Matemáticas universitarias — Grado 1 · Bachelor Year 1

19Dimensión finita

Un espacio generado por finitos vectores lleva una dimensión bien definida — el tamaño común de todas sus bases. Las demostraciones de más abajo salen todas de un mismo motor combinatorio, el lema del intercambio: una familia libre nunca puede superar en número a una generadora. Con la dimensión llegan las herramientas que se usan en todo lo que sigue: el teorema de la base incompleta, el rango de una familia y la fórmula de Grassmann.

19.1 Existencia de bases

Definición 19.1

$E$ es de dimensión finita cuando tiene una familia generadora finita. (En caso contrario, de dimensión infinita: lo es $K[X]$ , cuyas familias finitas solo generan polinomios de grado acotado.)

Teorema 19.2 (Lema del intercambio)

Sea $(g_1, \dots, g_n)$ una familia generadora de $E$ y sea $(f_1, \dots, f_p)$ libre en $E$ . Entonces $p \leq n$ .

Demostración. Demostramos por inducción sobre $k \leq p$ : tras renumerar los $g_j$ , la familia $(f_1, \dots, f_k, g_{k+1}, \dots, g_n)$ genera $E$ — lo que fuerza $k \leq n$ en cada etapa y $p \leq n$ al final.

$k = 0$ : es la hipótesis. Paso: supóngase para $k - 1$ ; entonces $f_k$ es combinación de $(f_1, \dots, f_{k-1},$ $g_k, \dots, g_n)$ . En esa combinación, algún $g_j$ ( $j \geq k$ ) tiene coeficiente no nulo — si no, $f_k$ sería combinación de $f_1, \dots, f_{k-1}$ , en contradicción con que la familia es libre. Renumérese de modo que $j = k$ y despéjese $g_k$ : $g_k$ es combinación de $(f_1, \dots, f_k, g_{k+1}, \dots, g_n)$ . Todo vector de $E$ , expresado mediante la familia de $(k-1)$ elementos, se puede entonces reexpresar mediante la de $k$ : esta genera. (Si $k - 1 = n$ , no queda ningún $g$ y $f_k$ sería combinación de los $f_i$ solos: imposible; así que $k \leq n$ .) ∎

Ejemplo 19.3 (El intercambio, visto una vez)

En $\R^2$ , tómense la familia generadora $\bigl(g_1, g_2\bigr) = \bigl((1,0), (0,1)\bigr)$ y la familia libre $\bigl(f_1, f_2\bigr) = \bigl((1,2), (3,4)\bigr)$ . Paso $1$ : $f_1 = 1\cdot g_1 + 2\cdot g_2$ ; el coeficiente de $g_2$ es no nulo, así que intercámbiese $g_2$ por $f_1$ : la familia $\bigl(f_1, g_1\bigr)$ sigue generando ( $g_2 = \frac12(f_1 - g_1)$ ). Paso $2$ : $f_2 = (3,4) = 2\,f_1 + 1\cdot g_1$ ; el coeficiente del $g_1$ restante es no nulo (tiene que serlo: $f_2$ no es múltiplo de $f_1$ ), así que intercámbiese otra vez: $\bigl(f_1, f_2\bigr)$ genera $\R^2$ . Si hubiera habido un tercer vector libre $f_3$ , no quedaría ningún $g$ para absorberlo — que es precisamente como el lema prohíbe $3$ vectores libres en $\R^2$ . La demostración anterior es esta contabilidad hecha en general.

Teorema 19.4 (Bases en dimensión finita)

Sea $E \neq \{0\}$ de dimensión finita.

De toda familia generadora finita se puede extraer una base.
(Teorema de la base incompleta) Toda familia libre se extiende a una base, usando vectores de cualquier familia generadora elegida.
Todas las bases de $E$ son finitas y con el mismo número de elementos: la dimensión $\dim E$ . (Convenio: $\dim\{0\} = 0$ .)

Demostración. (1) Descártese, de uno en uno, cualquier vector que sea combinación de los demás; la familia sigue siendo generadora, pues en cualquier expresión que use el vector descartado se puede sustituir por su combinación de los supervivientes. El proceso termina —cada paso encoge en uno una familia finita— y se detiene exactamente cuando ningún vector restante es combinación de los demás. La familia final sigue siendo generadora, y es libre: una combinación nula no trivial llevaría algún coeficiente no nulo y, dividiendo por él, se despejaría el vector correspondiente en función de los demás, con lo que sería descartable — en contradicción con que el proceso se había detenido.

(2) Sea $(f_1, \dots, f_p)$ libre y $(g_1, \dots, g_n)$ generadora. Recórranse $g_1, \dots, g_n$ añadiendo $g_j$ a la familia en curso cada vez que no esté ya en su subespacio generado (la Proposición 18.19 (2) mantiene libre la familia). La familia final es libre, y generadora: todo $g_j$ está en su subespacio generado — o bien se añadió, o bien ya era combinación.

(3) Dos bases son cada una libre y cada una generadora: el lema del intercambio da las dos desigualdades entre sus cardinales. (Finitud: una base es libre y, por el intercambio, no mayor que una familia generadora finita.) ∎

Ejemplo 19.5

$\dim K^n = n$ (base canónica); $\dim K_n[X] = n + 1$ (los monomios); $\dim_\R \C = 2$ ; y el espacio de soluciones de $y'' + ay' + by = 0$ tiene dimensión $2$ (Teorema 5.10: las soluciones están parametrizadas biyectiva y linealmente por $(\lambda, \mu) \in K^2$ ).

Ejemplo 19.6 (El mismo conjunto, dos dimensiones)

El conjunto $\C^2$ de las parejas de números complejos es un espacio vectorial sobre $\C$ de dimensión $2$ (base canónica $e_1, e_2$ ) — y un espacio vectorial sobre $\R$ de dimensión $4$ , con base

(1, 0),\quad (\iu, 0),\quad (0, 1),\quad (0, \iu):

pues todo $(z, w) = (a + \iu b,\ c + \iu d)$ tiene coordenadas reales $(a, b, c, d)$ , de forma única. La dimensión no es una propiedad del conjunto de vectores por sí solo: cuenta los grados de libertad relativos a los escalares permitidos, y reducir a la mitad el suministro de escalares, de $\C$ a $\R$ , duplica la cuenta. (El problema del fin de semana explota el caso extremo de esta sensibilidad, con los escalares encogidos hasta $\Q$ .)

Ejemplo 19.7 (Ejecutar el algoritmo de compleción)

Complétese la familia libre $\bigl((1,1,1)\bigr)$ hasta una base de $\R^3$ usando los vectores canónicos. Ejecútese la demostración del Teorema 19.4 (2) sobre la familia generadora $(e_1, e_2, e_3)$ : ¿está $e_1 \in \operatorname{Vect}(1,1,1)$ ? No (los múltiplos de $(1,1,1)$ tienen las coordenadas iguales) — añádase. ¿Está $e_2 \in \operatorname{Vect}\bigl((1,1,1), e_1\bigr)$ ? Una combinación $\alpha(1,1,1) + \beta e_1$ tiene iguales la segunda y la tercera coordenadas, y $e_2$ no — añádase. La familia $\bigl((1,1,1), e_1, e_2\bigr)$ es libre con $3$ vectores: alto, es una base (la Proposición 19.8 oficializará este reflejo). Nótese que el resultado depende del orden en que se recorran los $g_j$ : la compleción es un algoritmo, no una fórmula.

Proposición 19.8 (La regla de dos de tres)

Sea $\dim E = n$ y sea $\mathcal{F}$ una familia de exactamente $n$ vectores de $E$ . Entonces

\mathcal{F} \text{ libre} \iff \mathcal{F} \text{ generadora} \iff \mathcal{F} \text{ base}.

Además, toda familia libre tiene $\leq n$ vectores, y toda familia generadora, $\geq n$ .

