Matemáticas universitarias — Grado 3 · Bachelor Year 3

15Operadores compactos y el teorema espectral

La diagonalización es la joya de la corona del álgebra lineal en dimensión finita: toda matriz simétrica tiene una base ortonormal de vectores propios. En dimensión infinita esto falla para los operadores autoadjuntos acotados en general — la multiplicación por $x$ en $L^2(\intcc01)$ no tiene ningún valor propio (el Ejercicio 15.6) —, pero sobrevive, en forma perfecta, para los operadores casi de dimensión finita: los compactos. El teorema espectral para operadores compactos autoadjuntos es el teorema más utilizado del análisis funcional aplicado: diagonaliza ecuaciones integrales, mueve la alternativa de Fredholm y (problema de fin de semana) resuelve la cuerda vibrante, produciendo la base de senos del análisis de Fourier a partir de pura teoría de operadores — con el $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ de Euler cayendo de una fórmula de trazas como regalo de despedida. En todo el capítulo, $H$ es un espacio de Hilbert sobre $\C$ (o $\R$ ; los enunciados se adaptan) y los operadores son acotados.

15.1 Operadores compactos

Definición 15.1

$T \in \mathcal L(E, F)$ (con $E, F$ de Banach) es compacto si la imagen $T(B)$ de la bola unidad es relativamente compacta en $F$ — equivalentemente, si toda sucesión acotada $(x_n)$ tiene una subsucesión con $(Tx_{n_k})$ convergente. Los operadores de rango finito son compactos (los acotados en dimensión finita lo son); la identidad de un espacio de dimensión infinita nunca lo es (teorema de Riesz, segundo año).

Proposición 15.2

Los operadores compactos $\mathcal K(E, F)$ forman un subespacio cerrado de $\mathcal L(E, F)$ y un ideal bilátero: $S$ compacto $\Rightarrow$ $AS$ y $SB$ compactos para $A, B$ acotados. Además, en un espacio de Hilbert, todo operador compacto es límite en norma de operadores de rango finito.

Demostración. Subespacio: claro por la caracterización con sucesiones. Ideal: las aplicaciones acotadas llevan sucesiones convergentes a convergentes y acotadas a acotadas. Cerrado: sean $T_n \to T$ con las $T_n$ compactas y $(x_k)$ acotada por $1$ ; una extracción diagonal hace convergente $(T_nx_{k_j})_j$ para todo $n$ ; entonces $(Tx_{k_j})$ es de Cauchy, pues

\norm{Tx_{k_j} - Tx_{k_l}} \leq 2\vertiii{T - T_n} + \norm{T_nx_{k_j} - T_nx_{k_l}} ,

eligiendo primero $n$ y después los índices. Aproximación en espacios de Hilbert: sea $T$ compacto, con $K = \overline{T(B)}$ compacto; dado $\varepsilon$ , recúbrase $K$ por un número finito de bolas $B(y_i, \varepsilon)$ y sea $P$ la proyección ortogonal sobre $V = \operatorname{Vect}(y_1, \dots, y_m)$ (cerrado: de dimensión finita). Entonces $PT$ tiene rango finito y, para $\norm x \leq 1$ , tomando $y_i$ con $\norm{Tx - y_i} < \varepsilon$ ,

\norm{Tx - PTx} \leq \norm{Tx - y_i} + \norm{P(y_i - Tx)} \leq 2\varepsilon

( $y_i = Py_i$ ; $\vertiii P \leq 1$ ): $\vertiii{T - PT} \leq 2\varepsilon$ . ∎

Ejemplo 15.3

(a) Operadores diagonales sobre $\ell^2$ : $T(x_n) = (\lambda_nx_n)$ es compacto si y solo si $\lambda_n \to 0$ (Ejercicio 15.2). (b) Operadores con núcleo sobre $\mathcal C(\intcc01)$ : compactos por Ascoli (el Ejercicio 7.7). (c) Operadores de Hilbert–Schmidt: para $k \in L^2(\intcc01^2)$ ,

(T_kf)(x) = \int_0^1k(x, y)\,f(y)\,\dd y

define un operador compacto sobre $L^2(\intcc01)$ con $\vertiii{T_k} \leq \norm k_{L^2}$ (el Ejercicio 15.4: truncar el desarrollo en la base de $k$ exhibe $T_k$ como límite de operadores de rango finito).

15.2 Operadores autoadjuntos

Definición 15.4

$T \in \mathcal L(H)$ es autoadjunto si $T = T^*$ (el Ejercicio 13.8), es decir, si $\langle Tx, y\rangle = \langle x, Ty\rangle$ para todos $x, y$ . Entonces $\langle x, Tx\rangle \in \R$ para todo $x$ (es igual a su conjugado).

Proposición 15.5

Para $T$ autoadjunto:

\vertiii T = \sup_{\norm x \leq 1}\ \abs{\langle x, Tx\rangle} .

Los valores propios de $T$ son reales, y los vectores propios de valores propios distintos son ortogonales.

Demostración. Sea $M$ el supremo; $M \leq \vertiii T$ por Cauchy–Schwarz. Recíprocamente, la identidad de tipo polarización

\langle x{+}y, T(x{+}y)\rangle - \langle x{-}y, T(x{-}y)\rangle = 4\operatorname{Re}\langle y, Tx\rangle

(desarróllese; los términos cruzados $\langle y, Tx\rangle + \langle x, Ty\rangle = 2\operatorname{Re}\langle y, Tx\rangle$ por autoadjunción) da, junto con la ley del paralelogramo,

4\operatorname{Re}\langle y, Tx\rangle \leq M\bigl(\norm{x{+}y}^2 + \norm{x{-}y}^2\bigr) = 2M\bigl(\norm x^2 + \norm y^2\bigr).

Para $\norm x = 1$ con $Tx \neq 0$ , tómese $y = Tx/\norm{Tx}$ : $4\norm{Tx} \leq 4M$ . Luego $\vertiii T \leq M$ . Valores propios: $Tx = \lambda x$ , y $x \ne 0$ da $\lambda\norm x^2 = \langle x, Tx\rangle \in \R$ . Ortogonalidad: $\lambda\langle x, y\rangle = \langle Tx, y\rangle = \langle x, Ty\rangle = \mu\langle x, y\rangle$ con $\lambda \neq \mu$ reales. ∎

15.3 El teorema espectral

Lema 15.6 (Existencia de un valor propio extremo)

Sea $T \neq 0$ compacto y autoadjunto. Entonces $\vertiii T$ o $-\vertiii T$ es valor propio de $T$ .

Demostración. Por la Proposición 15.5, tómense vectores unitarios $x_n$ con $\langle x_n, Tx_n\rangle \to \mu$ , donde $\abs\mu = \vertiii T > 0$ (pásese a una subsucesión para fijar el signo). Entonces

\norm{Tx_n - \mu x_n}^2 = \norm{Tx_n}^2 - 2\mu\langle x_n, Tx_n\rangle + \mu^2 \leq \vertiii T^2 - 2\mu\langle x_n, Tx_n\rangle + \mu^2 \longrightarrow 2\mu^2 - 2\mu\cdot\mu = 0 .

Por compacidad, alguna subsucesión $Tx_{n_k} \to y$ ; entonces $\mu x_{n_k} = Tx_{n_k} - (Tx_{n_k} - \mu x_{n_k}) \to y$ , luego $x_{n_k} \to x = y/\mu$ , un vector unitario, y la continuidad da $Tx = \mu x$ . ∎

Teorema 15.7 (Teorema espectral para operadores compactos autoadjuntos)

Sea $T$ un operador compacto autoadjunto sobre un espacio de Hilbert $H$ .

$H$ admite un sistema ortonormal $(e_n)_{n \in N}$ (con $N$ finito o numerable) de vectores propios de $T$ , con valores propios reales no nulos $(\lambda_n)$ , tal que

$Tx = \sum_{n\in N}\lambda_n\,\langle e_n, x\rangle\, e_n \qquad (x \in H),$

y $H = \ker T \,\oplus^\perp\, \overline{\operatorname{Vect}}(e_n : n \in N)$ .
Si $N$ es infinito, $\lambda_n \to 0$ ; para cada $\delta > 0$ , solo un número finito de $n$ cumple $\abs{\lambda_n} \geq \delta$ , y cada espacio propio $\ker(T - \lambda)$ , $\lambda \neq 0$ , tiene dimensión finita.
Completando $(e_n)$ con una base ortonormal de $\ker T$ se obtiene, cuando $H$ es separable, una base ortonormal de $H$ formada por vectores propios: $T$ queda diagonalizado.

Demostración. Primero (2). Si infinitos vectores propios ortonormales $x_k$ tuvieran $\abs{\lambda_{(k)}} \geq \delta$ : $\norm{Tx_k - Tx_l}^2 = \lambda_{(k)}^2 + \lambda_{(l)}^2 \geq 2\delta^2$ (ortogonalidad, Pitágoras): ninguna subsucesión de $(Tx_k)$ converge, en contra de la compacidad de $T$ sobre el acotado $(x_k)$ . Esto acota por un número finito, para cada $\delta$ , la multiplicidad total de los valores propios fuera de $\intoo{-\delta}\delta$ ; la numerabilidad y $\lambda_n \to 0$ se siguen.

(1) Sea $H_0$ la envoltura lineal cerrada de todos los vectores propios de valor propio no nulo, organizados (por (2) y Gram–Schmidt dentro de cada espacio propio de dimensión finita, con ortogonalidad entre espacios propios por la Proposición 15.5) en un sistema ortonormal $(e_n)$ con valores propios $\lambda_n \neq 0$ . $T$ lleva $H_0$ dentro de $H_0$ , y también $H_0^\perp$ dentro de $H_0^\perp$ : para $y \perp H_0$ y $e$ un vector propio, $\langle e, Ty\rangle = \langle Te, y\rangle = \lambda\langle e, y\rangle = 0$ . La restricción $T' = T\restriction_{H_0^\perp}$ es compacta y autoadjunta sobre el espacio de Hilbert $H_0^\perp$ ; si $T' \neq 0$ , el Lema 15.6 produce un vector propio de $T$ con valor propio no nulo dentro de $H_0^\perp$ — imposible, tales vectores viven en $H_0$ . Luego $T' = 0$ : $H_0^\perp \subseteq \ker T$ . Recíprocamente, $\ker T \perp$ todo $e_n$ ( $\langle e_n, z\rangle = \frac1{\lambda_n}\langle Te_n, z\rangle = \frac1{\lambda_n}\langle e_n, Tz\rangle = 0$ ): $\ker T \subseteq H_0^\perp$ , de donde $\ker T = H_0^\perp$ y la descomposición ortogonal. El desarrollo: para $x = z + \sum_nc_ne_n$ ( $z \in \ker T$ , $c_n = \langle e_n, x\rangle$ ; el Teorema 13.7(1) sobre $H_0$ ), la continuidad de $T$ da $Tx = \sum_nc_n\lambda_ne_n$ .

