Matemáticas universitarias — Grado 3 · Bachelor Year 3

8Espacios de Banach y los teoremas fundamentales

El análisis funcional estudia los espacios normados de dimensión infinita a través de los operadores y las funcionales que viven sobre ellos. Su descubrimiento fundacional es que la completitud, vía el teorema de Baire, impone una fuerte uniformidad: las familias de operadores puntualmente acotadas están acotadas en norma (Banach–Steinhaus), las biyecciones continuas tienen inversa continua (aplicación abierta) y las gráficas detectan la continuidad (gráfica cerrada). El otro pilar, Hahn–Banach, no necesita completitud alguna — solo el lema de Zorn — y garantiza que los espacios duales son lo bastante ricos como para ver todo vector. Este capítulo demuestra los cuatro teoremas y los pone a prueba sobre los espacios de sucesiones clásicos $\ell^p$ , sobre cálculos concretos de duales y sobre una aplicación genuinamente sorprendente: existen funciones continuas $2\pi$ -periódicas cuya serie de Fourier diverge en un punto — lo que resuelve en sentido negativo una cuestión que segundo año dejó abierta.

En todo el capítulo, $E, F$ son espacios normados sobre $K = \R$ o $\C$ ; espacio de Banach significa espacio normado completo.

8.1 Operadores acotados; espacios de sucesiones

Definición 8.1

$\mathcal L(E, F)$ denota el espacio de las aplicaciones lineales acotadas (= continuas, segundo año) con la norma de operador $\vertiii T = \sup_{\norm x \leq 1}\norm{Tx}$ ; es submultiplicativa: $\vertiii{ST} \leq \vertiii S\,\vertiii T$ . El dual es $E' = \mathcal L(E, K)$ .

Proposición 8.2

Si $F$ es un espacio de Banach, también lo es $\mathcal L(E, F)$ ; en particular, $E'$ siempre es un espacio de Banach.

Demostración. Sea $(T_n)$ de Cauchy para $\vertiii\cdot$ . Para cada $x$ , $\norm{T_nx - T_mx} \leq \vertiii{T_n - T_m}\norm x$ : $(T_nx)$ es de Cauchy en $F$ y converge; llamemos $Tx$ a su límite. $T$ es lineal (límites de identidades lineales); pasando al límite en $\norm{T_nx - T_mx} \leq \varepsilon\norm x$ ( $n, m \geq N$ ) se obtiene $\norm{T_nx - Tx} \leq \varepsilon\norm x$ : $T_n \to T$ en norma de operador, y $\vertiii T \leq \vertiii{T_N} + \varepsilon < \infty$ . ∎

Definición 8.3

Los espacios de sucesiones clásicos (sobre $K$ , indexados por $\N$ ):

\ell^p = \Bigl\{x = (x_n) : \norm x_p = \Bigl(\sum_n \abs{x_n}^p\Bigr)^{1/p} < \infty\Bigr\}\quad (1 \leq p < \infty),

\ell^\infty = \{x : \norm x_\infty = \sup\abs{x_n} < \infty\},

y $c_0 = \{x : x_n \to 0\}$ con $\norm\cdot_\infty$ . Que $\norm\cdot_p$ sea una norma se sigue de la desigualdad de Minkowski, demostrada en el caso discreto exactamente igual que en el Capítulo 12 (o sumando la desigualdad de dimensión finita de segundo año). Todos son espacios de Banach, y $c_0$ es un subespacio cerrado de $\ell^\infty$ (Ejercicio 8.3).

Bolas unidad de las normas p en el plano, encajadas conforme p crece desde 1 (rombo), pasando por 2 (disco) y 4 (superelipse), hasta ∈fty (cuadrado). La convexidad de cada bola es la desigualdad de Minkowski; y las esquinas en p = 1 y p = ∈fty son el lugar donde la convexidad estricta, la unicidad de la mejor aproximación y los casos de igualdad del degeneran todos a la vez. — Bolas unidad de las normas $p$ en el plano, encajadas conforme $p$ crece desde $1$ (rombo), pasando por $2$ (disco) y $4$ (superelipse), hasta $\infty$ (cuadrado). La convexidad de cada bola es la desigualdad de Minkowski; y las esquinas en $p = 1$ y $p = \infty$ son el lugar donde la convexidad estricta, la unicidad de la mejor aproximación y los casos de igualdad del Ejercicio 12.12 degeneran todos a la vez.

Proposición 8.4 (Serie de Neumann)

Sea $E$ de Banach y sea $T \in \mathcal L(E) = \mathcal L(E,E)$ con $\vertiii T < 1$ . Entonces $I - T$ es invertible en $\mathcal L(E)$ , con $(I - T)^{-1} = \sum_{n\geq0}T^n$ (convergente en norma de operador). En consecuencia, el conjunto de los operadores invertibles es abierto y la inversión es continua en él.

Demostración. La serie converge absolutamente ( $\vertiii{T^n} \leq \vertiii T^n$ , geométrica) en el espacio de Banach $\mathcal L(E)$ (Proposición 8.2; el Ejercicio 7.1(b)). Telescopando, $(I - T)\sum_{n \leq N}T^n = I - T^{N+1} \to I$ , y análogamente por el otro lado. Para el carácter abierto: si $S$ es invertible y $\vertiii{H} < 1/\vertiii{S^{-1}}$ , entonces $S + H = S(I + S^{-1}H)$ con $\vertiii{S^{-1}H} < 1$ : es invertible. Continuidad de la inversión: la expresión en serie da $\vertiii{(S+H)^{-1} - S^{-1}} = O(\vertiii H)$ localmente. ∎

Ejemplo 8.5 (Una ecuación de Volterra, resuelta por Neumann)

Sobre $E = \mathcal C(\intcc01)$ , considérese la ecuación integral

u(x) = 1 + \lambda\int_0^xu(t)\,\dd t, \qquad\text{es decir}\qquad u = \mathbf 1 + \lambda Tu, \quad (Tu)(x) = \int_0^xu .

Aquí $\vertiii T \leq 1$ , de modo que para $\abs\lambda < 1$ la serie de Neumann se aplica directamente: $u = (I - \lambda T)^{-1}\mathbf 1 = \sum_n\lambda^nT^n\mathbf 1$ . Calculando, $T^n\mathbf 1 = \frac{x^n}{n!}$ , luego

u(x) = \sum_{n\geq0}\frac{(\lambda x)^n}{n!} = \eu^{\lambda x} ,

como confirma la derivación. Mejor aún: $\vertiii{T^n} \leq \frac1{n!}$ (el núcleo iterado decrece factorialmente), de modo que $\sum\lambda^nT^n$ converge para todo $\lambda$ — el operador $I - \lambda T$ es invertible para todos los $\lambda \in \C$ , aunque $\vertiii{\lambda T} \geq 1$ acabe siendo grande: lo que importa es el decrecimiento espectral de las potencias, no la primera norma. Los operadores de Volterra llevan incorporado ese decrecimiento factorial (el Ejercicio 7.4(a) explotaba exactamente esto), y por eso los problemas de valores iniciales nunca padecen los fenómenos de resonancia de los problemas de contorno (Capítulo 15).

8.2 Hahn–Banach

Teorema 8.6 (Hahn–Banach, forma analítica)

Sean $E$ un espacio vectorial real, $p \colon E \to \R$ sublineal ( $p(x + y) \leq p(x) + p(y)$ y $p(tx) = tp(x)$ para $t \geq 0$ ), $F \subseteq E$ un subespacio y $f \colon F \to \R$ lineal con $f \leq p$ sobre $F$ . Entonces $f$ se extiende a una aplicación lineal $\tilde f \colon E \to \R$ con $\tilde f \leq p$ sobre $E$ .

Demostración. Extensión en un paso. Sea $x_0 \notin F$ ; extendemos $f$ a $F \oplus \R x_0$ eligiendo $\alpha = \tilde f(x_0)$ adecuadamente: necesitamos que, para todos $y \in F$ , $t > 0$ ,

f(y) + t\alpha \leq p(y + tx_0) \quad\text{y}\quad f(y) - t\alpha \leq p(y - tx_0),

lo que, tras dividir por $t$ (sublinealidad), se reduce a

\sup_{v \in F}\ \bigl[f(v) - p(v - x_0)\bigr] \;\leq\; \alpha \;\leq\; \inf_{u \in F}\ \bigl[p(u + x_0) - f(u)\bigr].

Un tal $\alpha$ existe si y solo si todo miembro izquierdo es $\leq$ que todo miembro derecho: en efecto, $f(v) + f(u) = f(u + v) \leq p(u + v) \leq p(u + x_0) + p(v - x_0)$ , es decir, $f(v) - p(v - x_0) \leq p(u + x_0) - f(u)$ .

Zorn. Ordénense por extensión las extensiones de $f$ dominadas por $p$ (pares: subespacio y funcional); una cadena tiene la unión por cota superior; y un elemento maximal ha de estar definido en todo $E$ , pues en caso contrario la extensión en un paso contradiría la maximalidad. ∎

Corolario 8.7

Sea $E$ un espacio normado ( $K = \R$ o $\C$ ).

Toda $f \in F'$ (con $F$ un subespacio) se extiende a $\tilde f \in E'$ con $\norm{\tilde f}_{E'} = \norm f_{F'}$ .
Para todo $x \neq 0$ existe $f \in E'$ con $\norm f = 1$ y $f(x) = \norm x$ . En particular, $E'$ separa los puntos de $E$ , y $\norm x = \sup_{\norm f \leq 1}\abs{f(x)}$ .
Para un subespacio cerrado $F$ y $x \notin F$ , existe $f \in E'$ que se anula en $F$ con $f(x) = d(x, F)$ y $\norm f \leq 1$ .

Demostración. (1) Caso real: aplíquese el Teorema 8.6 con $p(x) = \norm f_{F'}\,\norm x$ (sublineal); la extensión cumple $\pm\tilde f(x) = \tilde f(\pm x) \leq p(x)$ , luego $\norm{\tilde f} \leq \norm f$ , y $\geq$ es la restricción. Caso complejo: sea $u = \operatorname{Re}f$ , una funcional real con $\abs u \leq \norm f\norm\cdot$ ; obsérvese que $f(x) = u(x) - \iu\,u(\iu x)$ (compruébese sobre las partes real e imaginaria: $\operatorname{Im}f(x) = -\operatorname{Re}f(\iu x)$ ). Extiéndase $u$ de manera real-lineal con la misma cota y póngase $\tilde f(x) = \tilde u(x) - \iu\tilde u(\iu x)$ : es $\C$ -lineal (comprobación directa sobre la multiplicación por $\iu$ ) y extiende $f$ ; norma: para $x$ dado, escríbase $\tilde f(x) = r\eu^{\iu\theta}$ , y entonces $\abs{\tilde f(x)} = \tilde f(\eu^{-\iu\theta}x) = \tilde u(\eu^{-\iu\theta}x) \leq \norm f\,\norm x$ .

