Matemáticas universitarias — Grado 1 · Bachelor Year 1

15Integración en un segmento

El integral del volumen High School se fundó en áreas tomadas intuitivamente. Este capítulo lo construye: primero para funciones escalonadas, donde integral es una suma finita, entonces para continuo (y por partes continuo) funciona por aproximación uniforme — el lugar donde gana el teorema de Heine (Teorema 13.22) es mantener. El teorema fundamental del cálculo conecta entonces el construcción a primitivas, y sumas de riemann conectarlo a discreto promedios.

En todo momento, $a < b$ son reales.

15.1 Funciones de paso

Definición 15.1

$\varphi \colon \intcc{a}{b} \to \R$ es un paso función cuando existe una subdivisión $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$ tal que $\varphi$ es constante, igual a $c_i$ , en cada abierto intervalo $\intoo{x_{i-1}}{x_i}$ (valores en el los nodos no están restringidos). Su integral es

\int_a^b \varphi = \sum_{i=1}^{n} c_i\,(x_i - x_{i-1}),

independiente de la subdivisión elegida (refinar dos subdivisiones por su común: cada lado permanece sin cambios bajo refinamiento).

Proposición 15.2

En funciones escalonadas, el integral es lineal, creciente ( $\varphi \leq \psi \implies \int\varphi \leq \int\psi$ ) y satisface el Chasles relación $\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b$ para $a < c < b$ .

Demostración. El motor es invariancia de refinamiento, indicado en el definición: insertar un nodo adicional $t \in \intoo{x_{i-1}}{x_i}$ en una subdivisión reemplaza el término $c_i(x_i - x_{i-1})$ por $c_i(t - x_{i-1}) + c_i(x_i - t)$ — el mismo número — entonces el integral no se modifica mediante ningún refinamiento finito. Ahora toma $\varphi$ con subdivisión $\sigma$ y $\psi$ con subdivisión $\sigma'$ : sobre el refinamiento común $\sigma \cup \sigma'$ ambos son funciones escalonadas con los nodos mismo, y en cada pieza $\varphi + \lambda\psi$ es constante igual a $c_i + \lambda d_i$ : la linealidad se reduce a linealidad de sumas finitas. Incrementar: $c_i \leq d_i$ en cada pieza da $\sum c_i \Delta_i \leq \sum d_i \Delta_i$ (longitudes $\Delta_i \geq 0$ ). Chasles: insertar el nodo $c$ y divida la suma en él. ∎

15.2 Integral de una función continua

Teorema 15.3 (aproximación uniforme)

Sea $f$ continuo en $\intcc{a}{b}$ . Por cada $\varepsilon > 0$ hay funciones escalonadas $\varphi, \psi$ con

\varphi \leq f \leq \psi \qquad\text{and}\qquad \psi - \varphi \leq \varepsilon \text{ on } \intcc{a}{b}.

Demostración. Según el teorema de Heine (Teorema 13.22), $f$ es uniformemente continuo: elija $\delta$ para $\varepsilon$ , y una subdivisión de malla $< \delta$ (equivalentemente espaciadas, digamos, con piezas $n > \frac{b - a}{\delta}$ ). En cada pieza cerrado $\intcc{x_{i-1}}{x_i}$ , $f$ alcanza un mínimo $m_i$ y un máximo $M_i$ (Teorema 13.13) y $M_i - m_i \leq \varepsilon$ (los dos puntos extremos están dentro de $\delta$ ). Definir $\varphi = m_i$ y $\psi = M_i$ en $\intoo{x_{i-1}}{x_i}$ (y $\varphi = \psi = f$ en los nodos). ∎

Teorema 15.4 (Definición de integral)

Sea $f$ continuo en $\intcc{a}{b}$ . los dos numeros

I_-(f) = \sup\Bigl\{\int_a^b \varphi : \varphi \text{ step},\ \varphi \leq f\Bigr\}, \qquad I_+(f) = \inf\Bigl\{\int_a^b \psi : \psi \text{ step},\ \psi \geq f\Bigr\}

son iguales; su valor común es el integral $\int_a^b f$ (también escrito $\int_a^b f(t)\,\dd t$ ). Coincide con la noción anterior en paso funciones y se extiende a las funciones continuo por partes mediante dividiendo $\intcc{a}{b}$ en las discontinuidades (Chasles como definición allí).

Demostración. Ambos conjuntos no están vacíos ( $f$ está limitado) y cada paso inferior integral es $\leq$ cada uno superior (monotonicidad en funciones escalonadas): entonces $I_-(f) \leq I_+(f)$ . Por Teorema 15.3, por cada $\varepsilon$ hay un par con $\int\psi - \int\varphi \leq \varepsilon(b - a)$ : el sup y el inf están juntos, $I_- = I_+$ . ∎

Ejemplo 15.5 (Continuo por partes, sin drama)

El función de piso en $\intcc{0}{3}$ es un función de paso en disfraz: partiéndose en sus saltos,

\int_0^3 \lfloor t \rfloor\,\dd t = \int_0^1 0 + \int_1^2 1 + \int_2^3 2 = 0 + 1 + 2 = 3 ,

y los valores at los puntos de salto $1, 2$ son irrelevantes: cambiar una función en un número finito de puntos no cambia integral (el encuadre funciones escalonadas no se ve afectado). este es el todo contenido de la extensión “por trozos continuo”: cortado en la un número finito de discontinuidades, integra cada pieza continuo, agregue — Chasles como definición.

Ejemplo 15.6 (La definición se calcula una vez.)

Sea $f(x) = x$ sobre $\intcc{0}{1}$ y córtelo en $n$ en trozos iguales. La mejor constante funciones escalonadas en las piezas es $\varphi = \frac{k-1}{n}$ y $\psi = \frac kn$ en la pieza $k$ , con

\int_0^1 \varphi = \sum_{k=1}^{n} \frac{k-1}{n}\cdot\frac1n = \frac{n-1}{2n}, \qquad \int_0^1 \psi = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n}\cdot\frac1n = \frac{n+1}{2n} .

Cada integral inferior es $\leq I_-(f) \leq I_+(f) \leq$ cada superior, por lo que $\frac{n-1}{2n} \leq I_-(f) \leq I_+(f) \leq \frac{n+1}{2n}$ para todos los $n$ : ambos se aprietan en $\frac12$ , y $\int_0^1 x\,\dd x = \frac12$ directamente de la definición. el Perspectiva final: esta es la primera y última vez que integramos de la definición — el teorema fundamental a continuación reemplaza todos estos cálculos mediante una búsqueda de antiderivada, que es todo el punto económico de este capítulo.

Teorema 15.7 (Propiedades)

Para $f, g$ continuo (o continuo por partes) en $\intcc{a}{b}$ y $\lambda \in \R$ :

linealidad: $\int (f + \lambda g) = \int f + \lambda \int g$ ;
monotonicidad: $f \leq g \implies \int_a^b f \leq \int_a^b g$ ; y $\bigl|\int_a^b f\bigr| \leq \int_a^b \abs f \leq (b - a)\, \sup\abs f$ ;
Chasles: $\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b$ (con el convención $\int_b^a = -\int_a^b$ , válida para cualquier orden de los límites);
positividad estricta: si $f$ es continuo, $f \geq 0$ y $\int_a^b f = 0$ , luego $f = 0$ en todas partes $\intcc{a}{b}$ .

Demostración. (1)–(3) pasar de funciones escalonadas al límite por el definición sup/inf. La linealidad merece los detalles una vez: dado $\varepsilon > 0$ , marco $\varphi_f \leq f \leq \psi_f$ y $\varphi_g \leq g \leq \psi_g$ con huecos $\leq \varepsilon$ (Teorema 15.3). Para $\lambda \geq 0$ , $\varphi_f + \lambda\varphi_g \leq f + \lambda g \leq \psi_f + \lambda\psi_g$ es un encuadre de funciones escalonadas con espacio $\leq (1 + \lambda)\varepsilon$ , y su paso integrales es igual a $\int \varphi_f + \lambda\int\varphi_g$ , etc. (Proposición 15.2): dejar que $\varepsilon \to 0$ apriete $\int(f + \lambda g)$ sobre $\int f + \lambda\int g$ . Para $\lambda < 0$ , multiplicando por $\lambda$ invierte el encuadre de $g$ — el función de paso inferior de $\lambda g$ es $\lambda \psi_g$ — y el mismo apretón corre con los roles intercambiado. La cota $\abs{\int f} \leq \int \abs f$ proviene de $-\abs f \leq f \leq \abs f$ y monotonía.

(4) Contrapositivo: si $f(x_0) = m > 0$ , continuidad proporciona un subintervalo de longitud $\eta > 0$ en el que $f \geq \frac m2$ ; el función de paso vale $\frac m2$ allí y $0$ en otros lugares es $\leq f$ , entonces $\int f \geq \frac{m\eta}{2} > 0$ . ∎

Ejemplo 15.8 (Chasles en el trabajo: integrales con valores absolutos)

Para integrar un valor absoluto, corte donde cambia el signo.

