Matemáticas universitarias — Grado 1 · Bachelor Year 1

12Topología de la recta real

Los límites remiten una y otra vez al mismo vocabulario geométrico: puntos «próximos a» un conjunto, conjuntos «sin fugas por la frontera», intervalos de los que las sucesiones no pueden escapar. Este capítulo fija ese vocabulario — conjuntos abiertos y cerrados, interior y clausura, densidad — sobre la recta real, y demuestra la compacidad de los segmentos en su forma secuencial. Las mismas nociones, en espacios vectoriales normados, son materia del segundo año; sobre $\R$ están al alcance y son inmediatamente útiles para el Capítulo 13.

12.1 Conjuntos abiertos, conjuntos cerrados

Definición 12.1 (Entorno, conjunto abierto)

Un conjunto $V \subseteq \R$ es un entorno de $x \in \R$ cuando contiene un intervalo $\intoo{x - r}{x + r}$ para algún $r > 0$ . Un conjunto $U \subseteq \R$ es abierto cuando es entorno de cada uno de sus puntos:

\forall x \in U,\ \exists r > 0, \quad \intoo{x - r}{x + r} \subseteq U .

Ejemplo 12.2

Los intervalos abiertos son abiertos: para $x \in \intoo{a}{b}$ , tómese $r = \min(x - a,\, b - x) > 0$ . Las semirrectas $\intoo{a}{+\infty}$ son abiertas; $\R$ y $\emptyset$ son abiertos (el segundo, por vacuidad). $\intcc{0}{1}$ no es abierto: ningún intervalo en torno a $0$ se queda dentro.

Proposición 12.3 (Estabilidad de los abiertos)

Toda unión de abiertos es abierta; una intersección finita de abiertos es abierta. Las intersecciones infinitas pueden fallar: $\bigcap_{n \geq 1} \intoo{-\frac 1n}{\frac 1n} = \{0\}$ , que no es abierto.

Demostración. Unión: si $x \in \bigcup_i U_i$ , entonces $x \in U_{i_0}$ para algún $i_0$ , y el intervalo que proporciona $U_{i_0}$ queda dentro de la unión. Intersección finita: si $x \in U_1 \cap \dots \cap U_k$ , tómese $r = \min(r_1, \dots, r_k) > 0$ de los radios que proporciona cada $U_j$ . Para el contraejemplo: todo intervalo en torno a $0$ contiene algún $\frac{1}{n}$ (Arquímedes) y, por tanto, sale de la intersección. ∎

Ejemplo 12.4 (Certificar que un conjunto es abierto con radios explícitos)

¿Es abierto $U = \{x \in \R : x^2 > 2\}$ ? Sí, y el certificado se puede escribir: $U = \intoo{-\infty}{-\sqrt2} \cup \intoo{\sqrt2}{+\infty}$ , unión de dos semirrectas abiertas, luego abierto por la Proposición 12.3. Alternativamente, razónese punto por punto: para $x \in U$ con $x > \sqrt 2$ , tómese $r = x - \sqrt2 > 0$ : todo $y \in \intoo{x - r}{x + r}$ cumple $y > \sqrt 2$ y, por tanto, $y^2 > 2$ ; simétricamente por la izquierda. Los dos estilos importan — el estructural (construir a partir de abiertos conocidos con uniones e intersecciones finitas) escala mejor, y el de $\varepsilon$ funciona cuando no se ve ninguna estructura; y el Capítulo 13 añadirá un tercero, el más potente: $U$ es la imagen recíproca del abierto $\intoo{2}{+\infty}$ por la función continua $x \mapsto x^2$ .

Definición 12.5 (Conjunto cerrado)

Un conjunto $F \subseteq \R$ es cerrado cuando su complementario $\R \setminus F$ es abierto. Por De Morgan y la Proposición 12.3: toda intersección de conjuntos cerrados es cerrada, y las uniones finitas de cerrados son cerradas.

Teorema 12.6 (Caracterización secuencial de los cerrados)

$F$ es cerrado si y solo si, para toda sucesión $(u_n)$ de puntos de $F$ que converja a algún $\ell \in \R$ , el límite $\ell$ pertenece a $F$ . («Cerrado» $=$ «estable por paso al límite».)

Demostración. ( $\Rightarrow$ ) Sean $F$ cerrado, $u_n \in F$ , $u_n \to \ell$ , y supóngase $\ell \notin F$ . El complementario es abierto: algún $\intoo{\ell - r}{\ell + r}$ evita $F$ . Pero la convergencia mete $u_n$ en ese intervalo para $n$ grande: contradicción con $u_n \in F$ .

( $\Leftarrow$ ) Supóngase que $F$ no es cerrado: el complementario no es abierto, luego algún $x \notin F$ no tiene ningún intervalo $\intoo{x - r}{x + r}$ dentro del complementario; tomando $r = \frac{1}{n+1}$ , elíjase $u_n \in F$ con $\abs{u_n - x} < \frac{1}{n+1}$ . Entonces $u_n \in F$ y $u_n \to x \notin F$ : la propiedad secuencial falla. ∎

Ejemplo 12.7 (El test secuencial, en los dos sentidos)

Cerrado: $F = \Z \cup \bigl\{n + \frac1n : n \geq 2\bigr\}$ . Sea $u_k \in F$ con $u_k \to \ell$ . La ventana $\intcc{\ell - 1}{\ell + 1}$ contiene solo finitos puntos de $F$ (finitos enteros, finitos $n + \frac1n$ ) y, más allá de cierto rango, todos los $u_k$ están en ella: la sucesión toma entonces finitos valores y, siendo convergente, acaba siendo constante (como en el Ejercicio 12.3): $\ell \in F$ . Cerrado — aunque $F$ contenga pares de puntos a distancia $\frac1n$ , arbitrariamente próximos.

No cerrado: $G = \bigl\{\frac1m + \frac1n : m, n \in \N^*\bigr\}$ . La sucesión $\frac1n + \frac1n \in G$ tiende a $0$ , y $0 \notin G$ (suma de dos términos positivos): el test secuencial falla, $G$ no es cerrado. Curiosamente, cada $\frac1m$ sí pertenece a $\overline G \cap G$ : en efecto, $\frac1m = \frac{1}{m+1} + \frac{1}{m(m+1)} \in G$ . La idea de cierre: para demostrar que un conjunto es cerrado hay que controlar todas las sucesiones convergentes a la vez (normalmente con un argumento de finitud local o de fórmula cerrada); para refutarlo basta una sucesión bien elegida que se escape — la asimetría hace fácil la dirección negativa, y todos los contraejemplos de este capítulo tienen esa forma de una línea.

Ejemplo 12.8

Los segmentos $\intcc{a}{b}$ , las semirrectas $\intco{a}{+\infty}$ , los conjuntos finitos y $\Z$ (una sucesión convergente de enteros acaba siendo constante) son cerrados. $\intoc{0}{1}$ no es abierto (falla en $1$ ) ni cerrado ( $\frac 1n \to 0 \notin$ el conjunto): la mayoría de los conjuntos no son ni una cosa ni la otra. $\R$ y $\emptyset$ son a la vez abiertos y cerrados — y son los únicos subconjuntos de $\R$ así (Ejercicio 12.9).

Ejemplo 12.9 (Un abierto ensamblado con infinitas piezas)

$\R \setminus \Z = \bigcup_{n \in \Z} \intoo{n}{n+1}$ : una unión infinita de intervalos abiertos, abierta por la Proposición 12.3 — de modo que $\Z$ es cerrado sin necesidad de ningún argumento secuencial. Obsérvese el reparto de tareas en las reglas de estabilidad: las uniones de abiertos pueden ser arbitrarias (cada punto solo necesita su propio certificado, suministrado por el conjunto que lo contiene), mientras que las intersecciones deben ser finitas (hay que intersecar los certificados, e infinitos radios pueden encogerse hasta nada). Ejercicio 12.10 mostrará que este ejemplo es la forma general: todo abierto de $\R$ es una unión numerable y disjunta de intervalos abiertos.

12.2 Interior, clausura, densidad

Definición 12.10 (Interior, clausura, frontera)

Sea $A \subseteq \R$ .

Un punto $x$ es interior a $A$ cuando $A$ es entorno de $x$ ; el interior $\mathring{A}$ es el conjunto de los puntos interiores.
Un punto $x$ es adherente a $A$ cuando todo entorno de $x$ corta a $A$ ; la clausura $\overline{A}$ es el conjunto de los puntos adherentes.
La frontera es $\partial A = \overline A \setminus \mathring A$ .

Se tiene $\mathring A \subseteq A \subseteq \overline A$ .

Proposición 12.11 (Propiedades principales)

$\mathring A$ es el mayor abierto contenido en $A$ ; $A$ es abierto si y solo si $A = \mathring A$ .
$\overline A$ es el menor cerrado que contiene a $A$ ; $A$ es cerrado si y solo si $A = \overline A$ .
(Caracterización secuencial de la adherencia) $x \in \overline A$ si y solo si $x$ es límite de una sucesión de puntos de $A$ .
La complementación intercambia las nociones: $\R \setminus \overline A = \bigl(\R \setminus A\bigr)^{\!\circ}$ .

Demostración. (4) $x \notin \overline A$ $\iff$ algún entorno de $x$ evita $A$ $\iff$ algún intervalo en torno a $x$ está en $\R \setminus A$ $\iff$ $x$ es interior a $\R \setminus A$ .

