Matemáticas universitarias — Grado 3 · Bachelor Year 3

8Espacios de Banach y los teoremas fundamentales

El análisis funcional estudia espacios normados de dimensión infinita. a través de los operadores y funcionales que viven en ellos. su descubrimiento fundamental es que lo completo, a través de Baire teorema, fuerza una fuerte uniformidad: familias puntualmente acotadas de los operadores están limitados por normas (Banach–Steinhaus), continuo las biyecciones tienen inversas continuo (mapeo abierto) y gráficas detectar continuidad (gráfico cerrado). El otro pilar, Hahn–Banach, no necesita lo completo en absoluto — solo El lema de Zorn — y garantiza que espacios duales son lo suficientemente ricos para ver cada vector. Este capítulo prueba los cuatro teoremas y los prueba en los espacios de secuencia clásicos $\ell^p$ , en cálculos concretos dual, y de una manera realmente sorprendente aplicación: existen funciones periódicas continuo $2\pi$ cuya serie de Fourier diverge en un punto — resolviendo en lo negativo, una pregunta que el año 2 dejó abierta.

En todo momento, $E, F$ son espacios normados sobre $K = \R$ o $\C$ ; espacio banach significa completo normalizado espacio.

8.1 Operadores acotados; espacios de secuencia

Definición 8.1

$\mathcal L(E, F)$ denota el espacio de encerrado (= continuo, Año 2) mapas lineales con el operador norma $\vertiii T = \sup_{\norm x \leq 1}\norm{Tx}$ ; es submultiplicativo: $\vertiii{ST} \leq \vertiii S\,\vertiii T$ . El dual es $E' = \mathcal L(E, K)$ .

Proposición 8.2

Si $F$ es un espacio de Banach, también lo es $\mathcal L(E, F)$ ; en En particular, $E'$ es siempre un espacio de Banach.

Demostración. Sea $(T_n)$ Cauchy para $\vertiii\cdot$ . Para cada $x$ , $\norm{T_nx - T_mx} \leq \vertiii{T_n - T_m}\norm x$ : $(T_nx)$ es Cauchy en $F$ , convergente; Llame al límite $Tx$ . $T$ es lineal (límites de identidades lineales); pasando al limite en $\norm{T_nx - T_mx} \leq \varepsilon\norm x$ ( $n, m \geq N$ ) da $\norm{T_nx - Tx} \leq \varepsilon\norm x$ : $T_n \to T$ en norma del operador y $\vertiii T \leq \vertiii{T_N} + \varepsilon < \infty$ . ∎

Definición 8.3

Los espacios de secuencia clásica (sobre $K$ , indexado por $\N$ ):

\ell^p = \Bigl\{x = (x_n) : \norm x_p = \Bigl(\sum_n \abs{x_n}^p\Bigr)^{1/p} < \infty\Bigr\}\quad (1 \leq p < \infty),

\ell^\infty = \{x : \norm x_\infty = \sup\abs{x_n} < \infty\},

y $c_0 = \{x : x_n \to 0\}$ con $\norm\cdot_\infty$ . eso $\norm\cdot_p$ es una norma que se deriva de la desigualdad de Minkowski, demostrado en el caso discreto exactamente como en Capítulo 12 (o sumando la desigualdad de dimensión finita del año 2). Todos son espacios de Banach, y $c_0$ es un subespacio cerrado de $\ell^\infty$ (Ejercicio 8.3).

Bolas unitarias de las normas p en el plano, anidadas como p crece desde 1 (diamante) hasta 2 (disco) y 4 (superelipse) a ∈fty (cuadrado). Convexidad de cada bola. is la desigualdad de Minkowski; las esquinas en p = 1 y p = ∈fty son donde la convexidad estricta, la unicidad de mejores aproximaciones y los casos de igualdad de todos degeneran a la vez. — Bolas unitarias de las normas $p$ en el plano, anidadas como $p$ crece desde $1$ (diamante) hasta $2$ (disco) y $4$ (superelipse) a $\infty$ (cuadrado). Convexidad de cada bola. is la desigualdad de Minkowski; las esquinas en $p = 1$ y $p = \infty$ son donde la convexidad estricta, la unicidad de mejores aproximaciones y los casos de igualdad de Ejercicio 12.12 todos degeneran a la vez.

Proposición 8.4 (Serie Neumann)

Sea $E$ Banach y $T \in \mathcal L(E) = \mathcal L(E,E)$ con $\vertiii T < 1$ . Entonces $I - T$ es invertible en $\mathcal L(E)$ , con $(I - T)^{-1} = \sum_{n\geq0}T^n$ (convergente en norma del operador). En consecuencia, el conjunto de operadores reversibles es abierto y la inversión es continuo en él.

Demostración. La serie converge absolutamente ( $\vertiii{T^n} \leq \vertiii T^n$ , geométrica) en el Banach $\mathcal L(E)$ (Proposición 8.2; Ejercicio 7.1(b)). Telescópico, $(I - T)\sum_{n \leq N}T^n = I - T^{N+1} \to I$ , y similar en el otro lado. Para apertura: si $S$ es invertible y $\vertiii{H} < 1/\vertiii{S^{-1}}$ , entonces $S + H = S(I + S^{-1}H)$ con $\vertiii{S^{-1}H} < 1$ : reversible. Continuidad de inversión: la expresión de la serie da $\vertiii{(S+H)^{-1} - S^{-1}} = O(\vertiii H)$ localmente. ∎

Ejemplo 8.5 (Una ecuación de Volterra, resultado de Neumann.)

En $E = \mathcal C(\intcc01)$ , considere la ecuación integral

u(x) = 1 + \lambda\int_0^xu(t)\,\dd t, \qquad\text{i.e.}\qquad u = \mathbf 1 + \lambda Tu, \quad (Tu)(x) = \int_0^xu .

Aquí $\vertiii T \leq 1$ , por lo que para $\abs\lambda < 1$ se aplica directamente el neumann serie: $u = (I - \lambda T)^{-1}\mathbf 1 = \sum_n\lambda^nT^n\mathbf 1$ . Computación, $T^n\mathbf 1 = \frac{x^n}{n!}$ , entonces

u(x) = \sum_{n\geq0}\frac{(\lambda x)^n}{n!} = \eu^{\lambda x} ,

como lo confirma la diferenciación. Mejor: $\vertiii{T^n} \leq \frac1{n!}$ (el núcleo iterado se reduce factorialmente), por lo que $\sum\lambda^nT^n$ converge para cada $\lambda$ — el operador $I - \lambda T$ es invertible para todos los $\lambda \in \C$ , aunque $\vertiii{\lambda T} \geq 1$ eventualmente: lo que importa es la decadencia espectral de los poderes, no la primera norma. Los operadores de Volterra tienen este decaimiento factorial incorporado (Ejercicio 7.4(a) explotado exactamente esto), razón por la cual los problemas de valor inicial nunca sufren la misma fenómenos de resonancia de problemas de valores límite (Capítulo 15).

8.2 Hahn–Banach

Teorema 8.6 (Hahn–Banach, forma analítica)

Sea $E$ un espacio vectorial real, $p \colon E \to \R$ sublineal ( $p(x + y) \leq p(x) + p(y)$ y $p(tx) = tp(x)$ para $t \geq 0$ ), $F \subseteq E$ un subespacio y $f \colon F \to \R$ lineal con $f \leq p$ en $F$ . Entonces $f$ se extiende a un $\tilde f \colon E \to \R$ lineal con $\tilde f \leq p$ en $E$ .

Demostración. Extensión en un solo paso. Dejar $x_0 \notin F$ ; ampliamos $f$ a $F \oplus \R x_0$ eligiendo $\alpha = \tilde f(x_0)$ correctamente: necesitamos, para todos $y \in F$ , $t > 0$ ,

f(y) + t\alpha \leq p(y + tx_0) \quad\text{and}\quad f(y) - t\alpha \leq p(y - tx_0),

que después de dividir por $t$ (sublinealidad) se reduce a

\sup_{v \in F}\ \bigl[f(v) - p(v - x_0)\bigr] \;\leq\; \alpha \;\leq\; \inf_{u \in F}\ \bigl[p(u + x_0) - f(u)\bigr].

Tal $\alpha$ existe si cada miembro izquierdo es $\leq$ cada miembro derecho: de hecho $f(v) + f(u) = f(u + v) \leq p(u + v) \leq p(u + x_0) + p(v - x_0)$ , es decir $f(v) - p(v - x_0) \leq p(u + x_0) - f(u)$ .

Zorn. Ordene las extensiones de $f$ dominadas por $p$ (pares: subespacial, funcional) por extensión; una cadena tiene el unión como límite superior; se debe definir un elemento máximo en todos de $E$ ; de lo contrario, la extensión de un paso contradice la maximalidad. ∎

Corolario 8.7

Sea $E$ un espacio normado ( $K = \R$ o $\C$ ).

Cada $f \in F'$ ( $F$ un subespacio) se extiende a $\tilde f \in E'$ con $\norm{\tilde f}_{E'} = \norm f_{F'}$ .
Por cada $x \neq 0$ hay $f \in E'$ con $\norm f = 1$ y $f(x) = \norm x$ . En particular $E'$ separa los puntos de $E$ y $\norm x = \sup_{\norm f \leq 1}\abs{f(x)}$ .
Para un subespacio cerrado $F$ y $x \notin F$ , hay $f \in E'$ que desaparece en $F$ con $f(x) = d(x, F)$ y $\norm f \leq 1$ .

Demostración. (1) Caso real: aplicar Teorema 8.6 con $p(x) = \norm f_{F'}\,\norm x$ (sublineal); la extensión satisface $\pm\tilde f(x) = \tilde f(\pm x) \leq p(x)$ , entonces $\norm{\tilde f} \leq \norm f$ y $\geq$ son restricciones. Caso complejo: let $u = \operatorname{Re}f$ , un verdadero funcional con $\abs u \leq \norm f\norm\cdot$ ; nota $f(x) = u(x) - \iu\,u(\iu x)$ (verifique las partes reales e imaginarias: $\operatorname{Im}f(x) = -\operatorname{Re}f(\iu x)$ ). Extender $u$ linealmente real con el mismo límite y establezca $\tilde f(x) = \tilde u(x) - \iu\tilde u(\iu x)$ : $\C$ -lineal (verificación directa en multiplicación por $\iu$ ), extiende $f$ ; norma: para dado $x$ escriba $\tilde f(x) = r\eu^{\iu\theta}$ , luego $\abs{\tilde f(x)} = \tilde f(\eu^{-\iu\theta}x) = \tilde u(\eu^{-\iu\theta}x) \leq \norm f\,\norm x$ .