\int_0^2 \abs{x - 1}\,\dd x = \int_0^1 (1 - x)\,\dd x + \int_1^2 (x - 1)\,\dd x = \frac12 + \frac12 = 1 ,

y, cortando $\intcc{0}{2\pi}$ en $\pi$ :

\int_0^{2\pi} \abs{\sin t}\,\dd t = \int_0^{\pi} \sin t\,\dd t - \int_{\pi}^{2\pi} \sin t\,\dd t = 2 + 2 = 4 ,

mientras que $\int_0^{2\pi} \sin t\,\dd t = 0$ : la cancelación es real, y por eso la estricta positividad enunciado (Teorema 15.7 (4)) lleva la hipótesis $f \geq 0$ — sin ella, un integral que desaparece no prueba nada sobre $f$ . La idea final: medidas $\int \abs f$ área, $\int f$ mide saldo firmado; el desigualdad $\abs{\int f} \leq \int\abs f$ es el registro exacto de lo que la cancelación puede destruir.

15.3 El teorema fundamental del cálculo.

Teorema 15.9 (Teorema fundamental del calculo)

Sea $f$ continuo en un intervalo $I$ y $a \in I$ . la funcion

F(x) = \int_a^x f(t)\, \dd t

es de clase $C^1$ en $I$ , con $F' = f$ : cada función continuo en un intervalo tiene primitivas. En consecuencia, para cualquier primitiva $G$ de $f$ :

\int_a^b f(t)\,\dd t = G(b) - G(a) .

Demostración. Reparar $x_0 \in I$ y $\varepsilon > 0$ ; continuidad en $x_0$ proporciona $\delta$ con $\abs{f(t) - f(x_0)} \leq \varepsilon$ para $\abs{t - x_0} \leq \delta$ . Para $0 < \abs{h} \leq \delta$ (y $x_0 + h \in I$ ), Chasles ofrece

\frac{F(x_0 + h) - F(x_0)}{h} - f(x_0) = \frac 1h \int_{x_0}^{x_0+h} \bigl(f(t) - f(x_0)\bigr)\dd t ,

cuyo valor absoluto es $\leq \frac{1}{\abs h}\cdot \abs h\, \varepsilon = \varepsilon$ (cota (2), válido para cualquier orden del límites). Entonces $F'(x_0) = f(x_0)$ ; $F' = f$ es continuo: $F$ es $C^1$ . Si $G' = f$ también, entonces $(G - F)' = 0$ en intervalo, entonces $G = F + c$ (Corolario 14.12) y $G(b) - G(a) = F(b) - F(a) = \int_a^b f$ . ∎

Ejemplo 15.10 (Simetría antes del cálculo)

En un intervalo simétrico, la paridad hace el trabajo: si $f$ es impar, la sustitución $t \mapsto -t$ envía $\int_{-a}^{0} f$ a $-\int_0^a f$ , entonces

\int_{-a}^{a} f(t)\,\dd t = 0 ; \qquad\text{if $f$ is even,}\quad \int_{-a}^{a} f = 2\int_0^a f .

Así $\int_{-1}^{1} \frac{t^3\cos t}{1 + t^4}\,\dd t = 0$ con no hay primitivos a la vista (el integrando es impar), y $\int_{-\pi}^{\pi} t^2\cos t\,\dd t = 2\int_0^\pi t^2\cos t\, \dd t$ . Compruebe la simetría antes de recurrir a las técnicas: el El integral más rápido es el que nunca se calcula.

Ejemplo 15.11 (Reconociendo un derivado a la vista)

Calcule $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \frac{\dd x}{1 + \cos x}$ . La identidad del medio ángulo $1 + \cos x = 2\cos^2\frac x2$ convierte el integrando en $\frac{1}{2}\bigl(1 + \tan^2\frac x2\bigr)$ , que es exactamente el derivado de $\tan\frac x2$ :

\int_0^{\pi/2} \frac{\dd x}{1 + \cos x} = \Bigl[\tan\frac x2\Bigr]_0^{\pi/2} = \tan\frac\pi4 = 1 .

No se necesitaba ninguna maquinaria de sustitución, sólo el reflejo de leer un integrando como el derivado de alguien, el fundamental teorema haciendo el resto. (La herramienta sistemática detrás de tal trigonométrico integrales, la sustitución $t = \tan\frac x2$ , pertenece al conjunto de herramientas estándar creado a partir de Teorema 15.15 (2).)

Ejemplo 15.12 (Funciones definidas por integrales)

El teorema fundamental fabrica funciones. dejar

F(x) = \int_0^x \eu^{-t^2}\,\dd t .

Ninguna combinación de funciones clásicas tiene derivado $\eu^{-t^2}$ (un teorema de Liouville, admitido); sin embargo, $F$ existe, es $C^1$ con $F'(x) = \eu^{-x^2} > 0$ , estrictamente creciente, impar (sustituya $t \mapsto -t$ ), y acotado: para $x \geq 1$ ,

F(x) - F(1) = \int_1^x \eu^{-t^2}\dd t \leq \int_1^x \eu^{-t}\dd t \leq \eu^{-1} ,

entonces $F \leq F(1) + \eu^{-1} \leq 1 + \eu^{-1}$ . (El límite exacto, $\frac{\sqrt\pi}{2}$ , se computa con el doble integrales en el Volumen del año 3.) Regla de la cadena para límites móviles: $\frac{\dd}{\dd x}\int_x^{x^2} \eu^{-t^2}\dd t = 2x\,\eu^{-x^4} - \eu^{-x^2}$ . La idea final: integración crea nuevas funciones de los antiguos, con todas sus propiedades legibles desde el integrando — el primitivo que no puedes escribir sigue siendo un función que usted controla completamente.

Ejemplo 15.13 (Estimando sin evaluar)

Los integrales $R_n = \int_0^1 \frac{t^n}{1 + t}\,\dd t$ no tienen agradable forma cerrada, pero la monotonicidad los fija precisamente: en $\intcc{0}{1}$ , $\frac12 \leq \frac{1}{1+t} \leq 1$ , entonces

\frac{1}{2(n+1)} = \frac12\int_0^1 t^n\,\dd t \;\leq\; R_n \;\leq\; \int_0^1 t^n \,\dd t = \frac{1}{n+1} :

el orden exacto de desintegración ( $R_n \sim$ un múltiplo de $\frac1n$ , de hecho $R_n \sim \frac{1}{2n}$ ) con dos líneas y sin antiderivada. Los problemas de fin de semana de este capítulo y los próxima ejecución exactamente en tales encuadres: la primera vez que el analista El instinto antes de un integral debe ser lo ató, y solo luego, si es necesario, calculelo.

Ejemplo 15.14 (Valores medios)

El significar de un continuo $f$ sobre $\intcc{a}{b}$ es $\frac{1}{b-a}\int_a^b f$ . Para el arco del seno:

\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin t\,\dd t = \frac{1}{\pi}\bigl[-\cos t\bigr]_0^\pi = \frac{2}{\pi} \approx 0.637 :

un arco positivo completo no promedia $\frac12$ sino $\frac2\pi$ — la curva pasa más tiempo en alto que un triángulo lo haría. Por Ejercicio 15.11 (teorema del valor medio para integrales, $g = 1$ ), la media es un valor: $\sin c = \frac2\pi$ para algunos $c \in \intoo{0}{\pi}$ . Y según la Riemann sumas de este capítulo, la media es el límite de las ordinarias. promedios de muestras $n$ — el puente entre las muestras discretas media de datos y la media continuo de una señal, que es como el integral entra en física.

Teorema 15.15 (Integración por partes; reemplazo)

Si $u, v$ son $C^1$ en $\intcc{a}{b}$ :

$\int_a^b u'v = \bigl[uv\bigr]_a^b - \int_a^b uv' .$
Si $\varphi$ es $C^1$ en $\intcc{\alpha}{\beta}$ y $f$ continuo en $\varphi(\intcc{\alpha}{\beta})$ :

$\int_{\alpha}^{\beta} f\bigl(\varphi(t)\bigr)\,\varphi'(t)\, \dd t = \int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(x)\, \dd x .$

Demostración. (1) $(uv)' = u'v + uv'$ ; integrar sobre $\intcc{a}{b}$ y aplicar el teorema fundamental de la función $C^1$ $uv$ .

(2) Sea $F$ una primitiva de $f$ en la imagen intervalo (Teorema 15.9). Entonces $(F \circ \varphi)' = (f \circ \varphi)\,\varphi'$ (regla de la cadena), por lo que ambos lados son iguales $F(\varphi(\beta)) - F(\varphi(\alpha))$ . ∎

Ejemplo 15.16

$\int_0^1 t\,\eu^t \dd t = \bigl[t\,\eu^t\bigr]_0^1 - \int_0^1 \eu^t\dd t = \eu - (\eu - 1) = 1$ . Y con la sustitución $x = \sin t$ ( $t \in \intcc{0}{\frac\pi2}$ ):

\int_0^1 \sqrt{1 - x^2}\, \dd x = \int_0^{\pi/2} \cos t \cdot \cos t \, \dd t = \int_0^{\pi/2} \frac{1 + \cos 2t}{2}\, \dd t = \frac\pi4 ,

— un cuarto de la unidad de disco, según lo exige la geometría. (Linealización de Método 3.11 en el trabajo).

