Matemáticas universitarias — Grado 2 · Bachelor Year 2

5Espacios vectoriales normados

Cuando el espacio métrico es un espacio vectorial y la distancia proviene de a norma, la topología y el álgebra lineal comienzan a interactuar: mapas lineales son continuo exactamente cuando están acotados en la bola unitaria, dimensión finita obliga a todos los normas a estar de acuerdo, y lo completo se vuelve series absolutamente convergentes en series convergentes. el división de dimensión finita/infinita — cristalizada en el teorema de Riesz — es la lección más profunda del capítulo.

En todo momento, $E, F$ son espacios vectoriales sobre $K = \R$ o $\C$ .

5.1 Normas

Definición 5.1

A norma en $E$ es un mapa $\norm{\,\cdot\,} \colon E \to \R_+$ con, para todos $x, y \in E$ , $\lambda \in K$ :

\norm x = 0 \iff x = 0, \qquad \norm{\lambda x} = \abs\lambda\,\norm x, \qquad \norm{x + y} \leq \norm x + \norm y .

Entonces $d(x, y) = \norm{x - y}$ es una distancia, y todos Se aplica Capítulo 4. La desigualdad del triángulo inverso $\bigl|\norm x - \norm y\bigr| \leq \norm{x - y}$ hace la norma sí mismo $1$ -Lipschitz; la suma y la multiplicación escalar son continuo (estimaciones $\norm{(x + y) - (x' + y')} \leq \norm{x - x'} + \norm{y - y'}$ , etc.).

Ejemplo 5.2

En $K^n$ :

\norm{x}_1 = \sum_i \abs{x_i}, \qquad \norm{x}_2 = \Bigl(\sum_i \abs{x_i}^2\Bigr)^{1/2}, \qquad \norm{x}_\infty = \max_i \abs{x_i}

( $\norm\cdot_2$ es un norma de Cauchy–Schwarz, volumen del año 1). encendido $C(\intcc{a}{b})$ :

\norm f_\infty = \sup \abs f, \qquad \norm f_1 = \int_a^b \abs f, \qquad \norm f_2 = \Bigl(\int_a^b \abs f^2\Bigr)^{1/2},

siendo los dos últimos normas gracias a la estricta positividad del Cauchy integral e integral–Schwarz (volumen del año 1). En matrices: cualquier norma en $\mathcal M_n(K) \simeq K^{n^2}$ ; el normas del operador a continuación se muestran los estructuralmente importantes.

Definición 5.3 (Normas equivalentes)

Dos normas $N_1, N_2$ en $E$ son equivalente cuando hay constantes $c, C > 0$ con

c\,N_1 \leq N_2 \leq C\, N_1 .

normas equivalente tiene los mismos conjuntos abierto, los mismos convergentes y Secuencias de Cauchy, los mismos subconjuntos compacto y completo: los mismos análisis.

Ejemplo 5.4 (No equivalencia en dimensión infinita)

En $C(\intcc{0}{1})$ : $\norm f_1 \leq \norm f_\infty$ siempre, pero sin retenciones de límite inverso: $f_n(x) = x^n$ tiene $\norm{f_n}_\infty = 1$ y $\norm{f_n}_1 = \frac{1}{n+1} \to 0$ . Entonces $f_n \to 0$ para $\norm\cdot_1$ pero no para $\norm\cdot_\infty$ : los dos normas no están de acuerdo sobre la convergencia misma.

Ejemplo 5.5 (Constantess en la dimensión $n$ )

En $K^n$ los tres clásicos normas son equivalente con agudos constantes:

\norm x_\infty \leq \norm x_2 \leq \norm x_1 \leq \sqrt n\,\norm x_2 \leq n\,\norm x_\infty ,

el límite medio $\norm x_1 \leq \sqrt n\norm x_2$ proveniente de Cauchy-Schwarz contra el vector de todos unos. Vectores extremos: $e_1$ convierte las dos primeras desigualdades en igualdades, $(1, 1, \dots, 1)$ las dos últimas. La dimensión $n$ se encuentra visiblemente en el constantes — la semilla cuantitativa del fracaso en infinito dimensión: como $n \to \infty$ no sobrevive ninguna constante uniforme, que es exactamente lo que muestra Ejemplo 5.4 en espacios funcionales.

Las bolas unitarias de las tres clásicas normas de ℝ2, anidado como las desigualdades de dictar: bola más pequeña, más grande norma. La redondez importa: lo plano Los lados del diamante y el cuadrado son exactamente los fracasos de convexidad estricta explotada en el fin de semana de problema y en este capítulo (pregunta 4). — Las bolas unitarias de las tres clásicas normas de $\R^2$ , anidado como las desigualdades de Ejemplo 5.5 dictar: bola más pequeña, más grande norma. La redondez importa: lo plano Los lados del diamante y el cuadrado son exactamente los fracasos de convexidad estricta explotada en el fin de semana de Capítulo 8 problema y en este capítulo (pregunta 4).

5.2 Mapas lineales continuos

Teorema 5.6 (Caracterización)

Para un mapa lineal $u \colon E \to F$ entre espacios normados, el Los siguientes son equivalente:

$u$ es continuo;
$u$ es continuo en $0$ ;
$u$ está acotado en la bola unitaria cerrada: $\sup_{\norm x \leq 1} \norm{u(x)} < \infty$ ;
hay $C \geq 0$ con $\norm{u(x)} \leq C \norm x$ para todos $x$ ;
$u$ es Lipschitz.

El $C$ menos parecido es el norma del operador. $\vertiii{u} = \sup_{\norm x \leq 1}\norm{u(x)} = \sup_{x \neq 0} \frac{\norm{u(x)}}{\norm x}$ ; hace que el espacio $\mathcal{L}_c(E, F)$ de los mapas lineales continuo sea un espacio normado, con

\vertiii{v \circ u} \leq \vertiii v\, \vertiii u .

Demostración. (1 $\Rightarrow$ 2) trivial. (2 $\Rightarrow$ 3): continuidad en $0$ con $\varepsilon = 1$ da $\delta$ con $\norm x \leq \delta \Rightarrow \norm{u(x)} \leq 1$ ; la homogeneidad luego escala cualquier $x$ con $\norm x \leq 1$ hacia abajo en esa bola y de regreso:

\norm{u(x)} = \frac1\delta\,\norm{u(\delta x)} \leq \frac1\delta ,

desde $\norm{\delta x} \leq \delta$ . (3 $\Rightarrow$ 4): para $x \neq 0$ , aplique el límite a $\frac{x}{\norm x}$ . (4 $\Rightarrow$ 5): $\norm{u(x) - u(y)} = \norm{u(x - y)} \leq C\norm{x - y}$ . (5 $\Rightarrow$ 1) conocido.

Norma axiomas para $\vertiii\cdot$ : homogeneidad y separación son claro ( $\vertiii u = 0$ fuerza a $u = 0$ en la pelota, por lo tanto en todas partes); desigualdad triangular de $\norm{(u + v)(x)} \leq \norm{u(x)} + \norm{v(x)}$ . Submultiplicatividad: $\norm{v(u(x))} \leq \vertiii v\,\norm{u(x)} \leq \vertiii v \vertiii u \norm x$ . ∎

Ejemplo 5.7

En $\bigl(C(\intcc{0}{1}), \norm\cdot_\infty\bigr)$ : evaluación $f \mapsto f(0)$ tiene norma del operador $1$ ; la integración $f \mapsto \int_0^1 f$ tiene norma $1$ ; el mapa $f \mapsto \int_0^1 t f(t)\dd t$ tiene norma $\int_0^1 t\,\dd t = \frac12$ (límite superior por el triángulo desigualdad para integrales; obtenido en $f \equiv 1$ ). pero la diferenciación, de $(C^1, \norm\cdot_\infty)$ a $(C^0, \norm\cdot_\infty)$ , es no continuo: $\norm{\sin(nx)}_\infty = 1$ mientras que la derivada tiene sup norma $n$ . Lineal no implica continuo en dimensión infinita.

Ejemplo 5.8 (Dos normas, dos veredictos en una secuencia)

En $C(\intcc01)$ , deje $g_n(x) = \sqrt{n}\,x^n$ . entonces

\norm{g_n}_1 = \frac{\sqrt n}{n + 1} \longrightarrow 0, \qquad \norm{g_n}_2^2 = \frac{n}{2n + 1} \longrightarrow \frac12, \qquad \norm{g_n}_\infty = \sqrt n \longrightarrow \infty :

una secuencia, tres normas, tres comportamientos — convergencia a cero, sin convergencia (normas se estabiliza en $\frac1{\sqrt2}$ pero el límite puntual es $0$ ) y explosión. concentración de masa cerca de $x = 1$ es invisible para $\norm\cdot_1$ , medio visible para $\norm\cdot_2$ , dominante para $\norm\cdot_\infty$ . en infinito dimensión, "¿converge?" no es una pregunta sobre una secuencia: se trata de una secuencia y a norma.

Método 5.9 (Cálculo de una norma de operador)

Siempre en dos movimientos. Límite superior: estimación $\norm{u(x)}$ por $C\norm x$ usando desigualdades triangulares, Cauchy–Schwarz, o límites integrales— esto prueba $\vertiii u \leq C$ . Testigo: exhibe un $x_0 \neq 0$ específico con $\norm{u(x_0)} = C\norm{x_0}$ (se alcanza el límite), o un secuencia de vectores unitarios $x_n$ con $\norm{u(x_n)} \to C$ (el se acerca el límite). Ambos movimientos son obligatorios: un límite superior solo da solo $\vertiii u \leq C$ , solo un testigo solo $\vertiii u \geq C$ . En dimensión infinita el testigo puede tener ser una secuencia — no es necesario alcanzar el supremo (Ejercicio 5.8).