(2) En $F = Kx$ defina $f(tx) = t\norm x$ : norma $1$ en $F$ ; extender en (1). La fórmula de la dualidad: $\leq$ es clara, $\geq$ por este $f$ .

(3) En $F \oplus Kx$ defina $f(y + tx) = t\,d(x, F)$ ; entonces para $t \neq 0$ , $\norm{y + tx} = \abs t\,\norm{x + y/t} \geq \abs t\,d(x, F) = \abs{f(y + tx)}$ : $\norm f \leq 1$ en el subespacio; extender en (1). ∎

Observación 8.8

Por (2), la aplicación canónico $J \colon E \to E''$ , $J(x)(f) = f(x)$ , es una isometría (Ejercicio 8.10): todo normado El espacio se asienta dentro de su bidual. Los espacios con sobreyectiva $J$ son llamado reflexivo; el fin de semana El problema muestra que $\ell^p$ ( $1 < p < \infty$ ) es reflexivo mientras $\ell^1$ no lo es.

8.3 La trilogía de Baire

Teorema 8.9 (Banach–Steinhaus, delimitación uniforme)

Sea $E$ un espacio Banach, $F$ normado y $(T_i)_{i\in I} \subseteq \mathcal L(E, F)$ una familia con $\sup_i \norm{T_ix} < \infty$ por cada $x \in E$ . Entonces $\sup_i \vertiii{T_i} < \infty$ .

Demostración. Los conjuntos $F_n = \{x : \sup_i\norm{T_ix} \leq n\}$ están cerrados. (intersecciones de preimágenes de bolas cerradas) y portada $E$ . Baire (Teorema 7.6) le da a $n_0$ y una pelota $B(x_0, r) \subseteq F_{n_0}$ . Para $\norm z < r$ : $\norm{T_iz} \leq \norm{T_i(x_0 + z)} + \norm{T_ix_0} \leq 2n_0$ , entonces $\vertiii{T_i} \leq 2n_0/r$ por cada $i$ . ∎

Corolario 8.10

Si $E$ es Banach y $T_n \in \mathcal L(E,F)$ convergen puntualmente ( $T_nx \to Tx$ para cada $x$ ), luego $\sup_n \vertiii{T_n} < \infty$ , $T \in \mathcal L(E, F)$ y $\vertiii T \leq \liminf \vertiii{T_n}$ .

Demostración. Las secuencias convergentes están acotadas: acotación puntual; Banach–Steinhaus limita las normas a algunos $M$ ; entonces $\norm{Tx} = \lim\norm{T_nx} \leq M\norm x$ ( $T$ es lineal como un punto límite), y el límite más nítido pasando a $\liminf$ en $\norm{T_nx} \leq \vertiii{T_n}\norm x$ . ∎

Teorema 8.11 (Serie de Fourier divergente)

Existen continuo $2\pi$ funciones periódicas $f$ cuyas La serie de Fourier diverge en $0$ : $\sup_N\abs{S_N(f)(0)} = \infty$ . De hecho, tales $f$ forman un subconjunto denso de $\mathcal C(S^1)$ ..

Demostración. Trabaja en $E = (\mathcal C(S^1), \norm\cdot_\infty)$ , un Banach espacio, con los funcionales $\Lambda_N(f) = S_N(f)(0) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,D_N(t)\,\dd t$ (Dirichlet núcleo, Año 2). Cada $\Lambda_N$ es continuo con

\norm{\Lambda_N} = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\abs{D_N(t)}\,\dd t \;=\; L_N .

( $\leq$ está claro; $\geq$ : tome $f$ continuo, $\norm f_\infty \leq 1$ , aproximandose a $\operatorname{sign}D_N$ — el signo tiene un número finito de saltos; suavizando cada salto en un intervalo de longitud $\varepsilon$ cambia la integral por $O(N\varepsilon)$ .) Los Constantes de Lebesgue $L_N$ tienden al infinito:

L_N = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\abs{\sin\bigl((N{+}\tfrac12)t\bigr)}}{\abs{\sin(t/2)}} \,\dd t \geq \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} \frac{\abs{\sin\bigl((N{+}\tfrac12)t\bigr)}}{t}\,\dd t = \frac{2}{\pi}\int_0^{(N+\frac12)\pi}\frac{\abs{\sin u}}{u}\,\dd u

(usando $\abs{\sin(t/2)} \leq t/2$ en $[0, \pi]$ , luego sustituyendo $u = (N + \tfrac12)t$ ). Cortar en arcos:

\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{\abs{\sin u}}u\,\dd u \geq \frac1{k\pi}\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}\abs{\sin u}\,\dd u = \frac{2}{k\pi}, \qquad\text{so}\qquad L_N \geq \frac{4}{\pi^2}\sum_{k=1}^N\frac1k \xrightarrow[N\to\infty]{} \infty .

Si cada continuo $f$ tuviera $\sup_N \abs{\Lambda_N(f)} < \infty$ , Banach–Steinhaus obligaría $\sup_N\norm{\Lambda_N} < \infty$ : contradicción. Entonces algunos $f$ — de hecho un no escaso, conjunto denso de $f$ (el complemento de $\bigcup_M\{f: \sup_N\abs{\Lambda_Nf}\leq M\}$ , un contable unión de conjuntos cerrados que, al no tener interior por lo anterior aplicado en cualquier bola, es pobre) — tiene $\sup_N\abs{S_Nf(0)} = \infty$ . ∎

Teorema 8.12 (Abrir mapa)

Sean $E, F$ espacios de Banach y $T \in \mathcal L(E, F)$ sobreyectivo. Entonces $T$ está abierto: $T(B_E(0,1)) \supseteq B_F(0, c)$ para algunos $c > 0$ . En consecuencia, un biyectivo acotado operador entre espacios de Banach tiene un límite inverso.

Demostración. Escribe $B = B_E(0,1)$ . La sobreyectividad da $F = \bigcup_n \overline{T(nB)} = \bigcup_n n\,\overline{T(B)}$ ; Baire (Teorema 7.6) le da interior a $\overline{T(B)}$ : algunos $B_F(y_0, 4c) \subseteq \overline{T(B)}$ . Volver a centrar en $0$ : para $\norm y < 4c$ , ambos $y_0 + y$ y $y_0$ son límites de imágenes $Tu_k$ , $Tv_k$ con $u_k, v_k \in B$ , entonces $y = \lim T(u_k - v_k)$ con $u_k - v_k \in 2B$ : $B_F(0, 4c) \subseteq \overline{T(2B)}$ , es decir $B_F(0, 2c) \subseteq \overline{T(B)}$ .

Removing the cierre (aquí entra lo completo de $E$ ): deja $\norm y < c$ . Elija $x_1 \in \frac12 B$ con $\norm{y - Tx_1} < c/2$ ( $B_F(0,2c) \subseteq \overline{T(B)}$ escalado por $\frac12$ ); inductivamente $x_k \in 2^{-k}B$ con $\norm{y - T(x_1 + \dots + x_k)} < c\,2^{-k}$ . La serie $\sum x_k$ converge absolutamente en el Banach $E$ , a $x \in B$ (norma $< \sum 2^{-k} = 1$ ), y $Tx = y$ por continuidad: $B_F(0, c) \subseteq T(B)$ . La apertura de $T$ en aperturas arbitrarias sigue por traducción y escalado; para el corolario, apertura de $T$ significa que $T^{-1}$ es continuo. ∎

Corolario 8.13 (Normas equivalentes)

Si un espacio vectorial es completo para dos normas comparables ( $\norm\cdot_a \leq C\norm\cdot_b$ ), las normas son equivalentes.

Demostración. La identidad $(E, \norm\cdot_b) \to (E, \norm\cdot_a)$ es acotado y biyectivo entre espacios de Banach: su inverso es acotado. ∎

Teorema 8.14 (gráfico cerrado)

Sea $E, F$ Banach y $T \colon E \to F$ lineal. si el El gráfico $\Gamma = \{(x, Tx)\}$ está cerrado en $E \times F$ (es decir, $x_n \to x$ y $Tx_n \to y$ implican $y = Tx$ ), entonces $T$ es acotado.

Demostración. $E \times F$ con $\norm{(x,y)} = \norm x + \norm y$ es Banach; $\Gamma$ , un subespacio cerrado, es Banach. la proyección $\pi_E\colon \Gamma \to E$ es acotado y biyectivo, por lo que es $x \mapsto (x, Tx)$ inverso está acotado (Teorema 8.12): $\norm{Tx} \leq \norm{(x, Tx)} \leq C\norm x$ . ∎

Método 8.15

Cuándo alcanzar qué teorema. Hahn–Banach: a producir una conducta funcional con prescrita (normalizar una vector, que desaparece en un subespacio, se extiende desde un subespacio) — no se necesita lo completo. Banach–Steinhaus: para convertir información puntual en límites uniformes — típicamente para mostrar una operación límite es continuo, o (contrapositivo) para demostrar divergencia para algún elemento, como para series de Fourier. Mapeo abierto/gráfico cerrado: para obtener continuidad gratis de la biyectividad algebraico o de una propiedad cierre de la gráfico — uso típico: comparar dos normas completo o demostrar automático continuidad. Los tres teoremas de Baire requieren lo completode la fuente; contraejemplos de lo contrario (Ejercicio 8.7).

8.4 Espacios duales, concretamente

Teorema 8.16

Isométricamente: $(c_0)' \cong \ell^1$ y $(\ell^1)' \cong \ell^\infty$ , mediante el emparejamiento $\langle x, y\rangle = \sum_n x_ny_n$ .