Observación 15.17 (Errores comunes en el cálculo integral)

(yo) Substitutions must be $C^1$ on the whole intervalo: el cambio $x = \frac1t$ es ilegal en $0$ ; aplicado a ciegas a $\int_{-1}^{1}\frac{\dd x}{1 + x^2}$ "prueba" que el integral es igual a su propio negativo. Cuando una sustitución tiene un singularidad, corte primero el intervalo (Chasles), sustitúyalo por cada pieza, y solo luego recombinarlas. (ii) logarítmico las primitivas necesitan valores absolutos: $\int \frac{\dd x}{x - 2} = \ln\abs{x - 2} + C$ en cada lado de $2$ por separado — escritura $\ln(x - 2)$ en $\intoo{0}{1}$ está escribiendo el logaritmo de un número negativo; y la constante $C$ puede diferir en los dos lados de la singularidad. (iii) A vanishing integral does not kill the function: $\int_0^{2\pi}\sin = 0$ ; positividad de el integrando es necesario antes de concluir $f = 0$ (Ejemplo 15.8). (iv) sumas de riemann must be calibrated: en $\frac{b-a}{n}\sum f\bigl(a + k\frac{b-a}{n}\bigr)$ , el paso exterior y los puntos interiores debe coincidir con la misma subdivisión — el error frecuente es una suma $\sum_{k=1}^{n} f\bigl(\frac kn\bigr)$ sin el factor $\frac1n$ , que diverge en lugar de converger a $\int_0^1 f$ . Lista de verificación antes de invocar Teorema 15.20: factorice $\frac1n$ , reescriba el sumando como $f$ de $\frac kn$ , nombre $f$ y verifique que sea continuidad.

Ejemplo 15.18 (Adivina, diferencia, ajusta)

¿Qué es $\int_1^x (\ln t)^2\,\dd t$ ? Adivina una primitiva de la formar $t\,P(\ln t)$ con $P$ polinomio y diferenciar:

\bigl(t\,P(\ln t)\bigr)' = P(\ln t) + P'(\ln t) .

Necesitamos $P(u) + P'(u) = u^2$ : toma $P(u) = u^2 - 2u + 2$ (coeficientes coincidentes hacia abajo desde $u^2$ ). Por lo tanto

\int_1^x (\ln t)^2\,\dd t = \bigl[t\bigl((\ln t)^2 - 2\ln t + 2\bigr)\bigr]_1^x = x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x - 2 ,

resultado que de otro modo se alcanzaría mediante dos integraciones por partes. el Información final: para integrandos de la forma. (polinomio en $\ln t$ ) o (polinomio veces $\eu^{\lambda t}$ ), el primitivo tiene la misma forma — diferenciando una forma Supongo que convierte la integración en álgebra lineal sobre coeficientes, más rápido y menos propenso a errores que las partes iteradas.

Ejemplo 15.19 (El boomerang integral)

Calcule $I = \int_0^{\pi/2} \eu^x \cos x\,\dd x$ . Integrar por partes dos veces, diferenciando el factor trigonométrico cada vez:

I = \bigl[\eu^x \sin x\bigr]_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2} \eu^x \sin x\,\dd x = \eu^{\pi/2} - J, \qquad J = \bigl[-\eu^x\cos x\bigr]_0^{\pi/2} + \int_0^{\pi/2} \eu^x\cos x\,\dd x = 1 + I .

El integral ha vuelto a sí mismo: $I = \eu^{\pi/2} - 1 - I$ , de donde

I = \frac{\eu^{\pi/2} - 1}{2} .

La idea final: cuando el integrando es producto de dos funciones que se reproducen bajo diferenciación ( $\eu^{ax}$ , $\cos bx$ , $\sin bx$ ), dos integraciones por partes produce una ecuación lineal para la incógnita integral — resuélvela en lugar de integrar; equivalentemente, pasar a través $\eu^{(a + \iu b)x}$ (Capítulo 3) y toma real partes. Ambos caminos dan la misma respuesta, y comprobando que hacer es una prueba de cordura gratuita.

15.4 sumas de riemann

Teorema 15.20 (sumas de riemann)

Sea $f$ continuo en $\intcc{a}{b}$ . Entonces

S_n = \frac{b - a}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\Bigl(a + k\,\frac{b-a}{n}\Bigr) \xrightarrow[n \to \infty]{} \int_a^b f(t)\, \dd t ,

y lo mismo con cualquier punto de evaluación dentro de los subintervalos.

Demostración. $S_n$ es el integral del función de paso $\varphi_n$ igual a $f(a + k\frac{b-a}{n})$ en el subintervalo $k$ . dado $\varepsilon > 0$ , continuidad uniforme (Heine) proporciona $\delta$ ; para $n > \frac{b-a}{\delta}$ , cada punto de un subintervalo está dentro $\delta$ de su punto de evaluación, entonces $\abs{f - \varphi_n} \leq \varepsilon$ en $\intcc{a}{b}$ , de donde

\Bigl| \int_a^b f - S_n \Bigr| = \Bigl| \int_a^b (f - \varphi_n) \Bigr| \leq (b-a)\,\varepsilon . \qedhere

∎

Una suma de Riemann izquierda con rectángulos n = 8: como malla se encoge, continuidad uniforme fuerza el área de la escalera hacia ∈t_ab f. — Una suma de Riemann izquierda con rectángulos $n = 8$ : como malla se encoge, continuidad uniforme fuerza el área de la escalera hacia $\int_a^b f$ .

Ejemplo 15.21

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n + k} = \frac 1n \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + k/n} \xrightarrow[n\to\infty]{} \int_0^1 \frac{\dd x}{1 + x} = \ln 2$ : un límite opaco para cotas elementales, transparente como suma de Riemann.

Ejemplo 15.22 (Una segunda suma de Riemann, con calibración)

Calcúlese $\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{n}{(n+k)^2}$ . Calibración:

\sum_{k=1}^{n} \frac{n}{(n+k)^2} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \frac{n^2}{(n+k)^2} = \frac1n \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\bigl(1 + \frac kn\bigr)^2} ,

suma de Riemann de la función continua $f(x) = \frac{1}{(1+x)^2}$ en $\intcc{0}{1}$ : el límite es

\int_0^1 \frac{\dd x}{(1 + x)^2} = \Bigl[-\frac{1}{1+x}\Bigr]_0^1 = \frac12 .

La idea final: todo el arte es la línea media — forzar el sumando a la forma $f(\frac kn)$ a costa de extrayendo exactamente un factor $\frac1n$ ; una vez que la forma es Bien, el teorema hace el análisis y el teorema fundamental. hace la aritmética.

Observación 15.23 (Dónde funciona la integral a continuación)

Las construcciones del capítulo tienen cada una una secuela. sumas de riemann regresa en Capítulo 17 como puente entre la serie y integrales (comparación de $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ con $\int \frac{\dd t}{t^\alpha}$ ); el resto integral es el más nítido forma de la fórmula de Taylor en Capítulo 16; el La definición basada en $\sup$ es el prototipo de Lebesgue integral del volumen del Año 3, donde las mismas tres propiedades (linealidad, monotonicidad, un teorema de convergencia) se reconstruyen sobre una clase de funciones mucho mayor. Y el problema del fin de semana a continuación. convierte integración por partes en aritmética: la irracionalidad de $\pi^2$ .

15.5 Ceremonias

Ejercicio 15.1 ★

Calcular: $\displaystyle\int_0^1 \frac{\dd x}{x^2 - 4}$ (partial fractions, Capítulo 9); $\displaystyle\int_1^{\eu} \ln t \,\dd t$ ; $\displaystyle\int_0^{\pi} t \sin t\, \dd t$ .

Solución

Solución de Ejercicio 15.1.

$\dfrac{1}{x^2-4} = \dfrac{1/4}{x - 2} - \dfrac{1/4}{x+2}$ (encubrimiento), entonces

\int_0^1 \frac{\dd x}{x^2 - 4} = \frac14\Bigl[\ln\abs{x-2} - \ln\abs{x+2}\Bigr]_0^1 = \frac14\Bigl(\ln\frac{1}{3} - \ln 1\Bigr) = -\frac{\ln 3}{4}.

Por partes ( $u' = 1$ , $v = \ln t$ ): $\int_1^{\eu} \ln t\,\dd t = \bigl[t\ln t\bigr]_1^{\eu} - \int_1^{\eu} \dd t = \eu - (\eu - 1) = 1$ .

Por partes ( $u' = \sin t$ , $v = t$ ): $\int_0^\pi t\sin t\,\dd t = \bigl[-t\cos t\bigr]_0^\pi + \int_0^\pi \cos t\,\dd t = \pi + 0 = \pi$ .

