7Espacios completos: Baire, Ascoli, Stone–Weierstrass

Demostración. Para ambos enunciados: una sucesión de Cauchy del cerrado $F$ converge en $X$, y su límite, adherente a $F$, está en $F$; y una sucesión de un completo $A$ convergente en $X$ es de Cauchy, luego converge en $A$, y el límite es único. ∎

Demostración. Unicidad: dos extensiones continuas coinciden en el denso $D$ y, por tanto, en todas partes (el conjunto de coincidencia $\{g = h\}$ es cerrado: preimagen de la diagonal cerrada por $x\mapsto(g(x), h(x))$). Existencia: para $x \in X$, tómese $d_n \to x$, $d_n \in D$. La sucesión $(f(d_n))$ es de Cauchy: dado $\varepsilon$, la continuidad uniforme proporciona $\delta$ con $d(u,v) < \delta \Rightarrow d(f(u), f(v)) < \varepsilon$, y $(d_n)$ es de Cauchy. Defínase $\bar f(x) = \lim f(d_n)$; el límite no depende de la sucesión elegida (entrelácense dos de ellas). $\bar f$ extiende $f$ (sucesiones constantes) y hereda el módulo de continuidad: si $d(x, x') < \delta$, aproximando ambos por puntos de $D$ a distancia $< \frac{\delta - d(x,x')}2$ se obtiene $d(\bar f(x), \bar f(x')) \leq \varepsilon$ en el límite — $\bar f$ es uniformemente continua. ∎

Demostración. Existencia. Sea $\mathcal X$ el conjunto de las sucesiones de Cauchy de $X$, con la seudodistancia

donde el límite existe porque $\abs{d(x_n, y_n) - d(x_m, y_m)} \leq d(x_n, x_m) + d(y_n, y_m)$ hace de Cauchy la sucesión real. Sea $\hat X = \mathcal X/{\sim}$, identificando las sucesiones a $D$-distancia $0$; $D$ desciende a una distancia. Sumérjase $X$ mediante las sucesiones constantes: es una isometría de imagen densa (una sucesión de Cauchy queda $D$-aproximada por las constantes construidas con sus propios términos: $D\bigl((x_n), (x_k)_{\rm const}\bigr) = \lim_n d(x_n, x_k) \to 0$ cuando $k \to \infty$, por ser de Cauchy). Completitud de $\hat X$: sea $(\xi^k)$ de Cauchy en $\hat X$; por densidad, tómense $x_k \in X$ con $D(\xi^k, x_k) \leq 2^{-k}$; entonces $(x_k)$ es de Cauchy en $X$ (desigualdad triangular a través de los $\xi$), define un punto $\xi \in \hat X$, y $D(\xi^k, \xi) \leq 2^{-k} + D(x_k, \xi) \to 0$ (la distancia de la constante $x_k$ a la clase de $(x_j)_j$ es $\lim_j d(x_k, x_j)$, pequeña para $k$ grande).

Unicidad: dos completados $\hat X_1, \hat X_2$ contienen $X$ densamente; la identidad de $X$, que es una isometría, es uniformemente continua, luego se extiende a $\hat X_1 \to \hat X_2$ (el Teorema 7.2), y sigue siendo una isometría sobre un conjunto denso y, por tanto, en todas partes; simétricamente en el otro sentido, y las composiciones fijan el denso $X$: son las identidades. ∎

Demostración. (Se demostró en segundo año; volvemos a registrar el argumento de dos líneas por completitud de la exposición.) La órbita $x_{n+1} = f(x_n)$ cumple $d(x_{n+1}, x_n) \leq k^nd(x_1, x_0)$, luego es de Cauchy (serie geométrica); su límite $x^*$ es fijo (continuidad de $f$) y único, pues dos puntos fijos cumplirían $d \leq k\,d$. La velocidad: súmese la cola geométrica. ∎

Demostración. Sean $(U_n)$ abiertos densos y sea $B_0 = B(x_0, r_0)$ una bola abierta cualquiera; encontraremos un punto de $\bigcap U_n$ en $B_0$. Inductivamente: por ser $U_{n}$ denso y abierto, corta a la bola abierta $B_{n-1}$ en un abierto, que contiene una bola cerrada $\bar B(x_n, r_n)$ con $0 < r_n \leq r_{n-1}/2$ y $\bar B(x_n, r_n) \subseteq B_{n-1}\cap U_n$. Los centros forman una sucesión de Cauchy ($x_m \in B_n$ para $m \geq n$, con radios $\to 0$); el límite $x$ está en todas las $\bar B(x_n, r_n)$ (por ser cerradas), luego en todos los $U_n$ y en $B_0$. Para la segunda formulación: si ningún $F_n$ tiene interior, los $U_n = X \setminus F_n$ son abiertos y densos, y un punto de $\bigcap U_n$ escapa de $\bigcup F_n = X$: absurdo. ∎

