Matemáticas universitarias — Grado 1 · Bachelor Year 1

19Dimensión finita

Un espacio abarcado por un número finito de vectores lleva un bien definido dimensión — el tamaño común de todas sus bases. las pruebas A continuación, todo fluye de un motor combinatorio, el lema de intercambio: un familia libre nunca puede superar en número a uno generador. Con dimensión vienen las herramientas utilizadas en todas partes después: el base incompleto teorema, el rango de una familia, la fórmula de Grassmann.

19.1 Existencia de bases

Definición 19.1

$E$ es de dimensión finita cuando tiene una familia generativa finita. (De lo contrario de dimensión infinita: también lo es $K[X]$ , cuyas familias finitas sólo engendrado polinomios de acotados grado.)

Teorema 19.2 (Lema de intercambio)

Sea $(g_1, \dots, g_n)$ una familia generadora de $E$ y sea $(f_1, \dots, f_p)$ libre en $E$ . Entonces $p \leq n$ .

Demostración. Se razona por inducción sobre $k \leq p$ : tras renumerar los $g_j$ , la familia

(f_1, \dots, f_k, g_{k+1}, \dots, g_n)

genera $E$ . Eso fuerza $k \leq n$ en cada etapa y $p \leq n$ al final.

$k = 0$ : es la hipótesis. Paso: se supone para $k-1$ ; entonces $f_k$ es combinación de

(f_1,\dots,f_{k-1},g_k,\dots,g_n).

En esa combinación algún $g_j$ ( $j\geq k$ ) tiene coeficiente no nulo — si no, $f_k$ sería combinación de $f_1,\dots,f_{k-1}$ , lo que contradice la independencia lineal. Renumérese para que $j=k$ y despéjese $g_k$ : $g_k$ es combinación de

(f_1,\dots,f_k,g_{k+1},\dots,g_n).

Todo vector de $E$ , escrito con la familia de orden $k-1$ , se reexpresa con la de orden $k$ : esta genera. (Si $k-1=n$ , no queda ningún $g$ y $f_k$ sería combinación de los $f_i$ solos: imposible; luego $k\leq n$ .) ∎

Ejemplo 19.3 (El intercambio, visto una vez)

En $\R^2$ , tome la familia generadora $\bigl(g_1, g_2\bigr) = \bigl((1,0), (0,1)\bigr)$ y familia libre $\bigl(f_1, f_2\bigr) = \bigl((1,2), (3,4)\bigr)$ . Paso $1$ : $f_1 = 1\cdot g_1 + 2\cdot g_2$ ; el coeficiente de $g_2$ es distinto de cero, por lo que intercambia $g_2$ por $f_1$ : la familia $\bigl(f_1, g_1\bigr)$ todavía genera ( $g_2 = \frac12(f_1 - g_1)$ ). Paso $2$ : $f_2 = (3,4) = 2\,f_1 + 1\cdot g_1$ ; el coeficiente del resto $g_1$ es distinto de cero (debe ser: $f_2$ no es un múltiplo de $f_1$ ), así que intercambie nuevamente: $\bigl(f_1, f_2\bigr)$ genera $\R^2$ . tenia Si hubiera un tercer vector libre $f_3$ , no quedaría ningún $g$ . absorberlo — que es precisamente como el lema prohíbe $3$ libre vectores en $\R^2$ . La prueba anterior es esta contabilidad hecha en generales.

Teorema 19.4 (Bases en dimensión finita)

Sea $E \neq \{0\}$ de dimensión finita.

De cada familia generativa finita se puede extraer un base.
(Teorema base incompleto) Cada familia libre se extiende a un base, utilizando vectores de cualquier familia generadora elegida.
Todas las bases de $E$ son finitas, con el mismo número de elementos: el dimensión $\dim E$ . (Convención: $\dim\{0\} = 0$ .)

Demostración. (1) Descartar, uno a la vez, cualquier vector que sea una combinación de los demás; la familia se queda generando, ya que en cualquier expresión Usando el vector descartado se puede sustituir su combinación de los supervivientes. El proceso termina — cada paso se reduce un familia finita por uno — y se detiene exactamente cuando no queda nada El vector es una combinación de los demás. La familia final todavía está generando, y es libre: una combinación nula no trivial llevar algún coeficiente distinto de cero, y dividir por él resolvería para el vector correspondiente en términos de los demás, haciéndolo descartable después de todo — contradiciendo que el proceso había detenido.

(2) Sea $(f_1, \dots, f_p)$ libre y $(g_1, \dots, g_n)$ generando. Ejecute $g_1, \dots, g_n$ y agregue $g_j$ a la familia actual. siempre que no esté ya en su engendrado (Proposición 18.19 (2) mantiene la familia libre). La familia final es libre, y generando: cada $g_j$ se encuentra en su engendrado — o se agregó o ya era una combinación.

(3) Dos bases son cada una libre y cada una genera: el lema de intercambio da ambas desigualdades entre sus cardinalidades. (Finitud: a base es libre, por lo tanto, por intercambio no es mayor que un número finito generando familia.) ∎

Ejemplo 19.5

$\dim K^n = n$ (canónico base); $\dim K_n[X] = n + 1$ (monomios); $\dim_\R \C = 2$ ; el espacio de solución de $y'' + ay' + by = 0$ tiene dimensión $2$ (Teorema 5.10: las soluciones son parametrizado biyectivamente y linealmente por $(\lambda, \mu) \in K^2$ ).

Ejemplo 19.6 (El mismo conjunto, dos dimensiones.)

El conjunto $\C^2$ de pares de números complejos es un espacio vectorial $\C$ de dimensión $2$ (canónica base $e_1, e_2$ ) — y una $\R$ -espacio vectorial de dimensión $4$ , con base

(1, 0),\quad (\iu, 0),\quad (0, 1),\quad (0, \iu):

cada $(z, w) = (a + \iu b,\ c + \iu d)$ tiene coordenadas real $(a, b, c, d)$ , únicamente. La dimensión no es una propiedad del conjunto de vectores solo: cuenta los grados de libertad relativo a los escalares permitidos y reduce a la mitad el suministro escalar de $\C$ a $\R$ duplica el recuento. (El problema del fin de semana explota el caso extremo de esta sensibilidad, con escalares reducidos todo el camino a $\Q$ .)

Ejemplo 19.7 (Ejecutando el algoritmo de finalización)

Complete el familia libre $\bigl((1,1,1)\bigr)$ en un base de $\R^3$ usando los vectores canónicos. Ejecute la prueba de Teorema 19.4 (2) en la familia generadora $(e_1, e_2, e_3)$ : ¿es $e_1 \in \operatorname{Vect}(1,1,1)$ ? No (múltiplos de $(1,1,1)$ tienen igual coordenadas) — añádelo. ¿Es $e_2 \in \operatorname{Vect}\bigl((1,1,1), e_1\bigr)$ ? una combinación $\alpha(1,1,1) + \beta e_1$ tiene igual segundo y tercer lugar coordenadas y $e_2$ no lo agregan. la familia $\bigl((1,1,1), e_1, e_2\bigr)$ es libre con vectores $3$ : detener, es un base (Proposición 19.8 hará esto funcionario reflejo). Tenga en cuenta que el resultado depende del orden en el que Se escanean los $g_j$ : la finalización es un algoritmo, no una fórmula.

Proposición 19.8 (La regla del dos de tres)

Dejemos que $\dim E = n$ y $\mathcal{F}$ sean una familia de vectores exactamente $n$ . de $E$ . entonces

\mathcal{F} \text{ free} \iff \mathcal{F} \text{ generating} \iff \mathcal{F} \text{ basis}.

Además, cualquier familia libre tiene vectores $\leq n$ , cualquier familia generadora $\geq n$ .

