Matemáticas universitarias — Grado 1 · Bachelor Year 1

9fracciones racionales

A fracción racional es un cociente de polinomios. El teorema central de este breve capítulo — fracción parcial descomposición — rompe cualquier such quotient into a sum of elementary bricks $\frac{c}{(X - a)^k}$ . Más allá de su interés algebraico, es la máquina estándar para integrando funciones racionales (Capítulo 15) y para sumando ciertas series (Capítulo 17).

9.1 El campo $K(X)$

Definición 9.1

A fracción racional sobre $K$ ( $= \R$ o $\C$ ) es un cociente $F = \frac{A}{B}$ con $A, B \in K[X]$ , $B \neq 0$ ; Se identifican dos cocientes $\frac AB$ y $\frac{A'}{B'}$ cuando $AB' = A'B$ . Cada fracción tiene un forma reducida con $\gcd(A, B) = 1$ , único hasta constantes. Con las operaciones naturales, el conjunto $K(X)$ de fracciones racionales es un campo.

Las polos de $F$ (en forma reducida) son las raíces de $B$ ; el orden de un polo es su multiplicidad como raíz de $B$ . El grado de $F$ es $\deg F = \deg A - \deg B \in \Z \cup \{-\infty\}$ .

Ejemplo 9.2 (Lectura de polos, órdenes y grados)

Sea $F = \dfrac{X^3 - X}{X^4 - 2X^3 + X^2}$ . Factoriza ambas capas: numerador $X(X-1)(X+1)$ , denominador $X^2(X-1)^2$ ; cancelar el factor común $X(X-1)$ :

F = \frac{X + 1}{X(X - 1)} \quad\text{(reduced form).}

polacos: $0$ y $1$ , ambos simple — las órdenes se siguen leyendo el denominador reducido, por lo que las aparentes raíces dobles de la el original es irrelevante. Grado: $\deg F = 1 - 2 = -1$ , visible asintóticamente ( $xF(x) \to 1$ como $x \to \infty$ ). el El grado se comporta como el grado polinomio ( $\deg FG = \deg F + \deg G$ , $\deg(F + G) \leq \max$ ), una regla contable utilizada constantemente en el coeficiente caza a continuación: cada “límite de El argumento $xF(x)$ ” es un recuento de grados disfrazado.

Proposición 9.3 (Parte entera)

Cada $F = \frac AB \in K(X)$ es exclusivamente $F = E + \frac RB$ con $E \in K[X]$ (la parte parte entera, o polinomio, de $F$ ) y $\deg R < \deg B$ . Uno tiene $E \neq 0$ si $\deg F \geq 0$ .

Demostración. División euclidiana $A = BE + R$ (Teorema 8.3), dividida por $B$ . Unicidad: si $E + \frac RB = E' + \frac{R'}{B}$ , entonces $(E - E')B = R' - R$ con $\deg(R' - R) < \deg B$ , forzando a $E = E'$ y luego a $R = R'$ . ∎

Ejemplo 9.4 (Reducir primero, luego dividir)

Encuentre la parte entera de $F = \dfrac{X^3 + 1}{X^2 - 1}$ . Dividiendo a ciegas: $X^3 + 1 = (X^2 - 1)X + (X + 1)$ , entonces $F = X + \frac{X + 1}{X^2 - 1}$ . Pero la fracción no se redujo: $X^3 + 1 = (X + 1)(X^2 - X + 1)$ y $X^2 - 1 = (X+1)(X-1)$ comparten el factor $X + 1$ , y

F = \frac{X^2 - X + 1}{X - 1} = X + \frac{1}{X - 1} :

la misma parte entera $X$ , pero la parte fraccionaria se colapsa a una un solo ladrillo, y el “polo” en $-1$ nunca fue un polo en absoluto. Reduzca siempre a los términos más bajos antes de buscar polos: el polos de $F$ son las raíces del denominador reducido. (El número entero parte es insensible a la simplificación, ya que la unicidad en Proposición 9.3 garantías.)

9.2 Descomposición en fracciones parciales sobre $\C$

Teorema 9.5 (Descomposición sobre $\C$ )

Sea $F = \frac AB \in \C(X)$ en forma reducida, con $B = c\,(X - a_1)^{m_1} \cdots (X - a_r)^{m_r}$ . Entonces $F$ es, de forma única,

F = E + \sum_{i=1}^{r} \sum_{k=1}^{m_i} \frac{c_{i,k}}{(X - a_i)^k}, \qquad E \in \C[X],\ c_{i,k} \in \C ,

siendo $E$ la parte entera de $F$ .

Demostración. Por Proposición 9.3 podemos suponer $\deg A < \deg B$ y probar la descomposición de la suma con $E = 0$ .

Splitting the polos. Escribe $B = (X - a_1)^{m_1} B_1$ con $B_1(a_1) \neq 0$ . Los polinomios $(X-a_1)^{m_1}$ y $B_1$ son coprimo (sin raíz común), por lo que Bézout en $\C[X]$ (ver el comentario en Capítulo 8) hay $U_0, V_0$ con $U_0 (X-a_1)^{m_1} + V_0 B_1 = 1$ ; multiplicando por $A$ y configurando $U = AU_0$ , $V = AV_0$ , luego dividiendo por $B$ :

\frac AB = \frac{V}{(X - a_1)^{m_1}} + \frac{U}{B_1} .

Las condiciones de grado se pueden aplicar: divida $V$ por $(X-a_1)^{m_1}$ , digamos $V = (X-a_1)^{m_1}Q + V_1$ con $\deg V_1 < m_1$ y absorba el cociente en el segundo término ( $U_1 = U + QB_1$ ):

\frac AB = \frac{V_1}{(X - a_1)^{m_1}} + \frac{U_1}{B_1}, \qquad \deg V_1 < m_1 ;

comparando grados ( $\deg A < \deg B$ y $\deg V_1 < m_1$ ) fuerzas $\deg U_1 < \deg B_1$ también. Iterando en $\frac{U_1}{B_1}$ , polo después de polo, reduce todo al caso unipolar siguiente.

One polo. Para $\frac{A}{(X-a)^m}$ con $\deg A < m$ : expanda $A$ en potencias de $(X - a)$ , $A = \sum_{j=0}^{m-1} \alpha_j (X - a)^j$ (Expansión de Taylor de un polinomio, como en la prueba de Proposición 8.11); al dividir se obtienen exactamente los ladrillos $\frac{\alpha_j}{(X-a)^{m-j}}$ . En concreto, para $\frac{X^2 + 1}{(X+2)^3}$ : sustituyendo $X = Y - 2$ ,

X^2 + 1 = (Y - 2)^2 + 1 = Y^2 - 4Y + 5 , \qquad\text{so}\qquad \frac{X^2+1}{(X+2)^3} = \frac1{Y} - \frac4{Y^2} + \frac5{Y^3}

con $Y = X + 2$ : los tres ladrillos aparecen por mera división del expansión desplazada — la ruta más rápida siempre que un solo polo de alto orden está involucrado, y el recomendado para Ejercicio 9.3.

