Matemáticas universitarias — Grado 3 · Bachelor Year 3

7Espacios completos: Baire, Ascoli, Stone–Weierstrass

Lo completo — toda secuencia de Cauchy converge — es la propiedad que permite analizar objetos producir: puntos fijos de contracciones, sumas de series, soluciones de ecuaciones obtenidas como límites. Este capítulo reúne las tres grandes existencias. máquinas de la teoría métrica. teorema de baire muestra que un espacio completo no puede ser una unión contable de insignificante piezas y evoca objetos (continuo en ninguna parte diferenciable funciones!) a partir de un razonamiento puro de estilo cardinal. Arzelà–Ascoli identifica los subconjuntos compacto de $\mathcal C(K)$ y es el caballo de batalla de la compacidad del análisis: el El problema del fin de semana lo utiliza para demostrar el teorema de existencia de Peano para ecuaciones diferenciales. Piedra–Weierstrass espectáculos los polinomios, y mucho más, son densos en $\mathcal C(K)$ : la aproximación se convierte en una verificación algebraico. En el camino nosotros Construya terminaciones y demuestre el teorema de extensión para uniformemente mapas continuos, el pan de cada día de Capítulos 12, 13 y 14.

7.1 Espacios completos, terminaciones, ampliaciones.

Definición 7.1

Un espacio métrico es completo si cada secuencia de Cauchy converge (Año 2: $\R^n$ está completo; $\mathcal C(\intcc01)$ con $\norm\cdot_\infty$ está completo). un el subconjunto cerrado de un espacio completo está completo; un subconjunto completo de cualquier espacio métrico es cerrado.

Demostración. Para las dos declaraciones: una secuencia de Cauchy del $F$ cerrado converge en $X$ , y su límite, adherente a $F$ , se encuentra en $F$ ; un La secuencia convergente en $X$ de un completo $A$ es Cauchy, por lo que converge en $A$ y los límites son únicos. ∎

Teorema 7.2 (Ampliación de mapas uniformemente continuos.)

Sea $D \subseteq X$ denso, $Y$ completo y $f \colon D \to Y$ uniformemente continuo. Luego $f$ extiende únicamente a un continuo $\bar f \colon X \to Y$ y $\bar f$ son uniformemente continuo.

Demostración. Unicidad: dos extensiones continuo coinciden en la densa $D$ , por lo tanto en todas partes (el acuerdo establecido $\{g = h\}$ está cerrado: preimagen de la diagonal cerrada bajo $x\mapsto(g(x), h(x))$ ). Existencia: para $x \in X$ elija $d_n \to x$ , $d_n \in D$ . el La secuencia $(f(d_n))$ es Cauchy: dado $\varepsilon$ , uniforme. continuidad proporciona $\delta$ con $d(u,v) < \delta \Rightarrow d(f(u), f(v)) < \varepsilon$ y $(d_n)$ es Cauchy. Definir $\bar f(x) = \lim f(d_n)$ ; el límite no depende de la secuencia elegida (entrelazar dos de ellas). $\bar f$ extiende $f$ (secuencias constantes) y hereda el módulo de continuidad: si $d(x, x') < \delta$ , aproximando ambos por puntos de $D$ en La distancia $< \frac{\delta - d(x,x')}2$ da $d(\bar f(x), \bar f(x')) \leq \varepsilon$ en el límite — $\bar f$ es uniforme continuo. ∎

Teorema 7.3 (Finalización)

Cada espacio métrico $X$ se incrusta isométricamente como un subconjunto denso de a espacio métrico completo $\hat X$ , único hasta fijación de isometría $X$ puntual: es terminación.

Demostración. Existencia. Sea $\mathcal X$ el conjunto de Cauchy secuencias de $X$ , con la pseudodistancia

D\bigl((x_n), (y_n)\bigr) = \lim_n d(x_n, y_n),

el límite existe porque $\abs{d(x_n, y_n) - d(x_m, y_m)} \leq d(x_n, x_m) + d(y_n, y_m)$ hace la secuencia real Cauchy. Vamos $\hat X = \mathcal X/{\sim}$ , identificar secuencias a la distancia $D$ $0$ ; $D$ desciende a un distancia. Incrustar $X$ mediante secuencias constantes: una isometría, con imagen densa (una secuencia de Cauchy es $D$ , aproximada por el constantes construidas en sus propios términos: $D\bigl((x_n), (x_k)_{\rm const}\bigr) = \lim_n d(x_n, x_k) \to 0$ como $k \to \infty$ por Cauchyness). Lo completo de $\hat X$ : que $(\xi^k)$ sea Cauchy en $\hat X$ ; por densidad, elija $x_k \in X$ con $D(\xi^k, x_k) \leq 2^{-k}$ ; entonces $(x_k)$ es Cauchy en $X$ (triángulo desigualdad a través de $\xi$ ), define un punto $\xi \in \hat X$ , y $D(\xi^k, \xi) \leq 2^{-k} + D(x_k, \xi) \to 0$ (el La distancia desde la constante $x_k$ hasta la clase de $(x_j)_j$ es $\lim_j d(x_k, x_j)$ , pequeño para grande $k$ ).

Unicidad: dos terminaciones $\hat X_1, \hat X_2$ contienen $X$ densamente; la identidad de $X$ , una isometría, es uniformemente continuo, por lo que se extiende a $\hat X_1 \to \hat X_2$ (Teorema 7.2), sigue siendo una isometría en denso conjunto, por lo tanto en todas partes; simétricamente en la otra dirección, y los compuestos fijan el denso $X$ : son las identidades. ∎

Teorema 7.4 (Punto fijo de Banach)

Sea $X$ completo, no vacío, y $f \colon X \to X$ un contracción: $d(f(x), f(y)) \leq k\,d(x,y)$ con $k < 1$ . Entonces $f$ tiene un punto fijo único $x^*$ y cada órbita converge a él, con la tasa explícita $d(x_n, x^*) \leq \frac{k^n}{1-k}\,d(x_1, x_0)$ .

Demostración. (El año 2 demostró esto; volvemos a registrar el argumento de dos líneas para autocontención.) El órbita $x_{n+1} = f(x_n)$ tiene $d(x_{n+1}, x_n) \leq k^nd(x_1, x_0)$ , por lo tanto es Cauchy (serie geométrica); su límite $x^*$ es fijo (continuidad de $f$ ), único desde hace dos Los puntos fijos satisfacen $d \leq k\,d$ . La tasa: suma la geométrica. cola. ∎

Ejemplo 7.5 (Perturbando la identidad)

Sea $g \colon \R^d \to \R^d$ $k$ -Lipschitz con $k < 1$ . Entonces $\varphi = \mathrm{id} + g$ es un homeomorfismo of $\R^d$ onto $\R^d$ . Inyectividad, con un carácter cuantitativo. módulo:

\norm{\varphi(x) - \varphi(y)} \geq \norm{x - y} - \norm{g(x) - g(y)} \geq (1 - k)\norm{x - y} .

La sobreyectividad es el teorema del punto fijo: resolver $\varphi(x) = y$ significa $x = y - g(x)$ , y $x \mapsto y - g(x)$ es una contracción $k$ de completo $\R^d$ — a Existe una solución única $x = \psi(y)$ para cada $y$ . el la desigualdad mostrada hace el inverso $\psi$ Lipschitz con constante $\frac1{1-k}$ : a homeomorfismo, con explícita límites en ambos módulos. Esta declaración de apariencia inocua es El motor dentro del teorema de la función inversa. (Capítulo 20): cerca de un punto donde está $Df$ invertible, $f$ is una aplicación lineal invertible más un pequeña perturbación de Lipschitz, y el ejemplo de hoy no descansar. También cuantifica la robustez numérica: un sistema perturbado por menos que el margen inverso permanece soluble, con la solución avanzando como máximo $\frac{1}{1-k}$ veces la perturbación.

7.2 teorema de baire

Teorema 7.6 (Baire)

En un espacio métrico completo, una intersección contable de densos conjuntos abiertos es denso. Equivalentemente: si $X = \bigcup_{n}F_n$ con cada $F_n$ cerrado, entonces algún $F_n$ no está vacío interior.

Demostración. Sea $(U_n)$ aperturas densas y $B_0 = B(x_0, r_0)$ cualquier apertura pelota; encontramos un punto de $\bigcap U_n$ en $B_0$ . Inductivamente: $U_{n}$ siendo denso y abierto se encuentra con la bola abierta $B_{n-1}$ en un conjunto abierto, que contiene una bola cerrada $\bar B(x_n, r_n)$ con $0 < r_n \leq r_{n-1}/2$ y $\bar B(x_n, r_n) \subseteq B_{n-1}\cap U_n$ . Los centros forman una secuencia de Cauchy ( $x_m \in B_n$ para $m \geq n$ , radios $\to 0$ ); el límite $x$ está en cada $\bar B(x_n, r_n)$ (cerrazón), por lo tanto en cada $U_n$ y en $B_0$ . Para el segundo formulario: si ningún $F_n$ tiene interior, el $U_n = X \setminus F_n$ son abiertos y densos, y un punto de $\bigcap U_n$ se escapa $\bigcup F_n = X$ : absurdo. ∎

Observación 7.7

Vocabulario: un conjunto es en ninguna parte densa si su cierre tiene vacío interior, pobre (primera categoría) si es una unión contable de ninguna parte conjuntos densos. Baire: a espacio métrico completo is not pobre in itself, y el El complemento de un conjunto escaso es denso. “Pobre” es una noción de pequeñez ortogonal a medida (Capítulo 9 será producir conjuntos escasos en toda su extensión), y los argumentos de Baire prueban existencia por abundancia: exhibir un objeto sin propiedad P, muestra los objetos P de un conjunto escaso.

Corolario 7.8

(a) $\R$ es incontable. (b) $\Q$ no es contable la intersección de subconjuntos abiertos de $\R$ , y un completo espacio métrico no vacío sin puntos aislados es incontable.

Demostración. (a) $\R = \bigcup_{x}\{x\}$ sobre un conjunto contable haría algunos singleton tiene interior. (b) Si $\Q = \bigcap_n V_n$ con $V_n$ abierto (necesariamente denso, como $\supseteq \Q$ ), luego los conjuntos $V_n$ y los complementos $\R\setminus\{q\}$ , $q \in \Q$ , forman un familia contable de aperturas densas con intersección vacía — contradiciendo a Baire. Si $X$ es completo sin puntos aislados y contable, $X = \bigcup_{x \in X}\{x\}$ lo exhibe como un unión contable de conjuntos cerrados con interior vacío (sin aislamiento) puntos): Baire nuevamente. ∎

Teorema 7.9 (Los monstruos de Weierstrass existen)

Existen funciones continuo en $\intcc01$ diferenciables en no tiene sentido. De hecho, el conjunto de $f \in \mathcal C(\intcc01)$ tener una derivada (finita) incluso en un punto es pobre en $(\mathcal C(\intcc01), \norm\cdot_\infty)$ .

