Matemáticas universitarias — Grado 3 · Bachelor Year 3

15Operadores compactos y el teorema espectral

La diagonalización es la corona del álgebra lineal de dimensión finita joya: una matriz simétrica tiene una base ortonormal de vectores propios. En dimensión infinita esto falla por límites operadores autoadjuntos en general — multiplicación por $x$ en $L^2(\intcc01)$ tiene valores propios no (Ejercicio 15.6) — pero sobrevive, en perfecto formulario, para los operadores que son casi finito dimensional: los compacto. El teorema espectral para compacto operadores autoadjuntos es el teorema más utilizado del análisis funcional aplicado: diagonaliza la integral ecuaciones, impulsa el Alternativa a Fredholm y (fin de semana problema) resuelve la cuerda vibrante, produciendo la base sinusoidal del análisis de Fourier desde la teoría pura del operador — con la de Euler $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ que se sale de una fórmula de traza como regalo de despedida. En todo momento, $H$ es un Espacio de Hilbert sobre $\C$ (o $\R$ ; las declaraciones se adaptan), y los operadores están acotados.

15.1 Operadores compactos

Definición 15.1

$T \in \mathcal L(E, F)$ ( $E, F$ Banach) es compacto si la imagen $T(B)$ de la bola unitaria es relativamente compacta en $F$ — equivalentemente, cada secuencia acotada $(x_n)$ tiene una subsecuencia con $(Tx_{n_k})$ convergente. Los operadores de rango finito son compactos (conjuntos acotados en dimensión finita); la identidad de un el espacio de dimensión infinita nunca lo es (teorema de Riesz, año 2).

Proposición 15.2

El operadores compactos $\mathcal K(E, F)$ forma un subespacio cerrado. de $\mathcal L(E, F)$ , y un ideal de dos caras: $S$ compacto $\Rightarrow$ $AS$ y $SB$ compacto para $A, B$ acotado. Además, en un Espacio de Hilbert, cada operador compacto es un límite normativo de operadores de rango finito.

Demostración. Subespacio: claro de la caracterización de la secuencia. Ideal: Los mapas acotados envían secuencias convergentes a otras convergentes y acotado a acotado. Cerramiento: dejar $T_n \to T$ con $T_n$ compacto y $(x_k)$ delimitados por $1$ ; una extracción diagonal hace que $(T_nx_{k_j})_j$ sea convergente para cada $n$ ; entonces $(Tx_{k_j})$ es Cauchy, ya que

\norm{Tx_{k_j} - Tx_{k_l}} \leq 2\vertiii{T - T_n} + \norm{T_nx_{k_j} - T_nx_{k_l}} ,

eligiendo primero $n$ y luego los índices. Aproximación en Hilbert espacios: sea $T$ compacto, $K = \overline{T(B)}$ compacto; dado $\varepsilon$ , cubra $K$ con un número finito de bolas $B(y_i, \varepsilon)$ y sea $P$ la proyección ortogonal en $V = \operatorname{Vect}(y_1, \dots, y_m)$ (cerrado: de dimensión finita). Entonces $PT$ tiene rango finito, y para $\norm x \leq 1$ : seleccionando $y_i$ con $\norm{Tx - y_i} < \varepsilon$ ,

\norm{Tx - PTx} \leq \norm{Tx - y_i} + \norm{P(y_i - Tx)} \leq 2\varepsilon

( $y_i = Py_i$ ; $\vertiii P \leq 1$ ): $\vertiii{T - PT} \leq 2\varepsilon$ . ∎

Ejemplo 15.3

(a) Operadores diagonales en $\ell^2$ : $T(x_n) = (\lambda_nx_n)$ es compacto y si $\lambda_n \to 0$ (Ejercicio 15.2). (b) Operadores del kernel en $\mathcal C(\intcc01)$ : compacto por Ascolí (Ejercicio 7.7). (c) Operadores Hilbert-Schmidt: para $k \in L^2(\intcc01^2)$ ,

(T_kf)(x) = \int_0^1k(x, y)\,f(y)\,\dd y

define un operador compacto en $L^2(\intcc01)$ con $\vertiii{T_k} \leq \norm k_{L^2}$ (Ejercicio 15.4: truncando la expansión de base de $k$ exhibe $T_k$ como límite de operadores de rango finito).

15.2 Operadores autoadjuntos

Definición 15.4

$T \in \mathcal L(H)$ es autoadjunto si $T = T^*$ (Ejercicio 13.8), es decir $\langle Tx, y\rangle = \langle x, Ty\rangle$ para todos los $x, y$ . Entonces $\langle x, Tx\rangle \in \R$ por cada $x$ (igual a su conjugado).

Proposición 15.5

Para autoadjunto $T$ :

\vertiii T = \sup_{\norm x \leq 1}\ \abs{\langle x, Tx\rangle} .

Los valores propios de $T$ son reales y los vectores propios para distintos los valores propios son ortogonales.

Demostración. Sea $M$ el supremo; $M \leq \vertiii T$ por Cauchy–Schwarz. Por el contrario, la identidad de tipo polarización

\langle x{+}y, T(x{+}y)\rangle - \langle x{-}y, T(x{-}y)\rangle = 4\operatorname{Re}\langle y, Tx\rangle

(expandir; los términos cruzados $\langle y, Tx\rangle + \langle x, Ty\rangle = 2\operatorname{Re}\langle y, Tx\rangle$ por autoadjunción) da, con la ley del paralelogramo,

4\operatorname{Re}\langle y, Tx\rangle \leq M\bigl(\norm{x{+}y}^2 + \norm{x{-}y}^2\bigr) = 2M\bigl(\norm x^2 + \norm y^2\bigr).

Para $\norm x = 1$ con $Tx \neq 0$ , tome $y = Tx/\norm{Tx}$ : $4\norm{Tx} \leq 4M$ . Entonces $\vertiii T \leq M$ . Valores propios: $Tx = \lambda x$ , $x \ne 0$ da $\lambda\norm x^2 = \langle x, Tx\rangle \in \R$ . Ortogonalidad: $\lambda\langle x, y\rangle = \langle Tx, y\rangle = \langle x, Ty\rangle = \mu\langle x, y\rangle$ con $\lambda \neq \mu$ real. ∎

15.3 El teorema espectral

Lema 15.6 (Existencia de un valor propio extremo)

Sea $T \neq 0$ compacto y autoadjunto. Entonces $\vertiii T$ o $-\vertiii T$ es un valor propio de $T$ .

Demostración. Por Proposición 15.5, seleccione vectores unitarios $x_n$ con $\langle x_n, Tx_n\rangle \to \mu$ , donde $\abs\mu = \vertiii T > 0$ (pasar a una subsecuencia para arreglar el signo). entonces

\norm{Tx_n - \mu x_n}^2 = \norm{Tx_n}^2 - 2\mu\langle x_n, Tx_n\rangle + \mu^2 \leq \vertiii T^2 - 2\mu\langle x_n, Tx_n\rangle + \mu^2 \longrightarrow 2\mu^2 - 2\mu\cdot\mu = 0 .

Por compacidad, una subsecuencia $Tx_{n_k} \to y$ ; entonces $\mu x_{n_k} = Tx_{n_k} - (Tx_{n_k} - \mu x_{n_k}) \to y$ , entonces $x_{n_k} \to x = y/\mu$ , un vector unitario, y continuidad da $Tx = \mu x$ . ∎

Teorema 15.7 (Teorema espectral para autoadjunto compacto operadores)

Deje que $T$ sea un compacto operador autoadjunto en un Espacio de Hilbert $H$ .

$H$ admite un sistema ortonormal $(e_n)_{n \in N}$ ( $N$ finito o contable) de vectores propios de $T$ , con valores propios reales distintos de cero $(\lambda_n)$ , tales que

$Tx = \sum_{n\in N}\lambda_n\,\langle e_n, x\rangle\, e_n \qquad (x \in H),$

y $H = \ker T \,\oplus^\perp\, \overline{\operatorname{Vect}}(e_n : n \in N)$ .
Si $N$ es infinito, $\lambda_n \to 0$ ; para cada uno $\delta > 0$ sólo un número finito de $n$ tienen $\abs{\lambda_n} \geq \delta$ , y cada espacio propio $\ker(T - \lambda)$ , $\lambda \neq 0$ , es de dimensión finita.
Completando $(e_n)$ mediante una base ortonormal de $\ker T$ produce, cuando $H$ es separable, una base ortonormal de $H$ hecho de vectores propios: $T$ está diagonalizado.

Demostración. (2) primero. Si hay infinitos vectores propios ortonormales $x_k$ tenía $\abs{\lambda_{(k)}} \geq \delta$ : $\norm{Tx_k - Tx_l}^2 = \lambda_{(k)}^2 + \lambda_{(l)}^2 \geq 2\delta^2$ (ortogonalidad, Pitágoras): no hay subsecuencia convergente de $(Tx_k)$ , lo que contradice la compacidad de $T$ en el ámbito acotado. $(x_k)$ . Esto está limitado por un número finito, para cada $\delta$ , la multiplicidad total de valores propios fuera $\intoo{-\delta}\delta$ ; contabilidad y $\lambda_n \to 0$ seguir.

