Matemáticas universitarias — Grado 1 · Bachelor Year 1

8Polinomios

Los polinomios son las funciones favoritas del algebrista — salvo que aquí no se tratan como funciones, sino como expresiones formales en una indeterminada $X$ , que se suman y multiplican con las reglas de un anillo conmutativo. La teoría corre asombrosamente en paralelo con la del Capítulo 6: una división euclídea, un mcd y relaciones de Bézout, elementos irreducibles y una factorización única. En todo el capítulo, $K$ denota $\Q$ , $\R$ o $\C$ .

8.1 El anillo $K[X]$

Definición 8.1 (Polinomio, grado)

Un polinomio con coeficientes en $K$ es una suma formal

P = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \dots + a_n X^n = \sum_{k} a_k X^k,

con $a_k \in K$ todos nulos a partir de cierto índice. Con la suma natural y el producto

\Bigl(\sum_i a_i X^i\Bigr)\Bigl(\sum_j b_j X^j\Bigr) = \sum_k \Bigl(\sum_{i+j=k} a_i b_j\Bigr) X^k,

el conjunto $K[X]$ es un anillo conmutativo. El grado $\deg P$ de $P \neq 0$ es el mayor $n$ con $a_n \neq 0$ ; $a_n$ es el coeficiente principal ( $P$ es mónico cuando $a_n = 1$ ), y por convenio $\deg 0 = -\infty$ . Todo polinomio define una función $x \mapsto P(x)$ en $K$ por sustitución.

Proposición 8.2 (Reglas de los grados; dominio de integridad)

Para $P, Q \in K[X]$ :

\deg(P + Q) \leq \max(\deg P, \deg Q), \qquad \deg(PQ) = \deg P + \deg Q .

En consecuencia, $K[X]$ es un dominio de integridad, y sus unidades son las constantes no nulas.

Demostración. La regla de la suma es clara (los coeficientes más allá del máximo se anulan). Para el producto, sean $a_m$ y $b_n$ los coeficientes principales: el coeficiente de $X^{m+n}$ en $PQ$ es $a_m b_n \neq 0$ ( $K$ es un cuerpo y, por tanto, un dominio de integridad), y todos los coeficientes superiores se anulan. Si $P, Q \neq 0$ , entonces $\deg PQ = \deg P + \deg Q \geq 0$ , luego $PQ \neq 0$ : dominio de integridad. Si $PQ = 1$ , entonces $\deg P + \deg Q = 0$ obliga a $\deg P = \deg Q = 0$ : los elementos invertibles son las constantes invertibles, es decir, todo $K^*$ . ∎

Teorema 8.3 (División euclídea)

Sean $A, B \in K[X]$ con $B \neq 0$ . Existe exactamente un par $(Q, R)$ de polinomios con

A = BQ + R, \qquad \deg R < \deg B .

Demostración. Existencia, por inducción fuerte sobre $\deg A$ . Si $\deg A < \deg B$ , tómese $(Q, R) = (0, A)$ . En caso contrario, escríbanse $A = a X^m + \dots$ , $B = b X^n + \dots$ con $m \geq n$ ; el polinomio $A_1 = A - \frac ab X^{m-n} B$ tiene grado $< m$ (los términos principales se cancelan), luego, por inducción, $A_1 = BQ_1 + R$ con $\deg R < \deg B$ , y $A = B(Q_1 + \frac ab X^{m-n}) + R$ .

Unicidad: si $BQ + R = BQ' + R'$ , entonces $B(Q - Q') = R' - R$ con $\deg(R' - R) < \deg B$ ; por la regla de los grados, esto obliga a $Q - Q' = 0$ y después a $R = R'$ . ∎

Ejemplo 8.4

Divídase $A = X^4 + X^3 - 2X + 1$ entre $B = X^2 + 1$ :

X^4 + X^3 - 2X + 1 = (X^2 + 1)(X^2 + X - 1) + (-3X + 2).

(Cálculo: réstese $X^2 B$ , después $X B$ y después $-B$ ; el resto $-3X + 2$ tiene grado $1 < 2$ .)

Método 8.5 (Esquema de Horner)

Para evaluar $P = a_nX^n + \dots + a_0$ en $x$ , o para dividir $P$ entre $X - x$ , evítese calcular potencias: léanse los coeficientes de izquierda a derecha e itérese multiplicar por $x$ y sumar el coeficiente siguiente:

b_n = a_n, \qquad b_{k} = a_{k} + x\,b_{k+1} \quad (k = n-1, \dots, 0) .

Entonces $b_0 = P(x)$ , y los $b_k$ anteriores son los coeficientes del cociente: $P = (X - x)(b_nX^{n-1} + \dots + b_1) + b_0$ (desarróllese y compárese). Ejemplo: $P = X^4 - 5X^3 + 6X^2 + 4X - 8$ en $x = 2$ : los $b$ son $1, -3, 0, 4, 0$ , luego $P(2) = 0$ y $P = (X-2)(X^3 - 3X^2 + 4)$ — una línea en lugar de una división larga, y $n$ multiplicaciones en lugar de las $\approx n^2/2$ de la evaluación ingenua. Iterar el esquema en el mismo punto extrae las multiplicidades (compárese con el Ejemplo 8.12).

Observación 8.6 (Aritmética de $K[X]$ )

Con la división euclídea en la mano, toda la aritmética del Capítulo 6 se traslada a $K[X]$ , con las mismas demostraciones y haciendo el grado el papel del valor absoluto: mcd (normalizado para que sea mónico), algoritmo de Euclides extendido, identidad de Bézout, lema de Gauss, polinomios irreducibles y factorización única. Usaremos libremente estos resultados trasladados, y el Ejercicio 8.6 ensaya uno de ellos.

8.2 Raíces

Teorema 8.7 (Teorema del factor)

Sean $P \in K[X]$ y $a \in K$ . El resto de la división de $P$ entre $X - a$ es la constante $P(a)$ . En particular,

P(a) = 0 \iff (X - a) \mid P .

Más en general, raíces distintas $a_1, \dots, a_r$ de $P$ dan la factorización $P = (X - a_1)\cdots(X - a_r)\, Q$ .

Demostración. Divídase: $P = (X - a) Q + R$ con $\deg R < 1$ , luego $R$ es una constante $c$ ; sustituyendo $X = a$ (la sustitución respeta sumas y productos) se obtiene $P(a) = c$ . La equivalencia se sigue. Para varias raíces, hágase inducción sobre $r$ : el caso $r = 1$ es la equivalencia recién demostrada. Supóngase el enunciado para $r - 1$ raíces y sean $a_1, \dots, a_r$ raíces distintas de $P$ . Escríbase $P = (X - a_1)Q_1$ ; para cada $i \geq 2$ , sustituyendo $a_i$ :

0 = P(a_i) = (a_i - a_1)\,Q_1(a_i), \qquad a_i - a_1 \neq 0 ,

y, como $K$ no tiene divisores de cero, $Q_1(a_i) = 0$ : los $r - 1$ puntos distintos $a_2, \dots, a_r$ son raíces de $Q_1$ . La hipótesis de inducción factoriza $Q_1 = (X - a_2)\cdots(X - a_r)\,Q$ , y sustituyendo hacia atrás se obtiene lo afirmado. ∎

Corolario 8.8 (Un polinomio de grado $n$ tiene a lo sumo $n$ raíces)

Un $P \in K[X]$ no nulo de grado $n$ tiene a lo sumo $n$ raíces distintas en $K$ . En consecuencia, un polinomio (de grado $\leq n$ ) que se anula en $n + 1$ puntos distintos es el polinomio nulo, y dos polinomios de grado $\leq n$ que coinciden en $n+1$ puntos son iguales.

Demostración. Si $a_1, \dots, a_r$ son raíces distintas, el Teorema 8.7 da $P = (X-a_1)\cdots(X-a_r) Q$ , luego $n = \deg P \geq r$ . Las dos consecuencias se siguen por reducción al absurdo y por diferencia. ∎

Ejemplo 8.9 (El truco del polinomio auxiliar)

Sea $P$ el polinomio de grado $\leq n$ con

P(k) = \frac{k}{k+1} \qquad (k = 0, 1, \dots, n) ;

existe y es único por la interpolación de Lagrange de más abajo. ¿Cuánto vale $P(n+1)$ ? Quítense denominadores: el polinomio $Q = (X+1)P - X$ tiene grado $\leq n + 1$ y se anula en los $n + 1$ puntos $0, 1, \dots, n$ , luego, por el Teorema 8.7,

Q = c\,X(X-1)(X-2)\cdots(X-n)

para cierta constante $c$ . Evalúese donde $Q$ se conoce de forma independiente: en $X = -1$ , $Q(-1) = 0 \cdot P(-1) + 1 = 1$ , mientras que el producto vale $(-1)(-2)\cdots(-1-n) = (-1)^{n+1}(n+1)!$ ; de ahí $c = \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}$ . Evalúese ahora en $X = n + 1$ :

(n+2)\,P(n+1) - (n+1) = Q(n+1) = c\,(n+1)! = (-1)^{n+1} ,

de modo que $P(n+1) = \dfrac{(n+1) + (-1)^{n+1}}{n+2}$ : igual a $1$ para $n$ impar y a $\frac{n}{n+2}$ para $n$ par — el polinomio interpolador no continúa el patrón $\frac{n+1}{n+2}$ . El truco que hay que recordar: codifíquense los datos como raíces de un polinomio auxiliar, identifíquese la constante desconocida en un punto ajeno a los datos, y recójase la cosecha.