(1) $\mathring A$ es abierto: si $x \in \mathring A$ , algún $\intoo{x-r}{x+r} \subseteq A$ ; todo punto $y$ de ese intervalo tiene a su alrededor un intervalo menor contenido en él y, por tanto, en $A$ : todo el intervalo está en $\mathring A$ . Todo abierto $U \subseteq A$ consta de puntos interiores de $A$ , luego $U \subseteq \mathring A$ : es el mayor. La caracterización de los abiertos se sigue.

(2) Con detalle. Por (4), $\R \setminus \overline A$ es el interior de $\R \setminus A$ , un abierto por (1): luego $\overline A$ es cerrado, y contiene a $A$ . Minimalidad: sea $F \supseteq A$ cerrado. Entonces $\R \setminus F$ es abierto y está contenido en $\R \setminus A$ , luego, por la maximalidad de (1),

\R \setminus F \subseteq \bigl(\R \setminus A\bigr)^{\!\circ} = \R \setminus \overline A ,

y, tomando complementarios otra vez, $\overline A \subseteq F$ . Así pues, $\overline A$ es el menor cerrado que lo contiene. Caracterización: si $A = \overline A$ , entonces $A$ es cerrado (recién visto); y si $A$ es cerrado, es él mismo un cerrado que contiene a $A$ , luego la minimalidad obliga a $\overline A \subseteq A$ , y hay igualdad.

(3) Si $u_n \in A$ , $u_n \to x$ : todo entorno de $x$ contiene algún $u_n \in A$ , luego $x \in \overline A$ . Recíprocamente, si $x \in \overline A$ : cada intervalo $\intoo{x - \frac{1}{n+1}}{x + \frac{1}{n+1}}$ corta a $A$ en algún $u_n$ , y $u_n \to x$ . ∎

Ejemplo 12.12

$\overline{\intoo{0}{1}} = \intcc{0}{1}$ ; $\mathring{\intcc{0}{1}} = \intoo{0}{1}$ ; $\partial\intoo{0}{1} = \{0, 1\}$ . Para $A = \{\frac 1n : n \in \N^*\}$ : $\overline A = A \cup \{0\}$ , $\mathring A = \emptyset$ , $\partial A = A \cup \{0\}$ . Para $\Q$ : por densidad (Teorema 10.14), todo real es adherente a $\Q$ , luego $\overline{\Q} = \R$ , mientras que $\mathring{\Q} = \emptyset$ (todo intervalo contiene irracionales): la frontera de $\Q$ es todo $\R$ .

Ejemplo 12.13 (Una anatomía completa)

Sea $A = \intoc{0}{1} \,\cup\, \bigl(\Q \cap \intoo{2}{3}\bigr) \,\cup\, \{4\}$ . Calculemos los tres conjuntos de la Definición 12.10, pieza a pieza.

Interior. Un punto de $\intoo{0}{1}$ tiene todo un intervalo dentro de $A$ : es interior. El punto $1$ : todo intervalo a su alrededor se escapa a la derecha de $1$ , donde $A$ no tiene nada hasta $2$ : no es interior. Ningún punto de $\Q \cap \intoo{2}{3}$ es interior (todo intervalo contiene irracionales, Teorema 10.14); tampoco el aislado $4$ . Luego $\mathring A = \intoo{0}{1}$ .

Clausura. Límites de puntos de $A$ : todo $\intcc{0}{1}$ ( $0 = \lim \frac1n$ con $\frac 1n \in A$ ); todo $\intcc{2}{3}$ (todo real de ahí es límite de racionales del intervalo, otra vez la densidad); y $4$ . Nada más: un punto fuera de $\intcc{0}{1} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$ está a distancia positiva de ese cerrado. Luego $\overline A = \intcc{0}{1} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$ .

Frontera. $\partial A = \overline A \setminus \mathring A = \{0, 1\} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$ .

La idea de cierre: las tres operaciones actúan localmente — cada pieza de $A$ aporta según su propia naturaleza (un intervalo macizo conserva su interior, una pieza densa pero porosa se convierte enteramente en frontera, un punto aislado es pura frontera) — y un dibujo de $A$ de dos líneas predice todas las respuestas antes de escribir demostración alguna.

Observación 12.14 (Errores frecuentes al razonar con conjuntos de puntos)

(i) «No abierto» no significa «cerrado»: la mayoría de los conjuntos no son ninguna de las dos cosas ( $\intoc{0}{1}$ ) y dos son las dos ( $\emptyset$ , $\R$ ) — abierto y cerrado no son opuestos, sino duales por complementación. (ii) Interior y clausura no conmutan: para $A = \Q$ ,

\overline{\mathring A} = \overline\emptyset = \emptyset \qquad\text{mientras que}\qquad \bigl(\,\overline A\,\bigr)^{\!\circ} = \mathring \R = \R :

los dos operadores iterados difieren tanto como pueden diferir dos conjuntos. (iii) Las uniones infinitas de cerrados pueden no ser cerradas: $\bigcup_{n\geq1} \intcc{\frac1n}{1} = \intoc{0}{1}$ — el espejo del contraejemplo de intersecciones de la Proposición 12.3. (iv) Denso no significa grande: $\Q$ es denso, numerable y de interior vacío, y su complementario también es denso; la densidad dice «arbitrariamente cerca de todo», no «casi todo» — el conjunto de Cantor del problema del fin de semana (Problema 12.1) señala lo contrario: un conjunto topológicamente pequeño que es no numerablemente grande.

Ejemplo 12.15 (Una clausura calculada exactamente)

Sea $G = \bigl\{\frac1m + \frac1n : m, n \in \N^*\bigr\}$ (del Ejemplo 12.7). Afirmación:

\overline G = G \,\cup\, \Bigl\{\frac1m : m \in \N^*\Bigr\} \,\cup\, \{0\} .

( $\supseteq$ ) $\frac1m = \lim_n \bigl(\frac1m + \frac1n\bigr)$ y $0 = \lim_n \frac2n$ : adherentes por la caracterización secuencial. ( $\subseteq$ ) Sea $x = \lim_k \bigl(\frac{1}{m_k} + \frac{1}{n_k}\bigr)$ ; ordénese cada par de modo que $m_k \leq n_k$ . Si $(m_k)$ no está acotada, una subsucesión tiene $m_k \to \infty$ , luego también $n_k \to \infty$ y $x = 0$ . En caso contrario, $(m_k)$ toma finitos valores, uno de ellos, digamos $m$ , infinitas veces; a lo largo de esa subsucesión, $\frac{1}{n_k} \to x - \frac1m$ : si $(n_k)$ está acotada, toma algún valor $n$ infinitas veces y $x = \frac1m + \frac1n \in G$ ; y si no, $x = \frac1m$ . Todos los casos caen en el conjunto anunciado. La idea de cierre: calcular una clausura es un análisis por casos al estilo de la compacidad sobre los índices — índice acotado significa finitos valores (palomar), índice no acotado significa que un límite se escapa — y la respuesta exhibe la típica estructura en dos capas de los puntos límite: el conjunto, sus límites de primera generación y el límite de estos, $0$ .

Definición 12.16 (Densidad, forma topológica)

$A$ es denso en $\R$ cuando $\overline A = \R$ — equivalentemente, todo intervalo abierto no vacío corta a $A$ ; y, equivalentemente (por la Proposición 12.11 (3)), todo real es límite de elementos de $A$ . Ejemplos: $\Q$ , $\R \setminus \Q$ , los diádicos (Ejercicio 10.8), los subgrupos densos (Ejercicio 10.9).

Ejemplo 12.17 (La densidad es relativa)

«Denso» tal como se ha definido aquí significa denso en $\R$ ; un conjunto puede en cambio ser denso solo en una parte de la recta. Los diádicos de $\intcc{0}{1}$ , es decir, $D \cap \intcc{0}{1}$ (Ejercicio 10.8), cortan a todo intervalo abierto incluido en $\intcc{0}{1}$ , pero por supuesto no tocan $\intoo{2}{3}$ : son densos en $\intcc{0}{1}$ , es decir, $\overline{D \cap \intcc{0}{1}} = \intcc{0}{1}$ . La frase general « $A$ es denso en $B$ » abrevia $B \subseteq \overline A$ — nómbrese siempre el conjunto ambiente, pues los extremos del problema del fin de semana son densos en el conjunto de Cantor y a la vez densos en ninguna parte de $\R$ : el mismo conjunto, dos descripciones veraces y de sonido opuesto.

Ejemplo 12.18 (Manejar la densidad)

Tres movimientos rápidos que se repiten constantemente. Agrandar: si $A$ es denso y $A \subseteq B$ , entonces $B$ es denso (todo intervalo ya corta a $A$ ). Transportar: si $A$ es denso, también lo es $\lambda A + \mu$ para $\lambda \neq 0$ — un intervalo $I$ corta a $\lambda A + \mu$ si y solo si el intervalo $\frac{I - \mu}{\lambda}$ corta a $A$ ; así, los múltiplos impares de $10^{-9}$ , por ejemplo, son densos. Intersecar falla: dos conjuntos densos pueden no cortarse en absoluto ( $\Q$ y $\R \setminus \Q$ ): la densidad sobrevive a las uniones y a las aplicaciones afines, nunca a las intersecciones.

12.3 Compacidad de los segmentos

Teorema 12.19 (Los segmentos son secuencialmente compactos)

Sea $a \leq b$ . Toda sucesión de puntos de $\intcc{a}{b}$ tiene una subsucesión que converge a un punto de $\intcc{a}{b}$ .

Más en general, los subconjuntos de $\R$ con esta propiedad (toda sucesión tiene una subsucesión que converge dentro del conjunto) son exactamente los conjuntos cerrados y acotados.