(3) $\ker T$ , subespacio cerrado de un espacio separable, es separable: tiene una base ortonormal (la Proposición 13.8); la unión es una base ortonormal de $H$ por la descomposición de (1). ∎

Teorema 15.8 (Alternativa de Fredholm)

Sean $T$ compacto y autoadjunto, y $\lambda \in \R\setminus \{0\}$ .

Si $\lambda$ no es valor propio, entonces $T - \lambda I$ es biyectivo con inversa acotada: para toda $f$ , la ecuación $Tx - \lambda x = f$ tiene exactamente una solución, que depende continuamente de $f$ .
Si $\lambda$ es valor propio, $Tx - \lambda x = f$ es resoluble si y solo si $f \perp \ker(T - \lambda I)$ , y la solución es única salvo ese núcleo (de dimensión finita).

Demostración. Descompónganse $x = z + \sum c_ne_n$ y $f = w + \sum d_ne_n$ según el Teorema 15.7 ( $z, w \in \ker T$ ). La ecuación se lee

-\lambda z = w, \qquad (\lambda_n - \lambda)\,c_n = d_n\ (n \in N).

(1) $\lambda \notin \{\lambda_n\}\cup\{0\}$ : por (2) del teorema espectral, $\inf_n\abs{\lambda_n - \lambda} = \delta > 0$ (los valores propios solo se acumulan en $0 \neq \lambda$ ). Resolviendo: $z = -w/\lambda$ , $c_n = d_n/(\lambda_n - \lambda)$ , con $\sum\abs{c_n}^2 \leq \delta^{-2}\sum\abs{d_n}^2$ : una única solución con $\norm x \leq C\norm f$ . (2) $\lambda = \lambda_{n}$ para $n$ en un conjunto finito $F$ : la resolubilidad de $(\lambda_n - \lambda)c_n = d_n$ para $n \in F$ exige $d_n = 0$ , es decir, $f \perp e_n$ ( $n \in F$ ), o sea $f \perp \ker(T - \lambda I)$ ; y los $c_n$ , $n \in F$ , quedan entonces libres. ∎

Ejemplo 15.9

Sobre $L^2(\intcc01)$ , sea $Tf(x) = \int_0^1\min(x, y)f(y)\dd y$ : un operador de Hilbert–Schmidt con núcleo real y simétrico: compacto y autoadjunto. Resolviendo $Tf = \lambda f$ : la relación $\bigl(Tf\bigr)(x) = \int_0^xyf(y)\dd y + x\int_x^1f(y)\dd y$ muestra que $u = Tf$ cumple $u'' = -f$ (dos derivaciones, lícitas para $f$ continua, y $Tf$ es continua para $f \in L^2$ : convergencia dominada), con $u(0) = 0$ y $u'(1) = 0$ . Así pues, las funciones propias resuelven $\lambda u'' = -u$ , $u(0) = 0$ , $u'(1) = 0$ :

u_n(x) = \sin\Bigl(\bigl(n + \tfrac12\bigr)\pi x\Bigr), \qquad \lambda_n = \frac{1}{\bigl(n + \frac12\bigr)^2\pi^2} \quad (n \geq 0),

y el teorema espectral afirma — sin teoría de Fourier alguna — que estos senos forman una base ortonormal de $L^2(\intcc01)$ tras normalizar (el núcleo de $T$ es $0$ : $Tf = 0$ obliga, por las dos derivaciones, a $f = 0$ en casi todo punto). El problema de fin de semana recorre el mismo círculo de ideas para la cuerda vibrante y extrae $\zeta(2)$ de la traza.

Método 15.10

Dada una ecuación integral o diferencial: (1) reescríbase como $(I - \lambda K)u = f$ o $Ku = \lambda u$ con $K$ un operador integral; (2) compruébese que $K$ es compacto (núcleo de Hilbert–Schmidt, o Ascoli) y, si es posible, autoadjunto (núcleo real simétrico); (3) diagonalícese con el teorema espectral o invóquese la alternativa de Fredholm para la resolubilidad; (4) léanse la existencia, la unicidad, la estabilidad y las fórmulas en serie de las soluciones en la base propia. Los operadores diferenciales no están acotados, pero sus inversas (los operadores de Green) sí son compactas: inviértase siempre primero.

15.4 Ejercicios

Ejercicio 15.1 ★

(a) Demostrar que un operador acotado de rango finito es compacto. (b) Demostrar que la identidad de un espacio normado es compacta si y solo si la dimensión es finita (Riesz, segundo año). Dedúzcase que un operador compacto sobre un espacio de dimensión infinita nunca es invertible con inversa acotada.

Solución

Solución de Ejercicio 15.1.

(a) $T(B)$ es un subconjunto acotado del espacio de dimensión finita $\operatorname{im}T$ : relativamente compacto por Heine–Borel (el Corolario 6.17, trasladado por un homeomorfismo lineal con $\R^n$ ). (b) Que $I$ sea compacta significa que la bola unidad cerrada es compacta, lo que, por el teorema de Riesz (segundo año), ocurre exactamente en dimensión finita. Si un $T$ compacto tuviera inversa acotada $T^{-1}$ , entonces $I = T^{-1}T$ sería compacta (la Proposición 15.2): imposible en dimensión infinita.

Ejercicio 15.2 ★

Sea $T(x_1, x_2, \dots) = (\lambda_1x_1, \lambda_2x_2, \dots)$ sobre $\ell^2$ , con $(\lambda_n)$ acotada. (a) Demostrar $\vertiii T = \sup\abs{\lambda_n}$ . (b) Demostrar que $T$ es compacto si y solo si $\lambda_n \to 0$ . (Para $\Leftarrow$ , trúnquese; para $\Rightarrow$ , evalúese en $(e_n)$ .) (c) ¿Cuándo es $T$ autoadjunto? Verifíquese el teorema espectral por inspección en ese caso.

Solución

Solución de Ejercicio 15.2.

(a) $\norm{Tx}^2 = \sum\abs{\lambda_n}^2\abs{x_n}^2 \leq \sup\abs{\lambda_n}^2\norm x^2$ , con casi igualdad en los $e_n$ que realizan el supremo. (b) ( $\Leftarrow$ ) Los truncamientos $T_N$ (consérvense $n \leq N$ , cero a partir de ahí) tienen rango finito y $\vertiii{T - T_N} = \sup_{n>N}\abs{\lambda_n} \to 0$ : compacto por la Proposición 15.2. ( $\Rightarrow$ ) Si $\abs{\lambda_{n_k}} \geq \delta > 0$ a lo largo de una subsucesión: $\norm{Te_{n_k} - Te_{n_l}}^2 = \abs{\lambda_{n_k}}^2 + \abs{\lambda_{n_l}}^2 \geq 2\delta^2$ : ninguna subsucesión de $(Te_{n_k})$ converge. (c) $T^* =$ diagonal con $(\bar\lambda_n)$ : es autoadjunto si y solo si todos los $\lambda_n \in \R$ . Entonces la base canónica $(e_n)$ es una base ortonormal de vectores propios, con valores propios $\lambda_n \to 0$ : el teorema espectral al pie de la letra.

Ejercicio 15.3 ★★

Dense los detalles de la propiedad de ideal (la Proposición 15.2): si $S$ es compacto y $A, B$ está acotado, entonces $ASB$ es compacto. Dedúzcase que si $ST = TS = I$ para cierto $S$ acotado y $\dim H = \infty$ , entonces $T$ no es compacto — y reconcíliese con el Ejercicio 15.1(b).

Solución

Solución de Ejercicio 15.3.

Sea $(x_n)$ acotada. Entonces $(Bx_n)$ está acotada ( $\vertiii B < \infty$ ); la compacidad de $S$ extrae $SBx_{n_k} \to y$ , y la continuidad de $A$ da $ASBx_{n_k} \to Ay$ : $ASB$ es compacto. Si $ST = TS = I$ con $T$ compacto y $\dim H = \infty$ : $I = ST$ sería compacta, en contra del Ejercicio 15.1(b) — que es el mismo enunciado visto desde el otro lado.

Ejercicio 15.4 ★★

(Hilbert–Schmidt) Sean $k \in L^2(\intcc01^2)$ y $(e_n)$ una base hilbertiana de $L^2(\intcc01)$ . (a) Demostrar que $\vertiii{T_k} \leq \norm k_{L^2}$ (Cauchy–Schwarz en la variable $y$ , después Tonelli). (b) Desarróllese $k(x,y) = \sum_{m,n}c_{mn}e_m(x)\overline{e_n(y)}$ en $L^2$ del cuadrado (justifíquese que los productos forman allí una base hilbertiana) y demuéstrese que truncar la suma da operadores de rango finito que convergen a $T_k$ en norma de operador: $T_k$ es compacto.

Solución

Solución de Ejercicio 15.4.

(a) Por Cauchy–Schwarz en $y$ : $\abs{T_kf(x)}^2 \leq \bigl(\int\abs{k(x,y)}^2\dd y\bigr)\norm f_2^2$ ; intégrese en $x$ (Tonelli): $\norm{T_kf}_2 \leq \norm k_{L^2(\square)} \norm f_2$ .

