Matemáticas universitarias — Grado 2 · Bachelor Year 2

20Integrales curvilíneas e integrales múltiples

Este capítulo extiende la integración de los intervalos a las curvas y a los dominios del plano y del espacio. Las integrales curvilíneas integran una forma diferencial $P\,\dd x + Q\,\dd y$ a lo largo de un arco orientado; las integrales dobles y triples integran funciones sobre dominios de dimensión dos y tres. Las dos teorías se encuentran en el teorema de Green–Riemann, el teorema fundamental del cálculo en dimensión dos, y la principal herramienta de cálculo en todo el capítulo es la fórmula del cambio de variables, cuyo factor de distorsión es el valor absoluto del determinante jacobiano.

20.1 Integrales curvilíneas

Definición 20.1 (Forma diferencial; integral curvilínea)

Sea $U \subseteq \R^2$ un abierto. Una forma diferencial de grado $1$ y clase $\mathcal{C}^0$ sobre $U$ es una expresión $\omega = P\,\dd x + Q\,\dd y$ con $P, Q \colon U \to \R$ continuas; formalmente, una aplicación continua de $U$ en el dual de $\R^2$ , $\omega(M) = P(M)\,e_1^* + Q(M)\,e_2^*$ . Para un arco $\mathcal{C}^1$ $\gamma \colon [a, b] \to U$ , $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ , la integral curvilínea de $\omega$ a lo largo de $\gamma$ es

\int_\gamma \omega = \int_a^b \Bigl(P(\gamma(t))\,x'(t) + Q(\gamma(t))\,y'(t)\Bigr)\,\dd t .

Las definiciones se extienden palabra por palabra a $\R^3$ (formas $P\,\dd x + Q\,\dd y + R\,\dd z$ ) y a los arcos $\mathcal{C}^1$ a trozos (sumando sobre los trozos).

Proposición 20.2 (Invariancia y orientación)

La integral curvilínea no cambia bajo un cambio de parámetro $\mathcal{C}^1$ creciente, y cambia de signo bajo uno decreciente. Por tanto, solo depende del arco geométrico orientado.

Demostración. Si $\theta \colon [c, d] \to [a, b]$ es un cambio de parámetro y $\tilde\gamma = \gamma \circ \theta$ , entonces, por la regla de la cadena y el cambio de variables de una variable $t = \theta(u)$ ,

\int_{\tilde\gamma}\omega = \int_c^d \bigl(P(\gamma(\theta(u)))\,x'(\theta(u)) + Q(\gamma(\theta(u)))\,y'(\theta(u))\bigr)\,\theta'(u)\,\dd u = \pm\int_a^b \bigl(Px' + Qy'\bigr)(t)\,\dd t ,

con signo $+$ si $\theta$ es creciente ( $\theta(c) = a$ ) y $-$ si es decreciente (los límites se intercambian). ∎

Ejemplo 20.3 (Trabajo de una fuerza; circulación)

Si $F = (P, Q)$ es un campo de fuerzas, $\int_\gamma P\dd x + Q\dd y = \int_a^b \langle F(\gamma(t)), \gamma'(t)\rangle\,\dd t$ es el trabajo de $F$ a lo largo de $\gamma$ . Para $\omega = -y\,\dd x + x\,\dd y$ a lo largo de la circunferencia unidad recorrida en sentido antihorario $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ :

\int_\gamma \omega = \int_0^{2\pi}\bigl((-\sin t)(-\sin t) + \cos t\cos t\bigr)\,\dd t = 2\pi ,

el doble del área encerrada: un primer indicio de Green–Riemann.

Ejemplo 20.4 (Una integral, dos parametrizaciones, una trampa de signo)

Calculemos $\int_\gamma x\,\dd y$ a lo largo de la semicircunferencia unidad superior de $(1, 0)$ a $(-1, 0)$ . Con $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ , $t \in \intcc0\pi$ :

\int_0^\pi\cos t\cdot\cos t\,\dd t = \frac\pi2 .

Con la parametrización por el grafo $x \mapsto (x, \sqrt{1 - x^2})$ , con $x$ de $1$ a $-1$ (¡atención al sentido!):

\int_1^{-1}x\cdot\frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}\,\dd x = \int_{-1}^{1}\frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}\,\dd x = \frac\pi2

( $x = \sin u$ la reduce a una integral de Wallis). El mismo valor, como garantiza la Proposición 20.2; pero solo porque ambos recorridos van de $(1,0)$ a $(-1,0)$ : invertir el sentido cambia el signo. Cerrar el camino a lo largo del eje $x$ (donde $\dd y = 0$ ) no añade nada, y el total $\frac\pi2$ es el área del semidisco: el primer caso de las fórmulas de área por la frontera de Green–Riemann de más abajo.

Definición 20.5 (Formas exactas y cerradas)

La forma $\omega = P\,\dd x + Q\,\dd y$ de clase $\mathcal{C}^0$ es exacta sobre $U$ si existe $f \in \mathcal{C}^1(U)$ (un potencial) con $\omega = \dd f$ , es decir, $P = f_x$ y $Q = f_y$ . Una forma $\mathcal{C}^1$ es cerrada si $P_y = Q_x$ sobre $U$ .

Teorema 20.6 (Teorema fundamental para las integrales curvilíneas)

Si $\omega = \dd f$ es exacta y $\gamma$ es un arco $\mathcal{C}^1$ a trozos en $U$ que va de $A$ a $B$ , entonces

\int_\gamma \omega = f(B) - f(A) .

En particular, la integral de una forma exacta a lo largo de cualquier arco cerrado es nula, y toda forma $\mathcal{C}^1$ exacta es cerrada.

Demostración. $\frac{\dd}{\dd t}f(\gamma(t)) = f_x(\gamma(t))x'(t) + f_y(\gamma(t))y'(t)$ por la regla de la cadena (Capítulo 15), de modo que el integrando de la Definición 20.1 es la derivada de $t \mapsto f(\gamma(t))$ , y el teorema fundamental del cálculo da el resultado en cada trozo; los valores intermedios telescopian. Que las formas $\mathcal{C}^1$ exactas sean cerradas es el teorema de Schwarz: $P_y = f_{xy} = f_{yx} = Q_x$ . ∎

Ejemplo 20.7 (Reconstruir un potencial)

Sea $\omega = y\,\eu^{xy}\,\dd x + (x\,\eu^{xy} + 2y)\,\dd y$ sobre $\R^2$ . Es cerrada: ambas derivadas cruzadas valen $\eu^{xy}(1 + xy)$ . Para hallar un potencial, intégrese $P$ en $x$ con $y$ fijo:

f(x, y) = \int y\,\eu^{xy}\,\dd x = \eu^{xy} + c(y),

y ajústese después $c$ igualando $f_y$ : $x\,\eu^{xy} + c'(y) = x\,\eu^{xy} + 2y$ da $c(y) = y^2$ . Así pues, $f(x,y) = \eu^{xy} + y^2$ , y para todo arco $\mathcal C^1$ a trozos de $(0,0)$ a $(1,1)$ ,

\int_\gamma\omega = f(1,1) - f(0,0) = (\eu + 1) - 1 = \eu ,

independientemente del camino; la receta en dos pasos (integrar en $x$ , corregir en $y$ ) es el recíproco práctico del Teorema 20.6 sobre los dominios donde las formas cerradas son exactas.

Ejemplo 20.8 (Cerrada no implica exacta)

Sobre $U = \R^2 \setminus \{0\}$ , la forma ángulo

\omega = \frac{-y\,\dd x + x\,\dd y}{x^2 + y^2}

es cerrada (cálculo directo: tanto $P_y$ como $Q_x$ valen $\frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}$ ), pero su integral a lo largo de la circunferencia unidad vale $2\pi \neq 0$ (el mismo cálculo del Ejemplo 20.3, dividido por $1$ ): $\omega$ no es exacta sobre $U$ . Localmente, $\omega = \dd\theta$ para una determinación $\theta$ del ángulo polar; el fallo es global: el ángulo no puede definirse de manera continua alrededor del pinchazo. Sobre dominios sin agujeros la patología desaparece: en un abierto estrellado, toda forma $\mathcal{C}^1$ cerrada es exacta (lema de Poincaré, Ejercicio 20.8).

20.2 Integrales dobles

Damos por sabida la teoría de la integral de Riemann en una variable (volumen del primer año, y Capítulo 9) y esbozamos su versión de dos variables. Una función $f$ continua sobre un rectángulo $R = [a, b] \times [c, d]$ tiene una integral doble $\iint_R f$ , definida por sumas de Riemann sobre retículas exactamente igual que en una variable, y calculada por iteración:

Teorema 20.9 (Fubini sobre un rectángulo)

Para $f$ continua sobre $R = [a,b] \times [c,d]$ ,

\iint_R f = \int_a^b \Bigl(\int_c^d f(x, y)\,\dd y\Bigr)\dd x = \int_c^d \Bigl(\int_a^b f(x, y)\,\dd x\Bigr)\dd y .

Demostración. Póngase $F(x) = \int_c^d f(x, y)\,\dd y$ . La continuidad uniforme de $f$ sobre el compacto $R$ hace continua a $F$ (estimación dominada: $\abs{F(x) - F(x')} \leq (d - c)\sup_y\abs{f(x,y) - f(x',y)}$ ). Subdivídanse ahora $[a,b]$ y $[c,d]$ en $n$ partes iguales, lo que da una retícula de celdas $R_{ij}$ de área $\Delta x\,\Delta y$ . En cada celda, $\inf_{R_{ij}} f \cdot \Delta x \Delta y \leq \int_{x_{i-1}}^{x_i}\int_{y_{j-1}}^{y_j} f(x,y)\,\dd y\,\dd x \leq \sup_{R_{ij}} f \cdot \Delta x \Delta y$ por la monotonía de la integral de una variable (aplicada dos veces). Sumando sobre las celdas, la integral iterada $\int_a^b F$ queda encajada entre las sumas de Riemann inferior y superior de la retícula; y por la continuidad uniforme, ambas sumas convergen al valor común que define $\iint_R f$ cuando $n \to \infty$ . El mismo argumento se aplica con los papeles de $x$ e $y$ intercambiados, así que ambas integrales iteradas valen $\iint_R f$ . ∎

Observación 20.10

La continuidad sobre un rectángulo compacto hace un trabajo real en la demostración de Fubini: proporciona la continuidad uniforme que encaja las sumas de Riemann. Para integrandos más salvajes, el enunciado falla de verdad: hay funciones cuyas dos integrales iteradas existen y difieren. El teorema general honesto, con la integrabilidad como única hipótesis, es el teorema de Fubini para la integral de Lebesgue, demostrado en el volumen del tercer año; todo lo de este capítulo se queda en el marco continuo, donde la demostración elemental anterior es completa.