Demostración. Una sucesión de $\intcc{a}{b}$ está acotada, luego Bolzano–Weierstrass (Teorema 11.16) extrae una subsucesión convergente; y su límite se queda en $\intcc{a}{b}$ porque los segmentos son cerrados (Teorema 12.6).

Caso general. (Cerrado y acotado $\Rightarrow$ compacto): sean $F$ cerrado y acotado y $(u_n)$ una sucesión de $F$ . La acotación de $F$ acota la sucesión, luego Bolzano–Weierstrass extrae $u_{\varphi(n)} \to \ell$ ; y $\ell \in F$ porque $F$ es cerrado y la subsucesión es una sucesión convergente de puntos de $F$ (Teorema 12.6): las dos hipótesis se consumen una cada una, la acotación para la existencia del límite y el ser cerrado para su pertenencia. (Compacto $\Rightarrow$ cerrado y acotado): si $F$ no está acotado, tómese $u_n \in F$ con $\abs{u_n} \geq n$ ; toda subsucesión no está acotada y, por tanto, diverge (Proposición 11.4): no hay ninguna subsucesión convergente. Si $F$ no es cerrado, tómese $u_n \in F$ con $u_n \to \ell \notin F$ (Teorema 12.6): toda subsucesión converge a $\ell \notin F$ , luego ninguna converge en $F$ . ∎

Ejemplo 12.20 (Compactos encajados)

Un primer ejercicio con el teorema. Sean $K_0 \supseteq K_1 \supseteq K_2 \supseteq \dots$ subconjuntos compactos (cerrados y acotados) no vacíos de $\R$ . Entonces $\bigcap_n K_n \neq \emptyset$ . En efecto, tómese $x_n \in K_n$ para cada $n$ : la sucesión vive en el compacto $K_0$ , luego una subsucesión $x_{\varphi(n)}$ converge a cierto $x$ (Teorema 12.19). Para cada $m$ fijo, los términos $x_{\varphi(n)}$ con $\varphi(n) \geq m$ están todos en el cerrado $K_m$ , luego el límite $x$ está en $K_m$ (Teorema 12.6); y como $m$ era arbitrario, $x \in \bigcap_n K_n$ . Un compañero útil: si un abierto $U$ contiene $\bigcap_n K_n$ , entonces $U \supseteq K_n$ para algún $n$ — aplíquese el mismo argumento a puntos $x_n \in K_n \setminus U$ ; el límite $x$ estaría en $\bigcap K_n \subseteq U$ y, sin embargo, ser $U$ abierto obliga a que $x_{\varphi(n)} \in U$ a la larga, una contradicción. Los dos enunciados fallan sin compacidad: $\bigcap_n \intoo{0}{\frac 1n} = \emptyset$ y $\bigcap_n \intco{n}{+\infty} = \emptyset$ . La idea de cierre: la compacidad convierte una cadena infinita de afirmaciones de no vacuidad en un único punto límite — es la herramienta que sobrevive al paso a la intersección infinita, y el problema del fin de semana (Problema 12.1) se apoyará en ella dos veces.

Las cuatro primeras etapas de la construcción por tercios centrales: cada segmento de C_n pierde su tercio central abierto, dejando los 2n+1 segmentos de C_n+1, de longitud total (2/3)n+1. El conjunto de Cantor C = _n C_n — objeto del problema del fin de semana — es el residuo compacto no vacío que garantiza el argumento de compactos encajados de más arriba: longitud cero y, aun así, sobreviven no numerablemente muchos puntos. — Las cuatro primeras etapas de la construcción por tercios centrales: cada segmento de $C_n$ pierde su tercio central abierto, dejando los $2^{n+1}$ segmentos de $C_{n+1}$ , de longitud total $(\frac23)^{n+1}$ . El conjunto de Cantor $C = \bigcap_n C_n$ — objeto del problema del fin de semana Problema 12.1 — es el residuo compacto no vacío que garantiza el argumento de compactos encajados de más arriba: longitud cero y, aun así, sobreviven no numerablemente muchos puntos.

Observación 12.21

Este es el motor que hay detrás del teorema de los valores extremos (Capítulo 13) y del teorema de Heine sobre la continuidad uniforme. El nombre «compacto» adquirirá su definición general (por recubrimientos) en el segundo año; sobre $\R$ , la compacidad secuencial es todo lo que hace falta, y «compacto $=$ cerrado $+$ acotado» es el enunciado que hay que recordar.

Ejemplo 12.22 (Fronteras bajo uniones)

Siempre $\partial(A \cup B) \subseteq \partial A \cup \partial B$ : un punto de $\partial(A \cup B)$ tiene todo entorno cortando a $A \cup B$ (luego a $A$ o a $B$ , y a uno de ellos infinitas veces) y cortando al complementario de $A \cup B$ , que está en los dos complementarios — una comprobación breve sitúa entonces el punto en $\partial A$ o en $\partial B$ . La inclusión puede ser espectacularmente estricta: con $A = \Q$ y $B = \R\setminus\Q$ ,

\partial(A \cup B) = \partial \R = \emptyset , \qquad \partial A \cup \partial B = \R \cup \R = \R :

dos conjuntos deshilachados pueden pegarse en uno sin costuras, aniquilándose sus fronteras. La idea de cierre: los interiores y las clausuras se comportan monótonamente bajo uniones e intersecciones, pero las fronteras no — trátese $\partial$ como una cantidad derivada ( $\overline A \setminus \mathring A$ ), nunca como un operador con álgebra propia.

Observación 12.23 (Perspectivas dentro de este volumen)

El vocabulario construido aquí se consume dos veces más en este libro. En el Capítulo 13, todo teorema es un enunciado de topología disfrazado: el teorema del valor intermedio dice que las aplicaciones continuas conservan la propiedad de ser intervalo, y el de los valores extremos, que conservan la compacidad — y las demostraciones llaman por su nombre a los Teoremas 12.6 y 12.19. En el Capítulo 25, las mismas definiciones se releen en $\R^2$ con discos en lugar de intervalos: abiertos, clausuras y compacidad se trasladan palabra por palabra, y el teorema de los valores extremos en dos variables cabalga de nuevo sobre Bolzano–Weierstrass (extráigase en cada coordenada). La única noción que no se generaliza sin dolor es el propio intervalo — en el plano, la conexión sustituye a la convexidad, historia que empieza con el «solo $\emptyset$ y $\R$ son abiertos y cerrados» del Ejercicio 12.9.

12.4 Ejercicios

Ejercicio 12.1 ★

Dígase, para cada conjunto, si es abierto, cerrado, las dos cosas o ninguna (con justificación): $\intoo{0}{1} \cup \intoo{2}{3}$ ; $\;\intco{0}{1}$ ; $\;\{0\} \cup \intcc{1}{2}$ ; $\;\R \setminus \Z$ ; $\;\Q \cap \intoo{0}{1}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 12.1.

$\intoo{0}{1} \cup \intoo{2}{3}$ : abierto (unión de abiertos), no cerrado ( $\frac 1n \to 0$ , que queda fuera).

$\intco{0}{1}$ : ninguna de las dos cosas. No abierto (ningún intervalo en torno a $0$ está dentro); no cerrado ( $1 - \frac1n \to 1 \notin$ el conjunto).

$\{0\} \cup \intcc{1}{2}$ : cerrado (unión finita de cerrados), no abierto (falla en $0$ ).

$\R \setminus \Z$ : abierto ( $\Z$ es cerrado), no cerrado: la sucesión $\bigl(\frac 1n\bigr)$ está en él, pero su límite $0$ pertenece a $\Z$ , es decir, se escapa del conjunto.

$\Q \cap \intoo{0}{1}$ : ninguna de las dos cosas. No abierto: todo intervalo en torno a un racional contiene irracionales. No cerrado: contiene sucesiones que tienden al irracional $\frac{\sqrt 2}{2}$ (densidad).

Ejercicio 12.2 ★

Determínense $\mathring A$ , $\overline A$ y $\partial A$ para: $A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$ ; $\;A = \R \setminus \Q$ ; $\;A = \bigl\{\frac{(-1)^n n}{n+1} : n \in \N\bigr\}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 12.2.

$A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$ : $\mathring A = \intoo{0}{1}$ , $\overline A = \intcc{0}{1} \cup \{2\}$ , $\partial A = \{0, 1, 2\}$ .

$A = \R \setminus \Q$ : $\mathring A = \emptyset$ (todo intervalo contiene racionales), $\overline A = \R$ (densidad de los irracionales), $\partial A = \R$ .

$A = \bigl\{\frac{(-1)^n n}{n+1}\bigr\}$ : los términos pares tienden a $1$ y los impares a $-1$ , y ninguno de los dos límites está en $A$ . $\mathring A = \emptyset$ (puntos aislados), $\overline A = A \cup \{-1, 1\}$ , $\partial A = \overline A$ .

Ejercicio 12.3 ★

Demuéstrese que un conjunto finito es cerrado, primero con complementarios y después con la caracterización secuencial.

Solución

Solución de Ejercicio 12.3.

Complementarios. $F = \{a_1 < a_2 < \dots < a_k\}$ : el complementario es la unión de los intervalos abiertos $\intoo{-\infty}{a_1}$ , $\intoo{a_i}{a_{i+1}}$ , $\intoo{a_k}{+\infty}$ — abierto por la Proposición 12.3.

Sucesiones. Sean $u_n \in F$ y $u_n \to \ell$ . Con $\varepsilon = \min\{\abs{a_i - a_j} : i \neq j\}/2 > 0$ (o cualquier $\varepsilon$ si $F$ es unitario): más allá de cierto rango, todos los términos distan menos de $\varepsilon$ de $\ell$ y, por tanto, menos de $2\varepsilon$ entre sí, lo que los obliga a ser un único $a_i$ a partir de ese rango; entonces $\ell = a_i \in F$ .

