Matemáticas universitarias — Grado 1 · Bachelor Year 1

18Espacios vectoriales

El álgebra lineal comienza aquí: los axiomas de espacios vectoriales aíslan lo que Los espacios $\R^2$ , $\R^3$ , polinomio y los espacios funcionales tienen en común — uno puede agregar y escalar. Dos capítulos construyen la teoría. (Capítulo 19 agrega dimensión); el idioma que conjunto arriba — engendrado, familia libre, base, suma directa — es el pan de cada día capítulo después de ellos. En todo momento, $K$ denota $\R$ o $\C$ . (escalares).

18.1 Definición y ejemplos

Definición 18.1 (Espacio vectorial)

Un $K$ -espacio vectorial es un conjunto $E$ con un suma haciendo $(E, +)$ un grupo abeliano (cero escrito $0_E$ o $0$ ), y una multiplicación escalar $K \times E \to E$ tal que, para todos $\lambda, \mu \in K$ y $x, y \in E$ :

\lambda(x + y) = \lambda x + \lambda y,\quad (\lambda + \mu) x = \lambda x + \mu x,\quad \lambda(\mu x) = (\lambda\mu) x,\quad 1\,x = x .

Consecuencias: $0\,x = 0_E$ , $\lambda\,0_E = 0_E$ , $(-1)x = -x$ y $\lambda x = 0_E \implies \lambda = 0$ o $x = 0_E$ (multiplicar por $\lambda^{-1}$ ).

Prueba de las consecuencias. Para $0\,x = 0_E$ : de $(0 + 0)x = 0x + 0x$ y $(0+0)x = 0x$ , cancelar $0x$ en el grupo $(E, +)$ . Para $\lambda\,0_E$ : igual truco en $\lambda(0_E + 0_E)$ . Para $(-1)x$ : agregue $x$ ,

x + (-1)x = 1\,x + (-1)x = \bigl(1 + (-1)\bigr)x = 0\,x = 0_E ,

entonces $(-1)x$ es el inverso aditivo de $x$ . Finalmente si $\lambda x = 0_E$ con $\lambda \neq 0$ : multiplicar por $\lambda^{-1}$ (el los escalares forman un campo) y usan los dos axiomas $\lambda^{-1}(\lambda x) = (\lambda^{-1}\lambda)x = 1x = x$ junto con $\lambda^{-1}0_E = 0_E$ : $x = 0_E$ . Pequeños como ellos son, estas cuatro reglas se utilizan silenciosamente en cada página que sigue — y el último es exactamente donde se necesitan campos: sobre los escalares $\Z$ , el “espacio” $\Z/2\Z$ lo violaría con $2\,x = 0$ . ∎

Ejemplo 18.2

$K^n$ (operaciones por coordenadas); el polinomios $K[X]$ ; el funciones $\mathcal{F}(A, K)$ desde cualquier conjunto $A$ a $K$ (puntualmente operaciones) — que contiene funciones continuo, secuencias $\mathcal{F}(\N, \R)$ , etc.; $\C$ como un espacio vectorial $\R$ . en cada En este caso los axiomas se heredan de los de $K$ .

Definición 18.3 (subespacio)

$F \subseteq E$ es subespacio cuando $0_E \in F$ y $F$ son estables bajo suma y multiplicación escalar — equivalentemente:

F \neq \emptyset \qquad\text{and}\qquad \forall x, y \in F,\ \forall \lambda \in K,\quad x + \lambda y \in F .

Un subespacio es en sí mismo un espacio vectorial. Cualquier intersección de subespacios. es un subespacio; una unión casi nunca lo es (la misma prueba que Ejercicio 7.6).

Ejemplo 18.4

En $\mathcal{F}(\R, \R)$ : las funciones continuo, el diferenciable, el polinomios de grado $\leq n$ (escrito $K_n[X]$ dentro de $K[X]$ ), las soluciones de un lineal homogéneo ecuación diferencial (Teorema 5.10 dijo recién eso). No ejemplos: $\{f : f(0) = 1\}$ (sin cero), grado exactamente $n$ (no estable bajo adición).

Ejemplo 18.5 (Subespacio o no: cuatro sentencias, argumentadas)

En el espacio de secuencias reales:

$\{u : u \text{ bounded}\}$ is a subespacio: $0$ es acotado, y si $\abs{u_n} \leq M$ , $\abs{v_n} \leq M'$ , luego $\abs{u_n + \lambda v_n} \leq M + \abs\lambda M'$ .
$\{u : u_n \to 1\}$ es no: la secuencia cero es falta (y la suma de dos miembros tiende a $2$ ).
$\{u : u \text{ monotone}\}$ es no: $u_n = n$ y $v_n = -n + (-1)^n$ son monótonos, su suma $(-1)^n$ no lo es; la estabilidad bajo suma es el axioma eso falla, aunque el conjunto contiene $0$ y todos múltiplos escalares de sus miembros.
$\{u : u_{n+1} = u_n^2\}$ es no: contiene $0$ pero $2u$ escapa tan pronto como $u$ es un miembro distinto de cero ( $2u_{n+1} \neq (2u_n)^2$ en general) — elevar al cuadrado es la no linealidad.

El orden de funcionamiento es siempre el mismo: pruebe primero $0$ (el más barato), luego estabilidad — y para refutar, un contraejemplo explícito El par supera cualquier duda.

18.2 Span, sumas, sumas directas

Definición 18.6 (Combinaciones lineales, subespacio engendrado)

Una combinación lineal de la familia $(x_1, \dots, x_p)$ de vectores de $E$ es cualquier $\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_p x_p$ ( $\lambda_i \in K$ ). El conjunto de todas ellas es el subespacio engendrado $\operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p)$ : es un subespacio, el más pequeño que contiene la familia.

Prueba de las dos afirmaciones. Estabilidad: la suma de dos combinaciones lineales

\sum\lambda_i x_i + \sum\mu_i x_i = \sum(\lambda_i + \mu_i)x_i

vuelve a serlo, e igual un múltiplo escalar $\mu\sum\lambda_i x_i = \sum(\mu\lambda_i)x_i$ ; la combinación nula muestra que $0$ pertenece: el engendrado es un subespacio. Minimalidad: sea $H$ cualquier subespacio que contenga $x_1,\dots,x_p$ . Por estabilidad bajo la multiplicación escalar, cada $\lambda_i x_i \in H$ , y por estabilidad bajo la suma su suma está en $H$ : toda combinación lineal pertenece a $H$ , es decir $\operatorname{Vect}(x_1,\dots,x_p)\subseteq H$ . Así el engendrado está contenido en todo subespacio que contenga la familia: es el más pequeño. ∎

Definición 18.7 (suma, suma directa)

Para subespacios $F, G$ de $E$ :

F + G = \{\,u + v : u \in F,\ v \in G\,\}

es un subespacio (el más pequeño contiene $F \cup G$ ). la suma es directo, escrito $F \oplus G$ , cuando cada el elemento de $F + G$ descompone únicamente como $u + v$ ; de manera equivalente (ver más abajo) cuando $F \cap G = \{0\}$ . Cuando $E = F \oplus G$ , subespacios son suplementario en $E$ .

Ejemplo 18.8 (Una suma de dos lineas)

En $\R^3$ , dejemos que $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,0,1)\bigr)$ y $G = \operatorname{Vect}\bigl((0,1,1)\bigr)$ . Su suma es

F + G = \{\,a(1,0,1) + b(0,1,1)\,\} = \{(a,\ b,\ a + b)\} = \{(x, y, z) : z = x + y\},

el plano que pasa por el origen que contiene ambas rectas. es estrictamente mayor que la unión $F \cup G$ (la mera cruz de la dos líneas): el vector $(1, 1, 2) = (1,0,1) + (0,1,1)$ se encuentra en la suma pero en ninguna de las líneas. Y $F \cap G = \{0\}$ (un común vector requiere $a(1,0,1) = b(0,1,1)$ , cuyos primeros dos coordenadas fuerza $a = b = 0$ ): la suma es directa, y $F \oplus G$ es exactamente ese plano.

Proposición 18.9

$F + G$ es directo si y sólo si $F \cap G = \{0\}$ .