Demostración. Los límites cardinalidad son el lema de intercambio frente a base. si $\mathcal{F}$ (tamaño $n$ ) es libre pero no genera, algunas mentiras $x$ fuera de su engendrado; agregar $x$ da un familia libre de $n + 1$ vectores: imposible. Si $\mathcal{F}$ se está generando pero no libre, extraer un base (Teorema 19.4 (1)) da un base de $< n$ vectores: imposible. ∎

Ejemplo 19.9 (Dos de tres, ahorrando la mitad del trabajo)

¿Es $\bigl((1,1,0), (0,1,1), (1,0,1)\bigr)$ un base de $\R^3$ ? Cuenta: tres vectores, dimensión tres — así que solo libertad decide. Una combinación nula da $a + c = 0$ , $a + b = 0$ , $b + c = 0$ ; sumando los tres, $2(a + b + c) = 0$ , y restando cada ecuación original de $a + b + c = 0$ deja $b = c = a = 0$ : libre, por lo tanto, un base, con la mitad generadora de verificación proporcionada por el teorema de forma gratuita. Comparar Ejemplo 18.18, donde el mismo doble la verificación tuvo que hacerse a mano — un capítulo de teoría se convierte exactamente en ese ahorro, en cada cheque base para el resto del libro.

Método 19.10 (Calcular una dimensión)

Tres rutas estándar, en orden decreciente de frecuencia.

Parametrize, then read off a base. Resuelve el definir restricciones, expresar el elemento general linealmente en los parámetros supervivientes y compruebe que los vectores que multiplican los parámetros son libre: el La dimensión es el número de parámetros. (Corre a continuación en un concreto subespacio de $\R^4$ .)
Exhibit a biyectivo linear parametrization. Cuando los elementos están determinados por un número finito de valores — condiciones iniciales de una recurrencia (Ejercicio 19.10), coeficientes de una solución fórmula (Ejemplo 19.5) — la dimensión es el número de esos valores.
Usa las fórmulas. Grassmann para intersecciones y sumas, rango para engendran, y rango posterior - nulidad para núcleos e imágenes: las dimensiones suelen ser calculado, no adivinado.

En las tres rutas, la regla de dos de tres es el finalizador: una vez que el conteo coincide, concluye la libertad o generación sola.

Ejemplo 19.11 (Ruta 1, completa)

Dimensión de $H = \{(x, y, z, t) \in \R^4 : x + y + z + t = 0 \text{ and } x = t\}$ . Resuelva: $t = x$ y $y + z = -2x$ , entonces $z = -2x - y$ con $x, y$ libre:

(x,\ y,\ -2x - y,\ x) = x\,(1, 0, -2, 1) + y\,(0, 1, -1, 0) .

Los dos vectores son libre (mira los dos primeros coordenadas: $(x, y) = (0,0)$ ), por lo que forman un base de $H$ y $\dim H = 2$ . El recuento era predecible: dos restricciones lineales independientes. en $\R^4$ cada uno debería comer una dimensión — pero el la parametrización demuestra que y entrega un base, que la predicción por sí sola nunca lo hace; Ejercicio 19.9 hace el lema "cada ecuación devora como máximo una dimensión" en una teorema.

Ejemplo 19.12 (Ruta 2 completa)

Dimensión de $W = \{P \in \R_n[X] : P(1) = P(2) = 0\}$ (para $n \geq 2$ ). Por el teorema del factor aplicado dos veces (Teorema 8.7; las raíces $1$ y $2$ son distintas), $P \in W$ exactamente cuando $P = (X - 1)(X - 2)\,Q$ con $\deg Q \leq n - 2$ . La correspondencia $Q \mapsto (X-1)(X-2)Q$ es lineal, alcanza todo $W$ y es inyectivo (un producto es cero sólo si $Q = 0$ ): $W$ está parametrizado por biyectivamente y linealmente por $\R_{n-2}[X]$ , entonces

\dim W = \dim \R_{n-2}[X] = n - 1 .

Un base viene con la parametrización: las imágenes del monomios, $\bigl((X-1)(X-2),\ (X-1)(X-2)X,\ \dots,\ (X-1)(X-2)X^{n-2}\bigr)$ . Cada nueva restricción de evaluación en un punto fresco cuesta exactamente una dimensión — el conteo columna vertebral de interpolación de Lagrange (Teorema 8.23).

Ejemplo 19.13 (Una restricción integral también cuesta una dimensión.)

Dimensión de $H = \{P \in \R_2[X] : \int_0^1 P = 0\}$ . escribiendo $P = a + bX + cX^2$ , la restricción dice $a + \frac b2 + \frac c3 = 0$ ; resuelva para $a$ y parametrice:

P = b\Bigl(X - \frac12\Bigr) + c\Bigl(X^2 - \frac13\Bigr),

entonces $H = \operatorname{Vect}\bigl(X - \frac12,\ X^2 - \frac13\bigr)$ , dimensión $2$ (los dos polinomios tienen distintos grados: libre). Una condición lineal: ya sea una evaluación, un integral, o cualquier otra receta lineal — elimina como máximo un dimensión, y exactamente una tan pronto como la condición no sea idénticamente cero. Capítulo 20 nombrará dichas recetas formas lineales y su solución conjuntos hiperplanos; los vectores base encontrados aquí reaparecen en Capítulo 23 como el inicio de la familia Legendre.

19.2 Subespacios, rango, Grassmann

Teorema 19.14 (Subespacios)

Sea $E$ de dimensión finita y $F$ un subespacio. Entonces $F$ es de dimensión finita, $\dim F \leq \dim E$ , con igualdad si y sólo si $F = E$ . Además cada subespacio tiene un suplementario subespacio.

Demostración. Las familias Libre de $F$ tienen como máximo vectores $\dim E$ (lema de intercambio en $E$ : un familia libre de $F$ es en particular libre en $E$ , y $E$ tiene una familia generativa finita). Entre las familias libre de $F$ elija uno de máximo tamaño $p$ — posible debido a los tamaños son números enteros acotados por $\dim E$ . Genera $F$ : en caso contrario algunos $x \in F$ estaría fuera de su engendrado y agregar $x$ daría un familia libre de $F$ de tamaño $p + 1$ (Proposición 18.19 (2)), contradiciendo maximalidad. Siendo libre y generando, es un base de $F$ , y $\dim F = p \leq \dim E$ . Si $p = \dim E = n$ : a familia libre de $n$ vectores de $E$ es un base de $E$ (Proposición 19.8), por lo que $F \supseteq \operatorname{span} = E$ . Suplementario: completar un base $(f_1, \dots, f_p)$ de $F$ en un base $(f_1, \dots, f_p, g_{p+1}, \dots, g_n)$ de $E$ (teorema base incompleto); entonces $G = \operatorname{Vect}(g_{p+1}, \dots, g_n)$ satisface $E = F \oplus G$ (existencia y unicidad de descomposiciones = coordenadas en el grande base). ∎

Definición 19.15 (Rango de una familia)

El rango de una familia finita de vectores es la dimensión de su engendrado: $\operatorname{rk}(x_1, \dots, x_p) = \dim \operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p) \leq \min(p, \dim E)$ , con igualdad a $p$ si la familia es libre.

Ejemplo 19.16 (Calcular un rango por eliminación)

Rango de $\bigl((1,2,3), (2,3,4), (3,4,5), (1,1,1)\bigr)$ en $\R^3$ . El engendrado no cambia cuando se resta de un vector un combinación de los demás (ambas familias engendrado iguales combinaciones): reemplace $(2,3,4)$ por $(2,3,4) - (1,2,3) = (1,1,1)$ y $(3,4,5)$ por $(3,4,5) - (1,2,3) = (2,2,2)$ . El engendrado ya está $\operatorname{Vect}\bigl((1,2,3), (1,1,1), (2,2,2), (1,1,1)\bigr) = \operatorname{Vect}\bigl((1,2,3), (1,1,1)\bigr)$ , y estos dos vectores no son proporcionales: el rango es $2$ . esto El procedimiento de resta y descarte se sistematiza como gaussiano. eliminación en Capítulo 22.

Ejemplo 19.17 (Suma por concatenación)

Tomar, en $\R^3$ ,

F = \operatorname{Vect}\bigl((1,2,3),\ (1,1,1)\bigr), \qquad G = \operatorname{Vect}\bigl((2,3,4)\bigr) .

La suma $F + G$ está abarcada por la familia concatenada de todos tres generadores, y

(2, 3, 4) = (1, 2, 3) + (1, 1, 1)

muestra que el tercero es redundante: $F + G = F$ , de dimensión $2$ — equivalentemente $G \subseteq F$ , que muestra la relación. Grassmann confirma: $\dim(F \cap G) = 2 + 1 - 2 = 1 = \dim G$ . Las sumas se calculan concatenando generadores y luego reduciendo la pila mediante el algoritmo rango; Nunca se necesita ninguna técnica nueva.