Definición 20.11 (Dominios elementales)

Un dominio $D \subseteq \R^2$ es $y$ -elemental si

D = \{(x, y) : a \leq x \leq b,\ \varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x)\}

con $\varphi_1 \leq \varphi_2$ continuas sobre $[a,b]$ ( $x$ -elemental: simétricamente). Para $f$ continua sobre un $D$ $y$ -elemental,

\iint_D f = \int_a^b\Bigl( \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)\,\dd y\Bigr)\dd x ,

y se comprueba (extendiendo $f$ por un argumento de aproximación, o subdividiendo) que cuando $D$ es elemental en ambas direcciones las dos integrales iteradas coinciden. Los dominios que se cortan en un número finito de trozos elementales se tratan por aditividad, y el área de $D$ es $\operatorname{Area}(D) = \iint_D 1$ .

Ejemplo 20.12

Sobre el triángulo $D = \{0 \leq x \leq 1,\ 0 \leq y \leq x\}$ :

\iint_D xy \,\dd x\,\dd y = \int_0^1 x\Bigl(\int_0^x y\,\dd y\Bigr)\dd x = \int_0^1 x\cdot\frac{x^2}{2}\,\dd x = \frac18 .

Intercambiando el orden ( $x$ de $y$ a $1$ ): $\int_0^1 y\bigl(\int_y^1 x\,\dd x\bigr)\dd y = \int_0^1 y\,\frac{1 - y^2}{2}\,\dd y = \frac18$ ; el mismo valor, otro cálculo: elegir bien el orden de integración es la mitad del oficio.

Ejemplo 20.13 (Cuando solo funciona un orden)

Calculemos $I = \displaystyle\int_0^1\!\!\int_x^1 \eu^{y^2}\,\dd y\,\dd x$ . Tal como está escrita, la integral interior $\int\eu^{y^2}\dd y$ no tiene primitiva elemental: el cálculo se atasca. Pero el dominio es el triángulo $0 \leq x \leq y \leq 1$ , que es elemental en ambas direcciones; intercambiando el orden,

I = \int_0^1\!\!\int_0^y \eu^{y^2}\,\dd x\,\dd y = \int_0^1 y\,\eu^{y^2}\,\dd y = \Bigl[\tfrac12\eu^{y^2}\Bigr]_0^1 = \frac{\eu - 1}{2} .

La variable interior $x$ no aparecía en ninguna parte del integrando, así que integrarla primero produjo exactamente el factor $y$ que hace inmediata la integral exterior. Moraleja: Fubini no es solo una licencia para iterar, sino una licencia para elegir, y el orden correcto puede convertir una integral imposible en una línea. Dibújese siempre el dominio y léanse sus dos descripciones antes de empezar.

Teorema 20.14 (Cambio de variables)

Sea $\Phi \colon U' \to U$ un difeomorfismo $\mathcal{C}^1$ entre abiertos de $\R^2$ , sea $K \subseteq U$ un dominio compacto descompuesto en trozos elementales con $K' = \Phi^{-1}(K)$ , y sea $f$ continua sobre $K$ . Entonces

\iint_K f(x, y)\,\dd x\,\dd y = \iint_{K'} f\bigl(\Phi(u, v)\bigr)\, \abs{\det J_\Phi(u, v)}\,\dd u\,\dd v .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 20.15

La demostración completa —aproximar $\Phi$ por su diferencial sobre una retícula fina y controlar las celdas de la frontera— es larga aunque no profunda; se hace por entero en la teoría de la medida del tercer año, como consecuencia de la teoría de Lebesgue. La heurística es la imagen ya usada para el área de una superficie: un cuadradito de lado $\dd u$ en $(u, v)$ se aplica, a primer orden, sobre el paralelogramo generado por $\Phi_u\,\dd u$ y $\Phi_v\,\dd v$ , cuya área es $\abs{\det J_\Phi}\,\dd u\,\dd v$ (Lema 19.18).

Observación 20.16 (Método: elegir el cambio de variables)

Tres reflejos cubren la mayoría de los casos. Simetría del integrando: $x^2 + y^2$ pide coordenadas polares, y una estructura de producto pide conservar los ejes cartesianos. Forma de la frontera: unas fronteras $u(x,y) = c_1$ , $v(x,y) = c_2$ están suplicando las propias coordenadas $(u, v)$ , como en el ejemplo de la región hiperbólica de más abajo: el dominio se convierte en un rectángulo, que es toda la victoria. Estructura lineal: las expresiones en $x + y$ y $x - y$ invitan a la rotación de $45$ grados o a una cizalla (Ejemplo 20.18). En todos los casos, tres casillas que marcar antes de integrar: que la aplicación sea una biyección del dominio nuevo sobre el viejo; que su jacobiano se calcule en el sentido que realmente se usa (invirtiendo al final si resulta más fácil); y que el jacobiano entre con su valor absoluto.

Ejemplo 20.17 (Coordenadas polares)

$\Phi(\rho, \alpha) = (\rho\cos\alpha,\ \rho\sin\alpha)$ tiene

J_\Phi = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\rho\sin\alpha\\ \sin\alpha & \rho\cos\alpha \end{pmatrix}, \qquad \det J_\Phi = \rho ,

de modo que $\dd x\,\dd y = \rho\,\dd\rho\,\dd\alpha$ . Para el disco $D_R$ de radio $R$ :

\iint_{D_R} e^{-(x^2 + y^2)}\,\dd x\,\dd y = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^R e^{-\rho^2}\rho\,\dd\rho\,\dd\alpha = \pi\bigl(1 - e^{-R^2}\bigr) \xrightarrow[R\to\infty]{} \pi .

Comparando con el cuadrado $[-R, R]^2$ (encajado entre los discos $D_R$ y $D_{R\sqrt2}$ , con todos los integrandos positivos) resulta $\bigl(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\dd x\bigr)^2 = \pi$ :

\boxed{\ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,\dd x = \sqrt{\pi}\ }

la integral de Gauss otra vez, ahora con su demostración más famosa (compárese con la deducción de una variable del Capítulo 9).

Ejemplo 20.18 (Cambios de variables afines)

Para una aplicación afín $\Phi(u, v) = M(u, v)^{\mathsf T} + C$ con $M$ invertible, el jacobiano es la matriz constante $M$ : las áreas quedan multiplicadas por el factor constante $\abs{\det M}$ ; la promesa hecha en el Capítulo 17 es ya un teorema. Dos usos inmediatos. La elipse $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1$ es la imagen del disco unidad por $(u, v) \mapsto (au, bv)$ , de modo que su área es $ab \cdot \pi$ , sin cálculo alguno. Y para la integral de $f(x + y)$ sobre el cuadrado $K = \intcc01^2$ , la cizalla $\Phi(u, v) = (u - v, v)$ (de determinante $1$ ) la convierte en una integral de $f(u)$ sobre un paralelogramo, que Fubini rebana a $u$ constante: con $f = \exp$ ,

\iint_K \eu^{x+y}\,\dd x\,\dd y = \Bigl(\int_0^1 \eu^x\,\dd x\Bigr)^2 = (\eu - 1)^2,

como confirma la estructura de producto. Elegir coordenadas adaptadas al integrando —y no al dominio— es la otra mitad del oficio.

Ejemplo 20.19 (Coordenadas adaptadas a un dominio curvilíneo)

Sea $D$ la región del primer cuadrante limitada por las hipérbolas $xy = 1$ y $xy = 3$ y las rectas $y = x$ e $y = 3x$ . En las coordenadas $u = xy$ , $v = y/x$ el dominio se convierte en el cuadrado $\intcc13 \times \intcc13$ ; invirtiendo,

x = \sqrt{u/v}, \qquad y = \sqrt{uv}, \qquad \det J = x_uy_v - x_vy_u = \frac{1}{2v}

(un cálculo de dos líneas con $x = u^{1/2}v^{-1/2}$ , $y = u^{1/2}v^{1/2}$ ). De ahí,

\operatorname{Area}(D) = \int_1^3\!\!\int_1^3\frac{\dd u\,\dd v}{2v} = 2\cdot\frac{\ln 3}{2} = \ln 3 \approx 1.10 .

Intentar rebanar $D$ en coordenadas cartesianas obliga a cortarlo en tres trozos con fronteras hiperbólicas y lineales: factible, desagradable y propenso a errores. La moraleja repite el Ejemplo 20.18 con toda su fuerza: léanse las ecuaciones de la frontera y déjese que sean ellas las que elijan las coordenadas; el jacobiano convierte entonces el área de la celda de la malla curvilínea, exactamente como hacía $\rho$ para las coordenadas polares.

Ejemplo 20.20 (Valores medios)

El valor medio de $f$ sobre un dominio $D$ es $\frac1{\operatorname{Area}(D)}\iint_Df$ . Muestra: la distancia media al centro para un punto elegido uniformemente en el disco de radio $R$ es

\frac{1}{\pi R^2}\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^R \rho\cdot\rho\,\dd\rho\,\dd\alpha = \frac{2\pi R^3/3}{\pi R^2} = \frac{2R}3 ,

y no $R/2$ : el área uniforme pone más masa en los radios grandes (la corona de radio $\rho$ tiene peso proporcional a $\rho$ ), así que la media queda más allá de la mitad. Acertar con este factor es exactamente el jacobiano polar en acción, y la misma ponderación explica que el centroide de la semibola calculado más adelante en el capítulo sea $\bar z = 3R/8$ y no $R/2$ .

