide después con qué gravedad falla la compacidad en dimensión infinita: la bola unidad de $C(\intcc{0}{1})$ contiene constelaciones infinitas de puntos a distancia mutua $1$ .

Problema 5.1

Problema de fin de semana — el teorema extremal de Chebyshev y la geometría de la bola unidad

Las normas sin subíndice son normas del supremo sobre el segmento indicado.

Parte I — Mejor aproximación en espacios normados.

Sea $F$ un subespacio de dimensión finita de un espacio normado $E$ y $x \in E$ . Demuestra que la distancia $d(x, F) = \inf_{f \in F}\norm{x - f}$ se alcanza (redúcete a un subconjunto cerrado y acotado de $F$ y usa el Teorema 5.13).
Una norma es estrictamente convexa cuando $\norm u = \norm v = 1$ y $u \neq v$ implican $\bigl\Vert\frac{u + v}2\bigr\Vert < 1$ . Prueba que $\norm\cdot_2$ sobre $\R^n$ es estrictamente convexa (identidad del paralelogramo) y que $\norm\cdot_1$ y $\norm\cdot_\infty$ no lo son para $n \geq 2$ .
Demuestra que, para una norma estrictamente convexa, la mejor aproximación de la pregunta 1 es única.
En $(\R^2, \norm\cdot_\infty)$ , calcula todas las mejores aproximaciones de $x = (0, 1)$ por la recta $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,0)\bigr)$ : un intervalo de minimizadores.
En $\bigl(C(\intcc{a}{b}), \norm\cdot_\infty\bigr)$ , prueba que la mejor aproximación de $f$ por constantes es única, igual a $c^* = \frac{\max f + \min f}{2}$ , con distancia $\frac{\max f - \min f}{2}$ ; calcula ambas para $f(x) = x^2$ sobre $\intcc{0}{1}$ .

Parte II — Polinomios de Chebyshev.

Prueba que existe exactamente un polinomio $T_n$ con $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ para todo $\theta$ (recurrencia $T_{n+1} = 2XT_n - T_{n-1}$ a partir de la fórmula de adición del coseno), que $\deg T_n = n$ y que su coeficiente director es $2^{n-1}$ para $n \geq 1$ .
Prueba que $\abs{T_n} \leq 1$ sobre $\intcc{-1}{1}$ , con $T_n(\eta_k) = (-1)^k$ en los $n + 1$ puntos $\eta_k = \cos\frac{k\pi}{n}$ ( $k = 0, \dots, n$ ), y que las raíces de $T_n$ son los $n$ puntos $\cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}$ , entrelazados con los $\eta_k$ .
Calcula $T_2, T_3, T_4$ y verifica la alternancia de $T_3$ en $\eta_0, \dots, \eta_3 = 1, \frac12, -\frac12, -1$ mediante evaluación directa.
Para $\abs x \geq 1$ , demuestra que

$T_n(x) = \frac{\bigl(x + \sqrt{x^2 - 1}\bigr)^n + \bigl(x - \sqrt{x^2 - 1}\bigr)^n}{2},$

y deduce que $T_n(x) \sim \frac12\bigl(x + \sqrt{x^2 - 1}\bigr)^n \to \infty$ geométricamente para $x > 1$ fijo.
Demuestra la ley de composición $T_m \circ T_n = T_{mn}$ (compruébalo sobre $\intcc{-1}{1}$ e invoca la rigidez de los polinomios).

Parte III — El teorema extremal de Chebyshev. Escribamos $Q_n = 2^{1-n}T_n$ (mónico, por la pregunta 6).