(1) Sea $H_0$ el intervalo cerrado de vectores propios todo con valores propios distintos de cero, organizados (por (2) y Gram-Schmidt dentro de cada espacio propio de dimensión finita, ortogonalidad a través de espacios propios desde Proposición 15.5) en un sistema ortonormal $(e_n)$ con valores propios $\lambda_n \neq 0$ . $T$ mapas $H_0$ en $H_0$ , y también $H_0^\perp$ en $H_0^\perp$ : para $y \perp H_0$ y $e$ un vector propio, $\langle e, Ty\rangle = \langle Te, y\rangle = \lambda\langle e, y\rangle = 0$ . el restricción $T' = T\restriction_{H_0^\perp}$ es compacto autoadjunto en Espacio de Hilbert $H_0^\perp$ ; si $T' \neq 0$ , Lema 15.6 produce un vector propio de $T$ con valor propio distinto de cero dentro de $H_0^\perp$ — imposible, tales vectores viven en $H_0$ . Entonces $T' = 0$ : $H_0^\perp \subseteq \ker T$ . Por el contrario $\ker T \perp$ cada $e_n$ ( $\langle e_n, z\rangle = \frac1{\lambda_n}\langle Te_n, z\rangle = \frac1{\lambda_n}\langle e_n, Tz\rangle = 0$ ): $\ker T \subseteq H_0^\perp$ , de donde $\ker T = H_0^\perp$ y la descomposición ortogonal. La expansión: para $x = z + \sum_nc_ne_n$ ( $z \in \ker T$ , $c_n = \langle e_n, x\rangle$ ; Teorema 13.7(1) en $H_0$ ), continuidad de $T$ da $Tx = \sum_nc_n\lambda_ne_n$ .

(3) $\ker T$ , un subespacio cerrado de un espacio separable, es separable: tiene una base ortonormal (Proposición 13.8); la unión es una base ortonormal de $H$ mediante la descomposición en (1). ∎

Teorema 15.8 (alternativa a Fredholm)

Sea $T$ compacto autoadjunto y $\lambda \in \R\setminus \{0\}$ .

Si $\lambda$ no es un valor propio, entonces $T - \lambda I$ es biyectivo con inverso acotado: para cada $f$ , el La ecuación $Tx - \lambda x = f$ tiene exactamente uno. solución, dependiendo continuamente de $f$ .
Si $\lambda$ es un valor propio, $Tx - \lambda x = f$ es soluble y si $f \perp \ker(T - \lambda I)$ , y el la solución es única hasta ese punto (de dimensión finita) núcleo.

Demostración. Descomponer $x = z + \sum c_ne_n$ y $f = w + \sum d_ne_n$ junto a Teorema 15.7 ( $z, w \in \ker T$ ). el la ecuación se lee

-\lambda z = w, \qquad (\lambda_n - \lambda)\,c_n = d_n\ (n \in N).

(1) $\lambda \notin \{\lambda_n\}\cup\{0\}$ : por (2) de la teorema espectral, $\inf_n\abs{\lambda_n - \lambda} = \delta > 0$ (los valores propios se acumulan solo en $0 \neq \lambda$ ). Resolver: $z = -w/\lambda$ , $c_n = d_n/(\lambda_n - \lambda)$ , con $\sum\abs{c_n}^2 \leq \delta^{-2}\sum\abs{d_n}^2$ : un único solución con $\norm x \leq C\norm f$ . (2) $\lambda = \lambda_{n}$ para $n$ en un conjunto finito $F$ : solubilidad de $(\lambda_n - \lambda)c_n = d_n$ para $n \in F$ requiere $d_n = 0$ , es decir $f \perp e_n$ ( $n \in F$ ), es decir $f \perp \ker(T - \lambda I)$ ; los $c_n$ , $n \in F$ , son entonces gratis. ∎

Ejemplo 15.9

En $L^2(\intcc01)$ , dejemos que $Tf(x) = \int_0^1\min(x, y)f(y)\dd y$ : un Hilbert–operador Schmidt con núcleo simétrico real: compacto y autoadjunto. Resolviendo $Tf = \lambda f$ : el relación $\bigl(Tf\bigr)(x) = \int_0^xyf(y)\dd y + x\int_x^1f(y)\dd y$ muestra $u = Tf$ satisface $u'' = -f$ (dos diferenciaciones, legítimas para continuo $f$ , y $Tf$ es continuo para $f \in L^2$ : convergencia dominada), con $u(0) = 0$ y $u'(1) = 0$ . Entonces las funciones propias resuelven $\lambda u'' = -u$ , $u(0) = 0$ , $u'(1) = 0$ :

u_n(x) = \sin\Bigl(\bigl(n + \tfrac12\bigr)\pi x\Bigr), \qquad \lambda_n = \frac{1}{\bigl(n + \frac12\bigr)^2\pi^2} \quad (n \geq 0),

y el teorema espectral afirma — sin teoría de Fourier — que estos senos forman una base ortonormal de $L^2(\intcc01)$ después de la normalización (el núcleo de $T$ es $0$ : $Tf = 0$ fuerzas, por las dos diferenciaciones, $f = 0$ a.e.). el El problema del fin de semana recorre el mismo círculo de ideas para el cuerda vibrante y extrae $\zeta(2)$ de la traza.

Método 15.10

Dada una ecuación integral o diferencial: (1) reformularla como $(I - \lambda K)u = f$ o $Ku = \lambda u$ con $K$ y operador integral; (2) verificar $K$ compacto (Hilbert–Schmidt kernel, o Ascoli) y, si es posible, autoadjunto (simétrico núcleo real); (3) diagonalizar con el teorema espectral o invocar el Alternativa a Fredholm para solubilidad; (4) leer existencia, unicidad, estabilidad y fórmulas en serie para soluciones en la base propia. Los operadores diferenciales son ilimitado, pero sus inversas (operadores verdes) son compacto: invertir siempre primero.

15.4 Ceremonias

Ejercicio 15.1 ★

(a) Demuestre que un operador acotado con rango de dimensión finita es compacto. (b) Demuestre que la identidad de un espacio normado es compacto si y solo la dimensión es finita (Riesz, Año 2). Deducir que un compacto operador en un espacio de dimensión infinita nunca es invertible con inversa acotada.

Solución

Solución de Ejercicio 15.1.

(a) $T(B)$ es un subconjunto acotado de dimensión finita $\operatorname{im}T$ : relativamente compacto de Heine–Borel (Corolario 6.17, transportado por un lineal homeomorfismo con $\R^n$ ). (b) $I$ compacto significa que la bola unitaria cerrada es compacto, que por el teorema de Riesz (año 2) ocurre exactamente en finito dimensión. Si un compacto $T$ tuviera $T^{-1}$ inverso acotado, entonces $I = T^{-1}T$ sería compacto (Proposición 15.2): imposible en el infinito dimensión.

Ejercicio 15.2 ★

Deja $T(x_1, x_2, \dots) = (\lambda_1x_1, \lambda_2x_2, \dots)$ en $\ell^2$ , con $(\lambda_n)$ acotado. (a) Mostrar $\vertiii T = \sup\abs{\lambda_n}$ . (b) Demuestre que $T$ es compacto si y si $\lambda_n \to 0$ . (For $\Leftarrow$ , truncate; for $\Rightarrow$ , test on $(e_n)$ .) (c) ¿Cuándo es $T$ autoadjunto? Verifique el teorema espectral mediante inspección en ese caso.

Solución

Solución de Ejercicio 15.2.

(a) $\norm{Tx}^2 = \sum\abs{\lambda_n}^2\abs{x_n}^2 \leq \sup\abs{\lambda_n}^2\norm x^2$ , con casi igualdad en el $e_n$ dándose cuenta del sup. (b) ( $\Leftarrow$ ) Los truncamientos $T_N$ (mantener $n \leq N$ , cero más allá) tienen rango finito y $\vertiii{T - T_N} = \sup_{n>N}\abs{\lambda_n} \to 0$ : compacto por Proposición 15.2. ( $\Rightarrow$ ) Si $\abs{\lambda_{n_k}} \geq \delta > 0$ a lo largo de una subsecuencia: $\norm{Te_{n_k} - Te_{n_l}}^2 = \abs{\lambda_{n_k}}^2 + \abs{\lambda_{n_l}}^2 \geq 2\delta^2$ : no convergente subsecuencia de $(Te_{n_k})$ . (c) $T^* =$ diagonal con $(\bar\lambda_n)$ : autoadjunto sif todos $\lambda_n \in \R$ . Entonces la base estándar $(e_n)$ es una Base ortonormal de vectores propios, valores propios $\lambda_n \to 0$ : el teorema espectral palabra por palabra.

Ejercicio 15.3 ★★

Proporcione los detalles de la propiedad ideal. (Proposición 15.2): si $S$ es compacto y $A, B$ acotado, entonces $ASB$ es compacto. Deduce que si $ST = TS = I$ para algunos $S$ y $\dim H = \infty$ acotados, entonces $T$ no es compacto — y conciliar con Ejercicio 15.1(b).

Solución

Solución de Ejercicio 15.3.

Sea $(x_n)$ acotado. Entonces $(Bx_n)$ está acotado ( $\vertiii B < \infty$ ); compacidad de los extractos $S$ $SBx_{n_k} \to y$ ; continuidad de $A$ da $ASBx_{n_k} \to Ay$ : $ASB$ es compacto. Si $ST = TS = I$ con $T$ compacto y $\dim H = \infty$ : $I = ST$ sería compacto, contradiciendo Ejercicio 15.1(b) — que es la misma declaración visto desde el otro lado.

Ejercicio 15.4 ★★

(Hilbert–Schmidt) Dejemos que $k \in L^2(\intcc01^2)$ y $(e_n)$ sean base de hilabert de $L^2(\intcc01)$ . (a) Demuestre que $\vertiii{T_k} \leq \norm k_{L^2}$ (Cauchy–Schwarz en la variable $y$ , luego Tonelli). (b) Ampliar $k(x,y) = \sum_{m,n}c_{mn}e_m(x)\overline{e_n(y)}$ en $L^2$ del cuadrado (justificar que los productos forman un base de hilabert allí), y mostrar que truncar la suma da operadores de rango finito que convergen a $T_k$ en norma del operador: $T_k$ es compacto.

Solución

Solución de Ejercicio 15.4.

(a) Por Cauchy–Schwarz en $y$ : $\abs{T_kf(x)}^2 \leq \bigl(\int\abs{k(x,y)}^2\dd y\bigr)\norm f_2^2$ ; integrarse en $x$ (Tonelli): $\norm{T_kf}_2 \leq \norm k_{L^2(\square)} \norm f_2$ .