20.3 El teorema de Green–Riemann

Teorema 20.21 (Green–Riemann)

Sea $K \subseteq \R^2$ un dominio compacto elemental en ambas direcciones (o una unión finita de tales, pegados a lo largo de segmentos), con frontera $\partial K$ una curva cerrada $\mathcal{C}^1$ a trozos orientada en sentido antihorario (el dominio queda a la izquierda). Para $P, Q$ de clase $\mathcal{C}^1$ en un entorno de $K$ :

\oint_{\partial K} P\,\dd x + Q\,\dd y = \iint_K \Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,\dd x\,\dd y .

Demostración. Primero, ambos miembros son aditivos al cortar $K$ a lo largo de un segmento en dos trozos $K_1, K_2$ : las integrales dobles se suman por la aditividad de $\iint$ ; y en cuanto a las integrales de frontera, las fronteras antihorarias de $K_1$ y de $K_2$ recorren cada una el corte interior una vez, en sentidos opuestos, de modo que en la suma

\oint_{\partial K_1} + \oint_{\partial K_2} = \oint_{\partial K} + (\text{el corte, en ambos sentidos}) = \oint_{\partial K},

los dos pasos por el corte se cancelan (Proposición 20.2) y solo sobrevive la frontera exterior. Iterando un número finito de cortes, basta tratar un dominio elemental. Demostramos $\oint P\,\dd x = -\iint_K P_y$ sobre un dominio $y$ -elemental $D = \{a \leq x \leq b,\ \varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x)\}$ ; la identidad $\oint Q\,\dd y = \iint_K Q_x$ es simétrica ( $x$ -elemental), y el teorema es su suma.

Calculemos la integral doble por Fubini y el teorema fundamental de una variable:

\iint_D \frac{\partial P}{\partial y}\,\dd x\,\dd y = \int_a^b \bigl(P(x, \varphi_2(x)) - P(x, \varphi_1(x))\bigr) \,\dd x .

Ahora bien, la frontera de $D$ , en sentido antihorario, consta del grafo inferior $y = \varphi_1(x)$ recorrido de izquierda a derecha, del segmento vertical derecho $x = b$ (hacia arriba), del grafo superior $y = \varphi_2(x)$ recorrido de derecha a izquierda y del segmento vertical izquierdo $x = a$ (hacia abajo). A lo largo de los segmentos verticales, $x$ es constante, así que aportan $0$ a $\oint P\,\dd x$ ; y los grafos, parametrizados por $x$ , dan

\oint_{\partial D} P\,\dd x = \int_a^b P(x, \varphi_1(x))\,\dd x - \int_a^b P(x, \varphi_2(x))\,\dd x = -\iint_D \frac{\partial P}{\partial y}\,\dd x\,\dd y . \qedhere

∎

Corolario 20.22 (Área por la frontera)

Bajo las hipótesis del Teorema 20.21,

\operatorname{Area}(K) = \oint_{\partial K} x\,\dd y = -\oint_{\partial K} y\,\dd x = \frac12\oint_{\partial K} x\,\dd y - y\,\dd x .

Demostración. Aplíquese Green–Riemann a $(P, Q) = (0, x)$ , $(-y, 0)$ y $\frac12(-y, x)$ : cada vez, $Q_x - P_y = 1$ . ∎

Observación 20.23 (Elegir entre las tres fórmulas del área)

Las tres fórmulas de frontera son iguales, pero no intercambiables en la práctica. Úsese $\oint x\,\dd y$ cuando la parametrización haga sencillo $\dd y$ (grafos sobre el eje $y$ ), $-\oint y\,\dd x$ simétricamente, y la semisuma simétrica cuando la parametrización trate a $x$ y a $y$ por igual: para la elipse produjo un integrando constante, sin ninguna linealización trigonométrica. Sobre fronteras poligonales, la semisuma se convierte en la fórmula del cordón del Ejercicio 20.12, el algoritmo de los agrimensores. Y cuando la parametrización dada recorre la frontera en sentido horario, las tres fórmulas devuelven menos el área: un resultado negativo no es un error de cálculo, sino un informe de orientación; cámbiese el signo, o la parametrización.

Ejemplo 20.24 (Área de la elipse)

Para $x = a\cos t$ , $y = b\sin t$ , $t \in [0, 2\pi]$ :

\operatorname{Area} = \frac12\int_0^{2\pi}\bigl(a\cos t \cdot b\cos t - b\sin t\cdot(-a\sin t)\bigr)\,\dd t = \frac{ab}{2}\int_0^{2\pi}\dd t = \pi ab .

Ejemplo 20.25 (Green–Riemann como contraste)

Tomemos $P = -y^3$ , $Q = x^3$ sobre el disco unidad cerrado $D$ . Lado de la frontera, con $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ :

\oint_{\partial D}P\,\dd x + Q\,\dd y = \int_0^{2\pi}\bigl(\sin^4 t + \cos^4 t\bigr)\dd t = 2\pi\cdot\Bigl(\frac38 + \frac38\Bigr) = \frac{3\pi}2 ,

por linealización ( $\sin^4 + \cos^4 = \tfrac34 + \tfrac14\cos4t$ ). Lado del interior:

\iint_D(Q_x - P_y)\,\dd x\,\dd y = \iint_D 3(x^2 + y^2)\,\dd x\,\dd y = 3\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1\rho^3\,\dd\rho\,\dd\alpha = \frac{3\pi}2 .

El mismo número, con dos cálculos muy distintos; y ese es el uso práctico: el lado de la identidad de Green que resulte más fácil se convierte en el cálculo, y el otro en la verificación. Para circulaciones de campos polinómicos alrededor de curvas cerradas, la integral doble es casi siempre el lado fácil.

Observación 20.26

Green–Riemann explica el Ejemplo 20.8: para una forma cerrada ( $Q_x = P_y$ ), la integral alrededor de la frontera de cualquier dominio contenido en $U$ se anula. La forma ángulo deja de ser exacta solo porque el pinchazo del origen impide que el disco limitado por la circunferencia unidad esté dentro de $U$ : las integrales curvilíneas de formas cerradas detectan los agujeros del dominio. (Llevada más lejos, esta observación se convierte en la cohomología de De Rham.)

20.4 Integrales triples

La teoría se extiende a tres variables sin ninguna idea nueva: Fubini reduce $\iiint$ a tres integrales de una variable (bien rebanando: $\iiint_K f = \int\bigl(\iint_{K_z} f\bigr)\dd z$ sobre las rebanadas horizontales $K_z$ , bien apilando: integrando primero en $z$ a lo largo de barritas verticales), y la fórmula del cambio de variables vale con el jacobiano $3 \times 3$ .

Ejemplo 20.27 (Coordenadas cilíndricas y esféricas)

Cilíndricas $(x, y, z) = (\rho\cos\alpha, \rho\sin\alpha, z)$ : $\dd x\,\dd y\,\dd z = \rho\,\dd\rho\,\dd\alpha\,\dd z$ . Esféricas $(x, y, z) = (r\cos\theta\cos\varphi,\ r\sin\theta\cos\varphi,\ r\sin\varphi)$ ( $\theta$ la longitud, $\varphi \in [-\frac\pi2, \frac\pi2]$ la latitud): desarrollando el determinante $3 \times 3$ por la última fila,

\det J = r^2\cos\varphi , \qquad \dd x\,\dd y\,\dd z = r^2\cos\varphi\;\dd r\,\dd\theta\,\dd\varphi .

Volumen de la bola de radio $R$ :

V = \int_0^R\!\!\int_0^{2\pi}\!\!\int_{-\pi/2}^{\pi/2} r^2\cos\varphi\;\dd\varphi\,\dd\theta\,\dd r = \frac{R^3}{3}\cdot 2\pi \cdot 2 = \boxed{\frac43\pi R^3} ,

saldando por fin la fórmula admitida en los capítulos de volúmenes de los libros anteriores.

Ejemplo 20.28 (El tetraedro, dos veces)

El volumen de $T = \{x, y, z \geq 0,\ x + y + z \leq 1\}$ , apilando: para $(x, y)$ fijo en el triángulo $x + y \leq 1$ , $z$ recorre $\intcc0{1 - x - y}$ , luego

V = \int_0^1\!\!\int_0^{1-x}(1 - x - y)\,\dd y\,\dd x = \int_0^1\frac{(1 - x)^2}{2}\,\dd x = \frac16 .

Rebanando: la sección a la altura $z$ es el triángulo $\{x, y \geq 0,\ x + y \leq 1 - z\}$ , de área $\frac{(1-z)^2}2$ , y $V = \int_0^1\frac{(1-z)^2}2\,\dd z = \frac16$ de nuevo; los dos cálculos son las mismas integrales en otro orden, que es todo lo que afirma Fubini. El valor $\frac16 = \frac13\cdot\frac12\cdot1$ es la fórmula del cono (Ejemplo 20.30) con base triangular, y la versión $n$ -dimensional $1/n!$ se demuestra exactamente con este rebanado en el problema de fin de semana.

Ejemplo 20.29 (Centroide de una semibola)

Para la semibola superior $H$ de radio $R$ ( $z \geq 0$ ), la altura del centroide es $\bar z = \frac1{V}\iiint_H z$ , con $V = \frac23\pi R^3$ . En coordenadas esféricas ( $z = r\sin\varphi$ , $\varphi \in \intcc0{\pi/2}$ ):

\iiint_H z = \int_0^R r^3\,\dd r\int_0^{2\pi}\dd\theta \int_0^{\pi/2}\sin\varphi\cos\varphi\,\dd\varphi = \frac{R^4}4\cdot2\pi\cdot\frac12 = \frac{\pi R^4}4 ,

de modo que

\bar z = \frac{\pi R^4/4}{2\pi R^3/3} = \frac{3R}8 :

el punto de equilibrio de un hemisferio macizo está a tres octavos del radio por encima de la cara plana, por debajo de la altura media $R/2$ , como debe ser, ya que el sólido es más grueso cerca de la base. Todo cálculo de centroide tiene esta forma: una integral de momento, un volumen, un cociente y una comprobación de verosimilitud contra la geometría.