Unicidad. Supongamos que coinciden dos descomposiciones; su la diferencia es una identidad $0 = \sum_{i,k} \frac{d_{i,k}}{(X - a_i)^k}$ . Multiplicar por $(X - a_1)^{m_1}$ : cada término adquiere un factor que desaparece en $a_1$ excepto el que tiene $i = 1$ , $k = m_1$ , cuyo coeficiente pasa a ser $d_{1,m_1}$ más términos que llevan al menos un factor $(X - a_1)$ . Evaluando en $a_1$ (legítimo: después de la multiplicación, no queda ningún polo en $a_1$ ) da $d_{1,m_1} = 0$ . Sin el coeficiente superior, repita con $(X - a_1)^{m_1 - 1}$ , y así sucesivamente hacia abajo hasta $k = 1$ ; luego pase al siguiente polo. Todos los $d_{i,k}$ desaparecen: el La descomposición es única. ∎

Método 9.6 (Cálculo de los coeficientes)

En la práctica, evite Bézout; combinar:

encubrimiento para el poder más alto: el coeficiente de $\frac{1}{(X-a)^m}$ (con $m$ el orden del polo $a$ ) es

$c_{a,m} = \Bigl[\,(X - a)^m F\,\Bigr]_{X = a};$

para un simple polo de $F = \frac AB$ , esto es $\frac{A(a)}{B'(a)}$ ;
evaluaciones en puntos convenientes y límites de $xF(x)$ como $x \to \infty$ para recopilar relaciones lineales para el coeficientes restantes;
paridad o simetrías de conjugación, cuando estén presentes, para cortar el trabajo a la mitad.

Observación 9.7 (Errores comunes con fracciones parciales)

Saltándose la parte entera. La descomposición del ladrillo aplica a fracciones de grado $< 0$ ; cuando $\deg A \geq \deg B$ , divide primero (Proposición 9.3), o el La búsqueda de coeficientes producirá contradicciones.
Encubrimiento más allá de su alcance. Multiplicando por $(X - a)^k$ y evaluar en $a$ produce el coeficiente sólo para $k = m$ , el pedido lleno del polo; el Los coeficientes de orden inferior requieren otras relaciones (límites, evaluaciones) — ver Ejemplo 9.9.
Olvidarse de reducir. polacos se leen en el formulario reducido; un factor común entre el numerador y el denominador crea el fantasma polos (Ejemplo 9.4).
Wrong brick shapes over $\R$ . Por encima de un irreductible cuadrático los numeradores son afín ( $\alpha X + \beta$ ), no constantes; escribiendo $\frac{c}{X^2 + 1}$ solo pierde soluciones — las formas correctas son dictadas por Teorema 9.10, nunca improvisado.

Demostración de la fórmula de polo simple. Cerca de un polo $a$ simple: $B = (X - a) Q$ con $Q(a) \neq 0$ y $B' = Q + (X - a) Q'$ , entonces $B'(a) = Q(a)$ . El valor de encubrimiento es $\frac{A(a)}{Q(a)} = \frac{A(a)}{B'(a)}$ . ∎

Ejemplo 9.8

Descomponer $F = \dfrac{1}{X(X-1)(X-2)}$ . Tres simples polos; encubrimiento en cada uno:

c_0 = \frac{1}{(0-1)(0-2)} = \frac12, \quad c_1 = \frac{1}{1 \times (1 - 2)} = -1, \quad c_2 = \frac{1}{2 \times 1} = \frac12,

entonces $F = \dfrac{1/2}{X} - \dfrac{1}{X-1} + \dfrac{1/2}{X-2}$ . Cheque en $X = 3$ : directamente, $F(3) = \frac{1}{3\cdot2\cdot1} = \frac16$ ; de la descomposición, $\frac{1/2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1/2}{1} = \frac16 - \frac12 + \frac12 = \frac16$ .

Ejemplo 9.9 (Polos Múltiples)

Descomponer $F = \dfrac{X}{(X-1)^2 (X+1)}$ . Forma: $\frac{a}{(X-1)^2} + \frac{b}{X-1} + \frac{c}{X+1}$ .

Encubrimiento en el doble polo: $a = \bigl[\frac{X}{X+1}\bigr]_{X=1} = \frac12$ .
Encubrimiento en $-1$ : $c = \bigl[\frac{X}{(X-1)^2}\bigr]_{X=-1} = -\frac14$ .
Límite de $xF(x)$ en $\infty$ : $0 = b + c$ , entonces $b = \frac14$ .

F = \frac{1/2}{(X-1)^2} + \frac{1/4}{X-1} - \frac{1/4}{X+1} .

Verificar en $X = 0$ : $F(0) = 0$ y $\frac12 - \frac14 - \frac14 = 0$ .

9.3 Descomposición sobre $\R$

Teorema 9.10 (Descomposición sobre $\R$ )

Sea $F \in \R(X)$ en forma reducida con denominador

B = c \prod_i (X - a_i)^{m_i} \prod_j (X^2 + p_j X + q_j)^{n_j} \qquad (p_j^2 - 4q_j < 0).

Entonces $F$ se descompone únicamente como su parte entera más términos

\frac{c_{i,k}}{(X - a_i)^k} \quad (1 \leq k \leq m_i), \qquad \frac{\alpha_{j,l}\, X + \beta_{j,l}}{(X^2 + p_j X + q_j)^{l}} \quad (1 \leq l \leq n_j),

con coeficientes reales.

Demostración. Descomponer sobre $\C$ (Teorema 9.5). Dado que $F$ es real, el coeficiente sobre polo $\conj a$ (en cada orden) es el conjugado del coeficiente sobre $a$ (aplicar conjugación al descomposición e invocar unicidad). Agrupa cada par conjugado:

\frac{c}{(X - z)^l} + \frac{\conj c}{(X - \conj z)^l} = \frac{c\,(X - \conj z)^l + \conj c\,(X - z)^l}{\bigl(X^2 - 2\Re(z)X + \abs z^2\bigr)^{l}},

cuyo numerador es su propio conjugado, por tanto real, de grado $\leq l$ ; dividir múltiplos de la cuadrática real la reduce a grados $\leq 1$ en cada nivel $l$ (una pequeña inducción hacia abajo). Real polos mantienen sus coeficientes reales (la conjugación los fija). Unicidad se deriva de la unicidad sobre $\C$ . ∎

Ejemplo 9.11 (Viendo el emparejamiento conjugado)

El mecanismo de la prueba, en el caso más pequeño: sobre $\C$ , el polos de $\frac1{X^2+1}$ son $\pm\iu$ , con coeficientes de encubrimiento $\frac1{2\iu}$ en $\iu$ y $\frac1{-2\iu}$ en $-\iu$ — conjugados entre sí, como predice el teorema:

\frac{1}{X^2 + 1} = \frac{1/(2\iu)}{X - \iu} - \frac{1/(2\iu)}{X + \iu} .

Recombinando sobre el denominador común:

\frac{1}{2\iu}\cdot\frac{(X + \iu) - (X - \iu)}{X^2 + 1} = \frac{1}{2\iu}\cdot\frac{2\iu}{X^2 + 1} = \frac{1}{X^2+1} :

las partes imaginarias se cancelan y el ladrillo real reaparece intacto. Para integrandos reales normalmente nunca se sale de $\R$ — pero cuando evaluando sumas en puntos complejos (como el problema del fin de semana hace con raíces de la unidad), los ladrillos complejos son los naturales moneda, y este par es el tipo de cambio entre las dos descomposiciones.

Ejemplo 9.12

Descomponer $F = \dfrac{4}{(X^2+1)(X-1)^2}$ sobre $\R$ . Forma: $\frac{aX + b}{X^2 + 1} + \frac{c}{(X-1)^2} + \frac{d}{X - 1}$ . Encubrimiento en el doble polo: $c = \bigl[\frac{4}{X^2+1}\bigr]_{X=1} = 2$ . Encubrimiento en el complejo polo $\iu$ (numerador sobre $X^2 + 1$ evaluado mediante la descomposición compleja, o directamente): multiplicar por $X^2 + 1$ y configure $X = \iu$ :

a\iu + b = \frac{4}{(\iu - 1)^2} = \frac{4}{-2\iu} = 2\iu ,

entonces $a = 2$ , $b = 0$ . Límite de $xF(x)$ al infinito: $0 = a + d$ , entonces $d = -2$ . Por lo tanto

F = \frac{2X}{X^2+1} + \frac{2}{(X-1)^2} - \frac{2}{X-1} .