Definición 8.10 (Derivada, multiplicidad)

La derivada formal de $P = \sum a_k X^k$ es $P' = \sum_{k \geq 1} k\,a_k X^{k-1}$ ; cumple las reglas habituales $(P+Q)' = P' + Q'$ , $(PQ)' = P'Q + PQ'$ (se comprueban en los monomios y se extienden por linealidad). Una raíz $a$ de $P$ tiene multiplicidad $m \geq 1$ cuando $(X-a)^m \mid P$ pero $(X-a)^{m+1} \nmid P$ ; la raíz es simple si $m = 1$ y múltiple si $m \geq 2$ .

Proposición 8.11 (Multiplicidad mediante derivadas)

$a$ es raíz de $P$ de multiplicidad $\geq m$ si y solo si

P(a) = P'(a) = \dots = P^{(m-1)}(a) = 0 .

En particular, $a$ es raíz múltiple de $P$ si y solo si $P(a) = P'(a) = 0$ .

Demostración. Escríbase $P = (X - a)^m Q + R$ , donde $R$ es el resto de la división entre $(X-a)^m$ , con $\deg R < m$ . Derivando $k \leq m - 1$ veces y evaluando en $a$ : el primer término aporta $0$ (cada derivada conserva un factor $(X-a)$ ), luego $P^{(k)}(a) = R^{(k)}(a)$ .

Ahora bien, un polinomio $R$ de grado $< m$ queda determinado por $R(a), R'(a), \dots, R^{(m-1)}(a)$ : escribiendo $R = \sum_{k < m} c_k (X - a)^k$ (es posible: desarróllense las potencias de $X = (X - a) + a$ ), se obtiene $R^{(k)}(a) = k!\, c_k$ . Por tanto: todos los $P^{(k)}(a) = 0$ para $k < m$ $\iff$ todos los $c_k = 0$ $\iff$ $R = 0$ $\iff$ $(X-a)^m \mid P$ . ∎

Ejemplo 8.12 (Cálculo de una multiplicidad)

¿Cuál es la multiplicidad de la raíz $2$ en $P = X^4 - 5X^3 + 6X^2 + 4X - 8$ ? Evalúense las derivadas sucesivas en $2$ :

P(2) = 16 - 40 + 24 + 8 - 8 = 0, \qquad P'(2) = 32 - 60 + 24 + 4 = 0,

P''(2) = 48 - 60 + 12 = 0, \qquad P'''(2) = 48 - 30 = 18 \neq 0

(con $P' = 4X^3 - 15X^2 + 12X + 4$ , $P'' = 12X^2 - 30X + 12$ , $P''' = 24X - 30$ ). Tres valores nulos y después uno no nulo: multiplicidad exactamente $3$ . Dividiendo, $P = (X - 2)^3(X + 1)$ — lo que se comprueba desarrollando $(X-2)^3 = X^3 - 6X^2 + 12X - 8$ y multiplicando por $X + 1$ . La idea clave: las multiplicidades se leen en evaluaciones, sin necesidad de factorizar — que es exactamente como se detectan cuando la factorización está fuera de alcance.

Ejemplo 8.13 (Detectar raíces múltiples con un mcd)

Cuando no se conoce ninguna raíz, la Proposición 8.11 sigue dando un detector global de raíces múltiples: $a$ es raíz múltiple de $P$ si y solo si es raíz común de $P$ y $P'$ , luego $P$ tiene una raíz múltiple (en $\C$ ) si y solo si $\gcd(P, P') \neq 1$ — calculable con el algoritmo de Euclides sin resolver nada. Muestra: $P = X^3 - 3X + 2$ , $P' = 3X^2 - 3 = 3(X - 1)(X + 1)$ . Probando las raíces $\pm1$ de $P'$ dentro de $P$ : $P(1) = 0$ pero $P(-1) = 4$ , luego

\gcd(P, P') = X - 1 :

la raíz $1$ es múltiple; dividiendo dos veces, $P = (X - 1)^2(X + 2)$ . El mcd informa incluso del conjunto completo de raíces múltiples, cada una con la multiplicidad rebajada en uno — hecho que aprovecha todo sistema de álgebra por computador para «factorizar libre de cuadrados» antes de buscar raíz alguna, y el gemelo polinómico de los argumentos sin raíces múltiples del Ejercicio 8.9.

Teorema 8.14 (Teorema fundamental del álgebra)

Todo polinomio no constante de $\C[X]$ tiene una raíz en $\C$ .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 8.15

A pesar de su nombre, el teorema es un enunciado de análisis: toda demostración conocida usa de algún modo la completitud de $\R$ , y ninguna es puramente algebraica — la demostración honesta se da en el volumen del tercer año, una vez disponibles la integración compleja o los argumentos de compacidad. Lo que este capítulo demuestra de verdad es la reducción: concedida una raíz para todo polinomio no constante, las factorizaciones completas sobre $\C$ y sobre $\R$ de más abajo se siguen por puro álgebra.

Corolario 8.16 (Factorización sobre $\C$ y sobre $\R$ )

Todo $P \in \C[X]$ no nulo se factoriza como

$P = c\, (X - a_1)^{m_1} \cdots (X - a_r)^{m_r},$

con $c$ el coeficiente principal, $a_i$ las raíces complejas distintas y $\sum m_i = \deg P$ : contadas con multiplicidad, un polinomio de grado $n$ tiene exactamente $n$ raíces complejas.
Todo $P \in \R[X]$ no nulo se factoriza sobre $\R$ como

$P = c \prod_i (X - a_i)^{m_i} \prod_j (X^2 + p_j X + q_j)^{n_j},$

siendo los factores cuadráticos distintos y con $p_j^2 - 4q_j < 0$ (sin raíces reales).

Demostración. (1) Inducción sobre el grado, separando una raíz cada vez mediante el Teorema 8.7; el recuento de grados cuadra en cada paso.

(2) Sea $P$ de coeficientes reales. Si $z$ es una raíz compleja de multiplicidad $m$ , también lo es $\conj z$ : conjugando $P(z) = 0$ se obtiene $P(\conj z) = \conj{P(z)} = 0$ (los coeficientes son sus propios conjugados), y lo mismo vale para las derivadas (Proposición 8.11). Agrúpense las raíces no reales en pares conjugados: cada par aporta

(X - z)(X - \conj z) = X^2 - 2\Re(z)\, X + \abs z^2 ,

un polinomio real de segundo grado con discriminante negativo. Las raíces reales aportan los factores lineales. ∎

Ejemplo 8.17

$X^4 + 4$ se factorizó sobre $\R$ en el Ejercicio 3.5 emparejando las cuatro raíces complejas $\pm 1 \pm \iu$ : $X^4 + 4 = (X^2 - 2X + 2)(X^2 + 2X + 2)$ . Ninguno de los dos factores se descompone sobre $\R$ (discriminantes $-4$ ). Obsérvese: un polinomio real irreducible tiene grado $1$ o $2$ — que es exactamente lo que dice el teorema de factorización. El mismo emparejamiento de conjugados aplicado a $X^4 + 1$ , cuyas raíces son $\eu^{\pm\iu\pi/4}$ y $\eu^{\pm3\iu\pi/4}$ : cada par aporta $X^2 - 2\cos\theta\,X + 1$ , luego

X^4 + 1 = \bigl(X^2 - \sqrt2\,X + 1\bigr) \bigl(X^2 + \sqrt2\,X + 1\bigr) ,

identidad invisible para los intentos ingenuos de factorizar sobre $\Q$ — el precio de insistir en coeficientes reales (aquí incluso irracionales), y un ingrediente estándar para integrar $\frac1{x^4 + 1}$ en el Capítulo 15.

El polinomio de Chebyshev T_5 = 16X5 - 20X3 + 5X en ∈tcc-11: oscila exactamente entre -1 y 1, tocando las cotas en seis puntos (marcados). Esta equioscilación es lo que hace de 2-4T_5 la quíntica mónica de menor norma del supremo en el intervalo ( y el problema del fin de semana). — El polinomio de Chebyshev $T_5 = 16X^5 - 20X^3 + 5X$ en $\intcc{-1}1$ : oscila exactamente entre $-1$ y $1$ , tocando las cotas en seis puntos (marcados). Esta *equioscilación* es lo que hace de $2^{-4}T_5$ la quíntica mónica de menor norma del supremo en el intervalo (Ejercicio 8.10 y el problema del fin de semana).