Ejemplo 20.30 (Volumen por rebanado: el cono)

Un cono de área de base $A$ y altura $h$ (vértice arriba, base en $z = 0$ ): la rebanada a la altura $z$ es la base escalada por el factor $(1 - z/h)$ , de área $A(1 - z/h)^2$ . De ahí,

V = \int_0^h A\Bigl(1 - \frac zh\Bigr)^2\dd z = \frac{Ah}{3} :

el tercio de las fórmulas escolares, válido para cualquier forma de base; el rebanado lo convierte en la integral de un cuadrado.

Ejemplo 20.31 (Umbrales de integrabilidad en el plano)

¿Para qué $\alpha > 0$ converge $\iint_{D}\rho^{-\alpha}\,\dd x\,\dd y$ sobre el disco unidad pinchado $D$ (como límite sobre coronas $\varepsilon \leq \rho \leq 1$ )? En coordenadas polares,

\int_0^{2\pi}\!\!\int_\varepsilon^1\rho^{-\alpha}\, \rho\,\dd\rho\,\dd\alpha = 2\pi\int_\varepsilon^1\rho^{1-\alpha}\,\dd\rho ,

que converge cuando $\varepsilon \to 0$ si y solo si $1 - \alpha > -1$ , es decir, $\alpha < 2$ : en dimensión $2$ , el exponente crítico de singularidad es la propia dimensión, pues el $\rho$ extra del jacobiano suaviza la singularidad en una potencia. (Igualmente, $\alpha < 3$ para una singularidad puntual en el espacio, vía $r^2$ .) Esta contabilidad radial es la manera de decidir la integrabilidad de un vistazo en el marco de Lebesgue del tercer año, y es la razón de que $\iiint 1/r$ convergiera sin esfuerzo en el Ejercicio 20.7.

Observación 20.32 (Errores frecuentes)

(i) Orientación: una integral curvilínea cambia de signo con el sentido del recorrido, y Green–Riemann exige la frontera en sentido antihorario (con el dominio a la izquierda); para un dominio con un agujero, la frontera interior se recorre en sentido horario. (ii) El jacobiano entra con valor absoluto: un cambio de variables nunca produce área negativa, y olvidar $\abs{\det}$ suele invertir los signos justo cuando la aplicación invierte la orientación. (iii) El factor polar $\rho$ : $\dd x\,\dd y = \rho\,\dd\rho\,\dd\alpha$ , no $\dd\rho\,\dd\alpha$ ; el error más frecuente de todo el capítulo, que el análisis dimensional caza, ya que $\dd\rho\,\dd\alpha$ tiene dimensión de longitud y no de área. (iv) Integrales dobles impropias: los límites sobre discos crecientes y sobre cuadrados crecientes coinciden aquí porque los integrandos son positivos (encaje); con integrandos de signo variable el límite puede depender del agotamiento, y no se afirma nada sin convergencia absoluta. (v) Dominios frente a integrandos: un integrando de tipo producto sobre un dominio que no es producto no factoriza la integral; la factorización necesita ambas cosas, como en el cuadrado del Ejemplo 20.17.

Observación 20.33 (Perspectivas dentro de este volumen)

La integral de Gauss calculada aquí está calladamente en todas partes en los capítulos de probabilidad: la constante $\sqrt\pi$ que hay dentro de la fórmula de Stirling (Teorema 6.13) es esta integral del capítulo y, a través de Stirling, fija la asintótica $1/\sqrt{\pi n}$ de las probabilidades de retorno del paseo aleatorio del Capítulo 21. Las integrales de Wallis del problema de fin de semana reaparecen también allí, impulsando las mismas estimaciones del coeficiente binomial central. En el otro sentido, los elementos de área y de volumen de este capítulo completan la geometría del Capítulo 19, y la fórmula de Green recalcula las áreas de envolventes del Capítulo 18 (la astroide, en el Ejercicio 20.5). Un capítulo, tres servicios: medida para la geometría, constantes para la probabilidad y la disciplina del cambio de variables usada por ambas.

20.5 Ejercicios

Ejercicio 20.1 ★

Calcula $\int_\gamma y^2\,\dd x + x\,\dd y$ a lo largo de: (a) el segmento de $(0,0)$ a $(1,1)$ ; (b) el arco de parábola $y = x^2$ de $(0,0)$ a $(1,1)$ . ¿Es exacta la forma?

Solución

Solución de Ejercicio 20.1.

(a) Segmento $\gamma(t) = (t, t)$ , $t \in [0,1]$ :

\int_\gamma y^2\dd x + x\dd y = \int_0^1 (t^2 + t)\,\dd t = \frac13 + \frac12 = \frac56 .

(b) Parábola $\gamma(t) = (t, t^2)$ :

\int_0^1 \bigl(t^4\cdot 1 + t\cdot 2t\bigr)\dd t = \frac15 + \frac23 = \frac{13}{15} .

Los dos valores difieren, de modo que la integral depende del camino: la forma no es exacta; coherentemente, $P_y = 2y \neq 1 = Q_x$ , así que ni siquiera es cerrada.

Ejercicio 20.2 ★

Prueba que $\omega = (2xy + y^3)\,\dd x + (x^2 + 3xy^2 + 1)\,\dd y$ es cerrada sobre $\R^2$ , halla un potencial y calcula $\int_\gamma\omega$ a lo largo de un arco cualquiera de $(0, 0)$ a $(1, 2)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 20.2.

$P = 2xy + y^3$ , $Q = x^2 + 3xy^2 + 1$ : $P_y = 2x + 3y^2 = Q_x$ , cerrada sobre $\R^2$ . Búsquese $f$ con $f_x = P$ : $f = x^2y + xy^3 + g(y)$ ; después, $f_y = x^2 + 3xy^2 + g'(y) = Q$ fuerza $g'(y) = 1$ , digamos $g(y) = y$ . Así pues,

f(x, y) = x^2y + xy^3 + y

es un potencial ( $\R^2$ es estrellado, de modo que tenía que existir un potencial por el lema de Poincaré; pero exhibirlo es más rápido). Por el Teorema 20.6, para todo arco de $(0,0)$ a $(1,2)$ :

\int_\gamma\omega = f(1, 2) - f(0, 0) = 2 + 8 + 2 = 12 .

Ejercicio 20.3 ★

Calcula $\iint_D (x + y)\,\dd x\,\dd y$ , donde $D$ es el dominio limitado por $y = x^2$ e $y = x$ ( $0 \leq x \leq 1$ ), en los dos órdenes de integración.

Solución

Solución de Ejercicio 20.3.

El dominio es $\{0 \leq x \leq 1,\ x^2 \leq y \leq x\}$ . Con $y$ primero:

\int_0^1\!\int_{x^2}^{x}(x + y)\,\dd y\,\dd x = \int_0^1\Bigl(x(x - x^2) + \frac{x^2 - x^4}{2}\Bigr)\dd x = \int_0^1\Bigl(\frac{3x^2}{2} - x^3 - \frac{x^4}{2}\Bigr)\dd x = \frac12 - \frac14 - \frac1{10} = \frac{3}{20} .

Con $x$ primero: la rebanada a la altura $y \in [0, 1]$ es $y \leq x \leq \sqrt y$ , luego

\int_0^1\!\int_{y}^{\sqrt y}(x + y)\,\dd x\,\dd y = \int_0^1\Bigl(\frac{y - y^2}{2} + y(\sqrt y - y)\Bigr)\dd y = \frac14 - \frac16 + \frac25 - \frac13 = \frac{3}{20} .

Ejercicio 20.4 ★★

Usando coordenadas polares, calcula $\iint_D \frac{\dd x\,\dd y}{(1 + x^2 + y^2)^2}$ sobre todo el plano (como límite sobre discos), y $\iint_{D'} xy\,\dd x\,\dd y$ sobre el cuarto de disco $D' = \{x, y \geq 0,\ x^2 + y^2 \leq 1\}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 20.4.

Primera integral. Sobre el disco $D_R$ , en coordenadas polares:

\iint_{D_R}\frac{\dd x\,\dd y}{(1 + x^2 + y^2)^2} = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^R \frac{\rho\,\dd\rho\,\dd\alpha}{(1 + \rho^2)^2} = 2\pi\Bigl[-\frac{1}{2(1 + \rho^2)}\Bigr]_0^R = \pi\Bigl(1 - \frac{1}{1 + R^2}\Bigr) \xrightarrow[R \to \infty]{} \pi .

Segunda integral. El cuarto de disco es $0 \leq \alpha \leq \frac\pi2$ , $0 \leq \rho \leq 1$ , y $xy = \rho^2\cos\alpha\sin\alpha$ :

\iint_{D'}xy\,\dd x\,\dd y = \int_0^{\pi/2}\!\!\cos\alpha\sin\alpha\,\dd\alpha \int_0^1 \rho^3\,\dd\rho = \frac12\cdot\frac14 = \frac18 .

Ejercicio 20.5 ★★

Calcula el área encerrada por la astroide $x = \cos^3 t$ , $y = \sin^3 t$ , $t \in [0, 2\pi]$ , usando el Corolario 20.22. (Linealiza $\sin^2 t\cos^2 t$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 20.5.

Por el Corolario 20.22, con $x = \cos^3 t$ , $y = \sin^3 t$ : $x' = -3\cos^2 t\sin t$ , $y' = 3\sin^2 t\cos t$ , luego

xy' - yx' = 3\cos^4 t\sin^2 t + 3\sin^4 t\cos^2 t = 3\sin^2 t\cos^2 t = \frac{3}{4}\sin^2 2t = \frac{3}{8}(1 - \cos 4t) .

De ahí,

A = \frac12\int_0^{2\pi}\frac38(1 - \cos 4t)\,\dd t = \frac{3}{16}\cdot 2\pi = \frac{3\pi}{8} .

(La astroide cabe en el disco unidad, de área $\pi$ ; tres octavos de $\pi$ es verosímil para su forma de estrella de cuatro cúspides.)

