¿Qué es aplicación lineal?

Ejemplo 20.8 (Construir una aplicación a medida)

Constrúyase $u \in \mathcal{L}(\R^3)$ con $\ker u = \operatorname{Vect}(1,1,1)$ y $\operatorname{im} u = \{z = 0\}$. Primero, coherencia: el teorema del rango exige $1 + 2 = 3$ — cuadra, así que puede existir solución. Elíjase una base adaptada al núcleo, digamos $\bigl((1,1,1),\ e_1,\ e_2\bigr)$ (Ejemplo 19.7), y prescríbanse las imágenes (Proposición 20.2):

Entonces $\ker u \supseteq \operatorname{Vect}(1,1,1)$ y $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}(e_1, e_2) = \{z = 0\}$; y el teorema del rango fuerza $\dim\ker u = 1$, de modo que el núcleo es exactamente la recta prescrita. Explícitamente, descomponiendo $(x, y, z) = z(1,1,1) + (x - z)e_1 + (y - z)e_2$:

La receta se generaliza: existe una aplicación lineal con núcleo prescrito $N$ e imagen prescrita $I$ exactamente cuando $\dim N + \dim I = \dim E$ — la necesidad es el teorema del rango y la suficiencia es esta construcción.

Ejemplo 20.10 (La interpolación, estructuralmente)

Fíjense $x_0, \dots, x_n$ distintos y sea $u \colon \R_n[X] \to \R^{n+1}$, $P \mapsto (P(x_0), \dots, P(x_n))$: lineal. Su núcleo es $\{P : \deg P \leq n,\ n+1 \text{ raíces}\} = \{0\}$ (Corolario 8.8). Dimensiones iguales $n + 1$: $u$ es un isomorfismo — la existencia y la unicidad del interpolador de Lagrange (Teorema 8.23) en una línea.

El mismo patrón de una línea trata datos que mezclan valores y derivadas: $v \colon \R_3[X] \to \R^4$, $P \mapsto \bigl(P(0), P'(0), P(1), P'(1)\bigr)$ es lineal, y su núcleo consta de los polinomios de grado $\leq 3$ con raíces dobles en $0$ y en $1$, es decir, divisibles por $X^2(X-1)^2$, de grado $4$: solo $P = 0$. Otra vez dimensiones iguales: cada cuádrupla de datos $(P(0), P'(0), P(1), P'(1))$ la realiza exactamente una cúbica — la interpolación de Hermite, concedida por un cálculo de núcleo antes de escribir ninguna fórmula (el problema del fin de semana del Capítulo 22 se encuentra con su determinante).

Ejemplo 20.11 (El teorema del rango en acción: el operador de diferencias)

Sea $\Delta \colon \R_n[X] \to \R_n[X]$, $P \mapsto P(X+1) - P(X)$: lineal. Núcleo: si $\Delta P = 0$, entonces $P(0) = P(1) = P(2) = \dots$, luego $P - P(0)$ tiene infinitas raíces y se anula (Corolario 8.8): $\ker\Delta$ es la recta de las constantes. Teorema del rango: $\operatorname{rk}\Delta = (n + 1) - 1 = n$. Y como $\deg \Delta P < \deg P$ para $P$ no constante (los términos de cabeza se cancelan), $\operatorname{im}\Delta \subseteq \R_{n-1}[X]$, que tiene dimensión exactamente $n$: la inclusión es una igualdad. Conclusión, sin calcular ninguna imagen recíproca: todo polinomio $Q$ de grado $\leq n - 1$ es una diferencia $Q = P(X+1) - P(X)$ — la primitiva discreta existe. (Compárese con el problema del fin de semana del Capítulo 18, donde $\Delta$ se invirtió explícitamente en la base binomial.)