Teorema 19.18 (fórmula de Grassmann)

Para de dimensión finita subespacios $F, G$ de $E$ :

\dim(F + G) = \dim F + \dim G - \dim(F \cap G) .

En particular, $F + G$ es directo si $\dim(F + G) = \dim F + \dim G$ .

Demostración. Parta de una base $(e_1, \dots, e_r)$ de $F \cap G$ ; complétela en una base $(e_1, \dots, e_r, f_1, \dots, f_s)$ de $F$ y en una base $(e_1, \dots, e_r, g_1, \dots, g_t)$ de $G$ (Teorema 19.4 (2)). Afirmamos que

\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_r, f_1, \dots, f_s, g_1, \dots, g_t)

es un base de $F + G$ ; la fórmula sigue contando: $(r + s) + (r + t) - r = r + s + t$ .

$\mathcal{B}$ genera $F + G$ : cualquier $u + v$ ( $u \in F$ , $v \in G$ ) se expande a través de él. Libertad: supongamos $\sum \alpha_i e_i + \sum \beta_j f_j + \sum \gamma_k g_k = 0$ . El vector $w = \sum \gamma_k g_k = -\sum\alpha_i e_i - \sum\beta_j f_j$ se encuentra en $G \cap F$ , por lo que se expande solo en $(e_i)$ ; pero $w$ también amplía $(g_k)$ , y en el base de $G$ estas dos expresiones deben coincidir: todas $\gamma_k = 0$ (y las coordenadas $e$ coinciden). La relación se reduce a $\sum\alpha_i e_i + \sum\beta_j f_j = 0$ , una relación en el base de $F$ : todos los coeficientes restantes desaparecen. ∎

Ejemplo 19.19

Dos planos distintos $F, G$ (dimensión $2$ ) de $\R^3$ satisfacen $F + G = \R^3$ (su suma contiene estrictamente un plano), por lo que $\dim(F \cap G) = 2 + 2 - 3 = 1$ : siempre se cruzan a lo largo de una línea — no “planos paralelos” que pasan por el origen.

Ejemplo 19.20 (Grassmann en acción, en $\R^4$ )

Deja $F = \operatorname{Vect}\bigl(e_1,\ e_2,\ (1,1,1,0)\bigr)$ y $G = \operatorname{Vect}(e_3, e_4)$ en $\R^4$ . Dimensiones: $\dim F = 3$ (el tercer generador tiene una tercera coordenada distinta de cero, fuera de $\operatorname{Vect}(e_1, e_2)$ ) y $\dim G = 2$ . Suma: $F + G$ contiene $e_1, e_2, e_4$ y $e_3 = (1,1,1,0) - e_1 - e_2$ : es todo $\R^4$ . Grassmann luego calcula el tamaño de la intersección sin eliminación alguna:

\dim(F \cap G) = 3 + 2 - 4 = 1 .

Para identificar la línea, mire dentro de $G$ : un vector $(0, 0, c, d)$ se encuentra en $F$ exactamente cuando es $a e_1 + b e_2 + \lambda(1,1,1,0)$ , forzando $\lambda = -a = -b$ y $d = 0$ : la intersección es $\operatorname{Vect}(e_3)$ — consistente, ya que $e_3$ fue exhibido en $F$ arriba y se encuentra en $G$ por definición. Típico División del trabajo: Grassmann predice que cuánto buscará para, el sistema lineal encuentra qué.

Ejemplo 19.21 (Intersección por ecuaciones)

Cuando ambos subespacios vienen como solución conjuntos, la intersección es simplemente apilando las ecuaciones. En $\R^3$ : $F = \{x + y + z = 0\}$ y $G = \{x = y\}$ dar

F \cap G = \{x = y,\ 2x + z = 0\} = \{(x,\ x,\ -2x)\} = \operatorname{Vect}(1, 1, -2),

una línea. Verificación cruzada por Grassmann: $F + G = \R^3$ (los aviones son distintos, por lo que su suma contiene estrictamente un plano), por lo tanto $\dim(F\cap G) = 2 + 2 - 3 = 1$ . Las dos descripciones de un subespacio — por ecuaciones, por generadores — cada uno hace uno operación trivial: ecuaciones se cruzan mediante apilamiento, generadores suma mediante concatenación; convertir entre ellos es exactamente lo que Resolver un sistema lineal significa (Capítulo 22).

Observación 19.22 (Errores comunes)

Las dimensiones no se suman a lo largo de las sumas. a menos que la suma sea directa: dos aviones de $\R^3$ tienen $\dim(F + G) = 3$ , no $4$ ; siempre correcto por el término de intersección (Grassmann). Una inclusión necesita la dimensión y la inclusión: $\dim F = \dim G$ por sí solo nunca da $F = G$ (dos líneas distintas de $\R^2$ ); el caso de igualdad de Teorema 19.14 requiere $F \subseteq G$ primero. Contar los parámetros aún no es una prueba.: “dos ecuaciones en $\R^4$ , por lo que la dimensión $2$ ” falla cuando las ecuaciones son dependiente ( $x + y = 0$ y $2x + 2y = 0$ dejan la dimensión $3$ ); sólo decide una parametrización real o un cálculo rango. Do not speak of the dimension of a no subespacial: solución conjuntos de los sistemas heterogéneo pierden $0$ ; su "dimensión" es el del espacio de solución homogéneo asociado (Capítulo 22 hace esto preciso). La dimensión infinita existe: $K[X]$ contiene familias libre de todos los tamaños (los monomios), por lo que no hay una familia generadora finita puede existir — enunciados como la regla de dos de tres son estrictamente de dimensión finita y falla gravemente en $K[X]$ (Corolario 20.9 mostrará lo mismo para inyectividad/suryectividad). Rango trata del engendrado, no de la lista: repitiendo un vector, reordenar o cambiar la escala mediante constantes distintas de cero deja el rango sin cambios, y $\operatorname{rk} = p$ (el número de vectores) es un propiedad para probar — es exactamente libertad. un familia de vectores $5$ de rango $2$ lleva el valor de tres vectores de despido, cuya eliminación (Ejemplo 19.16) localiza explícitamente.

Observación 19.23 (Dónde funciona la dimensión)

La dimensión es el argumento de conteo favorito del libro a partir de ahora. Capítulo 20 demuestra el teorema de nulidad de rango, el versión funcional de la fórmula de Grassmann; Capítulo 21 calcula rangos mediante reducción de filas; Capítulo 22 se convierte en “ $n$ los vectores de $K^n$ forman un base” en un número distinto de cero. el El siguiente problema de fin de semana muestra la dimensión haciendo aritmética: contar dimensiones sobre el campo $\Q$ demuestra la irracionalidad enunciados que parecen intocables a mano. En el volumen Year 3 el Los mismos recuentos de dimensiones, refinados por la teoría grupo, deciden qué Los problemas de construcción clásicos tienen solución — esa historia es Teoría de Galois.

Observación 19.24 (Perspectivas dentro del Libro 3)

La dimensión es la cantidad conservada del resto de este volumen, y vale la pena nombrar de antemano las leyes de conservación. Capítulo 20 demuestra $\dim E = \dim\ker u + \operatorname{rk} u$ : lo que aplasta una aplicación lineal más lo que mantiene siempre los totales de la fuente. Capítulo 22 refina esto en la estructura de la solución conjuntos: $p$ incógnitas menos $\operatorname{rk} A$ pivota sale de la dimensión del espacio de solución, que la eliminación gaussiana muestra como libre parámetros. Capítulo 23 divide $\dim E = \dim F + \dim F^\perp$ ortogonalmente y el problema del fin de semana de Capítulo 25 gasta exactamente este presupuesto: datos $n$ puntos, $2$ parámetros ajustados, $n - 2$ dimensiones del residual. Siempre que un conteo se niegue a equilibrarse en un capítulo posterior, el El error es un núcleo olvidado o una suma no directa. Vuelve a Primero la fórmula de Grassmann.

19.3 Ceremonias

Ejercicio 19.1 ★

Dé un base y la dimensión de:

$F = \{(x,y,z) \in \R^3 : x + y + z = 0\}$ ;
$G = \{(x,y,z,t) \in \R^4 : x = y,\ z = 2t\}$ ;
$H = \{P \in \R_3[X] : P(1) = P'(1) = 0\}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 19.1.

