Matemáticas universitarias — Grado 1 · Bachelor Year 1

15Integración en un segmento

La integral del volumen anterior se fundaba en áreas tomadas de forma intuitiva. Este capítulo la construye: primero para las funciones escalonadas, donde la integral es una suma finita, y después para las funciones continuas (y continuas a trozos) por aproximación uniforme — el lugar donde el teorema de Heine (Teorema 13.22) se gana el sueldo. El teorema fundamental del cálculo conecta después la construcción con las primitivas, y las sumas de Riemann la conectan con los promedios discretos.

En todo el capítulo, $a < b$ son reales.

15.1 Funciones escalonadas

Definición 15.1

$\varphi \colon \intcc{a}{b} \to \R$ es una función escalonada cuando existe una subdivisión $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$ tal que $\varphi$ es constante, igual a $c_i$ , en cada intervalo abierto $\intoo{x_{i-1}}{x_i}$ (los valores en los nodos no están sujetos a restricción). Su integral es

\int_a^b \varphi = \sum_{i=1}^{n} c_i\,(x_i - x_{i-1}),

independiente de la subdivisión elegida (refínense dos subdivisiones por la común: cada miembro queda invariante al refinar).

Proposición 15.2

Sobre las funciones escalonadas, la integral es lineal, creciente ( $\varphi \leq \psi \implies \int\varphi \leq \int\psi$ ) y cumple la relación de Chasles $\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b$ para $a < c < b$ .

Demostración. El motor es la invariancia por refinamiento, enunciada en la definición: insertar un nodo más $t \in \intoo{x_{i-1}}{x_i}$ en una subdivisión sustituye el término $c_i(x_i - x_{i-1})$ por $c_i(t - x_{i-1}) + c_i(x_i - t)$ —el mismo número—, de modo que la integral no cambia por ningún refinamiento finito. Tómense ahora $\varphi$ con subdivisión $\sigma$ y $\psi$ con subdivisión $\sigma'$ : sobre el refinamiento común $\sigma \cup \sigma'$ las dos son funciones escalonadas con los mismos nodos y, en cada trozo, $\varphi + \lambda\psi$ es constante igual a $c_i + \lambda d_i$ : la linealidad se reduce a la linealidad de las sumas finitas. Crecimiento: $c_i \leq d_i$ en cada trozo da $\sum c_i \Delta_i \leq \sum d_i \Delta_i$ (las longitudes son $\Delta_i \geq 0$ ). Chasles: insértese el nodo $c$ y pártase la suma en él. ∎

15.2 Integral de una función continua

Teorema 15.3 (Aproximación uniforme)

Sea $f$ continua en $\intcc{a}{b}$ . Para todo $\varepsilon > 0$ hay funciones escalonadas $\varphi, \psi$ con

\varphi \leq f \leq \psi \qquad\text{y}\qquad \psi - \varphi \leq \varepsilon \text{ en } \intcc{a}{b}.

Demostración. Por el teorema de Heine (Teorema 13.22), $f$ es uniformemente continua: tómese $\delta$ para $\varepsilon$ y una subdivisión de paso $< \delta$ (equidistante, digamos, con $n > \frac{b - a}{\delta}$ trozos). En cada trozo cerrado $\intcc{x_{i-1}}{x_i}$ , $f$ alcanza un mínimo $m_i$ y un máximo $M_i$ (Teorema 13.13), y $M_i - m_i \leq \varepsilon$ (los dos puntos extremales distan menos de $\delta$ ). Defínanse $\varphi = m_i$ y $\psi = M_i$ en $\intoo{x_{i-1}}{x_i}$ (y $\varphi = \psi = f$ en los nodos). ∎

Teorema 15.4 (Definición de la integral)

Sea $f$ continua en $\intcc{a}{b}$ . Los dos números

I_-(f) = \sup\Bigl\{\int_a^b \varphi : \varphi \text{ escalonada},\ \varphi \leq f\Bigr\}, \qquad I_+(f) = \inf\Bigl\{\int_a^b \psi : \psi \text{ escalonada},\ \psi \geq f\Bigr\}

son iguales; su valor común es la integral $\int_a^b f$ (que también se escribe $\int_a^b f(t)\,\dd t$ ). Coincide con la noción anterior sobre las funciones escalonadas, y se extiende a las funciones continuas a trozos partiendo $\intcc{a}{b}$ en las discontinuidades (Chasles como definición en ese caso).

Demostración. Los dos conjuntos son no vacíos ( $f$ está acotada) y toda integral escalonada inferior es $\leq$ que toda superior (monotonía sobre las funciones escalonadas): luego $I_-(f) \leq I_+(f)$ . Por el Teorema 15.3, para cada $\varepsilon$ hay una pareja con $\int\psi - \int\varphi \leq \varepsilon(b - a)$ : el supremo y el ínfimo quedan apretados uno contra otro, $I_- = I_+$ . ∎

Ejemplo 15.5 (Continua a trozos, sin dramas)

La función parte entera en $\intcc{0}{3}$ es una función escalonada disfrazada: partiendo en sus saltos,

\int_0^3 \lfloor t \rfloor\,\dd t = \int_0^1 0 + \int_1^2 1 + \int_2^3 2 = 0 + 1 + 2 = 3 ,

y los valores en los puntos de salto $1, 2$ son irrelevantes: cambiar una función en finitos puntos no cambia ninguna integral (las funciones escalonadas del encuadre no se ven afectadas). Ese es todo el contenido de la extensión «continua a trozos»: córtese en las finitas discontinuidades, intégrese cada trozo continuo y súmese — Chasles como definición.

Ejemplo 15.6 (La definición calcula, una vez)

Sea $f(x) = x$ en $\intcc{0}{1}$ y córtese en $n$ trozos iguales. Las mejores funciones escalonadas constantes en los trozos son $\varphi = \frac{k-1}{n}$ y $\psi = \frac kn$ en el $k$ -ésimo trozo, con

\int_0^1 \varphi = \sum_{k=1}^{n} \frac{k-1}{n}\cdot\frac1n = \frac{n-1}{2n}, \qquad \int_0^1 \psi = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n}\cdot\frac1n = \frac{n+1}{2n} .

Toda integral inferior es $\leq I_-(f) \leq I_+(f) \leq$ que toda superior, luego $\frac{n-1}{2n} \leq I_-(f) \leq I_+(f) \leq \frac{n+1}{2n}$ para todo $n$ : las dos se aprietan sobre $\frac12$ , y $\int_0^1 x\,\dd x = \frac12$ sale directamente de la definición. La idea de cierre: esta es la primera y la última vez que integramos a partir de la definición — el teorema fundamental de más abajo sustituye todos esos cálculos por una consulta de primitiva, que es todo el sentido económico de este capítulo.

Teorema 15.7 (Propiedades)

Para $f, g$ continuas (o continuas a trozos) en $\intcc{a}{b}$ y $\lambda \in \R$ :

linealidad: $\int (f + \lambda g) = \int f + \lambda \int g$ ;
monotonía: $f \leq g \implies \int_a^b f \leq \int_a^b g$ ; y $\bigl|\int_a^b f\bigr| \leq \int_a^b \abs f \leq (b - a)\, \sup\abs f$ ;
Chasles: $\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b$ (con el convenio $\int_b^a = -\int_a^b$ , válido para cualquier orden de los límites);
positividad estricta: si $f$ es continua, $f \geq 0$ y $\int_a^b f = 0$ , entonces $f = 0$ en todo $\intcc{a}{b}$ .

Demostración. (1)–(3) pasan de las funciones escalonadas al límite por medio de la definición con sup e ínf. La linealidad merece los detalles una vez: dado $\varepsilon > 0$ , encuádrense $\varphi_f \leq f \leq \psi_f$ y $\varphi_g \leq g \leq \psi_g$ con huecos $\leq \varepsilon$ (Teorema 15.3). Para $\lambda \geq 0$ , $\varphi_f + \lambda\varphi_g \leq f + \lambda g \leq \psi_f + \lambda\psi_g$ es un encuadre por funciones escalonadas con hueco $\leq (1 + \lambda)\varepsilon$ , y sus integrales escalonadas valen $\int \varphi_f + \lambda\int\varphi_g$ , etc. (Proposición 15.2): haciendo $\varepsilon \to 0$ se aprieta $\int(f + \lambda g)$ sobre $\int f + \lambda\int g$ . Para $\lambda < 0$ , multiplicar por $\lambda$ invierte el encuadre de $g$ —la función escalonada inferior de $\lambda g$ es $\lambda \psi_g$ — y el mismo apretón funciona con los papeles intercambiados. La cota $\abs{\int f} \leq \int \abs f$ sale de $-\abs f \leq f \leq \abs f$ y de la monotonía.

(4) Por contrarrecíproco: si $f(x_0) = m > 0$ , la continuidad proporciona un subintervalo de longitud $\eta > 0$ en el que $f \geq \frac m2$ ; la función escalonada que vale $\frac m2$ ahí y $0$ fuera es $\leq f$ , luego $\int f \geq \frac{m\eta}{2} > 0$ . ∎

Ejemplo 15.8 (Chasles en acción: integrales con valores absolutos)

Para integrar un valor absoluto, córtese donde cambia el signo.

