Matemáticas universitarias — Grado 1 · Bachelor Year 1

18Espacios vectoriales

El álgebra lineal empieza aquí: los axiomas de los espacios vectoriales aíslan lo que tienen en común $\R^2$ , $\R^3$ , los espacios de polinomios y los espacios de funciones — que se puede sumar y multiplicar por escalares. Dos capítulos construyen la teoría (el Capítulo 19 añade la dimensión); y el lenguaje que establecen —subespacio generado, familia libre, base, suma directa— es el pan de cada día de todos los capítulos posteriores. En todo el capítulo, $K$ designa $\R$ o $\C$ (los escalares).

18.1 Definición y ejemplos

Definición 18.1 (Espacio vectorial)

Un $K$ -espacio vectorial es un conjunto $E$ con una suma que hace de $(E, +)$ un grupo abeliano (con cero escrito $0_E$ o $0$ ) y una multiplicación por escalares $K \times E \to E$ tal que, para todos $\lambda, \mu \in K$ y $x, y \in E$ :

\lambda(x + y) = \lambda x + \lambda y,\quad (\lambda + \mu) x = \lambda x + \mu x,\quad \lambda(\mu x) = (\lambda\mu) x,\quad 1\,x = x .

Consecuencias: $0\,x = 0_E$ , $\lambda\,0_E = 0_E$ , $(-1)x = -x$ y $\lambda x = 0_E \implies \lambda = 0$ o $x = 0_E$ (multiplíquese por $\lambda^{-1}$ ).

Demostración de las consecuencias. Para $0\,x = 0_E$ : de $(0 + 0)x = 0x + 0x$ y $(0+0)x = 0x$ , cancélese $0x$ en el grupo $(E, +)$ . Para $\lambda\,0_E$ : el mismo truco sobre $\lambda(0_E + 0_E)$ . Para $(-1)x$ : súmese $x$ ,

x + (-1)x = 1\,x + (-1)x = \bigl(1 + (-1)\bigr)x = 0\,x = 0_E ,

de modo que $(-1)x$ es el opuesto de $x$ . Por último, si $\lambda x = 0_E$ con $\lambda \neq 0$ : multiplíquese por $\lambda^{-1}$ (los escalares forman un cuerpo) y úsense los dos axiomas $\lambda^{-1}(\lambda x) = (\lambda^{-1}\lambda)x = 1x = x$ junto con $\lambda^{-1}0_E = 0_E$ : $x = 0_E$ . Por pequeñas que sean, estas cuatro reglas se usan en silencio en cada página de las que siguen — y la última es justo donde hacen falta los cuerpos: sobre los escalares $\Z$ , el «espacio» $\Z/2\Z$ la violaría con $2\,x = 0$ . ∎

Ejemplo 18.2

$K^n$ (operaciones coordenada a coordenada); los polinomios $K[X]$ ; las funciones $\mathcal{F}(A, K)$ de un conjunto $A$ cualquiera en $K$ (operaciones punto a punto) — que contienen las funciones continuas, las sucesiones $\mathcal{F}(\N, \R)$ , etc.; y $\C$ como espacio vectorial sobre $\R$ . En cada caso, los axiomas se heredan de los de $K$ .

Definición 18.3 (Subespacio)

$F \subseteq E$ es un subespacio cuando $0_E \in F$ y $F$ es estable por la suma y por la multiplicación por escalares — equivalentemente:

F \neq \emptyset \qquad\text{and}\qquad \forall x, y \in F,\ \forall \lambda \in K,\quad x + \lambda y \in F .

Un subespacio es él mismo un espacio vectorial. Toda intersección de subespacios es un subespacio; una unión casi nunca lo es (misma demostración que en el Ejercicio 7.6).

Ejemplo 18.4

En $\mathcal{F}(\R, \R)$ : las funciones continuas, las derivables, los polinomios de grado $\leq n$ (escrito $K_n[X]$ dentro de $K[X]$ ), las soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea (el Teorema 5.10 decía justo eso). No ejemplos: $\{f : f(0) = 1\}$ (no contiene el cero), o el grado exactamente $n$ (no estable por la suma).

Ejemplo 18.5 (Subespacio o no: cuatro veredictos, argumentados)

En el espacio de las sucesiones reales:

$\{u : u \text{ acotada}\}$ sí es un subespacio: $0$ está acotada y, si $\abs{u_n} \leq M$ y $\abs{v_n} \leq M'$ , entonces $\abs{u_n + \lambda v_n} \leq M + \abs\lambda M'$ .
$\{u : u_n \to 1\}$ no lo es: falta la sucesión nula (y la suma de dos miembros tiende a $2$ ).
$\{u : u \text{ monótona}\}$ no lo es: $u_n = n$ y $v_n = -n + (-1)^n$ son monótonas y su suma $(-1)^n$ no lo es; el axioma que falla es la estabilidad por la suma, aunque el conjunto contenga a $0$ y todos los múltiplos escalares de sus miembros.
$\{u : u_{n+1} = u_n^2\}$ no lo es: contiene a $0$ , pero $2u$ se escapa en cuanto $u$ es un miembro no nulo ( $2u_{n+1} \neq (2u_n)^2$ en general) — elevar al cuadrado es la no linealidad.

El orden de trabajo es siempre el mismo: pruébese primero el $0$ (lo más barato) y después la estabilidad — y, para refutar, una pareja explícita de contraejemplo gana a cualquier cantidad de dudas.

18.2 Subespacio generado, sumas, sumas directas

Definición 18.6 (Combinaciones lineales, subespacio generado)

Una combinación lineal de la familia $(x_1, \dots, x_p)$ de vectores de $E$ es cualquier $\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_p x_p$ ( $\lambda_i \in K$ ). El conjunto de todas ellas es el subespacio generado $\operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p)$ : es un subespacio, el menor que contiene a la familia.

Demostración de las dos afirmaciones. Estabilidad: una suma de dos combinaciones lineales $\sum\lambda_i x_i + \sum\mu_i x_i = \sum(\lambda_i + \mu_i)x_i$ vuelve a ser una, y también lo es un múltiplo escalar $\mu\sum\lambda_i x_i = \sum(\mu\lambda_i) x_i$ ; y la combinación nula muestra que $0$ pertenece: el subespacio generado es un subespacio. Minimalidad: sea $H$ un subespacio cualquiera que contenga a $x_1, \dots, x_p$ . Por la estabilidad por escalares, cada $\lambda_i x_i \in H$ y, por la estabilidad por la suma, su suma está en $H$ : toda combinación lineal pertenece a $H$ , es decir, $\operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p) \subseteq H$ . Así, el subespacio generado está contenido en todo subespacio que contenga a la familia: es el menor. ∎

Definición 18.7 (Suma, suma directa)

Para subespacios $F, G$ de $E$ :

F + G = \{\,u + v : u \in F,\ v \in G\,\}

es un subespacio (el menor que contiene a $F \cup G$ ). La suma es directa, y se escribe $F \oplus G$ , cuando todo elemento de $F + G$ se descompone de forma única como $u + v$ ; equivalentemente (véase más abajo), cuando $F \cap G = \{0\}$ . Cuando $E = F \oplus G$ , los subespacios son suplementarios en $E$ .

Ejemplo 18.8 (Una suma de dos rectas)

En $\R^3$ , sean $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,0,1)\bigr)$ y $G = \operatorname{Vect}\bigl((0,1,1)\bigr)$ . Su suma es

F + G = \{\,a(1,0,1) + b(0,1,1)\,\} = \{(a,\ b,\ a + b)\} = \{(x, y, z) : z = x + y\},

el plano que pasa por el origen y contiene las dos rectas. Es estrictamente mayor que la unión $F \cup G$ (la mera cruz de las dos rectas): el vector $(1, 1, 2) = (1,0,1) + (0,1,1)$ está en la suma pero en ninguna de las dos rectas. Y $F \cap G = \{0\}$ (un vector común exigiría $a(1,0,1) = b(0,1,1)$ , cuyas dos primeras coordenadas fuerzan $a = b = 0$ ): la suma es directa, y $F \oplus G$ es exactamente ese plano.

Proposición 18.9

$F + G$ es directa si y solo si $F \cap G = \{0\}$ .