$z = -x - y$ : $F = \{(x, y, -x-y)\} = \operatorname{Vect}\bigl((1,0,-1), (0,1,-1)\bigr)$ ; los dos los vectores son libre (coordenadas): $\dim F = 2$ .
$G = \{(x, x, 2t, t)\} = \operatorname{Vect}\bigl((1,1,0,0), (0,0,2,1)\bigr)$ : libre, $\dim G = 2$ .
$P(1) = P'(1) = 0$ significa $(X-1)^2 \mid P$ (Proposición 8.11): $P = (X-1)^2(aX + b)$ . Base $\bigl((X-1)^2, X(X-1)^2\bigr)$ , dimensión $2$ .

Ejercicio 19.2 ★

Calcular el rango de la familia. $\bigl((1,1,1), (1,2,3), (3,5,7), (0,1,2)\bigr)$ en $\R^3$ , y extraiga un base de su engendrado.

Solución

Solución de Ejercicio 19.2.

$(3,5,7) = (1,1,1) + 2(1,2,3)$ and $(0,1,2) = (1,2,3) - (1,1,1)$ : ambos son combinaciones de los dos primeros, que son libre (no proporcional). Rango $2$ ; base del engendrado: $\bigl((1,1,1), (1,2,3)\bigr)$ .

Ejercicio 19.3 ★

Complete el familia libre $\bigl((1,1,0,0), (0,0,1,1)\bigr)$ en un base de $\R^4$ usando vectores canónicos y justifique.

Solución

Solución de Ejercicio 19.3.

Intente agregar $e_1 = (1,0,0,0)$ y $e_3 = (0,0,1,0)$ . la familia $\bigl((1,1,0,0), (0,0,1,1), e_1, e_3\bigr)$ es libre: un valor nulo La combinación $\alpha(1,1,0,0) + \beta(0,0,1,1) + \gamma e_1 + \delta e_3 = 0$ lee $(\alpha + \gamma, \alpha, \beta + \delta, \beta) = 0$ , por lo que $\alpha = \beta = 0$ y luego $\gamma = \delta = 0$ . Cuatro libre vectores en dimensión $4$ : a base (Proposición 19.8).

Ejercicio 19.4 ★

Demuestre que $\bigl(1, X, X(X-1), X(X-1)(X-2)\bigr)$ es un base de $\R_3[X]$ , y busque el coordenadas de $X^3$ en él.

Solución

Solución de Ejercicio 19.4.

Grados $0, 1, 2, 3$ distintos por pares: libre (Proposición 18.19), cuatro vectores en dimensión $4$ : base. Para $X^3$ : expandir hacia abajo,

X(X-1)(X-2) = X^3 - 3X^2 + 2X, \qquad X(X-1) = X^2 - X,

entonces $X^3 - X(X-1)(X-2) = 3X^2 - 2X$ ; y $3X^2 - 2X = 3(X^2 - X) + X = 3\,X(X-1) + X$ . Por lo tanto

X^3 = X(X-1)(X-2) + 3\,X(X-1) + 1\cdot X + 0\cdot 1 :

coordenadas $(0, 1, 3, 1)$ en $\bigl(1, X, X(X-1), X(X-1)(X-2)\bigr)$ . (Estos son números de Stirling disfrazados).

Ejercicio 19.5 ★★

Sean $F$ y $G$ subespacios de dimensiones $4$ y $5$ de un espacio $E$ con $\dim E = 7$ . ¿Cuáles son los valores posibles de $\dim(F \cap G)$ ? Proporcione una instancia que realice cada valor con $E = \R^7$ .

Solución

Solución de Ejercicio 19.5.

Grassmann: $\dim(F \cap G) = 4 + 5 - \dim(F + G)$ y $F + G$ es un subespacio de $E$ que contiene $G$ : $5 \leq \dim(F+G) \leq 7$ . Por lo tanto $\dim(F \cap G) \in \{2, 3, 4\}$ . Realizaciones en $\R^7$ con canónico base $(e_1, \dots, e_7)$ , tomando $G = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_5)$ :

$F = \operatorname{Vect}(e_1, e_2, e_6, e_7)$ : $F + G = \R^7$ , intersección $\operatorname{Vect}(e_1, e_2)$ , dimensión $2$ ;
$F = \operatorname{Vect}(e_1, e_2, e_3, e_6)$ : intersección de dimensión $3$ ;
$F = \operatorname{Vect}(e_1, e_2, e_3, e_4) \subseteq G$ : dimensión $4$ .

Ejercicio 19.6 ★★

Sea $H = \{P \in \R_n[X] : P(1) = 0\}$ . Demuestre que $H$ es un hiperplano de $\R_n[X]$ (un subespacio de dimensión $n$ ), exhibe un base de $H$ (piense en el teorema del factor: $P = (X-1)Q$ ), y proporcione una línea suplementario.

Solución

Solución de Ejercicio 19.6.

$H$ es un subespacio (Ejercicio 18.1 (4) palabra por palabra). por el teorema del factor (Teorema 8.7), $P \in H \iff P = (X-1)Q$ con $\deg Q \leq n - 1$ : la aplicación $Q \mapsto (X-1)Q$ es un biyección lineal de $\R_{n-1}[X]$ a $H$ , por lo que base de $H$ es

\bigl((X-1),\ (X-1)X,\ (X-1)X^2,\ \dots,\ (X-1)X^{n-1}\bigr), \qquad \dim H = n .

Una línea suplementario: $\operatorname{Vect}(1)$ (constantes). De hecho $H \cap \operatorname{Vect}(1) = \{0\}$ (una constante distinta de cero no desaparecen en $1$ ) y las dimensiones suman $n + 1$ : por Grassmann, $H \oplus \operatorname{Vect}(1) = \R_n[X]$ .

Ejercicio 19.7 ★★

Sean $u_1, \dots, u_p$ vectores de rango $r$ . Demostrar que eliminando un vector produce una familia de rango $r$ o $r - 1$ , y que agregar un vector produce rango $r$ o $r + 1$ . Deduce que rango cambia como máximo $1$ bajo cualquier inserción o eliminación.

Solución

Solución de Ejercicio 19.7.

Eliminación: al eliminar $u_p$ , engendrado solo puede reducirse; y se encoge por como máximo una dimensión, ya que agregar $u_p$ nuevamente a un base del El engendrado más pequeño proporciona una familia generadora del más grande con como máximo un vector adicional. Simétricamente, añadiendo un vector $v$ : el nuevo engendrado contiene el antiguo con como máximo un generador adicional, por lo que la dimensión es $r$ (si $v$ ya estaba en engendrado) o $r + 1$ (en caso contrario, por Proposición 18.19 (2) a base se extiende). Ambos enunciados juntos dan el “rango es $1$ -Lipschitz” conclusión.

Ejercicio 19.8 ★★★

Sea $F_1 \subseteq F_2 \subseteq \dots \subseteq F_k$ subespacios de $E$ ( $\dim E = n$ ) con $F_i \neq F_{i+1}$ para todos los $i$ . Prueba $k \leq n + 1$ . Deducir que una cadena estrictamente creciente de subespacios de $\R^n$ tiene una longitud máxima de $n + 1$ y exhibe una de máxima longitud.

Solución

Solución de Ejercicio 19.8.

A lo largo de una cadena estrictamente creciente, las dimensiones aumentan estrictamente ( $F_i \subseteq F_{i+1}$ , $F_i \neq F_{i+1}$ y Teorema 19.14: igualdad de dimensiones obligaría igualdad de espacios). Entonces $\dim F_1 < \dim F_2 < \dots < \dim F_k$ es una secuencia estrictamente creciente de números enteros en $\intint{0}{n}$ : en la mayoría de los valores $n + 1$ , $k \leq n + 1$ . Cadena máxima en $\R^n$ :

\{0\} \subsetneq \operatorname{Vect}(e_1) \subsetneq \operatorname{Vect}(e_1, e_2) \subsetneq \dots \subsetneq \R^n ,

de longitud exactamente $n + 1$ .

Ejercicio 19.9 ★★★

Sean $E$ de dimensión $n$ y $F$ , $G$ dos hiperplanos (dimensión $n - 1$ ), $F \neq G$ . Calcule $\dim(F \cap G)$ . Generalizar: el La intersección de los hiperplanos $k$ tiene la dimensión $\geq n - k$ .

Solución

Solución de Ejercicio 19.9.

