Matemáticas universitarias — Grado 2 · Bachelor Year 2

13Formas hermíticas

Los espacios vectoriales complejos tienen su propia geometría de producto escalar, con un giro: linealidad en una variable y semilinealidad en la otra. La recompensa por aceptar ese giro es una teoría espectral aún más limpia que la real: los endomorfismos hermíticos tienen valores propios reales, los unitarios los tienen de módulo $1$ , y ambos se diagonalizan en bases ortonormales. Este capítulo breve reproduce sobre $\C$ el programa euclídeo del Capítulo 12.

13.1 Productos escalares hermíticos

Definición 13.1

Un producto escalar hermítico sobre un espacio vectorial complejo $E$ es una aplicación $\langle\cdot,\cdot\rangle \colon E \times E \to \C$ que es lineal en la segunda variable, simétrica conjugada ( $\langle y, x\rangle = \conj{\langle x, y\rangle}$ , luego semilineal en la primera variable) y definida positiva ( $\langle x, x\rangle > 0$ para $x \neq 0$ ). El ejemplo estándar sobre $\C^n$ :

\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} \conj{x_i}\, y_i ;

sobre funciones continuas, $\langle f, g\rangle = \int_a^b \conj f\,g$ . Norma: $\norm x = \sqrt{\langle x,x\rangle}$ ; un espacio complejo de dimensión finita así equipado es un espacio hermítico.

Ejemplo 13.2 (Primeros cálculos)

En $\C^2$ , tomemos $x = (1+\iu,\ 2-\iu)$ e $y = (\iu,\ 1)$ . Entonces

\norm x^2 = \abs{1+\iu}^2 + \abs{2-\iu}^2 = 2 + 5 = 7, \qquad \norm y^2 = 1 + 1 = 2,

y, conjugando el primer argumento,

\langle x, y\rangle = \conj{(1+\iu)}\,\iu + \conj{(2-\iu)}\cdot1 = (1-\iu)\iu + (2+\iu) = (\iu + 1) + (2 + \iu) = 3 + 2\iu .

Cauchy–Schwarz se verifica: $\abs{\langle x, y\rangle}^2 = 9 + 4 = 13 \leq 14 = \norm x^2\norm y^2$ ; cerca de la igualdad, porque $x$ está cerca de ser un múltiplo de $y$ . Obsérvese también que $\langle y, x\rangle = \conj{3 + 2\iu} = 3 - 2\iu$ : la simetría conjugada en acción, y la razón de que $\langle x, x\rangle$ sea siempre real.

Teorema 13.3 (Cauchy–Schwarz, caso complejo)

$\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x \norm y$ , con igualdad si y solo si $x, y$ son linealmente dependientes; y $\norm\cdot$ es una norma. Además existen bases ortonormales (Gram–Schmidt funciona palabra por palabra), con

x = \sum_i \langle e_i, x\rangle\, e_i, \qquad \norm x^2 = \sum_i \abs{\langle e_i, x\rangle}^2 .

Demostración. Para $y \neq 0$ y $t \in \C$ : $0 \leq \norm{x - ty}^2 = \norm x^2 - 2\Re\bigl(\conj t\langle y, x\rangle\bigr) + \abs t^2\norm y^2$ . Elíjase $t = \frac{\langle y, x\rangle}{\norm y^2}$ :

0 \leq \norm x^2 - \frac{\abs{\langle y, x\rangle}^2}{\norm y^2},

que es la desigualdad; la igualdad fuerza $x = ty$ . Desigualdad triangular, en detalle:

\norm{x + y}^2 = \norm x^2 + 2\,\Re\langle x, y\rangle + \norm y^2 \leq \norm x^2 + 2\,\abs{\langle x, y\rangle} + \norm y^2 \leq \bigl(\norm x + \norm y\bigr)^2 ,

usando $\Re z \leq \abs z$ y luego Cauchy–Schwarz; la homogeneidad y la separación son inmediatas, de modo que $\norm\cdot$ es una norma. Gram–Schmidt: como en el caso real, con las conjugaciones colocadas según la definición (nótese el convenio: nuestros productos son semilineales en la primera entrada, así que las coordenadas son $\langle e_i, x\rangle$ ; el ejemplo siguiente ejecuta el algoritmo una vez por completo). ∎

Ejemplo 13.4 (Gram–Schmidt complejo, ejecutado por completo)

Ortonormalicemos la base $v_1 = (1, \iu)$ , $v_2 = (0, 1)$ de $\C^2$ . Primer vector: $\norm{v_1}^2 = \abs1^2 + \abs\iu^2 = 2$ , luego $e_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)$ . Proyectemos $v_2$ , con la conjugación en la primera entrada:

\langle e_1, v_2\rangle = \frac{1}{\sqrt2}\bigl(\conj{1}\cdot0 + \conj{\iu}\cdot1\bigr) = \frac{-\iu}{\sqrt2} , \qquad v_2 - \langle e_1, v_2\rangle e_1 = (0,1) + \frac{\iu}{2}\,(1, \iu) = \Bigl(\frac\iu2,\ \frac12\Bigr) .

Su norma es $\sqrt{\frac14 + \frac14} = \frac{1}{\sqrt2}$ : $e_2 = \frac{1}{\sqrt2}(\iu, 1)$ . Comprobación: $\langle e_1, e_2\rangle = \frac12(\conj1\cdot\iu + \conj\iu\cdot1) = \frac12(\iu - \iu) = 0$ . Coordenadas de $v_2$ en la nueva base: $v_2 = \langle e_1, v_2\rangle e_1 + \langle e_2, v_2\rangle e_2$ con $\langle e_2, v_2\rangle = \frac{1}{\sqrt2}$ ; atención al orden: $\langle v_2, e_1\rangle$ daría el coeficiente conjugado. Moraleja: el algoritmo es el euclídeo palabra por palabra; la única trampa está en dónde cae la conjugación, y calcular $\norm{v_2 - \text{proy}}^2 > 0$ usa en silencio la positividad, el axioma que hace funcionar toda la geometría.

13.2 Adjunto, endomorfismos hermíticos y unitarios

Definición 13.5

El adjunto $u^*$ de $u \in \mathcal{L}(E)$ se define por $\langle u^*(x), y\rangle = \langle x, u(y)\rangle$ ; en una base ortonormal, $\operatorname{Mat}(u^*) = \conj{A}^{\mathsf T} =: A^{\dagger}$ (la traspuesta conjugada). En efecto, si $B = (b_{ij})$ es la matriz de $u^*$ en la base ortonormal $(e_i)$ , entonces $b_{ij} = \langle e_i, u^*(e_j)\rangle$ , y la identidad que lo define da

\conj{b_{ij}} = \langle u^*(e_j), e_i\rangle = \langle e_j, u(e_i)\rangle = a_{ji} , \qquad\text{luego}\qquad B = \conj{A}^{\mathsf T} .

Se dice que $u$ es hermítico cuando $u^* = u$ ( $A^\dagger = A$ ), unitario cuando $u^*u = \mathrm{id}$ ( $A^\dagger A = I$ : el grupo $U(n)$ ) y normal cuando $u^*u = uu^*$ .

Proposición 13.6

Los valores propios de un endomorfismo hermítico son reales; los valores propios de un endomorfismo unitario tienen módulo $1$ ; y en ambos casos los subespacios propios de valores propios distintos son ortogonales.

