Matemáticas universitarias — Grado 1 · Bachelor Year 1

9Fracciones racionales

Una fracción racional es un cociente de polinomios. El teorema central de este capítulo breve — la descomposición en fracciones simples — rompe cualquier cociente así en una suma de ladrillos elementales $\frac{c}{(X - a)^k}$ . Más allá de su interés algebraico, es la máquina estándar para integrar funciones racionales (Capítulo 15) y para sumar ciertas series (Capítulo 17).

9.1 El cuerpo $K(X)$

Definición 9.1

Una fracción racional sobre $K$ ( $= \R$ o $\C$ ) es un cociente $F = \frac{A}{B}$ con $A, B \in K[X]$ , $B \neq 0$ ; dos cocientes $\frac AB$ y $\frac{A'}{B'}$ se identifican cuando $AB' = A'B$ . Toda fracción tiene una forma irreducible con $\gcd(A, B) = 1$ , única salvo constantes. Con las operaciones naturales, el conjunto $K(X)$ de las fracciones racionales es un cuerpo.

Los polos de $F$ (en forma irreducible) son las raíces de $B$ ; el orden de un polo es su multiplicidad como raíz de $B$ . El grado de $F$ es $\deg F = \deg A - \deg B \in \Z \cup \{-\infty\}$ .

Ejemplo 9.2 (Leer polos, órdenes y grado)

Sea $F = \dfrac{X^3 - X}{X^4 - 2X^3 + X^2}$ . Factorícense las dos capas: numerador $X(X-1)(X+1)$ , denominador $X^2(X-1)^2$ ; cancélese el factor común $X(X-1)$ :

F = \frac{X + 1}{X(X - 1)} \quad\text{(reduced form).}

Polos: $0$ y $1$ , los dos simples — los órdenes se leen en el denominador reducido, así que las aparentes raíces dobles del original son irrelevantes. Grado: $\deg F = 1 - 2 = -1$ , visible asintóticamente ( $xF(x) \to 1$ cuando $x \to \infty$ ). El grado se comporta como el grado polinómico ( $\deg FG = \deg F + \deg G$ , $\deg(F + G) \leq \max$ ), regla contable que se usa constantemente en las cazas de coeficientes de más abajo: cada argumento del tipo «límite de $xF(x)$ » es un recuento de grados disfrazado.

Proposición 9.3 (Parte entera)

Todo $F = \frac AB \in K(X)$ se escribe de manera única $F = E + \frac RB$ con $E \in K[X]$ (la parte entera, o parte polinómica, de $F$ ) y $\deg R < \deg B$ . Se tiene $E \neq 0$ si y solo si $\deg F \geq 0$ .

Demostración. División euclídea $A = BE + R$ (Teorema 8.3), dividida entre $B$ . Unicidad: si $E + \frac RB = E' + \frac{R'}{B}$ , entonces $(E - E')B = R' - R$ con $\deg(R' - R) < \deg B$ , lo que obliga a $E = E'$ y después a $R = R'$ . ∎

Ejemplo 9.4 (Redúzcase primero, divídase después)

Hállese la parte entera de $F = \dfrac{X^3 + 1}{X^2 - 1}$ . Dividiendo a ciegas: $X^3 + 1 = (X^2 - 1)X + (X + 1)$ , luego $F = X + \frac{X + 1}{X^2 - 1}$ . Pero la fracción no era irreducible: $X^3 + 1 = (X + 1)(X^2 - X + 1)$ y $X^2 - 1 = (X+1)(X-1)$ comparten el factor $X + 1$ , y

F = \frac{X^2 - X + 1}{X - 1} = X + \frac{1}{X - 1} :

la misma parte entera $X$ , pero la parte fraccionaria se reduce a un único ladrillo, y el «polo» en $-1$ nunca fue un polo. Redúzcase siempre a forma irreducible antes de cazar polos: los polos de $F$ son las raíces del denominador reducido. (La parte entera es insensible a la simplificación, como garantiza la unicidad de la Proposición 9.3.)

9.2 Descomposición en fracciones simples sobre $\C$

Teorema 9.5 (Descomposición sobre $\C$ )

Sea $F = \frac AB \in \C(X)$ en forma irreducible, con $B = c\,(X - a_1)^{m_1} \cdots (X - a_r)^{m_r}$ . Entonces $F$ es, de manera única,

F = E + \sum_{i=1}^{r} \sum_{k=1}^{m_i} \frac{c_{i,k}}{(X - a_i)^k}, \qquad E \in \C[X],\ c_{i,k} \in \C ,

siendo $E$ la parte entera de $F$ .

Demostración. Por la Proposición 9.3 podemos suponer $\deg A < \deg B$ y demostrar la descomposición en suma con $E = 0$ .

Separación de los polos. Escríbase $B = (X - a_1)^{m_1} B_1$ con $B_1(a_1) \neq 0$ . Los polinomios $(X-a_1)^{m_1}$ y $B_1$ son coprimos (no tienen raíces comunes), luego, por Bézout en $\C[X]$ (véase la observación del Capítulo 8), existen $U_0, V_0$ con $U_0 (X-a_1)^{m_1} + V_0 B_1 = 1$ ; multiplicando por $A$ y poniendo $U = AU_0$ , $V = AV_0$ , y dividiendo después entre $B$ :

\frac AB = \frac{V}{(X - a_1)^{m_1}} + \frac{U}{B_1} .

Las condiciones de grado se pueden imponer: divídase $V$ entre $(X-a_1)^{m_1}$ , digamos $V = (X-a_1)^{m_1}Q + V_1$ con $\deg V_1 < m_1$ , y absórbase el cociente en el segundo término ( $U_1 = U + QB_1$ ):

\frac AB = \frac{V_1}{(X - a_1)^{m_1}} + \frac{U_1}{B_1}, \qquad \deg V_1 < m_1 ;

comparando grados ( $\deg A < \deg B$ y $\deg V_1 < m_1$ ) se obliga también a $\deg U_1 < \deg B_1$ . Iterando sobre $\frac{U_1}{B_1}$ , polo tras polo, todo se reduce al caso de un solo polo de más abajo.

Un solo polo. Para $\frac{A}{(X-a)^m}$ con $\deg A < m$ : desarróllese $A$ en potencias de $(X - a)$ , $A = \sum_{j=0}^{m-1} \alpha_j (X - a)^j$ (desarrollo de Taylor de un polinomio, como en la demostración de la Proposición 8.11); al dividir aparecen exactamente los ladrillos $\frac{\alpha_j}{(X-a)^{m-j}}$ . En concreto, para $\frac{X^2 + 1}{(X+2)^3}$ : sustituyendo $X = Y - 2$ ,

X^2 + 1 = (Y - 2)^2 + 1 = Y^2 - 4Y + 5 , \qquad\text{so}\qquad \frac{X^2+1}{(X+2)^3} = \frac1{Y} - \frac4{Y^2} + \frac5{Y^3}

con $Y = X + 2$ : los tres ladrillos aparecen con la mera división del desarrollo desplazado — la vía más rápida siempre que haya un único polo de orden alto, y la recomendada para el Ejercicio 9.3.