Demostración. Para $n \geq 1$ vamos

F_n = \Bigl\{f : \exists x \in \intcc01,\ \forall h \neq 0 \text{ with } x + h \in \intcc01,\ \abs{f(x+h) - f(x)} \leq n\abs h \Bigr\}.

Si $f$ es diferenciable en $x$ , entonces $f \in F_n$ para algún $n$ : el cociente $\abs{f(x+h)-f(x)}/\abs h$ está acotado para $\abs h \leq \delta$ (diferenciabilidad: tiende a $\abs{f'(x)}$ ) y delimitado por $2\norm f_\infty/\delta$ para $\abs h \geq \delta$ . Entonces $\bigcup F_n$ contiene todas las funciones diferenciables en algún lugar, y es suficiente mostrar cada $F_n$ se cierra con interior vacío.

Cerrado: sea $f_k \to f$ uniformemente, $f_k \in F_n$ con testigos $x_k \to x$ (compacidad, después de la extracción). Para $h$ con $x + h \in \intcc01$ : elija $h_k \to h$ con $x_k + h_k \in \intcc01$ (por ejemplo, $h_k = h + x - x_k$ recortado); entonces $\abs{f(x + h) - f(x)} = \lim \abs{f_k(x_k + h_k) - f_k(x_k)} \leq \lim n\abs{h_k} = n\abs h$ , usando convergencia uniforme y continuidad de $f$ en los puntos pertinentes: $f \in F_n$ .

Empty interior: dados $f \in F_n$ y $\varepsilon > 0$ , encontramos $g$ con $\norm{g - f}_\infty \leq \varepsilon$ y $g \notin F_n$ . Primer aproximado $f$ dentro de $\varepsilon/2$ por un afín por partes $\varphi$ (uniforme continuidad: interpolar en un cuadrícula fina), de taludes delimitados por unas $M$ . Añade un pequeño diente de sierra: $g = \varphi + \frac\varepsilon2\,s_N$ , donde $s_N(x)$ es el $\frac1N$ -zigzag periódico de amplitud $1$ y pendiente $\pm 2N$ . En cada $x$ , en un lado hay $h$ arbitrariamente pequeño con el diente de sierra que contribuye a la pendiente $\pm 2N\cdot\frac\varepsilon2 = \pm\varepsilon N$ sobre $[x, x+h]$ : el cociente de diferencias de $g$ excede $\varepsilon N - M > n$ para $N$ grande. Entonces $g \notin F_n$ , a cualquier distancia uniforme $\leq \varepsilon$ de $f$ . Conclusión: $\bigcup F_n$ es pobre; por Baire su complemento — hecho de funciones no diferenciables en ninguna parte — es denso en $\mathcal C(\intcc01)$ : existen tales funciones en abundancia. ∎

7.3 Arzelà–Ascoli

En todo momento, $K$ es un espacio métrico compacto y $\mathcal C(K) = \mathcal C(K, \R^d)$ , con $\norm f_\infty = \sup_K \norm{f(x)}$ : un espacio completo (límites uniformes de continuo son continuo — Año 2).

Definición 7.10

Una familia $\mathcal F \subseteq \mathcal C(K)$ es equicontinuo si por cada $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que

d(x, y) < \delta \implies \norm{f(x) - f(y)} < \varepsilon \quad\text{for \emph{todo} } f \in \mathcal F

(un $\delta$ para toda la familia — por ejemplo cualquier familia con un constante de Lipschitz común, o un módulo común Hölder), y acotado puntualmente si $\sup_{f}\norm{f(x)} < \infty$ para cada $x$ .

Teorema 7.11 (Arzelà–Ascoli)

Un subconjunto $\mathcal F \subseteq \mathcal C(K)$ es relativamente compacto (tiene compacto cierre) si es equicontinuo y acotado puntualmente. En particular, cada equicontinuo, secuencia acotado puntualmente tiene un punto uniformemente convergente subsecuencia.

Demostración. ( $\Leftarrow$ ) Sea $(f_k)$ una secuencia de $\mathcal F$ . $K$ La métrica compacto es separable: para cada $n$ , un número finito bolas de radio $\frac1n$ tapa $K$ (Teorema 6.16); sus centros forman un contable conjunto denso $D = \{x_1, x_2, \dots\}$ . Por punto delimitación y Bolzano–Weierstrass, extractos sucesivamente subsecuencias que convergen en $x_1$ , luego también en $x_2$ , etc., y tome la subsecuencia diagonal $(g_j)$ : converge en cada punto de $D$ . Equicontinuidad actualiza esto a uniforme Cauchy: dado $\varepsilon$ , tome $\delta$ como en el definición, cubrir $K$ por un número finito de bolas $B(x_i, \delta)$ con $x_i \in D$ ( $i \leq m$ ), y elija $J$ tan grande que $\norm{g_j(x_i) - g_{j'}(x_i)} < \varepsilon$ para $j, j' \geq J$ , $i \leq m$ . Para $x \in B(x_i, \delta)$ arbitrario:

\norm{g_j(x) - g_{j'}(x)} \leq \norm{g_j(x) - g_j(x_i)} + \norm{g_j(x_i) - g_{j'}(x_i)} + \norm{g_{j'}(x_i) - g_{j'}(x)} < 3\varepsilon .

Entonces $(g_j)$ es uniformemente Cauchy y converge en completo. $\mathcal C(K)$ . Así cada secuencia de $\mathcal F$ tiene un subsecuencia convergente: $\bar{\mathcal F}$ es (secuencialmente, de ahí por Teorema 6.16) compacto.

( $\Rightarrow$ ) Si $\bar{\mathcal F}$ es compacto: puntual la delimitación es clara (la evaluación es continuo). Para equicontinuidad, cubre $\mathcal F$ con un número finito de bolas $B(f_i, \varepsilon)$ de $\mathcal C(K)$ ; cada $f_i$ es uniformemente continuo (Heine, Corolario 6.17), dando un $\delta$ común para $i \leq m$ ; luego para $f \in B(f_i, \varepsilon)$ y $d(x,y) < \delta$ : $\norm{f(x)-f(y)} \leq 2\varepsilon + \norm{f_i(x)-f_i(y)} < 3\varepsilon$ . ∎

Ejemplo 7.12

La bola unitaria cerrada de $\mathcal C(\intcc01)$ es no compacto ( $f_n(x) = x^n$ no tiene convergencia uniforme subsecuencia: el límite puntual es discontinuo), y de hecho $(x^n)$ no es equicontinuo en $1$ . Por el contrario, $\{f : \norm f_\infty \leq 1,\ \operatorname{Lip}(f) \leq 1\}$ es compacto: acotado y $1$ -Lipschitz-equicontinuo, y cerrado. Ascóli explica por qué la compacidad falla en dimensión infinita (Riesz, Año 2) y qué añadir para restaurarlo: un uniforme módulo de continuidad.

7.4 Piedra–Weierstrass

Lema 7.13 (dini)

Sea $K$ compacto y $(f_n)$ una secuencia monótono de continuo funciones reales que convergen puntualmente a un continuo $f$ . Entonces la convergencia es uniforme.

Demostración. Diga $f_n \uparrow f$ ; deja que $g_n = f - f_n \downarrow 0$ , continuo. Dado $\varepsilon$ , conjuntos abiertos $U_n = \{g_n < \varepsilon\}$ aumenta y cubre $K$ (convergencia puntual); extraer una subcubierta finita: $K = U_{n_0}$ para algunos $n_0$ (familia en aumento), es decir $0 \leq g_n < \varepsilon$ en todas partes para $n \geq n_0$ . ∎

Lema 7.14

Hay una secuencia de polinomios $u_n$ con $u_n(t) \to \sqrt t$ uniformemente en $\intcc01$ .

Demostración. Defina $u_0 = 0$ , $u_{n+1}(t) = u_n(t) + \frac12\bigl(t - u_n(t)^2\bigr)$ : polinomios. Por inducción $0 \leq u_n(t) \leq \sqrt t$ sobre $\intcc01$ : otorgándoselo para $n$ ,

\sqrt t - u_{n+1}(t) = \bigl(\sqrt t - u_n(t)\bigr) \Bigl(1 - \tfrac12\bigl(\sqrt t + u_n(t)\bigr)\Bigr) \geq 0,

desde $\sqrt t + u_n \leq 2$ ; y $u_{n+1} \geq u_n \geq 0$ . Entonces $(u_n(t))$ no es decreciente, acotado por $\sqrt t$ : converge puntualmente y el límite $\ell(t)$ satisface $\ell = \ell + \frac12(t - \ell^2)$ : $\ell(t) = \sqrt t$ , continuo. Dini (Lema 7.13) se actualiza al uniforme. ∎

Teorema 7.15 (Piedra–Weierstrass, versión real)

Sea $K$ un espacio compacto (Hausdorff) y $\mathcal A \subseteq \mathcal C(K, \R)$ un subálgebra (estable bajo sumas, productos, múltiplos escalares) que contiene las constantes y separa puntos (para $x \neq y$ , algunos $f \in \mathcal A$ tienen $f(x) \neq f(y)$ ). Entonces $\mathcal A$ es denso en $(\mathcal C(K,\R), \norm\cdot_\infty)$ .

Demostración. Sea $\bar{\mathcal A}$ el cierre, nuevamente un álgebra (los productos de límites uniformes en conjuntos acotados convergen).

Paso 1: $\bar{\mathcal A}$ es un retículo, es decir estable bajo $\max$ y $\min$ . Como

\max(f,g) = \frac{f + g + \abs{f-g}}2

(y análogo para $\min$ ), basta con que $f \in \bar{\mathcal A} \Rightarrow \abs f \in \bar{\mathcal A}$ : con $M = \norm f_\infty > 0$ , $\abs f = M\sqrt{(f/M)^2}$ y Lema 7.14 da polinomios $u_n$ con $u_n\bigl((f/M)^2\bigr) \to \abs f/M$ uniformemente; los polinomios en miembros del álgebra (con término constante: las constantes están ahí) permanecen en $\bar{\mathcal A}$ .

Paso 2: interpolación de dos puntos. Para $x \neq y$ y $a, b \in \R$ , algunos $g \in \mathcal A$ tienen $g(x) = a$ , $g(y) = b$ : tome $h$ separando $x, y$ y configure $g = a + (b - a)\frac{h - h(x)}{h(y) - h(x)}$ .