Ejercicio 15.2 ★

Calcular $\displaystyle\int_0^{1} \frac{t}{(t^2+1)^2}\,\dd t$ (sustitución) y $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos^3 t\, \dd t$ (escriba $\cos^3 = \cos(1 - \sin^2)$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 15.2.

Sustitución $u = t^2 + 1$ , $\dd u = 2t\,\dd t$ :

\int_0^1 \frac{t\,\dd t}{(t^2+1)^2} = \frac12 \int_1^2 \frac{\dd u}{u^2} = \frac12\Bigl[-\frac1u\Bigr]_1^2 = \frac14 .

Con $u = \sin t$ : $\int_0^{\pi/2} \cos^3 t\,\dd t = \int_0^{\pi/2} (1 - \sin^2 t)\cos t\,\dd t = \bigl[\sin t - \frac{\sin^3 t}{3}\bigr]_0^{\pi/2} = 1 - \frac13 = \frac23$ .

Ejercicio 15.3 ★

Encuentre los límites, como sumas de riemann:

u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2 + k^2}, \qquad v_n = \frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{(2n)!}{n!\,n^n}} \ \emph{(tomar logaritmos)}.

Solución

Solución de Ejercicio 15.3.

$u_n = \dfrac1n \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{1 + (k/n)^2}$ : una suma de Riemann de $x \mapsto \frac{1}{1+x^2}$ en $\intcc{0}{1}$ , entonces $u_n \to \int_0^1 \frac{\dd x}{1+x^2} = \arctan 1 = \dfrac\pi4$ .

$\ln v_n = \dfrac1n \sum_{k=1}^{n} \ln\dfrac{n+k}{n} = \dfrac 1n \sum_{k=1}^n \ln\Bigl(1 + \dfrac kn\Bigr) \to \int_0^1 \ln(1+x)\,\dd x = \bigl[(1+x)\ln(1+x) - x\bigr]_0^1 = 2\ln 2 - 1$ . Por lo tanto $v_n \to \eu^{2\ln 2 - 1} = \dfrac 4\eu$ . (Comprobación de la identificación: $\frac{(2n)!}{n!\,n^n} = \prod_{k=1}^{n} \frac{n+k}{n}$ .)

Ejercicio 15.4 ★

Sea $f$ continuo en $\intcc{0}{1}$ . Calcule $\lim_{n\to\infty} \int_0^1 x^n f(x)\,\dd x$ . (Cut $\intcc{0}{1}$ at $1 - \delta$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 15.4.

El límite es $0$ . Sean $M = \sup \abs f$ y $\varepsilon \in \intoo{0}{1}$ . Corte en $1 - \varepsilon$ :

\Bigl| \int_0^1 x^n f \Bigr| \leq \int_0^{1 - \varepsilon} x^n \abs f + \int_{1-\varepsilon}^1 x^n \abs f \leq M\,(1-\varepsilon)^n + M\varepsilon .

Desde $(1 - \varepsilon)^n \to 0$ (Ejercicio 11.3), el limsup del lado izquierdo es $\leq M\varepsilon$ por cada $\varepsilon$ : el integral tiende a $0$ .

Ejercicio 15.5 ★★

(Cauchy–Schwarz) Para $f, g$ continuo en $\intcc{a}{b}$ , demostrar

\Bigl(\int_a^b fg\Bigr)^{\!2} \leq \int_a^b f^2 \cdot \int_a^b g^2 ,

expandiendo $\int_a^b (f + \lambda g)^2 \geq 0$ como una cuadrática en $\lambda$ . ¿Cuándo es una igualdad?

Solución

Solución de Ejercicio 15.5.

$Q(\lambda) = \int_a^b (f + \lambda g)^2 = \int f^2 + 2\lambda \int fg + \lambda^2 \int g^2 \geq 0$ para todos los $\lambda$ . Si $\int g^2 = 0$ , entonces $g = 0$ (positividad estricta, Teorema 15.7 (4)) y la desigualdad es $0 \leq 0$ . De lo contrario, $Q$ es una cuadrática genuina, en todas partes $\geq 0$ : es discriminante es $\leq 0$ , es decir $\bigl(\int fg\bigr)^2 \leq \int f^2 \int g^2$ .

Igualdad si el discriminante desaparece si $Q(\lambda_0) = 0$ para algunos $\lambda_0$ , es decir $\int (f + \lambda_0 g)^2 = 0$ , es decir (estricto positividad nuevamente) $f = -\lambda_0 g$ : la igualdad se cumple exactamente cuando $f$ y $g$ son proporcionales.

Ejercicio 15.6 ★★

Sea $f$ continuo en $\R$ , $T$ -periódico. Demuestre que $\int_a^{a+T} f$ no depende de $a$ y que $\frac1x \int_0^x f(t)\,\dd t \to \frac 1T \int_0^T f$ es $x \to +\infty$ .

Solución

Solución de Ejercicio 15.6.

Sea $\Phi(a) = \int_a^{a+T} f$ . Por el teorema fundamental (Teorema 15.9), $\Phi$ es diferenciable con $\Phi'(a) = f(a + T) - f(a) = 0$ : constante.

Para $x > 0$ , escriba $x = nT + r$ , $0 \leq r < T$ ( $n = \lfloor x/T \rfloor$ ). Chasles:

\int_0^x f = n \int_0^T f + \int_{nT}^{nT + r} f, \qquad \Bigl| \int_{nT}^{nT+r} f \Bigr| \leq T \sup_{\intcc{0}{T}} \abs f = C .

Luego $\frac 1x \int_0^x f = \frac{nT}{x}\cdot\frac 1T \int_0^T f + O\bigl(\frac 1x\bigr)$ y $\frac{nT}{x} \to 1$ : el límite es $\frac1T \int_0^T f$ .

Ejercicio 15.7 ★★

Para $f$ continuo en $\intcc{0}{1}$ con $\int_0^1 f = \frac12$ , demuestre que $f$ tiene un punto fijo en $\intcc{0}{1}$ . (Integrate $f(x) - x$ and use strict positivity, Teorema 15.7 (4), through its contrapositive combined with the intermediate value theorem.)

Solución

Solución de Ejercicio 15.7.

Sea $g(x) = f(x) - x$ : continuo, con

\int_0^1 g = \int_0^1 f - \frac12 = 0 .

Si $g$ nunca desapareciera, el teorema del valor intermedio forzaría una signo constante (una función continuo en un intervalo que toma ambos signos desaparece); diga $g > 0$ . Luego, por estricta positividad (Teorema 15.7 (4) aplicado a $g > 0$ , dando $\int g > 0$ ): contradicción con $\int g = 0$ . Entonces $g(c) = 0$ para algunos $c$ : $f(c) = c$ .

Ejercicio 15.8 ★★★

(Wallis integrales) Vamos $W_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n t\,\dd t$ .

Demostrar la recurrencia $n W_n = (n-1) W_{n-2}$ ( $n \geq 2$ ) mediante partes, y calcular $W_0, W_1$ , luego $W_{2p}$ y $W_{2p+1}$ en forma cerrada.
Demuestre que $(W_n)$ está disminuyendo con $\frac{W_{n+1}}{W_n} \to 1$ ; demostrar que la cantidad $(n+1)\,W_{n+1} W_n$ es constante, igual a $\frac\pi2$ ; y deducir el equivalente $W_n \sim \sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 15.8.

Por partes con $u' = \sin t$ , $v = \sin^{n-1} t$ :

$W_n = \bigl[-\cos t\sin^{n-1}t\bigr]_0^{\pi/2} + (n-1)\int_0^{\pi/2} \cos^2 t\,\sin^{n-2} t\,\dd t = (n-1)(W_{n-2} - W_n),$

Entonces $nW_n = (n-1)W_{n-2}$ . De $W_0 = \frac\pi2$ , $W_1 = 1$ :

$W_{2p} = \frac{(2p-1)(2p-3)\cdots 1}{(2p)(2p-2)\cdots 2}\, \frac{\pi}{2} = \frac{(2p)!}{4^p (p!)^2}\,\frac\pi2, \qquad W_{2p+1} = \frac{(2p)(2p-2)\cdots 2}{(2p+1)(2p-1)\cdots 3} = \frac{4^p (p!)^2}{(2p+1)!} .$
En $\intoo{0}{\frac\pi2}$ , $0 < \sin t < 1$ , por lo que $\sin^{n+1} < \sin^n$ y $(W_n)$ son (estrictamente) decrecientes, positivos. Intercalado con la recurrencia:

$\frac{n}{n+1} = \frac{W_{n+1}}{W_{n-1}} \leq \frac{W_{n+1}}{W_n} \leq 1 \quad\implies\quad \frac{W_{n+1}}{W_n} \to 1 .$

Invariante: $a_n = (n+1)W_{n+1}W_n$ satisface $a_n = a_{n-1}$ por la recurrencia $(n+1)W_{n+1} = nW_{n-1}$ , entonces $a_n = a_0 = 1 \cdot W_1 W_0 = \frac\pi2$ . entonces

$n W_n^2 \sim (n+1) W_{n+1} W_n = \frac\pi2 \quad\implies\quad W_n \sim \sqrt{\frac{\pi}{2n}} .$

Ejercicio 15.9 ★★★

(Niven: $\pi$ es irracional) Supongamos que $\pi = \frac ab$ con $a, b \in \N^*$ y conjunto, para que se elija $n$ ,

P(x) = \frac{x^n (a - bx)^n}{n!}, \qquad I_n = \int_0^{\pi} P(x)\sin x\, \dd x .