Ejemplo 5.10 (Los operadores diagonales ven todas las normas por igual.)

Para $D = \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)$ en $K^n$ con cualquier del normas $\norm\cdot_1, \norm\cdot_2, \norm\cdot_\infty$ : desde $\abs{d_ix_i} \leq \bigl(\max_j\abs{d_j}\bigr)\abs{x_i}$ por coordenadas, $\norm{Dx} \leq \max_j\abs{d_j}\,\norm x$ ; y $x = e_{j_0}$ (un índice maximizador) lo alcanza. Entonces $\vertiii D = \max_j\abs{d_j}$ en los tres casos: para mapas diagonales, todos razonable normas cuenta la misma historia, el tramo más grande factor. Todo lo difícil de normas del operador se trata de no-comportamiento diagonal — por eso el adaptado normas del problema de fin de semana de este capítulo (pregunta 22) funciona por obligando a una matriz a volverse diagonal primero.

Ejemplo 5.11 (Sumas de columnas: el gemelo normativo $1$ de Ejercicio 5.4)

En $(\R^n, \norm\cdot_1)$ , el norma del operador de una matriz $A$ es la mayor suma absoluta columna. Ejecute el método: para $\norm x_1 \leq 1$ ,

\norm{Ax}_1 = \sum_i\Bigl|\sum_j a_{ij}x_j\Bigr| \leq \sum_j \abs{x_j}\sum_i\abs{a_{ij}} \leq \Bigl(\max_j\sum_i\abs{a_{ij}}\Bigr)\norm x_1 ,

y el límite se alcanza en $x = e_{j_0}$ para una maximización columna $j_0$ — el testigo más ordenado imaginable. Entonces para $A = \left(\begin{smallmatrix}1 & -2\\ 3 & 1\end{smallmatrix}\right)$ : $\vertiii A_1 = \max(1 + 3,\ 2 + 1) = 4$ , mientras $\vertiii A_\infty = 4$ también (filas) — una coincidencia aquí, no una ley: transponer las entradas de la matriz de forma asimétrica y las dos normas parte de la empresa. Filas para $\norm\cdot_\infty$ , columnas para $\norm\cdot_1$ : el mnemónico es que los vectores unitarios de cada norma (patrones de signos, resp. vectores básicos) seleccione la coincidencia sumas.

Proposición 5.12 (mapas bilineales)

Un mapa bilineal $b \colon E \times F \to G$ es continuo si y así $\norm{b(x,y)} \leq C\norm x\,\norm y$ para algunos $C$ ; entonces es Lipschitz en conjuntos acotados. (Mismo patrón de prueba; el producto $(u, v) \mapsto v \circ u$ y la multiplicación de matrices son la clave ejemplos.)

Demostración. Si el límite se cumple:

b(x,y) - b(x_0,y_0) = b(x - x_0,\, y) + b(x_0,\, y - y_0),

entonces $\norm{b(x,y) - b(x_0,y_0)} \leq C\norm{x - x_0}\norm y + C\norm{x_0}\norm{y - y_0}$ : continuidad en $(x_0, y_0)$ , y un Lipschitz con destino a $\norm x, \norm y \leq R$ . Por el contrario, continuidad en $(0,0)$ da $\delta$ con $\norm{b(x,y)} \leq 1$ encendido $\norm x, \norm y \leq \delta$ ; escalar ambas variables. ∎

5.3 Dimensión finita

Teorema 5.13 (Equivalencia de normas en dimensión finita)

En un espacio de dimensión finita, all normas are equivalente. En consecuencia, en finito dimensión: convergencia, apertura, compacidad, lo completo son nociones independientes de normas; compacto $=$ cerrado y acotado; el espacio es completo; y cada mapa lineal (o multilineal) de un espacio de dimensión finita es continuo.

Demostración. Fijar una base e identificar $E \simeq K^n$ ; basta con comparar cualquier norma $N$ con $\norm\cdot_\infty$ .

Una dirección es el álgebra: $N(x) = N(\sum x_i e_i) \leq \sum \abs{x_i} N(e_i) \leq C \norm x_\infty$ con $C = \sum N(e_i)$ . Esto también muestra que $N$ es continuo en $(K^n, \norm\cdot_\infty)$ . (es $C$ -Lipschitz: $\abs{N(x) - N(y)} \leq N(x - y)$ ).

La otra es la topología: la esfera unitaria $S = \{x : \norm{x}_\infty = 1\}$ está cerrada y acotada en $(K^n, \norm\cdot_\infty)$ , por lo tanto compacto (Teorema 4.16 (2), válido para $\C^n \simeq \R^{2n}$ ). La función continuo $N$ alcanza su mínimo $c$ en $S$ ; $c > 0$ ya que $N$ desaparece solo en $0 \notin S$ . Homogeneidad extiende el límite: $N(x) \geq c \norm{x}_\infty$ para todos los $x$ .

Consecuencias: todas las declaraciones se reducen a $(K^n, \norm\cdot_\infty)$ , donde se conocen. (Teorema 4.9, Teorema 4.16); a linear $u$ from de dimensión finita $E$ satisface $\norm{u(x)} \leq \sum\abs{x_i} \norm{u(e_i)} \leq C'\norm{x}_\infty$ : ligado (4) de Teorema 5.6. ∎

Corolario 5.14

Un subespacio de dimensión finita de cualquier espacio normado es cerrado.

Demostración. Es completo para el norma inducido. (Teorema 5.13) y completo están cerrados (Definición 4.7). ∎

Ejemplo 5.15 (Una mejor aproximación calculada por simetría.)

En $\bigl(C(\intcc{-1}{1}), \norm\cdot_\infty\bigr)$ , ¿a qué distancia está $f(x) = \abs x$ del subespacio (cerrado, bidimensional) de funciones afines $a + bx$ ? Por simetría, sustituyendo $a + bx$ por $a - bx$ deja $\norm{f - (a \pm bx)}_\infty$ sin cambios y el punto medio $a$ lo hace al menos tan bien (desigualdad del triángulo en la media): basta con considerar constantes. por una constante $a$ :

\norm{\abs x - a}_\infty = \max\,(1 - a,\ a) \geq \frac12 ,

minimizado en $a = \frac12$ : la distancia es $\frac12$ , alcanzada por la constante $\frac12$ . Tenga en cuenta la curva de error $\abs x - \frac12$ : llega a $\pm\frac12$ alternativamente en $x = -1, 0, 1$ — tres extremos de signo alterno para una mejor aproximación de una familia de dos parámetros. eso El patrón equioscilación no es casualidad; es el firma de optimización que el problema del fin de semana de este capítulo se convierte en el teorema de Chebyshev.

Ejemplo 5.16 (Subespacios cerrados versus densos)

En $E = \bigl(C(\intcc{0}{1}), \norm\cdot_\infty\bigr)$ : cada uno $\R_n[X]$ (polinomios de grado $\leq n$ , restringidos a $\intcc01$ ) es un subespacio de dimensión finita, por lo tanto cerrado. — un límite uniforme de polinomios de grado $\leq n$ es uno. pero la unión $\R[X]$ de todos ellos es denso en $E$ (el Teorema de aproximación de Weierstrass, demostrado en Capítulo 10), y los subespacios propios densos son como no cerrado como puede ser. La moraleja: el carácter cerrado de los subespacios es una privilegio de dimensión finita; apilar pisos cerrados puede construir un denso rascacielos.

Teorema 5.17 (Riesz)

La bola unitaria cerrada de un espacio normado $E$ es compacto si y solo si $\dim E < \infty$ .

Demostración. Dimensión finita: basta cerrada y acotada (Teorema 5.13).

Por el contrario, supongamos $\dim E = \infty$ . Lema de Riesz: para Para cada subespacio cerrado adecuado $F \subsetneq E$ y $\varepsilon \in \intoo{0}{1}$ , existe un vector unitario $x$ con $d(x, F) \geq 1 - \varepsilon$ . Prueba: elija $y \notin F$ , deje $\delta = d(y, F) > 0$ ( $F$ cerrado), elija $f \in F$ con $\norm{y - f} \leq \frac{\delta}{1 - \varepsilon}$ y configure $x = \frac{y - f}{\norm{y - f}}$ : para cualquier $g \in F$ ,

\norm{x - g} = \frac{\norm{y - (f + \norm{y-f}\,g)}}{\norm{y - f}} \geq \frac{\delta}{\norm{y-f}} \geq 1 - \varepsilon ,

siendo el numerador una distancia desde $y$ hasta un punto de $F$ .

Ahora construya vectores unitarios $x_1, x_2, \dots$ de forma inductiva: $F_k = \operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_k)$ es de dimensión finita, por lo tanto cerrado (Corolario 5.14) y adecuado; Lema de Riesz con $\varepsilon = \frac12$ proporciona una unidad $x_{k+1}$ con $d(x_{k+1}, F_k) \geq \frac12$ . La secuencia satisface $\norm{x_p - x_q} \geq \frac12$ para $p \neq q$ : no hay subsecuencia convergente — la bola unitaria no es compacto. ∎

Ejemplo 5.18 (Riesz como detector de dimensiones)

¿ $C(\intcc01)$ es de dimensión finita? Riesz responde sin exhibiendo cualquier familia libre infinita explícita: la secuencia $f_n(x) = x^n$ se encuentra en la bola unitaria cerrada y satisface, por $m > n$ , $\norm{f_n - f_m}_\infty \geq f_n(x_0) - f_m(x_0) > 0$ en puntos adecuados — cuantificados claramente en la descripción de este capítulo. problema de fin de semana (pregunta 16), donde una subsecuencia permanece en distancia mutua $\geq \frac14$ . No hay subsecuencia convergente, por lo que la pelota no es compacto, entonces $\dim C(\intcc01) = \infty$ por Teorema 5.17. Compacidad de la bola unitaria es un dicotomía perfecta: se mantiene en una dimensión finita, falla en Dimensión infinita, sin término medio: solo geometría. lee el tipo de dimensión.