Demostración. Si algún $w \neq 0$ está en $F \cap G$ : $w = w + 0 = 0 + w$ son dos descomposiciones de $w$ . Recíprocamente, si $u + v = u' + v'$ con $u, u' \in F$ y $v, v' \in G$ , entonces $u - u' = v' - v$ pertenece a $F \cap G = \{0\}$ : las descomposiciones son únicas. ∎

Método 18.10 (Demostrar que $E = F \oplus G$ )

Dos cosas que comprobar, cada una con su apertura estándar.

Intersección trivial. Tómese $x \in F \cap G$ , escríbanse las dos condiciones de pertenencia y apriétese hasta $x = 0$ . (Nunca se razone con un dibujo: cf. los errores frecuentes de más abajo.)
La suma lo es todo. Tómese un $x \in E$ arbitrario y prodúzcase la descomposición $x = f + g$ — o bien adivinando $f$ a partir del objetivo ( $f$ debe cumplir la propiedad que define $F$ , lo que suele dictar su fórmula), o bien resolviendo el sistema lineal que expresa $x$ frente a generadores de $F$ y de $G$ .

Cuando la fórmula de la descomposición se adivina, la unicidad es automática por el paso 1; y cuando lo único dudoso es la existencia, el trabajo está en el paso 2. Los dos ejemplos de más abajo ejecutan el método: para las funciones pares e impares, la fórmula de $f$ la fuerza evaluar la identidad deseada en $x$ y en $-x$ ; y para los polinomios que se anulan en un punto, evaluar en $a$ .

Ejemplo 18.11

En $\mathcal{F}(\R, \R)$ , las funciones pares $\mathcal{P}$ y las impares $\mathcal{I}$ son suplementarias: toda $f$ se escribe

f(x) = \underbrace{\frac{f(x) + f(-x)}{2}}_{\text{even}} + \underbrace{\frac{f(x) - f(-x)}{2}}_{\text{odd}},

y una función a la vez par e impar es nula. (Aplicado a $\exp$ , esto es la pareja $(\cosh, \sinh)$ del Capítulo 4.)

Ejemplo 18.12 (Una pareja suplementaria en $K_n[X]$ )

Fíjese $a \in K$ y póngase $F = \{P \in K_n[X] : P(a) = 0\}$ , $G = \operatorname{Vect}(1)$ (las constantes). Entonces $K_n[X] = F \oplus G$ . En efecto, $F \cap G$ consta de las constantes que se anulan en $a$ , es decir, $\{0\}$ ; y todo $P$ se descompone como

P = \underbrace{\bigl(P - P(a)\bigr)}_{\in F} + \underbrace{P(a)}_{\in G} .

La descomposición merece memorizarse: restar el valor en un punto es la forma estándar de proyectar sobre las «funciones que se anulan en $a$ ». Nótese que $F$ es un subespacio grande y $G$ uno pequeño; una pareja de suplementarios no tiene por qué estar equilibrada en ningún sentido.

Ejemplo 18.13 (Un subespacio suplementario nunca es único)

En $\R^2$ , sea $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,0)\bigr)$ (el eje $x$ ). Tanto $G = \operatorname{Vect}\bigl((0,1)\bigr)$ como $G' = \operatorname{Vect}\bigl((1,1)\bigr)$ son suplementarios de $F$ : cada uno corta a $F$ solo en $0$ , y cada pareja suma $\R^2$ . Las descomposiciones de un mismo vector difieren:

(2,\ 1.5) = \underbrace{(2, 0)}_{\in F} + \underbrace{(0, 1.5)}_{\in G} = \underbrace{(0.5,\ 0)}_{\in F} + \underbrace{(1.5,\ 1.5)}_{\in G'} .

De hecho, toda recta distinta del propio $F$ es un suplementario de $F$ en $\R^2$ : los suplementarios abundan, y hablar de «el» suplementario no significa nada mientras una estructura adicional (un producto escalar, Capítulo 23) no señale a uno.

Dos descomposiciones de un mismo punto de ℝ2 a lo largo de F (el eje x): con el suplementario G (caída vertical) y con el suplementario G' (caída oblicua). Las componentes en F difieren: una proyección depende de la dirección del descenso. — Dos descomposiciones de un mismo punto de $\R^2$ a lo largo de $F$ (el eje $x$ ): con el suplementario $G$ (caída vertical) y con el suplementario $G'$ (caída oblicua). Las componentes en $F$ difieren: una proyección depende de la dirección del descenso.

18.3 Familias libres, familias generadoras, bases

Definición 18.14

Una familia $(x_1, \dots, x_p)$ de vectores de $E$ es:

generadora (de $E$ ) cuando $\operatorname{Vect}(x_1,\dots,x_p) = E$ ;
libre (sus vectores son linealmente independientes) cuando

$\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_p x_p = 0 \implies \lambda_1 = \dots = \lambda_p = 0 ;$

y en caso contrario, ligada;
una base cuando es libre y generadora.

Proposición 18.15 (Coordenadas)

$(e_1, \dots, e_n)$ es una base de $E$ si y solo si todo $x \in E$ es de forma única una combinación $x = \lambda_1 e_1 + \dots + \lambda_n e_n$ ; los escalares $\lambda_i$ son las coordenadas de $x$ en la base.

Demostración. Generadora $=$ existencia de la descomposición. Unicidad $=$ ser libre: dos descomposiciones de un mismo $x$ difieren en una combinación igual a $0$ ; y ser libre obliga a que se anulen todos sus coeficientes — las diferencias de coordenadas. Recíprocamente, una combinación nula no trivial da las dos descomposiciones $0 = \sum \lambda_i e_i = \sum 0\,e_i$ . ∎

Ejemplo 18.16

La base canónica de $K^n$ : $e_i = (0, \dots, 1, \dots, 0)$ ( $1$ en el lugar $i$ ). Los monomios $(1, X, X^2, \dots, X^n)$ : una base de $K_n[X]$ (es libre: una combinación nula es el polinomio nulo, luego todos los coeficientes se anulan, Definición 8.1). En $\C$ sobre $\R$ : la base $(1, \iu)$ .

Observación 18.17 (Las coordenadas son un trabajo de equipo)

La primera coordenada de $x$ en una base $(e_1, \dots, e_n)$ depende de todos los vectores de la base, no solo de $e_1$ . En $\R^2$ : el vector $(3, 1)$ tiene primera coordenada $3$ en la base canónica, pero primera coordenada $2$ en la base $\bigl((1,0), (1,1)\bigr)$ — resuélvase $(3,1) = a(1,0) + b(1,1)$ : $b = 1$ , $a = 2$ . Cambiar un vector de la base baraja de nuevo todas las coordenadas; el Capítulo 21 empaquetará ese barajado en la matriz de cambio de base.

Ejemplo 18.18 (Comprobar una base candidata, de principio a fin)

¿Es $\mathcal{F} = (1 + X,\ 1 + X^2,\ X + X^2)$ una base de $\R_2[X]$ ? Escríbanse $u_1, u_2, u_3$ para los tres polinomios. Es libre: una combinación nula $a\,u_1 + b\,u_2 + c\,u_3 = 0$ da, coeficiente a coeficiente,

a + b = 0, \qquad a + c = 0, \qquad b + c = 0 ;

restando las dos primeras, $b = c$ , y la tercera da $2b = 0$ : $a = b = c = 0$ , libre. Generadora: en lugar de resolver tres sistemas, obsérvese la combinación simétrica

u_1 + u_2 - u_3 = (1 + X) + (1 + X^2) - (X + X^2) = 2 ,

luego $1 = \frac12(u_1 + u_2 - u_3)$ ; y entonces

X = u_1 - 1 = \tfrac12\bigl(u_1 - u_2 + u_3\bigr), \qquad X^2 = u_2 - 1 = \tfrac12\bigl(-u_1 + u_2 + u_3\bigr).

Los monomios están en el subespacio generado, luego todo lo está: $\mathcal{F}$ es una base. Como propina, juntando las tres fórmulas se obtienen las coordenadas de cualquier $P = \alpha + \beta X + \gamma X^2$ :

P = \frac{\alpha + \beta - \gamma}{2}\,u_1 + \frac{\alpha - \beta + \gamma}{2}\,u_2 + \frac{-\alpha + \beta + \gamma}{2}\,u_3 .