Demostración. (a) $\R = \bigcup_{x}\{x\}$ sobre un conjunto numerable haría que algún punto tuviera interior. (b) Si $\Q = \bigcap_n V_n$ con $V_n$ abiertos (necesariamente densos, pues $\supseteq \Q$), entonces los conjuntos $V_n$ y los complementarios $\R\setminus\{q\}$, $q \in \Q$, forman una familia numerable de abiertos densos de intersección vacía — en contra de Baire. Y si $X$ es completo sin puntos aislados y numerable, $X = \bigcup_{x \in X}\{x\}$ lo exhibe como unión numerable de cerrados de interior vacío (no hay puntos aislados): Baire de nuevo. ∎

Demostración. Para $n \geq 1$, póngase

Si $f$ es derivable en $x$, entonces $f \in F_n$ para algún $n$: el cociente $\abs{f(x+h)-f(x)}/\abs h$ está acotado para $\abs h \leq \delta$ (derivabilidad: tiende a $\abs{f'(x)}$) y está acotado por $2\norm f_\infty/\delta$ para $\abs h \geq \delta$. Así pues, $\bigcup F_n$ contiene todas las funciones derivables en algún punto, y basta demostrar que cada $F_n$ es cerrado con interior vacío.

Cerrado: sean $f_k \to f$ uniformemente, $f_k \in F_n$ con testigos $x_k \to x$ (compacidad, tras una extracción). Para $h$ con $x + h \in \intcc01$: elíjase $h_k \to h$ con $x_k + h_k \in \intcc01$ (por ejemplo, $h_k = h + x - x_k$ truncado); entonces $\abs{f(x + h) - f(x)} = \lim \abs{f_k(x_k + h_k) - f_k(x_k)} \leq \lim n\abs{h_k} = n\abs h$, usando la convergencia uniforme y la continuidad de $f$ en los puntos pertinentes: $f \in F_n$.

Interior vacío: dados $f \in F_n$ y $\varepsilon > 0$, buscamos $g$ con $\norm{g - f}_\infty \leq \varepsilon$ y $g \notin F_n$. Aproxímese primero $f$ hasta $\varepsilon/2$ por una función afín a trozos $\varphi$ (continuidad uniforme: interpólese sobre una malla fina), de pendientes acotadas por cierto $M$. Añádase un pequeño diente de sierra: $g = \varphi + \frac\varepsilon2\,s_N$, donde $s_N(x)$ es el zigzag $\frac1N$-periódico de amplitud $1$ y pendiente $\pm 2N$. En todo $x$, a un lado hay $h$ arbitrariamente pequeño para el que el diente de sierra aporta la pendiente $\pm 2N\cdot\frac\varepsilon2 = \pm\varepsilon N$ sobre $[x, x+h]$: el cociente incremental de $g$ supera $\varepsilon N - M > n$ para $N$ grande. Luego $g \notin F_n$, a cualquier distancia uniforme $\leq \varepsilon$ de $f$. Conclusión: $\bigcup F_n$ es magro; por Baire su complementario — formado por funciones no derivables en ningún punto — es denso en $\mathcal C(\intcc01)$: tales funciones existen en abundancia. ∎

Demostración. ($\Leftarrow$) Sea $(f_k)$ una sucesión de $\mathcal F$. Un espacio métrico $K$ compacto es separable: para cada $n$, un número finito de bolas de radio $\frac1n$ recubre $K$ (el Teorema 6.16); sus centros forman un conjunto denso numerable $D = \{x_1, x_2, \dots\}$. Por la acotación puntual y Bolzano–Weierstrass, extráiganse sucesivamente subsucesiones que converjan en $x_1$, después también en $x_2$, etc., y tómese la subsucesión diagonal $(g_j)$: converge en todo punto de $D$. La equicontinuidad eleva esto a la propiedad de Cauchy uniforme: dado $\varepsilon$, tómese $\delta$ como en la definición, recúbrase $K$ por un número finito de bolas $B(x_i, \delta)$ con $x_i \in D$ ($i \leq m$) y elíjase $J$ tan grande que $\norm{g_j(x_i) - g_{j'}(x_i)} < \varepsilon$ para $j, j' \geq J$, $i \leq m$. Para $x \in B(x_i, \delta)$ arbitrario:

Así pues, $(g_j)$ es uniformemente de Cauchy y converge en el completo $\mathcal C(K)$. Por tanto, toda sucesión de $\mathcal F$ tiene una subsucesión convergente: $\bar{\mathcal F}$ es compacto (secuencialmente y, por el Teorema 6.16, sin más).