Demuestre que $0 < I_n \leq \pi\,\frac{(\pi a)^n}{n!}$ , que es $< 1$ para $n$ grande.
Demuestre que $P$ y todos sus derivados toman entero valores en $0$ y en $\pi = \frac ab$ . (Binomial expansion: the coefficients of $P$ times $k!$ are integers for $k \geq n$ ; and $P(\pi - x) = P(x)$ .)
Conjunto $Q = P - P'' + P^{(4)} - \dots$ (una suma finita). comprobar que $\bigl(Q'\sin x - Q\cos x\bigr)' = P \sin x$ , y deducir que $I_n = Q(\pi) + Q(0)$ es un número entero.
Concluir.

Solución

Solución de Ejercicio 15.9.

En $\intoo{0}{\pi}$ : $x > 0$ , $a - bx = b(\frac ab - x) = b(\pi - x) > 0$ y $\sin x > 0$ , por lo que el integrando es $> 0$ y $I_n > 0$ (positividad estricta). Cota: encendido $\intcc{0}{\pi}$ , $x \leq \pi$ y $a - bx \leq a$ , por lo que $P \leq \frac{\pi^n a^n}{n!}$ y $I_n \leq \pi\,\frac{(\pi a)^n}{n!}$ , que tiende a $0$ (el factorial supera al término geométrico: es el término general de la serie exponencial convergente, cf. Ejemplo 11.12); en particular $I_n < 1$ para $n$ grande.
Expandir $x^n(a - bx)^n = \sum_{j=0}^{n} \binom nj a^{n-j} (-b)^j x^{n+j}$ : entonces $P = \frac{1}{n!}\sum_j c_j x^{n+j}$ con número entero $c_j$ . Entonces $P^{(k)}(0) = 0$ para $k < n$ (valoración) y, para $n \leq k \leq 2n$ , $P^{(k)}(0) = \frac{k!}{n!} c_{k-n}$ , un número entero desde $n! \mid k!$ . Además $P(\pi - x) = P(x)$ (sustituto: $\pi - x$ swaps los factores, usando $a - b(\pi - x) = bx$ ), por lo que $P^{(k)}(\pi) = \pm P^{(k)}(0)$ : también son números enteros.
Con $Q = P - P'' + P^{(4)} - \dots$ (finito: $P$ tiene grado $2n$ ): $Q + Q'' = P$ , y

$\bigl(Q'\sin x - Q\cos x\bigr)' = (Q + Q'')\sin x = P\sin x .$

Por lo tanto $I_n = \bigl[Q'\sin x - Q\cos x\bigr]_0^{\pi} = Q(\pi) + Q(0)$ , una suma de valores $P^{(2k)}$ en $0$ y $\pi$ : un entero por (2).
Para $n$ grande, $I_n$ es un número entero con $0 < I_n < 1$ : imposible. La suposición $\pi = \frac ab$ falla: $\pi$ es irracional.

Ejercicio 15.10 ★★★

Sea $f$ $C^1$ en $\intcc{a}{b}$ . Demuestre el tipo Riemann-Lebesgue límite

\int_a^b f(t)\sin(\lambda t)\,\dd t \xrightarrow[\lambda \to +\infty]{} 0

integrando por partes. Luego pruébelo nuevamente para $f$ simplemente continuo, por aproximación uniforme con funciones escalonadas (Teorema 15.3).

Solución

Solución de Ejercicio 15.10.

Caso $C^1$ : por partes,

\int_a^b f(t)\sin\lambda t\,\dd t = \Bigl[-f(t)\frac{\cos\lambda t}{\lambda}\Bigr]_a^b + \frac{1}{\lambda}\int_a^b f'(t)\cos\lambda t\,\dd t,

acotado en valor absoluto por $\frac{2\sup\abs f + (b - a)\sup\abs{f'}} {\lambda} \to 0$ .

Caso Continuo: deje $\varepsilon > 0$ y elija un función de paso $\varphi$ con $\abs{f - \varphi} \leq \varepsilon$ (Teorema 15.3 proporciona a $\varphi \leq f \leq \psi$ el espacio $\leq\varepsilon$ ; tome $\varphi$ ). entonces

\Bigl|\int_a^b f\sin\lambda t\Bigr| \leq \int_a^b \abs{f - \varphi} + \Bigl|\int_a^b \varphi \sin\lambda t\Bigr| \leq (b-a)\varepsilon + \sum_i \abs{c_i}\,\Bigl|\int_{x_{i-1}}^{x_i} \sin\lambda t\,\dd t\Bigr| ,

y cada $\bigl|\int \sin \lambda t\bigr| = \bigl|\frac{\cos\lambda x_{i-1} - \cos\lambda x_i}{\lambda}\bigr| \leq \frac{2}{\lambda}$ : el segundo término tiende a $0$ . Por lo tanto, el límite es $\leq (b-a)\varepsilon$ para cada $\varepsilon$ : el límite es $0$ .

Ejercicio 15.11 ★★

(Teorema del valor medio para integrales) Sea $f, g$ continuo en $\intcc{a}{b}$ con $g \geq 0$ . Demuestre que existe $c \in \intcc{a}{b}$ con

\int_a^b f(t)\,g(t)\,\dd t = f(c)\int_a^b g(t)\,\dd t ,

y demuestre con un ejemplo que la hipótesis $g \geq 0$ no puede ser cayó.

Solución

Solución de Ejercicio 15.11.

Sean $m = \min f$ y $M = \max f$ , alcanzados por el valor extremo teorema. Desde $g \geq 0$ : $m\,g \leq fg \leq M\,g$ , entonces por monotonicidad

m \int_a^b g \;\leq\; \int_a^b fg \;\leq\; M \int_a^b g .

Si $\int_a^b g = 0$ : positividad estricta (Teorema 15.7 (4)) fuerza a $g \equiv 0$ , ambos Los lados desaparecen y cualquier $c$ funciona. De lo contrario, $t = \frac{\int fg}{\int g}$ se encuentra en $\intcc{m}{M} = f(\intcc{a}{b})$ . (Teoremas 13.13 y 13.10), entonces $t = f(c)$ para algunos $c$ .

El signo importa: en $\intcc{-1}{1}$ con $f(t) = g(t) = t$ : $\int fg = \int_{-1}^1 t^2 = \frac23$ , mientras que $f(c)\int_{-1}^1 t\,\dd t = 0$ para cada $c$ .

Ejercicio 15.12 ★★★

(Los momentos fuerzan ceros) Sea $f$ continuo en $\intcc{a}{b}$ con

\int_a^b f(t)\,t^k\,\dd t = 0 \qquad \text{for } k = 0, 1, \dots, n .

Demuestre que $f$ desaparece en $n + 1$ distintos puntos de $\intoo{a}{b}$ . (If $f$ changes sign only at $z_1 < \dots < z_m$ with $m \leq n$ , integrate $f$ against $P(t) = (t - z_1) \cdots (t - z_m)$ and use strict positivity.)

Solución

Solución de Ejercicio 15.12.

Si $f \equiv 0$ el reclamo es vacío (cada punto es un cero). entonces supongamos $f \not\equiv 0$ y supongamos que tiene como máximo $n$ distintos ceros en $\intoo{a}{b}$ ; sea $z_1 < \dots < z_m$ ( $m \leq n$ ) esos ceros donde $f$ cambia de signo (posiblemente ninguno). conjunto $P(t) = \prod_{i=1}^{m}(t - z_i)$ (producto vacío $= 1$ ), de grado $m \leq n$ . En cada subintervalo cortado por el $z_i$ , ambos $f$ y $P$ tienen signo constante y ambos invierten el signo al cruzar algunos $z_i$ : el producto $fP$ tiene un signo constante en todos $\intoo{a}{b}$ . Siendo continuo, no idénticamente cero, de signo constante, tiene $\bigl|\int_a^b fP\bigr| > 0$ (estricta positividad aplicada a $\abs{fP}$ ). Pero $\int f P$ es lineal. combinación de los momentos $\int f\,t^k$ , $k \leq n$ , todos cero: contradicción. Por lo tanto, $f$ tiene al menos $n + 1$ ceros distintos en $\intoo{a}{b}$ .