Demostración. Si algunos $w \neq 0$ se encuentran en $F \cap G$ : $w = w + 0 = 0 + w$ son dos descomposiciones de $w$ . Por el contrario, si $u + v = u' + v'$ con $u, u' \in F$ , $v, v' \in G$ , entonces $u - u' = v' - v$ pertenece a $F \cap G = \{0\}$ : las descomposiciones son únicas. ∎

Método 18.10 (Probando $E = F \oplus G$ )

Dos cosas para comprobar, cada una con su movimiento de apertura estándar.

Intersección trivial. Toma $x \in F \cap G$ , escriba ambas condiciones de membresía y presione $x = 0$ . (Nunca discutas por imagen: cf. los peligros que aparecen a continuación.)
La suma lo es todo. Tome un $x \in E$ arbitrario y producir la descomposición $x = f + g$ — ya sea adivinando $f$ del objetivo ( $f$ debe satisfacer la propiedad definitoria de $F$ , que generalmente dicta su fórmula) o resolviendo el sistema lineal que expresa $x$ contra generadores de $F$ y $G$ .

Cuando se adivina la fórmula de descomposición, la unicidad es automático desde el paso 1; cuando sólo la existencia no está clara, el paso 2 es donde vive la obra. Los dos ejemplos siguientes ejecutan el método: para funciones pares/impares la fórmula para $f$ se fuerza evaluando la identidad deseada en $x$ y $-x$ ; para polinomios desapareciendo en un punto, evaluando en $a$ .

Ejemplo 18.11

En $\mathcal{F}(\R, \R)$ , las funciones pares $\mathcal{P}$ y las Las funciones impares $\mathcal{I}$ son suplementario: cualquier escritura $f$

f(x) = \underbrace{\frac{f(x) + f(-x)}{2}}_{\text{even}} + \underbrace{\frac{f(x) - f(-x)}{2}}_{\text{odd}},

y una función tanto par como impar es cero. (Aplicado a $\exp$ , este es el par $(\cosh, \sinh)$ de Capítulo 4).

Ejemplo 18.12 (Un par suplementario en $K_n[X]$ )

Repare $a \in K$ y configure $F = \{P \in K_n[X] : P(a) = 0\}$ , $G = \operatorname{Vect}(1)$ (las constantes). Entonces $K_n[X] = F \oplus G$ . De hecho, $F \cap G$ consta de las constantes que desaparecen en $a$ , es decir $\{0\}$ ; y cada $P$ se descompone como

P = \underbrace{\bigl(P - P(a)\bigr)}_{\in F} + \underbrace{P(a)}_{\in G} .

Vale la pena memorizar la descomposición: restar el valor en un El punto es la forma estándar de proyectar sobre "funciones que se desvanecen en $a$ ”. Tenga en cuenta que $F$ es un subespacio grande y $G$ uno pequeño; un El par suplementario no necesita estar equilibrado en ningún sentido.

Ejemplo 18.13 (Un subespacio suplementario nunca es único)

En $\R^2$ , sea $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,0)\bigr)$ (el eje $x$ ). Tanto $G = \operatorname{Vect}\bigl((0,1)\bigr)$ como $G' = \operatorname{Vect}\bigl((1,1)\bigr)$ son suplementarios de $F$ : cada uno corta a $F$ solo en $0$ , y cada par suma $\R^2$ . Las descomposiciones de un mismo vector difieren:

(2,\ 1.5) = \underbrace{(2, 0)}_{\in F} + \underbrace{(0, 1.5)}_{\in G} = \underbrace{(0.5,\ 0)}_{\in F} + \underbrace{(1.5,\ 1.5)}_{\in G'} .

De hecho, la línea cada distinta de $F$ es una suplementario de $F$ en $\R^2$ : los complementarios abundan, y hablar de “el” suplementario no tiene sentido hasta que un estructura adicional (un producto interno, Capítulo 23) individuales uno fuera.

Dos descomposiciones del mismo punto de ℝ2a lo largo de F (el eje x): con suplementarioG(caída vertical) y con suplementario G'(caída oblicua). Los componentes F se diferencian: una proyección depende de la dirección del descenso. — Dos descomposiciones del mismo punto de $\R^2$ a lo largo de $F$ (el eje $x$ ): con suplementario $G$ (caída vertical) y con suplementario $G'$ (caída oblicua). Los componentes $F$ se diferencian: una proyección depende de la dirección del descenso.

18.3 Familias libres, familias generadoras, bases.

Definición 18.14

Una familia $(x_1, \dots, x_p)$ de vectores de $E$ es:

generando (de $E$ ) cuando $\operatorname{Vect}(x_1,\dots,x_p) = E$ ;
libre (sus vectores linealmente independiente) cuando

$\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_p x_p = 0 \implies \lambda_1 = \dots = \lambda_p = 0 ;$

de lo contrario vinculado;
a base cuando esté libre y generando.

Proposición 18.15 (coordinadas)

$(e_1, \dots, e_n)$ es un base de $E$ si y sólo si cada $x \in E$ es únicamente una combinación $x = \lambda_1 e_1 + \dots + \lambda_n e_n$ ; los escalares $\lambda_i$ son los coordenadas de $x$ en el base.

Demostración. Generando $=$ existencia de la descomposición. Singularidad $=$ libertad: dos descomposiciones del mismo $x$ se diferencian por una combinación igual a $0$ ; la libertad fuerza todos sus coeficientes — el diferencias de coordenadas — desaparecer. Por el contrario, una cuestión no trivial La combinación nula da las dos descomposiciones $0 = \sum \lambda_i e_i = \sum 0\,e_i$ . ∎

Ejemplo 18.16

El canonical base de $K^n$ : $e_i = (0, \dots, 1, \dots, 0)$ ( $1$ en la ranura $i$ ). Los monomios $(1, X, X^2, \dots, X^n)$ : a base de $K_n[X]$ (libre: una combinación nula es el cero polinomio, por lo que todos los coeficientes desaparecen, Definición 8.1). en $\C$ sobre $\R$ : el base $(1, \iu)$ .

Observación 18.17 (Las coordenadas son un esfuerzo de equipo)

La primera coordenada de $x$ en un base $(e_1, \dots, e_n)$ Depende de todo los vectores base, no solo de $e_1$ . en $\R^2$ : el vector $(3, 1)$ tiene la primera coordenada $3$ en el canónico base, pero primero coordina $2$ en el base $\bigl((1,0), (1,1)\bigr)$ — resolver $(3,1) = a(1,0) + b(1,1)$ : $b = 1$ , $a = 2$ . Cambiando una reorganización de vectores base Coordenada cada; Capítulo 21 empaquetará esto reorganización en la matriz de cambio de base.

Ejemplo 18.18 (Probando una base de candidatos, de principio a fin)

¿Es $\mathcal{F} = (1 + X,\ 1 + X^2,\ X + X^2)$ un base de $\R_2[X]$ ? Escriba $u_1, u_2, u_3$ para los tres polinomios. libertad: una combinación nula $a\,u_1 + b\,u_2 + c\,u_3 = 0$ da, coeficiente por coeficiente,

a + b = 0, \qquad a + c = 0, \qquad b + c = 0 ;

restando los dos primeros, $b = c$ , luego el tercero da $2b = 0$ : $a = b = c = 0$ , libre. generando: en lugar de resolver tres sistemas, observe la combinación simétrica

u_1 + u_2 - u_3 = (1 + X) + (1 + X^2) - (X + X^2) = 2 ,

entonces $1 = \frac12(u_1 + u_2 - u_3)$ ; entonces

X = u_1 - 1 = \tfrac12\bigl(u_1 - u_2 + u_3\bigr), \qquad X^2 = u_2 - 1 = \tfrac12\bigl(-u_1 + u_2 + u_3\bigr).

Los monomios se encuentran en engendrado, por lo que todo lo hace: $\mathcal{F}$ es un base. Como beneficio adicional, ensamblar las tres pantallas brinda la coordenadas de cualquier $P = \alpha + \beta X + \gamma X^2$ :

P = \frac{\alpha + \beta - \gamma}{2}\,u_1 + \frac{\alpha - \beta + \gamma}{2}\,u_2 + \frac{-\alpha + \beta + \gamma}{2}\,u_3 .