Ejercicio 12.4 ★

Demuéstrese que, para todos $A, B \subseteq \R$ , $\overline{A \cup B} = \overline A \cup \overline B$ . Véase con un ejemplo que $\overline{A \cap B}$ puede diferir de $\overline A \cap \overline B$ .

Solución

Solución de Ejercicio 12.4.

$\subseteq$ : $\overline A \cup \overline B$ es cerrado (unión finita) y contiene a $A \cup B$ , luego contiene al menor cerrado que lo contiene, $\overline{A \cup B}$ . $\supseteq$ : de $A \subseteq A \cup B$ se sigue $\overline A \subseteq \overline{A \cup B}$ (la clausura es monótona: los puntos adherentes a $A$ lo son al conjunto mayor), e igual para $B$ .

Contraejemplo para las intersecciones: $A = \intoo{0}{1}$ , $B = \intoo{1}{2}$ : $\overline{A \cap B} = \overline\emptyset = \emptyset$ , mientras que $\overline A \cap \overline B = \{1\}$ .

Ejercicio 12.5 ★★

Sea $u_n \to \ell$ en $\R$ . Demuéstrese que el conjunto $\{u_n : n \in \N\} \cup \{\ell\}$ es cerrado (y, por tanto, compacto si se añade que está acotado — y lo está).

Solución

Solución de Ejercicio 12.5.

Úsese la caracterización secuencial (Teorema 12.6). Sean $S = \{u_n\} \cup \{\ell\}$ y $(v_k)$ una sucesión de $S$ con $v_k \to m$ ; veamos que $m \in S$ . Dos casos. Si hay un valor $v \in S$ que $(v_k)$ toma infinitas veces, una subsucesión constante da $m = v \in S$ . En caso contrario, todo valor se toma finitas veces; en particular, para cada $n$ el término $u_n$ aparece finitas veces, y $\ell$ también. Entonces, para cada $N$ , los índices $k$ con $v_k \in \{u_0, \dots, u_N, \ell\}$ son finitos: los $v_k$ restantes son términos $u_n$ con $n > N$ . Dado $\varepsilon > 0$ , elíjase $N$ con $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon$ para $n > N$ : todos los $v_k$ salvo finitos cumplen $\abs{v_k - \ell} \leq \varepsilon$ . Luego $v_k \to \ell$ y, por tanto, $m = \ell \in S$ .

Ejercicio 12.6 ★★

Sean $U$ abierto y $A$ arbitrario. Demuéstrese que $U + A = \{u + a\}$ es abierto. Dedúzcase que la suma de un abierto y un conjunto cualquiera es abierta, y contrástese: exhíbanse dos conjuntos cerrados cuya suma no sea cerrada. (Pruébese con $\Z$ y $\sqrt 2\,\Z$ , y el Ejercicio 10.9.)

Solución

Solución de Ejercicio 12.6.

$U + A = \bigcup_{a \in A} (U + a)$ , y cada trasladado $U + a$ es abierto (basta trasladar los certificados de intervalo). Una unión de abiertos es abierta (Proposición 12.3).

Cerrados: $\Z$ y $\sqrt 2\,\Z$ son cerrados (como todo $\alpha\Z$ : las sucesiones convergentes acaban siendo constantes, cf. Ejemplo 12.8). Su suma $\Z + \sqrt 2\,\Z$ es densa en $\R$ (Ejercicio 10.9) pero no es $\R$ (es numerable o, sencillamente: $\frac{\sqrt 2}{2} \notin \Z + \sqrt2\Z$ , pues si no $\sqrt 2$ sería racional — escribir $\frac{\sqrt2}{2} = m + n\sqrt 2$ obliga a $(2n - 1)\sqrt 2 = -2m$ , luego $\sqrt 2 \in \Q$ salvo que $n = \frac12$ , lo cual es imposible). Un subconjunto propio y denso no es cerrado: su clausura es $\R \neq$ él mismo.

Ejercicio 12.7 ★★

Un punto $x \in A$ es aislado en $A$ cuando algún entorno de $x$ corta a $A$ solo en $x$ . Demuéstrese que todo punto de $\Z$ es aislado en $\Z$ , que $A = \{\frac1n\}$ tiene todos sus puntos aislados y, aun así, $\overline A \neq A$ , y que un conjunto cuyos puntos sean todos aislados tiene interior vacío.

Solución

Solución de Ejercicio 12.7.

$\Z$ : el entorno $\intoo{n - \frac12}{n + \frac12}$ de $n$ corta a $\Z$ solo en $n$ .

$A = \{\frac1n : n \in \N^*\}$ : en torno a $\frac 1n$ , el intervalo de radio $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)}$ (dividido por dos, digamos) lo aísla de sus vecinos — todos los puntos son aislados. Y, sin embargo, $0 \in \overline A \setminus A$ : que los puntos sean aislados no impide que haya adherentes de fuera.

Si todos los puntos de $A$ son aislados, ningún punto de $A$ es interior, pues un punto interior tiene a su alrededor todo un intervalo de vecinos de $A$ (un intervalo es infinito), en contradicción con el aislamiento. Luego $\mathring A = \emptyset$ .

Ejercicio 12.8 ★★

Demuéstrese que la clausura de un conjunto acotado está acotada y que $\sup \overline A = \sup A$ para $A$ no vacío y acotado superiormente. Dedúzcase que $\sup A \in \overline A$ : el supremo es siempre adherente.

Solución

Solución de Ejercicio 12.8.

Si $A \subseteq \intcc{-M}{M}$ , el cerrado $\intcc{-M}{M}$ contiene a $A$ y, por tanto, contiene a $\overline A$ (el menor cerrado que lo contiene): $\overline A$ está acotado.

Sea $s = \sup A$ (finito). Como $A \subseteq \overline A$ , se tiene $\sup \overline A \geq s$ . Recíprocamente, $\overline A \subseteq \intoc{-\infty}{s}$ : la semirrecta es cerrada y contiene a $A$ ; así, todo elemento de $\overline A$ es $\leq s$ , lo que da $\sup\overline A \leq s$ . Hay igualdad.

$s \in \overline A$ : por la caracterización con $\varepsilon$ (Proposición 10.4), todo intervalo $\intoo{s - \varepsilon}{s + \varepsilon}$ contiene un elemento de $A$ : $s$ es adherente.

Ejercicio 12.9 ★★★

Demuéstrese que los únicos subconjuntos de $\R$ que son a la vez abiertos y cerrados son $\emptyset$ y $\R$ . Indicación: supóngase $A$ abierto y cerrado, con $A \neq \emptyset$ y $\R \setminus A \neq \emptyset$ ; tómense $a \in A$ , $b \notin A$ , digamos $a < b$ , y considérese $s = \sup\,(A \cap \intcc{a}{b})$ ; decídase si $s$ puede estar en $A$ o en su complementario.

Solución

Solución de Ejercicio 12.9.

Supóngase $A$ abierto y cerrado, con $a \in A$ y $b \in \R \setminus A$ ; sin pérdida de generalidad, $a < b$ . El conjunto $B = A \cap \intcc{a}{b}$ es no vacío ( $a$ ) y acotado: sea $s = \sup B$ . Por el Ejercicio 12.8, $s \in \overline B \subseteq \overline A = A$ ( $A$ cerrado). Obsérvese que $s \leq b$ y, como $b \notin A$ , resulta $s < b$ . Ahora bien, $A$ es abierto: algún intervalo $\intoo{s - r}{s + r}$ está en $A$ , y podemos tomar $r < b - s$ . Entonces $s + \frac{r}{2}$ está en $A \cap \intcc{a}{b} = B$ y supera a $s$ — en contradicción con $s = \sup B$ . Luego no existe tal par $(a, b)$ : uno de los dos conjuntos $A$ , $\R \setminus A$ es vacío.

Ejercicio 12.10 ★★★

(Estructura de los abiertos) Sea $U \subseteq \R$ abierto y no vacío. Para $x \in U$ , sea $I_x$ la unión de todos los intervalos abiertos que contienen a $x$ y están contenidos en $U$ . Demuéstrese que $I_x$ es un intervalo abierto, que dos conjuntos $I_x$ , $I_y$ son iguales o disjuntos, y que $U$ es unión de numerablemente muchos intervalos abiertos disjuntos dos a dos (tómese un racional en cada uno).

Solución

Solución de Ejercicio 12.10.

$I_x$ es una unión de intervalos abiertos que contienen todos a $x$ : es abierto, y es un intervalo por ser convexo — si $u < z < v$ con $u, v \in I_x$ , entonces $u$ y $v$ están en subintervalos abiertos $J_u \ni x$ , $J_v \ni x$ de $U$ , y $J_u \cup J_v$ es un intervalo (los dos contienen a $x$ ) dentro de $U$ que contiene a $z$ ; luego $z \in I_x$ (Proposición 10.19).

Si $I_x \cap I_y \neq \emptyset$ , entonces $I_x \cup I_y$ es un intervalo abierto (convexo: dos intervalos que se solapan) contenido en $U$ y que contiene a $x$ y a $y$ , de modo que $I_x \cup I_y \subseteq I_x$ y $\subseteq I_y$ por la maximalidad de cada uno: $I_x = I_y$ .