Demostración. Caso hermítico, con $u(x) = \lambda x$ , $x \neq 0$ :

\lambda \norm x^2 = \langle x, u(x)\rangle = \langle u(x), x\rangle = \conj{\langle x, u(x)\rangle} = \conj\lambda\,\norm x^2 ,

luego $\lambda \in \R$ . Caso unitario: $\norm{u(x)} = \norm x$ (por $u^*u = \mathrm{id}$ ), de modo que $\abs\lambda\norm x = \norm x$ . Ortogonalidad (caso hermítico): $\lambda\langle x, y\rangle = \langle u(x), y\rangle = \langle x, u(y)\rangle = \mu\langle x, y\rangle$ para vectores propios con $\lambda \neq \mu$ reales. Caso unitario, en detalle: para $u(x) = \lambda x$ y $u(y) = \mu y$ con $\lambda \neq \mu$ (ambos de módulo $1$ ),

\langle x, y\rangle = \langle u(x), u(y)\rangle = \conj\lambda\mu\,\langle x, y\rangle ,

y $\conj\lambda\mu = \frac{\mu}{\lambda} \neq 1$ : el factor no es $1$ , luego $\langle x, y\rangle = 0$ . ∎

Ejemplo 13.7 (Una matriz antihermítica, diagonalizada)

$A = \begin{pmatrix} 0 & -2\\ 2 & 0\end{pmatrix}$ cumple $A^\dagger = A^{\mathsf T} = -A$ : es antihermítica (y también real antisimétrica; sobre $\R$ no tiene ningún valor propio). Polinomio característico $X^2 + 4$ : valores propios $\pm2\iu$ , imaginarios puros, como predice en general el Ejercicio 13.9. Vectores propios: $(A - 2\iu I)v = 0$ da $v_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)$ , y $v_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)$ para $-2\iu$ ; son ortogonales:

\langle v_1, v_2\rangle = \tfrac12\bigl(\conj{1}\cdot1 + \conj{\iu}\cdot(-\iu)\bigr) = \tfrac12(1 - 1) = 0 .

Así pues, $A = U\operatorname{diag}(2\iu, -2\iu)\,U^\dagger$ con $U = (v_1\ v_2)$ unitaria. Moraleja: $H = -\iu A = \begin{pmatrix} 0 & 2\iu\\ -2\iu & 0\end{pmatrix}$ es hermítica con espectro real $\{\pm2\}$ y los mismos vectores propios; es la biyección $u \mapsto \iu u$ entre endomorfismos hermíticos y antihermíticos (Ejercicio 13.9), vista matriz a matriz. Sobre $\R$ , esa misma $A$ es una rotación con homotecia sin ningún vector propio, y solo el paso a $\C$ revela su forma normal.

Teorema 13.8 (Teorema espectral hermítico)

Todo endomorfismo hermítico de un espacio hermítico tiene una base ortonormal de vectores propios (con valores propios reales): $A^\dagger = A$ implica $A = U D U^{\dagger}$ con $U \in U(n)$ y $D$ diagonal real.

Demostración. Sobre $\C$ , el polinomio característico se escinde: existe un vector propio $e_1$ (Capítulo 3), sin necesidad de ningún argumento de compacidad, una ventaja de $\C$ . Normalicémoslo. Su complemento ortogonal $F = e_1^\perp$ es estable: para $x \perp e_1$ ,

\langle e_1, u(x)\rangle = \langle u(e_1), x\rangle = \lambda_1\langle e_1, x\rangle = 0

( $\lambda_1$ real). La restricción es hermítica; hágase inducción sobre la dimensión y concaténese. En detalle: la restricción $u|_F$ es un endomorfismo del espacio hermítico $F$ (de dimensión $n - 1$ ) con $\langle u|_F(x), y\rangle = \langle x, u|_F(y)\rangle$ heredado de $u$ ; la hipótesis de inducción proporciona una base ortonormal $(e_2, \dots, e_n)$ de $F$ formada por vectores propios, y $(e_1, e_2, \dots, e_n)$ es ortonormal en $E$ ( $e_1 \perp F$ ) y está formada por vectores propios de $u$ . Traducción matricial: las columnas de $U$ son los $e_i$ , $U^\dagger U = I$ expresa su ortonormalidad y $AU = UD$ recoge las ecuaciones de los valores propios, de donde $A = UDU^\dagger$ con $D$ diagonal real (Proposición 13.6). ∎

Ejemplo 13.9

$A = \begin{pmatrix} 0 & -\iu\\ \iu & 0\end{pmatrix}$ es hermítica ( $A^\dagger = A$ ): sus valores propios salen de $\chi_A = X^2 - 1$ : $\pm 1$ (reales, como se prometió), con vectores propios ortonormales $\frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)^{\mathsf T}$ y $\frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)^{\mathsf T}$ . (Los físicos conocen $A$ como matriz de Pauli; que los espectros hermíticos sean reales es la razón de que los observables cuánticos se modelen mediante operadores hermíticos.)

Ejemplo 13.10 (Una matriz hermítica definida positiva, resuelta)

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1-\iu\\ 1+\iu & 3\end{pmatrix}$ : es hermítica, pues la diagonal es real y las entradas fuera de ella son conjugadas. Polinomio característico:

(2-\lambda)(3-\lambda) - \abs{1-\iu}^2 = \lambda^2 - 5\lambda + 4 = (\lambda - 1)(\lambda - 4) :

espectro $\{1, 4\}$ , real y positivo; $A$ es definida positiva. Vectores propios: para $\lambda = 4$ , el sistema $(A - 4I)v = 0$ da $v_4 = (1 - \iu,\ 2)$ (compruébese la segunda fila: $(1+\iu)(1-\iu) - 2 = 0$ ); para $\lambda = 1$ , $v_1 = (1 - \iu,\ -1)$ . Ortogonalidad, con la conjugación en la primera entrada:

\langle v_4, v_1\rangle = \conj{(1-\iu)}\,(1-\iu) + \conj{2}\,(-1) = 2 - 2 = 0 . \checkmark

Normalizando ( $\norm{v_4}^2 = 2 + 4 = 6$ , $\norm{v_1}^2 = 2 + 1 = 3$ ) se obtiene la matriz unitaria $U = \bigl(\frac{v_4}{\sqrt6}\ \frac{v_1}{\sqrt3}\bigr)$ con $A = U\operatorname{diag}(4,1)U^\dagger$ . Moraleja: la lectura de Rayleigh es inmediata: sobre la esfera unidad de $\C^2$ , $\langle x, Ax\rangle$ recorre $\intcc{1}{4}$ , alcanzado en los dos vectores propios; es el germen $n = 2$ de la teoría de Courant–Fischer que se construye en el problema de fin de semana. Comprobemos también que la forma es real fuera de los vectores propios: en $x = (1, \iu)$ ,

Ax = \bigl(2 + (1-\iu)\iu,\ (1+\iu) + 3\iu\bigr) = (3 + \iu,\ 1 + 4\iu),

\langle x, Ax\rangle = \conj{1}\,(3+\iu) + \conj{\iu}\,(1+4\iu) = (3 + \iu) + (-\iu)(1 + 4\iu) = 3 + \iu - \iu + 4 = 7 \in \R ,

como garantiza para todo $x$ el mecanismo de la demostración de la Proposición 13.6 (la simetría conjugada frente a $A^\dagger = A$ ).

Ejemplo 13.11 (Una matriz unitaria diagonalizada)

$U = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ \iu & 1 \end{pmatrix}$ (unitaria por el Ejercicio 13.2). Su polinomio característico es $\bigl(X - \frac{1}{\sqrt2}\bigr)^2 + \frac12$ , de raíces

\lambda_\pm = \frac{1 \pm \iu}{\sqrt2} = \eu^{\pm\iu\pi/4},

de módulo $1$ como prometía la Proposición 13.6, y con vectores propios ortonormales $\frac{1}{\sqrt2}(1, \pm1)$ . Así pues, $U = V\operatorname{diag}(\eu^{\iu\pi/4}, \eu^{-\iu\pi/4})V^\dagger$ : en la base adecuada, $U$ es un par de rotaciones planas de ángulos $\pm\frac\pi4$ ; una matriz de rotación real no tiene vectores propios reales, pero sobre $\C$ se escinde en dos escalares de módulo $1$ . Moraleja: los espectros hermíticos viven en la recta real y los unitarios en la circunferencia unidad; ambos son sombras de la misma normalidad, y la transformada de Cayley del Ejercicio 13.6 lleva una imagen a la otra.

Ejemplo 13.12 (La transformada de Cayley, calculada)

Ejecutemos el Ejercicio 13.6 sobre $H = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ (hermítica, de espectro $\{1, -1\}$ y vectores propios ortonormales $\frac{1}{\sqrt2}(1, \pm1)$ ). En la base de vectores propios todo es escalar: la transformada $\lambda \mapsto \frac{\lambda - \iu}{\lambda + \iu}$ manda

1 \longmapsto \frac{1 - \iu}{1 + \iu} = -\iu, \qquad -1 \longmapsto \frac{-1 - \iu}{-1 + \iu} = \iu ,

(multiplíquese por el conjugado del denominador), de modo que $U = (H - \iu I)(H + \iu I)^{-1}$ es la matriz unitaria de valores propios $\mp\iu$ sobre esos mismos vectores propios:

U = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\iu & 0\\ 0 & \iu\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -\iu\\ -\iu & 0\end{pmatrix} .