Demostración. Probamos $(c_0)' \cong \ell^1$ ; la segunda identificación es Ejercicio 8.5. A $y \in \ell^1$ asociar $\Lambda_y(x) = \sum x_ny_n$ ( $x \in c_0$ ): absolutamente convergente, con $\abs{\Lambda_y(x)} \leq \norm x_\infty\norm y_1$ , entonces $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_1$ . Por el contrario, dejemos que $\Lambda \in (c_0)'$ ; configure $y_n = \Lambda(e_n)$ ( $e_n$ las secuencias de la unidad). Para cualquier $N$ , pruebe $x^{(N)} = \sum_{n \leq N} \operatorname{sign}(\overline{y_n})\,e_n \in c_0$ (norma $\leq 1$ ; en el caso complejo utilice factores unimodulares $\bar y_n/\abs {y_n}$ ): $\Lambda(x^{(N)}) = \sum_{n\leq N}\abs{y_n} \leq \norm\Lambda$ . Entonces $y \in \ell^1$ con $\norm y_1 \leq \norm\Lambda$ . Finalmente $\Lambda = \Lambda_y$ : ambos coinciden en el $e_n$ , por lo tanto en secuencias finitas, densas en $c_0$ (truncamiento: $\norm{x - \sum_{n \leq N}x_ne_n}_\infty = \sup_{n > N}\abs{x_n} \to 0$ precisamente porque $x_n \to 0$ ); continuo funcionales acordar un conjunto denso son iguales. La correspondencia es lineal, biyectivo e isométrico ( $\norm{\Lambda_y} = \norm y_1$ de las dos desigualdades). ∎

8.5 Ceremonias

Ejercicio 8.1 ★

Calcule el normas del operador: (a) los turnos $S(x_1, x_2, \dots) = (0, x_1, x_2, \dots)$ y $S^*(x_1, x_2, \dots) = (x_2, x_3, \dots)$ en $\ell^2$ ; (b) el operador de multiplicación $M_a x = (a_nx_n)$ en $\ell^2$ , para $a \in \ell^\infty$ ; (c) el $\Lambda(f) = \int_0^{1/2}f - \int_{1/2}^1f$ funcional en $\mathcal C(\intcc01)$ — mostrar $\norm\Lambda = 1$ y que la norma es no alcanzado.

Solución

Solución de Ejercicio 8.1.

(a) $\norm{Sx}_2 = \norm x_2$ : $S$ es una isometría, $\vertiii S = 1$ . Para el desplazamiento hacia atrás: $\norm{S^*x}_2^2 = \sum_{n \geq 2}\abs{x_n}^2 \leq \norm x_2^2$ , con igualdad para $x = e_2$ : $\vertiii{S^*} = 1$ .

(b) $\norm{M_ax}_2^2 = \sum\abs{a_n}^2\abs{x_n}^2 \leq \norm a_\infty^2\norm x_2^2$ ; Al probar $x = e_n$ se obtiene $\vertiii{M_a} \geq \abs{a_n}$ por cada $n$ : $\vertiii{M_a} = \norm a_\infty$ .

(c) $\abs{\Lambda(f)} \leq \int_0^1\abs f \leq \norm f_\infty$ : $\norm\Lambda \leq 1$ . Para $\varepsilon > 0$ sea $f_\varepsilon$ ser $1$ en $[0, \frac12 - \varepsilon]$ , $-1$ en $[\frac12 + \varepsilon, 1]$ , afín entre: $\norm{f_\varepsilon}_\infty = 1$ y $\Lambda(f_\varepsilon) \geq 1 - 2\varepsilon$ : $\norm\Lambda = 1$ . No alcanzado: $\Lambda(f) = 1$ con $\norm f_\infty \leq 1$ fuerza a $\int_0^{1/2}f = \frac12$ y $\int_{1/2}^1 f = -\frac12$ , es decir (continuidad, $\abs f \leq 1$ ) $f \equiv 1$ en $[0, \frac12]$ y $f \equiv -1$ en $[\frac12, 1]$ : contradicción en $\frac12$ .

Ejercicio 8.2 ★

Sea $E$ Banach, $T \in \mathcal L(E)$ invertible y $S$ con $\vertiii{S - T} < 1/\vertiii{T^{-1}}$ . Demuestre que $S$ es invertible y estimado $\vertiii{S^{-1} - T^{-1}}$ . Aplicación: si un sistema lineal $Tx = b$ es soluble con $T$ invertible, a una perturbación suficientemente pequeña de $T$ lo mantiene únicamente soluble, con un límite cuantitativo sobre el cambio de solución.

Solución

Solución de Ejercicio 8.2.

Escribe $S = T\bigl(I - T^{-1}(T - S)\bigr)$ con $\vertiii{T^{-1}(T-S)} \leq \vertiii{T^{-1}}\,\vertiii{T - S} = \theta < 1$ : por Proposición 8.4, $S$ es invertible con $S^{-1} = \sum_{n\geq0}\bigl(T^{-1}(T - S)\bigr)^nT^{-1}$ , de donde

\vertiii{S^{-1} - T^{-1}} \leq \sum_{n\geq1}\theta^n\,\vertiii{T^{-1}} = \frac{\vertiii{T^{-1}}^2\,\vertiii{T - S}}{1 - \theta}.

Para el sistema lineal: $x_T = T^{-1}b$ y $x_S = S^{-1}b$ difieren como máximo en los tiempos enlazados $\norm b$ — pequeño las perturbaciones de un sistema invertible permanecen únicamente soluble, con dependencia de Lipschitz de la solución del operador.

Ejercicio 8.3 ★★

(a) Demostrar que $\ell^1$ , $\ell^\infty$ y $c_0$ son Banach espacios, y que $c_0$ es el cierre en $\ell^\infty$ del espacio de sucesiones finitas. (b) Mostrar $\ell^p \subseteq \ell^q$ con $\norm\cdot_q \leq \norm\cdot_p$ para $1 \leq p \leq q \leq \infty$ , y que el La inclusión es estricta.

Solución

Solución de Ejercicio 8.3.

(a) $\ell^1$ : sea $(x^{(k)})$ Cauchy. Cada coordenada es Cauchy ( $\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n} \leq \norm{x^{(k)} - x^{(l)}}_1$ ): deja $x_n = \lim_kx^{(k)}_n$ . Dado $\varepsilon$ , para $k, l \geq K$ : $\sum_{n \leq N}\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n} \leq \varepsilon$ para cada $N$ ; sea $l \to \infty$ , luego $N \to \infty$ : $\norm{x^{(k)} - x}_1 \leq \varepsilon$ y $x = x^{(k)} - (x^{(k)} - x) \in \ell^1$ . $\ell^\infty$ : Cauchy para $\norm\cdot_\infty$ es uniformemente Cauchy: converge uniformemente a una secuencia acotada. $c_0$ está cerrado en $\ell^\infty$ : si $x^{(k)} \to x$ uniformemente con $x^{(k)}_n \to_n 0$ , luego $\abs{x_n} \leq \norm{x - x^{(k)}}_\infty + \abs{x^{(k)}_n}$ da $\limsup_n\abs{x_n} \leq \varepsilon$ : $x \in c_0$ ; un El subespacio cerrado de un espacio de Banach es Banach. Secuencias finitas: su cierre contiene cada $x \in c_0$ (los truncamientos convergen: $\sup_{n>N}\abs{x_n} \to 0$ ) y está contenido en el archivo cerrado. $c_0$ .

(b) Por homogeneidad, supongamos $\norm x_p = 1$ : luego $\abs{x_n} \leq 1$ para todo $n$ , por lo que $\abs{x_n}^q \leq \abs{x_n}^p$ y $\norm x_q \leq 1 = \norm x_p$ ; para $q = \infty$ , $\abs{x_n} \leq \norm x_p$ directamente. Rigor: $x_n = n^{-\alpha}$ con $\frac1q < \alpha \leq \frac1p$ se encuentra en $\ell^q \setminus \ell^p$ (serie Riemann).

Ejercicio 8.4 ★★

Sea $F \subseteq E$ un subespacio cerrado y $x \notin F$ . Usando Corolario 8.7, demuestre la fórmula de dualidad

d(x, F) = \max\bigl\{\abs{f(x)} : f \in E',\ \norm f \leq 1,\ f\restriction_F = 0\bigr\}

(nota: un máximo). Deduzca que $F = \bigcap\{\ker f : f \in E',\ f\restriction_F = 0\}$ : los subespacios cerrados son exactamente las intersecciones de núcleos de funcionales.

Solución

Solución de Ejercicio 8.4.

( $\leq$ ) Si $\norm f \leq 1$ y $f\restriction_F = 0$ : para cada $y \in F$ , $\abs{f(x)} = \abs{f(x - y)} \leq \norm{x - y}$ ; toma el mínimo. ( $\geq$ , alcanzado) Corolario 8.7(3) produce $f$ con $f\restriction_F = 0$ , $\norm f \leq 1$ , $f(x) = d(x, F)$ : el supremo es un máximo. Consecuencia: $F \subseteq \bigcap\{\ker f : f\restriction_F = 0\}$ trivialmente, y un punto $x \notin F$ está excluido de la intersección por el funcional anterior ( $f(x) = d(x,F) > 0$ , $F$ están cerrados).

Ejercicio 8.5 ★★

Demuestre $(\ell^1)' \cong \ell^\infty$ isométricamente, siguiendo las esquema de Teorema 8.16 (las secuencias finitas son densas en $\ell^1$ ). ¿Dónde termina el argumento a favor de $(\ell^\infty)'$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 8.5.

Para $y \in \ell^\infty$ : $\abs{\Lambda_y(x)} = \abs{\sum x_ny_n} \leq \norm y_\infty\norm x_1$ , entonces $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_\infty$ ; prueba en $e_n$ : $\abs{y_n} = \abs{\Lambda_y(e_n)} \leq \norm{\Lambda_y}$ : igualdad. Por el contrario, dado $\Lambda \in (\ell^1)'$ , configure $y_n = \Lambda(e_n)$ : $\abs{y_n} \leq \norm\Lambda$ , por lo que $y \in \ell^\infty$ ; $\Lambda$ y $\Lambda_y$ coinciden en finitos secuencias, que son densas en $\ell^1$ ( $\norm{x - \sum_{n\leq N}x_ne_n}_1 = \sum_{n>N}\abs{x_n} \to 0$ ): $\Lambda = \Lambda_y$ . La aplicación $y \mapsto \Lambda_y$ es lineal, isométrico, hacia. Para $(\ell^\infty)'$ el mismo inicio produce una secuencia $y_n = \Lambda(e_n)$ , pero las secuencias finitas son no densas en $\ell^\infty$ (la secuencia constante $\mathbf 1$ está a la distancia $1$ de todos de ellos), por lo que $\Lambda$ no está determinado por $y_n$ — y efectivamente $(\ell^\infty)' \neq \ell^1$ (Problema 8.1).