Así pues, $U$ es la unión disjunta de los conjuntos $I_x$ distintos (cada $x \in U$ está en su propio $I_x$ ). Numerabilidad: cada intervalo abierto no vacío $I$ de la familia contiene un racional $q_I$ (Teorema 10.14), y a intervalos disjuntos distintos les corresponden racionales distintos: la familia se inyecta en $\Q$ , que es numerable (está indexado por pares de enteros). Luego hay a lo sumo numerablemente muchos intervalos.

Ejercicio 12.11 ★★

Un punto $x \in \R$ es punto de acumulación de $A$ cuando todo entorno de $x$ corta a $A \setminus \{x\}$ ; su conjunto es el conjunto derivado $A'$ . Demuéstrese que $\overline A = A \cup A'$ y que $A$ es cerrado si y solo si $A' \subseteq A$ . Determínese $A'$ para $A = \{\frac 1n : n \in \N^*\}$ , para $A = \Z$ y para $A = \Q$ .

Solución

Solución de Ejercicio 12.11.

$\overline A = A \cup A'$ . ( $\supseteq$ ) Siempre $A \subseteq \overline A$ ; y si $x \in A'$ , todo entorno de $x$ corta a $A \setminus \{x\} \subseteq A$ , luego $x$ es adherente. ( $\subseteq$ ) Sea $x \in \overline A$ . Si $x \in A$ , listo. Si $x \notin A$ , todo entorno de $x$ corta a $A = A \setminus \{x\}$ : $x \in A'$ .

En consecuencia, $A$ cerrado $\iff$ $A = \overline A = A \cup A'$ $\iff$ $A' \subseteq A$ .

$A = \{\frac 1n\}$ : $0$ es punto de acumulación ( $\frac 1n \to 0$ , con términos $\neq 0$ ); cada $\frac 1n$ es aislado (Ejercicio 12.7), luego no está en $A'$ ; y un punto $x \notin A \cup \{0\}$ tiene todo un intervalo que evita $A$ (entre los dos vecinos de $x$ en $A \cup \{0\}$ , o más allá de $1$ ). Luego $A' = \{0\}$ .

$\Z' = \emptyset$ : todo entero es aislado, y todo no entero tiene un entorno dentro de $\R \setminus \Z$ .

$\Q' = \R$ : todo intervalo en torno a un real cualquiera contiene infinitos racionales (Teorema 10.14), en particular uno distinto del centro.

Ejercicio 12.12 ★★★

Para $A \subseteq \R$ no vacío, defínase $d_A(x) = \inf\{\abs{x - a} : a \in A\}$ . Demuéstrese:

$\abs{d_A(x) - d_A(y)} \leq \abs{x - y}$ para todos $x, y$ ( $d_A$ es $1$ -lipschitziana);
$d_A(x) = 0$ si y solo si $x \in \overline A$ ; en particular, si $F$ es cerrado y $x \notin F$ , entonces $d_F(x) > 0$ ;
para todo $\varepsilon > 0$ , el conjunto $V_\varepsilon = \{x : d_F(x) < \varepsilon\}$ es abierto, contiene a $F$ , y $\bigcap_{\varepsilon > 0} V_\varepsilon = F$ para $F$ cerrado: todo cerrado es una intersección numerable de abiertos.

Solución

Solución de Ejercicio 12.12.

Para todo $a \in A$ : $\abs{x - a} \leq \abs{x - y} + \abs{y - a}$ , luego $d_A(x) \leq \abs{x - y} + \abs{y - a}$ ; tomando el ínfimo sobre $a$ : $d_A(x) \leq \abs{x - y} + d_A(y)$ . Intercambiando $x$ e $y$ se obtiene la otra desigualdad: $\abs{d_A(x) - d_A(y)} \leq \abs{x - y}$ .
$d_A(x) = 0$ $\iff$ para todo $\varepsilon > 0$ existe $a \in A$ con $\abs{x - a} < \varepsilon$ $\iff$ todo intervalo en torno a $x$ corta a $A$ $\iff$ $x \in \overline A$ . Si $F$ es cerrado y $x \notin F = \overline F$ , entonces $d_F(x) \neq 0$ , es decir, $d_F(x) > 0$ .
Si $d_F(x) < \varepsilon$ , tómese $r = \varepsilon - d_F(x) > 0$ : para $\abs{y - x} < r$ , el apartado (1) da $d_F(y) \leq d_F(x) + \abs{x - y} < \varepsilon$ : el intervalo $\intoo{x - r}{x + r}$ está en $V_\varepsilon$ , que es por tanto abierto; y contiene a $F$ , pues ahí $d_F = 0$ . Por último, $x \in \bigcap_{\varepsilon>0} V_\varepsilon$ $\iff$ $d_F(x) < \varepsilon$ para todo $\varepsilon$ $\iff$ $d_F(x) = 0$ $\iff$ $x \in \overline F = F$ . Como $\bigcap_{\varepsilon > 0} V_\varepsilon = \bigcap_{n \geq 1} V_{1/n}$ , todo cerrado es una intersección numerable de abiertos.

12.5 Problema: el conjunto de Cantor, pequeño y enorme a la vez

Problema 12.1

Problema del fin de semana — el conjunto de Cantor de los tercios centrales: longitud cero, no numerable, perfecto y $C + C = \intcc{0}{2}$

Quítese a $\intcc{0}{1}$ su tercio central abierto, después el tercio central de cada segmento restante, y repítase para siempre: lo que sobrevive es el conjunto de Cantor $C$ , la fábrica fundamental de contraejemplos del análisis. Este problema lo construye, lo lee con la maquinaria de la base $3$ del Problema 10.1 y establece su retrato paradójico: longitud total cero y, aun así, no numerable; interior vacío y, aun así, sin ningún punto aislado; totalmente disconexo y, aun así, $C + C$ llena todo el segmento $\intcc{0}{2}$ . Formalmente: $C_0 = \intcc{0}{1}$ , y $C_{n+1}$ se obtiene de $C_n$ suprimiendo el tercio central abierto de cada segmento de $C_n$ ; finalmente, $C = \bigcap_{n \geq 0} C_n$ . En todo el problema, un código ternario de $x \in \intcc{0}{1}$ es cualquier cadena de cifras $(d_k)_{k\geq1}$ con $d_k \in \{0, 1, 2\}$ cuyo valor $\sup_n \sum_{k=1}^n d_k 3^{-k}$ sea igual a $x$ — se admiten los códigos impropios (finalmente $2$ ); por el Problema 10.1 (preguntas 9–11), todo $x \in \intcc{0}{1}$ tiene uno o dos códigos, y dos exactamente cuando $x = m/3^N \in \intoo{0}{1}$ .

Parte I — La construcción.

Descríbanse $C_1$ y $C_2$ explícitamente como uniones de segmentos, y demuéstrese por inducción que $C_n$ es unión disjunta de $2^n$ segmentos cerrados, cada uno de longitud $3^{-n}$ .
Véase que $C$ es cerrado y acotado —y, por tanto, compacto (Teorema 12.19)— y no vacío, y que todo extremo de todo segmento de todo $C_n$ pertenece a $C$ .
La longitud total de $C_n$ es $\bigl(\frac23\bigr)^n$ . Dedúzcase que, para todo $\varepsilon > 0$ , el conjunto $C$ se puede recubrir con finitos segmentos de longitud total $\leq \varepsilon$ : el conjunto de Cantor tiene longitud cero.
Véase que un intervalo contenido en $C$ tiene longitud $\leq 3^{-n}$ para todo $n$ y, por tanto, es un conjunto unitario o vacío: $\mathring C = \emptyset$ . Siendo cerrado con interior vacío, $C$ es denso en ninguna parte.

Parte II — El código ternario.

Demuéstrese la recursión de autosemejanza

$C_{n+1} = \tfrac13 C_n \,\cup\, \bigl(\tfrac23 + \tfrac13 C_n\bigr), \qquad\text{luego}\qquad C = \tfrac13 C \,\cup\, \bigl(\tfrac23 + \tfrac13 C\bigr),$

siendo las dos piezas disjuntas: $C$ son dos copias de sí mismo a escala $\frac13$ .
Demuéstrese por inducción sobre $n$ : $x \in C_n$ si y solo si $x$ tiene un código ternario cuyas primeras $n$ cifras están en $\{0, 2\}$ . Dedúzcase, usando que $x$ tiene a lo sumo dos códigos: $x \in C$ si y solo si $x$ tiene un código sin ninguna cifra igual a $1$ (un código libre de $1$ ).
Códigos en acción: dense códigos libres de $1$ para $0$ , $1$ , $\frac13$ y $\frac23$ ; véase que $\frac14 = (0.\overline{02})_3$ y $\frac34 = (0.\overline{20})_3$ , de modo que los dos están en $C$ ; y compruébese que $\frac14$ no es extremo de ningún $C_n$ (los extremos tienen la forma $m/3^n$ ).
Véase que cada $x \in C$ tiene exactamente un código libre de $1$ (cuando $x$ tiene dos códigos, demuéstrese que exactamente uno de los dos contiene la cifra $1$ ). Conclúyase: la aplicación valor es una biyección de las cadenas de $\{0,2\}$ sobre $C$ .
(Diagonal) Sea $k \mapsto x_k$ una aplicación cualquiera $\N^* \to C$ . Constrúyase una cadena de $\{0, 2\}$ que difiera en el índice $k$ del código de $x_k$ , y conclúyase que $C$ no es numerable — mientras que, por contraste, la pregunta 3 dice que es métricamente despreciable.

Parte III — Retrato topológico.