Paso 3. Vamos $f \in \mathcal C(K)$ , $\varepsilon > 0$ . Para cada par $x, y$ elija $g_{x,y} \in \mathcal A$ con $g_{x,y}(x) = f(x)$ , $g_{x,y}(y) = f(y)$ (Paso 2; para $x = y$ tomar la función constante $g_{x,x} = f(x)$ ). Corrección $x$ : para cada $y$ , el conjunto abierto $V_y = \{g_{x,y} < f + \varepsilon\}$ contiene $y$ ; la compacidad extrae $y_1, \dots, y_m$ con $K = \bigcup V_{y_j}$ , y $h_x = \min_j g_{x, y_j} \in \bar{\mathcal A}$ (Paso 1) satisface $h_x < f + \varepsilon$ en todas partes, $h_x(x) = f(x)$ . Ahora varíe $x$ : $W_x = \{h_x > f - \varepsilon\}$ está abierto, contiene $x$ ; extraiga $x_1, \dots, x_l$ que cubre $K$ y $h = \max_i h_{x_i} \in \bar{\mathcal A}$ satisface $f - \varepsilon < h < f + \varepsilon$ : $\norm{f - h}_\infty \leq \varepsilon$ . Por lo tanto $f \in \bar{\mathcal A}$ . ∎

Corolario 7.16

(a) (Weierstrass) Los polinomios son densos en $\mathcal C(\intcc ab, \R)$ ; polinomios en variables $n$ son densos en $\mathcal C(K, \R)$ para compacto $K \subseteq \R^n$ . (b) (Versión compleja) Si $\mathcal A \subseteq \mathcal C(K, \C)$ es una subálgebra que contiene constantes, separando puntos, y estable bajo conjugación, es denso. (c) (Versión trigonométrica) Polinomios trigonométricos $\sum_{\abs n \leq N}c_n\eu^{\iu n t}$ son densos en el espacio de continuo $2\pi$ -funciones periódicas con $\norm\cdot_\infty$ .

Demostración. (a) Los polinomios forman un álgebra con constantes; la coordenada funciones puntos separados de $\R^n$ . (b) Las partes real e imaginaria $\frac{f + \bar f}2$ , $\frac{f - \bar f}{2\iu}$ de miembros de $\mathcal A$ forman una álgebra real $\mathcal A_\R \subseteq \mathcal C(K, \R)$ con constantes; separa puntos ( $f(x) \ne f(y)$ fuerzas $\operatorname{Re}f$ o $\operatorname{Im}f$ para separar). Aplicar el teorema real y recombinar. (c) Ver funciones periódicas $2\pi$ como $\mathcal C(S^1, \C)$ ( $S^1 = \R/2\pi\Z$ , compacto: Ejercicio 6.5); el álgebra generada por $\eu^{\iu t}, \eu^{-\iu t}$ y las constantes son estables bajo conjugación y separa puntos del círculo ( $\eu^{\iu t}$ es inyectivo). Aplicar (b). ∎

Observación 7.17

La versión trigonométrica repara y generaliza enormemente la brecha que queda en el capítulo de Fourier del año 2: densidad de trigonometría polinomios en $(\mathcal C(S^1), \norm\cdot_2)$ siguen un fortiori ( $\norm\cdot_2 \leq \norm\cdot_\infty$ hasta el constante de normalización), lo que hará del sistema de Fourier una ortonormal base en Capítulo 13, demostrando Parseval por fin en plena generalidad.

7.5 Ceremonias

Ejercicio 7.1 ★

(a) Demuestre que $\mathcal C(\intcc01, \R)$ con $\norm f_1 = \int_0^1\abs f$ es no completo: el funciones $f_n$ igual a $0$ en $\intcc0{\frac12}$ , $1$ en $\intcc{\frac12 + \frac1n}1$ , afines entre, son $\norm\cdot_1$ -Cauchy sin límite continuo. (b) Demuestre que un espacio normado en el que todo absolutamente la serie convergente converge es completo. (Extract from a Cauchy sequence a subsequence with $\norm{x_{n_{k+1}} - x_{n_k}} \leq 2^{-k}$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 7.1.

(a) Para $m \geq n$ , $f_n - f_m$ desaparece fuera de un intervalo de de longitud $\frac1n$ y está delimitado por $1$ : $\norm{f_n - f_m}_1 \leq \frac1n \to 0$ : Cauchy. Si $f_n \to f$ en $\norm\cdot_1$ con $f$ continuo: para fijo $\alpha < \frac12$ , $\int_0^{\alpha}\abs f = \lim \int_0^\alpha\abs{f - f_n + f_n} \leq \lim\bigl(\norm{f - f_n}_1 + 0\bigr) = 0$ ( $f_n \equiv 0$ existe para $n$ grande), por lo que $f \equiv 0$ en $[0, \frac12)$ (continuidad); igualmente $f \equiv 1$ en $(\frac12, 1]$ : ninguna función continuo hace ambas cosas. entonces el espacio está incompleto — el terminación es $L^1$ , integrado Capítulo 12.

(b) Sea $(x_n)$ Cauchy; elija $n_1 < n_2 < \cdots$ con $\norm{x_{n_{k+1}} - x_{n_k}} \leq 2^{-k}$ . la serie $\sum_k (x_{n_{k+1}} - x_{n_k})$ converge absolutamente, por lo tanto converge; sus sumas parciales son $x_{n_{k+1}} - x_{n_1}$ , entonces $(x_{n_k})$ converge y una secuencia de Cauchy con un convergente la subsecuencia converge.

Ejercicio 7.2 ★

Usando Baire: (a) demuestre que un espacio normado completo no tiene base contable (algebraico) — deduzca que el espacio de polinomios es completo para la norma no; (b) demuestre que si un secuencia de continuo $f_n \colon \R \to \R$ converge puntualmente a $f$ , el conjunto de puntos continuidad de $f$ es denso. (For (b): admit or prove that $\Omega_\delta = \{x : \operatorname{osc}_x f < \delta\}$ is open, and show it is dense using $F_{N} = \{x: \abs{f_n(x) - f_m(x)} \leq \delta/3\ \forall n,m \geq N\}$ , closed sets covering $\R$ ; work in an arbitrary closed ball to apply Baire.)

Solución

Solución de Ejercicio 7.2.

(a) Supongamos $E$ completo con base algebraico $(e_n)_{n\in\N}$ y dejamos $F_n = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_n)$ : cerrado (los subespacios de dimensión finita son completo, por lo tanto cerrados — Año 2), con interior vacío: si $B(x, r) \subseteq F_n$ , tomar $v \notin F_n$ ; luego $x + \frac{r}{2\norm v}v \in B(x,r) \setminus F_n$ , absurdo. Pero $E = \bigcup F_n$ (cada vector es una combinación finita): contradice a Baire (Teorema 7.6). El espacio $\R[X]$ tiene el base contable $(X^n)$ , por lo que ninguna norma lo convierte en completo.

(b) Fijar $\delta > 0$ y una bola abierta no vacía $B$ ; encontramos en $B$ un punto de $\Omega_\delta = \{x : \operatorname{osc}_xf < \delta\}$ , donde $\operatorname{osc}_xf = \inf_{V \ni x}\operatorname{diam} f(V)$ . ( $\Omega_\delta$ está abierto: si $\operatorname{diam}f(V) < \delta$ para un $V \ni x$ abierto, cada $y \in V$ tiene oscilación $< \delta$ .) Los conjuntos

F_N = \bigl\{x : \abs{f_n(x) - f_m(x)} \leq \tfrac\delta3\ \ \forall\, n, m \geq N \bigr\}

son cerrados (intersecciones de preimágenes de conjuntos cerrados) y cubrir $\R$ (la convergencia puntual hace que $(f_n(x))$ Cauchy). Aplicando Baire dentro del completo $\bar B$ : algún $F_N \cap \bar B$ contiene una bola $B' = B(x_0, \rho)$ . Dejando $m \to \infty$ : $\abs{f_N - f} \leq \frac\delta3$ en $B'$ . Por continuidad de $f_N$ en $x_0$ , reducir a $B'' \ni x_0$ donde $\abs{f_N - f_N(x_0)} \leq \frac\delta3$ ; luego para $x \in B''$ ,

\abs{f(x) - f(x_0)} \leq \abs{f - f_N}(x) + \abs{f_N(x) - f_N(x_0)} + \abs{f_N - f}(x_0) \leq \delta:

$\operatorname{diam} f(B'') \leq 2\delta$ , entonces $x_0 \in \Omega_{3\delta} \cap B$ . Por lo tanto, cada $\Omega_\delta$ está abierto y denso; $\bigcap_k\Omega_{1/k}$ — el conjunto de puntos continuidad — es denso por Baire.

Ejercicio 7.3 ★★

(a) Demuestre que $f(x) = \frac12\bigl(x + \frac ax\bigr)$ ( $a > 1$ ) es una contracción de $[\sqrt a, +\infty)$ e identifique su punto fijo — método de Heron. Estimar el número de iteraciones para la precisión $10^{-12}$ a partir de $x_0 = a$ , para $a = 2$ . (b) (ecuación de Kepler) Para $0 \leq e < 1$ y $m \in \R$ , muestre que $x = m + e\sin x$ tiene una solución única, dependiendo continuamente en $m$ .

Solución

Solución de Ejercicio 7.3.

(a) $f(x) = \frac12(x + \frac ax)$ asigna $[\sqrt a, \infty)$ a mismo (AM–GM: $f(x) \geq \sqrt{x \cdot \frac ax} = \sqrt a$ ), y $f'(x) = \frac12(1 - \frac a{x^2}) \in [0, \frac12)$ ahí: una contracción $\frac12$ -Lipschitz de un conjunto cerrado (completo). Punto fijo: $x = f(x) \iff x^2 = a$ : $x^* = \sqrt a$ . Tarifa (Teorema 7.4): $d(x_n, \sqrt a) \leq 2^{-n+1}\,d(x_1, x_0)$ . Para $a = 2$ , $x_0 = 2$ : $d(x_1, x_0) = \frac12$ , por lo que $n = 40$ garantiza $2^{-40} < 10^{-12}$ . (En realidad el método de Newton converge cuadráticamente: un puñado de las iteraciones son suficientes; la estimación de contracción es pesimista pero gratis.)

(b) $f_m(x) = m + e\sin x$ es $e$ -Lipschitz con $e < 1$ en el completo $\R$ : punto fijo único $x(m)$ . Para dos parámetros:

\abs{x(m) - x(m')} = \abs{f_m(x(m)) - f_{m'}(x(m'))} \leq \abs{m - m'} + e\abs{x(m) - x(m')},

entonces $\abs{x(m) - x(m')} \leq \frac{\abs{m - m'}}{1 - e}$ : incluso Lipschitz en $m$ .

Ejercicio 7.4 ★★

(a) Sea $X$ completo y $f \colon X \to X$ tales que algunos iterar $f^p$ es una contracción. Demuestre que $f$ tiene un único punto fijo. Aplicación: el operador integral $T$ en $\mathcal C(\intcc0a)$ , $Tf(x) = \int_0^x f$ , satisface $\norm{T^p} \leq a^p/p!$ — deduce que $u = g + \lambda Tu$ es soluble por cada $\lambda$ . (b) (Edelstein) Sean $K$ compacto y $f\colon K \to K$ con $d(f(x), f(y)) < d(x, y)$ para $x \neq y$ . Muestra que $f$ tiene un punto fijo único, pero que la tasa de contracción puede ser perdido: en $X = [1, +\infty)$ (completo, no compacto), $f(x) = x + \frac1x$ no tiene un punto fijo a pesar de disminuir estrictamente distancias.