($\Rightarrow$) Si $\bar{\mathcal F}$ es compacto: la acotación puntual es clara (la evaluación es continua). Para la equicontinuidad, recúbrase $\mathcal F$ por un número finito de bolas $B(f_i, \varepsilon)$ de $\mathcal C(K)$; cada $f_i$ es uniformemente continua (Heine, el Corolario 6.17), lo que da un $\delta$ común para $i \leq m$; y entonces, para $f \in B(f_i, \varepsilon)$ y $d(x,y) < \delta$: $\norm{f(x)-f(y)} \leq 2\varepsilon + \norm{f_i(x)-f_i(y)} < 3\varepsilon$. ∎

Demostración. Digamos $f_n \uparrow f$; sea $g_n = f - f_n \downarrow 0$, que es continua. Dado $\varepsilon$, los abiertos $U_n = \{g_n < \varepsilon\}$ crecen y recubren $K$ (convergencia puntual); extráigase un subrecubrimiento finito: $K = U_{n_0}$ para cierto $n_0$ (familia creciente), es decir, $0 \leq g_n < \varepsilon$ en todas partes para $n \geq n_0$. ∎

Demostración. Defínanse $u_0 = 0$, $u_{n+1}(t) = u_n(t) + \frac12\bigl(t - u_n(t)^2\bigr)$: son polinomios. Por inducción, $0 \leq u_n(t) \leq \sqrt t$ sobre $\intcc01$: admitiéndolo para $n$,

puesto que $\sqrt t + u_n \leq 2$; y $u_{n+1} \geq u_n \geq 0$. Así, $(u_n(t))$ es no decreciente y está acotada por $\sqrt t$: converge puntualmente, y el límite $\ell(t)$ cumple $\ell = \ell + \frac12(t - \ell^2)$: $\ell(t) = \sqrt t$, que es continua. Dini (el Lema 7.13) eleva la convergencia a uniforme. ∎

Demostración. Sea $\bar{\mathcal A}$ la clausura, que sigue siendo un álgebra (los productos de límites uniformes sobre acotados convergen).

Paso 1: $\bar{\mathcal A}$ es un retículo, es decir, es estable por $\max$ y $\min$. Como $\max(f,g) = \frac{f + g + \abs{f-g}}2$ y $\min$ análogamente, basta con que $f \in \bar{\mathcal A} \Rightarrow \abs f \in \bar{\mathcal A}$: con $M = \norm f_\infty > 0$, $\abs f = M\sqrt{(f/M)^2}$, y el Lema 7.14 da polinomios $u_n$ con $u_n\bigl((f/M)^2\bigr) \to \abs f/M$ uniformemente; y los polinomios en elementos del álgebra (con término independiente: las constantes están) permanecen en $\bar{\mathcal A}$.

Paso 2: interpolación en dos puntos. Para $x \neq y$ y $a, b \in \R$, algún $g \in \mathcal A$ cumple $g(x) = a$, $g(y) = b$: tómese $h$ que separe $x, y$ y póngase $g = a + (b - a)\frac{h - h(x)}{h(y) - h(x)}$.

Paso 3. Sean $f \in \mathcal C(K)$, $\varepsilon > 0$. Para cada par $x, y$ tómese $g_{x,y} \in \mathcal A$ con $g_{x,y}(x) = f(x)$, $g_{x,y}(y) = f(y)$ (Paso 2; para $x = y$, tómese la función constante $g_{x,x} = f(x)$). Fijemos $x$: para cada $y$, el abierto $V_y = \{g_{x,y} < f + \varepsilon\}$ contiene $y$; la compacidad extrae $y_1, \dots, y_m$ con $K = \bigcup V_{y_j}$, y $h_x = \min_j g_{x, y_j} \in \bar{\mathcal A}$ (Paso 1) cumple $h_x < f + \varepsilon$ en todas partes y $h_x(x) = f(x)$. Hágase variar ahora $x$: $W_x = \{h_x > f - \varepsilon\}$ es abierto y contiene $x$; extráiganse $x_1, \dots, x_l$ que recubran $K$, y $h = \max_i h_{x_i} \in \bar{\mathcal A}$ cumple $f - \varepsilon < h < f + \varepsilon$: $\norm{f - h}_\infty \leq \varepsilon$. Por tanto, $f \in \bar{\mathcal A}$. ∎

Demostración. (a) Los polinomios forman un álgebra con constantes; las funciones coordenadas separan los puntos de $\R^n$. (b) Las partes real e imaginaria $\frac{f + \bar f}2$, $\frac{f - \bar f}{2\iu}$ de los elementos de $\mathcal A$ forman un álgebra real $\mathcal A_\R \subseteq \mathcal C(K, \R)$ con constantes, que separa puntos ($f(x) \ne f(y)$ obliga a que $\operatorname{Re}f$ o $\operatorname{Im}f$ separe). Aplíquese el teorema real y recombínese. (c) Véanse las funciones $2\pi$-periódicas como $\mathcal C(S^1, \C)$ ($S^1 = \R/2\pi\Z$, compacto: el Ejercicio 6.5); el álgebra generada por $\eu^{\iu t}, \eu^{-\iu t}$ y las constantes es estable por conjugación y separa los puntos del círculo ($\eu^{\iu t}$ es inyectiva sobre él). Aplíquese (b). ∎