(Comprobación con $P = X$ : coordenadas $\bigl(\frac12, -\frac12, \frac12\bigr)$ , como se halló antes.) Dos lecciones: la simetría de una familia suele esconder una combinación atajo; y en cuanto se disponga de la dimensión (Capítulo 19), toda la mitad generadora de este trabajo saldrá gratis — tres vectores libres de un espacio de dimensión $3$ siempre forman una base.

Proposición 18.19 (Criterios útiles de libertad)

Una familia de polinomios no nulos de grados distintos dos a dos es libre.
Añadir un vector a una familia libre la mantiene libre si y solo si el vector está fuera del subespacio generado por la familia.
Toda subfamilia de una familia libre es libre; y toda familia que contenga a una familia generadora es generadora.

Demostración. (1) En una combinación nula, mírese el mayor grado presente: su coeficiente tiene que anularse (nada cancela ese grado), y se desciende en cascada.

(2) Si $x \in \operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p)$ , la relación $x - \sum\lambda_i x_i = 0$ es no trivial. Recíprocamente, una combinación nula no trivial de $(x_1, \dots, x_p, x)$ tiene que involucrar a $x$ con coeficiente no nulo (si no, contradiría que la familia pequeña es libre), y despejar $x$ lo mete en el subespacio generado.

(3) Subfamilia: una combinación nula de la subfamilia es una de la familia entera con los coeficientes que faltan puestos a $0$ ; y ser libre la familia grande los mata todos. Superfamilia: todo vector de $E$ ya es combinación de la parte generadora; dese coeficiente $0$ a los vectores extra. ∎

Ejemplo 18.20 (El principio de la escalera)

Sean $P_0, P_1, \dots, P_n \in K_n[X]$ con $\deg P_k = k$ para cada $k$ (una «escalera» de grados). Entonces $(P_0, \dots, P_n)$ es una base de $K_n[X]$ . Que es libre lo da la Proposición 18.19 (1). Para la propiedad generadora, razónese por descenso finito sobre el grado: sea $Q \in K_n[X]$ , $Q \neq 0$ , de grado $d$ y con coeficiente director $a$ , y sea $b \neq 0$ el coeficiente director de $P_d$ . Entonces $Q - \frac ab P_d$ tiene grado $< d$ (los términos de cabeza se cancelan); sustituyendo $Q$ por esa diferencia e iterando, tras a lo sumo $n + 1$ pasos se llega al polinomio nulo, y deshaciendo las restas se expresa $Q$ como combinación de los $P_k$ . Dos escaleras ya encontradas: las potencias desplazadas $\bigl((X-a)^k\bigr)_{0 \leq k \leq n}$ (Ejercicio 18.4) y los productos de Newton $\bigl((X - x_0)(X - x_1)\cdots(X - x_{k-1})\bigr)_{0 \leq k \leq n}$ , puestos a trabajar en el problema del fin de semana.

Ejemplo 18.21 (Libertad en espacios de funciones)

En $\mathcal{F}(\R,\R)$ , la familia $(\eu^{a_1 x}, \dots, \eu^{a_p x})$ con $a_1 < \dots < a_p$ es libre: divídase una combinación nula por $\eu^{a_p x}$ y hágase $x \to +\infty$ ; el último coeficiente muere y se desciende en cascada (el Ejercicio 18.8 detalla esto y sus variantes). La libertad de funciones se demuestra evaluando: en puntos bien elegidos, en el infinito o tras derivar.

Ejemplo 18.22 (Una relación oculta encoge un subespacio generado)

En $\mathcal{F}(\R, \R)$ , ¿qué es $\operatorname{Vect}(1,\ \cos^2,\ \sin^2)$ ? La identidad $\cos^2 + \sin^2 = 1$ es una combinación nula no trivial

1\cdot\mathbf{1} + (-1)\cos^2 + (-1)\sin^2 = 0 :

la familia es ligada, y el subespacio generado ya lo genera $(1, \cos^2)$ por sí sola ( $\sin^2 = 1 - \cos^2$ ). Y esa familia menor es libre: $a + b\cos^2 x = 0$ para todo $x$ da, en $x = 0$ y $x = \frac\pi2$ : $a + b = 0$ y $a = 0$ . Así, el subespacio generado es un plano dentro del espacio de funciones — y también contiene a $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ : las familias de funciones trigonométricas de aspecto lineal se derrumban rutinariamente bajo las identidades, y por eso la libertad hay que demostrarla, nunca suponerla por la longitud de la lista.

Observación 18.23 (Errores frecuentes)

Cuatro trampas clásicas. Dos a dos no basta: en $\R^2$ , los vectores $(1,0)$ , $(0,1)$ , $(1,1)$ no son proporcionales dos a dos y, aun así, son ligados — la libertad es una propiedad de la familia entera, que se comprueba con una sola combinación global, nunca de dos en dos. El vector nulo lo envenena todo: toda familia que contenga a $0$ es ligada ( $1\cdot 0 = 0$ es una relación no trivial), por inocentes que sean los demás vectores. Unión no es suma: $F \cup G$ casi nunca es un subespacio (Definición 18.3); el menor subespacio que contiene a los dos es $F + G$ , normalmente mucho mayor que la unión — en $\R^2$ , dos rectas distintas tienen por unión una cruz y por suma todo el plano. Directa exige intersección trivial, no disjunción: dos subespacios nunca son disjuntos (los dos contienen a $0$ ); la condición correcta es $F \cap G = \{0\}$ , y hay que demostrarla, no leerla en un dibujo — cf. el Ejemplo 18.13, donde funcionan muchos $G$ distintos. La libertad depende de los escalares: la pareja $(1, \iu)$ es libre en $\C$ visto como espacio vectorial sobre $\R$ , pero ligada en $\C$ visto como espacio vectorial sobre $\C$ ( $\iu\cdot 1 + (-1)\cdot\iu = 0$ ). Sépase siempre qué cuerpo actúa antes de declarar libre una familia — el problema del fin de semana del Capítulo 19 convierte justo esta sensibilidad en demostraciones de irracionalidad.

Observación 18.24 (Adónde va este lenguaje)

Todo lo posterior a este capítulo habla el lenguaje establecido aquí. Capítulo 19 cuenta vectores de una base y convierte «libre» y «generadora» en desigualdades sobre un único entero, la dimensión. Capítulo 20 estudia las aplicaciones compatibles con las dos operaciones; y allí las sumas directas pasan a ser proyectores. Capítulo 21 codifica los vectores por sus coordenadas en una base —la Proposición 18.15 es la licencia para esa codificación— y el Capítulo 23 añade longitudes y ángulos encima de la estructura lineal. En el volumen del segundo año, los mismos axiomas, palabra por palabra, corren sobre cuerpos arbitrarios y en dimensión infinita; nada de este capítulo ha usado la finitud en ningún sitio.

Observación 18.25 (Tres hilos que seguir a lo largo del libro 3)

Obsérvese crecer tres ideas concretas de este capítulo. El principio de la escalera (Ejemplo 18.20) reaparece como la base de Newton en el problema del fin de semana de este capítulo, como la base binomial $(B_k)$ de ahí mismo y como el truco del alternante polinómico del problema del fin de semana del Capítulo 22: un lema, tres dividendos sin determinantes. La evaluación como test de libertad (Ejemplo 18.21) se convierte en el isomorfismo de interpolación del Capítulo 20, después en el criterio de Vandermonde del Capítulo 22 y después en el test de Gram del Capítulo 23: el mismo reflejo, afilado tres veces. Las sumas directas (Definición 18.7) se convierten en proyectores en el Capítulo 20, en descomposiciones ortogonales $E = F \oplus F^\perp$ en el Capítulo 23 y en la descomposición explicado-más-residuo de los mínimos cuadrados en el problema del fin de semana del Capítulo 25. Muy poco de este libro no es, en el fondo, una de estas tres ideas con ropa nueva.

18.4 Ejercicios

Ejercicio 18.1 ★

¿Cuáles de los siguientes son subespacios?

