Matemáticas universitarias — Grado 1 · Bachelor Year 1

8Polinomios

Polinomios son las funciones favoritas del algebrista — excepto que aquí no se tratan como funciones, sino como expresiones formales en un $X$ indeterminado, sumado y multiplicado por las reglas de un conmutativo anillo. La teoría corre sorprendentemente paralela a Capítulo 6: una división euclidiana, un mcd y relaciones de Bézout, elementos irreducibles y una factorización única. En todo momento, $K$ denota $\Q$ , $\R$ o $\C$ .

8.1 El anillo $K[X]$

Definición 8.1 (Polinomio, grado)

Un polinomio con coeficientes en $K$ es un suma formal

P = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \dots + a_n X^n = \sum_{k} a_k X^k,

con $a_k \in K$ todo cero a partir de algún índice. con lo natural adición y el producto

\Bigl(\sum_i a_i X^i\Bigr)\Bigl(\sum_j b_j X^j\Bigr) = \sum_k \Bigl(\sum_{i+j=k} a_i b_j\Bigr) X^k,

el conjunto $K[X]$ es un anillo conmutativo. El grado $\deg P$ de $P \neq 0$ es el $n$ más grande con $a_n \neq 0$ ; $a_n$ es el coeficiente principal ( $P$ es mónico cuando $a_n = 1$ ), y por convención $\deg 0 = -\infty$ . Cada polinomio define una función $x \mapsto P(x)$ en $K$ por sustitución.

Proposición 8.2 (Reglas de titulación; dominio integral)

Para $P, Q \in K[X]$ :

\deg(P + Q) \leq \max(\deg P, \deg Q), \qquad \deg(PQ) = \deg P + \deg Q .

En consecuencia $K[X]$ es un dominio integral, y sus unidades son las constantes distintas de cero.

Demostración. La regla de la suma es clara (los coeficientes más allá del máximo desaparecen). Para el producto, sean $a_m$ y $b_n$ los coeficientes principales: el El coeficiente de $X^{m+n}$ en $PQ$ es $a_m b_n \neq 0$ ( $K$ es un campo, por lo tanto dominio integral), y todos los coeficientes superiores desaparecen. Si $P, Q \neq 0$ entonces $\deg PQ = \deg P + \deg Q \geq 0$ , entonces $PQ \neq 0$ : dominio integral. Si $PQ = 1$ entonces $\deg P + \deg Q = 0$ fuerza $\deg P = \deg Q = 0$ : los elementos invertibles son los invertibles constantes, es decir, todo $K^*$ . ∎

Teorema 8.3 (división euclidiana)

Sea $A, B \in K[X]$ con $B \neq 0$ . Hay exactamente un par $(Q, R)$ de polinomios con

A = BQ + R, \qquad \deg R < \deg B .

Demostración. Existencia, por fuerte inducción sobre $\deg A$ . Si $\deg A < \deg B$ , tome $(Q, R) = (0, A)$ . En caso contrario escriba $A = a X^m + \dots$ , $B = b X^n + \dots$ con $m \geq n$ ; el polinomio $A_1 = A - \frac ab X^{m-n} B$ tiene el grado $< m$ (los términos principales se cancelan), por lo que al inducción $A_1 = BQ_1 + R$ con $\deg R < \deg B$ y $A = B(Q_1 + \frac ab X^{m-n}) + R$ .

Unicidad: si $BQ + R = BQ' + R'$ , entonces $B(Q - Q') = R' - R$ con $\deg(R' - R) < \deg B$ ; según la regla de grados, esto fuerza a $Q - Q' = 0$ , luego a $R = R'$ . ∎

Ejemplo 8.4

Divida $A = X^4 + X^3 - 2X + 1$ por $B = X^2 + 1$ :

X^4 + X^3 - 2X + 1 = (X^2 + 1)(X^2 + X - 1) + (-3X + 2).

(Calcular: restar $X^2 B$ , luego $X B$ , luego $-B$ ; el resto $-3X + 2$ tiene el grado $1 < 2$ .)

Método 8.5 (Esquema de Horner)

Para evaluar $P = a_nX^n + \dots + a_0$ en $x$ , o para dividir $P$ entre $X - x$ , evita potencias de cálculo: lee los coeficientes que quedan para derecha e iterar multiplica por $x$ , suma el siguiente coeficiente:

b_n = a_n, \qquad b_{k} = a_{k} + x\,b_{k+1} \quad (k = n-1, \dots, 0) .

Entonces $b_0 = P(x)$ y el anterior $b_k$ son el cociente coeficientes: $P = (X - x)(b_nX^{n-1} + \dots + b_1) + b_0$ (ampliar y comparar). Ejemplo: $P = X^4 - 5X^3 + 6X^2 + 4X - 8$ en $x = 2$ : los $b$ son $1, -3, 0, 4, 0$ , por lo que $P(2) = 0$ y $P = (X-2)(X^3 - 3X^2 + 4)$ — una línea en lugar de una larga división y $n$ multiplicaciones en lugar de $\approx n^2/2$ de la evaluación ingenua. Iterando el esquema en el mismo punto. extrae multiplicidades (comparar Ejemplo 8.12).

Observación 8.6 (Aritmética de $K[X]$ )

Con la división euclidiana en la mano, toda la aritmética de Capítulo 6 se transfiere a $K[X]$ , con las mismas pruebas, grado desempeñando el papel de valor absoluto: mcd (normalizado para ser mónico), ampliado algoritmo euclidiano, identidad de Bézout, lema de Gauss, polinomios irreducible y factorización única. Usamos estos libremente resultados transferidos, y Ejercicio 8.6 ensaya uno de ellos.

8.2 Raíces

Teorema 8.7 (Teorema del factor)

Sean $P \in K[X]$ y $a \in K$ . El resto de $P$ al dividirlo por $X - a$ es la constante $P(a)$ . en particular

P(a) = 0 \iff (X - a) \mid P .

De manera más general, las raíces distintas $a_1, \dots, a_r$ de $P$ dan la factorización $P = (X - a_1)\cdots(X - a_r)\, Q$ .

Demostración. Divida: $P = (X - a) Q + R$ con $\deg R < 1$ , por lo que $R$ es una constante $c$ ; sustituyendo $X = a$ (la sustitución respeta sumas y productos) da $P(a) = c$ . La equivalencia sigue. Para varias raíces, inducción en $r$ : el caso $r = 1$ es la equivalencia recién demostrada. Suponga que enunciado para las raíces $r - 1$ y deje que $a_1, \dots, a_r$ ser raíces distintas de $P$ . Escribe $P = (X - a_1)Q_1$ ; para cada $i \geq 2$ , sustituyendo $a_i$ :

0 = P(a_i) = (a_i - a_1)\,Q_1(a_i), \qquad a_i - a_1 \neq 0 ,

y como $K$ no tiene divisores de cero, $Q_1(a_i) = 0$ : el $r - 1$ Los puntos distintos $a_2, \dots, a_r$ son raíces de $Q_1$ . el factores de hipótesis de inducción $Q_1 = (X - a_2)\cdots(X - a_r)\,Q$ , y sustituirlo da el reclamo. ∎

Corolario 8.8 (Un polinomio de grado $n$ tiene como máximo raíces $n$ )

Un $P \in K[X]$ distinto de cero de grado $n$ tiene como máximo $n$ raíces distintas en $K$ . En consecuencia, un polinomio (de grado $\leq n$ ) desapareciendo en $n + 1$ puntos distintos es el cero polinomio, y dos polinomios de grado $\leq n$ coincidiendo en $n+1$ los puntos son iguales.

Demostración. Si $a_1, \dots, a_r$ son raíces distintas, Teorema 8.7 da $P = (X-a_1)\cdots(X-a_r) Q$ , por lo que $n = \deg P \geq r$ . los dos las consecuencias siguen por contradicción y por diferencia. ∎

Ejemplo 8.9 (El truco del polinomio auxiliar)

Sea $P$ el polinomio de grado $\leq n$ con

P(k) = \frac{k}{k+1} \qquad (k = 0, 1, \dots, n) ;

existe y es único por interpolación de Lagrange a continuación. que es $P(n+1)$ ? Denominadores claros: el polinomio $Q = (X+1)P - X$ tiene grado $\leq n + 1$ y desaparece en los puntos $n + 1$ $0, 1, \dots, n$ , por lo que por Teorema 8.7

Q = c\,X(X-1)(X-2)\cdots(X-n)

para alguna constante $c$ . Evalúe dónde se conoce $Q$ de forma independiente: en $X = -1$ , $Q(-1) = 0 \cdot P(-1) + 1 = 1$ , mientras que el producto es igual a $(-1)(-2)\cdots(-1-n) = (-1)^{n+1}(n+1)!$ ; por lo tanto $c = \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}$ . Ahora evalúe en $X = n + 1$ :

(n+2)\,P(n+1) - (n+1) = Q(n+1) = c\,(n+1)! = (-1)^{n+1} ,

entonces $P(n+1) = \dfrac{(n+1) + (-1)^{n+1}}{n+2}$ : igual a $1$ para impar $n$ , y a $\frac{n}{n+2}$ par $n$ — el Al interpolar polinomio, ¿no continúa el patrón? $\frac{n+1}{n+2}$ . El truco para recordar: codificar los datos como raíces de un auxiliar polinomio, identificar la constante desconocida en un punto fuera de los datos y cosechar.