Ejercicio 8.6 ★★

Sea $E, F, G$ normalizado con $E$ Banach, y $B \colon E \times F \to G$ bilineal, continuo en cada variable por separado. Mostrar que $B$ es (conjuntamente) continuo: $\norm{B(x,y)} \leq C\norm x\norm y$ . (Apply Banach–Steinhaus to the family $(B(\cdot, y))_{\norm y \leq 1}$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 8.6.

Para cada $x$ fijo, $y \mapsto B(x, y)$ es continuo lineal: $\sup_{\norm y \leq 1}\norm{B(x,y)} < \infty$ . entonces la familia $\{B(\cdot, y) : \norm y \leq 1\} \subseteq \mathcal L(E, G)$ (cada miembro continuo, por continuidad en $x$ ) es puntual acotado en el espacio de Banach $E$ : Banach–Steinhaus (Teorema 8.9) produce $C$ con $\norm{B(x,y)} \leq C\norm x$ para todos los $\norm y \leq 1$ ; homogeneidad en acabados $y$ : $\norm{B(x,y)} \leq C\norm x\norm y$ .

Ejercicio 8.7 ★★

(a) En $E = \mathcal C(\intcc01)$ , compare $\norm\cdot_\infty$ y $\norm\cdot_1$ : la identidad $(E, \norm\cdot_\infty) \to (E, \norm\cdot_1)$ es acotada y biyectiva pero su inversa es ilimitado. ¿Qué hipótesis de Corolario 8.13 falla? (b) Exhibir una aplicación lineal discontinuo de un subespacio denso de $\ell^2$ a $K$ (por ejemplo, en secuencias finitas) y explique por qué esto no contradice el teorema del grafo cerrado.

Solución

Solución de Ejercicio 8.7.

(a) $\norm f_1 \leq \norm f_\infty$ : la identidad está limitada, y biyectivo. Su inverso es ilimitado: $f_n(x) = x^n$ tiene $\norm{f_n}_1 = \frac1{n+1} \to 0$ pero $\norm{f_n}_\infty = 1$ . No hay contradicción con Corolario 8.13: $(\mathcal C(\intcc01), \norm\cdot_1)$ es no completo (Ejercicio 7.1); el corolario requiere lo completo en ambos lados.

(b) En el espacio $E_0$ de secuencias finitas (densas en $\ell^2$ ), $\varphi(x) = \sum_n n\,x_n$ es lineal e ilimitado ( $\varphi(e_n) = n$ con $\norm{e_n}_2 = 1$ ). El gráfico cerrado El teorema no se aplica: $E_0$ no es completo — y $\varphi$ no tiene extensión continuo a $\ell^2$ , lo que ilustra que densidad sin uniforme continuidad es impotente (Teorema 7.2).

Ejercicio 8.8 ★★★

(Hellinger–Toeplitz) Sea $T \colon \ell^2 \to \ell^2$ lineal (definido en todas partes) y simétrico: $\langle Tx, y\rangle = \langle x, Ty\rangle$ para todos los $x, y$ , donde $\langle x, y \rangle = \sum x_n\bar y_n$ . Demuestre que $T$ está acotado. (Closed graph: if $x_k \to x$ and $Tx_k \to z$ , test against arbitrary $y$ .) Moraleja: operadores simétricos ilimitados — los hamiltonianos de la mecánica cuántica — nunca podrán ser definido en todo el espacio.

Solución

Solución de Ejercicio 8.8.

Verificamos la hipótesis del grafo cerrado. Deje $x_k \to x$ y $Tx_k \to z$ en $\ell^2$ . Por cada $y$ :

\langle z, y\rangle = \lim_k\langle Tx_k, y\rangle = \lim_k \langle x_k, Ty\rangle = \langle x, Ty\rangle = \langle Tx, y\rangle,

usando continuidad del producto interno en cada ranura (Cauchy–Schwarz) y simetría dos veces. Entonces $z - Tx$ es ortogonal a cada $y$ , en particular a sí mismo: $z = Tx$ . La gráfica es cerrado y $\ell^2$ es Banach: $T$ está acotado (Teorema 8.14). Por tanto, un operador simétrico definido en todo de $\ell^2$ está limitado automáticamente; operadores simétricos genuinamente ilimitados (posición, impulso, Los hamiltonianos) deben vivir en subespacios densos adecuados.

Ejercicio 8.9 ★★★

(Teorema de cuadratura de Polya) Para cada $n$ , sea $\Lambda_n(f) = \sum_{i=0}^{n} w_{i,n}f(x_{i,n})$ una regla de cuadratura en $\mathcal C(\intcc01)$ ( $x_{i,n} \in \intcc01$ , $w_{i,n} \in \R$ ). Mostrar que $\Lambda_n(f) \to \int_0^1f$ para cada continuo $f$ si y sólo si: (i) $\Lambda_n(P) \to \int_0^1P$ para cada polinomio $P$ , y (ii) $\sup_n\sum_i\abs{w_{i,n}} < \infty$ . (Compute $\norm{\Lambda_n}$ ; use Banach–Steinhaus and Weierstrass.) Comprueba que reglas con positivo los pesos exactos de las constantes satisfacen (ii) automáticamente.

Solución

Solución de Ejercicio 8.9.

Primero, $\norm{\Lambda_n} = \sum_i\abs{w_{i,n}}$ : $\leq$ es el desigualdad triangular; $\geq$ probando un $f$ lineal por partes con $\norm f_\infty \leq 1$ y $f(x_{i,n}) = \operatorname{sign}(w_{i,n})$ (interpolar linealmente entre los un número finito de nodos; donde los nodos coinciden los signos concuerdan).

( $\Rightarrow$ ) La convergencia puntual en cada $f$ implica (i), y limitación puntual, así Banach–Steinhaus (Teorema 8.9) en Banach $\mathcal C(\intcc01)$ da (ii).

( $\Leftarrow$ ) Vamos $M = \sup_n\norm{\Lambda_n} + 1$ . Dado $f$ y $\varepsilon$ , elija un polinomio $P$ con $\norm{f - P}_\infty < \varepsilon/(2M)$ (Corolario 7.16); entonces

\Bigl|\Lambda_n f - \int_0^1 f\Bigr| \leq \abs{\Lambda_n(f - P)} + \Bigl|\Lambda_nP - \int_0^1P\Bigr| + \Bigl|\int_0^1(P - f)\Bigr| \leq \varepsilon + \Bigl|\Lambda_nP - \int_0^1P\Bigr| \to \varepsilon .

Pesos positivos, exactitud en constantes: $\sum_i\abs{w_{i,n}} = \sum_iw_{i,n} = \Lambda_n(\mathbf 1) = \int_0^1 1 = 1$ para reglas exactas sobre constantes — (ii) se cumple con la constante $1$ .

Ejercicio 8.10 ★★

Demuestre que $J \colon E \to E''$ , $J(x)(f) = f(x)$ , es un lineal isometría (use Corolario 8.7(2)), y que sea sobreyectivo cuando $\dim E < \infty$ . Muestre también que si $E'$ es separable entonces también lo es $E$ . (Pick $x_n$ nearly norming a dense sequence of $E'$ and show their closed span is $E$ , via Corolario 8.7(3).)

Solución

Solución de Ejercicio 8.10.

La linealidad de $J$ es formal; $\norm{J(x)} = \sup_{\norm f \leq 1}\abs{f(x)} = \norm x$ por Corolario 8.7(2). Si $\dim E = n$ : $\dim E' = n$ (una base proporciona funciones de coordenadas), entonces $\dim E'' = n$ , y el inyectivo (isométrico) $J$ está activado. Separabilidad: dejar $(f_n)$ sea denso en $E'$ y elija $\norm{x_n} = 1$ con $\abs{f_n(x_n)} \geq \frac12\norm{f_n}$ . Sea $F = \overline{\operatorname{Vect}}(x_n)$ ; si $F \neq E$ , tome $g \in E'$ , $g \neq 0$ , desapareciendo en $F$ (Corolario 8.7(3)); elija $f_{n_k} \to g$ :

\norm{f_{n_k} - g} \geq \abs{(f_{n_k} - g)(x_{n_k})} = \abs{f_{n_k}(x_{n_k})} \geq \tfrac12\norm{f_{n_k}} \geq \tfrac12\bigl(\norm g - \norm{f_{n_k} - g}\bigr),

entonces $\norm{f_{n_k} - g} \geq \frac13\norm g > 0$ : contradicción. Por lo tanto, $F = E$ y combinaciones racionales (o $\Q + \iu\Q$ ) de el $x_n$ forma un conjunto denso contable.

Ejercicio 8.11 ★★

(Espacios de cociente) Sea $E$ un espacio de Banach y $F \subseteq E$ un subespacio cerrado. En $E/F$ define

\norm{\bar x} \;=\; d(x, F) = \inf_{y\in F}\norm{x - y} .

(a) Muestre que este es un norma bien definido en $E/F$ (donde entra el cierre de $F$ ?), y que la proyección $\pi \colon E \to E/F$ tiene $\vertiii\pi \leq 1$ y mapea el abierto bola unitaria sobre la bola unitaria abierta. (b) Demuestre que $E/F$ es completo. (Use the series criterion of Ejercicio 7.1(b): given classes $\bar x_k$ with $\sum\norm{\bar x_k} < \infty$ , lift each to $x_k \in E$ with $\norm{x_k} \leq \norm{\bar x_k} + 2^{-k}$ and sum in $E$ .) (c) Calcular: para $E = c$ (secuencias convergentes) y $F = c_0$ , muestre $c/c_0 \cong K$ isométricamente a través de $\bar x \mapsto \lim_nx_n$ .

Solución

Solución de Ejercicio 8.11.

(a) Bien definido: $d(x, F)$ depende sólo de $\bar x$ (traducir $x$ por $F$ no cambia la distancia). Homogeneidad y desigualdad triangular pasan de $\norm\cdot$ a través del mínimo. La separación necesita cierre: $\norm{\bar x} = 0$ significa $d(x, F) = 0$ , es decir $x \in \bar F = F$ , es decir $\bar x = 0$ . $\vertiii\pi \leq 1$ : $\norm{\bar x} \leq \norm x$ . Bola abierta sobre bola abierta: si $\norm{\bar x} < 1$ , algún representante tiene $\norm{x - y} < 1$ ; por el contrario $\pi(B_E(0,1)) \subseteq B_{E/F}(0,1)$ por la norma desigualdad — entonces $\pi$ es abierto, el caso modelo de lo abierto teorema de mapeo.