$\{(x, y, z) \in \R^3 : x + 2y - z = 0\}$ ;
$\{(x, y, z) \in \R^3 : x + 2y - z = 1\}$ ;
$\{(x, y) \in \R^2 : xy \geq 0\}$ ;
$\{P \in \R[X] : P(1) = 0\}$ ;
$\{f \in \mathcal{F}(\R,\R) : f \text{ acotada}\}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 18.1.

Sí: contiene a $0$ y la ecuación que lo define es lineal (estable por $x + \lambda y$ ).
No: no contiene a $(0,0,0)$ .
No: $(1, 0)$ y $(0, -1)$ pertenecen ( $xy = 0$ ) y su suma $(1, -1)$ no ( $xy = -1 < 0$ ).
Sí: $0$ se anula en $1$ ; y $(P + \lambda Q)(1) = P(1) + \lambda Q(1) = 0$ .
Sí: la función nula está acotada; y si $\abs f \leq M$ y $\abs g \leq M'$ , entonces $\abs{f + \lambda g} \leq M + \abs\lambda M'$ .

Ejercicio 18.2 ★

En $\R^3$ , ¿está $(1, 2, 1)$ en $\operatorname{Vect}\bigl((1,0,1),\, (1,1,0)\bigr)$ ? ¿Y $(2, 1, 1)$ ? Descríbase $\operatorname{Vect}\bigl((1,0,1),(1,1,0)\bigr)$ mediante una ecuación.

Solución

Solución de Ejercicio 18.2.

$(1,2,1) = a(1,0,1) + b(1,1,0)$ exige $a + b = 1$ , $b = 2$ , $a = 1$ : incompatible ( $a + b = 3 \neq 1$ ): no está en el subespacio generado. $(2,1,1) = a(1,0,1) + b(1,1,0)$ : $b = 1$ , $a = 1$ , $a + b = 2$ : compatible, luego $(2,1,1) = (1,0,1) + (1,1,0)$ , sí está en el subespacio generado.

Ecuación: $(x, y, z) = (a + b, b, a)$ significa $x = y + z$ : el subespacio generado es el plano $\{x - y - z = 0\}$ .

Ejercicio 18.3 ★

Decídase la libertad en $\R^3$ : $\;\bigl((1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)\bigr)$ ; $\;\bigl((1,2,3), (2,4,6)\bigr)$ ; $\;\bigl((1,0,0), (1,1,0), (1,1,1), (0,1,1)\bigr)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 18.3.

Primera familia: $\lambda(1,1,0) + \mu(1,0,1) + \nu(0,1,1) = 0$ da $\lambda + \mu = 0$ , $\lambda + \nu = 0$ , $\mu + \nu = 0$ : sumando, $2(\lambda + \mu + \nu) = 0$ y, restando cada ecuación, $\lambda = \mu = \nu = 0$ : libre.

Segunda: $(2,4,6) = 2(1,2,3)$ : ligada.

Tercera: cuatro vectores en $\R^3$ — necesariamente ligados en cuanto se disponga de la dimensión (Capítulo 19); directamente: $(0,1,1) = -(1,0,0) + 0\cdot(1,1,0) + (1,1,1)$ , pues en efecto $(-1,0,0) + (1,1,1) = (0,1,1)$ : una relación no trivial.

Ejercicio 18.4 ★

Demuéstrese que $(1, X - 1, (X-1)^2, (X-1)^3)$ es una base de $\R_3[X]$ , y dense las coordenadas de $X^3$ en ella. (¡Taylor en $1$ !)

Solución

Solución de Ejercicio 18.4.

Los polinomios $1, (X-1), (X-1)^2, (X-1)^3$ tienen grados distintos $0, 1, 2, 3$ : libres (Proposición 18.19 (1)); y son cuatro vectores libres y generadores (todo $P \in \R_3[X]$ se desarrolla en potencias de $X - 1$ , por ejemplo por Taylor para polinomios, cf. la demostración de la Proposición 8.11): una base. Para $X^3$ , Taylor en $1$ : $P = X^3$ , $P(1) = 1$ , $P'(1) = 3$ , $P''(1) = 6$ , $P'''(1) = 6$ :

X^3 = 1 + 3(X - 1) + 3(X-1)^2 + (X-1)^3 ,

coordenadas $(1, 3, 3, 1)$ (la fila de Pascal, como cabía esperar de $X^3 = ((X-1)+1)^3$ ).

Ejercicio 18.5 ★★

En $\R^4$ , sean $F = \{(x,y,z,t) : x = y = z\}$ y $G = \{(x,y,z,t) : x = t = 0\}$ . Demuéstrese que $F \oplus G = \R^4$ y descompóngase $(1,2,3,4)$ en consecuencia.

Solución

Solución de Ejercicio 18.5.

$F \cap G$ : las condiciones $x = y = z$ y $x = t = 0$ juntas dan $x = 0$ , luego $y = z = 0$ , y $t = 0$ : la intersección es $\{0\}$ . Suma: dado $(x,y,z,t)$ , búsquense $(a,a,a,b) \in F$ y $(0,c,d,0) \in G$ que sumen ese vector: $a = x$ , $b = t$ , $c = y - x$ , $d = z - x$ : siempre es posible. Luego $\R^4 = F \oplus G$ , y

(1,2,3,4) = (1,1,1,4) + (0,1,2,0) .

Ejercicio 18.6 ★★

En el espacio de las sucesiones, sea $F$ el conjunto de las sucesiones convergentes y $G = \operatorname{Vect}(u)$ con $u_n = (-1)^n$ . Demuéstrese que $F \cap G = \{0\}$ . ¿Es $F + G$ todo el espacio de las sucesiones?

Solución

Solución de Ejercicio 18.6.

Un elemento de $G$ es $\lambda u$ ; si converge, entonces (dado que $\lambda u_n = \lambda(-1)^n$ tiene los dos límites de subsucesiones $\pm \lambda$ ) necesariamente $\lambda = 0$ : $F \cap G = \{0\}$ .

$F + G$ no lo es todo: consta de las sucesiones de la forma $c_n + \lambda(-1)^n$ con $(c_n)$ convergente. La sucesión $v_n = n$ no es de esa forma ( $v_n - \lambda(-1)^n$ no está acotada, luego nunca converge). Así, $F \oplus G \subsetneq$ (espacio de todas las sucesiones).

Ejercicio 18.7 ★★

Sean $F, G, H$ subespacios de $E$ . Demuéstrese que

F \cap (G + (F \cap H)) = (F \cap G) + (F \cap H),

y véase con un ejemplo en $\R^2$ que la distributividad sin restricciones $F \cap (G + H) = (F\cap G) + (F \cap H)$ falla.

Solución

Solución de Ejercicio 18.7.

( $\supseteq$ ) Tanto $F \cap G$ como $F \cap H$ están en $F$ , y su suma está en $G + (F \cap H)$ : la inclusión se sigue porque el miembro izquierdo es un subespacio que contiene las dos piezas — concretamente, un elemento $g + h$ con $g \in F\cap G$ y $h \in F \cap H$ está en $F$ (suma de dos elementos de $F$ ) y en $G + (F \cap H)$ .

( $\subseteq$ ) Sea $x \in F$ con $x = g + h$ , $g \in G$ , $h \in F \cap H$ . Entonces $g = x - h \in F$ (diferencia de elementos de $F$ ), luego $g \in F \cap G$ y $x = g + h \in (F \cap G) + (F \cap H)$ .

Contraejemplo para la distributividad completa en $\R^2$ : $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ , $G = \operatorname{Vect}(1,0)$ , $H = \operatorname{Vect}(0,1)$ . Entonces $G + H = \R^2$ , luego $F \cap (G+H) = F$ , mientras que $F \cap G = F \cap H = \{0\}$ : el miembro derecho es $\{0\} \neq F$ .

Ejercicio 18.8 ★★★

Demuéstrese que las siguientes familias de $\mathcal{F}(\R, \R)$ son libres:

$(\eu^{a_1 x}, \dots, \eu^{a_p x})$ para $a_1 < \dots < a_p$ ;
$(\cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x)$ ;
$(x \mapsto \abs{x - a_1}, \dots, x \mapsto \abs{x - a_p})$ para $a_i$ distintos (la derivabilidad falla en exactamente un punto por función).

Solución

Solución de Ejercicio 18.8.