(Verificación de cordura con $P = X$ : coordenadas $\bigl(\frac12, -\frac12, \frac12\bigr)$ , como se encuentra arriba). Dos lecciones: simetría en la familia suele esconderse una combinación de atajos; y una vez La dimensión está disponible (Capítulo 19), todo generar la mitad de este trabajo vendrá libre de forma gratuita — tres Los vectores libre de un espacio de dimensiones $3$ siempre forman un base.

Proposición 18.19 (Criterios útiles de gratuidad)

Una familia de nonzero polinomios of pairwise distinct degrees es libre.
Agregar un vector a familia libre lo mantiene libre si y solo si el vector está fuera del engendrado de la familia.
Cualquier subfamilia de familia libre es libre; cualquier familia contener una familia generadora es generar.

Demostración. (1) En una combinación nula, observe el grado más alto presente: su El coeficiente debe desaparecer (nada cancela ese grado), y la cascada abajo.

(2) Si $x \in \operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p)$ , la relación $x - \sum\lambda_i x_i = 0$ no es trivial. Por el contrario, una cuestión no trivial La combinación nula de $(x_1, \dots, x_p, x)$ debe involucrar a $x$ con un coeficiente distinto de cero (de lo contrario contradice la libertad del pequeño familia), y resolviendo $x$ lo coloca en engendrado.

(3) Subfamilia: una combinación nula de la subfamilia es una de las toda la familia con los coeficientes faltantes conjunto a $0$ ; libertad de la gran familia los mata a todos. Superfamilia: cada vector de $E$ ya es una combinación de la parte generadora; dar el vectores adicionales el coeficiente $0$ . ∎

Ejemplo 18.20 (El principio de la escalera)

Sea $P_0, P_1, \dots, P_n \in K_n[X]$ con $\deg P_k = k$ para cada $k$ (una “escalera” de grados). Entonces $(P_0, \dots, P_n)$ es un base de $K_n[X]$ . La libertad es Proposición 18.19 (1). para la generacion propiedad, argumentar por descendencia finita en el grado: sean $Q \in K_n[X]$ , $Q \neq 0$ , de grado $d$ , con coeficiente principal $a$ , y sea $b \neq 0$ el coeficiente principal de $P_d$ . Entonces $Q - \frac ab P_d$ tiene el grado $< d$ (los términos superiores se cancelan); reemplazando $Q$ por esta diferencia e iterando, después de como máximo los pasos $n + 1$ se llega al cero polinomio, y desenrollando las restas expresa $Q$ como una combinación de $P_k$ . Dos escaleras ya se cumplen: las potencias desplazadas $\bigl((X-a)^k\bigr)_{0 \leq k \leq n}$ (Ejercicio 18.4) y los productos de Newton $\bigl((X - x_0)(X - x_1)\cdots(X - x_{k-1})\bigr)_{0 \leq k \leq n}$ , puesto a trabajar en el problema del fin de semana.

Ejemplo 18.21 (Libertad en espacios funcionales)

En $\mathcal{F}(\R,\R)$ , la familia $(\eu^{a_1 x}, \dots, \eu^{a_p x})$ con $a_1 < \dots < a_p$ es libre: dividir una combinación nula por $\eu^{a_p x}$ y deja que $x \to +\infty$ ; el último coeficiente muere, y uno cae en cascada (Ejercicio 18.8 detalla esto y variantes). La libertad de funciones queda demostrada por evaluando: en puntos bien elegidos, en el infinito o después de diferenciar.

Ejemplo 18.22 (Una relación oculta se reduce un lapso)

En $\mathcal{F}(\R, \R)$ , ¿qué es? $\operatorname{Vect}(1,\ \cos^2,\ \sin^2)$ ? la identidad $\cos^2 + \sin^2 = 1$ es una combinación nula no trivial

1\cdot\mathbf{1} + (-1)\cos^2 + (-1)\sin^2 = 0 :

la familia está vinculada y el engendrado ya está generado por $(1, \cos^2)$ solo ( $\sin^2 = 1 - \cos^2$ ). Esa familia más pequeña es libre: $a + b\cos^2 x = 0$ para todos los $x$ , en $x = 0$ y $x = \frac\pi2$ : $a + b = 0$ y $a = 0$ . Entonces el engendrado es un avión dentro del espacio funcional — y también contiene $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ : familias de aspecto lineal de las funciones trigonométricas colapsan habitualmente bajo identidades, por lo que la libertad debe ser probado, nunca asumida desde la longitud de la lista.

Observación 18.23 (Errores comunes)

Cuatro trampas clásicas. Por parejas no es suficiente: en $\R^2$ , los vectores $(1,0)$ , $(0,1)$ , $(1,1)$ son pares no proporcionales, pero están vinculados — La libertad es una propiedad de la familia entero, probada por uno. combinación global, nunca de dos en dos. El vector cero lo envenena todo: cualquier familia que contenga $0$ está vinculado ( $1\cdot 0 = 0$ es una relación no trivial), sin embargo inocentes los otros vectores. La unión no es suma.: $F \cup G$ casi nunca es un subespacio (Definición 18.3); el más pequeño subespacio que contiene ambos es $F + G$ , generalmente mucho más grande que la unión — en $\R^2$ , dos líneas distintas tienen unión en cruz, suma la avión entero. Directo requiere intersección trivial, no desunión: dos subespacios nunca son separados (ambos contienen $0$ ); lo correcto la condición es $F \cap G = \{0\}$ y debe ser probado, no leer un dibujo — cf. Ejemplo 18.13, donde muchos $G$ diferentes trabajo. La libertad depende de los escalares.: el par $(1, \iu)$ es libre en $\C$ visto como un espacio vectorial $\R$ , pero vinculado en $\C$ visto como un espacio vectorial $\C$ ( $\iu\cdot 1 + (-1)\cdot\iu = 0$ ). Sepa siempre qué campo está actuando antes de declarar una familia libre — el problema del fin de semana de Capítulo 19 gira exactamente esta sensibilidad en pruebas de irracionalidad.

Observación 18.24 (Adónde va este idioma)

Todo lo que sigue a este capítulo habla el idioma conjunto aquí. Capítulo 19 cuenta los vectores base y convierte “libre” y "generando" desigualdades en un solo número entero, la dimensión. Capítulo 20 estudia el aplicaciones compatible con las dos operaciones; sumas directas se convierten en proyectores allí. Capítulo 21 codifica vectores por su coordenadas en un base — Proposición 18.15 es la licencia para esa codificación — y Capítulo 23 agrega longitudes y ángulos encima de la estructura lineal. En el volumen Year 2 lo mismo. axiomas, palabra por palabra, repasados arbitrarios campos y en infinito dimensión; nada en este capítulo utilizó la finitud en ninguna parte.

Observación 18.25 (Tres hilos a seguir hasta el Libro 3)

Observe cómo crecen tres ideas específicas de este capítulo. El principio de la escalera (Ejemplo 18.20) reaparece como Newton base en el problema de fin de semana de este capítulo, como el binomio base $(B_k)$ allí, y como truco alternativo polinomio en el problema de fin de semana de Capítulo 22: un lema, tres libre de determinantes dividendos. Evaluación como prueba de libertad. (Ejemplo 18.21) se convierte en la interpolación isomorfismo de Capítulo 20, luego el Vandermonde criterio de Capítulo 22, luego la prueba de Gram de Capítulo 23: el mismo reflejo, afilado tres veces. sumas directas (Definición 18.7) se convierte en proyectores en Capítulo 20, divisiones ortogonales $E = F \oplus F^\perp$ en Capítulo 23 y el descomposición explicada más residual de mínimos cuadrados en el Problema de fin de semana de Capítulo 25. muy poco de esto El libro no es, en el fondo, una de estas tres ideas vestidas de nuevo. ropa.

18.4 Ceremonias

Ejercicio 18.1 ★

¿Cuáles de los siguientes son subespacios?