(2) Sobre $F = Kx$ defínase $f(tx) = t\norm x$ : tiene norma $1$ sobre $F$ ; extiéndase por (1). La fórmula de dualidad: $\leq$ es claro, y $\geq$ por esta $f$ .

(3) Sobre $F \oplus Kx$ defínase $f(y + tx) = t\,d(x, F)$ ; entonces, para $t \neq 0$ , $\norm{y + tx} = \abs t\,\norm{x + y/t} \geq \abs t\,d(x, F) = \abs{f(y + tx)}$ : $\norm f \leq 1$ sobre el subespacio; extiéndase por (1). ∎

Observación 8.8

Por (2), la aplicación canónica $J \colon E \to E''$ , $J(x)(f) = f(x)$ , es una isometría (el Ejercicio 8.10): todo espacio normado se aloja dentro de su bidual. Los espacios con $J$ sobreyectiva se llaman reflexivos; el problema de fin de semana muestra que $\ell^p$ ( $1 < p < \infty$ ) es reflexivo mientras que $\ell^1$ no lo es.

8.3 La trilogía de Baire

Teorema 8.9 (Banach–Steinhaus, acotación uniforme)

Sean $E$ un espacio de Banach, $F$ normado y $(T_i)_{i\in I} \subseteq \mathcal L(E, F)$ una familia con $\sup_i \norm{T_ix} < \infty$ para todo $x \in E$ . Entonces $\sup_i \vertiii{T_i} < \infty$ .

Demostración. Los conjuntos $F_n = \{x : \sup_i\norm{T_ix} \leq n\}$ son cerrados (intersecciones de preimágenes de bolas cerradas) y recubren $E$ . Baire (el Teorema 7.6) da $n_0$ y una bola $B(x_0, r) \subseteq F_{n_0}$ . Para $\norm z < r$ : $\norm{T_iz} \leq \norm{T_i(x_0 + z)} + \norm{T_ix_0} \leq 2n_0$ , luego $\vertiii{T_i} \leq 2n_0/r$ para todo $i$ . ∎

Corolario 8.10

Si $E$ es de Banach y las $T_n \in \mathcal L(E,F)$ convergen puntualmente ( $T_nx \to Tx$ para cada $x$ ), entonces $\sup_n \vertiii{T_n} < \infty$ , $T \in \mathcal L(E, F)$ , y $\vertiii T \leq \liminf \vertiii{T_n}$ .

Demostración. Las sucesiones convergentes están acotadas: acotación puntual; Banach–Steinhaus acota las normas por cierto $M$ ; entonces $\norm{Tx} = \lim\norm{T_nx} \leq M\norm x$ ( $T$ es lineal por ser límite puntual), y la cota más fina se obtiene haciendo $\liminf$ en $\norm{T_nx} \leq \vertiii{T_n}\norm x$ . ∎

Teorema 8.11 (Series de Fourier divergentes)

Existen funciones continuas $2\pi$ -periódicas $f$ cuya serie de Fourier diverge en $0$ : $\sup_N\abs{S_N(f)(0)} = \infty$ . De hecho, tales $f$ forman un subconjunto denso de $\mathcal C(S^1)$ .

Demostración. Trabajemos en $E = (\mathcal C(S^1), \norm\cdot_\infty)$ , un espacio de Banach, con las funcionales $\Lambda_N(f) = S_N(f)(0) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,D_N(t)\,\dd t$ (núcleo de Dirichlet, segundo año). Cada $\Lambda_N$ es continua con

\norm{\Lambda_N} = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\abs{D_N(t)}\,\dd t \;=\; L_N .

( $\leq$ es claro; $\geq$ : tómese $f$ continua, $\norm f_\infty \leq 1$ , que aproxime $\operatorname{sign}D_N$ — el signo tiene un número finito de saltos; suavizando cada salto en un intervalo de longitud $\varepsilon$ , la integral varía en $O(N\varepsilon)$ .) Las constantes de Lebesgue $L_N$ tienden a infinito:

L_N = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\abs{\sin\bigl((N{+}\tfrac12)t\bigr)}}{\abs{\sin(t/2)}} \,\dd t \geq \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} \frac{\abs{\sin\bigl((N{+}\tfrac12)t\bigr)}}{t}\,\dd t = \frac{2}{\pi}\int_0^{(N+\frac12)\pi}\frac{\abs{\sin u}}{u}\,\dd u

(usando $\abs{\sin(t/2)} \leq t/2$ en $[0, \pi]$ y sustituyendo después $u = (N + \tfrac12)t$ ). Cortando en arcos:

\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{\abs{\sin u}}u\,\dd u \geq \frac1{k\pi}\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}\abs{\sin u}\,\dd u = \frac{2}{k\pi}, \qquad\text{luego}\qquad L_N \geq \frac{4}{\pi^2}\sum_{k=1}^N\frac1k \xrightarrow[N\to\infty]{} \infty .

Si toda $f$ continua cumpliera $\sup_N \abs{\Lambda_N(f)} < \infty$ , Banach–Steinhaus obligaría a $\sup_N\norm{\Lambda_N} < \infty$ : contradicción. Luego alguna $f$ — de hecho, un conjunto denso y no magro de $f$ (el complementario de $\bigcup_M\{f: \sup_N\abs{\Lambda_Nf}\leq M\}$ , unión numerable de cerrados que, al no tener interior por lo anterior aplicado en cualquier bola, es magro) — cumple $\sup_N\abs{S_Nf(0)} = \infty$ . ∎

Teorema 8.12 (Aplicación abierta)

Sean $E, F$ espacios de Banach y sea $T \in \mathcal L(E, F)$ sobreyectivo. Entonces $T$ es abierto: $T(B_E(0,1)) \supseteq B_F(0, c)$ para cierto $c > 0$ . En consecuencia, un operador acotado biyectivo entre espacios de Banach tiene inversa acotada.

Demostración. Escribamos $B = B_E(0,1)$ . La sobreyectividad da $F = \bigcup_n \overline{T(nB)} = \bigcup_n n\,\overline{T(B)}$ ; Baire (el Teorema 7.6) da interior a $\overline{T(B)}$ : cierto $B_F(y_0, 4c) \subseteq \overline{T(B)}$ . Recentrando en $0$ : para $\norm y < 4c$ , tanto $y_0 + y$ como $y_0$ son límites de imágenes $Tu_k$ , $Tv_k$ con $u_k, v_k \in B$ , luego $y = \lim T(u_k - v_k)$ con $u_k - v_k \in 2B$ : $B_F(0, 4c) \subseteq \overline{T(2B)}$ , es decir, $B_F(0, 2c) \subseteq \overline{T(B)}$ .

Eliminar la clausura (aquí interviene la completitud de $E$ ): sea $\norm y < c$ . Tómese $x_1 \in \frac12 B$ con $\norm{y - Tx_1} < c/2$ ( $B_F(0,2c) \subseteq \overline{T(B)}$ reescalado por $\frac12$ ); inductivamente, $x_k \in 2^{-k}B$ con $\norm{y - T(x_1 + \dots + x_k)} < c\,2^{-k}$ . La serie $\sum x_k$ converge absolutamente en el espacio de Banach $E$ , hacia cierto $x \in B$ (de norma $< \sum 2^{-k} = 1$ ), y $Tx = y$ por continuidad: $B_F(0, c) \subseteq T(B)$ . El carácter abierto de $T$ sobre abiertos arbitrarios se sigue por traslación y homotecia; y para el corolario, que $T$ sea abierta significa que $T^{-1}$ es continua. ∎

Corolario 8.13 (Normas equivalentes)

Si un espacio vectorial es completo para dos normas comparables ( $\norm\cdot_a \leq C\norm\cdot_b$ ), las normas son equivalentes.

Demostración. La identidad $(E, \norm\cdot_b) \to (E, \norm\cdot_a)$ es acotada y biyectiva entre espacios de Banach: su inversa es acotada. ∎

Teorema 8.14 (Gráfica cerrada)

Sean $E, F$ de Banach y $T \colon E \to F$ lineal. Si la gráfica $\Gamma = \{(x, Tx)\}$ es cerrada en $E \times F$ (es decir, si $x_n \to x$ y $Tx_n \to y$ implican $y = Tx$ ), entonces $T$ es acotado.

Demostración. $E \times F$ con $\norm{(x,y)} = \norm x + \norm y$ es de Banach; $\Gamma$ , subespacio cerrado, es de Banach. La proyección $\pi_E\colon \Gamma \to E$ es acotada y biyectiva, de modo que su inversa $x \mapsto (x, Tx)$ es acotada (Teorema 8.12): $\norm{Tx} \leq \norm{(x, Tx)} \leq C\norm x$ . ∎

Método 8.15

Cuándo echar mano de cada teorema. Hahn–Banach: para producir una funcional con un comportamiento prescrito (que norme un vector, que se anule en un subespacio, que extienda desde un subespacio) — no hace falta completitud. Banach–Steinhaus: para convertir información puntual en cotas uniformes — típicamente, para ver que una operación de paso al límite es continua, o bien (por contrarrecíproco) para demostrar la divergencia de algún elemento, como con las series de Fourier. Aplicación abierta / gráfica cerrada: para obtener gratis la continuidad a partir de la biyectividad algebraica o de una propiedad de clausura de la gráfica — uso típico: comparar dos normas completas, o demostrar la continuidad automática. Los tres teoremas de Baire exigen la completitud del espacio de partida; en caso contrario hay contraejemplos (Ejercicio 8.7).

8.4 Espacios duales, en concreto

Teorema 8.16

Isométricamente: $(c_0)' \cong \ell^1$ y $(\ell^1)' \cong \ell^\infty$ , mediante el emparejamiento $\langle x, y\rangle = \sum_n x_ny_n$ .