\int_0^2 \abs{x - 1}\,\dd x = \int_0^1 (1 - x)\,\dd x + \int_1^2 (x - 1)\,\dd x = \frac12 + \frac12 = 1 ,

y, cortando $\intcc{0}{2\pi}$ en $\pi$ :

\int_0^{2\pi} \abs{\sin t}\,\dd t = \int_0^{\pi} \sin t\,\dd t - \int_{\pi}^{2\pi} \sin t\,\dd t = 2 + 2 = 4 ,

mientras que $\int_0^{2\pi} \sin t\,\dd t = 0$ : la cancelación es real, y por eso el enunciado de positividad estricta (Teorema 15.7 (4)) lleva la hipótesis $f \geq 0$ — sin ella, una integral nula no demuestra nada sobre $f$ . La idea de cierre: $\int \abs f$ mide área y $\int f$ mide balance con signo; la desigualdad $\abs{\int f} \leq \int\abs f$ es el registro exacto de lo que la cancelación puede destruir.

15.3 El teorema fundamental del cálculo

Teorema 15.9 (Teorema fundamental del cálculo)

Sea $f$ continua en un intervalo $I$ y sea $a \in I$ . La función

F(x) = \int_a^x f(t)\, \dd t

es de clase $C^1$ en $I$ , con $F' = f$ : toda función continua en un intervalo tiene primitivas. En consecuencia, para cualquier primitiva $G$ de $f$ :

\int_a^b f(t)\,\dd t = G(b) - G(a) .

Demostración. Fíjense $x_0 \in I$ y $\varepsilon > 0$ ; la continuidad en $x_0$ proporciona $\delta$ con $\abs{f(t) - f(x_0)} \leq \varepsilon$ para $\abs{t - x_0} \leq \delta$ . Para $0 < \abs{h} \leq \delta$ (y $x_0 + h \in I$ ), Chasles da

\frac{F(x_0 + h) - F(x_0)}{h} - f(x_0) = \frac 1h \int_{x_0}^{x_0+h} \bigl(f(t) - f(x_0)\bigr)\dd t ,

cuyo valor absoluto es $\leq \frac{1}{\abs h}\cdot \abs h\, \varepsilon = \varepsilon$ (cota (2), válida para cualquier orden de los límites). Luego $F'(x_0) = f(x_0)$ ; y $F' = f$ es continua: $F$ es de clase $C^1$ . Si también $G' = f$ , entonces $(G - F)' = 0$ en el intervalo, luego $G = F + c$ (Corolario 14.12), y $G(b) - G(a) = F(b) - F(a) = \int_a^b f$ . ∎

Ejemplo 15.10 (La simetría antes que el cálculo)

En un intervalo simétrico, la paridad hace el trabajo: si $f$ es impar, el cambio $t \mapsto -t$ manda $\int_{-a}^{0} f$ a $-\int_0^a f$ , luego

\int_{-a}^{a} f(t)\,\dd t = 0 ; \qquad\text{si $f$ es par,}\quad \int_{-a}^{a} f = 2\int_0^a f .

Así, $\int_{-1}^{1} \frac{t^3\cos t}{1 + t^4}\,\dd t = 0$ sin ninguna primitiva a la vista (el integrando es impar), y $\int_{-\pi}^{\pi} t^2\cos t\,\dd t = 2\int_0^\pi t^2\cos t\, \dd t$ . Compruébese la simetría antes de echar mano de las técnicas: la integral más rápida es la que nunca se calcula.

Ejemplo 15.11 (Reconocer una derivada a simple vista)

Calcúlese $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \frac{\dd x}{1 + \cos x}$ . La identidad del ángulo mitad $1 + \cos x = 2\cos^2\frac x2$ convierte el integrando en $\frac{1}{2}\bigl(1 + \tan^2\frac x2\bigr)$ , que es exactamente la derivada de $\tan\frac x2$ :

\int_0^{\pi/2} \frac{\dd x}{1 + \cos x} = \Bigl[\tan\frac x2\Bigr]_0^{\pi/2} = \tan\frac\pi4 = 1 .

No ha hecho falta maquinaria de cambios de variable — solo el reflejo de leer un integrando como la derivada de alguien, y el teorema fundamental hace el resto. (La herramienta sistemática que hay detrás de esas integrales trigonométricas, el cambio $t = \tan\frac x2$ , pertenece al utillaje estándar construido a partir del Teorema 15.15 (2).)

Ejemplo 15.12 (Funciones definidas por integrales)

El teorema fundamental fabrica funciones. Sea

F(x) = \int_0^x \eu^{-t^2}\,\dd t .

Ninguna combinación de funciones clásicas tiene derivada $\eu^{-t^2}$ (un teorema de Liouville, admitido); y, sin embargo, $F$ existe, es de clase $C^1$ con $F'(x) = \eu^{-x^2} > 0$ , estrictamente creciente, impar (sustitúyase $t \mapsto -t$ ) y acotada: para $x \geq 1$ ,

F(x) - F(1) = \int_1^x \eu^{-t^2}\dd t \leq \int_1^x \eu^{-t}\dd t \leq \eu^{-1} ,

luego $F \leq F(1) + \eu^{-1} \leq 1 + \eu^{-1}$ . (El límite exacto, $\frac{\sqrt\pi}{2}$ , se calcula con integrales dobles en el volumen del tercer año.) Regla de la cadena para límites móviles: $\frac{\dd}{\dd x}\int_x^{x^2} \eu^{-t^2}\dd t = 2x\,\eu^{-x^4} - \eu^{-x^2}$ . La idea de cierre: la integración crea funciones nuevas a partir de las viejas, con todas sus propiedades legibles en el integrando — la primitiva que no se puede escribir es aun así una función que se controla por completo.

Ejemplo 15.13 (Estimar sin evaluar)

Las integrales $R_n = \int_0^1 \frac{t^n}{1 + t}\,\dd t$ no tienen ninguna expresión cerrada agradable y, aun así, la monotonía las sujeta con precisión: en $\intcc{0}{1}$ , $\frac12 \leq \frac{1}{1+t} \leq 1$ , luego

\frac{1}{2(n+1)} = \frac12\int_0^1 t^n\,\dd t \;\leq\; R_n \;\leq\; \int_0^1 t^n \,\dd t = \frac{1}{n+1} :

el orden exacto de decrecimiento ( $R_n \sim$ un múltiplo de $\frac1n$ ; de hecho, $R_n \sim \frac{1}{2n}$ ) con dos líneas y sin ninguna primitiva. Los problemas del fin de semana de este capítulo y del siguiente corren sobre encuadres exactamente así — el primer instinto del analista ante una integral debe ser acotarla y, solo después, si hace falta, calcularla.

Ejemplo 15.14 (Valores medios)

La media de una $f$ continua en $\intcc{a}{b}$ es $\frac{1}{b-a}\int_a^b f$ . Para el arco del seno:

\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin t\,\dd t = \frac{1}{\pi}\bigl[-\cos t\bigr]_0^\pi = \frac{2}{\pi} \approx 0.637 :

un arco positivo completo no promedia $\frac12$ , sino $\frac2\pi$ — la curva pasa más tiempo arriba de lo que pasaría un triángulo. Por el Ejercicio 15.11 (teorema del valor medio para integrales, con $g = 1$ ), la media es un valor: $\sin c = \frac2\pi$ para algún $c \in \intoo{0}{\pi}$ . Y por las sumas de Riemann de este capítulo, la media es el límite de promedios ordinarios de $n$ muestras — el puente entre la media discreta de unos datos y la media continua de una señal, que es como entra la integral en la física.

Teorema 15.15 (Integración por partes; cambio de variable)

Si $u, v$ son de clase $C^1$ en $\intcc{a}{b}$ :

$\int_a^b u'v = \bigl[uv\bigr]_a^b - \int_a^b uv' .$
Si $\varphi$ es de clase $C^1$ en $\intcc{\alpha}{\beta}$ y $f$ es continua en $\varphi(\intcc{\alpha}{\beta})$ :

$\int_{\alpha}^{\beta} f\bigl(\varphi(t)\bigr)\,\varphi'(t)\, \dd t = \int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(x)\, \dd x .$

Demostración. (1) $(uv)' = u'v + uv'$ ; intégrese en $\intcc{a}{b}$ y aplíquese el teorema fundamental a la función de clase $C^1$ , $uv$ .

(2) Sea $F$ una primitiva de $f$ en el intervalo imagen (Teorema 15.9). Entonces $(F \circ \varphi)' = (f \circ \varphi)\,\varphi'$ (regla de la cadena), luego los dos miembros valen $F(\varphi(\beta)) - F(\varphi(\alpha))$ . ∎

Ejemplo 15.16

$\int_0^1 t\,\eu^t \dd t = \bigl[t\,\eu^t\bigr]_0^1 - \int_0^1 \eu^t\dd t = \eu - (\eu - 1) = 1$ . Y con el cambio de variable $x = \sin t$ ( $t \in \intcc{0}{\frac\pi2}$ ):

\int_0^1 \sqrt{1 - x^2}\, \dd x = \int_0^{\pi/2} \cos t \cdot \cos t \, \dd t = \int_0^{\pi/2} \frac{1 + \cos 2t}{2}\, \dd t = \frac\pi4 ,

— un cuarto del disco unidad, como exige la geometría. (La linealización del Método 3.11 en acción.)