Sea $P$ mónico de grado $n \geq 1$ con $\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs P < 2^{1-n}$ . Evaluando $D = Q_n - P$ en los puntos $\eta_k$ y contando cambios de signo, obtén una contradicción. Concluye:

$\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs P \;\geq\; 2^{1-n} \qquad\text{para todo } P \text{ mónico de grado } n.$
(Caso de igualdad) Supongamos $\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs P = 2^{1-n}$ con $P$ mónico de grado $n$ , y sea $D = Q_n - P \neq 0$ . Prueba que $(-1)^kD(\eta_k) \geq 0$ para todo $k$ ; prueba que cada uno de los $n$ intervalos $\intcc{\eta_{k}}{\eta_{k-1}}$ contiene un cero de $D$ y que un cero compartido por dos intervalos consecutivos es un punto interior $\eta_k$ en el que además $D' = 0$ . Concluye que $D$ tiene $n$ ceros contados con multiplicidad y, por tanto, $D = 0$ : el minimizador es exactamente $Q_n$ , el teorema extremal de Chebyshev.
Reformula el teorema como una distancia: sobre $\intcc{-1}{1}$ ,

$d_\infty\bigl(X^n,\ \R_{n-1}[X]\bigr) = 2^{1-n},$

con mejor aproximación única $X^n - Q_n$ ; y prueba mediante la sustitución afín $x = \frac{1+t}2$ que sobre $\intcc{0}{1}$ la distancia pasa a ser $2^{1-2n}$ .
(Nodos de interpolación óptimos) Para $n$ nodos $x_1, \dots, x_n \in \intcc{-1}{1}$ , el polinomio nodal $\omega(x) = \prod_i(x - x_i)$ es mónico de grado $n$ . Deduce de la pregunta 12 qué elección de nodos minimiza $\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs\omega$ , el factor dependiente de los nodos en la cota clásica del error de interpolación, y da el valor mínimo.
Verifica a mano el caso $n = 2$ del teorema (halla directamente $\inf_c \sup_{\intcc{-1}{1}}\abs{x^2 - c}$ ) y calcula numéricamente la distancia de la pregunta 13 sobre $\intcc{0}{1}$ para $n = 10$ . ¿Qué dice su tamaño sobre la gráfica de $x^{10}$ ?

Parte IV — La bola unidad de $C(\intcc{0}{1})$ .

Sea $g_k(x) = x^{2^k}$ . Prueba que $\norm{g_k}_\infty = 1$ y que $\norm{g_k - g_j}_\infty \geq \frac14$ para $j > k$ (evalúa en el punto donde $x^{2^k} = \frac12$ ): una sucesión acotada explícita sin subsucesión convergente; la bola unidad cerrada no es compacta, y a mano.
(Lema de Riesz, afinado) Sea $F$ un subespacio propio de dimensión finita de un espacio normado $E$ . Usando la pregunta 1, produce un vector unitario $x$ con $d(x, F) = 1$ exactamente, y no solo $\geq 1 - \varepsilon$ como en el lema del Teorema 5.17.
Deduce que en todo espacio normado de dimensión infinita hay una sucesión de vectores unitarios con distancias mutuas $\geq 1$ , y vuelve a deducir de ahí el teorema de Riesz.
En $C(\intcc{0}{1})$ , exhibe explícitamente una constelación así: las funciones tienda $h_n$ con soporte en $\bigl[\frac1{n+1}, \frac1n\bigr]$ y valor máximo $1$ . Verifica $\norm{h_n} = 1$ y $\norm{h_n - h_m} = 1$ para $n \neq m$ , y observa que $h_n \to 0$ puntualmente pero no uniformemente.
(Falla la precompacidad) Prueba que la bola unidad cerrada de $C(\intcc{0}{1})$ no puede recubrirse con un número finito de bolas de radio $\frac13$ (cada bola de ese tipo contiene a lo sumo un $h_n$ ); contrástese con el paso de precompacidad de la demostración del Teorema 4.20.

Parte V — Normas en acción sobre matrices, y síntesis.