Reúnase lo obtenido hasta aquí: $C$ es compacto, no numerable, de longitud cero y denso en ninguna parte. ¿Qué única contención $C \subseteq C_n$ sostiene cada propiedad?
( $C$ es perfecto) Sea $x \in C$ de código libre de $1$ $(d_k)$ . Cambiar la cifra $d_n$ ( $0 \leftrightarrow 2$ ) produce $x_n \in C$ con $\abs{x_n - x} = 2 \cdot 3^{-n}$ . Conclúyase que $C$ no tiene ningún punto aislado: todo punto de $C$ es límite de otros puntos de $C$ .
Véase que los extremos de la pregunta 2 forman un subconjunto numerable y denso de $C$ (trúnquese el código tras $n$ cifras y continúese con $0$ ; la numerabilidad, como en el Ejercicio 12.10). Conclúyase: el punto típico de $C$ — como $\frac14$ — no es un extremo: los extremos son un esqueleto numerable dentro de un cuerpo no numerable.
(Totalmente disconexo) Sean $x < y$ en $C$ . Elíjase $n$ con $3^{-n} < y - x$ y prodúzcase un punto $z \in \intoo{x}{y}$ con $z \notin C$ . Conclúyase que los únicos intervalos no vacíos contenidos en $C$ son los conjuntos unitarios.

Parte IV — Aritmética de $C$ .

Véase que $1 - C = C$ (¿qué le hace $x \mapsto 1 - x$ a un código libre de $1$ ? recuérdese $1 = (0.\overline{2})_3$ ).
(Suma de códigos) Véase que si $x$ , $x'$ tienen códigos $(a_k)$ , $(b_k)$ , entonces $x + x' = \lim_n\,(t_n + t'_n)$ , donde $t_n, t'_n$ son las sumas parciales. Dedúzcase: todo $y \in \intcc{0}{1}$ es el punto medio de dos puntos de $C$ — dado un código $(e_k)$ de $y$ , elíjanse cifras $a_k, b_k \in \{0, 2\}$ con $\frac{a_k + b_k}{2} = e_k$ .
Conclúyase $C + C = \intcc{0}{2}$ y, con la pregunta 14, $C - C = \intcc{-1}{1}$ . Instancia concreta: escríbase $1$ como suma de los dos puntos no extremos hallados en la pregunta 7.
Reflexión: un conjunto de longitud cero cuyo conjunto de diferencias llena $\intcc{-1}{1}$ . ¿Por qué no hay contradicción entre « $C$ es métricamente despreciable» y « $C + C$ tiene longitud completa»? (Una frase; piénsese en qué controla la longitud y qué no.)

Parte V — Miembros racionales e irracionales.

Combínese la pregunta 8 con el criterio de periodicidad del Problema 10.1: un punto de $C$ es racional si y solo si su código libre de $1$ es finalmente periódico. Ejecútese la división larga en base $3$ para comprobar que $\frac1{13} = (0.\overline{002})_3 \in C$ .
Prodúzcase un miembro explícitamente irracional de $C$ : el valor del código con $d_k = 2$ en las posiciones triangulares $k = \frac{j(j+1)}{2}$ y $d_k = 0$ en las demás. Justifíquese la irracionalidad con el argumento de los huecos crecientes del Problema 10.1 (pregunta 20).
(Sobre un segmento completo) Considérese $h$ , que envía el punto de $C$ de código libre de $1$ $(d_k)$ al valor de la cadena binaria $\bigl(\frac{d_k}2\bigr)$ , es decir, $h(x) = \sup_n \sum_{k=1}^n \frac{d_k}{2}\,2^{-k}$ . Véase que $h$ envía $C$ sobre $\intcc{0}{1}$ . Así pues, el despreciable $C$ se aplica sobreyectivamente sobre un segmento de longitud completa — una segunda demostración de que $C$ no es numerable.
(Longitud autosemejante) Supóngase que estuviera definida alguna noción de longitud $L$ para $C$ y sus copias encogidas, respetando el escalado ( $L(\lambda A) = \lambda L(A)$ ), la invariancia por traslación y la aditividad sobre la descomposición disjunta de la pregunta 5. Véase que entonces $L(C) = \frac23\,L(C)$ , lo que obliga a $L(C) = 0$ : la autosemejanza sola ya condena a $C$ a longitud cero.

Parte VI — Un primo gordo, y la moraleja.

(Conjunto de Cantor gordo) Repítase la construcción, pero en la etapa $n$ ( $n = 0, 1, 2, \dots$ ) quítese a cada uno de los $2^n$ segmentos actuales solo un intervalo central abierto de longitud $4^{-(n+1)}$ . Véase que las longitudes $l_n$ de los segmentos cumplen $l_{n+1} = \frac{l_n - 4^{-(n+1)}}{2}$ , $l_n = \frac{2^n + 1}{2\cdot 4^n} > 0$ , que el $K = \bigcap K_n$ resultante es compacto con interior vacío y que la longitud total suprimida es $\sum_{n\geq0} 2^n 4^{-(n+1)} = \frac12$ . Admitiendo la aditividad (intuitiva, del tercer año) de la longitud para uniones finitas de intervalos, y usando los dos enunciados del Ejemplo 12.20, véase que toda familia finita de intervalos abiertos que recubra $K$ tiene longitud total $\geq \frac12$ : $K$ es denso en ninguna parte pero no despreciable. La pequeñez tiene varios significados no equivalentes.
(Distancias) Véase que, para $F \subseteq \R$ cerrado y no vacío y $x \in \R$ , el ínfimo $d(x, F)$ se alcanza (sucesión minimizante más Bolzano–Weierstrass). Calcúlese después

$\max_{y \in \intcc{0}{1}} d(y, C) = \frac16 ,$

alcanzado exactamente en el centro $y = \frac12$ (un punto de un hueco creado en la etapa $n$ dista menos de $\frac{3^{-n}}{2}$ de los extremos del hueco, que están en $C$ ).
(Todo punto, límite de una subsucesión) Usando las preguntas 12 y 2, prodúzcase una única sucesión de $C$ cuyo conjunto de límites de subsucesiones sea todo $C$ . (Compárese: para una sucesión convergente ese conjunto es un solo punto — $C$ realiza el extremo opuesto entre los compactos.)
Síntesis, una frase para cada punto: (i) ¿qué teoremas de este capítulo ha consumido realmente la construcción (estabilidad de los cerrados, compacidad, caracterizaciones secuenciales)? (ii) enumérense las cuatro parejas paradójicas del retrato (longitud cero/no numerable, cerrado/interior vacío, perfecto/totalmente disconexo, despreciable/ $C+C$ completo); (iii) ¿dónde reaparece $C$ más adelante (la escalera del diablo construida sobre $h$ en la teoría de la continuidad, y la teoría de la medida del volumen del tercer año, donde $C$ separa «numerable» de «despreciable»)?

Solución

Solución de Problema 12.1.

1. $C_1 = \intcc{0}{\frac13} \cup \intcc{\frac23}{1}$ y

C_2 = \intcc{0}{\tfrac19} \cup \intcc{\tfrac29}{\tfrac13} \cup \intcc{\tfrac23}{\tfrac79} \cup \intcc{\tfrac89}{1} .

Inducción: si $C_n$ es unión disjunta de $2^n$ segmentos cerrados de longitud $3^{-n}$ , suprimir el tercio central abierto de cada uno deja dos segmentos cerrados de longitud $3^{-n-1}$ por padre: $2^{n+1}$ segmentos, disjuntos dos a dos (los hijos de padres distintos están separados porque lo estaban los padres; los hijos de un mismo padre, por el hueco suprimido).

2. Cada $C_n$ es unión finita de segmentos y, por tanto, cerrado; $C = \bigcap C_n$ es una intersección de cerrados: cerrado (Definición 12.5); acotado ( $\subseteq \intcc{0}{1}$ ): compacto por el Teorema 12.19. No vacío: $0$ está en el segmento más a la izquierda de todo $C_n$ . Sea $a$ un extremo de un segmento $S$ de $C_n$ . Para $m \leq n$ , $a \in C_n \subseteq C_m$ . Para las etapas posteriores: la supresión del tercio central nunca quita un extremo, y $a$ vuelve a ser extremo de uno de los dos hijos de $S$ (el hijo que toca a $a$ ); por inducción, $a \in C_m$ para todo $m \geq n$ : $a \in C$ .

3. Longitud total de $C_n$ : $2^n \cdot 3^{-n} = (\frac23)^n \to 0$ . Dado $\varepsilon > 0$ , elíjase $n$ con $(\frac23)^n \leq \varepsilon$ : entonces $C \subseteq C_n$ , unión de finitos segmentos de longitud total $\leq \varepsilon$ .

4. Sea $I \subseteq C$ un intervalo con dos puntos distintos. Para todo $n$ : $I \subseteq C_n$ y, siendo $I$ convexo, debe estar dentro de un único segmento de $C_n$ (cortar a dos segmentos obligaría a $I$ a contener un punto del hueco intermedio, que está fuera de $C_n$ ). Luego la longitud de $I$ es $\leq 3^{-n}$ para todo $n$ : contradicción. Así pues, los únicos intervalos dentro de $C$ son el vacío y los unitarios; en particular, ningún $\intoo{x-r}{x+r}$ cabe dentro de $C$ : $\mathring C = \emptyset$ . Como $C$ es cerrado, $\overline C = C$ tiene interior vacío: $C$ es denso en ninguna parte.