Unicidad. Supóngase que dos descomposiciones coinciden; su diferencia es una identidad $0 = \sum_{i,k} \frac{d_{i,k}}{(X - a_i)^k}$ . Multiplíquese todo por $(X - a_1)^{m_1}$ : todo término adquiere un factor que se anula en $a_1$ salvo el de $i = 1$ , $k = m_1$ , cuyo coeficiente queda como $d_{1,m_1}$ más términos con al menos un factor $(X - a_1)$ . Evaluando en $a_1$ (es lícito: tras la multiplicación ya no queda polo en $a_1$ ) se obtiene $d_{1,m_1} = 0$ . Eliminado el coeficiente superior, repítase con $(X - a_1)^{m_1 - 1}$ y así sucesivamente hasta $k = 1$ ; pásese después al polo siguiente. Todos los $d_{i,k}$ se anulan: la descomposición es única. ∎

Método 9.6 (Cálculo de los coeficientes)

En la práctica, evítese Bézout y combínense:

tapado para la potencia más alta: el coeficiente de $\frac{1}{(X-a)^m}$ (con $m$ el orden del polo $a$ ) es

$c_{a,m} = \Bigl[\,(X - a)^m F\,\Bigr]_{X = a};$

y, para un polo simple de $F = \frac AB$ , vale $\frac{A(a)}{B'(a)}$ ;
evaluaciones en puntos cómodos y límites de $xF(x)$ cuando $x \to \infty$ , para reunir relaciones lineales entre los coeficientes restantes;
simetrías de paridad o de conjugación, cuando las haya, para reducir el trabajo a la mitad.

Observación 9.7 (Errores frecuentes con las fracciones simples)

Saltarse la parte entera. La descomposición en ladrillos se aplica a fracciones de grado $< 0$ ; cuando $\deg A \geq \deg B$ , divídase primero (Proposición 9.3), o la caza de coeficientes producirá contradicciones.
Usar el tapado fuera de su alcance. Multiplicar por $(X - a)^k$ y evaluar en $a$ da el coeficiente solo para $k = m$ , el orden completo del polo; los coeficientes de orden menor exigen otras relaciones (límites, evaluaciones) — véase el Ejemplo 9.9.
Olvidarse de reducir. Los polos se leen en la forma irreducible; un factor común entre numerador y denominador crea polos fantasma (Ejemplo 9.4).
Ladrillos de forma equivocada sobre $\R$ . Sobre un factor cuadrático irreducible, los numeradores son afines ( $\alpha X + \beta$ ), no constantes; escribir solo $\frac{c}{X^2 + 1}$ pierde soluciones — las formas correctas las dicta el Teorema 9.10, nunca la improvisación.

Demostración de la fórmula del polo simple. Cerca de un polo simple $a$ : $B = (X - a) Q$ con $Q(a) \neq 0$ , y $B' = Q + (X - a) Q'$ , luego $B'(a) = Q(a)$ . El valor por tapado es $\frac{A(a)}{Q(a)} = \frac{A(a)}{B'(a)}$ . ∎

Ejemplo 9.8

Descompóngase $F = \dfrac{1}{X(X-1)(X-2)}$ . Tres polos simples; tapado en cada uno:

c_0 = \frac{1}{(0-1)(0-2)} = \frac12, \quad c_1 = \frac{1}{1 \times (1 - 2)} = -1, \quad c_2 = \frac{1}{2 \times 1} = \frac12,

luego $F = \dfrac{1/2}{X} - \dfrac{1}{X-1} + \dfrac{1/2}{X-2}$ . Comprobación en $X = 3$ : directamente, $F(3) = \frac{1}{3\cdot2\cdot1} = \frac16$ ; y con la descomposición, $\frac{1/2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1/2}{1} = \frac16 - \frac12 + \frac12 = \frac16$ .

Ejemplo 9.9 (Polo múltiple)

Descompóngase $F = \dfrac{X}{(X-1)^2 (X+1)}$ . Forma: $\frac{a}{(X-1)^2} + \frac{b}{X-1} + \frac{c}{X+1}$ .

Tapado en el polo doble: $a = \bigl[\frac{X}{X+1}\bigr]_{X=1} = \frac12$ .
Tapado en $-1$ : $c = \bigl[\frac{X}{(X-1)^2}\bigr]_{X=-1} = -\frac14$ .
Límite de $xF(x)$ en $\infty$ : $0 = b + c$ , luego $b = \frac14$ .

F = \frac{1/2}{(X-1)^2} + \frac{1/4}{X-1} - \frac{1/4}{X+1} .

Comprobación en $X = 0$ : $F(0) = 0$ y $\frac12 - \frac14 - \frac14 = 0$ .

9.3 Descomposición sobre $\R$

Teorema 9.10 (Descomposición sobre $\R$ )

Sea $F \in \R(X)$ en forma irreducible con denominador

B = c \prod_i (X - a_i)^{m_i} \prod_j (X^2 + p_j X + q_j)^{n_j} \qquad (p_j^2 - 4q_j < 0).

Entonces $F$ se descompone de manera única como su parte entera más términos

\frac{c_{i,k}}{(X - a_i)^k} \quad (1 \leq k \leq m_i), \qquad \frac{\alpha_{j,l}\, X + \beta_{j,l}}{(X^2 + p_j X + q_j)^{l}} \quad (1 \leq l \leq n_j),

con coeficientes reales.

Demostración. Descompóngase sobre $\C$ (Teorema 9.5). Como $F$ es real, el coeficiente sobre el polo $\conj a$ (en cada orden) es el conjugado del coeficiente sobre $a$ (aplíquese la conjugación a la descomposición e invóquese la unicidad). Agrúpese cada par conjugado:

\frac{c}{(X - z)^l} + \frac{\conj c}{(X - \conj z)^l} = \frac{c\,(X - \conj z)^l + \conj c\,(X - z)^l}{\bigl(X^2 - 2\Re(z)X + \abs z^2\bigr)^{l}},

cuyo numerador es su propio conjugado, luego es real, de grado $\leq l$ ; separar múltiplos del factor cuadrático real lo baja a grado $\leq 1$ en cada nivel $l$ (una pequeña inducción descendente). Los polos reales conservan sus coeficientes reales (la conjugación los deja fijos). La unicidad se sigue de la unicidad sobre $\C$ . ∎

Ejemplo 9.11 (Ver el emparejamiento de conjugados)

El mecanismo de la demostración, en el caso más pequeño: sobre $\C$ , los polos de $\frac1{X^2+1}$ son $\pm\iu$ , con coeficientes por tapado $\frac1{2\iu}$ en $\iu$ y $\frac1{-2\iu}$ en $-\iu$ — conjugados el uno del otro, como predice el teorema:

\frac{1}{X^2 + 1} = \frac{1/(2\iu)}{X - \iu} - \frac{1/(2\iu)}{X + \iu} .

Recombinando sobre el denominador común:

\frac{1}{2\iu}\cdot\frac{(X + \iu) - (X - \iu)}{X^2 + 1} = \frac{1}{2\iu}\cdot\frac{2\iu}{X^2 + 1} = \frac{1}{X^2+1} :

las partes imaginarias se cancelan y el ladrillo real reaparece intacto. Para integrandos reales normalmente no se sale nunca de $\R$ — pero, al evaluar sumas en puntos complejos (como hace el problema del fin de semana con las raíces de la unidad), los ladrillos complejos son la moneda natural, y este emparejamiento es el tipo de cambio entre las dos descomposiciones.

Ejemplo 9.12

Descompóngase $F = \dfrac{4}{(X^2+1)(X-1)^2}$ sobre $\R$ . Forma: $\frac{aX + b}{X^2 + 1} + \frac{c}{(X-1)^2} + \frac{d}{X - 1}$ . Tapado en el polo doble: $c = \bigl[\frac{4}{X^2+1}\bigr]_{X=1} = 2$ . Tapado en el polo complejo $\iu$ (el numerador sobre $X^2 + 1$ evaluado con la descomposición compleja, o directamente): multiplíquese por $X^2 + 1$ y hágase $X = \iu$ :

a\iu + b = \frac{4}{(\iu - 1)^2} = \frac{4}{-2\iu} = 2\iu ,

luego $a = 2$ , $b = 0$ . Límite de $xF(x)$ en el infinito: $0 = a + d$ , luego $d = -2$ . Por tanto

F = \frac{2X}{X^2+1} + \frac{2}{(X-1)^2} - \frac{2}{X-1} .