(b) La familia $e_{mn}(x,y) = e_m(x)\overline{e_n(y)}$ es ortonormal en $L^2(\intcc01^2)$ (Tonelli separa el doble integrales). Total: si $h \perp$ todos $e_{mn}$ , entonces para cada $m$ , la función $y \mapsto \int h(x,y)\overline{e_m(x)}\dd x$ (en $L^2$ de Cauchy–Schwarz y Tonelli) es ortogonal a cada $\overline{e_n}$ — y los conjugados $(\overline{e_n})$ forma un base de hilabert siempre que lo haga $(e_n)$ (la conjugación es una biyección isométrica de $L^2$ preservando ortogonalidad y totalidad) — entonces es $0$ a.e.; luego para a.e. $y$ , $h(\cdot, y) \perp$ cada $e_m$ : $h(\cdot, y) = 0$ a.e.: $h = 0$ (Tonelli). entonces $(e_{mn})$ es un base de hilabert; ampliar $k = \sum c_{mn}e_{mn}$ . El truncamiento $k_N$ (índices $\leq N$ ) da $T_{k_N}$ de rango finito (rango en $\operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_N)$ ), y por (a),

\vertiii{T_k - T_{k_N}} \leq \norm{k - k_N}_{L^2} \to 0 :

$T_k$ es un límite normativo de operadores de rango finito: compacto (Proposición 15.2).

Ejercicio 15.5 ★★

Sea $T$ autoadjunto con $\langle x, Tx\rangle \geq 0$ para todos $x$ (operador positivo). (a) Demuestre que los valores propios son $\geq 0$ y que $\vertiii T = \sup_{\norm x\leq1}\langle x, Tx\rangle$ . (b) Demuestre la desigualdad generalizada de Cauchy-Schwarz $\abs{\langle x, Ty\rangle}^2 \leq \langle x, Tx\rangle\langle y, Ty\rangle$ .

Solución

Solución de Ejercicio 15.5.

(a) $\lambda\norm x^2 = \langle x, Tx\rangle \geq 0$ en un vector propio. La fórmula es Proposición 15.5 con todos los valores $\langle x, Tx\rangle \geq 0$ : el valor absoluto es redundante. (b) $(x, y) \mapsto \langle x, Ty\rangle$ es un hermitiano forma sesquilineal positiva (posiblemente degenerada); lo habitual Cauchy–Prueba de Schwarz (expandir $\langle x + t\eu^{\iu\theta}y, T(x + t\eu^{\iu\theta}y)\rangle \geq 0$ y tomar el discriminante) nunca usa la definición.

Ejercicio 15.6 ★★

En $L^2(\intcc01)$ , deje $(Mf)(x) = x\,f(x)$ . (a) Demuestre que $M$ está acotado, autoadjunto, con $\vertiii M = 1$ , pero tiene valores propios de no. (b) Mostrar $M$ no es compacto (exhibit a bounded sequence whose image has no convergent subsequence, e.g. normalized indicators of shrinking intervals near $1$ — or invoke the spectral theorem). (c) ¿Dónde se rompe la prueba de Lema 15.6? para $M$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 15.6.

(a) $\norm{Mf}_2 \leq \norm f_2$ , y en $f_n = \sqrt n\, \mathbf 1_{\intcc{1 - 1/n}1}$ (vectores unitarios), $\norm{Mf_n}_2 \geq 1 - \frac1n$ : $\vertiii M = 1$ ; autoadjunto desde el El multiplicador es real. Valores propios: $xf(x) = \lambda f(x)$ ae fuerza a $f = 0$ ae fuera del conjunto nulo $\{x = \lambda\}$ : $f = 0$ en $L^2$ . (b) Con el mismo $f_n$ : $\norm{Mf_n - f_n}_2 \leq \frac1n \to 0$ , mientras que $f_n \rightharpoonup 0$ (para $g \in L^2$ fijo, $\abs{\langle g, f_n\rangle} \leq \norm{g\,\mathbf 1_{\intcc{1-1/n}1}}_2 \to 0$ por DCT). Si $Mf_{n_k} \to h$ en norma, entonces $f_{n_k} \to h$ , forzando $h = 0$ (límite débil) todavía $\norm h = 1$ : no hay subsecuencia convergente. (c) En Lema 15.6, precisamente el la extracción “ $Tx_{n_k} \to y$ ” utiliza compacidad; para $M$ el Las secuencias de maximización se concentran cerca de $x = 1$ y sus las imágenes convergen débilmente a $0$ , nunca en norma: el vector propio en la parte superior del rango numérico simplemente no existe.

Ejercicio 15.7 ★★

(Volterra) En $L^2(\intcc01)$ , deje $Vf(x) = \int_0^xf(y)\dd y$ . (a) Mostrar $V$ es compacto (Hilbert–Schmidt con kernel $\mathbf 1_{y < x}$ ) pero no autoadjunto; calcular $V^*$ . (b) Demuestre que $V$ no tiene un valor propio distinto de cero. (From $Vf = \lambda f$ : $f$ has a continuo representative, then is $\mathcal C^1$ , and solves $\lambda f' = f$ , $f(0) = 0$ .) (c) Concluya que la compacidad por sí sola no produce vectores propios: autoadjunción en Teorema 15.7 es esencial.

Solución

Solución de Ejercicio 15.7.

(a) $V = T_k$ con $k(x, y) = \mathbf 1_{y < x} \in L^2(\intcc01^2)$ : compacto (Ejercicio 15.4). su adjunto es el operador del núcleo con el núcleo $\overline{k(y, x)} = \mathbf 1_{y > x}$ : $V^*f(x) = \int_x^1f$ ; $V \neq V^*$ (prueba en $f = \mathbf 1$ ). (b) Si $Vf = \lambda f$ , $\lambda \ne 0$ : $Vf$ es continuo en $\intcc01$ (convergencia dominada en $\int_0^x f$ ), por lo que $f = \frac1\lambda Vf$ tiene un representante continuo; entonces $Vf$ es $\mathcal C^1$ (teorema fundamental de cálculo para integrandos continuo), por lo que $f$ es $\mathcal C^1$ , y $\lambda f' = f$ con $f(0) = \frac1\lambda Vf(0) = 0$ : $f = C\eu^{x/\lambda}$ con $C = f(0) = 0$ . (c) $V$ es compacto sin ningún valor propio excepto posiblemente $0$ ( $Vf = 0$ fuerza a $f = 0$ a.e. diferenciando el integral — así que ni siquiera $0$ ): la maquinaria espectral realmente requiere autoadjunción, no solo compacidad.

Ejercicio 15.8 ★★★

(Courant–Fischer) Sea $T$ compacto, autoadjunto, positivo, con valores propios $\mu_1 \geq \mu_2 \geq \dots > 0$ (repetidos por multiplicidad, vectores propios $e_1, e_2, \dots$ ). Mostrar:

\mu_{k} = \max_{\substack{V \subseteq H \\ \dim V = k}}\ \min_{\substack{x \in V\\ \norm x = 1}}\ \langle x, Tx\rangle = \min_{\substack{W \subseteq H\\ \operatorname{codim}W = k-1}}\ \max_{\substack{x\in W\\ \norm x = 1}}\ \langle x, Tx\rangle .

(Test $V = \operatorname{Vect}(e_1,\dots,e_k)$ ; for the upper bound intersect any $V$ with $\operatorname{Vect}(e_k, e_{k+1}, \dots)$ -type spaces: dimension counting forces a nonzero intersection.) Deducir que los valores propios dependen monótonamente de $T$ ( $T \leq S \Rightarrow \mu_k(T) \leq \mu_k(S)$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 15.8.

Escriba $x = \sum_ic_ie_i + z$ , $z \in \ker T$ , por lo que $\langle x, Tx\rangle = \sum_i\mu_i\abs{c_i}^2$ . límite inferior: encendido la esfera unitaria de $V_k = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_k)$ , $\langle x, Tx\rangle = \sum_{i\leq k}\mu_i\abs{c_i}^2 \geq \mu_k$ : el máximo sobre $V$ del mínimo es $\geq \mu_k$ . límite superior: sean $\dim V = k$ y $W_k = \overline{\operatorname{Vect}}(e_k, e_{k+1}, \dots) + \ker T$ , de codimensión $k - 1$ (su complemento ortogonal es $V_{k-1}$ ); $V \cap W_k \neq \{0\}$ (una aplicación lineal $V \to H/W_k \cong V_{k-1}$ de rango $\leq k - 1$ tiene características no triviales kernel), y una unidad $x \in V\cap W_k$ tiene $\langle x, Tx\rangle = \sum_{i \geq k}\mu_i\abs{c_i}^2 \leq \mu_k$ : el min sobre $V$ es $\leq \mu_k$ . Juntos: la primera fórmula; el segundo se prueba simétricamente (prueba $W = W_k$ ; para $W$ arbitrario de codimensión $k-1$ , $W \cap V_k \neq 0$ da un vector unitario con $\langle x, Tx\rangle \geq \mu_k$ ). Monotonicidad: $\langle x, Tx\rangle \leq \langle x, Sx\rangle$ se transfiere puntualmente a través de $\max\min$ .

Ejercicio 15.9 ★★

Usando Teorema 15.8 para $Tf(x) = \int_0^1\min(x,y)f(y)\dd y$ (Ejemplo 15.9): para lo cual $\lambda \in \R$ hace la ecuación integral

f(x) - \lambda\int_0^1\min(x,y)\,f(y)\,\dd y = g(x)

¿Tiene una solución única $f \in L^2$ para cada $g \in L^2$ ? que sucede en los valores excepcionales?

Solución

Solución de Ejercicio 15.9.