Observación 15.24 (Perspectivas dentro de este volumen)

Los tres capítulos siguientes se apoyan directamente en éste. Capítulo 16 lleva el resto integral — el La más nítida de las tres fórmulas de Taylor es una integración por partes. iterado $n$ veces. Capítulo 17 convierte el encuadre de sumas de integrales en la prueba decisiva para $\sum n^{-\alpha}$ , y su problema del fin de semana refina ese marco en el de Euler. constante. Capítulo 24 hace que el integral sea geométrico: el La longitud de un arco parametrizado es $\int \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\,\dd t$ , un integral de una función continuo en un segmento — precisamente el objeto construido aquí, no hay teoría inadecuada necesario. El hecho más reutilizado será el más humilde: $\bigl|\int f\bigr| \leq (b - a)\sup\abs{f}$ , la desigualdad eso convierte cada estimación puntual en una estimación integral.

15.6 Problema: la máquina de irracionalidad integral

Problema 15.1

Problema del fin de semana — $\eu$ y $\pi^2$ son irracional, $\eu$ con seis decimales y $\frac{22}{7} > \pi$ con prueba

Un mecanismo impulsa todo este problema: una expresión que debe ser un número entero positivo, pero probablemente sea menor que $1$ , no puede existir. Ejercicio 15.9 (Niven) lo ejecutó una vez para probar $\pi \notin \Q$ ; aquí lo industrializamos. la maquina necesita tres partes: una entrada integridad (valores de punto final de polinomios bien elegido), una entrada pequeñez (un factor $\frac{1}{n!}$ aplastando el integral), y un puente (integración por partes) conectándolos. Probamos que $\eu$ es irracional y calcularlo con error certificado, probar la teoría de Legendre. teorema más claro de que $\pi^2$ es irracional, y termina con el integral más encantador en el análisis: $\int_0^1 \frac{x^4(1 - x)^4}{1 + x^2}\dd x = \frac{22}{7} - \pi$ , que entre corchetes $\pi$ a mano.

Parte I — Fuel.

Demuestre que $\dfrac{c^{\,n}}{n!} \to 0$ por cada $c > 0$ (beyond $n \geq 2c$ , each step at least halves the term) fijo.
(Beta integrales) Demostrar, por inducción en $m$ con integración por partes:

$\int_0^1 x^{\,k}\,(1 - x)^{\,m}\,\dd x = \frac{k!\,m!}{(k + m + 1)!} \qquad (k, m \in \N).$
Deduce $\displaystyle\int_0^1 \bigl(x(1-x)\bigr)^n \dd x = \frac{1}{(2n+1)\binom{2n}{n}}$ , y — comparando con La cota $x(1 - x) \leq \frac14$ — la estimación $\binom{2n}{n} \geq \dfrac{4^n}{2n+1}$ , coincidente $\binom{2n}{n}^{1/n} \to 4$ de Problema 11.1.
Demuestre el lema de pequeñez usado dos veces a continuación: por cada continuo $g > 0$ en $\intoo{0}{1}$ ,

$0 < \int_0^1 \bigl(x(1-x)\bigr)^n g(x)\,\dd x \leq \frac{\sup_{\intcc{0}{1}}\abs g}{4^{\,n}} .$

Parte II — $\eu$ : irrationality, then six decimals. Establecer $A_n = \displaystyle\int_0^1 x^n \eu^x \dd x$ .

Calcule $A_0$ y $A_1$ , pruebe la recurrencia $A_n = \eu - n A_{n-1}$ y los límites $0 < A_n \leq \dfrac{\eu}{n+1}$ .
Mostrar por inducción que $A_n = \alpha_n + \beta_n \eu$ con $\alpha_n, \beta_n \in \Z$ .
Deduzca que $\eu$ es irracional (if $\eu = \frac pq$ , then $q A_n$ is an integer trapped in $\intoo{0}{1}$ for $n$ large). Comparar con la prueba de Ejercicio 11.9: mismo remate, diferente combustible.
Demostrar, por inducción y integración por partes, la exactitud fórmula del resto

$\eu = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} + R_n, \qquad R_n = \frac{1}{n!}\int_0^1 (1 - t)^n\,\eu^{\,t}\,\dd t, \qquad \frac{1}{(n+1)!} \leq R_n \leq \frac{\eu}{(n+1)!} .$
Tome $n = 9$ : cota $R_9$ usando $\eu < 2.75$ (de $b_2 = 2.75$ en Ejemplo 11.12), evaluar la suma, y concluir el paréntesis certificado $2.7182818 \leq \eu \leq 2.7182823$ — seis decimales, $\eu \approx 2.718282$ , con comprobante.

Parte III — Legendre’s theorem: $\pi^2$ is irrational. Sea $f(x) = \dfrac{x^n (1 - x)^n}{n!}$ , y supongamos $\pi^2 = \frac ab$ con $a, b \in \N^*$ .

Mostrar $f(1 - x) = f(x)$ y $0 < f \leq \dfrac{1}{4^n\,n!}$ en $\intoo{0}{1}$ .
Demuestre que $f^{(k)}(0)$ y $f^{(k)}(1)$ son números enteros para cada $k \geq 0$ (expand $x^n(1-x)^n$ with integer coefficients; $\frac{k!}{n!} \in \Z$ for $k \geq n$ ; then use the symmetry).
Definir

$G = b^{\,n} \sum_{k=0}^{n} (-1)^k\, \pi^{2n - 2k} f^{(2k)} .$

Demuestre que $G(0)$ y $G(1)$ son números enteros (each $b^n \pi^{2n-2k} = a^{\,n-k}\,b^{\,k}$ ).
Verifique el $G'' + \pi^2 G = b^n \pi^{2n+2} f = \pi^2 a^n f$ telescópico, luego

$\frac{\dd}{\dd x}\Bigl(G'(x)\sin \pi x - \pi\,G(x)\cos \pi x\Bigr) = \pi^2 a^n f(x)\sin \pi x .$
Integrar sobre $\intcc{0}{1}$ y concluir

$\pi\,a^n \int_0^1 f(x)\sin(\pi x)\,\dd x = G(0) + G(1) \in \Z ,$

un entero positivo limitado por $\dfrac{\pi a^n}{4^n\,n!}$ .
Concluya con la pregunta 1 que $\pi^2$ es irracional. (Legendre, 1794), y que esto fortalece Ejercicio 15.9: ¿por qué la irracionalidad de $\pi^2$ implican el de $\pi$ , y no a la inversa?

Parte IV — Understanding the machine.

Localice las dos fuerzas opuestas (integralidad del punto final datos; pequeñez analítica del integral) y la puente, en las Partes II y III. Luego explica por qué el factor $\frac{1}{n!}$ en $f$ es el quid: si se elimina, la integralidad sobrevive, pero la desigualdad muere, y por que reclamó las fracciones $\frac ab$ hace la prueba entonces fallar?
Efectividad: supongamos que alguien reclama $\pi^2 = \frac ab$ con $a \leq 10$ . Demuestre que la contradicción ya aterriza en $n = 7$ : calcula $\pi\,(10/4)^7/7! \approx 0.38 < 1$ . La máquina no se limita a refutar; eso refuta mediante una etapa fija y computable.
Control de cordura del puente incondicionalmente: prueba por dos integraciones por partes que

$\int_0^1 x(1 - x)\sin(\pi x)\,\dd x = \frac{4}{\pi^3},$

y conciliar con la pregunta 14 en $n = 1$ (mantener $\pi^2$ simbólico: la identidad telescópica dice $\pi^3 \int_0^1 f_1 \sin \pi x = -(f_1''(0) + f_1''(1)) = 4$ ).
¿Qué hace que $\eu^x$ y $\sin \pi x$ sean elegibles como ¿Los núcleos de la máquina? Identifique la propiedad (cada una satisface una ecuación diferencial lineal con constante coeficientes, por lo que se repiten ciclos integración por partes volver al inicio), y nombrar la frontera: lo mismo máquina, perfeccionada por Hermite y Lindemann, demuestra $\eu$ y $\pi$ trascendental — más allá de este volumen.

Part V — $\frac{22}{7}$ versus $\pi$ , and the moral.