Observación 8.18 (Errores frecuentes con polinomios)

Polinomio frente a función. Sobre $K = \Q, \R, \C$ las dos nociones coinciden (funciones iguales tienen coeficientes iguales, por el Corolario 8.8 y ser $K$ infinito), pero conceptualmente un polinomio es su lista de coeficientes: sobre el cuerpo de dos elementos $\Z/2\Z$ del Capítulo 7, $X^2 + X$ se anula en los dos puntos y, sin embargo, no es el polinomio nulo.
Grados al sumar. $\deg(P + Q)$ puede caer por debajo de $\max(\deg P, \deg Q)$ cuando los términos principales se cancelan; escribir « $\deg(P + Q) = \max(\dots)$ » solo es seguro con grados distintos.
Contar bien las raíces. « $n$ raíces» en el Corolario 8.16 significa con multiplicidad y en $\C$ : $X^2 + 1$ no tiene raíces reales, y $(X-1)^2$ tiene una raíz distinta pero dos con multiplicidad. Los enunciados que mezclan los tres recuentos son la fuente más frecuente de demostraciones falsas.
La irreducibilidad depende del cuerpo. $X^2 - 2$ es irreducible sobre $\Q$ y se descompone sobre $\R$ ; $X^2 + 1$ es irreducible sobre $\R$ y se descompone sobre $\C$ . La palabra «irreducible» a secas no significa nada mientras no se nombre el cuerpo de coeficientes.

8.3 Coeficientes y raíces

Teorema 8.19 (Fórmulas de Vieta)

Sea $P = X^n + c_{n-1} X^{n-1} + \dots + c_0$ mónico con raíces $a_1, \dots, a_n \in \C$ (con multiplicidad). Entonces

\sum_i a_i = -c_{n-1}, \qquad \sum_{i < j} a_i a_j = c_{n-2}, \qquad \dots, \qquad a_1 a_2 \cdots a_n = (-1)^n c_0 ,

siendo la $k$ -ésima función simétrica de las raíces $(-1)^k c_{n-k}$ .

Demostración. Por el Corolario 8.16, $P = (X - a_1)\cdots(X - a_n)$ (mónico, con todas las raíces enumeradas). Desarrollar el producto por distributividad produce un término por cada manera de elegir, en cada factor, o bien $X$ o bien el término de raíz $-a_i$ : elegir las raíces en los factores de índices $i_1 < \dots < i_k$ y $X$ en los $n - k$ restantes aporta $(-a_{i_1})\cdots(-a_{i_k})\,X^{n-k}$ . Agrupando por potencias de $X$ :

P = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \Bigl(\sum_{i_1 < \dots < i_k} a_{i_1}\cdots a_{i_k}\Bigr) X^{n-k} ,

e identificando con $P = \sum_k c_{n-k}X^{n-k}$ (los coeficientes son únicos, Definición 8.1) se obtiene $c_{n-k} = (-1)^k \sigma_k$ , es decir, $\sigma_k = (-1)^kc_{n-k}$ , donde $\sigma_k$ denota la $k$ -ésima función simétrica mostrada arriba. Los tres casos mostrados son $k = 1$ , $k = 2$ y $k = n$ . ∎

Ejemplo 8.20

Para la cuadrática $X^2 - sX + p$ : suma de raíces $s$ , producto $p$ — ya usado repetidamente (Ejercicio 3.8). Para una cúbica mónica $X^3 + aX^2 + bX + c$ con raíces $\alpha, \beta, \gamma$ :

\alpha + \beta + \gamma = -a, \quad \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b, \quad \alpha\beta\gamma = -c ,

lo que permite calcular cantidades simétricas como $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = a^2 - 2b$ sin resolver.

Ejemplo 8.21 (Transformar las raíces sin hallarlas)

Sean $\alpha, \beta$ las raíces de $X^2 - 3X + 1$ . ¿Qué cuadrática mónica tiene por raíces $\alpha^2, \beta^2$ ? Por Vieta, $\alpha + \beta = 3$ y $\alpha\beta = 1$ , luego

\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = 7, \qquad \alpha^2\beta^2 = (\alpha\beta)^2 = 1 :

la respuesta es $X^2 - 7X + 1$ — obtenida sin calcular $\alpha = \frac{3 + \sqrt5}2$ . (Comprobación: $\alpha^2 = \frac{7 + 3\sqrt5}2$ y, en efecto, $\alpha^2 + \beta^2 = 7$ .) La misma estrategia sirve para los inversos (transformaciones del tipo $X^2 - \frac ba X + \frac ca$ ), para los desplazamientos y para cualquier dato simétrico: Vieta convierte preguntas sobre raíces desconocidas en álgebra sobre coeficientes conocidos. Servirá constantemente cuando las raíces sean valores propios (Capítulo 22).

Ejemplo 8.22 (Ecuaciones palindrómicas)

Resuélvase $X^4 + X^3 - 4X^2 + X + 1 = 0$ . Los coeficientes se leen igual en los dos sentidos, así que $0$ no es raíz y dividir entre $X^2$ no pierde soluciones:

X^2 + X - 4 + \frac1X + \frac1{X^2} = 0 .

Póngase $y = X + \frac1X$ : entonces $X^2 + \frac1{X^2} = y^2 - 2$ y la ecuación se reduce a

y^2 + y - 6 = 0 \iff (y + 3)(y - 2) = 0 .

Desenróllese cada valor mediante $X^2 - yX + 1 = 0$ : para $y = 2$ , $X^2 - 2X + 1 = (X - 1)^2$ da la raíz doble $1$ ; para $y = -3$ , $X^2 + 3X + 1 = 0$ da $X = \frac{-3 \pm \sqrt5}2$ . Cuatro raíces con multiplicidad para una cuártica, como exige el Corolario 8.16 — obtenidas resolviendo dos cuadráticas. El truco cubre todo polinomio palindrómico: sus raíces vienen en pares de inversos $\{x, 1/x\}$ (sustitúyase $X$ por $1/X$ y quítense denominadores), e $y = X + \frac1X$ es precisamente la cantidad constante sobre esos pares, lo que reduce el grado a la mitad.

Teorema 8.23 (Interpolación de Lagrange)

Sean $x_0, \dots, x_n$ puntos distintos de $K$ e $y_0, \dots, y_n \in K$ . Existe exactamente un $P \in K[X]$ de grado $\leq n$ con $P(x_i) = y_i$ para todo $i$ , a saber

P = \sum_{i=0}^{n} y_i\, L_i, \qquad L_i = \prod_{j \neq i} \frac{X - x_j}{x_i - x_j} .

Demostración. Cada $L_i$ tiene grado $n$ y cumple $L_i(x_i) = 1$ , $L_i(x_j) = 0$ para $j \neq i$ (cada factor se anula en el $x_j$ correspondiente). Así pues, el $P$ mostrado tiene grado $\leq n$ e interpola. Unicidad: dos polinomios interpoladores de grado $\leq n$ coinciden en los $n+1$ puntos $x_i$ y, por tanto, son iguales (Corolario 8.8). ∎

Observación 8.24 (Interludio: los polinomios también son vectores)

Un cambio de punto de vista que el Capítulo 18 hará oficial: los polinomios de grado $\leq n$ forman un espacio en el que la suma y el escalado se comportan exactamente como coordenadas — un polinomio es su lista de $n + 1$ coeficientes. Tres enunciados de este capítulo son álgebra lineal encubierta. La interpolación de Lagrange (Teorema 8.23) dice que los datos de evaluación $(P(x_0), \dots, P(x_n))$ determinan $P$ de manera única: evaluar en $n + 1$ puntos es una biyección lineal, y los $L_i$ son la base adaptada a ella. El desarrollo $R = \sum c_k(X - a)^k$ de la demostración de la Proposición 8.11 dice que las potencias de $(X - a)$ forman otro sistema de coordenadas, con $c_k = R^{(k)}(a)/k!$ como coordenadas. Y el Corolario 8.8 — más raíces que el grado obliga al polinomio nulo — es el motor de todas las unicidades: se convertirá en «una aplicación lineal inyectiva sobre un espacio de dimensión $n + 1$ » en el Capítulo 19. Cuando lleguen esos capítulos, el espacio $K_n[X]$ será su ejemplo favorito; vale la pena llegar allí ya familiarizado con él.

Observación 8.25 (Dónde se usa este capítulo)

La factorización sobre $\R$ y sobre $\C$ (Corolario 8.16) es el motor de las fracciones simples del Capítulo 9 y, por tanto, de una amplia clase de integrales del Capítulo 15. El desarrollo de un polinomio en potencias de $(X - a)$ , encontrado en la demostración de la Proposición 8.11, es la sombra algebraica de las fórmulas de Taylor del Capítulo 16. Los polinomios característicos ya aparecieron para las ecuaciones diferenciales (Capítulo 5) y vuelven para las matrices en el Capítulo 22; la interpolación de Lagrange es el primer teorema de existencia y unicidad del análisis numérico, y los polinomios de Chebyshev del Ejercicio 8.10 — cuya optimalidad establece el problema del fin de semana — le dicen a esa disciplina dónde interpolar. Por último, toda la aritmética de $K[X]$ , copiada del Capítulo 6, alimenta el estudio de los ideales de $K[X]$ y de los anillos cociente en el volumen del segundo año.