5.4 espacios de banach

Definición 5.19

Un espacio banach es un completo normalizado. espacio. Ejemplos: todo espacio normado de dimensión finita (Teorema 5.13); $\bigl(C(\intcc{a}{b}), \norm\cdot_\infty\bigr)$ (Teorema 4.9); $\mathcal{L}_c(E, F)$ para $F$ Banach (mismo patrón de prueba que para continuo funciones). No ejemplo: $\bigl(C(\intcc{0}{1}), \norm\cdot_1\bigr)$ (Ejercicio 5.7).

Ejemplo 5.20 (La norma de integración del operador.)

En $\bigl(C(\intcc01), \norm\cdot_\infty\bigr)$ , sea $T(f)(x) = \int_0^x f(t)\,\dd t$ (un endomorfismo: $T(f)$ es continuo). Ejecute Método 5.9. Límite superior:

\abs{T(f)(x)} \leq \int_0^x\abs f \leq x\,\norm f_\infty \leq \norm f_\infty ,

entonces $\vertiii T \leq 1$ . Testigo: $f \equiv 1$ da $T(f)(x) = x$ y $\norm{T(f)}_\infty = 1 = \norm f_\infty$ : alcanzado, $\vertiii T = 1$ . Pero tenga en cuenta $\vertiii{T^2} = \frac12 \neq \vertiii T^2$ : efectivamente $T^2(f)(x) = \int_0^x(x - t)f(t)\dd t$ tiene $\abs{T^2(f)(x)} \leq \frac{x^2}2\norm f_\infty$ , alcanzado nuevamente en $f \equiv 1$ ; y en general $\vertiii{T^n} = \frac1{n!}$ — el límite submultiplicativo $\vertiii T^n = 1$ está desviado por un factoriales. Este es exactamente el fenómeno del truco iterativo de El problema del fin de semana de Capítulo 4 se convierte en global Solubilidad de ecuaciones diferenciales lineales.

Teorema 5.21 (Convergencia absoluta en espacios de Banach)

En un espacio banach, si $\sum \norm{u_n} < \infty$ entonces $\sum u_n$ converge, y $\norm{\sum u_n} \leq \sum\norm{u_n}$ . (El completo La teoría de series en espacios normados es Capítulo 7.)

Demostración. Sumas parciales $S_N$ : para $q > p$ , $\norm{S_q - S_p} \leq \sum_{n=p+1}^{q}\norm{u_n}$ , que tiende a $0$ (criterio de Cauchy para la serie real de normas): $(S_N)$ es Cauchy, por lo tanto convergente. La desigualdad pasa al límite del triángulo finito. desigualdad. ∎

Ejemplo 5.22 (Matriz exponencial, primer contacto)

El matriz exponencial: $\mathcal{M}_n(K)$ con cualquier submultiplicativo norma ( $\vertiii{AB} \leq \vertiii A \vertiii B$ ) es Banach (dimensión finita). Entonces, por cada $A$ ,

\eu^A = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!}

converge absolutamente ( $\vertiii{A^k/k!} \leq \vertiii A^k /k!$ , sumable): bien definido. Capítulo 16 lo explota sistemáticamente.

Ejemplo 5.23 (Una serie de Neumann que termina)

Para $A = \left(\begin{smallmatrix}0 & \frac12\\ 0 & 0\end{smallmatrix}\right)$ : $\vertiii A < 1$ en cualquier norma del operador construido sobre normas y $A^2 = 0$ de Ejemplo 5.2, por lo que la serie geométrica colapsa:

(I - A)^{-1} = \sum_{k \geq 0} A^k = I + A = \begin{pmatrix}1 & \tfrac12\\ 0 & 1\end{pmatrix},

verificado por $(I - A)(I + A) = I - A^2 = I$ . nilpotencia trunca la serie exactamente como truncó la exponencial en Capítulo 3; y el ejemplo calibra expectativas: la inversa de Neumann es una serie infinita en En general, un polinomio precisamente cuando la perturbación es nilpotente, y el error después de los términos $N$ siempre está limitado por la cola geométrica $\vertiii A^{N+1}/(1 - \vertiii A)$ .

Ejemplo 5.24 (El exponencial de un generador de rotacion.)

Tome $A = \left(\begin{smallmatrix}0 & -\theta\\ \theta & 0\end{smallmatrix}\right)$ . Entonces $A^2 = -\theta^2 I$ , entonces los poderes ciclo con periodo cuatro, y la serie se divide en pares e impares partes:

\eu^{A} = \sum_{k}\frac{A^k}{k!} = \Bigl(\sum_{j}\frac{(-1)^j\theta^{2j}}{(2j)!}\Bigr) I + \Bigl(\sum_{j}\frac{(-1)^j\theta^{2j+1}}{(2j+1)!}\Bigr) \frac{A}{\theta} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix},

todos los reordenamientos están autorizados por la convergencia absoluta. el exponencial de un generador antisimétrico es una rotación — calculado aquí puramente a partir de la serie, tres capítulos antes del la ecuación diferencial $x' = Ax$ (Capítulo 16) explica por qué: $\eu^{tA}$ es un movimiento circular uniforme. el cierre Idea: las identidades entre series de matrices se demuestran exactamente como escalares, una vez que un submultiplicativo norma certifica absoluto convergencia.

Ejemplo 5.25 (Sup norma significa uniforme: el diccionario)

La declaración $\norm{f_n - f}_\infty \to 0$ is uniforme convergencia: un número, $\sup_x\abs{f_n(x) - f(x)}$ , límites el error en cada punto simultáneamente. el diccionario en acción en $f_n(x) = x^n$ sobre $\intcc{0}{1}$ : puntualmente, $f_n \to 0$ en $\intco{0}{1}$ y $f_n(1) = 1$ ; en norma, $\norm{f_n - 0}_\infty = 1 \not\to 0$ , y de hecho el punto El límite es discontinuo y, por lo tanto, está fuera del alcance de un $\norm\cdot_\infty$ -límite en $C(\intcc01)$ (que está cerrado bajo límites uniformes, Teorema 4.9). encendido $\intcc{0}{a}$ , $a < 1$ : $\norm{f_n}_\infty = a^n \to 0$ — Convergencia uniforme restaurada al reducir el dominio. cada declaración de convergencia de Capítulo 10 es una declaración sobre este norma; teniendo en cuenta las mitades del diccionario ese capítulo.

Observación 5.26 (Errores comunes)

(i) Un norma del operador depende del ambos elegido normas: el la misma matriz tiene $\vertiii\cdot_\infty$ dada por sumas de filas (Ejercicio 5.4) y un $\vertiii\cdot_1$ diferente (columna sumas); citando “el” norma de una matriz sin nombrar el normas subyacente no tiene sentido. (ii) $\vertiii{AB} \leq \vertiii A\,\vertiii B$ es una desigualdad, generalmente estricta — Los poderes pueden reducirse mucho más rápido que el límite $\vertiii A^k$ . sugiere, que es el objetivo del normas adaptado (este problema de fin de semana del capítulo, pregunta 22). (iii) “Lineal implica continuo” es un privilegio de dimensión finita: diferenciación en polinomios es lineal y ilimitado (Ejemplo 5.7). (iv) Convergencia absoluta de $\sum u_n$ solo ayuda cuando el espacio es completo (Ejercicio 7.9 construye el contraejemplo). (v) En dimensión infinita un supremo sobre la bola unitaria es un genuino supremo: no asuma que se logra (Ejercicio 5.8).

Observación 5.27 (Perspectivas dentro de este volumen)

Ya se han fijado tres nombramientos. Con Capítulo 7: en a espacio banach, las series absolutamente convergentes convergen, por lo que Las series geométricas y exponenciales de operadores se vuelven cotidianas. herramientas — invertir $I - A$ , definir $\eu^{A}$ (Ejemplo 7.2). con Capítulo 10 y Capítulo 11: convergencia de secuencias de funciones y series de potencias es la convergencia en $\bigl(C, \norm\cdot_\infty\bigr)$ (Ejemplo 5.25), y el radio de La convergencia es una afirmación sobre qué serie geométrica dominar. Con Capítulo 14: el normas $\norm\cdot_2$ y $\norm\cdot_\infty$ realmente no están de acuerdo $C(\intcc{0}{1})$ (Ejemplo 5.8), que es exactamente ¿Por qué la convergencia cuadrática media de series de Fourier y uniformes? convergencia son dos teoremas diferentes con dos diferentes precios.

Observación 5.28 (Dónde se utiliza este capítulo)

Normas del operador y la serie geométrica impulsan la perturbación. argumentos de Capítulo 15 (teorema de la función inversa) y el matriz exponencial de Capítulo 16; equivalencia de normas autoriza silenciosamente cada “elige tu norma favorito” argumento en Capítulo 10 y más allá; y el división finita/infinita del teorema de Riesz — hecha cuantitativa en El problema del fin de semana de este capítulo — es la razón por la que el Año 3 El volumen necesita nuevas herramientas (convergencia débil, Arzelà–Ascoli, proyecciones espaciales de Hilbert) donde este volumen aún podría extraer subsecuencias convergentes.