Establecer la división polinomio

$\frac{x^4(1-x)^4}{1 + x^2} = x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 4 - \frac{4}{1 + x^2},$

y deducir la célebre identidad

$\int_0^1 \frac{x^4 (1-x)^4}{1 + x^2}\,\dd x = \frac{22}{7} - \pi .$
El integrando es positivo: concluir $\pi < \frac{22}{7}$ . Luego, delimitando $\frac{1}{1+x^2}$ entre $\frac12$ y $1$ y usando $\int_0^1 (x(1-x))^4 = \frac{1}{630}$ (pregunta 3), pruebe

$\frac{22}{7} - \frac{1}{630} \;\leq\; \pi \;\leq\; \frac{22}{7} - \frac{1}{1260} ,$

es decir $3.14126 \leq \pi \leq 3.14207$ : dos correctos decimales, a mano.
Generalizar: dividiendo $x^{4m}(1-x)^{4m}$ por $1 + x^2$ , muestre que el resto es la constante $(-4)^m$ (work modulo $x^2 + 1$ : $(1-x)^2 \equiv -2x$ ), deduzca racionales $r_m$ con

$\abs{\pi - r_m} \leq 4^{\,1 - 5m} ,$

y verifique que $m = 1$ reproduzca la pregunta 20–21.
Confronta estos racionales con la teoría de la aproximación. de Problema 14.1: calcular $\abs{\pi - \frac{22}{7}} \approx 1.26\cdot10^{-3}$ contra el Garantía Dirichlet $\frac{1}{49}$ y cotización. $\abs{\pi - \frac{355}{113}} \approx 2.7\cdot10^{-7}$ contra $\frac{1}{113^2} \approx 7.8\cdot10^{-5}$ : Existen aproximaciones racionales excepcionalmente buenas para $\pi$ — consistente, ya que no se sabe que $\pi$ sea mal aproximado.
(La trampa de los enteros, resumida) Demuestre el lema que unifica todo: if $x \in \R$ and there exist integers $a_n, b_n$ with $0 < \abs{a_n + b_n x} \to 0$ , then $x$ is irrational. Enumere sus instancias en este problema, en Ejercicio 15.9, en Ejercicio 11.9 y en Problema 14.1.
Síntesis, una frase cada una: (i) los tres de la máquina partes y dónde vive cada una en la caja de herramientas de este capítulo; (ii) qué aporta el integral que el teorema del valor medio de Problema 14.1 podría no; (iii) el inventario de resultados extraídos (dos irracionalidades, una constante de seis decimales, una horquillado de $\pi$ , un límite binomial); (iv) el frontera (Hermite, Lindemann; y la misma trampa, corre sobre $\zeta(2)$ y $\zeta(3)$ , en el siglo XX aritmética).

Solución

Solución de Problema 15.1.

1. Vamos $N = \lceil 2c \rceil$ . Para $n \geq N$ : $\frac{c^{n+1}/(n+1)!}{c^n/n!} = \frac{c}{n+1} \leq \frac12$ , entonces $0 < \frac{c^n}{n!} \leq \frac{c^N}{N!}\,2^{-(n - N)} \to 0$ : apretar.

2. Reparar $k$ ; inducción en $m$ . Para $m = 0$ : $\int_0^1 x^k = \frac{1}{k+1} = \frac{k!\,0!}{(k+1)!}$ . Paso, por partes ( $u = (1-x)^m$ , $v' = x^k$ ):

\int_0^1 x^k (1-x)^m \dd x = \Bigl[\frac{x^{k+1}}{k+1}(1-x)^m\Bigr]_0^1 + \frac{m}{k+1}\int_0^1 x^{k+1}(1-x)^{m-1}\dd x = \frac{m}{k+1}\cdot\frac{(k+1)!\,(m-1)!}{(k+m+1)!} ,

que es $\frac{k!\,m!}{(k+m+1)!}$ .

3. $k = m = n$ : $\int_0^1 (x(1-x))^n = \frac{(n!)^2}{(2n+1)!} = \frac{1}{(2n+1)\binom{2n}{n}}$ . desde $x(1-x) \leq \frac14$ en $\intcc{0}{1}$ , el integral es $\leq 4^{-n}$ , de donde $\binom{2n}{n} \geq \frac{4^n}{2n+1}$ — consistente con $\binom{2n}{n}^{1/n} \to 4$ (Problema 11.1).

4. El integrando es continuo, $\geq 0$ y positivo. en $\intoo{0}{1}$ , por lo tanto no es idénticamente cero: su integral es $> 0$ (Teorema 15.7 (4)). límite superior: $(x(1-x))^n \leq 4^{-n}$ y $g \leq \sup\abs g$ , entonces monotonía.

5. $A_0 = \eu - 1$ ; $A_1 = [x\eu^x]_0^1 - \int_0^1 \eu^x = \eu - (\eu - 1) = 1$ . Por partes: $A_n = [x^n \eu^x]_0^1 - n\int_0^1 x^{n-1}\eu^x = \eu - n A_{n-1}$ . Límites: el integrando es positivo, entonces $A_n > 0$ ; y $\eu^x \leq \eu$ da $A_n \leq \eu\int_0^1 x^n = \frac{\eu}{n+1}$ .

6. $A_0 = -1 + 1\cdot\eu$ . Si $A_{n-1} = \alpha_{n-1} + \beta_{n-1}\eu$ tiene entradas enteras, entonces

A_n = \eu - n\alpha_{n-1} - n\beta_{n-1}\eu = \underbrace{(-n\,\alpha_{n-1})}_{\alpha_n} + \underbrace{(1 - n\,\beta_{n-1})}_{\beta_n}\,\eu ,

ambos números enteros.

7. Si $\eu = \frac pq$ : $q A_n = q\alpha_n + p\beta_n \in \Z$ y $0 < qA_n \leq \frac{q\eu}{n+1} < 1$ para $n$ grande: un número entero estrictamente entre $0$ y $1$ — imposible. Entonces $\eu \notin \Q$ . En Ejercicio 11.9 el entero atrapado era $q!\,\frac pq - q!\,a_q$ ; aquí está $qA_n$ : la misma trampa, integral combustible.

8. $n = 0$ : $R_0 = \int_0^1 \eu^t = \eu - 1$ , entonces $\eu = 1 + R_0$ . Por partes ( $u = \eu^t$ , $v = -\frac{(1-t)^{n+1}}{n+1}$ ):

R_n = \frac{1}{n!}\Bigl(\Bigl[-\frac{(1-t)^{n+1}}{n+1} \eu^t\Bigr]_0^1 + \frac{1}{n+1}\int_0^1 (1-t)^{n+1}\eu^t\Bigr) = \frac{1}{(n+1)!} + R_{n+1} ,

entonces la fórmula se propaga de $n$ a $n + 1$ . Límites: $1 \leq \eu^t \leq \eu$ en $\intcc{0}{1}$ y $\int_0^1 (1-t)^n = \frac{1}{n+1}$ dan $\frac{1}{(n+1)!} \leq R_n \leq \frac{\eu}{(n+1)!}$ .

9. $\sum_{k=0}^{9} \frac{1}{k!} = \frac{986410}{362880} = 2.71828152\dots$ , y

\frac{1}{10!} = 2.76\cdot10^{-7} \leq R_9 \leq \frac{2.75}{10!} = 7.58\cdot10^{-7} ,

entonces $2.7182818 \leq \eu \leq 2.7182823$ : con prueba, $\eu = 2.718282$ con seis decimales (valor verdadero $2.7182818\dots$ ).

10. $f(1 - x) = \frac{(1-x)^n x^n}{n!} = f(x)$ . On $\intoo{0}{1}$ : $0 < x(1-x) \leq \frac14$ , so $0 < f \leq \frac{1}{4^n\,n!}$ .

11. $x^n(1-x)^n = \sum_{j=0}^{n} (-1)^j\binom nj\,x^{n+j}$ , entonces $f = \frac{1}{n!}\sum_j c_j\,x^{n+j}$ con $c_j \in \Z$ . Por lo tanto, $f^{(k)}(0) = 0$ para $k < n$ o $k > 2n$ , y para $n \leq k \leq 2n$ : $f^{(k)}(0) = \frac{k!}{n!}\, c_{k-n}$ , un número entero porque $n! \mid k!$ . La simetría da $f^{(k)}(1) = (-1)^k f^{(k)}(0) \in \Z$ .

12. $b^n \pi^{2n-2k} = b^n\bigl(\frac ab\bigr)^{\,n-k} = a^{\,n-k}\,b^{\,k} \in \Z$ , por lo que $G(0) = \sum_k (-1)^k a^{n-k} b^k f^{(2k)}(0)$ y también $G(1)$ son números enteros por la pregunta 11.

13. En $\pi^2 G + G''$ , el término $k$ de $\pi^2 G$ lleva $\pi^{2n-2k+2}f^{(2k)}$ y el término $j = k - 1$ de $G''$ lleva $(-1)^{k-1}\pi^{2n-2k+2}f^{(2k)}$ : todo cancela excepto $k = 0$ en la primera suma y $j = n$ en la segundo, es decir

G'' + \pi^2 G = b^n\bigl(\pi^{2n+2} f + (-1)^n f^{(2n+2)}\bigr) = b^n \pi^{2n+2} f = \pi^2 a^n f

( $f$ tiene grado $2n$ , por lo tanto $f^{(2n+2)} = 0$ ; y $b^n\pi^{2n} = a^n$ ). entonces

\bigl(G'\sin\pi x - \pi G\cos\pi x\bigr)' = (G'' + \pi^2 G)\sin \pi x = \pi^2 a^n f\sin\pi x .

14. Integración sobre $\intcc{0}{1}$ :

\pi^2 a^n \int_0^1 f\sin(\pi x)\,\dd x = \bigl[G'\sin\pi x - \pi G\cos\pi x\bigr]_0^1 = \pi\bigl(G(1) + G(0)\bigr) ,

entonces $\pi a^n \int_0^1 f\sin\pi x = G(0) + G(1) \in \Z$ . encendido $\intoo{0}{1}$ , $f > 0$ y $\sin\pi x > 0$ : el lado izquierdo es positivo, entonces $G(0) + G(1) \geq 1$ ; y $\sin \leq 1$ con la pregunta 10 lo limita a $\frac{\pi a^n}{4^n\,n!}$ .