$F + G$ contiene estrictamente $F$ (desde $G \not\subseteq F$ ), por lo que $\dim(F + G) = n$ y Grassmann da $\dim(F \cap G) = (n-1) + (n-1) - n = n - 2$ .

Reclamación general, por inducción sobre $k$ : la intersección $I_k$ de $k$ hiperplanos tiene $\dim I_k \geq n - k$ . Verdadero para $k = 1$ . Paso: $I_{k+1} = I_k \cap H_{k+1}$ y Grassmann dentro de $E$ :

\dim(I_k \cap H_{k+1}) = \dim I_k + (n - 1) - \dim(I_k + H_{k+1}) \geq \dim I_k + (n-1) - n \geq n - k - 1 . \qedhere

Ejercicio 19.10 ★★

Sea $E$ el conjunto de secuencias reales que satisfacen $u_{n+2} = 3u_{n+1} - 2u_n$ para todo $n$ .

Demuestre que $E$ es un subespacio del espacio de secuencias, y que una secuencia de $E$ está enteramente determinada, linealmente, por el par $(u_0, u_1)$ ; deducir $\dim E = 2$ .
Comprobar que la secuencia constante $(1)$ y la geometría La secuencia $(2^n)$ se encuentra en $E$ y forma una base de $E$ .
Encuentre la secuencia de $E$ con $u_0 = 0$ , $u_1 = 1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 19.10.

La condición $u_{n+2} - 3u_{n+1} + 2u_n = 0$ es lineal. y satisfecho por la secuencia cero: $E$ es un subespacio. Por inducción, $u_0$ y $u_1$ determinan cada $u_n$ , y el La dependencia es lineal (cada paso es una combinación lineal de los dos valores anteriores); por el contrario cada par $(a, b)$ surge exactamente de una secuencia de $E$ (definir $u_n$ por la recurrencia). Como en Ejemplo 19.5, $E$ es parametrizado biyectivamente y linealmente por $(u_0, u_1) \in \R^2$ : $\dim E = 2$ .
Constantes: $3\cdot1 - 2\cdot1 = 1$ . Geométrico: $3\cdot 2^{n+1} - 2\cdot 2^n = (6 - 2)2^n = 2^{n+2}$ . Ambos se encuentran en $E$ . Libertad: $a\cdot 1 + b\cdot 2^n = 0$ para todos $n$ da, en $n = 0$ y $n = 1$ : $a + b = 0$ , $a + 2b = 0$ , Entonces $a = b = 0$ . Dos vectores libre en la dimensión $2$ : a base (Proposición 19.8).
Resuelve $a + b = 0$ , $a + 2b = 1$ : $b = 1$ , $a = -1$ , entonces $u_n = 2^n - 1$ (la secuencia de Mersenne).

Ejercicio 19.11 ★★

Sea $E$ de dimensión $n$ .

Si $F, G$ son subespacios con $\dim F + \dim G > n$ , demostrar $F \cap G \neq \{0\}$ . Ilustre: dos subespacios de dimensiones $51$ y $50$ de $\R^{100}$ siempre comparten una vector distinto de cero.
Si $H$ es un hiperplano y $F$ un subespacio con $F \cap H = \{0\}$ , demuestre $\dim F \leq 1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 19.11.

Grassmann: $\dim(F \cap G) = \dim F + \dim G - \dim(F + G) \geq \dim F + \dim G - n > 0$ , entonces $F \cap G \neq \{0\}$ . Con $n = 100$ : $51 + 50 - 100 = 1 > 0$ , el la intersección contiene una línea.
Si $F \cap H = \{0\}$ , la suma es directa y $\dim F + (n - 1) = \dim(F \oplus H) \leq n$ , entonces $\dim F \leq 1$ . (Por el contrario, una línea no contenida en $H$ satisface esto: los hiperplanos no pierden casi nada.)

Ejercicio 19.12 ★★★

(Común suplementario) Sea $F, G$ subespacios de $E$ (finito dimensión) con $\dim F = \dim G$ . Demostrar que $F$ y $G$ admiten una común suplementario: hay un subespacio $S$ con $E = F \oplus S = G \oplus S$ . (Induct downward on $\dim F$ : if $F \neq G \neq E$ , pick $x \notin F \cup G$ — Ejercicio 18.12 allows it — and consider $F \oplus \operatorname{Vect}(x)$ and $G \oplus \operatorname{Vect}(x)$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 19.12.

Inducción descendente en $d = \dim F = \dim G$ , de $d = n$ a $d = 0$ . Si $d = n$ : $F = G = E$ y $S = \{0\}$ funcionan. Supongamos que el enunciado se mantiene para subespacio pares de dimensiones $d + 1 \leq n$ , y deje $\dim F = \dim G = d < n$ .

Si $F = G$ : tomar para $S$ cualquier suplementario de $F$ (Teorema 19.14). Si $F \neq G$ : ambos son correctos, entonces por Ejercicio 18.12 existe $x \notin F \cup G$ . Las sumas $F' = F \oplus \operatorname{Vect}(x)$ y $G' = G \oplus \operatorname{Vect}(x)$ son directas ( $x \notin F$ , $x \notin G$ ) y tiene dimensión $d + 1$ ; por la hipótesis de inducción ellos admitir un suplementario $S'$ : $E = F' \oplus S' = G' \oplus S'$ común. Establecer $S = \operatorname{Vect}(x) \oplus S'$ — directo, porque $S' \cap \operatorname{Vect}(x) \subseteq S' \cap F' = \{0\}$ .

Luego $F + S = F + \operatorname{Vect}(x) + S' = F' + S' = E$ , y $F \cap S = \{0\}$ : si $f = \lambda x + s'$ con $f \in F$ , $s' \in S'$ , entonces $s' = f - \lambda x \in F' \cap S' = \{0\}$ , entonces $f = \lambda x$ , forzando a $\lambda = 0$ ( $x \notin F$ ) y $f = 0$ . Por tanto $E = F \oplus S$ , y simétricamente $E = G \oplus S$ .

19.4 Problema: la ley de la torre de Dedekind

Problema 19.1

Nada en los Capítulos 18 y 19 usó nada sobre los escalares más allá los axiomas campo (Definición 7.22): uno puede por lo tanto tome $K = \Q$ y mida conjuntos de números reales con el criterio de dimensión $\Q$ . Este problema calcula la dimensión de $\Q(\sqrt2, \sqrt3)$ , prueba Dedekind’s torre ley $\dim_\Q M = \dim_\Q K \cdot \dim_K M$ y cosecha teoremas de irracionalidad por conteo de dimensiones puras — no $\varepsilon$ , sin decimales, solo bases.

Parte I — Rational scalars.

Compruebe que $\Q$ sea campo y que todas las definiciones y La prueba de los Capítulos 18-19 utiliza sólo los axiomas campo de la escalares; concluir que $\R$ es un espacio vectorial $\Q$ y que el lema de intercambio, los teoremas base y La fórmula de Grassmann se mantiene sobre $\Q$ . Señale el único paso de la prueba de Teorema 19.2 donde Se realiza la división por un escalar distinto de cero.
Mostrar que $(1, \sqrt2)$ es libre sobre $\Q$ pero vinculado $\R$ . Establecer $\Q(\sqrt2) = \operatorname{Vect}_\Q(1, \sqrt2) = \{a + b\sqrt2 : a, b \in \Q\}$ ; que es $\dim_\Q \Q(\sqrt2)$ ?
Demuestre que $\Q(\sqrt2)$ es estable bajo multiplicación. Para $u = a + b\sqrt2$ configure $\sigma(u) = a - b\sqrt2$ y $N(u) = u\,\sigma(u) = a^2 - 2b^2$ . Mostrar $\sigma(uv) = \sigma(u)\sigma(v)$ , deducir $N(uv) = N(u)N(v)$ y mostrar $N(u) \neq 0$ siempre que $u \neq 0$ .
Deduzca que todo $u \in \Q(\sqrt2)$ distinto de cero tiene su inverso en $\Q(\sqrt2)$ , es decir, $u^{-1} = \sigma(u)/N(u)$ : $\Q(\sqrt2)$ es un subcampo de $\R$ . Calcule $\dfrac1{3 + 2\sqrt2}$ y $\dfrac1{1 + \sqrt2}$ .

Parte II — Adjoining $\sqrt3$ .