5.5 Ceremonias

Ejercicio 5.1 ★

En $\R^2$ , dibuja las bolas unitarias de $\norm\cdot_1$ , $\norm\cdot_2$ , $\norm\cdot_\infty$ , y demostrar las desigualdades $\norm x_\infty \leq \norm x_2 \leq \norm x_1 \leq 2\norm x_\infty$ con los mejores. constantes en la dimensión $2$ .

Solución

Solución de Ejercicio 5.1.

Bolas unitarias: un diamante ( $\norm\cdot_1$ ), un disco ( $\norm\cdot_2$ ), un cuadrado ( $\norm\cdot_\infty$ ), anidado en ese orden. Desigualdades: $\norm x_\infty \leq \norm x_2$ (un cuadrado es como máximo la suma); $\norm x_2 \leq \norm x_1$ (cuadrado: $x_1^2 + x_2^2 \leq (\abs{x_1} + \abs{x_2})^2$ ); $\norm x_1 \leq 2\norm x_\infty$ (dos términos, cada uno $\leq \max$ ). Nitidez: $(1, 0)$ logra las dos primeras igualdades; $(1, 1)$ hace $\norm x_1 = 2\norm x_\infty$ y también muestra $\norm x_2 = \sqrt2 \norm x_\infty$ y $\norm x_1 = \sqrt2 \norm x_2$ son las proporciones extremas en la otra dirección.

Ejercicio 5.2 ★

¿ $N(f) = \abs{f(0)} + \norm{f'}_\infty$ es norma en $C^1(\intcc{0}{1})$ ? Compárelo con $\norm{f}_\infty$ : uno la desigualdad se mantiene, la otra falla (exposición).

Solución

Solución de Ejercicio 5.2.

Norma axiomas: la homogeneidad y la desigualdad triangular se heredan término a término; separación: $N(f) = 0$ fuerza a $f' = 0$ (por lo que $f$ es constante) y $f(0) = 0$ : $f = 0$ . Es un norma.

Comparación: $\norm f_\infty \leq N(f)$ , desde $\abs{f(x)} \leq \abs{f(0)} + \abs{\int_0^x f'} \leq \abs{f(0)} + \norm{f'}_\infty$ . Lo contrario falla: tomar $f_n(x) = \frac1n \sin(nx)$ : luego $\norm{f_n}_\infty \leq \frac1n \to 0$ mientras $N(f_n) = 0 + \norm{\cos(nx)}_\infty = 1$ . Ninguna constante $C$ da $N \leq C\norm\cdot_\infty$ .

Ejercicio 5.3 ★

Calcular el norma del operador de $u(f) = \int_0^1 f(t)\,\eu^t\,\dd t$ en $\bigl(C(\intcc{0}{1}), \norm\cdot_\infty\bigr) \to \R$ , y de el turno $S(x_1, x_2, \dots, x_n) = (x_2, \dots, x_n, 0)$ en $(K^n, \norm\cdot_\infty)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 5.3.

$\abs{u(f)} \leq \norm f_\infty \int_0^1 \eu^t\,\dd t = (\eu - 1)\norm f_\infty$ , con igualdad para $f \equiv 1$ : $\vertiii u = \eu - 1$ .

Turno: $\norm{S(x)}_\infty = \max(\abs{x_2}, \dots, \abs{x_n}) \leq \norm x_\infty$ , igualdad en $x = e_2$ : $\vertiii S = 1$ (para $n \geq 2$ ).

Ejercicio 5.4 ★★

En $(\R^n, \norm\cdot_\infty)$ , demuestre que el norma del operador de un matriz $A$ es $\vertiii A_\infty = \max_i \sum_j \abs{a_{ij}}$ (la suma de filas absoluta más grande). Calcúlelo para $\begin{pmatrix} 1 & -2\\ 3 & 1\end{pmatrix}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 5.4.

Límite superior: para $\norm x_\infty \leq 1$ ,

\abs{(Ax)_i} = \Bigl|\sum_j a_{ij}x_j\Bigr| \leq \sum_j \abs{a_{ij}},

entonces $\norm{Ax}_\infty \leq \max_i \sum_j \abs{a_{ij}}$ . Alcanzado: dejar $i_0$ realiza el máximo y toma $x_j = \operatorname{sign}(a_{i_0 j})$ (entradas del módulo $1$ ): luego $(Ax)_{i_0} = \sum_j \abs{a_{i_0 j}}$ . De ahí la fórmula. Para la matriz dada: sumas de filas $3$ y $4$ : $\vertiii A_\infty = 4$ .

Ejercicio 5.5 ★★

Demuestre que $GL_n(K)$ es abierto en $\mathcal{M}_n(K)$ y que $A \mapsto A^{-1}$ es continuo en él. Hint: for openness, if $\vertiii H < \frac{1}{\vertiii{A^{-1}}}$ then $A + H = A(I + A^{-1}H)$ with $\vertiii{A^{-1}H} < 1$ , and $I + B$ is invertible for $\vertiii B < 1$ by the geometric series (Teorema 5.21); for continuidad, bound $(A+H)^{-1} - A^{-1}$ using the same series.

Solución

Solución de Ejercicio 5.5.

Serie geométrica: para $\vertiii B < 1$ , la serie $\sum B^k$ converge absolutamente en el Banach $\mathcal{M}_n(K)$ (Teorema 5.21, $\vertiii{B^k} \leq \vertiii B^k$ ), y

(I - B)\sum_{k=0}^{K} B^k = I - B^{K+1} \longrightarrow I :

por continuidad del producto (Proposición 5.12), $(I - B)\sum_{k\geq0} B^k = I$ , entonces $I - B$ es invertible con la suma inversa (y $\vertiii{(I-B)^{-1}} \leq \frac{1}{1 - \vertiii B}$ ).

Franqueza: para $A$ invertible y $\vertiii H < \frac{1}{\vertiii{A^{-1}}}$ : $A + H = A(I + A^{-1}H)$ con $\vertiii{A^{-1}H} \leq \vertiii{A^{-1}}\vertiii H < 1$ : reversible. Entonces una bola alrededor de $A$ permanece en $GL_n$ .

Continuidad of inversion: con $B = -A^{-1}H$ ,

(A + H)^{-1} - A^{-1} = \bigl((I - B)^{-1} - I\bigr)A^{-1} = \Bigl(\sum_{k \geq 1} B^k\Bigr) A^{-1},

de norma $\leq \frac{\vertiii B}{1 - \vertiii B}\vertiii{A^{-1}} \to 0$ como $H \to 0$ .

Ejercicio 5.6 ★★

Sea $\varphi$ una forma lineal en un espacio normado $E$ . demostrar que $\varphi$ es continuo si y sólo si $\ker\varphi$ está cerrado. (If $\ker\varphi$ is closed and $\varphi \neq 0$ , pick $a$ with $\varphi(a) = 1$ and $r > 0$ with $B(a, r) \cap \ker\varphi = \emptyset$ ; deduce $\abs{\varphi(h)} \leq \frac{1}{r}\norm h$ by a scaling argument on $a - \frac{h}{\varphi(h)}$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 5.6.

Continuo $\Rightarrow$ núcleo cerrado: preimagen del núcleo cerrado $\{0\}$ (Teorema 4.6).

Por el contrario, supongamos que $\ker\varphi$ está cerrado y $\varphi \neq 0$ . elegir $a$ con $\varphi(a) = 1$ ; desde $a \notin \ker\varphi$ y el El núcleo está cerrado, alguna bola $B(a, r)$ no lo alcanza. Ahora deja que $h \in E$ con $\varphi(h) \neq 0$ : el vector $a - \frac{h}{\varphi(h)}$ se encuentra en $\ker\varphi$ , por lo tanto, fuera de $B(a, r)$ :

\Bigl\Vert \frac{h}{\varphi(h)} \Bigr\Vert \geq r \quad\Longrightarrow\quad \abs{\varphi(h)} \leq \frac{\norm h}{r},

una desigualdad trivialmente cierta cuando $\varphi(h) = 0$ también: ligada (4) de Teorema 5.6: continuo.

Ejercicio 5.7 ★★

Demostrar que $\bigl(C(\intcc{0}{1}), \norm\cdot_1\bigr)$ no lo es completo: muestra que las funciones $f_n$ , rampas afines de $0$ a $1$ sobre $\bigl[\frac12 - \frac1n, \frac12\bigr]$ (valor $0$ antes, $1$ después), forman una secuencia de Cauchy sin continuo $\norm\cdot_1$ -límite.

Solución

Solución de Ejercicio 5.7.

Sea $f_n$ $0$ en $\intcc{0}{\frac12 - \frac1n}$ , afín hasta valor $1$ en $\frac12$ , luego $1$ en $\intcc{\frac12}{1}$ . Para $m \geq n$ , $f_m - f_n$ se admite en un intervalo de longitud $\frac1n$ con valores en $\intcc{-1}{1}$ : $\norm{f_m - f_n}_1 \leq \frac1n$ : Cauchy.

Supongamos $f_n \to f$ en $\norm\cdot_1$ con $f$ continuo. encendido $\intcc{0}{\frac12 - \delta}$ (reparado $\delta$ ): $\int \abs{f} = \int\abs{f - f_n} \leq \norm{f - f_n}_1 \to 0$ para $n > \frac1\delta$ , entonces $\int_0^{1/2 - \delta}\abs f = 0$ , y por estricto positividad $f = 0$ allí — por cada $\delta$ : $f = 0$ en $\intoo{0}{\frac12}$ . Del mismo modo $f = 1$ en $\intcc{\frac12}{1}$ (Allí $f_n$ es igual a $1$ ). Por continuidad en $\frac12$ : $0 = 1$ , absurdo. No existe límite: el espacio no es completo.