Demostración. Las cotas para los cardinales son el lema del intercambio frente a una base. Si $\mathcal{F}$ (de tamaño $n$ ) es libre pero no generadora, algún $x$ está fuera de su subespacio generado; añadir $x$ da una familia libre de $n + 1$ vectores: imposible. Y si $\mathcal{F}$ es generadora pero no libre, extraer una base (Teorema 19.4 (1)) da una base de $< n$ vectores: imposible. ∎

Ejemplo 19.9 (Dos de tres, ahorrando la mitad del trabajo)

¿Es $\bigl((1,1,0), (0,1,1), (1,0,1)\bigr)$ una base de $\R^3$ ? Cuéntese: tres vectores, dimensión tres — así que decide solamente la libertad. Una combinación nula da $a + c = 0$ , $a + b = 0$ , $b + c = 0$ ; sumando las tres, $2(a + b + c) = 0$ y, restando cada ecuación original de $a + b + c = 0$ , queda $b = c = a = 0$ : libre, luego una base, con la mitad generadora de la comprobación suministrada gratis por el teorema. Compárese con el Ejemplo 18.18, donde la misma doble comprobación hubo que hacerla a mano — un capítulo de teoría se convierte exactamente en ese ahorro, en cada comprobación de base del resto del libro.

Método 19.10 (Calcular una dimensión)

Tres caminos estándar, en orden decreciente de frecuencia.

Parametrizar y leer una base. Resuélvanse las restricciones que lo definen, exprésese el elemento general de forma lineal en los parámetros supervivientes y compruébese que los vectores que multiplican a los parámetros son libres: la dimensión es el número de parámetros. (Ejecutado más abajo sobre un subespacio concreto de $\R^4$ .)
Exhibir una parametrización lineal biyectiva. Cuando los elementos quedan determinados por finitos valores —condiciones iniciales de una recurrencia (Ejercicio 19.10), coeficientes de una fórmula de solución (Ejemplo 19.5)—, la dimensión es el número de esos valores.
Usar las fórmulas. Grassmann para intersecciones y sumas, el rango para los subespacios generados y, más tarde, el teorema del rango para núcleos e imágenes: las dimensiones normalmente se calculan, no se adivinan.

En los tres caminos, la regla de dos de tres es el remate: en cuanto la cuenta cuadra, basta con la libertad o con la generación.

Ejemplo 19.11 (Camino 1, completo)

Dimensión de $H = \{(x, y, z, t) \in \R^4 : x + y + z + t = 0 \text{ y } x = t\}$ . Resuélvase: $t = x$ y $y + z = -2x$ , luego $z = -2x - y$ con $x, y$ libres:

(x,\ y,\ -2x - y,\ x) = x\,(1, 0, -2, 1) + y\,(0, 1, -1, 0) .

Los dos vectores son libres (mírense las dos primeras coordenadas: $(x, y) = (0,0)$ ), de modo que forman una base de $H$ y $\dim H = 2$ . La cuenta era previsible —dos restricciones lineales independientes en $\R^4$ deberían comerse una dimensión cada una—, pero la parametrización lo demuestra y entrega una base, cosa que la previsión sola nunca hace; el Ejercicio 19.9 convierte en teorema el eslogan «cada ecuación se come a lo sumo una dimensión».

Ejemplo 19.12 (Camino 2, completo)

Dimensión de $W = \{P \in \R_n[X] : P(1) = P(2) = 0\}$ (para $n \geq 2$ ). Por el teorema del factor aplicado dos veces (Teorema 8.7; las raíces $1$ y $2$ son distintas), $P \in W$ exactamente cuando $P = (X - 1)(X - 2)\,Q$ con $\deg Q \leq n - 2$ . La correspondencia $Q \mapsto (X-1)(X-2)Q$ es lineal, alcanza todo $W$ y es inyectiva (un producto es nulo solo si $Q = 0$ ): $W$ está parametrizado biyectiva y linealmente por $\R_{n-2}[X]$ , luego

\dim W = \dim \R_{n-2}[X] = n - 1 .

Una base viene con la parametrización: las imágenes de los monomios, $\bigl((X-1)(X-2),\ (X-1)(X-2)X,\ \dots,\ (X-1)(X-2)X^{n-2}\bigr)$ . Cada nueva restricción de evaluación en un punto nuevo cuesta exactamente una dimensión — el esqueleto de recuento de la interpolación de Lagrange (Teorema 8.23).

Ejemplo 19.13 (Una restricción integral también cuesta una dimensión)

Dimensión de $H = \{P \in \R_2[X] : \int_0^1 P = 0\}$ . Escribiendo $P = a + bX + cX^2$ , la restricción dice $a + \frac b2 + \frac c3 = 0$ ; despéjese $a$ y parametrícese:

P = b\Bigl(X - \frac12\Bigr) + c\Bigl(X^2 - \frac13\Bigr),

luego $H = \operatorname{Vect}\bigl(X - \frac12,\ X^2 - \frac13\bigr)$ , de dimensión $2$ (los dos polinomios tienen grados distintos: libres). Una condición lineal —ya sea una evaluación, una integral o cualquier otra receta lineal— quita a lo sumo una dimensión, y exactamente una en cuanto la condición no es idénticamente nula. Capítulo 20 llamará a esas recetas formas lineales y a sus conjuntos de soluciones, hiperplanos; y los vectores de la base hallados aquí reaparecen en el Capítulo 23 como el comienzo de la familia de Legendre.

19.2 Subespacios, rango, Grassmann

Teorema 19.14 (Subespacios)

Sea $E$ de dimensión finita y $F$ un subespacio. Entonces $F$ es de dimensión finita, $\dim F \leq \dim E$ , con igualdad si y solo si $F = E$ . Además, todo subespacio tiene un subespacio suplementario.

Demostración. Las familias libres de $F$ tienen a lo sumo $\dim E$ vectores (lema del intercambio en $E$ : una familia libre de $F$ es en particular libre en $E$ , y $E$ tiene una familia generadora finita). De entre las familias libres de $F$ , tómese una de tamaño máximo $p$ — es posible, pues los tamaños son enteros acotados por $\dim E$ . Esa familia genera $F$ : si no, algún $x \in F$ estaría fuera de su subespacio generado, y añadir $x$ daría una familia libre de $F$ de tamaño $p + 1$ (Proposición 18.19 (2)), en contradicción con la maximalidad. Siendo libre y generadora, es una base de $F$ , y $\dim F = p \leq \dim E$ . Si $p = \dim E = n$ : una familia libre de $n$ vectores de $E$ es una base de $E$ (Proposición 19.8), luego $F \supseteq \operatorname{span} = E$ . Suplementario: complétese una base $(f_1, \dots, f_p)$ de $F$ hasta una base $(f_1, \dots, f_p, g_{p+1}, \dots, g_n)$ de $E$ (teorema de la base incompleta); entonces $G = \operatorname{Vect}(g_{p+1}, \dots, g_n)$ cumple $E = F \oplus G$ (la existencia y la unicidad de las descomposiciones son las coordenadas en la base grande). ∎

Definición 19.15 (Rango de una familia)

El rango de una familia finita de vectores es la dimensión de su subespacio generado: $\operatorname{rk}(x_1, \dots, x_p) = \dim \operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p) \leq \min(p, \dim E)$ , con igualdad a $p$ si y solo si la familia es libre.

Ejemplo 19.16 (Calcular un rango por eliminación)

Rango de $\bigl((1,2,3), (2,3,4), (3,4,5), (1,1,1)\bigr)$ en $\R^3$ . El subespacio generado no cambia cuando se resta a un vector una combinación de los demás (las dos familias generan las mismas combinaciones): sustitúyase $(2,3,4)$ por $(2,3,4) - (1,2,3) = (1,1,1)$ y $(3,4,5)$ por $(3,4,5) - (1,2,3) = (2,2,2)$ . El subespacio generado es ahora $\operatorname{Vect}\bigl((1,2,3), (1,1,1), (2,2,2), (1,1,1)\bigr) = \operatorname{Vect}\bigl((1,2,3), (1,1,1)\bigr)$ , y esos dos vectores no son proporcionales: el rango es $2$ . Este procedimiento de restar y descartar se sistematiza como eliminación de Gauss en el Capítulo 22.

Ejemplo 19.17 (Sumar por concatenación)

Tómense, en $\R^3$ ,

F = \operatorname{Vect}\bigl((1,2,3),\ (1,1,1)\bigr), \qquad G = \operatorname{Vect}\bigl((2,3,4)\bigr) .

La suma $F + G$ está generada por la familia concatenada de los tres generadores, y

(2, 3, 4) = (1, 2, 3) + (1, 1, 1)

muestra que el tercero es redundante: $F + G = F$ , de dimensión $2$ — equivalentemente, $G \subseteq F$ , que es lo que exhibe la relación. Grassmann lo confirma: $\dim(F \cap G) = 2 + 1 - 2 = 1 = \dim G$ . Las sumas se calculan concatenando generadores y reduciendo después el montón con el algoritmo del rango; nunca hace falta ninguna técnica nueva.