Demuestre que $\sqrt6 \notin \Q$ (compare the exponent of $2$ on both sides of $6q^2 = p^2$ , as in Ejercicio 6.7), luego que $\sqrt3 \notin \Q(\sqrt2)$ (square $\sqrt3 = a + b\sqrt2$ and discuss the cases $ab \neq 0$ , $b = 0$ , $a = 0$ ).
Vamos $M = \operatorname{Vect}_\Q(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ . Demuestre que $M$ es estable bajo multiplicación (a table of the products of base vectors suffices).
Escribe $K = \Q(\sqrt2)$ . Demuestre que $(1, \sqrt3)$ es libre over the campo $K$ , y deducir que $M = K + K\sqrt3$ es un espacio vectorial $K$ de dimensión $2$ con base $(1, \sqrt3)$ .
Demuestre que $(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ ha terminado libre $\Q$ , por lo tanto $\dim_\Q M = 4$ . (Group a null relation as $(a + b\sqrt2) + (c + d\sqrt2)\sqrt3 = 0$ and apply questions 7 then 2.)

Parte III — The ley de la torre. Sea $\Q \subseteq K \subseteq M \subseteq \R$ donde $K$ y $M$ son subcampos, $(e_1, \dots, e_m)$ es un base de $K$ como un espacio vectorial $\Q$ y $(f_1, \dots, f_n)$ un base de $M$ como un espacio vectorial $K$ .

Mostrar que los productos $mn$ $(e_i f_j)$ generan $M$ en $\Q$ .
Demuestre que la familia $(e_i f_j)$ es libre sobre $\Q$ . (Reorganize a null $\Q$ -combination as $\sum_j \bigl(\sum_i \lambda_{ij} e_i\bigr) f_j$ , whose inner coefficients live in $K$ .)
Concluye con Dedekind’s ley de la torre:

$\dim_\Q M \;=\; \dim_\Q K \,\cdot\, \dim_K M ,$

y compruébalo en $\Q \subseteq \Q(\sqrt2) \subseteq M$ contra las preguntas 7 y 8.
(Campos libre) Deja que $A \subseteq \R$ sea un de dimensión finita $\Q$ -subespacio que contiene $1$ y estable bajo multiplicación, y deje $u \in A$ , $u \neq 0$ . Demuestre que si $(a_1, \dots, a_d)$ es un base de $A$ , entonces $(u a_1, \dots, u a_d)$ es nuevamente un base de $A$ ; deducir que $u$ tiene un in $A$ inverso: $A$ es un subcampo de $\R$ . ¿Qué preguntas anteriores hacen esto? recuperarse?
Demuestre que por cada $x \in A$ (como en la pregunta 12, $\dim_\Q A = d$ ) la familia $(1, x, x^2, \dots, x^{d})$ está vinculada: cada elemento de $A$ es una raíz de un polinomio distinto de cero con coeficientes racionales, de grado como máximo $d$ .

Parte IV — One number generates everything. Establezca $s = \sqrt2 + \sqrt3$ .

Calcular el coordenadas de $s^2$ , $s^3$ y $s^4$ en el base $(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ de $M$ .
Muestre que $(1, s, s^2, s^3)$ es libre sobre $\Q$ y deduzca $\operatorname{Vect}_\Q(1, s, s^2, s^3) = M$ : cada El elemento de $M$ es un polinomio racional en $s$ . expreso $\sqrt2$ y $\sqrt3$ como tales polinomios.
Verifique $s^4 - 10s^2 + 1 = 0$ y muestre que $X^4 - 10X^2 + 1$ es polinomio mónico of least degree. desapareciendo en $s$ . Determina sus cuatro raíces reales.
Deducir: $1/s = 10s - s^3$ ; identificar este número. Mostrar que $a + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6$ ( $a,b,c,d \in \Q$ ) es racional si y sólo si $b = c = d = 0$ ; en particular $\sqrt2 + \sqrt3 + \sqrt6$ es irracional (fortalecimiento Ejercicio 10.7).

Part V — The cube root sigue siendo outside. Establecer $t = 2^{1/3}$ .

Demuestre que $X^3 - 2$ no tiene raíz racional (the rational-root criterion of Ejercicio 8.5, or a valuation count); deducir que $(1, t)$ es libre terminado $\Q$ .
Demuestre que $(1, t, t^2)$ es libre sobre $\Q$ . (Si alguna nonzero $P \in \Q[X]$ of degree $\leq 2$ kills $t$ , take one of least degree and divide $X^3 - 2$ by it, Teorema 8.3; conclude that $X^3 - 2$ would have a rational root.) Deduzca que $A = \operatorname{Vect}_\Q(1, t, t^2)$ tiene dimensión $3$ , es estable bajo multiplicación y es un subcampo de $\R$ .
Demuestre que $t \notin M$ : de lo contrario $M$ sería un vector espacio sobre el campo $A$ , y el ley de la torre forzaría $3 \mid 4$ . Entonces $2^{1/3}$ no es una combinación racional. de $1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6$ .
Deduce que $t \notin \Q(\sqrt2)$ , que $t + \sqrt2$ es irracional, y que ningún racional $a, b$ satisface $2^{1/3} = a + b\sqrt3$ .

Part VI — All the subfields, and synthesis.

Probar el divisibilidad de grados: si $\Q \subseteq A \subseteq B \subseteq \R$ son subcampos con $\dim_\Q B$ finito, entonces $\dim_\Q A$ divide $\dim_\Q B$ . que son ¿Las posibles dimensiones de los subcampos de $M$ ?
Determinar los subcampos todo de $M$ de la dimensión $2$ sobre $\Q$ . (Reduce to finding the $w = a + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6 \in M \setminus \Q$ with $w^2 \in \Q$ : expand $w^2$ and annihilate the three irrational coordenadas.)
Express $\dfrac1{1 + \sqrt2 + \sqrt3}$ en el base $(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ (multiplicar por bien elegido conjugados).
Síntesis, en cuatro frases: por qué la dimensión $\Q$ es una aritmética invariante de un conjunto de reales; que finitud de las fuerzas dimensionales sobre cada elemento (pregunta 13); cómo se produjo la regla de dos de tres se invierte de la nada (pregunta 12); y que ley de la torre prohíbe (pregunta 20). Nombra el teorema demostrado en la Parte III.

Solución

Solución de Problema 19.1.

1. $\Q$ contiene $0 \neq 1$ , es estable bajo adición, multiplicación y opuestos, y todo racional distinto de cero tiene un inverso racional: a campo (Definición 7.22). el definiciones de engendrado, gratuidad, base y las pruebas de Capítulos 18–19 usa solo suma vectorial, distributividad y escalar aritmética en un campo — nunca un valor absoluto, un orden o un límite. Entonces $\R$ , con su propia suma y la multiplicación $\Q \times \R \to \R$ , es un espacio vectorial $\Q$ , y todos los Se aplican teoremas. La división por un escalar ocurre una vez en la prueba de Teorema 19.2: para “resolver $g_k$ ” un divide por su coeficiente distinto de cero.

2. Si $a + b\sqrt2 = 0$ con $a, b \in \Q$ no ambos cero: $b \neq 0$ daría $\sqrt2 = -a/b \in \Q$ , contradiciendo la irracionalidad de $\sqrt2$ (Ejercicio 6.7 con $p = 2$ ); entonces $b = 0$ , luego $a = 0$ : libre sobre $\Q$ . Más de $\R$ el La relación $\sqrt2\cdot 1 + (-1)\cdot\sqrt2 = 0$ no es trivial: vinculado. Por lo tanto $\dim_\Q \Q(\sqrt2) = 2$ , con coordenadas único $(a, b)$ .

3. $(a + b\sqrt2)(c + d\sqrt2) = (ac + 2bd) + (ad + bc)\sqrt2 \in \Q(\sqrt2)$ . entonces

\sigma(uv) = (ac + 2bd) - (ad + bc)\sqrt2 = (a - b\sqrt2)(c - d\sqrt2) = \sigma(u)\sigma(v),

entonces $N(uv) = uv\,\sigma(uv) = u\sigma(u)\,v\sigma(v) = N(u)N(v)$ . Si $N(u) = a^2 - 2b^2 = 0$ con $u \neq 0$ : $b \neq 0$ daría $(a/b)^2 = 2$ , una raíz cuadrada racional de $2$ ; entonces $b = 0$ , luego $a = 0$ y $u = 0$ : contradicción. Por lo tanto $N(u) \neq 0$ para $u \neq 0$ .