Ejercicio 5.8 ★★★

En $E = C(\intcc{0}{1})$ con $\norm\cdot_\infty$ , considere

\varphi(f) = \sum_{n \geq 1} (-1)^n\, 2^{-n} f\bigl(\tfrac1n\bigr).

Demuestre que $\varphi$ es una forma lineal continuo bien definida con $\vertiii\varphi = 1$ , pero que el supremo que define $\vertiii\varphi$ es no alcanzado en la bola unitaria cerrada. (Upper bound: triangle inequality. Norma $= 1$ : build continuo $f_K$ with $\norm{f_K}_\infty \leq 1$ and $f_K(\frac1n) = (-1)^n$ for $n \leq K$ — the points $\frac1n$ are isolated from each other. Non-attainment: equality would force $f(\frac1n) = (-1)^n$ for every $n$ , incompatible with continuidad of $f$ at $0$ since $\frac1n \to 0$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 5.8.

Bien definido y continuo: $\abs{\varphi(f)} \leq \sum 2^{-n} \norm f_\infty = \norm f_\infty$ , por lo que $\varphi$ es una forma lineal. con $\vertiii\varphi \leq 1$ (la serie converge absolutamente para cada $f$ ).

Norma $1$ : arreglar $K$ ; los puntos $1, \frac12, \dots, \frac1K$ son distintos por pares, por lo que hay un continuo $f_K$ , $\norm{f_K}_\infty \leq 1$ , con $f_K(\frac1n) = (-1)^n$ para $n \leq K$ (por partes interpolación afín, constante cerca de $0$ ). entonces

\varphi(f_K) \geq \sum_{n=1}^{K} 2^{-n} - \sum_{n > K} 2^{-n} = 1 - 2^{-K+1} \xrightarrow[K \to \infty]{} 1 .

No alcanzado: si $\norm f_\infty \leq 1$ y $\varphi(f) = 1$ , cada uno término debe aportar su máximo: $(-1)^n f(\frac1n) = 1$ por cada $n$ (de lo contrario no se puede compensar el déficit estricto de un término, todos los términos son $\leq 2^{-n}$ ). Entonces $f(\frac1n) = (-1)^n$ ; pero $\frac1n \to 0$ y $f$ es continuo en $0$ , forzando el convergencia contradictoria de $(-1)^n$ . Por lo tanto el supremo no es un máximo — imposible en dimensión finita, donde la unidad cerrada la bola es compacto.

Ejercicio 5.9 ★★★

Sea $E$ un espacio normado en el que la bola unitaria cerrada es compacto. Vuelva a deducir, sin citar Teorema 5.17, que cada secuencia acotada tiene una subsecuencia convergente, y demostrar que cada La forma lineal en $E$ es continuo si y solo si $\dim E < \infty$ . (Para una dimensión infinita, construya una forma discontinua mediante definiéndolo libremente en una secuencia normalizada linealmente independiente y extendiendo — admitiendo la existencia de un algebraico complemento.)

Solución

Solución de Ejercicio 5.9.

Secuencias acotadas: una secuencia acotada se encuentra en algún cerrado bola $\overline B(0, R) = R\,\overline B(0,1)$ , compacto (imagen de la bola unitaria compacto bajo el homeomorfismo $x \mapsto Rx$ ): extraer allí.

Formas lineales: si $\dim E < \infty$ , cada mapa lineal de $E$ es continuo (Teorema 5.13). Por el contrario, supongamos $\dim E = \infty$ (que, por Teorema 5.17, en realidad está excluido por la hipótesis compacidad — el punto de esta pregunta es la implicación entre las dos propiedades en espacios normados generales): elija un linealmente independiente normalizado secuencia $(e_n)$ , complétela en base algebraica (admitida), y defina $\varphi(e_n) = n$ , $\varphi = 0$ en la otra base vectores, extendidos linealmente. Entonces $\abs{\varphi(e_n)} = n$ con $\norm{e_n} = 1$ : ilimitado en la bola unitaria, discontinuo. entonces “todas las formas continuo” fuerzan una dimensión finita.

Ejercicio 5.10 ★★

En $C(\intcc{0}{1})$ , pruebe $\norm f_1 \leq \norm f_2 \leq \norm f_\infty$ (Cauchy–Schwarz para el primero) y muestre con la familia $f_n(x) = x^n$ que ninguna desigualdad se puede revertir hasta una constante: los tres normas son no equivalente por pares.

Solución

Solución de Ejercicio 5.10.

Cauchy–Schwarz con la función constante $1$ : $\norm f_1 = \int_0^1 \abs f\cdot 1 \leq \bigl(\int_0^1 f^2\bigr)^{1/2}\bigl(\int_0^1 1\bigr)^{1/2} = \norm f_2$ . y $\norm f_2^2 = \int f^2 \leq \norm f_\infty^2$ . Para $f_n(x) = x^n$ :

\norm{f_n}_1 = \frac1{n+1}, \qquad \norm{f_n}_2 = \frac1{\sqrt{2n+1}}, \qquad \norm{f_n}_\infty = 1 .

Entonces $\norm{f_n}_2/\norm{f_n}_1 = \frac{n+1}{\sqrt{2n+1}} \to \infty$ y $\norm{f_n}_\infty/\norm{f_n}_2 = \sqrt{2n+1} \to \infty$ : sin desigualdades inversas, ningún par es equivalente.

Ejercicio 5.11 ★★

(Distancia a un hiperplano) Sea $\varphi$ un continuo distinto de cero. forma lineal en un espacio normado $E$ . demostrar que

d\bigl(x, \ker\varphi\bigr) = \frac{\abs{\varphi(x)}}{\vertiii\varphi} \qquad (x \in E),

y verifique en Ejercicio 5.8 que no es necesario que el mínimo sea alcanzado por cualquier punto del hiperplano.

Solución

Solución de Ejercicio 5.11.

Límite inferior de la distancia: para $h \in \ker\varphi$ , $\abs{\varphi(x)} = \abs{\varphi(x - h)} \leq \vertiii\varphi\,\norm{x - h}$ ; tomar el mínimo sobre $h$ : $d(x, \ker\varphi) \geq \abs{\varphi(x)}/\vertiii\varphi$ .

Límite superior: podemos asumir $\varphi(x) \neq 0$ . dado $\varepsilon > 0$ , elija una unidad $u$ con $\abs{\varphi(u)} \geq \vertiii\varphi - \varepsilon > 0$ y configure $h = x - \frac{\varphi(x)}{\varphi(u)}\,u$ : luego $\varphi(h) = 0$ y

\norm{x - h} = \frac{\abs{\varphi(x)}}{\abs{\varphi(u)}} \leq \frac{\abs{\varphi(x)}}{\vertiii\varphi - \varepsilon}.

Sea $\varepsilon \to 0$ : $d(x, \ker\varphi) \leq \abs{\varphi(x)}/\vertiii\varphi$ ; igualdad.

Incumplimiento: toma $\varphi$ de Ejercicio 5.8 ( $\vertiii\varphi = 1$ , no alcanzado) y cualquier $x$ con $\varphi(x) \neq 0$ . Si algún $h \in \ker\varphi$ se diera cuenta $\norm{x - h} = \abs{\varphi(x)}$ , el vector unitario $v = (x - h)/\norm{x - h}$ satisfaría $\abs{\varphi(v)} = \abs{\varphi(x)}/\norm{x - h} = 1 = \vertiii\varphi$ : el Se alcanzaría norma del operador — contradicción.

Ejercicio 5.12 ★★★

En $E = \R[X]$ (todos los polinomios), sean $N_1(P) = \sup_{\intcc{0}{1}}\abs P$ y $N_2(P) = \sup_{\intcc{0}{2}}\abs P$ . Muestra que $N_1 \leq N_2$ pero que $N_1$ y $N_2$ son no equivalente; deducir que el La identidad $(E, N_2) \to (E, N_1)$ es una biyección lineal continuo. cuya inversa es discontinua. Mostrar finalmente que $(E, N_1)$ es no completo (Taylor partial sums of $\eu^x$ ). los tres Los fenómenos son imposibles en una dimensión finita. Di por qué.

Solución

Solución de Ejercicio 5.12.

$N_1 \leq N_2$ es la monotonicidad del sup en el dominio, por lo que el la identidad $(E, N_2) \to (E, N_1)$ es $1$ -Lipschitz. Para $P_n(x) = (x/2)^n$ : $N_2(P_n) = 1$ (alcanzado en $x = 2$ ) mientras que $N_1(P_n) = 2^{-n}$ : un $N_2 \leq CN_1$ cota daría $1 \leq C2^{-n}$ para todos $n$ : imposible. Entonces los normas no son equivalente y los la identidad inversa es una biyección lineal discontinua.

Incompletitud: deja $S_n = \sum_{k=0}^{n}\frac{X^k}{k!}$ . Para $m > n$ , $N_1(S_m - S_n) \leq \sum_{k>n}\frac1{k!} \to 0$ : Cauchy para $N_1$ . Si $S_n \to P$ en $(E, N_1)$ , entonces puntualmente $P(x) = \lim S_n(x) = \eu^x$ en $\intcc{0}{1}$ ; pero un polinomio de grado $d$ no puede ser igual a $\eu^x$ en un intervalo (diferenciar $d + 1$ veces: el lado izquierdo muere, $\eu^x$ no). Sin límite en $E$ : no completo.

En dimensión finita los tres fenómenos son imposibles: todos normas son equivalente, cada espacio normado es completo y lo inverso de una biyección lineal es lineal desde un espacio de dimensión finita, por lo tanto continuo (Teorema 5.13).