Definición 8.10 (Derivada, multiplicidad)

El derivada formal de $P = \sum a_k X^k$ es $P' = \sum_{k \geq 1} k\,a_k X^{k-1}$ ; Satisface las reglas habituales $(P+Q)' = P' + Q'$ , $(PQ)' = P'Q + PQ'$ (comprobadas en monomios y ampliadas por linealidad). Una raíz $a$ de $P$ tiene multiplicidad $m \geq 1$ cuando $(X-a)^m \mid P$ pero $(X-a)^{m+1} \nmid P$ ; la raíz es simple si $m = 1$ , múltiple si $m \geq 2$ .

Proposición 8.11 (Multiplicidad vía derivadas)

$a$ es una raíz de $P$ de multiplicidad $\geq m$ si y sólo si

P(a) = P'(a) = \dots = P^{(m-1)}(a) = 0 .

En particular, $a$ es una raíz múltiple de $P$ si y sólo si $P(a) = P'(a) = 0$ .

Demostración. Escribe $P = (X - a)^m Q + R$ donde $R$ es el resto de la división. por $(X-a)^m$ , $\deg R < m$ . Diferenciando tiempos $k \leq m - 1$ y evaluando en $a$ : el primer término contribuye $0$ (cada derivada conserva un factor $(X-a)$ ), por lo que $P^{(k)}(a) = R^{(k)}(a)$ .

Ahora un polinomio $R$ de grado $< m$ lo determina $R(a), R'(a), \dots, R^{(m-1)}(a)$ : escribiendo $R = \sum_{k < m} c_k (X - a)^k$ (posible: ampliar los poderes de $X = (X - a) + a$ ), se encuentra $R^{(k)}(a) = k!\, c_k$ . Por lo tanto: todo $P^{(k)}(a) = 0$ para $k < m$ $\iff$ todos $c_k = 0$ $\iff$ $R = 0$ $\iff$ $(X-a)^m \mid P$ . ∎

Ejemplo 8.12 (Calcular una multiplicidad)

¿Cuál es el multiplicidad de la raíz $2$ en $P = X^4 - 5X^3 + 6X^2 + 4X - 8$ ? Evaluar las sucesivas derivadas en $2$ :

P(2) = 16 - 40 + 24 + 8 - 8 = 0, \qquad P'(2) = 32 - 60 + 24 + 4 = 0,

P''(2) = 48 - 60 + 12 = 0, \qquad P'''(2) = 48 - 30 = 18 \neq 0

(con $P' = 4X^3 - 15X^2 + 12X + 4$ , $P'' = 12X^2 - 30X + 12$ , $P''' = 24X - 30$ ). Tres valores que se desvanecen y luego uno distinto de cero: multiplicidad exactamente $3$ . Dividiendo, $P = (X - 2)^3(X + 1)$ — cuál se verifica expandiendo $(X-2)^3 = X^3 - 6X^2 + 12X - 8$ y multiplicando por $X + 1$ . La idea: las multiplicidades se leen evaluaciones, no se necesita factorización — que es exactamente cómo se detectan cuando la factorización está fuera de alcance.

Ejemplo 8.13 (Detección de múltiples raíces con un mcd)

Cuando no se conoce la raíz, Proposición 8.11 todavía da un detector de raíces múltiples global: $a$ es un detector múltiple raíz de $P$ si es una raíz común de $P$ y $P'$ , entonces $P$ tiene una raíz múltiple (en $\C$ ) iff $\gcd(P, P') \neq 1$ — computable por el algoritmo euclidiano sin solucionar nada. Muestra: $P = X^3 - 3X + 2$ , $P' = 3X^2 - 3 = 3(X - 1)(X + 1)$ . Probando el raíces $\pm1$ de $P'$ dentro de $P$ : $P(1) = 0$ pero $P(-1) = 4$ , entonces

\gcd(P, P') = X - 1 :

la raíz $1$ es múltiple; dividiendo dos veces, $P = (X - 1)^2(X + 2)$ . El gcd incluso informa el conjunto completo de múltiples raíces, cada una con multiplicidad reducido en uno — el hecho de que cada álgebra informática El sistema explota para "factorizar sin cuadrados" antes de cualquier caza de raíces y el gemelo polinomio de Argumentos sin raíz múltiple de Ejercicio 8.9.

Teorema 8.14 (Teorema fundamental del álgebra)

Cada polinomio no constante de $\C[X]$ tiene una raíz en $\C$ .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 8.15

A pesar de su nombre, el teorema es enunciado de análisis: cada prueba conocida utiliza la integridad de $\R$ de alguna forma, y ninguno es puramente algebraico — la prueba honesta se da en el Volumen del año 3, una vez integración compleja o compacidad Hay argumentos disponibles. Lo que este capítulo realmente demuestra es el reducción: se le otorga una raíz por cada no constante polinomio, las factorizaciones completas sobre $\C$ y $\R$ a continuación siga por álgebra pura.

Corolario 8.16 (Factorización sobre $\C$ y sobre $\R$ )

Cada $P \in \C[X]$ distinto de cero se factoriza como

$P = c\, (X - a_1)^{m_1} \cdots (X - a_r)^{m_r},$

con $c$ el coeficiente principal, $a_i$ el complejo distinto raíces, $\sum m_i = \deg P$ : counted with multiplicidad, a polinomio of degree $n$ has exactly $n$ complex roots.
Cada $P \in \R[X]$ distinto de cero se factoriza sobre $\R$ como

$P = c \prod_i (X - a_i)^{m_i} \prod_j (X^2 + p_j X + q_j)^{n_j},$

los factores cuadráticos son distintos con $p_j^2 - 4q_j < 0$ (sin raíces reales).

Demostración. (1) Inducción en el grado, dividiendo una raíz a la vez por Teorema 8.7; el recuento de grados coincide en cada paso.

(2) Sea $P$ tener coeficientes reales. Si $z$ es una raíz compleja de multiplicidad $m$ , también lo es $\conj z$ : conjugar $P(z) = 0$ da $P(\conj z) = \conj{P(z)} = 0$ (los coeficientes son propios conjugados), y lo mismo se aplica a las derivadas (Proposición 8.11). Agrupa las raíces no reales en pares conjugados: cada par contribuye

(X - z)(X - \conj z) = X^2 - 2\Re(z)\, X + \abs z^2 ,

una cuadrática real con discriminante negativo. Las verdaderas raíces contribuyen los factores lineales. ∎

Ejemplo 8.17

$X^4 + 4$ se factorizó sobre $\R$ en Ejercicio 3.5 mediante emparejamiento las cuatro raíces complejas $\pm 1 \pm \iu$ : $X^4 + 4 = (X^2 - 2X + 2)(X^2 + 2X + 2)$ . Ni divisiones cuadráticas sobre $\R$ (discriminantes $-4$ ). Nota: un irreducible real polinomio tiene el grado $1$ o $2$ — esto es exactamente lo que dice el teorema de factorización. El mismo emparejamiento conjugado se ejecuta en $X^4 + 1$ , cuyas raíces son $\eu^{\pm\iu\pi/4}$ y $\eu^{\pm3\iu\pi/4}$ : cada par aporta $X^2 - 2\cos\theta\,X + 1$ , por lo que

X^4 + 1 = \bigl(X^2 - \sqrt2\,X + 1\bigr) \bigl(X^2 + \sqrt2\,X + 1\bigr) ,

una identidad invisible para intentos ingenuos de factorización sobre $\Q$ — el precio de insistir en lo real (aquí incluso irracional) coeficientes y una entrada estándar para integrar $\frac1{x^4 + 1}$ en Capítulo 15.

El Chebyshev polinomio T_5 = 16X5 - 20X3 + 5X en ∈tcc-11: oscila exactamente entre -1 y 1, tocando los límites en seis puntos (marcados). esto equioscilación es lo que hace que 2-4T_5 sea el mónico. quíntica de la sup-norma más pequeña en el intervalo ( y el problema del fin de semana). — El Chebyshev polinomio $T_5 = 16X^5 - 20X^3 + 5X$ en $\intcc{-1}1$ : oscila exactamente entre $-1$ y $1$ , tocando los límites en seis puntos (marcados). esto *equioscilación* es lo que hace que $2^{-4}T_5$ sea el mónico. quíntica de la sup-norma más pequeña en el intervalo (Ejercicio 8.10 y el problema del fin de semana).