Verificar en $X = 0$ : $F(0) = 4$ y $0 + 2 + 2 = 4$ .

Ejemplo 9.13 (Un denominador cúbico, de principio a fin.)

Descomponer $F = \dfrac{1}{X^3 + 1}$ sobre $\R$ . Factorice primero: $X^3 + 1 = (X + 1)(X^2 - X + 1)$ , la cuadrática tiene el discriminante $-3 < 0$ . Forma: $\frac{a}{X+1} + \frac{bX + c}{X^2 - X + 1}$ . encubrimiento al simple polo $-1$ : $a = \bigl[\frac1{X^2 - X + 1}\bigr]_{X=-1} = \frac13$ . Límite de $xF(x)$ al infinito: $0 = a + b$ , entonces $b = -\frac13$ . Evaluación en $X = 0$ : $1 = a + c$ , entonces $c = \frac23$ . Por lo tanto

\frac{1}{X^3+1} = \frac13\Bigl(\frac{1}{X+1} + \frac{-X + 2}{X^2 - X + 1}\Bigr) ,

confirmado en $X = 1$ : lado izquierdo $\frac12$ , lado derecho $\frac13\bigl(\frac12 + 1\bigr) = \frac12$ . Tenga en cuenta la economía: tres incógnitas, tres hechos lineales baratos (un encubrimiento, un límite, una evaluación), sin expansión de nada — el flujo de trabajo de Método 9.6 en su forma pura.

Observación 9.14 (Para qué sirve)

Una vez descompuesta, una función racional integra término por término: ladrillos $\frac{1}{(x-a)^k}$ tiene primitivas elementales y ladrillos. $\frac{\alpha x + \beta}{(x^2 + px + q)^l}$ reducir a $\ln$ y $\arctan$ (Capítulo 15). Las sumas telescópicas son la otra Aplicación estándar (Ejercicio 9.8).

Observación 9.15 (Dónde se utiliza este capítulo)

Las fracciones parciales son ante todo un paso preprocesamiento: el El capítulo de integración (Capítulo 15) alimenta cada racional. integrando a través de Teorema 9.10 antes de integrar, y el capítulo de la serie (Capítulo 17) telescopios racionales términos exactamente como en Ejercicio 9.8 y en el fin de semana problema a continuación — que lleva la técnica hasta el final $\sum 1/k^2 = \pi^2/6$ . La derivada logarítmica $P'/P = \sum m_i/(X - a_i)$ (Ejercicio 8.11) reaparece siempre que la raíz Se estudian las ubicaciones. Más allá de este volumen, la descomposición de $1/\chi(X)$ para una característica polinomio $\chi$ subyace a la Cálculo de potencias matriciales y transformadas de Laplace en el año. 2 volumen: los ladrillos $\frac{c}{(X - a)^k}$ son la sombra algebraica de las soluciones $t^{k-1}\eu^{at}$ encontradas en Capítulo 5.

La función F(x) = 1x+1 + 1x + 1x-1 de tipo : estrictamente decreciente en cada intervalo entre sus polos -1, 0, 1 (discontinuo). Cada nivel horizontal > 0 se cruza exactamente una vez por intervalo a la derecha del primer polo (puntos marcados): las soluciones de F = se entrelazan con polos. — La función $F(x) = \frac1{x+1} + \frac1x + \frac1{x-1}$ de tipo Ejercicio 9.12: estrictamente decreciente en cada intervalo entre sus polos $-1, 0, 1$ (discontinuo). Cada nivel horizontal $\lambda > 0$ se cruza exactamente una vez por intervalo a la derecha del primer polo (puntos marcados): las soluciones de $F = \lambda$ se entrelazan con polos.

9.4 Ceremonias

Ejercicio 9.1 ★

Descomponer sobre $\R$ : $\dfrac{1}{X^2 - 1}$ ; $\;\dfrac{X}{X^2 - 3X + 2}$ ; $\;\dfrac{X^2 + 1}{X(X-1)}$ (mente la parte entera).

Solución

Solución de Ejercicio 9.1.

$\dfrac{1}{X^2 - 1}$ : simple polos $\pm 1$ ; encubrimiento: $\dfrac{1/2}{X-1} - \dfrac{1/2}{X+1}$ .

$\dfrac{X}{X^2 - 3X + 2} = \dfrac{X}{(X-1)(X-2)}$ : encubrimiento da $\frac{1}{1-2} = -1$ en $1$ y $\frac{2}{2-1} = 2$ en $2$ : $\dfrac{-1}{X-1} + \dfrac{2}{X-2}$ .

$\dfrac{X^2+1}{X(X-1)}$ : el grado es $0$ , por lo que es un número entero parte: dividir, $X^2 + 1 = (X^2 - X) + (X + 1)$ , entonces $F = 1 + \frac{X+1}{X(X-1)}$ . Encubrimiento del resto: $\frac{1}{-1} = -1$ en $0$ , $\frac{2}{1} = 2$ en $1$ :

F = 1 - \frac{1}{X} + \frac{2}{X-1} .

Ejercicio 9.2 ★

Descomponer sobre $\R$ : $\dfrac{1}{X(X^2 + 1)}$ y $\dfrac{X^3}{X^2 + X + 1}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 9.2.

$\dfrac{1}{X(X^2+1)}$ : forma $\frac aX + \frac{bX + c}{X^2 + 1}$ . Encubrimiento en $0$ : $a = 1$ . Límite de $xF$ : $0 = a + b$ , entonces $b = -1$ . Evaluación en $X = 1$ : $\frac12 = 1 + \frac{c - 1}{2}$ , entonces $c = 0$ :

\frac{1}{X(X^2+1)} = \frac 1X - \frac{X}{X^2+1} .

$\dfrac{X^3}{X^2+X+1}$ : división: $X^3 = (X^2+X+1)(X - 1) + 1$ , entonces

\frac{X^3}{X^2+X+1} = X - 1 + \frac{1}{X^2 + X + 1} ,

ya en forma real descompuesta (la cuadrática tiene valores negativos) discriminante).

Ejercicio 9.3 ★

Descomponer $\dfrac{1}{X^2(X - 1)}$ y $\dfrac{X + 1}{(X - 1)^3}$ (para el segundo, sustituya $Y = X - 1$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 9.3.

$\dfrac{1}{X^2(X-1)}$ : forma $\frac{a}{X^2} + \frac bX + \frac{c}{X-1}$ . Encubrimiento en el doble polo $0$ : $a = \bigl[\frac{1}{X-1}\bigr]_{0} = -1$ . Encubrimiento en $1$ : $c = 1$ . Límite de $xF$ : $0 = b + c$ , por lo que $b = -1$ :

\frac{1}{X^2(X-1)} = -\frac{1}{X^2} - \frac1X + \frac{1}{X-1} .

$\dfrac{X+1}{(X-1)^3}$ : con $Y = X - 1$ , el numerador es $Y + 2$ :

\frac{Y + 2}{Y^3} = \frac{1}{Y^2} + \frac{2}{Y^3} = \frac{1}{(X-1)^2} + \frac{2}{(X-1)^3} .

Ejercicio 9.4 ★★

Descomponer sobre $\C$ , luego sobre $\R$ : $\dfrac{1}{X^4 - 1}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 9.4.

