¿Qué es medida de Lebesgue sobre ℝᵈ?

La medida de Lebesgue sobre $\R^d$ es $\lambda_d = \lambda\otimes\cdots\otimes\lambda$ ($d$ factores; la asociatividad de la construcción se comprueba sobre las cajas y se propaga por unicidad). Es la única medida de Borel que da a cada caja $\prod\intoc{a_i}{b_i}$ su volumen $\prod(b_i - a_i)$; es invariante por traslaciones (los trasladados coinciden sobre las cajas), $\sigma$-finita y completa tras la compleción de Carathéodory — escribimos $\lambda_d$ para la medida completada e integramos en consecuencia.