15. Por pregunta 1 (con $c = \frac a4$ ), $\frac{\pi a^n}{4^n n!} \to 0$ : para $n$ grande es $< 1$ , contradiciendo $G(0) + G(1) \geq 1$ . Entonces no hay fracción $\frac ab$ es igual a $\pi^2$ : teorema de Legendre. Si $\pi$ fuera racional, $\pi^2$ también lo sería: entonces $\pi \notin \Q$ — y la implicación solo funciona de esta manera ( $\sqrt2$ es irracional con racional cuadrado), razón por la cual $\pi^2 \notin \Q$ es estrictamente más fuerte que Ejercicio 15.9.

16. Integralidad: preguntas 11–12 (criterio de valoración derivados); pequeñez: preguntas 10 y 1; puente: preguntas 13–14 (el doble telescópico integración por partes). sin $\frac{1}{n!}$ , los datos del punto final siguen siendo números enteros (aún más fácilmente), pero el límite se convierte en $\frac{\pi a^n}{4^n}$ , lo que tiende a $0$ solo cuando $a < 4$ — y cada candidato tiene $a = b\,\pi^2 > 9$ . El factorial es exactamente lo que supera al crecimiento geométrico $a^n$ : sin factorial, sin teorema.

17. Para $a \leq 10$ , el número entero $G(0) + G(1)$ es positivo y como máximo $\pi\,(10/4)^n/n!$ . En $n = 7$ : $2.5^7 = 610.35\dots$ , por lo que el límite es $\frac{\pi \times 610.35}{5040} \approx 0.38 < 1$ (en $n = 6$ todavía es $1.07$ ): la contradicción aterriza en la séptima etapa, explícitamente.

18. Dos integraciones por partes:

\int_0^1 x(1-x)\sin\pi x\,\dd x = \frac1\pi\int_0^1 (1 - 2x)\cos\pi x\,\dd x = \frac{2}{\pi^2}\int_0^1 \sin\pi x\,\dd x = \frac{2}{\pi^2}\cdot\frac{2}{\pi} = \frac{4}{\pi^3}

(los términos entre corchetes desaparecen: $x(1-x)$ en $0, 1$ y $\sin\pi x$ en $0, 1$ ). Simbólicamente, el telescopio $n = 1$ (sin suposiciones en $\pi$ ) lee $\pi^3\int_0^1 f_1\sin\pi x = -(f_1''(0) + f_1''(1))$ con $f_1 = x(1 - x)$ , $f_1'' = -2$ : lado derecho $4$ — los dos cálculos concuerdan.

19. $\eu^x$ resuelve $y' = y$ y $\sin\pi x$ resuelve $y'' = -\pi^2 y$ : ecuaciones lineales con coeficientes constantes, entonces integración por partes hace que el kernel vuelva a sí mismo y mantiene todos los datos límite dentro de $\Z + \Z\eu$ (resp. entero polinomios en $\pi^2$ ). Esa propiedad cierre es lo que necesidades de la máquina. Refinado con pepitas adaptadas a varios puntos del una vez, el mismo mecanismo produce el teorema de Hermite ( $\eu$ trascendental, 1873) y el de Lindemann ( $\pi$ trascendental, 1882) — más allá de este volumen.

20. Polinomio división (o multiplicar y verificar):

x^4(1-x)^4 = (x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 4)(1 + x^2) - 4 .

Integrando la identidad mostrada dividida por $1 + x^2$ :

\int_0^1 \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\dd x = \Bigl(\frac17 - \frac46 + 1 - \frac43 + 4\Bigr) - 4\arctan 1 = \frac{22}{7} - \pi ,

usando $\frac17 - \frac23 + 1 - \frac43 + 4 = 3 + \frac17$ y $\arctan 1 = \frac\pi4$ .

21. El integrando es continuo, positivo en $\intoo{0}{1}$ : el integral es $> 0$ , entonces $\pi < \frac{22}{7}$ . Además $\frac12 \leq \frac{1}{1+x^2} \leq 1$ en $\intcc{0}{1}$ y $\int_0^1 (x(1-x))^4 = \frac{(4!)^2}{9!} = \frac{1}{630}$ (pregunta 3):

\frac{1}{1260} \leq \frac{22}{7} - \pi \leq \frac{1}{630} \quad\Longrightarrow\quad 3.14126 < \frac{22}{7} - \frac{1}{630} \leq \pi \leq \frac{22}{7} - \frac{1}{1260} < 3.14207 .

22. Módulo $x^2 + 1$ : $x^2 \equiv -1$ , entonces $x^{4m} = (x^2)^{2m} \equiv 1$ y $(1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2 \equiv -2x$ , por lo tanto $(1-x)^{4m} \equiv (-2x)^{2m} = 4^m (x^2)^m \equiv (-4)^m$ : el resto es la constante $(-4)^m$ , y el el cociente $Q_m$ tiene coeficientes enteros (división por un mónico entero polinomio). Dividiendo la identidad por $1 + x^2$ y integrando:

J_m := \int_0^1 \frac{(x(1-x))^{4m}}{1+x^2}\dd x = s_m + (-4)^m\,\frac{\pi}{4}, \qquad s_m = \int_0^1 Q_m \in \Q .

Resolviendo para $\pi$ : con $r_m = (-1)^{m+1}\,4^{\,1-m} s_m \in \Q$ , $\;\abs{\pi - r_m} = 4^{\,1-m} J_m \leq 4^{\,1-m}\cdot4^{-4m} = 4^{\,1-5m}$ . Para $m = 1$ : $s_1 = \frac{22}{7}$ , $r_1 = \frac{22}{7}$ , cota $4^{-4} = \frac{1}{256}$ — preguntas 20–21 nuevamente.

23. $\bigl|\pi - \frac{22}{7}\bigr| = \frac{22}{7} - \pi \approx 1.26\cdot10^{-3}$ , dieciséis veces mejor que el orden- $2$ punto de referencia $\frac{1}{7^2} \approx 2.0\cdot10^{-2}$ garantizado por Dirichlet (Problema 14.1, pregunta 4); y $\bigl|\pi - \frac{355}{113}\bigr| \approx 2.7\cdot10^{-7}$ supera a $\frac{1}{113^2} \approx 7.8\cdot10^{-5}$ por un factor $\approx 300$ . No hay contradicción con nada demostrado: Liouville desigualdades límite inferior errores de aproximación solo para números algebraicos, y no hay ningún enlace para $\pi$ disponible en este nivel — $\pi$ es libre de aproximarse espectacularmente bueno.

24. Lema: supongamos $x = \frac pq$ y $0 < \abs{a_n + b_n x} \to 0$ . Luego $\abs{a_n + b_n x} = \frac{\abs{q a_n + p b_n}}{q}$ , con $q a_n + p b_n$ un entero distinto de cero (distinto de cero porque el valor absoluto es $> 0$ ): entonces $\abs{a_n + b_n x} \geq \frac1q$ para cada $n$ , contradiciendo la convergencia a $0$ . Instancias: pregunta 7 ( $x = \eu$ , $a_n = \alpha_n$ , $b_n = \beta_n$ ); Ejercicio 11.9 ( $x = \eu$ nuevamente, con $a_q = -q!\sum_{k \leq q}\frac{1}{k!}$ , $b_q = q!$ ); y Problema 14.1, pregunta 1, es su forma geométrica. En la Parte III y en Ejercicio 15.9 se ejecuta la trampa adentro la contradicción: asumir la racionalidad convierte una expresión en un número entero, que luego el análisis comprime en $\intoo{0}{1}$ — el mismo principio, transpuesto.

25. (i) La integralidad vive en el cálculo del punto final de polinomios (preguntas 6, 11–12), pequeñez en los límites $\sup$ -monotonicidad da (preguntas 4, 10), el puente en integración por partes (preguntas 8, 13–14) — las tres son teoremas de este capítulo. (ii) El integral proporciona lo que el El teorema del valor medio no pudo: una identidad exacto entre el objeto analítico y los datos aritméticos (igualdad, no sólo una desigualdad con una incógnita $c$ ), por lo que la máquina llega a $\pi^2$ mientras que Problema 14.1 alcanza solo exponentes de aproximación. (iii) Extraído: $\eu \notin \Q$ , $\pi^2 \notin \Q$ (de ahí $\pi \notin \Q$ ), $\eu = 2.718282$ certificados, $\frac{22}{7} - \frac{1}{630} \leq \pi \leq \frac{22}{7} - \frac{1}{1260}$ y $\binom{2n}{n} \geq \frac{4^n}{2n+1}$ . (iv) Frontera: Hermite y Lindemann empujan la misma máquina a la trascendencia; y Apéry (1979) ejecutaron el trampa de enteros en $\zeta(3)$ — la máquina todavía está produciendo Matemáticas del siglo XX.