Ejercicio 20.6 ★★

Calcula el volumen del sólido limitado inferiormente por el paraboloide $z = x^2 + y^2$ y superiormente por el plano $z = 1$ , por los dos métodos: apilando (intégrese $1 - x^2 - y^2$ sobre el disco unidad, en coordenadas polares) y rebanando (las rebanadas horizontales son discos de radio $\sqrt z$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 20.6.

Apilando: sobre cada $(x, y)$ del disco unidad $D$ , $z$ va de $x^2 + y^2$ a $1$ :

V = \iint_D \bigl(1 - x^2 - y^2\bigr)\dd x\,\dd y = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 (1 - \rho^2)\rho\,\dd\rho\,\dd\alpha = 2\pi\Bigl(\frac12 - \frac14\Bigr) = \frac\pi2 .

Rebanando: la rebanada a la altura $z \in [0, 1]$ es el disco $x^2 + y^2 \leq z$ , de área $\pi z$ :

V = \int_0^1 \pi z\,\dd z = \frac\pi2 .

Ejercicio 20.7 ★★

(Atracción gravitatoria de una bola: el teorema de Newton, caso particular) Prueba que el volumen de la corona esférica $a \leq r \leq b$ es $\frac43\pi(b^3 - a^3)$ y calcula $\iiint_{B} \frac{\dd x\,\dd y\,\dd z}{r}$ sobre la bola $B$ de radio $R$ ( $r$ la distancia al origen). (Coordenadas esféricas.)

Solución

Solución de Ejercicio 20.7.

En coordenadas esféricas, el elemento de volumen es $r^2\cos\varphi\,\dd r\,\dd\theta\,\dd\varphi$ (Ejemplo 20.27), y la parte angular integra $4\pi$ ( $2\pi$ de $\theta$ y $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos = 2$ ). El volumen de la corona es

\int_a^b 4\pi r^2\,\dd r = \frac43\pi\bigl(b^3 - a^3\bigr).

Para la segunda integral, el integrando $1/r$ depende solo de $r$ :

\iiint_B \frac{\dd x\,\dd y\,\dd z}{r} = \int_0^R 4\pi r^2\cdot\frac1r\,\dd r = 4\pi\,\frac{R^2}{2} = 2\pi R^2 .

(El integrando estalla en el origen, pero de manera inofensiva: $r^2/r = r$ es continuo; la integral sobre las coronas $\varepsilon \leq r \leq R$ converge cuando $\varepsilon \to 0$ , que es el sentido preciso del enunciado. Este tipo de cálculo es el primer paso hacia el teorema de Newton según el cual una bola homogénea atrae como una masa puntual situada en su centro.)

Ejercicio 20.8 ★★★

(Lema de Poincaré, caso estrellado) Sea $U$ estrellado respecto de $0$ (es decir, $M \in U \Rightarrow [0, M] \subseteq U$ ) y sea $\omega = P\dd x + Q\dd y$ una forma $\mathcal{C}^1$ cerrada sobre $U$ . Defínase

f(x, y) = \int_0^1 \bigl(x\,P(tx, ty) + y\,Q(tx, ty)\bigr)\dd t .

Usando la derivación bajo el signo integral (Capítulo 9) y $P_y = Q_x$ , prueba que $f_x = P$ y $f_y = Q$ : toda forma cerrada sobre un abierto estrellado es exacta.

Solución

Solución de Ejercicio 20.8.

El integrando $g(t; x, y) = xP(tx, ty) + yQ(tx, ty)$ es $\mathcal{C}^1$ en $(x, y)$ , continuo en $t$ y con derivadas parciales continuas sobre $[0,1] \times U$ ; la derivación bajo el signo integral (Capítulo 9, aplicada sobre el intervalo compacto $[0,1]$ en $t$ , donde la dominación es automática) da

f_x(x, y) = \int_0^1 \bigl(P(tx, ty) + tx\,P_x(tx, ty) + ty\,Q_x(tx, ty)\bigr)\dd t .

Usando que la forma es cerrada, $Q_x = P_y$ :

tx\,P_x(tx, ty) + ty\,P_y(tx, ty) = t\,\frac{\dd}{\dd t}\bigl[P(tx, ty)\bigr] ,

de modo que el integrando es $P(tx, ty) + t\frac{\dd}{\dd t}P(tx, ty) = \frac{\dd}{\dd t}\bigl[t\,P(tx, ty)\bigr]$ y

f_x(x, y) = \Bigl[t\,P(tx, ty)\Bigr]_0^1 = P(x, y) .

Simétricamente, $f_y = Q$ (el mismo cálculo usando $P_y = Q_x$ en el otro sentido). Nótese dónde entra la hipótesis: $f$ se define integrando a lo largo del segmento $[0, M]$ , que está en $U$ precisamente porque $U$ es estrellado.

Ejercicio 20.9 ★★★

(La integral de Dirichlet por integración doble) Justifica y explota

\int_0^\infty\!\!\int_0^\infty e^{-xy}\sin x\;\dd y\,\dd x \quad\text{frente a}\quad \int_0^\infty\!\!\int_0^\infty e^{-xy}\sin x\;\dd x\,\dd y

sobre $[0, A] \times [0, \infty)$ : prueba que $\int_0^A \frac{\sin x}{x}\dd x = \frac\pi2 - \int_0^\infty e^{-Ay}\frac{y\sin A + \cos A}{1 + y^2}\dd y$ y recupera $\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,\dd x = \frac\pi2$ , comparando con la demostración por integrales con parámetro del Capítulo 9.

Solución

Solución de Ejercicio 20.9.

Sobre la banda $[0, A] \times [0, \infty)$ , la función $(x, y) \mapsto e^{-xy}\sin x$ no es absolutamente integrable hasta $y = \infty$ de manera uniforme en el sentido ingenuo, pero cada integral iterada converge y su igualdad se sigue de Fubini sobre $[0, A] \times [0, B]$ más un límite $B \to \infty$ (la cola $\int_0^A\int_B^\infty e^{-xy}\abs{\sin x}\,\dd y\,\dd x \leq \int_0^A \frac{e^{-Bx}\abs{\sin x}}{x}\dd x \leq \int_0^A e^{-Bx} \dd x\to 0$ , usando $\abs{\sin x} \leq x$ ).

Con $y$ primero: $\int_0^\infty e^{-xy}\,\dd y = \frac1x$ para $x > 0$ , de modo que la primera integral es $\int_0^A \frac{\sin x}{x}\,\dd x$ .

Con $x$ primero: dos integraciones por partes (o tomar la parte imaginaria de $\int_0^A e^{(i - y)x}\dd x$ ) dan

\int_0^A e^{-xy}\sin x\,\dd x = \frac{1 - e^{-Ay}(y\sin A + \cos A)}{1 + y^2} .

Integrando en $y$ sobre $[0, \infty)$ , el término $\int_0^\infty \frac{\dd y}{1 + y^2} = \frac\pi2$ se separa:

\int_0^A \frac{\sin x}{x}\,\dd x = \frac{\pi}{2} - \int_0^\infty e^{-Ay}\,\frac{y\sin A + \cos A}{1 + y^2}\,\dd y .

El resto está acotado por $\int_0^\infty e^{-Ay}\frac{y + 1}{1 + y^2}\dd y \leq \int_0^\infty e^{-Ay}\cdot\frac{1+y}{1+y^2} \,\dd y \to 0$ cuando $A \to \infty$ (por convergencia dominada, o con la cota burda $\frac{1 + y}{1 + y^2} \leq \frac32$ , que da $\frac{3}{2A}$ ). Por tanto, $\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}\dd x = \frac\pi2$ : el mismo valor obtenido en el Capítulo 9 derivando una integral con parámetro; aquí es Fubini quien hace el trabajo.

Ejercicio 20.10 ★★★

(Desigualdad isoperimétrica vía Wirtinger) Sea $\gamma$ una curva cerrada simple $\mathcal{C}^1$ de longitud $2\pi$ , parametrizada por longitud de arco sobre $[0, 2\pi]$ , que encierra un área $A$ . Usando el Corolario 20.22, Parseval y la desigualdad de Wirtinger (ejercicios del Capítulo 14), demuestra que $A \leq \pi$ , con igualdad para la circunferencia. (Normaliza $\int_0^{2\pi} x(s)\dd s = 0$ ; escribe $2A = \oint x\,\dd y - y\,\dd x$ y acota $2A \leq \int (x^2 + y'^2)$ con cuidado, vía $2A = \int_0^{2\pi}(xy' - yx')\dd s$ y $x^2 + y'^2 \geq 2xy'$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 20.10.

Parametrícese por longitud de arco $s \in [0, 2\pi]$ , de modo que $x'^2 + y'^2 = 1$ , y trasládese para que $\int_0^{2\pi} x(s)\,\dd s = 0$ . Por el Corolario 20.22,

2A = \oint x\,\dd y - y\,\dd x = \int_0^{2\pi}\bigl(xy' - yx'\bigr)\dd s .

Integrando $\oint y\,\dd x$ por partes sobre el periodo (los términos de frontera se cancelan por periodicidad), $-\int yx' = \int y'x$ , de manera que, de hecho, $2A = 2\int_0^{2\pi}xy'\,\dd s$ . Entonces $2xy' \leq x^2 + y'^2$ da

2A \leq \int_0^{2\pi}\bigl(x^2 + y'^2\bigr)\dd s = \int_0^{2\pi} x^2 + \int_0^{2\pi}\bigl(1 - x'^2\bigr) = 2\pi - \int_0^{2\pi}\bigl(x'^2 - x^2\bigr)\dd s .

La desigualdad de Wirtinger (ejercicios del Capítulo 14: para una función $\mathcal{C}^1$ $2\pi$ -periódica de media nula, $\int x^2 \leq \int x'^2$ ) hace no negativa la última integral: $A \leq \pi$ . La igualdad exige la igualdad en Wirtinger ( $x(s) = a\cos s + b\sin s$ ) y en $2xy' \leq x^2 + y'^2$ ( $y' = x$ puntualmente), lo que fuerza $y = a\sin s - b\cos s + c$ : la curva es la circunferencia unidad (convenientemente centrada). Como una curva de longitud $L$ se reescala a longitud $2\pi$ , el enunciado general es $A \leq \frac{L^2}{4\pi}$ : entre todas las curvas cerradas de perímetro dado, la circunferencia encierra el mayor área.