Comprobación en $X = 0$ : $F(0) = 4$ y $0 + 2 + 2 = 4$ .

Ejemplo 9.13 (Un denominador cúbico, de principio a fin)

Descompóngase $F = \dfrac{1}{X^3 + 1}$ sobre $\R$ . Factorícese primero: $X^3 + 1 = (X + 1)(X^2 - X + 1)$ , teniendo la cuadrática discriminante $-3 < 0$ . Forma: $\frac{a}{X+1} + \frac{bX + c}{X^2 - X + 1}$ . Tapado en el polo simple $-1$ : $a = \bigl[\frac1{X^2 - X + 1}\bigr]_{X=-1} = \frac13$ . Límite de $xF(x)$ en el infinito: $0 = a + b$ , luego $b = -\frac13$ . Evaluación en $X = 0$ : $1 = a + c$ , luego $c = \frac23$ . Por tanto

\frac{1}{X^3+1} = \frac13\Bigl(\frac{1}{X+1} + \frac{-X + 2}{X^2 - X + 1}\Bigr) ,

confirmado en $X = 1$ : el miembro izquierdo vale $\frac12$ y el derecho $\frac13\bigl(\frac12 + 1\bigr) = \frac12$ . Obsérvese la economía: tres incógnitas, tres hechos lineales baratos (un tapado, un límite, una evaluación) y ningún desarrollo — el flujo de trabajo del Método 9.6 en estado puro.

Observación 9.14 (Para qué sirve)

Una vez descompuesta, una función racional se integra término a término: los ladrillos $\frac{1}{(x-a)^k}$ tienen primitivas elementales, y los ladrillos $\frac{\alpha x + \beta}{(x^2 + px + q)^l}$ se reducen a $\ln$ y $\arctan$ (Capítulo 15). Las sumas telescópicas son la otra aplicación estándar (Ejercicio 9.8).

Observación 9.15 (Dónde se usa este capítulo)

Las fracciones simples son ante todo un paso de preprocesamiento: el capítulo de integración (Capítulo 15) pasa todo integrando racional por el Teorema 9.10 antes de integrar, y el capítulo de series (Capítulo 17) telescopa términos racionales exactamente como en el Ejercicio 9.8 y en el problema del fin de semana — que lleva la técnica hasta $\sum 1/k^2 = \pi^2/6$ . La derivada logarítmica $P'/P = \sum m_i/(X - a_i)$ (Ejercicio 8.11) reaparece siempre que se estudia la localización de las raíces. Más allá de este volumen, la descomposición de $1/\chi(X)$ para un polinomio característico $\chi$ sostiene el cálculo de potencias de matrices y de transformadas de Laplace en el volumen del segundo año: los ladrillos $\frac{c}{(X - a)^k}$ son la sombra algebraica de las soluciones $t^{k-1}\eu^{at}$ del Capítulo 5.

La función F(x) = 1x+1 + 1x + 1x-1, del tipo del : estrictamente decreciente en cada intervalo entre sus polos -1, 0, 1 (a trazos). Cada nivel horizontal > 0 se cruza exactamente una vez por intervalo a la derecha del primer polo (puntos marcados): las soluciones de F = se entrelazan con los polos. — La función $F(x) = \frac1{x+1} + \frac1x + \frac1{x-1}$ , del tipo del Ejercicio 9.12: estrictamente decreciente en cada intervalo entre sus polos $-1, 0, 1$ (a trazos). Cada nivel horizontal $\lambda > 0$ se cruza exactamente una vez por intervalo a la derecha del primer polo (puntos marcados): las soluciones de $F = \lambda$ se entrelazan con los polos.

9.4 Ejercicios

Ejercicio 9.1 ★

Descompóngase sobre $\R$ : $\dfrac{1}{X^2 - 1}$ ; $\;\dfrac{X}{X^2 - 3X + 2}$ ; $\;\dfrac{X^2 + 1}{X(X-1)}$ (ojo con la parte entera).

Solución

Solución de Ejercicio 9.1.

$\dfrac{1}{X^2 - 1}$ : polos simples $\pm 1$ ; por tapado: $\dfrac{1/2}{X-1} - \dfrac{1/2}{X+1}$ .

$\dfrac{X}{X^2 - 3X + 2} = \dfrac{X}{(X-1)(X-2)}$ : el tapado da $\frac{1}{1-2} = -1$ en $1$ y $\frac{2}{2-1} = 2$ en $2$ : $\dfrac{-1}{X-1} + \dfrac{2}{X-2}$ .

$\dfrac{X^2+1}{X(X-1)}$ : el grado es $0$ , así que hay parte entera: dividiendo, $X^2 + 1 = (X^2 - X) + (X + 1)$ , luego $F = 1 + \frac{X+1}{X(X-1)}$ . Tapado sobre el resto: $\frac{1}{-1} = -1$ en $0$ y $\frac{2}{1} = 2$ en $1$ :

F = 1 - \frac{1}{X} + \frac{2}{X-1} .

Ejercicio 9.2 ★

Descompóngase sobre $\R$ : $\dfrac{1}{X(X^2 + 1)}$ y $\dfrac{X^3}{X^2 + X + 1}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 9.2.

$\dfrac{1}{X(X^2+1)}$ : forma $\frac aX + \frac{bX + c}{X^2 + 1}$ . Tapado en $0$ : $a = 1$ . Límite de $xF$ : $0 = a + b$ , luego $b = -1$ . Evaluación en $X = 1$ : $\frac12 = 1 + \frac{c - 1}{2}$ , luego $c = 0$ :

\frac{1}{X(X^2+1)} = \frac 1X - \frac{X}{X^2+1} .

$\dfrac{X^3}{X^2+X+1}$ : división: $X^3 = (X^2+X+1)(X - 1) + 1$ , luego

\frac{X^3}{X^2+X+1} = X - 1 + \frac{1}{X^2 + X + 1} ,

ya en forma real descompuesta (la cuadrática tiene discriminante negativo).

Ejercicio 9.3 ★

Descompóngase $\dfrac{1}{X^2(X - 1)}$ y $\dfrac{X + 1}{(X - 1)^3}$ (para la segunda, sustitúyase $Y = X - 1$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 9.3.

$\dfrac{1}{X^2(X-1)}$ : forma $\frac{a}{X^2} + \frac bX + \frac{c}{X-1}$ . Tapado en el polo doble $0$ : $a = \bigl[\frac{1}{X-1}\bigr]_{0} = -1$ . Tapado en $1$ : $c = 1$ . Límite de $xF$ : $0 = b + c$ , luego $b = -1$ :

\frac{1}{X^2(X-1)} = -\frac{1}{X^2} - \frac1X + \frac{1}{X-1} .

$\dfrac{X+1}{(X-1)^3}$ : con $Y = X - 1$ , el numerador es $Y + 2$ :

\frac{Y + 2}{Y^3} = \frac{1}{Y^2} + \frac{2}{Y^3} = \frac{1}{(X-1)^2} + \frac{2}{(X-1)^3} .

Ejercicio 9.4 ★★

Descompóngase sobre $\C$ y después sobre $\R$ : $\dfrac{1}{X^4 - 1}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 9.4.