Observación 8.18 (Errores comunes con polinomios)

Polinomio versus function. Más de $K = \Q, \R, \C$ las dos nociones coinciden (funciones iguales tienen igual coeficientes, por Corolario 8.8 y infinidad de $K$ ), pero conceptualmente un polinomio es su lista de coeficientes: sobre el campo de dos elementos $\Z/2\Z$ de Capítulo 7, $X^2 + X$ desaparece en ambos puntos, aún no es el cero polinomio.
Grados bajo suma. $\deg(P + Q)$ puede caer por debajo de $\max(\deg P, \deg Q)$ cuando se cancelan los términos principales; escribir “ $\deg(P + Q) = \max(\dots)$ ” sólo es seguro para distintos grados.
Las raíces se contaron correctamente. “ $n$ raíces” en Corolario 8.16 significa with multiplicidad, in $\C$ : $X^2 + 1$ no tiene raíces reales y $(X-1)^2$ tiene una raíz distinta pero dos con multiplicidad. Enunciados mezclando los tres cargos son los fuente más común de pruebas falsas.
Irreducibility depends on the campo. $X^2 - 2$ es irreducible sobre $\Q$ , se divide sobre $\R$ ; $X^2 + 1$ es irreductible sobre $\R$ , se divide sobre $\C$ . la palabra desnuda “irreducible” no significa nada hasta que el coeficiente Se nombra campo.

8.3 Coeficientes y raíces

Teorema 8.19 (Fórmulas de Vieta)

Sea $P = X^n + c_{n-1} X^{n-1} + \dots + c_0$ mónico con raíces $a_1, \dots, a_n \in \C$ (con multiplicidad). Entonces

\sum_i a_i = -c_{n-1}, \qquad \sum_{i < j} a_i a_j = c_{n-2}, \qquad \dots, \qquad a_1 a_2 \cdots a_n = (-1)^n c_0 ,

la $k$ -ésima función simétrica de las raíces es $(-1)^k c_{n-k}$ .

Demostración. Por Corolario 8.16, $P = (X - a_1)\cdots(X - a_n)$ (mónico, todas las raíces enumeradas). Ampliando el producto produce distributivamente un término por forma de elección, en cada factor, ya sea $X$ o el término raíz $-a_i$ : elegir las raíces en los factores indexados por $i_1 < \dots < i_k$ y $X$ en el $n - k$ otros contribuyen $(-a_{i_1})\cdots(-a_{i_k})\,X^{n-k}$ . Agrupación por el poder de $X$ :

P = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \Bigl(\sum_{i_1 < \dots < i_k} a_{i_1}\cdots a_{i_k}\Bigr) X^{n-k} ,

e identificándose con $P = \sum_k c_{n-k}X^{n-k}$ (coeficientes son únicos, Definición 8.1) da $c_{n-k} = (-1)^k \sigma_k$ , es decir, $\sigma_k = (-1)^kc_{n-k}$ , donde $\sigma_k$ denota la función simétrica $k$ -ésima que se muestra arriba. los tres Los casos mostrados son $k = 1$ , $k = 2$ y $k = n$ . ∎

Ejemplo 8.20

Para la cuadrática $X^2 - sX + p$ : suma de raíces $s$ , producto $p$ — ya utilizado repetidamente (Ejercicio 3.8). Para un cúbico mónico $X^3 + aX^2 + bX + c$ con raíces $\alpha, \beta, \gamma$ :

\alpha + \beta + \gamma = -a, \quad \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b, \quad \alpha\beta\gamma = -c ,

lo que permite calcular cantidades simétricas como $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = a^2 - 2b$ sin resolver.

Ejemplo 8.21 (Transformando las raíces sin encontrarlas)

Sean $\alpha, \beta$ las raíces de $X^2 - 3X + 1$ . Cual mónico cuadrática tiene raíces $\alpha^2, \beta^2$ ? Por Vieta, $\alpha + \beta = 3$ y $\alpha\beta = 1$ , entonces

\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = 7, \qquad \alpha^2\beta^2 = (\alpha\beta)^2 = 1 :

la respuesta es $X^2 - 7X + 1$ — obtenida sin computar $\alpha = \frac{3 + \sqrt5}2$ . (Compruebe: $\alpha^2 = \frac{7 + 3\sqrt5}2$ y, de hecho, $\alpha^2 + \beta^2 = 7$ ). Lo mismo La estrategia maneja recíprocos (transformaciones de tipo $X^2 - \frac ba X + \frac ca$ ), desplazamientos y cualquier dato simétrico: Vieta. convierte preguntas sobre raíces desconocido en álgebra en Coeficientes conocido. Servirá constantemente cuando el las raíces son valores propios (Capítulo 22).

Ejemplo 8.22 (Ecuaciones palindrómicas)

Resuelve $X^4 + X^3 - 4X^2 + X + 1 = 0$ . Los coeficientes leen la igual en ambas direcciones, por lo que $0$ no es una raíz y se divide por $X^2$ no pierde soluciones:

X^2 + X - 4 + \frac1X + \frac1{X^2} = 0 .

Configure $y = X + \frac1X$ : luego $X^2 + \frac1{X^2} = y^2 - 2$ y la ecuación colapsa a

y^2 + y - 6 = 0 \iff (y + 3)(y - 2) = 0 .

Desdobla cada valor hasta $X^2 - yX + 1 = 0$ : para $y = 2$ , $X^2 - 2X + 1 = (X - 1)^2$ da la doble raíz $1$ ; para $y = -3$ , $X^2 + 3X + 1 = 0$ da $X = \frac{-3 \pm \sqrt5}2$ . Cuatro raíces con multiplicidad para un cuarto, como Corolario 8.16 requiere — obtenido resolviendo dos cuadráticas. El truco cubre todos los palíndromo. polinomio: sus raíces vienen en pares recíprocos $\{x, 1/x\}$ (reemplace $X$ por $1/X$ y borre los denominadores), y $y = X + \frac1X$ es precisamente la cantidad constante en dichos pares, reducir a la mitad el grado.

Teorema 8.23 (interpolación de Lagrange)

Sean $x_0, \dots, x_n$ puntos distintos de $K$ y $y_0, \dots, y_n \in K$ . Hay exactamente un $P \in K[X]$ de grado $\leq n$ con $P(x_i) = y_i$ para todos los $i$ , es decir,

P = \sum_{i=0}^{n} y_i\, L_i, \qquad L_i = \prod_{j \neq i} \frac{X - x_j}{x_i - x_j} .

Demostración. Cada $L_i$ tiene grado $n$ y satisface $L_i(x_i) = 1$ , $L_i(x_j) = 0$ para $j \neq i$ (cada factor desaparece en el $x_j$ correspondiente). Entonces, el $P$ mostrado tiene el grado $\leq n$ y se interpola. Unicidad: dos interpoladores polinomios de grado $\leq n$ coinciden en el $n+1$ puntos $x_i$ , por lo tanto son iguales (Corolario 8.8). ∎

Observación 8.24 (Interludio: los polinomios también son vectores)

Un cambio de punto de vista que hará Capítulo 18 oficial: los polinomios de grado $\leq n$ forman un espacio en cuya suma y escala se comportan exactamente como coordenadas — a polinomio is su lista de coeficientes $n + 1$ . tres enunciados de este capítulo son álgebra secretamente lineal. interpolación de Lagrange (Teorema 8.23) dice que los datos de evaluación $(P(x_0), \dots, P(x_n))$ determinan $P$ únicamente: la evaluación en los puntos $n + 1$ es una biyección lineal, y el $L_i$ son la base adaptada al mismo. La expansión $R = \sum c_k(X - a)^k$ en la prueba de Proposición 8.11 dice que los poderes de $(X - a)$ forma otro sistema de coordenadas, con $c_k = R^{(k)}(a)/k!$ como coordenadas. y Corolario 8.8 — más raíces que fuerzas de grado el cero polinomio — es el motor de toda unicidad: será convertirse en “una aplicación inyectivo lineal en un espacio de dimensión $n + 1$ ” en Capítulo 19. Cuando llegan esos capítulos, el espacio $K_n[X]$ será su ejemplo favorito; vale la pena llegar Ya lo dominas con fluidez.

Observación 8.25 (Dónde se utiliza este capítulo)

Factorización sobre $\R$ y $\C$ (Corolario 8.16) es el motor de parcial fracciones en Capítulo 9, por lo tanto de una gran clase de integrales en Capítulo 15. La expansión de un polinomio en potencias de $(X - a)$ , cumplidas en la prueba de Proposición 8.11, es la sombra algebraica de la Fórmulas de Taylor de Capítulo 16. Característica polinomios ya apareció para ecuaciones diferenciales (Capítulo 5) y retorno para matrices en Capítulo 22; Lagrange interpolación es el primer teorema de existencia y unicidad de análisis numérico, y el Polinomios de Chebyshev de Ejercicio 8.10 — cuya optimización es el problema del fin de semana a continuación establece — indique que la disciplina dónde interpolar. Finalmente toda la aritmética de $K[X]$ , copiada de Capítulo 6, alimenta el estudio de $K[X]$ -ideales y cociente anillos en el volumen del año 2.