5.6 Problema: mejor aproximación y teorema de Chebyshev

¿Qué tan bien se puede aproximar una función mediante polinomios de un determinado grado, y ¿qué polinomio funciona mejor? Del lado de la existencia, la respuesta pertenece a este capítulo: compacidad en finito dimensión hace que existan las mejores aproximaciones. Del lado explícito, un caso no trivial se puede resolver completamente con las manos desnudas — entre todos los polinomios mónico de grado $n$ , el de el sup más pequeño norma en $\intcc{-1}{1}$ es el Chebyshev (normalizado) polinomio, de norma $2^{1-n}$ : El extremo de Chebyshev teorema. El problema prueba ambas partes y luego mide cuán gravemente compacidad falla en dimensión infinita: la bola unitaria de $C(\intcc{0}{1})$ contiene infinitas constelaciones de puntos en distancia mutua $1$ .

Problema 5.1

Problema del fin de semana — Teorema extremo de Chebyshev y la geometria de la bola unitaria

Normas sin subíndice son sup normas en el segmento indicado.

Parte I — Best approximation in normed spaces.

Sea $F$ un subespacio de dimensión finita de una norma espacio $E$ y $x \in E$ . Demuestre que la distancia $d(x, F) = \inf_{f \in F}\norm{x - f}$ es alcanzado (reduce to a closed bounded subset of $F$ and use Teorema 5.13).
A norma es estrictamente convexo cuando $\norm u = \norm v = 1$ y $u \neq v$ implican $\bigl\Vert\frac{u + v}2\bigr\Vert < 1$ . Mostrar que $\norm\cdot_2$ en $\R^n$ es estrictamente convexo (identidad del paralelogramo), y que $\norm\cdot_1$ y $\norm\cdot_\infty$ no son para $n \geq 2$ .
Demuestre que para un norma estrictamente convexo, el mejor La aproximación de la pregunta 1 es único.
En $(\R^2, \norm\cdot_\infty)$ , calcule todo lo mejor aproximaciones de $x = (0, 1)$ por la línea $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,0)\bigr)$ : un intervalo de minimizadores.
En $\bigl(C(\intcc{a}{b}), \norm\cdot_\infty\bigr)$ , demuestre que la mejor aproximación de $f$ por constantes es único, igual a $c^* = \frac{\max f + \min f}{2}$ , con distancia $\frac{\max f - \min f}{2}$ ; calcular ambos para $f(x) = x^2$ en $\intcc{0}{1}$ .

Parte II — Chebyshev polynomials.

Muestra que hay exactamente un polinomio $T_n$ con $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ para todos $\theta$ (recurrence $T_{n+1} = 2XT_n - T_{n-1}$ from the cosine addition formula), ese $\deg T_n = n$ , y ese su coeficiente principal es $2^{n-1}$ para $n \geq 1$ .
Mostrar $\abs{T_n} \leq 1$ en $\intcc{-1}{1}$ , con $T_n(\eta_k) = (-1)^k$ en los puntos $n + 1$ $\eta_k = \cos\frac{k\pi}{n}$ ( $k = 0, \dots, n$ ), y que el las raíces de $T_n$ son los puntos $n$ $\cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}$ , entrelazando el $\eta_k$ .
Calcule $T_2, T_3, T_4$ y verifique la alternancia de $T_3$ en $\eta_0, \dots, \eta_3 = 1, \frac12, -\frac12, -1$ por evaluación directa.
Para $\abs x \geq 1$ , demostrar

$T_n(x) = \frac{\bigl(x + \sqrt{x^2 - 1}\bigr)^n + \bigl(x - \sqrt{x^2 - 1}\bigr)^n}{2},$

y deduzca $T_n(x) \sim \frac12\bigl(x + \sqrt{x^2 - 1}\bigr)^n \to \infty$ geométricamente para $x > 1$ fijo.
Probar la ley de composición $T_m \circ T_n = T_{mn}$ (check on $\intcc{-1}{1}$ and invoke the rigidity of polynomials).

Parte III — Chebyshev’s extremal theorem. Escribe $Q_n = 2^{1-n}T_n$ (mónico, por pregunta 6).

Sea $P$ mónico de grado $n \geq 1$ con $\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs P < 2^{1-n}$ . Evaluando $D = Q_n - P$ en los puntos $\eta_k$ y contando el signo cambios, derivan una contradicción. Concluir:

$\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs P \;\geq\; 2^{1-n} \qquad\text{for every monic } P \text{ of degree } n.$
(Caso de igualdad) Supongamos $\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs P = 2^{1-n}$ con $P$ monic de grado $n$ , y sea $D = Q_n - P \neq 0$ . Mostrar $(-1)^kD(\eta_k) \geq 0$ para todos los $k$ ; mostrar que cada uno de los intervalos $n$ $\intcc{\eta_{k}}{\eta_{k-1}}$ contiene un cero de $D$ , y que un cero compartido por dos intervalos consecutivos es un punto interior $\eta_k$ donde $D' = 0$ como bueno. Concluya que $D$ tiene ceros $n$ contados multiplicidad, por lo tanto $D = 0$ : el minimizador es exactamente $Q_n$ — Teorema extremo de Chebyshev.
Reformule el teorema como una distancia: en $\intcc{-1}{1}$ ,

$d_\infty\bigl(X^n,\ \R_{n-1}[X]\bigr) = 2^{1-n},$

con mejor aproximación única $X^n - Q_n$ ; y mostrar por la sustitución afín $x = \frac{1+t}2$ que en $\intcc{0}{1}$ la distancia se convierte en $2^{1-2n}$ .
(nodos de interpolación óptima) Para los nodos $n$ $x_1, \dots, x_n \in \intcc{-1}{1}$ , el polinomio del nodo $\omega(x) = \prod_i(x - x_i)$ es mónico de grado $n$ . Deduzca de la pregunta 12 qué elección de nodos minimiza $\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs\omega$ , el dependiente del nodo factor del límite de error de interpolación clásico, y dar el valor mínimo.
Verifique el caso $n = 2$ del teorema a mano (encuentre $\inf_c \sup_{\intcc{-1}{1}}\abs{x^2 - c}$ directamente), y calcular numéricamente la distancia de la pregunta 13 en $\intcc{0}{1}$ para $n = 10$ . ¿Qué dice su tamaño? sobre la gráfica de $x^{10}$ ?

Parte IV — The unit ball of $C(\intcc{0}{1})$ .

Vamos $g_k(x) = x^{2^k}$ . Mostrar $\norm{g_k}_\infty = 1$ y $\norm{g_k - g_j}_\infty \geq \frac14$ para $j > k$ (evaluate at the point where $x^{2^k} = \frac12$ ): una secuencia acotada explícita sin subsecuencia convergente — la bola unitaria cerrada no es compacto, con las manos desnudas.
(lema de Riesz, agudizado) Sea $F$ un de dimensión finita subespacio propio de una norma espacio $E$ . Usando la pregunta 1, genere un vector unitario $x$ con $d(x, F) = 1$ exactamente — no solo $\geq 1 - \varepsilon$ como en el lema de Teorema 5.17.
Deducir: en todo espacio normado de dimensión infinita hay es una secuencia de vectores unitarios con distancias por pares $\geq 1$ , y volver a derivar el teorema de Riesz a partir de él.
En $C(\intcc{0}{1})$ , exhibe dicha constelación. explícitamente: las funciones de la tienda $h_n$ son compatibles con $\bigl[\frac1{n+1}, \frac1n\bigr]$ con valor pico $1$ . Verifique $\norm{h_n} = 1$ , $\norm{h_n - h_m} = 1$ para $n \neq m$ y tenga en cuenta que $h_n \to 0$ puntualmente pero no uniformemente.
(La acotación total falla) Demuestre que la unidad de bola cerrada de $C(\intcc{0}{1})$ no puede ser cubierto por un número finito bolas de radio $\frac13$ (cada una de estas bolas contiene como máximo un $h_n$ ) — contrastan con las paso de acotación total en la prueba de Teorema 4.20.

Part V — Normas at work on matrices, and synthesis.

Demuestre que cada valor propio $\lambda$ de $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ satisface $\abs\lambda \leq \vertiii A$ para cada norma del operador; aplicar Ejercicio 5.4 para vincular el valores propios de $\left(\begin{smallmatrix}1 & -2\\ 3 & 1\end{smallmatrix}\right)$ y comparar con su módulo verdadero.
(Adaptado normas) Sea $A$ diagonalizable, $A = P\,\mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)\,P^{-1}$ . Mostrar $N_P(x) = \norm{P^{-1}x}_\infty$ es un norma cuyo norma del operador satisface $\vertiii A_{N_P} = \max_i\abs{\lambda_i}$ .
Deducir: para diagonalizable $A$ , $A^k \to 0$ si y sólo si todos valores propios satisfacen $\abs{\lambda_i} < 1$ — equivalencia de normas llega a la conclusión independiente de las normas. Consulte $A = \frac14\left(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{smallmatrix}\right)$ .
(Las constantes de equivalencia aumentan) En $\R_n[X]$ , compare $N_c(P) = \max_k \abs{a_k}$ (coeficientes) y $\norm{P}_{\intcc{0}{1}}$ : ambos son normas, por lo que son equivalente para cada $n$ fijo; pero muestra, usando el mónico minimizador de la pregunta 13 sobre $\intcc{0}{1}$ , que el la mejor constante $C_n$ en $N_c \leq C_n\norm\cdot_{\intcc{0}{1}}$ satisface $C_n \geq 2^{2n-1}$ . Concluya en una oración por qué "todos los normas son equivalente” muere en dimensión infinita.
(Síntesis) Una frase cada uno: donde compacidad de bolas de dimensiones finitas trabajadas (preguntas 1, 12); que gobierna la convexidad estricta; cual es la constelación de las preguntas 18 y 19 destruyen; y como pregunta 24 cuantifica el fracaso. Nombra la cumbre (Chebyshev’s teorema extremo) y estado donde la mejor aproximación encuentra su hogar moderno (el teorema de proyección de Hilbert espacios, volumen del año 3, donde lo completo reemplaza compacidad).