Los polos son los cuartos raíces de la unidad $1, \iu, -1, -\iu$ , todos sencillo. Fórmula polo simple con $B' = 4X^3$ : el coeficiente en $a$ es $\frac{1}{4a^3} = \frac{a}{4a^4} = \frac a4$ (usando $a^4 = 1$ ). Entonces, sobre $\C$ :

\frac{1}{X^4 - 1} = \frac{1/4}{X - 1} - \frac{1/4}{X + 1} + \frac{\iu/4}{X - \iu} - \frac{\iu/4}{X + \iu} .

Agrupando el par conjugado (denominador común $X^2 + 1$ ): $\frac{\iu}{4}\bigl(\frac{1}{X-\iu} - \frac{1}{X+\iu}\bigr) = \frac{\iu}{4}\cdot\frac{2\iu}{X^2+1} = \frac{-1/2}{X^2+1}$ . Más $\R$ :

\frac{1}{X^4 - 1} = \frac{1/4}{X-1} - \frac{1/4}{X+1} - \frac{1/2}{X^2 + 1} .

Verificar en $X = 0$ : $-1 = -\frac14 - \frac14 - \frac12$ .

Ejercicio 9.5 ★★

Descomponer sobre $\R$ : $\dfrac{X^2}{(X^2 + 1)^2}$ y deducir un primitiva de $x \mapsto \dfrac{x^2}{(x^2+1)^2}$ dada $\int \frac{\dd x}{(x^2+1)^2} = \frac12\bigl(\arctan x + \frac{x}{x^2+1}\bigr) + C$ .

Solución

Solución de Ejercicio 9.5.

$\dfrac{X^2}{(X^2+1)^2} = \dfrac{(X^2 + 1) - 1}{(X^2+1)^2} = \dfrac{1}{X^2+1} - \dfrac{1}{(X^2+1)^2}$ .

De ahí una primitiva:

\int \frac{x^2\,\dd x}{(x^2+1)^2} = \arctan x - \frac12\Bigl(\arctan x + \frac{x}{x^2+1}\Bigr) + C = \frac12\arctan x - \frac{x}{2(x^2+1)} + C .

Ejercicio 9.6 ★★

Para $n \in \N^*$ , descomponga $F_n = \dfrac{n!}{X(X+1)\cdots(X+n)}$ (simple polos at $0, -1, \dots, -n$ ; use the cover-up formula and recognize coeficientes binomiales).

Solución

Solución de Ejercicio 9.6.

Los polos $0, -1, \dots, -n$ son simples. Encubrimiento en $-k$ :

c_k = \frac{n!}{\prod_{j \neq k} (-k + j)} = \frac{n!}{\bigl(\prod_{j=0}^{k-1}(j - k)\bigr) \bigl(\prod_{j=k+1}^{n}(j-k)\bigr)} = \frac{n!}{(-1)^k k!\,(n-k)!} = (-1)^k \binom nk .

entonces

\frac{n!}{X(X+1)\cdots(X+n)} = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k \binom nk}{X + k} .

(Comprobación de cordura para $n = 1$ : $\frac{1}{X(X+1)} = \frac1X - \frac{1}{X+1}$ ).

Ejercicio 9.7 ★★

Usando la identidad de Ejercicio 8.11 para $P = X^n - 1$ , demostrar que

\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{X - \omega^k} = \frac{n X^{n-1}}{X^n - 1}, \qquad \omega = \eu^{2\iu\pi/n},

y evalúe ambos lados en $X = 2$ para $n = 4$ como verificación.

Solución

Solución de Ejercicio 9.7.

$P = X^n - 1$ tiene las raíces simples $n$ $\omega^k$ (Teorema 3.14), por lo que la identidad de la derivada logarítmica de lecturas Ejercicio 8.11

\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{X - \omega^k} = \frac{P'(X)}{P(X)} = \frac{n X^{n-1}}{X^n - 1} .

En $X = 2$ , $n = 4$ : lado derecho $= \frac{4 \times 8}{15} = \frac{32}{15}$ . Lado izquierdo: $\frac{1}{2-1} + \frac{1}{2+1} + \frac{1}{2 - \iu} + \frac{1}{2 + \iu} = 1 + \frac13 + \frac{4}{5} = \frac{15 + 5 + 12}{15} = \frac{32}{15}$ , usando $\frac{1}{2-\iu} + \frac{1}{2+\iu} = \frac{4}{5}$ .

Ejercicio 9.8 ★★

Descomponga $\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}$ y calcule

S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}, \qquad\text{then}\qquad \lim_{n \to \infty} S_n .

Solución

Solución de Ejercicio 9.8.

Encubrimiento: $\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)} = \dfrac{1/2}{k} - \dfrac{1}{k+1} + \dfrac{1/2}{k+2}$ . Reescribir como una diferencia telescópica:

\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac12\Bigl(\frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)}\Bigr),

(expandir para comprobar — o restar las dos descomposiciones). Resumiendo:

S_n = \frac12\Bigl(\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}\Bigr) = \frac14 - \frac{1}{2(n+1)(n+2)} \xrightarrow[n \to \infty]{} \frac14 .

Ejercicio 9.9 ★★★

Sea $P \in \R[X]$ mónico de grado $n$ con raíces reales distintas $n$ $x_1 < \dots < x_n$ . demostrar que

\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{P'(x_i)} = 0 \quad (n \geq 2), \qquad \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i^{\,n-1}}{P'(x_i)} = 1 .

Hint: decompose $\frac{X^m}{P}$ for $m \leq n - 1$ and look at the coefficient decay at infinity — or use interpolación de Lagrange (Teorema 8.23) of the monomial $X^m$ at the nodes $x_i$ .

Solución

Solución de Ejercicio 9.9.

Descomponer, para $0 \leq m \leq n - 1$ , la fracción $\frac{X^m}{P}$ (grado $m - n \leq -1$ , polos simple): la fórmula polo simple da

\frac{X^m}{P} = \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i^m / P'(x_i)}{X - x_i} .

Multiplica por $X$ y deja que $X \to +\infty$ : el lado izquierdo tiende al límite de $X^{m+1}/P$ , que es $0$ si $m \leq n - 2$ y $1$ si $m = n - 1$ ( $P$ es mónico de grado $n$ ); el lado derecho tiende a $\sum_i \frac{x_i^m}{P'(x_i)}$ . Por lo tanto

\sum_{i=1}^{n} \frac{x_i^{m}}{P'(x_i)} = \begin{cases} 0 & \text{for } 0 \leq m \leq n-2,\\ 1 & \text{for } m = n - 1, \end{cases}

que contiene ambas identidades anunciadas ( $m = 0$ requiere $n \geq 2$ ). (Interpretación vía Teorema 8.23: estas sumas son los coeficientes principales de los interpolantes de Lagrange de $X^m$ , y interpolando un polinomio de grado $\leq n-1$ en puntos $n$ lo reproduce exactamente.)

Ejercicio 9.10 ★★

Descomponer $\dfrac{1}{X(X+1)^2}$ sobre $\R$ . Admitiendo el valor $\sum_{k \geq 1} \frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6$ (probado en este problema del fin de semana del capítulo), deducir

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)^2} = 2 - \frac{\pi^2}{6} .

Solución

Solución de Ejercicio 9.10.

Forma $\frac aX + \frac b{X+1} + \frac c{(X+1)^2}$ . Encubrimiento en $0$ : $a = 1$ ; encubrimiento en el doble polo: $c = \bigl[\frac1X \bigr]_{X=-1} = -1$ ; límite de $xF(x)$ en el infinito: $0 = a + b$ , entonces $b = -1$ :

\frac{1}{X(X+1)^2} = \frac1X - \frac1{X+1} - \frac1{(X+1)^2} .