Reescribe $f - \lambda Tf = g$ . Para $\lambda = 0$ : $f = g$ , siempre de forma única soluble. Para $\lambda \neq 0$ : esto es $(T - \frac1\lambda)f = -\frac g\lambda$ , y por el Fredholm alternativa (Teorema 15.8) con el valores propios $\lambda_n = \bigl((n + \frac12)\pi\bigr)^{-2}$ de $T$ (Ejemplo 15.9): solubilidad único para todos $g$ si $\frac1\lambda \neq \lambda_n$ por cada $n$ , es decir,

\lambda \neq \Bigl(n + \tfrac12\Bigr)^2\pi^2 \qquad (n = 0, 1, 2, \dots).

En un $\lambda = (n+\frac12)^2\pi^2$ excepcional: soluciones existe si $g \perp \sin\bigl((n{+}\frac12)\pi x\bigr)$ , y son entonces únicos hasta sumar múltiplos de ese seno.

Ejercicio 15.10 ★★★

Sea $S$ el cambio en $\ell^2$ (Ejercicio 8.1). (a) Demuestre que $S$ no tiene valores propios, mientras que cada $\lambda$ con $\abs\lambda < 1$ es un valor propio de $S^*$ (encuentre el vectores propios explícitamente, secuencias geométricas). (b) Ni $S$ ni $S^*$ son compacto: verificar mediante Pruebas de estilo Ejercicio 15.2 en $(e_n)$ . (c) Comentario: para los operadores no autoadjunto, no compacto, el El paisaje de valores propios puede ser cualquier cosa, desde vacío hasta lleno. disco — la noción que sobrevive es la espectro, estudiado en un curso posterior.

Solución

Solución de Ejercicio 15.10.

(a) $Sx = \lambda x$ : comparación de coordenadas, $0 = \lambda x_1$ y $x_n = \lambda x_{n+1}$ ; si $\lambda \ne 0$ entonces $x_1 = 0$ e inductivamente $x = 0$ ; si $\lambda = 0$ , $Sx = 0$ fuerzas $x = 0$ ( $S$ isométrica). Sin valores propios. $S^*x = \lambda x$ lee $x_{n+1} = \lambda x_n$ : $x = x_1(1, \lambda, \lambda^2, \dots)$ , en $\ell^2$ exactamente cuando $\abs\lambda < 1$ : un disco abierto completo de valores propios. (b) $\norm{Se_n - Se_m} = \norm{e_{n+1} - e_{m+1}} = \sqrt2$ : la imagen del $(e_n)$ acotado no tiene subsecuencia de Cauchy; igualmente $S^*e_{n+1} = e_n$ . Tampoco lo es compacto. (c) Para compacto operadores autoadjuntos los valores propios capturar todo (Teorema 15.7); cayendo cualquiera de las hipótesis, los valores propios pueden desaparecer por completo ( $S$ , Volterra) o llenar un disco ( $S^*$ ): el objeto robusto es el espectro $\{\lambda : T - \lambda I \text{ not invertible}\}$ , cuya teoría pertenece a un curso posterior.

Ejercicio 15.11 ★★

(Raíces cuadradas) Sea $T$ compacto, autoadjunto, positivo ( $\langle x, Tx\rangle \geq 0$ ) en un Espacio de Hilbert $H$ , con descomposición espectral $Tx = \sum_n\mu_n\langle e_n, x\rangle e_n$ ( $\mu_n > 0$ ). (a) Defina $Sx = \sum_n\sqrt{\mu_n}\,\langle e_n, x\rangle e_n$ ; mostrar $S$ es compacto, autoadjunto, positivo, con $S^2 = T$ . (b) Demostrar unicidad: cualquier compacto positivo autoadjunto $R$ con $R^2 = T$ preserva los espacios propios de $T$ ( $RT = R^3 = TR$ : $R$ commutes with $T$ , so $R(\ker(T - \mu)) \subseteq \ker(T - \mu)$ ), y en adelante $\ker(T - \mu)$ , $R$ es un operador positivo que eleva al cuadrado $\mu\,\mathrm{id}$ en un espacio de dimensión finita: diagonalícelo allí y concluya $R = \sqrt\mu\,\mathrm{id}$ en cada espacio propio, por lo tanto $R = S$ . (c) Calcule $\sqrt G$ para el operador de cadena $G$ de Problema 15.1: qué kernel tiene valores propios $\frac1{n\pi}$ en base seno? (Exprese $\sqrt G$ como el $L^2$ -límite de núcleos; no se requiere ningún formulario cerrado.)

Solución

Solución de Ejercicio 15.11.

(a) $S$ es el operador diagonal con coeficientes $\sqrt{\mu_n} \to 0$ : compacto (Ejercicio 15.2(b), transportado a la base $(e_n)$ completado por $\ker T$ , donde $S = 0$ ), autoadjunto (diagonal real), positivo ( $\langle x, Sx\rangle = \sum\sqrt{\mu_n}\abs{\langle e_n, x\rangle}^2$ ) y $S^2 = T$ por términos.

(b) $R$ conmuta con $T = R^2$ ; para un vector propio $x$ de $T$ con valor propio $\mu$ : $T(Rx) = RTx = \mu Rx$ , por lo que el El espacio propio de dimensión finita $E_\mu = \ker(T - \mu)$ es $R$ -estable. En $E_\mu$ , $R$ es simétrico positivo con $R^2 = \mu\,\mathrm{id}$ : sus valores propios $\rho$ satisfacen $\rho^2 = \mu$ , $\rho \geq 0$ : todos iguales $\sqrt\mu$ y a El operador diagonalizable con un único valor propio es escalar: $R = \sqrt\mu\,\mathrm{id}$ en $E_\mu$ . En $\ker T$ : $\norm {Rx}^2 = \langle x, R^2x\rangle = \langle x, Tx\rangle = 0$ . Entonces $R$ concuerda con $S$ en $\ker T$ y en cada espacio propio, cuyo tramo cerrado es $H$ (teorema espectral): $R = S$ .

k(x, y) = \sum_{n\geq1}\frac{2\sin(n\pi x)\sin(n\pi y)}{n\pi},

la serie que converge en $L^2(\intcc01^2)$ (coeficientes $\frac1{n\pi} \in \ell^2$ ; los núcleos de suma parcial dan el aproximaciones de rango finito). Ninguna forma cerrada elemental es necesario: el lado espectral is el operador.

Ejercicio 15.12 ★★★

(Descomposición de valores singulares) Sea $T \in \mathcal L(H)$ compacto, no necesariamente autoadjunto. (a) Demuestre que $T^*T$ es compacto, autoadjunto, positivo; dejar $(e_n)$ sea una familia ortonormal de vectores propios con $T^*Te_n = s_n^2e_n$ , $s_n > 0$ (el valores singulares), completado por $\ker(T^*T) = \ker T$ (demuestre esta igualdad). (b) Establecer $f_n = \frac{Te_n}{s_n}$ ; mostrar $(f_n)$ es ortonormal, y establecer el SVD:

Tx = \sum_n s_n\,\langle e_n, x\rangle\,f_n \qquad (x \in H),

con convergencia en $H$ . (c) Deducir: $\vertiii T = \max_ns_n$ ; $T$ es un límite normativo de operadores de rango finito (reprobando converse de Proposición 15.2 para Hilbert espacios); y para el operador Volterra $V$ de Ejercicio 15.7, que no tiene valores propios, explique ¿Por qué existe la SVD y cuáles son sus ingredientes? (identifique $V^*V$ como un operador del núcleo de tipo cadena — calcular sus valores propios explícitamente es territorio de Ejercicio 15.9).

Solución

Solución de Ejercicio 15.12.

(a) $T^*T$ es compacto (producto de un acotado y un compacto operador, Ejercicio 15.3), autoadjunto ( $(T^*T)^* = T^*T$ ), positivo ( $\langle x, T^*Tx\rangle = \norm{Tx}^2$ ). Núcleo: $T^*Tx = 0 \Rightarrow \norm{Tx}^2 = \langle x, T^*Tx\rangle = 0 \Rightarrow Tx = 0$ , y por el contrario: $\ker T^*T = \ker T$ . El teorema espectral suministra el ortonormal $(e_n)$ con $T^*Te_n = s_n^2e_n$ , $s_n > 0$ , que abarca $(\ker T)^\perp$ .

(b) $\langle f_m, f_n\rangle = \frac{\langle Te_m, Te_n\rangle}{s_ms_n} = \frac{\langle e_m, T^*Te_n\rangle}{s_ms_n} = \frac{s_n^2}{s_ms_n}\delta_{mn} = \delta_{mn}$ . Expanda $x = x_0 + \sum_n\langle e_n, x\rangle e_n$ con $x_0 \in \ker T$ (Parseval en el tramo cerrado más núcleo); aplicando el continuo $T$ :

Tx = \sum_n\langle e_n, x\rangle\,Te_n = \sum_ns_n\langle e_n, x\rangle\,f_n,

la serie converge porque sus sumas parciales son de Cauchy ( $\norm{\sum_{N<n\leq M}s_n\langle e_n, x\rangle f_n}^2 = \sum s_n^2\abs{\langle e_n, x\rangle}^2$ , dominado por $\sup_{n>N}s_n^2\cdot\norm x^2$ y $s_n \to 0$ ).

(c) $\norm{Tx}^2 = \sum_ns_n^2\abs{\langle e_n, x\rangle}^2 \leq (\max s_n)^2\norm x^2$ , alcanzado en la maximización $e_n$ : $\vertiii T = \max s_n$ . Truncando el SVD en el rango $N$ deja un operador de norma $\sup_{n>N}s_n \to 0$ : aproximación de rango finito. El operador Volterra no tiene valores propios (Ejercicio 15.7), pero $V^*V$ hace: $V^*Vf(x) = \int_x^1\int_0^tf(s)\,\dd s\,\dd t$ es un operador de kernel positivo simétrico (kernel $1 - \max(x,y)$ , un núcleo verde de tipo cadena), cuyos pares propios — calculados a través del problema de valor límite $-u'' = \lambda^{-1}u$ , $u'(0) = u(1) = 0$ , es decir, familia de Ejercicio 15.9 — dar valores singulares $s_n = \bigl((n + \frac12)\pi\bigr)^{-1}$ . La SVD vive precisamente de familias ortonormales dos porque $V$ gira su geometría propia: no hay vectores propios, sin embargo perfecto estructura diagonal entre dos bases diferentes.