8.4 Ceremonias

Ejercicio 8.1 ★

Realizar las divisiones euclidianas: $X^5 - 1$ por $X^2 + X + 1$ ; entonces $2X^4 + X^3 - X + 3$ por $X^2 - 2$ .

Solución

Solución de Ejercicio 8.1.

$X^5 - 1 = (X^2 + X + 1)(X^3 - X^2 + 1) + (-X - 2)$ . Pasos: restar $X^3 B$ , luego $-X^2 B$ , luego $B$ ; el resto $-X - 2$ tiene titulación $1 < 2$ . Consultar en $X = 1$ : $\;0 = 3 \times 1 + (-3)$ .

$2X^4 + X^3 - X + 3 = (X^2 - 2)(2X^2 + X + 4) + (X + 11)$ . comprobar en $X = 0$ : $\;3 = (-2)(4) + 11$ .

Ejercicio 8.2 ★

¿Para qué $n \in \N$ $X^2 + X + 1$ divide $X^{2n} + X^n + 1$ ? Hint: the roots of $X^2 + X + 1$ are $j$ and $j^2$ with $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ ; discuss $n$ mod $3$ .

Solución

Solución de Ejercicio 8.2.

$X^2 + X + 1 = (X - j)(X - j^2)$ con $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ , $j^3 = 1$ . Es divide $Q_n = X^{2n} + X^n + 1$ si $j$ y $j^2$ son raíces de $Q_n$ ; dado que $Q_n$ tiene coeficientes reales, $Q_n(j^2) = \conj{Q_n(j)}$ , la condición es solo $Q_n(j) = 0$ . Ahora $Q_n(j) = j^{2n} + j^n + 1$ depende de $n$ mod $3$ :

$n \equiv 0$ : $Q_n(j) = 1 + 1 + 1 = 3 \neq 0$ ;
$n \equiv 1$ : $Q_n(j) = j^2 + j + 1 = 0$ ;
$n \equiv 2$ : $Q_n(j) = j^4 + j^2 + 1 = j + j^2 + 1 = 0$ .

Entonces $X^2 + X + 1 \mid X^{2n} + X^n + 1$ exactamente cuando $3 \nmid n$ .

Ejercicio 8.3 ★

Determine el $a, b$ real para que $(X-1)^2$ divide $P = X^4 + aX^3 + bX^2 + 1$ , luego factorice $P$ sobre $\R$ para estos valores.

Solución

Solución de Ejercicio 8.3.

Por Proposición 8.11, $(X-1)^2 \mid P$ y si $P(1) = P'(1) = 0$ :

P(1) = 2 + a + b = 0, \qquad P'(1) = 4 + 3a + 2b = 0 .

Resolviendo: $b = -a - 2$ y $4 + 3a - 2a - 4 = a = 0$ , entonces $a = 0$ , $b = -2$ : $P = X^4 - 2X^2 + 1 = (X^2 - 1)^2 = (X-1)^2 (X+1)^2$ , que es la factorización real.

Ejercicio 8.4 ★

Factorizar sobre $\C$ y sobre $\R$ : $X^3 - 1$ ; $\;X^4 + X^2 + 1$ ; $\;X^6 - 1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 8.4.

$X^3 - 1 = (X - 1)(X - j)(X - j^2)$ sobre $\C$ ( $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ ), y $(X - 1)(X^2 + X + 1)$ sobre $\R$ .

$X^4 + X^2 + 1 = (X^2 + X + 1)(X^2 - X + 1)$ sobre $\R$ (multiplicar, o nota $X^4 + X^2 + 1 = (X^2+1)^2 - X^2$ ); sobre $\C$ , cada cuadrático divisiones: raíces $j, j^2$ y $-j, -j^2$ , es decir, $\eu^{\pm 2\iu\pi/3}, \eu^{\pm\iu\pi/3}$ .

$X^6 - 1 = \prod_{k=0}^{5} (X - \eu^{\iu k\pi/3})$ sobre $\C$ y más $\R$ :

X^6 - 1 = (X-1)(X+1)(X^2 + X + 1)(X^2 - X + 1),

agrupando los pares conjugados $\eu^{\pm 2\iu\pi/3}$ y $\eu^{\pm \iu\pi/3}$ .

Ejercicio 8.5 ★★

Sea $P = X^3 - 6X^2 + 11X - 6$ .

Encuentra las raíces racionales (a rational root $p/q$ in lowest terms of a mónico integer polinomio is an integer dividing the constant term — prove it) y factoriza $P$ .
Sin resolver, calcula la suma de los cuadrados y la suma. de las inversas de las raíces vía Vieta, y verifique la factorización.

Solución

Solución de Ejercicio 8.5.

Sea $p/q$ (términos más bajos) una raíz del entero mónico polinomio $X^3 + \dots + c_0$ : compensación de denominadores en $P(p/q) = 0$ da $p^3 = -q\,(\text{integer})$ , por lo que $q \mid p^3$ ; fuerzas coprimales $q = \pm 1$ : la raíz es un número entero $p$ y $p \mid c_0$ (aislar $c_0$ ). Aquí los candidatos dividir $6$ : prueba, $P(1) = 0$ , $P(2) = 0$ , $P(3) = 0$ . entonces $P = (X-1)(X-2)(X-3)$ .
Vieta: $s_1 = 6$ , $s_2 = 11$ , $s_3 = 6$ . Suma de cuadrados: $s_1^2 - 2s_2 = 36 - 22 = 14 = 1 + 4 + 9$ , como se esperaba. Suma de inversas: $\frac{s_2}{s_3} = \frac{11}{6} = 1 + \frac12 + \frac13$ , como se esperaba.

Ejercicio 8.6 ★★

Calcule $\gcd(X^4 - 1,\; X^3 - X^2 + X - 1)$ por euclidiano algoritmo y escríbalo como una combinación $AU + BV$ de los dos. polinomios.

Solución

Solución de Ejercicio 8.6.

Paso de primera división del algoritmo euclidiano:

(X + 1)(X^3 - X^2 + X - 1) = X^4 - X^3 + X^2 - X + X^3 - X^2 + X - 1 = X^4 - 1 ,

entonces la división de $X^4 - 1$ entre $X^3 - X^2 + X - 1$ es exacta (cociente $X + 1$ , resto $0$ ), y el algoritmo se detiene de inmediato:

\gcd(X^4 - 1,\; X^3 - X^2 + X - 1) = X^3 - X^2 + X - 1

(ya mónico). La relación de Bézout es la trivial: $\gcd = 0 \cdot (X^4 - 1) + 1 \cdot (X^3 - X^2 + X - 1)$ . Verificación de consistencia por factorización: $X^3 - X^2 + X - 1 = (X - 1)(X^2 + 1)$ , que de hecho es el producto de los factores irreducibles comunes de $X^4 - 1 = (X-1)(X+1)(X^2+1)$ .

Ejercicio 8.7 ★★

Sea $P \in \R[X]$ con $P(x) \geq 0$ para todos los $x \in \R$ . demostrar que $P$ es la suma de dos cuadrados del real polinomios: $P = A^2 + B^2$ . Hint: in the real factorization, real roots have even multiplicidad; write the quadratic factors as $(X - z)(X - \conj z)$ and use $\abs{\,\cdot\,}^2 = (\Re)^2 + (\Im)^2$ on the product of the $(X - z)$ ’s.

Solución

Solución de Ejercicio 8.7.

Desde $P \geq 0$ en $\R$ , sus raíces reales tienen incluso multiplicidad (en un raíz del impar multiplicidad, $P$ cambia de signo). Usando Corolario 8.16 y emparejamiento, escribir

P = c \prod_i (X - a_i)^{2k_i} \prod_j \bigl((X - z_j)(X - \conj z_j)\bigr)^{n_j},

con $c > 0$ (comportamiento en $+\infty$ ). dejar

S = \sqrt c\, \prod_i (X - a_i)^{k_i} \prod_j (X - z_j)^{n_j} \in \C[X],

de modo que $P = S\,\conj S$ donde $\conj S$ tiene el conjugado coeficientes. Dividir $S = A + \iu B$ con $A, B \in \R[X]$ : luego

P = (A + \iu B)(A - \iu B) = A^2 + B^2 .

Ejercicio 8.8 ★★

Encuentre el polinomio $P$ de grado $\leq 2$ con $P(0) = 1$ , $P(1) = 3$ , $P(2) = 2$ , primero mediante la fórmula de Lagrange, luego resolviendo el sistema lineal sobre los coeficientes. Verifique que ambas respuestas coincidan.