Solución

Solución de Ejercicio 7.4.

(a) Sea $x^*$ el único punto fijo de $f^p$ . entonces $f^p(f(x^*)) = f(f^p(x^*)) = f(x^*)$ : $f(x^*)$ es un punto fijo de $f^p$ , entonces $f(x^*) = x^*$ . Un punto fijo de $f$ es uno de $f^p$ : transferencias de unicidad. Para $T$ : por inducción $\abs{T^pf(x)} \leq \norm f_\infty x^p/p!$ (cada integración suma un factor $\frac xk$ ), entonces $\norm{T^p} \leq a^p/p!$ . La aplicación $S(u) = g + \lambda Tu$ satisface $S^p(u) - S^p(v) = \lambda^pT^p(u - v)$ , de norma $\leq \abs\lambda^pa^p/p!\,\norm{u - v} \to 0$ : algunos $S^p$ es una contracción y $S$ tiene un punto fijo único: el La ecuación de Volterra $u = g + \lambda Tu$ es exclusivamente soluble para cada $\lambda$ .

(b) $\varphi(x) = d(x, f(x))$ es continuo en compacto $K$ : alcanza su mínimo en aproximadamente $x_0$ . Si $f(x_0) \neq x_0$ , entonces $\varphi(f(x_0)) = d(f(x_0), f^2(x_0)) < d(x_0, f(x_0)) = \min\varphi$ : absurdo. Unicidad: dos puntos fijos $x \ne y$ daría $d(x,y) = d(f(x), f(y)) < d(x,y)$ . sin compacidad: $f(x) = x + \frac1x$ en $[1, \infty)$ satisface, para $x < y$ , $f(y) - f(x) = (y - x)\bigl(1 - \frac1{xy}\bigr) < y - x$ , pero $f(x) > x$ siempre: sin punto fijo — estricto La disminución de la distancia es más débil que un factor de contracción uniforme.

Ejercicio 7.5 ★★

(a) Dos mapas continuos en un espacio hausdorff acordando un el subconjunto denso coincide en todas partes; ¿Dónde se usó esto en el capitulo? (b) Sea $D \subseteq X$ denso y $f \colon D \to Y$ an biyección isométrica sobre un subconjunto denso de un completo $Y$ , con $X$ completo. Demuestre que $f$ se extiende a una biyección isométrica $X \to Y$ . Deduzca nuevamente la unicidad de terminaciones.

Solución

Solución de Ejercicio 7.5.

(a) El conjunto $A = \{g = h\}$ es la preimagen de la diagonal $\Delta_Y$ bajo $x \mapsto (g(x), h(x))$ , continuo; $\Delta_Y$ está cerrado porque $Y$ es Hausdorff (para $y_1 \neq y_2$ , disjunto abierto barrios da un cuadro abierto alrededor de $(y_1, y_2)$ disjunto de la diagonal, por lo que el complemento de $\Delta_Y$ está abierto): entonces $A$ está cerrado, contiene un conjunto denso, es igual a $X$ . Usado: singularidad en Teorema 7.2, de ahí la unicidad de terminaciones.

(b) $f$ , una isometría, es uniformemente continuo: se extiende a $F\colon X \to Y$ (Teorema 7.2), todavía isométrica (la relación $d(F(x), F(x')) = d(x, x')$ se mantiene en un conjunto denso de pares y ambos lados son continuo). igualmente $f^{-1}\colon f(D) \to X$ se extiende a $G \colon Y \to X$ . el compuesto $G \circ F$ es continuo y corrige el denso $D$ : es $\mathrm{id}_X$ (parte (a)); simétricamente $F \circ G = \mathrm{id}_Y$ . Entonces $F$ es una biyección isométrica. Unicidad de terminaciones: aplica esto a $D = X$ sentado densamente en dos terminaciones.

Ejercicio 7.6 ★★

¿Cuál de las siguientes familias es equicontinuo, puntualmente? acotado, relativamente compacto en $\mathcal C(\intcc01)$ ?

\{x \mapsto \sin(nx)\}_{n},\qquad \{x \mapsto x^n\}_n,

\Bigl\{f \in \mathcal C^1 : \norm f_\infty \leq 1,\ \norm{f'}_\infty \leq 1\Bigr\},\qquad \{f : \operatorname{Lip}(f)\leq 1,\ f(0) = 0\}.

Justifica cada respuesta con Ascoli o una secuencia de contraejemplo.

Solución

Solución de Ejercicio 7.6.

$\{\sin(nx)\}$ : delimitado puntualmente por $1$ ; no equicontinuo: en $x = 0$ , $\sin(n\cdot\frac{\pi}{2n}) = 1$ con $\frac\pi{2n} \to 0$ , violando cualquier $\delta$ común para $\varepsilon = \frac12$ . No relativamente compacto (Ascoli’s necesidad, Teorema 7.11).

$\{x^n\}$ : acotado; no equicontinuo en $1$ : $1 - (1 - \delta)^n \to 1$ como $n \to \infty$ para $\delta$ fijo. no relativamente compacto — consistentemente, su límite puntual es discontinuo, por lo que ninguna subsecuencia converge uniformemente.

$\{\norm f_\infty \leq 1, \norm{f'}_\infty \leq 1\}$ : la media La desigualdad de valores hace que la familia $1$ -Lipschitz, por lo tanto equicontinuo; delimitado: relativamente compacto por Ascoli. (No compacto: no está cerrado — no es necesario establecer límites uniformes $\mathcal C^1$ ; su cierre es la función $1$ -Lipschitz de norma $\leq 1$ .)

$\{\operatorname{Lip}(f) \leq 1, f(0) = 0\}$ : equicontinuo; acotado puntualmente ( $\abs{f(x)} \leq x \leq 1$ ); y cerrado bajo límites uniformes (la desigualdad de Lipschitz y el valor en $0$ pase a límites): compacto.

Ejercicio 7.7 ★★★

(Compacto operadores integrales) Sea $k \in \mathcal C(\intcc01^2)$ y, para $f \in \mathcal C(\intcc01)$ , $Tf(x) = \int_0^1k(x,y)f(y)\,\dd y$ . (a) Demuestre que $T$ mapea la bola unitaria de $\mathcal C(\intcc01)$ a un conjunto equicontinuo uniformemente acotado; concluir que $T$ es un compacto operator: las imágenes de conjuntos acotados son relativamente compacto. (b) Deduzca que si $(f_n)$ está acotado, $(Tf_n)$ tiene una subsecuencia convergente, y que $T$ no puede ser una biyección con continuo inversa. (The image of the unit ball would be a compacto entorno of $0$ in $\mathcal C(\intcc01)$ : forbidden by Riesz’s theorem from Year 2.)

Solución

Solución de Ejercicio 7.7.

(a) Para $\norm f_\infty \leq 1$ : $\abs{Tf(x)} \leq \norm k_\infty$ , y

\abs{Tf(x) - Tf(x')} \leq \int_0^1\abs{k(x,y) - k(x',y)}\,\dd y \leq \omega_k\bigl(\abs{x - x'}\bigr),

donde $\omega_k$ es un módulo de continuidad uniforme de $k$ en el cuadrado compacto (Heine): la imagen de la bola unitaria es uniformemente delimitado y equicontinuo, por lo tanto relativamente compacto (Ascoli). Por linealidad todo conjunto acotado tiene relativamente compacto Imagen: $T$ es un operador compacto.

(b) La declaración de subsecuencia es la definición de relativa compacidad aplicada a $\{Tf_n\}$ . Si $T$ fuera biyectivo con continuo inversa, luego $T(B(0,1)) \supseteq B(0, \varepsilon)$ para algunos $\varepsilon > 0$ ( $T^{-1}$ continuo en $0$ ); la bola cerrada $\bar B(0,\varepsilon)$ , una cerrada subconjunto de compacto $\overline{T(B(0,1))}$ , sería compacto — imposible en el $\mathcal C(\intcc01)$ de dimensión infinita según el teorema de Riesz (Año 2).

Ejercicio 7.8 ★★

Probar o refutar, para $f_n \colon \intcc01 \to \R$ continuo: (a) $f_n \downarrow 0$ puntual $\Rightarrow$ uniformemente (Dini — reprenderlo); (b) lo mismo sin monotonicidad; (c) lo mismo con monotonicidad pero $f$ discontinuo; (d) lo mismo con monotonicidad, Límite continuo, pero en $\intoo01$ .

Solución

Solución de Ejercicio 7.8.

(a) Dini: ver Lema 7.13 — la cubierta argumento. (b) Falso: el tope en movimiento $f_n(x) = \max(0, 1 - \abs{nx - 1})$ tiende a $0$ puntualmente (para $x > 0$ , $f_n(x) = 0$ una vez $n > 2/x$ ; $f_n(0) = 0$ ) pero $\norm{f_n}_\infty = 1$ . (c) Falso: $f_n(x) = x^n$ disminuye a lo discontinuo $\mathbf 1_{\{1\}}$ ; $\sup_{[0,1]}\abs{f_n - f} = \sup_{[0,1)} x^n = 1$ . (d) Falso: $x^n \downarrow 0$ puntualmente en el $\intoo01$ no compacto, con $\sup_{(0,1)}x^n = 1$ . cada uno Se necesita la hipótesis de Dini.

Ejercicio 7.9 ★★

(a) (Los momentos determinan) Sea $f \in \mathcal C(\intcc01)$ con $\int_0^1 f(x)\,x^n\,\dd x = 0$ para todos los $n \in \N$ . Mostrar $f = 0$ . (Approximate $f$ uniformly by polynomials and compute $\int f^2$ .) (b) Demuestre que los polinomios pares son densos en $\mathcal C(\intcc01)$ pero no en $\mathcal C(\intcc{-1}1)$ ; donde ¿Falla la hipótesis de Stone-Weierstrass? (c) ¿El álgebra generada solo por $x \mapsto \eu^{\iu x}$ ? (sin $\eu^{-\iu x}$ ) ¿denso en $\mathcal C(S^1, \C)$ ? (Consider $\int_0^{2\pi}f(t)\,\eu^{\iu t}\dd t$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 7.9.

(a) Por linealidad $\int_0^1 fP = 0$ para cada polinomio $P$ . Elija $P_n \to f$ uniformemente (Corolario 7.16): $\int_0^1 f^2 = \lim\int_0^1 fP_n = 0$ , y el continuo $f^2 \geq 0$ con La integral cero desaparece de manera idéntica.