$\{(x, y, z) \in \R^3 : x + 2y - z = 0\}$ ;
$\{(x, y, z) \in \R^3 : x + 2y - z = 1\}$ ;
$\{(x, y) \in \R^2 : xy \geq 0\}$ ;
$\{P \in \R[X] : P(1) = 0\}$ ;
$\{f \in \mathcal{F}(\R,\R) : f \text{ bounded}\}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 18.1.

Sí: contiene $0$ y la ecuación que lo define es lineal (estable bajo $x + \lambda y$ ).
No: no contiene $(0,0,0)$ .
No: $(1, 0)$ y $(0, -1)$ pertenecen ( $xy = 0$ ), su suma $(1, -1)$ no ( $xy = -1 < 0$ ).
Sí: $0$ desaparece en $1$ ; $(P + \lambda Q)(1) = P(1) + \lambda Q(1) = 0$ .
Sí: la función cero está acotada; si $\abs f \leq M$ y $\abs g \leq M'$ , luego $\abs{f + \lambda g} \leq M + \abs\lambda M'$ .

Ejercicio 18.2 ★

En $\R^3$ , está $(1, 2, 1)$ en $\operatorname{Vect}\bigl((1,0,1),\, (1,1,0)\bigr)$ ? ¿Y $(2, 1, 1)$ ? Describir $\operatorname{Vect}\bigl((1,0,1),(1,1,0)\bigr)$ por un ecuación.

Solución

Solución de Ejercicio 18.2.

$(1,2,1) = a(1,0,1) + b(1,1,0)$ requiere $a + b = 1$ , $b = 2$ , $a = 1$ : incompatible ( $a + b = 3 \neq 1$ ): no en engendrado. $(2,1,1) = a(1,0,1) + b(1,1,0)$ : $b = 1$ , $a = 1$ , $a + b = 2$ : consistente, entonces $(2,1,1) = (1,0,1) + (1,1,0)$ , en el engendrado.

Ecuación: $(x, y, z) = (a + b, b, a)$ significa $x = y + z$ : el engendrado es el avión $\{x - y - z = 0\}$ .

Ejercicio 18.3 ★

Decidir libertad en $\R^3$ : $\;\bigl((1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)\bigr)$ ; $\;\bigl((1,2,3), (2,4,6)\bigr)$ ; $\;\bigl((1,0,0), (1,1,0), (1,1,1), (0,1,1)\bigr)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 18.3.

Primera familia: $\lambda(1,1,0) + \mu(1,0,1) + \nu(0,1,1) = 0$ da $\lambda + \mu = 0$ , $\lambda + \nu = 0$ , $\mu + \nu = 0$ : sumando, $2(\lambda + \mu + \nu) = 0$ , y restando cada ecuación, $\lambda = \mu = \nu = 0$ : libre.

Segundo: $(2,4,6) = 2(1,2,3)$ : vinculado.

Tercero: cuatro vectores en $\R^3$ — necesariamente vinculados una vez dimensión está disponible (Capítulo 19); directamente: $(0,1,1) = -(1,0,0) + 0\cdot(1,1,0) + (1,1,1)$ , efectivamente $(-1,0,0) + (1,1,1) = (0,1,1)$ : a relación no trivial.

Ejercicio 18.4 ★

Demuestre que $(1, X - 1, (X-1)^2, (X-1)^3)$ es un base de $\R_3[X]$ , y proporcione el coordenadas de $X^3$ en él. (¡Taylor a $1$ !)

Solución

Solución de Ejercicio 18.4.

Polinomios $1, (X-1), (X-1)^2, (X-1)^3$ tienen grados distintos $0, 1, 2, 3$ : libre (Proposición 18.19 (1)); cuatro libre vectores que generan (cada $P \in \R_3[X]$ se expande en potencias de $X - 1$ , por ejemplo por Taylor para polinomios, cf. la prueba de Proposición 8.11): a base. Para $X^3$ , Taylor en $1$ : $P = X^3$ , $P(1) = 1$ , $P'(1) = 3$ , $P''(1) = 6$ , $P'''(1) = 6$ :

X^3 = 1 + 3(X - 1) + 3(X-1)^2 + (X-1)^3 ,

coordenadas $(1, 3, 3, 1)$ (fila de Pascal, como se esperaba de $X^3 = ((X-1)+1)^3$ ).

Ejercicio 18.5 ★★

En $\R^4$ , dejemos $F = \{(x,y,z,t) : x = y = z\}$ y $G = \{(x,y,z,t) : x = t = 0\}$ . Demuestre que $F \oplus G = \R^4$ y descomponga $(1,2,3,4)$ en consecuencia.

Solución

Solución de Ejercicio 18.5.

$F \cap G$ : las condiciones $x = y = z$ y $x = t = 0$ juntas dan $x = 0$ , por lo tanto $y = z = 0$ y $t = 0$ : la intersección es $\{0\}$ . Suma: dado $(x,y,z,t)$ , busque $(a,a,a,b) \in F$ y $(0,c,d,0) \in G$ resumiendo: $a = x$ , $b = t$ , $c = y - x$ , $d = z - x$ : siempre es posible. Entonces $\R^4 = F \oplus G$ , y

(1,2,3,4) = (1,1,1,4) + (0,1,2,0) .

Ejercicio 18.6 ★★

En el espacio de secuencias, sea $F$ el conjunto de convergente secuencias y $G = \operatorname{Vect}(u)$ donde $u_n = (-1)^n$ . Demuestre que $F \cap G = \{0\}$ . ¿Es $F + G$ todo el espacio de secuencias?

Solución

Solución de Ejercicio 18.6.

Un elemento de $G$ es $\lambda u$ ; si converge, entonces (como $\lambda u_n = \lambda(-1)^n$ tiene los dos límites sucesivos $\pm \lambda$ ) necesariamente $\lambda = 0$ : $F \cap G = \{0\}$ .

$F + G$ no lo es todo: consta de secuencias de la forma $c_n + \lambda(-1)^n$ con $(c_n)$ convergente. La secuencia $v_n = n$ no tiene esta forma ( $v_n - \lambda(-1)^n$ es ilimitada, nunca convergente). Entonces $F \oplus G \subsetneq$ (espacio de todas las secuencias).

Ejercicio 18.7 ★★

Sea $F, G, H$ subespacios de $E$ . demostrar que

F \cap (G + (F \cap H)) = (F \cap G) + (F \cap H),

y mostrar con un ejemplo en $\R^2$ que el acceso sin restricciones La distributividad $F \cap (G + H) = (F\cap G) + (F \cap H)$ falla.

Solución

Solución de Ejercicio 18.7.

( $\supseteq$ ) Tanto $F \cap G$ como $F \cap H$ se encuentran en $F$ , y sus la suma se encuentra en $G + (F \cap H)$ : la inclusión sigue desde el lado izquierdo es un subespacio que contiene ambas piezas — concretamente un elemento $g + h$ con $g \in F\cap G$ , $h \in F \cap H$ está en $F$ (suma de dos elementos de $F$ ) y en $G + (F \cap H)$ .

( $\subseteq$ ) Vamos $x \in F$ con $x = g + h$ , $g \in G$ , $h \in F \cap H$ . Entonces $g = x - h \in F$ (diferencia de elementos de $F$ ), entonces $g \in F \cap G$ y $x = g + h \in (F \cap G) + (F \cap H)$ .

Contraejemplo de distributividad total en $\R^2$ : $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ , $G = \operatorname{Vect}(1,0)$ , $H = \operatorname{Vect}(0,1)$ . Luego $G + H = \R^2$ , entonces $F \cap (G+H) = F$ , mientras que $F \cap G = F \cap H = \{0\}$ : el lado derecho es $\{0\} \neq F$ .

Ejercicio 18.8 ★★★

Demuestre que las siguientes familias de $\mathcal{F}(\R, \R)$ son libre:

$(\eu^{a_1 x}, \dots, \eu^{a_p x})$ para $a_1 < \dots < a_p$ ;
$(\cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x)$ ;
$(x \mapsto \abs{x - a_1}, \dots, x \mapsto \abs{x - a_p})$ para distintos $a_i$ (la diferenciabilidad falla exactamente en un punto por función).