Comprobación: $U^\dagger U = I$ y $1 \notin \operatorname{Sp}U = \{\pm\iu\}$ , como promete la teoría. Moraleja: la recta real se aplica sobre la circunferencia unidad menos el punto $1$ ; valor propio a valor propio, la transformada de Cayley es la aplicación de Möbius $\frac{\lambda-\iu}{\lambda+\iu}$ , y las matrices no hacen más que seguir a su espectro.

Observación 13.13 (Errores frecuentes)

(i) Dónde cae la barra: este libro conjuga la primera entrada, así que las coordenadas son $\langle e_i, x\rangle$ y $\langle\lambda x, y\rangle = \conj\lambda\langle x, y\rangle$ ; muchos textos conjugan en cambio la segunda entrada: tradúzcase antes de comparar fórmulas, o los signos de $\iu$ se torcerán en silencio. (ii) La polarización compleja es más fuerte: sobre $\C$ , si $\langle x, u(x)\rangle = 0$ para todo $x$ , entonces $u = 0$ (desarróllese en $x + y$ y en $x + \iu y$ : se anulan tanto la parte real como la imaginaria de $\langle x, u(y)\rangle$ ); sobre $\R$ esto falla: la rotación de ángulo $\frac\pi2$ cumple $\langle x, u(x)\rangle = 0$ en todas partes. En consecuencia, y solo sobre $\C$ , “ $\langle x, u(x)\rangle \in \R$ para todo $x$ ” ya fuerza que $u$ sea hermítico. (iii) Normal real no significa diagonalizable: la matriz del Ejemplo 13.7 es normal pero no tiene ningún valor propio real; la diagonalización unitaria es un teorema sobre $\C$ , y sobre $\R$ solo se obtienen reducciones por bloques. (iv) Comprobar la unitariedad: $U^\dagger U = I$ significa que las columnas son ortonormales para el producto hermítico; probar con $UU^{\mathsf T}$ , u olvidar la conjugación en los productos de columnas, son las dos maneras clásicas de certificar una matriz equivocada.

Ejemplo 13.14 (Las isometrías son exactamente las unitarias)

Conservar la norma parece más débil que ser unitario, pero sobre $\C$ no lo es: si $\norm{u(x)} = \norm x$ para todo $x$ , entonces $u^*u = \mathrm{id}$ . En efecto, $v = u^*u - \mathrm{id}$ es hermítico y cumple $\langle x, v(x)\rangle = \norm{u(x)}^2 - \norm x^2 = 0$ para todo $x$ ; por polarización compleja (el error frecuente (ii) de arriba), una aplicación cuya “diagonal” se anula idénticamente es nula: $v = 0$ . En concreto, la polarización se lee

0 = \langle x + y, v(x+y)\rangle = \langle x, v(y)\rangle + \langle y, v(x)\rangle, \qquad 0 = \langle x + \iu y, v(x + \iu y)\rangle = \iu\langle x, v(y)\rangle - \iu\langle y, v(x)\rangle ,

y las dos líneas juntas fuerzan $\langle x, v(y)\rangle = 0$ para todos $x, y$ . Moraleja: por eso “unitario” puede comprobarse midiendo solo longitudes; una rigidez que el capítulo de Fourier explotará, donde conservar la energía $\norm f_2$ (Parseval) equivale a conservar todos los productos escalares de coeficientes.

Observación 13.15 (Perspectivas dentro de este volumen)

La maquinaria hermítica construida aquí se consume casi de inmediato. El capítulo de Fourier es geometría hermítica en dimensión infinita: las exponenciales $(e_n)$ forman una familia ortonormal para $\langle f, g\rangle = \frac{1}{2\pi}\int\conj fg$ , la desigualdad de Bessel es la estimación de proyección del Teorema 13.3 de este capítulo, y Parseval es su igualdad en el límite. La transformada de Fourier finita (Ejercicio 13.10) reaparece siempre que hay que diagonalizar una convolución. Y el problema de fin de semana de este capítulo —Courant–Fischer, Weyl, entrelazamiento— suministra la estabilidad de los valores propios que invoca el capítulo de ecuaciones diferenciales cuando afirma que las pequeñas perturbaciones de un sistema mueven poco sus frecuencias. Hacia atrás, todo lo de aquí es el espejo complejo del capítulo de formas cuadráticas: manténganse los dos diccionarios uno junto al otro ( $A^{\mathsf T} \leftrightarrow A^\dagger$ , ortogonal $\leftrightarrow$ unitario, Rayleigh real en ambos).

Observación 13.16 (Endomorfismos normales)

Sobre $\C$ , el enunciado definitivo es: $u$ es unitariamente diagonalizable si y solo si es normal ( $u^*u = uu^*$ ), lo que cubre de una vez las aplicaciones hermíticas, unitarias y antihermíticas. La demostración es un agradable refuerzo del argumento anterior (Ejercicio 13.8). Sobre $\R$ , en cambio, la normalidad solo da diagonalización por bloques (bloques de rotación): la geometría compleja es genuinamente más sencilla.

Observación 13.17 (Dónde se usa)

La teoría espectral hermítica es la matemática de la mecánica cuántica: los observables se modelan mediante operadores hermíticos (espectro real $=$ valores medibles) y la evolución temporal mediante operadores unitarios (conservación de la norma $=$ conservación de la probabilidad). Dentro de este libro, el capítulo de Fourier se apoya en la ortonormalidad de las exponenciales —un enunciado sobre el producto escalar hermítico— y la diagonalización de las matrices circulantes (Ejercicio 13.10) es la transformada de Fourier finita. El problema de fin de semana desarrolla el cálculo variacional de los valores propios (Courant–Fischer, Weyl, entrelazamiento), el pan de cada día del análisis numérico y de la física matemática; el volumen del tercer año lo extiende a los operadores compactos autoadjuntos sobre espacios de Hilbert.

13.3 Ejercicios

Ejercicio 13.1 ★

En $\C^2$ : calcula $\langle x, y\rangle$ , $\norm x$ y $\norm y$ para $x = (1, \iu)$ , $y = (\iu, 1)$ ; ¿son ortogonales? Da una base ortonormal que contenga $\frac{x}{\norm x}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 13.1.

$\langle x, y\rangle = \conj{1}\cdot\iu + \conj{\iu}\cdot 1 = \iu - \iu = 0$ : son ortogonales. $\norm x = \norm y = \sqrt{1 + 1} = \sqrt2$ . Base ortonormal: $\bigl(\frac{1}{\sqrt2}(1, \iu),\; \frac{1}{\sqrt2}(\iu, 1)\bigr)$ ; el propio par normalizado.

Ejercicio 13.2 ★

¿Cuáles son hermíticas? ¿unitarias? ¿normales?

\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ -\iu & 2 \end{pmatrix}, \qquad \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ \iu & 1\end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}.

Solución

Solución de Ejercicio 13.2.

La primera: coincide con su traspuesta conjugada (diagonal real y $\conj{\iu} = -\iu$ al intercambiar): es hermítica (luego normal); no es unitaria ( $A^\dagger A \neq I$ : las columnas no son unitarias).

La segunda: $A^\dagger A = \frac12\begin{pmatrix} 1 & -\iu\\ -\iu & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ \iu & 1\end{pmatrix} = \frac12\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} = I$ : es unitaria (luego normal); no es hermítica.

La tercera: $A^\dagger A = E_{22} \neq E_{11} = AA^\dagger$ : no es normal (luego no es ni hermítica ni unitaria); el contraejemplo nilpotente estándar.

Ejercicio 13.3 ★

Demuestra que toda matriz $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ se escribe de manera única $A = H + \iu K$ con $H, K$ hermíticas (las “partes real e imaginaria” $H = \frac{A + A^\dagger}{2}$ , $K = \frac{A - A^\dagger}{2\iu}$ ), y que $A$ es normal si y solo si $H$ y $K$ conmutan.

Solución

Solución de Ejercicio 13.3.