(b) Deje $\sum_k\norm{\bar x_k} < \infty$ y levante con $\norm{x_k} \leq \norm{\bar x_k} + 2^{-k}$ : entonces $\sum\norm{x_k} < \infty$ , por lo que $s = \sum_kx_k$ converge en el Banach $E$ (Ejercicio 7.1(b)), y continuidad de $\pi$ da $\sum_k\bar x_k = \bar s$ : cada absolutamente convergente serie de $E/F$ converge, lo que equivale a lo completo (mismo ejercicio).

(c) La aplicación $\lambda(x) = \lim_nx_n$ es lineal $c \to K$ , desaparece exactamente en $c_0$ , por lo que induce una biyección lineal $c/c_0 \to K$ . Isometría: $d(x, c_0) = \abs{\lambda(x)}$ — $\leq$ : restar de $x$ la secuencia $x - \lambda(x)\mathbf 1 \in c_0$ , quedando $\lambda(x)\mathbf 1$ de norma $\abs{\lambda(x)}$ ; $\geq$ : para $y \in c_0$ , $\norm{x - y}_\infty \geq \limsup_n\abs{x_n - y_n} = \abs{\lambda(x)}$ .

Ejercicio 8.12 ★★

(Proyecciones acotadas y subespacios complementados) Sea $E$ un Espacio de Banach y $P \colon E \to E$ lineal con $P^2 = P$ (una proyección algebraico), $V = \operatorname{im}P$ , $W = \ker P$ . (a) Supongamos que $P$ está acotado. Mostrar que $V$ y $W$ están cerrados y $E = V \oplus W$ con la descomposición $x = Px + (x - Px)$ . (b) Por el contrario, supongamos $E = V \oplus W$ con ambos $V, W$ cerrado y sea $P$ la proyección sobre $V$ a lo largo de $W$ . Demuestre que $P$ está acotado. (Closed graph: if $x_n \to x$ and $Px_n \to z$ , then $z \in V$ , $x_n - Px_n \to x - z \in W$ , and uniqueness of the decomposition identifies $z = Px$ .) (c) Deducir el equivalencia: un subespacio $V$ admite un proyección acotada si es cerrada y tiene un lado cerrado Complemento algebraico — y tenga en cuenta (sin pruebas) que Existen subespacios cerrados sin esta propiedad ( $c_0$ dentro $\ell^\infty$ es el ejemplo clásico): espacios de Hilbert, donde $V^\perp$ siempre funciona (Capítulo 13), son la excepción, no la regla.

Solución

Solución de Ejercicio 8.12.

(a) $W = \ker P$ está cerrado (imagen previa de $0$ bajo un aplicación continua); $V = \operatorname{im}P = \ker(I - P)$ (de hecho $Px = x$ y si $x \in \operatorname{im}P$ , usando $P^2 = P$ ), cerrado de la misma manera. Cada $x$ se divide como $Px + (x - Px)$ con $Px \in V$ , $x - Px \in W$ y $V \cap W = 0$ ( $x = Px = 0$ ): $E = V \oplus W$ .

(b) El argumento del gráfico: sean $x_n \to x$ y $Px_n \to z$ . Luego $z \in V$ ( $V$ cerrado, $Px_n \in V$ ) y $x_n - Px_n \to x - z \in W$ ( $W$ cerrado). Entonces $x = z + (x - z)$ con $z \in V$ , $x - z \in W$ ; por unicidad de la descomposición, $z = Px$ . La gráfica de $P$ está cerrada, $E$ es Banach: $P$ es acotado (Teorema 8.14).

(c) (a) y (b) juntos son la equivalencia. en un hilabert espacio cada $V$ cerrado tiene el complemento cerrado $V^\perp$ (Capítulo 13): todo subespacio cerrado es complementado. En general, los espacios de Banach esto fallan — $c_0$ no tiene complemento cerrado en $\ell^\infty$ (Phillips teorema, más allá de nuestras herramientas) — por lo que las proyecciones acotadas son una privilegio, y el teorema del grafo cerrado es exactamente el contabilidad que convierte divisiones geométricas en acotadas operadores.

8.6 Problema: la dualidad del $\ell^p$ espacios

Problema 8.1

Problema de fin de semana — $(\ell^p)' = \ell^q$ , reflexividad y la extrañeza de $\ell^\infty$

Arregla $1 < p < \infty$ y deja que $q$ sea el exponente conjugado, $\frac1p + \frac1q = 1$ . El emparejamiento es $\langle x, y\rangle = \sum_n x_ny_n$ .

Parte I — Hölder and Minkowski for sequences.

(Desigualdad de Young) Para $a, b \geq 0$ muestre $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ , usando la concavidad de $\log$ o estudiando $t \mapsto \frac{t^p}p + \frac1q - t$ .
(Hölder) Deducir: $\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x_p\norm y_q$ para $x \in \ell^p$ , $y \in \ell^q$ ; Identificar el caso de igualdad.
(Minkowski) Deduce la desigualdad del triángulo para $\norm\cdot_p$ . (Write $\abs{x_n + y_n}^p \leq \abs{x_n}\,\abs{x_n{+}y_n}^{p-1} + \abs{y_n}\,\abs{x_n{+}y_n}^{p-1}$ and apply Hölder to each term.)
Demuestre que $\ell^p$ es completo y que el finito Las secuencias son densas en él.

Parte II — The duality $(\ell^p)' = \ell^q$ .

Para $y \in \ell^q$ , muestre que $\Lambda_y(x) = \langle x, y\rangle$ define $\Lambda_y \in (\ell^p)'$ con $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_q$ , y probando en $x_n = \abs{y_n}^{q-1}\operatorname{sign}(y_n)$ (adecuadamente truncado y normalizado), que $\norm{\Lambda_y} = \norm y_q$ .
Por el contrario, dado $\Lambda \in (\ell^p)'$ , establezca $y_n = \Lambda(e_n)$ ; muestre $y \in \ell^q$ con $\norm y_q \leq \norm\Lambda$ (prueba sobre truncamientos como en cuestión 5 y dejar crecer la longitud del truncamiento) y concluya $\Lambda = \Lambda_y$ : la aplicación $y \mapsto \Lambda_y$ es un isomorfismo isométrico $\ell^q \to (\ell^p)'$ .
Deduzca que $\ell^p$ es reflexivo para $1 < p < \infty$ : componiendo las dos dualidades, cada elemento de $(\ell^p)''$ proviene de $\ell^p$ ; verificar cuidadosamente que el compuesto es el canónico $J$ .

Parte III — $\ell^1$ and $\ell^\infty$ are different animals.

Muestre que $\ell^p$ ( $1 \leq p < \infty$ ) y $c_0$ son separable, pero $\ell^\infty$ no lo es. (The uncountably many indicator sequences of subsets of $\N$ are pairwise at distance $1$ .)
Deduce de Ejercicio 8.10 que $(\ell^1)' \cong \ell^\infty$ pero $(\ell^\infty)' \not\cong \ell^1$ : $\ell^1$ es no reflexivo. (If $(\ell^\infty)'$ were $\ell^1$ , it would be separable, forcing $\ell^\infty$ separable.)
(Un límite de Banach, explícitamente) En $\ell^\infty_\R$ , deje $p(x) = \limsup_n \frac{x_1 + \dots + x_n}{n}$ . Mostrar que $p$ es sublineal, y que en el subespacio $c$ de secuencias convergentes, $\mathrm{LIM}(x) = \lim x$ satisface $\mathrm{LIM} \leq p$ . Ampliar por Hahn–Banach a $\mathrm{LIM} \colon \ell^\infty_\R \to \R$ y mostrar: $\mathrm{LIM}$ es positivo ( $x \geq 0 \Rightarrow \mathrm{LIM}(x) \geq 0$ ), invariante de cambio ( $\mathrm{LIM}(x_2, x_3, \dots) = \mathrm{LIM}(x)$ ), extiende el límite y satisface $\liminf x \leq \mathrm{LIM}(x)\leq \limsup x$ .
Demuestre que tal $\mathrm{LIM}$ , visto en $(\ell^\infty)'$ , es no de la forma $\Lambda_y$ para cualquier $y \in \ell^1$ ; concluir nuevamente $(\ell^\infty)' \neq \ell^1$ . (Evaluar en las secuencias unitarias $e_n$ , luego en la secuencia constante $1$ .)
Evalúe $\mathrm{LIM}$ en $(0,1,0,1,\dots)$ y muestre que no hay extensión multiplicativo invariante por desplazamiento del límite puede existir (consider $x = (0,1,0,1,\dots)$ and $x\cdot Sx$ where $S$ is the shift).

Parte IV — Epilogue: why reflexivity matters.

Usando Corolario 8.10 y la pregunta 6, mostrar que cada secuencia acotada de $\ell^p$ ( $1 < p < \infty$ ) tiene una subsecuencia $(x^{(k)})$ que converge enclenque: $\Lambda(x^{(k)})$ converge para cada $\Lambda \in (\ell^p)'$ . (Diagonal extraction on the countably many coordinates; identify the weak limit in $\ell^p$ using uniform boundedness of norms and Hölder.) Mostrar por ejemplo ( $e_n$ en $\ell^1$ , contra elementos bien elegidos de $\ell^\infty$ ) que esto falla en $\ell^1$ : la compacidad débil es un privilegio de espacios reflexivos.

Part V — The weak topología at work, and Schur’s surprise. Escribe $x^{(k)} \rightharpoonup x$ en un espacio normado $E$ (convergencia débil) cuando $\Lambda(x^{(k)}) \to \Lambda(x)$ por cada $\Lambda \in E'$ .