Resumen de $n = 1, \dots, N$ : el primer telescopio de dos ladrillos que $1 - \frac1{N+1}$ , y el tercero aporta $-\sum_{k=2}^{N+1} \frac1{k^2}$ . Dejar $N \to \infty$ y usar $\sum_{k\geq1} \frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6$ :

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)^2} = 1 - \Bigl(\frac{\pi^2}6 - 1\Bigr) = 2 - \frac{\pi^2}6 \approx 0.355 .

Ejercicio 9.11 ★★

Descomponer sobre $\R$ : $\dfrac{1}{(X^2+1)(X^2+4)}$ , luego $\dfrac{X^2}{(X^2+1)(X^2+4)}$ . Hint: both denominators are polinomios in $X^2$ : decompose $\frac1{(Y+1)(Y+4)}$ first.

Solución

Solución de Ejercicio 9.11.

En la variable $Y$ : $\frac1{(Y+1)(Y+4)} = \frac{1/3}{Y+1} - \frac{1/3}{Y+4}$ (encubrimiento en $-1$ y $-4$ ), entonces

\frac{1}{(X^2+1)(X^2+4)} = \frac13\,\frac1{X^2+1} - \frac13\,\frac1{X^2+4} .

Asimismo $\frac{Y}{(Y+1)(Y+4)} = \frac{-1/3}{Y+1} + \frac{4/3}{Y+4}$ , entonces

\frac{X^2}{(X^2+1)(X^2+4)} = -\frac13\,\frac1{X^2+1} + \frac43\,\frac1{X^2+4} .

(Consulte en $X = 0$ : $0 = \frac13(-1 + 1)$ ). Estos ya son los Descomposiciones reales: los numeradores sobre las cuadráticas irreducibles. resultan ser constantes.

Ejercicio 9.12 ★★★

(Ecuaciones seculares) Sea $F = \sum_{i=1}^{r} \frac{c_i}{X - p_i}$ con $p_1 < p_2 < \dots < p_r$ real y todo $c_i > 0$ .

Demuestre que $F$ es estrictamente decreciente en cada intervalo de su dominio, y dar sus límites en $\pm\infty$ y en ambos lados de cada polo.
Deduce que por cada $\lambda > 0$ , la ecuación $F(x) = \lambda$ tiene exactamente $r$ soluciones reales, una en cada intervalo $\intoo{p_i}{p_{i+1}}$ y uno posterior a $p_r$ . (Tales ecuaciones gobiernan las perturbaciones de valores propios; El teorema del valor intermedio se utiliza en el nivel de escuela secundaria. aquí y demostrado en Capítulo 13.)

Solución

Solución de Ejercicio 9.12.

En cada intervalo evitando polos, $F'(x) = -\sum_i \frac{c_i}{(x - p_i)^2} < 0$ : estrictamente decreciente. Como $x \to \pm\infty$ , cada ladrillo tiende a $0$ : $F \to 0$ , de arriba en $+\infty$ (todos los ladrillos positivos allí) y desde a continuación en $-\infty$ . Como $x \to p_i^+$ , el ladrillo $\frac{c_i}{x - p_i}$ explota contra $+\infty$ y los demás permanecer limitado: $F \to +\infty$ ; igualmente $F \to -\infty$ como $x \to p_i^-$ .
Reparar $\lambda > 0$ . En $\intoo{-\infty}{p_1}$ : $F$ disminuye de $0^-$ a $-\infty$ , por lo que $F < 0 < \lambda$ : ninguna solución. En cada $\intoo{p_i}{p_{i+1}}$ ( $1 \leq i \leq r-1$ ): $F$ disminuye de $+\infty$ a $-\infty$ , por lo tanto toma el valor $\lambda$ exactamente una vez (intermedio propiedad de valor más estricta monotonicidad). encendido $\intoo{p_r}{+\infty}$ : $F$ disminuye de $+\infty$ a $0^+$ , nuevamente exactamente una solución. Total: exactamente $r$ soluciones, entrelazadas con el polos.

9.5 Problema: fracciones parciales como motor.

Problema 9.1

La descomposición en fracciones parciales se parece a la contabilidad; este problema muestra que es un motor. Alimentado con la fracción $\frac1{X(X+1)\cdots(X+k)}$ , telescopio familias enteras de sumas en forma cerrada; alimentado con $\frac1{X^n - 1}$ , produce identidades trigonométricas como

\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sin^2\frac{k\pi}{n}} = \frac{n^2-1}{3} ;

y, llevado un paso más allá, esa identidad exprime uno de los Fórmulas más famosas de las matemáticas: la de Euler.

\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2} = \frac{\pi^2}{6}

— aquí obtenido sin nada más allá del álgebra de este capítulo y high-school trigonometry. En todo momento, $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ ; Los límites de las secuencias son. utilizados a nivel de Secundaria (Capítulo 11 los formaliza).

Parte I — The telescope.

Descomponga $\frac1{X(X+1)}$ y calcule $\sum_{n=1}^{N} \frac1{n(n+1)}$ exactamente; concluir que la suma tiende a $1$ .
Lo mismo para $\frac1{X(X+2)}$ : mostrar $\sum_{n=1}^{N} \frac1{n(n+2)} = \frac12\bigl(\frac32 - \frac1{N+1} - \frac1{N+2}\bigr) \to \frac34$ . (Con un hueco, dos Los términos de frontera sobreviven en cada extremo.)
Formalizar el mecanismo: si $F(X) = G(X) - G(X+1)$ para algún $G$ racional sin polos en $\intco1{+\infty}$ , luego $\sum_{n=1}^N F(n) = G(1) - G(N+1)$ . recuperar el valor $\frac14$ de Ejercicio 9.8 exhibiendo el testigo $G$ para $F = \frac1{X(X+1)(X+2)}$ .
Demuestre el telescopio factorial general: para $k \geq 1$ ,

$\frac{1}{X(X+1)\cdots(X+k)} = \frac1k\biggl(\frac{1}{X(X+1)\cdots(X+k-1)} - \frac{1}{(X+1)\cdots(X+k)}\biggr),$

y deducir

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)\cdots(n+k)} = \frac{1}{k \cdot k!} .$

Verifique el caso $k = 2$ con la pregunta 3.
Evaluar la descomposición de Ejercicio 9.6 en puntos bien elegidos para demostrar

$\sum_{j=0}^{n}(-1)^j\binom nj\,\frac1{j+1} = \frac1{n+1}, \qquad \sum_{j=0}^{n}(-1)^j\binom nj\,\frac1{j+2} = \frac1{(n+1)(n+2)} .$

Parte II — The fraction $1/(X^n - 1)$ .

Demuestre mediante la fórmula de encubrimiento que

$\frac{1}{X^n - 1} = \frac1n\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\omega^k}{X - \omega^k} .$
Dos comprobaciones de cordura: verificar la fórmula directamente para $n = 2$ y mostrar que la suma de los coeficientes $n$ desaparece para $n \geq 2$ — explique por qué debe (considere $xF(x)$ como $x \to \infty$ ).
Rederivar por encubrimiento la identidad de Ejercicio 9.7: $\frac{nX^{n-1}}{X^n-1} = \sum_k \frac1{X - \omega^k}$ .
Grupo conjugado polos para probar la descomposición real: con $\theta_k = \frac{2k\pi}n$ ,

$\frac{\omega^k}{X - \omega^k} + \frac{\omega^{n-k}}{X - \omega^{n-k}} = \frac{2\cos\theta_k\,X - 2} {X^2 - 2\cos\theta_k\,X + 1} ,$

y escriba la descomposición real completa de $\frac1{X^n-1}$ (distinguir $n$ impar y $n$ par).
Especialícese en $n = 4$ y compare con Ejercicio 9.4.