Unicidad: $A = H + \iu K$ con $H^\dagger = H$ y $K^\dagger = K$ fuerza $A^\dagger = H - \iu K$ , luego $H = \frac{A + A^\dagger}{2}$ y $K = \frac{A - A^\dagger}{2\iu}$ ; estas fórmulas son hermíticas (compruébese: $\bigl(\frac{A - A^\dagger}{2\iu}\bigr)^\dagger = \frac{A^\dagger - A}{-2\iu} = K$ ) y reconstruyen $A$ : existencia.

Normalidad: $A^\dagger A - AA^\dagger = (H - \iu K)(H + \iu K) - (H + \iu K)(H - \iu K) = 2\iu(HK - KH)$ : se anula si y solo si $HK = KH$ .

Ejercicio 13.4 ★★

Diagonaliza en una base ortonormal $A = \begin{pmatrix} 2 & \iu\\ -\iu & 2\end{pmatrix}$ y calcula $A^k$ para $k \in \N$ .

Solución

Solución de Ejercicio 13.4.

$\chi_A = (X-2)^2 - 1$ : valores propios $3$ y $1$ . Vectores propios, por cálculo directo:

A\begin{pmatrix}1\\ -\iu\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + \iu(-\iu)\\ -\iu + 2(-\iu)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ -3\iu \end{pmatrix} = 3\begin{pmatrix}1\\ -\iu\end{pmatrix}, \qquad A\begin{pmatrix}1\\ \iu\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + \iu\cdot\iu\\ -\iu + 2\iu\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ \iu\end{pmatrix}.

Base ortonormal de vectores propios: $u_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)$ (de valor propio $3$ ) y $u_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)$ (de valor propio $1$ ); la ortogonalidad, como en el Ejercicio 13.1. Potencias, mediante las proyecciones espectrales $A^k = 3^k u_1u_1^\dagger + 1^k\, u_2u_2^\dagger$ :

A^k = U\begin{pmatrix} 3^k & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}U^\dagger = \frac{3^k}{2}\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ -\iu & 1\end{pmatrix} + \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -\iu\\ \iu & 1\end{pmatrix} = \frac12\begin{pmatrix} 3^k + 1 & (3^k - 1)\iu\\ -(3^k-1)\iu & 3^k + 1 \end{pmatrix}.

(Compruébese $k = 1$ : se recupera $A$ .)

Ejercicio 13.5 ★★

Demuestra que $U(n)$ es compacto y que la aplicación valor propio es sobreyectiva: todo $\lambda$ de módulo $1$ aparece para alguna matriz unitaria. Demuestra que $\det U \in \mathbb{U}$ (la circunferencia unidad) para $U \in U(n)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 13.5.

Compacto: cerrado (imagen recíproca de $I$ por la aplicación continua $U \mapsto U^\dagger U$ ) y acotado (las columnas son vectores unitarios: entradas de módulo $\leq 1$ ) en $\mathcal{M}_n(\C) \simeq \R^{2n^2}$ .

Valores propios: $\operatorname{diag}(\lambda, 1, \dots, 1)$ es unitaria para todo $\abs\lambda = 1$ . Determinante: $\abs{\det U}^2 = \det U^\dagger \det U = \det(U^\dagger U) = 1$ (usando $\det A^\dagger = \conj{\det A}$ ): $\det U$ está en la circunferencia unidad.

Ejercicio 13.6 ★★

(Transformada de Cayley) Sea $H$ hermítica. Demuestra que $H + \iu I$ es invertible y que $U = (H - \iu I)(H + \iu I)^{-1}$ es unitaria, con $1 \notin \operatorname{Sp}(U)$ . (Trabaja espectralmente: en una base de vectores propios de $H$ todo es escalar.)

Solución

Solución de Ejercicio 13.6.

Por el teorema espectral, trabajemos en una base ortonormal de vectores propios de $H$ : todo se reduce a escalares $\lambda \in \R$ (los valores propios). $H + \iu I$ tiene valores propios $\lambda + \iu \neq 0$ : es invertible. $U$ tiene valores propios $\mu = \frac{\lambda - \iu}{\lambda + \iu}$ , de módulo $1$ ( $\abs{\lambda - \iu} = \abs{\lambda + \iu}$ para $\lambda$ real): $U^\dagger U = I$ se cumple porque $U$ es unitariamente diagonalizable con valores propios de módulo $1$ (es diagonal en la base ortonormal elegida). Y $\mu = 1$ obligaría a $-\iu = \iu$ : imposible, luego $1 \notin \operatorname{Sp} U$ . (La transformada de Cayley lleva lo hermítico a lo unitario menos un punto: la versión matricial de la aplicación de $\R$ a la circunferencia.)

Ejercicio 13.7 ★★

Para $A$ hermítica definida positiva ( $\langle x, Ax\rangle > 0$ para $x \neq 0$ ), demuestra que $\operatorname{Sp}(A) \subseteq \intoo{0}{\infty}$ , que $A = B^2$ para cierta $B$ hermítica definida positiva y que $\det A > 0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 13.7.

Para un par propio $Ax = \lambda x$ ( $x \neq 0$ ): $\lambda\norm x^2 = \langle x, Ax\rangle > 0$ , luego $\lambda > 0$ (ya era real, Proposición 13.6). Raíz cuadrada: en una base espectral, $B = U\operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_i})U^\dagger$ : hermítica, definida positiva y $B^2 = A$ . Determinante: producto de los valores propios positivos.

Ejercicio 13.8 ★★★

(Teorema espectral para endomorfismos normales) Sea $u$ normal sobre un espacio hermítico.

Demuestra que $\norm{u(x)} = \norm{u^*(x)}$ para todo $x$ y deduce $\ker(u - \lambda) = \ker(u^* - \conj\lambda)$ .
Demuestra que los subespacios propios de $u$ para valores propios distintos son ortogonales, y que el complemento ortogonal de un subespacio propio es estable por $u$ .
Concluye por inducción que $u$ es unitariamente diagonalizable; y recíprocamente.

Solución

Solución de Ejercicio 13.8.

$\norm{u(x)}^2 = \langle u(x), u(x)\rangle = \langle x, u^*u(x)\rangle = \langle x, uu^*(x)\rangle = \norm{u^*(x)}^2$ . Aplicando esto al endomorfismo normal $u - \lambda\,\mathrm{id}$ (su adjunto es $u^* - \conj\lambda$ , y la normalidad se hereda): $\norm{(u - \lambda)x} = \norm{(u^* - \conj\lambda)x}$ , luego los núcleos coinciden.
Para vectores propios $u(x) = \lambda x$ , $u(y) = \mu y$ ( $\lambda \neq \mu$ ): usando (1), $u^*(x) = \conj\lambda x$ ; entonces

$\lambda\langle y, x\rangle = \langle y, u(x)\rangle = \langle u^*(y), x\rangle = \langle \conj\mu\, y, x\rangle = \mu \langle y, x\rangle ,$

luego $\langle y, x\rangle = 0$ . Estabilidad de $E_\lambda^\perp$ : para $x \perp E_\lambda$ y $z \in E_\lambda$ , $\langle z, u(x)\rangle = \langle u^*(z), x\rangle = \langle\conj\lambda z, x\rangle = 0$ .
Inducción sobre la dimensión: sobre $\C$ , $u$ tiene un vector propio $e_1$ (normalícese); su complemento ortogonal es estable por $u$ (por (2)) y por $u^*$ (mismo argumento con los papeles intercambiados), de modo que la restricción es normal: hágase inducción y concaténense las bases ortonormales de vectores propios. Recíprocamente, un $u = UDU^\dagger$ unitariamente diagonalizable cumple $u^*u = U\conj D D U^\dagger = U D\conj D U^\dagger = uu^*$ : es normal.

Ejercicio 13.9 ★

Un endomorfismo es antihermítico cuando $u^* = -u$ . Demuestra que sus valores propios son imaginarios puros, que $u \mapsto \iu u$ es una biyección de los endomorfismos hermíticos sobre los antihermíticos, y que los endomorfismos antihermíticos son unitariamente diagonalizables (Ejercicio 13.8).

Solución

Solución de Ejercicio 13.9.