15.5 Problema: la cuerda vibrante y $\zeta(2)$

Problema 15.1

Problema del fin de semana — operador de Green, la base seno y una fórmula de traza

Resolvemos el problema de valores propios de la cuerda vibrante con extremos fijos — $-u'' = \nu u$ , $u(0) = u(1) = 0$ — por teoría del operador, obtenga la base ortonormal del seno sin ningún cálculo de Fourier y evaluar $\zeta(2)$ comparando dos expresiones para el rastro del operador Verde. Definir, en $L^2(\intcc01)$ ,

(Gf)(x) = \int_0^1 g(x,y)\,f(y)\,\dd y, \qquad g(x, y) = \min(x,y)\,\bigl(1 - \max(x,y)\bigr).

Parte I — The Green operator.

Demuestre que $g$ es continuo, simétrico, con $0 \leq g \leq \frac14$ , y que $G$ es compacto y autoadjunto (Ejemplo 15.3(c)).
Para $f$ continuo, muestre que $u = Gf$ es $\mathcal C^2$ con

$-u'' = f, \qquad u(0) = u(1) = 0$

(write $u(x) = (1-x)\int_0^xyf(y)\dd y + x\int_x^1(1-y)f(y)\dd y$ and differentiate twice). Por el contrario, si $u \in \mathcal C^2$ con $u(0) = u(1) = 0$ , entonces $G(-u'') = u$ : $G$ invierte la cadena operador.
Mostrar $\ker G = \{0\}$ (if $Gf = 0$ with $f \in L^2$ : test against continuo $\varphi$ , transfer $G$ by symmetry/Fubini onto $\varphi$ , and use the fundamental lemma Corolario 12.11 — or regularize), y que $G$ es un operador positivo: $\langle f, Gf\rangle \geq 0$ . (For continuo $f$ : $\langle f, Gf\rangle = \int_0^1 (u')^2$ with $u = Gf$ , by parts; conclude by densidad.)

Parte II — Diagonalization: the sine basis.

Demuestre que las funciones propias de $G$ con valor propio $\lambda \ne 0$ son, hasta escalares, las soluciones de $-\lambda u'' = u$ , $u(0) = u(1) = 0$ (an eigenfunction has a continuo representative — $Gf$ is continuo for $f \in L^2$ , why? — hence is $\mathcal C^2$ by bootstrapping question 2).
Resuelve el problema de valores en la frontera: los valores propios de $G$ son $\lambda_n = \frac1{n^2\pi^2}$ ( $n \geq 1$ ), con funciones propias normalizadas $e_n(x) = \sqrt2\,\sin(n\pi x)$ ; comprobar la ortonormalidad por directo La integración como prueba de cordura.
Concluir de Teorema 15.7 y la pregunta 3 que $\bigl(\sqrt2\sin(n\pi x)\bigr)_{n\geq1}$ es un ortonormal base de $L^2(\intcc01)$ — no Stone: Weierstrass, no se necesita serie de Fourier. Expandir $f(x) = x(1-x)$ en esta base y escriba Parseval para eso.

Parte III — The trace formula and $\zeta(2)$ .

Demostrar las dos identidades

$\langle e_n, Ge_n\rangle = \lambda_n \quad\text{and}\quad \sum_{n\geq1}\lambda_n = \int_0^1 g(x,x)\,\dd x .$

Para el segundo (el fórmula de seguimiento): expandir $g(x, \cdot)$ , para $x$ fijo, en la base $(e_n)$ — mostrar que los coeficientes son $\lambda_ne_n(x)$ , por lo que que $g(x, \cdot) = \sum_n\lambda_ne_n(x)\,e_n$ en $L^2$ . Aquí los senos son explícitos: verificar directamente que $\sum_n\lambda_ne_n(x)e_n(y)$ converge uniformemente en el cuadrado (compárese con $\sum \frac2{n^2\pi^2}$ ), por lo que su suma es continuo y, teniendo las mismas expansiones $L^2$ en $y$ para cada $x$ , es igual $g(x,y)$ en todas partes. Establezca $y = x$ e integre el término por término.
Calcule $\int_0^1g(x,x)\dd x = \int_0^1x(1-x)\dd x = \frac16$ y concluya

$\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^2\pi^2} = \frac16, \qquad\text{i.e.}\qquad \boxed{\ \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}\ } :$

Suma de Euler a partir de la traza de un operador.
Rederivar $\zeta(2)$ de una tercera vía: aplicar Parseval en la base seno a la función constante $\mathbf 1$ , calcular $\sum_{n \text{ odd}}\frac1{n^2}$ , y concluir. Luego compare los mecanismos: ¿en qué sentido el argumento de seguimiento de las preguntas 7–8 “Parseval aplicado a todo el núcleo a la vez”?

Parte IV — The string vibrates.

(Separación de variables, sintetizada) Para $f \in L^2$ , defina

$u(t, x) = \sum_{n\geq1}\;c_n\, \cos(n\pi t)\,\sqrt2\sin(n\pi x), \qquad c_n = \langle e_n, f\rangle .$

Mostrar la serie converge en $L^2(\intcc01)$ para cada $t$ , que $t\mapsto u(t, \cdot)$ está en continuo $L^2$ , y eso para $f$ en el lapso de un número finito $e_n$ resuelve la ecuación de onda $\partial_t^2u = \partial_x^2u$ con $u(0) = f$ , $\partial_tu(0) = 0$ , extremos fijos. Los valores propios $n^2\pi^2$ son los cuadrados frecuencias: los armónicos de la cuerda — explica el interpretación musical de Teorema 15.7 en un párrafo.

Part V — Variational dividends: the power method, Weyl stability, and a rigorous bound on $\pi$ . Deja $A$ ser un operador compacto autoadjunto positivo con valores propios $\mu_1 \geq \mu_2 \geq \cdots > 0$ y vectores propios ortonormales $(u_n)$ ; $R(x) = \frac{\langle x, Ax\rangle}{\norm x^2}$ . Las fórmulas mín-máx son Ejercicio 15.8; aquí los gastamos.

(Método de alimentación) Para $x \neq 0$ escriba $m_p = \sum_n\mu_n^p\abs{\langle u_n, x\rangle}^2$ . Mostrar $m_pm_{p+2} \geq m_{p+1}^2$ (Cauchy–Schwarz), deducir la cadena

$R(x) \;\leq\; \frac{\langle Ax, Ax\rangle}{\langle x, Ax\rangle} \;\leq\; R(Ax) \;\leq\; \mu_1,$

y demostrar que si $\langle u_1, x\rangle \neq 0$ , luego $R(A^kx) \to \mu_1$ : iterando el operador en cualquier vector genérico calcula el valor propio superior — el método de potencia de análisis numérico, certificado.
(estabilidad de Weyl) Para compacto autoadjunto positivo $A, B$ , deduce de Ejercicio 15.8 que

$\abs{\mu_n(A) - \mu_n(B)} \;\leq\; \vertiii{A - B} \qquad\text{for every } n :$

el espectro completo es $1$ -Lipschitz en operador norma — los valores propios de grandes sistemas simétricos pueden ser calculado a partir de aproximaciones con error garantizado.
Aplicar el Rayleigh ligado a $G$ con la prueba. función $u(x) = x(1-x)$ : resuelve $-w'' = u$ , $w(0) = w(1) = 0$ para obtener $Gu = w = \frac{x(1-x)(1 + x - x^2)}{12}$ , calcula

$\norm u_2^2 = \frac1{30}, \qquad \langle u, Gu\rangle = \frac1{12}\Bigl(\frac1{30} + \frac1{140}\Bigr) = \frac{17}{5040}, \qquad R(u) = \frac{17}{168},$

y concluir el riguroso vinculado a $\frac1{\pi^2} = \lambda_1 \geq \frac{17}{168}$ , es decir, $\pi \leq \sqrt{168/17} < 3.1437$ .
Un paso de la cadena de la pregunta 11, en el mismo test función: usando $\int_0^1(x - x^2)^4\dd x = \frac1{630}$ , calcular

$\norm{Gu}_2^2 = \frac1{144}\Bigl(\frac1{30} + \frac2{140} + \frac1{630}\Bigr) = \frac{31}{90720}, \qquad \frac{\langle Gu, Gu\rangle}{\langle u, Gu\rangle} = \frac{31}{306},$

y concluir $\pi \leq \sqrt{306/31} < 3.1419$ : dos Integrales, cuatro dígitos correctos. (Cada vez más iteración cuadra aproximadamente la precisión: el brecha de vector propio unidades $\lambda_1/\lambda_2 = 4$ convergencia geométrica.)

Part VI — The trace of $G^2$ , and $\zeta(4)$ .

Muestra que $\sum_n\lambda_n^2 = \iint_{\intcc01^2}g(x,y)^2\,\dd x\,\dd y$ (expand $g$ on the product basis $(e_m(x)e_n(y))_{m,n}$ of $L^2(\intcc01^2)$ — a base de hilabert, cf. Ejercicio 15.5 — and apply Parseval on the square; question 7 identifies the coefficients).
Calcular la integral doble:

$\iint g^2 = 2\int_0^1(1-x)^2\Bigl(\int_0^x y^2\,\dd y\Bigr)\dd x = \frac23\int_0^1x^3(1-x)^2\,\dd x = \frac1{90} .$
Concluir $\zeta(4) = \dfrac{\pi^4}{90}$ ; explicar, sin cálculo, cómo rastros de poderes superiores $G^k$ produce $\zeta(2k) \in \pi^{2k}\,\Q$ para todos $k \geq 1$ , y por qué los valores impares $\zeta(3), \zeta(5), \dots$ están estructuralmente fuera de esto alcance de la máquina.
( $\pi$ desde abajo) De $\lambda_1^2 \leq \sum_n\lambda_n^2 = \frac1{90}$ deduce $\pi \geq 90^{1/4} > 3.080$ , y ensambla con la pregunta 14 la veredicto bilateral

$3.080 \;<\; \pi \;<\; 3.1419,$

obtenido enteramente de la vibración de la cuerda. aritmética. ¿Qué lado converge más rápido si se usa? rastros más altos $(\operatorname{tr}G^{2k})^{-1/4k}$ , ¿y por qué?