Completo el censo: mostrar $(c_0)' \cong \ell^1$ isométricamente, según el esquema de las preguntas 5–6 (¿qué reemplaza las secuencias de prueba?). Montar la cadena $c_0 \to \ell^1 \to \ell^\infty \to \dots$ de duales sucesivos y marca donde falla la reflexividad.
Demuestre que toda secuencia débilmente convergente de un Banach el espacio está limitado: vea el $x^{(k)}$ a través del incrustación canónica $J$ como funcionales en $E'$ y aplicar Banach–Steinhaus (Teorema 8.9) — en el cual Espacio Banach, ¿y por qué lo completo está disponible allí?
Muestre que en $\ell^p$ , $1 < p < \infty$ : $x^{(k)} \rightharpoonup x$ si y $\sup_k\norm{x^{(k)}}_p < \infty$ y $x^{(k)}_n \to x_n$ para cada coordenada $n$ (one direction uses Banach–Steinhaus through the canonical embedding; for the other, approximate $y \in \ell^q$ by finite sequences). Deduzca $e_k \rightharpoonup 0$ en $\ell^2$ mientras que $\norm{e_k}_2 = 1$ : los límites débiles pueden perder masa.
Demuestre que la norma es semicontinua débilmente inferior: $x^{(k)} \rightharpoonup x$ implica $\norm x \leq \liminf_k\,\norm{x^{(k)}}$ (pick a norming functional for $x$ , Corolario 8.7).
(Radón–Riesz en $\ell^2$ ) Muestre que en $\ell^2$ , débil la convergencia junto con la convergencia de normas implica convergencia de normas (expand $\norm{x^{(k)} - x}_2^2$ ). Dar un contraejemplo a la misma afirmación. sin la hipótesis de la norma.
(Schur, paso 1) Deje entrar a $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ $\ell^1$ y supongamos, por contradicción, $\norm{x^{(k)}}_1 \geq \delta > 0$ a lo largo de un subsecuencia. Mostrar primero que $x^{(k)}_n \to 0$ para cada $n$ (¿cuáles funcionales?), luego construya índices recursivamente $k_1 < k_2 < \cdots$ y números enteros $0 = N_0 < N_1 < N_2 < \cdots$ tal que la masa de $x^{(k_j)}$ se concentra en el bloque $B_j = \intoc{N_{j-1}}{N_j}$ :

$\sum_{n \in B_j}\bigl|x^{(k_j)}_n\bigr| \geq \norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac\delta{10} .$
(Schur, paso 2) Defina $y \in \ell^\infty$ por $y_n = \operatorname{sign}\bigl(x^{(k_j)}_n\bigr)$ para $n \in B_j$ . Muestre $\langle x^{(k_j)}, y\rangle \geq \norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac{2\delta}{10} \geq \frac{8\delta}{10}$ y derive una contradicción con $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ . Concluye Schur’s teorema: en $\ell^1$ , secuencias débilmente convergentes convergen en norma.
Deduzca que $(e_k)$ no tiene convergencia débil. subsecuencia en $\ell^1$ (su único límite de candidatos es $0$ , coordinadamente — luego aplicar Schur), recuperando el fracaso de la pregunta 13 en materia de compacidad débil; y resolver la aparente paradoja: en $\ell^1$ débil y norma convergencia de secuencias coinciden, sin embargo, débil y norma topologías difieren y están limitados los conjuntos todavía no logran ser débilmente secuencialmente compacto — ninguna contradicción, sólo el fracaso de la reflexividad.
(Tabla de síntesis) Para $E \in \{c_0,\ \ell^1,\ \ell^p\ (1{<}p{<}\infty),\ \ell^\infty\}$ , tabule: el dual; posibilidad de separación; reflexividad; si secuencias acotadas admitir subsecuencias débilmente convergentes; y uno Propiedad firma de cada espacio, justificada en una línea de este problema.

Part VI — Complements: nearest points, averaged convergence, the value of a Banach limit.

(Puntos más cercanos: un dividendo de la reflexividad) Sea $F$ un subespacio cerrado de $\ell^p$ ( $1 < p < \infty$ ) y $x \in \ell^p$ . Demuestre que $d = \operatorname{dist}(x, F)$ es alcanzado: extracto de una minimización secuencia una subsecuencia débilmente convergente (pregunta 13), mantenga el límite débil dentro de $F$ construyendo, a través de Hahn–Banach, una desaparición funcional en $F$ pero no en un punto fuera de él y concluir con la pregunta 17. Luego muestre que el privilegio no es universal: en $c_0$ , para $\Lambda(x) = \sum_n2^{-n}x_n$ , probar $\norm\Lambda = 1$ no se alcanza en la bola unitaria, establecer la fórmula de la distancia $\operatorname{dist}(x, \ker\Lambda) = \abs{\Lambda(x)}$ , y deducir que ningún $x \notin \ker\Lambda$ tiene un punto más cercano en el círculo cerrado. hiperplano $\ker\Lambda$ .
(Banach–Saks en $\ell^2$ ) Deje $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ en $\ell^2_{\R}$ con $\norm{x^{(k)}}_2 \leq C$ . Construir una subsecuencia $(y_j)$ con $\abs{\langle y_i, y_j\rangle} \leq \frac1j$ para todos los $i < j$ , y deducir

$\Bigl\lVert\frac{y_1 + \dots + y_m}m\Bigr\rVert_2^2 \leq \frac{C^2 + 2}m \longrightarrow 0 :$

después de la extracción, los medios Cesàro convergen en norma. Consulte $(e_k)$ , cuyos medios tienen norma. $\frac1{\sqrt m}$ : convergencia débil, inútil para el la secuencia misma (pregunta 16), se convierte en norma convergencia de promedios.
(El valor de un límite de Banach) Sea $L$ cualquier Banach límite (pregunta 10) y $A_mx = \frac1m(x + Sx + \dots + S^{m-1}x)$ . Mostrar $L(A_mx) = L(x)$ y $\liminf A_mx \leq L(x) \leq \limsup A_mx$ ; deduce que todo Los límites de Banach coinciden en secuencias periódicas, con valor la media durante un período — $\frac13$ en $(1, 0, 0, 1, 0, 0, \dots)$ , consistente con la pregunta 12 $\frac12$ . Entonces mostrar acuerdo falla en general: por la secuencia de bloques $x$ igual a $1$ en $\intoc{3^{j-1}}{3^j}$ incluso para $j$ y $0$ en otros lugares, mostrar que los medios Cesàro oscilan entre $\leq \frac13$ y $\geq \frac23$ , y construir dos Banach limita $L_\pm$ con $L_-(x) \leq \frac13 < \frac23 \leq L_+(x)$ (extend from $c \oplus \R x$ with the extreme admissible values $\pm$ : check that $\Lambda(y + tx) = \lim y + t\,p(x)$ is dominated by the sublinear $p$ of question 10).

Solución

Solución de Problema 8.1.

1. Para $a, b > 0$ : por concavidad de $\log$ , $\log\bigl(\tfrac{a^p}p + \tfrac{b^q}q\bigr) \geq \tfrac1p\log a^p + \tfrac1q\log b^q = \log(ab)$ ; exponenciar. (Si $ab = 0$ la desigualdad es trivial.) Igualdad si $a^p = b^q$ .

2. Podemos asumir $\norm x_p = \norm y_q = 1$ (homogeneidad; cero casos triviales). entonces

\abs{\langle x, y\rangle} \leq \sum_n\abs{x_n}\abs{y_n} \leq \sum_n\Bigl(\frac{\abs{x_n}^p}p + \frac{\abs{y_n}^q}q\Bigr) = \frac1p + \frac1q = 1 = \norm x_p\norm y_q .

La igualdad requiere $\abs{x_n}^p = \abs{y_n}^q$ para todos $n$ (caso de igualdad de Young) y alineación de las fases de $x_ny_n$ .

3. $\abs{x_n + y_n}^p \leq \bigl(\abs{x_n} + \abs{y_n}\bigr)\abs{x_n + y_n}^{p-1}$ ; sumando y aplicando Hölder ( $p$ contra $q$ , teniendo en cuenta $(p - 1)q = p$ ):

\norm{x + y}_p^p \leq \bigl(\norm x_p + \norm y_p\bigr)\,\Bigl(\sum_n\abs{x_n + y_n}^{p}\Bigr)^{1/q} = \bigl(\norm x_p + \norm y_p\bigr)\,\norm{x+y}_p^{p/q};

si $\norm{x + y}_p \neq 0$ (si no es trivial), divida por $\norm{x+y}_p^{p/q}$ y utilice $p - \frac pq = 1$ . (La finitud de $\norm{x+y}_p$ primero: $\abs{x_n+y_n}^p \leq 2^p(\abs{x_n}^p + \abs{y_n}^p)$ .)

4. Lo completo: como para $\ell^1$ (Ejercicio 8.3), límites por coordenadas más el cola uniforme unida $\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n}^p \leq \varepsilon^p$ , dejando que $l$ y luego $N$ tiendan al infinito. Densidad de secuencias finitas: $\norm{x - \sum_{n\leq N}x_ne_n}_p^p = \sum_{n > N}\abs{x_n}^p \to 0$ .

5. Hölder da $\abs{\Lambda_y(x)} \leq \norm x_p\norm y_q$ : $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_q$ . Prueba: dejar $x^{(N)}_n = \abs{y_n}^{q-1}\overline{\operatorname{sign}}(y_n)$ para $n \leq N$ , $0$ más allá (con $\operatorname{sign}$ el fase unimodular, de modo que $x_ny_n = \abs{y_n}^q$ ). entonces $\Lambda_y(x^{(N)}) = \sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q$ y $\norm{x^{(N)}}_p = \bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^{q}\bigr)^{1/p}$ (como $(q-1)p = q$ ), entonces

\norm{\Lambda_y} \geq \Bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q\Bigr)^{1 - 1/p} \xrightarrow[N\to\infty]{} \norm y_q .

6. Establecer $y_n = \Lambda(e_n)$ . Con la misma prueba vectores, $\sum_{n \leq N}\abs{y_n}^q = \Lambda(x^{(N)}) \leq \norm\Lambda\,\bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/p}$ , de donde $\bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/q} \leq \norm\Lambda$ para cada $N$ : $y \in \ell^q$ , $\norm y_q \leq \norm\Lambda$ . Los funcionales $\Lambda$ y $\Lambda_y$ concuerdan sobre las secuencias finitas densas (pregunta 4): $\Lambda = \Lambda_y$ . Con la pregunta 5, $y \mapsto \Lambda_y$ es un Isomorfismo isométrico $\ell^q \cong (\ell^p)'$ .

7. Vamos $\xi \in (\ell^p)''$ . Componer con el isometría $\ell^q \cong (\ell^p)'$ de la pregunta 6, $\xi$ define un elemento de $(\ell^q)'$ , que (pregunta 6 con $p, q$ intercambiado) es $\Lambda_z$ por un $z \in \ell^p$ único: por cada $y \in \ell^q$ , $\xi(\Lambda_y) = \sum_nz_ny_n$ . por el otro mano $J(z)(\Lambda_y) = \Lambda_y(z) = \sum_ny_nz_n$ : lo mismo valor. Dado que cada elemento de $(\ell^p)'$ es algún $\Lambda_y$ , $\xi = J(z)$ : $J$ está en — $\ell^p$ es reflexivo.