Ejercicio 20.11 ★★

(Momentos de la bola) Para la bola $B$ de radio $R$ en $\R^3$ , calcula $\iiint_B z^2\,\dd x\,\dd y\,\dd z$ en coordenadas esféricas y deduce $\iiint_B (x^2 + y^2 + z^2)\,\dd x\,\dd y\,\dd z$ por simetría. Contrasta esto último con el cálculo por coronas $\int_0^R r^2\cdot4\pi r^2\,\dd r$ .

Solución

Solución de Ejercicio 20.11.

En coordenadas esféricas, $z = r\sin\varphi$ y $\dd x\,\dd y\,\dd z = r^2\cos\varphi\,\dd r\,\dd\theta\,\dd\varphi$ :

\iiint_B z^2 = \int_0^R r^4\,\dd r\int_0^{2\pi}\dd\theta \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin^2\varphi\cos\varphi\,\dd\varphi = \frac{R^5}5\cdot2\pi\cdot \Bigl[\frac{\sin^3\varphi}3\Bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{4\pi R^5}{15}.

Por la simetría de la bola al permutar coordenadas, $\iiint_B x^2 = \iiint_B y^2 = \iiint_B z^2$ , de modo que $\iiint_B(x^2 + y^2 + z^2) = 3\cdot\frac{4\pi R^5}{15} = \frac{4\pi R^5}5$ . Comprobación por coronas: $\int_0^R r^2\cdot 4\pi r^2\,\dd r = \frac{4\pi R^5}5$ ; el integrando $r^2$ es constante sobre la esfera de radio $r$ , de área $4\pi r^2$ .

Ejercicio 20.12 ★★

(Fórmula del cordón) Sea $K$ un polígono de vértices $(x_1, y_1), \dots, (x_m, y_m)$ en orden antihorario (índices módulo $m$ ). Deduce del Corolario 20.22 que

\operatorname{Area}(K) = \frac12\sum_{i=1}^m \bigl(x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i\bigr) ,

y comprueba la fórmula sobre el triángulo $(0,0)$ , $(1,0)$ , $(0,1)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 20.12.

Parametrícese el lado que va de $(x_i, y_i)$ a $(x_{i+1}, y_{i+1})$ mediante $\gamma(t) = \bigl((1-t)x_i + tx_{i+1},\ (1-t)y_i + ty_{i+1}\bigr)$ . Su contribución a $\frac12\oint(x\,\dd y - y\,\dd x)$ es

\frac12\int_0^1\Bigl(\bigl((1-t)x_i + tx_{i+1}\bigr)(y_{i+1} - y_i) - \bigl((1-t)y_i + ty_{i+1}\bigr)(x_{i+1} - x_i)\Bigr)\dd t ,

y como $\int_0^1\bigl((1-t)u + tv\bigr)\dd t = \frac{u + v}2$ , esto vale

\frac14\Bigl((x_i + x_{i+1})(y_{i+1} - y_i) - (y_i + y_{i+1})(x_{i+1} - x_i)\Bigr) = \frac12\bigl(x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i\bigr),

pues los términos cruzados se cancelan. Sumando sobre los $m$ lados se obtiene la fórmula del cordón, por el Corolario 20.22. Triángulo $(0,0), (1,0), (0,1)$ : $\frac12\bigl((0\cdot0 - 1\cdot0) + (1\cdot1 - 0\cdot0) + (0\cdot0 - 0\cdot1)\bigr) = \frac12$ , el área correcta.

20.6 Problema: el volumen de la bola en dimensión $n$

Problema 20.1

Problema de fin de semana — $V_n = \pi^{n/2}/\Gamma(\frac n2 + 1)$ , y la rareza de las dimensiones altas

El disco tiene área $\pi$ , la bola tiene volumen $\frac43\pi$ — ¿y después? Este problema calcula el volumen de la bola unidad de $\R^n$ para todo $n$ , dos veces (mediante una recursión por rebanado impulsada por las integrales de Wallis, y después mediante la función $\Gamma$ y la integral de Gauss del Ejemplo 20.17), y lee después la geometría: los volúmenes alcanzan su máximo en la dimensión cinco y se precipitan a cero, y casi toda una bola de dimensión alta se esconde en una fina corona junto a su frontera. Para una función continua sobre una bola de $\R^n$ , la integral se entiende como la integral iterada $n$ veces (rebanando una coordenada cada vez, como en el capítulo para $n \leq 3$ ); escribimos $B_n(R)$ para la bola cerrada de radio $R$ centrada en $0$ , $v_n(R)$ para su volumen y $V_n = v_n(1)$ , con $V_0 = 1$ por convenio.

Parte I — La recursión por rebanado.

Sustituyendo $x_i = Ru_i$ en cada una de las $n$ integrales iteradas, prueba que $v_n(R) = V_nR^n$ .
Rebanando $B_n(1)$ a lo largo de su última coordenada, prueba que

$V_n = V_{n-1}\int_{-1}^{1}(1 - t^2)^{\frac{n-1}2}\,\dd t .$
Con $t = \sin\theta$ , identifica la integral como una integral de Wallis: $\int_{-1}^1(1 - t^2)^{\frac{n-1}2}\dd t = 2W_n$ , donde $W_n = \int_0^{\pi/2}\cos^n\theta\,\dd\theta = \int_0^{\pi/2}\sin^n\theta\,\dd\theta$ .
Demuestra las dos identidades de Wallis (intégrese por partes; después telescópese $nW_nW_{n-1}$ ):

$W_n = \frac{n-1}nW_{n-2} \quad (n \geq 2), \qquad W_nW_{n-1} = \frac{\pi}{2n} \quad (n \geq 1).$

Parte II — La recursión resuelta.

Combina las preguntas 2–4 en la recursión de dos pasos

$V_n = \frac{2\pi}{n}\,V_{n-2} \qquad (n \geq 2).$
Deduce las formas cerradas, para $k \geq 0$ :

$V_{2k} = \frac{\pi^k}{k!}, \qquad V_{2k+1} = \frac{2^{k+1}\pi^k}{1\cdot3\cdot5\cdots (2k+1)} .$
Tabula numéricamente $V_1, \dots, V_7$ . Usando el cociente $V_n/V_{n-2} = 2\pi/n$ y los valores de $2W_5$ y $2W_6$ , demuestra que la sucesión $(V_n)$ crece hasta su máximo $V_5 = \frac{8\pi^2}{15} \approx 5.26$ y decrece a partir de entonces.
Prueba que $V_n \to 0$ más deprisa que toda sucesión geométrica, y que $\sum_{n\geq1} V_n$ converge: todas las bolas unidad juntas tienen volumen total finito.
Demuestra la identidad generatriz

$\sum_{k\geq0} V_{2k}\,x^{2k} = \eu^{\pi x^2} \qquad (x \in \R),$

y deduce $\sum_{k\geq0}V_{2k} = \eu^\pi \approx 23.14$ .

Parte III — Segunda vía: $\Gamma$ y la integral de Gauss.

Prueba por Fubini (el integrando es un producto) que

$I_n = \int_{\R^n}\eu^{-\norm x^2}\dd x = \Bigl(\int_{-\infty}^{+\infty} \eu^{-t^2}\dd t\Bigr)^{\!n} = \pi^{n/2},$

la integral de Gauss $n$ -dimensional, entendida como límite sobre cubos $\intcc{-R}{R}^n$ .
Recuérdese $\Gamma(s) = \int_0^\infty t^{s-1}\eu^{-t}\dd t$ (Definición 9.17). A partir de $\Gamma(s+1) = s\,\Gamma(s)$ (Teorema 9.18) y $\Gamma(\tfrac12) = \sqrt\pi$ (sustitúyase $t = u^2$ e invóquese la integral de Gauss), calcula

$\Gamma(k + 1) = k!, \qquad \Gamma\Bigl(k + \frac32\Bigr) = \frac{1\cdot3\cdots(2k+1)}{2^{k+1}}\,\sqrt\pi .$
Demuestra, por inducción a través de la recursión de la pregunta 5, la fórmula única

$V_n = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma\bigl(\frac n2 + 1\bigr)} \qquad (n \geq 1),$

y comprueba que reproduce las dos formas cerradas de la pregunta 6.
Prueba que $\int_0^\infty \eu^{-r^2}r^{n-1}\dd r = \tfrac12\Gamma\bigl(\tfrac n2\bigr)$ y deduce la identidad

$I_n = n\,V_n\int_0^\infty \eu^{-r^2}\,r^{n-1}\,\dd r.$

Interprétala: la masa gaussiana de $\R^n$ se recoge a lo largo de coronas esféricas cuya “área $(n-1)$ -dimensional” a radio $r$ es $nV_nr^{n-1}$ ; ambos miembros están ya demostrados de manera independiente, así que la interpretación no cuesta nada.
Póngase $s_{n-1} = nV_n$ (el área de la esfera unidad $S^{n-1}$ , coherentemente con $v_n(R) = \int_0^R s_{n-1}r^{n-1}\dd r$ ). Tabula $s_0, \dots, s_3$ y comprueba que $s_1 = 2\pi$ , $s_2 = 4\pi$ , $s_3 = 2\pi^2$ .

Parte IV — Las dimensiones altas son extrañas.