Demostración. Demostramos $(c_0)' \cong \ell^1$ ; la segunda identificación es el Ejercicio 8.5. A $y \in \ell^1$ asóciesele $\Lambda_y(x) = \sum x_ny_n$ ( $x \in c_0$ ): la serie converge absolutamente, con $\abs{\Lambda_y(x)} \leq \norm x_\infty\norm y_1$ , luego $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_1$ . Recíprocamente, sea $\Lambda \in (c_0)'$ ; póngase $y_n = \Lambda(e_n)$ ( $e_n$ son las sucesiones unidad). Para $N$ cualquiera, evalúese en $x^{(N)} = \sum_{n \leq N} \operatorname{sign}(\overline{y_n})\,e_n \in c_0$ (de norma $\leq 1$ ; en el caso complejo úsense factores unimodulares $\bar y_n/\abs {y_n}$ ): $\Lambda(x^{(N)}) = \sum_{n\leq N}\abs{y_n} \leq \norm\Lambda$ . Luego $y \in \ell^1$ con $\norm y_1 \leq \norm\Lambda$ . Por último, $\Lambda = \Lambda_y$ : ambas coinciden sobre los $e_n$ y, por tanto, sobre las sucesiones finitas, que son densas en $c_0$ (truncamiento: $\norm{x - \sum_{n \leq N}x_ne_n}_\infty = \sup_{n > N}\abs{x_n} \to 0$ precisamente porque $x_n \to 0$ ); y dos funcionales continuas que coinciden sobre un conjunto denso son iguales. La correspondencia es lineal, biyectiva e isométrica ( $\norm{\Lambda_y} = \norm y_1$ a partir de las dos desigualdades). ∎

8.5 Ejercicios

Ejercicio 8.1 ★

Calcular las normas de operador: (a) de los desplazamientos $S(x_1, x_2, \dots) = (0, x_1, x_2, \dots)$ y $S^*(x_1, x_2, \dots) = (x_2, x_3, \dots)$ sobre $\ell^2$ ; (b) del operador de multiplicación $M_a x = (a_nx_n)$ sobre $\ell^2$ , para $a \in \ell^\infty$ ; (c) de la funcional $\Lambda(f) = \int_0^{1/2}f - \int_{1/2}^1f$ sobre $\mathcal C(\intcc01)$ — demuéstrese que $\norm\Lambda = 1$ y que la norma no se alcanza.

Solución

Solución de Ejercicio 8.1.

(a) $\norm{Sx}_2 = \norm x_2$ : $S$ es una isometría, $\vertiii S = 1$ . Para el desplazamiento hacia atrás: $\norm{S^*x}_2^2 = \sum_{n \geq 2}\abs{x_n}^2 \leq \norm x_2^2$ , con igualdad para $x = e_2$ : $\vertiii{S^*} = 1$ .

(b) $\norm{M_ax}_2^2 = \sum\abs{a_n}^2\abs{x_n}^2 \leq \norm a_\infty^2\norm x_2^2$ ; evaluando en $x = e_n$ se obtiene $\vertiii{M_a} \geq \abs{a_n}$ para todo $n$ : $\vertiii{M_a} = \norm a_\infty$ .

(c) $\abs{\Lambda(f)} \leq \int_0^1\abs f \leq \norm f_\infty$ : $\norm\Lambda \leq 1$ . Para $\varepsilon > 0$ , sea $f_\varepsilon$ igual a $1$ en $[0, \frac12 - \varepsilon]$ y a $-1$ en $[\frac12 + \varepsilon, 1]$ , afín entre medias: $\norm{f_\varepsilon}_\infty = 1$ y $\Lambda(f_\varepsilon) \geq 1 - 2\varepsilon$ : $\norm\Lambda = 1$ . No se alcanza: $\Lambda(f) = 1$ con $\norm f_\infty \leq 1$ obliga a $\int_0^{1/2}f = \frac12$ y $\int_{1/2}^1 f = -\frac12$ , es decir (continuidad, $\abs f \leq 1$ ), a $f \equiv 1$ en $[0, \frac12]$ y $f \equiv -1$ en $[\frac12, 1]$ : contradicción en $\frac12$ .

Ejercicio 8.2 ★

Sean $E$ de Banach, $T \in \mathcal L(E)$ invertible y $S$ con $\vertiii{S - T} < 1/\vertiii{T^{-1}}$ . Demostrar que $S$ es invertible y estimar $\vertiii{S^{-1} - T^{-1}}$ . Aplicación: si un sistema lineal $Tx = b$ es resoluble con $T$ invertible, una perturbación suficientemente pequeña de $T$ lo mantiene unívocamente resoluble, con una cota cuantitativa del cambio de la solución.

Solución

Solución de Ejercicio 8.2.

Escríbase $S = T\bigl(I - T^{-1}(T - S)\bigr)$ con $\vertiii{T^{-1}(T-S)} \leq \vertiii{T^{-1}}\,\vertiii{T - S} = \theta < 1$ : por la Proposición 8.4, $S$ es invertible con $S^{-1} = \sum_{n\geq0}\bigl(T^{-1}(T - S)\bigr)^nT^{-1}$ , de donde

\vertiii{S^{-1} - T^{-1}} \leq \sum_{n\geq1}\theta^n\,\vertiii{T^{-1}} = \frac{\vertiii{T^{-1}}^2\,\vertiii{T - S}}{1 - \theta}.

Para el sistema lineal: $x_T = T^{-1}b$ y $x_S = S^{-1}b$ difieren a lo sumo en esa cota por $\norm b$ — las perturbaciones pequeñas de un sistema invertible siguen siendo unívocamente resolubles, con dependencia lipschitziana de la solución respecto del operador.

Ejercicio 8.3 ★★

(a) Demostrar que $\ell^1$ , $\ell^\infty$ y $c_0$ son espacios de Banach, y que $c_0$ es la clausura en $\ell^\infty$ del espacio de las sucesiones finitas. (b) Demostrar que $\ell^p \subseteq \ell^q$ con $\norm\cdot_q \leq \norm\cdot_p$ para $1 \leq p \leq q \leq \infty$ , y que la inclusión es estricta.

Solución

Solución de Ejercicio 8.3.

(a) $\ell^1$ : sea $(x^{(k)})$ de Cauchy. Cada coordenada es de Cauchy ( $\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n} \leq \norm{x^{(k)} - x^{(l)}}_1$ ): sea $x_n = \lim_kx^{(k)}_n$ . Dado $\varepsilon$ , para $k, l \geq K$ : $\sum_{n \leq N}\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n} \leq \varepsilon$ para todo $N$ ; hágase $l \to \infty$ y después $N \to \infty$ : $\norm{x^{(k)} - x}_1 \leq \varepsilon$ , y $x = x^{(k)} - (x^{(k)} - x) \in \ell^1$ . $\ell^\infty$ : ser de Cauchy para $\norm\cdot_\infty$ es ser uniformemente de Cauchy: converge uniformemente a una sucesión acotada. $c_0$ es cerrado en $\ell^\infty$ : si $x^{(k)} \to x$ uniformemente con $x^{(k)}_n \to_n 0$ , entonces $\abs{x_n} \leq \norm{x - x^{(k)}}_\infty + \abs{x^{(k)}_n}$ da $\limsup_n\abs{x_n} \leq \varepsilon$ : $x \in c_0$ ; y un subespacio cerrado de un espacio de Banach es de Banach. Sucesiones finitas: su clausura contiene todo $x \in c_0$ (los truncamientos convergen: $\sup_{n>N}\abs{x_n} \to 0$ ) y está contenida en el cerrado $c_0$ .

(b) Por homogeneidad, supóngase $\norm x_p = 1$ : entonces $\abs{x_n} \leq 1$ para todo $n$ , luego $\abs{x_n}^q \leq \abs{x_n}^p$ y $\norm x_q \leq 1 = \norm x_p$ ; para $q = \infty$ , $\abs{x_n} \leq \norm x_p$ directamente. Que la inclusión es estricta: $x_n = n^{-\alpha}$ con $\frac1q < \alpha \leq \frac1p$ está en $\ell^q \setminus \ell^p$ (serie de Riemann).

Ejercicio 8.4 ★★

Sean $F \subseteq E$ un subespacio cerrado y $x \notin F$ . Usando el Corolario 8.7, demostrar la fórmula de dualidad

d(x, F) = \max\bigl\{\abs{f(x)} : f \in E',\ \norm f \leq 1,\ f\restriction_F = 0\bigr\}

(obsérvese: un máximo). Deducir que $F = \bigcap\{\ker f : f \in E',\ f\restriction_F = 0\}$ : los subespacios cerrados son exactamente las intersecciones de núcleos de funcionales.

Solución

Solución de Ejercicio 8.4.

( $\leq$ ) Si $\norm f \leq 1$ y $f\restriction_F = 0$ : para todo $y \in F$ , $\abs{f(x)} = \abs{f(x - y)} \leq \norm{x - y}$ ; tómese el ínfimo. ( $\geq$ , y se alcanza) El Corolario 8.7(3) produce $f$ con $f\restriction_F = 0$ , $\norm f \leq 1$ , $f(x) = d(x, F)$ : el supremo es un máximo. Consecuencia: $F \subseteq \bigcap\{\ker f : f\restriction_F = 0\}$ trivialmente, y un punto $x \notin F$ queda excluido de la intersección por la funcional anterior ( $f(x) = d(x,F) > 0$ , por ser $F$ cerrado).

Ejercicio 8.5 ★★

Demostrar que $(\ell^1)' \cong \ell^\infty$ isométricamente, siguiendo el esquema del Teorema 8.16 (las sucesiones finitas son densas en $\ell^1$ ). ¿Dónde se rompe el argumento para $(\ell^\infty)'$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 8.5.

Para $y \in \ell^\infty$ : $\abs{\Lambda_y(x)} = \abs{\sum x_ny_n} \leq \norm y_\infty\norm x_1$ , luego $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_\infty$ ; evaluando en $e_n$ : $\abs{y_n} = \abs{\Lambda_y(e_n)} \leq \norm{\Lambda_y}$ : igualdad. Recíprocamente, dada $\Lambda \in (\ell^1)'$ , póngase $y_n = \Lambda(e_n)$ : $\abs{y_n} \leq \norm\Lambda$ , luego $y \in \ell^\infty$ ; y $\Lambda$ y $\Lambda_y$ coinciden sobre las sucesiones finitas, que son densas en $\ell^1$ ( $\norm{x - \sum_{n\leq N}x_ne_n}_1 = \sum_{n>N}\abs{x_n} \to 0$ ): $\Lambda = \Lambda_y$ . La aplicación $y \mapsto \Lambda_y$ es lineal, isométrica y sobreyectiva. Para $(\ell^\infty)'$ , el mismo comienzo produce una sucesión $y_n = \Lambda(e_n)$ , pero las sucesiones finitas no son densas en $\ell^\infty$ (la sucesión constante $\mathbf 1$ dista $1$ de todas ellas), de modo que $\Lambda$ no queda determinada por los $y_n$ — y, en efecto, $(\ell^\infty)' \neq \ell^1$ (Problema 8.1).