Valores propios: para $u(x) = \lambda x$ , $x \neq 0$ :

\lambda\norm x^2 = \langle x, u(x)\rangle = \langle u^*(x), x\rangle = -\langle u(x), x\rangle = -\conj{\langle x, u(x)\rangle} = -\conj\lambda\,\norm x^2 ,

luego $\lambda = -\conj\lambda$ : imaginario puro. Como $(\iu u)^* = -\iu\,u^*$ (el adjunto es semilineal en los escalares), de $u^* = u$ se sigue $(\iu u)^* = -\iu u$ : la aplicación $u \mapsto \iu u$ manda lo hermítico a lo antihermítico, con inversa $w \mapsto -\iu w$ : es una biyección. Un $u$ antihermítico cumple $u^*u = -u^2 = uu^*$ : es normal, luego unitariamente diagonalizable por el Ejercicio 13.8.

Ejercicio 13.10 ★★

(La transformada de Fourier finita) Sea $S$ el desplazamiento cíclico de $\C^n$ : $S(x_0, x_1, \dots, x_{n-1}) = (x_{n-1}, x_0, \dots, x_{n-2})$ , y sea $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ .

Prueba que $S$ es unitario y que los vectores $f_k = \frac{1}{\sqrt n}\bigl(1, \omega^k, \omega^{2k}, \dots, \omega^{(n-1)k}\bigr)$ , $0 \leq k < n$ , forman una base ortonormal de vectores propios: $Sf_k = \omega^{-k} f_k$ .
Deduce que toda matriz circulante $C = \sum_{j=0}^{n-1} c_jS^j$ es normal, se diagonaliza en la misma base y tiene valores propios $\widehat c(k) = \sum_j c_j\,\omega^{-jk}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 13.10.

$S$ permuta una base ortonormal: $\norm{Sx} = \norm x$ , luego $S$ es unitario. Indexando las coordenadas por $j = 0, \dots, n-1$ módulo $n$ : $(Sx)_j = x_{j-1}$ , de modo que para $(f_k)_j = \frac{\omega^{jk}}{\sqrt n}$ :

$(Sf_k)_j = \frac{\omega^{(j-1)k}}{\sqrt n} = \omega^{-k}\,(f_k)_j : \qquad Sf_k = \omega^{-k}f_k .$

Ortonormalidad: $\langle f_k, f_l\rangle = \frac1n \sum_j \omega^{j(l-k)} = \delta_{kl}$ (la suma geométrica de una raíz de la unidad no trivial se anula).
$Cf_k = \sum_j c_j S^jf_k = \bigl(\sum_j c_j\omega^{-jk}\bigr)f_k = \widehat c(k)\,f_k$ : toda circulante es diagonal en la base ortonormal de Fourier, luego normal, con espectro $\{\widehat c(k)\}$ . (El cambio de base es la transformada de Fourier discreta: la convolución se convierte en multiplicación.)

Ejercicio 13.11 ★★

Sea $P$ un endomorfismo idempotente ( $P^2 = P$ ) de un espacio hermítico. Demuestra que $P$ es la proyección ortogonal sobre $\operatorname{im} P$ si y solo si $P^* = P$ . Da la matriz de la proyección ortogonal sobre $\C v$ ( $\norm v = 1$ ), y sobre un subespacio de base ortonormal $(v_1, \dots, v_k)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 13.11.

( $\Leftarrow$ ) Sea $P^2 = P = P^*$ . Todo $v$ se descompone como $v = Pv + (v - Pv)$ con $Pv \in \operatorname{im} P$ y $P(v - Pv) = 0$ . Las dos piezas son ortogonales: para todos $x, y$ ,

\langle Px, (I - P)y\rangle = \langle x, P(I-P)y\rangle = \langle x, (P - P^2)y\rangle = 0 :

$\ker P \perp \operatorname{im} P$ , así que $P$ es la proyección ortogonal sobre su imagen. ( $\Rightarrow$ ) Si $P$ es la proyección ortogonal sobre $F = \operatorname{im}P$ : para todos $x, y$ , $\langle Px, y\rangle = \langle Px, Py\rangle$ (la componente $y - Py \perp F$ desaparece) y, simétricamente, $\langle x, Py\rangle = \langle Px, Py\rangle$ ; luego $\langle Px, y\rangle = \langle x, Py\rangle$ , es decir, $P^* = P$ . Matrices: sobre $\C v$ ( $\norm v = 1$ ): $Px = v\,\langle v, x\rangle$ , o sea, $P = vv^\dagger$ ; sobre $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_k)$ ortonormal: $P = \sum_i v_iv_i^\dagger$ .

Ejercicio 13.12 ★★★

(Proyectores espectrales por interpolación) Sea $A$ hermítica con valores propios distintos $\lambda_1, \dots, \lambda_p$ y descomposición en subespacios propios $E = \bigoplus_i E_i$ . Definimos los polinomios de Lagrange $L_i(X) = \prod_{j\neq i}\frac{X - \lambda_j}{\lambda_i - \lambda_j}$ . Demuestra que $P_i = L_i(A)$ es la proyección ortogonal sobre $E_i$ , que $P_iP_j = 0$ para $i \neq j$ , que $\sum_i P_i = I$ y que $A = \sum_i \lambda_iP_i$ (la descomposición espectral); expresa $f(A)$ en términos de los $P_i$ para un polinomio $f$ cualquiera.

Solución

Solución de Ejercicio 13.12.

Diagonalícese $A = U D U^\dagger$ (teorema espectral), con $D$ diagonal de entradas entre los $\lambda_i$ . Entonces $P_i = L_i(A) = U L_i(D)U^\dagger$ , y $L_i(D)$ es diagonal de entradas $L_i(\lambda_j) = \delta_{ij}$ : unos exactamente en las posiciones de $E_i$ . Así, $P_i$ es hermítica ( $L_i$ real, $D$ real), idempotente, de imagen $E_i$ y núcleo $\bigoplus_{j\neq i}E_j = E_i^\perp$ (por la ortogonalidad de los subespacios propios): es la proyección ortogonal sobre $E_i$ (Ejercicio 13.11). Los patrones diagonales disjuntos dan $P_iP_j = 0$ ( $i \neq j$ ); $\sum_i L_i = 1$ (grado $< p$ y valor $1$ en $p$ puntos), luego $\sum P_i = I$ ; y $\sum_i \lambda_iL_i(\lambda_j) = \lambda_j$ da $A = \sum \lambda_iP_i$ . Para un polinomio $f$ cualquiera, $f(D)$ tiene diagonal $f(\lambda_j)$ , de modo que

f(A) = \sum_{i=1}^{p} f(\lambda_i)\,P_i :

las funciones de $A$ se calculan espectralmente; es el cálculo que el volumen del tercer año extiende a $f$ continuas y más allá.

13.4 Problema: Courant–Fischer, Weyl y el cálculo de valores propios

Problema 13.1

Los valores propios de una matriz hermítica no son solo raíces de un polinomio: son soluciones de problemas de optimización. Ese punto de vista variacional —los cocientes de Rayleigh y el teorema mín-máx de Courant–Fischer— hace que los valores propios sean comparables, estables y calculables, y este problema recoge sus cosechas clásicas: las desigualdades de perturbación de Weyl, el entrelazamiento de Cauchy, las desigualdades de trazas de Schur y de Ky Fan, la monotonía de la raíz cuadrada matricial y el espectro del laplaciano discreto. En todo el problema, $A, B, E$ son hermíticas sobre $E = \C^n$ con valores propios listados en orden decreciente $\lambda_1(A) \geq \dots \geq \lambda_n(A)$ , y $R_A(x) = \frac{\langle x, Ax\rangle} {\langle x, x\rangle}$ para $x \neq 0$ es el cociente de Rayleigh.

Parte I — Cocientes de Rayleigh y mín-máx. Fijemos una base ortonormal de vectores propios $(e_1, \dots, e_n)$ , $Ae_i = \lambda_ie_i$ .