Solución

Solución de Ejercicio 18.8.

Supongamos $\sum_{i} \lambda_i \eu^{a_i x} = 0$ para todos los $x$ . Multiplica por $\eu^{-a_p x}$ : $\lambda_p + \sum_{i < p} \lambda_i \eu^{(a_i - a_p)x} \to \lambda_p$ como $x \to +\infty$ (cada exponente $a_i - a_p < 0$ ). El lado izquierdo es idénticamente $0$ , entonces $\lambda_p = 0$ ; iterar hacia abajo.
Deja $a\cos x + b \sin x + c \cos 2x + d\sin 2x = 0$ para todos $x$ . Evaluar en $x = 0$ : $a + c = 0$ ; en $x = \pi$ : $-a + c = 0$ ; por lo tanto, $a = c = 0$ y la relación se reduce a $b\sin x + d \sin 2x = 0$ . Evaluar en $x = \frac\pi2$ : $b = 0$ ; luego en $x = \frac\pi4$ : $d = 0$ .
Supongamos $\sum \lambda_i \abs{x - a_i} = 0$ para todos los $x$ . el la función $\sum_{i \neq j} \lambda_i\abs{x - a_i}$ es diferenciable en $a_j$ (cada término es, lejos del suyo propio esquina), entonces $-\lambda_j \abs{x - a_j}$ , su diferencia, debe ser diferenciable en $a_j$ también — lo que obliga $\lambda_j = 0$ ( $\abs{\,\cdot\,}$ tiene una esquina). esto es válido por cada $j$ .

Ejercicio 18.9 ★★★

Sea $E$ un espacio vectorial $K$ y $F, G, H$ subespacios con $F + G = F + H$ , $F \cap G = F \cap H$ y $G \subseteq H$ . Prueba $G = H$ . Dé un contraejemplo sin la hipótesis $G \subseteq H$ .

Solución

Solución de Ejercicio 18.9.

Sea $h \in H$ . Desde $h \in H \subseteq F + H = F + G$ , escriba $h = f + g$ con $f \in F$ , $g \in G$ . Entonces $f = h - g \in H$ (ambos términos en $H$ , usando $G \subseteq H$ ), entonces $f \in F \cap H = F \cap G \subseteq G$ y $h = f + g \in G$ . Por lo tanto $H \subseteq G$ , y con la hipótesis $G \subseteq H$ : igualdad.

Contraejemplo sin $G \subseteq H$ : en $\R^2$ , tome $F = \operatorname{Vect}(1,0)$ , $G = \operatorname{Vect}(0,1)$ , $H = \operatorname{Vect}(1,1)$ : luego $F + G = F + H = \R^2$ y $F \cap G = F \cap H = \{0\}$ , aún $G \neq H$ .

Ejercicio 18.10 ★★

En $\R[X]$ , sea $\mathcal P$ el conjunto de incluso polinomios. ( $P(-X) = P(X)$ ) y $\mathcal I$ el conjunto de extraño ( $P(-X) = -P(X)$ ). Demuestre que $\R[X] = \mathcal P \oplus \mathcal I$ , y demuestre que $\mathcal P = \operatorname{Vect}(1, X^2, X^4, \dots)$ , es decir que el par polinomios son exactamente los polinomios en $X^2$ .

Solución

Solución de Ejercicio 18.10.

Ambos conjuntos son subespacios (las condiciones de definición son lineales y espera para $0$ ). Descomposición: para $P \in \R[X]$ ,

P(X) = \underbrace{\frac{P(X) + P(-X)}{2}}_{\in\,\mathcal P} + \underbrace{\frac{P(X) - P(-X)}{2}}_{\in\,\mathcal I},

y un polinomio tanto par como impar satisface $P = -P$ , por lo que $P = 0$ : la suma es directa y equivale a $\R[X]$ .

Ahora dejemos que $P = \sum_k a_k X^k$ sea par. Entonces $P(X) - P(-X) = 2 \sum_{k \text{ odd}} a_k X^k$ es el cero polinomio, por lo que cada El coeficiente de grado impar desaparece (Definición 8.1): $P \in \operatorname{Vect}(1, X^2, X^4, \dots)$ , es decir, $P = Q(X^2)$ para un polinomio $Q$ . Por el contrario, cada polinomio en $X^2$ es par.

Ejercicio 18.11 ★★

Sea $(x_1, x_2, x_3)$ un familia libre de un espacio vectorial $E$ real. Demuestre que $(x_1 + x_2,\ x_2 + x_3,\ x_3 + x_1)$ es libre. es el familia análoga de cuatro vectores $(x_1 + x_2,\ x_2 + x_3,\ x_3 + x_4,\ x_4 + x_1)$ libre cuando es $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 18.11.

Supongamos $a(x_1 + x_2) + b(x_2 + x_3) + c(x_3 + x_1) = 0$ . Reagrupación en el familia libre $(x_1, x_2, x_3)$ :

(a + c)\,x_1 + (a + b)\,x_2 + (b + c)\,x_3 = 0 \implies a + c = a + b = b + c = 0 .

Restar las dos primeras ecuaciones da $c = b$ ; el tercero entonces da $2b = 0$ , entonces $b = c = 0$ , luego $a = 0$ : la familia es libre.

Para cuatro vectores, la familia análoga está vinculada siempre:

(x_1 + x_2) - (x_2 + x_3) + (x_3 + x_4) - (x_4 + x_1) = 0

es una combinación nula no trivial (coeficientes $1, -1, 1, -1$ ), sea lo que sea $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ . La paridad de la duración del ciclo. decide.

Ejercicio 18.12 ★★★

Sea $E$ un espacio vectorial sobre $\R$ (o $\C$ ) y $F_1, \dots, F_k$ adecuado subespacios de $E$ (cada $F_i \neq E$ ).

Trate el caso $k = 2$ directamente: si es $F_1 \not\subseteq F_2$ y $F_2 \not\subseteq F_1$ , elija $x \in F_1 \setminus F_2$ y $y \in F_2 \setminus F_1$ y localice $x + y$ .
Demuestre en general que $E \neq F_1 \cup \dots \cup F_k$ : a espacio vectorial sobre un infinito campo nunca es finito unión del propio subespacios. (Take $k$ minimal, pick $x \in F_1$ outside the other $F_i$ , pick $y \notin F_1$ , and follow the line $t \mapsto y + tx$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 18.12.

Si $F_1 \subseteq F_2$ o $F_2 \subseteq F_1$ , la unión es uno de los dos, por lo tanto apropiado. De lo contrario, elija $x \in F_1 \setminus F_2$ y $y \in F_2 \setminus F_1$ y considere $x + y$ . Si $x + y \in F_1$ , entonces $y = (x + y) - x \in F_1$ : contradicción. Si $x + y \in F_2$ , entonces $x \in F_2$ : contradicción. Entonces $x + y \notin F_1 \cup F_2$ y $E \neq F_1 \cup F_2$ .
Supongamos por contradicción que $E = F_1 \cup \dots \cup F_k$ , con $k$ elegido mínimo entre todos esos revestimientos. La minimalidad prohíbe $F_1 \subseteq F_2 \cup \dots \cup F_k$ (de lo contrario, elimine $F_1$ ), por lo que hay $x \in F_1$ con $x \notin F_i$ para todos los $i \geq 2$ . Dado que $F_1$ es correcto, elija $y \notin F_1$ . Para cada escalar $t$ , el El vector $y + t x$ se encuentra en algún $F_i$ . Nunca miente en $F_1$ : en caso contrario $y = (y + tx) - tx \in F_1$ (como $x \in F_1$ ). El campo es infinito, así que elija $k$ distinto escalares $t_1, \dots, t_k$ : los vectores $k$ $y + t_j x$ caer en el $k - 1$ subespacios $F_2, \dots, F_k$ , y dos de ellos, digamos $y + t x$ y $y + t' x$ con $t \neq t'$ , se encuentran en el mismo $F_i$ ( $i \geq 2$ ). Entonces su diferencia $(t - t')x \in F_i$ , entonces $x \in F_i$ : contradicción. Por lo tanto no existe una cobertura finita mediante subespacios adecuado.