Observación 15.17 (Errores frecuentes en el cálculo integral)

(i) Los cambios de variable deben ser de clase $C^1$ en todo el intervalo: el cambio $x = \frac1t$ es ilegal a caballo de $0$ ; aplicado a ciegas a $\int_{-1}^{1}\frac{\dd x}{1 + x^2}$ «demuestra» que la integral es igual a su propia opuesta. Cuando un cambio de variable tiene una singularidad, córtese antes el intervalo (Chasles), háganse los cambios en cada trozo y solo entonces recompóngase. (ii) Las primitivas logarítmicas necesitan valores absolutos: $\int \frac{\dd x}{x - 2} = \ln\abs{x - 2} + C$ a cada lado de $2$ por separado — escribir $\ln(x - 2)$ en $\intoo{0}{1}$ es escribir el logaritmo de un número negativo; y la constante $C$ puede ser distinta a los dos lados de la singularidad. (iii) Una integral nula no mata a la función: $\int_0^{2\pi}\sin = 0$ ; hace falta la positividad del integrando antes de concluir $f = 0$ (Ejemplo 15.8). (iv) Las sumas de Riemann hay que calibrarlas: en $\frac{b-a}{n}\sum f\bigl(a + k\frac{b-a}{n}\bigr)$ , el paso de fuera y los puntos de dentro deben corresponder a la misma subdivisión — el error frecuente es una suma $\sum_{k=1}^{n} f\bigl(\frac kn\bigr)$ sin el factor $\frac1n$ , que diverge en vez de converger a $\int_0^1 f$ . Lista de comprobación antes de invocar el Teorema 15.20: sáquese el factor $\frac1n$ , reescríbase el sumando como $f$ de $\frac kn$ , nómbrese $f$ y compruébese su continuidad.

Ejemplo 15.18 (Adivinar, derivar, ajustar)

¿Cuánto vale $\int_1^x (\ln t)^2\,\dd t$ ? Adivínese una primitiva de la forma $t\,P(\ln t)$ con $P$ polinomio y derívese:

\bigl(t\,P(\ln t)\bigr)' = P(\ln t) + P'(\ln t) .

Hace falta $P(u) + P'(u) = u^2$ : tómese $P(u) = u^2 - 2u + 2$ (igualando coeficientes hacia abajo desde $u^2$ ). Por tanto,

\int_1^x (\ln t)^2\,\dd t = \bigl[t\bigl((\ln t)^2 - 2\ln t + 2\bigr)\bigr]_1^x = x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x - 2 ,

un resultado al que se llega, si no, con dos integraciones por partes. La idea de cierre: para integrandos de la forma (polinomio en $\ln t$ ) o (polinomio por $\eu^{\lambda t}$ ), la primitiva tiene la misma forma — derivar una conjetura con forma convierte la integración en álgebra lineal sobre los coeficientes, más rápida y menos propensa a errores que las partes iteradas.

Ejemplo 15.19 (La integral bumerán)

Calcúlese $I = \int_0^{\pi/2} \eu^x \cos x\,\dd x$ . Intégrese dos veces por partes, derivando cada vez el factor trigonométrico:

I = \bigl[\eu^x \sin x\bigr]_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2} \eu^x \sin x\,\dd x = \eu^{\pi/2} - J, \qquad J = \bigl[-\eu^x\cos x\bigr]_0^{\pi/2} + \int_0^{\pi/2} \eu^x\cos x\,\dd x = 1 + I .

La integral ha vuelto sobre sí misma: $I = \eu^{\pi/2} - 1 - I$ , de donde

I = \frac{\eu^{\pi/2} - 1}{2} .

La idea de cierre: cuando el integrando es un producto de dos funciones que se reproducen al derivar ( $\eu^{ax}$ , $\cos bx$ , $\sin bx$ ), dos integraciones por partes producen una ecuación lineal para la integral desconocida — resuélvase en lugar de integrar; equivalentemente, pásese por $\eu^{(a + \iu b)x}$ (Capítulo 3) y tómense partes reales. Los dos caminos dan la misma respuesta, y comprobar que lo hacen es una prueba de coherencia gratuita.

15.4 Sumas de Riemann

Teorema 15.20 (Sumas de Riemann)

Sea $f$ continua en $\intcc{a}{b}$ . Entonces

S_n = \frac{b - a}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\Bigl(a + k\,\frac{b-a}{n}\Bigr) \xrightarrow[n \to \infty]{} \int_a^b f(t)\, \dd t ,

y lo mismo con cualquier punto de evaluación dentro de los subintervalos.

Demostración. $S_n$ es la integral de la función escalonada $\varphi_n$ igual a $f(a + k\frac{b-a}{n})$ en el $k$ -ésimo subintervalo. Dado $\varepsilon > 0$ , la continuidad uniforme (Heine) proporciona $\delta$ ; para $n > \frac{b-a}{\delta}$ , todo punto de un subintervalo dista menos de $\delta$ de su punto de evaluación, luego $\abs{f - \varphi_n} \leq \varepsilon$ en $\intcc{a}{b}$ , de donde

\Bigl| \int_a^b f - S_n \Bigr| = \Bigl| \int_a^b (f - \varphi_n) \Bigr| \leq (b-a)\,\varepsilon . \qedhere

∎

Una suma de Riemann por la izquierda con n = 8 rectángulos: conforme el paso se encoge, la continuidad uniforme lleva el área de la escalera hacia ∈t_ab f. — Una suma de Riemann por la izquierda con $n = 8$ rectángulos: conforme el paso se encoge, la continuidad uniforme lleva el área de la escalera hacia $\int_a^b f$ .

Ejemplo 15.21

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n + k} = \frac 1n \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + k/n} \xrightarrow[n\to\infty]{} \int_0^1 \frac{\dd x}{1 + x} = \ln 2$ : un límite invisible para las acotaciones elementales y transparente como suma de Riemann.

Ejemplo 15.22 (Una segunda suma de Riemann, con calibración)

Hállese $\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{n}{(n+k)^2}$ . Calíbrese:

\sum_{k=1}^{n} \frac{n}{(n+k)^2} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \frac{n^2}{(n+k)^2} = \frac1n \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\bigl(1 + \frac kn\bigr)^2} ,

una suma de Riemann de la función continua $f(x) = \frac{1}{(1+x)^2}$ en $\intcc{0}{1}$ : el límite es

\int_0^1 \frac{\dd x}{(1 + x)^2} = \Bigl[-\frac{1}{1+x}\Bigr]_0^1 = \frac12 .

La idea de cierre: todo el arte está en la línea de en medio — fórcese el sumando a la forma $f(\frac kn)$ al precio de extraer exactamente un factor $\frac1n$ ; una vez que la forma es la correcta, el teorema hace el análisis y el teorema fundamental hace la aritmética.

Observación 15.23 (Dónde funciona la integral a continuación)

Cada una de las construcciones del capítulo tiene continuación. Las sumas de Riemann vuelven en el Capítulo 17 como puente entre las series y las integrales (comparación de $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ con $\int \frac{\dd t}{t^\alpha}$ ); el resto integral es la forma más fina de la fórmula de Taylor en el Capítulo 16; y la definición basada en el $\sup$ es el prototipo de la integral de Lebesgue del volumen del tercer año, donde las mismas tres propiedades (linealidad, monotonía y un teorema de convergencia) se reconstruyen sobre una clase de funciones mucho mayor. Y el problema del fin de semana de más abajo convierte la integración por partes en aritmética: la irracionalidad de $\pi^2$ .

15.5 Ejercicios

Ejercicio 15.1 ★

Calcúlense: $\displaystyle\int_0^1 \frac{\dd x}{x^2 - 4}$ (fracciones simples, Capítulo 9); $\displaystyle\int_1^{\eu} \ln t \,\dd t$ ; $\displaystyle\int_0^{\pi} t \sin t\, \dd t$ .

Solución

Solución de Ejercicio 15.1.

$\dfrac{1}{x^2-4} = \dfrac{1/4}{x - 2} - \dfrac{1/4}{x+2}$ (por tapado), luego

\int_0^1 \frac{\dd x}{x^2 - 4} = \frac14\Bigl[\ln\abs{x-2} - \ln\abs{x+2}\Bigr]_0^1 = \frac14\Bigl(\ln\frac{1}{3} - \ln 1\Bigr) = -\frac{\ln 3}{4}.

Por partes ( $u' = 1$ , $v = \ln t$ ): $\int_1^{\eu} \ln t\,\dd t = \bigl[t\ln t\bigr]_1^{\eu} - \int_1^{\eu} \dd t = \eu - (\eu - 1) = 1$ .