Demuestra que todo valor propio $\lambda$ de $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ cumple $\abs\lambda \leq \vertiii A$ para toda norma de operador; aplica el Ejercicio 5.4 para acotar los valores propios de $\left(\begin{smallmatrix}1 & -2\\ 3 & 1\end{smallmatrix}\right)$ y compáralo con su módulo verdadero.
(Normas adaptadas) Sea $A$ diagonalizable, $A = P\,\mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)\,P^{-1}$ . Prueba que $N_P(x) = \norm{P^{-1}x}_\infty$ es una norma cuya norma de operador cumple $\vertiii A_{N_P} = \max_i\abs{\lambda_i}$ .
Deduce que, para $A$ diagonalizable, $A^k \to 0$ si y solo si todos los valores propios cumplen $\abs{\lambda_i} < 1$ ; la equivalencia de normas hace que la conclusión no dependa de la norma. Compruébalo con $A = \frac14\left(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{smallmatrix}\right)$ .
(Las constantes de equivalencia explotan) Sobre $\R_n[X]$ , compara $N_c(P) = \max_k \abs{a_k}$ (coeficientes) con $\norm{P}_{\intcc{0}{1}}$ : ambas son normas y por tanto son equivalentes para cada $n$ fijo; pero prueba, usando el minimizador mónico de la pregunta 13 sobre $\intcc{0}{1}$ , que la mejor constante $C_n$ en $N_c \leq C_n\norm\cdot_{\intcc{0}{1}}$ cumple $C_n \geq 2^{2n-1}$ . Concluye en una frase por qué “todas las normas son equivalentes” muere en dimensión infinita.
(Síntesis) Una frase para cada punto: dónde trabajó la compacidad de las bolas de dimensión finita (preguntas 1 y 12); qué gobierna la convexidad estricta; qué destruye la constelación de las preguntas 18–19; y cómo cuantifica la pregunta 24 ese fracaso. Nombra la cumbre (el teorema extremal de Chebyshev) e indica dónde encuentra la mejor aproximación su hogar moderno (el teorema de la proyección en espacios de Hilbert, volumen del tercer año, donde la completitud sustituye a la compacidad).

Solución

Solución de Problema 5.1.

1. Los candidatos que merece la pena considerar forman $K = \{f \in F : \norm{x - f} \leq \norm x\}$ : no vacío ( $0 \in K$ ), cerrado (imagen recíproca de un intervalo cerrado por la aplicación continua $f \mapsto \norm{x - f}$ , intersecada con el cerrado $F$ , Corolario 5.14) y acotado ( $\norm f \leq \norm{f - x} + \norm x \leq 2\norm x$ ). En el $F$ de dimensión finita, cerrado y acotado significa compacto (Teorema 5.13); la función continua $f \mapsto \norm{x - f}$ alcanza sobre $K$ su ínfimo, que coincide con el ínfimo sobre todo $F$ (todo $f \notin K$ da $\norm{x - f} > \norm x \geq \inf$ ).

2. Identidad del paralelogramo en $(\R^n, \norm\cdot_2)$ : $\norm{u + v}^2 + \norm{u - v}^2 = 2\norm u^2 + 2\norm v^2$ (desarróllense los cuadrados de sumas de coordenadas). Para $u \neq v$ unitarios:

\Bigl\Vert\frac{u+v}2\Bigr\Vert^2 = 1 - \frac{\norm{u - v}^2}{4} < 1 .

No estrictamente convexas: para $\norm\cdot_\infty$ , tómense $u = (1, 1, 0, \dots)$ y $v = (1, -1, 0, \dots)$ , unitarios con punto medio $(1, 0, \dots)$ de norma $1$ ; para $\norm\cdot_1$ , tómense $u = (1, 0, \dots)$ y $v = (0, 1, 0, \dots)$ , con punto medio $(\frac12, \frac12, 0, \dots)$ de norma $1$ .

3. Sea $d = d(x, F)$ . Si $d = 0$ : $x \in \overline F = F$ y el único minimizador es $x$ . Si $d > 0$ y $f_1 \neq f_2$ minimizan ambos, entonces $u = \frac{x - f_1}{d}$ y $v = \frac{x - f_2}{d}$ son vectores unitarios distintos, luego

\Bigl\Vert x - \frac{f_1 + f_2}2\Bigr\Vert = d\,\Bigl\Vert\frac{u + v}2\Bigr\Vert < d ,

con $\frac{f_1 + f_2}2 \in F$ : contradice la definición de $d$ . El minimizador es único.

4. $\norm{(0,1) - t(1,0)}_\infty = \max(\abs t, 1) \geq 1$ , con igualdad si y solo si $\abs t \leq 1$ : los minimizadores forman el segmento $\{t(1, 0) : t \in \intcc{-1}{1}\}$ , todos a distancia $1$ ; la unicidad falla exactamente porque la bola cuadrada tiene lados planos (pregunta 2).