Supóngase $\sum_{i} \lambda_i \eu^{a_i x} = 0$ para todo $x$ . Multiplíquese por $\eu^{-a_p x}$ : $\lambda_p + \sum_{i < p} \lambda_i \eu^{(a_i - a_p)x} \to \lambda_p$ cuando $x \to +\infty$ (cada exponente $a_i - a_p < 0$ ). El miembro izquierdo es idénticamente $0$ , luego $\lambda_p = 0$ ; e itérese hacia abajo.
Sea $a\cos x + b \sin x + c \cos 2x + d\sin 2x = 0$ para todo $x$ . Evalúese en $x = 0$ : $a + c = 0$ ; en $x = \pi$ : $-a + c = 0$ ; luego $a = c = 0$ , y la relación se reduce a $b\sin x + d \sin 2x = 0$ . Evalúese en $x = \frac\pi2$ : $b = 0$ ; y después en $x = \frac\pi4$ : $d = 0$ .
Supóngase $\sum \lambda_i \abs{x - a_i} = 0$ para todo $x$ . La función $\sum_{i \neq j} \lambda_i\abs{x - a_i}$ es derivable en $a_j$ (cada término lo es, lejos de su propio pico), luego $-\lambda_j \abs{x - a_j}$ , que es su diferencia, también tiene que ser derivable en $a_j$ — lo que fuerza $\lambda_j = 0$ ( $\abs{\,\cdot\,}$ tiene un pico). Y esto vale para todo $j$ .

Ejercicio 18.9 ★★★

Sea $E$ un $K$ -espacio vectorial y sean $F, G, H$ subespacios con $F + G = F + H$ , $F \cap G = F \cap H$ y $G \subseteq H$ . Demuéstrese que $G = H$ . Dese un contraejemplo sin la hipótesis $G \subseteq H$ .

Solución

Solución de Ejercicio 18.9.

Sea $h \in H$ . Como $h \in H \subseteq F + H = F + G$ , escríbase $h = f + g$ con $f \in F$ , $g \in G$ . Entonces $f = h - g \in H$ (los dos términos están en $H$ , usando $G \subseteq H$ ), luego $f \in F \cap H = F \cap G \subseteq G$ , y $h = f + g \in G$ . Por tanto, $H \subseteq G$ y, con la hipótesis $G \subseteq H$ : igualdad.

Contraejemplo sin $G \subseteq H$ : en $\R^2$ , tómense $F = \operatorname{Vect}(1,0)$ , $G = \operatorname{Vect}(0,1)$ , $H = \operatorname{Vect}(1,1)$ : entonces $F + G = F + H = \R^2$ y $F \cap G = F \cap H = \{0\}$ y, sin embargo, $G \neq H$ .

Ejercicio 18.10 ★★

En $\R[X]$ , sea $\mathcal P$ el conjunto de los polinomios pares ( $P(-X) = P(X)$ ) y $\mathcal I$ el conjunto de los impares ( $P(-X) = -P(X)$ ). Demuéstrese que $\R[X] = \mathcal P \oplus \mathcal I$ y véase que $\mathcal P = \operatorname{Vect}(1, X^2, X^4, \dots)$ , es decir, que los polinomios pares son exactamente los polinomios en $X^2$ .

Solución

Solución de Ejercicio 18.10.

Los dos conjuntos son subespacios (las condiciones que los definen son lineales y valen para $0$ ). Descomposición: para $P \in \R[X]$ ,

P(X) = \underbrace{\frac{P(X) + P(-X)}{2}}_{\in\,\mathcal P} + \underbrace{\frac{P(X) - P(-X)}{2}}_{\in\,\mathcal I},

y un polinomio a la vez par e impar cumple $P = -P$ , luego $P = 0$ : la suma es directa y vale $\R[X]$ .

Sea ahora $P = \sum_k a_k X^k$ par. Entonces $P(X) - P(-X) = 2 \sum_{k \text{ impar}} a_k X^k$ es el polinomio nulo, de modo que todos los coeficientes de grado impar se anulan (Definición 8.1): $P \in \operatorname{Vect}(1, X^2, X^4, \dots)$ , es decir, $P = Q(X^2)$ para cierto polinomio $Q$ . Recíprocamente, todo polinomio en $X^2$ es par.

Ejercicio 18.11 ★★

Sea $(x_1, x_2, x_3)$ una familia libre de un espacio vectorial real $E$ . Demuéstrese que $(x_1 + x_2,\ x_2 + x_3,\ x_3 + x_1)$ es libre. ¿Es libre la familia análoga de cuatro vectores $(x_1 + x_2,\ x_2 + x_3,\ x_3 + x_4,\ x_4 + x_1)$ cuando $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ lo es?

Solución

Solución de Ejercicio 18.11.

Supóngase $a(x_1 + x_2) + b(x_2 + x_3) + c(x_3 + x_1) = 0$ . Reagrupando sobre la familia libre $(x_1, x_2, x_3)$ :

(a + c)\,x_1 + (a + b)\,x_2 + (b + c)\,x_3 = 0 \implies a + c = a + b = b + c = 0 .

Restando las dos primeras ecuaciones se obtiene $c = b$ ; la tercera da entonces $2b = 0$ , luego $b = c = 0$ y después $a = 0$ : la familia es libre.

Para cuatro vectores, la familia análoga es siempre ligada:

(x_1 + x_2) - (x_2 + x_3) + (x_3 + x_4) - (x_4 + x_1) = 0

es una combinación nula no trivial (coeficientes $1, -1, 1, -1$ ), sea cual sea $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ . Lo decide la paridad de la longitud del ciclo.

Ejercicio 18.12 ★★★

Sea $E$ un espacio vectorial sobre $\R$ (o $\C$ ) y sean $F_1, \dots, F_k$ subespacios propios de $E$ (cada $F_i \neq E$ ).

Trátese el caso $k = 2$ directamente: si $F_1 \not\subseteq F_2$ y $F_2 \not\subseteq F_1$ , tómense $x \in F_1 \setminus F_2$ e $y \in F_2 \setminus F_1$ y localícese $x + y$ .
Demuéstrese en general que $E \neq F_1 \cup \dots \cup F_k$ : un espacio vectorial sobre un cuerpo infinito nunca es unión finita de subespacios propios. (Tómese $k$ mínimo, tómese $x \in F_1$ fuera de los demás $F_i$ , tómese $y \notin F_1$ y síguase la recta $t \mapsto y + tx$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 18.12.

Si $F_1 \subseteq F_2$ o $F_2 \subseteq F_1$ , la unión es uno de los dos y, por tanto, es propia. En caso contrario, tómense $x \in F_1 \setminus F_2$ e $y \in F_2 \setminus F_1$ y considérese $x + y$ . Si $x + y \in F_1$ , entonces $y = (x + y) - x \in F_1$ : contradicción. Si $x + y \in F_2$ , entonces $x \in F_2$ : contradicción. Luego $x + y \notin F_1 \cup F_2$ y $E \neq F_1 \cup F_2$ .
Supóngase por reducción al absurdo que $E = F_1 \cup \dots \cup F_k$ , con $k$ elegido mínimo entre todos esos recubrimientos. La minimalidad prohíbe $F_1 \subseteq F_2 \cup \dots \cup F_k$ (si no, quítese $F_1$ ), luego hay $x \in F_1$ con $x \notin F_i$ para todo $i \geq 2$ . Como $F_1$ es propio, tómese $y \notin F_1$ . Para cada escalar $t$ , el vector $y + t x$ está en algún $F_i$ . Y nunca está en $F_1$ : si no, $y = (y + tx) - tx \in F_1$ (pues $x \in F_1$ ). El cuerpo es infinito, así que elíjanse $k$ escalares distintos $t_1, \dots, t_k$ : los $k$ vectores $y + t_j x$ caen en los $k - 1$ subespacios $F_2, \dots, F_k$ , y dos de ellos, digamos $y + t x$ e $y + t' x$ con $t \neq t'$ , están en el mismo $F_i$ ( $i \geq 2$ ). Entonces su diferencia $(t - t')x \in F_i$ , luego $x \in F_i$ : contradicción. Por tanto, no existe ningún recubrimiento finito por subespacios propios.