8.4 Ejercicios

Ejercicio 8.1 ★

Háganse las divisiones euclídeas: $X^5 - 1$ entre $X^2 + X + 1$ ; y después $2X^4 + X^3 - X + 3$ entre $X^2 - 2$ .

Solución

Solución de Ejercicio 8.1.

$X^5 - 1 = (X^2 + X + 1)(X^3 - X^2 + 1) + (-X - 2)$ . Pasos: réstese $X^3 B$ , después $-X^2 B$ y después $B$ ; el resto $-X - 2$ tiene grado $1 < 2$ . Comprobación en $X = 1$ : $\;0 = 3 \times 1 + (-3)$ .

$2X^4 + X^3 - X + 3 = (X^2 - 2)(2X^2 + X + 4) + (X + 11)$ . Comprobación en $X = 0$ : $\;3 = (-2)(4) + 11$ .

Ejercicio 8.2 ★

¿Para qué $n \in \N$ divide $X^2 + X + 1$ a $X^{2n} + X^n + 1$ ? Indicación: las raíces de $X^2 + X + 1$ son $j$ y $j^2$ con $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ ; discútase $n$ módulo $3$ .

Solución

Solución de Ejercicio 8.2.

$X^2 + X + 1 = (X - j)(X - j^2)$ con $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ , $j^3 = 1$ . Divide a $Q_n = X^{2n} + X^n + 1$ si y solo si $j$ y $j^2$ son raíces de $Q_n$ ; como $Q_n$ tiene coeficientes reales, $Q_n(j^2) = \conj{Q_n(j)}$ , así que la condición es simplemente $Q_n(j) = 0$ . Ahora bien, $Q_n(j) = j^{2n} + j^n + 1$ depende de $n$ módulo $3$ :

$n \equiv 0$ : $Q_n(j) = 1 + 1 + 1 = 3 \neq 0$ ;
$n \equiv 1$ : $Q_n(j) = j^2 + j + 1 = 0$ ;
$n \equiv 2$ : $Q_n(j) = j^4 + j^2 + 1 = j + j^2 + 1 = 0$ .

Luego $X^2 + X + 1 \mid X^{2n} + X^n + 1$ exactamente cuando $3 \nmid n$ .

Ejercicio 8.3 ★

Determínense los reales $a, b$ para que $(X-1)^2$ divida a $P = X^4 + aX^3 + bX^2 + 1$ , y factorícese después $P$ sobre $\R$ para esos valores.

Solución

Solución de Ejercicio 8.3.

Por la Proposición 8.11, $(X-1)^2 \mid P$ si y solo si $P(1) = P'(1) = 0$ :

P(1) = 2 + a + b = 0, \qquad P'(1) = 4 + 3a + 2b = 0 .

Resolviendo: $b = -a - 2$ y $4 + 3a - 2a - 4 = a = 0$ , luego $a = 0$ , $b = -2$ : $P = X^4 - 2X^2 + 1 = (X^2 - 1)^2 = (X-1)^2 (X+1)^2$ , que es la factorización real.

Ejercicio 8.4 ★

Factorícense sobre $\C$ y sobre $\R$ : $X^3 - 1$ ; $\;X^4 + X^2 + 1$ ; $\;X^6 - 1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 8.4.

$X^3 - 1 = (X - 1)(X - j)(X - j^2)$ sobre $\C$ ( $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ ), y $(X - 1)(X^2 + X + 1)$ sobre $\R$ .

$X^4 + X^2 + 1 = (X^2 + X + 1)(X^2 - X + 1)$ sobre $\R$ (desarróllese, o obsérvese que $X^4 + X^2 + 1 = (X^2+1)^2 - X^2$ ); sobre $\C$ , cada factor cuadrático se descompone: raíces $j, j^2$ y $-j, -j^2$ , es decir, $\eu^{\pm 2\iu\pi/3}, \eu^{\pm\iu\pi/3}$ .

$X^6 - 1 = \prod_{k=0}^{5} (X - \eu^{\iu k\pi/3})$ sobre $\C$ y, sobre $\R$ :

X^6 - 1 = (X-1)(X+1)(X^2 + X + 1)(X^2 - X + 1),

agrupando los pares conjugados $\eu^{\pm 2\iu\pi/3}$ y $\eu^{\pm \iu\pi/3}$ .

Ejercicio 8.5 ★★

Sea $P = X^3 - 6X^2 + 11X - 6$ .

Hállense las raíces racionales (una raíz racional $p/q$ irreducible de un polinomio entero mónico es un entero que divide al término constante — demuéstrese), y factorícese $P$ .
Sin resolver, calcúlense la suma de los cuadrados y la suma de los inversos de las raíces mediante Vieta, y compruébese con la factorización.

Solución

Solución de Ejercicio 8.5.

Sea $p/q$ (fracción irreducible) una raíz del polinomio entero mónico $X^3 + \dots + c_0$ : quitando denominadores en $P(p/q) = 0$ se obtiene $p^3 = -q\,(\text{entero})$ , luego $q \mid p^3$ ; ser coprimos obliga a $q = \pm 1$ : la raíz es un entero $p$ , y $p \mid c_0$ (aíslese $c_0$ ). Aquí los candidatos dividen a $6$ : probando, $P(1) = 0$ , $P(2) = 0$ , $P(3) = 0$ . Luego $P = (X-1)(X-2)(X-3)$ .
Vieta: $s_1 = 6$ , $s_2 = 11$ , $s_3 = 6$ . Suma de cuadrados: $s_1^2 - 2s_2 = 36 - 22 = 14 = 1 + 4 + 9$ , como se esperaba. Suma de inversos: $\frac{s_2}{s_3} = \frac{11}{6} = 1 + \frac12 + \frac13$ , como se esperaba.

Ejercicio 8.6 ★★

Calcúlese $\gcd(X^4 - 1,\; X^3 - X^2 + X - 1)$ con el algoritmo de Euclides, y escríbase como combinación $AU + BV$ de los dos polinomios.

Solución

Solución de Ejercicio 8.6.

Primer paso de división del algoritmo de Euclides:

(X + 1)(X^3 - X^2 + X - 1) = X^4 - X^3 + X^2 - X + X^3 - X^2 + X - 1 = X^4 - 1 ,

luego la división de $X^4 - 1$ entre $X^3 - X^2 + X - 1$ es exacta (cociente $X + 1$ , resto $0$ ) y el algoritmo se detiene de inmediato:

\gcd(X^4 - 1,\; X^3 - X^2 + X - 1) = X^3 - X^2 + X - 1

(ya mónico). La relación de Bézout es la trivial: $\gcd = 0 \cdot (X^4 - 1) + 1 \cdot (X^3 - X^2 + X - 1)$ . Comprobación de coherencia factorizando: $X^3 - X^2 + X - 1 = (X - 1)(X^2 + 1)$ , que es en efecto el producto de los factores irreducibles comunes de $X^4 - 1 = (X-1)(X+1)(X^2+1)$ .

Ejercicio 8.7 ★★

Sea $P \in \R[X]$ con $P(x) \geq 0$ para todo $x \in \R$ . Demuéstrese que $P$ es suma de dos cuadrados de polinomios reales: $P = A^2 + B^2$ . Indicación: en la factorización real, las raíces reales tienen multiplicidad par; escríbanse los factores cuadráticos como $(X - z)(X - \conj z)$ y úsese $\abs{\,\cdot\,}^2 = (\Re)^2 + (\Im)^2$ sobre el producto de los $(X - z)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 8.7.

Como $P \geq 0$ en $\R$ , sus raíces reales tienen multiplicidad par (en una raíz de multiplicidad impar, $P$ cambia de signo). Usando el Corolario 8.16 y emparejando, escríbase

P = c \prod_i (X - a_i)^{2k_i} \prod_j \bigl((X - z_j)(X - \conj z_j)\bigr)^{n_j},

con $c > 0$ (comportamiento en $+\infty$ ). Sea

S = \sqrt c\, \prod_i (X - a_i)^{k_i} \prod_j (X - z_j)^{n_j} \in \C[X],

de modo que $P = S\,\conj S$ , donde $\conj S$ tiene los coeficientes conjugados. Sepárese $S = A + \iu B$ con $A, B \in \R[X]$ : entonces

P = (A + \iu B)(A - \iu B) = A^2 + B^2 .

Ejercicio 8.8 ★★

Hállese el polinomio $P$ de grado $\leq 2$ con $P(0) = 1$ , $P(1) = 3$ , $P(2) = 2$ , primero con la fórmula de Lagrange y después resolviendo el sistema lineal sobre los coeficientes. Compruébese que ambas coinciden.