A partir de la fórmula de Stirling (Teorema 6.13) aplicada a $k!$ , prueba que, para $n = 2k$ par,

$V_n \sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}} \Bigl(\frac{2\pi\eu}{n}\Bigr)^{n/2} \qquad (n \to \infty, \ n \text{ par}),$

y explica por qué la misma cota de decaimiento supergeométrico se extiende a los $n$ impares mediante la recursión.
La bola unidad está dentro del cubo $\intcc{-1}1^n$ , de volumen $2^n$ . Calcula la razón de llenado $V_n/2^n$ para $n = 2, 3, 10$ y prueba que tiende a $0$ : en dimensión alta, esencialmente todo el cubo está en sus esquinas.
Prueba que la fracción de $v_n(1)$ situada a distancia $\varepsilon$ o menos de la esfera frontera es $1 - (1 - \varepsilon)^n \to 1$ ; numéricamente, ¿qué fracción de una bola de dimensión $100$ está en la corona exterior de grosor el $1\,\%$ ?
Demuestra la asintótica de Wallis $W_n \sim \sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}$ (monotonía de $(W_n)$ , el cociente $W_n/W_{n-2} \to 1$ y $W_nW_{n-1} = \frac\pi{2n}$ ), y la cota inferior $W_n \geq \sqrt{\dfrac{\pi}{2(n+1)}}$ para todo $n$ .
(Concentración en una banda) La fracción de la bola unidad con primera coordenada más allá de $\delta$ es $\int_\delta^1(1 - x^2)^{\frac{n-1}2}\dd x \,\big/\, (2W_n)$ . Usando $1 - u \leq \eu^{-u}$ y la cota de la cola $\int_\delta^\infty \eu^{-a x^2}\dd x \leq \frac{\eu^{-a\delta^2}}{2a\delta}$ , prueba que esa fracción es a lo sumo

$\frac{\eu^{-(n-1)\delta^2/2}}{(n-1)\,\delta} \Big/ \sqrt{\frac{2\pi}{n+1}}$

y concluye: para $\delta = s/\sqrt{n-1}$ , toda la bola salvo una fracción $O(\eu^{-s^2/2}/s)$ está en la banda $\abs{x_1} \leq s/\sqrt{n-1}$ . Una bola de dimensión alta es, estadísticamente, una tortita fina en todas las direcciones a la vez.
Ensambla las preguntas 16–19 en un párrafo: dónde está el volumen de $B_n(1)$ (junto a la esfera frontera y, a la vez, dentro de bandas de anchura $O(1/\sqrt n)$ de todo hiperplano por el centro), y por qué esas dos afirmaciones no se contradicen.

Parte V — Otros cuerpos, y síntesis.

(Símplice) Sea $\Delta_n = \{x \in \R^n : x_i \geq 0,\ \sum x_i \leq 1\}$ . Prueba por rebanado e inducción que $\operatorname{vol}(\Delta_n) = \frac1{n!}$ .
(Politopo cruzado) Deduce que $C_n = \{x : \sum\abs{x_i} \leq 1\}$ tiene volumen $\frac{2^n}{n!}$ , y verifica el encaje $C_n \subseteq B_n(1) \subseteq \intcc{-1}1^n$ a nivel de volúmenes: $\frac{2^n}{n!} \leq V_n \leq 2^n$ .
Calcula $V_4$ de una tercera manera: rebana $\R^4 = \R^2 \times \R^2$ , integra el área del disco $(z, w)$ sobre el disco $(x, y)$ en coordenadas polares y recupera $V_4 = \frac{\pi^2}2$ .
(Monte Carlo en apuros) Se sortea un punto uniformemente en el cubo $\intcc{-1}1^{20}$ . Prueba que la probabilidad de que caiga en la bola inscrita es $V_{20}/2^{20} \approx 2.5\cdot10^{-8}$ , de modo que hacen falta unos cuarenta millones de sorteos antes de esperar el primer acierto: estimar $V_n$ por muestreo de rechazo se derrumba en dimensión alta (la maldición de la dimensionalidad).
Síntesis. Dos deducciones independientes se encontraron en $V_n = \pi^{n/2}/\Gamma(\frac n2 + 1)$ : enumera qué teorema de este capítulo usó cada una (Fubini, cambio de variables, la integral de Gauss en polares) y qué insumos de una variable (Wallis, $\Gamma$ , Stirling). ¿Dónde rehace el volumen del tercer año este cálculo con la teoría de Lebesgue, y qué añade?

Solución

Solución de Problema 20.1.

1. La bola $B_n(R)$ se describe mediante cotas iteradas $-R \leq x_n \leq R$ , después $\abs{x_{n-1}} \leq \sqrt{R^2 - x_n^2}$ , y así sucesivamente; sustituir $x_i = Ru_i$ en cada una de las $n$ integrales de una variable multiplica cada una por $R$ y lleva las cotas a las de $B_n(1)$ : $v_n(R) = R^n\,v_n(1) = V_nR^n$ .

2. Rebanando a lo largo de $x_n = t$ : la rebanada de $B_n(1)$ es la bola $B_{n-1}\bigl(\sqrt{1 - t^2}\bigr)$ , de modo que, por la pregunta 1,

V_n = \int_{-1}^1 v_{n-1}\bigl(\sqrt{1 - t^2}\bigr)\,\dd t = V_{n-1}\int_{-1}^{1}(1 - t^2)^{\frac{n-1}2}\,\dd t .

3. Con $t = \sin\theta$ , $\dd t = \cos\theta\,\dd\theta$ y $(1 - t^2)^{\frac{n-1}2} = \cos^{n-1}\theta$ sobre $\intcc{-\pi/2}{\pi/2}$ :

\int_{-1}^1(1 - t^2)^{\frac{n-1}2}\dd t = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^n\theta\,\dd\theta = 2\int_0^{\pi/2}\cos^n\theta\,\dd\theta = 2W_n,

y $\theta \mapsto \frac\pi2 - \theta$ intercambia las formas en seno y en coseno de $W_n$ .

4. Escríbase $\sin^n = \sin^{n-2}(1 - \cos^2)$ e intégrese $\int\sin^{n-2}\cos\cdot\cos$ por partes (con $v = \frac{\sin^{n-1}}{n-1}$ ):

W_n = W_{n-2} - \frac{W_n}{n-1} \quad\Longrightarrow\quad W_n = \frac{n-1}{n}W_{n-2}.

De ahí, $nW_nW_{n-1} = (n-1)W_{n-1}W_{n-2}$ : la sucesión $(nW_nW_{n-1})$ es constante e igual a $1\cdot W_1W_0 = 1\cdot\frac\pi2$ , luego $W_nW_{n-1} = \frac{\pi}{2n}$ .

5. Las preguntas 2–3 dan $V_n = 2W_nV_{n-1}$ , dos veces:

V_n = 2W_n\cdot 2W_{n-1}\,V_{n-2} = 4\,\frac{\pi}{2n}\,V_{n-2} = \frac{2\pi}n\,V_{n-2}.

6. A partir de $V_0 = 1$ : $V_{2k} = \frac{2\pi}{2k}V_{2k-2} = \frac\pi kV_{2k-2}$ , luego $V_{2k} = \frac{\pi^k}{k!}$ por inducción. A partir de $V_1 = 2$ : $V_{2k+1} = \frac{2\pi}{2k+1}V_{2k-1}$ , luego

V_{2k+1} = 2\prod_{j=1}^k\frac{2\pi}{2j+1} = \frac{2^{k+1}\pi^k}{1\cdot3\cdot5\cdots(2k+1)} .

7. $V_1 = 2$ , $V_2 = \pi \approx 3.142$ , $V_3 = \frac{4\pi}3 \approx 4.189$ , $V_4 = \frac{\pi^2}2 \approx 4.935$ , $V_5 = \frac{8\pi^2}{15} \approx 5.264$ , $V_6 = \frac{\pi^3}6 \approx 5.168$ , $V_7 = \frac{16\pi^3}{105} \approx 4.725$ . El cociente de un paso es $V_n/V_{n-1} = 2W_n$ , y $(W_n)$ es decreciente ( $\sin^n \leq \sin^{n-1}$ puntualmente). Ahora bien, $2W_5 = 2\cdot\frac45\cdot\frac23 = \frac{16}{15} > 1$ , mientras que $2W_6 = 2\cdot\frac56\cdot\frac34\cdot\frac12\cdot\frac\pi2 = \frac{5\pi}{16} < 1$ : los cocientes superan $1$ hasta $n = 5$ y están por debajo de $1$ desde $n = 6$ ; $(V_n)$ crece hasta su máximo $V_5$ y después decrece.

8. Para $n \geq 13 > 4\pi$ : $V_n/V_{n-2} = 2\pi/n < \tfrac12$ , luego $V_{n} \leq C\cdot 2^{-n/2}$ con una constante fija; mejor aún, para todo $q > 0$ , $2\pi/n < q^2$ para $n$ grande, de modo que $V_n/q^n \to 0$ : el decaimiento vence a toda sucesión geométrica. La convergencia de $\sum V_n$ se sigue del cociente $V_n/V_{n-2} \to 0$ (compárese con una serie geométrica a partir de cierto rango).

9. $\sum_{k\geq0}V_{2k}x^{2k} = \sum_{k\geq0}\frac{(\pi x^2)^k}{k!} = \eu^{\pi x^2}$ , la serie exponencial (Capítulo 11), convergente para todo $x$ . En $x = 1$ : $\sum_kV_{2k} = \eu^\pi \approx 23.14$ .

10. Sobre el cubo $\intcc{-R}R^n$ , el integrando es el producto $\prod_i\eu^{-x_i^2}$ , de modo que la integral iterada factoriza: $\bigl(\int_{-R}^R\eu^{-t^2}\dd t\bigr)^n$ . Haciendo $R \to \infty$ y usando $\int_\R\eu^{-t^2}\dd t = \sqrt\pi$ (Ejemplo 20.17): $I_n = \pi^{n/2}$ .

11. $t = u^2$ da $\Gamma(\tfrac12) = \int_0^\infty t^{-1/2}\eu^{-t}\dd t = 2\int_0^\infty\eu^{-u^2}\dd u = \sqrt\pi$ . Iterando $\Gamma(s+1) = s\Gamma(s)$ : $\Gamma(k+1) = k!\,\Gamma(1) = k!$ , y

\Gamma\Bigl(k + \frac32\Bigr) = \Bigl(k + \frac12\Bigr)\Bigl(k - \frac12\Bigr)\cdots \frac12\cdot\Gamma\Bigl(\frac12\Bigr) = \frac{(2k+1)(2k-1)\cdots1}{2^{k+1}}\,\sqrt\pi .