Teorema 19.18 (Fórmula de Grassmann)

Para subespacios $F, G$ de $E$ de dimensión finita:

\dim(F + G) = \dim F + \dim G - \dim(F \cap G) .

En particular, $F + G$ es directa si y solo si $\dim(F + G) = \dim F + \dim G$ .

Demostración. Pártase de una base $(e_1, \dots, e_r)$ de $F \cap G$ ; complétese hasta una base $(e_1, \dots, e_r, f_1, \dots, f_s)$ de $F$ y hasta una base $(e_1, \dots, e_r, g_1, \dots, g_t)$ de $G$ (Teorema 19.4 (2)). Afirmamos que

\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_r, f_1, \dots, f_s, g_1, \dots, g_t)

es una base de $F + G$ ; y la fórmula se sigue contando: $(r + s) + (r + t) - r = r + s + t$ .

$\mathcal{B}$ genera $F + G$ : todo $u + v$ ( $u \in F$ , $v \in G$ ) se desarrolla en ella. Libertad: supóngase $\sum \alpha_i e_i + \sum \beta_j f_j + \sum \gamma_k g_k = 0$ . El vector $w = \sum \gamma_k g_k = -\sum\alpha_i e_i - \sum\beta_j f_j$ está en $G \cap F$ , luego se desarrolla solo sobre los $(e_i)$ ; pero $w$ también se desarrolla sobre los $(g_k)$ y, en la base de $G$ , esas dos expresiones tienen que coincidir: todos los $\gamma_k = 0$ (y las coordenadas en $e$ cuadran). La relación se reduce a $\sum\alpha_i e_i + \sum\beta_j f_j = 0$ , una relación en la base de $F$ : todos los coeficientes restantes se anulan. ∎

Ejemplo 19.19

Dos planos distintos $F, G$ (de dimensión $2$ ) de $\R^3$ cumplen $F + G = \R^3$ (su suma contiene estrictamente un plano), luego $\dim(F \cap G) = 2 + 2 - 3 = 1$ : siempre se cortan en una recta — no hay «planos paralelos» que pasen por el origen.

Ejemplo 19.20 (Grassmann en acción, en $\R^4$ )

Sean $F = \operatorname{Vect}\bigl(e_1,\ e_2,\ (1,1,1,0)\bigr)$ y $G = \operatorname{Vect}(e_3, e_4)$ en $\R^4$ . Dimensiones: $\dim F = 3$ (el tercer generador tiene tercera coordenada no nula, fuera de $\operatorname{Vect}(e_1, e_2)$ ) y $\dim G = 2$ . Suma: $F + G$ contiene $e_1, e_2, e_4$ y $e_3 = (1,1,1,0) - e_1 - e_2$ : es todo $\R^4$ . Grassmann calcula entonces el tamaño de la intersección sin ninguna eliminación:

\dim(F \cap G) = 3 + 2 - 4 = 1 .

Para identificar la recta, mírese dentro de $G$ : un vector $(0, 0, c, d)$ está en $F$ exactamente cuando es $a e_1 + b e_2 + \lambda(1,1,1,0)$ , lo que fuerza $\lambda = -a = -b$ y $d = 0$ : la intersección es $\operatorname{Vect}(e_3)$ — coherente, ya que $e_3$ se exhibió arriba en $F$ y está en $G$ por definición. Reparto de tareas típico: Grassmann predice cuánto hay que buscar, y el sistema lineal encuentra después qué.

Ejemplo 19.21 (Intersecar por ecuaciones)

Cuando los dos subespacios vienen como conjuntos de soluciones, intersecar es sencillamente apilar las ecuaciones. En $\R^3$ : $F = \{x + y + z = 0\}$ y $G = \{x = y\}$ dan

F \cap G = \{x = y,\ 2x + z = 0\} = \{(x,\ x,\ -2x)\} = \operatorname{Vect}(1, 1, -2),

una recta. Comprobación cruzada por Grassmann: $F + G = \R^3$ (los planos son distintos, luego su suma contiene estrictamente un plano), de donde $\dim(F\cap G) = 2 + 2 - 3 = 1$ . Las dos descripciones de un subespacio —por ecuaciones y por generadores— vuelven trivial una operación cada una: las ecuaciones se intersecan apilando y los generadores se suman concatenando; y convertir unas en otros es exactamente lo que significa resolver un sistema lineal (Capítulo 22).

Observación 19.22 (Errores frecuentes)

Las dimensiones no se suman en las sumas salvo que la suma sea directa: dos planos de $\R^3$ tienen $\dim(F + G) = 3$ , no $4$ ; corríjase siempre con el término de la intersección (Grassmann). Una inclusión necesita la dimensión y la inclusión: $\dim F = \dim G$ por sí solo nunca da $F = G$ (dos rectas distintas de $\R^2$ ); el caso de igualdad del Teorema 19.14 exige antes $F \subseteq G$ . Contar parámetros todavía no es una demostración: «dos ecuaciones en $\R^4$ , luego dimensión $2$ » falla cuando las ecuaciones son dependientes ( $x + y = 0$ y $2x + 2y = 0$ dejan dimensión $3$ ); solo lo deciden una parametrización efectiva o un cálculo de rango. No se hable de la dimensión de algo que no es subespacio: los conjuntos de soluciones de los sistemas no homogéneos no contienen a $0$ ; su «dimensión» es la del espacio de soluciones homogéneo asociado (Capítulo 22 lo precisa). La dimensión infinita existe: $K[X]$ contiene familias libres de todos los tamaños (los monomios), de modo que no puede existir ninguna familia generadora finita — los enunciados como la regla de dos de tres son estrictamente de dimensión finita y fallan estrepitosamente en $K[X]$ (el Corolario 20.9 mostrará lo mismo para la inyectividad y la sobreyectividad). El rango es del subespacio generado, no de la lista: repetir un vector, reordenar o reescalar por constantes no nulas deja el rango intacto, y $\operatorname{rk} = p$ (el número de vectores) es una propiedad que hay que demostrar — es exactamente la libertad. Una familia de $5$ vectores de rango $2$ lleva una redundancia equivalente a tres vectores, que la eliminación (Ejemplo 19.16) localiza explícitamente.

Observación 19.23 (Dónde se pone a trabajar la dimensión)

La dimensión es el argumento de recuento favorito del libro a partir de aquí. Capítulo 20 demuestra el teorema del rango, la versión funcional de la fórmula de Grassmann; Capítulo 21 calcula rangos por reducción por filas; Capítulo 22 convierte « $n$ vectores de $K^n$ forman una base» en que un número sea no nulo. El problema del fin de semana de más abajo muestra a la dimensión haciendo aritmética: contar dimensiones sobre el cuerpo $\Q$ demuestra enunciados de irracionalidad que parecen intocables a mano. En el volumen del tercer año, los mismos recuentos de dimensiones, afinados por la teoría de grupos, deciden qué problemas clásicos de construcción son resolubles — esa historia es la teoría de Galois.

Observación 19.24 (Perspectivas dentro del libro 3)

La dimensión es la magnitud conservada del resto de este volumen, y merece la pena nombrar de antemano sus leyes de conservación. Capítulo 20 demuestra $\dim E = \dim\ker u + \operatorname{rk} u$ : lo que una aplicación lineal aplasta más lo que conserva suma siempre el espacio de partida. Capítulo 22 lo afina en la estructura de los conjuntos de soluciones: $p$ incógnitas menos $\operatorname{rk} A$ pivotes deja la dimensión del espacio de soluciones, que la eliminación de Gauss exhibe como parámetros libres. Capítulo 23 parte $\dim E = \dim F + \dim F^\perp$ de forma ortogonal, y el problema del fin de semana del Capítulo 25 gasta exactamente ese presupuesto: $n$ datos, $2$ parámetros ajustados, $n - 2$ dimensiones de residuo. Siempre que una cuenta se niegue a cuadrar en un capítulo posterior, el error es un núcleo olvidado o una suma no directa — vuélvase primero a la fórmula de Grassmann.

19.3 Ejercicios

Ejercicio 19.1 ★

Dense una base y la dimensión de:

$F = \{(x,y,z) \in \R^3 : x + y + z = 0\}$ ;
$G = \{(x,y,z,t) \in \R^4 : x = y,\ z = 2t\}$ ;
$H = \{P \in \R_3[X] : P(1) = P'(1) = 0\}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 19.1.

