¿Qué es Esperanza? — Matemáticas

Definición 18.8 Matemáticas de secundaria · Capítulo 18 — Probabilidad y variables aleatorias

La esperanza (o media) de $X$ es el promedio de sus valores ponderado por sus probabilidades:

\E(X) = \sum_{i=1}^{k} \P(X = x_i)\; x_i .

Ejemplos

Ejemplo 18.10

Para el juego del Ejemplo 18.6:

\E(G) = \frac46 \times (-2) + \frac16 \times 3 + \frac16 \times 4 = \frac{-8 + 3 + 4}{6} = -\frac16 \approx -0.17 .

De media, el jugador pierde unos $17$ céntimos por partida: el juego es desfavorable. Un juego se llama equitativo cuando la ganancia esperada es $0$ .

Ejemplo 18.15

Para el juego del Ejemplo 18.6: $\E(G^2) = \frac46 \times 4 + \frac16 \times 9 + \frac16 \times 16 = \frac{16 + 9 + 16}{6} = \frac{41}{6}$ , luego

\V(G) = \frac{41}{6} - \left(-\frac16\right)^2 = \frac{41}{6} - \frac{1}{36} = \frac{245}{36} \approx 6.8, \qquad \sigma(G) \approx 2.6 .

La pérdida media de $0.17$ por partida viene acompañada de vaivenes de tamaño típico $2.6$ euros: la esperanza sin desviación típica solo cuenta la mitad de la historia.

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Definición 22.6 Matemáticas universitarias — Grado 2 · Capítulo 22 — Variables aleatorias discretas

Una variable aleatoria real $X$ sobre $(\Omega, \P)$ tiene esperanza si la familia $\bigl(X(\omega)\,\P(\{\omega\})\bigr)_{\omega \in \Omega}$ es sumable (Capítulo 7); y su esperanza es entonces

\E(X) = \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)\,\P(\{\omega\}) .

Ejemplos

Ejemplo 22.10 (La transferencia en acción)

Para $X \sim \mathcal P(\lambda)$ , calculemos $\E\bigl(\frac1{1+X}\bigr)$ ; la ley de $\frac1{1+X}$ es incómoda, pero la transferencia no la pide nunca:

\E\Bigl(\frac1{1+X}\Bigr) = \sum_{k\geq0}\frac{1}{k+1}\,\eu^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} = \frac{\eu^{-\lambda}}{\lambda}\sum_{k\geq0} \frac{\lambda^{k+1}}{(k+1)!} = \frac{\eu^{-\lambda}}{\lambda}\bigl(\eu^\lambda - 1\bigr) = \frac{1 - \eu^{-\lambda}}{\lambda} .

Dos lecciones. En lo computacional: reconocer una serie exponencial desplazada es todo el trabajo; la transferencia reduce las esperanzas de $f(X)$ a manipulación de series. En lo estructural: el valor ingenuo de sustituir sería $\frac1{1 + \E X} = \frac1{1 + \lambda}$ , y la respuesta verdadera es mayor,

\frac{1 - \eu^{-\lambda}}{\lambda} \geq \frac{1}{1 + \lambda},

exactamente como exige la desigualdad de Jensen para la función convexa $t \mapsto \frac1{1+t}$ . Las esperanzas de imágenes convexas quedan por encima del valor ingenuo de sustituir, y la transferencia más una comprobación con series hace concreta la desigualdad abstracta.

Ejemplo 22.12 (Productos, con y sin independencia)

Lánzense dos dados equilibrados. Si $Y$ es el segundo dado (independiente del primero), $\E(XY) = \E(X)\E(Y) = 3.5^2 = 12.25$ . Si, en cambio, $Y = X$ (el “producto” de un dado consigo mismo),

\E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6} \approx 15.17 \neq 12.25 :

las mismas leyes marginales en ambos escenarios, leyes conjuntas distintas y esperanzas del producto distintas. La moraleja, digna de grabarse: $\E(XY)$ es un funcional del par, no de las dos marginales; y la diferencia $\E(X^2) - \E(X)^2 \approx 2.92$ es, por König–Huygens, precisamente la varianza $\frac{35}{12}$ del dado.

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Ejemplos

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