5. Sean $M = \max f$ y $m = \min f$ (alcanzados, por compacidad). Para toda constante $c$ : $\sup\abs{f - c} \geq \max(M - c,\, c - m) \geq \frac{M - m}2$ , esta última desigualdad porque las dos cantidades promedian $\frac{M-m}2$ ; la igualdad en ambas obliga a $M - c = c - m$ , es decir, $c = c^* = \frac{M + m}2$ . Recíprocamente, $\sup\abs{f - c^*} = \max(M - c^*, c^* - m) = \frac{M - m}2$ . La mejor constante es única. Para $f(x) = x^2$ sobre $\intcc01$ : $c^* = \frac12$ y distancia $\frac12$ .

6. De $\cos(n{+}1)\theta + \cos(n{-}1)\theta = 2\cos\theta\cos n\theta$ : los polinomios definidos por $T_0 = 1$ , $T_1 = X$ y $T_{n+1} = 2XT_n - T_{n-1}$ cumplen $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ por inducción. Unicidad: dos polinomios que coinciden en $\intcc{-1}{1}$ (infinitos puntos) son iguales. Inducción de nuevo: $\deg T_n = n$ con coeficiente director $2^{n-1}$ para $n \geq 1$ ( $T_1$ tiene coeficiente $1 = 2^0$ y la recurrencia lo duplica).

7. Todo $x \in \intcc{-1}{1}$ es $\cos\theta$ , y $\abs{\cos n\theta} \leq 1$ . En $\eta_k = \cos\frac{k\pi}n$ : $T_n(\eta_k) = \cos k\pi = (-1)^k$ , y $1 = \eta_0 > \eta_1 > \dots > \eta_n = -1$ . Raíces: $\cos n\theta = 0$ si y solo si $\theta = \frac{(2k-1)\pi}{2n}$ , es decir, los $n$ puntos distintos $\cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}$ ; y como $\frac{(k-1)\pi}n < \frac{(2k-1)\pi}{2n} < \frac{k\pi}n$ , cada raíz cae estrictamente entre dos extremos consecutivos.

8. $T_2 = 2X^2 - 1$ , $T_3 = 4X^3 - 3X$ , $T_4 = 8X^4 - 8X^2 + 1$ . Para $T_3$ : $T_3(1) = 1$ , $T_3(\tfrac12) = \tfrac12 - \tfrac32 = -1$ , $T_3(-\tfrac12) = 1$ , $T_3(-1) = -1$ : alternancia perfecta.

9. Sean $u_\pm = x \pm \sqrt{x^2 - 1}$ para $x \geq 1$ : las raíces de $z^2 - 2xz + 1$ , con $u_+u_- = 1$ . La sucesión $s_n = \frac{u_+^n + u_-^n}2$ cumple $s_{n+1} = 2x\,s_n - s_{n-1}$ (recurrencia de tipo Newton procedente de la cuadrática), $s_0 = 1$ , $s_1 = x$ : la misma recurrencia y los mismos valores iniciales que $n \mapsto T_n(x)$ , luego $s_n = T_n(x)$ para todo $n$ . Como $0 < u_- \leq 1 \leq u_+$ con $u_+ > 1$ para $x > 1$ : $T_n(x) \geq \frac{u_+^n}2 \to \infty$ y $T_n(x) \sim \frac12\bigl(x + \sqrt{x^2-1}\bigr)^n$ . (Para $x \leq -1$ úsese la paridad $T_n(-x) = (-1)^nT_n(x)$ , clara a partir de la recurrencia.)

10. Para todo $\theta$ : $T_m\bigl(T_n(\cos\theta)\bigr) = T_m(\cos n\theta) = \cos mn\theta = T_{mn}(\cos\theta)$ . Los polinomios $T_m \circ T_n$ y $T_{mn}$ coinciden en $\intcc{-1}{1}$ y, por tanto, son iguales.