Ejercicio 8.6 ★★

Sea $E, F, G$ normado con $E$ de Banach, y sea $B \colon E \times F \to G$ bilineal y continua en cada variable por separado. Demostrar que $B$ es (conjuntamente) continua: $\norm{B(x,y)} \leq C\norm x\norm y$ . (Aplíquese Banach–Steinhaus a la familia $(B(\cdot, y))_{\norm y \leq 1}$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 8.6.

Para cada $x$ fijo, $y \mapsto B(x, y)$ es lineal continua: $\sup_{\norm y \leq 1}\norm{B(x,y)} < \infty$ . Así que la familia $\{B(\cdot, y) : \norm y \leq 1\} \subseteq \mathcal L(E, G)$ (cada miembro continuo, por continuidad en $x$ ) está puntualmente acotada sobre el espacio de Banach $E$ : Banach–Steinhaus (el Teorema 8.9) da $C$ con $\norm{B(x,y)} \leq C\norm x$ para todos $\norm y \leq 1$ ; y la homogeneidad en $y$ remata: $\norm{B(x,y)} \leq C\norm x\norm y$ .

Ejercicio 8.7 ★★

(a) Sobre $E = \mathcal C(\intcc01)$ , compárense $\norm\cdot_\infty$ y $\norm\cdot_1$ : la identidad $(E, \norm\cdot_\infty) \to (E, \norm\cdot_1)$ es acotada y biyectiva, pero su inversa no está acotada. ¿Qué hipótesis del Corolario 8.13 falla? (b) Exhibir una aplicación lineal discontinua de un subespacio denso de $\ell^2$ en $K$ (por ejemplo, sobre las sucesiones finitas) y explicar por qué esto no contradice el teorema de la gráfica cerrada.

Solución

Solución de Ejercicio 8.7.

(a) $\norm f_1 \leq \norm f_\infty$ : la identidad es acotada y biyectiva. Su inversa no está acotada: $f_n(x) = x^n$ cumple $\norm{f_n}_1 = \frac1{n+1} \to 0$ pero $\norm{f_n}_\infty = 1$ . No hay contradicción con el Corolario 8.13: $(\mathcal C(\intcc01), \norm\cdot_1)$ no es completo (el Ejercicio 7.1); el corolario exige completitud en ambos lados.

(b) Sobre el espacio $E_0$ de las sucesiones finitas (denso en $\ell^2$ ), $\varphi(x) = \sum_n n\,x_n$ es lineal y no acotada ( $\varphi(e_n) = n$ con $\norm{e_n}_2 = 1$ ). El teorema de la gráfica cerrada no se aplica: $E_0$ no es completo — y $\varphi$ no tiene extensión continua a $\ell^2$ , lo que ilustra que la densidad sin continuidad uniforme es impotente (Teorema 7.2).

Ejercicio 8.8 ★★★

(Hellinger–Toeplitz) Sea $T \colon \ell^2 \to \ell^2$ lineal (definido en todo el espacio) y simétrico: $\langle Tx, y\rangle = \langle x, Ty\rangle$ para todos $x, y$ , donde $\langle x, y \rangle = \sum x_n\bar y_n$ . Demostrar que $T$ es acotado. (Gráfica cerrada: si $x_k \to x$ y $Tx_k \to z$ , evalúese contra $y$ arbitrario.) Moraleja: los operadores simétricos no acotados — los hamiltonianos de la mecánica cuántica — nunca pueden definirse en todo el espacio.

Solución

Solución de Ejercicio 8.8.

Verifiquemos la hipótesis de la gráfica cerrada. Sean $x_k \to x$ y $Tx_k \to z$ en $\ell^2$ . Para todo $y$ :

\langle z, y\rangle = \lim_k\langle Tx_k, y\rangle = \lim_k \langle x_k, Ty\rangle = \langle x, Ty\rangle = \langle Tx, y\rangle,

usando la continuidad del producto escalar en cada argumento (Cauchy–Schwarz) y la simetría dos veces. Así pues, $z - Tx$ es ortogonal a todo $y$ , en particular a sí mismo: $z = Tx$ . La gráfica es cerrada y $\ell^2$ es de Banach: $T$ está acotado (el Teorema 8.14). Por tanto, un operador simétrico definido en todo $\ell^2$ está automáticamente acotado; los operadores simétricos genuinamente no acotados (posición, momento, hamiltonianos) han de vivir sobre subespacios densos propios.

Ejercicio 8.9 ★★★

(Teorema de Pólya sobre cuadraturas) Para cada $n$ , sea $\Lambda_n(f) = \sum_{i=0}^{n} w_{i,n}f(x_{i,n})$ una fórmula de cuadratura sobre $\mathcal C(\intcc01)$ ( $x_{i,n} \in \intcc01$ , $w_{i,n} \in \R$ ). Demostrar que $\Lambda_n(f) \to \int_0^1f$ para toda $f$ continua si y solo si: (i) $\Lambda_n(P) \to \int_0^1P$ para todo polinomio $P$ y (ii) $\sup_n\sum_i\abs{w_{i,n}} < \infty$ . (Calcúlese $\norm{\Lambda_n}$ ; úsense Banach–Steinhaus y Weierstrass.) Compruébese que las fórmulas con pesos positivos exactas sobre las constantes cumplen (ii) automáticamente.

Solución

Solución de Ejercicio 8.9.

Primero, $\norm{\Lambda_n} = \sum_i\abs{w_{i,n}}$ : $\leq$ es la desigualdad triangular; $\geq$ se obtiene evaluando en una $f$ lineal a trozos con $\norm f_\infty \leq 1$ y $f(x_{i,n}) = \operatorname{sign}(w_{i,n})$ (interpólese linealmente entre los finitos nodos; donde los nodos coinciden, los signos concuerdan).

( $\Rightarrow$ ) La convergencia puntual en todo $f$ implica (i) y la acotación puntual, de modo que Banach–Steinhaus (el Teorema 8.9) sobre el espacio de Banach $\mathcal C(\intcc01)$ da (ii).

( $\Leftarrow$ ) Sea $M = \sup_n\norm{\Lambda_n} + 1$ . Dados $f$ y $\varepsilon$ , elíjase un polinomio $P$ con $\norm{f - P}_\infty < \varepsilon/(2M)$ (el Corolario 7.16); entonces

\Bigl|\Lambda_n f - \int_0^1 f\Bigr| \leq \abs{\Lambda_n(f - P)} + \Bigl|\Lambda_nP - \int_0^1P\Bigr| + \Bigl|\int_0^1(P - f)\Bigr| \leq \varepsilon + \Bigl|\Lambda_nP - \int_0^1P\Bigr| \to \varepsilon .

Pesos positivos y exactitud sobre las constantes: $\sum_i\abs{w_{i,n}} = \sum_iw_{i,n} = \Lambda_n(\mathbf 1) = \int_0^1 1 = 1$ para las fórmulas exactas sobre las constantes — (ii) se cumple con constante $1$ .

Ejercicio 8.10 ★★

Demostrar que $J \colon E \to E''$ , $J(x)(f) = f(x)$ , es una isometría lineal (úsese el Corolario 8.7(2)) y que es sobreyectiva cuando $\dim E < \infty$ . Demostrar también que si $E'$ es separable, también lo es $E$ . (Tómense $x_n$ que casi normen una sucesión densa de $E'$ y demuéstrese que su envoltura lineal cerrada es $E$ , mediante Corolario 8.7(3).)

Solución

Solución de Ejercicio 8.10.

La linealidad de $J$ es formal; $\norm{J(x)} = \sup_{\norm f \leq 1}\abs{f(x)} = \norm x$ por el Corolario 8.7(2). Si $\dim E = n$ : $\dim E' = n$ (una base da funcionales coordenadas), luego $\dim E'' = n$ , y la aplicación inyectiva (isométrica) $J$ es sobreyectiva. Separabilidad: sea $(f_n)$ denso en $E'$ y elíjanse $\norm{x_n} = 1$ con $\abs{f_n(x_n)} \geq \frac12\norm{f_n}$ . Sea $F = \overline{\operatorname{Vect}}(x_n)$ ; si $F \neq E$ , tómese $g \in E'$ , $g \neq 0$ , que se anule en $F$ (el Corolario 8.7(3)); elíjase $f_{n_k} \to g$ :

\norm{f_{n_k} - g} \geq \abs{(f_{n_k} - g)(x_{n_k})} = \abs{f_{n_k}(x_{n_k})} \geq \tfrac12\norm{f_{n_k}} \geq \tfrac12\bigl(\norm g - \norm{f_{n_k} - g}\bigr),

luego $\norm{f_{n_k} - g} \geq \frac13\norm g > 0$ : contradicción. Por tanto $F = E$ , y las combinaciones racionales (o $\Q + \iu\Q$ ) de los $x_n$ forman un conjunto denso numerable.

Ejercicio 8.11 ★★

(Espacios cociente) Sean $E$ un espacio de Banach y $F \subseteq E$ un subespacio cerrado. Sobre $E/F$ defínase

\norm{\bar x} \;=\; d(x, F) = \inf_{y\in F}\norm{x - y} .

(a) Demostrar que esto define bien una norma sobre $E/F$ (¿dónde interviene que $F$ sea cerrado?) y que la proyección $\pi \colon E \to E/F$ cumple $\vertiii\pi \leq 1$ y lleva la bola unidad abierta sobre la bola unidad abierta. (b) Demostrar que $E/F$ es completo. (Úsese el criterio de series del Ejercicio 7.1(b): dadas clases $\bar x_k$ con $\sum\norm{\bar x_k} < \infty$ , levántese cada una a $x_k \in E$ con $\norm{x_k} \leq \norm{\bar x_k} + 2^{-k}$ y súmese en $E$ .) (c) Calcúlese: para $E = c$ (sucesiones convergentes) y $F = c_0$ , demuéstrese que $c/c_0 \cong K$ isométricamente mediante $\bar x \mapsto \lim_nx_n$ .

Solución

Solución de Ejercicio 8.11.

(a) Bien definida: $d(x, F)$ solo depende de $\bar x$ (trasladar $x$ por $F$ no cambia la distancia). La homogeneidad y la desigualdad triangular pasan de $\norm\cdot$ a través del ínfimo. La separación necesita que sea cerrado: $\norm{\bar x} = 0$ significa $d(x, F) = 0$ , es decir, $x \in \bar F = F$ , es decir, $\bar x = 0$ . $\vertiii\pi \leq 1$ : $\norm{\bar x} \leq \norm x$ . Bola abierta sobre bola abierta: si $\norm{\bar x} < 1$ , algún representante cumple $\norm{x - y} < 1$ ; recíprocamente, $\pi(B_E(0,1)) \subseteq B_{E/F}(0,1)$ por la desigualdad de las normas — de modo que $\pi$ es abierta, el caso modelo del teorema de la aplicación abierta.