Parte III — Trigonometric sums, and Euler’s $\pi^2/6$ . Sea $P = 1 + X + \dots + X^{n-1}$ , cuyas raíces son $\omega, \omega^2, \dots, \omega^{n-1}$ (todo sencillo).

Usando $\frac{P'}P = \sum_{k=1}^{n-1}\frac1{X - \omega^k}$ (Ejercicio 8.11), probar

$\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{1 - \omega^k} = \frac{n-1}2 .$
Demostrar $\dfrac1{1 - \eu^{\iu\theta}} = \dfrac12 + \dfrac\iu2\,\frac{\cos(\theta/2)}{\sin(\theta/2)}$ para $\theta \notin 2\pi\Z$ (factorización de medio ángulo, Método 3.11), y deducir de la pregunta 11 que $\sum_{k=1}^{n-1} \frac{\cos(k\pi/n)}{\sin(k\pi/n)} = 0$ — también visible por la simetría $k \leftrightarrow n - k$ .
Diferenciando la identidad de la pregunta 11 (es decir, usando $\bigl(\frac{P'}P\bigr)' = \frac{P''}P - \bigl(\frac{P'}P\bigr)^2$ evaluado en $X = 1$ ), probar

$\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{(1 - \omega^k)^2} = \frac{(n-1)(5-n)}{12} .$
Escribiendo $\cot t = \frac{\cos t}{\sin t}$ , deducir de preguntas 12–13 las dos formas cerradas

$\sum_{k=1}^{n-1}\cot^2\frac{k\pi}n = \frac{(n-1)(n-2)}3, \qquad \sum_{k=1}^{n-1}\frac1{\sin^2\frac{k\pi}n} = \frac{n^2-1}3 .$
Verifique ambas fórmulas a mano para $n = 3$ y $n = 4$ .
Demostrar las desigualdades $\cot t < \frac1t < \frac1{\sin t}$ para $t \in \intoo0{\frac\pi2}$ (de $\sin t < t < \tan t$ ), y deducir, para $n = 2m + 1$ y $1 \leq k \leq m$ :

$\cot^2\frac{k\pi}n \;<\; \frac{n^2}{k^2\pi^2} \;<\; \frac1{\sin^2\frac{k\pi}n} .$
Sume estas desigualdades para $k = 1, \dots, m$ (usando el simetría $k \leftrightarrow n - k$ para reducir a la mitad las fórmulas de la pregunta 14) y aprieta:

$\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6 .$

Parte IV — Higher bricks.

Al elevar al cuadrado la descomposición de $\frac1{X^2-1}$ y re-descomponiendo el término cruzado, demuestre

$\frac1{(X^2-1)^2} = \frac14\Bigl(\frac1{(X-1)^2} + \frac1{(X+1)^2}\Bigr) - \frac14\Bigl(\frac1{X-1} - \frac1{X+1}\Bigr),$

y compruébalo en $X = 0$ .
Combine la pregunta 18, el telescopio y el valor de Euler (pregunta 17) para demostrar

$\sum_{n=2}^{\infty}\frac1{(n^2-1)^2} = \frac{\pi^2}{12} - \frac{11}{16} ,$

y confirmar el valor numéricamente con tres decimales.
Diferenciar la identidad de la pregunta 8 para obtener una formulario cerrado para $\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{(X - \omega^k)^2}$ y compruébelo en $X = 2$ , $n = 2$ .
Demuestre que para $k \geq 2$ ,

$\sum_{n=k}^{\infty}\frac{1}{\binom nk} = \frac{k}{k-1} .$

(Reduce to question 4 by writing $1/\binom nk$ with factorials.)
Para $k = 3$ , proporcione la suma parcial exacta $\sum_{n=3}^{N}\frac1{\binom n3}$ y su límite.

Part V — Synthesis.

Como cálculo final, escriba el valor real completo descomposición de $\dfrac1{X^6 - 1}$ y compruébelo en $X = 0$ .
¿Dónde exactamente se utilizó el problema: (i) la unicidad de la descomposición; (ii) el raíces de la unidad de Capítulo 3; (iii) la derivada logarítmica de Ejercicio 8.11? Una frase cada uno.
Síntesis, en un breve párrafo: una identidad algebraica — romper una fracción en ladrillos — generó exactamente sumas, identidades trigonométricas y $\pi^2/6$ . Comentar en la división del trabajo entre álgebra (exacta descomposiciones, válidas en todas partes) y análisis (límites, apretando), y señale donde está cada hilo industrializados: telescopado y comparación en Capítulo 17, integración de los ladrillos en Capítulo 15.

Solución

Solución de Problema 9.1.

1. Encubrimiento: $\frac1{X(X+1)} = \frac1X - \frac1{X+1}$ . La suma telescopios:

\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac1n - \frac1{n+1}\Bigr) = 1 - \frac1{N+1} \longrightarrow 1 .

2. $\frac1{X(X+2)} = \frac{1/2}X - \frac{1/2}{X+2}$ . En resumen, los términos $\frac1n$ sobreviven para $n = 1, 2$ y los términos $-\frac1{n+2}$ sobrevive para $n = N-1, N$ :

\sum_{n=1}^{N}\frac1{n(n+2)} = \frac12\Bigl(1 + \frac12 - \frac1{N+1} - \frac1{N+2}\Bigr) \longrightarrow \frac34 .

3. Si $F(X) = G(X) - G(X+1)$ , entonces $\sum_{n=1}^N F(n) = \sum_{n=1}^N\bigl(G(n) - G(n+1)\bigr) = G(1) - G(N+1)$ : todos los valores intermedios se cancelan en pares. Para $F = \frac1{X(X+1)(X+2)}$ , el testigo es $G(X) = \frac1{2X(X+1)}$ :

G(X) - G(X+1) = \frac{(X+2) - X}{2X(X+1)(X+2)} = F(X) ,

entonces $\sum_{n=1}^N F(n) = \frac14 - \frac1{2(N+1)(N+2)} \to \frac14$ , el valor de Ejercicio 9.8.

4. Pon el lado derecho sobre el denominador común. $X(X+1)\cdots(X+k)$ :

\frac1k\cdot\frac{(X + k) - X}{X(X+1)\cdots(X+k)} = \frac{1}{X(X+1)\cdots(X+k)} ,

cual es la identidad. Entonces $F_k(X) = \frac1k\bigl(G_k(X) - G_k(X+1)\bigr)$ con $G_k(X) = \frac1{X(X+1)\cdots(X+k-1)}$ , y El mecanismo de la pregunta 3 da

\sum_{n=1}^{N}\frac1{n(n+1)\cdots(n+k)} = \frac1k\Bigl(\frac1{k!} - G_k(N+1)\Bigr) \longrightarrow \frac1{k\cdot k!} ,

desde $G_k(1) = \frac1{k!}$ y $G_k(N+1) \to 0$ . Para $k = 2$ : $\frac1{2\cdot2} = \frac14$ , pregunta coincidente 3.

5. Ejercicio 9.6 da $\frac{n!}{X(X+1)\cdots(X+n)} = \sum_{j=0}^n \frac{(-1)^j\binom nj}{X + j}$ . Evaluar en $X = 1$ : el lado izquierdo es $\frac{n!}{(n+1)!} = \frac1{n+1}$ , el lado derecho es $\sum_j(-1)^j\binom nj\frac1{1+j}$ : primera identidad. En $X = 2$ : el lado izquierdo es $\frac{n!}{2\cdot3\cdots(n+2)} = \frac{n!\cdot1}{(n+2)!} = \frac1{(n+1)(n+2)}$ , el lado derecho $\sum_j(-1)^j\binom nj\frac1{2+j}$ : segunda identidad.