$z = -x - y$ : $F = \{(x, y, -x-y)\} = \operatorname{Vect}\bigl((1,0,-1), (0,1,-1)\bigr)$ ; los dos vectores son libres (coordenadas): $\dim F = 2$ .
$G = \{(x, x, 2t, t)\} = \operatorname{Vect}\bigl((1,1,0,0), (0,0,2,1)\bigr)$ : libre, $\dim G = 2$ .
$P(1) = P'(1) = 0$ significa $(X-1)^2 \mid P$ (Proposición 8.11): $P = (X-1)^2(aX + b)$ . Base $\bigl((X-1)^2, X(X-1)^2\bigr)$ , dimensión $2$ .

Ejercicio 19.2 ★

Calcúlese el rango de la familia $\bigl((1,1,1), (1,2,3), (3,5,7), (0,1,2)\bigr)$ en $\R^3$ , y extráigase una base de su subespacio generado.

Solución

Solución de Ejercicio 19.2.

$(3,5,7) = (1,1,1) + 2(1,2,3)$ y $(0,1,2) = (1,2,3) - (1,1,1)$ : los dos son combinaciones de los dos primeros, que son libres (no proporcionales). Rango $2$ ; base del subespacio generado: $\bigl((1,1,1), (1,2,3)\bigr)$ .

Ejercicio 19.3 ★

Complétese la familia libre $\bigl((1,1,0,0), (0,0,1,1)\bigr)$ hasta una base de $\R^4$ usando vectores canónicos, y justifíquese.

Solución

Solución de Ejercicio 19.3.

Pruébese a añadir $e_1 = (1,0,0,0)$ y $e_3 = (0,0,1,0)$ . La familia $\bigl((1,1,0,0), (0,0,1,1), e_1, e_3\bigr)$ es libre: una combinación nula $\alpha(1,1,0,0) + \beta(0,0,1,1) + \gamma e_1 + \delta e_3 = 0$ dice $(\alpha + \gamma, \alpha, \beta + \delta, \beta) = 0$ , luego $\alpha = \beta = 0$ y después $\gamma = \delta = 0$ . Cuatro vectores libres en dimensión $4$ : una base (Proposición 19.8).

Ejercicio 19.4 ★

Demuéstrese que $\bigl(1, X, X(X-1), X(X-1)(X-2)\bigr)$ es una base de $\R_3[X]$ y hállense las coordenadas de $X^3$ en ella.

Solución

Solución de Ejercicio 19.4.

Grados $0, 1, 2, 3$ distintos dos a dos: libres (Proposición 18.19), y son cuatro vectores en dimensión $4$ : base. Para $X^3$ , desarróllese hacia abajo,

X(X-1)(X-2) = X^3 - 3X^2 + 2X, \qquad X(X-1) = X^2 - X,

luego $X^3 - X(X-1)(X-2) = 3X^2 - 2X$ ; y $3X^2 - 2X = 3(X^2 - X) + X = 3\,X(X-1) + X$ . Por tanto,

X^3 = X(X-1)(X-2) + 3\,X(X-1) + 1\cdot X + 0\cdot 1 :

coordenadas $(0, 1, 3, 1)$ sobre $\bigl(1, X, X(X-1), X(X-1)(X-2)\bigr)$ . (Son números de Stirling disfrazados.)

Ejercicio 19.5 ★★

Sean $F$ y $G$ subespacios de dimensiones $4$ y $5$ de un espacio $E$ con $\dim E = 7$ . ¿Qué valores puede tomar $\dim(F \cap G)$ ? Dese un ejemplo que realice cada valor con $E = \R^7$ .

Solución

Solución de Ejercicio 19.5.

Grassmann: $\dim(F \cap G) = 4 + 5 - \dim(F + G)$ , y $F + G$ es un subespacio de $E$ que contiene a $G$ : $5 \leq \dim(F+G) \leq 7$ . Por tanto, $\dim(F \cap G) \in \{2, 3, 4\}$ . Realizaciones en $\R^7$ con la base canónica $(e_1, \dots, e_7)$ , tomando $G = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_5)$ :

$F = \operatorname{Vect}(e_1, e_2, e_6, e_7)$ : $F + G = \R^7$ , intersección $\operatorname{Vect}(e_1, e_2)$ , dimensión $2$ ;
$F = \operatorname{Vect}(e_1, e_2, e_3, e_6)$ : intersección de dimensión $3$ ;
$F = \operatorname{Vect}(e_1, e_2, e_3, e_4) \subseteq G$ : dimensión $4$ .

Ejercicio 19.6 ★★

Sea $H = \{P \in \R_n[X] : P(1) = 0\}$ . Demuéstrese que $H$ es un hiperplano de $\R_n[X]$ (un subespacio de dimensión $n$ ), exhíbase una base de $H$ (piénsese en el teorema del factor: $P = (X-1)Q$ ) y dese una recta suplementaria.

Solución

Solución de Ejercicio 19.6.

$H$ es un subespacio (el Ejercicio 18.1 (4) al pie de la letra). Por el teorema del factor (Teorema 8.7), $P \in H \iff P = (X-1)Q$ con $\deg Q \leq n - 1$ : la aplicación $Q \mapsto (X-1)Q$ es una biyección lineal de $\R_{n-1}[X]$ sobre $H$ , de modo que una base de $H$ es

\bigl((X-1),\ (X-1)X,\ (X-1)X^2,\ \dots,\ (X-1)X^{n-1}\bigr), \qquad \dim H = n .

Una recta suplementaria: $\operatorname{Vect}(1)$ (las constantes). En efecto, $H \cap \operatorname{Vect}(1) = \{0\}$ (una constante no nula no se anula en $1$ ) y las dimensiones suman $n + 1$ : por Grassmann, $H \oplus \operatorname{Vect}(1) = \R_n[X]$ .

Ejercicio 19.7 ★★

Sean $u_1, \dots, u_p$ vectores de rango $r$ . Demuéstrese que quitar un vector da una familia de rango $r$ o $r - 1$ , y que añadir uno da rango $r$ o $r + 1$ . Dedúzcase que el rango cambia a lo sumo en $1$ por cada inserción o supresión.

Solución

Solución de Ejercicio 19.7.

Supresión: al quitar $u_p$ , el subespacio generado solo puede encoger; y encoge a lo sumo una dimensión, ya que devolver $u_p$ a una base del subespacio generado menor da una familia generadora del mayor con a lo sumo un vector extra. Simétricamente, al añadir un vector $v$ : el nuevo subespacio generado contiene al antiguo con a lo sumo un generador extra, de modo que su dimensión es $r$ (si $v$ ya estaba en el subespacio generado) o $r + 1$ (si no, por la Proposición 18.19 (2) una base se extiende). Los dos enunciados juntos dan la conclusión «el rango es $1$ -lipschitziano».

Ejercicio 19.8 ★★★

Sean $F_1 \subseteq F_2 \subseteq \dots \subseteq F_k$ subespacios de $E$ ( $\dim E = n$ ) con $F_i \neq F_{i+1}$ para todo $i$ . Demuéstrese que $k \leq n + 1$ . Dedúzcase que una cadena estrictamente creciente de subespacios de $\R^n$ tiene longitud a lo sumo $n + 1$ , y exhíbase una de longitud máxima.

Solución

Solución de Ejercicio 19.8.

A lo largo de una cadena estrictamente creciente, las dimensiones crecen estrictamente ( $F_i \subseteq F_{i+1}$ , $F_i \neq F_{i+1}$ y el Teorema 19.14: la igualdad de dimensiones forzaría la igualdad de los espacios). Así, $\dim F_1 < \dim F_2 < \dots < \dim F_k$ es una sucesión estrictamente creciente de enteros de $\intint{0}{n}$ : a lo sumo $n + 1$ valores, $k \leq n + 1$ . Cadena máxima en $\R^n$ :

\{0\} \subsetneq \operatorname{Vect}(e_1) \subsetneq \operatorname{Vect}(e_1, e_2) \subsetneq \dots \subsetneq \R^n ,

de longitud exactamente $n + 1$ .

Ejercicio 19.9 ★★★

Sea $E$ de dimensión $n$ y sean $F$ , $G$ dos hiperplanos (de dimensión $n - 1$ ), $F \neq G$ . Calcúlese $\dim(F \cap G)$ . Generalícese: la intersección de $k$ hiperplanos tiene dimensión $\geq n - k$ .

Solución

Solución de Ejercicio 19.9.