11. $D = Q_n - P$ tiene grado $\leq n - 1$ (los términos directores mónicos se cancelan). En los extremos: $(-1)^kD(\eta_k) = 2^{1-n} - (-1)^kP(\eta_k) \geq 2^{1-n} - \abs{P(\eta_k)} > 0$ por hipótesis. Así pues, $D$ toma valores no nulos de signos alternos en los $n + 1$ puntos decrecientes $\eta_0 > \dots > \eta_n$ : por el teorema del valor intermedio tiene al menos $n$ raíces distintas, una en cada intervalo abierto $\intoo{\eta_{k}}{\eta_{k-1}}$ . Un polinomio no nulo de grado $\leq n - 1$ no puede tener $n$ raíces; y $D = 0$ contradice los signos estrictos. Contradicción: $\sup\abs P \geq 2^{1-n}$ para todo $P$ mónico de grado $n$ .

12. Ahora $(-1)^kD(\eta_k) = 2^{1-n} - (-1)^kP(\eta_k) \geq 0$ , ya que $\abs{P} \leq 2^{1-n}$ . En cada $\intcc{\eta_k}{\eta_{k-1}}$ ( $k = 1, \dots, n$ ) los valores de $D$ en los extremos tienen signos débiles opuestos: el teorema del valor intermedio da un cero $z_k$ en el intervalo cerrado. Si los $z_k$ pueden elegirse distintos dos a dos, entonces $D \neq 0$ de grado $\leq n-1$ tiene $n$ raíces: contradicción. Dos intervalos consecutivos solo pueden compartir el cero $z_k = z_{k+1} = \eta_k$ con $0 < k < n$ (interior). Allí, $D(\eta_k) = 0$ significa $P(\eta_k) = (-1)^k2^{1-n}$ , un valor extremal de $P$ sobre $\intcc{-1}{1}$ alcanzado en un punto interior: luego $P'(\eta_k) = 0$ ; y $\eta_k$ es también un extremo interior de $T_n$ : $Q_n'(\eta_k) = 0$ . Por tanto $D'(\eta_k) = 0$ : $\eta_k$ es raíz de multiplicidad $\geq 2$ , lo que compensa el intervalo compartido. En todos los casos $D$ tiene al menos $n$ raíces contadas con multiplicidad y grado $\leq n - 1$ , luego $D = 0$ y $P = Q_n$ . Queda demostrado el teorema extremal de Chebyshev: el único minimizador mónico es $2^{1-n}T_n$ , de norma del supremo $2^{1-n}$ .

13. Los polinomios mónicos de grado $n$ son exactamente los $X^n - R$ con $R \in \R_{n-1}[X]$ , luego

d_\infty\bigl(X^n, \R_{n-1}[X]\bigr) = \min_{P \text{ mónico}}\ \sup_{\intcc{-1}{1}}\abs P = 2^{1-n},

alcanzado únicamente en $R^* = X^n - Q_n$ . Sustitución $x = \frac{1+t}2$ : si $P$ es mónico de grado $n$ sobre $\intcc01$ , entonces $t \mapsto 2^nP\bigl(\frac{1+t}2\bigr)$ es mónico sobre $\intcc{-1}{1}$ con supremo igual a $2^n\sup_{\intcc01}\abs P$ ; por tanto $\sup_{\intcc01}\abs P \geq 2^{-n}\cdot2^{1-n} = 2^{1-2n}$ , con igualdad exactamente para $P^*(x) = 2^{-n}Q_n(2x - 1)$ : sobre $\intcc{0}{1}$ la distancia es $2^{1-2n}$ .

14. $\omega$ es mónico de grado $n$ , luego $\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs\omega \geq 2^{1-n}$ con igualdad si y solo si $\omega = Q_n = 2^{1-n}T_n$ , es decir, si y solo si los nodos son las $n$ raíces de $T_n$ : $x_k = \cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}$ , los nodos de Chebyshev. Valor mínimo: $2^{1-n}$ . Los nodos equidistantes son estrictamente peores; el factor de error de interpolación se minimiza agrupando los nodos cerca de los extremos.