Por partes ( $u' = \sin t$ , $v = t$ ): $\int_0^\pi t\sin t\,\dd t = \bigl[-t\cos t\bigr]_0^\pi + \int_0^\pi \cos t\,\dd t = \pi + 0 = \pi$ .

Ejercicio 15.2 ★

Calcúlense $\displaystyle\int_0^{1} \frac{t}{(t^2+1)^2}\,\dd t$ (cambio de variable) y $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos^3 t\, \dd t$ (escríbase $\cos^3 = \cos(1 - \sin^2)$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 15.2.

Cambio de variable $u = t^2 + 1$ , $\dd u = 2t\,\dd t$ :

\int_0^1 \frac{t\,\dd t}{(t^2+1)^2} = \frac12 \int_1^2 \frac{\dd u}{u^2} = \frac12\Bigl[-\frac1u\Bigr]_1^2 = \frac14 .

Con $u = \sin t$ : $\int_0^{\pi/2} \cos^3 t\,\dd t = \int_0^{\pi/2} (1 - \sin^2 t)\cos t\,\dd t = \bigl[\sin t - \frac{\sin^3 t}{3}\bigr]_0^{\pi/2} = 1 - \frac13 = \frac23$ .

Ejercicio 15.3 ★

Hállense los límites, como sumas de Riemann:

u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2 + k^2}, \qquad v_n = \frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{(2n)!}{n!\,n^n}} \ \emph{(tómense logaritmos)}.

Solución

Solución de Ejercicio 15.3.

$u_n = \dfrac1n \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{1 + (k/n)^2}$ : una suma de Riemann de $x \mapsto \frac{1}{1+x^2}$ en $\intcc{0}{1}$ , luego $u_n \to \int_0^1 \frac{\dd x}{1+x^2} = \arctan 1 = \dfrac\pi4$ .

$\ln v_n = \dfrac1n \sum_{k=1}^{n} \ln\dfrac{n+k}{n} = \dfrac 1n \sum_{k=1}^n \ln\Bigl(1 + \dfrac kn\Bigr) \to \int_0^1 \ln(1+x)\,\dd x = \bigl[(1+x)\ln(1+x) - x\bigr]_0^1 = 2\ln 2 - 1$ . Por tanto, $v_n \to \eu^{2\ln 2 - 1} = \dfrac 4\eu$ . (Comprobación de la identificación: $\frac{(2n)!}{n!\,n^n} = \prod_{k=1}^{n} \frac{n+k}{n}$ .)

Ejercicio 15.4 ★

Sea $f$ continua en $\intcc{0}{1}$ . Calcúlese $\lim_{n\to\infty} \int_0^1 x^n f(x)\,\dd x$ . (Córtese $\intcc{0}{1}$ en $1 - \delta$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 15.4.

El límite es $0$ . Sean $M = \sup \abs f$ y $\varepsilon \in \intoo{0}{1}$ . Córtese en $1 - \varepsilon$ :

\Bigl| \int_0^1 x^n f \Bigr| \leq \int_0^{1 - \varepsilon} x^n \abs f + \int_{1-\varepsilon}^1 x^n \abs f \leq M\,(1-\varepsilon)^n + M\varepsilon .

Como $(1 - \varepsilon)^n \to 0$ (Ejercicio 11.3), el límite superior del miembro izquierdo es $\leq M\varepsilon$ para todo $\varepsilon$ : la integral tiende a $0$ .

Ejercicio 15.5 ★★

(Cauchy–Schwarz) Para $f, g$ continuas en $\intcc{a}{b}$ , demuéstrese

\Bigl(\int_a^b fg\Bigr)^{\!2} \leq \int_a^b f^2 \cdot \int_a^b g^2 ,

desarrollando $\int_a^b (f + \lambda g)^2 \geq 0$ como trinomio en $\lambda$ . ¿Cuándo hay igualdad?

Solución

Solución de Ejercicio 15.5.

$Q(\lambda) = \int_a^b (f + \lambda g)^2 = \int f^2 + 2\lambda \int fg + \lambda^2 \int g^2 \geq 0$ para todo $\lambda$ . Si $\int g^2 = 0$ , entonces $g = 0$ (positividad estricta, Teorema 15.7 (4)) y la desigualdad es $0 \leq 0$ . En caso contrario, $Q$ es un verdadero trinomio de segundo grado, siempre $\geq 0$ : su discriminante es $\leq 0$ , es decir, $\bigl(\int fg\bigr)^2 \leq \int f^2 \int g^2$ .

Hay igualdad si y solo si se anula el discriminante, si y solo si $Q(\lambda_0) = 0$ para algún $\lambda_0$ , es decir, $\int (f + \lambda_0 g)^2 = 0$ , es decir (otra vez la positividad estricta), $f = -\lambda_0 g$ : hay igualdad exactamente cuando $f$ y $g$ son proporcionales.

Ejercicio 15.6 ★★

Sea $f$ continua en $\R$ y $T$ -periódica. Demuéstrese que $\int_a^{a+T} f$ no depende de $a$ , y que $\frac1x \int_0^x f(t)\,\dd t \to \frac 1T \int_0^T f$ cuando $x \to +\infty$ .

Solución

Solución de Ejercicio 15.6.

Sea $\Phi(a) = \int_a^{a+T} f$ . Por el teorema fundamental (Teorema 15.9), $\Phi$ es derivable con $\Phi'(a) = f(a + T) - f(a) = 0$ : constante.

Para $x > 0$ , escríbase $x = nT + r$ , $0 \leq r < T$ ( $n = \lfloor x/T \rfloor$ ). Chasles:

\int_0^x f = n \int_0^T f + \int_{nT}^{nT + r} f, \qquad \Bigl| \int_{nT}^{nT+r} f \Bigr| \leq T \sup_{\intcc{0}{T}} \abs f = C .

Entonces $\frac 1x \int_0^x f = \frac{nT}{x}\cdot\frac 1T \int_0^T f + O\bigl(\frac 1x\bigr)$ , y $\frac{nT}{x} \to 1$ : el límite es $\frac1T \int_0^T f$ .

Ejercicio 15.7 ★★

Para $f$ continua en $\intcc{0}{1}$ con $\int_0^1 f = \frac12$ , demuéstrese que $f$ tiene un punto fijo en $\intcc{0}{1}$ . (Intégrese $f(x) - x$ y úsese la positividad estricta, Teorema 15.7 (4), por su contrarrecíproco combinado con el teorema del valor intermedio.)

Solución

Solución de Ejercicio 15.7.

Sea $g(x) = f(x) - x$ : continua, con

\int_0^1 g = \int_0^1 f - \frac12 = 0 .

Si $g$ no se anulara nunca, el teorema del valor intermedio forzaría un signo constante (una función continua en un intervalo que toma los dos signos se anula); digamos $g > 0$ . Entonces, por la positividad estricta (Teorema 15.7 (4) aplicada a $g > 0$ , que da $\int g > 0$ ): contradicción con $\int g = 0$ . Luego $g(c) = 0$ para algún $c$ : $f(c) = c$ .

Ejercicio 15.8 ★★★

(Integrales de Wallis) Sea $W_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n t\,\dd t$ .

Demuéstrese la recurrencia $n W_n = (n-1) W_{n-2}$ ( $n \geq 2$ ) por partes, y calcúlense $W_0, W_1$ y después $W_{2p}$ y $W_{2p+1}$ en forma cerrada.
Demuéstrese que $(W_n)$ es decreciente con $\frac{W_{n+1}}{W_n} \to 1$ ; demuéstrese que la cantidad $(n+1)\,W_{n+1} W_n$ es constante e igual a $\frac\pi2$ ; y dedúzcase el equivalente $W_n \sim \sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 15.8.

Por partes con $u' = \sin t$ , $v = \sin^{n-1} t$ :

$W_n = \bigl[-\cos t\sin^{n-1}t\bigr]_0^{\pi/2} + (n-1)\int_0^{\pi/2} \cos^2 t\,\sin^{n-2} t\,\dd t = (n-1)(W_{n-2} - W_n),$

luego $nW_n = (n-1)W_{n-2}$ . De $W_0 = \frac\pi2$ , $W_1 = 1$ :

$W_{2p} = \frac{(2p-1)(2p-3)\cdots 1}{(2p)(2p-2)\cdots 2}\, \frac{\pi}{2} = \frac{(2p)!}{4^p (p!)^2}\,\frac\pi2, \qquad W_{2p+1} = \frac{(2p)(2p-2)\cdots 2}{(2p+1)(2p-1)\cdots 3} = \frac{4^p (p!)^2}{(2p+1)!} .$
En $\intoo{0}{\frac\pi2}$ , $0 < \sin t < 1$ , luego $\sin^{n+1} < \sin^n$ y $(W_n)$ es (estrictamente) decreciente y positiva. Encuadrando con la recurrencia:

$\frac{n}{n+1} = \frac{W_{n+1}}{W_{n-1}} \leq \frac{W_{n+1}}{W_n} \leq 1 \quad\implies\quad \frac{W_{n+1}}{W_n} \to 1 .$

Invariante: $a_n = (n+1)W_{n+1}W_n$ cumple $a_n = a_{n-1}$ por la recurrencia $(n+1)W_{n+1} = nW_{n-1}$ , luego $a_n = a_0 = 1 \cdot W_1 W_0 = \frac\pi2$ . Entonces

$n W_n^2 \sim (n+1) W_{n+1} W_n = \frac\pi2 \quad\implies\quad W_n \sim \sqrt{\frac{\pi}{2n}} .$

Ejercicio 15.9 ★★★

(Niven: $\pi$ es irracional) Supóngase $\pi = \frac ab$ con $a, b \in \N^*$ y póngase, para un $n$ que se elegirá,

P(x) = \frac{x^n (a - bx)^n}{n!}, \qquad I_n = \int_0^{\pi} P(x)\sin x\, \dd x .