Solución

Solución de Ejercicio 8.8.

Lagrange (Teorema 8.23) con nodos $0, 1, 2$ :

P = 1\cdot\frac{(X-1)(X-2)}{(0-1)(0-2)} + 3\cdot\frac{X(X-2)}{1\cdot(1-2)} + 2\cdot\frac{X(X-1)}{2\cdot 1} = \frac{(X-1)(X-2)}{2} - 3X(X-2) + X(X-1).

Desarrollando: $\frac{X^2 - 3X + 2}{2} - 3X^2 + 6X + X^2 - X = -\frac{3}{2}X^2 + \frac{7}{2}X + 1$ .

Sistema: $P = aX^2 + bX + c$ con $c = 1$ ; $a + b + 1 = 3$ ; $4a + 2b + 1 = 2$ . Restando de la tercera el doble de la segunda: $2a - 1 = -4$ , luego $a = -\frac32$ , $b = \frac72$ . El mismo polinomio: $P = -\frac32 X^2 + \frac72 X + 1$ . (Compruébese $P(2) = -6 + 7 + 1 = 2$ .)

Ejercicio 8.9 ★★

Demuéstrese que $P = X^{2n+1} - 1$ tiene exactamente una raíz real, y que, para todo $n \geq 1$ , el polinomio $1 + X + \frac{X^2}{2!} + \dots + \frac{X^n}{n!}$ no tiene raíces múltiples (compárense $P$ y $P'$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 8.9.

$P = X^{2n+1} - 1$ : $P' = (2n+1)X^{2n} \geq 0$ , luego la función polinómica es creciente (estrictamente salvo en $0$ ), con límites $\mp\infty$ : se anula exactamente una vez en $\R$ (en $x = 1$ ).

Sea $E_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{X^k}{k!}$ . Entonces $E_n' = E_{n-1} = E_n - \frac{X^n}{n!}$ . Una raíz múltiple $a$ cumpliría $E_n(a) = E_n'(a) = 0$ (Proposición 8.11), luego $\frac{a^n}{n!} = E_n(a) - E_n'(a) = 0$ , de donde $a = 0$ ; pero $E_n(0) = 1 \neq 0$ . No hay raíces múltiples.

Ejercicio 8.10 ★★★

(Polinomios de Chebyshev) Defínanse $T_0 = 1$ , $T_1 = X$ y $T_{n+1} = 2X\,T_n - T_{n-1}$ .

Demuéstrese por inducción que $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ para todo $\theta$ .
Dedúzcanse las $n$ raíces de $T_n$ y su coeficiente principal.
Demuéstrese que $\sup_{x \in \intcc{-1}{1}} \abs{T_n(x)} = 1$ , alcanzado en $n + 1$ puntos de $\intcc{-1}{1}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 8.10.

Inducción (los dos casos base se cumplen). Usando $\cos(n+1)\theta + \cos(n-1)\theta = 2\cos\theta\cos n\theta$ :

$T_{n+1}(\cos\theta) = 2\cos\theta \cos n\theta - \cos(n-1)\theta = \cos(n+1)\theta .$
$T_n(\cos\theta) = 0$ si y solo si $n\theta \equiv \frac\pi2 \pmod \pi$ : los números

$x_k = \cos\Bigl(\frac{(2k+1)\pi}{2n}\Bigr), \qquad k = 0, 1, \dots, n-1,$

son $n$ puntos distintos de $\intoo{-1}{1}$ (los ángulos están en $\intoo{0}{\pi}$ , donde $\cos$ es inyectivo) y todos son raíces de $T_n$ ; como $\deg T_n = n$ (de la recurrencia, con coeficiente principal $2^{n-1}$ para $n \geq 1$ , por inducción), esas son todas las raíces, y todas simples.
Para $x = \cos\theta \in \intcc{-1}{1}$ : $\abs{T_n(x)} = \abs{\cos n\theta} \leq 1$ , con igualdad si y solo si $n\theta \equiv 0 \pmod\pi$ , es decir, en los $n+1$ puntos $y_k = \cos\frac{k\pi}{n}$ , $k = 0, \dots, n$ , donde $T_n(y_k) = (-1)^k$ . (Esta equioscilación hace de $2^{1-n}T_n$ el polinomio mónico de grado $n$ con menor norma del supremo en $\intcc{-1}{1}$ — demostrado en el problema del fin de semana de este capítulo.)

Ejercicio 8.11 ★★★

Sea $P \in \C[X]$ no constante, con raíces distintas $a_1, \dots, a_r$ (de multiplicidades $m_1, \dots, m_r$ ). Demuéstrese la identidad de funciones racionales

\frac{P'(X)}{P(X)} = \sum_{i=1}^{r} \frac{m_i}{X - a_i},

y dedúzcase el teorema de Gauss–Lucas: toda raíz de $P'$ está en la envolvente convexa de las raíces de $P$ (evalúese la identidad en una raíz $w$ de $P'$ que no sea raíz de $P$ , tómense conjugados y léase el resultado como que $w$ es una media ponderada de los $a_i$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 8.11.

Escríbase $P = c\prod_i (X - a_i)^{m_i}$ . La regla del producto (extendida a varios factores) da

P' = c\sum_{i} m_i (X - a_i)^{m_i - 1} \prod_{k \neq i} (X - a_k)^{m_k},

y, dividiendo entre $P$ : $\frac{P'}{P} = \sum_i \frac{m_i}{X - a_i}$ (como funciones racionales, es decir, fuera de las raíces).

Sea $w$ una raíz de $P'$ . Si $w$ es uno de los $a_i$ , está en la envolvente convexa trivialmente. En caso contrario, evaluando en $w$ :

0 = \sum_i \frac{m_i}{w - a_i} = \sum_i m_i\, \frac{\conj w - \conj a_i}{\abs{w - a_i}^2} .

Conjugando: $\sum_i \lambda_i (w - a_i) = 0$ , donde $\lambda_i = \frac{m_i}{\abs{w - a_i}^2} > 0$ . Por tanto

w = \frac{\sum_i \lambda_i a_i}{\sum_i \lambda_i} :

una combinación convexa (pesos positivos que suman $1$ tras normalizar) de las raíces $a_i$ . Así pues, toda raíz de $P'$ está en la envolvente convexa de las raíces de $P$ .

Ejercicio 8.12 ★★

(Filtro de raíces de la unidad) Sean $n \in \N^*$ y $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ . Evaluando $(1 + X)^n$ en $1$ , $j$ y $j^2$ , demuéstrese que

\sum_{k \geq 0} \binom{n}{3k} = \frac{2^n + 2\cos\frac{n\pi}{3}}{3} ,

y compruébese la fórmula para $n = 3$ y $n = 6$ . Indicación: $1 + j^m + j^{2m}$ vale $3$ si $3 \mid m$ y $0$ en caso contrario; y $1 + j = \eu^{\iu\pi/3}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 8.12.

Súmense las evaluaciones de $(1 + X)^n$ en las tres raíces cúbicas de la unidad:

2^n + (1 + j)^n + (1 + j^2)^n = \sum_{k=0}^n \binom nk\,\bigl(1 + j^k + j^{2k}\bigr) = 3\sum_{k\,:\,3\mid k}\binom nk ,

pues $1 + j^k + j^{2k}$ es una suma geométrica igual a $3$ cuando $3 \mid k$ y a $\frac{j^{3k} - 1}{j^k - 1} = 0$ en caso contrario. Ahora bien, $1 + j = \frac12 + \iu\frac{\sqrt3}2 = \eu^{\iu\pi/3}$ y $1 + j^2 = \conj{1 + j} = \eu^{-\iu\pi/3}$ , luego $(1+j)^n + (1+j^2)^n = 2\cos\frac{n\pi}3$ y

\sum_{k\geq0}\binom n{3k} = \frac{2^n + 2\cos\frac{n\pi}3}{3} .

Comprobaciones: $n = 3$ : $\frac{8 + 2\cos\pi}3 = 2 = \binom30 + \binom33$ ; $n = 6$ : $\frac{64 + 2}3 = 22 = 1 + 20 + 1$ .

8.5 Problema: los polinomios de Chebyshev y el polinomio más plano

Problema 8.1

Entre todos los polinomios mónicos de grado $n$ , ¿cuál se mantiene más cerca de cero en $\intcc{-1}1$ ? La respuesta — el teorema de Chebyshev, partida de nacimiento de la teoría de la aproximación — es $2^{1-n}T_n$ , donde $T_n$ es el polinomio de Chebyshev del Ejercicio 8.10, y ningún competidor mónico puede mejorar su desviación $2^{1-n}$ . Este problema desarrolla el álgebra de la familia $(T_n)$ (ley de composición, coeficientes explícitos, la familia de segunda especie $U_n$ , una ecuación diferencial), demuestra el teorema de extremalidad con su caso de igualdad y recoge aplicaciones: nodos óptimos de interpolación, el valor exacto de $\cos 36^\circ$ y una congruencia $T_p \equiv X^p \pmod p$ . En todo el problema, $T_0 = 1$ , $T_1 = X$ , $T_{n+1} = 2X\,T_n - T_{n-1}$ , y usamos libremente $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ del Ejercicio 8.10.