Prueba que $R_A(x)$ es real y que

$\lambda_n \leq R_A(x) \leq \lambda_1 \qquad (x \neq 0),$

alcanzándose ambas cotas: $\lambda_1 = \max R_A$ y $\lambda_n = \min R_A$ .
Prueba que los puntos críticos de $R_A$ son exactamente los vectores propios de $A$ (desarrolla $t \mapsto R_A(x + tv)$ en $t = 0$ para $v$ arbitrario y sustituye después $v$ por $\iu v$ ).
Sean $V_k = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_k)$ y $W_k = \operatorname{Vect}(e_k, \dots, e_n)$ . Prueba que

$\min_{x \in V_k\setminus\{0\}} R_A(x) = \lambda_k = \max_{x \in W_k\setminus\{0\}} R_A(x) .$
Demuestra el teorema de Courant–Fischer: para $1 \leq k \leq n$ ,

$\lambda_k = \max_{\dim V = k}\;\min_{x \in V\setminus\{0\}} R_A(x) = \min_{\dim W = n-k+1}\;\max_{x \in W\setminus\{0\}} R_A(x)$

(para todo $V$ de dimensión $k$ : $V \cap W_k \neq \{0\}$ por Grassmann, luego $\min_V R_A \leq \lambda_k$ ; la pregunta 3 muestra que la cota se alcanza).
(Monotonía) Escribimos $A \leq B$ cuando $B - A$ es semidefinida positiva. Deduce de la pregunta 4 que $A \leq B$ implica $\lambda_k(A) \leq \lambda_k(B)$ para todo $k$ .

Parte II — Las desigualdades de Weyl.

Prueba que dos subespacios $V, W \subseteq \C^n$ con $\dim V + \dim W > n$ se cortan de manera no trivial, y generaliza: $\dim(V_1 \cap V_2 \cap V_3) \geq \dim V_1 + \dim V_2 + \dim V_3 - 2n$ .
Demuestra la desigualdad de Weyl: para $i + j - 1 \leq n$ ,

$\lambda_{i+j-1}(A + B) \leq \lambda_i(A) + \lambda_j(B)$

(corta los subespacios $W_i(A)$ , $W_j(B)$ y $V_{i+j-1}(A+B)$ de la pregunta 3 y cuenta dimensiones).
Define $\vertiii{E}_2 = \max_{\norm x = 1}\norm{Ex}$ y prueba que $\vertiii E_2 = \max_k\abs{\lambda_k(E)}$ para $E$ hermítica. Deduce el teorema de perturbación de Weyl:

$\bigl|\lambda_k(A + E) - \lambda_k(A)\bigr| \leq \vertiii{E}_2 \qquad (1 \leq k \leq n) :$

cada valor propio es una función $1$ -lipschitziana de la matriz.
(Perturbaciones de rango uno) Sea $P$ hermítica semidefinida positiva de rango $1$ . Prueba que

$\lambda_k(A) \leq \lambda_k(A + P) \leq \lambda_{k-1}(A) \qquad (2 \leq k \leq n),$

junto con $\lambda_1(A) \leq \lambda_1(A+P)$ : los nuevos valores propios se entrelazan con los antiguos.
Comprueba numéricamente la pregunta 8: $A = \begin{pmatrix} 2 & \iu\\ -\iu & 2\end{pmatrix}$ (Ejercicio 13.4: espectro $\{3, 1\}$ ) y $E = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ (espectro $\{1, -1\}$ ): calcula el espectro de $A + E$ y los dos miembros de la desigualdad.

Parte III — Entrelazamiento y desigualdades de trazas.

(Entrelazamiento de Cauchy) Sea $B$ la submatriz principal dominante de tamaño $(n-1)\times(n-1)$ de $A$ . Demuestra que

$\lambda_{k+1}(A) \leq \lambda_k(B) \leq \lambda_k(A) \qquad (1 \leq k \leq n-1)$

(considera $\C^{n-1} \subseteq \C^n$ ; sobre él, $R_B$ es la restricción de $R_A$ ; aplica Courant–Fischer en los dos niveles).
Itera: para una submatriz principal $B$ de tamaño $n - m$ , $\lambda_{k+m}(A) \leq \lambda_k(B) \leq \lambda_k(A)$ .
(Schur) Sean $d_1 \geq d_2 \geq \dots \geq d_n$ las entradas diagonales de $A$ , ordenadas. Demuestra, para todo $k$ , que

$\sum_{i=1}^{k} d_i \leq \sum_{i=1}^{k}\lambda_i(A),$

con igualdad en $k = n$ (la traza) (las $k$ entradas diagonales elegidas forman una submatriz principal $k\times k$ ; acota su traza mediante la pregunta 12).
(Ky Fan) Demuestra que

$\sum_{i=1}^{k}\lambda_i(A) = \max\Bigl\{\sum_{i=1}^{k}\langle x_i, Ax_i\rangle : (x_1, \dots, x_k) \text{ ortonormal}\Bigr\} .$
Verifica las preguntas 11 y 13 sobre

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 2\end{pmatrix} \qquad \bigl(\operatorname{Sp} = \{2 - \sqrt2,\ 2,\ 2+\sqrt2\}\bigr)$

frente a su bloque dominante $2\times2$ (de espectro $\{1, 3\}$ ) y a su diagonal.

Parte IV — El orden de Loewner. $A \leq B$ sigue significando que $B - A$ es semidefinida positiva; todas las matrices de esta parte son hermíticas.

Prueba que $A \leq B$ implica $a_{ii} \leq b_{ii}$ para todo $i$ , $\operatorname{tr} A \leq \operatorname{tr} B$ y $C^\dagger AC \leq C^\dagger BC$ para toda matriz compleja $C$ .
Prueba que elevar al cuadrado no es monótono: para

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix},$

comprueba que $0 \leq A \leq B$ pero $A^2 \not\leq B^2$ .
Demuestra que la raíz cuadrada sí es monótona: $0 \leq A \leq B$ implica $\sqrt A \leq \sqrt B$ (sea $\mu$ un valor propio de $\sqrt B - \sqrt A$ con vector propio unitario $v$ ; calcula $\langle v, (B - A)v\rangle = \mu\bigl(\langle v, \sqrt B\,v\rangle + \langle v, \sqrt A\,v\rangle\bigr)$ y discute).
Demuestra que la inversión es antítona sobre las matrices definidas positivas: $0 < A \leq B$ implica $B^{-1} \leq A^{-1}$ (hágase la congruencia por $A^{-1/2}$ para reducirse a $I \leq M \Rightarrow M^{-1} \leq I$ , que es escalar en una base espectral).
Sean $A, B$ definidas positivas. Prueba que los valores propios de $AB$ (¡no hermítica en general!) son reales y positivos, y que

$\lambda_{\max}(AB) \leq \lambda_{\max}(A)\,\lambda_{\max}(B)$

(conjuga por $\sqrt A$ : $AB \sim \sqrt A\,B\sqrt A$ ).

Parte V — El laplaciano discreto, resuelto. Sea $T_n$ la matriz tridiagonal $n \times n$ con $2$ en la diagonal y $-1$ en las dos diagonales adyacentes.

Con $\theta_k = \frac{k\pi}{n+1}$ , comprueba que los vectores $v_k = \bigl(\sin(j\theta_k)\bigr)_{1\leq j\leq n}$ cumplen $T_nv_k = (2 - 2\cos\theta_k)\,v_k$ (identidad de producto a suma; compruébense las filas de los extremos, $j = 1, n$ ). Concluye que

$\operatorname{Sp}(T_n) = \Bigl\{4\sin^2 \frac{k\pi}{2(n+1)} : 1 \leq k \leq n\Bigr\},$

todos simples y positivos: $T_n$ es definida positiva.
(Un potencial) Para una matriz diagonal real $D = \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)$ , encierra el espectro: para todo $k$ ,

$\lambda_k(T_n) + \min_i d_i \;\leq\; \lambda_k(T_n + D) \;\leq\; \lambda_k(T_n) + \max_i d_i .$
Comprueba explícitamente el entrelazamiento de Cauchy entre $T_3$ y $T_2$ (de espectros $\{2 \pm \sqrt2, 2\}$ y $\{1, 3\}$ ) e interprétalo: $T_2$ es $T_3$ tras suprimir un extremo del camino.
Prueba que los valores propios extremos cumplen, cuando $n \to \infty$ ,

$\lambda_{\min}(T_n) = 4\sin^2\frac{\pi}{2(n+1)} \sim \frac{\pi^2}{(n+1)^2}, \qquad \lambda_{\max}(T_n) \to 4 ,$

de modo que el número de condición $\kappa_n = \lambda_{\max}/\lambda_{\min}$ crece como $\frac{4(n+1)^2}{\pi^2}$ : discretizar una derivada segunda sobre una malla cada vez más fina está intrínsecamente mal condicionado.
Síntesis. Una frase para cada punto: (i) por qué es la caracterización variacional, y no el polinomio característico, lo que hace estables a los valores propios (preguntas 8–9); (ii) qué preguntas usaron solo $\lambda_1 = \max R_A$ y cuáles necesitaron el mín-máx completo; (iii) qué añade a la historia el orden de Loewner; (iv) dónde reaparecen estas herramientas (análisis numérico de las matrices de rigidez de la pregunta 24; teoría cuántica de perturbaciones; y, en el volumen del tercer año, el principio mín-máx para operadores compactos autoadjuntos).