Demuéstrese que $0 < I_n \leq \pi\,\frac{(\pi a)^n}{n!}$ , que es $< 1$ para $n$ grande.
Demuéstrese que $P$ y todas sus derivadas toman valores enteros en $0$ y en $\pi = \frac ab$ . (Desarrollo binomial: los coeficientes de $P$ por $k!$ son enteros para $k \geq n$ ; y $P(\pi - x) = P(x)$ .)
Póngase $Q = P - P'' + P^{(4)} - \dots$ (suma finita). Compruébese que $\bigl(Q'\sin x - Q\cos x\bigr)' = P \sin x$ , y dedúzcase que $I_n = Q(\pi) + Q(0)$ es un entero.
Conclúyase.

Solución

Solución de Ejercicio 15.9.

En $\intoo{0}{\pi}$ : $x > 0$ , $a - bx = b(\frac ab - x) = b(\pi - x) > 0$ y $\sin x > 0$ , luego el integrando es $> 0$ y $I_n > 0$ (positividad estricta). Cota: en $\intcc{0}{\pi}$ , $x \leq \pi$ y $a - bx \leq a$ , luego $P \leq \frac{\pi^n a^n}{n!}$ y $I_n \leq \pi\,\frac{(\pi a)^n}{n!}$ , que tiende a $0$ (el factorial gana al término geométrico: es el término general de la serie exponencial convergente, cf. Ejemplo 11.12); en particular, $I_n < 1$ para $n$ grande.
Desarróllese $x^n(a - bx)^n = \sum_{j=0}^{n} \binom nj a^{n-j} (-b)^j x^{n+j}$ : así, $P = \frac{1}{n!}\sum_j c_j x^{n+j}$ con $c_j$ enteros. Entonces $P^{(k)}(0) = 0$ para $k < n$ (valuación) y, para $n \leq k \leq 2n$ , $P^{(k)}(0) = \frac{k!}{n!} c_{k-n}$ , un entero porque $n! \mid k!$ . Además, $P(\pi - x) = P(x)$ (sustitúyase: $\pi - x$ intercambia los factores, usando $a - b(\pi - x) = bx$ ), luego $P^{(k)}(\pi) = \pm P^{(k)}(0)$ : también enteros.
Con $Q = P - P'' + P^{(4)} - \dots$ (finita: $P$ tiene grado $2n$ ): $Q + Q'' = P$ , y

$\bigl(Q'\sin x - Q\cos x\bigr)' = (Q + Q'')\sin x = P\sin x .$

Por tanto, $I_n = \bigl[Q'\sin x - Q\cos x\bigr]_0^{\pi} = Q(\pi) + Q(0)$ , una suma de valores $P^{(2k)}$ en $0$ y en $\pi$ : un entero por (2).
Para $n$ grande, $I_n$ es un entero con $0 < I_n < 1$ : imposible. La hipótesis $\pi = \frac ab$ falla: $\pi$ es irracional.

Ejercicio 15.10 ★★★

Sea $f$ de clase $C^1$ en $\intcc{a}{b}$ . Demuéstrese el límite de tipo Riemann–Lebesgue

\int_a^b f(t)\sin(\lambda t)\,\dd t \xrightarrow[\lambda \to +\infty]{} 0

integrando por partes. Demuéstrese después de nuevo para $f$ solo continua, por aproximación uniforme con funciones escalonadas (Teorema 15.3).

Solución

Solución de Ejercicio 15.10.

Caso $C^1$ : por partes,

\int_a^b f(t)\sin\lambda t\,\dd t = \Bigl[-f(t)\frac{\cos\lambda t}{\lambda}\Bigr]_a^b + \frac{1}{\lambda}\int_a^b f'(t)\cos\lambda t\,\dd t,

acotado en valor absoluto por $\frac{2\sup\abs f + (b - a)\sup\abs{f'}} {\lambda} \to 0$ .

Caso continuo: sea $\varepsilon > 0$ y tómese una función escalonada $\varphi$ con $\abs{f - \varphi} \leq \varepsilon$ (el Teorema 15.3 proporciona $\varphi \leq f \leq \psi$ con hueco $\leq\varepsilon$ ; tómese $\varphi$ ). Entonces

\Bigl|\int_a^b f\sin\lambda t\Bigr| \leq \int_a^b \abs{f - \varphi} + \Bigl|\int_a^b \varphi \sin\lambda t\Bigr| \leq (b-a)\varepsilon + \sum_i \abs{c_i}\,\Bigl|\int_{x_{i-1}}^{x_i} \sin\lambda t\,\dd t\Bigr| ,

y cada $\bigl|\int \sin \lambda t\bigr| = \bigl|\frac{\cos\lambda x_{i-1} - \cos\lambda x_i}{\lambda}\bigr| \leq \frac{2}{\lambda}$ : el segundo término tiende a $0$ . Luego el límite superior es $\leq (b-a)\varepsilon$ para todo $\varepsilon$ : el límite es $0$ .

Ejercicio 15.11 ★★

(Teorema del valor medio para integrales) Sean $f, g$ continuas en $\intcc{a}{b}$ con $g \geq 0$ . Demuéstrese que existe $c \in \intcc{a}{b}$ con

\int_a^b f(t)\,g(t)\,\dd t = f(c)\int_a^b g(t)\,\dd t ,

y véase con un ejemplo que no se puede prescindir de la hipótesis $g \geq 0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 15.11.

Sean $m = \min f$ y $M = \max f$ , alcanzados por el teorema de los valores extremos. Como $g \geq 0$ : $m\,g \leq fg \leq M\,g$ , luego, por monotonía,

m \int_a^b g \;\leq\; \int_a^b fg \;\leq\; M \int_a^b g .

Si $\int_a^b g = 0$ : la positividad estricta (Teorema 15.7 (4)) obliga a $g \equiv 0$ , los dos miembros se anulan y sirve cualquier $c$ . En caso contrario, $t = \frac{\int fg}{\int g}$ está en $\intcc{m}{M} = f(\intcc{a}{b})$ (Teoremas 13.13 y 13.10), luego $t = f(c)$ para algún $c$ .

El signo importa: en $\intcc{-1}{1}$ con $f(t) = g(t) = t$ : $\int fg = \int_{-1}^1 t^2 = \frac23$ , mientras que $f(c)\int_{-1}^1 t\,\dd t = 0$ para todo $c$ .

Ejercicio 15.12 ★★★

(Los momentos fuerzan ceros) Sea $f$ continua en $\intcc{a}{b}$ con

\int_a^b f(t)\,t^k\,\dd t = 0 \qquad \text{para } k = 0, 1, \dots, n .

Demuéstrese que $f$ se anula en $n + 1$ puntos distintos de $\intoo{a}{b}$ . (Si $f$ cambia de signo solo en $z_1 < \dots < z_m$ con $m \leq n$ , intégrese $f$ contra $P(t) = (t - z_1) \cdots (t - z_m)$ y úsese la positividad estricta.)

Solución

Solución de Ejercicio 15.12.

Si $f \equiv 0$ , la afirmación es vacía (todo punto es un cero). Así que supóngase $f \not\equiv 0$ y que tiene a lo sumo $n$ ceros distintos en $\intoo{a}{b}$ ; sean $z_1 < \dots < z_m$ ( $m \leq n$ ) aquellos ceros en los que $f$ cambia de signo (posiblemente ninguno). Póngase $P(t) = \prod_{i=1}^{m}(t - z_i)$ (producto vacío $= 1$ ), de grado $m \leq n$ . En cada subintervalo determinado por los $z_i$ , tanto $f$ como $P$ tienen signo constante, y los dos cambian de signo al cruzar algún $z_i$ : el producto $fP$ tiene un signo constante en todo $\intoo{a}{b}$ . Siendo continuo, no idénticamente nulo y de signo constante, cumple $\bigl|\int_a^b fP\bigr| > 0$ (la positividad estricta aplicada a $\abs{fP}$ ). Pero $\int f P$ es una combinación lineal de los momentos $\int f\,t^k$ , $k \leq n$ , todos nulos: contradicción. Luego $f$ tiene al menos $n + 1$ ceros distintos en $\intoo{a}{b}$ .