Solución

Solución de Ejercicio 8.8.

Lagrange (Teorema 8.23) con nodos $0, 1, 2$ :

P = 1\cdot\frac{(X-1)(X-2)}{(0-1)(0-2)} + 3\cdot\frac{X(X-2)}{1\cdot(1-2)} + 2\cdot\frac{X(X-1)}{2\cdot 1} = \frac{(X-1)(X-2)}{2} - 3X(X-2) + X(X-1).

Ampliando: $\frac{X^2 - 3X + 2}{2} - 3X^2 + 6X + X^2 - X = -\frac{3}{2}X^2 + \frac{7}{2}X + 1$ .

Sistema: $P = aX^2 + bX + c$ con $c = 1$ ; $a + b + 1 = 3$ ; $4a + 2b + 1 = 2$ . Restando el doble del segundo del tercero: $2a - 1 = -4$ , entonces $a = -\frac32$ , $b = \frac72$ . Mismo polinomio: $P = -\frac32 X^2 + \frac72 X + 1$ . (Consulte $P(2) = -6 + 7 + 1 = 2$ ).

Ejercicio 8.9 ★★

Demuestre que $P = X^{2n+1} - 1$ tiene exactamente una raíz real y que para cada $n \geq 1$ el polinomio $1 + X + \frac{X^2}{2!} + \dots + \frac{X^n}{n!}$ no tiene raíz múltiple (compare $P$ y $P'$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 8.9.

$P = X^{2n+1} - 1$ : $P' = (2n+1)X^{2n} \geq 0$ , entonces el polinomio La función es creciente (estrictamente excepto en $0$ ), con límites. $\mp\infty$ : desaparece exactamente una vez en $\R$ (en $x = 1$ ).

Sea $E_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{X^k}{k!}$ . Entonces $E_n' = E_{n-1} = E_n - \frac{X^n}{n!}$ . Una raíz múltiple $a$ satisfaría $E_n(a) = E_n'(a) = 0$ (Proposición 8.11), por lo tanto $\frac{a^n}{n!} = E_n(a) - E_n'(a) = 0$ , entonces $a = 0$ ; pero $E_n(0) = 1 \neq 0$ . Sin raíz múltiple.

Ejercicio 8.10 ★★★

(Polinomios de Chebyshev) Defina $T_0 = 1$ , $T_1 = X$ y $T_{n+1} = 2X\,T_n - T_{n-1}$ .

Demuestre por inducción que $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ para todos $\theta$ .
Deduzca las raíces $n$ de $T_n$ y su coeficiente principal.
Demuestre que $\sup_{x \in \intcc{-1}{1}} \abs{T_n(x)} = 1$ , alcanzado en $n + 1$ puntos de $\intcc{-1}{1}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 8.10.

Inducción (se mantienen dos casos base). Usando $\cos(n+1)\theta + \cos(n-1)\theta = 2\cos\theta\cos n\theta$ :

$T_{n+1}(\cos\theta) = 2\cos\theta \cos n\theta - \cos(n-1)\theta = \cos(n+1)\theta .$
$T_n(\cos\theta) = 0$ y si $n\theta \equiv \frac\pi2 \pmod \pi$ : los números

$x_k = \cos\Bigl(\frac{(2k+1)\pi}{2n}\Bigr), \qquad k = 0, 1, \dots, n-1,$

son $n$ puntos distintos de $\intoo{-1}{1}$ (los ángulos se encuentran en $\intoo{0}{\pi}$ donde $\cos$ es inyectivo), todas las raíces de $T_n$ ; desde $\deg T_n = n$ (de la recurrencia, con coeficiente principal $2^{n-1}$ para $n \geq 1$ , por inducción), estas son todo las raíces, cada una simple.
Para $x = \cos\theta \in \intcc{-1}{1}$ : $\abs{T_n(x)} = \abs{\cos n\theta} \leq 1$ , con igualdad si $n\theta \equiv 0 \pmod\pi$ , es decir, en los puntos $n+1$ $y_k = \cos\frac{k\pi}{n}$ , $k = 0, \dots, n$ , donde $T_n(y_k) = (-1)^k$ . (Esta equioscilación hace que $2^{1-n}T_n$ sea mónico grado- $n$ polinomio de la norma superior más pequeña en $\intcc{-1}{1}$ — probado en el fin de semana de este capítulo problema.)

Ejercicio 8.11 ★★★

Sea $P \in \C[X]$ no constante con raíces distintas $a_1, \dots, a_r$ (multiplicidades $m_1, \dots, m_r$ ). demostrar la identidad de funciones racionales

\frac{P'(X)}{P(X)} = \sum_{i=1}^{r} \frac{m_i}{X - a_i},

y deducir el teorema de Gauss-Lucas: cada raíz de $P'$ se encuentra en el casco convexo de las raíces de $P$ (evaluar la identidad en un raíz $w$ de $P'$ que no es raíz de $P$ , toma conjugados y lea el resultado como $w$ siendo un promedio ponderado de $a_i$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 8.11.

Escribe $P = c\prod_i (X - a_i)^{m_i}$ . La regla del producto (ampliada a varios factores) da

P' = c\sum_{i} m_i (X - a_i)^{m_i - 1} \prod_{k \neq i} (X - a_k)^{m_k},

y dividiendo por $P$ : $\frac{P'}{P} = \sum_i \frac{m_i}{X - a_i}$ (como funciones racionales, es decir, lejos de las raíces).

Sea $w$ una raíz de $P'$ . Si $w$ es uno de los $a_i$ , se encuentra en el casco convexo trivialmente. De lo contrario, evaluando en $w$ :

0 = \sum_i \frac{m_i}{w - a_i} = \sum_i m_i\, \frac{\conj w - \conj a_i}{\abs{w - a_i}^2} .

Conjugando: $\sum_i \lambda_i (w - a_i) = 0$ donde $\lambda_i = \frac{m_i}{\abs{w - a_i}^2} > 0$ . Por lo tanto

w = \frac{\sum_i \lambda_i a_i}{\sum_i \lambda_i} :

una combinación convexa (pesos positivos que suman $1$ después normalización) de las raíces $a_i$ . Entonces cada raíz de $P'$ se encuentra en el casco convexo de las raíces de $P$ .

Ejercicio 8.12 ★★

(Filtro de raíces de unidad) Sea $n \in \N^*$ y $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ . Evaluando $(1 + X)^n$ en $1$ , $j$ y $j^2$ , demuestre que

\sum_{k \geq 0} \binom{n}{3k} = \frac{2^n + 2\cos\frac{n\pi}{3}}{3} ,

y verifique la fórmula para $n = 3$ y $n = 6$ . Hint: $1 + j^m + j^{2m}$ equals $3$ if $3 \mid m$ and $0$ otherwise; and $1 + j = \eu^{\iu\pi/3}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 8.12.

Sume las evaluaciones de $(1 + X)^n$ en los tres cubos raíces de unidad:

2^n + (1 + j)^n + (1 + j^2)^n = \sum_{k=0}^n \binom nk\,\bigl(1 + j^k + j^{2k}\bigr) = 3\sum_{k\,:\,3\mid k}\binom nk ,

ya que $1 + j^k + j^{2k}$ es una suma geométrica igual a $3$ cuando $3 \mid k$ y a $\frac{j^{3k} - 1}{j^k - 1} = 0$ en caso contrario. Ahora $1 + j = \frac12 + \iu\frac{\sqrt3}2 = \eu^{\iu\pi/3}$ y $1 + j^2 = \conj{1 + j} = \eu^{-\iu\pi/3}$ , entonces $(1+j)^n + (1+j^2)^n = 2\cos\frac{n\pi}3$ y

\sum_{k\geq0}\binom n{3k} = \frac{2^n + 2\cos\frac{n\pi}3}{3} .

Comprobaciones: $n = 3$ : $\frac{8 + 2\cos\pi}3 = 2 = \binom30 + \binom33$ ; $n = 6$ : $\frac{64 + 2}3 = 22 = 1 + 20 + 1$ .

8.5 Problema: polinomios de Chebyshev y el polinomio más plano

Problema 8.1

Entre todos mónico polinomios de grado $n$ , cual queda ¿Más cercano a cero en $\intcc{-1}1$ ? La respuesta — Chebyshev teorema, el certificado de nacimiento de la teoría de la aproximación — es $2^{1-n}T_n$ , donde $T_n$ es el Chebyshev polinomio de Ejercicio 8.10, y ningún competidor de mónico puede superar a su desviación $2^{1-n}$ . Este problema desarrolla el álgebra de la familia $(T_n)$ (ley de composición, coeficientes explícitos, la familia de segundo tipo $U_n$ , a ecuación diferencial), demuestra el teorema de extremalidad con su caso de igualdad y recopila aplicaciones: interpolación óptima nodos, el valor exacto de $\cos 36^\circ$ y un congruencia $T_p \equiv X^p \pmod p$ . En todo momento, $T_0 = 1$ , $T_1 = X$ , $T_{n+1} = 2X\,T_n - T_{n-1}$ , y utilizamos libremente $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ de Ejercicio 8.10.