$F + G$ contiene estrictamente a $F$ (ya que $G \not\subseteq F$ ), luego $\dim(F + G) = n$ y Grassmann da $\dim(F \cap G) = (n-1) + (n-1) - n = n - 2$ .

Afirmación general, por inducción sobre $k$ : la intersección $I_k$ de $k$ hiperplanos cumple $\dim I_k \geq n - k$ . Cierto para $k = 1$ . Paso: $I_{k+1} = I_k \cap H_{k+1}$ , y Grassmann dentro de $E$ :

\dim(I_k \cap H_{k+1}) = \dim I_k + (n - 1) - \dim(I_k + H_{k+1}) \geq \dim I_k + (n-1) - n \geq n - k - 1 . \qedhere

Ejercicio 19.10 ★★

Sea $E$ el conjunto de las sucesiones reales que cumplen $u_{n+2} = 3u_{n+1} - 2u_n$ para todo $n$ .

Véase que $E$ es un subespacio del espacio de las sucesiones y que una sucesión de $E$ queda enteramente determinada, de forma lineal, por la pareja $(u_0, u_1)$ ; dedúzcase $\dim E = 2$ .
Compruébese que la sucesión constante $(1)$ y la sucesión geométrica $(2^n)$ están en $E$ y forman una base de $E$ .
Hállese la sucesión de $E$ con $u_0 = 0$ , $u_1 = 1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 19.10.

La condición $u_{n+2} - 3u_{n+1} + 2u_n = 0$ es lineal y la cumple la sucesión nula: $E$ es un subespacio. Por inducción, $u_0$ y $u_1$ determinan todos los $u_n$ , y la dependencia es lineal (cada paso es una combinación lineal de los dos valores anteriores); recíprocamente, cada pareja $(a, b)$ proviene de exactamente una sucesión de $E$ (defínase $u_n$ por la recurrencia). Como en el Ejemplo 19.5, $E$ está parametrizado biyectiva y linealmente por $(u_0, u_1) \in \R^2$ : $\dim E = 2$ .
Constantes: $3\cdot1 - 2\cdot1 = 1$ . Geométrica: $3\cdot 2^{n+1} - 2\cdot 2^n = (6 - 2)2^n = 2^{n+2}$ . Las dos están en $E$ . Libertad: $a\cdot 1 + b\cdot 2^n = 0$ para todo $n$ da, en $n = 0$ y $n = 1$ : $a + b = 0$ , $a + 2b = 0$ , luego $a = b = 0$ . Dos vectores libres en dimensión $2$ : una base (Proposición 19.8).
Resuélvase $a + b = 0$ , $a + 2b = 1$ : $b = 1$ , $a = -1$ , luego $u_n = 2^n - 1$ (la sucesión de Mersenne).

Ejercicio 19.11 ★★

Sea $E$ de dimensión $n$ .

Si $F, G$ son subespacios con $\dim F + \dim G > n$ , demuéstrese que $F \cap G \neq \{0\}$ . Ilústrese: dos subespacios de dimensiones $51$ y $50$ de $\R^{100}$ siempre comparten un vector no nulo.
Si $H$ es un hiperplano y $F$ un subespacio con $F \cap H = \{0\}$ , demuéstrese que $\dim F \leq 1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 19.11.

Grassmann: $\dim(F \cap G) = \dim F + \dim G - \dim(F + G) \geq \dim F + \dim G - n > 0$ , luego $F \cap G \neq \{0\}$ . Con $n = 100$ : $51 + 50 - 100 = 1 > 0$ , la intersección contiene una recta.
Si $F \cap H = \{0\}$ , la suma es directa y $\dim F + (n - 1) = \dim(F \oplus H) \leq n$ , luego $\dim F \leq 1$ . (Recíprocamente, una recta no contenida en $H$ sí lo cumple: los hiperplanos no se pierden casi nada.)

Ejercicio 19.12 ★★★

(Suplementario común) Sean $F, G$ subespacios de $E$ (de dimensión finita) con $\dim F = \dim G$ . Demuéstrese que $F$ y $G$ admiten un suplementario común: hay un subespacio $S$ con $E = F \oplus S = G \oplus S$ . (Inducción descendente sobre $\dim F$ : si $F \neq G \neq E$ , tómese $x \notin F \cup G$ — el Ejercicio 18.12 lo permite— y considérense $F \oplus \operatorname{Vect}(x)$ y $G \oplus \operatorname{Vect}(x)$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 19.12.

Inducción descendente sobre $d = \dim F = \dim G$ , desde $d = n$ hasta $d = 0$ . Si $d = n$ : $F = G = E$ y sirve $S = \{0\}$ . Supóngase el enunciado para parejas de subespacios de dimensión $d + 1 \leq n$ , y sea $\dim F = \dim G = d < n$ .

Si $F = G$ : tómese como $S$ un suplementario cualquiera de $F$ (Teorema 19.14). Si $F \neq G$ : los dos son propios, luego por el Ejercicio 18.12 existe $x \notin F \cup G$ . Las sumas $F' = F \oplus \operatorname{Vect}(x)$ y $G' = G \oplus \operatorname{Vect}(x)$ son directas ( $x \notin F$ , $x \notin G$ ) y tienen dimensión $d + 1$ ; por la hipótesis de inducción admiten un suplementario común $S'$ : $E = F' \oplus S' = G' \oplus S'$ . Póngase $S = \operatorname{Vect}(x) \oplus S'$ — directa, porque $S' \cap \operatorname{Vect}(x) \subseteq S' \cap F' = \{0\}$ .

Entonces $F + S = F + \operatorname{Vect}(x) + S' = F' + S' = E$ , y $F \cap S = \{0\}$ : si $f = \lambda x + s'$ con $f \in F$ , $s' \in S'$ , entonces $s' = f - \lambda x \in F' \cap S' = \{0\}$ , luego $f = \lambda x$ , lo que fuerza $\lambda = 0$ ( $x \notin F$ ) y $f = 0$ . Por tanto, $E = F \oplus S$ y, simétricamente, $E = G \oplus S$ .

19.4 Problema: la ley de la torre de Dedekind

Problema 19.1

Nada en los capítulos 18–19 ha usado de los escalares más que los axiomas de cuerpo (Definición 7.22): se puede, por tanto, tomar $K = \Q$ y medir conjuntos de números reales con la vara de la $\Q$ -dimensión. Este problema calcula la dimensión de $\Q(\sqrt2, \sqrt3)$ , demuestra la ley de la torre de Dedekind $\dim_\Q M = \dim_\Q K \cdot \dim_K M$ y cosecha teoremas de irracionalidad por puro recuento de dimensiones — sin $\varepsilon$ , sin decimales, solo con bases.

Parte I — Escalares racionales.

Compruébese que $\Q$ es un cuerpo y que toda definición y toda demostración de los capítulos 18–19 usa únicamente los axiomas de cuerpo de los escalares; conclúyase que $\R$ es un $\Q$ -espacio vectorial y que el lema del intercambio, los teoremas de base y la fórmula de Grassmann valen sobre $\Q$ . Señálese el único paso de la demostración del Teorema 19.2 donde se divide por un escalar no nulo.
Véase que $(1, \sqrt2)$ es libre sobre $\Q$ pero ligada sobre $\R$ . Póngase $\Q(\sqrt2) = \operatorname{Vect}_\Q(1, \sqrt2) = \{a + b\sqrt2 : a, b \in \Q\}$ ; ¿cuánto vale $\dim_\Q \Q(\sqrt2)$ ?
Véase que $\Q(\sqrt2)$ es estable por la multiplicación. Para $u = a + b\sqrt2$ , póngase $\sigma(u) = a - b\sqrt2$ y $N(u) = u\,\sigma(u) = a^2 - 2b^2$ . Véase que $\sigma(uv) = \sigma(u)\sigma(v)$ , dedúzcase $N(uv) = N(u)N(v)$ y véase que $N(u) \neq 0$ siempre que $u \neq 0$ .
Dedúzcase que todo $u \in \Q(\sqrt2)$ no nulo tiene su inverso en $\Q(\sqrt2)$ , a saber, $u^{-1} = \sigma(u)/N(u)$ : $\Q(\sqrt2)$ es un subcuerpo de $\R$ . Calcúlense $\dfrac1{3 + 2\sqrt2}$ y $\dfrac1{1 + \sqrt2}$ .

Parte II — Adjuntar $\sqrt3$ .