Part VII — Forcing and resonance. Arreglar $\nu \in \R$ y considere la cadena forzada $-u'' - \nu u = f$ , $u(0) = u(1) = 0$ , con $f \in L^2$ y $c_n = \langle e_n, f\rangle$ .

Supongamos que $\nu \notin \{n^2\pi^2 : n \geq 1\}$ . Mostrar eso

$u = \sum_{n\geq1}\frac{c_n}{n^2\pi^2 - \nu}\,e_n$

converge en $L^2$ y uniformemente en $\intcc01$ (Cauchy–Schwarz between $(c_n)$ and the tails of $\sum n^{-4}$ , with $\norm{e_n}_\infty = \sqrt2$ ), y que satisface $u = Gf + \nu Gu$ — la forma de coordenadas explícitas de Fredholm alternativa (Teorema 15.8), con singularidad.
Supongamos $\nu = m^2\pi^2$ . Demuestre que $u = Gf + \nu Gu$ tiene una solución si $c_m = 0$ , única hasta sumando múltiplos de $e_m$ . Lectura física: empujar un swing exactamente en su propia frecuencia.
Para $\nu < \pi^2$ , muestre que el operador de solución $R_\nu\colon f \mapsto u$ está limitado a $L^2$ con norma $\frac1{\pi^2 - \nu}$ , compacto, autoadjunto, y positivo: se reinicia todo el análisis espectral, desplazado por $\nu$ .
(Síntesis) Compile el diccionario de este problema: valor propio $\leftrightarrow$ frecuencia al cuadrado (armónicos); rastrear $\leftrightarrow$ $\zeta(2)$ ; Norma Hilbert–Schmidt $\leftrightarrow$ $\zeta(4)$ ; Alternativa a Fredholm $\leftrightarrow$ resonancia; min–max $\leftrightarrow$ límites variacionales ( $\pi < 3.1437$ de un polinomio). Un operador integral, cinco capítulos de análisis sacados provecho.

Part VIII — Three last echoes.

( $\zeta(6)$ , gratis) Pregunta 6 Parseval la identidad dio $\sum_{n\text{ odd}}n^{-6} = \frac{\pi^6}{960}$ . Divida $\zeta(6)$ en impares y incluso $n$ y concluir

$\zeta(6) = \frac{\pi^6}{945},$

sin integral nueva: la máquina de la pregunta 17 (rastros de $G^3$ ) habría producido el mismo valor a costa de un kernel iterado — Parseval en uno una función bien elegida es la ruta más barata aquí.
(El estado fundamental es positivo) Sea $A$ un compacto autoadjunto operador positivo en $L^2(\intcc01)$ dado por un núcleo simétrico continuo $k > 0$ en $\intoo01^2$ , con el valor propio más grande $\mu_1$ . Mostrar: (a) cualquier maximizador del cociente de Rayleigh es un $\mu_1$ -función propia; (b) si $u$ es uno, entonces $\langle\abs u, A\abs u\rangle \geq \langle u, Au\rangle$ , con desigualdad estricto si $u$ toma ambos signos en conjuntos de medida positivos — por lo tanto $u$ tiene a.e. signo constante, y $u = \mu_1^{-1}Au$ nunca desaparece en $\intoo01$ ; (c) $\mu_1$ es un simple valor propio. Verifique cada reclamo en $G$ : $e_1 = \sqrt2\sin(\pi x) > 0$ , y cada $e_n$ , $n \geq 2$ , al ser ortogonal a $e_1$ , debe cambiar de signo (lo hace: $n - 1$ interior ceros).
(Distancia al espectro, y precio del resonancia) Para $\nu \notin \{n^2\pi^2\}$ , demuestre que el operador de solución $R_\nu$ de la pregunta 19 es acotado, autoadjunto, compacto, con

$\vertiii{R_\nu} = \frac1{\min_{n\geq1}\,\abs{n^2\pi^2 - \nu}} = \frac1{\operatorname{dist}\bigl(\nu, \{n^2\pi^2\}\bigr)},$

la norma se alcanza en el modo más cercano. entonces cuantificar el swing de la pregunta 20: forzando con $f = e_1$ en $\nu = (1 - \varepsilon)\pi^2$ produce $u = \frac{1}{\varepsilon\pi^2}\,e_1$ , una amplificación por $\frac1\varepsilon$ de la respuesta estática $Ge_1 = \frac1{\pi^2}e_1$ — al uno por ciento por debajo del fundamental ( $\varepsilon = 10^{-2}$ ), la cadena Responde cien veces más fuerte.

Solución

Solución de Problema 15.1.

1. Continuidad: $\min$ y $\max$ son continuo; simetría: intercambiar $x, y$ no intercambia ni $\min(x,y)$ ni $1 - \max(x,y)$ . Límites: $0 \leq g$ y los límites de tipo $g(x,y) \leq \max\cdot(1-\max)$ dan $g \leq \frac14$ (para $u = \max$ : $\min \leq u$ entonces $g \leq u(1-u) \leq \frac14$ ). $g \in L^2(\square)$ : Hilbert–Schmidt, por lo tanto $G$ compacto (Ejercicio 15.4); el núcleo es realmente simétrico: $G$ autoadjunto.

2. División en $y = x$ :

u(x) = (1 - x)\int_0^x y\,f(y)\,\dd y + x\int_x^1(1 - y)\,f(y)\,\dd y .

Para continuo $f$ , diferenciar (producto y fundamental teorema):

u'(x) = -\int_0^xyf + \int_x^1(1-y)f \qquad\text{(the boundary terms cancel)},

y $u''(x) = -xf(x) - (1 - x)f(x) = -f(x)$ ; claramente $u(0) = u(1) = 0$ . Por el contrario, si $u \in \mathcal C^2$ desaparece en ambos termina, $w = u - G(-u'')$ satisface $w'' = 0$ , $w(0) = w(1) = 0$ : $w$ es afín y desaparece dos veces, por lo que $w = 0$ .

3. Vamos $Gf = 0$ , $f \in L^2$ . Para $\psi \in \mathcal C_c^\infty(\intoo01)$ : $\psi = G(-\psi'')$ por la pregunta 2, entonces

\langle f, \psi\rangle = \langle f, G(-\psi'')\rangle = \langle Gf, -\psi''\rangle = 0

( $G$ autoadjunto): por el lema fundamental (Corolario 12.11), $f = 0$ a.e. Positividad: para continuo $f$ , con $u = Gf$ ,

\langle f, Gf\rangle = \int_0^1 fu = \int_0^1(-u'')u = \bigl[-u'u\bigr]_0^1 + \int_0^1(u')^2 = \int_0^1(u')^2 \geq 0 ;

para $f \in L^2$ , aproximado en $L^2$ por continuo $f_n$ : ambos lados pasan al límite ( $G$ acotado).

4. Si $Gu = \lambda u$ , $\lambda \neq 0$ : $Gu$ es continuo ( $\abs{Gu(x) - Gu(x')} \leq \norm{g(x,\cdot) - g(x',\cdot)}_2\norm u_2$ , y el kernel es uniformemente continuo), por lo que $u$ tiene un representante continuo; entonces Las fórmulas de la pregunta 2 muestran $Gu \in \mathcal C^2$ , por lo que $u = \frac1\lambda Gu \in \mathcal C^2$ con $-\lambda u'' = -(Gu)'' = u$ y $u(0) = u(1) = 0$ .

5. $-\lambda u'' = u$ , $u(0) = 0$ : $u = A\sin(x/\sqrt \lambda)$ (positivo $\lambda$ : por pregunta 3, $\lambda = \langle u, Gu\rangle/\norm u^2 > 0$ sobre vectores propios). $u(1) = 0$ fuerzas $\frac1{\sqrt\lambda} = n\pi$ : $\lambda_n = \frac1{n^2\pi^2}$ , funciones propias $\sin(n\pi x)$ , normalizadas $e_n = \sqrt2\sin(n\pi x)$ ( $\int_0^12\sin^2(n\pi x)\dd x = 1$ ). Verificación de ortogonalidad: $2\sin(m\pi x)\sin(n\pi x) = \cos((m-n)\pi x) - \cos((m+n)\pi x)$ se integra a $0$ para $m \neq n$ .

6. $\ker G = \{0\}$ (pregunta 3), entonces Teorema 15.7(1) da $H = \overline{\operatorname{Vect}}(e_n)$ : los senos son un Hilbert base de $L^2(\intcc01)$ . Para $f(x) = x(1 - x)$ :

c_n = \sqrt2\int_0^1x(1-x)\sin(n\pi x)\,\dd x = \sqrt2\;\frac{2\bigl(1 - (-1)^n\bigr)}{n^3\pi^3} = \begin{cases}\dfrac{4\sqrt2}{n^3\pi^3} & n \text{ odd},\\ 0 & n \text{ even},\end{cases}

(dos integraciones por partes). Parseval: $\int_0^1x^2(1-x)^2\dd x = \frac1{30} = \sum_{n \text{ odd}}\frac{32}{n^6\pi^6}$ , es decir, $\sum_{n\text{ odd}}n^{-6} = \frac{\pi^6}{960}$ .