6. Los polos $\omega^k$ son simples, y los polo simple la fórmula de Método 9.6 da el coeficiente

\frac{1}{\bigl(nX^{n-1}\bigr)_{X = \omega^k}} = \frac{1}{n\,\omega^{k(n-1)}} = \frac{\omega^k}{n\,\omega^{kn}} = \frac{\omega^k}n ,

utilizando $\omega^{kn} = 1$ . Por lo tanto $\frac1{X^n-1} = \frac1n\sum_k \frac{\omega^k}{X - \omega^k}$ .

7. Para $n = 2$ ( $\omega = -1$ ): $\frac12\bigl( \frac1{X-1} - \frac1{X+1}\bigr) = \frac12\cdot\frac{2}{X^2-1} = \frac1{X^2-1}$ : correcto. Los coeficientes suman $\frac1n\sum_k\omega^k = 0$ para $n \geq 2$ (Proposición 3.18). Deben: $x\,F(x) \to \sum_k c_k$ como $x \to \infty$ para cualquier descomposición con simple polos, mientras aquí $xF(x) = \frac{x}{x^n-1} \to 0$ desde $n \geq 2$ .

8. Encubrimiento para $\frac{X^{n-1}}{X^n - 1}$ en $\omega^k$ : $\frac{A(\omega^k)}{B'(\omega^k)} = \frac{\omega^{k(n-1)}}{n\omega^{k(n-1)}} = \frac1n$ , entonces $\frac{X^{n-1}}{X^n-1} = \frac1n\sum_k\frac1{X - \omega^k}$ — la identidad de Ejercicio 9.7 nuevamente.

9. Con $c = \omega^k$ , $\conj c = \omega^{n-k}$ y $c\conj c = 1$ , $c + \conj c = 2\cos\theta_k$ :

\frac{c}{X - c} + \frac{\conj c}{X - \conj c} = \frac{c(X - \conj c) + \conj c(X - c)} {(X - c)(X - \conj c)} = \frac{2\cos\theta_k\,X - 2}{X^2 - 2\cos\theta_k\,X + 1} .

Agrupando $k$ con $n - k$ en la pregunta 6: para $n$ impar,

\frac1{X^n - 1} = \frac1n\Biggl(\frac1{X-1} + \sum_{k=1}^{(n-1)/2} \frac{2\cos\theta_k X - 2}{X^2 - 2\cos\theta_k X + 1}\Biggr) ;

incluso para $n$ , el polo $\omega^{n/2} = -1$ extra emparejado aporta $\frac{-1}{X+1}$ dentro del paréntesis y el par La suma llega a $\frac n2 - 1$ .

10. $n = 4$ : $\theta_1 = \frac\pi2$ , $\cos\theta_1 = 0$ , entonces el término del par es $\frac{-2}{X^2+1}$ y

\frac1{X^4-1} = \frac14\Bigl(\frac1{X-1} - \frac1{X+1} - \frac2{X^2+1}\Bigr) ,

la descomposición de Ejercicio 9.4.

11. $P = \prod_{k=1}^{n-1}(X - \omega^k)$ (dividir $X^n - 1$ por $X - 1$ ), entonces por Ejercicio 8.11, $\frac{P'}P = \sum_{k=1}^{n-1}\frac1{X-\omega^k}$ . En $X = 1$ : $P(1) = n$ y $P'(1) = \sum_{j=1}^{n-1}j = \frac{n(n-1)}2$ , de donde

\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{1 - \omega^k} = \frac{P'(1)}{P(1)} = \frac{n-1}2 .

12. Medio ángulo: $1 - \eu^{\iu\theta} = -2\iu\sin\frac\theta2\,\eu^{\iu\theta/2}$ , entonces

\frac1{1 - \eu^{\iu\theta}} = \frac{\eu^{-\iu\theta/2}}{-2\iu\sin\frac\theta2} = \frac{\iu\cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2} {2\sin\frac\theta2} = \frac12 + \frac\iu2\, \frac{\cos\frac\theta2}{\sin\frac\theta2} .

Con $\theta = \theta_k = \frac{2k\pi}n$ : $\frac1{1-\omega^k} = \frac12 + \frac\iu2\cot\frac{k\pi}n$ . Sumando $k = 1, \dots, n-1$ y comparando con el valor real $\frac{n-1}2$ de pregunta 11: las partes reales ya dan cuenta de todo, así que $\sum_k\cot\frac{k\pi}n = 0$ — como también muestra la simetría $\cot\frac{(n-k) \pi}n = -\cot\frac{k\pi}n$ .

13. Diferenciando $\frac{P'}P = \sum_k\frac1{X - \omega^k}$ :

\frac{P''}P - \Bigl(\frac{P'}P\Bigr)^2 = -\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{(X - \omega^k)^2} .

En $X = 1$ : $P''(1) = \sum_{j=2}^{n-1}j(j-1) = 2\binom n3 = \frac{n(n-1)(n-2)}3$ (identidad de palo de hockey o inducción), entonces

\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{(1 - \omega^k)^2} = \Bigl(\frac{n-1}2\Bigr)^2 - \frac{(n-1)(n-2)}3 = \frac{(n-1)\bigl(3(n-1) - 4(n-2)\bigr)}{12} = \frac{(n-1)(5-n)}{12} .

14. Elevando la fórmula de la pregunta 12, con $c_k = \cot\frac{k\pi}n$ :

\frac1{(1-\omega^k)^2} = \Bigl(\frac12 + \frac\iu2 c_k\Bigr)^2 = \frac14 - \frac{c_k^2}4 + \frac\iu2\,c_k .

Sumando y usando $\sum c_k = 0$ (pregunta 12) y pregunta 13: $\frac{n-1}4 - \frac14\sum_k c_k^2 = \frac{(n-1)(5-n)}{12}$ , entonces

\sum_{k=1}^{n-1}\cot^2\frac{k\pi}n = (n-1) - \frac{(n-1)(5-n)}3 = \frac{(n-1)(n-2)}3 .

Entonces $\frac1{\sin^2t} = 1 + \cot^2t$ da $\sum_k\frac1{\sin^2\frac{k\pi}n} = (n-1) + \frac{(n-1)(n-2)}3 = \frac{n^2-1}3$ .

15. $n = 3$ : $\cot^2\frac\pi3 + \cot^2\frac{2\pi}3 = \frac13 + \frac13 = \frac23 = \frac{2\cdot1}3$ ; y $\frac1{\sin^2}$ suma $\frac43 + \frac43 = \frac83 = \frac{9-1}3$ . $n = 4$ : $1 + 0 + 1 = 2 = \frac{3\cdot2}3$ ; y $2 + 1 + 2 = 5 = \frac{16-1}3$ . Ambas fórmulas lo comprueban.

16. Para $t \in \intoo0{\frac\pi2}$ , el clásico comparación $\sin t < t < \tan t$ (argumento de área o convexidad, familiar de la escuela secundaria) produce, tomando recíprocos, $\cot t < \frac1t < \frac1{\sin t}$ , los tres positivos allí; elevar al cuadrado conserva el orden. Con $t = \frac{k\pi}n$ , $1 \leq k \leq m$ , $n = 2m+1$ (entonces $t < \frac\pi2$ ):

\cot^2\frac{k\pi}n < \frac{n^2}{k^2\pi^2} < \frac1{\sin^2\frac{k\pi}n} .