(b) La familia $e_{mn}(x,y) = e_m(x)\overline{e_n(y)}$ es ortonormal en $L^2(\intcc01^2)$ (Tonelli separa la integral doble). Total: si $h \perp$ a todos los $e_{mn}$ , entonces, para cada $m$ , la función $y \mapsto \int h(x,y)\overline{e_m(x)}\dd x$ (en $L^2$ por Cauchy–Schwarz y Tonelli) es ortogonal a todo $\overline{e_n}$ — y las conjugadas $(\overline{e_n})$ forman una base hilbertiana siempre que $(e_n)$ lo haga (la conjugación es una biyección isométrica de $L^2$ que conserva la ortogonalidad y la totalidad) —, de modo que es $0$ en casi todo punto; y entonces, para casi todo $y$ , $h(\cdot, y) \perp$ a todo $e_m$ : $h(\cdot, y) = 0$ en casi todo punto, luego $h = 0$ (Tonelli). Así, $(e_{mn})$ es una base hilbertiana; desarróllese $k = \sum c_{mn}e_{mn}$ . El truncamiento $k_N$ (índices $\leq N$ ) da $T_{k_N}$ de rango finito (imagen en $\operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_N)$ ) y, por (a),

\vertiii{T_k - T_{k_N}} \leq \norm{k - k_N}_{L^2} \to 0 :

$T_k$ es límite en norma de operadores de rango finito: compacto (Proposición 15.2).

Ejercicio 15.5 ★★

Sea $T$ autoadjunto con $\langle x, Tx\rangle \geq 0$ para todo $x$ (operador positivo). (a) Demostrar que los valores propios son $\geq 0$ y que $\vertiii T = \sup_{\norm x\leq1}\langle x, Tx\rangle$ . (b) Demostrar la desigualdad de Cauchy–Schwarz generalizada $\abs{\langle x, Ty\rangle}^2 \leq \langle x, Tx\rangle\langle y, Ty\rangle$ .

Solución

Solución de Ejercicio 15.5.

(a) $\lambda\norm x^2 = \langle x, Tx\rangle \geq 0$ sobre un vector propio. La fórmula es la Proposición 15.5 con todos los valores $\langle x, Tx\rangle \geq 0$ : el valor absoluto es redundante. (b) $(x, y) \mapsto \langle x, Ty\rangle$ es una forma sesquilineal hermítica positiva (posiblemente degenerada); la demostración habitual de Cauchy–Schwarz (desarróllese $\langle x + t\eu^{\iu\theta}y, T(x + t\eu^{\iu\theta}y)\rangle \geq 0$ y tómese el discriminante) nunca usa que sea definida.

Ejercicio 15.6 ★★

En $L^2(\intcc01)$ , sea $(Mf)(x) = x\,f(x)$ . (a) Demostrar que $M$ es acotado y autoadjunto, con $\vertiii M = 1$ , pero que no tiene valores propios. (b) Demostrar que $M$ no es compacto (exhíbase una sucesión acotada cuya imagen no tenga subsucesión convergente, por ejemplo indicadores normalizados de intervalos que se encogen cerca de $1$ — o invóquese el teorema espectral). (c) ¿Dónde se rompe la demostración del Lema 15.6 para $M$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 15.6.

(a) $\norm{Mf}_2 \leq \norm f_2$ y, sobre $f_n = \sqrt n\, \mathbf 1_{\intcc{1 - 1/n}1}$ (vectores unitarios), $\norm{Mf_n}_2 \geq 1 - \frac1n$ : $\vertiii M = 1$ ; es autoadjunto porque el multiplicador es real. Valores propios: $xf(x) = \lambda f(x)$ en casi todo punto obliga a $f = 0$ en casi todo punto fuera del conjunto nulo $\{x = \lambda\}$ : $f = 0$ en $L^2$ . (b) Con los mismos $f_n$ : $\norm{Mf_n - f_n}_2 \leq \frac1n \to 0$ , mientras que $f_n \rightharpoonup 0$ (para $g \in L^2$ fijo, $\abs{\langle g, f_n\rangle} \leq \norm{g\,\mathbf 1_{\intcc{1-1/n}1}}_2 \to 0$ por convergencia dominada). Si $Mf_{n_k} \to h$ en norma, entonces $f_{n_k} \to h$ , lo que obliga a $h = 0$ (límite débil) y sin embargo $\norm h = 1$ : ninguna subsucesión converge. (c) En el Lema 15.6, es precisamente la extracción « $Tx_{n_k} \to y$ » la que usa la compacidad; para $M$ , las sucesiones maximizantes se concentran cerca de $x = 1$ y sus imágenes convergen débilmente a $0$ , nunca en norma: el vector propio en la cima del rango numérico sencillamente no existe.

Ejercicio 15.7 ★★

(Volterra) En $L^2(\intcc01)$ , sea $Vf(x) = \int_0^xf(y)\dd y$ . (a) Demostrar que $V$ es compacto (Hilbert–Schmidt con núcleo $\mathbf 1_{y < x}$ ) pero no autoadjunto; calcúlese $V^*$ . (b) Demostrar que $V$ no tiene valores propios no nulos. (De $Vf = \lambda f$ : $f$ tiene un representante continuo, después es $\mathcal C^1$ y resuelve $\lambda f' = f$ , $f(0) = 0$ .) (c) Concluir que la compacidad por sí sola no da vectores propios: la autoadjunción del Teorema 15.7 es esencial.

Solución

Solución de Ejercicio 15.7.

(a) $V = T_k$ con $k(x, y) = \mathbf 1_{y < x} \in L^2(\intcc01^2)$ : compacto (el Ejercicio 15.4). Su adjunto es el operador con núcleo $\overline{k(y, x)} = \mathbf 1_{y > x}$ : $V^*f(x) = \int_x^1f$ ; $V \neq V^*$ (evalúese en $f = \mathbf 1$ ). (b) Si $Vf = \lambda f$ , $\lambda \ne 0$ : $Vf$ es continua en $\intcc01$ (convergencia dominada en $\int_0^x f$ ), de modo que $f = \frac1\lambda Vf$ tiene un representante continuo; entonces $Vf$ es $\mathcal C^1$ (teorema fundamental del cálculo para integrandos continuos), luego $f$ es $\mathcal C^1$ , y $\lambda f' = f$ con $f(0) = \frac1\lambda Vf(0) = 0$ : $f = C\eu^{x/\lambda}$ con $C = f(0) = 0$ . (c) $V$ es compacto sin ningún valor propio salvo, quizá, $0$ ( $Vf = 0$ obliga a $f = 0$ en casi todo punto derivando la integral — así que ni siquiera $0$ ): la maquinaria espectral exige genuinamente la autoadjunción, no solo la compacidad.

Ejercicio 15.8 ★★★

(Courant–Fischer) Sea $T$ compacto, autoadjunto y positivo, con valores propios $\mu_1 \geq \mu_2 \geq \dots > 0$ (repetidos según multiplicidad, con vectores propios $e_1, e_2, \dots$ ). Demostrar:

\mu_{k} = \max_{\substack{V \subseteq H \\ \dim V = k}}\ \min_{\substack{x \in V\\ \norm x = 1}}\ \langle x, Tx\rangle = \min_{\substack{W \subseteq H\\ \operatorname{codim}W = k-1}}\ \max_{\substack{x\in W\\ \norm x = 1}}\ \langle x, Tx\rangle .

(Evalúese en $V = \operatorname{Vect}(e_1,\dots,e_k)$ ; para la cota superior, interséquese cualquier $V$ con espacios de tipo $\operatorname{Vect}(e_k, e_{k+1}, \dots)$ : el recuento de dimensiones fuerza una intersección no nula.) Dedúzcase que los valores propios dependen monótonamente de $T$ ( $T \leq S \Rightarrow \mu_k(T) \leq \mu_k(S)$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 15.8.

Escríbanse $x = \sum_ic_ie_i + z$ , $z \in \ker T$ , de modo que $\langle x, Tx\rangle = \sum_i\mu_i\abs{c_i}^2$ . Cota inferior: sobre la esfera unidad de $V_k = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_k)$ , $\langle x, Tx\rangle = \sum_{i\leq k}\mu_i\abs{c_i}^2 \geq \mu_k$ : el máximo sobre $V$ de los mínimos es $\geq \mu_k$ . Cota superior: sean $\dim V = k$ y $W_k = \overline{\operatorname{Vect}}(e_k, e_{k+1}, \dots) + \ker T$ , de codimensión $k - 1$ (su complemento ortogonal es $V_{k-1}$ ); $V \cap W_k \neq \{0\}$ (una aplicación lineal $V \to H/W_k \cong V_{k-1}$ de rango $\leq k - 1$ tiene núcleo no trivial), y un unitario $x \in V\cap W_k$ cumple $\langle x, Tx\rangle = \sum_{i \geq k}\mu_i\abs{c_i}^2 \leq \mu_k$ : el mínimo sobre $V$ es $\leq \mu_k$ . Juntas: la primera fórmula; la segunda se demuestra simétricamente (evalúese en $W = W_k$ ; para $W$ arbitrario de codimensión $k-1$ , $W \cap V_k \neq 0$ da un vector unitario con $\langle x, Tx\rangle \geq \mu_k$ ). Monotonía: $\langle x, Tx\rangle \leq \langle x, Sx\rangle$ puntualmente se transfiere a través de $\max\min$ .

Ejercicio 15.9 ★★

Usando el Teorema 15.8 para $Tf(x) = \int_0^1\min(x,y)f(y)\dd y$ (el Ejemplo 15.9): ¿para qué $\lambda \in \R$ tiene la ecuación integral

f(x) - \lambda\int_0^1\min(x,y)\,f(y)\,\dd y = g(x)

una única solución $f \in L^2$ para toda $g \in L^2$ ? ¿Qué ocurre en los valores excepcionales?

Solución

Solución de Ejercicio 15.9.

Reescríbase $f - \lambda Tf = g$ . Para $\lambda = 0$ : $f = g$ , siempre unívocamente resoluble. Para $\lambda \neq 0$ : esto es $(T - \frac1\lambda)f = -\frac g\lambda$ y, por la alternativa de Fredholm (el Teorema 15.8) con los valores propios $\lambda_n = \bigl((n + \frac12)\pi\bigr)^{-2}$ de $T$ (el Ejemplo 15.9): hay resolubilidad única para toda $g$ si y solo si $\frac1\lambda \neq \lambda_n$ para todo $n$ , es decir,

\lambda \neq \Bigl(n + \tfrac12\Bigr)^2\pi^2 \qquad (n = 0, 1, 2, \dots).