18.5 Problema: interpolación, tres bases para un mismo espacio

Problema 18.1

Fíjense $n + 1$ puntos distintos $x_0, x_1, \dots, x_n$ de $\R$ . Este problema revisita la interpolación de Lagrange (Teorema 8.23) con los ojos de este capítulo: el espacio $\R_n[X]$ lleva tres bases naturales —la de Lagrange, la de Newton y (para puntos equiespaciados) la base binomial— y cada base vuelve fácil una pregunta distinta. El camino acaba en un teorema aritmético genuino: la caracterización de Pólya de los polinomios que llevan $\Z$ dentro de $\Z$ .

Parte I — La base de Lagrange. Para $0 \leq i \leq n$ , póngase

L_i \;=\; \prod_{j \neq i} \frac{X - x_j}{x_i - x_j} \;\in\; \R_n[X].

Compruébese que $\deg L_i = n$ y que $L_i(x_j) = 1$ si $j = i$ , y $0$ si $j \neq i$ .
Demuéstrese que la familia $(L_0, \dots, L_n)$ es libre.
Demuéstrese que para todo $P \in \R_n[X]$ ,

$P \;=\; \sum_{i=0}^{n} P(x_i)\, L_i ,$

y conclúyase que $(L_0, \dots, L_n)$ es una base de $\R_n[X]$ . (Considérese la diferencia de los dos miembros y cuéntense sus raíces, Corolario 8.8.)
Dedúzcase el teorema de interpolación: para cualesquiera valores $y_0, \dots, y_n \in \R$ existe un único $P \in \R_n[X]$ con $P(x_i) = y_i$ para todo $i$ . En la base de Lagrange, ¿cuáles son las coordenadas de un polinomio $P$ ?
Demuéstrense las identidades

$\sum_{i=0}^{n} L_i = 1 \qquad\text{y, para } 0 \leq k \leq n,\qquad \sum_{i=0}^{n} x_i^{k}\, L_i = X^{k} .$

Parte II — La base de Newton y las diferencias divididas. Póngase $N_0 = 1$ y $N_k = (X - x_0)(X - x_1) \cdots (X - x_{k-1})$ para $1 \leq k \leq n$ . Para una función $f$ definida en los nodos, defínanse las diferencias divididas por $f[x_i] = f(x_i)$ y

f[x_i, \dots, x_{i+k}] \;=\; \frac{f[x_{i+1}, \dots, x_{i+k}] - f[x_i, \dots, x_{i+k-1}]} {x_{i+k} - x_i} .

Demuéstrese que $(N_0, N_1, \dots, N_n)$ es una base de $\R_n[X]$ .
Calcúlense $f[x_0, x_1]$ y $f[x_0, x_1, x_2]$ en función de los valores de $f$ , y calcúlense después todas las diferencias divididas de $f(x) = x^2$ en tres nodos arbitrarios.
(Lema de Aitken) Sea $R$ el interpolador de $f$ en $x_0, \dots, x_{n-1}$ y $Q$ el interpolador de $f$ en $x_1, \dots, x_n$ , los dos de grado $\leq n - 1$ . Demuéstrese que

$S \;=\; \frac{(X - x_0)\,Q - (X - x_n)\,R}{x_n - x_0}$

interpola $f$ en $x_0, x_1, \dots, x_n$ .
Dedúzcase, por inducción sobre el número de nodos, que el coeficiente de $X^{k}$ en el interpolador de $f$ en $x_0, \dots, x_k$ es exactamente $f[x_0, \dots, x_k]$ .
Demuéstrese la fórmula de interpolación de Newton: el interpolador de $f$ en $x_0, \dots, x_n$ es

$P \;=\; \sum_{k=0}^{n} f[x_0, \dots, x_k]\, N_k ,$

y dedúzcase la fórmula cerrada

$f[x_0, \dots, x_k] \;=\; \sum_{i=0}^{k} \frac{f(x_i)}{\prod_{j \neq i,\, j \leq k} (x_i - x_j)} ,$

que muestra que $f[x_0, \dots, x_k]$ no depende del orden de los nodos.

Parte III — Nodos equiespaciados: el operador de diferencias. A partir de aquí los nodos son $0, 1, 2, \dots$ y, para un polinomio $P$ , ponemos

\Delta P(X) = P(X + 1) - P(X), \qquad B_k = \frac{X(X-1)\cdots(X-k+1)}{k!} \quad (B_0 = 1).

Véase que si $\deg P = m \geq 1$ con coeficiente director $a$ , entonces $\deg \Delta P = m - 1$ con coeficiente director $m\,a$ , y que $\Delta$ mata las constantes.
Véase que $(B_0, B_1, \dots, B_n)$ es una base de $\R_n[X]$ y que $\Delta B_k = B_{k-1}$ para $k \geq 1$ .
(Fórmula de las diferencias progresivas de Newton) Demuéstrese que todo $P \in \R_n[X]$ cumple

$P \;=\; \sum_{k=0}^{n} \bigl(\Delta^{k} P\bigr)(0)\, B_k .$
Demuéstrese que para todo $k \geq 0$ ,

$\bigl(\Delta^{k} P\bigr)(0) \;=\; \sum_{j=0}^{k} (-1)^{k-j} \binom{k}{j} P(j) .$
Véase que si $\deg P = n$ con coeficiente director $a_n$ , entonces $\Delta^{n} P$ es la constante $n!\,a_n$ y $\Delta^{n+1} P = 0$ .

Parte IV — Polinomios de valores enteros. Un polinomio $P \in \R[X]$ es de valores enteros cuando $P(m) \in \Z$ para todo $m \in \Z$ .

Demuéstrese que cada $B_k$ es de valores enteros. (Trátense por separado $m \geq k$ , $0 \leq m < k$ y $m < 0$ ; para $m = -q < 0$ , véase que $B_k(-q) = (-1)^k \binom{q + k - 1}{k}$ .)
Demuéstrese la caracterización de Pólya: $P \in \R_n[X]$ es de valores enteros si y solo si sus coordenadas en la base $(B_0, \dots, B_n)$ son enteras.
Dedúzcase: si $P \in \R_n[X]$ toma valores enteros en $n + 1$ enteros consecutivos $a, a+1, \dots, a+n$ , entonces $P$ es de valores enteros. (Desplácese: aplíquese el estudio a $Q(X) = P(X + a)$ .)
Dedúzcase de la pregunta 16 que un producto de $k$ enteros consecutivos siempre es divisible por $k!$ .
Sea $P = \dfrac{X(X+1)(2X+1)}{6}$ . Calcúlese su tabla de Newton en $0, 1, 2, 3$ , escríbase $P$ en la base $(B_k)$ y conclúyase que $P$ es de valores enteros aunque ninguno de sus coeficientes monomiales sea entero. Compruébese $\Delta P = (X+1)^2$ y dedúzcase $P(m) = 1^2 + 2^2 + \dots + m^2$ para $m \in \N$ .

Parte V — Dividendos.

Sea $P \in \R_n[X]$ el interpolador de los valores $2^i$ en $i = 0, 1, \dots, n$ . Véase que $P = B_0 + B_1 + \dots + B_n$ y que $P(n + 1) = 2^{n+1} - 1$ : el «patrón de duplicación» siempre se rompe justo en el punto siguiente.
(Primitiva discreta) Demuéstrese que para todos los enteros $m \geq 1$ y $k \geq 0$ ,

$\sum_{j=0}^{m-1} B_k(j) \;=\; B_{k+1}(m),$

es decir, la identidad del palo de hockey $\sum_{j=k}^{m-1} \binom{j}{k} = \binom{m}{k+1}$ .
Desarróllense $X^2$ y $X^3$ en la base $(B_k)$ y dedúzcanse fórmulas cerradas para $\sum_{j=0}^{m-1} j^2$ y $\sum_{j=0}^{m-1} j^3$ ; recupérese la identidad de Nicómaco $1^3 + \dots + m^3 = (1 + \dots + m)^2$ .
Tómense $n = 2$ y los nodos $0, 1, 2$ . Escríbanse las coordenadas de $X^2$ en las tres bases de este problema: la base monomial, la base de Lagrange y la base de Newton. Compruébense las tres respuestas con las preguntas 4 y 9.
Síntesis. En cuatro frases: qué concepto de espacio vectorial vuelve automática la pregunta 4; por qué la base de Newton calcula las coordenadas de forma recursiva mientras que la base de Lagrange las lee al instante; qué criterio de libertad comparten las dos bases; y en qué sentido preciso el teorema de Pólya dice que la integralidad de un polinomio es una propiedad de sus coordenadas en la base adecuada.