4. $u \cdot \dfrac{\sigma(u)}{N(u)} = \dfrac{N(u)}{N(u)} = 1$ y $\sigma(u)/N(u) \in \Q(\sqrt2)$ : cada elemento distinto de cero es invertible dentro de $\Q(\sqrt2)$ , que por lo tanto es un subcampo de $\R$ . Ejemplos: $N(3 + 2\sqrt2) = 9 - 8 = 1$ , entonces

\frac1{3 + 2\sqrt2} = 3 - 2\sqrt2 ; \qquad N(1 + \sqrt2) = -1, \quad \frac1{1 + \sqrt2} = \sqrt2 - 1 .

5. Si $\sqrt6 = p/q$ entonces $6q^2 = p^2$ ; el exponente de $2$ es $1 + 2v_2(q)$ , impar, a la izquierda, y $2v_2(p)$ , par, a la izquierda. la derecha: imposible. Ahora supongamos $\sqrt3 = a + b\sqrt2$ con $a, b \in \Q$ . Cuadratura: $3 = a^2 + 2b^2 + 2ab\sqrt2$ . Si $ab \neq 0$ , entonces $\sqrt2 = (3 - a^2 - 2b^2)/(2ab) \in \Q$ : imposible. Si $b = 0$ : $\sqrt3 = a \in \Q$ , contradiciendo Ejercicio 6.7 ( $p = 3$ ). Si $a = 0$ : $\sqrt3 = b\sqrt2$ , y multiplicando por $\sqrt2$ : $\sqrt6 = 2b \in \Q$ : imposible. Entonces $\sqrt3 \notin \Q(\sqrt2)$ .

6. Los productos de los vectores base son

\sqrt2\,\sqrt3 = \sqrt6,\quad \sqrt2\,\sqrt6 = 2\sqrt3,\quad \sqrt3\,\sqrt6 = 3\sqrt2,\quad (\sqrt2)^2 = 2,\ (\sqrt3)^2 = 3,\ (\sqrt6)^2 = 6,

todo en $M$ . Un producto de dos elementos de $M$ se expande en bilinealidad en combinaciones racionales de estos: $M$ es estable bajo multiplicación.

7. Sea $x + y\sqrt3 = 0$ con $x, y \in K = \Q(\sqrt2)$ . Si $y \neq 0$ , entonces $\sqrt3 = -x/y \in K$ (pregunta 4: $K$ es un campo), que contradice la pregunta 5. Entonces $y = 0$ , luego $x = 0$ : $(1, \sqrt3)$ es libre sobre $K$ . Genera: $K + K\sqrt3 = \{(a + b\sqrt2) + (c + d\sqrt2)\sqrt3\} = \operatorname{Vect}_\Q (1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6) = M$ . Por lo tanto $\dim_K M = 2$ .

8. Una relación $a + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6 = 0$ se reagrupa como $(a + b\sqrt2) + (c + d\sqrt2)\sqrt3 = 0$ con coeficientes en $K$ ; por la pregunta 7 ambos desaparecen, y por la pregunta 2 $a = b = 0$ y $c = d = 0$ . Entonces la familia es libre y $\dim_\Q M = 4$ .

9. Cada $x \in M$ escribe $x = \sum_j y_j f_j$ con $y_j \in K$ (base de $M$ sobre $K$ ), y cada $y_j = \sum_i \lambda_{ij} e_i$ con $\lambda_{ij} \in \Q$ (base de $K$ sobre $\Q$ ); sustituyendo, $x = \sum_{i,j} \lambda_{ij}\, e_i f_j$ : el Los productos generan $M$ sobre $\Q$ .

10. Supongamos $\sum_{i,j} \lambda_{ij}\, e_i f_j = 0$ con $\lambda_{ij} \in \Q$ . Reagrupe: $\sum_j \bigl(\sum_i \lambda_{ij} e_i\bigr) f_j = 0$ y las sumas internas pertenecen a $K$ . libertad de $(f_j)$ sobre $K$ da $\sum_i \lambda_{ij} e_i = 0$ por cada uno $j$ ; libertad de $(e_i)$ sobre $\Q$ y luego da $\lambda_{ij} = 0$ para todos los $i, j$ .

11. Según las preguntas 9 y 10, $(e_i f_j)_{i \leq m,\, j \leq n}$ es un base de $M$ sobre $\Q$ con elementos $mn$ :

\dim_\Q M = m\,n = \dim_\Q K \cdot \dim_K M .

Verifique: $\dim_\Q K = 2$ y $\dim_K M = 2$ (preguntas 2 y 7) dé $\dim_\Q M = 4$ , que es la pregunta 8.

12. Los vectores $u a_1, \dots, u a_d$ pertenecen a $A$ (estabilidad). Son libre: si $\sum_i \lambda_i\, u a_i = 0$ , luego $u \sum_i \lambda_i a_i = 0$ en $\R$ , y $u \neq 0$ fuerzas $\sum_i \lambda_i a_i = 0$ , por lo tanto $\lambda_i = 0$ (la forma $a_i$ a base). Entonces $(u a_1, \dots, u a_d)$ es un familia libre de $d$ vectores en $A$ , $\dim_\Q A = d$ : a base (Proposición 19.8). En particular $1 \in A$ se descompone como $1 = \sum_i \mu_i\, u a_i = u\,v$ con $v = \sum_i \mu_i a_i \in A$ : el inverso de $u$ se encuentra en $A$ . esto se recupera pregunta 4 ( $A = \Q(\sqrt2)$ ) y demuestra de un plumazo que $M$ es un subcampo de $\R$ (con la pregunta 6).

13. Los vectores $d + 1$ $1, x, x^2, \dots, x^{d}$ todos se encuentran en $A$ (estabilidad bajo productos); un familia libre de $A$ tiene como máximo vectores $d$ (Proposición 19.8), por lo que están vinculados: hay racionales $\lambda_0, \dots, \lambda_d$ , no todo cero, con $\sum_k \lambda_k x^k = 0$ . El polinomio $P = \sum_k \lambda_k X^k$ es distinto de cero, tiene coeficientes racionales, grado $\leq d$ y $P(x) = 0$ .

14. $s^2 = 2 + 2\sqrt6 + 3 = 5 + 2\sqrt6$ : coordenadas $(5, 0, 0, 2)$ . entonces

s^3 = s\,s^2 = (\sqrt2 + \sqrt3)(5 + 2\sqrt6) = 5\sqrt2 + 2\sqrt{12} + 5\sqrt3 + 2\sqrt{18} = 11\sqrt2 + 9\sqrt3 ,

coordenadas $(0, 11, 9, 0)$ (usando $\sqrt{12} = 2\sqrt3$ , $\sqrt{18} = 3\sqrt2$ ). Finalmente $s^4 = (s^2)^2 = 25 + 20\sqrt6 + 24 = 49 + 20\sqrt6$ : coordenadas $(49, 0, 0, 20)$ .

15. Supongamos $a + bs + cs^2 + ds^3 = 0$ . leyendo los cuatro coordenadas en $(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ :

a + 5c = 0,\qquad b + 11d = 0,\qquad b + 9d = 0,\qquad 2c = 0 .

Entonces $c = 0$ , luego $a = 0$ ; restando las ecuaciones del medio, $2d = 0$ , entonces $b = 0$ : $(1, s, s^2, s^3)$ es libre. Cuatro vectores libre en $M$ de dimensión $4$ : a base, entonces $\operatorname{Vect}_\Q(1, s, s^2, s^3) = M$ . De la pregunta 14, $s^3 - 9s = 2\sqrt2$ y $11s - s^3 = 2\sqrt3$ :

\sqrt2 = \frac{s^3 - 9s}{2}, \qquad \sqrt3 = \frac{11s - s^3}{2} .

16. $s^4 - 10s^2 + 1 = (49 + 20\sqrt6) - 10(5 + 2\sqrt6) + 1 = 0$ . A polinomio mónico de grado $\leq 3$ desaparecer en $s$ produciría una combinación nula no trivial de $(1, s, s^2, s^3)$ , pregunta contradictoria 15: $X^4 - 10X^2 + 1$ tiene menor grado. Sus raíces: $X^2 = 5 \pm 2\sqrt6 = (\sqrt3 \pm \sqrt2)^2$ , por lo que las cuatro raíces reales son $\pm(\sqrt3 + \sqrt2)$ y $\pm(\sqrt3 - \sqrt2)$ , es decir $\pm\sqrt2 \pm \sqrt3$ .