(b) En $\intcc01$ : los polinomios en $x^2$ forman un álgebra con constantes, separando puntos ( $x \mapsto x^2$ es inyectivo en $\intcc01$ ): densa junto a Stone–Weierstrass. En $\intcc{-1}1$ : $x^2$ toma valores iguales en $\pm x$ , y también lo hace cada polinomio en $x^2$ : un límite uniforme de tal es un par función. Si las funciones pares $g_n$ convergieran uniformemente a la identidad, luego $x = \lim g_n(x) = \lim g_n(-x) = -x$ para todos $x$ : absurdo — no denso. La hipótesis de la separación falla en los pares $\{x, -x\}$ .

(c) No. Para $f$ en el álgebra $\mathcal A$ generada por constantes y $\eu^{\iu t}$ — combinaciones lineales de $\eu^{\iu nt}$ , $n \geq 0$ — uno tiene $\Lambda(f) = \int_0^{2\pi}f(t)\,\eu^{\iu t}\,\dd t = 0$ (cada uno $\int_0^{2\pi}\eu^{\iu(n+1)t}\dd t = 0$ ). $\Lambda$ es continuo para $\norm\cdot_\infty$ ( $\abs{\Lambda(f)}\leq 2\pi\norm f_\infty$ ), por lo que $\Lambda$ desaparece en $\bar{\mathcal A}$ ; pero $\Lambda(\eu^{-\iu t}) = 2\pi \neq 0$ : $\eu^{-\iu t} \notin \bar{\mathcal A}$ . (Stone–Weierstrass no se aplica: $\mathcal A$ no es estable bajo conjugación — y el obstrucción es precisamente la que función holomorfa La teoría sistematizará en Capítulo 16.)

Ejercicio 7.10 ★★★

(Limitación uniforme, versión métrica) Sea $X$ un completo espacio métrico y $\mathcal F \subseteq \mathcal C(X, \R)$ un familia que está acotada puntualmente: $\sup_{f \in \mathcal F}\abs{f(x)} < \infty$ para cada $x$ . Demuestre que hay una $U \subseteq X$ abierto no vacío en el que está $\mathcal F$ uniformemente acotado: $\sup_{f}\sup_U \abs f < \infty$ . (Consider $F_n = \{x : \abs{f(x)} \leq n\ \forall f\}$ .) Este es el motor detrás de Banach–Steinhaus en Capítulo 8.

Solución

Solución de Ejercicio 7.10.

$F_n = \bigcap_{f \in \mathcal F}\{x : \abs{f(x)} \leq n\}$ es una intersección de conjuntos cerrados: cerrado. Limitación puntual da $X = \bigcup_n F_n$ . Baire (Teorema 7.6) proporciona $n_0$ con $U = \mathring F_{n_0} \neq \varnothing$ : en $U$ , $\abs f \leq n_0$ por cada $f \in \mathcal F$ simultáneamente.

Ejercicio 7.11 ★★

( $\mathcal C^1$ necesita su propia norma) En $E = \mathcal C^1(\intcc01, \R)$ considere $\norm f_{\mathcal C^1} = \norm f_\infty + \norm{f'}_\infty$ . (a) Demuestre que $(E, \norm\cdot_{\mathcal C^1})$ es completo (a $\mathcal C^1$ -Cauchy sequence has $f_n \to f$ and $f_n' \to g$ uniformly; identify $g = f'$ by passing to the limit in $f_n(x) = f_n(0) + \int_0^xf_n'$ ). (b) Demuestre que $(E, \norm\cdot_\infty)$ es no completo: exhibe un límite uniforme de funciones $\mathcal C^1$ que no es diferenciable (por ejemplo, aproximaciones suaves de $\abs{x - \tfrac12}$ ). (c) Deducir de (a), (b) y el círculo de mapeo abierto de ideas — o directamente — que ninguna constante $C$ satisface $\norm{f'}_\infty \leq C\,\norm f_\infty$ en $E$ : exhibe un secuencia que lo presencia. La diferenciación es ilimitada; esto es el acantilado detrás de Teorema 7.9.

Solución

Solución de Ejercicio 7.11.

(a) Una secuencia de Cauchy para $\norm\cdot_{\mathcal C^1}$ es uniformemente Cauchy junto con sus derivados: $f_n \to f$ y $f_n' \to g$ de manera uniforme, con $f, g$ continuo. pasando al límite (la convergencia uniforme lo permite bajo el integral) en $f_n(x) = f_n(0) + \int_0^xf_n'(t)\,\dd t$ da $f(x) = f(0) + \int_0^xg$ : $f$ es $\mathcal C^1$ con $f' = g$ y $\norm{f_n - f}_{\mathcal C^1} \to 0$ . Completo.

(b) $h(x) = \abs{x - \frac12}$ es un límite uniforme de Funciones $\mathcal C^1$ , por ejemplo $h_n(x) = \sqrt{(x - \frac12)^2 + \frac1n}$ ( $\abs{h_n - h} \leq \frac1{\sqrt n}$ por el límite de cantidad conjugada), pero $h \notin E$ : el La norma $\sup$ en $E$ no es completo — su terminación es $\mathcal C(\intcc01)$ .

(c) $f_n(x) = \sin(2\pi nx)$ tiene $\norm{f_n}_\infty = 1$ y $\norm{f_n'}_\infty = 2\pi n \to \infty$ : no existe $C$ . (Conceptualmente: si la diferenciación estuviera limitada para el sup norma, las dos normas de (a)–(b) serían equivalentes, haciendo $(E, \norm\cdot_\infty)$ completo — contradiciendo (b). Esta ilimitación es exactamente la razón por la que el genérico continuo las funciones pueden no ser diferenciables en ninguna parte, Teorema 7.9.)

Ejercicio 7.12 ★★★

(Lema de Croft) Sea $f\colon\intoo0\infty\to\R$ continuo y supongamos que para cada $x > 0$ , $f(nx) \to 0$ como entero $n \to \infty$ . Muestre que $f(t) \to 0$ como $t \to +\infty$ . (Fix $\varepsilon > 0$ ; the sets $F_N = \{x > 0 : \abs{f(nx)} \leq \varepsilon\ \ \forall n \geq N\}$ are closed and cover $\intoo0\infty$ ; Baire in some interval $\intcc ab$ gives $N$ and a subinterval $\intcc{a'}{b'} \subseteq F_N$ ; then the dilates $\bigl[na', nb'\bigr]$ , $n \geq N$ , cover a whole entorno of $+\infty$ once $n(b' - a') \geq a'$ .) ¿Dónde está la hipótesis “para cada ¿Se utiliza $x$ ” (no solo $x$ racional)?

Solución

Solución de Ejercicio 7.12.

Reparar $\varepsilon > 0$ . Cada $F_N$ es una intersección sobre $n \geq N$ de preimágenes del $\intcc{-\varepsilon} \varepsilon$ cerrado bajo el continuo $x \mapsto f(nx)$ : cerrado. La hipótesis dice que cada $x > 0$ se encuentra en algún $F_N$ . Por Baire aplicado dentro del completo $\intcc ab$ (cualquier $0 < a < b$ ), algún $F_N$ es denso en un subintervalo; al estar cerrado, contiene un intervalo $\intcc{a'}{b'}$ con $0 < a' < b'$ . Luego, por cada $n \geq \max(N, \frac{a'}{b' - a'})$ , el intervalos $\intcc{na'}{nb'}$ y $\intcc{(n+1)a'}{(n+1)b'}$ superposición ( $nb' \geq (n+1)a'$ ), por lo que

\bigcup_{n \geq n_0}\intcc{na'}{nb'} \supseteq \intco{n_0a'}{+\infty},

y cada $t \geq n_0a'$ es $t = nx$ con $n \geq N$ , $x \in \intcc{a'}{b'} \subseteq F_N$ : $\abs{f(t)} \leq \varepsilon$ . Por lo tanto $\limsup_{t\to\infty}\abs f \leq \varepsilon$ para todos $\varepsilon$ : $f \to 0$ . Se necesita la hipótesis completa porque $F_N$ debe cubrir un valor de intervalo de $x$ — con solo $x$ racional la unión del $F_N$ es contable y Baire no da nada; de hecho hay continuo contraejemplos que desaparecen a lo largo de todo lo racional rayos pero no en el infinito.

7.6 Problema: teorema de existencia de Peano

Problema 7.1

Problema de fin de semana — existencia de soluciones de $x' = f(t, x)$ sin Lipschitz

Cauchy–Lipschitz (Año 2; reprobado en Capítulo 19) exige $f$ Lipschitz en $x$ . Peano (1890): continuidad of $f$ already yields existence — aunque no unicidad. Nosotros Pruébelo con polígonos de Euler y Ascoli. Configuración: $f \colon R \to \R^d$ continuo en el rectángulo $R = \intcc{t_0 - a}{t_0 + a}\times \bar B(x_0, b) \subseteq \R\times\R^d$ , $M = \sup_R\norm f$ y

T = \min\bigl(a,\ b/M\bigr) \qquad (\text{if } M = 0 \text{ the problem is trivial}).

Parte I — Euler polygons. Para $n \geq 1$ , subdivida $[t_0, t_0 + T]$ por $t_k = t_0 + kT/n$ ( $0 \leq k \leq n$ ) y defina $\varphi_n$ por partes de forma afín: $\varphi_n(t_0) = x_0$ y, el $[t_k, t_{k+1}]$ ,

\varphi_n(t) = \varphi_n(t_k) + (t - t_k)\,f\bigl(t_k, \varphi_n(t_k)\bigr).

Demuestre por inducción que $\varphi_n$ está bien definido, con $\norm{\varphi_n(t) - x_0} \leq M(t - t_0) \leq b$ en $[t_0, t_0 + T]$ — para que los puntos de evaluación permanezcan en $R$ . (This is where $T \leq b/M$ enters.)
Demuestre que cada $\varphi_n$ es $M$ -Lipschitz.
Deducir de Arzelà–Ascoli (Teorema 7.11) que una subsecuencia $(\varphi_{n_j})$ converge uniformemente en $[t_0, t_0 + T]$ a algún $\varphi$ , él mismo $M$ -Lipschitz con $\varphi(t_0) = x_0$ .

Parte II — The limit solves the equation. Defina defecto $\Delta_n(t) = \varphi_n'(t) - f\bigl(t, \varphi_n(t)\bigr)$ en puntos fuera de la red.