Parte I — La familia $(T_n)$ .

Calcúlense $T_2, T_3, T_4, T_5$ con la recurrencia. (Compárese $T_3$ con la identidad $\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ del Ejemplo 3.9.)
Demuéstrese por inducción que $\deg T_n = n$ con coeficiente principal $2^{n-1}$ para $n \geq 1$ , y que $T_n$ tiene la paridad de $n$ (solo aparecen potencias pares, o solo impares).
Demuéstrese el principio de unicidad: $T_n$ es el único polinomio que cumple $P(\cos\theta) = \cos n\theta$ para todo $\theta$ . (Dos polinomios que coinciden en $\intcc{-1}1$ coinciden en todas partes: Corolario 8.8.)
Dedúzcanse las leyes de composición y de producto:

$T_m \circ T_n = T_{mn}, \qquad 2\,T_m T_n = T_{m+n} + T_{\abs{m-n}} .$
Recuérdense del Ejercicio 8.10 las raíces $x_k = \cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}$ y los puntos de equioscilación $y_k = \cos\frac{k\pi}n$ con $T_n(y_k) = (-1)^k$ . Escríbase la factorización completa de $T_n$ sobre $\R$ y justifíquese que los $y_k$ se entrelazan: $y_n < x_{n-1} < y_{n-1} < \dots < x_0 < y_0$ .
Demuéstrese que $T_n(\cosh t) = \cosh(nt)$ para todo $t \in \R$ (misma inducción, usando la Proposición 4.18) y dedúzcase, para $x \geq 1$ , la forma cerrada

$T_n(x) = \frac{\bigl(x + \sqrt{x^2 - 1}\bigr)^n + \bigl(x - \sqrt{x^2 - 1}\bigr)^n}{2} ,$

de modo que $T_n(x) > 1$ para $x > 1$ : fuera de $\intcc{-1}1$ el polinomio se dispara de inmediato.

Parte II — Coeficientes, la familia $U_n$ , una ecuación diferencial.

A partir de la fórmula de De Moivre (Corolario 3.8), demuéstrese la expresión explícita

$T_n(x) = \sum_{0 \leq 2j \leq n} \binom{n}{2j}\, x^{\,n-2j}\,(x^2 - 1)^j ,$

y compruébese para $n = 3$ .
Calcúlense $T_n(1)$ , $T_n(-1)$ y $T_n(0)$ para todo $n$ .
Defínase $U_n$ (de segunda especie) por $U_0 = 1$ , $U_1 = 2X$ , $U_{n+1} = 2X\,U_n - U_{n-1}$ . Demuéstrese que $U_n(\cos\theta) = \frac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}$ para $\theta \notin \pi\Z$ , y que $T_n' = n\,U_{n-1}$ para $n \geq 1$ .
Demuéstrese que $\abs{\sin n\theta} \leq n\,\abs{\sin\theta}$ para todo $\theta$ (inducción) y dedúzcase la cota de tipo Markov

$\abs{T_n'(x)} \leq n^2 \quad\text{on } \intcc{-1}1, \qquad\text{with } T_n'(\pm1) = (\pm1)^{n-1}\,n^2 .$
Véase que $y = T_n$ cumple la ecuación diferencial

$(1 - x^2)\,y'' - x\,y' + n^2\,y = 0 ,$

derivando la identidad $\sin\theta\, T_n'(\cos\theta) = n\sin n\theta$ respecto de $\theta$ ; compruébese directamente para $T_2$ .

Parte III — El teorema de extremalidad de Chebyshev. Sea $\widetilde T_n = 2^{1-n}\,T_n$ (mónico por la pregunta 2) y escríbase $\norm{P}_\infty = \sup_{x \in \intcc{-1}1}\abs{P(x)}$ .

Justifíquese que $\norm{\widetilde T_n}_\infty = 2^{1-n}$ , alcanzado con signos alternados en los $n + 1$ puntos $y_n < \dots < y_0$ .
Supóngase que algún $P$ mónico de grado $n$ tuviese $\norm P_\infty < 2^{1-n}$ , y póngase $D = \widetilde T_n - P$ . Véase que $\deg D \leq n - 1$ y que $D(y_k)$ tiene el signo estricto de $(-1)^k$ para cada $k = 0, \dots, n$ .
Dedúzcase que $D$ tiene al menos $n$ raíces reales distintas (una en cada hueco, por la propiedad del valor intermedio, usada aquí al nivel del volumen anterior y demostrada en el Capítulo 13) y conclúyase el teorema de Chebyshev: todo $P$ mónico de grado $n$ cumple

$\norm{P}_\infty \geq 2^{1-n} .$
(Caso de igualdad, primer paso) Supóngase ahora $\norm P_\infty = 2^{1-n}$ exactamente, con $P$ mónico de grado $n$ , y sea $D = \widetilde T_n - P$ . Véase que $(-1)^kD(y_k) \geq 0$ para todo $k$ , y que si $D(y_k) = 0$ en un punto interior $y_k$ ( $0 < k < n$ ), entonces también $D'(y_k) = 0$ . (En un $y_k$ interior, tanto $\widetilde T_n$ como $P$ alcanzan un extremo de valor absoluto $\norm{\cdot}_\infty$ ; una función derivable tiene derivada nula en un extremo interior — usado aquí al nivel del volumen anterior y demostrado en el Capítulo 14.)
(Caso de igualdad, conclusión) Cuéntense las raíces de $D$ con multiplicidad para ver que $D = 0$ : el minimizador es único, $P = \widetilde T_n$ .
Transpórtese a un segmento arbitrario $\intcc ab$ : véase que la norma del supremo mínima de un polinomio mónico de grado $n$ en $\intcc ab$ es $2\bigl(\frac{b-a}4\bigr)^n$ , alcanzada por un polinomio de Chebyshev reescalado. (Sustitúyase $x = \frac{a+b}2 + \frac{b-a}2\,t$ y síganse los coeficientes principales.)

Parte IV — Aplicaciones.

Hágase a mano el caso $n = 3$ : localícense los extremos de $\widetilde T_3 = X^3 - \frac34X$ en $\intcc{-1}1$ , compruébese la equioscilación cuádruple con valor $\frac14$ y conclúyase que ninguna cúbica mónica lo hace mejor.
(Nodos óptimos de interpolación) Para $n + 1$ nodos $x_0, \dots, x_n \in \intcc{-1}1$ , el error de interpolación está gobernado por $\omega(X) = \prod_i (X - x_i)$ (como cuantificará el Capítulo 16). Demuéstrese que la elección que minimiza $\norm\omega_\infty$ es el conjunto de las $n + 1$ raíces de $T_{n+1}$ , con $\norm\omega_\infty = 2^{-n}$ : los nodos de Chebyshev son los lugares adecuados para interpolar.
Usando $T_5$ , demuéstrese que $c = \cos 36^\circ$ cumple $16c^5 - 20c^3 + 5c + 1 = 0$ , factorícese este polinomio como $(x + 1)(4x^2 - 2x - 1)^2$ y conclúyase

$\cos 36^\circ = \frac{1 + \sqrt5}4 .$

Compruébese la coherencia con $\cos 72^\circ = \frac{\sqrt5 - 1}4$ del Ejercicio 3.8.
Estímese $T_{10}(1.1)$ con la forma cerrada de la pregunta 6 (bastan dos cifras significativas) e interprétese: un polinomio acotado por $1$ en $\intcc{-1}1$ puede superar ya $40$ en $x = 1.1$ . (Que $T_n$ crezca lo más deprisa entre esos polinomios es otra propiedad extremal de la familia, más allá de este problema.)
Demuéstrese la congruencia: para todo primo impar $p$ , todos los coeficientes de $T_p - X^p$ son divisibles por $p$ . (Úsese la pregunta 7 y $p \mid \binom p{2j}$ para $0 < 2j < p$ , de la demostración del Teorema 6.23.) Compruébese en $T_3$ y $T_5$ .

Parte V — Síntesis.

Calcúlese explícitamente la cuadrática mónica de norma del supremo mínima en $\intcc01$ y su desviación. (Pregunta 17 con $n = 2$ .)
¿Dónde ha usado exactamente el problema: (i) la rigidez de los polinomios (Corolario 8.8); (ii) la trigonometría de los Capítulo 3 y Capítulo 4; (iii) la aritmética de los coeficientes binomiales del Capítulo 6? Una frase para cada uno.
Síntesis, en un párrafo breve: el teorema dice que el polinomio mónico más plano es el que equioscila, y la demostración convierte la optimalidad en un recuento de raíces. Coméntese este mecanismo, el papel de la sustitución $x = \cos\theta$ como puente entre álgebra y trigonometría, y nómbrense los dos lugares donde el problema ha necesitado hechos de análisis (valor intermedio, extremo interior) que demuestran capítulos posteriores.