Solución

Solución de Problema 13.1.

1. $\conj{\langle x, Ax\rangle} = \langle Ax, x\rangle = \langle x, A^*x\rangle = \langle x, Ax\rangle$ : es real. Escribiendo $x = \sum c_ie_i$ :

R_A(x) = \frac{\sum_i\lambda_i\abs{c_i}^2} {\sum_i\abs{c_i}^2} ,

una media ponderada de los valores propios: está en $\intcc{\lambda_n}{\lambda_1}$ , con las cotas alcanzadas en $e_1$ y $e_n$ .

2. Para $t$ real y $v$ cualquiera, desarróllese $R_A(x + tv) = \frac{N(t)}{D(t)}$ con

N(t) = \langle x, Ax\rangle + 2t\Re\langle v, Ax\rangle + t^2\langle v, Av\rangle, \quad D(t) = \norm x^2 + 2t\Re\langle v, x\rangle + t^2\norm v^2 .

La derivada en $t = 0$ es

\frac{2}{\norm x^2}\, \Re\bigl\langle v,\ Ax - R_A(x)\,x\bigr\rangle .

Se anula para todo $v$ si y solo si $\Re\langle v, w\rangle = 0$ para todo $v$ , donde $w = Ax - R_A(x)x$ ; sustituir $v$ por $\iu v$ mata también la parte imaginaria: $w = 0$ , es decir, $Ax = R_A(x)x$ . Los puntos críticos de $R_A$ son exactamente los vectores propios, con valor crítico el valor propio.

3. Para $x = \sum_{i\leq k}c_ie_i \in V_k$ , $R_A(x)$ es una media ponderada de $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ , luego $\geq \lambda_k$ , con igualdad en $e_k$ : $\min_{V_k} R_A = \lambda_k$ . Simétricamente, sobre $W_k$ la media involucra $\lambda_k, \dots, \lambda_n$ : $\max_{W_k}R_A = \lambda_k$ .

4. Sea $\dim V = k$ . Entonces $\dim V + \dim W_k = n + 1 > n$ , luego hay un $x \in V \cap W_k$ unitario, y $R_A(x) \leq \lambda_k$ (pregunta 3): $\min_{V}R_A \leq \lambda_k$ para todo $V$ así. Como $V_k$ alcanza $\lambda_k$ , el máx-mín vale $\lambda_k$ . La fórmula mín-máx es el mismo argumento con los papeles invertidos ( $\dim W = n - k + 1$ fuerza $W \cap V_k \neq \{0\}$ , luego $\max_W R_A \geq \lambda_k$ , alcanzado en $W_k$ ).

5. $R_B(x) = R_A(x) + \frac{\langle x, (B-A)x\rangle}{\norm x^2} \geq R_A(x)$ puntualmente. Tomando el $\min$ sobre cualquier $V$ de dimensión $k$ y después el $\max$ sobre $V$ : $\lambda_k(B) \geq \lambda_k(A)$ por la pregunta 4.

6. Grassmann: $\dim(V\cap W) = \dim V + \dim W - \dim(V + W) \geq \dim V + \dim W - n > 0$ . Aplicándolo dos veces:

\dim(V_1\cap V_2\cap V_3) \geq \dim(V_1\cap V_2) + \dim V_3 - n \geq \dim V_1 + \dim V_2 + \dim V_3 - 2n .

7. Los subespacios $W_i(A)$ , $W_j(B)$ (pregunta 3, para $A$ y para $B$ ) y $V_{i+j-1}(A+B)$ tienen dimensiones $(n-i+1) + (n-j+1) + (i+j-1) = 2n + 1 > 2n$ : por la pregunta 6 hay un vector unitario $x$ en los tres. Entonces

\lambda_{i+j-1}(A+B) \leq R_{A+B}(x) = R_A(x) + R_B(x) \leq \lambda_i(A) + \lambda_j(B),

la desigualdad de la izquierda porque $x \in V_{i+j-1}(A+B)$ (pregunta 3), y la de la derecha por los dos $W$ .

8. En una base espectral de $E$ : $\norm{Ex}^2 = \sum \lambda_k(E)^2\abs{c_k}^2 \leq \max_k\lambda_k(E)^2\,\norm x^2$ , alcanzado en el vector propio correspondiente: $\vertiii E_2 = \max_k\abs{\lambda_k(E)}$ . Weyl con $j = 1$ : $\lambda_k(A+E) \leq \lambda_k(A) + \lambda_1(E) \leq \lambda_k(A) + \vertiii E_2$ ; y aplicándolo a $(A+E) + (-E)$ : $\lambda_k(A) \leq \lambda_k(A+E) + \vertiii E_2$ . Juntando ambas: $\abs{\lambda_k(A+E) - \lambda_k(A)} \leq \vertiii E_2$ .

9. Cotas inferiores: $P \geq 0$ y la pregunta 5. Superiores: $P$ tiene rango $1$ , luego $\lambda_2(P) = 0$ ; Weyl con $i = k-1$ , $j = 2$ :

\lambda_k(A + P) \leq \lambda_{k-1}(A) + \lambda_2(P) = \lambda_{k-1}(A) .

10. $A + E = \begin{pmatrix} 2 & 1+\iu\\ 1-\iu & 2\end{pmatrix}$ : polinomio característico $(2-\lambda)^2 - \abs{1+\iu}^2 = (2-\lambda)^2 - 2$ , espectro $\{2 + \sqrt2,\ 2 - \sqrt2\}$ . Frente a $\operatorname{Sp}A = \{3, 1\}$ :

\abs{(2+\sqrt2) - 3} = \abs{(2-\sqrt2) - 1} = \sqrt2 - 1 \approx 0.414 \leq 1 = \vertiii E_2 . \checkmark

11. Considérese $\C^{n-1} = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_{n-1})$ dentro de $\C^n$ (base canónica): para $x$ ahí, $\langle x, Bx\rangle = \langle x, Ax\rangle$ , de modo que $R_B$ es la restricción de $R_A$ . Cota superior: el máx-mín de $\lambda_k(B)$ recorre los subespacios de dimensión $k$ de $\C^{n-1}$ , una subfamilia de los de $\C^n$ : $\lambda_k(B) \leq \lambda_k(A)$ . Cota inferior: el mín-máx de $\lambda_k(B)$ recorre los subespacios de $\C^{n-1}$ de dimensión $(n-1)-k+1 = n-k$ ; cada uno es también un subespacio de $\C^n$ de dimensión $n - (k+1) + 1$ , luego su máximo es $\geq \lambda_{k+1}(A)$ : $\lambda_k(B) \geq \lambda_{k+1}(A)$ .

12. Suprímanse las filas y columnas de una en una y encadénese la pregunta 11: cada supresión desplaza en uno el índice inferior, lo que da $\lambda_{k+m}(A) \leq \lambda_k(B) \leq \lambda_k(A)$ .

13. Conjugar $A$ por una matriz de permutación (unitaria) no cambia ni el espectro ni el multiconjunto de entradas diagonales: supongamos que $d_1, \dots, d_k$ ocupan las primeras posiciones. La submatriz principal dominante $B$ de tamaño $k\times k$ tiene entonces $\operatorname{tr} B = \sum_{i\leq k}d_i$ , y sus valores propios cumplen $\mu_i(B) \leq \lambda_i(A)$ (pregunta 12): sumando, $\sum_{i\leq k}d_i \leq \sum_{i\leq k}\lambda_i(A)$ . En $k = n$ , ambos miembros valen $\operatorname{tr} A$ .

