11Medidas producto, Fubini, cambio de variable

Demostración. (a) Buenos conjuntos: $\{E : E_x \in \mathcal B\ \forall x\}$ es una $\sigma$-álgebra (las secciones conmutan con complementos y uniones numerables) que contiene los rectángulos. Para $f$: $(f_x)^{-1}(B) = (f^{-1}(B))_x$. (b) ($\subseteq$) Rectángulos de conjuntos de Borel: basta ver que las cajas abiertas$\times$abiertas son de Borel en $\R^{m+n}$ (son abiertas) y que los rectángulos de Borel generales son límites — de nuevo, buenos conjuntos: $\{A : A\times\R^n \in \mathcal B(\R^{m+n})\}$ es una $\sigma$-álgebra que contiene los abiertos; interséquense dos de ellas. ($\supseteq$) Todo abierto de $\R^{m+n}$ es unión numerable de cajas abiertas racionales $U\times V$: está contenido en la $\sigma$-álgebra producto. ∎

Demostración. Medibilidad de $x \mapsto \nu(E_x)$. Sea primero $\nu$ finita. La clase $\mathcal D$ de los $E$ para los que la aplicación es medible contiene los rectángulos ($\nu((A\times B)_x) = \nu(B)\mathbf 1_A(x)$) y es un $\lambda$-sistema: para $E \subseteq F$ en $\mathcal D$, $\nu((F\setminus E)_x) = \nu(F_x) - \nu(E_x)$ (finitud); para $E_n \uparrow E$, $\nu((E_n)_x) \uparrow \nu(E_x)$ (continuidad por abajo), y los límites monótonos de funciones medibles son medibles. Los rectángulos forman un $\pi$-sistema: Dynkin (el Teorema 9.4) da $\mathcal D = \mathcal A\otimes\mathcal B$. Si $\nu$ es $\sigma$-finita, escríbase $Y = \bigcup Y_k$, $Y_k \uparrow$, $\nu(Y_k) < \infty$: $\nu(E_x) = \lim_k\nu_k(E_x)$ con las $\nu_k = \nu(\cdot\cap Y_k)$ finitas.

Medida. La $\sigma$-aditividad de $E \mapsto \int\nu(E_x)\dd\mu$ se sigue del Corolario 10.7 (las secciones de conjuntos disjuntos son disjuntas). Sobre los rectángulos da $\mu(A)\nu(B)$. Unicidad: dos candidatas coinciden sobre el $\pi$-sistema de los rectángulos; la $\sigma$-finitud proporciona rectángulos $X_k\times Y_k \uparrow X\times Y$ de medida finita: el Teorema 9.7. Simetría: la construcción en el otro orden es también una medida que coincide sobre los rectángulos — única, luego la misma. ∎

Demostración. La máquina estándar. Para $f = \mathbf 1_E$ esto es el Teorema 11.3 (y su forma simétrica). Por linealidad vale para $f \geq 0$ simple. Para $f \geq 0$ general: tómense $s_n \nearrow f$ simples (el Teorema 10.4); entonces $\int_Y(s_n)_x \dd\nu \nearrow \int_Y f_x\dd\nu$ para cada $x$ (convergencia monótona en $Y$), de modo que los miembros izquierdos convergen por convergencia monótona en $X$, mientras que $\int s_n\,\dd(\mu\otimes\nu) \nearrow \int f$ por convergencia monótona sobre el producto. ∎

Demostración. Tonelli aplicado a $\abs f$ muestra que $\varphi(x) = \int\abs{f_x} \dd\nu$ tiene integral finita y, por tanto, es finita en casi todo punto: $f_x \in L^1(\nu)$ para casi todo $x$. Descompóngase $f = f^+ - f^-$ (caso real; el complejo, por componentes): Tonelli calcula cada integral iterada de $f^\pm$ como $\int f^\pm\dd(\mu\otimes\nu) < \infty$, y la diferencia, definida en casi todo punto, integra a la diferencia. Simétricamente en el otro orden. ∎

Demostración. Aplíquese Tonelli a $\mathbf 1_{\{(x,t) : 0 < t < f(x)\}}$ sobre $X \times \intoo0{+\infty}$ (es medible: se trata de $\{(x,t): f(x) - t > 0\}\cap\{t > 0\}$, una combinación de tipo Borel de la medible $(x,t)\mapsto f(x) - t$): integrando primero en $t$ se obtiene $\int f\,\dd\mu$; primero en $x$, $\int_0^\infty\mu(f > t)\dd t$. Para $f^p$: sustitúyase $t = s^p$ en $\int\mu(f^p > t) \dd t$, es decir, aplíquese la primera fórmula a $f^p$ y cámbiese de variable en la integral unidimensional ($\{f^p > s^p\} = \{f > s\}$). ∎