Los polos son las raíces cuartas de la unidad $1, \iu, -1, -\iu$ , todos simples. Fórmula del polo simple con $B' = 4X^3$ : el coeficiente en $a$ es $\frac{1}{4a^3} = \frac{a}{4a^4} = \frac a4$ (usando $a^4 = 1$ ). Así pues, sobre $\C$ :

\frac{1}{X^4 - 1} = \frac{1/4}{X - 1} - \frac{1/4}{X + 1} + \frac{\iu/4}{X - \iu} - \frac{\iu/4}{X + \iu} .

Agrupando el par conjugado (denominador común $X^2 + 1$ ): $\frac{\iu}{4}\bigl(\frac{1}{X-\iu} - \frac{1}{X+\iu}\bigr) = \frac{\iu}{4}\cdot\frac{2\iu}{X^2+1} = \frac{-1/2}{X^2+1}$ . Sobre $\R$ :

\frac{1}{X^4 - 1} = \frac{1/4}{X-1} - \frac{1/4}{X+1} - \frac{1/2}{X^2 + 1} .

Comprobación en $X = 0$ : $-1 = -\frac14 - \frac14 - \frac12$ .

Ejercicio 9.5 ★★

Descompóngase sobre $\R$ : $\dfrac{X^2}{(X^2 + 1)^2}$ , y dedúzcase una primitiva de $x \mapsto \dfrac{x^2}{(x^2+1)^2}$ sabiendo que $\int \frac{\dd x}{(x^2+1)^2} = \frac12\bigl(\arctan x + \frac{x}{x^2+1}\bigr) + C$ .

Solución

Solución de Ejercicio 9.5.

$\dfrac{X^2}{(X^2+1)^2} = \dfrac{(X^2 + 1) - 1}{(X^2+1)^2} = \dfrac{1}{X^2+1} - \dfrac{1}{(X^2+1)^2}$ .

De ahí una primitiva:

\int \frac{x^2\,\dd x}{(x^2+1)^2} = \arctan x - \frac12\Bigl(\arctan x + \frac{x}{x^2+1}\Bigr) + C = \frac12\arctan x - \frac{x}{2(x^2+1)} + C .

Ejercicio 9.6 ★★

Para $n \in \N^*$ , descompóngase $F_n = \dfrac{n!}{X(X+1)\cdots(X+n)}$ (polos simples en $0, -1, \dots, -n$ ; úsese la fórmula del tapado y reconózcanse coeficientes binomiales).

Solución

Solución de Ejercicio 9.6.

Los polos $0, -1, \dots, -n$ son simples. Tapado en $-k$ :

c_k = \frac{n!}{\prod_{j \neq k} (-k + j)} = \frac{n!}{\bigl(\prod_{j=0}^{k-1}(j - k)\bigr) \bigl(\prod_{j=k+1}^{n}(j-k)\bigr)} = \frac{n!}{(-1)^k k!\,(n-k)!} = (-1)^k \binom nk .

Luego

\frac{n!}{X(X+1)\cdots(X+n)} = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k \binom nk}{X + k} .

(Comprobación para $n = 1$ : $\frac{1}{X(X+1)} = \frac1X - \frac{1}{X+1}$ .)

Ejercicio 9.7 ★★

Usando la identidad del Ejercicio 8.11 para $P = X^n - 1$ , demuéstrese que

\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{X - \omega^k} = \frac{n X^{n-1}}{X^n - 1}, \qquad \omega = \eu^{2\iu\pi/n},

y evalúense los dos miembros en $X = 2$ para $n = 4$ como comprobación.

Solución

Solución de Ejercicio 9.7.

$P = X^n - 1$ tiene las $n$ raíces simples $\omega^k$ (Teorema 3.14), así que la identidad de la derivada logarítmica del Ejercicio 8.11 dice

\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{X - \omega^k} = \frac{P'(X)}{P(X)} = \frac{n X^{n-1}}{X^n - 1} .

En $X = 2$ , $n = 4$ : el miembro derecho $= \frac{4 \times 8}{15} = \frac{32}{15}$ . El izquierdo: $\frac{1}{2-1} + \frac{1}{2+1} + \frac{1}{2 - \iu} + \frac{1}{2 + \iu} = 1 + \frac13 + \frac{4}{5} = \frac{15 + 5 + 12}{15} = \frac{32}{15}$ , usando $\frac{1}{2-\iu} + \frac{1}{2+\iu} = \frac{4}{5}$ .

Ejercicio 9.8 ★★

Descompóngase $\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}$ y calcúlense

S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}, \qquad\text{y después}\qquad \lim_{n \to \infty} S_n .

Solución

Solución de Ejercicio 9.8.

Tapado: $\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)} = \dfrac{1/2}{k} - \dfrac{1}{k+1} + \dfrac{1/2}{k+2}$ . Reescríbase como diferencia telescópica:

\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac12\Bigl(\frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)}\Bigr),

(desarróllese para comprobarlo — o réstense las dos descomposiciones). Sumando:

S_n = \frac12\Bigl(\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}\Bigr) = \frac14 - \frac{1}{2(n+1)(n+2)} \xrightarrow[n \to \infty]{} \frac14 .

Ejercicio 9.9 ★★★

Sea $P \in \R[X]$ mónico de grado $n$ con $n$ raíces reales distintas $x_1 < \dots < x_n$ . Demuéstrese que

\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{P'(x_i)} = 0 \quad (n \geq 2), \qquad \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i^{\,n-1}}{P'(x_i)} = 1 .

Indicación: descompóngase $\frac{X^m}{P}$ para $m \leq n - 1$ y obsérvese el decaimiento de los coeficientes en el infinito — o úsese la interpolación de Lagrange (Teorema 8.23) del monomio $X^m$ en los nodos $x_i$ .

Solución

Solución de Ejercicio 9.9.

Descompóngase, para $0 \leq m \leq n - 1$ , la fracción $\frac{X^m}{P}$ (de grado $m - n \leq -1$ , con polos simples): la fórmula del polo simple da

\frac{X^m}{P} = \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i^m / P'(x_i)}{X - x_i} .

Multiplíquese por $X$ y hágase $X \to +\infty$ : el miembro izquierdo tiende al límite de $X^{m+1}/P$ , que es $0$ si $m \leq n - 2$ y $1$ si $m = n - 1$ ( $P$ es mónico de grado $n$ ); el derecho tiende a $\sum_i \frac{x_i^m}{P'(x_i)}$ . Por tanto

\sum_{i=1}^{n} \frac{x_i^{m}}{P'(x_i)} = \begin{cases} 0 & \text{for } 0 \leq m \leq n-2,\\ 1 & \text{for } m = n - 1, \end{cases}

que contiene las dos identidades anunciadas ( $m = 0$ exige $n \geq 2$ ). (Interpretación con el Teorema 8.23: esas sumas son los coeficientes principales de los interpoladores de Lagrange de $X^m$ , e interpolar un polinomio de grado $\leq n-1$ en $n$ puntos lo reproduce exactamente.)

Ejercicio 9.10 ★★

Descompóngase $\dfrac{1}{X(X+1)^2}$ sobre $\R$ . Admitiendo el valor $\sum_{k \geq 1} \frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6$ (demostrado en el problema del fin de semana de este capítulo), dedúzcase

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)^2} = 2 - \frac{\pi^2}{6} .

Solución

Solución de Ejercicio 9.10.

Forma $\frac aX + \frac b{X+1} + \frac c{(X+1)^2}$ . Tapado en $0$ : $a = 1$ ; tapado en el polo doble: $c = \bigl[\frac1X \bigr]_{X=-1} = -1$ ; límite de $xF(x)$ en el infinito: $0 = a + b$ , luego $b = -1$ :

\frac{1}{X(X+1)^2} = \frac1X - \frac1{X+1} - \frac1{(X+1)^2} .