17. De $s^4 - 10s^2 + 1 = 0$ : $s\,(10s - s^3) = 1$ , entonces

\frac1s = 10s - s^3 = 10(\sqrt2 + \sqrt3) - (11\sqrt2 + 9\sqrt3) = \sqrt3 - \sqrt2 ,

consistente con $(\sqrt3 + \sqrt2)(\sqrt3 - \sqrt2) = 1$ . Si $a + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6 = r \in \Q$ , entonces $(a - r) + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6 = 0$ y la libertad (pregunta 8) fuerzan a $b = c = d = 0$ (y $a = r$ ). Para $\sqrt2 + \sqrt3 + \sqrt6$ el coordenadas $(0, 1, 1, 1)$ no son de esta forma: irracionales — un enunciado más fuerte que Ejercicio 10.7, obtenido sin cualquier truco de cuadratura.

18. Una raíz racional $p/q$ (términos más bajos) de $X^3 - 2$ satisface $p^3 = 2q^3$ , y el criterio de Ejercicio 8.5 da $p \mid 2$ , $q \mid 1$ : candidatos $\pm1, \pm2$ , cuyos cubos son $\pm1, \pm8 \neq 2$ . No racional raíz; en particular $t = 2^{1/3} \notin \Q$ , por lo que $(1, t)$ es libre sobre $\Q$ (como en la pregunta 2).

19. Supongamos que $(1, t, t^2)$ está vinculado: algún $P \in \Q[X]$ distinto de cero con $\deg P \leq 2$ tiene $P(t) = 0$ ; elija tal $P$ de el menos grado $d \geq 1$ . Por la pregunta 18, $d \neq 1$ , entonces $d = 2$ . División euclidiana (Teorema 8.3): $X^3 - 2 = PQ + R$ con $Q, R \in \Q[X]$ , $\deg R < 2$ . Evaluando en $t$ : $0 = P(t)Q(t) + R(t) = R(t)$ , por lo que $R$ desaparece en $t$ ; minimalidad de $d$ fuerza a $R = 0$ . Entonces $X^3 - 2 = PQ$ con $\deg Q = 1$ : el la raíz racional de $Q$ es una raíz racional de $X^3 - 2$ , contradice la pregunta 18. Por lo tanto, $(1, t, t^2)$ es libre y $\dim_\Q A = 3$ . Estabilidad: $t^3 = 2$ reduce cada producto de $1, t, t^2$ a una combinación de ellos ( $t\cdot t^2 = 2$ , $t^2\cdot t^2 = 2t$ ); $A$ contiene $1$ : según la pregunta 12, $A$ es un subcampo de $\R$ .

20. Supongamos $t \in M$ . Entonces $t^2 \in M$ (estabilidad), entonces $A \subseteq M$ y $M$ es un espacio vectorial sobre el campo $A$ : los axiomas son los de $\R$ -aritmética restringida. es de dimensión finita sobre $A$ (una familia finita generadora de $\Q$ genera a fortiori sobre $A \supseteq \Q$ ). El ley de la torre para $\Q \subseteq A \subseteq M$ da

4 = \dim_\Q M = \dim_\Q A \cdot \dim_A M = 3\,\dim_A M ,

imposible: $3$ no divide a $4$ . Entonces $2^{1/3} \notin M$ : no combinación racional de $1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6$ es igual $2^{1/3}$ .

21. $\Q(\sqrt2) \subseteq M$ , entonces $t \notin \Q(\sqrt2)$ . Si $t + \sqrt2 = r \in \Q$ , entonces $t = r - \sqrt2 \in \Q(\sqrt2)$ : contradicción — $2^{1/3} + \sqrt2$ es irracional. Si $t = a + b\sqrt3$ , entonces $t \in \operatorname{Vect}_\Q(1, \sqrt3) \subseteq M$ : contradicción nuevamente.

22. $B$ es un espacio vectorial sobre el campo $A$ (restricción de escalares), de dimensión finita ya que $\dim_\Q B$ es finito. El ley de la torre para $\Q \subseteq A \subseteq B$ ofrece $\dim_\Q B = \dim_\Q A \cdot \dim_A B$ : el factor izquierdo divide. Por lo tanto, los subcampos de $M$ tienen la dimensión $\Q$ $1$ , $2$ o $4$ : la dimensión $1$ es $\Q$ , la dimensión $4$ es $M$ .

23. Sea $F \subseteq M$ un subcampo con $\dim_\Q F = 2$ y $w \in F \setminus \Q$ : $(1, w)$ es libre, por lo tanto, base de $F$ . Por pregunta 13 ( $d = 2$ ), $w^2 = \alpha + \beta w$ para racionales $\alpha, \beta$ . Configuración $v = w - \beta/2 \in F \setminus \Q$ :

v^2 = w^2 - \beta w + \frac{\beta^2}4 = \alpha + \frac{\beta^2}4 \;\in\; \Q,

y $F = \operatorname{Vect}(1, v)$ . Ahora escribe $v = a + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6$ y expande:

v^2 = (a^2 + 2b^2 + 3c^2 + 6d^2) + (2ab + 6cd)\sqrt2 + (2ac + 4bd)\sqrt3 + (2ad + 2bc)\sqrt6 .

Los tres irracionales coordenadas se desvanecen: $ab + 3cd = ac + 2bd = ad + bc = 0$ . Si $a \neq 0$ : $b = -3cd/a$ , y el segundo la condición pasa a ser $c(a^2 - 6d^2) = 0$ ; ya que $a^2 = 6d^2$ con $d \neq 0$ haría que $\sqrt6 = \abs{a/d}$ fuera racional, ya sea $c = 0$ o $d = 0$ , y en ambos casos las condiciones restantes obligan a $b = c = d = 0$ , es decir $v \in \Q$ : excluido. Entonces $a = 0$ , y el condiciones leen $3cd = 2bd = bc = 0$ : como máximo uno de $b, c, d$ es distinto de cero. Por tanto $v$ es un múltiplo racional de $\sqrt2$ , $\sqrt3$ . o $\sqrt6$ , y

F \in \bigl\{\Q(\sqrt2),\ \Q(\sqrt3),\ \Q(\sqrt6)\bigr\} ,

cada uno de los cuales es de hecho un subcampo de dimensión $2$ (estabilidad como en la pregunta 6, inversa a la pregunta 12): exactamente tres cuadráticas subcampos.

24. $(1 + \sqrt2 + \sqrt3)(1 + \sqrt2 - \sqrt3) = (1 + \sqrt2)^2 - 3 = 2\sqrt2$ , entonces

\frac1{1 + \sqrt2 + \sqrt3} = \frac{1 + \sqrt2 - \sqrt3}{2\sqrt2} = \frac{\sqrt2 + 2 - \sqrt6}{4} = \frac12 + \frac14\sqrt2 + 0\cdot\sqrt3 - \frac14\sqrt6 .

(Compruebe: $(1 + \sqrt2 + \sqrt3)(2 + \sqrt2 - \sqrt6) = 4$ después expansión.)

25. (i) La dimensión $\Q$ conecta un entero a cada subcampo de $\R$ , y el ley de la torre convierte estos números enteros multiplicar por inclusiones: la dimensión se comporta como una aritmética invariante, y las restricciones divisibilidad se vuelven imposibles pruebas. (ii) Dimensión finita obliga a cada elemento a satisfacer un ecuación racional distinta de cero polinomio de grado como máximo el dimensión: finitud significa algebraicidad. (iii) El La regla de dos de tres se convirtió en “multiplicación por $u$ aplicaciones a base a un familia libre de tamaño máximo” en sobreyectividad, produciendo $u^{-1}$ sin fórmula: las inversas surgieron del conteo. (iv) El ley de la torre prohíbe un $3$ -dimensional campo dentro de un $4$ -dimensional, por lo que no se puede alcanzar $2^{1/3}$ de $\sqrt2$ y $\sqrt3$ . El teorema de la Parte III es Dedekind’s ley de la torre, el movimiento inicial de la teoría de Galois, desarrollado en el volumen del Año 3.