Solución

Solución de Problema 8.1.

1. $T_2 = 2X^2 - 1$ ; $T_3 = 2X(2X^2 - 1) - X = 4X^3 - 3X$ ; $T_4 = 2X\,T_3 - T_2 = 8X^4 - 8X^2 + 1$ ; $T_5 = 2X\,T_4 - T_3 = 16X^5 - 20X^3 + 5X$ . La identidad $T_3(\cos\theta) = \cos3\theta$ es exactamente $\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ del Ejemplo 3.9.

2. Cierto para $n = 1, 2$ . Si $T_{n-1}$ y $T_n$ tienen grados $n-1$ y $n$ y coeficientes principales $2^{n-2}$ y $2^{n-1}$ , entonces $2X\,T_n$ tiene grado $n+1$ y coeficiente principal $2^n$ , mientras que $T_{n-1}$ tiene grado menor: $T_{n+1}$ tiene grado $n + 1$ y coeficiente principal $2^n$ . Paridad: si $T_{n-1}$ tiene la paridad de $n - 1$ y $T_n$ la de $n$ , entonces $2X\,T_n$ y $T_{n-1}$ tienen los dos la paridad de $n + 1$ , luego también $T_{n+1}$ .

3. Si $P(\cos\theta) = \cos n\theta$ para todo $\theta$ , entonces $P$ y $T_n$ coinciden en todos los puntos de $\intcc{-1}1$ — un conjunto infinito —, luego $P - T_n$ tiene infinitas raíces y es el polinomio nulo (Corolario 8.8).

4. Para $x = \cos\theta$ : $T_m(T_n(\cos\theta)) = T_m(\cos n\theta) = \cos(mn\theta) = T_{mn}(\cos\theta)$ , y $2T_mT_n(\cos\theta) = 2\cos m\theta\cos n\theta = \cos(m+n)\theta + \cos\abs{m - n}\theta$ . Las dos identidades valen en $\intcc{-1}1$ y, por tanto, como identidades de polinomios, por el argumento de la pregunta 3.

5. Los $x_k$ son $n$ raíces simples distintas y el coeficiente principal es $2^{n-1}$ :

T_n = 2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1} \Bigl(X - \cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}\Bigr) .

Entrelazado: los ángulos $0 < \frac{\pi}{2n} < \frac\pi n < \frac{3\pi}{2n} < \frac{2\pi}n < \dots < \pi$ alternan entre los ángulos de los $y$ , $\frac{k\pi}n$ , y los de los $x$ , $\frac{(2k+1)\pi}{2n}$ ; como $\cos$ es estrictamente decreciente en $\intcc0\pi$ , los valores se entrelazan en orden inverso: $y_n < x_{n-1} < y_{n-1} < \dots < x_0 < y_0$ . Entre dos extremos consecutivos hay exactamente una raíz, como sugiere un dibujo de $\cos n\theta$ .

6. Inducción con $2\cosh a\cosh b = \cosh(a + b) + \cosh(a - b)$ (Proposición 4.18): $T_{n+1}(\cosh t) = 2\cosh t\cosh nt - \cosh(n-1)t = \cosh(n+1)t$ . Para $x \geq 1$ , escríbase $x = \cosh t$ con $t \geq 0$ ; entonces $\eu^t = x + \sqrt{x^2 - 1}$ y $\eu^{-t} = x - \sqrt{x^2 - 1}$ , luego

T_n(x) = \cosh(nt) = \frac{(x + \sqrt{x^2-1})^n + (x - \sqrt{x^2-1})^n}2 .

Para $x > 1$ , el primer término supera estrictamente a $\frac12(1)^n$ y crece geométricamente: $T_n(x) > 1$ .

7. De Moivre: $\cos n\theta = \Re\bigl((\cos\theta + \iu\sin\theta)^n\bigr) = \sum_{2j \leq n}\binom n{2j} \cos^{n-2j}\theta\,(\iu\sin\theta)^{2j}$ , y $(\iu\sin\theta)^{2j} = (-\sin^2\theta)^j = (\cos^2\theta - 1)^j$ . Sustituyendo $x = \cos\theta$ e invocando la pregunta 3:

T_n(x) = \sum_{0\leq 2j\leq n}\binom n{2j}x^{n-2j}(x^2 - 1)^j .

Para $n = 3$ : $\binom30 x^3 + \binom32 x(x^2 - 1) = x^3 + 3x^3 - 3x = 4x^3 - 3x$ , como en la pregunta 1.

8. $T_n(1) = \cos(n\cdot0) = 1$ ; $T_n(-1) = \cos(n\pi) = (-1)^n$ ; $T_n(0) = \cos\frac{n\pi}2$ , que vale $0$ para $n$ impar y $(-1)^{n/2}$ para $n$ par.

9. Inducción para $U_n(\cos\theta) = \frac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}$ : cierto para $U_0 = 1$ y $U_1 = 2X$ ( $\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ ); el paso es la identidad de transformación $\sin(n+2)\theta = 2\cos\theta\, \sin(n+1)\theta - \sin n\theta$ . Derívese ahora $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ respecto de $\theta$ : $-\sin\theta\,T_n'(\cos\theta) = -n\sin n\theta$ , luego, para $\theta \notin \pi\Z$ :

T_n'(\cos\theta) = n\,\frac{\sin n\theta}{\sin\theta} = n\,U_{n-1}(\cos\theta) ,

y los polinomios $T_n'$ y $nU_{n-1}$ , que coinciden en $\intoo{-1}1$ , son iguales.

10. $\abs{\sin(n+1)\theta} = \abs{\sin n\theta\cos\theta + \cos n\theta\sin\theta} \leq \abs{\sin n\theta} + \abs{\sin\theta}$ , y la inducción da $\abs{\sin n\theta} \leq n\abs{\sin\theta}$ . Por tanto, $\abs{U_{n-1}} \leq n$ en $\intoo{-1}1$ y $\abs{T_n'} = n\abs{U_{n-1}} \leq n^2$ ahí; en $\pm1$ la cota se extiende por paso al límite (o directamente: $U_{n-1}(1) = n$ por la recurrencia, $U_n(1) = n + 1$ por inducción, y la paridad da $U_{n-1}(-1) = (-1)^{n-1}n$ ). Así, $T_n'(1) = n^2$ y $T_n'(-1) = (-1)^{n-1}n^2$ : la cota $n^2$ se alcanza en los extremos.

11. Derívese $\sin\theta\,T_n'(\cos\theta) = n\sin n\theta$ (pregunta 9) respecto de $\theta$ :

\cos\theta\,T_n'(\cos\theta) - \sin^2\theta\,T_n''(\cos\theta) = n^2\cos n\theta = n^2\,T_n(\cos\theta) .

Con $x = \cos\theta$ y $\sin^2\theta = 1 - x^2$ : $x\,T_n' - (1 - x^2)T_n'' = n^2T_n$ en $\intcc{-1}1$ y, por tanto, en todas partes: $(1 - x^2)y'' - xy' + n^2y = 0$ para $y = T_n$ . Comprobación para $T_2 = 2x^2 - 1$ : $(1 - x^2)(4) - x(4x) + 4(2x^2 - 1) = 4 - 4x^2 - 4x^2 + 8x^2 - 4 = 0$ .

12. $\widetilde T_n$ es mónico (pregunta 2) y $\abs{\widetilde T_n} = 2^{1-n}\abs{T_n} \leq 2^{1-n}$ en $\intcc{-1}1$ , con $\widetilde T_n(y_k) = (-1)^k2^{1-n}$ en los $n + 1$ puntos $y_k$ (Ejercicio 8.10): la norma vale exactamente $2^{1-n}$ y se alcanza con signos alternados.

13. $\widetilde T_n$ y $P$ son los dos mónicos de grado $n$ , así que los términos principales se cancelan: $\deg D \leq n - 1$ . En $y_k$ : $D(y_k) = (-1)^k2^{1-n} - P(y_k)$ , y $\abs{P(y_k)} \leq \norm P_\infty < 2^{1-n}$ obliga a que el signo de $D(y_k)$ sea el de $(-1)^k2^{1-n}$ , estrictamente.

14. $D$ cambia de signo entre $y_{k+1}$ e $y_k$ para cada $k = 0, \dots, n-1$ : por la propiedad del valor intermedio, $D$ tiene una raíz en cada uno de esos $n$ intervalos abiertos disjuntos dos a dos — $n$ raíces distintas para un polinomio no nulo de grado $\leq n - 1$ , imposible. Y $D = 0$ también es imposible (las normas difieren). Contradicción: ningún $P$ mónico de grado $n$ cumple $\norm P_\infty < 2^{1-n}$ , que es el teorema de Chebyshev.