Solución

Solución de Problema 5.1.

1. Los candidatos que vale la pena considerar formulario $K = \{f \in F : \norm{x - f} \leq \norm x\}$ : no vacío ( $0 \in K$ ), cerrado (preimagen de un intervalo cerrado bajo el continuo $f \mapsto \norm{x - f}$ , intersectado con el $F$ cerrado, Corolario 5.14), acotado ( $\norm f \leq \norm{f - x} + \norm x \leq 2\norm x$ ). en el $F$ de dimensión finita, cerrado y acotado significa compacto (Teorema 5.13); la función continuo $f \mapsto \norm{x - f}$ alcanza en $K$ su mínimo, que es igual el mínimo sobre todo $F$ (cualquier $f \notin K$ da $\norm{x - f} > \norm x \geq \inf$ ).

2. Identidad del paralelogramo en $(\R^n, \norm\cdot_2)$ : $\norm{u + v}^2 + \norm{u - v}^2 = 2\norm u^2 + 2\norm v^2$ (ampliar los cuadrados de sumas de coordenadas). Para unidad $u \neq v$ :

\Bigl\Vert\frac{u+v}2\Bigr\Vert^2 = 1 - \frac{\norm{u - v}^2}{4} < 1 .

No estrictamente convexo: para $\norm\cdot_\infty$ , tome $u = (1, 1, 0, \dots)$ , $v = (1, -1, 0, \dots)$ : vectores unitarios con punto medio $(1, 0, \dots)$ de norma $1$ ; para $\norm\cdot_1$ , tome $u = (1, 0, \dots)$ , $v = (0, 1, 0, \dots)$ : punto medio $(\frac12, \frac12, 0, \dots)$ de norma $1$ .

3. Vamos $d = d(x, F)$ . Si $d = 0$ : $x \in \overline F = F$ y el único minimizador es $x$ . Si $d > 0$ y $f_1 \neq f_2$ ambos minimizan: $u = \frac{x - f_1}{d}$ y $v = \frac{x - f_2}{d}$ son vectores unitarios distintos, por lo que

\Bigl\Vert x - \frac{f_1 + f_2}2\Bigr\Vert = d\,\Bigl\Vert\frac{u + v}2\Bigr\Vert < d ,

con $\frac{f_1 + f_2}2 \in F$ : contradice la definición de $d$ . Minimizador único.

4. $\norm{(0,1) - t(1,0)}_\infty = \max(\abs t, 1) \geq 1$ , con igualdad si $\abs t \leq 1$ : la forma minimizadora el segmento $\{t(1, 0) : t \in \intcc{-1}{1}\}$ , todo a distancia $1$ — la unicidad falla exactamente porque la bola cuadrada tiene lados planos (pregunta 2).

5. Deje $M = \max f$ , $m = \min f$ (obtenido: compacidad). Para cualquier constante $c$ : $\sup\abs{f - c} \geq \max(M - c,\, c - m) \geq \frac{M - m}2$ , la última desigualdad porque las dos cantidades promedian $\frac{M-m}2$ ; igualdad en ambas fuerzas $M - c = c - m$ , es decir $c = c^* = \frac{M + m}2$ . Por el contrario $\sup\abs{f - c^*} = \max(M - c^*, c^* - m) = \frac{M - m}2$ . Mejor constante única. Para $f(x) = x^2$ en $\intcc01$ : $c^* = \frac12$ , distancia $\frac12$ .

6. De $\cos(n{+}1)\theta + \cos(n{-}1)\theta = 2\cos\theta\cos n\theta$ : los polinomios definidos por $T_0 = 1$ , $T_1 = X$ , $T_{n+1} = 2XT_n - T_{n-1}$ satisfacen $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ por inducción. Unicidad: dos polinomios coincidiendo en $\intcc{-1}{1}$ (infinitos puntos) son iguales. Inducción nuevamente: $\deg T_n = n$ con coeficiente principal $2^{n-1}$ para $n \geq 1$ ( $T_1$ : coeficiente $1 = 2^0$ ; el la recurrencia lo duplica).

7. Cada $x \in \intcc{-1}{1}$ es $\cos\theta$ , y $\abs{\cos n\theta} \leq 1$ . En $\eta_k = \cos\frac{k\pi}n$ : $T_n(\eta_k) = \cos k\pi = (-1)^k$ y $1 = \eta_0 > \eta_1 > \dots > \eta_n = -1$ . Raíces: $\cos n\theta = 0$ iff $\theta = \frac{(2k-1)\pi}{2n}$ : los puntos distintos $n$ $\cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}$ , y desde $\frac{(k-1)\pi}n < \frac{(2k-1)\pi}{2n} < \frac{k\pi}n$ , cada raíz se encuentra estrictamente entre dos extremos consecutivos.

8. $T_2 = 2X^2 - 1$ , $T_3 = 4X^3 - 3X$ , $T_4 = 8X^4 - 8X^2 + 1$ . Para $T_3$ : $T_3(1) = 1$ , $T_3(\tfrac12) = \tfrac12 - \tfrac32 = -1$ , $T_3(-\tfrac12) = 1$ , $T_3(-1) = -1$ : perfecto alternancia.

9. Dejemos $u_\pm = x \pm \sqrt{x^2 - 1}$ para $x \geq 1$ : las raíces de $z^2 - 2xz + 1$ , con $u_+u_- = 1$ . la secuencia $s_n = \frac{u_+^n + u_-^n}2$ satisface $s_{n+1} = 2x\,s_n - s_{n-1}$ (recurrencia tipo Newton desde la cuadrática), $s_0 = 1$ , $s_1 = x$ : la misma recurrencia y valores iniciales que $n \mapsto T_n(x)$ , por lo que $s_n = T_n(x)$ para todos los $n$ . Desde $0 < u_- \leq 1 \leq u_+$ con $u_+ > 1$ para $x > 1$ : $T_n(x) \geq \frac{u_+^n}2 \to \infty$ y $T_n(x) \sim \frac12\bigl(x + \sqrt{x^2-1}\bigr)^n$ . (Para $x \leq -1$ use la paridad $T_n(-x) = (-1)^nT_n(x)$ , borre de la recurrencia).

10. Por cada $\theta$ : $T_m\bigl(T_n(\cos\theta)\bigr) = T_m(\cos n\theta) = \cos mn\theta = T_{mn}(\cos\theta)$ . Los polinomios $T_m \circ T_n$ y $T_{mn}$ coincide con $\intcc{-1}{1}$ , por lo tanto son iguales.

11. $D = Q_n - P$ tiene el grado $\leq n - 1$ (el mónico los términos principales se cancelan). En los extremos: $(-1)^kD(\eta_k) = 2^{1-n} - (-1)^kP(\eta_k) \geq 2^{1-n} - \abs{P(\eta_k)} > 0$ por hipótesis. Entonces $D$ toma valores distintos de cero de signos alternos en los puntos decrecientes $n + 1$ $\eta_0 > \dots > \eta_n$ : por el teorema del valor intermedio tiene al menos $n$ raíces distintas, uno en cada intervalo abierto $\intoo{\eta_{k}}{\eta_{k-1}}$ . un un polinomio distinto de cero de grado $\leq n - 1$ no puede tener raíces $n$ ; y $D = 0$ contradice los signos estrictos. Contradicción: $\sup\abs P \geq 2^{1-n}$ por cada mónico $P$ de grado $n$ .

12. Ahora $(-1)^kD(\eta_k) = 2^{1-n} - (-1)^kP(\eta_k) \geq 0$ desde $\abs{P} \leq 2^{1-n}$ . en cada $\intcc{\eta_k}{\eta_{k-1}}$ ( $k = 1, \dots, n$ ) el punto final Los valores de $D$ tienen signos débiles opuestos: el valor intermedio. El teorema produce un cero $z_k$ en el intervalo cerrado. Si el $z_k$ se puede elegir por pares distintos, $D \neq 0$ de grado $\leq n-1$ tiene raíces $n$ : contradicción. Dos intervalos consecutivos sólo pueden comparte el cero $z_k = z_{k+1} = \eta_k$ con $0 < k < n$ (interior). Allí, $D(\eta_k) = 0$ significa $P(\eta_k) = (-1)^k2^{1-n}$ , un valor extremo de $P$ en $\intcc{-1}{1}$ . alcanzado en un punto interior: $P'(\eta_k) = 0$ ; y $\eta_k$ es también un extremo interior de $T_n$ : $Q_n'(\eta_k) = 0$ . Por lo tanto $D'(\eta_k) = 0$ : $\eta_k$ es una raíz de multiplicidad. $\geq 2$ , compensando el intervalo compartido. En todos los casos $D$ tiene al menos las raíces $n$ cuentan con multiplicidad, grado $\leq n - 1$ , por lo que $D = 0$ : $P = Q_n$ . El teorema extremo de Chebyshev es probado: el único minimizador mónico es $2^{1-n}T_n$ , de sup norma $2^{1-n}$ .