8. Sucesiones finitas con racionales (reales e imaginarios) las entradas son contables y densas en $\ell^p$ ( $p < \infty$ ) y en $c_0$ . En $\ell^\infty$ : la familia $\{\mathbf 1_A : A \subseteq \N\}$ es incontable con $\norm{\mathbf 1_A - \mathbf 1_B}_\infty = 1$ para $A \neq B$ ; las bolas $B(\mathbf 1_A, \frac12)$ están separadas por pares y una conjunto denso debe encontrarse cada uno: no existe ningún conjunto denso contable.

9. Si $\ell^1$ fuera reflexivo, entonces $(\ell^\infty)' \cong ((\ell^1)')' = J(\ell^1)$ sería separable (modelo isométrico). imagen del separable $\ell^1$ ); por Ejercicio 8.10, la separabilidad del dual $(\ell^\infty)'$ forzaría a $\ell^\infty$ a ser separable — pregunta contradictoria 8. Entonces $\ell^1$ no es reflexivo (y $(\ell^\infty)'$ es estrictamente mayor que $\ell^1$ , como se pregunta 11 hace hormigón).

10. La homogeneidad de $p$ es clara; subaditividad: los promedios son lineales y $\limsup(u_n + v_n) \leq \limsup u_n + \limsup v_n$ . En $c$ : el Cesàro significa un convergente la secuencia converge hasta su límite, por lo que $p(x) = \lim x = \mathrm{LIM}(x)$ está allí; en particular $\mathrm{LIM} \leq p$ en $c$ . Hahn–Banach (Teorema 8.6) amplía $\mathrm{LIM}$ a $\ell^\infty_\R$ con $\mathrm{LIM} \leq p$ globalmente. Positividad: para $x \geq 0$ , $-\mathrm{LIM}(x) = \mathrm{LIM}(-x) \leq p(-x) = \limsup\text{avg}(-x) \leq 0$ . Invariancia de cambio: los promedios del telescopio $x - Sx$ a $\frac{x_1 - x_{n+1}}n \to 0$ , entonces $p(\pm(x - Sx)) = 0$ y $\mathrm{LIM}(x - Sx) = 0$ . Límites: $\mathrm{LIM}(x) \leq p(x) \leq \limsup x$ (los promedios van por detrás de los sups), y aplicando esto a $-x$ da el límite inferior.

11. $e_n \in c_0$ , entonces $\mathrm{LIM}(e_n) = 0$ para todos $n$ . Si $\mathrm{LIM} = \Lambda_y$ con $y \in \ell^1$ , entonces $y_n = \Lambda_y(e_n) = 0$ para todos los $n$ : $\Lambda_y = 0$ ; pero $\mathrm{LIM}(\mathbf 1) = 1$ . Entonces $\mathrm{LIM} \in (\ell^\infty)' \setminus \{\Lambda_y : y \in \ell^1\}$ : $(\ell^\infty)' \neq \ell^1$ , de nuevo.

12. Para $x = (0,1,0,1,\dots)$ : $x + Sx = \mathbf 1$ , entonces $2\,\mathrm{LIM}(x) = \mathrm{LIM}(x) + \mathrm{LIM}(Sx) = 1$ : $\mathrm{LIM}(x) = \frac12$ . Si $\varphi$ fuera un extensión multiplicativa invariante por desplazamiento del límite: $x\cdot Sx = 0$ da $\varphi(x)\varphi(Sx) = \varphi(x)^2 = 0$ , por lo que $\varphi(x) = 0$ ; pero $\varphi(x) + \varphi(Sx) = \varphi(\mathbf 1) = 1$ da $2\varphi(x) = 1$ : contradicción. El promedio y la multiplicación no pueden coexistir.

13. Vamos $\norm{x^{(k)}}_p \leq M$ . Las coordenadas son delimitado por $M$ : una extracción diagonal da una subsecuencia (aún escrito $x^{(k)}$ ) con $x^{(k)}_n \to x_n$ para cada $n$ . Luego $x \in \ell^p$ : $\sum_{n\leq N}\abs{x_n}^p = \lim_k\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n}^p \leq M^p$ para todos los $N$ . Convergencia débil: para $y \in \ell^q$ y $N$ arbitrarios,

\abs{\Lambda_y(x^{(k)} - x)} \leq \Bigl|\sum_{n \leq N}(x^{(k)}_n - x_n)y_n\Bigr| + 2M\Bigl(\sum_{n>N}\abs{y_n}^q\Bigr)^{1/q},

donde el primer término tiende a $0$ como $k \to \infty$ (finitamente muchas coordenadas) y el segundo es pequeño para $N$ grande (Hölder en la cola): $\Lambda_y(x^{(k)}) \to \Lambda_y(x)$ para cada $y$ — convergencia débil, ya que cada funcional es un $\Lambda_y$ (pregunta 6). En $\ell^1$ esto falla: considere $(e_n)$ , acotado. Cualquier subsecuencia $(e_{n_k})$ converge coordinadamente a $0$ , por lo que su único candidato de límite débil es $0$ ; pero probando contra $y \in \ell^\infty$ definido por $y_{n_k} = (-1)^k$ (y $0$ en otros lugares), $\Lambda_y(e_{n_k}) = (-1)^k$ diverge. No hay una subsecuencia débilmente convergente: la débil secuencial compacidad de bolas caracteriza el mundo reflexivo.

14. Para $y \in \ell^1$ , $\Lambda_y(x) = \sum x_ny_n$ se define en $c_0$ con $\abs{\Lambda_y(x)} \leq \norm x_\infty\norm y_1$ , y al probar en $x^{(N)} = (\operatorname{sign}y_1, \dots, \operatorname{sign}y_N, 0, \dots) \in c_0$ se obtiene $\Lambda_y(x^{(N)}) = \sum_{n\leq N}\abs{y_n} \to \norm y_1$ : $\norm{\Lambda_y} = \norm y_1$ . Por el contrario, para $\Lambda \in (c_0)'$ ponga $y_n = \Lambda(e_n)$ ; las mismas pruebas dan $\sum_{n \leq N}\abs{y_n} = \Lambda(x^{(N)}) \leq \norm\Lambda$ , entonces $y \in \ell^1$ y $\Lambda = \Lambda_y$ en adelante las densas secuencias finitas, por lo tanto en todas partes. la cadena de duales: $(c_0)' = \ell^1$ , $(\ell^1)' = \ell^\infty$ (Ejercicio 8.10), $(\ell^\infty)' \supsetneq \ell^1$ (preguntas 9–11): la reflexividad falla en el primer paso — $c_0'' = \ell^\infty \neq c_0$ — y nunca se recupera.

15. $J x^{(k)} \in E'' = (E')'$ es una familia de funcionales acotados en el espacio Banach $E'$ (duales son completo, Proposición 8.2); para cada uno $\Lambda \in E'$ , la secuencia $Jx^{(k)}(\Lambda) = \Lambda(x^{(k)})$ converge y, por tanto, está acotada. Banach–Steinhaus en $E'$ da $\sup_k\norm{Jx^{(k)}} < \infty$ y $J$ es isométrico (Observación 8.8): $\sup_k\norm{x^{(k)}} < \infty$ .

16. ( $\Rightarrow$ ) Limitación es la pregunta 15; Las coordenadas son los funcionales $\Lambda_{e_n}$ . ( $\Leftarrow$ ) Deje $M = \sup_k\norm{x^{(k)}}_p$ , $y \in \ell^q$ , $\varepsilon > 0$ ; elija $N$ con $\bigl(\sum_{n>N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/q} < \varepsilon$ . entonces

\abs{\Lambda_y(x^{(k)} - x)} \leq \sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n - x_n}\,\abs{y_n} + \norm{x^{(k)} - x}_p\,\varepsilon \leq \sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n - x_n}\abs{y_n} + (M + \norm x_p)\,\varepsilon,

y la suma finita tiende a $0$ : $\limsup \leq (M + \norm x_p)\varepsilon$ por cada $\varepsilon$ . (Ese $x \in \ell^p$ con $\norm x_p \leq M$ se desprende del estilo Fatou límites de sección finita: $\sum_{n \leq N}\abs{x_n}^p = \lim_k\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n}^p \leq M^p$ .) Para $e_k$ en $\ell^2$ : acotado, en sentido de coordenadas $\to 0$ , por lo que $e_k \rightharpoonup 0$ , pero $\norm{e_k} = 1$ : la unidad de masa Se escapa a un índice infinito, invisible para todos los fijos. funcional.

17. Tome $\Lambda$ con $\norm\Lambda = 1$ y $\Lambda(x) = \norm x$ (Corolario 8.7). entonces $\norm x = \lim\Lambda(x^{(k)}) \leq \liminf\norm\Lambda\,\norm{x^{(k)}} = \liminf\norm{x^{(k)}}$ . (Con $e_k \rightharpoonup 0$ : $0 \leq \liminf 1$ , la desigualdad puede ser estricta).

18. En $\ell^2$ , $\norm{x^{(k)} - x}_2^2 = \norm{x^{(k)}}_2^2 - 2\operatorname{Re}\langle x^{(k)}, x\rangle + \norm x_2^2$ (caso real: $-2\langle x^{(k)}, x\rangle$ ). Convergencia débil aplicada a lo funcional $\Lambda_x$ da $\langle x^{(k)}, x\rangle \to \norm x_2^2$ , y las normas convergen por hipótesis: el lado derecho tiende a $\norm x^2 - 2\norm x^2 + \norm x^2 = 0$ . Contraejemplo sin convergencia de normas: $e_k \rightharpoonup 0$ , $\norm{e_k - 0} = 1 \not\to 0$ .

19. Convergencia de coordenadas: aplicar los funcionales $\Lambda_{e_n} \in (\ell^1)' = \ell^\infty$ ( $y = e_n$ ). Construcción: habiendo elegido $k_{j-1}, N_{j-1}$ , elija $k_j > k_{j-1}$ tan grande que $\sum_{n \leq N_{j-1}}\abs{x^{(k_j)}_n} < \frac\delta{20}$ (finitos coordenadas, cada $\to 0$ ), luego $N_j > N_{j-1}$ tan grande que la cola satisface $\sum_{n > N_j}\abs{x^{(k_j)}_n} < \frac\delta{20}$ (convergencia de la serie que define $\norm{x^{(k_j)}}_1$ ). El bloque $B_j = \intoc{N_{j-1}}{N_j}$ luego lleva toda menos $\frac\delta{10}$ de la masa de $x^{(k_j)}$ .