Sumando para $n = 1, \dots, N$ : los dos primeros ladrillos telescopan a $1 - \frac1{N+1}$ , y el tercero aporta $-\sum_{k=2}^{N+1}\frac1{k^2}$ . Haciendo $N \to \infty$ y usando $\sum_{k\geq1}\frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6$ :

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)^2} = 1 - \Bigl(\frac{\pi^2}6 - 1\Bigr) = 2 - \frac{\pi^2}6 \approx 0.355 .

Ejercicio 9.11 ★★

Descompóngase sobre $\R$ : $\dfrac{1}{(X^2+1)(X^2+4)}$ , y después $\dfrac{X^2}{(X^2+1)(X^2+4)}$ . Indicación: los dos denominadores son polinomios en $X^2$ : descompóngase antes $\frac1{(Y+1)(Y+4)}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 9.11.

En la variable $Y$ : $\frac1{(Y+1)(Y+4)} = \frac{1/3}{Y+1} - \frac{1/3}{Y+4}$ (tapado en $-1$ y en $-4$ ), luego

\frac{1}{(X^2+1)(X^2+4)} = \frac13\,\frac1{X^2+1} - \frac13\,\frac1{X^2+4} .

Análogamente, $\frac{Y}{(Y+1)(Y+4)} = \frac{-1/3}{Y+1} + \frac{4/3}{Y+4}$ , luego

\frac{X^2}{(X^2+1)(X^2+4)} = -\frac13\,\frac1{X^2+1} + \frac43\,\frac1{X^2+4} .

(Comprobación en $X = 0$ : $0 = \frac13(-1 + 1)$ .) Estas son ya las descomposiciones reales: los numeradores sobre las cuadráticas irreducibles resultan ser constantes.

Ejercicio 9.12 ★★★

(Ecuaciones seculares) Sea $F = \sum_{i=1}^{r} \frac{c_i}{X - p_i}$ con $p_1 < p_2 < \dots < p_r$ reales y todos los $c_i > 0$ .

Véase que $F$ es estrictamente decreciente en cada intervalo de su dominio, y dense sus límites en $\pm\infty$ y a los dos lados de cada polo.
Dedúzcase que, para todo $\lambda > 0$ , la ecuación $F(x) = \lambda$ tiene exactamente $r$ soluciones reales, una en cada intervalo $\intoo{p_i}{p_{i+1}}$ y otra más allá de $p_r$ . (Ecuaciones así gobiernan las perturbaciones de valores propios; el teorema del valor intermedio se usa aquí al nivel del volumen anterior y se demuestra en el Capítulo 13.)

Solución

Solución de Ejercicio 9.12.

En cada intervalo que evite los polos, $F'(x) = -\sum_i \frac{c_i}{(x - p_i)^2} < 0$ : estrictamente decreciente. Cuando $x \to \pm\infty$ , todos los ladrillos tienden a $0$ : $F \to 0$ , por arriba en $+\infty$ (allí todos los ladrillos son positivos) y por abajo en $-\infty$ . Cuando $x \to p_i^+$ , el ladrillo $\frac{c_i}{x - p_i}$ se dispara a $+\infty$ y los demás quedan acotados: $F \to +\infty$ ; análogamente, $F \to -\infty$ cuando $x \to p_i^-$ .
Fíjese $\lambda > 0$ . En $\intoo{-\infty}{p_1}$ : $F$ decrece de $0^-$ a $-\infty$ , luego $F < 0 < \lambda$ : sin solución. En cada $\intoo{p_i}{p_{i+1}}$ ( $1 \leq i \leq r-1$ ): $F$ decrece de $+\infty$ a $-\infty$ , luego toma el valor $\lambda$ exactamente una vez (propiedad del valor intermedio más monotonía estricta). En $\intoo{p_r}{+\infty}$ : $F$ decrece de $+\infty$ a $0^+$ , de nuevo exactamente una solución. En total: exactamente $r$ soluciones, entrelazadas con los polos.

9.5 Problema: las fracciones simples como motor

Problema 9.1

La descomposición en fracciones simples parece contabilidad; este problema muestra que es un motor. Alimentado con la fracción $\frac1{X(X+1)\cdots(X+k)}$ , telescopa familias enteras de sumas en forma cerrada; alimentado con $\frac1{X^n - 1}$ , produce identidades trigonométricas como

\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sin^2\frac{k\pi}{n}} = \frac{n^2-1}{3} ;

y, empujada un paso más, esa identidad exprime una de las fórmulas más célebres de las matemáticas, la de Euler:

\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2} = \frac{\pi^2}{6}

— obtenida aquí sin nada más que el álgebra de este capítulo y la trigonometría anterior. En todo el problema, $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ ; los límites de sucesiones se usan al nivel del volumen anterior (el Capítulo 11 los formaliza).

Parte I — El telescopio.

Descompóngase $\frac1{X(X+1)}$ y calcúlese exactamente $\sum_{n=1}^{N} \frac1{n(n+1)}$ ; conclúyase que la suma tiende a $1$ .
Lo mismo para $\frac1{X(X+2)}$ : véase que $\sum_{n=1}^{N} \frac1{n(n+2)} = \frac12\bigl(\frac32 - \frac1{N+1} - \frac1{N+2}\bigr) \to \frac34$ . (Con un hueco sobreviven dos términos de borde en cada extremo.)
Formalícese el mecanismo: si $F(X) = G(X) - G(X+1)$ para alguna racional $G$ sin polos en $\intco1{+\infty}$ , entonces $\sum_{n=1}^N F(n) = G(1) - G(N+1)$ . Recupérese el valor $\frac14$ del Ejercicio 9.8 exhibiendo el testigo $G$ para $F = \frac1{X(X+1)(X+2)}$ .
Demuéstrese el telescopio factorial general: para $k \geq 1$ ,

$\frac{1}{X(X+1)\cdots(X+k)} = \frac1k\biggl(\frac{1}{X(X+1)\cdots(X+k-1)} - \frac{1}{(X+1)\cdots(X+k)}\biggr),$

y dedúzcase

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)\cdots(n+k)} = \frac{1}{k \cdot k!} .$

Compruébese el caso $k = 2$ con la pregunta 3.
Evalúese la descomposición del Ejercicio 9.6 en puntos bien elegidos para demostrar

$\sum_{j=0}^{n}(-1)^j\binom nj\,\frac1{j+1} = \frac1{n+1}, \qquad \sum_{j=0}^{n}(-1)^j\binom nj\,\frac1{j+2} = \frac1{(n+1)(n+2)} .$

Parte II — La fracción $1/(X^n - 1)$ .

Véase, con la fórmula del tapado, que

$\frac{1}{X^n - 1} = \frac1n\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\omega^k}{X - \omega^k} .$
Dos comprobaciones: verifíquese la fórmula directamente para $n = 2$ y véase que la suma de los $n$ coeficientes se anula para $n \geq 2$ — explíquese por qué tiene que ser así (considérese $xF(x)$ cuando $x \to \infty$ ).
Redúzcase de nuevo por tapado la identidad del Ejercicio 9.7: $\frac{nX^{n-1}}{X^n-1} = \sum_k \frac1{X - \omega^k}$ .
Agrúpense los polos conjugados para demostrar la descomposición real: con $\theta_k = \frac{2k\pi}n$ ,

$\frac{\omega^k}{X - \omega^k} + \frac{\omega^{n-k}}{X - \omega^{n-k}} = \frac{2\cos\theta_k\,X - 2} {X^2 - 2\cos\theta_k\,X + 1} ,$

y escríbase la descomposición real completa de $\frac1{X^n-1}$ (distínganse $n$ impar y $n$ par).
Particularícese a $n = 4$ y compárese con el Ejercicio 9.4.