Parte I — The family $(T_n)$ .

Calcule $T_2, T_3, T_4, T_5$ a partir de la recurrencia. (Comparar $T_3$ con la identidad $\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ de Ejemplo 3.9.)
Demostrar por inducción: $\deg T_n = n$ con guía coeficiente $2^{n-1}$ para $n \geq 1$ , y $T_n$ tiene el paridad de $n$ (solo aparecen potencias pares o solo impares).
Demuestre el principio de unicidad: $T_n$ es el solo polinomio satisfaciendo $P(\cos\theta) = \cos n\theta$ para todos $\theta$ . (Dos polinomios acordando $\intcc{-1}1$ de acuerdo en todas partes: Corolario 8.8.)
Deducir las leyes de composición y producto:

$T_m \circ T_n = T_{mn}, \qquad 2\,T_m T_n = T_{m+n} + T_{\abs{m-n}} .$
Recuerde de Ejercicio 8.10 las raíces $x_k = \cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}$ y los puntos de equioscilación. $y_k = \cos\frac{k\pi}n$ con $T_n(y_k) = (-1)^k$ . escribir descomponer la factorización completa de $T_n$ sobre $\R$ , y justificar que el $y_k$ entrelaza: $y_n < x_{n-1} < y_{n-1} < \dots < x_0 < y_0$ .
Demuestre que $T_n(\cosh t) = \cosh(nt)$ para todos los $t \in \R$ (misma inducción, usando Proposición 4.18), y deducir para $x \geq 1$ la forma cerrada

$T_n(x) = \frac{\bigl(x + \sqrt{x^2 - 1}\bigr)^n + \bigl(x - \sqrt{x^2 - 1}\bigr)^n}{2} ,$

entonces $T_n(x) > 1$ para $x > 1$ : fuera de $\intcc{-1}1$ el polinomio escapa de inmediato.

Parte II — Coefficients, the family $U_n$ , a differential equation.

De la fórmula de de Moivre (Corolario 3.8), demostrar lo explícito expresión

$T_n(x) = \sum_{0 \leq 2j \leq n} \binom{n}{2j}\, x^{\,n-2j}\,(x^2 - 1)^j ,$

y verifíquelo para $n = 3$ .
Calcule $T_n(1)$ , $T_n(-1)$ y $T_n(0)$ para todos los $n$ .
Defina $U_n$ (segundo tipo) por $U_0 = 1$ , $U_1 = 2X$ , $U_{n+1} = 2X\,U_n - U_{n-1}$ . demostrar que $U_n(\cos\theta) = \frac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}$ para $\theta \notin \pi\Z$ , y que $T_n' = n\,U_{n-1}$ para $n \geq 1$ .
Demuestre que $\abs{\sin n\theta} \leq n\,\abs{\sin\theta}$ para todos los $\theta$ (inducción), y deducir el tipo Markov atado

$\abs{T_n'(x)} \leq n^2 \quad\text{on } \intcc{-1}1, \qquad\text{with } T_n'(\pm1) = (\pm1)^{n-1}\,n^2 .$
Demuestre que $y = T_n$ satisface la ecuación diferencial

$(1 - x^2)\,y'' - x\,y' + n^2\,y = 0 ,$

diferenciando la identidad $\sin\theta\, T_n'(\cos\theta) = n\sin n\theta$ con respecto a $\theta$ ; verifique directamente para $T_2$ .

Parte III — Chebyshev’s extremality theorem. Sea $\widetilde T_n = 2^{1-n}\,T_n$ (mónico por la pregunta 2) y escriba $\norm{P}_\infty = \sup_{x \in \intcc{-1}1}\abs{P(x)}$ .

Justificar $\norm{\widetilde T_n}_\infty = 2^{1-n}$ , alcanzado con signos alternos en los puntos $n + 1$ $y_n < \dots < y_0$ .
Supongamos que algunos mónico $P$ de grado $n$ tuvieran $\norm P_\infty < 2^{1-n}$ y establezca $D = \widetilde T_n - P$ . Muestre $\deg D \leq n - 1$ y que $D(y_k)$ tenga el signo estricto de $(-1)^k$ para cada $k = 0, \dots, n$ .
Deduzca que $D$ tiene al menos $n$ raíces reales distintas (una en cada hueco, por la propiedad de valor intermedio, utilizada aquí en el nivel de escuela secundaria y demostrado en Capítulo 13), y concluye Chebyshev teorema: cada mónico $P$ de grado $n$ satisface

$\norm{P}_\infty \geq 2^{1-n} .$
(Caso de igualdad, primer paso) Supongamos ahora $\norm P_\infty = 2^{1-n}$ exactamente, $P$ mónico de grado $n$ , y sea $D = \widetilde T_n - P$ . Muestre que $(-1)^kD(y_k) \geq 0$ para todo $k$ , y que si $D(y_k) = 0$ por un interior punto $y_k$ ( $0 < k < n$ ), luego también $D'(y_k) = 0$ . (At an interior $y_k$ , both $\widetilde T_n$ and $P$ attain an extremum of absolute value $\norm{\cdot} _\infty$ ; a differentiable function has zero derivative at an interior extremum — used at High School level, proved in Capítulo 14.)
(Caso de igualdad, conclusión) Cuente las raíces de $D$ con multiplicidad para mostrar $D = 0$ : el minimizador es único, $P = \widetilde T_n$ .
Transporte a un segmento arbitrario $\intcc ab$ : muestra que la norma superior mínima de mónico grado- $n$ polinomio en $\intcc ab$ es $2\bigl(\frac{b-a}4\bigr)^n$ , obtenido por un Chebyshev reescalado polinomio. (Substitute $x = \frac{a+b}2 + \frac{b-a}2\,t$ and track the leading coefficient.)

Parte IV — Applications.

Resuelva el caso $n = 3$ a mano: localice los extremos de $\widetilde T_3 = X^3 - \frac34X$ en $\intcc{-1}1$ , verificar la equioscilación cuádruple con valor $\frac14$ , y concluir que ningún mónico cúbico funciona mejor.
(nodos de interpolación óptimos) Para los nodos $n + 1$ $x_0, \dots, x_n \in \intcc{-1}1$ , el error de interpolación es regido por $\omega(X) = \prod_i (X - x_i)$ (como Capítulo 16 cuantificará). Demostrar que la elección minimizando $\norm\omega_\infty$ es el conjunto de $n + 1$ raíces de $T_{n+1}$ , con $\norm\omega_\infty = 2^{-n}$ : Los nodos de Chebyshev son los lugares adecuados para interpolar.
Utilizando $T_5$ , demuestre que $c = \cos 36^\circ$ satisface $16c^5 - 20c^3 + 5c + 1 = 0$ , factorice este polinomio como $(x + 1)(4x^2 - 2x - 1)^2$ , y concluir

$\cos 36^\circ = \frac{1 + \sqrt5}4 .$

Verificar la coherencia con $\cos 72^\circ = \frac{\sqrt5 - 1}4$ de Ejercicio 3.8.
Estimación $T_{10}(1.1)$ con la forma cerrada de la pregunta 6 (basta con dos dígitos significativos), e interpreta: a polinomio delimitado por $1$ en $\intcc{-1}1$ ya puede exceder $40$ en $x = 1.1$ . (Ese $T_n$ crece lo más rápido entre esos polinomios es otro propiedad extrema de la familia, más allá de este problema.)
Demuestre el congruencia: por cada primo impar $p$ , todos Los coeficientes de $T_p - X^p$ son divisibles por $p$ . (Use question 7 and $p \mid \binom p{2j}$ for $0 < 2j < p$ , from the proof of Teorema 6.23.) Verifique en $T_3$ y $T_5$ .

Part V — Synthesis.

Calcular explícitamente la cuadrática mónico de mínimo norma superior en $\intcc01$ y su desviación. (Pregunta 17 con $n = 2$ .)
¿Dónde exactamente se utilizó el problema: (i) la rigidez de polinomios (Corolario 8.8); (ii) el trigonometría de Capítulo 3 y Capítulo 4; (iii) ¿la aritmética de binomio coeficientes de Capítulo 6? Una frase cada uno.
Síntesis, en un breve párrafo: el teorema dice que el polinomio mónico más plano es el que equioscila, y la prueba convierte la optimización en el recuento de raíces. Comente este mecanismo, el Papel de la sustitución $x = \cos\theta$ como puente. entre álgebra y trigonometría, y nombra las dos lugares donde el problema necesitaba análisis de hechos (IVT, extremo interior) que los capítulos posteriores prueban.