(b) Sea $\sum_k\norm{\bar x_k} < \infty$ y levántese con $\norm{x_k} \leq \norm{\bar x_k} + 2^{-k}$ : entonces $\sum\norm{x_k} < \infty$ , luego $s = \sum_kx_k$ converge en el espacio de Banach $E$ (el Ejercicio 7.1(b)), y la continuidad de $\pi$ da $\sum_k\bar x_k = \bar s$ : toda serie absolutamente convergente de $E/F$ converge, lo que equivale a la completitud (mismo ejercicio).

(c) La aplicación $\lambda(x) = \lim_nx_n$ es lineal $c \to K$ , se anula exactamente en $c_0$ y, por tanto, induce una biyección lineal $c/c_0 \to K$ . Isometría: $d(x, c_0) = \abs{\lambda(x)}$ — $\leq$ : réstese de $x$ la sucesión $x - \lambda(x)\mathbf 1 \in c_0$ , lo que deja $\lambda(x)\mathbf 1$ de norma $\abs{\lambda(x)}$ ; $\geq$ : para $y \in c_0$ , $\norm{x - y}_\infty \geq \limsup_n\abs{x_n - y_n} = \abs{\lambda(x)}$ .

Ejercicio 8.12 ★★

(Proyecciones acotadas y subespacios complementados) Sean $E$ un espacio de Banach y $P \colon E \to E$ lineal con $P^2 = P$ (una proyección algebraica), $V = \operatorname{im}P$ , $W = \ker P$ . (a) Supóngase $P$ acotado. Demostrar que $V$ y $W$ son cerrados y que $E = V \oplus W$ con la descomposición $x = Px + (x - Px)$ . (b) Recíprocamente, supóngase $E = V \oplus W$ con ambos $V, W$ cerrados, y sea $P$ la proyección sobre $V$ paralelamente a $W$ . Demostrar que $P$ es acotado. (Gráfica cerrada: si $x_n \to x$ y $Px_n \to z$ , entonces $z \in V$ , $x_n - Px_n \to x - z \in W$ , y la unicidad de la descomposición identifica $z = Px$ .) (c) Deducir la equivalencia: un subespacio $V$ admite una proyección acotada si y solo si es cerrado y tiene un complemento algebraico cerrado — y obsérvese (sin demostración) que existen subespacios cerrados sin esa propiedad ( $c_0$ dentro de $\ell^\infty$ es el ejemplo clásico): los espacios de Hilbert, donde $V^\perp$ siempre sirve (el Capítulo 13), son la excepción, no la regla.

Solución

Solución de Ejercicio 8.12.

(a) $W = \ker P$ es cerrado (preimagen de $0$ por una aplicación continua); $V = \operatorname{im}P = \ker(I - P)$ (en efecto, $Px = x$ si y solo si $x \in \operatorname{im}P$ , usando $P^2 = P$ ), cerrado análogamente. Todo $x$ se descompone como $Px + (x - Px)$ con $Px \in V$ , $x - Px \in W$ , y $V \cap W = 0$ ( $x = Px = 0$ ): $E = V \oplus W$ .

(b) El argumento de la gráfica: sean $x_n \to x$ y $Px_n \to z$ . Entonces $z \in V$ ( $V$ cerrado, $Px_n \in V$ ) y $x_n - Px_n \to x - z \in W$ ( $W$ cerrado). Luego $x = z + (x - z)$ con $z \in V$ , $x - z \in W$ ; y por la unicidad de la descomposición, $z = Px$ . La gráfica de $P$ es cerrada y $E$ es de Banach: $P$ está acotado (el Teorema 8.14).

(c) (a) y (b) juntos son la equivalencia. En un espacio de Hilbert, todo $V$ cerrado tiene el complemento cerrado $V^\perp$ (el Capítulo 13): todo subespacio cerrado es complementado. En los espacios de Banach generales esto falla — $c_0$ no tiene complemento cerrado en $\ell^\infty$ (teorema de Phillips, fuera de nuestras herramientas) —, de modo que las proyecciones acotadas son un privilegio, y el teorema de la gráfica cerrada es exactamente la contabilidad que convierte las descomposiciones geométricas en operadores acotados.

8.6 Problema: la dualidad de los espacios $\ell^p$

Problema 8.1

Problema de fin de semana — $(\ell^p)' = \ell^q$ , reflexividad y la rareza de $\ell^\infty$

Fíjese $1 < p < \infty$ y sea $q$ el exponente conjugado, $\frac1p + \frac1q = 1$ . El emparejamiento en todo el problema es $\langle x, y\rangle = \sum_n x_ny_n$ .

Parte I — Hölder y Minkowski para sucesiones.

(Desigualdad de Young) Para $a, b \geq 0$ , demostrar $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ , usando la concavidad de $\log$ o estudiando $t \mapsto \frac{t^p}p + \frac1q - t$ .
(Hölder) Deducir: $\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x_p\norm y_q$ para $x \in \ell^p$ , $y \in \ell^q$ ; identificar el caso de igualdad.
(Minkowski) Deducir la desigualdad triangular para $\norm\cdot_p$ . (Escríbase $\abs{x_n + y_n}^p \leq \abs{x_n}\,\abs{x_n{+}y_n}^{p-1} + \abs{y_n}\,\abs{x_n{+}y_n}^{p-1}$ y aplíquese Hölder a cada término.)
Demostrar que $\ell^p$ es completo y que las sucesiones finitas son densas en él.

Parte II — La dualidad $(\ell^p)' = \ell^q$ .

Para $y \in \ell^q$ , demostrar que $\Lambda_y(x) = \langle x, y\rangle$ define $\Lambda_y \in (\ell^p)'$ con $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_q$ y, evaluando en $x_n = \abs{y_n}^{q-1}\operatorname{sign}(y_n)$ (convenientemente truncada y normalizada), que $\norm{\Lambda_y} = \norm y_q$ .
Recíprocamente, dada $\Lambda \in (\ell^p)'$ , póngase $y_n = \Lambda(e_n)$ ; demostrar que $y \in \ell^q$ con $\norm y_q \leq \norm\Lambda$ (evalúese en truncamientos como en la pregunta 5 y hágase crecer la longitud del truncamiento) y concluir $\Lambda = \Lambda_y$ : la aplicación $y \mapsto \Lambda_y$ es un isomorfismo isométrico $\ell^q \to (\ell^p)'$ .
Deducir que $\ell^p$ es reflexivo para $1 < p < \infty$ : componiendo las dos dualidades, todo elemento de $(\ell^p)''$ procede de $\ell^p$ ; verifíquese con cuidado que la compuesta es la $J$ canónica.

Parte III — $\ell^1$ y $\ell^\infty$ son animales distintos.

Demostrar que $\ell^p$ ( $1 \leq p < \infty$ ) y $c_0$ son separables, pero $\ell^\infty$ no lo es. (Las sucesiones indicadoras de los subconjuntos de $\N$ , en cantidad no numerable, distan dos a dos $1$ .)
Deducir del Ejercicio 8.10 que $(\ell^1)' \cong \ell^\infty$ pero $(\ell^\infty)' \not\cong \ell^1$ : $\ell^1$ no es reflexivo. (Si $(\ell^\infty)'$ fuese $\ell^1$ , sería separable, lo que forzaría que $\ell^\infty$ fuese separable.)
(Un límite de Banach, explícitamente) Sobre $\ell^\infty_\R$ , sea $p(x) = \limsup_n \frac{x_1 + \dots + x_n}{n}$ . Demostrar que $p$ es sublineal y que, sobre el subespacio $c$ de las sucesiones convergentes, $\mathrm{LIM}(x) = \lim x$ cumple $\mathrm{LIM} \leq p$ . Extiéndase por Hahn–Banach a $\mathrm{LIM} \colon \ell^\infty_\R \to \R$ y demuéstrese que $\mathrm{LIM}$ es positiva ( $x \geq 0 \Rightarrow \mathrm{LIM}(x) \geq 0$ ), invariante por desplazamiento, ( $\mathrm{LIM}(x_2, x_3, \dots) = \mathrm{LIM}(x)$ ), extiende el límite y cumple $\liminf x \leq \mathrm{LIM}(x)\leq \limsup x$ .
Demostrar que una tal $\mathrm{LIM}$ , vista en $(\ell^\infty)'$ , no es de la forma $\Lambda_y$ para ningún $y \in \ell^1$ ; concluir de nuevo $(\ell^\infty)' \neq \ell^1$ . (Evalúese en las sucesiones unidad $e_n$ y después en la sucesión constante $1$ .)
Evaluar $\mathrm{LIM}$ en $(0,1,0,1,\dots)$ y demostrar que no puede existir ninguna extensión multiplicativa del límite invariante por desplazamiento (considérense $x = (0,1,0,1,\dots)$ y $x\cdot Sx$ , donde $S$ es el desplazamiento).

Parte IV — Epílogo: por qué importa la reflexividad.

Usando el Corolario 8.10 y la pregunta 6, demostrar que toda sucesión acotada de $\ell^p$ ( $1 < p < \infty$ ) tiene una subsucesión $(x^{(k)})$ que converge débilmente: $\Lambda(x^{(k)})$ converge para toda $\Lambda \in (\ell^p)'$ . (Extracción diagonal sobre las coordenadas, en cantidad numerable; identifíquese el límite débil en $\ell^p$ usando la acotación uniforme de las normas y Hölder.) Demuéstrese con un ejemplo ( $e_n$ en $\ell^1$ , contra elementos bien elegidos de $\ell^\infty$ ) que esto falla en $\ell^1$ : la compacidad débil es un privilegio de los espacios reflexivos.

Parte V — La topología débil en acción, y la sorpresa de Schur. Escribimos $x^{(k)} \rightharpoonup x$ en un espacio normado $E$ (convergencia débil) cuando $\Lambda(x^{(k)}) \to \Lambda(x)$ para toda $\Lambda \in E'$ .