Parte III — Sumas trigonométricas y el $\pi^2/6$ de Euler. Sea $P = 1 + X + \dots + X^{n-1}$ , cuyas raíces son $\omega, \omega^2, \dots, \omega^{n-1}$ (todas simples).

Usando $\frac{P'}P = \sum_{k=1}^{n-1}\frac1{X - \omega^k}$ (Ejercicio 8.11), demuéstrese

$\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{1 - \omega^k} = \frac{n-1}2 .$
Demuéstrese que $\dfrac1{1 - \eu^{\iu\theta}} = \dfrac12 + \dfrac\iu2\,\frac{\cos(\theta/2)}{\sin(\theta/2)}$ para $\theta \notin 2\pi\Z$ (factorización por el ángulo mitad, Método 3.11) y dedúzcase de la pregunta 11 que $\sum_{k=1}^{n-1} \frac{\cos(k\pi/n)}{\sin(k\pi/n)} = 0$ — visible también por la simetría $k \leftrightarrow n - k$ .
Derivando la identidad de la pregunta 11 (es decir, usando $\bigl(\frac{P'}P\bigr)' = \frac{P''}P - \bigl(\frac{P'}P\bigr)^2$ evaluado en $X = 1$ ), demuéstrese

$\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{(1 - \omega^k)^2} = \frac{(n-1)(5-n)}{12} .$
Escribiendo $\cot t = \frac{\cos t}{\sin t}$ , dedúzcanse de las preguntas 12–13 las dos formas cerradas

$\sum_{k=1}^{n-1}\cot^2\frac{k\pi}n = \frac{(n-1)(n-2)}3, \qquad \sum_{k=1}^{n-1}\frac1{\sin^2\frac{k\pi}n} = \frac{n^2-1}3 .$
Compruébense las dos fórmulas a mano para $n = 3$ y $n = 4$ .
Demuéstrense las desigualdades $\cot t < \frac1t < \frac1{\sin t}$ para $t \in \intoo0{\frac\pi2}$ (a partir de $\sin t < t < \tan t$ ) y dedúzcase, para $n = 2m + 1$ y $1 \leq k \leq m$ :

$\cot^2\frac{k\pi}n \;<\; \frac{n^2}{k^2\pi^2} \;<\; \frac1{\sin^2\frac{k\pi}n} .$
Súmense estas desigualdades para $k = 1, \dots, m$ (usando la simetría $k \leftrightarrow n - k$ para reducir a la mitad las fórmulas de la pregunta 14) y aplíquese el emparedado:

$\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6 .$

Parte IV — Ladrillos de orden superior.

Elevando al cuadrado la descomposición de $\frac1{X^2-1}$ y redescomponiendo el término cruzado, demuéstrese

$\frac1{(X^2-1)^2} = \frac14\Bigl(\frac1{(X-1)^2} + \frac1{(X+1)^2}\Bigr) - \frac14\Bigl(\frac1{X-1} - \frac1{X+1}\Bigr),$

y compruébese en $X = 0$ .
Combínense la pregunta 18, el telescopio y el valor de Euler (pregunta 17) para demostrar

$\sum_{n=2}^{\infty}\frac1{(n^2-1)^2} = \frac{\pi^2}{12} - \frac{11}{16} ,$

y confírmese el valor numéricamente con tres decimales.
Derívese la identidad de la pregunta 8 para obtener una forma cerrada de $\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{(X - \omega^k)^2}$ , y compruébese en $X = 2$ , $n = 2$ .
Demuéstrese que, para $k \geq 2$ ,

$\sum_{n=k}^{\infty}\frac{1}{\binom nk} = \frac{k}{k-1} .$

(Redúzcase a la pregunta 4 escribiendo $1/\binom nk$ con factoriales.)
Para $k = 3$ , dese la suma parcial exacta $\sum_{n=3}^{N}\frac1{\binom n3}$ y su límite.

Parte V — Síntesis.

Como cálculo de cierre, escríbase la descomposición real completa de $\dfrac1{X^6 - 1}$ y compruébese en $X = 0$ .
¿Dónde ha usado exactamente el problema: (i) la unicidad de la descomposición; (ii) las raíces de la unidad del Capítulo 3; (iii) la derivada logarítmica del Ejercicio 8.11? Una frase para cada uno.
Síntesis, en un párrafo breve: una sola identidad algebraica — romper una fracción en ladrillos — ha generado sumas exactas, identidades trigonométricas y $\pi^2/6$ . Coméntese el reparto de tareas entre el álgebra (descomposiciones exactas, válidas en todas partes) y el análisis (límites, emparedados), y señálese dónde se industrializa cada hilo: telescopios y comparación en el Capítulo 17, integración de los ladrillos en el Capítulo 15.

Solución

Solución de Problema 9.1.

1. Tapado: $\frac1{X(X+1)} = \frac1X - \frac1{X+1}$ . La suma telescopa:

\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac1n - \frac1{n+1}\Bigr) = 1 - \frac1{N+1} \longrightarrow 1 .

2. $\frac1{X(X+2)} = \frac{1/2}X - \frac{1/2}{X+2}$ . Al sumar, los términos $\frac1n$ sobreviven para $n = 1, 2$ y los términos $-\frac1{n+2}$ sobreviven para $n = N-1, N$ :

\sum_{n=1}^{N}\frac1{n(n+2)} = \frac12\Bigl(1 + \frac12 - \frac1{N+1} - \frac1{N+2}\Bigr) \longrightarrow \frac34 .

3. Si $F(X) = G(X) - G(X+1)$ , entonces $\sum_{n=1}^N F(n) = \sum_{n=1}^N\bigl(G(n) - G(n+1)\bigr) = G(1) - G(N+1)$ : todos los valores intermedios se cancelan por parejas. Para $F = \frac1{X(X+1)(X+2)}$ , el testigo es $G(X) = \frac1{2X(X+1)}$ :

G(X) - G(X+1) = \frac{(X+2) - X}{2X(X+1)(X+2)} = F(X) ,

luego $\sum_{n=1}^N F(n) = \frac14 - \frac1{2(N+1)(N+2)} \to \frac14$ , el valor del Ejercicio 9.8.

4. Póngase el miembro derecho sobre el denominador común $X(X+1)\cdots(X+k)$ :

\frac1k\cdot\frac{(X + k) - X}{X(X+1)\cdots(X+k)} = \frac{1}{X(X+1)\cdots(X+k)} ,

que es la identidad. Así pues, $F_k(X) = \frac1k\bigl(G_k(X) - G_k(X+1)\bigr)$ con $G_k(X) = \frac1{X(X+1)\cdots(X+k-1)}$ , y el mecanismo de la pregunta 3 da

\sum_{n=1}^{N}\frac1{n(n+1)\cdots(n+k)} = \frac1k\Bigl(\frac1{k!} - G_k(N+1)\Bigr) \longrightarrow \frac1{k\cdot k!} ,

puesto que $G_k(1) = \frac1{k!}$ y $G_k(N+1) \to 0$ . Para $k = 2$ : $\frac1{2\cdot2} = \frac14$ , que coincide con la pregunta 3.

5. El Ejercicio 9.6 da $\frac{n!}{X(X+1)\cdots(X+n)} = \sum_{j=0}^n \frac{(-1)^j\binom nj}{X + j}$ . Evalúese en $X = 1$ : el miembro izquierdo es $\frac{n!}{(n+1)!} = \frac1{n+1}$ y el derecho, $\sum_j(-1)^j\binom nj\frac1{1+j}$ : primera identidad. En $X = 2$ : el izquierdo es $\frac{n!}{2\cdot3\cdots(n+2)} = \frac{n!\cdot1}{(n+2)!} = \frac1{(n+1)(n+2)}$ y el derecho, $\sum_j(-1)^j\binom nj\frac1{2+j}$ : segunda identidad.