En un $\lambda = (n+\frac12)^2\pi^2$ excepcional: hay soluciones si y solo si $g \perp \sin\bigl((n{+}\frac12)\pi x\bigr)$ , y entonces son únicas salvo múltiplos de ese seno.

Ejercicio 15.10 ★★★

Sea $S$ el desplazamiento en $\ell^2$ (Ejercicio 8.1). (a) Demostrar que $S$ no tiene valores propios, mientras que todo $\lambda$ con $\abs\lambda < 1$ es valor propio de $S^*$ (hállense los vectores propios explícitamente: sucesiones geométricas). (b) Ni $S$ ni $S^*$ son compactos: compruébese evaluando al estilo del Ejercicio 15.2 en $(e_n)$ . (c) Coméntese: para operadores no autoadjuntos y no compactos, el paisaje de valores propios puede ser cualquier cosa, desde vacío hasta un disco completo — la noción que sobrevive es el espectro, que se estudia en un curso posterior.

Solución

Solución de Ejercicio 15.10.

(a) $Sx = \lambda x$ : comparando coordenadas, $0 = \lambda x_1$ y $x_n = \lambda x_{n+1}$ ; si $\lambda \ne 0$ , entonces $x_1 = 0$ e, inductivamente, $x = 0$ ; y si $\lambda = 0$ , $Sx = 0$ obliga a $x = 0$ ( $S$ isométrico). Sin valores propios. $S^*x = \lambda x$ se lee $x_{n+1} = \lambda x_n$ : $x = x_1(1, \lambda, \lambda^2, \dots)$ , que está en $\ell^2$ exactamente cuando $\abs\lambda < 1$ : todo un disco abierto de valores propios. (b) $\norm{Se_n - Se_m} = \norm{e_{n+1} - e_{m+1}} = \sqrt2$ : la imagen de la sucesión acotada $(e_n)$ no tiene subsucesión de Cauchy; y análogamente $S^*e_{n+1} = e_n$ . Ninguno de los dos es compacto. (c) Para los operadores compactos autoadjuntos, los valores propios lo capturan todo (el Teorema 15.7); si se suprime cualquiera de las dos hipótesis, los valores propios pueden desaparecer del todo ( $S$ , Volterra) o llenar un disco ( $S^*$ ): el objeto robusto es el espectro $\{\lambda : T - \lambda I \text{ no invertible}\}$ , cuya teoría corresponde a un curso posterior.

Ejercicio 15.11 ★★

(Raíces cuadradas) Sea $T$ compacto, autoadjunto y positivo ( $\langle x, Tx\rangle \geq 0$ ) sobre un espacio de Hilbert $H$ , con descomposición espectral $Tx = \sum_n\mu_n\langle e_n, x\rangle e_n$ ( $\mu_n > 0$ ). (a) Defínase $Sx = \sum_n\sqrt{\mu_n}\,\langle e_n, x\rangle e_n$ ; demuéstrese que $S$ es compacto, autoadjunto y positivo, con $S^2 = T$ . (b) Demuéstrese la unicidad: todo $R$ compacto, positivo y autoadjunto con $R^2 = T$ conserva los espacios propios de $T$ ( $RT = R^3 = TR$ : $R$ conmuta con $T$ , luego $R(\ker(T - \mu)) \subseteq \ker(T - \mu)$ ) y, sobre $\ker(T - \mu)$ , $R$ es un operador positivo cuyo cuadrado es $\mu\,\mathrm{id}$ en un espacio de dimensión finita: diagonalícese allí y conclúyase $R = \sqrt\mu\,\mathrm{id}$ en cada espacio propio, de donde $R = S$ . (c) Calcúlese $\sqrt G$ para el operador de la cuerda $G$ del Problema 15.1: ¿qué núcleo tiene valores propios $\frac1{n\pi}$ sobre la base de senos? (Exprésese $\sqrt G$ como límite en $L^2$ de núcleos; no se pide forma cerrada.)

Solución

Solución de Ejercicio 15.11.

(a) $S$ es el operador diagonal de coeficientes $\sqrt{\mu_n} \to 0$ : compacto (el Ejercicio 15.2(b), trasladado a la base $(e_n)$ completada por $\ker T$ , donde $S = 0$ ), autoadjunto (diagonal real), positivo ( $\langle x, Sx\rangle = \sum\sqrt{\mu_n}\abs{\langle e_n, x\rangle}^2$ ) y $S^2 = T$ término a término.

(b) $R$ conmuta con $T = R^2$ ; para un vector propio $x$ de $T$ de valor propio $\mu$ : $T(Rx) = RTx = \mu Rx$ , de modo que el espacio propio $E_\mu = \ker(T - \mu)$ , de dimensión finita, es $R$ -estable. Sobre $E_\mu$ , $R$ es simétrico positivo con $R^2 = \mu\,\mathrm{id}$ : sus valores propios $\rho$ cumplen $\rho^2 = \mu$ , $\rho \geq 0$ : todos valen $\sqrt\mu$ , y un operador diagonalizable con un solo valor propio es escalar: $R = \sqrt\mu\,\mathrm{id}$ sobre $E_\mu$ . Sobre $\ker T$ : $\norm {Rx}^2 = \langle x, R^2x\rangle = \langle x, Tx\rangle = 0$ . Así pues, $R$ coincide con $S$ en $\ker T$ y en cada espacio propio, cuya envoltura cerrada es $H$ (teorema espectral): $R = S$ .

k(x, y) = \sum_{n\geq1}\frac{2\sin(n\pi x)\sin(n\pi y)}{n\pi},

convergiendo la serie en $L^2(\intcc01^2)$ (coeficientes $\frac1{n\pi} \in \ell^2$ ; los núcleos de las sumas parciales dan las aproximaciones de rango finito). No hace falta ninguna forma cerrada elemental: el lado espectral es el operador.

Ejercicio 15.12 ★★★

(Descomposición en valores singulares) Sea $T \in \mathcal L(H)$ compacto, no necesariamente autoadjunto. (a) Demostrar que $T^*T$ es compacto, autoadjunto y positivo; sea $(e_n)$ una familia ortonormal de vectores propios con $T^*Te_n = s_n^2e_n$ , $s_n > 0$ (los valores singulares), completada por $\ker(T^*T) = \ker T$ (demuéstrese esta igualdad). (b) Póngase $f_n = \frac{Te_n}{s_n}$ ; demuéstrese que $(f_n)$ es ortonormal y establézcase la descomposición en valores singulares:

Tx = \sum_n s_n\,\langle e_n, x\rangle\,f_n \qquad (x \in H),

con convergencia en $H$ . (c) Dedúzcase: $\vertiii T = \max_ns_n$ ; $T$ es límite en norma de operadores de rango finito (lo que vuelve a demostrar el recíproco de la Proposición 15.2 para espacios de Hilbert); y, para el operador de Volterra $V$ del Ejercicio 15.7, que no tiene valores propios, explíquese por qué existe pese a todo la descomposición y cuáles son sus ingredientes (identifíquese $V^*V$ como un operador con núcleo de tipo cuerda — calcular sus valores propios explícitamente es territorio del Ejercicio 15.9).

Solución

Solución de Ejercicio 15.12.

(a) $T^*T$ es compacto (producto de un operador acotado y un operador compacto, el Ejercicio 15.3), autoadjunto ( $(T^*T)^* = T^*T$ ) y positivo ( $\langle x, T^*Tx\rangle = \norm{Tx}^2$ ). Núcleo: $T^*Tx = 0 \Rightarrow \norm{Tx}^2 = \langle x, T^*Tx\rangle = 0 \Rightarrow Tx = 0$ , y recíprocamente: $\ker T^*T = \ker T$ . El teorema espectral proporciona la familia ortonormal $(e_n)$ con $T^*Te_n = s_n^2e_n$ , $s_n > 0$ , que genera $(\ker T)^\perp$ .

(b) $\langle f_m, f_n\rangle = \frac{\langle Te_m, Te_n\rangle}{s_ms_n} = \frac{\langle e_m, T^*Te_n\rangle}{s_ms_n} = \frac{s_n^2}{s_ms_n}\delta_{mn} = \delta_{mn}$ . Desarróllese $x = x_0 + \sum_n\langle e_n, x\rangle e_n$ con $x_0 \in \ker T$ (Parseval en la envoltura cerrada más el núcleo); aplicando el continuo $T$ :

Tx = \sum_n\langle e_n, x\rangle\,Te_n = \sum_ns_n\langle e_n, x\rangle\,f_n,

convergiendo la serie porque sus sumas parciales son de Cauchy ( $\norm{\sum_{N<n\leq M}s_n\langle e_n, x\rangle f_n}^2 = \sum s_n^2\abs{\langle e_n, x\rangle}^2$ , dominadas por $\sup_{n>N}s_n^2\cdot\norm x^2$ , y $s_n \to 0$ ).

(c) $\norm{Tx}^2 = \sum_ns_n^2\abs{\langle e_n, x\rangle}^2 \leq (\max s_n)^2\norm x^2$ , alcanzado en el maximizante $e_n$ : $\vertiii T = \max s_n$ . Truncar la descomposición en rango $N$ deja un operador de norma $\sup_{n>N}s_n \to 0$ : aproximación de rango finito. El operador de Volterra no tiene valores propios (el Ejercicio 15.7), pero $V^*V$ sí: $V^*Vf(x) = \int_x^1\int_0^tf(s)\,\dd s\,\dd t$ es un operador con núcleo simétrico positivo (núcleo $1 - \max(x,y)$ , un núcleo de Green de tipo cuerda), cuyos pares propios — calculados mediante el problema de contorno $-u'' = \lambda^{-1}u$ , $u'(0) = u(1) = 0$ , es decir, la familia del Ejercicio 15.9 — dan valores singulares $s_n = \bigl((n + \frac12)\pi\bigr)^{-1}$ . La descomposición vive sobre dos familias ortonormales precisamente porque $V$ desvía su geometría propia: sin vectores propios y, aun así, con estructura diagonal perfecta entre dos bases distintas.

