¿Qué es valor propio? — Matemáticas

Definición 3.1 Matemáticas universitarias — Grado 2 · Capítulo 3 — Reducción de endomorfismos

$\lambda \in K$ es un valor propio de $u$ cuando $u(x) = \lambda x$ para algún $x \neq 0$ (un vector propio); el subespacio propio es $E_\lambda(u) = \ker(u - \lambda\,\mathrm{id})$ . El conjunto de los valores propios es el espectro $\operatorname{Sp}(u)$ . Un subespacio $F$ es estable cuando $u(F) \subseteq F$ ; los subespacios propios son estables, y los subespacios estables permiten definir endomorfismos inducidos $u|_F$ .

La matriz A = psmallmatrix2 & 1\\ 1 & 2 psmallmatrix actuando sobre el plano: el vector genérico e_1 sale despedido de su recta, pero las direcciones propias v_1 = (1,1) y v_2 = (1,-1) se limitan a dilatarse, por 3 y por 1 (así que Av_2 = v_2: la imagen discontinua coincide con v_2). Diagonalizar es cambiar a la base (v_1, v_2), donde A pasa a ser diag(3, 1). — La matriz $A = \left(\begin{smallmatrix}2 & 1\\ 1 & 2\end{smallmatrix}\right)$ actuando sobre el plano: el vector genérico $e_1$ sale despedido de su recta, pero las direcciones propias $v_1 = (1,1)$ y $v_2 = (1,-1)$ se limitan a dilatarse, por $3$ y por $1$ (así que $Av_2 = v_2$ : la imagen discontinua coincide con $v_2$ ). Diagonalizar es cambiar a la base $(v_1, v_2)$ , donde $A$ pasa a ser $\operatorname{diag}(3, 1)$ .

Ejemplos

Ejemplo 3.4 (Mismo $\chi$ , geometría distinta)

Las matrices

\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} \qquad\text{y}\qquad \begin{pmatrix}2 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}

comparten el polinomio característico $(X - 2)^2$ , la traza, el determinante y el espectro, y sin embargo no son semejantes: la primera tiene $E_2$ de dimensión $2$ (multiplicidad geométrica $2$ ) y la segunda de dimensión $1$ . El polinomio característico solo ve las multiplicidades algebraicas; las dimensiones de los subespacios propios son el invariante más fino, y el polinomio mínimo es quien arbitra ( $X - 2$ frente a $(X - 2)^2$ ). Moraleja para toda discusión sobre diagonalizabilidad: $\chi$ preselecciona a los candidatos, pero quienes votan son los núcleos.

Ejemplo 3.8 (La diagonalización puesta a trabajar)

$A = I + J = \left(\begin{smallmatrix}2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2\end{smallmatrix}\right)$ , con $J$ la matriz de unos: de $\operatorname{Sp}(J) = \{3, 0\}$ (Ejemplo 2.19) se sigue $\operatorname{Sp}(A) = \{4, 1\}$ , con subespacios propios $\R(1,1,1)$ y el plano $\{x + y + z = 0\}$ : dimensiones $1 + 2 = 3$ , luego diagonalizable (Teorema 3.6 (2)). Potencias sin ninguna matriz de cambio de base: con $\Pi = J/3$ el proyector sobre $\R(1,1,1)$ ,

A = 4\,\Pi + 1\cdot(I - \Pi) \quad\Longrightarrow\quad A^k = 4^k\,\Pi + (I - \Pi) = \frac{4^k - 1}{3}\,J + I .

(Comprobación con $k = 1$ : $\frac{4-1}3 J + I = A$ .) La moraleja: cuando los subespacios propios son visibles, los proyectores espectrales calculan potencias más deprisa de lo que jamás lo hará $PDP^{-1}$ , y además la fórmula muestra la dinámica: $A^k$ crece como $4^k$ a lo largo de $(1,1,1)$ y se queda quieto en el plano ortogonal.

Ejemplo 3.10 (Trigonalizando a mano)

$B = \begin{pmatrix}3 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ : $\chi_B = X^2 - 4X + 4 = (X - 2)^2$ , y $\ker(B - 2I) = \ker\left(\begin{smallmatrix}1 & -1\\ 1 & -1\end{smallmatrix}\right)$ es la recta generada por $e_1' = (1, 1)$ : un solo valor propio y un subespacio propio de dimensión uno; no es diagonalizable, pero sí trigonalizable (Teorema 3.9). Completemos la base con $e_2' = (1, 0)$ y calculemos:

u(e_1') = (2, 2) = 2e_1', \qquad u(e_2') = (3, 1) = 1\cdot e_1' + 2\, e_2' ,

de modo que en la base $(e_1', e_2')$ la matriz es $T = \left(\begin{smallmatrix}2 & 1\\ 0 & 2\end{smallmatrix}\right)$ . La moraleja: la diagonal de $T$ estaba forzada (ambas entradas han de ser el valor propio doble $2$ ); solo la entrada de la esquina dependía de la elección de $e_2'$ , y reescalar $e_2'$ permite darle cualquier valor no nulo. Ese “ $1$ ” que se resiste es la sombra de la parte nilpotente que Dunford aislará.

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