Observación 15.24 (Perspectivas dentro de este volumen)

Tres capítulos posteriores se apoyan directamente en este. Capítulo 16 lleva el resto integral — la más fina de las tres fórmulas de Taylor es una integración por partes iterada $n$ veces. Capítulo 17 convierte el encuadre de sumas por integrales en el criterio decisivo para $\sum n^{-\alpha}$ , y su problema del fin de semana afina ese encuadre hasta la constante de Euler. Capítulo 24 vuelve geométrica la integral: la longitud de un arco parametrizado es $\int \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\,\dd t$ , una integral de una función continua en un segmento — justo el objeto construido aquí, sin necesidad de teoría impropia alguna. Y el hecho más reutilizado será el más humilde: $\bigl|\int f\bigr| \leq (b - a)\sup\abs{f}$ , la desigualdad que convierte toda estimación puntual en una estimación integral.

15.6 Problema: la máquina integral de irracionalidad

Problema 15.1

Problema del fin de semana — $\eu$ y $\pi^2$ son irracionales, $\eu$ con seis decimales, y $\frac{22}{7} > \pi$ con demostración

Un solo mecanismo mueve todo este problema: una expresión que tiene que ser un entero positivo y que, sin embargo, es demostrablemente menor que $1$ no puede existir. Ejercicio 15.9 (Niven) lo hizo funcionar una vez para demostrar $\pi \notin \Q$ ; aquí lo industrializamos. La máquina necesita tres piezas: una entrada de integralidad (valores en los extremos de polinomios bien elegidos), una entrada de pequeñez (un factor $\frac{1}{n!}$ que aplasta la integral) y un puente (la integración por partes) que las conecta. Demostramos que $\eu$ es irracional y lo calculamos con error certificado, demostramos el teorema más fino de Legendre de que $\pi^2$ es irracional, y terminamos con la integral más encantadora del análisis: $\int_0^1 \frac{x^4(1 - x)^4}{1 + x^2}\dd x = \frac{22}{7} - \pi$ , que encuadra $\pi$ a mano.

Parte I — Combustible.

Demuéstrese que $\dfrac{c^{\,n}}{n!} \to 0$ para todo $c > 0$ fijo (más allá de $n \geq 2c$ , cada paso al menos divide por dos el término).
(Integrales beta) Demuéstrese, por inducción sobre $m$ con integración por partes:

$\int_0^1 x^{\,k}\,(1 - x)^{\,m}\,\dd x = \frac{k!\,m!}{(k + m + 1)!} \qquad (k, m \in \N).$
Dedúzcase $\displaystyle\int_0^1 \bigl(x(1-x)\bigr)^n \dd x = \frac{1}{(2n+1)\binom{2n}{n}}$ y —comparando con la cota $x(1 - x) \leq \frac14$ — la estimación $\binom{2n}{n} \geq \dfrac{4^n}{2n+1}$ , acorde con $\binom{2n}{n}^{1/n} \to 4$ del Problema 11.1.
Demuéstrese el lema de pequeñez que se usa dos veces más abajo: para toda función continua $g > 0$ en $\intoo{0}{1}$ ,

$0 < \int_0^1 \bigl(x(1-x)\bigr)^n g(x)\,\dd x \leq \frac{\sup_{\intcc{0}{1}}\abs g}{4^{\,n}} .$

Parte II — $\eu$ : irracionalidad y después seis decimales. Póngase $A_n = \displaystyle\int_0^1 x^n \eu^x \dd x$ .

Calcúlense $A_0$ y $A_1$ , demuéstrese la recurrencia $A_n = \eu - n A_{n-1}$ y las cotas $0 < A_n \leq \dfrac{\eu}{n+1}$ .
Véase por inducción que $A_n = \alpha_n + \beta_n \eu$ con $\alpha_n, \beta_n \in \Z$ .
Dedúzcase que $\eu$ es irracional (si $\eu = \frac pq$ , entonces $q A_n$ es un entero atrapado en $\intoo{0}{1}$ para $n$ grande). Compárese con la demostración del Ejercicio 11.9: misma conclusión, distinto combustible.
Demuéstrese, por inducción y integración por partes, la fórmula exacta del resto

$\eu = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} + R_n, \qquad R_n = \frac{1}{n!}\int_0^1 (1 - t)^n\,\eu^{\,t}\,\dd t, \qquad \frac{1}{(n+1)!} \leq R_n \leq \frac{\eu}{(n+1)!} .$
Tómese $n = 9$ : acótese $R_9$ usando $\eu < 2.75$ (a partir de $b_2 = 2.75$ en el Ejemplo 11.12), evalúese la suma y conclúyase el encuadre certificado $2.7182818 \leq \eu \leq 2.7182823$ — seis decimales, $\eu \approx 2.718282$ , con demostración.

Parte III — El teorema de Legendre: $\pi^2$ es irracional. Sea $f(x) = \dfrac{x^n (1 - x)^n}{n!}$ , y supóngase $\pi^2 = \frac ab$ con $a, b \in \N^*$ .

Véase que $f(1 - x) = f(x)$ y que $0 < f \leq \dfrac{1}{4^n\,n!}$ en $\intoo{0}{1}$ .
Véase que $f^{(k)}(0)$ y $f^{(k)}(1)$ son enteros para todo $k \geq 0$ (desarróllese $x^n(1-x)^n$ con coeficientes enteros; $\frac{k!}{n!} \in \Z$ para $k \geq n$ ; y úsese después la simetría).
Defínase

$G = b^{\,n} \sum_{k=0}^{n} (-1)^k\, \pi^{2n - 2k} f^{(2k)} .$

Véase que $G(0)$ y $G(1)$ son enteros (cada $b^n \pi^{2n-2k} = a^{\,n-k}\,b^{\,k}$ ).
Compruébese el telescopaje $G'' + \pi^2 G = b^n \pi^{2n+2} f = \pi^2 a^n f$ , y después

$\frac{\dd}{\dd x}\Bigl(G'(x)\sin \pi x - \pi\,G(x)\cos \pi x\Bigr) = \pi^2 a^n f(x)\sin \pi x .$
Intégrese en $\intcc{0}{1}$ y conclúyase

$\pi\,a^n \int_0^1 f(x)\sin(\pi x)\,\dd x = G(0) + G(1) \in \Z ,$

un entero positivo acotado por $\dfrac{\pi a^n}{4^n\,n!}$ .
Conclúyase con la pregunta 1 que $\pi^2$ es irracional (Legendre, 1794), y que esto refuerza el Ejercicio 15.9: ¿por qué la irracionalidad de $\pi^2$ implica la de $\pi$ , y no al revés?

Parte IV — Entender la máquina.

Localícense las dos fuerzas opuestas (la integralidad de los datos en los extremos; la pequeñez analítica de la integral) y el puente, en las partes II y III. Explíquese después por qué el factor $\frac{1}{n!}$ de $f$ es el quid: si se quita, la integralidad sobrevive, pero ¿qué desigualdad muere, y para qué supuestas fracciones $\frac ab$ falla entonces la demostración?
Efectividad: supóngase que alguien afirma que $\pi^2 = \frac ab$ con $a \leq 10$ . Véase que la contradicción llega ya en $n = 7$ : calcúlese $\pi\,(10/4)^7/7! \approx 0.38 < 1$ . La máquina no solo refuta; refuta en una etapa fija y calculable.
Compruébese el puente de forma incondicional: demuéstrese, con dos integraciones por partes, que

$\int_0^1 x(1 - x)\sin(\pi x)\,\dd x = \frac{4}{\pi^3},$

y concíliese con la pregunta 14 en $n = 1$ (manténgase $\pi^2$ simbólico: la identidad telescopada dice $\pi^3 \int_0^1 f_1 \sin \pi x = -(f_1''(0) + f_1''(1)) = 4$ ).
¿Qué hace elegibles a $\eu^x$ y a $\sin \pi x$ como núcleos de la máquina? Identifíquese la propiedad (cada una cumple una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes, de modo que la integración por partes repetida vuelve al punto de partida) y nómbrese la frontera: la misma máquina, afinada por Hermite y Lindemann, demuestra que $\eu$ y $\pi$ son trascendentes — fuera de este volumen.

Parte V — $\frac{22}{7}$ frente a $\pi$ , y la moraleja.