Complétese el censo: demuéstrese $(c_0)' \cong \ell^1$ isométricamente, con el esquema de las preguntas 5–6 (¿qué sustituye a las sucesiones de prueba?). Móntese la cadena $c_0 \to \ell^1 \to \ell^\infty \to \dots$ de duales sucesivos y señálese dónde falla la reflexividad.
Demostrar que toda sucesión débilmente convergente de un espacio de Banach está acotada: véanse los $x^{(k)}$ a través del encaje canónico $J$ como funcionales sobre $E'$ y aplíquese Banach–Steinhaus (el Teorema 8.9) — ¿sobre qué espacio de Banach, y por qué se dispone allí de la completitud?
Demostrar que, en $\ell^p$ , $1 < p < \infty$ : $x^{(k)} \rightharpoonup x$ si y solo si $\sup_k\norm{x^{(k)}}_p < \infty$ y $x^{(k)}_n \to x_n$ para toda coordenada $n$ (una implicación usa Banach–Steinhaus a través del encaje canónico; para la otra, aproxímese $y \in \ell^q$ por sucesiones finitas). Deducir $e_k \rightharpoonup 0$ en $\ell^2$ mientras que $\norm{e_k}_2 = 1$ : los límites débiles pueden perder masa.
Demostrar que la norma es débilmente semicontinua inferiormente: $x^{(k)} \rightharpoonup x$ implica $\norm x \leq \liminf_k\,\norm{x^{(k)}}$ (tómese una funcional que norme $x$ , el Corolario 8.7).
(Radon–Riesz en $\ell^2$ ) Demostrar que, en $\ell^2$ , la convergencia débil junto con la convergencia de las normas implica la convergencia en norma (desarróllese $\norm{x^{(k)} - x}_2^2$ ). Dese un contraejemplo del mismo enunciado sin la hipótesis sobre las normas.
(Schur, paso 1) Sea $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ en $\ell^1$ y supóngase, por reducción al absurdo, $\norm{x^{(k)}}_1 \geq \delta > 0$ a lo largo de una subsucesión. Demuéstrese primero que $x^{(k)}_n \to 0$ para cada $n$ (¿qué funcionales?) y constrúyanse después recursivamente índices $k_1 < k_2 < \cdots$ y enteros $0 = N_0 < N_1 < N_2 < \cdots$ tales que la masa de $x^{(k_j)}$ se concentre en el bloque $B_j = \intoc{N_{j-1}}{N_j}$ :

$\sum_{n \in B_j}\bigl|x^{(k_j)}_n\bigr| \geq \norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac\delta{10} .$
(Schur, paso 2) Defínase $y \in \ell^\infty$ mediante $y_n = \operatorname{sign}\bigl(x^{(k_j)}_n\bigr)$ para $n \in B_j$ . Demostrar que $\langle x^{(k_j)}, y\rangle \geq \norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac{2\delta}{10} \geq \frac{8\delta}{10}$ y obtener una contradicción con $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ . Concluir el teorema de Schur: en $\ell^1$ , las sucesiones débilmente convergentes convergen en norma.
Deducir que $(e_k)$ no tiene ninguna subsucesión débilmente convergente en $\ell^1$ (su único candidato a límite es $0$ , coordenada a coordenada — aplíquese después Schur), lo que recupera el fallo de compacidad débil de la pregunta 13; y resuélvase la aparente paradoja: en $\ell^1$ , la convergencia débil y la convergencia en norma de sucesiones coinciden y, sin embargo, las topologías débil y de la norma difieren, y los acotados siguen sin ser débilmente compactos por sucesiones — no hay contradicción, solo el fallo de la reflexividad.
(Tabla de síntesis) Para $E \in \{c_0,\ \ell^1,\ \ell^p\ (1{<}p{<}\infty),\ \ell^\infty\}$ , tabúlense: el dual; la separabilidad; la reflexividad; si las sucesiones acotadas admiten subsucesiones débilmente convergentes; y una propiedad característica de cada espacio, justificada en una línea a partir de este problema.

Parte VI — Complementos: puntos más próximos, convergencia promediada y el valor de un límite de Banach.

(Puntos más próximos: un dividendo de la reflexividad) Sean $F$ un subespacio cerrado de $\ell^p$ ( $1 < p < \infty$ ) y $x \in \ell^p$ . Demostrar que $d = \operatorname{dist}(x, F)$ se alcanza: extráigase de una sucesión minimizante una subsucesión débilmente convergente (pregunta 13), manténgase el límite débil dentro de $F$ construyendo, vía Hahn–Banach, una funcional que se anule en $F$ pero no en un punto exterior, y concluir con la pregunta 17. Demuéstrese después que el privilegio no es universal: en $c_0$ , para $\Lambda(x) = \sum_n2^{-n}x_n$ , demuéstrese que $\norm\Lambda = 1$ no se alcanza en la bola unidad, establézcase la fórmula de la distancia $\operatorname{dist}(x, \ker\Lambda) = \abs{\Lambda(x)}$ y dedúzcase que ningún $x \notin \ker\Lambda$ tiene punto más próximo en el hiperplano cerrado $\ker\Lambda$ .
(Banach–Saks en $\ell^2$ ) Sea $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ en $\ell^2_{\R}$ con $\norm{x^{(k)}}_2 \leq C$ . Constrúyase una subsucesión $(y_j)$ con $\abs{\langle y_i, y_j\rangle} \leq \frac1j$ para todos $i < j$ , y dedúzcase

$\Bigl\lVert\frac{y_1 + \dots + y_m}m\Bigr\rVert_2^2 \leq \frac{C^2 + 2}m \longrightarrow 0 :$

tras una extracción, las medias de Cesàro convergen en norma. Compruébese en $(e_k)$ , cuyas medias tienen norma $\frac1{\sqrt m}$ : la convergencia débil, inútil para la propia sucesión (pregunta 16), se convierte en convergencia en norma para las medias.
(El valor de un límite de Banach) Sea $L$ un límite de Banach cualquiera (pregunta 10) y sea $A_mx = \frac1m(x + Sx + \dots + S^{m-1}x)$ . Demostrar que $L(A_mx) = L(x)$ y $\liminf A_mx \leq L(x) \leq \limsup A_mx$ ; deducir que todos los límites de Banach coinciden sobre las sucesiones periódicas, con valor la media sobre un período — $\frac13$ sobre $(1, 0, 0, 1, 0, 0, \dots)$ , coherente con el $\frac12$ de la pregunta 12. Demuéstrese después que la coincidencia falla en general: para la sucesión por bloques $x$ igual a $1$ sobre $\intoc{3^{j-1}}{3^j}$ con $j$ par y a $0$ en el resto, demuéstrese que las medias de Cesàro oscilan entre $\leq \frac13$ y $\geq \frac23$ , y constrúyanse dos límites de Banach $L_\pm$ con $L_-(x) \leq \frac13 < \frac23 \leq L_+(x)$ (extiéndase desde $c \oplus \R x$ con los valores admisibles extremos $\pm$ : compruébese que $\Lambda(y + tx) = \lim y + t\,p(x)$ está dominada por la funcional sublineal $p$ de la pregunta 10).

Solución

Solución de Problema 8.1.

1. Para $a, b > 0$ : por la concavidad de $\log$ , $\log\bigl(\tfrac{a^p}p + \tfrac{b^q}q\bigr) \geq \tfrac1p\log a^p + \tfrac1q\log b^q = \log(ab)$ ; exponénciese. (Si $ab = 0$ , la desigualdad es trivial.) Igualdad si y solo si $a^p = b^q$ .

2. Podemos suponer $\norm x_p = \norm y_q = 1$ (homogeneidad; los casos nulos son triviales). Entonces

\abs{\langle x, y\rangle} \leq \sum_n\abs{x_n}\abs{y_n} \leq \sum_n\Bigl(\frac{\abs{x_n}^p}p + \frac{\abs{y_n}^q}q\Bigr) = \frac1p + \frac1q = 1 = \norm x_p\norm y_q .

La igualdad exige $\abs{x_n}^p = \abs{y_n}^q$ para todo $n$ (caso de igualdad de Young) y la alineación de las fases de $x_ny_n$ .

3. $\abs{x_n + y_n}^p \leq \bigl(\abs{x_n} + \abs{y_n}\bigr)\abs{x_n + y_n}^{p-1}$ ; sumando y aplicando Hölder ( $p$ contra $q$ , con $(p - 1)q = p$ ):

\norm{x + y}_p^p \leq \bigl(\norm x_p + \norm y_p\bigr)\,\Bigl(\sum_n\abs{x_n + y_n}^{p}\Bigr)^{1/q} = \bigl(\norm x_p + \norm y_p\bigr)\,\norm{x+y}_p^{p/q};

si $\norm{x + y}_p \neq 0$ (si no, es trivial), divídase por $\norm{x+y}_p^{p/q}$ y úsese $p - \frac pq = 1$ . (Primero, la finitud de $\norm{x+y}_p$ : $\abs{x_n+y_n}^p \leq 2^p(\abs{x_n}^p + \abs{y_n}^p)$ .)

4. Completitud: como para $\ell^1$ (el Ejercicio 8.3), límites coordenada a coordenada más la cota uniforme de la cola $\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n}^p \leq \varepsilon^p$ , haciendo tender $l$ y después $N$ a infinito. Densidad de las sucesiones finitas: $\norm{x - \sum_{n\leq N}x_ne_n}_p^p = \sum_{n > N}\abs{x_n}^p \to 0$ .

5. Hölder da $\abs{\Lambda_y(x)} \leq \norm x_p\norm y_q$ : $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_q$ . Evaluación: tómese $x^{(N)}_n = \abs{y_n}^{q-1}\overline{\operatorname{sign}}(y_n)$ para $n \leq N$ y $0$ a partir de ahí (con $\operatorname{sign}$ la fase unimodular, de modo que $x_ny_n = \abs{y_n}^q$ ). Entonces $\Lambda_y(x^{(N)}) = \sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q$ y $\norm{x^{(N)}}_p = \bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^{q}\bigr)^{1/p}$ (pues $(q-1)p = q$ ), luego

\norm{\Lambda_y} \geq \Bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q\Bigr)^{1 - 1/p} \xrightarrow[N\to\infty]{} \norm y_q .

6. Póngase $y_n = \Lambda(e_n)$ . Con los mismos vectores de prueba, $\sum_{n \leq N}\abs{y_n}^q = \Lambda(x^{(N)}) \leq \norm\Lambda\,\bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/p}$ , de donde $\bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/q} \leq \norm\Lambda$ para todo $N$ : $y \in \ell^q$ , $\norm y_q \leq \norm\Lambda$ . Las funcionales $\Lambda$ y $\Lambda_y$ coinciden sobre las sucesiones finitas, que son densas (pregunta 4): $\Lambda = \Lambda_y$ . Junto con la pregunta 5, $y \mapsto \Lambda_y$ es un isomorfismo isométrico $\ell^q \cong (\ell^p)'$ .