15. Caso $n = 2$ a mano: $x^2$ recorre $\intcc01$ , luego $\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs{x^2 - c} = \max(\abs c, \abs{1 - c}) \geq \frac12$ , mínimo en $c = \frac12$ : la cuadrática mónica mínima es $x^2 - \frac12 = \frac12(2x^2 - 1) = Q_2$ , de valor $\frac12 = 2^{1-2}$ . Para $n = 10$ sobre $\intcc{0}{1}$ : $2^{1-20} = 2^{-19} \approx 1.9\cdot10^{-6}$ . Algún polinomio de grado $9$ se mantiene a menos de dos millonésimas de $x^{10}$ en todo $\intcc01$ : a esa escala las dos gráficas son indistinguibles; el aplanamiento de $x^{10}$ cerca de $0$ deja que los grados inferiores hagan todo el trabajo.

16. $\norm{g_k}_\infty = g_k(1) = 1$ . Para $j > k$ pongamos $a = 2^k$ , $b = 2^j \geq 2a$ , y evaluemos en $x_0 = 2^{-1/a}$ (de modo que $x_0^a = \frac12$ ):

g_k(x_0) - g_j(x_0) = \frac12 - \Bigl(\frac12\Bigr)^{b/a} \geq \frac12 - \frac14 = \frac14 .

Luego $\norm{g_k - g_j}_\infty \geq \frac14$ para todos $j \neq k$ : ninguna subsucesión es de Cauchy ni converge. La bola unidad cerrada de $\bigl(C(\intcc01), \norm\cdot_\infty\bigr)$ no es compacta.

17. $F$ es cerrado (Corolario 5.14) y propio: tómese $y \notin F$ , de modo que $\delta = d(y, F) > 0$ . Por la pregunta 1, la distancia se alcanza en cierto $f^* \in F$ . Póngase $x = \frac{y - f^*}{\delta}$ , vector unitario (pues $\norm{y - f^*} = \delta$ ). Para todo $g \in F$ :

\norm{x - g} = \frac{\norm{y - (f^* + \delta g)}}{\delta} \geq \frac{\delta}{\delta} = 1 ,

ya que $f^* + \delta g \in F$ . Luego $d(x, F) \geq 1$ ; y $d(x, F) \leq \norm{x - 0} = 1$ : exactamente $1$ .

18. En un $E$ de dimensión infinita, constrúyanse vectores unitarios por inducción: $x_1$ arbitrario; dados $x_1, \dots, x_k$ , el subespacio $F_k = \operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_k)$ es de dimensión finita y por tanto propio, y la pregunta 17 da un unitario $x_{k+1}$ con $d(x_{k+1}, F_k) = 1$ ; en particular $\norm{x_{k+1} - x_i} \geq 1$ para $i \leq k$ . La sucesión tiene distancias mutuas $\geq 1$ : la bola unidad contiene una sucesión sin subsucesión convergente y, por tanto, no es compacta; es el teorema de Riesz, con la constante óptima $1$ .

19. Sea $h_n$ afín en cada mitad de $\bigl[\frac1{n+1}, \frac1n\bigr]$ , subiendo de $0$ a $1$ en el punto medio y bajando de nuevo a $0$ , y nula en el resto: es continua y $\norm{h_n}_\infty = 1$ . Para $n \neq m$ los soportes se cortan a lo sumo en un extremo común, donde ambas se anulan; y en el pico de $h_n$ se tiene $h_m = 0$ : luego $\norm{h_n - h_m}_\infty = 1$ exactamente. Para $x > 0$ fijo: $h_n(x) = 0$ en cuanto $\frac1n < x$ , y $h_n(0) = 0$ siempre, así que $h_n \to 0$ puntualmente; pero $\norm{h_n - 0}_\infty = 1$ : no uniformemente. Una constelación explícita a distancia mutua $1$ dentro de la bola unidad.

20. Una bola de radio $\frac13$ tiene diámetro $\leq \frac23 < 1$ , luego contiene a lo sumo una de las $h_n$ (dos de ellas están a distancia $1$ ). Un número finito de esas bolas contiene un número finito de las infinitas $h_n$ : no pueden recubrir la bola unidad. La precompacidad —de la que disfrutan los espacios métricos compactos por la demostración del Teorema 4.20— falla del peor modo posible.

