¿Qué es polinomio mínimo?

Ejemplo 3.13 (Polinomios mínimos hallados a mano)

El polinomio mínimo se calcula probando grados sucesivos. Para la matriz de unos $J \in \mathcal{M}_3(\R)$: $J \neq \lambda I$ (queda descartado el grado $1$) y $J^2 = 3J$, luego

grado $2$, escindido, con raíces simples; $J$ es diagonalizable con espectro $\{0, 3\}$ (Corolario 3.17 más abajo), lo que confirma el Ejemplo 2.19 sin calcular ni un solo determinante. Para la matriz de intercambio $A$ del Ejemplo 3.15: de $A \neq \pm I$ y $A^2 = I$ resulta $\mu_A = X^2 - 1$. En ambos casos el patrón es el mismo: adivínese a partir de la estructura una identidad de grado bajo (el rango uno obliga a $J^2 = (\operatorname{tr}J)\,J$; una involución obliga a $A^2 = I$) y compruébese después que ningún divisor propio anula. Los polinomios mínimos suelen encontrarse, no calcularse a partir de $\chi$.

Ejemplo 3.15 (El lema de los núcleos con proyectores explícitos)

Sea $A = \left(\begin{smallmatrix}0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{smallmatrix}\right)$ (intercambia las dos primeras coordenadas). Entonces $A^2 = I$: el polinomio $X^2 - 1 = (X - 1)(X + 1)$ anula $A$, sus factores son primos entre sí y Bézout es explícito:

Siguiendo la demostración del Teorema 3.14, las proyecciones sobre $\ker(A - I)$ y $\ker(A + I)$ son los polinomios en $A$

Comprobación: $\pi_+ + \pi_- = I$, $\pi_+\pi_- = 0$, $\pi_\pm^2 = \pi_\pm$, y las imágenes son el plano $\{x = y\}$ (vectores simétricos, valor propio $1$) y la recta $\R(1, -1, 0)$ (antisimétricos, valor propio $-1$). El lema de los núcleos no es un enunciado de existencia: los coeficientes de Bézout son las fórmulas de los proyectores.

Ejemplo 3.20 (Mínimo frente a característico)

Para $D = \operatorname{diag}(2, 2, 3)$: $\chi_D = (X - 2)^2(X - 3)$, pero $\mu_D = (X - 2)(X - 3)$, ya que $(D - 2I)(D - 3I) = 0$ (compruébese sobre la base canónica) mientras que ninguno de los dos factores anula $D$ por separado. Para el bloque de desplazamiento $N = \left(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{smallmatrix}\right) \oplus (3)$, es decir, $N' = \left(\begin{smallmatrix}0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{smallmatrix}\right)$: se tiene $\chi_{N'} = X^2(X - 3)$ y $\mu_{N'} = X^2(X - 3)$; la raíz doble hace verdadera falta porque $N'$ no es diagonalizable del lado del núcleo ($N'e_2 = e_1 \neq 0$). Regla práctica: $\mu$ y $\chi$ comparten sus raíces (Proposición 3.12); la multiplicidad en $\mu$ mide el tamaño del mayor bloque nilpotente, y la de $\chi$ la dimensión total del subespacio característico.