Demuestre que $f$ es uniformemente continuo en $R$ , y deducir: por cada $\varepsilon > 0$ hay $n_0$ tal eso para $n \geq n_0$ y cada $t$ que no sea de red, $\norm{\Delta_n(t)} \leq \varepsilon$ . (On $(t_k, t_{k+1})$ , $\varphi_n'(t) = f(t_k, \varphi_n(t_k))$ , and $(t, \varphi_n(t))$ is within distance $(1 + M)\,T/n$ of $(t_k, \varphi_n(t_k))$ .)
Establecer la forma integral: para todo $t$ ,

$\varphi_n(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t} f\bigl(s, \varphi_n(s)\bigr)\dd s + \int_{t_0}^t \Delta_n(s)\,\dd s,$

siendo el integrando medio por partes continuo.
Pasa al límite por $(n_j)$ : mostrar $f(s, \varphi_{n_j}(s)) \to f(s, \varphi(s))$ uniformemente (uniforme continuidad de $f$ nuevamente), y concluir

$\varphi(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f\bigl(s, \varphi(s)\bigr)\dd s .$
Deduce que $\varphi$ es $\mathcal C^1$ en $[t_0, t_0 + T]$ y resuelve $x' = f(t, x)$ , $x(t_0) = x_0$ ; extender la construcción a $[t_0 - T, t_0]$ (inversión de tiempo). Este es el teorema de Peano.

Parte III — Uniqueness genuinely fails. Considere $x' = 2\sqrt{\abs x}$ , $x(0) = 0$ , en $\R$ .

Compruebe que $f(x) = 2\sqrt{\abs x}$ sea continuo pero no Lipschitz en ningún entorno de $0$ .
Verifique que $x \equiv 0$ y, por cada $c \geq 0$ ,

$x_c(t) = \begin{cases} 0 & t \leq c,\\ (t - c)^2 & t \geq c,\end{cases}$

son todas soluciones a través de $(0,0)$ : un continuo de soluciones distintas.
¿De dónde viene el argumento de iteración de Picard (Banach fijo? punto) desglose para este $f$ ?

Parte IV — Limits of the method.

Demuestre que el teorema de Peano falla en dimensión infinita: Admitimos (o puedes confiar en) el clásico. ejemplo de Dieudonné en el espacio $c_0$ de nulo secuencias; en su lugar, demuestre la dimensión finita ingrediente que falla allí: la bola unitaria cerrada de $c_0$ (norma sup) no es compacto — exhibe un límite secuencia sin subsecuencia convergente, y explique qué paso de la Parte I se rompe.
Resumir: ¿qué hipótesis dan existencia? existencia y singularidad? Enuncie con precisión los dos teoremas. (Peano; Cauchy–Lipschitz) uno al lado del otro.

Part V — Osgood: uniqueness beyond Lipschitz. Sea $\omega\colon\intoo0\infty\to\intoo0\infty$ continuo, no decreciente, con

\int_0^1\frac{\dd r}{\omega(r)} = +\infty \qquad(\text{divergence at } 0),

y supongamos que $f$ satisface $\norm{f(t, x) - f(t, y)} \leq \omega\bigl(\norm{x - y}\bigr)$ en $R$ .

Compruebe que $\omega(r) = Lr$ califique (Lipschitz), que $\omega(r) = r\log\frac1r$ (ampliado por continuidad, para $r$ pequeño) califica aunque sea no $O(r)$ , y que $\omega(r) = 2\sqrt r$ no. Calcular el integrales en cada caso.
Deje que $x_1, x_2$ resuelva la ecuación en $[t_0, t_0 + T]$ con $x_1(t_0) = x_2(t_0)$ y $\delta(t) = \norm{x_1(t) - x_2(t)}$ . Mostrar, a partir de las formas integrales. solo, que para $t_0 \leq s \leq t$ :

$\delta(t) \leq \delta(s) + \int_s^t\omega\bigl(\delta(v)\bigr)\dd v .$
(teorema de Osgood) Supongamos que $\delta(t_1) > 0$ para algunos $t_1$ y deja que $\tau = \sup\{t \leq t_1 : \delta(t) = 0\}$ . Para $s \in \intoo\tau{t_1}$ , configure $u(t) = \delta(s) + \int_s^t\omega(\delta(v))\,\dd v$ . Muestre $\delta \leq u$ , $u' = \omega(\delta) \leq \omega(u)$ y deduzca

$\int_{\delta(s)}^{u(t_1)}\frac{\dd r}{\omega(r)} \leq t_1 - s \leq t_1 - \tau .$

Sea $s \downarrow \tau$ y derive una contradicción con la divergencia de la integral. Concluir: soluciones a través de una condición inicial común coincidir — unicidad bajo la condición de Osgood.
Saque las consecuencias: la unicidad de Cauchy–Lipschitz es el caso $\omega(r) = Lr$ ; la ecuación $x' = x\log\frac1{\abs x}$ (ampliada por $0$ en $0$ ) tiene características únicas soluciones aunque su lado derecho no sea Lipschitz en $0$ ; y para $x' = 2\sqrt{\abs x}$ la convergencia de $\int_0\frac{\dd r}{2\sqrt r}$ es exactamente lo que permite a un La solución deja $0$ en un tiempo finito — coincide con el valor de la integral $\int_0^{h^2}\frac{\dd r}{2\sqrt r} = h$ con el comportamiento de escape de $x_c$ .

Part VI — Rates, schemes, funnels.

(lema integral Grönwall) Sea $e, \eta \geq 0$ continuo en $[t_0, t_0+T]$ con $e(t) \leq \int_{t_0} ^t\bigl(L\,e(s) + \eta(s)\bigr)\dd s$ para todos los $t$ . Mostrar

$e(t) \leq \frac{\sup\eta}{L}\bigl(\eu^{L(t - t_0)} - 1\bigr)$

(set $G(t) = \int_{t_0}^t(Le + \eta)$ , note $G' \leq LG + \sup\eta$ , and differentiate $\eu^{-Lt}G(t)$ ).
(Euler converge con una tasa) Supongamos que ahora $f$ es $L$ -Lipschitz en $x$ y $L'$ -Lipschitz en $t$ en $R$ . Combinando el límite de defectos de la pregunta 4 (hecho cuantitativo: $\norm{\Delta_n} \leq (L' + LM)T/n$ ) con pregunta 17, prueba

$\sup_{[t_0, t_0+T]}\norm{\varphi_n - \varphi} \;\leq\; \frac{(L' + LM)\,T}{n}\cdot \frac{\eu^{LT} - 1}{L} = O\Bigl(\frac1n\Bigr),$

donde $\varphi$ es el solución: con Lipschitz datos toda la secuencia converge, con un explícito tasa — no se necesitan subsecuencias. ¿Por qué la unicidad actualizar la convergencia subsiguiente a la convergencia total ¿Incluso sin este cálculo?
(El esquema elige) Para $x' = 2\sqrt{\abs x}$ , $x(0) = 0$ : muestre que cada polígono de Euler es idénticamente cero, entonces el esquema converge a la solución $x \equiv 0$ ; pero comenzó en $x(0) = \varepsilon > 0$ y converge (como $n \to \infty$ , luego $\varepsilon \to 0$ ) a $t \mapsto t^2$ , una solución diferente a través de origen. La no unicidad resurge a medida que la sensibilidad del esquema numérico de perturbaciones.
Muestra que el conjunto $\mathcal S$ de soluciones todo de $x' = f(t,x)$ , $x(t_0) = x_0$ en $[t_0, t_0+T]$ (valores en $\bar B(x_0, b)$ ) no está vacío (Parte II), uniformemente $M$ -Lipschitz, y cerrado en $\bigl(\mathcal C([t_0, t_0+T], \R^d), \norm\cdot_\infty\bigr)$ ; Ascoli concluye que $\mathcal S$ es compacto. (El teorema de Kneser añade que $\mathcal S$ es conectado; no lo probaremos eso.)
Verifique el fenómeno de Kneser en el ejemplo: para $x' = 2\sqrt{\abs x}$ , $x(0) = 0$ , en $[0, 1]$ , muestre $\mathcal S = \{x_c : c \in \intcc0\infty\}$ con $x_\infty \equiv 0$ (for any solution, let $c = \sup\{t : x(t) = 0\}$ and integrate $(\sqrt x)' = 1$ on $\{x > 0\}$ ), que $c \mapsto x_c$ es continuo de $\intcc0\infty$ (compactación en un punto, es decir $c = \infty$ pegado como límite) a $\mathcal C([0,1])$ , y concluir que $\mathcal S$ es de hecho compacto y conectado — un embudo en forma de segmento.
(Conjuntos alcanzables) Deduzca de la pregunta 20 que para cada fijo $t$ , el conjunto accesible $\mathcal S(t) = \{x(t) : x \in \mathcal S\}$ es compacto; calcularlo para el ejemplo de la pregunta 21 y comprueba que también es conectado: $\mathcal S(t) = \intcc0{t^2}$ — cada El estado intermedio se alcanza mediante alguna solución.

Part VII — Complements: dependence, optimality, and a scheme computed by hand.

(dependencia Continuo) Supongamos que $f$ es $L$ -Lipschitz en $x$ en $R$ , y dejemos que $x, y$ sean dos soluciones con valores iniciales $x_0, y_0$ en $t_0$ . Adaptando la prueba de la pregunta 17 a la desigualdad $e(t) \leq \norm{x_0 - y_0} + \int_{t_0}^tL\,e(s)\dd s$ , muestra

$\norm{x(t) - y(t)} \leq \norm{x_0 - y_0}\, \eu^{L(t - t_0)},$

y verifique en $x' = Lx$ que se alcance el límite: Grönwall es nítido. Deduzca nuevamente la unicidad ( $x_0 = y_0$ ), y que la aplicación de flujo $x_0 \mapsto x(t; x_0)$ es Lipschitz, con constante $\eu^{LT}$ , dondequiera que esté definido.
(Osgood es óptimo) Por el contrario, sea $\omega$ continuo, no decreciente, positivo en $\intoo0\infty$ , con $\omega(r) \to 0$ como $r \to 0^+$ pero

$\int_0^1\frac{\dd r}{\omega(r)} < +\infty,$

y extender $f(x) = \omega(\abs x)$ por $f(0) = 0$ . Muestra que $\Omega(x) = \int_0^x\frac{\dd r}{\omega(r)}$ es una biyección creciente desde $\intoc0{1}$ hacia $\intoc0{\Omega(1)}$ , que su inverso $g$ resuelve $g' = \omega(g)$ con $g(0^+) = 0$ , y que $g$ , extendido por $0$ para $t \leq 0$ , es una solución $\mathcal C^1$ de $x' = f(x)$ a $(0, 0)$ distintos de $x \equiv 0$ (for $g'(0) = 0$ , bound $\frac{g(t)}t$ by $\omega(g(t))$ ). Conclusión: la hipótesis de la divergencia de la pregunta 15 no es una conveniencia sino la respuesta exacta frontera de la unicidad; recuperar la Parte III de $\omega(r) = 2\sqrt r$ , $\Omega(x) = \sqrt x$ .
(Euler calculado a mano) Para $x' = x$ , $x(0) = 1$ en $[0, 1]$ : muestra que el polígono de Euler satisface $\varphi_n(1) = \bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$ . demostrar el expansión

$\Bigl(1 + \frac1n\Bigr)^{n} = \eu\Bigl(1 - \frac1{2n} + O\Bigl(\frac1{n^2}\Bigr) \Bigr),$

entonces el error en $t = 1$ es $\frac{\eu}{2n} + O(n^{-2})$ : tasa $O(\frac1n)$ de la pregunta 18, con el constante exacta. Verifique numéricamente $n = 10$ : $1.1^{10} = 2.59374$ contra $\eu \approx 2.71828$ , un error $0.12454$ para comparar con $\frac{\eu}{20} \approx 0.13591$ .