5. Escríbanse $\varphi_0(x) = \frac x3$ y $\varphi_2(x) = \frac{2 + x}{3}$ , biyecciones afines crecientes de $\intcc{0}{1}$ sobre $\intcc{0}{\frac13}$ y $\intcc{\frac23}{1}$ . Afirmación: $C_{n+1} = \varphi_0(C_n) \cup \varphi_2(C_n)$ . Para $n = 0$ , esto es la pregunta 1. Inducción: una aplicación afín creciente envía el tercio central de un segmento al tercio central del segmento imagen, luego suprimir tercios centrales conmuta con $\varphi_0$ y $\varphi_2$ ; aplicando la etapa de supresión a $C_{n+1} = \varphi_0(C_n) \cup \varphi_2(C_n)$ se obtiene $C_{n+2} = \varphi_0(C_{n+1}) \cup \varphi_2(C_{n+1})$ . Intersecando sobre $n$ : para $x \leq \frac13$ , $x \in C \iff x \in \varphi_0(C_n)$ para todo $n$ $\iff 3x \in \bigcap C_n = C$ ; igual sobre $\intcc{\frac23}{1}$ ; y ningún punto de $\intoo{\frac13}{\frac23}$ está en $C_1$ . Luego $C = \varphi_0(C) \cup \varphi_2(C)$ , de forma disjunta.

6. Inducción sobre $n$ ; el caso $n = 0$ dice que todo $x \in \intcc{0}{1}$ tiene un código, que es el Problema 10.1 (pregunta 9 para $x < 1$ ; $1 = (0.\overline 2)_3$ ). Supóngase la equivalencia en el rango $n$ . Si $x \in C_{n+1}$ : por la pregunta 5, $x = \varphi_i(z)$ con $z \in C_n$ e $i \in \{0, 2\}$ ; si $(e_k)$ es un código de $z$ cuyas primeras $n$ cifras son libres de $1$ , entonces $(i, e_1, e_2, \dots)$ tiene sumas parciales $\frac i3 + \frac13\sum_{k\leq m} e_k 3^{-k} \to \varphi_i(z) = x$ : un código de $x$ cuyas primeras $n + 1$ cifras son libres de $1$ . Recíprocamente, si $x$ tiene un código $(d_k)$ con $d_1, \dots, d_{n+1} \in \{0, 2\}$ : la cadena desplazada $(d_2, d_3, \dots)$ tiene cierto valor $z \in \intcc{0}{1}$ , sus primeras $n$ cifras son libres de $1$ , y el cálculo de las sumas parciales leído al revés da $x = \varphi_{d_1}(z)$ ; por inducción $z \in C_n$ , luego $x \in C_{n+1}$ por la pregunta 5. Por último: un código enteramente libre de $1$ mete a $x$ en todo $C_n$ y, por tanto, en $C$ ; recíprocamente, si $x \in C$ , para cada $n$ uno de los a lo sumo dos códigos de $x$ (Problema 10.1, pregunta 11) tiene sus primeras $n$ cifras libres de $1$ ; un mismo código fijo debe servir para $n$ arbitrariamente grande (palomar entre dos códigos), y un código cuyas primeras $n$ cifras son libres de $1$ para $n$ arbitrariamente grande es libre de $1$ sin más.

7. $0 = (0.\overline 0)_3$ , $1 = (0.\overline 2)_3$ , $\frac13 = (0.0\overline{2})_3$ (el gemelo impropio de $(0.1)_3$ ), $\frac23 = (0.2\overline{0})_3$ . Sumas geométricas:

(0.\overline{02})_3 = \sum_{j\geq1} \frac{2}{9^{\,j}} = \frac{2/9}{1 - 1/9} = \frac14 , \qquad (0.\overline{20})_3 = \sum_{j\geq1} \frac{2}{3\cdot 9^{\,j-1}} = \frac{2/3}{1 - 1/9} = \frac34 ,

los dos libres de $1$ : $\frac14, \frac34 \in C$ . (Las sumas infinitas abrevian supremos de sumas parciales, como en Problema 10.1.) Los extremos de los segmentos de $C_n$ son de la forma $m/3^n$ (inducción: los extremos de los hijos son extremos del padre o difieren de uno de ellos en un múltiplo de $3^{-n-1}$ ). Si $\frac14 = \frac{m}{3^n}$ , entonces $3^n = 4m$ , y $4 \nmid 3^n$ : imposible. Luego $\frac14 \in C$ sin ser nunca un extremo.

8. Supóngase que $x$ tuviera dos códigos libres de $1$ distintos. Tener dos códigos significa (Problema 10.1, pregunta 11, base $3$ ) que $x = m/3^N \in \intoo{0}{1}$ y que los dos códigos son: el finito, con última cifra no nula $d_N \in \{1, 2\}$ seguida de $0$ , y su gemelo, con $d_N - 1$ en la posición $N$ seguido de $2$ . Si $d_N = 1$ , el primero contiene un $1$ ; si $d_N = 2$ , el gemelo lleva $d_N - 1 = 1$ . En cualquier caso, a lo sumo uno de los dos es libre de $1$ : contradicción. Luego cada $x \in C$ tiene exactamente un código libre de $1$ (la existencia, por la pregunta 6), y cadenas de $\{0,2\}$ distintas tienen valores distintos. Toda cadena de $\{0,2\}$ tiene valor en $\intcc{0}{1}$ (sumas parciales $\leq 1$ ) con todos sus prefijos libres de $1$ , y por tanto valor en todo $C_n$ , es decir, en $C$ : la aplicación valor es una biyección de las cadenas de $\{0,2\}$ sobre $C$ .

9. Sea $(d^{(k)})$ el código libre de $1$ de $x_k$ y tómese $e_k = 2 - d^{(k)}_k \in \{0, 2\}$ : una cadena de $\{0,2\}$ cuyo valor $y$ está en $C$ y tiene $(e_k)$ como único código libre de $1$ (pregunta 8). Para cada $k$ , los códigos de $y$ y de $x_k$ difieren en la posición $k$ , luego $y \neq x_k$ : ninguna aplicación $\N^* \to C$ es sobreyectiva. Un conjunto no numerable de longitud cero: grande en cardinal, pequeño en medida — a la vez.

10. Compacidad: que la intersección infinita sea cerrada, más la acotación (pregunta 2) — la única propiedad que no sostiene una sola contención. Longitud cero: $C \subseteq C_n$ , de longitud total $(\frac23)^n$ (pregunta 3). Densidad en ninguna parte: $C \subseteq C_n$ obliga a que los intervalos dentro de $C$ tengan longitud $\leq 3^{-n}$ (pregunta 4). La no numerabilidad no cabalga sobre ninguna contención: necesita toda la estructura de la intersección, codificada en la biyección de la pregunta 8.

11. Cámbiese $d_n$ por $2 - d_n$ : la nueva cadena sigue siendo una cadena de $\{0,2\}$ , luego su valor $x_n$ está en $C$ ; y las sumas parciales más allá del rango $n$ difieren exactamente en $2\cdot3^{-n}$ , de modo que $\abs{x_n - x} = 2\cdot3^{-n}$ . Así, $x_n \neq x$ y $x_n \to x$ : todo punto de $C$ es límite de otros puntos de $C$ — $C$ es perfecto, sin ningún punto aislado.

12. Por la inducción de la pregunta 5, los segmentos de $C_n$ son exactamente los $\intcc{t}{t + 3^{-n}}$ donde $t$ recorre los valores de las cadenas de longitud $n$ formadas con $\{0,2\}$ . Dado $x \in C$ de código $(d_k)$ , la truncatura $t_n$ (cifras $d_1 \dots d_n$ y después $0$ ) es, por tanto, un extremo izquierdo, y $0 \leq x - t_n \leq 3^{-n}$ : los extremos son densos en $C$ . Forman un subconjunto de $\{m/3^n : m, n\}$ , un conjunto indexado por pares de enteros y, por tanto, numerable (como $\Q$ en el Ejercicio 12.10). Como $C$ no es numerable (pregunta 9), todos los puntos de $C$ salvo numerablemente muchos no son extremos — $\frac14$ (pregunta 7) es la punta visible de ese iceberg.

13. Tómese $n$ con $3^{-n} < y - x$ . Los dos, $x, y \in C_n$ , y no pueden estar en el mismo segmento (de longitud $3^{-n} < y - x$ ): el hueco suprimido entre sus segmentos proporciona $z$ con $x < z < y$ y $z \notin C_n \supseteq C$ . Así pues, dos puntos cualesquiera de $C$ están separados por el complementario: los únicos subconjuntos convexos de $C$ son los unitarios — $C$ es totalmente disconexo.

14. Si $(d_k)$ es el código libre de $1$ de $x$ , la cadena $(2 - d_k)$ es de nuevo una cadena de $\{0,2\}$ , con sumas parciales

\sum_{k=1}^{n} (2 - d_k)3^{-k} = (1 - 3^{-n}) - \sum_{k=1}^n d_k 3^{-k} \longrightarrow 1 - x :

luego $1 - x \in C$ . Así, $1 - C \subseteq C$ y, aplicando la aplicación dos veces, $1 - C = C$ : el conjunto de Cantor es simétrico respecto de $\frac12$ .

15. Las sumas parciales $t_n \to x$ y $t'_n \to x'$ (las sucesiones crecientes convergen a su supremo, es decir, al valor), luego $t_n + t'_n \to x + x'$ por el Teorema 11.5. Dado $y \in \intcc{0}{1}$ de código $(e_k)$ , elíjase $(a_k, b_k) = (0,0), (0,2), (2,2)$ según sea $e_k = 0, 1, 2$ : entonces $a_k + b_k = 2e_k$ , las cadenas $(a_k)$ , $(b_k)$ son cadenas de $\{0,2\}$ con valores $x, x' \in C$ , y

x + x' = \lim_n\,(t_n + t'_n) = \lim_n 2\sum_{k=1}^n e_k 3^{-k} = 2y :

todo $y \in \intcc{0}{1}$ es el punto medio de dos puntos de $C$ .