18.5 Problema: interpolación, tres bases para un espacio.

Problema 18.1

Reparar $n + 1$ distinto puntos $x_0, x_1, \dots, x_n$ de $\R$ . Este problema vuelve a visitar interpolación de Lagrange (Teorema 8.23) a los ojos de este capítulo: el El espacio $\R_n[X]$ lleva tres bases naturales: Lagrange, Newton y (para puntos equidistantes) el binomio base — y cada base facilita una pregunta. El camino termina en un auténtico teorema aritmético: caracterización de Pólya del polinomios mapeo de $\Z$ en $\Z$ .

Parte I — The Lagrange base. Para conjunto $0 \leq i \leq n$

L_i \;=\; \prod_{j \neq i} \frac{X - x_j}{x_i - x_j} \;\in\; \R_n[X].

Compruebe que $\deg L_i = n$ y $L_i(x_j) = 1$ si $j = i$ , y $0$ si $j \neq i$ .
Demuestre que la familia $(L_0, \dots, L_n)$ es libre.
Demuestre que por cada $P \in \R_n[X]$ ,

$P \;=\; \sum_{i=0}^{n} P(x_i)\, L_i ,$

y concluir que $(L_0, \dots, L_n)$ es un base de $\R_n[X]$ . (Consider the difference of the two sides and count its roots, Corolario 8.8.)
Deduzca el teorema de interpolación: para cualquier valor $y_0, \dots, y_n \in \R$ existe un único $P \in \R_n[X]$ con $P(x_i) = y_i$ para todo $i$ . En Lagrange base, ¿cuáles son los coordenadas de un polinomio $P$ ?
Probar las identidades

$\sum_{i=0}^{n} L_i = 1 \qquad\text{and, for } 0 \leq k \leq n,\qquad \sum_{i=0}^{n} x_i^{k}\, L_i = X^{k} .$

Parte II — The Newton base and dividido diferencias. Configure $N_0 = 1$ y $N_k = (X - x_0)(X - x_1) \cdots (X - x_{k-1})$ para $1 \leq k \leq n$ . Para una función $f$ definida en los nodos, defina el diferencias divididas por $f[x_i] = f(x_i)$ y

f[x_i, \dots, x_{i+k}] \;=\; \frac{f[x_{i+1}, \dots, x_{i+k}] - f[x_i, \dots, x_{i+k-1}]} {x_{i+k} - x_i} .

Demuestre que $(N_0, N_1, \dots, N_n)$ es un base de $\R_n[X]$ .
Calcule $f[x_0, x_1]$ y $f[x_0, x_1, x_2]$ en términos de los valores de $f$ , luego calcule todos los diferencias divididas de $f(x) = x^2$ en tres nodos arbitrarios.
(lema de Aitken) Dejemos que $R$ interpola $f$ en $x_0, \dots, x_{n-1}$ y $Q$ interpola $f$ en $x_1, \dots, x_n$ , ambos de grado $\leq n - 1$ . demostrar que

$S \;=\; \frac{(X - x_0)\,Q - (X - x_n)\,R}{x_n - x_0}$

interpola $f$ en $x_0, x_1, \dots, x_n$ .
Deducir, por inducción sobre el número de nodos, que el El coeficiente de $X^{k}$ en el interpolante de $f$ en $x_0, \dots, x_k$ es exactamente $f[x_0, \dots, x_k]$ .
Demuestre Fórmula de interpolación de Newton: el interpolante de $f$ en $x_0, \dots, x_n$ es

$P \;=\; \sum_{k=0}^{n} f[x_0, \dots, x_k]\, N_k ,$

y derivar la fórmula cerrada

$f[x_0, \dots, x_k] \;=\; \sum_{i=0}^{k} \frac{f(x_i)}{\prod_{j \neq i,\, j \leq k} (x_i - x_j)} ,$

lo que muestra que $f[x_0, \dots, x_k]$ no depende de el orden de los nodos.

Parte III — Equally spaced nodes: the difference operator. De ahora en adelante los nodos son $0, 1, 2, \dots$ y, por un polinomio $P$ , configuramos

\Delta P(X) = P(X + 1) - P(X), \qquad B_k = \frac{X(X-1)\cdots(X-k+1)}{k!} \quad (B_0 = 1).

Demuestre que si $\deg P = m \geq 1$ tiene coeficiente principal $a$ , luego $\deg \Delta P = m - 1$ con coeficiente principal $m\,a$ , y que $\Delta$ mata constantes.
Demuestre que $(B_0, B_1, \dots, B_n)$ es un base de $\R_n[X]$ y ese $\Delta B_k = B_{k-1}$ para $k \geq 1$ .
(fórmula de diferencia directa de Newton) Demuestre que cada $P \in \R_n[X]$ satisface

$P \;=\; \sum_{k=0}^{n} \bigl(\Delta^{k} P\bigr)(0)\, B_k .$
Demuestre que por cada $k \geq 0$ ,

$\bigl(\Delta^{k} P\bigr)(0) \;=\; \sum_{j=0}^{k} (-1)^{k-j} \binom{k}{j} P(j) .$
Demuestre que si $\deg P = n$ tiene el coeficiente principal $a_n$ , entonces $\Delta^{n} P$ es la constante $n!\,a_n$ y $\Delta^{n+1} P = 0$ .

Parte IV — Polinomios con valores enteros.A polinomio $P \in \R[X]$ es de valor entero cuando $P(m) \in \Z$ por cada $m \in \Z$ .

Demuestre que cada $B_k$ tiene un valor entero. (Treat $m \geq k$ , $0 \leq m < k$ and $m < 0$ separately; for $m = -q < 0$ , show $B_k(-q) = (-1)^k \binom{q + k - 1}{k}$ .)
Demostrar Pólya’s characterization: $P \in \R_n[X]$ tiene un valor entero si y sólo si es coordenadas en el base $(B_0, \dots, B_n)$ son números enteros.
Deducir: si $P \in \R_n[X]$ toma valores enteros en $n + 1$ consecutivo enteros $a, a+1, \dots, a+n$ , luego $P$ tiene un valor entero. (Shift: aplicar el estudio a $Q(X) = P(X + a)$ .)
Deduzca de la pregunta 16 que un producto de $k$ consecutivo Los números enteros siempre son divisibles por $k!$ .
Vamos $P = \dfrac{X(X+1)(2X+1)}{6}$ . Calcular su Newton tabla en $0, 1, 2, 3$ , escriba $P$ en base $(B_k)$ , y concluir que $P$ tiene un valor entero aunque ninguno de sus los coeficientes monomios son un número entero. Verifique $\Delta P = (X+1)^2$ y deduzca $P(m) = 1^2 + 2^2 + \dots + m^2$ para $m \in \N$ .

Part V — Dividends.

Dejemos que $P \in \R_n[X]$ interpole los valores $2^i$ en $i = 0, 1, \dots, n$ . Muestra que $P = B_0 + B_1 + \dots + B_n$ y que $P(n + 1) = 2^{n+1} - 1$ : la “duplicación El patrón” siempre se rompe en el siguiente punto.
(Antiderivada discreta) Demuestre que para todos los números enteros $m \geq 1$ y $k \geq 0$ ,

$\sum_{j=0}^{m-1} B_k(j) \;=\; B_{k+1}(m),$

es decir, la identidad del palo de hockey $\sum_{j=k}^{m-1} \binom{j}{k} = \binom{m}{k+1}$ .
Expanda $X^2$ y $X^3$ en base $(B_k)$ y deduzca fórmulas cerradas para $\sum_{j=0}^{m-1} j^2$ y $\sum_{j=0}^{m-1} j^3$ ; recuperar la identidad de Nicómaco $1^3 + \dots + m^3 = (1 + \dots + m)^2$ .
Tome $n = 2$ y los nodos $0, 1, 2$ . Escribe el coordenadas de $X^2$ en las tres bases de este problema: el monomio base, el Lagrange base, el Newton base. Compruebe el tres respuestas a las preguntas 4 y 9.
Síntesis. En cuatro frases: qué concepto de espacio vectorial hace que la pregunta 4 sea automática; por qué calcula el Newton base coordenadas recursivamente mientras que el Lagrange base los lee instantáneamente; cual criterio de gratuidad ambas bases comparten; y en qué sentido preciso Pólya El teorema dice que la integralidad de un polinomio es una propiedad de su coordenadas in the right base.