7. Sea $\xi \in (\ell^p)''$ . Componiendo con la isometría $\ell^q \cong (\ell^p)'$ de la pregunta 6, $\xi$ define un elemento de $(\ell^q)'$ , que (pregunta 6 con $p, q$ intercambiados) es $\Lambda_z$ para un único $z \in \ell^p$ : para todo $y \in \ell^q$ , $\xi(\Lambda_y) = \sum_nz_ny_n$ . Por otra parte, $J(z)(\Lambda_y) = \Lambda_y(z) = \sum_ny_nz_n$ : el mismo valor. Como todo elemento de $(\ell^p)'$ es algún $\Lambda_y$ , $\xi = J(z)$ : $J$ es sobreyectiva — $\ell^p$ es reflexivo.

8. Las sucesiones finitas con entradas racionales (parte real e imaginaria) son numerables y densas en $\ell^p$ ( $p < \infty$ ) y en $c_0$ . En $\ell^\infty$ : la familia $\{\mathbf 1_A : A \subseteq \N\}$ es no numerable con $\norm{\mathbf 1_A - \mathbf 1_B}_\infty = 1$ para $A \neq B$ ; las bolas $B(\mathbf 1_A, \frac12)$ son disjuntas dos a dos, y un conjunto denso tendría que cortar a todas ellas: no existe ningún conjunto denso numerable.

9. Si $\ell^1$ fuera reflexivo, entonces $(\ell^\infty)' \cong ((\ell^1)')' = J(\ell^1)$ sería separable (imagen isométrica del separable $\ell^1$ ); y por el Ejercicio 8.10, la separabilidad del dual $(\ell^\infty)'$ forzaría que $\ell^\infty$ fuese separable — en contra de la pregunta 8. Luego $\ell^1$ no es reflexivo (y $(\ell^\infty)'$ es estrictamente mayor que $\ell^1$ , como concreta la pregunta 11).

10. La homogeneidad de $p$ es clara; subaditividad: las medias son lineales y $\limsup(u_n + v_n) \leq \limsup u_n + \limsup v_n$ . Sobre $c$ : las medias de Cesàro de una sucesión convergente convergen a su límite, de modo que allí $p(x) = \lim x = \mathrm{LIM}(x)$ ; en particular, $\mathrm{LIM} \leq p$ sobre $c$ . Hahn–Banach (el Teorema 8.6) extiende $\mathrm{LIM}$ a $\ell^\infty_\R$ con $\mathrm{LIM} \leq p$ globalmente. Positividad: para $x \geq 0$ , $-\mathrm{LIM}(x) = \mathrm{LIM}(-x) \leq p(-x) = \limsup\text{med}(-x) \leq 0$ . Invariancia por desplazamiento: las medias de $x - Sx$ telescopan hasta $\frac{x_1 - x_{n+1}}n \to 0$ , luego $p(\pm(x - Sx)) = 0$ y $\mathrm{LIM}(x - Sx) = 0$ . Cotas: $\mathrm{LIM}(x) \leq p(x) \leq \limsup x$ (las medias van por detrás de los supremos), y aplicándolo a $-x$ se obtiene la cota inferior.

11. $e_n \in c_0$ , luego $\mathrm{LIM}(e_n) = 0$ para todo $n$ . Si $\mathrm{LIM} = \Lambda_y$ con $y \in \ell^1$ , entonces $y_n = \Lambda_y(e_n) = 0$ para todo $n$ : $\Lambda_y = 0$ ; pero $\mathrm{LIM}(\mathbf 1) = 1$ . Luego $\mathrm{LIM} \in (\ell^\infty)' \setminus \{\Lambda_y : y \in \ell^1\}$ : $(\ell^\infty)' \neq \ell^1$ , de nuevo.

12. Para $x = (0,1,0,1,\dots)$ : $x + Sx = \mathbf 1$ , luego $2\,\mathrm{LIM}(x) = \mathrm{LIM}(x) + \mathrm{LIM}(Sx) = 1$ : $\mathrm{LIM}(x) = \frac12$ . Si $\varphi$ fuera una extensión multiplicativa del límite invariante por desplazamiento: $x\cdot Sx = 0$ da $\varphi(x)\varphi(Sx) = \varphi(x)^2 = 0$ , luego $\varphi(x) = 0$ ; pero $\varphi(x) + \varphi(Sx) = \varphi(\mathbf 1) = 1$ da $2\varphi(x) = 1$ : contradicción. Promediar y multiplicar no pueden convivir.

13. Sea $\norm{x^{(k)}}_p \leq M$ . Las coordenadas están acotadas por $M$ : una extracción diagonal da una subsucesión (que seguimos escribiendo $x^{(k)}$ ) con $x^{(k)}_n \to x_n$ para todo $n$ . Entonces $x \in \ell^p$ : $\sum_{n\leq N}\abs{x_n}^p = \lim_k\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n}^p \leq M^p$ para todo $N$ . Convergencia débil: para $y \in \ell^q$ y $N$ arbitrario,

\abs{\Lambda_y(x^{(k)} - x)} \leq \Bigl|\sum_{n \leq N}(x^{(k)}_n - x_n)y_n\Bigr| + 2M\Bigl(\sum_{n>N}\abs{y_n}^q\Bigr)^{1/q},

donde el primer término tiende a $0$ cuando $k \to \infty$ (finitas coordenadas) y el segundo es pequeño para $N$ grande (Hölder sobre la cola): $\Lambda_y(x^{(k)}) \to \Lambda_y(x)$ para toda $y$ — convergencia débil, pues toda funcional es un $\Lambda_y$ (pregunta 6). En $\ell^1$ esto falla: considérese $(e_n)$ , acotada. Toda subsucesión $(e_{n_k})$ converge coordenada a coordenada a $0$ , de modo que su único candidato a límite débil es $0$ ; pero evaluando contra $y \in \ell^\infty$ definida por $y_{n_k} = (-1)^k$ (y $0$ en el resto), $\Lambda_y(e_{n_k}) = (-1)^k$ diverge. No hay subsucesión débilmente convergente: la compacidad secuencial débil de las bolas caracteriza el mundo reflexivo.

14. Para $y \in \ell^1$ , $\Lambda_y(x) = \sum x_ny_n$ está definida sobre $c_0$ con $\abs{\Lambda_y(x)} \leq \norm x_\infty\norm y_1$ , y evaluando en $x^{(N)} = (\operatorname{sign}y_1, \dots, \operatorname{sign}y_N, 0, \dots) \in c_0$ se obtiene $\Lambda_y(x^{(N)}) = \sum_{n\leq N}\abs{y_n} \to \norm y_1$ : $\norm{\Lambda_y} = \norm y_1$ . Recíprocamente, para $\Lambda \in (c_0)'$ póngase $y_n = \Lambda(e_n)$ ; las mismas evaluaciones dan $\sum_{n \leq N}\abs{y_n} = \Lambda(x^{(N)}) \leq \norm\Lambda$ , luego $y \in \ell^1$ , y $\Lambda = \Lambda_y$ sobre las sucesiones finitas, densas, y por tanto en todas partes. La cadena de duales: $(c_0)' = \ell^1$ , $(\ell^1)' = \ell^\infty$ (Ejercicio 8.10), $(\ell^\infty)' \supsetneq \ell^1$ (preguntas 9–11): la reflexividad falla ya en el primer paso — $c_0'' = \ell^\infty \neq c_0$ — y no se recupera nunca.

15. $J x^{(k)} \in E'' = (E')'$ es una familia de funcionales acotadas sobre el espacio de Banach $E'$ (los duales son completos, la Proposición 8.2); para cada $\Lambda \in E'$ , la sucesión $Jx^{(k)}(\Lambda) = \Lambda(x^{(k)})$ converge y, por tanto, está acotada. Banach–Steinhaus sobre $E'$ da $\sup_k\norm{Jx^{(k)}} < \infty$ , y $J$ es isométrico (Observación 8.8): $\sup_k\norm{x^{(k)}} < \infty$ .

16. ( $\Rightarrow$ ) La acotación es la pregunta 15; las coordenadas son las funcionales $\Lambda_{e_n}$ . ( $\Leftarrow$ ) Sean $M = \sup_k\norm{x^{(k)}}_p$ , $y \in \ell^q$ , $\varepsilon > 0$ ; elíjase $N$ con $\bigl(\sum_{n>N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/q} < \varepsilon$ . Entonces

\abs{\Lambda_y(x^{(k)} - x)} \leq \sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n - x_n}\,\abs{y_n} + \norm{x^{(k)} - x}_p\,\varepsilon \leq \sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n - x_n}\abs{y_n} + (M + \norm x_p)\,\varepsilon,

y la suma finita tiende a $0$ : $\limsup \leq (M + \norm x_p)\varepsilon$ para toda $\varepsilon$ . (Que $x \in \ell^p$ con $\norm x_p \leq M$ se sigue de cotas de secciones finitas al estilo de Fatou: $\sum_{n \leq N}\abs{x_n}^p = \lim_k\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n}^p \leq M^p$ .) Para $e_k$ en $\ell^2$ : acotada, coordenada a coordenada $\to 0$ , luego $e_k \rightharpoonup 0$ y, sin embargo, $\norm{e_k} = 1$ : la unidad de masa se escapa hacia índices infinitos, invisible para toda funcional fija.

17. Tómese $\Lambda$ con $\norm\Lambda = 1$ y $\Lambda(x) = \norm x$ (el Corolario 8.7). Entonces $\norm x = \lim\Lambda(x^{(k)}) \leq \liminf\norm\Lambda\,\norm{x^{(k)}} = \liminf\norm{x^{(k)}}$ . (Con $e_k \rightharpoonup 0$ : $0 \leq \liminf 1$ , y la desigualdad puede ser estricta.)

18. En $\ell^2$ , $\norm{x^{(k)} - x}_2^2 = \norm{x^{(k)}}_2^2 - 2\operatorname{Re}\langle x^{(k)}, x\rangle + \norm x_2^2$ (caso real: $-2\langle x^{(k)}, x\rangle$ ). La convergencia débil aplicada a la funcional $\Lambda_x$ da $\langle x^{(k)}, x\rangle \to \norm x_2^2$ , y las normas convergen por hipótesis: el miembro derecho tiende a $\norm x^2 - 2\norm x^2 + \norm x^2 = 0$ . Contraejemplo sin convergencia de las normas: $e_k \rightharpoonup 0$ , $\norm{e_k - 0} = 1 \not\to 0$ .

19. Convergencia de las coordenadas: aplíquense las funcionales $\Lambda_{e_n} \in (\ell^1)' = \ell^\infty$ ( $y = e_n$ ). Construcción: elegidos $k_{j-1}, N_{j-1}$ , tómese $k_j > k_{j-1}$ tan grande que $\sum_{n \leq N_{j-1}}\abs{x^{(k_j)}_n} < \frac\delta{20}$ (finitas coordenadas, cada una $\to 0$ ), y después $N_j > N_{j-1}$ tan grande que la cola cumpla $\sum_{n > N_j}\abs{x^{(k_j)}_n} < \frac\delta{20}$ (convergencia de la serie que define $\norm{x^{(k_j)}}_1$ ). El bloque $B_j = \intoc{N_{j-1}}{N_j}$ concentra entonces toda la masa salvo $\frac\delta{10}$ de $x^{(k_j)}$ .