Demuéstrese que $\sqrt6 \notin \Q$ (compárese el exponente de $2$ en los dos miembros de $6q^2 = p^2$ , como en el Ejercicio 6.7) y después que $\sqrt3 \notin \Q(\sqrt2)$ (elévese al cuadrado $\sqrt3 = a + b\sqrt2$ y discútanse los casos $ab \neq 0$ , $b = 0$ , $a = 0$ ).
Sea $M = \operatorname{Vect}_\Q(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ . Véase que $M$ es estable por la multiplicación (basta una tabla de los productos de los vectores de la base).
Escríbase $K = \Q(\sqrt2)$ . Véase que $(1, \sqrt3)$ es libre sobre el cuerpo $K$ , y dedúzcase que $M = K + K\sqrt3$ es un $K$ -espacio vectorial de dimensión $2$ con base $(1, \sqrt3)$ .
Demuéstrese que $(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ es libre sobre $\Q$ , luego $\dim_\Q M = 4$ . (Agrúpese una relación nula como $(a + b\sqrt2) + (c + d\sqrt2)\sqrt3 = 0$ y aplíquense las preguntas 7 y después 2.)

Parte III — La ley de la torre. Sea $\Q \subseteq K \subseteq M \subseteq \R$ , donde $K$ y $M$ son subcuerpos, $(e_1, \dots, e_m)$ es una base de $K$ como $\Q$ -espacio vectorial y $(f_1, \dots, f_n)$ una base de $M$ como $K$ -espacio vectorial.

Véase que los $mn$ productos $(e_i f_j)$ generan $M$ sobre $\Q$ .
Véase que la familia $(e_i f_j)$ es libre sobre $\Q$ . (Reorganícese una $\Q$ -combinación nula como $\sum_j \bigl(\sum_i \lambda_{ij} e_i\bigr) f_j$ , cuyos coeficientes interiores viven en $K$ .)
Conclúyase con la ley de la torre de Dedekind:

$\dim_\Q M \;=\; \dim_\Q K \,\cdot\, \dim_K M ,$

y compruébese sobre $\Q \subseteq \Q(\sqrt2) \subseteq M$ con las preguntas 7 y 8.
(Cuerpos gratis) Sea $A \subseteq \R$ un $\Q$ -subespacio de dimensión finita que contiene a $1$ y es estable por la multiplicación, y sea $u \in A$ , $u \neq 0$ . Véase que si $(a_1, \dots, a_d)$ es una base de $A$ , entonces $(u a_1, \dots, u a_d)$ vuelve a ser una base de $A$ ; dedúzcase que $u$ tiene inverso en $A$ : $A$ es un subcuerpo de $\R$ . ¿Qué preguntas anteriores recupera esto?
Véase que para todo $x \in A$ (como en la pregunta 12, con $\dim_\Q A = d$ ) la familia $(1, x, x^2, \dots, x^{d})$ es ligada: todo elemento de $A$ es raíz de un polinomio no nulo con coeficientes racionales, de grado a lo sumo $d$ .

Parte IV — Un número lo genera todo. Póngase $s = \sqrt2 + \sqrt3$ .

Calcúlense las coordenadas de $s^2$ , $s^3$ y $s^4$ en la base $(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ de $M$ .
Véase que $(1, s, s^2, s^3)$ es libre sobre $\Q$ y dedúzcase $\operatorname{Vect}_\Q(1, s, s^2, s^3) = M$ : todo elemento de $M$ es un polinomio racional en $s$ . Exprésense $\sqrt2$ y $\sqrt3$ como tales polinomios.
Compruébese $s^4 - 10s^2 + 1 = 0$ y véase que $X^4 - 10X^2 + 1$ es el polinomio mónico de menor grado que se anula en $s$ . Determínense sus cuatro raíces reales.
Dedúzcase: $1/s = 10s - s^3$ ; identifíquese ese número. Véase que $a + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6$ ( $a,b,c,d \in \Q$ ) es racional si y solo si $b = c = d = 0$ ; en particular, $\sqrt2 + \sqrt3 + \sqrt6$ es irracional (reforzando el Ejercicio 10.7).

Parte V — La raíz cúbica se queda fuera. Póngase $t = 2^{1/3}$ .

Véase que $X^3 - 2$ no tiene raíz racional (el criterio de la raíz racional del Ejercicio 8.5, o un recuento de valuaciones); dedúzcase que $(1, t)$ es libre sobre $\Q$ .
Véase que $(1, t, t^2)$ es libre sobre $\Q$ . (Si algún $P \in \Q[X]$ no nulo de grado $\leq 2$ mata a $t$ , tómese uno de grado mínimo y divídase $X^3 - 2$ entre él, Teorema 8.3; conclúyase que $X^3 - 2$ tendría una raíz racional.) Dedúzcase que $A = \operatorname{Vect}_\Q(1, t, t^2)$ tiene dimensión $3$ , es estable por la multiplicación y es un subcuerpo de $\R$ .
Demuéstrese que $t \notin M$ : si no, $M$ sería un espacio vectorial sobre el cuerpo $A$ y la ley de la torre forzaría $3 \mid 4$ . Así que $2^{1/3}$ no es combinación racional de $1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6$ .
Dedúzcase que $t \notin \Q(\sqrt2)$ , que $t + \sqrt2$ es irracional y que no hay racionales $a, b$ que cumplan $2^{1/3} = a + b\sqrt3$ .

Parte VI — Todos los subcuerpos, y síntesis.

Demuéstrese la divisibilidad de los grados: si $\Q \subseteq A \subseteq B \subseteq \R$ son subcuerpos con $\dim_\Q B$ finita, entonces $\dim_\Q A$ divide a $\dim_\Q B$ . ¿Qué dimensiones pueden tener los subcuerpos de $M$ ?
Determínense todos los subcuerpos de $M$ de dimensión $2$ sobre $\Q$ . (Redúzcase a hallar los $w = a + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6 \in M \setminus \Q$ con $w^2 \in \Q$ : desarróllese $w^2$ y anúlense las tres coordenadas irracionales.)
Exprésese $\dfrac1{1 + \sqrt2 + \sqrt3}$ en la base $(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ (multiplíquese por conjugados bien elegidos).
Síntesis, en cuatro frases: por qué la $\Q$ -dimensión es un invariante aritmético de un conjunto de reales; qué fuerza la finitud de la dimensión sobre todo elemento (pregunta 13); cómo la regla de dos de tres produjo inversos de la nada (pregunta 12); y qué prohíbe la ley de la torre (pregunta 20). Nómbrese el teorema demostrado en la parte III.

Solución

Solución de Problema 19.1.

1. $\Q$ contiene $0 \neq 1$ , es estable por la suma, el producto y los opuestos, y todo racional no nulo tiene inverso racional: es un cuerpo (Definición 7.22). Las definiciones de subespacio generado, de libertad y de base, y las demostraciones de los capítulos 18–19, usan solo la suma de vectores, la distributividad y la aritmética de escalares en un cuerpo — nunca un valor absoluto, un orden ni un límite. Así que $\R$ , con su propia suma y con la multiplicación $\Q \times \R \to \R$ , es un $\Q$ -espacio vectorial, y todos los teoremas se aplican. La división por un escalar aparece una vez en la demostración del Teorema 19.2: para «despejar $g_k$ » se divide por su coeficiente no nulo.

2. Si $a + b\sqrt2 = 0$ con $a, b \in \Q$ no ambos nulos: $b \neq 0$ daría $\sqrt2 = -a/b \in \Q$ , en contradicción con la irracionalidad de $\sqrt2$ (Ejercicio 6.7 con $p = 2$ ); luego $b = 0$ y después $a = 0$ : libre sobre $\Q$ . Sobre $\R$ , la relación $\sqrt2\cdot 1 + (-1)\cdot\sqrt2 = 0$ es no trivial: ligada. Por tanto, $\dim_\Q \Q(\sqrt2) = 2$ , con coordenadas únicas $(a, b)$ .

3. $(a + b\sqrt2)(c + d\sqrt2) = (ac + 2bd) + (ad + bc)\sqrt2 \in \Q(\sqrt2)$ . Entonces

\sigma(uv) = (ac + 2bd) - (ad + bc)\sqrt2 = (a - b\sqrt2)(c - d\sqrt2) = \sigma(u)\sigma(v),

luego $N(uv) = uv\,\sigma(uv) = u\sigma(u)\,v\sigma(v) = N(u)N(v)$ . Si $N(u) = a^2 - 2b^2 = 0$ con $u \neq 0$ : $b \neq 0$ daría $(a/b)^2 = 2$ , una raíz cuadrada racional de $2$ ; luego $b = 0$ , y entonces $a = 0$ y $u = 0$ : contradicción. Por tanto, $N(u) \neq 0$ para $u \neq 0$ .