Solución

Solución de Problema 18.1.

1. $L_i$ es un producto de factores lineales $n$ dividido por un constante distinta de cero (los $x_i$ son distintos), por lo que $\deg L_i = n$ . Evaluando en $x_j$ con $j \neq i$ : el factor $X - x_j$ del El numerador desaparece, por lo que $L_i(x_j) = 0$ . En $x_i$ , numerador y El denominador coincide: $L_i(x_i) = 1$ .

2. Supongamos $\sum_i \lambda_i L_i = 0$ . Evaluar en $x_j$ : todos los términos mueren excepto $\lambda_j L_j(x_j) = \lambda_j$ , entonces $\lambda_j = 0$ por cada $j$ : la familia es libre.

3. Vamos $D = P - \sum_i P(x_i) L_i$ . Entonces $\deg D \leq n$ y, por la pregunta 1, $D(x_j) = P(x_j) - P(x_j) = 0$ para el $n + 1$ puntos distintos $x_0, \dots, x_n$ . Un polinomio distinto de cero de grado $\leq n$ tiene como máximo raíces $n$ (Corolario 8.8), por lo que $D = 0$ . Por tanto, cada $P \in \R_n[X]$ es una combinación del $L_i$ : la familia esta generando, y con la pregunta 2, un base.

4. Dado $y_0, \dots, y_n$ , el polinomio $P = \sum_i y_i L_i$ tiene grado $\leq n$ e interpola. Unicidad: una interpolando $P$ tiene, según la pregunta 3, coordenadas $(P(x_0), \dots, P(x_n)) = (y_0, \dots, y_n)$ en el base $(L_i)$ , y coordenadas en un base son únicos (Proposición 18.15). el coordenadas de $P$ en Lagrange base son su valores en los nodos — este es el objetivo del base.

5. Aplique la pregunta 3 a $P = X^k$ ( $0 \leq k \leq n$ ):

X^k = \sum_{i=0}^{n} x_i^{k} L_i ,

y $k = 0$ da $\sum_i L_i = 1$ .

6. $\deg N_k = k$ exactamente: la familia $(N_0, \dots, N_n)$ es una escalera de grados en $\R_n[X]$ , de ahí un base por Ejemplo 18.20 (libre de Proposición 18.19 (1), generación por finito descenso en el grado).

7. De la recurrencia,

f[x_0, x_1] = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}, \qquad f[x_0, x_1, x_2] = \frac{f[x_1, x_2] - f[x_0, x_1]}{x_2 - x_0}.

Para $f(x) = x^2$ :

f[x_0, x_1] = \frac{x_1^2 - x_0^2}{x_1 - x_0} = x_0 + x_1,

y luego

f[x_0, x_1, x_2] = \frac{(x_1 + x_2) - (x_0 + x_1)}{x_2 - x_0} = \frac{x_2 - x_0}{x_2 - x_0} = 1 .

8. $\deg S \leq n$ ya que $Q, R$ tiene grado $\leq n - 1$ . En $x_0$ : $S(x_0) = \frac{-(x_0 - x_n) R(x_0)}{x_n - x_0} = R(x_0) = f(x_0)$ . En $x_n$ : $S(x_n) = \frac{(x_n - x_0) Q(x_n)}{x_n - x_0} = Q(x_n) = f(x_n)$ . En un nodo interior $x_i$ ( $1 \leq i \leq n-1$ ), tanto $Q$ como $R$ toman el valor $f(x_i)$ , entonces

S(x_i) = \frac{(x_i - x_0) - (x_i - x_n)}{x_n - x_0}\, f(x_i) = f(x_i) .

9. Inducción sobre el número de nodos. Un nodo: el El interpolante es la constante $f(x_0) = f[x_0]$ . asumir el reclamo para los nodos $k$ y deje que $S$ interpola en $x_0, \dots, x_k$ ; por unicidad (pregunta 4), $S$ viene dada por el lema de Aitken de $R$ (nodos $x_0, \dots, x_{k-1}$ ) y $Q$ (nodos $x_1, \dots, x_k$ ). El coeficiente de $X^{k}$ en $S$ es

\frac{[X^{k-1}]\,Q - [X^{k-1}]\,R}{x_k - x_0} = \frac{f[x_1, \dots, x_k] - f[x_0, \dots, x_{k-1}]}{x_k - x_0} = f[x_0, \dots, x_k]

por la hipótesis de inducción y la recurrencia definitoria.

10. Sea $P_k$ interpole $f$ en $x_0, \dots, x_k$ . el diferencia $P_k - P_{k-1}$ tiene grado $\leq k$ y desaparece en $x_0, \dots, x_{k-1}$ , por lo que según el teorema del factor se aplica $k$ veces (Teorema 8.7) es igual a $c\,N_k$ para una constante $c$ ; comparando coeficientes de $X^{k}$ y usando la pregunta 9, $c = f[x_0, \dots, x_k]$ . Telescópico de $P_0 = f(x_0) N_0$ da La fórmula de Newton. Para la forma cerrada, escriba $P_k = \sum_{i \leq k} f(x_i) L_i$ (Lagrange, en los nodos $x_0, \dots, x_k$ ) y lea el coeficiente de $X^{k}$ : cada $L_i$ contribuye $\frac{1}{\prod_{j \neq i}(x_i - x_j)}$ , de donde

f[x_0, \dots, x_k] = \sum_{i=0}^{k} \frac{f(x_i)}{\prod_{j \neq i,\, j \leq k}(x_i - x_j)} .

El lado derecho es invariante bajo cualquier permutación de los nodos, por lo que la diferencia dividida no depende de su orden.

11. Si $P = a X^m + (\text{lower degrees})$ , el binomio teorema da

\Delta P = a\bigl((X+1)^m - X^m\bigr) + \dots = a\,m\,X^{m-1} + (\text{lower degrees}),

porque $(X+1)^m - X^m = m X^{m-1} + \dots$ y el grado inferior parte de $P$ aporta el grado $\leq m - 2$ después de $\Delta$ (o grado $\leq m-2$ términos). Entonces $\deg \Delta P = m - 1$ con líder coeficiente $m a$ . Una constante $c$ da $\Delta c = c - c = 0$ .

12. $\deg B_k = k$ : escalera, de ahí un base de $\R_n[X]$ (Ejemplo 18.20). Para $\Delta B_k$ ( $k \geq 1$ ), factoriza el producto común:

\begin{align*} k!\,\Delta B_k &= (X+1)X\cdots(X-k+2) - X(X-1)\cdots(X-k+1) \\ &= X(X-1)\cdots(X-k+2)\,\bigl[(X+1) - (X-k+1)\bigr] \\ &= k\,X(X-1)\cdots(X-k+2), \end{align*}

entonces $\Delta B_k = \frac{X(X-1)\cdots(X-k+2)}{(k-1)!} = B_{k-1}$ .

13. Escribe $P = \sum_{k=0}^{n} c_k B_k$ (base, pregunta 12). Aplicar $\Delta^{j}$ : por pregunta 12, $\Delta^{j} P = \sum_{k \geq j} c_k B_{k-j}$ . Evalúe en $0$ : $B_0(0) = 1$ y $B_m(0) = 0$ para $m \geq 1$ (el factor $X$ desaparece), por lo que $\bigl(\Delta^{j}P\bigr)(0) = c_j$ . Esta es la diferencia hacia adelante fórmula.

14. Inducción en $k$ . Para $k = 0$ la identidad dice $P(0) = P(0)$ . Asumalo para $k$ y aplíquelo a $\Delta P$ :

\bigl(\Delta^{k+1} P\bigr)(0) = \sum_{j=0}^{k} (-1)^{k-j}\binom kj \bigl(P(j+1) - P(j)\bigr).