20. Con $y$ como se define ( $\abs{y_n} \leq 1$ en todas partes):

\langle x^{(k_j)}, y\rangle = \sum_{n \in B_j}\abs{x^{(k_j)}_n} + \sum_{n \notin B_j}x^{(k_j)}_ny_n \geq \Bigl(\norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac\delta{10}\Bigr) - \frac\delta{10} \geq \delta - \frac{2\delta}{10} = \frac{4\delta}5 > 0,

la desigualdad media porque la masa fuera del bloque está en más $\frac\delta{10}$ (pregunta 19). Pero $y \in \ell^\infty = (\ell^1)'$ y $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ fuerza $\langle x^{(k_j)}, y\rangle \to 0$ : contradicción. Por lo tanto, las secuencias débilmente nulas de $\ell^1$ son nulas por norma, y por traducción los débilmente convergentes convergen en norma: Schur teorema.

21. Una subsecuencia débilmente convergente de $(e_k)$ tiene límite $0$ (coordenadas), de ahí por Schur $\norm{e_{k_j}}_1 \to 0$ — pero las normas son $1$ . Entonces no hay convergencia débil existe subsecuencia, como se encontró manualmente en la pregunta 13. No Paradoja: Schur dice que las secuencias no pueden distinguir a los débiles de la norma topología en $\ell^1$ (las topologías mismas difieren — los barrios débiles nunca están acotados por normas), y El compacidad secuencial débil de la bola unitaria es diferente, propiedad más fuerte, equivalente a la reflexividad (Eberlein–Šmulian, más allá de nuestras herramientas; el fracaso, en al menos lo hemos demostrado).

22.El censo.

$E$	$E'$	sep.	refl.	weak seq. cpt. balls
$c_0$	$\ell^1$	yes	no	no ( $e_1{+}\dots{+}e_k$ )
$\ell^1$	$\ell^\infty$	yes	no	no ( $e_k$ , q. 21)
$\ell^p$	$\ell^q$	yes	yes	yes (q. 13)
$\ell^\infty$	$\supsetneq\ell^1$	no	no	no

Firmas: $c_0$ — su bidual es $\ell^\infty$ : la primera no reflexivo paso (pregunta 14); $\ell^1$ — Schur propiedad (pregunta 20); $\ell^p$ — reflexividad y debilidad compacidad (preguntas 7, 13); $\ell^\infty$ — No separabilidad y límites de Banach: funcionales sin secuencia puede representar (preguntas 8, 10–11). Una familia de espacios, cuatro mundos diferentes.

23. Deje $(f_k) \subseteq F$ con $\norm{x - f_k} \to d$ . Entonces $\norm{f_k} \leq \norm x + \sup_k\norm{x - f_k}$ : acotado, por lo que según la pregunta 13 una subsecuencia $f_{k_j} \rightharpoonup f$ . Si $f \notin F$ , entonces $\delta = \operatorname{dist}(f, F) > 0$ ( $F$ cerrado); en $F \oplus \R f$ la forma lineal $\lambda(g + tf) = t$ satisface $\abs{\lambda(u)} \leq \norm u/\delta$ (porque $\norm{g + tf} \geq \abs t\,\delta$ ), y Hahn–Banach lo extiende a $\Lambda \in (\ell^p)'$ con $\Lambda\restriction_F = 0$ , $\Lambda(f) = 1$ ; pero luego $0 = \Lambda(f_{k_j}) \to \Lambda(f) = 1$ : contradicción. Entonces $f \in F$ y $x - f_{k_j} \rightharpoonup x - f$ dan, en la pregunta 17,

d \leq \norm{x - f} \leq \liminf_j\,\norm{x - f_{k_j}} = d :

la distancia se alcanza en $f$ . En $c_0$ : $\abs{\Lambda(x)} \leq \sum_n2^{-n}\abs{x_n} < \norm x_\infty$ para cada $x \neq 0$ (una secuencia nula distinta de cero no puede satisfacer $\abs{x_n} = \norm x_\infty$ para todos los $n$ ), mientras que las truncadas $(1, \dots, 1, 0, \dots)$ dan $\Lambda = 1 - 2^{-N} \to 1$ : entonces $\norm\Lambda = 1$ , nunca alcanzado. Fórmula de distancia: para $f \in \ker\Lambda$ , $\abs{\Lambda(x)} = \abs{\Lambda(x - f)} \leq \norm{x - f}$ , entonces $\operatorname{dist}(x, \ker\Lambda) \geq \abs{\Lambda(x)}$ ; por el contrario, para $u$ en la bola unitaria con $\Lambda(u) \geq 1 - \varepsilon$ , el vector $f = x - \frac{\Lambda(x)}{\Lambda(u)}u$ se encuentra en $\ker\Lambda$ con $\norm{x - f} \leq \frac{\abs{\Lambda(x)}}{1 - \varepsilon}$ : igualdad. Si algún $f \in \ker\Lambda$ lo alcanzara, $z = x - f$ satisfaría a $\abs{\Lambda(z)} = \abs{\Lambda(x)} = \norm z \neq 0$ , por lo que $\Lambda$ alcanzaría su norma en $z/\norm z$ : imposible. Un hiperplano cerrado de $c_0$ sin puntos más cercanos en cualquier lugar — la reflexividad no era decorativa.

24. Establecer $y_1 = x^{(1)}$ . Dado $y_1, \dots, y_j$ , cada mapa $k \mapsto \langle y_i, x^{(k)}\rangle$ tiende a $0$ ( $y_i \in \ell^2 = (\ell^2)'$ ), por lo que hay $k_{j+1}$ más allá el índice anterior con $\abs{\langle y_i, x^{(k_{j+1})}\rangle} \leq \frac1{j+1}$ para $i = 1, \dots, j$ ; llame a la opción $y_{j+1}$ . entonces

\Bigl\lVert\sum_{j=1}^my_j\Bigr\rVert_2^2 = \sum_{j=1}^m\norm{y_j}_2^2 + 2\sum_{j=2}^m\sum_{i<j}\langle y_i, y_j\rangle \leq mC^2 + 2\sum_{j=2}^m\frac{j-1}j \leq mC^2 + 2m,

y dividiendo por $m^2$ : $\norm{\frac1m\sum_jy_j}_2^2 \leq \frac{C^2 + 2}m \to 0$ . (Para un límite débil $x \neq 0$ , aplique esto a $x^{(k)} - x$ .) En el $(e_k)$ ortonormal no Incluso se necesita extracción: $\norm{\frac1m(e_1 + \dots + e_m)}_2 = \frac{\sqrt m}m = \frac1{\sqrt m}$ . Promedios convertir la convergencia débil en convergencia de normas: el Banach–Saks propiedad de $\ell^2$ .

25. $A_mx = \frac1m\sum_{i=0}^{m-1}S^ix$ , entonces la linealidad y la invariancia de cambio dan $L(A_mx) = L(x)$ . Para cualquier $u$ y $\varepsilon > 0$ acotados, elija $N$ con $u_n \leq \limsup u + \varepsilon$ para $n \geq N$ ; positividad aplicada a $(\limsup u + \varepsilon)\mathbf 1 - S^Nu \geq 0$ y $L(S^Nu) = L(u)$ da $L(u) \leq \limsup u + \varepsilon$ , y simétricamente $L(u) \geq \liminf u - \varepsilon$ : por lo tanto $\liminf A_mx \leq L(x) \leq \limsup A_mx$ por cada $m$ . si $x$ es $T$ -periódico, $A_Tx$ es la secuencia constante igual a la media del período $\mu$ : $L(x) = \mu$ para cada Banach límite — $\frac13$ en $(1,0,0,\dots)$ , $\frac12$ en $(0,1,0,1,\dots)$ como en la pregunta 12. Para la secuencia de bloques: en $N = 3^j$ con $j$ incluso el último bloque es todo unos, por lo que el La media de Cesàro es $\geq \frac{3^j - 3^{j-1}}{3^j} = \frac23$ ; en $N = 3^j$ con $j$ impar, todos los que se encuentran en $\intoc0 {3^{j-1}}$ , por lo que la media es $\leq \frac13$ . Por lo tanto $p(x) \geq \frac23$ y $-p(-x) = \liminf_n\frac{x_1 + \dots + x_n}n \leq \frac13$ . En $M = c \oplus \R x$ defina $\Lambda_+(y + tx) = \lim y + t\,p(x)$ . Dominación por $p$ : para $t > 0$ , la sublinealidad da $p(tx) \leq p(y + tx) + p(-y)$ , es decir $p(y + tx) \geq t\,p(x) + \lim y$ (nota $p(\pm y) = \pm\lim y$ para $y \in c$ : Cesàro significa una secuencia convergente converger hasta su límite); para $t = -s < 0$ , $p(y) \leq p(y - sx) + p(sx)$ da $p(y - sx) \geq \lim y - s\,p(x)$ ; para $t = 0$ hay igualdad. Entonces $\Lambda_+ \leq p$ en $M$ , y Hahn–Banach lo amplía a $L_+ \leq p$ en $\ell^\infty_\R$ , que es un límite de Banach exactamente como en la pregunta 10 (dominación por $p$ produce positividad, invariancia de cambio y el valor $\lim$ en $c$ ), con $L_+(x) = p(x) \geq \frac23$ . lo mismo cálculo con $\Lambda_-(y + tx) = \lim y - t\,p(-x)$ (usando $p(-sx) \leq p(y - sx) + p(-y)$ para el caso $t = -s < 0$ ) produce un límite de Banach $L_-$ con $L_-(x) = -p(-x) \leq \frac13$ . Dos límites de Banach, una secuencia, dos valores: Fuera del mundo periódico (y, más generalmente, casi convergente), un límite de Banach es una opción genuina.

8.1 Operadores acotados; espacios de secuencia

8.2 Hahn–Banach

8.3 La trilogía de Baire

8.4 Espacios duales, concretamente

8.5 Ceremonias

8.6 Problema: la dualidad del ℓp\ell^pℓp espacios

8.6 Problema: la dualidad del $\ell^p$ espacios