Solución

Solución de Problema 18.1.

1. $L_i$ es un producto de $n$ factores lineales dividido por una constante no nula (los $x_i$ son distintos), luego $\deg L_i = n$ . Evaluando en $x_j$ con $j \neq i$ : el factor $X - x_j$ del numerador se anula, luego $L_i(x_j) = 0$ . Y en $x_i$ , numerador y denominador coinciden: $L_i(x_i) = 1$ .

2. Supóngase $\sum_i \lambda_i L_i = 0$ . Evalúese en $x_j$ : todos los términos mueren salvo $\lambda_j L_j(x_j) = \lambda_j$ , luego $\lambda_j = 0$ para todo $j$ : la familia es libre.

3. Sea $D = P - \sum_i P(x_i) L_i$ . Entonces $\deg D \leq n$ y, por la pregunta 1, $D(x_j) = P(x_j) - P(x_j) = 0$ en los $n + 1$ puntos distintos $x_0, \dots, x_n$ . Un polinomio no nulo de grado $\leq n$ tiene a lo sumo $n$ raíces (Corolario 8.8), luego $D = 0$ . Así, todo $P \in \R_n[X]$ es combinación de los $L_i$ : la familia es generadora y, con la pregunta 2, una base.

4. Dados $y_0, \dots, y_n$ , el polinomio $P = \sum_i y_i L_i$ tiene grado $\leq n$ e interpola. Unicidad: un $P$ interpolador tiene, por la pregunta 3, coordenadas $(P(x_0), \dots, P(x_n)) = (y_0, \dots, y_n)$ en la base $(L_i)$ , y las coordenadas en una base son únicas (Proposición 18.15). Las coordenadas de $P$ en la base de Lagrange son sus valores en los nodos — ese es todo el sentido de esa base.

5. Aplíquese la pregunta 3 a $P = X^k$ ( $0 \leq k \leq n$ ):

X^k = \sum_{i=0}^{n} x_i^{k} L_i ,

y $k = 0$ da $\sum_i L_i = 1$ .

6. $\deg N_k = k$ exactamente: la familia $(N_0, \dots, N_n)$ es una escalera de grados en $\R_n[X]$ y, por tanto, una base por el Ejemplo 18.20 (que sea libre, por la Proposición 18.19 (1); que sea generadora, por descenso finito sobre el grado).

7. De la recurrencia,

f[x_0, x_1] = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}, \qquad f[x_0, x_1, x_2] = \frac{f[x_1, x_2] - f[x_0, x_1]}{x_2 - x_0}.

Para $f(x) = x^2$ :

f[x_0, x_1] = \frac{x_1^2 - x_0^2}{x_1 - x_0} = x_0 + x_1,

y entonces

f[x_0, x_1, x_2] = \frac{(x_1 + x_2) - (x_0 + x_1)}{x_2 - x_0} = \frac{x_2 - x_0}{x_2 - x_0} = 1 .

8. $\deg S \leq n$ , ya que $Q, R$ tienen grado $\leq n - 1$ . En $x_0$ : $S(x_0) = \frac{-(x_0 - x_n) R(x_0)}{x_n - x_0} = R(x_0) = f(x_0)$ . En $x_n$ : $S(x_n) = \frac{(x_n - x_0) Q(x_n)}{x_n - x_0} = Q(x_n) = f(x_n)$ . Y en un nodo interior $x_i$ ( $1 \leq i \leq n-1$ ), tanto $Q$ como $R$ toman el valor $f(x_i)$ , luego

S(x_i) = \frac{(x_i - x_0) - (x_i - x_n)}{x_n - x_0}\, f(x_i) = f(x_i) .

9. Inducción sobre el número de nodos. Con un nodo: el interpolador es la constante $f(x_0) = f[x_0]$ . Supóngase la afirmación para $k$ nodos y sea $S$ el interpolador en $x_0, \dots, x_k$ ; por unicidad (pregunta 4), $S$ viene dado por el lema de Aitken a partir de $R$ (nodos $x_0, \dots, x_{k-1}$ ) y de $Q$ (nodos $x_1, \dots, x_k$ ). El coeficiente de $X^{k}$ en $S$ es

\frac{[X^{k-1}]\,Q - [X^{k-1}]\,R}{x_k - x_0} = \frac{f[x_1, \dots, x_k] - f[x_0, \dots, x_{k-1}]}{x_k - x_0} = f[x_0, \dots, x_k]

por la hipótesis de inducción y por la recurrencia que las define.

10. Sea $P_k$ el interpolador de $f$ en $x_0, \dots, x_k$ . La diferencia $P_k - P_{k-1}$ tiene grado $\leq k$ y se anula en $x_0, \dots, x_{k-1}$ , de modo que, por el teorema del factor aplicado $k$ veces (Teorema 8.7), vale $c\,N_k$ para cierta constante $c$ ; comparando los coeficientes de $X^{k}$ y usando la pregunta 9, $c = f[x_0, \dots, x_k]$ . Telescopando desde $P_0 = f(x_0) N_0$ se obtiene la fórmula de Newton. Para la forma cerrada, escríbase $P_k = \sum_{i \leq k} f(x_i) L_i$ (Lagrange, sobre los nodos $x_0, \dots, x_k$ ) y léase el coeficiente de $X^{k}$ : cada $L_i$ aporta $\frac{1}{\prod_{j \neq i}(x_i - x_j)}$ , de donde

f[x_0, \dots, x_k] = \sum_{i=0}^{k} \frac{f(x_i)}{\prod_{j \neq i,\, j \leq k}(x_i - x_j)} .

El miembro derecho es invariante por cualquier permutación de los nodos, así que la diferencia dividida no depende de su orden.

11. Si $P = a X^m + (\text{grados inferiores})$ , el teorema del binomio da

\Delta P = a\bigl((X+1)^m - X^m\bigr) + \dots = a\,m\,X^{m-1} + (\text{lower degrees}),

porque $(X+1)^m - X^m = m X^{m-1} + \dots$ y la parte de grado inferior de $P$ aporta grado $\leq m - 2$ tras $\Delta$ (o términos de grado $\leq m-2$ ). Luego $\deg \Delta P = m - 1$ con coeficiente director $m a$ . Y una constante $c$ da $\Delta c = c - c = 0$ .

12. $\deg B_k = k$ : escalera y, por tanto, base de $\R_n[X]$ (Ejemplo 18.20). Para $\Delta B_k$ ( $k \geq 1$ ), sáquese factor común el producto:

\begin{align*} k!\,\Delta B_k &= (X+1)X\cdots(X-k+2) - X(X-1)\cdots(X-k+1) \\ &= X(X-1)\cdots(X-k+2)\,\bigl[(X+1) - (X-k+1)\bigr] \\ &= k\,X(X-1)\cdots(X-k+2), \end{align*}

luego $\Delta B_k = \frac{X(X-1)\cdots(X-k+2)}{(k-1)!} = B_{k-1}$ .

13. Escríbase $P = \sum_{k=0}^{n} c_k B_k$ (base, pregunta 12). Aplíquese $\Delta^{j}$ : por la pregunta 12, $\Delta^{j} P = \sum_{k \geq j} c_k B_{k-j}$ . Evalúese en $0$ : $B_0(0) = 1$ y $B_m(0) = 0$ para $m \geq 1$ (el factor $X$ se anula), luego $\bigl(\Delta^{j}P\bigr)(0) = c_j$ . Esta es la fórmula de las diferencias progresivas.

14. Inducción sobre $k$ . Para $k = 0$ , la identidad dice $P(0) = P(0)$ . Supóngase para $k$ y aplíquese a $\Delta P$ :

\bigl(\Delta^{k+1} P\bigr)(0) = \sum_{j=0}^{k} (-1)^{k-j}\binom kj \bigl(P(j+1) - P(j)\bigr).