21. Si $Ax = \lambda x$ con $x \neq 0$ , entonces $\abs\lambda\,\norm x = \norm{Ax} \leq \vertiii A\,\norm x$ , luego $\abs\lambda \leq \vertiii A$ . Para $\left(\begin{smallmatrix}1 & -2\\ 3 & 1\end{smallmatrix}\right)$ : $\vertiii A_\infty = \max(1 + 2,\ 3 + 1) = 4$ (Ejercicio 5.4), así que todo valor propio tiene módulo $\leq 4$ ; de hecho, $\chi_A = X^2 - 2X + 7$ da $\lambda = 1 \pm \iu\sqrt6$ , de módulo $\sqrt7 \approx 2.65$ : la cota es válida pero no óptima.

22. $N_P$ es una norma: $N_P(x) = 0$ obliga a $P^{-1}x = 0$ , luego $x = 0$ ; la homogeneidad y la desigualdad triangular se heredan de $\norm\cdot_\infty$ a través de la aplicación lineal $P^{-1}$ . Norma de operador: con $y = P^{-1}x$ y $D = \mathrm{diag}(\lambda_i)$ ,

N_P(Ax) = \norm{P^{-1}AP\,y}_\infty = \norm{Dy}_\infty,

de modo que $\vertiii A_{N_P}$ es la norma de operador de $D$ para $\norm\cdot_\infty$ , es decir, su mayor suma de valores absolutos por filas (Ejercicio 5.4): $\max_i\abs{\lambda_i}$ .

23. Si todos los $\abs{\lambda_i} < 1$ : $N_P(A^kx) \leq \rho^kN_P(x)$ con $\rho = \max\abs{\lambda_i} < 1$ , luego $A^kx \to 0$ para todo $x$ y $A^k \to 0$ en cualquier norma sobre $\mathcal{M}_n$ (todas equivalentes en dimensión finita, Teorema 5.13; la convergencia de $A^ke_j$ para cada $j$ es la convergencia entrada a entrada). Si algún $\abs{\lambda} \geq 1$ con vector propio $x$ : $\norm{A^kx} = \abs\lambda^k\norm x \not\to 0$ . Para $A = \frac14\left(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{smallmatrix}\right)$ : los valores propios son $\frac14(1 \pm 2) = \frac34, -\frac14$ , ambos de módulo $< 1$ , luego $A^k \to 0$ .

24. Ambas son normas sobre el $\R_n[X]$ de dimensión finita y, por tanto, equivalentes para cada $n$ . Tómese el mónico mínimo $P^*_n$ de la pregunta 13 sobre $\intcc01$ : su coeficiente en $X^n$ vale $1$ , luego $N_c(P^*_n) \geq 1$ , mientras que $\norm{P^*_n}_{\intcc01} = 2^{1-2n}$ . Por tanto

C_n \geq \frac{N_c(P^*_n)}{\norm{P^*_n}_{\intcc01}} \geq 2^{2n-1} .

Las constantes de equivalencia explotan con la dimensión: sobre la unión $\R[X]$ ninguna constante única sirve, que es exactamente la no equivalencia vista en el Ejercicio 5.12; “todas las normas son equivalentes” es un teorema sobre una dimensión cada vez, y la dimensión infinita es donde muere.

25. La compacidad de los cerrados acotados en dimensión finita produjo la existencia de mejores aproximaciones (pregunta 1) y alimentó el recuento de ceros en los $n + 1$ puntos extremales (preguntas 11–12, vía supremos alcanzados). La convexidad estricta gobierna la unicidad de la mejor aproximación: las bolas redondas dan un único minimizador y las de lados planos dan segmentos de ellos (preguntas 2–4). La constelación de vectores unitarios a distancia mutua $1$ (preguntas 17–19) destruye la compacidad de la bola unidad y, con ella, la precompacidad (pregunta 20). La pregunta 24 cuantifica el derrumbe: las constantes que relacionan dos normas sobre $\R_n[X]$ crecen como $4^n$ , de modo que ninguna comparación uniforme sobrevive al paso a $\R[X]$ . La cumbre es el teorema extremal de Chebyshev (preguntas 11–12): el único minimizador mónico $2^{1-n}T_n$ . La mejor aproximación halla su hogar moderno en los espacios de Hilbert, donde el teorema de la proyección sustituye la compacidad por la completitud más la identidad del paralelogramo, demostrado honestamente en el volumen del tercer año.

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