Solución

Solución de Problema 7.1.

1. Inducción sobre $k$ : si $\norm{\varphi_n(t_k) - x_0} \leq M(t_k - t_0) \leq MT \leq b$ , el punto $(t_k, \varphi_n(t_k))$ se encuentra en $R$ , por lo que se define la pendiente $f(t_k, \varphi_n(t_k))$ , de norma $\leq M$ ; luego para $t \in [t_k, t_{k+1}]$ , $\norm{\varphi_n(t) - x_0} \leq \norm{\varphi_n(t_k) - x_0} + M(t - t_k) \leq M(t - t_0) \leq MT \leq b$ .

2. Cada pieza afín tiene pendiente de norma $\leq M$ ; un La función afín por partes con pendientes delimitadas por $M$ es $M$ -Lipschitz (encadenar los puntos de la cuadrícula).

3. La familia $(\varphi_n)$ está acotada puntualmente. (valores en $\bar B(x_0, b)$ ) y equicontinuo (común Constante de Lipschitz $M$ ): Ascoli (Teorema 7.11) extrae $\varphi_{n_j} \to \varphi$ de manera uniforme en $[t_0, t_0 + T]$ . Los límites pasan al límite: $\varphi$ es $M$ -Lipschitz, $\varphi(t_0) = x_0$ .

4. $R$ es compacto y $f$ continuo: uniformemente continuo (Heine, Corolario 6.17); dejar $\delta(\varepsilon)$ sea un módulo. Para $t \in (t_k, t_{k+1})$ sin red: $\varphi_n'(t) = f(t_k, \varphi_n(t_k))$ y el dos puntos de evaluación de $f$ difieren en $\abs{t - t_k} \leq T/n$ en el tiempo y $\norm{\varphi_n(t) - \varphi_n(t_k)} \leq MT/n$ en espacio. Para $n \geq n_0$ con $(1 + M)T/n_0 < \delta(\varepsilon)$ : $\norm{\Delta_n(t)} \leq \varepsilon$ .

5. En cada $[t_k, t_{k+1}]$ , $\varphi_n$ es afín, por lo que $\varphi_n(t_{k+1}) - \varphi_n(t_k) = \int_{t_k}^{t_{k+1}} \varphi_n'(s)\dd s$ , siendo la derivada la pendiente constante; sumando piezas (y cortando la última en $t$ ): $\varphi_n(t) = x_0 + \int_{t_0}^t\varphi_n'(s)\,\dd s$ . Escritura $\varphi_n' = f(s, \varphi_n(s)) + \Delta_n(s)$ (integrandos continuo por partes, un número finito de saltos) da la pantalla.

6. Dado $\varepsilon$ : para $j$ grande, $\norm{\varphi_{n_j} - \varphi}_\infty < \delta(\varepsilon)$ , entonces $\norm{f(s, \varphi_{n_j}(s)) - f(s, \varphi(s))} \leq \varepsilon$ para todos $s$ : convergencia uniforme de integrandos, y $\int_{t_0}^t f(s,\varphi_{n_j}(s))\dd s \to \int_{t_0}^tf(s, \varphi(s))\dd s$ uniformemente en $t$ . también $\norm{\int_{t_0}^t\Delta_{n_j}} \leq T\sup\norm{\Delta_{n_j}} \to 0$ (pregunta 4). Pasando al límite en la pregunta 5 identidad: $\varphi(t) = x_0 + \int_{t_0}^tf(s, \varphi(s))\,\dd s$ .

7. El integrando $s \mapsto f(s, \varphi(s))$ es continuo, por lo que el lado derecho es $\mathcal C^1$ en $t$ con derivada $f(t, \varphi(t))$ : $\varphi$ resuelve el Cauchy problema en $[t_0, t_0 + T]$ . Para la mitad izquierda, configure $g(t, x) = -f(2t_0 - t, x)$ , continuo en el rectángulo reflejado con el mismo cota $M$ ; una solución $\psi$ de $y' = g(t,y)$ , $y(t_0) = x_0$ en $[t_0, t_0 + T]$ produce $\varphi(t) = \psi(2t_0 - t)$ resolviendo la ecuación original en $[t_0 - T, t_0]$ ; las dos mitades se pegan a una solución $\mathcal C^1$ (ambas derivados unilaterales en $t_0$ igual a $f(t_0, x_0)$ ). — teorema de peano: a continuo $f$ admite local solución a través de cada condición inicial.

8. Continuidad está claro. Lipschitz cerca de $0$ falla: $\abs{f(h) - f(0)} = 2\sqrt h$ y $2\sqrt h \leq L h$ son falso para $h < 4/L^2$ .

9. Para $t \leq c$ : $x_c \equiv 0$ resuelve. Para $t \geq c$ : $x_c'(t) = 2(t - c) = 2\sqrt{(t-c)^2} = 2\sqrt{\abs{x_c}}$ . En $t = c$ las derivadas unilaterales son $0$ : $x_c$ es $\mathcal C^1$ y resuelve globalmente, con $x_c(0) = 0$ para cada $c \geq 0$ — junto con $x \equiv 0$ , un continuo de soluciones a través del origen.

10. La iteración de Picard configura $\Phi(x)(t) = x_0 + \int_0^t f(x(s))\dd s$ y necesita $\norm{\Phi(x) - \Phi(y)} \leq k\norm{x - y}$ con $k < 1$ en una bola adecuada — lo cual se desprende de un Lipschitz cota en $f$ , transferido bajo el integral. Aquí $\sqrt\cdot$ no admite ningún Lipschitz atado cerca de $0$ , y ninguna elección de intervalo o bola lo repara. Y de hecho no la prueba de unicidad podría tener éxito: la unicidad es FALSO (pregunta 9).

11. En $c_0$ , los vectores unitarios $e_n = (0, \dots, 0, 1, 0, \dots)$ satisfacen $\norm{e_n - e_m}_\infty = 1$ para $n \neq m$ : ninguna subsecuencia es Cauchy, por lo que la bola unitaria cerrada no es compacto. El paso que rompe es la extracción (pregunta 3): Ascoli para $\mathcal C([t_0, t_0+T], E)$ requiere que los valores vivir en un espacio donde los conjuntos acotados son relativamente compacto — verdadero en $\R^d$ (Bolzano–Weierstrass), falso en $c_0$ ; puntualmente la extracción ya no está disponible (de hecho, el ejemplo de Dieudonné no tiene ninguna solución local).

12. peano: $f$ continuo en un entorno de $(t_0, x_0)$ en $\R\times\R^d$ $\Rightarrow$ existe un $\mathcal C^1$ solución de $x' = f(t,x)$ , $x(t_0) = x_0$ , en algunos $[t_0 - T, t_0 + T]$ . Cauchy–Lipschitz (Capítulo 19): si además $f$ es localmente Lipschitz en el Variable $x$ , la solución es único (cualesquiera dos están de acuerdo su intervalo común) — existencia y unicidad. la pareja $(x' = 2\sqrt{\abs x},\ x(0) = 0)$ separa los dos teoremas.

13. $\omega(r) = Lr$ : $\int_0^1\frac{\dd r}{Lr} = +\infty$ : califica. $\omega(r) = r\log\frac1r$ (cerca de $0$ ): $\int\frac{\dd r}{r\log(1/r)} = \bigl[-\log\log\frac1r\bigr] \to +\infty$ como $r \to 0$ : califica — pero $\omega(r)/r = \log\frac1r \to \infty$ : no Lipschitz. $\omega(r) = 2\sqrt r$ : $\int_0^1\frac{\dd r}{2\sqrt r} = \bigl[\sqrt r\bigr]_0^1 = 1 < \infty$ : falla.

14. Resta las dos formas integrales:

x_1(t) - x_2(t) = x_1(s) - x_2(s) + \int_s^t\bigl(f(v, x_1(v)) - f(v, x_2(v))\bigr)\dd v,

tomar normas y utilizar el módulo de Osgood: $\delta(t) \leq \delta(s) + \int_s^t\omega(\delta(v))\,\dd v$ .

15. $\tau$ está bien definido ( $\delta(t_0) = 0$ ) con $\delta(\tau) = 0$ (continuidad) y $\delta > 0$ en $\intoc\tau{t_1}$ . Reparar $s \in \intoo\tau{t_1}$ . Entonces $u$ es $\mathcal C^1$ , $u(s) = \delta(s) > 0$ , $u \geq \delta$ en $[s, t_1]$ (pregunta 14) y $u' = \omega(\delta) \leq \omega(u)$ ( $\omega$ no decreciente, $u > 0$ ). dividir y integrar:

\int_{\delta(s)}^{u(t_1)}\frac{\dd r}{\omega(r)} = \int_s^{t_1}\frac{u'(v)}{\omega(u(v))}\,\dd v \leq t_1 - s \leq t_1 - \tau .

Aunque $u$ depende de $s$ , el límite $u(t_1) \geq \delta(t_1)$ se cumple para cada $s$ , por lo que el lado izquierdo está en menos $\int_{\delta(s)}^{\delta(t_1)}\frac{\dd r}{\omega(r)}$ , que tiende a $+\infty$ como $s \downarrow \tau$ (luego $\delta(s) \to \delta(\tau) = 0$ , y la integral diverge en $0$ ): el lado derecho delimitado se contradice. Por lo tanto $\delta \equiv 0$ : unicidad.

16. Lipschitz es $\omega = Lr$ : unicidad recuperada. Para $x' = x\log\frac1{\abs x}$ : el lado derecho satisface las Módulo de Osgood $\omega(r) = r\log\frac1r$ cerca de $0$ (valor medio desigualdad en $x \mapsto x\log\frac1x$ , cuya derivada $\log\frac1x - 1$ es ilimitado — Lipschitz falla, Osgood sostiene): soluciones únicas; nota $x \equiv 0$ es uno, así que no Otra solución puede tocar $0$ . Para $\omega(r) = 2\sqrt r$ : $\int_0^{h^2}\frac{\dd r}{2\sqrt r} = h$ — el “Osgood presupuesto” para subir desde $0$ a la altura $h^2$ es exactamente el tiempo $h$ , y de hecho $x_c(c + h) = h^2$ : la solución pasa tiempo $h$ haciendo precisamente lo que la integral convergente permisos. La divergencia de la integral es la imposibilidad de dejando $0$ en tiempo finito; la convergencia es la vía de escape.