7. $\langle e_n, Ge_n\rangle = \lambda_n\norm{e_n}^2 = \lambda_n$ . Para $x$ fijo, los coeficientes de $g(x, \cdot)$ : $\langle e_n, g(x,\cdot)\rangle = (Ge_n)(x) = \lambda_ne_n(x)$ , por lo que $g(x,\cdot) = \sum_n\lambda_ne_n(x)\,e_n$ en $L^2$ . La serie explícita $\sum_n\lambda_ne_n(x)e_n(y) = \sum_n\frac{2\sin(n\pi x)\sin(n\pi y)}{n^2\pi^2}$ converge normalmente en el cuadrado. ( $\abs{\text{term}} \leq \frac2{n^2\pi^2}$ ): su suma es continuo, y para cada $x$ tiene el mismo $L^2(\dd y)$ -coeficientes como $g(x, \cdot)$ : los dos continuo Las funciones coinciden para cada $(x, y)$ . Configuración de $y = x$ y integrando (la convergencia normal permite término por término integración):

\int_0^1g(x,x)\,\dd x = \sum_n\lambda_n\int_0^1e_n(x)^2\dd x = \sum_n\lambda_n .

8. $\int_0^1g(x,x)\dd x = \int_0^1x(1 - x)\dd x = \frac16$ , so $\sum_{n\geq1}\frac1{n^2\pi^2} = \frac16$ :

\zeta(2) = \sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6 .

9. Para $f = \mathbf 1$ : $c_n = \sqrt2\int_0^1\sin(n\pi x)\dd x = \sqrt2\,\frac{1 - (-1)^n}{n\pi}$ : $c_n = \frac{2\sqrt2}{n\pi}$ para $n$ impar, $0$ por igual. Parseval: $1 = \sum_{n\text{ odd}}\frac{8}{n^2\pi^2}$ , por lo que $\sum_{n\text{ odd}}n^{-2} = \frac{\pi^2}8$ y $\zeta(2) = \frac{\pi^2}8\cdot\frac{1}{1 - \frac14} = \frac{\pi^2}6$ (los términos pares son $\frac14\zeta(2)$ ). Comparación: Parseval para una suma $f$ $\abs{\langle e_n, f\rangle}^2$ ; la fórmula de traza integra la diagonal del núcleo, que equivale a sumar Parseval sobre toda una familia ortonormal a la vez — $\sum_n\langle e_n, Ge_n\rangle$ — y por lo tanto no ve cualquier elección particular de función de prueba.

10. $\abs{c_n\cos(n\pi t)} \leq \abs{c_n}$ con $\sum\abs{c_n}^2 < \infty$ : para cada $t$ la serie converge en $L^2$ (expansión ortonormal, Teorema 13.7(3)); la cola atada $\norm{u(t) - u_N(t)}_2^2 \leq \sum_{n>N}\abs{c_n}^2$ es uniforme en $t$ , y cada suma parcial es continuo en $t$ (finitos cosenos): $t \mapsto u(t,\cdot)$ es continuo en $L^2$ . Para $f = \sum_{n\leq N}c_ne_n$ : cada modo $\cos(n\pi t)\sin(n\pi x)$ satisface $\partial_t^2 = -n^2\pi^2 = \partial_x^2$ aplicado, desaparece en $x = 0, 1$ , tiene el valor $\sin(n\pi x)$ y la derivada temporal $0$ en $t = 0$ : la suma finita lo resuelve todo. Musicalmente: las cuerdas el movimiento es una superposición de ondas estacionarias $e_n$ , cuyas frecuencias $n\pi$ son las fundamentales y sus matices; el teorema espectral dice que toda forma inicial se descompone únicamente en estos tonos puros, los coeficientes Siendo $c_n$ el timbre. Escuchar una cuerda es calcular una expansión ortonormal.

11. Con $a_n = \abs{\langle u_n, x\rangle}^2$ :

\begin{align*} m_{p+1} &= \sum_n\mu_n^{p+1}a_n = \sum_n\bigl(\mu_n^{p/2}\sqrt{a_n}\bigr) \bigl(\mu_n^{p/2+1}\sqrt{a_n}\bigr) \leq \sqrt{m_p\,m_{p+2}} \end{align*}

(Cauchy–Schwarz en $\ell^2$ ). Por tanto las razones $m_{p+1}/m_p$ son no decrecientes en $p$ ; como $R(x) = \frac{m_1}{m_0}$ , $\frac{\langle Ax, Ax\rangle}{\langle x, Ax\rangle} = \frac{m_2}{m_1}$ y $R(Ax) = \frac{m_3}{m_2}$ , sigue la cadena, cada término $\leq \mu_1$ porque $m_{p+1} \leq \mu_1 m_p$ . Convergencia: si $a_1 > 0$ (peso total del valor propio superior), entonces

\mu_1 \geq R(A^kx) = \frac{m_{2k+1}}{m_{2k}} = \mu_1\,\frac{a_1 + \sum_{\mu_n<\mu_1}(\mu_n/\mu_1)^{2k+1} a_n}{a_1 + \sum_{\mu_n<\mu_1}(\mu_n/\mu_1)^{2k}a_n} \longrightarrow \mu_1,

por convergencia dominada de las sumas (ratios $< 1$ ): la El método de potencia converge para cada vector inicial no ortogonal al espacio propio superior.

12. Puntualmente, $\abs{\langle x, (A - B)x\rangle} \leq \vertiii{A - B}\,\norm x^2$ , entonces $R_A(x) \leq R_B(x) + \vertiii{A - B}$ por cada $x$ . Introduciendo esto en el fórmula max–min de Ejercicio 15.8: $\mu_n(A) \leq \mu_n(B) + \vertiii{A - B}$ , y simétricamente en $A, B$ : $\abs{\mu_n(A) - \mu_n(B)} \leq \vertiii{A - B}$ para todo $n$ a la vez.

13. $-w'' = x - x^2$ se integra a $w = -\frac{x^3}6 + \frac{x^4}{12} + cx$ (con $w(0) = 0$ ) y $w(1) = 0$ da $c = \frac1{12}$ :

w = \frac{x^4 - 2x^3 + x}{12} = \frac{x(1-x)(1 + x - x^2)}{12} = Gu .

Luego $\norm u_2^2 = \int_0^1x^2(1-x)^2 = \frac1{30}$ , y con $\int_0^1x^3(1-x)^3 = B(4,4) = \frac1{140}$ :

\langle u, Gu\rangle = \frac1{12}\Bigl(\frac1{30} + \frac1{140}\Bigr) = \frac{17}{5040}, \qquad R(u) = \frac{17/5040}{1/30} = \frac{17}{168} .

Entonces $\frac1{\pi^2} = \lambda_1 \geq \frac{17}{168}$ , es decir $\pi^2 \leq \frac{168}{17} = 9.8824$ : $\pi \leq 3.14364 < 3.1437$ (valor verdadero $\pi^2 = 9.8696$ ). Un polinomio, un integral, un dígito.

14. Escribe $u = x - x^2$ , entonces $Gu = \frac{u(1 + u)}{12}$ y, usando $\int u^2 = \frac1{30}$ , $\int u^3 = \frac1{140}$ , $\int u^4 = B(5,5) = \frac{4!\,4!}{9!} = \frac1{630}$ :

\norm{Gu}_2^2 = \frac1{144}\int u^2(1+u)^2 = \frac1{144}\Bigl(\frac1{30} + \frac2{140} + \frac1{630}\Bigr) = \frac1{144}\cdot\frac{62}{1260} = \frac{31}{90720} .

De ahí $\frac{\langle Gu, Gu\rangle}{\langle u, Gu\rangle} = \frac{31/90720}{17/5040} = \frac{31}{306}$ , y por pregunta 11 esto sigue siendo $\leq \mu_1 = \frac1{\pi^2}$ : $\pi^2 \leq \frac{306}{31} = 9.87097$ , es decir $\pi \leq 3.14181 < 3.1419$ — cuatro dígitos (y la siguiente iteración daría alrededor de las ocho, el error contrayéndose por $(\lambda_2/\lambda_1)^2 = \frac1{16}$ por paso).

15. La familia $(e_m \otimes e_n)(x,y) = e_m(x)e_n(y)$ es una base de hilabert de $L^2(\intcc01^2)$ (ortonormalidad por Tonelli; totalidad como en Ejercicio 15.5). Por pregunta 7, para fijo $x$ : $g(x, \cdot) = \sum_n\lambda_ne_n(x)e_n$ , entonces el coeficiente de $g$ en $e_m\otimes e_n$ es

\langle e_m\otimes e_n,\ g\rangle = \int_0^1 e_m(x)\,\lambda_n e_n(x)\,\dd x = \lambda_n\,\delta_{mn} .

Parseval en la plaza:

\iint g^2 = \sum_{m,n}\abs{\langle e_m\otimes e_n, g\rangle}^2 = \sum_n\lambda_n^2 .

16. Por simetría de $g$ ,

\iint g^2 = 2\iint_{y<x}y^2(1-x)^2 = 2\int_0^1(1-x)^2\,\frac{x^3}3\,\dd x = \frac23\,B(4, 3) = \frac23\cdot\frac{3!\,2!}{6!} = \frac23\cdot\frac1{60} = \frac1{90} .

17. Combinando: $\sum_n\frac1{n^4\pi^4} = \frac1{90}$ , es decir $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ . en En general, $\operatorname{tr}(G^k) = \sum\lambda_n^k = \frac{\zeta(2k)}{\pi^{2k}}$ es igual a una integral iterada de productos del núcleo polinomial racional $g$ sobre el $k$ -cubo: un número racional. Por lo tanto, $\zeta(2k) \in \pi^{2k}\Q$ para cada $k$ . La máquina sólo llega hasta argumentos porque los valores propios entran a través de sus potestades — $\sum\lambda_n^k$ — y $\lambda_n = \frac1{n^2\pi^2}$ : ninguna combinación de trazas produce $\sum n^{-3}$ ; la naturaleza aritmética de $\zeta(3)$ (irracional por Apéry, trascendencia abierta) se encuentra más allá de lo espectral contabilidad.