6. Los polos $\omega^k$ son simples, y la fórmula del polo simple del Método 9.6 da el coeficiente

\frac{1}{\bigl(nX^{n-1}\bigr)_{X = \omega^k}} = \frac{1}{n\,\omega^{k(n-1)}} = \frac{\omega^k}{n\,\omega^{kn}} = \frac{\omega^k}n ,

usando $\omega^{kn} = 1$ . Por tanto, $\frac1{X^n-1} = \frac1n\sum_k \frac{\omega^k}{X - \omega^k}$ .

7. Para $n = 2$ ( $\omega = -1$ ): $\frac12\bigl(\frac1{X-1} - \frac1{X+1}\bigr) = \frac12\cdot\frac{2}{X^2-1} = \frac1{X^2-1}$ : correcto. Los coeficientes suman $\frac1n\sum_k\omega^k = 0$ para $n \geq 2$ (Proposición 3.18). Y tienen que hacerlo: $x\,F(x) \to \sum_k c_k$ cuando $x \to \infty$ para cualquier descomposición con polos simples, mientras que aquí $xF(x) = \frac{x}{x^n-1} \to 0$ , pues $n \geq 2$ .

8. Tapado para $\frac{X^{n-1}}{X^n - 1}$ en $\omega^k$ : $\frac{A(\omega^k)}{B'(\omega^k)} = \frac{\omega^{k(n-1)}}{n\omega^{k(n-1)}} = \frac1n$ , luego $\frac{X^{n-1}}{X^n-1} = \frac1n\sum_k\frac1{X - \omega^k}$ — de nuevo la identidad del Ejercicio 9.7.

9. Con $c = \omega^k$ , $\conj c = \omega^{n-k}$ y $c\conj c = 1$ , $c + \conj c = 2\cos\theta_k$ :

\frac{c}{X - c} + \frac{\conj c}{X - \conj c} = \frac{c(X - \conj c) + \conj c(X - c)} {(X - c)(X - \conj c)} = \frac{2\cos\theta_k\,X - 2}{X^2 - 2\cos\theta_k\,X + 1} .

Agrupando $k$ con $n - k$ en la pregunta 6: para $n$ impar,

\frac1{X^n - 1} = \frac1n\Biggl(\frac1{X-1} + \sum_{k=1}^{(n-1)/2} \frac{2\cos\theta_k X - 2}{X^2 - 2\cos\theta_k X + 1}\Biggr) ;

para $n$ par, el polo adicional emparejado consigo mismo $\omega^{n/2} = -1$ aporta $\frac{-1}{X+1}$ dentro del paréntesis y la suma de pares llega hasta $\frac n2 - 1$ .

10. $n = 4$ : $\theta_1 = \frac\pi2$ , $\cos\theta_1 = 0$ , luego el término del par es $\frac{-2}{X^2+1}$ y

\frac1{X^4-1} = \frac14\Bigl(\frac1{X-1} - \frac1{X+1} - \frac2{X^2+1}\Bigr) ,

la descomposición del Ejercicio 9.4.

11. $P = \prod_{k=1}^{n-1}(X - \omega^k)$ (divídase $X^n - 1$ entre $X - 1$ ), luego, por el Ejercicio 8.11, $\frac{P'}P = \sum_{k=1}^{n-1}\frac1{X-\omega^k}$ . En $X = 1$ : $P(1) = n$ y $P'(1) = \sum_{j=1}^{n-1}j = \frac{n(n-1)}2$ , de donde

\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{1 - \omega^k} = \frac{P'(1)}{P(1)} = \frac{n-1}2 .

12. Ángulo mitad: $1 - \eu^{\iu\theta} = -2\iu\sin\frac\theta2\,\eu^{\iu\theta/2}$ , luego

\frac1{1 - \eu^{\iu\theta}} = \frac{\eu^{-\iu\theta/2}}{-2\iu\sin\frac\theta2} = \frac{\iu\cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2} {2\sin\frac\theta2} = \frac12 + \frac\iu2\, \frac{\cos\frac\theta2}{\sin\frac\theta2} .

Con $\theta = \theta_k = \frac{2k\pi}n$ : $\frac1{1-\omega^k} = \frac12 + \frac\iu2\cot\frac{k\pi}n$ . Sumando en $k = 1, \dots, n-1$ y comparando con el valor real $\frac{n-1}2$ de la pregunta 11: las partes reales ya dan cuenta de todo, de modo que $\sum_k\cot\frac{k\pi}n = 0$ — como también muestra la simetría $\cot\frac{(n-k)\pi}n = -\cot\frac{k\pi}n$ .

13. Derivando $\frac{P'}P = \sum_k\frac1{X - \omega^k}$ :

\frac{P''}P - \Bigl(\frac{P'}P\Bigr)^2 = -\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{(X - \omega^k)^2} .

En $X = 1$ : $P''(1) = \sum_{j=2}^{n-1}j(j-1) = 2\binom n3 = \frac{n(n-1)(n-2)}3$ (identidad del palo de hockey, o inducción), luego

\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{(1 - \omega^k)^2} = \Bigl(\frac{n-1}2\Bigr)^2 - \frac{(n-1)(n-2)}3 = \frac{(n-1)\bigl(3(n-1) - 4(n-2)\bigr)}{12} = \frac{(n-1)(5-n)}{12} .

14. Elevando al cuadrado la fórmula de la pregunta 12, con $c_k = \cot\frac{k\pi}n$ :

\frac1{(1-\omega^k)^2} = \Bigl(\frac12 + \frac\iu2 c_k\Bigr)^2 = \frac14 - \frac{c_k^2}4 + \frac\iu2\,c_k .

Sumando y usando $\sum c_k = 0$ (pregunta 12) y la pregunta 13: $\frac{n-1}4 - \frac14\sum_k c_k^2 = \frac{(n-1)(5-n)}{12}$ , luego

\sum_{k=1}^{n-1}\cot^2\frac{k\pi}n = (n-1) - \frac{(n-1)(5-n)}3 = \frac{(n-1)(n-2)}3 .

Después, $\frac1{\sin^2t} = 1 + \cot^2t$ da $\sum_k\frac1{\sin^2\frac{k\pi}n} = (n-1) + \frac{(n-1)(n-2)}3 = \frac{n^2-1}3$ .

15. $n = 3$ : $\cot^2\frac\pi3 + \cot^2\frac{2\pi}3 = \frac13 + \frac13 = \frac23 = \frac{2\cdot1}3$ ; y las de $\frac1{\sin^2}$ suman $\frac43 + \frac43 = \frac83 = \frac{9-1}3$ . $n = 4$ : $1 + 0 + 1 = 2 = \frac{3\cdot2}3$ ; y $2 + 1 + 2 = 5 = \frac{16-1}3$ . Las dos fórmulas se comprueban.

16. Para $t \in \intoo0{\frac\pi2}$ , la comparación clásica $\sin t < t < \tan t$ (argumento de áreas o de convexidad, conocido del volumen anterior) da, tomando inversos, $\cot t < \frac1t < \frac1{\sin t}$ , todos positivos ahí; elevar al cuadrado conserva el orden. Con $t = \frac{k\pi}n$ , $1 \leq k \leq m$ , $n = 2m+1$ (de modo que $t < \frac\pi2$ ):

\cot^2\frac{k\pi}n < \frac{n^2}{k^2\pi^2} < \frac1{\sin^2\frac{k\pi}n} .