Establézcase la división de polinomios

$\frac{x^4(1-x)^4}{1 + x^2} = x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 4 - \frac{4}{1 + x^2},$

y dedúzcase la célebre identidad

$\int_0^1 \frac{x^4 (1-x)^4}{1 + x^2}\,\dd x = \frac{22}{7} - \pi .$
El integrando es positivo: conclúyase $\pi < \frac{22}{7}$ . Después, acotando $\frac{1}{1+x^2}$ entre $\frac12$ y $1$ y usando $\int_0^1 (x(1-x))^4 = \frac{1}{630}$ (pregunta 3), demuéstrese

$\frac{22}{7} - \frac{1}{630} \;\leq\; \pi \;\leq\; \frac{22}{7} - \frac{1}{1260} ,$

es decir, $3.14126 \leq \pi \leq 3.14207$ : dos decimales correctos, a mano.
Generalícese: dividiendo $x^{4m}(1-x)^{4m}$ entre $1 + x^2$ , véase que el resto es la constante $(-4)^m$ (trabájese módulo $x^2 + 1$ : $(1-x)^2 \equiv -2x$ ), dedúzcanse racionales $r_m$ con

$\abs{\pi - r_m} \leq 4^{\,1 - 5m} ,$

y compruébese que $m = 1$ reproduce las preguntas 20–21.
Confróntense estos racionales con la teoría de aproximación del Problema 14.1: calcúlese $\abs{\pi - \frac{22}{7}} \approx 1.26\cdot10^{-3}$ frente a la garantía de Dirichlet $\frac{1}{49}$ , y cítese $\abs{\pi - \frac{355}{113}} \approx 2.7\cdot10^{-7}$ frente a $\frac{1}{113^2} \approx 7.8\cdot10^{-5}$ : para $\pi$ existen aproximaciones racionales excepcionalmente buenas — coherente, ya que no se sabe que $\pi$ sea mal aproximable.
(La trampa del entero, abstraída) Demuéstrese el lema que lo unifica todo: si $x \in \R$ y existen enteros $a_n, b_n$ con $0 < \abs{a_n + b_n x} \to 0$ , entonces $x$ es irracional. Enumérense sus instancias en este problema, en el Ejercicio 15.9, en el Ejercicio 11.9 y en el Problema 14.1.
Síntesis, una frase para cada punto: (i) las tres piezas de la máquina y dónde vive cada una en el utillaje de este capítulo; (ii) qué aporta la integral que el teorema del valor medio del Problema 14.1 no podía aportar; (iii) el inventario de resultados extraídos (dos irracionalidades, una constante con seis decimales, un encuadre de $\pi$ , una cota binomial); (iv) la frontera (Hermite, Lindemann; y la misma trampa, aplicada a $\zeta(2)$ y $\zeta(3)$ , en la aritmética del siglo XX).

Solución

Solución de Problema 15.1.

1. Sea $N = \lceil 2c \rceil$ . Para $n \geq N$ : $\frac{c^{n+1}/(n+1)!}{c^n/n!} = \frac{c}{n+1} \leq \frac12$ , luego $0 < \frac{c^n}{n!} \leq \frac{c^N}{N!}\,2^{-(n - N)} \to 0$ : por emparedado.

2. Fíjese $k$ ; inducción sobre $m$ . Para $m = 0$ : $\int_0^1 x^k = \frac{1}{k+1} = \frac{k!\,0!}{(k+1)!}$ . Paso, por partes ( $u = (1-x)^m$ , $v' = x^k$ ):

\int_0^1 x^k (1-x)^m \dd x = \Bigl[\frac{x^{k+1}}{k+1}(1-x)^m\Bigr]_0^1 + \frac{m}{k+1}\int_0^1 x^{k+1}(1-x)^{m-1}\dd x = \frac{m}{k+1}\cdot\frac{(k+1)!\,(m-1)!}{(k+m+1)!} ,

que es $\frac{k!\,m!}{(k+m+1)!}$ .

3. $k = m = n$ : $\int_0^1 (x(1-x))^n = \frac{(n!)^2}{(2n+1)!} = \frac{1}{(2n+1)\binom{2n}{n}}$ . Como $x(1-x) \leq \frac14$ en $\intcc{0}{1}$ , la integral es $\leq 4^{-n}$ , de donde $\binom{2n}{n} \geq \frac{4^n}{2n+1}$ — acorde con $\binom{2n}{n}^{1/n} \to 4$ (Problema 11.1).

4. El integrando es continuo, $\geq 0$ y positivo en $\intoo{0}{1}$ , luego no es idénticamente nulo: su integral es $> 0$ (Teorema 15.7 (4)). Cota superior: $(x(1-x))^n \leq 4^{-n}$ y $g \leq \sup\abs g$ , y después la monotonía.

5. $A_0 = \eu - 1$ ; $A_1 = [x\eu^x]_0^1 - \int_0^1 \eu^x = \eu - (\eu - 1) = 1$ . Por partes: $A_n = [x^n \eu^x]_0^1 - n\int_0^1 x^{n-1}\eu^x = \eu - n A_{n-1}$ . Cotas: el integrando es positivo, luego $A_n > 0$ ; y $\eu^x \leq \eu$ da $A_n \leq \eu\int_0^1 x^n = \frac{\eu}{n+1}$ .

6. $A_0 = -1 + 1\cdot\eu$ . Si $A_{n-1} = \alpha_{n-1} + \beta_{n-1}\eu$ con entradas enteras, entonces

A_n = \eu - n\alpha_{n-1} - n\beta_{n-1}\eu = \underbrace{(-n\,\alpha_{n-1})}_{\alpha_n} + \underbrace{(1 - n\,\beta_{n-1})}_{\beta_n}\,\eu ,

los dos enteros.

7. Si $\eu = \frac pq$ : $q A_n = q\alpha_n + p\beta_n \in \Z$ , y $0 < qA_n \leq \frac{q\eu}{n+1} < 1$ para $n$ grande: un entero estrictamente entre $0$ y $1$ — imposible. Luego $\eu \notin \Q$ . En el Ejercicio 11.9 el entero atrapado era $q!\,\frac pq - q!\,a_q$ ; aquí es $qA_n$ : la misma trampa, con combustible integral.

8. $n = 0$ : $R_0 = \int_0^1 \eu^t = \eu - 1$ , luego $\eu = 1 + R_0$ . Por partes ( $u = \eu^t$ , $v = -\frac{(1-t)^{n+1}}{n+1}$ ):

R_n = \frac{1}{n!}\Bigl(\Bigl[-\frac{(1-t)^{n+1}}{n+1} \eu^t\Bigr]_0^1 + \frac{1}{n+1}\int_0^1 (1-t)^{n+1}\eu^t\Bigr) = \frac{1}{(n+1)!} + R_{n+1} ,

de modo que la fórmula se propaga de $n$ a $n + 1$ . Cotas: $1 \leq \eu^t \leq \eu$ en $\intcc{0}{1}$ y $\int_0^1 (1-t)^n = \frac{1}{n+1}$ dan $\frac{1}{(n+1)!} \leq R_n \leq \frac{\eu}{(n+1)!}$ .

9. $\sum_{k=0}^{9} \frac{1}{k!} = \frac{986410}{362880} = 2.71828152\dots$ , y

\frac{1}{10!} = 2.76\cdot10^{-7} \leq R_9 \leq \frac{2.75}{10!} = 7.58\cdot10^{-7} ,

luego $2.7182818 \leq \eu \leq 2.7182823$ : con demostración, $\eu = 2.718282$ con seis decimales (valor verdadero $2.7182818\dots$ ).

10. $f(1 - x) = \frac{(1-x)^n x^n}{n!} = f(x)$ . En $\intoo{0}{1}$ : $0 < x(1-x) \leq \frac14$ , luego $0 < f \leq \frac{1}{4^n\,n!}$ .

11. $x^n(1-x)^n = \sum_{j=0}^{n} (-1)^j\binom nj\,x^{n+j}$ , luego $f = \frac{1}{n!}\sum_j c_j\,x^{n+j}$ con $c_j \in \Z$ . Por tanto, $f^{(k)}(0) = 0$ para $k < n$ o $k > 2n$ , y para $n \leq k \leq 2n$ : $f^{(k)}(0) = \frac{k!}{n!}\, c_{k-n}$ , un entero porque $n! \mid k!$ . La simetría da $f^{(k)}(1) = (-1)^k f^{(k)}(0) \in \Z$ .

12. $b^n \pi^{2n-2k} = b^n\bigl(\frac ab\bigr)^{\,n-k} = a^{\,n-k}\,b^{\,k} \in \Z$ , luego $G(0) = \sum_k (-1)^k a^{n-k} b^k f^{(2k)}(0)$ y, análogamente, $G(1)$ son enteros por la pregunta 11.

13. En $\pi^2 G + G''$ , el término $k$ de $\pi^2 G$ lleva $\pi^{2n-2k+2}f^{(2k)}$ y el término $j = k - 1$ de $G''$ lleva $(-1)^{k-1}\pi^{2n-2k+2}f^{(2k)}$ : todo se cancela salvo $k = 0$ en la primera suma y $j = n$ en la segunda, es decir,

G'' + \pi^2 G = b^n\bigl(\pi^{2n+2} f + (-1)^n f^{(2n+2)}\bigr) = b^n \pi^{2n+2} f = \pi^2 a^n f

( $f$ tiene grado $2n$ , luego $f^{(2n+2)} = 0$ ; y $b^n\pi^{2n} = a^n$ ). Entonces

\bigl(G'\sin\pi x - \pi G\cos\pi x\bigr)' = (G'' + \pi^2 G)\sin \pi x = \pi^2 a^n f\sin\pi x .

14. Integrando en $\intcc{0}{1}$ :

\pi^2 a^n \int_0^1 f\sin(\pi x)\,\dd x = \bigl[G'\sin\pi x - \pi G\cos\pi x\bigr]_0^1 = \pi\bigl(G(1) + G(0)\bigr) ,

luego $\pi a^n \int_0^1 f\sin\pi x = G(0) + G(1) \in \Z$ . En $\intoo{0}{1}$ , $f > 0$ y $\sin\pi x > 0$ : el miembro izquierdo es positivo, luego $G(0) + G(1) \geq 1$ ; y $\sin \leq 1$ junto con la pregunta 10 lo acota por $\frac{\pi a^n}{4^n\,n!}$ .