15.5 Problema: la cuerda vibrante y $\zeta(2)$

Problema 15.1

Problema de fin de semana — el operador de Green, la base de senos y una fórmula de trazas

Resolveremos el problema de valores propios de la cuerda vibrante con extremos fijos — $-u'' = \nu u$ , $u(0) = u(1) = 0$ — mediante teoría de operadores, obtendremos la base ortonormal de senos sin ningún cálculo de Fourier y evaluaremos $\zeta(2)$ comparando dos expresiones de la traza del operador de Green. Defínase, sobre $L^2(\intcc01)$ ,

(Gf)(x) = \int_0^1 g(x,y)\,f(y)\,\dd y, \qquad g(x, y) = \min(x,y)\,\bigl(1 - \max(x,y)\bigr).

Parte I — El operador de Green.

Demostrar que $g$ es continuo y simétrico, con $0 \leq g \leq \frac14$ , y que $G$ es compacto y autoadjunto (el Ejemplo 15.3(c)).
Para $f$ continua, demostrar que $u = Gf$ es $\mathcal C^2$ con

$-u'' = f, \qquad u(0) = u(1) = 0$

(escríbase $u(x) = (1-x)\int_0^xyf(y)\dd y + x\int_x^1(1-y)f(y)\dd y$ y derívese dos veces). Recíprocamente, si $u \in \mathcal C^2$ con $u(0) = u(1) = 0$ , entonces $G(-u'') = u$ : $G$ invierte el operador de la cuerda.
Demostrar $\ker G = \{0\}$ (si $Gf = 0$ con $f \in L^2$ : evalúese contra $\varphi$ continua, transfiérase $G$ por simetría o Fubini a $\varphi$ , y úsese el lema fundamental el Corolario 12.11 — o regularícese), y que $G$ es un operador positivo: $\langle f, Gf\rangle \geq 0$ . (Para $f$ continua: $\langle f, Gf\rangle = \int_0^1 (u')^2$ con $u = Gf$ , por partes; conclúyase por densidad.)

Parte II — Diagonalización: la base de senos.

Demostrar que las funciones propias de $G$ de valor propio $\lambda \ne 0$ son, salvo escalares, las soluciones de $-\lambda u'' = u$ , $u(0) = u(1) = 0$ (una función propia tiene un representante continuo — $Gf$ es continua para $f \in L^2$ , ¿por qué? — y, por tanto, es $\mathcal C^2$ reiterando la pregunta 2).
Resuélvase el problema de contorno: los valores propios de $G$ son $\lambda_n = \frac1{n^2\pi^2}$ ( $n \geq 1$ ), con funciones propias normalizadas $e_n(x) = \sqrt2\,\sin(n\pi x)$ ; compruébese la ortonormalidad por integración directa como control.
Concluir del Teorema 15.7 y de la pregunta 3 que $\bigl(\sqrt2\sin(n\pi x)\bigr)_{n\geq1}$ es una base ortonormal de $L^2(\intcc01)$ — sin Stone–Weierstrass ni series de Fourier. Desarróllese $f(x) = x(1-x)$ en esta base y escríbase Parseval para ella.

Parte III — La fórmula de la traza y $\zeta(2)$ .

Demostrar las dos identidades

$\langle e_n, Ge_n\rangle = \lambda_n \quad\text{y}\quad \sum_{n\geq1}\lambda_n = \int_0^1 g(x,x)\,\dd x .$

Para la segunda (la fórmula de la traza): desarróllese $g(x, \cdot)$ , para $x$ fijo, en la base $(e_n)$ — demuéstrese que los coeficientes son $\lambda_ne_n(x)$ , de modo que $g(x, \cdot) = \sum_n\lambda_ne_n(x)\,e_n$ en $L^2$ . Aquí los senos son explícitos: verifíquese directamente que $\sum_n\lambda_ne_n(x)e_n(y)$ converge uniformemente en el cuadrado (compárese con $\sum \frac2{n^2\pi^2}$ ), de modo que su suma es continua y, teniendo los mismos desarrollos en $L^2$ en $y$ para cada $x$ , es igual a $g(x,y)$ en todo punto. Póngase $y = x$ e intégrese término a término.
Calcular $\int_0^1g(x,x)\dd x = \int_0^1x(1-x)\dd x = \frac16$ y concluir

$\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^2\pi^2} = \frac16, \qquad\text{es decir}\qquad \boxed{\ \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}\ } :$

la suma de Euler a partir de la traza de un operador.
Vuélvase a deducir $\zeta(2)$ de una tercera manera: aplíquese Parseval en la base de senos a la función constante $\mathbf 1$ , calcúlese $\sum_{n \text{ impar}}\frac1{n^2}$ y conclúyase. Compárense después los mecanismos: ¿en qué sentido es el argumento de la traza de las preguntas 7–8 «Parseval aplicado al núcleo entero de una vez»?

Parte IV — La cuerda vibra.

(Separación de variables, sintetizada) Para $f \in L^2$ , defínase

$u(t, x) = \sum_{n\geq1}\;c_n\, \cos(n\pi t)\,\sqrt2\sin(n\pi x), \qquad c_n = \langle e_n, f\rangle .$

Demostrar que la serie converge en $L^2(\intcc01)$ para cada $t$ , que $t\mapsto u(t, \cdot)$ es continua con valores en $L^2$ , y que para $f$ en la envoltura de un número finito de $e_n$ resuelve la ecuación de ondas $\partial_t^2u = \partial_x^2u$ con $u(0) = f$ , $\partial_tu(0) = 0$ y extremos fijos. Los valores propios $n^2\pi^2$ son las frecuencias al cuadrado: los armónicos de la cuerda — explíquese en un párrafo la interpretación musical del Teorema 15.7.

Parte V — Dividendos variacionales: el método de la potencia, la estabilidad de Weyl y una cota rigurosa de $\pi$ . Sea $A$ un operador compacto, autoadjunto y positivo con valores propios $\mu_1 \geq \mu_2 \geq \cdots > 0$ y vectores propios ortonormales $(u_n)$ ; $R(x) = \frac{\langle x, Ax\rangle}{\norm x^2}$ . Las fórmulas mín–máx son el Ejercicio 15.8; aquí las gastamos.

(Método de la potencia) Para $x \neq 0$ , escríbase $m_p = \sum_n\mu_n^p\abs{\langle u_n, x\rangle}^2$ . Demostrar $m_pm_{p+2} \geq m_{p+1}^2$ (Cauchy–Schwarz), dedúzcase la cadena

$R(x) \;\leq\; \frac{\langle Ax, Ax\rangle}{\langle x, Ax\rangle} \;\leq\; R(Ax) \;\leq\; \mu_1,$

y demuéstrese que, si $\langle u_1, x\rangle \neq 0$ , entonces $R(A^kx) \to \mu_1$ : iterar el operador sobre cualquier vector genérico calcula el valor propio dominante — el método de la potencia del análisis numérico, certificado.
(Estabilidad de Weyl) Para $A, B$ compactos, autoadjuntos y positivos, dedúzcase del Ejercicio 15.8 que

$\abs{\mu_n(A) - \mu_n(B)} \;\leq\; \vertiii{A - B} \qquad\text{para todo } n :$

todo el espectro es $1$ -lipschitziano para la norma de operador — los valores propios de grandes sistemas simétricos pueden calcularse a partir de aproximaciones con error garantizado.
Aplíquese la cota de Rayleigh a $G$ con la función de prueba $u(x) = x(1-x)$ : resuélvase $-w'' = u$ , $w(0) = w(1) = 0$ para obtener $Gu = w = \frac{x(1-x)(1 + x - x^2)}{12}$ , calcúlese

$\norm u_2^2 = \frac1{30}, \qquad \langle u, Gu\rangle = \frac1{12}\Bigl(\frac1{30} + \frac1{140}\Bigr) = \frac{17}{5040}, \qquad R(u) = \frac{17}{168},$

y conclúyase la cota rigurosa $\frac1{\pi^2} = \lambda_1 \geq \frac{17}{168}$ , es decir, $\pi \leq \sqrt{168/17} < 3.1437$ .
Un paso de la cadena de la pregunta 11, sobre la misma función de prueba: usando $\int_0^1(x - x^2)^4\dd x = \frac1{630}$ , calcúlese

$\norm{Gu}_2^2 = \frac1{144}\Bigl(\frac1{30} + \frac2{140} + \frac1{630}\Bigr) = \frac{31}{90720}, \qquad \frac{\langle Gu, Gu\rangle}{\langle u, Gu\rangle} = \frac{31}{306},$

y conclúyase $\pi \leq \sqrt{306/31} < 3.1419$ : dos integrales, cuatro cifras correctas. (Cada iteración adicional prácticamente eleva al cuadrado la precisión: el salto $\lambda_1/\lambda_2 = 4$ entre vectores propios impulsa la convergencia geométrica.)

Parte VI — La traza de $G^2$ , y $\zeta(4)$ .

Demostrar que $\sum_n\lambda_n^2 = \iint_{\intcc01^2}g(x,y)^2\,\dd x\,\dd y$ (desarróllese $g$ en la base producto $(e_m(x)e_n(y))_{m,n}$ de $L^2(\intcc01^2)$ — una base hilbertiana, cf. el Ejercicio 15.5 — y aplíquese Parseval en el cuadrado; la pregunta 7 identifica los coeficientes).
Calcular la integral doble:

$\iint g^2 = 2\int_0^1(1-x)^2\Bigl(\int_0^x y^2\,\dd y\Bigr)\dd x = \frac23\int_0^1x^3(1-x)^2\,\dd x = \frac1{90} .$
Concluir $\zeta(4) = \dfrac{\pi^4}{90}$ ; explíquese, sin cálculos, cómo las trazas de potencias superiores $G^k$ producen $\zeta(2k) \in \pi^{2k}\,\Q$ para todo $k \geq 1$ , y por qué los valores impares $\zeta(3), \zeta(5), \dots$ quedan estructuralmente fuera del alcance de esta máquina.
( $\pi$ por abajo) De $\lambda_1^2 \leq \sum_n\lambda_n^2 = \frac1{90}$ dedúzcase $\pi \geq 90^{1/4} > 3.080$ y móntese, con la pregunta 14, el veredicto por ambos lados

$3.080 \;<\; \pi \;<\; 3.1419,$

obtenido enteramente a partir de la aritmética de la cuerda vibrante. ¿Qué lado converge más deprisa si se usan trazas superiores $(\operatorname{tr}G^{2k})^{-1/4k}$ , y por qué?