Demostración. $(x, y) \mapsto f(x-y)g(y)$ es medible ($(x,y)\mapsto x - y$ es continua; compóngase y multiplíquese). Tonelli:

(invariancia por traslaciones de $\lambda_d$ en la integral interior). Así, la integral doble es finita; Fubini da la convergencia absoluta en casi todo punto y la cota de la norma $\norm{f*g}_1 \leq \norm f_1\norm g_1$. Conmutatividad: sustitúyase $y \mapsto x - y$ (invariancia por traslaciones y por reflexión — la invariancia por reflexión vale sobre las cajas y, por unicidad, en todas partes). Asociatividad: Tonelli–Fubini sobre una integral triple. ∎

Demostración. La medida $\mu_T(A) = \lambda_d(T(A))$ es una medida de Borel (los homeomorfismos conservan los conjuntos de Borel, el Problema 9.1), invariante por traslaciones ($T(A + x) = T(A) + Tx$) y finita sobre la caja unidad: por la caracterización de la medida de Lebesgue (el Ejercicio 9.6, cuya demostración vale literalmente en $\R^d$ con cubos diádicos), $\mu_T = c(T)\lambda_d$ con $c(T) = \lambda_d(T(\intco01^d))$. La aplicación $T \mapsto c(T)$ es multiplicativa ($c(ST) = c(S)c(T)$, componiendo), de modo que basta calcular $c$ sobre generadores de $GL_d$: las matrices elementales. Diagonal $\operatorname{diag}(a, 1, \dots, 1)$: lleva el cubo unidad a una caja de volumen $\abs a$: $c = \abs a = \abs\det$. Trasposición de coordenadas: permuta el cubo: $c = 1 = \abs\det$. Transvección $T(x) = x + \alpha x_2e_1$: la imagen del cubo unidad es un prisma cizallado; por Tonelli, su medida es $\int\lambda_1(\text{sección})\dd x_2 \cdots \dd x_d = 1$, pues cada $x_1$-sección es un intervalo de longitud $1$: $c = 1 = \abs{\det}$. Toda matriz invertible es producto de estas (eliminación gaussiana), y tanto $c$ como $\abs\det$ son multiplicativos: $c(T) = \abs{\det T}$. La fórmula integral se sigue por la máquina estándar (indicadores, simples, convergencia monótona). ∎

Demostración. Escribamos $J(x) = \abs{\det D\Phi(x)}$. El corazón de la demostración es la desigualdad

El paso 4 de más abajo eleva $(*)$ — aplicada a $\Phi$ y a $\Phi^{-1}$ — hasta la igualdad del teorema. Obsérvese que $\Phi^{-1}$ es él mismo un difeomorfismo $\mathcal C^1$ con jacobiano $\abs{\det D\Phi^{-1}(y)} = J(\Phi^{-1}y)^{-1}$ (regla de la cadena en $\Phi\circ\Phi^{-1} = \mathrm{id}$).

Paso 1: $(*)$ para cubos, con un factor de distorsión. Fíjese un cubo cerrado $Q \subseteq U$ de centro $x_0$ y lado $2r$ (bola para la norma del supremo). Afirmación: para todo $\varepsilon > 0$, si $\Phi$ es derivable en $Q$ con $\norm{D\Phi(x) - D\Phi(x_0)} \leq \varepsilon$ sobre $Q$ (norma de operador para la norma del supremo), entonces

porque, para $x \in Q$, la desigualdad del valor medio aplicada a $\Phi(x) - \Phi(x_0) - D\Phi(x_0)(x - x_0)$ da $\norm{\Phi(x) - \Phi(x_0) - D\Phi(x_0)(x-x_0)}_\infty \leq \varepsilon\norm{x - x_0}_\infty \leq \varepsilon r$, y $D\Phi(x_0)^{-1}$ absorbe ese defecto en un agrandamiento del cubo por $\varepsilon\norm{D\Phi(x_0)^{-1}}\,r$. Por el Teorema 11.10,