15. Por la pregunta 1 (con $c = \frac a4$ ), $\frac{\pi a^n}{4^n n!} \to 0$ : para $n$ grande es $< 1$ , en contradicción con $G(0) + G(1) \geq 1$ . Luego ninguna fracción $\frac ab$ es igual a $\pi^2$ : el teorema de Legendre. Y si $\pi$ fuera racional, $\pi^2$ también lo sería: así que $\pi \notin \Q$ — y la implicación solo va en este sentido ( $\sqrt2$ es irracional con cuadrado racional), y por eso $\pi^2 \notin \Q$ es estrictamente más fuerte que el Ejercicio 15.9.

16. Integralidad: preguntas 11–12 (derivadas en los extremos); pequeñez: preguntas 10 y 1; puente: preguntas 13–14 (la doble integración por partes telescopada). Sin $\frac{1}{n!}$ , los datos en los extremos siguen siendo enteros (incluso más fácilmente), pero la cota pasa a ser $\frac{\pi a^n}{4^n}$ , que tiende a $0$ solo cuando $a < 4$ — y todo candidato tiene $a = b\,\pi^2 > 9$ . El factorial es exactamente lo que corre más que el crecimiento geométrico $a^n$ : sin factorial, no hay teorema.

17. Para $a \leq 10$ , el entero $G(0) + G(1)$ es positivo y a lo sumo $\pi\,(10/4)^n/n!$ . En $n = 7$ : $2.5^7 = 610.35\dots$ , luego la cota es $\frac{\pi \times 610.35}{5040} \approx 0.38 < 1$ (en $n = 6$ todavía vale $1.07$ ): la contradicción llega en la séptima etapa, explícitamente.

18. Dos integraciones por partes:

\int_0^1 x(1-x)\sin\pi x\,\dd x = \frac1\pi\int_0^1 (1 - 2x)\cos\pi x\,\dd x = \frac{2}{\pi^2}\int_0^1 \sin\pi x\,\dd x = \frac{2}{\pi^2}\cdot\frac{2}{\pi} = \frac{4}{\pi^3}

(los términos de los corchetes se anulan: $x(1-x)$ en $0, 1$ , y $\sin\pi x$ en $0, 1$ ). Simbólicamente, el telescopaje de $n = 1$ (sin hipótesis sobre $\pi$ ) dice $\pi^3\int_0^1 f_1\sin\pi x = -(f_1''(0) + f_1''(1))$ con $f_1 = x(1 - x)$ , $f_1'' = -2$ : el miembro derecho vale $4$ — los dos cálculos coinciden.

19. $\eu^x$ resuelve $y' = y$ y $\sin\pi x$ resuelve $y'' = -\pi^2 y$ : ecuaciones lineales con coeficientes constantes, de modo que la integración por partes devuelve el núcleo sobre sí mismo y mantiene todos los datos de frontera dentro de $\Z + \Z\eu$ (resp. polinomios enteros en $\pi^2$ ). Esa propiedad de clausura es lo que la máquina necesita. Afinado con núcleos adaptados a varios puntos a la vez, el mismo mecanismo produce el teorema de Hermite ( $\eu$ trascendente, 1873) y el de Lindemann ( $\pi$ trascendente, 1882) — fuera de este volumen.

20. División de polinomios (o multiplíquese de vuelta y compruébese):

x^4(1-x)^4 = (x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 4)(1 + x^2) - 4 .

Integrando la identidad anterior dividida por $1 + x^2$ :

\int_0^1 \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\dd x = \Bigl(\frac17 - \frac46 + 1 - \frac43 + 4\Bigr) - 4\arctan 1 = \frac{22}{7} - \pi ,

usando $\frac17 - \frac23 + 1 - \frac43 + 4 = 3 + \frac17$ y $\arctan 1 = \frac\pi4$ .

21. El integrando es continuo y positivo en $\intoo{0}{1}$ : la integral es $> 0$ , luego $\pi < \frac{22}{7}$ . Además, $\frac12 \leq \frac{1}{1+x^2} \leq 1$ en $\intcc{0}{1}$ y $\int_0^1 (x(1-x))^4 = \frac{(4!)^2}{9!} = \frac{1}{630}$ (pregunta 3):

\frac{1}{1260} \leq \frac{22}{7} - \pi \leq \frac{1}{630} \quad\Longrightarrow\quad 3.14126 < \frac{22}{7} - \frac{1}{630} \leq \pi \leq \frac{22}{7} - \frac{1}{1260} < 3.14207 .

22. Módulo $x^2 + 1$ : $x^2 \equiv -1$ , luego $x^{4m} = (x^2)^{2m} \equiv 1$ y $(1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2 \equiv -2x$ , de donde $(1-x)^{4m} \equiv (-2x)^{2m} = 4^m (x^2)^m \equiv (-4)^m$ : el resto es la constante $(-4)^m$ , y el cociente $Q_m$ tiene coeficientes enteros (división por un polinomio entero mónico). Dividiendo la identidad por $1 + x^2$ e integrando:

J_m := \int_0^1 \frac{(x(1-x))^{4m}}{1+x^2}\dd x = s_m + (-4)^m\,\frac{\pi}{4}, \qquad s_m = \int_0^1 Q_m \in \Q .

Despejando $\pi$ : con $r_m = (-1)^{m+1}\,4^{\,1-m} s_m \in \Q$ , $\;\abs{\pi - r_m} = 4^{\,1-m} J_m \leq 4^{\,1-m}\cdot4^{-4m} = 4^{\,1-5m}$ . Para $m = 1$ : $s_1 = \frac{22}{7}$ , $r_1 = \frac{22}{7}$ , y la cota $4^{-4} = \frac{1}{256}$ — otra vez las preguntas 20–21.

23. $\bigl|\pi - \frac{22}{7}\bigr| = \frac{22}{7} - \pi \approx 1.26\cdot10^{-3}$ , dieciséis veces mejor que la referencia de orden $2$ , $\frac{1}{7^2} \approx 2.0\cdot10^{-2}$ , que garantiza Dirichlet (Problema 14.1, pregunta 4); y $\bigl|\pi - \frac{355}{113}\bigr| \approx 2.7\cdot10^{-7}$ le gana a $\frac{1}{113^2} \approx 7.8\cdot10^{-5}$ por un factor $\approx 300$ . Nada de esto contradice lo demostrado: las desigualdades de Liouville acotan por debajo los errores de aproximación solo para los números algebraicos, y a este nivel no se dispone de ninguna cota así para $\pi$ — $\pi$ es libre de dejarse aproximar espectacularmente bien.

24. Lema: supóngase $x = \frac pq$ y $0 < \abs{a_n + b_n x} \to 0$ . Entonces $\abs{a_n + b_n x} = \frac{\abs{q a_n + p b_n}}{q}$ , con $q a_n + p b_n$ entero no nulo (no nulo porque el valor absoluto es $> 0$ ): luego $\abs{a_n + b_n x} \geq \frac1q$ para todo $n$ , en contradicción con la convergencia a $0$ . Instancias: la pregunta 7 ( $x = \eu$ , $a_n = \alpha_n$ , $b_n = \beta_n$ ); el Ejercicio 11.9 ( $x = \eu$ otra vez, con $a_q = -q!\sum_{k \leq q}\frac{1}{k!}$ , $b_q = q!$ ); y el Problema 14.1, pregunta 1, es su forma geométrica. En la parte III y en el Ejercicio 15.9 la trampa corre dentro de la contradicción: suponer la racionalidad convierte una expresión en un entero, que el análisis aprieta después dentro de $\intoo{0}{1}$ — el mismo principio, traspuesto.

25. (i) La integralidad vive en el cálculo con polinomios en los extremos (preguntas 6, 11–12), la pequeñez en las cotas que da la monotonía del $\sup$ (preguntas 4, 10) y el puente en la integración por partes (preguntas 8, 13–14) — las tres son teoremas de este capítulo. (ii) La integral aporta lo que el teorema del valor medio no podía: una identidad exacta entre el objeto analítico y los datos aritméticos (una igualdad, no solo una desigualdad con un $c$ desconocido), y por eso la máquina alcanza $\pi^2$ mientras que el Problema 14.1 solo alcanzaba exponentes de aproximación. (iii) Extraído: $\eu \notin \Q$ , $\pi^2 \notin \Q$ (y por tanto $\pi \notin \Q$ ), $\eu = 2.718282$ certificado, $\frac{22}{7} - \frac{1}{630} \leq \pi \leq \frac{22}{7} - \frac{1}{1260}$ y $\binom{2n}{n} \geq \frac{4^n}{2n+1}$ . (iv) Frontera: Hermite y Lindemann llevan la misma máquina hasta la trascendencia; y Apéry (1979) hizo correr la trampa del entero sobre $\zeta(3)$ — la máquina sigue produciendo matemáticas del siglo XX.

Términos definidos en este capítulo

función escalonada

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