Parte VII — Forzamiento y resonancia. Fíjese $\nu \in \R$ y considérese la cuerda forzada $-u'' - \nu u = f$ , $u(0) = u(1) = 0$ , con $f \in L^2$ y $c_n = \langle e_n, f\rangle$ .

Supóngase $\nu \notin \{n^2\pi^2 : n \geq 1\}$ . Demostrar que

$u = \sum_{n\geq1}\frac{c_n}{n^2\pi^2 - \nu}\,e_n$

converge en $L^2$ y uniformemente en $\intcc01$ (Cauchy–Schwarz entre $(c_n)$ y las colas de $\sum n^{-4}$ , con $\norm{e_n}_\infty = \sqrt2$ ), y que cumple $u = Gf + \nu Gu$ — la forma en coordenadas explícitas de la alternativa de Fredholm (el Teorema 15.8), con unicidad.
Supóngase $\nu = m^2\pi^2$ . Demostrar que $u = Gf + \nu Gu$ tiene solución si y solo si $c_m = 0$ , única salvo múltiplos de $e_m$ . Lectura física: empujar un columpio exactamente a su propia frecuencia.
Para $\nu < \pi^2$ , demostrar que el operador solución $R_\nu\colon f \mapsto u$ está acotado en $L^2$ con norma $\frac1{\pi^2 - \nu}$ , es compacto, autoadjunto y positivo: todo el análisis espectral vuelve a empezar, desplazado por $\nu$ .
(Síntesis) Recopílese el diccionario de este problema: valor propio $\leftrightarrow$ frecuencia al cuadrado (armónicos); traza $\leftrightarrow$ $\zeta(2)$ ; norma de Hilbert–Schmidt $\leftrightarrow$ $\zeta(4)$ ; alternativa de Fredholm $\leftrightarrow$ resonancia; mín–máx $\leftrightarrow$ cotas variacionales ( $\pi < 3.1437$ a partir de un polinomio). Un solo operador integral, cinco capítulos de análisis cobrados.

Parte VIII — Tres últimos ecos.

( $\zeta(6)$ , gratis) La identidad de Parseval de la pregunta 6 dio $\sum_{n\text{ impar}}n^{-6} = \frac{\pi^6}{960}$ . Sepárese $\zeta(6)$ en $n$ pares e impares y conclúyase

$\zeta(6) = \frac{\pi^6}{945},$

sin ninguna integral nueva: la máquina de la pregunta 17 (trazas de $G^3$ ) habría dado el mismo valor al precio de un núcleo iterado — Parseval sobre una función bien elegida es aquí la vía más barata.
(El estado fundamental es positivo) Sea $A$ un operador compacto, autoadjunto y positivo sobre $L^2(\intcc01)$ dado por un núcleo simétrico continuo $k > 0$ sobre $\intoo01^2$ , con mayor valor propio $\mu_1$ . Demostrar: (a) todo maximizador del cociente de Rayleigh es una función propia de $\mu_1$ ; (b) si $u$ lo es, entonces $\langle\abs u, A\abs u\rangle \geq \langle u, Au\rangle$ , con desigualdad estricta si $u$ toma ambos signos en conjuntos de medida positiva — de modo que $u$ tiene signo constante en casi todo punto y $u = \mu_1^{-1}Au$ no se anula nunca en $\intoo01$ ; (c) $\mu_1$ es un valor propio simple. Verifíquese cada afirmación en $G$ : $e_1 = \sqrt2\sin(\pi x) > 0$ , y cada $e_n$ , $n \geq 2$ , al ser ortogonal a $e_1$ , ha de cambiar de signo (y lo hace: $n - 1$ ceros interiores).
(Distancia al espectro y el precio de la resonancia) Para $\nu \notin \{n^2\pi^2\}$ , demostrar que el operador solución $R_\nu$ de la pregunta 19 está acotado, es autoadjunto y compacto, con

$\vertiii{R_\nu} = \frac1{\min_{n\geq1}\,\abs{n^2\pi^2 - \nu}} = \frac1{\operatorname{dist}\bigl(\nu, \{n^2\pi^2\}\bigr)},$

alcanzándose la norma en el modo más próximo. Cuantifíquese después el columpio de la pregunta 20: forzar con $f = e_1$ en $\nu = (1 - \varepsilon)\pi^2$ produce $u = \frac{1}{\varepsilon\pi^2}\,e_1$ , una amplificación de $\frac1\varepsilon$ respecto de la respuesta estática $Ge_1 = \frac1{\pi^2}e_1$ — un uno por ciento por debajo del fundamental ( $\varepsilon = 10^{-2}$ ), la cuerda responde cien veces más fuerte.

Solución

Solución de Problema 15.1.

1. Continuidad: $\min$ y $\max$ son continuas; simetría: intercambiar $x, y$ no altera ni $\min(x,y)$ ni $1 - \max(x,y)$ . Cotas: $0 \leq g$ , y cotas de tipo $g(x,y) \leq \max\cdot(1-\max)$ dan $g \leq \frac14$ (para $u = \max$ : $\min \leq u$ , luego $g \leq u(1-u) \leq \frac14$ ). $g \in L^2(\square)$ : es de Hilbert–Schmidt y, por tanto, $G$ es compacto (el Ejercicio 15.4); el núcleo es real y simétrico: $G$ es autoadjunto.

2. Separando en $y = x$ :

u(x) = (1 - x)\int_0^x y\,f(y)\,\dd y + x\int_x^1(1 - y)\,f(y)\,\dd y .

Para $f$ continua, derívese (producto y teorema fundamental):

u'(x) = -\int_0^xyf + \int_x^1(1-y)f \qquad\text{(los términos de borde se cancelan)},

y $u''(x) = -xf(x) - (1 - x)f(x) = -f(x)$ ; y claramente $u(0) = u(1) = 0$ . Recíprocamente, si $u \in \mathcal C^2$ se anula en ambos extremos, $w = u - G(-u'')$ cumple $w'' = 0$ , $w(0) = w(1) = 0$ : $w$ es afín y se anula dos veces, luego $w = 0$ .

3. Sean $Gf = 0$ , $f \in L^2$ . Para $\psi \in \mathcal C_c^\infty(\intoo01)$ : $\psi = G(-\psi'')$ por la pregunta 2, de modo que

\langle f, \psi\rangle = \langle f, G(-\psi'')\rangle = \langle Gf, -\psi''\rangle = 0

( $G$ autoadjunto): por el lema fundamental (el Corolario 12.11), $f = 0$ en casi todo punto. Positividad: para $f$ continua, con $u = Gf$ ,

\langle f, Gf\rangle = \int_0^1 fu = \int_0^1(-u'')u = \bigl[-u'u\bigr]_0^1 + \int_0^1(u')^2 = \int_0^1(u')^2 \geq 0 ;

y para $f \in L^2$ , aproxímese en $L^2$ por $f_n$ continuas: ambos miembros pasan al límite ( $G$ acotado).

4. Si $Gu = \lambda u$ , $\lambda \neq 0$ : $Gu$ es continua ( $\abs{Gu(x) - Gu(x')} \leq \norm{g(x,\cdot) - g(x',\cdot)}_2\norm u_2$ , y el núcleo es uniformemente continuo), de modo que $u$ tiene un representante continuo; y entonces las fórmulas de la pregunta 2 muestran que $Gu \in \mathcal C^2$ , luego $u = \frac1\lambda Gu \in \mathcal C^2$ con $-\lambda u'' = -(Gu)'' = u$ y $u(0) = u(1) = 0$ .

5. $-\lambda u'' = u$ , $u(0) = 0$ : $u = A\sin(x/\sqrt \lambda)$ ( $\lambda$ positivo: por la pregunta 3, $\lambda = \langle u, Gu\rangle/\norm u^2 > 0$ sobre vectores propios). $u(1) = 0$ obliga a $\frac1{\sqrt\lambda} = n\pi$ : $\lambda_n = \frac1{n^2\pi^2}$ , con funciones propias $\sin(n\pi x)$ , normalizadas $e_n = \sqrt2\sin(n\pi x)$ ( $\int_0^12\sin^2(n\pi x)\dd x = 1$ ). Comprobación de ortogonalidad: $2\sin(m\pi x)\sin(n\pi x) = \cos((m-n)\pi x) - \cos((m+n)\pi x)$ integra a $0$ para $m \neq n$ .

6. $\ker G = \{0\}$ (pregunta 3), de modo que el Teorema 15.7(1) da $H = \overline{\operatorname{Vect}}(e_n)$ : los senos son una base hilbertiana de $L^2(\intcc01)$ . Para $f(x) = x(1 - x)$ :

c_n = \sqrt2\int_0^1x(1-x)\sin(n\pi x)\,\dd x = \sqrt2\;\frac{2\bigl(1 - (-1)^n\bigr)}{n^3\pi^3} = \begin{cases}\dfrac{4\sqrt2}{n^3\pi^3} & n \text{ impar},\\ 0 & n \text{ par},\end{cases}

(dos integraciones por partes). Parseval: $\int_0^1x^2(1-x)^2\dd x = \frac1{30} = \sum_{n \text{ impar}}\frac{32}{n^6\pi^6}$ , i.e. $\sum_{n\text{ impar}}n^{-6} = \frac{\pi^6}{960}$ .