15. Ahora solo se tiene $\abs{P(y_k)} \leq 2^{1-n}$ , luego $(-1)^k D(y_k) = 2^{1-n} - (-1)^kP(y_k) \geq 2^{1-n} - \abs{P(y_k)} \geq 0$ . Supóngase $D(y_k) = 0$ en un $y_k$ interior ( $0 < k < n$ ): entonces $P(y_k) = (-1)^k2^{1-n}$ , de modo que $\abs P$ alcanza su supremo $2^{1-n}$ en el punto interior $y_k$ , de donde $P'(y_k) = 0$ (extremo interior); y $T_n'(y_k) = nU_{n-1}(y_k) = 0$ , pues $\sin(n\cdot\frac{k\pi}n) = 0$ — luego también $\widetilde T_n'(y_k) = 0$ y $D'(y_k) = 0$ : $y_k$ es raíz de $D$ de multiplicidad al menos $2$ .

16. Cuéntense las raíces de $D$ con multiplicidad. Sea $z$ el número de puntos interiores $y_k$ con $D(y_k) = 0$ (cada uno raíz doble, por la pregunta 15) y $e \in \{0, 1, 2\}$ el número de extremos ( $y_0$ o $y_n$ ) con $D = 0$ (cada uno raíz al menos simple). Un hueco $(y_{k+1}, y_k)$ cuyos dos extremos tengan $D \neq 0$ lleva signos estrictamente alternados y, por tanto, una raíz interior. Cada punto interior de anulación estropea a lo sumo sus dos huecos contiguos, y cada extremo de anulación, a lo sumo un hueco: al menos $n - 2z - e$ huecos siguen aportando una raíz cada uno, todas distintas de las raíces $y$ . En total: al menos $(n - 2z - e) + 2z + e = n$ raíces con multiplicidad, para un polinomio de grado $\leq n - 1$ : luego $D = 0$ y $P = \widetilde T_n$ . El minimizador es único.

17. La aplicación afín $t \mapsto x = \frac{a+b}2 + \frac{b-a}2\,t$ es una biyección $\intcc{-1}1 \to \intcc ab$ . Si $P$ es mónico de grado $n$ , entonces $Q(t) = P(x(t))$ es un polinomio en $t$ con coeficiente principal $\bigl(\frac{b-a}2\bigr)^n$ , y $\sup_{\intcc ab}\abs P = \sup_{\intcc{-1}1}\abs Q$ . El polinomio mónico $Q/\bigl(\frac{b-a}2\bigr)^n$ tiene norma del supremo $\geq 2^{1-n}$ (preguntas 13–14), luego

\sup_{\intcc ab}\abs P \geq \Bigl(\frac{b-a}2\Bigr)^n 2^{1-n} = 2\Bigl(\frac{b-a}4\Bigr)^n ,

con igualdad exactamente para $P(x) = \bigl(\frac{b-a}2\bigr)^n \widetilde T_n\bigl(t(x)\bigr)$ (pregunta 16).

18. $\widetilde T_3 = \frac{T_3}4 = X^3 - \frac34X$ ; $\widetilde T_3{}' = 3X^2 - \frac34$ se anula en $\pm\frac12$ . Valores: $\widetilde T_3(-1) = -\frac14$ , $\widetilde T_3(-\tfrac12) = \frac14$ , $\widetilde T_3(\tfrac12) = -\frac14$ , $\widetilde T_3(1) = \frac14$ : cuatro extremos alternados de valor absoluto $\frac14$ — luego $\norm{\widetilde T_3}_\infty = \frac14$ y, por el teorema de Chebyshev, ninguna cúbica mónica tiene menor norma del supremo en $\intcc{-1}1$ .

19. $\omega$ es mónico de grado $n + 1$ , luego $\norm\omega_\infty \geq 2^{-n}$ por el teorema de Chebyshev (grado $n+1$ ), con igualdad si y solo si $\omega = \widetilde T_{n+1} = 2^{-n}T_{n+1}$ (pregunta 16), es decir, si y solo si los nodos son las $n + 1$ raíces de $T_{n+1}$ . Con nodos de Chebyshev, el factor de error $\norm\omega_\infty$ vale $2^{-n}$ — el menor posible.

20. $5 \times 36^\circ = 180^\circ$ , luego $T_5(c) = \cos180^\circ = -1$ : $16c^5 - 20c^3 + 5c + 1 = 0$ . Probando $x = -1$ : $-16 + 20 - 5 + 1 = 0$ , y el desarrollo confirma

16x^5 - 20x^3 + 5x + 1 = (x + 1)\bigl(4x^2 - 2x - 1\bigr)^2 .

Como $c = \cos36^\circ \neq -1$ , $c$ es raíz de $4x^2 - 2x - 1$ , cuyas raíces son $\frac{1 \pm \sqrt5}4$ ; y, siendo $c > 0$ ,

\cos36^\circ = \frac{1 + \sqrt5}4 .

Coherencia: $\cos72^\circ = T_2(c) = 2c^2 - 1 = 2\cdot\frac{3 + \sqrt5}8 - 1 = \frac{\sqrt5 - 1}4$ , el valor hallado en el Ejercicio 3.8.

21. $\sqrt{1.1^2 - 1} = \sqrt{0.21} \approx 0.458$ , luego $x + \sqrt{x^2-1} \approx 1.558$ y $(1.558)^{10} \approx 84.5$ , mientras que $(1.1 - 0.458)^{10} \approx 0.01$ : $T_{10}(1.1) \approx \frac{84.5 + 0.01}2 \approx 42$ . Un polinomio atrapado en $\intcc{-1}1$ sobre el intervalo ha crecido ya por encima de $40$ una décima más allá de su borde: estar acotado en un segmento no dice nada un dedo fuera de él.

22. En la fórmula de $T_p$ de la pregunta 7, el término $j = 0$ es $X^p$ ; todos los demás llevan $\binom p{2j}$ con $0 < 2j < p$ (obsérvese que $2j \neq p$ , pues $p$ es impar), que es divisible por $p$ por el primer paso de la demostración del Teorema 6.23. Por tanto, todo coeficiente de $T_p - X^p$ es múltiplo de $p$ . Comprobaciones: $T_3 - X^3 = 3X^3 - 3X = 3(X^3 - X)$ ; $T_5 - X^5 = 15X^5 - 20X^3 + 5X = 5(3X^5 - 4X^3 + X)$ .

23. Por la pregunta 17 con $\intcc ab = \intcc01$ y $n = 2$ : desviación mínima $2\bigl(\frac14\bigr)^2 = \frac18$ , alcanzada por $\bigl(\frac12\bigr)^2\widetilde T_2(2x - 1) = \frac14\bigl((2x-1)^2 - \frac12\bigr) = x^2 - x + \frac18$ . La cuadrática mónica más próxima a cero en $\intcc01$ es $x^2 - x + \frac18$ , con norma del supremo $\frac18$ .

24. (i) La rigidez — un polinomio con más raíces que su grado es nulo — movió el principio de unicidad (pregunta 3), el traslado de identidades trigonométricas a identidades de polinomios (preguntas 4, 7, 9 y 11) y los dos argumentos de recuento de raíces de la demostración de extremalidad (preguntas 14 y 16). (ii) La trigonometría del Capítulo 3 (De Moivre, transformación de sumas en productos) y las funciones hiperbólicas del Capítulo 4 suministraron todas las identidades que sostienen la familia; la sustitución $x = \cos\theta$ es el puente. (iii) La divisibilidad $p \mid \binom p{2j}$ del Capítulo 6 convirtió la fórmula de los coeficientes en la congruencia de la pregunta 22.

25. El teorema de Chebyshev convierte una optimización sobre una familia de dimensión infinita (todos los polinomios mónicos) en combinatoria finita: un competidor mejor que $\widetilde T_n$ diferiría de él en un polinomio de grado bajo obligado a cambiar de signo $n$ veces — una raíz más de las que su grado permite. El patrón de equioscilación no es, pues, una curiosidad, sino el certificado mismo de optimalidad, y el caso de igualdad afina el recuento de raíces con multiplicidades. La sustitución $x = \cos\theta$ merece la última palabra: transporta el mundo rígido y discreto de los polinomios al mundo periódico de la trigonometría, donde las raíces y los extremos de $T_n$ son sin más la retícula regular de $\cos n\theta$ . Los dos hechos de análisis tomados prestados — la propiedad del valor intermedio (pregunta 14; demostrada en el Capítulo 13) y la anulación de la derivada en un extremo interior (pregunta 15; demostrada en el Capítulo 14) — son exactamente las herramientas que esos capítulos posteriores devolverán, cerrando el círculo.

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8.1 El anillo K[X]K[X]K[X]

8.2 Raíces

8.3 Coeficientes y raíces

8.4 Ejercicios

8.5 Problema: los polinomios de Chebyshev y el polinomio más plano

Términos definidos en este capítulo

8.1 El anillo $K[X]$