Solución

Solución de Problema 8.1.

1. $T_2 = 2X^2 - 1$ ; $T_3 = 2X(2X^2 - 1) - X = 4X^3 - 3X$ ; $T_4 = 2X\,T_3 - T_2 = 8X^4 - 8X^2 + 1$ ; $T_5 = 2X\,T_4 - T_3 = 16X^5 - 20X^3 + 5X$ . La identidad $T_3(\cos\theta) = \cos3\theta$ es exactamente $\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ de Ejemplo 3.9.

2. Verdadero para $n = 1, 2$ . Si $T_{n-1}$ , $T_n$ tienen grados $n-1$ , $n$ y coeficientes principales $2^{n-2}$ , $2^{n-1}$ , luego $2X\,T_n$ tiene grado $n+1$ y coeficiente principal $2^n$ , mientras que $T_{n-1}$ tiene grado inferior: $T_{n+1}$ tiene grado $n + 1$ , líder coeficiente $2^n$ . Paridad: si $T_{n-1}$ tiene la paridad de $n - 1$ y $T_n$ el de $n$ , entonces $2X\,T_n$ y $T_{n-1}$ tienen ambos el paridad de $n + 1$ , por lo tanto también lo hace $T_{n+1}$ .

3. Si $P(\cos\theta) = \cos n\theta$ para todos los $\theta$ , entonces $P$ y $T_n$ coinciden en cada punto de $\intcc{-1}1$ — un infinito conjunto — entonces $P - T_n$ tiene infinitas raíces y es el cero polinomio (Corolario 8.8).

4. Para $x = \cos\theta$ : $T_m(T_n(\cos\theta)) = T_m(\cos n\theta) = \cos(mn\theta) = T_{mn}(\cos\theta)$ , y $2T_mT_n(\cos\theta) = 2\cos m\theta\cos n\theta = \cos(m+n)\theta + \cos\abs{m - n}\theta$ . Ambas identidades se mantienen en $\intcc{-1}1$ , por lo tanto, como identidades polinomio según el argumento de la pregunta 3.

5. Las $x_k$ son $n$ raíces simples distintas y las El coeficiente principal es $2^{n-1}$ :

T_n = 2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1} \Bigl(X - \cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}\Bigr) .

Entrelazado: los ángulos $0 < \frac{\pi}{2n} < \frac\pi n < \frac{3\pi}{2n} < \frac{2\pi}n < \dots < \pi$ se alternan entre los ángulos $y$ $\frac{k\pi}n$ y los ángulos $x$ $\frac{(2k+1)\pi}{2n}$ ; ya que $\cos$ es estrictamente decreciente en $\intcc0\pi$ , los valores se entrelazan en orden inverso: $y_n < x_{n-1} < y_{n-1} < \dots < x_0 < y_0$ . Entre dos consecutivos extrema se encuentra exactamente en una raíz, como en la imagen de $\cos n\theta$ sugiere.

6. Inducción con $2\cosh a\cosh b = \cosh(a + b) + \cosh(a - b)$ (Proposición 4.18): $T_{n+1}(\cosh t) = 2\cosh t\cosh nt - \cosh(n-1)t = \cosh(n+1)t$ . Para $x \geq 1$ , escriba $x = \cosh t$ con $t \geq 0$ ; luego $\eu^t = x + \sqrt{x^2 - 1}$ y $\eu^{-t} = x - \sqrt{x^2 - 1}$ , entonces

T_n(x) = \cosh(nt) = \frac{(x + \sqrt{x^2-1})^n + (x - \sqrt{x^2-1})^n}2 .

Para $x > 1$ el primer término excede $\frac12(1)^n$ estrictamente y crece geométricamente: $T_n(x) > 1$ .

7. De Moivre: $\cos n\theta = \Re\bigl((\cos\theta + \iu\sin\theta)^n\bigr) = \sum_{2j \leq n}\binom n{2j} \cos^{n-2j}\theta\,(\iu\sin\theta)^{2j}$ y $(\iu\sin\theta)^{2j} = (-\sin^2\theta)^j = (\cos^2\theta - 1)^j$ . Sustituyendo $x = \cos\theta$ e invocando la pregunta 3:

T_n(x) = \sum_{0\leq 2j\leq n}\binom n{2j}x^{n-2j}(x^2 - 1)^j .

Para $n = 3$ : $\binom30 x^3 + \binom32 x(x^2 - 1) = x^3 + 3x^3 - 3x = 4x^3 - 3x$ , como en la pregunta 1.

8. $T_n(1) = \cos(n\cdot0) = 1$ ; $T_n(-1) = \cos(n\pi) = (-1)^n$ ; $T_n(0) = \cos\frac{n\pi}2$ , que es $0$ para $n$ impar y $(-1)^{n/2}$ para incluso $n$ .

9. Inducción para $U_n(\cos\theta) = \frac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}$ : verdadero para $U_0 = 1$ y $U_1 = 2X$ ( $\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ ); el paso es el identidad de suma a producto $\sin(n+2)\theta = 2\cos\theta\, \sin(n+1)\theta - \sin n\theta$ . Ahora diferencia $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ en $\theta$ : $-\sin\theta\,T_n'(\cos\theta) = -n\sin n\theta$ , entonces para $\theta \notin \pi\Z$ :

T_n'(\cos\theta) = n\,\frac{\sin n\theta}{\sin\theta} = n\,U_{n-1}(\cos\theta) ,

y el polinomios $T_n'$ y $nU_{n-1}$ , acordando $\intoo{-1}1$ , son iguales.

10. $\abs{\sin(n+1)\theta} = \abs{\sin n\theta\cos\theta + \cos n\theta\sin\theta} \leq \abs{\sin n\theta} + \abs{\sin\theta}$ , y la inducción da $\abs{\sin n\theta} \leq n\abs{\sin\theta}$ . Por lo tanto $\abs{U_{n-1}} \leq n$ en $\intoo{-1}1$ y $\abs{T_n'} = n\abs{U_{n-1}} \leq n^2$ allí; en $\pm1$ el límite se extiende tomando límites (o directamente: $U_{n-1}(1) = n$ de la recurrencia, $U_n(1) = n + 1$ por inducción, y la paridad da $U_{n-1}(-1) = (-1)^{n-1}n$ ). Así, $T_n'(1) = n^2$ y $T_n'(-1) = (-1)^{n-1}n^2$ : el límite $n^2$ se alcanza en los puntos finales.

11. Diferenciar $\sin\theta\,T_n'(\cos\theta) = n\sin n\theta$ (pregunta 9) respecto de $\theta$ :

\cos\theta\,T_n'(\cos\theta) - \sin^2\theta\,T_n''(\cos\theta) = n^2\cos n\theta = n^2\,T_n(\cos\theta) .

Con $x = \cos\theta$ y $\sin^2\theta = 1 - x^2$ : $x\,T_n' - (1 - x^2)T_n'' = n^2T_n$ en $\intcc{-1}1$ , por lo tanto en todas partes: $(1 - x^2)y'' - xy' + n^2y = 0$ para $y = T_n$ . Verifique $T_2 = 2x^2 - 1$ : $(1 - x^2)(4) - x(4x) + 4(2x^2 - 1) = 4 - 4x^2 - 4x^2 + 8x^2 - 4 = 0$ .

12. $\widetilde T_n$ es mónico (pregunta 2) y $\abs{\widetilde T_n} = 2^{1-n}\abs{T_n} \leq 2^{1-n}$ en $\intcc{-1}1$ , con $\widetilde T_n(y_k) = (-1)^k2^{1-n}$ en el $n + 1$ puntos $y_k$ (Ejercicio 8.10): la norma es exactamente $2^{1-n}$ , obtenido con signos alternos.

13. $\widetilde T_n$ y $P$ son ambos mónico de grado $n$ , por lo que los términos principales se cancelan: $\deg D \leq n - 1$ . En $y_k$ : $D(y_k) = (-1)^k2^{1-n} - P(y_k)$ y $\abs{P(y_k)} \leq \norm P_\infty < 2^{1-n}$ obligan a que el signo de $D(y_k)$ sea el de $(-1)^k2^{1-n}$ , estrictamente.

14. $D$ cambia de signo entre $y_{k+1}$ y $y_k$ para cada $k = 0, \dots, n-1$ : por la propiedad de valor intermedio, $D$ tiene un raíz en cada uno de estos intervalos abiertos disjuntos por pares $n$ — $n$ raíces distintas para un polinomio distinto de cero de grado $\leq n - 1$ , imposible. Y $D = 0$ también es imposible (las normas difieren). Contradicción: ningún mónico $P$ de grado $n$ tiene $\norm P_\infty < 2^{1-n}$ , que es el teorema de Chebyshev.