7. $\langle e_n, Ge_n\rangle = \lambda_n\norm{e_n}^2 = \lambda_n$ . Para $x$ fijo, los coeficientes de $g(x, \cdot)$ : $\langle e_n, g(x,\cdot)\rangle = (Ge_n)(x) = \lambda_ne_n(x)$ , luego $g(x,\cdot) = \sum_n\lambda_ne_n(x)\,e_n$ en $L^2$ . La serie explícita $\sum_n\lambda_ne_n(x)e_n(y) = \sum_n\frac{2\sin(n\pi x)\sin(n\pi y)}{n^2\pi^2}$ converge normalmente en el cuadrado ( $\abs{\text{término}} \leq \frac2{n^2\pi^2}$ ): su suma es continua y, para cada $x$ , tiene los mismos coeficientes en $L^2(\dd y)$ que $g(x, \cdot)$ : las dos funciones continuas coinciden para todo $(x, y)$ . Poniendo $y = x$ e integrando (la convergencia normal permite integrar término a término):

\int_0^1g(x,x)\,\dd x = \sum_n\lambda_n\int_0^1e_n(x)^2\dd x = \sum_n\lambda_n .

8. $\int_0^1g(x,x)\dd x = \int_0^1x(1 - x)\dd x = \frac16$ , luego $\sum_{n\geq1}\frac1{n^2\pi^2} = \frac16$ :

\zeta(2) = \sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6 .

9. Para $f = \mathbf 1$ : $c_n = \sqrt2\int_0^1\sin(n\pi x)\dd x = \sqrt2\,\frac{1 - (-1)^n}{n\pi}$ : $c_n = \frac{2\sqrt2}{n\pi}$ para $n$ impar, $0$ para par. Parseval: $1 = \sum_{n\text{ odd}}\frac{8}{n^2\pi^2}$ , luego $\sum_{n\text{ impar}}n^{-2} = \frac{\pi^2}8$ y $\zeta(2) = \frac{\pi^2}8\cdot\frac{1}{1 - \frac14} = \frac{\pi^2}6$ (los términos pares son $\frac14\zeta(2)$ ). Comparación: Parseval para una sola $f$ suma $\abs{\langle e_n, f\rangle}^2$ ; la fórmula de la traza integra la diagonal del núcleo, lo que equivale a sumar Parseval sobre toda una familia ortonormal de una vez — $\sum_n\langle e_n, Ge_n\rangle$ — y es, por tanto, ciega a cualquier elección particular de función de prueba.

10. $\abs{c_n\cos(n\pi t)} \leq \abs{c_n}$ con $\sum\abs{c_n}^2 < \infty$ : para cada $t$ , la serie converge en $L^2$ (desarrollo ortonormal, el Teorema 13.7(3)); la cota de la cola $\norm{u(t) - u_N(t)}_2^2 \leq \sum_{n>N}\abs{c_n}^2$ es uniforme en $t$ , y cada suma parcial es continua en $t$ (finitos cosenos): $t \mapsto u(t,\cdot)$ es continua con valores en $L^2$ . Para $f = \sum_{n\leq N}c_ne_n$ : cada modo $\cos(n\pi t)\sin(n\pi x)$ cumple $\partial_t^2 = -n^2\pi^2 = \partial_x^2$ aplicada a él, se anula en $x = 0, 1$ , tiene valor $\sin(n\pi x)$ y derivada temporal $0$ en $t = 0$ : la suma finita lo resuelve todo. Musicalmente: el movimiento de la cuerda es superposición de ondas estacionarias $e_n$ , cuyas frecuencias $n\pi$ son la fundamental y sus armónicos; el teorema espectral dice que toda forma inicial se descompone de manera única en esos tonos puros, siendo los coeficientes $c_n$ el timbre. Oír una cuerda es calcular un desarrollo ortonormal.

11. Con $a_n = \abs{\langle u_n, x\rangle}^2$ : $m_{p+1} = \sum_n\mu_n^{p+1}a_n = \sum_n\bigl(\mu_n^{p/2} \sqrt{a_n}\bigr)\bigl(\mu_n^{p/2+1}\sqrt{a_n}\bigr) \leq \sqrt{m_p\,m_{p+2}}$ (Cauchy–Schwarz en $\ell^2$ ). Por tanto, los cocientes $m_{p+1}/m_p$ son no decrecientes en $p$ ; y como $R(x) = \frac{m_1}{m_0}$ , $\frac{\langle Ax, Ax\rangle} {\langle x, Ax\rangle} = \frac{m_2}{m_1}$ y $R(Ax) = \frac{m_3}{m_2}$ , se sigue la cadena, con cada término $\leq \mu_1$ porque $m_{p+1} \leq \mu_1m_p$ término a término. Convergencia: si $a_1 > 0$ (escribiendo el peso total del valor propio dominante como $a_1$ ), entonces

\mu_1 \geq R(A^kx) = \frac{m_{2k+1}}{m_{2k}} = \mu_1\,\frac{a_1 + \sum_{\mu_n<\mu_1}(\mu_n/\mu_1)^{2k+1} a_n}{a_1 + \sum_{\mu_n<\mu_1}(\mu_n/\mu_1)^{2k}a_n} \longrightarrow \mu_1,

por convergencia dominada de las sumas (cocientes $< 1$ ): el método de la potencia converge para todo vector inicial no ortogonal al espacio propio dominante.

12. Puntualmente, $\abs{\langle x, (A - B)x\rangle} \leq \vertiii{A - B}\,\norm x^2$ , de modo que $R_A(x) \leq R_B(x) + \vertiii{A - B}$ para todo $x$ . Introduciendo esto en la fórmula máx–mín del Ejercicio 15.8: $\mu_n(A) \leq \mu_n(B) + \vertiii{A - B}$ y, simétricamente en $A, B$ : $\abs{\mu_n(A) - \mu_n(B)} \leq \vertiii{A - B}$ para todo $n$ a la vez.

13. $-w'' = x - x^2$ integra a $w = -\frac{x^3}6 + \frac{x^4}{12} + cx$ (con $w(0) = 0$ ), y $w(1) = 0$ da $c = \frac1{12}$ :

w = \frac{x^4 - 2x^3 + x}{12} = \frac{x(1-x)(1 + x - x^2)}{12} = Gu .

Entonces $\norm u_2^2 = \int_0^1x^2(1-x)^2 = \frac1{30}$ y, con $\int_0^1x^3(1-x)^3 = B(4,4) = \frac1{140}$ :

\langle u, Gu\rangle = \frac1{12}\Bigl(\frac1{30} + \frac1{140}\Bigr) = \frac{17}{5040}, \qquad R(u) = \frac{17/5040}{1/30} = \frac{17}{168} .

Luego $\frac1{\pi^2} = \lambda_1 \geq \frac{17}{168}$ , es decir, $\pi^2 \leq \frac{168}{17} = 9.8824$ : $\pi \leq 3.14364 < 3.1437$ (valor verdadero $\pi^2 = 9.8696$ ). Un polinomio, una integral, una cifra.

14. Escríbase $u = x - x^2$ , de modo que $Gu = \frac{u(1 + u)}{12}$ y, usando $\int u^2 = \frac1{30}$ , $\int u^3 = \frac1{140}$ , $\int u^4 = B(5,5) = \frac{4!\,4!}{9!} = \frac1{630}$ :

\norm{Gu}_2^2 = \frac1{144}\int u^2(1+u)^2 = \frac1{144}\Bigl(\frac1{30} + \frac2{140} + \frac1{630}\Bigr) = \frac1{144}\cdot\frac{62}{1260} = \frac{31}{90720} .

Por tanto $\frac{\langle Gu, Gu\rangle}{\langle u, Gu\rangle} = \frac{31/90720}{17/5040} = \frac{31}{306}$ y, por la pregunta 11, esto sigue siendo $\leq \mu_1 = \frac1{\pi^2}$ : $\pi^2 \leq \frac{306}{31} = 9.87097$ , es decir, $\pi \leq 3.14181 < 3.1419$ — cuatro cifras (y la siguiente iteración daría unas ocho, contrayéndose el error en $(\lambda_2/\lambda_1)^2 = \frac1{16}$ por paso).

15. La familia $(e_m \otimes e_n)(x,y) = e_m(x)e_n(y)$ es una base hilbertiana de $L^2(\intcc01^2)$ (ortonormalidad por Tonelli; totalidad como en el Ejercicio 15.5). Por la pregunta 7, para $x$ fijo: $g(x, \cdot) = \sum_n\lambda_ne_n(x)e_n$ , de modo que el coeficiente de $g$ sobre $e_m\otimes e_n$ es

\langle e_m\otimes e_n,\ g\rangle = \int_0^1 e_m(x)\,\lambda_n e_n(x)\,\dd x = \lambda_n\,\delta_{mn} .

Parseval en el cuadrado:

\iint g^2 = \sum_{m,n}\abs{\langle e_m\otimes e_n, g\rangle}^2 = \sum_n\lambda_n^2 .

16. Por la simetría de $g$ ,

\iint g^2 = 2\iint_{y<x}y^2(1-x)^2 = 2\int_0^1(1-x)^2\,\frac{x^3}3\,\dd x = \frac23\,B(4, 3) = \frac23\cdot\frac{3!\,2!}{6!} = \frac23\cdot\frac1{60} = \frac1{90} .

17. Combinando: $\sum_n\frac1{n^4\pi^4} = \frac1{90}$ , es decir, $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ . En general, $\operatorname{tr}(G^k) = \sum\lambda_n^k = \frac{\zeta(2k)}{\pi^{2k}}$ es una integral iterada de productos del núcleo racional-polinómico $g$ sobre el cubo $k$ : un número racional. Por tanto, $\zeta(2k) \in \pi^{2k}\Q$ para todo $k$ . La máquina solo alcanza argumentos pares porque los valores propios entran por sus potencias — $\sum\lambda_n^k$ — y $\lambda_n = \frac1{n^2\pi^2}$ : ninguna combinación de trazas produce $\sum n^{-3}$ ; la naturaleza aritmética de $\zeta(3)$ (irracional por Apéry, con la trascendencia abierta) queda fuera de la contabilidad espectral.