Paso 2: $(*)$ para cubos compactos, por subdivisión. Sean $Q \subseteq U$ un cubo compacto y $\varepsilon > 0$. Sobre $Q$, $D\Phi$ es uniformemente continua y $\norm{D\Phi^{-1}}$ está acotada (compacidad); subdivídase $Q$ en $2^{kd}$ subcubos $Q_i$ lo bastante pequeños como para que la oscilación de $D\Phi$ en cada uno sea $\leq \varepsilon$. El paso 1 en cada subcubo (de centro $x_i$):

el último paso porque $\sum_i\abs{\det D\Phi(x_i)}\mathbf 1_{Q_i} \to J$ uniformemente sobre $Q$ (continuidad de $\det D\Phi$) — comparación con sumas de Riemann. Hágase $\varepsilon \to 0$: $(*)$ vale para los cubos compactos.

Paso 3: $(*)$ para todo $A$ de Borel. La función de conjunto $A \mapsto \lambda_d(\Phi(A))$, sobre los subconjuntos de Borel de $U$, es una medida ($\Phi$ es una biyección sobre $V$ que conserva los conjuntos de Borel y la disjunción numerable), y también lo es $A \mapsto \int_AJ$. Todo abierto de $U$ es unión numerable de cubos diádicos compactos casi disjuntos (descomposición diádica estándar: tómense los cubos diádicos maximales contenidos en el abierto), y ambas medidas son aditivas a través de ellos (las fronteras de los cubos son $\lambda_d$-nulas, y sus imágenes por $\Phi$ son nulas por el paso 2 aplicado a recubrimientos finos de las caras por cubos): $(*)$ pasa de los cubos a los abiertos. Para $A$ de Borel general: agótese $U$ mediante compactos $K_m \uparrow U$ con $K_m \subseteq \mathring K_{m+1}$ y fíjese $m$; sobre $\mathring K_{m+1}$, $J$ está acotada por cierto $M_m$. Por regularidad exterior de $\lambda_d$ (demostración como en el Teorema 9.13, con cajas), elíjanse abiertos $O_n$ con $A \cap K_m \subseteq O_n \subseteq \mathring K_{m+1}$ y $\lambda_d\bigl(O_n \setminus (A\cap K_m)\bigr) \to 0$. Entonces

Hágase $m \to \infty$: continuidad por abajo a la izquierda, convergencia monótona a la derecha. Esto establece $(*)$.

Paso 4: igualdad y fórmula integral. Extendamos primero $(*)$ de conjuntos a integrales: para toda $g \geq 0$ medible sobre $V$,

En efecto, para $g = \mathbf 1_B$ esto es $(*)$ con $A = \Phi^{-1}(B)$; la linealidad lo extiende a $g$ simple, y la convergencia monótona a toda $g \geq 0$ (la máquina estándar). Apliquemos ahora $(**)$ dos veces: primero a $g$ y después — para el difeomorfismo $\Phi^{-1}$ — a la función $x \mapsto g(\Phi(x))J(x)$:

puesto que $J(\Phi^{-1}y)\abs{\det D\Phi^{-1}(y)} = \abs{\det\bigl( D\Phi(\Phi^{-1}y)\,D\Phi^{-1}(y)\bigr)} = 1$ (regla de la cadena en $\Phi\circ\Phi^{-1} = \mathrm{id}$). Todas las desigualdades son igualdades: la fórmula vale para $g \geq 0$ y, por descomposición, para las funciones $L^1$. ∎

Demostración. Calcúlese $I = \int_{\R^d}\eu^{-\norm x_2^2}\dd\lambda_d$ de dos maneras. Por Tonelli se factoriza: $I = G^d = \pi^{d/2}$. Por la fórmula de las capas (la Proposición 11.8) con $f = \eu^{- \norm x^2}$, cuyos conjuntos de nivel son bolas: $\{f > t\} = B\bigl(0, \sqrt{-\ln t}\bigr)$ para $0 < t < 1$, de medida $v_d(-\ln t)^{d/2}$ (la homotecia de razón $\rho$ escala $\lambda_d$ por $\rho^d$: el Teorema 11.10), luego

Iguálense. (Los valores: $\Gamma(\frac32) = \frac{\sqrt\pi}2$, $\Gamma(2) = 1$, etc.) Obsérvese que $v_d \to 0$ cuando $d \to \infty$ — el problema de fin de semana cuantifica a qué velocidad, mediante Stirling. ∎