15. Ahora solo $\abs{P(y_k)} \leq 2^{1-n}$ , por lo que $(-1)^k D(y_k) = 2^{1-n} - (-1)^kP(y_k) \geq 2^{1-n} - \abs{P(y_k)} \geq 0$ . Supongamos $D(y_k) = 0$ en un interior $y_k$ ( $0 < k < n$ ): entonces $P(y_k) = (-1)^k2^{1-n}$ , por lo que $\abs P$ alcanza su supremo $2^{1-n}$ en el punto interior $y_k$ , de donde $P'(y_k) = 0$ (extremo interior); y $T_n'(y_k) = nU_{n-1}(y_k) = 0$ desde $\sin(n\cdot\frac{k\pi}n) = 0$ — entonces $\widetilde T_n'(y_k) = 0$ también, y $D'(y_k) = 0$ : $y_k$ es una raíz de $D$ de multiplicidad en menos $2$ .

16. Cuente las raíces de $D$ con multiplicidad. Sea $z$ el número de puntos interiores $y_k$ con $D(y_k) = 0$ (cada uno un doble raíz, por la pregunta 15) y $e \in \{0, 1, 2\}$ el número de puntos finales ( $y_0$ o $y_n$ ) con $D = 0$ (cada uno de ellos una raíz simple en menos). Un espacio $(y_{k+1}, y_k)$ cuyos dos puntos finales tienen $D \neq 0$ lleva signos estrictamente alternos, por lo tanto, un interior raíz. Cada punto de fuga interior estropea como máximo sus dos espacios adyacentes, cada punto final de fuga como máximo un espacio: al menos $n - 2z - e$ los espacios todavía contribuyen con una raíz cada uno, todos distintos de las raíces $y$ . Total: al menos $(n - 2z - e) + 2z + e = n$ raíces con multiplicidad, para un polinomio de grado $\leq n - 1$ : entonces $D = 0$ y $P = \widetilde T_n$ . El minimizador es único.

17. El afín aplicación $t \mapsto x = \frac{a+b}2 + \frac{b-a}2\,t$ es una biyección $\intcc{-1}1 \to \intcc ab$ . Si $P$ es mónico de grado $n$ , entonces $Q(t) = P(x(t))$ es un polinomio en $t$ con coeficiente principal $\bigl(\frac{b-a}2\bigr)^n$ , y $\sup_{\intcc ab}\abs P = \sup_{\intcc{-1}1}\abs Q$ . El mónico polinomio $Q/\bigl(\frac{b-a}2\bigr)^n$ tiene norma superior $\geq 2^{1-n}$ (preguntas 13–14), por lo que

\sup_{\intcc ab}\abs P \geq \Bigl(\frac{b-a}2\Bigr)^n 2^{1-n} = 2\Bigl(\frac{b-a}4\Bigr)^n ,

con igualdad exactamente para $P(x) = \bigl(\frac{b-a}2\bigr)^n \widetilde T_n\bigl(t(x)\bigr)$ (pregunta 16).

18. $\widetilde T_3 = \frac{T_3}4 = X^3 - \frac34X$ ; $\widetilde T_3{}' = 3X^2 - \frac34$ desaparece en $\pm\frac12$ . Valores: $\widetilde T_3(-1) = -\frac14$ , $\widetilde T_3(-\tfrac12) = \frac14$ , $\widetilde T_3(\tfrac12) = -\frac14$ , $\widetilde T_3(1) = \frac14$ : cuatro extremos alternos de valor absoluto $\frac14$ — entonces $\norm{\widetilde T_3}_\infty = \frac14$ , y según el teorema de Chebyshev ningún mónico cúbico tiene menor norma superior en $\intcc{-1}1$ .

19. $\omega$ es mónico de grado $n + 1$ , por lo que $\norm\omega_\infty \geq 2^{-n}$ por el teorema de Chebyshev (grado $n+1$ ), con igualdad si y sólo si $\omega = \widetilde T_{n+1} = 2^{-n}T_{n+1}$ (pregunta 16), es decir si y sólo si los nodos son las raíces $n + 1$ de $T_{n+1}$ . Con los nodos de Chebyshev el error. El factor $\norm\omega_\infty$ es $2^{-n}$ — el mínimo posible.

20. $5 \times 36^\circ = 180^\circ$ , entonces $T_5(c) = \cos180^\circ = -1$ : $16c^5 - 20c^3 + 5c + 1 = 0$ . Probando $x = -1$ : $-16 + 20 - 5 + 1 = 0$ y expandiendo confirma

16x^5 - 20x^3 + 5x + 1 = (x + 1)\bigl(4x^2 - 2x - 1\bigr)^2 .

Dado que $c = \cos36^\circ \neq -1$ , $c$ es una raíz de $4x^2 - 2x - 1$ , cuyas raíces son $\frac{1 \pm \sqrt5}4$ ; como $c > 0$ ,

\cos36^\circ = \frac{1 + \sqrt5}4 .

Consistencia: $\cos72^\circ = T_2(c) = 2c^2 - 1 = 2\cdot\frac{3 + \sqrt5}8 - 1 = \frac{\sqrt5 - 1}4$ , el valor encontrado en Ejercicio 3.8.

21. $\sqrt{1.1^2 - 1} = \sqrt{0.21} \approx 0.458$ , entonces $x + \sqrt{x^2-1} \approx 1.558$ y $(1.558)^{10} \approx 84.5$ , mientras que $(1.1 - 0.458)^{10} \approx 0.01$ : $T_{10}(1.1) \approx \frac{84.5 + 0.01}2 \approx 42$ . Un polinomio atrapado en $\intcc{-1}1$ en el intervalo ya ha superado $40$ uno décimo más allá de su borde: la cota en un segmento no dice nada y pulgada fuera de él.

22. En la fórmula de la pregunta 7 para $T_p$ , el término $j = 0$ es $X^p$ ; cada dos términos lleva $\binom p{2j}$ con $0 < 2j < p$ (tenga en cuenta $2j \neq p$ ya que $p$ es impar), que es divisible por $p$ por el primer paso de la prueba de Teorema 6.23. Por tanto, cada coeficiente de $T_p - X^p$ es un múltiplo de $p$ . Cheques: $T_3 - X^3 = 3X^3 - 3X = 3(X^3 - X)$ ; $T_5 - X^5 = 15X^5 - 20X^3 + 5X = 5(3X^5 - 4X^3 + X)$ .

23. Por pregunta 17 con $\intcc ab = \intcc01$ y $n = 2$ : desviación mínima $2\bigl(\frac14\bigr)^2 = \frac18$ , alcanzado por $\bigl(\frac12\bigr)^2\widetilde T_2(2x - 1) = \frac14\bigl((2x-1)^2 - \frac12\bigr) = x^2 - x + \frac18$ . el mónico cuadrática más cercana a cero en $\intcc01$ es $x^2 - x + \frac18$ , con norma sup $\frac18$ .

24. (i) Rigidez — un polinomio con más raíces que su grado es cero — impulsó el principio de unicidad (pregunta 3), la transferencia de identidades trigonométricas a polinomio identidades (preguntas 4, 7, 9, 11), y ambas argumentos de conteo de raíces de la prueba de extremalidad (preguntas 14, 16). (ii) La trigonometría de Capítulo 3 (de Moivre, suma a producto) y el funciones hiperbólicas de Capítulo 4 proporcionó todas las identidades detrás de la familia; la sustitución $x = \cos\theta$ es el puente. (iii) El divisibilidad $p \mid \binom p{2j}$ de Capítulo 6 convertido la fórmula del coeficiente en el congruencia de la pregunta 22.

25. El teorema de Chebyshev convierte una optimización sobre un familia de dimensión infinita (todos polinomios mónicos) en finita combinatoria: un competidor mejor que $\widetilde T_n$ lo haría se diferencian de él por un grado bajo polinomio obligado a cambiar de signo $n$ veces — una raíz más de la que permite su grado. el Por lo tanto, el patrón de equioscilación no es una curiosidad sino la certificado de optimidad, y el caso de igualdad se agudiza conteo de raíces con multiplicidades. La sustitución $x = \cos\theta$ merece la última palabra: transporta lo rígido, mundo discreto de polinomios en el mundo periódico de trigonometría, donde las raíces y los extremos de $T_n$ son simplemente los cuadrícula regular de $\cos n\theta$ . Los dos hechos de análisis tomados prestados. — la propiedad de valor intermedio (pregunta 14; probada en Capítulo 13) y la derivada evanescente en un extremo interior (pregunta 15; probado en Capítulo 14) — son exactamente las herramientas que esos capítulos posteriores te devolverán, cerrando el bucle.

8.1 El anillo K[X]K[X]K[X]

8.2 Raíces

8.3 Coeficientes y raíces

8.4 Ceremonias

8.5 Problema: polinomios de Chebyshev y el polinomio más plano

8.1 El anillo $K[X]$