17. $G(t) = \int_{t_0}^t(Le(s) + \eta(s))\dd s$ es $\mathcal C^1$ con $G' = Le + \eta \leq LG + \sup\eta$ (hipótesis $e \leq G$ ). Luego $\bigl(\eu^{-Lt}(G + \tfrac{\sup\eta}L)\bigr)' = \eu^{-Lt}(G' - LG - \sup\eta) \leq 0$ : el corchete disminuye, por lo que $G(t) + \frac{\sup\eta}L \leq \eu^{L(t - t_0)}\bigl(G(t_0) + \frac{\sup\eta}L\bigr) = \eu^{L(t-t_0)}\frac{\sup\eta}L$ , es decir, $e(t) \leq G(t) \leq \frac{\sup\eta}L(\eu^{L(t-t_0)} - 1)$ .

18. Defecto cuantitativo: en $(t_k, t_{k+1})$ , $\Delta_n(t) = f(t_k, \varphi_n(t_k)) - f(t, \varphi_n(t))$ con $\abs{t - t_k} \leq T/n$ y $\norm{\varphi_n(t) - \varphi_n(t_k)} \leq MT/n$ , entonces $\norm{\Delta_n} \leq L'T/n + LMT/n$ . Restando las identidades integrales para $\varphi_n$ (pregunta 5) y $\varphi$ y usando el límite de Lipschitz:

\norm{\varphi_n(t) - \varphi(t)} \leq \int_{t_0}^t L\,\norm{\varphi_n - \varphi}(s)\,\dd s + \int_{t_0}^t\norm{\Delta_n(s)}\,\dd s,

y la pregunta 17 con $\eta = \norm{\Delta_n}$ da la declarado $O(1/n)$ cota, siendo $\varphi$ único por Cauchy–Lipschitz (u Osgood). Incluso sin tarifas: cada subsecuencia del equilímite, equi-Lipschitz $(\varphi_n)$ tiene una subsubsecuencia convergente (Ascoli + Parte II) a Solución a, cuya unicidad obliga a ser $\varphi$ : una secuencia cuyas subsecuencias tienen subsecuencias con el mismo límite converge.

19. De $\varphi_n(t_k) = 0$ : la pendiente $2\sqrt0 = 0$ da $\varphi_n(t_{k+1}) = 0$ ; inducción: $\varphi_n \equiv 0$ , convergiendo a la solución cero. De $\varepsilon > 0$ : en $[\varepsilon', \infty)$ con $\varepsilon' < \varepsilon$ la función $2\sqrt x$ es Lipschitz, por lo que se aplica la pregunta 18 y Euler converge a la solución única a través de $(0, \varepsilon)$ , a saber, $x(t) = (t + \sqrt\varepsilon)^2$ (verificar: $x' = 2(t + \sqrt \varepsilon) = 2\sqrt x$ ). As $\varepsilon \to 0$ , $(t + \sqrt\varepsilon)^2 \to t^2$ uniformly on $[0,1]$ : the double limite las tierras en $x_0(t) = t^2$ , no en $0$ . Un arbitrariamente una pequeña perturbación del dato inicial redirige el esquema de una solución a otra: no unicidad leída como inestabilidad numérica.

20. No vacío: Parte II. Cada solución satisface $\norm{x'} = \norm{f(t, x)} \leq M$ : $\mathcal S$ es uniformemente $M$ -Lipschitz y uniformemente acotado (valores en $\bar B(x_0, b)$ ). Cerrado: si $x_n \in \mathcal S \to x$ uniformemente, pasar al límite en $x_n(t) = x_0 + \int_{t_0}^tf(s, x_n(s))\dd s$ (los integrandos convergen uniformemente por el uniforme continuidad de $f$ sobre el compacto $R$ ): $x \in \mathcal S$ . Ascoli: $\mathcal S$ es un establecimiento cerrado, acotado, equicontinuo subconjunto de $\mathcal C([t_0, t_0+T], \R^d)$ : compacto.

21. Cualquier solución es no decreciente ( $x' = 2\sqrt{\abs x} \geq 0$ ) con $x(0) = 0$ , por lo tanto $x \geq 0$ . Deje que $c = \sup\{t \in [0,1] : x(t) = 0\}$ (posiblemente $c = \infty$ si $x \equiv 0$ , en cuyo caso $x = x_\infty$ ). Para $t > c$ : $x > 0$ (monotonicidad más definición de $c$ ), y allí $(\sqrt x)' = \frac{x'}{2\sqrt x} = 1$ , entonces $\sqrt{x(t)} = t - c$ (continuidad en $c$ ): $x = x_c$ . Continuidad de $c \mapsto x_c$ : para $c, c' \in [0, 1]$ , $\sup_{[0,1]}\abs{(t - c)_+^2 - (t - c')_+^2} \leq 2\abs{c - c'}$ (la aplicación $c \mapsto (t-c)_+^2$ es $2$ -Lipschitz uniformemente en $t \in [0,1]$ ), y desde $x_c \equiv 0$ en $[0,1]$ por cada $c \geq 1$ , el familia se reduce a $\mathcal S = \{x_c : c \in [0,1]\}$ (con $x_1 = 0 = x_\infty$ ). Entonces $\mathcal S$ es la imagen del compacto conectado $[0,1]$ bajo aplicación continua $c \mapsto x_c$ : compacto y conectado. El embudo de soluciones es un segmento continuo que se ejecuta desde $t^2$ (inmediato escape) hasta $0$ (descanso eterno).

22. La evaluación $\operatorname{ev}_t\colon \mathcal C([0,1]) \to \R$ , $x \mapsto x(t)$ , es continuo ( $\abs{x(t) - y(t)} \leq \norm{x - y}_\infty$ ), por lo que $\mathcal S(t) = \operatorname{ev}_t(\mathcal S)$ es una imagen continuo de un compacto: compacto — y de un conjunto conectado: conectado. Por ejemplo: $x_c(t) = (t - c)_+^2$ barre, mientras se ejecuta $c$ hasta $[0, 1]$ , todos los valores desde $t^2$ (en $c = 0$ ) hasta $0$ (en $c \geq t$ ), continuamente: $\mathcal S(t) = \intcc0{t^2}$ . En cada instante, la sección transversal del embudo es un segmento completo: entre el descanso y el escape máximo, cada el compromiso se logra mediante una solución real.

23. Restando las formas integrales $x(t) = x_0 + \int_{t_0}^tf(s, x(s))\dd s$ y su análogo para $y$ , y configuración $e(t) = \norm{x(t) - y(t)}$ , $d = \norm{x_0 - y_0}$ :

e(t) \leq d + \int_{t_0}^tL\,e(s)\dd s = G(t).

Luego $G(t_0) = d$ y $G' = Le \leq LG$ , entonces $\bigl(\eu^{-L(t - t_0)}G\bigr)' \leq 0$ y $G(t) \leq d\,\eu^{L(t - t_0)}$ ; por lo tanto $e(t) \leq d\,\eu^{L(t-t_0)}$ . Nitidez: para $x' = Lx$ , las soluciones hasta $x_0$ y $y_0$ son $x_0\eu^{L(t - t_0)}$ y $y_0\eu^{L(t-t_0)}$ , cuya distancia es exactamente $d\,\eu^{L(t-t_0)}$ . Con $d = 0$ , $e \equiv 0$ : Unicidad de Cauchy-Lipschitz, rederivada en dos líneas. y para $t \in [t_0, t_0 + T]$ , $\norm{x(t; x_0) - x(t; y_0)} \leq \eu^{LT}\norm{x_0 - y_0}$ fijo: el flujo es Lipschitz en la condición inicial — dependencia determinista, en un precio exponencial controlado.

24. En $\intoc01$ , $\Omega$ está bien definido (el integral converge en $0$ por hipótesis), $\mathcal C^1$ con $\Omega' = \frac1\omega > 0$ : una biyección creciente sobre $\intoc0{\Omega(1)}$ , con $\Omega(x) \to 0$ como $x \to 0^+$ . Su inversa $g \colon \intoc0{\Omega(1)} \to \intoc01$ es $\mathcal C^1$ con

g'(t) = \frac1{\Omega'(g(t))} = \omega\bigl(g(t)\bigr) > 0, \qquad g(t) \xrightarrow[t \to 0^+]{} 0 .

Ampliar $g$ por $0$ en $t \leq 0$ : continuidad está claro, y en $t = 0$ , para $t > 0$ ,

\frac{g(t)}t = \frac1t\int_0^tg'(s)\dd s = \frac1t\int_0^t\omega\bigl(g(s)\bigr)\dd s \leq \omega\bigl(g(t)\bigr) \xrightarrow[t\to0^+]{} 0

( $\omega$ no decreciente, $g$ creciente, $\omega(0^+) = 0$ ): $g'(0) = 0 = f(g(0))$ y $g' = f(g)$ se sujetan en ambos lados de $0$ . Entonces, $x \equiv 0$ y $g$ son dos soluciones distintas de $\mathcal C^1$ hasta $(0, 0)$ : cuando $\int_0\frac{\dd r} {\omega(r)}$ converge, la unicidad falla — pregunta 15 la divergencia es exactamente la frontera. Para $\omega(r) = 2\sqrt r$ : $\Omega(x) = \int_0^x\frac{\dd r}{2\sqrt r} = \sqrt x$ , $g(t) = t^2$ , y las traducciones del tiempo le dan a toda la familia $x_c$ de la Parte III.

25. Con el paso $h = \frac1n$ : $\varphi_n(t_{k+1}) = \varphi_n(t_k) + h\,\varphi_n(t_k) = (1 + h)\varphi_n(t_k)$ , entonces $\varphi_n(1) = (1 + \frac1n)^n$ después de los pasos $n$ . Expansión:

n\log\Bigl(1 + \frac1n\Bigr) = n\Bigl(\frac1n - \frac1{2n^2} + O\Bigl(\frac1{n^3}\Bigr) \Bigr) = 1 - \frac1{2n} + O\Bigl(\frac1{n^2}\Bigr),

y exponencial, $(1 + \frac1n)^n = \eu\,\eu^{-1/(2n) + O(n^{-2})} = \eu\bigl(1 - \frac1{2n} + O(n^{-2})\bigr)$ . el el error en $t = 1$ es por lo tanto $\eu - \varphi_n(1) = \frac{\eu}{2n} + O(n^{-2})$ : el $O(\frac1n)$ de la pregunta 18, aquí con su constante exacta $\frac\eu2$ . Numéricamente, $n = 10$ : $1.1^{10} = 2.5937424601$ ( $1.1^2 = 1.21$ , $1.1^4 = 1.4641$ , $1.1^8 = 2.14358881$ , multiplicado por $1.21$ ) y $\eu - 2.59374 \approx 0.12454$ , frente a la predicción asintótica $\frac{\eu}{20} \approx 0.13591$ : acuerdo dentro del Corrección $O(n^{-2})$ , cuyo término principal aquí reduce el predicción hacia el valor observado.