Recoja el coeficiente de $P(i)$ : es $(-1)^{k-i+1}\binom k{i-1}\cdot(-1)^{0}$ de la primera suma (desplazada) y $-(-1)^{k-i}\binom ki$ del segundo — juntos

(-1)^{k+1-i}\Bigl(\binom k{i-1} + \binom ki\Bigr) = (-1)^{k+1-i}\binom{k+1}i

por la regla de Pascal, que es la identidad en el rango $k + 1$ .

15. Iterando la pregunta 11 del grado $n$ , inicial coeficiente $a_n$ : después de un $\Delta$ , grado $n-1$ y principal coeficiente $n a_n$ ; después de las dos, $n(n-1)a_n$ ; después de los pasos $n$ , grado $0$ y valor $n(n-1)\cdots 1\, a_n = n!\,a_n$ , una constante. Un $\Delta$ más lo mata: $\Delta^{n+1}P = 0$ .

16. Si $m \geq k$ : $B_k(m) = \binom mk \in \N$ . Si $0 \leq m < k$ : un factor de $m(m-1)\cdots(m-k+1)$ es cero, entonces $B_k(m) = 0$ . Si $m = -q$ con $q \geq 1$ :

B_k(-q) = \frac{(-q)(-q-1)\cdots(-q-k+1)}{k!} = (-1)^k\,\frac{q(q+1)\cdots(q+k-1)}{k!} = (-1)^k \binom{q+k-1}{k},

un número entero. Entonces, cada $B_k$ aplicaciones $\Z$ en $\Z$ .

17. ( $\Leftarrow$ ) Si $P = \sum_k c_k B_k$ con $c_k \in \Z$ , entonces para $m \in \Z$ se tiene $P(m) = \sum_k c_k B_k(m) \in \Z$ por la pregunta 16. ( $\Rightarrow$ ) Si $P$ toma valores enteros, sus coordenadas son $c_k = \bigl(\Delta^k P\bigr)(0) = \sum_{j=0}^k (-1)^{k-j}\binom kj P(j)$ (preguntas 13 y 14), combinación entera de los enteros $P(0),\dots,P(k)$ . Es la caracterización de Pólya de los polinomios con valores enteros.

18. Conjunto $Q(X) = P(X + a)$ , un polinomio de grado $\leq n$ con $Q(0), Q(1), \dots, Q(n) \in \Z$ . Su coordenadas en $(B_k)_{k \leq n}$ son $c_k = \sum_{j \leq k}(-1)^{k-j}\binom kj Q(j) \in \Z$ (la pregunta 14 usa solo los valores en $0, \dots, k \leq n$ ). Según la pregunta 17 ( $\Leftarrow$ ), $Q$ tiene un valor entero en todo $\Z$ , por lo tanto también lo es $P(X) = Q(X - a)$ .

19. Un producto de $k$ enteros consecutivos es $m(m-1) \cdots(m-k+1) = k!\,B_k(m)$ para algunos $m \in \Z$ , y $B_k(m) \in \Z$ por la pregunta 16: el producto es divisible por $k!$ .

20. Valores de $P = \frac{X(X+1)(2X+1)}{6}$ en $0,1,2,3$ : $0, 1, 5, 14$ . Tabla de diferencias: $\Delta$ fila $1, 4, 9$ ; $\Delta^2$ fila $3, 5$ ; $\Delta^3$ fila $2$ . Por lo tanto, mediante la pregunta 13,

P = 0\cdot B_0 + 1\cdot B_1 + 3\,B_2 + 2\,B_3 ,

con número entero coordenadas: $P$ tiene un valor entero (pregunta 17), mientras que sus coeficientes monomios $\frac13, \frac12, \frac16$ son no números enteros. Cálculo directo:

\begin{align*} \Delta P &= \frac{(X+1)(X+2)(2X+3) - X(X+1)(2X+1)}{6} \\ &= \frac{(X+1)\bigl[(X+2)(2X+3) - X(2X+1)\bigr]}{6} = \frac{(X+1)(6X+6)}{6} = (X+1)^2 . \end{align*}

Telescópico $P(m) = \sum_{j=0}^{m-1}\Delta P(j) = \sum_{j=1}^{m} j^2$ (con $P(0) = 0$ ): la fórmula de la suma de cuadrados.

21. Los valores $2^i$ y $i = 0, \dots, n$ tienen diferencia. tabla constantemente $1$ en el borde izquierdo: $\Delta^k$ de la secuencia $(2^i)$ es $(2^i)$ nuevamente (desde $2^{i+1} - 2^i = 2^i$ ), entonces $\bigl(\Delta^k P\bigr)(0) = 2^0 = 1$ para todos los $k \leq n$ y $P = B_0 + B_1 + \dots + B_n$ mediante la pregunta 13. Luego

P(n+1) = \sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}{k} = 2^{n+1} - \binom{n+1}{n+1} = 2^{n+1} - 1 \neq 2^{n+1}:

el patrón se rompe en el primer punto incontrolado.

22. Por la pregunta 12, $B_k = \Delta B_{k+1}$ , entonces

\sum_{j=0}^{m-1} B_k(j) = \sum_{j=0}^{m-1}\bigl(B_{k+1}(j+1) - B_{k+1}(j)\bigr) = B_{k+1}(m) - B_{k+1}(0) = B_{k+1}(m).

Para $j < k$ los términos $B_k(j)$ desaparecen, por lo que la suma realmente comienza en $j = k$ : $\sum_{j=k}^{m-1}\binom jk = \binom m{k+1}$ , el identidad del palo de hockey.

23. Las tablas de diferencias (o expansión directa) dan

X^2 = B_1 + 2 B_2, \qquad X^3 = B_1 + 6 B_2 + 6 B_3

(verifique: $B_1 + 2B_2 = X + X(X-1) = X^2$ ; en $X = 1, 2, 3$ el el segundo da $1, 8, 27$ ). La pregunta 22 da lugar entonces

\sum_{j=0}^{m-1} j^2 = B_2(m) + 2B_3(m) = \binom m2 + 2\binom m3 = \frac{m(m-1)(2m-1)}{6},

\sum_{j=0}^{m-1} j^3 = B_2(m) + 6B_3(m) + 6B_4(m) = \binom m2 + 6\binom m3 + 6\binom m4 .

Ampliando la última expresión: $\binom m2 + 6\binom m3 + 6\binom m4 = \frac{m(m-1)}{2}\bigl[1 + 2(m-2) + \frac{(m-2)(m-3)}{2}\bigr] = \frac{m^2(m-1)^2}{4} = \binom m2^2$ . Sustituyendo $m$ por $m + 1$ : $1^3 + \dots + m^3 = \bigl(\frac{m(m+1)}2\bigr)^2 = (1 + \dots + m)^2$ , Nicómaco identidad.

24. Nodos $0, 1, 2$ , polinomio $X^2$ . Monomio base $(1, X, X^2)$ : coordenadas $(0, 0, 1)$ . Lagrangebase: coordenadas son los valores $(0, 1, 4)$ (pregunta 4). Newtonbase $(1, X, X(X-1))$ : diferencias divididas $f[0] = 0$ , $f[0,1] = 1$ , $f[0,1,2] = \frac{3 - 1}{2} = 1$ (pregunta 9), entonces coordenadas $(0, 1, 1)$ — efectivamente $X + X(X-1) = X^2$ . Tres bases, tres vectores de coordenadas, uno polinomio.

25. (i) La pregunta 4 es automática porque $(L_i)$ es un base: la existencia y unicidad de la interpolación son exactamente la existencia y unicidad de coordenadas. (ii) El Newton base es una escalera, por lo que coordenadas se calculan mediante divisiones — cada nuevo nodo agrega un término sin alterar el anteriores — mientras que los Lagrange coordenadas de $P$ son los valores $P(x_i)$ , disponibles sin ningún cálculo. (iii) Ambos las bases son libre según los mismos dos criterios de Proposición 18.19: grados distintos para Newton, evaluación en los nodos de Lagrange. (iv) El teorema de Pólya dice que “ $P(\Z) \subseteq \Z$ ”, una propiedad de valores, es equivalente a la integralidad del coordenadas en el base $(B_k)$ — el la aritmética de un polinomio se vuelve visible solo en el base adaptado a la pregunta.