4. $u \cdot \dfrac{\sigma(u)}{N(u)} = \dfrac{N(u)}{N(u)} = 1$ , y $\sigma(u)/N(u) \in \Q(\sqrt2)$ : todo elemento no nulo es invertible dentro de $\Q(\sqrt2)$ , que es, por tanto, un subcuerpo de $\R$ . Ejemplos: $N(3 + 2\sqrt2) = 9 - 8 = 1$ , luego

\frac1{3 + 2\sqrt2} = 3 - 2\sqrt2 ; \qquad N(1 + \sqrt2) = -1, \quad \frac1{1 + \sqrt2} = \sqrt2 - 1 .

5. Si $\sqrt6 = p/q$ , entonces $6q^2 = p^2$ ; el exponente de $2$ es $1 + 2v_2(q)$ , impar, a la izquierda, y $2v_2(p)$ , par, a la derecha: imposible. Supóngase ahora $\sqrt3 = a + b\sqrt2$ con $a, b \in \Q$ . Elevando al cuadrado: $3 = a^2 + 2b^2 + 2ab\sqrt2$ . Si $ab \neq 0$ , entonces $\sqrt2 = (3 - a^2 - 2b^2)/(2ab) \in \Q$ : imposible. Si $b = 0$ : $\sqrt3 = a \in \Q$ , en contradicción con el Ejercicio 6.7 ( $p = 3$ ). Y si $a = 0$ : $\sqrt3 = b\sqrt2$ y, multiplicando por $\sqrt2$ : $\sqrt6 = 2b \in \Q$ : imposible. Así que $\sqrt3 \notin \Q(\sqrt2)$ .

6. Los productos de los vectores de la base son

\sqrt2\,\sqrt3 = \sqrt6,\quad \sqrt2\,\sqrt6 = 2\sqrt3,\quad \sqrt3\,\sqrt6 = 3\sqrt2,\quad (\sqrt2)^2 = 2,\ (\sqrt3)^2 = 3,\ (\sqrt6)^2 = 6,

todos en $M$ . Un producto de dos elementos de $M$ se desarrolla por bilinealidad en combinaciones racionales de estos: $M$ es estable por la multiplicación.

7. Sea $x + y\sqrt3 = 0$ con $x, y \in K = \Q(\sqrt2)$ . Si $y \neq 0$ , entonces $\sqrt3 = -x/y \in K$ (pregunta 4: $K$ es un cuerpo), en contradicción con la pregunta 5. Luego $y = 0$ y después $x = 0$ : $(1, \sqrt3)$ es libre sobre $K$ . Y genera: $K + K\sqrt3 = \{(a + b\sqrt2) + (c + d\sqrt2)\sqrt3\} = \operatorname{Vect}_\Q (1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6) = M$ . Por tanto, $\dim_K M = 2$ .

8. Una relación $a + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6 = 0$ se reagrupa como $(a + b\sqrt2) + (c + d\sqrt2)\sqrt3 = 0$ con coeficientes en $K$ ; por la pregunta 7 los dos se anulan y, por la pregunta 2, $a = b = 0$ y $c = d = 0$ . Así que la familia es libre y $\dim_\Q M = 4$ .

9. Todo $x \in M$ se escribe $x = \sum_j y_j f_j$ con $y_j \in K$ (base de $M$ sobre $K$ ), y cada $y_j = \sum_i \lambda_{ij} e_i$ con $\lambda_{ij} \in \Q$ (base de $K$ sobre $\Q$ ); sustituyendo, $x = \sum_{i,j} \lambda_{ij}\, e_i f_j$ : los productos generan $M$ sobre $\Q$ .

10. Supóngase $\sum_{i,j} \lambda_{ij}\, e_i f_j = 0$ con $\lambda_{ij} \in \Q$ . Reagrúpese: $\sum_j \bigl(\sum_i \lambda_{ij} e_i\bigr) f_j = 0$ , y las sumas interiores están en $K$ . Que $(f_j)$ sea libre sobre $K$ da $\sum_i \lambda_{ij} e_i = 0$ para cada $j$ ; y que $(e_i)$ sea libre sobre $\Q$ da entonces $\lambda_{ij} = 0$ para todos $i, j$ .

11. Por las preguntas 9 y 10, $(e_i f_j)_{i \leq m,\, j \leq n}$ es una base de $M$ sobre $\Q$ con $mn$ elementos:

\dim_\Q M = m\,n = \dim_\Q K \cdot \dim_K M .

Comprobación: $\dim_\Q K = 2$ y $\dim_K M = 2$ (preguntas 2 y 7) dan $\dim_\Q M = 4$ , que es la pregunta 8.

12. Los vectores $u a_1, \dots, u a_d$ están en $A$ (por la estabilidad). Son libres: si $\sum_i \lambda_i\, u a_i = 0$ , entonces $u \sum_i \lambda_i a_i = 0$ en $\R$ , y $u \neq 0$ fuerza $\sum_i \lambda_i a_i = 0$ , luego $\lambda_i = 0$ (los $a_i$ forman una base). Así, $(u a_1, \dots, u a_d)$ es una familia libre de $d$ vectores en $A$ , con $\dim_\Q A = d$ : una base (Proposición 19.8). En particular, $1 \in A$ se descompone como $1 = \sum_i \mu_i\, u a_i = u\,v$ con $v = \sum_i \mu_i a_i \in A$ : el inverso de $u$ está en $A$ . Esto recupera la pregunta 4 ( $A = \Q(\sqrt2)$ ) y demuestra de golpe que $M$ es un subcuerpo de $\R$ (con la pregunta 6).

13. Los $d + 1$ vectores $1, x, x^2, \dots, x^{d}$ están todos en $A$ (estabilidad por productos); y una familia libre de $A$ tiene a lo sumo $d$ vectores (Proposición 19.8), así que son ligados: hay racionales $\lambda_0, \dots, \lambda_d$ , no todos nulos, con $\sum_k \lambda_k x^k = 0$ . El polinomio $P = \sum_k \lambda_k X^k$ es no nulo, tiene coeficientes racionales, grado $\leq d$ y $P(x) = 0$ .

14. $s^2 = 2 + 2\sqrt6 + 3 = 5 + 2\sqrt6$ : coordenadas $(5, 0, 0, 2)$ . Después,

s^3 = s\,s^2 = (\sqrt2 + \sqrt3)(5 + 2\sqrt6) = 5\sqrt2 + 2\sqrt{12} + 5\sqrt3 + 2\sqrt{18} = 11\sqrt2 + 9\sqrt3 ,

coordenadas $(0, 11, 9, 0)$ (usando $\sqrt{12} = 2\sqrt3$ , $\sqrt{18} = 3\sqrt2$ ). Por último, $s^4 = (s^2)^2 = 25 + 20\sqrt6 + 24 = 49 + 20\sqrt6$ : coordenadas $(49, 0, 0, 20)$ .

15. Supóngase $a + bs + cs^2 + ds^3 = 0$ . Leyendo las cuatro coordenadas sobre $(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ :

a + 5c = 0,\qquad b + 11d = 0,\qquad b + 9d = 0,\qquad 2c = 0 .

Luego $c = 0$ y después $a = 0$ ; restando las ecuaciones centrales, $2d = 0$ y después $b = 0$ : $(1, s, s^2, s^3)$ es libre. Cuatro vectores libres en $M$ , de dimensión $4$ : una base, luego $\operatorname{Vect}_\Q(1, s, s^2, s^3) = M$ . De la pregunta 14, $s^3 - 9s = 2\sqrt2$ y $11s - s^3 = 2\sqrt3$ :

\sqrt2 = \frac{s^3 - 9s}{2}, \qquad \sqrt3 = \frac{11s - s^3}{2} .

16. $s^4 - 10s^2 + 1 = (49 + 20\sqrt6) - 10(5 + 2\sqrt6) + 1 = 0$ . Un polinomio mónico de grado $\leq 3$ que se anulara en $s$ produciría una combinación nula no trivial de $(1, s, s^2, s^3)$ , en contradicción con la pregunta 15: $X^4 - 10X^2 + 1$ es de grado mínimo. Sus raíces: $X^2 = 5 \pm 2\sqrt6 = (\sqrt3 \pm \sqrt2)^2$ , así que las cuatro raíces reales son $\pm(\sqrt3 + \sqrt2)$ y $\pm(\sqrt3 - \sqrt2)$ , es decir, $\pm\sqrt2 \pm \sqrt3$ .

