¿Qué es Polinomio característico? — Matemáticas

Definición 3.3 Matemáticas universitarias — Grado 2 · Capítulo 3 — Reducción de endomorfismos

$\chi_u(X) = \det(X\,\mathrm{id} - u)$ , calculado en cualquier base como $\det(XI_n - A)$ ; es un polinomio mónico de grado $n$ , invariante por semejanza (Teorema 2.17). Sus raíces en $K$ son exactamente los valores propios ( $\lambda$ es valor propio $\iff u - \lambda\,\mathrm{id}$ no es inyectiva $\iff \chi_u(\lambda) = 0$ ), y

\chi_u(X) = X^n - (\operatorname{tr} u)\, X^{n-1} + \dots + (-1)^n \det u .

La multiplicidad algebraica $m_\lambda$ de un valor propio es su multiplicidad como raíz de $\chi_u$ ; la multiplicidad geométrica es $\dim E_\lambda$ , y se cumple $1 \leq \dim E_\lambda \leq m_\lambda$ .

Ejemplos

Ejemplo 3.4 (Mismo $\chi$ , geometría distinta)

Las matrices

\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} \qquad\text{y}\qquad \begin{pmatrix}2 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}

comparten el polinomio característico $(X - 2)^2$ , la traza, el determinante y el espectro, y sin embargo no son semejantes: la primera tiene $E_2$ de dimensión $2$ (multiplicidad geométrica $2$ ) y la segunda de dimensión $1$ . El polinomio característico solo ve las multiplicidades algebraicas; las dimensiones de los subespacios propios son el invariante más fino, y el polinomio mínimo es quien arbitra ( $X - 2$ frente a $(X - 2)^2$ ). Moraleja para toda discusión sobre diagonalizabilidad: $\chi$ preselecciona a los candidatos, pero quienes votan son los núcleos.

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Ejemplos

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