17. Por las simetrías $\cot^2\frac{(n-k)\pi}n = \cot^2\frac{k\pi}n$ y de igual manera para $\sin^2$ , las sumas de la pregunta 14 reducir a la mitad: $\sum_{k=1}^{m}\cot^2\frac{k\pi}n = \frac{(n-1)(n-2)}6 = \frac{m(2m-1)}3$ y $\sum_{k=1}^m\frac1{\sin^2\frac{k\pi}n} = \frac{n^2-1}6 = \frac{2m(m+1)}3$ . Sumando la pregunta 16 sobre $k = 1, \dots, m$ y multiplicando por $\frac{\pi^2}{n^2}$ :

\frac{\pi^2}{(2m+1)^2}\cdot\frac{m(2m-1)}3 \;<\; \sum_{k=1}^{m}\frac1{k^2} \;<\; \frac{\pi^2}{(2m+1)^2}\cdot\frac{2m(m+1)}3 .

Ambos límites tienden a $\frac{\pi^2}6$ como $m \to \infty$ (las razones $\frac{m(2m-1)}{(2m+1)^2}$ y $\frac{2m(m+1)}{(2m+1)^2}$ ambos tienden a $\frac12$ ), por lo que al apretar las sumas parciales crecientes converger y

\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6 .

18. Cuadrado $\frac1{X^2-1} = \frac12\bigl(\frac1{X-1} - \frac1{X+1}\bigr)$ :

\frac1{(X^2-1)^2} = \frac14\Bigl(\frac1{(X-1)^2} + \frac1{(X+1)^2}\Bigr) - \frac12\cdot\frac1{(X-1)(X+1)} ,

y vuelva a descomponer el término cruzado $\frac1{(X-1)(X+1)} = \frac12\bigl(\frac1{X-1} - \frac1{X+1}\bigr)$ para obtener lo indicado forma. En $X = 0$ : lado izquierdo $1$ ; lado derecho $\frac14(1 + 1) - \frac14(-1 - 1) = \frac12 + \frac12 = 1$ .

19. Suma la pregunta 18 sobre $n \geq 2$ . Con $S = \sum_{k\geq1}\frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6$ : $\sum_{n\geq2} \frac1{(n-1)^2} = S$ ; $\sum_{n\geq2}\frac1{(n+1)^2} = S - 1 - \frac14$ ; y el telescopio Gap-dos $\sum_{n\geq2}\bigl( \frac1{n-1} - \frac1{n+1}\bigr) = 1 + \frac12 = \frac32$ . Por lo tanto

\sum_{n=2}^{\infty}\frac1{(n^2-1)^2} = \frac14\Bigl(2S - \frac54\Bigr) - \frac14\cdot\frac32 = \frac S2 - \frac{11}{16} = \frac{\pi^2}{12} - \frac{11}{16} \approx 0.135 .

Numéricamente: $\frac19 + \frac1{64} + \frac1{225} + \frac1{576} + \frac1{1225} + \dots \approx 0.1111 + 0.0156 + 0.0044 + 0.0017 + 0.0008 + \dots \approx 0.135$ : consistente.

20. Diferenciar la identidad de la pregunta 8 $\sum_k\frac1{X-\omega^k} = \frac{nX^{n-1}}{X^n-1}$ :

\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{(X - \omega^k)^2} = \frac{n^2X^{2n-2} - n(n-1)X^{n-2}(X^n - 1)}{(X^n - 1)^2} .

Verifique en $n = 2$ , $X = 2$ : lado derecho $\frac{4\cdot4 - 2\cdot1\cdot3}{9} = \frac{10}9$ ; lado izquierdo $\frac1{(2-1)^2} + \frac1{(2+1)^2} = 1 + \frac19 = \frac{10}9$ .

21. $\frac1{\binom nk} = \frac{k!\,(n-k)!}{n!} = \frac{k!}{(n-k+1)(n-k+2)\cdots n}$ , un producto de $k$ consecutivo números enteros abajo. Sustituyendo $j = n - k + 1$ (para que se ejecute $j$ sobre $\N^*$ ya que $n$ se ejecuta desde $k$ ):

\sum_{n=k}^{\infty}\frac1{\binom nk} = k!\sum_{j=1}^{\infty}\frac1{j(j+1)\cdots(j+k-1)} = \frac{k!}{(k-1)\,(k-1)!} = \frac{k}{k-1} ,

por la pregunta 4 aplicada con $k - 1$ en lugar de $k$ (válido desde $k - 1 \geq 1$ ).

22. Para $k = 3$ : $\frac1{\binom n3} = \frac6{(n-2)(n-1)n}$ , entonces por la suma parcial de la pregunta 3 (desplazada),

\sum_{n=3}^{N}\frac1{\binom n3} = 6\sum_{j=1}^{N-2}\frac1{j(j+1)(j+2)} = 6\Bigl(\frac14 - \frac1{2(N-1)N}\Bigr) = \frac32 - \frac3{(N-1)N} \longrightarrow \frac32 ,

el valor $\frac k{k-1} = \frac32$ de la pregunta 21.

23. $n = 6$ : pares $k = 1$ ( $\theta_1 = \frac\pi3$ , $2\cos\theta_1 = 1$ ) y $k = 2$ ( $\theta_2 = \frac{2\pi}3$ , $2\cos\theta_2 = -1$ ), más el polos $\pm1$ real:

\frac1{X^6-1} = \frac16\Bigl(\frac1{X-1} - \frac1{X+1} + \frac{X - 2}{X^2 - X + 1} + \frac{-X - 2}{X^2 + X + 1}\Bigr) .

En $X = 0$ : lado izquierdo $-1$ ; lado derecho $\frac16(-1 - 1 - 2 - 2) = -1$ : correcto.

24. (i) La unicidad legitima toda identificación de coeficientes — encubrimiento, la agrupación de pares conjugados de pregunta 9, y los trucos de diferenciación (preguntas 13, 20) todos descansan en ello. (ii) Raíces de unidad suministró el polos de $X^n - 1$ , sus simetrías ( $k \leftrightarrow n-k$ ) y el álgebra de medio ángulo de la pregunta 12 (Método 3.11). (iii) La derivada logarítmica $\frac{P'}P = \sum\frac{m_i}{X-a_i}$ información convertida sobre las raíces de $P = 1 + X + \dots + X^{n-1}$ en el número sumas de las preguntas 11 y 13 — la bisagra entre las Partes II y III.

25. La descomposición es una identidad puramente algebraica, verdadero para cada valor de la variable a la vez; eso es lo que hace es un motor. Sustituir números enteros y sumar lo convirtió en telescopios (Parte I); sustituyendo raíces de la unidad y agrupando los conjugados lo convirtieron en identidades trigonométricas (Partes II y III); y sólo en el último paso entró el análisis: un apretar entre dos formas cerradas — para entregar $\frac{\pi^2}6$ , a enunciado no se pudo alcanzar ninguna sustitución finita. Esta división de trabajo (el álgebra produce identidades finitas exactas, el análisis pasa al límite) es la plantilla para Capítulo 17, donde el telescopio y la comparación se vuelven sistemáticos, y por Capítulo 15, donde cada ladrillo adquiere una primitiva y las mismas descomposiciones calculan integrales en lugar de sumas.

9.1 El campo K(X)K(X)K(X)

9.2 Descomposición en fracciones parciales sobre C\CC

9.3 Descomposición sobre R\RR

9.4 Ceremonias

9.5 Problema: fracciones parciales como motor.

9.1 El campo $K(X)$

9.2 Descomposición en fracciones parciales sobre $\C$

9.3 Descomposición sobre $\R$