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Matemáticas · 术语表

什么是 espacio compacto？

Definición 6.12 Matemáticas universitarias — Grado 3 · 第 6 章 — Topología general

Un recubrimiento abierto de $X$ es una familia $(U_i)_{i\in I}$ de abiertos con $\bigcup U_i = X$ . $X$ es compacto si es de Hausdorff y todo recubrimiento abierto admite un subrecubrimiento finito. Equivalentemente (tomando complementarios): toda familia de cerrados con la propiedad de intersección finita (toda subfamilia finita tiene intersección no vacía) tiene intersección total no vacía.

示例

Ejemplo 6.11

El cociente $\R/\Z$ (identificando $x$ con $x + n$ ) es homeomorfo al círculo $S^1 = \{z \in \C : \abs z = 1\}$ : la aplicación $x \mapsto \eu^{2\iu\pi x}$ pasa al cociente y da una biyección continua $\R/\Z \to S^1$ (la Proposición 6.10(b)); su inversa es continua por el argumento de compacidad del Corolario 6.14 de más abajo (el Ejercicio 6.5 lo detalla todo, incluido por qué $\R/\Z$ es de Hausdorff y compacto). Del mismo modo, $[0,1]$ con los extremos pegados es $S^1$ , el cuadrado con los lados opuestos pegados es el toro, y el pegado pasa por fin a ser un teorema, y no un dibujo.

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