18. El término dominante de una suma de términos positivos es a lo sumo la suma: $\lambda_1^2 \leq \sum\lambda_n^2 = \frac1{90}$ , luego $\frac1{\pi^2} \leq \frac1{\sqrt{90}}$ y $\pi \geq 90^{1/4} = 3.0801\ldots$ Con la pregunta 14: $3.080 < \pi < 3.1419$ , por pura aritmética de la cuerda. Las trazas superiores afinan geométricamente la cota inferior: $\lambda_1 \leq (\operatorname{tr}G^{2k})^{1/2k} = \lambda_1\bigl(1 + \sum_{n\geq2}(\lambda_n/\lambda_1)^{2k} \bigr)^{1/2k}$ , y el factor parásito muere a velocidad $\bigl(\tfrac14\bigr)^{2k}\cdot\frac1{2k}$ — el mismo mecanismo de salto espectral que la convergencia del método de la potencia (pregunta 11), visto desde el lado de las trazas.

19. $\abs{n^2\pi^2 - \nu} \geq \delta > 0$ para todo $n$ (la sucesión $n^2\pi^2 \to \infty$ evita $\nu$ con margen) y $\abs{n^2\pi^2 - \nu} \geq \frac{n^2\pi^2}2$ para $n$ grande. Convergencia en $L^2$ : los coeficientes $\frac{c_n}{n^2\pi^2 - \nu}$ son de cuadrado sumable (dominados por $\frac{\abs{c_n}}\delta$ ). Convergencia uniforme: las normas del supremo de las colas están acotadas por $\sqrt2\sum_{n>N} \frac{\abs{c_n}}{\abs{n^2\pi^2 - \nu}} \leq \frac{2\sqrt2}{\pi^2}\bigl(\sum\abs{c_n}^2\bigr)^{1/2} \bigl(\sum_{n>N}n^{-4}\bigr)^{1/2} \to 0$ (Cauchy–Schwarz). Verificación: $Gf + \nu Gu$ tiene coeficiente $e_n$ igual a

\lambda_nc_n + \frac{\nu\lambda_nc_n}{n^2\pi^2 - \nu} = \frac{c_n}{n^2\pi^2}\Bigl(1 + \frac{\nu}{n^2\pi^2 - \nu}\Bigr) = \frac{c_n}{n^2\pi^2 - \nu} :

exactamente los coeficientes de $u$ , de modo que $u = Gf + \nu Gu$ ; la unicidad, porque una diferencia $v$ de soluciones cumple $v = \nu Gv$ , es decir, $\langle e_n, v\rangle(n^2\pi^2 - \nu) = 0$ para todo $n$ : $v = 0$ .

20. Como en la pregunta 19, la ecuación $u = Gf + \nu Gu$ equivale a la familia de ecuaciones de coeficientes $(n^2\pi^2 - \nu)\,\langle e_n, u\rangle = c_n$ , $n \geq 1$ . Para $n = m$ , el miembro izquierdo es $0$ : la resolubilidad obliga a $c_m = 0$ y entonces $\langle e_m, u\rangle$ queda libre, mientras que todos los demás coeficientes están determinados: las soluciones forman la recta $u_0 + \R e_m$ . Resonancia: un forzamiento con componente sobre el modo propio bombea energía en él sin límite — el columpio empujado a su propia frecuencia.

21. De la fórmula de la pregunta 19, $\norm{R_\nu f}_2^2 = \sum\frac{\abs{c_n}^2}{(n^2\pi^2 - \nu)^2} \leq \frac{\norm f^2}{(\pi^2 - \nu)^2}$ (para $\nu < \pi^2$ el valor propio más próximo es $\pi^2$ ), con igualdad aproximada sobre $f = e_1$ : norma de operador $\frac1{\pi^2 - \nu}$ . Compacidad: $R_\nu$ es límite en norma de sus truncamientos de rango finito (los coeficientes de la cola son $\frac1{n^2\pi^2 - \nu} \to 0$ ); la autoadjunción y la positividad se leen en la forma diagonal (todos los coeficientes son $\frac1{n^2\pi^2 - \nu} > 0$ ). $R_\nu$ tiene valores propios $\frac1{n^2\pi^2 - \nu}$ : el análisis de las Partes I–VI vuelve a empezar literalmente.

22. El diccionario: valor propio $\lambda_n = \frac1{n^2\pi^2}$ $\leftrightarrow$ frecuencia al cuadrado $n^2\pi^2$ del $n$ -ésimo armónico; traza $\sum \lambda_n = \frac16$ $\leftrightarrow$ $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ ; norma de Hilbert–Schmidt $\iint g^2 = \frac1{90}$ $\leftrightarrow$ $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ ; alternativa de Fredholm $\leftrightarrow$ resonancia de la cuerda forzada; mín–máx $\leftrightarrow$ estimaciones variacionales, hasta $\pi < 3.1437$ a partir de un polinomio. Detrás de cada emparejamiento, el mismo objeto: un operador compacto autoadjunto, diagonalizado una vez y explotado de cinco maneras.

23. Separando por paridad y sustituyendo $n = 2m$ en la parte par,

\zeta(6) = \sum_{n\text{ impar}}\frac1{n^6} + \sum_{m\geq1}\frac1{(2m)^6} = \frac{\pi^6}{960} + \frac{\zeta(6)}{64},

luego $\frac{63}{64}\zeta(6) = \frac{\pi^6}{960}$ y $\zeta(6) = \frac{64\,\pi^6}{63\cdot960} = \frac{\pi^6}{945}$ . La vía de la traza calcularía $\operatorname{tr}G^3 = \sum\lambda_n^3 = \zeta(6)/\pi^6$ como $\iint g\,g_2$ con el núcleo iterado $g_2(x,y) = \int_0^1g(x,z)g(z,y)\dd z$ — tres integraciones de polinomios a trozos —; Parseval sobre $x(1-x)$ solo necesitó una.

24. (a) Diagonalícese: $v = \sum_na_nu_n$ (más una posible componente en el núcleo, sobre la que $\langle v, Av\rangle$ no gana nada y $\norm v^2$ crece, de modo que un maximizador no la tiene). Entonces $\langle v, Av\rangle = \sum\mu_na_n^2 \leq \mu_1\sum a_n^2$ , con igualdad si y solo si $a_n = 0$ siempre que $\mu_n < \mu_1$ : un maximizador está en el espacio propio de $\mu_1$ . (b) Para cualquier $u$ ,

\langle\abs u, A\abs u\rangle - \langle u, Au\rangle = \iint k(x,y)\,\bigl(\abs{u(x)}\abs{u(y)} - u(x)u(y)\bigr)\dd x\,\dd y \;\geq\; 0,

siendo el integrando puntualmente no negativo. Si $P = \{u > 0\}$ y $N = \{u < 0\}$ tienen ambos medida positiva, entonces sobre $P\times N$ el integrando vale $2k\abs{u(x)}\abs{u(y)} > 0$ en un conjunto de medida positiva: desigualdad estricta. Una función propia $u$ de $\mu_1$ maximiza el cociente de Rayleigh, y $\abs u$ tiene la misma norma, de modo que la estrictud exhibiría $R(\abs u) > \mu_1$ — imposible; luego $u$ tiene signo constante en casi todo punto, digamos $u \geq 0$ . Y entonces $u(x) = \mu_1^{-1}(Au)(x) = \mu_1^{-1}\int k(x,y)u(y)\dd y > 0$ para todo $x \in \intoo01$ ( $k(x,\cdot) > 0$ y $u \neq 0$ ). (c) Si el espacio propio tuviera dimensión $\geq 2$ , contendría dos funciones propias ortogonales $u, v$ , cada una de signo constante y sin ceros interiores por (b); pero entonces $\abs{\langle u, v\rangle} = \int\abs u\,\abs v > 0$ — contradicción. Sobre la cuerda: $k = g > 0$ en el cuadrado abierto, $\mu_1 = \lambda_1 = \frac1{\pi^2}$ es en efecto simple, $e_1 = \sqrt2\sin(\pi x)$ es positiva en $\intoo01$ ; y cada $e_n = \sqrt2\sin(n\pi x)$ , $n \geq 2$ , ortogonal a la positiva $e_1$ , ha de integrar cero contra ella y, por tanto, cambiar de signo — como confirman sus $n - 1$ ceros interiores $\frac kn$ .

25. Como $n^2\pi^2 \to \infty$ , el mínimo $d = \min_n\abs{n^2\pi^2 - \nu}$ se alcanza, en cierto modo $m$ , y $d > 0$ porque $\nu$ evita el espectro. La fórmula diagonal de la pregunta 19 da

\norm{R_\nu f}_2^2 = \sum_n\frac{\abs{c_n}^2}{(n^2\pi^2 - \nu)^2} \leq \frac1{d^2}\,\norm f_2^2,

con igualdad para $f = e_m$ : $\vertiii{R_\nu} = \frac1d$ , el inverso de la distancia de $\nu$ al espectro — el principio general de la resolvente, aquí en coordenadas explícitas. La autoadjunción se lee en los coeficientes diagonales reales; la compacidad se sigue como en la pregunta 21 (los coeficientes tienden a $0$ , de modo que los truncamientos de rango finito convergen en norma). Precio de la resonancia: para $f = e_1$ y $\nu = (1-\varepsilon)\pi^2$ , la fórmula da $u = \frac{c_1}{\pi^2 - \nu}e_1 = \frac1{\varepsilon\pi^2}e_1$ , frente a la respuesta estática $Ge_1 = \frac1{\pi^2}e_1$ : amplificación $\frac1\varepsilon$ . En $\varepsilon = 10^{-2}$ , la respuesta es $100$ veces la estática — y diverge cuando $\varepsilon \to 0$ , que es la alternativa de la pregunta 20 vista desde el lado acotado: cuanto más próxima está la frecuencia de forzamiento a una natural, menos acotada es la inversa.

Términos definidos en este capítulo

Ver los 395 términos del glosario

15.1 Operadores compactos

15.2 Operadores autoadjuntos

15.3 El teorema espectral

15.4 Ejercicios

15.5 Problema: la cuerda vibrante y ζ(2)\zeta(2)ζ(2)

Términos definidos en este capítulo

15.5 Problema: la cuerda vibrante y $\zeta(2)$