Recójase el coeficiente de $P(i)$ : es $(-1)^{k-i+1}\binom k{i-1}\cdot(-1)^{0}$ de la primera suma (desplazada) y $-(-1)^{k-i}\binom ki$ de la segunda — juntos,

(-1)^{k+1-i}\Bigl(\binom k{i-1} + \binom ki\Bigr) = (-1)^{k+1-i}\binom{k+1}i

por la regla de Pascal, que es la identidad en el rango $k + 1$ .

15. Iterando la pregunta 11 desde el grado $n$ con coeficiente director $a_n$ : tras un $\Delta$ , grado $n-1$ y coeficiente director $n a_n$ ; tras dos, $n(n-1)a_n$ ; y tras $n$ pasos, grado $0$ y valor $n(n-1)\cdots 1\, a_n = n!\,a_n$ , una constante. Un $\Delta$ más la mata: $\Delta^{n+1}P = 0$ .

16. Si $m \geq k$ : $B_k(m) = \binom mk \in \N$ . Si $0 \leq m < k$ : uno de los factores de $m(m-1)\cdots(m-k+1)$ es cero, luego $B_k(m) = 0$ . Y si $m = -q$ con $q \geq 1$ :

B_k(-q) = \frac{(-q)(-q-1)\cdots(-q-k+1)}{k!} = (-1)^k\,\frac{q(q+1)\cdots(q+k-1)}{k!} = (-1)^k \binom{q+k-1}{k},

un entero. Así, todo $B_k$ lleva $\Z$ dentro de $\Z$ .

17. ( $\Leftarrow$ ) Si $P = \sum_k c_k B_k$ con $c_k \in \Z$ , entonces, para $m \in \Z$ , $P(m) = \sum_k c_k B_k(m) \in \Z$ por la pregunta 16. ( $\Rightarrow$ ) Si $P$ es de valores enteros, sus coordenadas son $c_k = \bigl(\Delta^k P\bigr)(0) = \sum_{j=0}^k (-1)^{k-j}\binom kj P(j)$ (preguntas 13 y 14), una combinación entera de los enteros $P(0), \dots, P(k)$ . Esta es la caracterización de Pólya de los polinomios de valores enteros.

18. Póngase $Q(X) = P(X + a)$ , un polinomio de grado $\leq n$ con $Q(0), Q(1), \dots, Q(n) \in \Z$ . Sus coordenadas en $(B_k)_{k \leq n}$ son $c_k = \sum_{j \leq k}(-1)^{k-j}\binom kj Q(j) \in \Z$ (la pregunta 14 solo usa los valores en $0, \dots, k \leq n$ ). Por la pregunta 17 ( $\Leftarrow$ ), $Q$ es de valores enteros en todo $\Z$ , y por tanto también lo es $P(X) = Q(X - a)$ .

19. Un producto de $k$ enteros consecutivos es $m(m-1) \cdots(m-k+1) = k!\,B_k(m)$ para cierto $m \in \Z$ , y $B_k(m) \in \Z$ por la pregunta 16: el producto es divisible por $k!$ .

20. Valores de $P = \frac{X(X+1)(2X+1)}{6}$ en $0,1,2,3$ : $0, 1, 5, 14$ . Tabla de diferencias: fila $\Delta$ : $1, 4, 9$ ; fila $\Delta^2$ : $3, 5$ ; fila $\Delta^3$ : $2$ . Por tanto, por la pregunta 13,

P = 0\cdot B_0 + 1\cdot B_1 + 3\,B_2 + 2\,B_3 ,

con coordenadas enteras: $P$ es de valores enteros (pregunta 17), mientras que sus coeficientes monomiales $\frac13, \frac12, \frac16$ no son enteros. Cálculo directo:

\begin{align*} \Delta P &= \frac{(X+1)(X+2)(2X+3) - X(X+1)(2X+1)}{6} \\ &= \frac{(X+1)\bigl[(X+2)(2X+3) - X(2X+1)\bigr]}{6} = \frac{(X+1)(6X+6)}{6} = (X+1)^2 . \end{align*}

Telescopando, $P(m) = \sum_{j=0}^{m-1}\Delta P(j) = \sum_{j=1}^{m} j^2$ (con $P(0) = 0$ ): la fórmula de la suma de cuadrados.

21. Los valores $2^i$ en $i = 0, \dots, n$ tienen una tabla de diferencias constantemente igual a $1$ en el borde izquierdo: $\Delta^k$ de la sucesión $(2^i)$ es otra vez $(2^i)$ (ya que $2^{i+1} - 2^i = 2^i$ ), luego $\bigl(\Delta^k P\bigr)(0) = 2^0 = 1$ para todo $k \leq n$ , y $P = B_0 + B_1 + \dots + B_n$ por la pregunta 13. Entonces

P(n+1) = \sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}{k} = 2^{n+1} - \binom{n+1}{n+1} = 2^{n+1} - 1 \neq 2^{n+1}:

el patrón se rompe en el primer punto no controlado.

22. Por la pregunta 12, $B_k = \Delta B_{k+1}$ , luego

\sum_{j=0}^{m-1} B_k(j) = \sum_{j=0}^{m-1}\bigl(B_{k+1}(j+1) - B_{k+1}(j)\bigr) = B_{k+1}(m) - B_{k+1}(0) = B_{k+1}(m).

Para $j < k$ los términos $B_k(j)$ se anulan, así que la suma empieza en realidad en $j = k$ : $\sum_{j=k}^{m-1}\binom jk = \binom m{k+1}$ , la identidad del palo de hockey.

23. Las tablas de diferencias (o el desarrollo directo) dan

X^2 = B_1 + 2 B_2, \qquad X^3 = B_1 + 6 B_2 + 6 B_3

(compruébese: $B_1 + 2B_2 = X + X(X-1) = X^2$ ; y en $X = 1, 2, 3$ la segunda da $1, 8, 27$ ). La pregunta 22 da entonces

\sum_{j=0}^{m-1} j^2 = B_2(m) + 2B_3(m) = \binom m2 + 2\binom m3 = \frac{m(m-1)(2m-1)}{6},

\sum_{j=0}^{m-1} j^3 = B_2(m) + 6B_3(m) + 6B_4(m) = \binom m2 + 6\binom m3 + 6\binom m4 .

Desarrollando la última expresión: $\binom m2 + 6\binom m3 + 6\binom m4 = \frac{m(m-1)}{2}\bigl[1 + 2(m-2) + \frac{(m-2)(m-3)}{2}\bigr] = \frac{m^2(m-1)^2}{4} = \binom m2^2$ . Sustituyendo $m$ por $m + 1$ : $1^3 + \dots + m^3 = \bigl(\frac{m(m+1)}2\bigr)^2 = (1 + \dots + m)^2$ , la identidad de Nicómaco.

24. Nodos $0, 1, 2$ y polinomio $X^2$ . Base monomial $(1, X, X^2)$ : coordenadas $(0, 0, 1)$ . Base de Lagrange: las coordenadas son los valores $(0, 1, 4)$ (pregunta 4). Base de Newton $(1, X, X(X-1))$ : diferencias divididas $f[0] = 0$ , $f[0,1] = 1$ , $f[0,1,2] = \frac{3 - 1}{2} = 1$ (pregunta 9), luego coordenadas $(0, 1, 1)$ — y, en efecto, $X + X(X-1) = X^2$ . Tres bases, tres vectores de coordenadas, un solo polinomio.

25. (i) La pregunta 4 es automática porque $(L_i)$ es una base: la existencia y la unicidad de la interpolación son exactamente la existencia y la unicidad de las coordenadas. (ii) La base de Newton es una escalera, de modo que las coordenadas se calculan por divisiones sucesivas —cada nodo nuevo añade un término sin perturbar los anteriores—, mientras que las coordenadas de $P$ en la de Lagrange son los valores $P(x_i)$ , disponibles sin ningún cálculo. (iii) Las dos bases son libres por los dos mismos criterios de la Proposición 18.19: grados distintos para Newton y evaluación en los nodos para Lagrange. (iv) El teorema de Pólya dice que « $P(\Z) \subseteq \Z$ », una propiedad de los valores, equivale a que sean enteras las coordenadas en la base $(B_k)$ — la aritmética de un polinomio solo se vuelve visible en la base adaptada a la pregunta.

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