17. Por las simetrías $\cot^2\frac{(n-k)\pi}n = \cot^2\frac{k\pi}n$ y la análoga para $\sin^2$ , las sumas de la pregunta 14 se reducen a la mitad: $\sum_{k=1}^{m}\cot^2\frac{k\pi}n = \frac{(n-1)(n-2)}6 = \frac{m(2m-1)}3$ y $\sum_{k=1}^m\frac1{\sin^2\frac{k\pi}n} = \frac{n^2-1}6 = \frac{2m(m+1)}3$ . Sumando la pregunta 16 en $k = 1, \dots, m$ y multiplicando por $\frac{\pi^2}{n^2}$ :

\frac{\pi^2}{(2m+1)^2}\cdot\frac{m(2m-1)}3 \;<\; \sum_{k=1}^{m}\frac1{k^2} \;<\; \frac{\pi^2}{(2m+1)^2}\cdot\frac{2m(m+1)}3 .

Las dos cotas tienden a $\frac{\pi^2}6$ cuando $m \to \infty$ (los cocientes $\frac{m(2m-1)}{(2m+1)^2}$ y $\frac{2m(m+1)}{(2m+1)^2}$ tienden los dos a $\frac12$ ), así que, por el emparedado, las sumas parciales crecientes convergen y

\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6 .

18. Elévese al cuadrado $\frac1{X^2-1} = \frac12\bigl(\frac1{X-1} - \frac1{X+1}\bigr)$ :

\frac1{(X^2-1)^2} = \frac14\Bigl(\frac1{(X-1)^2} + \frac1{(X+1)^2}\Bigr) - \frac12\cdot\frac1{(X-1)(X+1)} ,

y redescompóngase el término cruzado $\frac1{(X-1)(X+1)} = \frac12\bigl(\frac1{X-1} - \frac1{X+1}\bigr)$ para obtener la forma enunciada. En $X = 0$ : el miembro izquierdo vale $1$ ; el derecho, $\frac14(1 + 1) - \frac14(-1 - 1) = \frac12 + \frac12 = 1$ .

19. Súmese la pregunta 18 para $n \geq 2$ . Con $S = \sum_{k\geq1}\frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6$ : $\sum_{n\geq2}\frac1{(n-1)^2} = S$ ; $\sum_{n\geq2}\frac1{(n+1)^2} = S - 1 - \frac14$ ; y el telescopio de paso dos $\sum_{n\geq2}\bigl(\frac1{n-1} - \frac1{n+1}\bigr) = 1 + \frac12 = \frac32$ . Por tanto

\sum_{n=2}^{\infty}\frac1{(n^2-1)^2} = \frac14\Bigl(2S - \frac54\Bigr) - \frac14\cdot\frac32 = \frac S2 - \frac{11}{16} = \frac{\pi^2}{12} - \frac{11}{16} \approx 0.135 .

Numéricamente: $\frac19 + \frac1{64} + \frac1{225} + \frac1{576} + \frac1{1225} + \dots \approx 0.1111 + 0.0156 + 0.0044 + 0.0017 + 0.0008 + \dots \approx 0.135$ : coherente.

20. Derívese la identidad de la pregunta 8, $\sum_k\frac1{X-\omega^k} = \frac{nX^{n-1}}{X^n-1}$ :

\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{(X - \omega^k)^2} = \frac{n^2X^{2n-2} - n(n-1)X^{n-2}(X^n - 1)}{(X^n - 1)^2} .

Comprobación en $n = 2$ , $X = 2$ : el miembro derecho vale $\frac{4\cdot4 - 2\cdot1\cdot3}{9} = \frac{10}9$ ; el izquierdo, $\frac1{(2-1)^2} + \frac1{(2+1)^2} = 1 + \frac19 = \frac{10}9$ .

21. $\frac1{\binom nk} = \frac{k!\,(n-k)!}{n!} = \frac{k!}{(n-k+1)(n-k+2)\cdots n}$ , un producto de $k$ enteros consecutivos en el denominador. Sustituyendo $j = n - k + 1$ (de modo que $j$ recorre $\N^*$ cuando $n$ parte de $k$ ):

\sum_{n=k}^{\infty}\frac1{\binom nk} = k!\sum_{j=1}^{\infty}\frac1{j(j+1)\cdots(j+k-1)} = \frac{k!}{(k-1)\,(k-1)!} = \frac{k}{k-1} ,

por la pregunta 4 aplicada con $k - 1$ en lugar de $k$ (válido, pues $k - 1 \geq 1$ ).

22. Para $k = 3$ : $\frac1{\binom n3} = \frac6{(n-2)(n-1)n}$ , luego, por la suma parcial de la pregunta 3 (desplazada),

\sum_{n=3}^{N}\frac1{\binom n3} = 6\sum_{j=1}^{N-2}\frac1{j(j+1)(j+2)} = 6\Bigl(\frac14 - \frac1{2(N-1)N}\Bigr) = \frac32 - \frac3{(N-1)N} \longrightarrow \frac32 ,

el valor $\frac k{k-1} = \frac32$ de la pregunta 21.

23. $n = 6$ : pares $k = 1$ ( $\theta_1 = \frac\pi3$ , $2\cos\theta_1 = 1$ ) y $k = 2$ ( $\theta_2 = \frac{2\pi}3$ , $2\cos\theta_2 = -1$ ), más los polos reales $\pm1$ :

\frac1{X^6-1} = \frac16\Bigl(\frac1{X-1} - \frac1{X+1} + \frac{X - 2}{X^2 - X + 1} + \frac{-X - 2}{X^2 + X + 1}\Bigr) .

En $X = 0$ : el miembro izquierdo vale $-1$ ; el derecho, $\frac16(-1 - 1 - 2 - 2) = -1$ : correcto.

24. (i) La unicidad legitima toda identificación de coeficientes — el tapado, la agrupación de pares conjugados de la pregunta 9 y los trucos de derivación (preguntas 13 y 20) se apoyan todos en ella. (ii) Las raíces de la unidad suministraron los polos de $X^n - 1$ , sus simetrías ( $k \leftrightarrow n-k$ ) y el álgebra del ángulo mitad de la pregunta 12 (Método 3.11). (iii) La derivada logarítmica $\frac{P'}P = \sum\frac{m_i}{X-a_i}$ convirtió la información sobre las raíces de $P = 1 + X + \dots + X^{n-1}$ en las sumas numéricas de las preguntas 11 y 13 — la bisagra entre las partes II y III.

25. La descomposición es una identidad puramente algebraica, cierta a la vez para todos los valores de la variable; eso es lo que la convierte en un motor. Sustituir enteros y sumar la transformó en telescopios (parte I); sustituir raíces de la unidad y agrupar conjugados la transformó en identidades trigonométricas (partes II y III); y solo en el último paso entró el análisis — un emparedado entre dos formas cerradas — para entregar $\frac{\pi^2}6$ , un enunciado que ninguna sustitución finita podría alcanzar. Este reparto de tareas (el álgebra produce identidades finitas exactas, el análisis pasa al límite) es la plantilla del Capítulo 17, donde el telescopio y la comparación se vuelven sistemáticos, y del Capítulo 15, donde cada ladrillo adquiere una primitiva y las mismas descomposiciones calculan integrales en lugar de sumas.

Términos definidos en este capítulo

fracción racional

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9.1 El cuerpo K(X)K(X)K(X)

9.2 Descomposición en fracciones simples sobre C\CC

9.3 Descomposición sobre R\RR

9.4 Ejercicios

9.5 Problema: las fracciones simples como motor

Términos definidos en este capítulo

9.1 El cuerpo $K(X)$

9.2 Descomposición en fracciones simples sobre $\C$

9.3 Descomposición sobre $\R$