13. Los polinomios mónicos de grado $n$ son exactamente los $X^n - R$ con $R \in \R_{n-1}[X]$ , entonces

d_\infty\bigl(X^n, \R_{n-1}[X]\bigr) = \min_{P \text{ monic}}\ \sup_{\intcc{-1}{1}}\abs P = 2^{1-n},

únicamente en $R^* = X^n - Q_n$ . Sustitución $x = \frac{1+t}2$ : si $P$ es mónico de grado $n$ en $\intcc01$ , entonces $t \mapsto 2^nP\bigl(\frac{1+t}2\bigr)$ es mónico en $\intcc{-1}{1}$ con sup igual a $2^n\sup_{\intcc01}\abs P$ : por lo tanto $\sup_{\intcc01}\abs P \geq 2^{-n}\cdot2^{1-n} = 2^{1-2n}$ , con igualdad exactamente para $P^*(x) = 2^{-n}Q_n(2x - 1)$ : en $\intcc{0}{1}$ la distancia es $2^{1-2n}$ .

14. $\omega$ es mónico de grado $n$ , por lo que $\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs\omega \geq 2^{1-n}$ con igualdad y sii $\omega = Q_n = 2^{1-n}T_n$ , es decir, si los nodos son $n$ raíces de $T_n$ : $x_k = \cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}$ — el Nodos de Chebyshev. Valor mínimo: $2^{1-n}$ . Equidistante los nodos son estrictamente peores; el factor de error de interpolación es minimizado agrupando nodos cerca de los puntos finales.

15. $n = 2$ a mano: $x^2$ abarca más de $\intcc01$ , por lo que $\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs{x^2 - c} = \max(\abs c, \abs{1 - c}) \geq \frac12$ , minimizado en $c = \frac12$ : monic mínimo cuadrático $x^2 - \frac12 = \frac12(2x^2 - 1) = Q_2$ , valor $\frac12 = 2^{1-2}$ . Para $n = 10$ en $\intcc{0}{1}$ : $2^{1-20} = 2^{-19} \approx 1.9\cdot10^{-6}$ . Algún polinomio de grado $9$ se mantiene dentro de las dos millonésimas de $x^{10}$ en el conjunto de $\intcc01$ : a esta escala los dos gráficos son indistinguibles — la planitud de $x^{10}$ cerca de $0$ permite que los grados más bajos hagan todo el trabajo.

16. $\norm{g_k}_\infty = g_k(1) = 1$ . Para juego $j > k$ $a = 2^k$ , $b = 2^j \geq 2a$ y evaluar en $x_0 = 2^{-1/a}$ (entonces $x_0^a = \frac12$ ):

g_k(x_0) - g_j(x_0) = \frac12 - \Bigl(\frac12\Bigr)^{b/a} \geq \frac12 - \frac14 = \frac14 .

Entonces $\norm{g_k - g_j}_\infty \geq \frac14$ para todos $j \neq k$ : no La subsecuencia es Cauchy, ninguna converge. La bola unitaria cerrada de $\bigl(C(\intcc01), \norm\cdot_\infty\bigr)$ no es compacto.

17. $F$ está cerrado (Corolario 5.14) y correcto: elija $y \notin F$ , entonces $\delta = d(y, F) > 0$ . Por pregunta 1 la distancia se alcanza en algo de $f^* \in F$ . Establezca $x = \frac{y - f^*}{\delta}$ , un vector unitario ( $\norm{y - f^*} = \delta$ ). Por cada $g \in F$ :

\norm{x - g} = \frac{\norm{y - (f^* + \delta g)}}{\delta} \geq \frac{\delta}{\delta} = 1 ,

desde $f^* + \delta g \in F$ . Por lo tanto $d(x, F) \geq 1$ ; y $d(x, F) \leq \norm{x - 0} = 1$ : exactamente $1$ .

18. En un $E$ de dimensión infinita, construya vectores unitarios inductivamente: $x_1$ arbitrario; dado $x_1, \dots, x_k$ , el el subespacio $F_k = \operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_k)$ es de dimensión finita, por lo tanto adecuada, y la pregunta 17 da una unidad $x_{k+1}$ con $d(x_{k+1}, F_k) = 1$ : en particular $\norm{x_{k+1} - x_i} \geq 1$ para $i \leq k$ . La secuencia tiene distancias por pares $\geq 1$ : la bola unitaria contiene una secuencia sin subsecuencia convergente, por lo tanto no es compacto — Teorema de Riesz, con la constante aguda $1$ .

19. Sea $h_n$ afín en cada mitad de $\bigl[\frac1{n+1}, \frac1n\bigr]$ , desde $0$ hasta $1$ en el punto medio y de regreso a $0$ , y cero en otro lugar: continuo, $\norm{h_n}_\infty = 1$ . Para $n \neq m$ los soportes se encuentran en la mayoría en un punto final común, donde ambos desaparecen; en la cima de $h_n$ , $h_m = 0$ : $\norm{h_n - h_m}_\infty = 1$ exactamente. Para arreglado $x > 0$ : $h_n(x) = 0$ tan pronto como $\frac1n < x$ , y $h_n(0) = 0$ siempre: $h_n \to 0$ puntualmente; pero $\norm{h_n - 0}_\infty = 1$ : no uniformemente. Un explícito constelación a una distancia mutua $1$ dentro de la bola unitaria.

20. Una bola de radio $\frac13$ tiene diámetro $\leq \frac23 < 1$ , por lo que contiene como máximo uno de los $h_n$ (dos son a distancia $1$ ). Un número finito de esas bolas contienen un número finito de de los infinitos $h_n$ : no pueden cubrir la bola unitaria. Limitación total — que disfruta espacios métricos compactos, por el prueba de Teorema 4.20 — falla igualmente lo más posible.

21. Si $Ax = \lambda x$ con $x \neq 0$ : $\abs\lambda\,\norm x = \norm{Ax} \leq \vertiii A\,\norm x$ , entonces $\abs\lambda \leq \vertiii A$ . Para $\left(\begin{smallmatrix}1 & -2\\ 3 & 1\end{smallmatrix}\right)$ : $\vertiii A_\infty = \max(1 + 2,\ 3 + 1) = 4$ (Ejercicio 5.4), por lo que cada valor propio tiene módulo $\leq 4$ ; de hecho $\chi_A = X^2 - 2X + 7$ da $\lambda = 1 \pm \iu\sqrt6$ de módulo $\sqrt7 \approx 2.65$ : el límite es válido, no afilado.

22. $N_P$ es un norma: $N_P(x) = 0$ fuerza a $P^{-1}x = 0$ , entonces $x = 0$ ; La homogeneidad y la desigualdad triangular se heredan. desde $\norm\cdot_\infty$ hasta el lineal $P^{-1}$ . Operador norma: con $y = P^{-1}x$ y $D = \mathrm{diag}(\lambda_i)$ ,

N_P(Ax) = \norm{P^{-1}AP\,y}_\infty = \norm{Dy}_\infty,

entonces $\vertiii A_{N_P}$ es el operador $\norm\cdot_\infty$ norma de $D$ , que es su suma de fila absoluta más grande (Ejercicio 5.4): $\max_i\abs{\lambda_i}$ .

23. Si todo $\abs{\lambda_i} < 1$ : $N_P(A^kx) \leq \rho^kN_P(x)$ con $\rho = \max\abs{\lambda_i} < 1$ , entonces $A^kx \to 0$ para cada $x$ y $A^k \to 0$ en cualquier norma en $\mathcal{M}_n$ (todos equivalente en dimensión finita, Teorema 5.13; convergencia de $A^ke_j$ para cada $j$ es convergencia de entrada). Si algunos $\abs{\lambda} \geq 1$ con vector propio $x$ : $\norm{A^kx} = \abs\lambda^k\norm x \not\to 0$ . Para $A = \frac14\left(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{smallmatrix}\right)$ : valores propios $\frac14(1 \pm 2) = \frac34, -\frac14$ , ambos de módulo $< 1$ : $A^k \to 0$ .

24. Ambos son normas en dimensión finita $\R_n[X]$ , por lo tanto equivalente para cada $n$ . Toma lo minimo monic $P^*_n$ de la pregunta 13 sobre $\intcc01$ : su coeficiente de $X^n$ es $1$ , por lo que $N_c(P^*_n) \geq 1$ , mientras $\norm{P^*_n}_{\intcc01} = 2^{1-2n}$ . Por lo tanto

C_n \geq \frac{N_c(P^*_n)}{\norm{P^*_n}_{\intcc01}} \geq 2^{2n-1} .

Las constantes de equivalencia explotan con la dimensión: en el unión $\R[X]$ no sirve una sola constante, que es exactamente la no equivalencia vista en Ejercicio 5.12 — “todos normas son equivalente” es un teorema sobre una dimensión a la vez, y la dimensión infinita es donde muere.

25. Compacidad de conjuntos acotados cerrados en finitos dimensión produjo la existencia de mejores aproximaciones (pregunta 1) y alimentó el conteo cero en los puntos extremos $n + 1$ (preguntas 11–12, vía sups alcanzados). La convexidad estricta gobierna unicidad de la mejor aproximación — las bolas redondas dan uno minimizador, las bolas de lados planos dan segmentos de ellas (preguntas 2–4). La constelación de vectores unitarios a distancia mutua. $1$ (preguntas 17–19) destruye compacidad de la bola unitaria y total limitación con él (pregunta 20). Pregunta 24 cuantifica el colapso: las constantes que relacionan dos normas en $\R_n[X]$ crece como $4^n$ , por lo que no sobrevive ninguna comparación uniforme el pasaje a $\R[X]$ . La cumbre es la extrema de Chebyshev. teorema (preguntas 11-12): el minimizador mónico único $2^{1-n}T_n$ . La mejor aproximación encuentra su hogar moderno en Espacios de Hilbert, donde reemplaza el teorema de la proyección compacidad por lo completo más la identidad del paralelogramo — demostrado honestamente en el volumen del Año 3.