16. La pregunta 15 da $\intcc{0}{2} = 2\,\intcc{0}{1} \subseteq C + C$ , y $C + C \subseteq \intcc{0}{1} + \intcc{0}{1} = \intcc{0}{2}$ : igualdad. Después, usando $1 - C = C$ :

C - C = C + (C - 1) = (C + C) - 1 = \intcc{-1}{1} .

Instancia concreta: $1 = \frac14 + \frac34$ , suma de dos miembros de $C$ que no son extremos.

17. La longitud mide cuánto de la recta ocupa el propio conjunto; no dice nada del conjunto de sumas, que es la imagen de la familia de dos parámetros $C \times C$ por $(x, x') \mapsto x + x'$ — las dos cadenas de cifras se eligen de forma independiente, y esa libertad es exactamente lo que llena $\intcc{0}{2}$ . Ningún teorema acota la longitud de un conjunto suma por las longitudes de los sumandos, y $C$ es la prueba de que ninguno puede hacerlo.

18. Por el Problema 10.1 (pregunta 18), $x$ es racional si y solo si su desarrollo propio es finalmente periódico. El código libre de $1$ de $x \in C$ es o bien ese desarrollo propio, o bien el gemelo impropio de uno finito; y una cadena finita y su gemelo (finalmente constante igual a $2$ ) son ambos finalmente periódicos, de modo que la periodicidad del código libre de $1$ equivale a la racionalidad de $x$ . División larga de $\frac1{13}$ en base $3$ ( $r_0 = 1$ ): $3 = 13\cdot0 + 3$ , $9 = 13\cdot0 + 9$ , $27 = 13\cdot2 + 1$ , y el resto vuelve a $1$ : cifras $\overline{002}$ , luego $\frac1{13} = (0.\overline{002})_3$ , libre de $1$ y periódico: un miembro racional de $C$ . (Comprobación: $\frac{2/27}{1 - 1/27} = \frac{2}{26} = \frac1{13}$ .)

19. La cadena con $d_k = 2$ en las posiciones triangulares $k = \frac{j(j+1)}{2}$ y $0$ en las demás es una cadena de $\{0,2\}$ , luego su valor $x^*$ pertenece a $C$ (pregunta 8). Tiene infinitos $2$ con huecos $j + 1 \to \infty$ entre dos consecutivos, así que no es finalmente periódica (un período $T$ acabaría forzando $2$ a distancias $\leq T$ : el argumento de los huecos crecientes del Problema 10.1, pregunta 20); por la pregunta 18, $x^* \notin \Q$ . Y por la pregunta 9 más la numerabilidad de $\Q$ , todos los miembros de $C$ salvo numerablemente muchos son irracionales: $x^*$ es la norma, no la excepción.

20. Sea $y \in \intcc{0}{1}$ : tiene un código binario $(c_k)$ con $c_k \in \{0, 1\}$ (Problema 10.1, pregunta 9, base $2$ ; para $y = 1$ se toma la cadena de $1$ ). Entonces $(2c_k)$ es una cadena de $\{0,2\}$ , su valor $x$ está en $C$ , y $h(x)$ es el valor de $(c_k)$ , es decir, $y$ : $h$ aplica $C$ sobre $\intcc{0}{1}$ . Si $C$ fuese la imagen de una aplicación desde $\N^*$ , componer con $h$ enumeraría todo $\intco{0}{1}$ , en contradicción con el teorema diagonal del Problema 10.1 (pregunta 22): $C$ no es numerable, otra vez. Un conjunto de longitud cero que se aplica sobreyectivamente sobre un segmento completo.

21. Por la pregunta 5, $C$ es la unión disjunta de $\varphi_0(C)$ y $\varphi_2(C)$ , cada uno un trasladado de la copia a escala $\frac13 C$ . La aditividad, el escalado y la invariancia por traslación dan

L(C) = L(\varphi_0(C)) + L(\varphi_2(C)) = \tfrac13 L(C) + \tfrac13 L(C) = \tfrac23\,L(C),

luego $\frac13 L(C) = 0$ : $L(C) = 0$ . La autosemejanza sola condena a $C$ a longitud cero — la pregunta 3 se limitó a ejecutar la sentencia.

22. Un segmento de longitud $l_n$ pierde un intervalo central de longitud $4^{-(n+1)}$ , y quedan dos segmentos de longitud $l_{n+1} = \frac{l_n - 4^{-(n+1)}}{2}$ ; a partir de $l_0 = 1$ , la inducción confirma $l_n = \frac{2^n + 1}{2\cdot4^n}$ : en efecto, $\frac12\Bigl(\frac{2^n+1}{2\cdot4^n} - \frac{1}{4^{n+1}}\Bigr) = \frac{2(2^n + 1) - 1}{2\cdot4^{n+1}} = \frac{2^{n+1} + 1}{2\cdot4^{n+1}}$ , y $l_n > 0$ siempre: la construcción nunca se queda sin material. $K = \bigcap K_n$ es cerrado y acotado y, por tanto, compacto; y un intervalo dentro de $K$ está en un segmento de $K_n$ , de longitud $l_n \to 0$ : interior vacío. Longitud suprimida: $\sum_{n\geq0} 2^n \cdot 4^{-(n+1)} = \frac14\sum_{n\geq0}\bigl(\frac12\bigr)^n = \frac12$ , y cada $K_n$ tiene longitud total $2^n l_n = \frac{2^n + 1}{2^{n+1}} > \frac12$ . Sea ahora una familia finita de intervalos abiertos de unión $U \supseteq K$ . Por el enunciado compañero del Ejemplo 12.20, $U \supseteq K_n$ para algún $n$ ; admitiendo la aditividad de la longitud sobre uniones finitas de intervalos, la longitud total de los intervalos del recubrimiento es al menos la de $K_n$ , que supera $\frac12$ . Luego $K$ es denso en ninguna parte y, sin embargo, no hay recubrimiento barato: la pequeñez topológica (densidad en ninguna parte) y la pequeñez métrica (longitud cero) son nociones genuinamente distintas, y $K$ las separa.

23. Que se alcanza: sea $d = d(x, F)$ y tómense $a_k \in F$ con $\abs{x - a_k} \leq d + \frac1k$ : los $a_k$ están acotados, luego Bolzano–Weierstrass (Teorema 11.16) extrae $a_{\varphi(k)} \to a$ , con $a \in F$ ( $F$ cerrado, Teorema 12.6) y $\abs{x - a} = \lim \abs{x - a_{\varphi(k)}} = d$ . Ahora el máximo: si $y \in C$ , entonces $d(y, C) = 0$ ; en caso contrario, $y$ está en un hueco suprimido en cierta etapa $n \geq 1$ , un intervalo abierto de longitud $3^{-n}$ cuyos dos extremos pertenecen a $C$ (pregunta 2), luego $d(y, C) \leq \frac{3^{-n}}{2} \leq \frac16$ , con igualdad solo si $n = 1$ e $y$ es el centro del hueco $\intoo{\frac13}{\frac23}$ , es decir, $y = \frac12$ ; y, en efecto, $d\bigl(\frac12, C\bigr) = \frac16$ , pues $C \cap \intoo{\frac13}{\frac23} = \emptyset$ y $\frac13, \frac23 \in C$ . Luego $\max_{y\in\intcc{0}{1}} d(y, C) = \frac16$ , alcanzado exactamente en $\frac12$ .

24. Los extremos forman un subconjunto numerable y denso de $C$ (pregunta 12): enumérense como una única sucesión $(e_j)_{j\geq1}$ , que es una sucesión de $C$ . Todos sus límites de subsucesiones están en $C$ ( $C$ cerrado). Recíprocamente, fíjese $x \in C$ : para cada $n$ , los segmentos de los $C_m$ que contienen a $x$ ( $m \geq n$ ) tienen sus extremos a distancia $3^{-m} \leq 3^{-n}$ de $x$ , luego infinitos extremos distintos están a menos de $3^{-n}$ de $x$ ; elíjanse índices $j_1 < j_2 < \dots$ con $\abs{e_{j_n} - x} \leq 3^{-n}$ : una subsucesión que converge a $x$ . Así pues, el conjunto de límites de subsucesiones de $(e_j)$ es exactamente $C$ — una sola sucesión que se acumula en no numerablemente muchos puntos, el extremo opuesto a una sucesión convergente, cuyo conjunto de puntos de acumulación es unitario.

25. (i) La construcción consumió: la estabilidad de los cerrados por intersección arbitraria (la existencia de $C$ como cerrado), el teorema de compacidad Teorema 12.19 (preguntas 2, 22, 23) y las caracterizaciones secuenciales de la clausura y la adherencia (el argumento de compactos encajados del Ejemplo 12.20 y la pregunta 23). (ii) Las cuatro parejas: longitud cero y, aun así, no numerable (preguntas 3, 9); cerrado y, aun así, de interior vacío (pregunta 4); perfecto —sin ningún punto aislado— y, aun así, totalmente disconexo (preguntas 11, 13); despreciable y, aun así, con $C + C = \intcc{0}{2}$ (pregunta 16). (iii) La sobreyección $h$ de la pregunta 20, hecha continua y no decreciente, se convierte en la escalera del diablo en la teoría de las funciones continuas; y en la teoría de la medida del volumen del tercer año, $C$ es el testigo estándar de que «despreciable» no significa «numerable», con su primo gordo (pregunta 22) separando «denso en ninguna parte» de «despreciable».