17. De $s^4 - 10s^2 + 1 = 0$ : $s\,(10s - s^3) = 1$ , luego

\frac1s = 10s - s^3 = 10(\sqrt2 + \sqrt3) - (11\sqrt2 + 9\sqrt3) = \sqrt3 - \sqrt2 ,

en consonancia con $(\sqrt3 + \sqrt2)(\sqrt3 - \sqrt2) = 1$ . Si $a + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6 = r \in \Q$ , entonces $(a - r) + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6 = 0$ y la libertad (pregunta 8) fuerza $b = c = d = 0$ (y $a = r$ ). Para $\sqrt2 + \sqrt3 + \sqrt6$ , las coordenadas $(0, 1, 1, 1)$ no son de esa forma: irracional — un enunciado más fuerte que el Ejercicio 10.7, obtenido sin ningún truco de elevar al cuadrado.

18. Una raíz racional $p/q$ (irreducible) de $X^3 - 2$ cumple $p^3 = 2q^3$ , y el criterio del Ejercicio 8.5 da $p \mid 2$ , $q \mid 1$ : candidatas $\pm1, \pm2$ , cuyos cubos son $\pm1, \pm8 \neq 2$ . No hay raíz racional; en particular, $t = 2^{1/3} \notin \Q$ , luego $(1, t)$ es libre sobre $\Q$ (como en la pregunta 2).

19. Supóngase $(1, t, t^2)$ ligada: algún $P \in \Q[X]$ no nulo con $\deg P \leq 2$ cumple $P(t) = 0$ ; elíjase un $P$ así de grado mínimo $d \geq 1$ . Por la pregunta 18, $d \neq 1$ , luego $d = 2$ . División euclídea (Teorema 8.3): $X^3 - 2 = PQ + R$ con $Q, R \in \Q[X]$ , $\deg R < 2$ . Evaluando en $t$ : $0 = P(t)Q(t) + R(t) = R(t)$ , luego $R$ se anula en $t$ ; y la minimalidad de $d$ fuerza $R = 0$ . Entonces $X^3 - 2 = PQ$ con $\deg Q = 1$ : la raíz racional de $Q$ es una raíz racional de $X^3 - 2$ , en contradicción con la pregunta 18. Por tanto, $(1, t, t^2)$ es libre y $\dim_\Q A = 3$ . Estabilidad: $t^3 = 2$ reduce todo producto de $1, t, t^2$ a una combinación de ellos ( $t\cdot t^2 = 2$ , $t^2\cdot t^2 = 2t$ ); y $A$ contiene a $1$ : por la pregunta 12, $A$ es un subcuerpo de $\R$ .

20. Supóngase $t \in M$ . Entonces $t^2 \in M$ (estabilidad), luego $A \subseteq M$ , y $M$ es un espacio vectorial sobre el cuerpo $A$ : los axiomas son los de la aritmética de $\R$ , restringidos. Y es de dimensión finita sobre $A$ (una familia $\Q$ -generadora finita genera a fortiori sobre $A \supseteq \Q$ ). La ley de la torre para $\Q \subseteq A \subseteq M$ da

4 = \dim_\Q M = \dim_\Q A \cdot \dim_A M = 3\,\dim_A M ,

imposible: $3$ no divide a $4$ . Luego $2^{1/3} \notin M$ : ninguna combinación racional de $1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6$ es igual a $2^{1/3}$ .

21. $\Q(\sqrt2) \subseteq M$ , luego $t \notin \Q(\sqrt2)$ . Si $t + \sqrt2 = r \in \Q$ , entonces $t = r - \sqrt2 \in \Q(\sqrt2)$ : contradicción — $2^{1/3} + \sqrt2$ es irracional. Y si $t = a + b\sqrt3$ , entonces $t \in \operatorname{Vect}_\Q(1, \sqrt3) \subseteq M$ : otra contradicción.

22. $B$ es un espacio vectorial sobre el cuerpo $A$ (restricción de escalares), de dimensión finita ya que $\dim_\Q B$ es finita. La ley de la torre para $\Q \subseteq A \subseteq B$ da $\dim_\Q B = \dim_\Q A \cdot \dim_A B$ : el factor de la izquierda divide. Los subcuerpos de $M$ tienen, por tanto, $\Q$ -dimensión $1$ , $2$ o $4$ : la dimensión $1$ es $\Q$ mismo y la $4$ es $M$ .

23. Sea $F \subseteq M$ un subcuerpo con $\dim_\Q F = 2$ y sea $w \in F \setminus \Q$ : $(1, w)$ es libre y, por tanto, una base de $F$ . Por la pregunta 13 ( $d = 2$ ), $w^2 = \alpha + \beta w$ para ciertos racionales $\alpha, \beta$ . Poniendo $v = w - \beta/2 \in F \setminus \Q$ :

v^2 = w^2 - \beta w + \frac{\beta^2}4 = \alpha + \frac{\beta^2}4 \;\in\; \Q,

y $F = \operatorname{Vect}(1, v)$ . Escríbase ahora $v = a + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6$ y desarróllese:

v^2 = (a^2 + 2b^2 + 3c^2 + 6d^2) + (2ab + 6cd)\sqrt2 + (2ac + 4bd)\sqrt3 + (2ad + 2bc)\sqrt6 .

Las tres coordenadas irracionales se anulan: $ab + 3cd = ac + 2bd = ad + bc = 0$ . Si $a \neq 0$ : $b = -3cd/a$ , y la segunda condición se convierte en $c(a^2 - 6d^2) = 0$ ; y como $a^2 = 6d^2$ con $d \neq 0$ haría racional $\sqrt6 = \abs{a/d}$ , o bien $c = 0$ o bien $d = 0$ , y en los dos casos las condiciones restantes fuerzan $b = c = d = 0$ , es decir, $v \in \Q$ : excluido. Luego $a = 0$ , y las condiciones dicen $3cd = 2bd = bc = 0$ : a lo sumo uno de $b, c, d$ es no nulo. Por tanto, $v$ es un múltiplo racional de $\sqrt2$ , $\sqrt3$ o $\sqrt6$ , y

F \in \bigl\{\Q(\sqrt2),\ \Q(\sqrt3),\ \Q(\sqrt6)\bigr\} ,

cada uno de los cuales es, en efecto, un subcuerpo de dimensión $2$ (la estabilidad como en la pregunta 6, los inversos por la pregunta 12): exactamente tres subcuerpos cuadráticos.

24. $(1 + \sqrt2 + \sqrt3)(1 + \sqrt2 - \sqrt3) = (1 + \sqrt2)^2 - 3 = 2\sqrt2$ , luego

\frac1{1 + \sqrt2 + \sqrt3} = \frac{1 + \sqrt2 - \sqrt3}{2\sqrt2} = \frac{\sqrt2 + 2 - \sqrt6}{4} = \frac12 + \frac14\sqrt2 + 0\cdot\sqrt3 - \frac14\sqrt6 .

(Compruébese: $(1 + \sqrt2 + \sqrt3)(2 + \sqrt2 - \sqrt6) = 4$ tras desarrollar.)

25. (i) La $\Q$ -dimensión asocia un entero a cada subcuerpo de $\R$ , y la ley de la torre hace que esos enteros se multipliquen a lo largo de las inclusiones: la dimensión se comporta como un invariante aritmético, y las restricciones de divisibilidad se convierten en demostraciones de imposibilidad. (ii) La dimensión finita obliga a que todo elemento cumpla una ecuación polinómica racional no nula de grado a lo sumo la dimensión: finitud significa algebraicidad. (iii) La regla de dos de tres convirtió «multiplicar por $u$ lleva una base a una familia libre de tamaño máximo» en sobreyectividad, produciendo $u^{-1}$ sin ninguna fórmula: los inversos salieron de contar. (iv) La ley de la torre prohíbe un cuerpo de dimensión $3$ dentro de uno de dimensión $4$ , y por eso $2^{1/3}$ no se puede alcanzar desde $\sqrt2$ y $\sqrt3$ . El teorema de la parte III es la ley de la torre de Dedekind, el movimiento de apertura de la teoría de Galois, desarrollada en el volumen del tercer año.

Términos definidos en este capítulo

Ver los 395 términos del glosario