20. Con $y$ tal como se ha definido ( $\abs{y_n} \leq 1$ en todas partes):

\langle x^{(k_j)}, y\rangle = \sum_{n \in B_j}\abs{x^{(k_j)}_n} + \sum_{n \notin B_j}x^{(k_j)}_ny_n \geq \Bigl(\norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac\delta{10}\Bigr) - \frac\delta{10} \geq \delta - \frac{2\delta}{10} = \frac{4\delta}5 > 0,

la desigualdad central porque la masa fuera del bloque es a lo sumo $\frac\delta{10}$ (pregunta 19). Pero $y \in \ell^\infty = (\ell^1)'$ y $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ obligan a $\langle x^{(k_j)}, y\rangle \to 0$ : contradicción. Por tanto, las sucesiones débilmente nulas de $\ell^1$ son nulas en norma y, por traslación, las débilmente convergentes convergen en norma: el teorema de Schur.

21. Una subsucesión débilmente convergente de $(e_k)$ tendría límite $0$ (coordenadas), luego, por Schur, $\norm{e_{k_j}}_1 \to 0$ — pero las normas valen $1$ . Así que no existe ninguna subsucesión débilmente convergente, como ya se vio a mano en la pregunta 13. No hay paradoja: Schur dice que las sucesiones no pueden distinguir la topología débil de la de la norma en $\ell^1$ (las topologías sí difieren — los entornos débiles nunca están acotados en norma), y la compacidad secuencial débil de la bola unidad es una propiedad distinta y más fuerte, equivalente a la reflexividad (Eberlein–Šmulian, fuera de nuestras herramientas; el fallo, al menos, sí lo hemos demostrado).

22. El censo.

$E$	$E'$	sep.	refl.	bolas déb. sec. cpt.
$c_0$	$\ell^1$	sí	no	no ( $e_1{+}\dots{+}e_k$ )
$\ell^1$	$\ell^\infty$	sí	no	no ( $e_k$ , p. 21)
$\ell^p$	$\ell^q$	sí	sí	sí (p. 13)
$\ell^\infty$	$\supsetneq\ell^1$	no	no	no

Rasgos característicos: $c_0$ — su bidual es $\ell^\infty$ : el primer paso no reflexivo (pregunta 14); $\ell^1$ — la propiedad de Schur (pregunta 20); $\ell^p$ — reflexividad y compacidad débil (preguntas 7 y 13); $\ell^\infty$ — no separabilidad y límites de Banach: funcionales que ninguna sucesión puede representar (preguntas 8, 10–11). Una familia de espacios, cuatro mundos distintos.

23. Sea $(f_k) \subseteq F$ con $\norm{x - f_k} \to d$ . Entonces $\norm{f_k} \leq \norm x + \sup_k\norm{x - f_k}$ : está acotada, de modo que, por la pregunta 13, alguna subsucesión $f_{k_j} \rightharpoonup f$ . Si $f \notin F$ , entonces $\delta = \operatorname{dist}(f, F) > 0$ ( $F$ cerrado); sobre $F \oplus \R f$ , la forma lineal $\lambda(g + tf) = t$ cumple $\abs{\lambda(u)} \leq \norm u/\delta$ (porque $\norm{g + tf} \geq \abs t\,\delta$ ), y Hahn–Banach la extiende a $\Lambda \in (\ell^p)'$ con $\Lambda\restriction_F = 0$ , $\Lambda(f) = 1$ ; pero entonces $0 = \Lambda(f_{k_j}) \to \Lambda(f) = 1$ : contradicción. Luego $f \in F$ y $x - f_{k_j} \rightharpoonup x - f$ da, por la pregunta 17,

d \leq \norm{x - f} \leq \liminf_j\,\norm{x - f_{k_j}} = d :

la distancia se alcanza en $f$ . En $c_0$ : $\abs{\Lambda(x)} \leq \sum_n2^{-n}\abs{x_n} < \norm x_\infty$ para todo $x \neq 0$ (una sucesión nula no nula no puede cumplir $\abs{x_n} = \norm x_\infty$ para todo $n$ ), mientras que las truncadas $(1, \dots, 1, 0, \dots)$ dan $\Lambda = 1 - 2^{-N} \to 1$ : así que $\norm\Lambda = 1$ , y nunca se alcanza. Fórmula de la distancia: para $f \in \ker\Lambda$ , $\abs{\Lambda(x)} = \abs{\Lambda(x - f)} \leq \norm{x - f}$ , luego $\operatorname{dist}(x, \ker\Lambda) \geq \abs{\Lambda(x)}$ ; recíprocamente, para $u$ en la bola unidad con $\Lambda(u) \geq 1 - \varepsilon$ , el vector $f = x - \frac{\Lambda(x)}{\Lambda(u)}u$ está en $\ker\Lambda$ con $\norm{x - f} \leq \frac{\abs{\Lambda(x)}}{1 - \varepsilon}$ : igualdad. Si algún $f \in \ker\Lambda$ la alcanzara, $z = x - f$ cumpliría $\abs{\Lambda(z)} = \abs{\Lambda(x)} = \norm z \neq 0$ , de modo que $\Lambda$ alcanzaría su norma en $z/\norm z$ : imposible. Un hiperplano cerrado de $c_0$ sin puntos más próximos en ninguna parte — la reflexividad no era un adorno.

24. Póngase $y_1 = x^{(1)}$ . Dado $y_1, \dots, y_j$ , cada aplicación $k \mapsto \langle y_i, x^{(k)}\rangle$ tiende a $0$ ( $y_i \in \ell^2 = (\ell^2)'$ ), de modo que existe $k_{j+1}$ posterior al índice anterior con $\abs{\langle y_i, x^{(k_{j+1})}\rangle} \leq \frac1{j+1}$ para $i = 1, \dots, j$ ; llámese $y_{j+1}$ a esa elección. Entonces

\Bigl\lVert\sum_{j=1}^my_j\Bigr\rVert_2^2 = \sum_{j=1}^m\norm{y_j}_2^2 + 2\sum_{j=2}^m\sum_{i<j}\langle y_i, y_j\rangle \leq mC^2 + 2\sum_{j=2}^m\frac{j-1}j \leq mC^2 + 2m,

y dividiendo por $m^2$ : $\norm{\frac1m\sum_jy_j}_2^2 \leq \frac{C^2 + 2}m \to 0$ . (Para un límite débil $x \neq 0$ , aplíquese esto a $x^{(k)} - x$ .) Sobre la sucesión ortonormal $(e_k)$ ni siquiera hace falta extraer: $\norm{\frac1m(e_1 + \dots + e_m)}_2 = \frac{\sqrt m}m = \frac1{\sqrt m}$ . Las medias convierten la convergencia débil en convergencia en norma: la propiedad de Banach–Saks de $\ell^2$ .

25. $A_mx = \frac1m\sum_{i=0}^{m-1}S^ix$ , de modo que la linealidad y la invariancia por desplazamiento dan $L(A_mx) = L(x)$ . Para $u$ acotada cualquiera y $\varepsilon > 0$ , tómese $N$ con $u_n \leq \limsup u + \varepsilon$ para $n \geq N$ ; la positividad aplicada a $(\limsup u + \varepsilon)\mathbf 1 - S^Nu \geq 0$ y a $L(S^Nu) = L(u)$ da $L(u) \leq \limsup u + \varepsilon$ y, simétricamente, $L(u) \geq \liminf u - \varepsilon$ : luego $\liminf A_mx \leq L(x) \leq \limsup A_mx$ para todo $m$ . Si $x$ es $T$ -periódica, $A_Tx$ es la sucesión constante igual a la media del período $\mu$ : $L(x) = \mu$ para todo límite de Banach — $\frac13$ sobre $(1,0,0,\dots)$ y $\frac12$ sobre $(0,1,0,1,\dots)$ , como en la pregunta 12. Para la sucesión por bloques: en $N = 3^j$ con $j$ par, el último bloque es todo unos, de modo que la media de Cesàro vale $\geq \frac{3^j - 3^{j-1}}{3^j} = \frac23$ ; en $N = 3^j$ con $j$ impar, todos los unos están en $\intoc0 {3^{j-1}}$ , de modo que la media vale $\leq \frac13$ . Por tanto, $p(x) \geq \frac23$ y $-p(-x) = \liminf_n\frac{x_1 + \dots + x_n}n \leq \frac13$ . Sobre $M = c \oplus \R x$ defínase $\Lambda_+(y + tx) = \lim y + t\,p(x)$ . Dominación por $p$ : para $t > 0$ , la sublinealidad da $p(tx) \leq p(y + tx) + p(-y)$ , es decir, $p(y + tx) \geq t\,p(x) + \lim y$ (obsérvese que $p(\pm y) = \pm\lim y$ para $y \in c$ : las medias de Cesàro de una sucesión convergente convergen a su límite); para $t = -s < 0$ , $p(y) \leq p(y - sx) + p(sx)$ da $p(y - sx) \geq \lim y - s\,p(x)$ ; y para $t = 0$ hay igualdad. Luego $\Lambda_+ \leq p$ sobre $M$ , y Hahn–Banach la extiende a $L_+ \leq p$ sobre $\ell^\infty_\R$ , que es un límite de Banach exactamente como en la pregunta 10 (la dominación por $p$ da la positividad, la invariancia por desplazamiento y el valor $\lim$ sobre $c$ ), con $L_+(x) = p(x) \geq \frac23$ . El mismo cálculo con $\Lambda_-(y + tx) = \lim y - t\,p(-x)$ (usando $p(-sx) \leq p(y - sx) + p(-y)$ para el caso $t = -s < 0$ ) da un límite de Banach $L_-$ con $L_-(x) = -p(-x) \leq \frac13$ . Dos límites de Banach, una sucesión, dos valores: fuera del mundo periódico (y, más en general, del casi convergente), un límite de Banach es una elección genuina.

Términos definidos en este capítulo

Ver los 395 términos del glosario

8.1 Operadores acotados; espacios de sucesiones

8.2 Hahn–Banach

8.3 La trilogía de Baire

8.4 Espacios duales, en concreto

8.5 Ejercicios

8.6 Problema: la dualidad de los espacios ℓp\ell^pℓp

Términos definidos en este capítulo

8.6 Problema: la dualidad de los espacios $\ell^p$