18. El término superior de una suma de términos positivos está en la mayoría de la suma: $\lambda_1^2 \leq \sum\lambda_n^2 = \frac1{90}$ , entonces $\frac1{\pi^2} \leq \frac1{\sqrt{90}}$ y $\pi \geq 90^{1/4} = 3.0801\ldots$ Con la pregunta 14: $3.080 < \pi < 3.1419$ , sólo mediante aritmética de cadenas. superior los rastros agudizan geométricamente el límite inferior: $\lambda_1 \leq (\operatorname{tr}G^{2k})^{1/2k} = \lambda_1\bigl(1 + \sum_{n\geq2}(\lambda_n/\lambda_1)^{2k} \bigr)^{1/2k}$ , y el factor parásito muere como $\bigl(\tfrac14\bigr)^{2k}\cdot\frac1{2k}$ -rápido — lo mismo Mecanismo de brecha espectral como convergencia del método de potencia. (pregunta 11), visto desde el lado de la traza.

19. $\abs{n^2\pi^2 - \nu} \geq \delta > 0$ para todos $n$ (la secuencia $n^2\pi^2 \to \infty$ evita $\nu$ por un margen), y $\abs{n^2\pi^2 - \nu} \geq \frac{n^2\pi^2}2$ para $n$ grande. $L^2$ convergencia: los coeficientes $\frac{c_n}{n^2\pi^2 - \nu}$ son sumables al cuadrado (dominados por $\frac{\abs{c_n}}\delta$ ). Convergencia uniforme: la cola las normas sup están limitadas por $\sqrt2\sum_{n>N} \frac{\abs{c_n}}{\abs{n^2\pi^2 - \nu}} \leq \frac{2\sqrt2}{\pi^2}\bigl(\sum\abs{c_n}^2\bigr)^{1/2} \bigl(\sum_{n>N}n^{-4}\bigr)^{1/2} \to 0$ (Cauchy–Schwarz). Verificación: $Gf + \nu Gu$ tiene el coeficiente $e_n$

\lambda_nc_n + \frac{\nu\lambda_nc_n}{n^2\pi^2 - \nu} = \frac{c_n}{n^2\pi^2}\Bigl(1 + \frac{\nu}{n^2\pi^2 - \nu}\Bigr) = \frac{c_n}{n^2\pi^2 - \nu} :

exactamente el coeficientes de $u$ , entonces $u = Gf + \nu Gu$ ; singularidad porque una diferencia $v$ de soluciones satisface $v = \nu Gv$ , es decir $\langle e_n, v\rangle(n^2\pi^2 - \nu) = 0$ para todos $n$ : $v = 0$ .

20. Como en la pregunta 19, la ecuación $u = Gf + \nu Gu$ es equivalente a la familia de ecuaciones de coeficientes $(n^2\pi^2 - \nu)\,\langle e_n, u\rangle = c_n$ , $n \geq 1$ . Para $n = m$ el lado izquierdo es $0$ : solubilidad fuerza a $c_m = 0$ , y luego $\langle e_m, u\rangle$ es libre mientras que todos los demás coeficientes son determinado: las soluciones forman la línea $u_0 + \R e_m$ . Resonancia: un forzamiento con un componente en el modo propio bombea energía hacia él sin límites — el columpio empujado a su propia frecuencia.

21. De la fórmula de la pregunta 19, $\norm{R_\nu f}_2^2 = \sum\frac{\abs{c_n}^2}{(n^2\pi^2 - \nu)^2} \leq \frac{\norm f^2}{(\pi^2 - \nu)^2}$ (para $\nu < \pi^2$ el El valor propio más cercano es $\pi^2$ ), con la igualdad aproximada en $f = e_1$ : norma del operador $\frac1{\pi^2 - \nu}$ . Compacidad: $R_\nu$ es el límite normativo de sus truncamientos de rango finito (los coeficientes de cola $\frac1{n^2\pi^2 - \nu} \to 0$ ); autoadjunción y la positividad se leen en diagonal formulario (todos los coeficientes $\frac1{n^2\pi^2 - \nu} > 0$ ). $R_\nu$ tiene valores propios $\frac1{n^2\pi^2 - \nu}$ : el El análisis de las Partes I a VI se reinicia palabra por palabra.

22. El diccionario: valor propio $\lambda_n = \frac1{n^2\pi^2}$ $\leftrightarrow$ frecuencia al cuadrado $n^2\pi^2$ del $n$ -ésimo armónico; rastro $\sum \lambda_n = \frac16$ $\leftrightarrow$ $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ ; Norma Hilbert-Schmidt $\iint g^2 = \frac1{90}$ $\leftrightarrow$ $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ ; Alternativa a Fredholm $\leftrightarrow$ resonancia de la cuerda forzada; min–max $\leftrightarrow$ estimaciones variacionales, hasta $\pi < 3.1437$ de uno polinomio. Detrás de cada pareja, el mismo objeto: uno compacto operador autoadjunto, diagonalizado una vez, explotado cinco maneras.

23. Dividiendo por paridad y sustituyendo $n = 2m$ en la parte par,

\zeta(6) = \sum_{n\text{ odd}}\frac1{n^6} + \sum_{m\geq1}\frac1{(2m)^6} = \frac{\pi^6}{960} + \frac{\zeta(6)}{64},

entonces $\frac{63}{64}\zeta(6) = \frac{\pi^6}{960}$ y $\zeta(6) = \frac{64\,\pi^6}{63\cdot960} = \frac{\pi^6}{945}$ . el ruta de seguimiento calcularía $\operatorname{tr}G^3 = \sum\lambda_n^3 = \zeta(6)/\pi^6$ como $\iint g\,g_2$ con el núcleo iterado $g_2(x,y) = \int_0^1g(x,z)g(z,y)\dd z$ — tres integraciones de polinomios por partes; Parseval en $x(1-x)$ solo necesitaba uno.

24. (a) Diagonalizar: $v = \sum_na_nu_n$ (más un posible componente del kernel, en el cual $\langle v, Av\rangle$ no gana nada y $\norm v^2$ crece, por lo que un maximizador tiene ninguno). Entonces $\langle v, Av\rangle = \sum\mu_na_n^2 \leq \mu_1\sum a_n^2$ , con igualdad si $a_n = 0$ siempre que $\mu_n < \mu_1$ : un maximizador reside en el $\mu_1$ -espacio propio. (b) Para cualquier $u$ ,

\langle\abs u, A\abs u\rangle - \langle u, Au\rangle = \iint k(x,y)\,\bigl(\abs{u(x)}\abs{u(y)} - u(x)u(y)\bigr)\dd x\,\dd y \;\geq\; 0,

siendo el integrando puntualmente no negativo. Si $P = \{u > 0\}$ y $N = \{u < 0\}$ tienen medida positivo, entonces en $P\times N$ el integrando es igual a $2k\abs{u(x)}\abs{u(y)} > 0$ en un conjunto de medida positivos: desigualdad estricta. un $\mu_1$ -función propia $u$ maximiza el cociente de Rayleigh, y $\abs u$ tiene la misma norma, por lo que el rigor exhibiría $R(\abs u) > \mu_1$ — imposible; por lo tanto $u$ tiene constante firmar a.e., diga $u \geq 0$ . Luego $u(x) = \mu_1^{-1}(Au)(x) = \mu_1^{-1}\int k(x,y)u(y)\dd y > 0$ por cada $x \in \intoo01$ ( $k(x,\cdot) > 0$ y $u \neq 0$ ). (c) Si el El espacio propio tenía la dimensión $\geq 2$ , contendría dos ortogonal funciones propias $u, v$ , cada una de ellas constante signo e interior no desaparecido por (b); pero entonces $\abs{\langle u, v\rangle} = \int\abs u\,\abs v > 0$ — contradicción. En la cuerda: $k = g > 0$ al aire libre cuadrado, $\mu_1 = \lambda_1 = \frac1{\pi^2}$ es de hecho simple, $e_1 = \sqrt2\sin(\pi x)$ es positivo en $\intoo01$ ; y cada $e_n = \sqrt2\sin(n\pi x)$ , $n \geq 2$ , ortogonal al positivo $e_1$ , debe integrarse a cero en contra, por lo tanto cambia de signo — como $n - 1$ interior ceros $\frac kn$ confirman.

25. Desde $n^2\pi^2 \to \infty$ , se alcanza el mínimo $d = \min_n\abs{n^2\pi^2 - \nu}$ , en algún modo $m$ , y $d > 0$ porque $\nu$ evita el espectro. Pregunta 19 la fórmula diagonal da

\norm{R_\nu f}_2^2 = \sum_n\frac{\abs{c_n}^2}{(n^2\pi^2 - \nu)^2} \leq \frac1{d^2}\,\norm f_2^2,

con igualdad para $f = e_m$ : $\vertiii{R_\nu} = \frac1d$ , el recíproco de la distancia de $\nu$ al espectro — el principio resolutivo general, aquí en forma explícita coordenadas. Autoadjunción se lee en diagonal real coeficientes; la compacidad sigue como en la pregunta 21 (la los coeficientes tienden a $0$ , por lo que los truncamientos de rango finito convergen en norma). Precio de resonancia: para $f = e_1$ y $\nu = (1-\varepsilon)\pi^2$ , la fórmula da $u = \frac{c_1}{\pi^2 - \nu}e_1 = \frac1{\varepsilon\pi^2}e_1$ , contra la respuesta estática $Ge_1 = \frac1{\pi^2}e_1$ : amplificación $\frac1\varepsilon$ . En $\varepsilon = 10^{-2}$ la respuesta es $100$ veces la estática — y diverge como $\varepsilon \to 0$ , que es la pregunta 20 alternativa vista desde el lado acotado: cuanto más cerca esté forzando la frecuencia a una natural, menos acotada será la inversa.

15.1 Operadores compactos

15.2 Operadores autoadjuntos

15.3 El teorema espectral

15.4 Ceremonias

15.5 Problema: la cuerda vibrante y ζ(2)\zeta(2)ζ(2)

15.5 Problema: la cuerda vibrante y $\zeta(2)$