14. Tomando $x_i = e_i$ se obtiene el valor $\sum_{i\leq k}\lambda_i$ : el máximo es $\geq$ . Recíprocamente, una familia ortonormal $(x_1, \dots, x_k)$ se extiende a una base ortonormal, es decir, a una matriz unitaria $U$ cuyas primeras columnas son los $x_i$ ; entonces $\sum_i\langle x_i, Ax_i\rangle$ es la suma de las $k$ primeras entradas diagonales de $U^\dagger AU$ , que por la pregunta 13 es a lo sumo la suma de sus $k$ valores propios mayores, a saber, $\sum_{i\leq k}\lambda_i(A)$ . Se sigue el principio de máximo de Ky Fan.

15. Entrelazamiento ( $\operatorname{Sp}A = \{2+\sqrt2, 2, 2-\sqrt2\}$ , $\operatorname{Sp}B = \{3, 1\}$ ):

2 \leq 3 \leq 2 + \sqrt2, \qquad 2 - \sqrt2 \leq 1 \leq 2 . \checkmark

Schur con diagonal $(2,2,2)$ : $2 \leq 2+\sqrt2$ ; $4 \leq 4 + \sqrt2$ ; $6 = 6$ (la traza). ✓16. $b_{ii} - a_{ii} = \langle e_i, (B-A)e_i\rangle \geq 0$ ; sumando se obtienen las trazas. Para toda $C$ : $\langle x, C^\dagger(B - A)Cx\rangle = \langle Cx, (B-A)(Cx)\rangle \geq 0$ : luego $C^\dagger AC \leq C^\dagger BC$ .

17. $A \geq 0$ es claro; $B - A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ es semidefinida positiva (valores propios $2, 0$ ): $A \leq B$ . Pero

B^2 = \begin{pmatrix} 5 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix}, \qquad B^2 - A^2 = \begin{pmatrix} 4 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix}, \qquad \det(B^2 - A^2) = -1 < 0 :

no es semidefinida positiva. Elevar al cuadrado no respeta el orden de Loewner.

18. Sean $S = \sqrt A$ y $T = \sqrt B$ (hermíticas semidefinidas positivas, Ejercicio 13.7 extendido al caso semidefinido por la misma fórmula espectral). $T - S$ es hermítica; sea $\mu$ un valor propio cualquiera y $v$ un vector propio unitario. De $T^2 - S^2 = T(T - S) + (T - S)S$ :

0 \leq \langle v, (B - A)v\rangle = \langle Tv, (T-S)v\rangle + \langle (T-S)v, Sv\rangle = \mu\bigl(\langle v, Tv\rangle + \langle v, Sv\rangle\bigr)

( $\mu$ es real). Si $\langle v, Tv\rangle + \langle v, Sv\rangle > 0$ , entonces $\mu \geq 0$ . Si se anula, ambos términos no negativos se anulan; $\langle v, Tv\rangle = \norm{T^{1/2}v}^2 = 0$ fuerza $Tv = 0$ , e igualmente $Sv = 0$ , de modo que $\mu v = (T - S)v = 0$ y $\mu = 0$ . Todos los valores propios de $T - S$ son $\geq 0$ : $\sqrt A \leq \sqrt B$ .

19. Congruencia por $A^{-1/2}$ (pregunta 16): $I \leq M := A^{-1/2}BA^{-1/2}$ . Así pues, todos los valores propios de $M$ son $\geq 1$ , luego los de $M^{-1}$ están en $\intoc{0}{1}$ : $M^{-1} \leq I$ . Pero $M^{-1} = A^{1/2}B^{-1}A^{1/2}$ ; haciendo la congruencia de $M^{-1} \leq I$ por $A^{-1/2}$ se obtiene $B^{-1} \leq A^{-1}$ .

20. $\sqrt A^{-1}(AB)\sqrt A = \sqrt A\,B\sqrt A$ : luego $AB$ es semejante a la matriz hermítica definida positiva $\sqrt A\,B\sqrt A$ (definida: $\langle x, \sqrt AB\sqrt Ax\rangle = \langle \sqrt Ax, B\sqrt Ax\rangle > 0$ ): sus valores propios son reales y positivos. Además,

\langle x, \sqrt AB\sqrt Ax\rangle \leq \lambda_{\max}(B)\,\norm{\sqrt Ax}^2 = \lambda_{\max}(B)\,\langle x, Ax\rangle \leq \lambda_{\max}(A)\lambda_{\max}(B)\norm x^2 ,

de donde $\lambda_{\max}(AB) = \max R_{\sqrt AB\sqrt A} \leq \lambda_{\max}(A)\lambda_{\max}(B)$ .

21. Con $v_k = (\sin j\theta_k)_j$ y la identidad $\sin((j-1)\theta) + \sin((j+1)\theta) = 2\sin(j\theta)\cos\theta$ : para $2 \leq j \leq n-1$ ,

(T_nv_k)_j = -\sin((j{-}1)\theta_k) + 2\sin(j\theta_k) - \sin((j{+}1)\theta_k) = (2 - 2\cos\theta_k)\sin(j\theta_k) .

La fila $1$ funciona porque $\sin(0\cdot\theta_k) = 0$ , y la fila $n$ porque $\sin((n+1)\theta_k) = \sin(k\pi) = 0$ : las condiciones de contorno seleccionan exactamente $\theta_k = \frac{k\pi}{n+1}$ . Así pues, $T_nv_k = 4\sin^2\bigl(\frac{k\pi}{2(n+1)}\bigr)v_k$ ; los $n$ valores son distintos y están en $\intoo04$ , y los $v_k \neq 0$ : este es todo el espectro, positivo, así que $T_n$ es definida positiva.

22. $\min_id_i\,I \leq D \leq \max_id_i\,I$ , luego $T_n + \min_id_i\,I \leq T_n + D \leq T_n + \max_id_i\,I$ (sumar $T_n$ conserva el orden); la pregunta 5 y $\lambda_k(T_n + cI) = \lambda_k(T_n) + c$ dan el encaje.

23. $T_2 = \begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 & 2\end{pmatrix}$ tiene espectro $\{3, 1\}$ , y

2 - \sqrt2 \;\leq\; 1 \;\leq\; 2 \;\leq\; 3 \;\leq\; 2 + \sqrt2 :

entrelazamiento de Cauchy, verificado. (Son los mismos espectros que en la pregunta 15: conjugar por $\operatorname{diag}(1,-1,1)$ cambia el signo de las entradas fuera de la diagonal.) Lectura en términos de grafos: $T_2$ es la matriz de tipo laplaciano del camino tras suprimir el último vértice; una submatriz principal, exactamente la situación de la pregunta 11.

24. Los valores propios extremos se comportan como

\lambda_{\min}(T_n) = 4\sin^2\frac{\pi}{2(n+1)} \sim \frac{\pi^2}{(n+1)^2}, \qquad \lambda_{\max}(T_n) = 4\cos^2\frac{\pi}{2(n+1)} \longrightarrow 4 .

Por tanto,

\kappa_n = \frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} \sim \frac{4(n+1)^2}{\pi^2} :

cuanto más fina es la malla, peor condicionada está la derivada segunda discreta; un hecho que guía el diseño del álgebra lineal numérica.

25. (i) Las raíces del polinomio característico pueden moverse desaforadamente bajo perturbaciones de una matriz general, pero la caracterización mín-máx encierra cada valor propio hermítico entre valores explícitos de optimización, lo que fuerza la estabilidad $1$ -lipschitziana de las preguntas 8–9. (ii) Las preguntas 1, 5 y 16–20 usaron solo los valores extremos de Rayleigh; Weyl, el entrelazamiento, Schur y Ky Fan (preguntas 7–14) necesitaron de verdad el mín-máx completo sobre subespacios. (iii) El orden de Loewner convierte estas desigualdades escalares en un cálculo de desigualdades matriciales, con trampas reales (pregunta 17) y teoremas reales (preguntas 18–19). (iv) Estas herramientas son el pan de cada día del análisis numérico (las matrices de rigidez de la pregunta 24), de la teoría cuántica de perturbaciones (Weyl: los niveles de energía se desplazan a lo sumo la norma de la perturbación) y del principio mín-máx para operadores compactos autoadjuntos del volumen del tercer año.