12. Póngase $F_n = \pi^{n/2}/\Gamma(\frac n2 + 1)$ . Como $\Gamma(\frac n2 + 1) = \frac n2\,\Gamma(\frac n2) = \frac n2\,\Gamma(\frac{n-2}2 + 1)$ , resulta $F_n = \frac{2\pi}nF_{n-2}$ : la misma recursión que $V_n$ (pregunta 5). Casos base: $F_1 = \sqrt\pi/\Gamma(\frac32) = \sqrt\pi/(\frac{\sqrt\pi}2) = 2 = V_1$ y $F_2 = \pi/\Gamma(2) = \pi = V_2$ . Por inducción, $V_n = F_n$ para todo $n$ ; y la pregunta 11 devuelve esto a las dos formas cerradas de la pregunta 6.

13. Con $r = \sqrt t$ : $\int_0^\infty \eu^{-r^2}r^{n-1}\dd r = \frac12\int_0^\infty t^{\frac n2 - 1}\eu^{-t}\dd t = \frac12\Gamma(\frac n2)$ . De ahí,

n\,V_n\int_0^\infty\eu^{-r^2}r^{n-1}\dd r = V_n\cdot\frac n2\,\Gamma\Bigl(\frac n2\Bigr) = V_n\,\Gamma\Bigl(\frac n2 + 1\Bigr) = \pi^{n/2} = I_n .

Demostrados ambos miembros, la identidad puede leerse como la descomposición en coronas de la integral gaussiana: la esfera de radio $r$ lleva área $nV_nr^{n-1}$ , y el peso gaussiano $\eu^{-r^2}$ se integra sobre las coronas.

14. $s_0 = V_1 = 2$ (la $0$ -esfera son dos puntos), $s_1 = 2V_2 = 2\pi$ , $s_2 = 3V_3 = 4\pi$ , $s_3 = 4V_4 = 2\pi^2$ ; y $\int_0^R s_{n-1}r^{n-1}\dd r = V_nR^n = v_n(R)$ : el área es la derivada radial del volumen.

15. Para $n = 2k$ , Stirling (Teorema 6.13) da $k! \sim \sqrt{2\pi k}\,(k/\eu)^k$ , luego

V_{2k} = \frac{\pi^k}{k!} \sim \frac{(\pi\eu/k)^k}{\sqrt{2\pi k}} = \frac1{\sqrt{\pi n}}\Bigl(\frac{2\pi\eu}n\Bigr)^{n/2} \qquad (n = 2k).

Para $n$ impar: $V_{2k+1} = 2W_{2k+1}V_{2k} \leq 2V_{2k}$ , así que valen las mismas cotas de decaimiento supergeométrico (salvo un factor $2$ y un desplazamiento de uno en el exponente): para todo $q > 0$ , $V_n = o(q^n)$ .

16. $V_2/4 = \pi/4 \approx 0.785$ ; $V_3/8 = \pi/6 \approx 0.524$ ; $V_{10}/2^{10} = \frac{\pi^5}{120\cdot1024} \approx 0.0025$ . En general, $\frac{V_n/2^n}{V_{n-2}/2^{n-2}} = \frac{2\pi}{4n} = \frac{\pi}{2n} \to 0$ : el cociente tiende a $0$ (supergeométricamente). La bola inscrita ocupa una fracción evanescente: el volumen del cubo emigra a sus esquinas.

17. Por la pregunta 1, la bola interior de radio $1 - \varepsilon$ tiene volumen $V_n(1-\varepsilon)^n$ , así que la corona exterior lleva la fracción $1 - (1 - \varepsilon)^n \to 1$ . Para $n = 100$ y $\varepsilon = 0.01$ : $(0.99)^{100} = \eu^{100\ln0.99} \approx \eu^{-1.005} \approx 0.366$ : cerca del $63\,\%$ de la bola está a menos del $1\,\%$ de su superficie.

18. $(W_n)$ decrece, luego $W_n \leq W_{n-1} \leq W_{n-2} = \frac{n}{n-1}W_n$ : por encaje, $W_{n-1}/W_n \to 1$ . Multiplicando por $W_nW_{n-1} = \frac\pi{2n}$ : $W_n^2 \sim \frac\pi{2n}$ , es decir, $W_n \sim \sqrt{\pi/(2n)}$ . Cota inferior: $W_n^2 \geq W_nW_{n+1} = \frac{\pi}{2(n+1)}$ , luego $W_n \geq \sqrt{\pi/(2(n+1))}$ para todo $n$ .

19. Numerador: $1 - x^2 \leq \eu^{-x^2}$ da $(1 - x^2)^{\frac{n-1}2} \leq \eu^{-(n-1)x^2/2}$ y, con $a = \frac{n-1}2$ ,

\int_\delta^1(1 - x^2)^{\frac{n-1}2}\dd x \leq \int_\delta^\infty\eu^{-ax^2}\dd x \leq \int_\delta^\infty\frac x\delta\,\eu^{-ax^2}\dd x = \frac{\eu^{-a\delta^2}}{2a\delta} = \frac{\eu^{-(n-1)\delta^2/2}}{(n-1)\delta}.

Denominador: $2W_n \geq \sqrt{2\pi/(n+1)}$ por la pregunta 18. Dividiendo se obtiene la cota mostrada. Para $\delta = s/\sqrt{n-1}$ pasa a ser $\sqrt{\tfrac{n+1}{2\pi(n-1)}}\;\eu^{-s^2/2}/s = O\bigl( \eu^{-s^2/2}/s\bigr)$ , uniformemente en $n$ : fuera de la banda $\abs{x_1} \leq s/\sqrt{n-1}$ no hay casi volumen, para $s$ moderadamente grande; y por simetría lo mismo vale en todas las direcciones.

20. Las dos afirmaciones conviven porque describen coordenadas distintas del mismo punto. Casi todo punto de $B_n(1)$ tiene norma próxima a $1$ (pregunta 17: concentración radial junto a la esfera) y, sin embargo, cada una de sus $n$ coordenadas es pequeña, del orden de $1/\sqrt n$ (pregunta 19), lo que es coherente, ya que $n$ coordenadas de tamaño $1/\sqrt n$ tienen norma de orden $1$ . El volumen en dimensión alta se concentra donde todas las coordenadas se reparten por igual el presupuesto de norma: junto a la esfera, pero lejos de todos los polos de los ejes coordenados.

21. Rebánese $\Delta_n$ en $x_n = t \in \intcc01$ : la rebanada es $\{x' \in \R^{n-1} : x_i \geq 0,\ \sum x_i \leq 1 - t\} = (1-t)\Delta_{n-1}$ , de volumen $(1-t)^{n-1}\operatorname{vol}(\Delta_{n-1})$ por homogeneidad. Así pues,

\operatorname{vol}(\Delta_n) = \operatorname{vol}(\Delta_{n-1})\int_0^1(1 - t)^{n-1}\dd t = \frac{\operatorname{vol}(\Delta_{n-1})}{n} \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{vol}(\Delta_n) = \frac1{n!}\,.

22. Los $2^n$ ortantes de signos cortan $C_n$ en $2^n$ copias de $\Delta_n$ (con solapamientos despreciables sobre los hiperplanos coordenados): $\operatorname{vol}(C_n) = \frac{2^n}{n!}$ . Si $\sum\abs{x_i} \leq 1$ , entonces $\sum x_i^2 \leq \bigl(\sum\abs{x_i}\bigr)^2 \leq 1$ : $C_n \subseteq B_n(1)$ ; y $B_n(1) \subseteq \intcc{-1}1^n$ , pues $\abs{x_i} \leq \norm x$ . Por tanto, $\frac{2^n}{n!} \leq V_n \leq 2^n$ , coherente con la pregunta 15, que sitúa $V_n$ entre las escalas factorial y geométrica.

23. Para $(x, y)$ en el disco unidad, la rebanada de $B_4(1)$ es el disco de radio $\sqrt{1 - x^2 - y^2}$ del plano $(z, w)$ , de área $\pi(1 - x^2 - y^2)$ . En coordenadas polares:

V_4 = \iint_{x^2+y^2\leq1}\pi(1 - x^2 - y^2)\,\dd x\,\dd y = \pi\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1(1 - \rho^2)\rho\, \dd\rho\,\dd\alpha = \pi\cdot2\pi\cdot\frac14 = \frac{\pi^2}2 ,

de acuerdo con la pregunta 6.

24. La probabilidad es el cociente de volúmenes $\dfrac{V_{20}}{2^{20}} = \dfrac{\pi^{10}}{10!\cdot2^{20}} \approx \dfrac{0.0258}{1\,048\,576} \approx 2.5\cdot10^{-8}$ . El número de sorteos hasta el primer acierto es del orden del inverso, unos $4\cdot10^7$ : un muestreador de rechazo que funcionaba de maravilla para el disco ( $\pi/4$ de aciertos) resulta inútil en dimensión $20$ ; la maldición de la dimensionalidad en una línea.

25. La primera vía (partes I–II) usó: el rebanado de tipo Fubini de la integral iterada, la sustitución de una variable en cada coordenada (homogeneidad) y las integrales de Wallis; puro cálculo de una variable más inducción. La segunda vía (parte III) usó: Fubini para la estructura de producto de $I_n$ , el cambio a coordenadas polares a través de la integral de Gauss del Ejemplo 20.17 y la ecuación funcional de la función $\Gamma$ . Se encuentran en $V_n = \pi^{n/2}/\Gamma(\frac n2 + 1)$ , con Stirling (Teorema 6.13) convirtiendo la fórmula en asintótica. El volumen del tercer año reconstruye todo esto sobre la integral de Lebesgue: allí, Fubini y el cambio de variables son teoremas para funciones integrables generales, las coordenadas esféricas existen en toda dimensión y los mismos volúmenes de bolas reaparecen como dividendos resueltos de los problemas de medida producto y de Stirling, con la convergencia dominada sustituyendo a nuestros encajes artesanales.

20.1 Integrales curvilíneas

20.2 Integrales dobles

20.3 El teorema de Green–Riemann

20.4 Integrales triples

20.5 Ejercicios

20.6 Problema: el volumen de la bola en dimensión nnn

20.6 Problema: el volumen de la bola en dimensión $n$