Matemáticas universitarias — Grado 1 · Bachelor Year 1

20Aplicaciones lineales

Los aplicaciones que vale la pena estudiar entre espacios vectoriales son los compatibles con la estructura: aplicaciones lineales. Sus dos fundamentales subespacios — núcleo y imagen — miden la inyectividad y sobreyectividad, y en dimensión finita el teorema de nulidad de rango une sus tamaños en una ley de conservación. Proyecciones y simetrías, luego formas lineales y hiperplanos, cierran el capítulo.

20.1 Definiciones y primeras propiedades.

Definición 20.1

Sea $E, F$ espacios vectoriales $K$ . Una aplicación $u \colon E \to F$ es lineal cuando

\forall x, y \in E,\ \forall \lambda \in K, \qquad u(x + \lambda y) = u(x) + \lambda u(y).

Luego $u(0) = 0$ y $u(\sum \lambda_i x_i) = \sum \lambda_i u(x_i)$ . El conjunto $\mathcal{L}(E, F)$ del aplicaciones lineal es en sí mismo un espacio vectorial; La composición del lineal aplicaciones es lineal y bilineal en el par. un endomorfismo es un $E \to E$ lineal; un isomorfismo es un biyectivo lineal aplicación (su inversa es entonces automáticamente lineal); $u^{-1}$ de un isomorfismo, composiciones de isomorfismos, son isomorfismos.

Demostración de que la inversa es lineal. Sea $u$ lineal biyectivo, $y, y' \in F$ y $\lambda \in K$ . Ponga $x = u^{-1}(y)$ y $x' = u^{-1}(y')$ . entonces

u\bigl(x + \lambda x'\bigr) = u(x) + \lambda u(x') = y + \lambda y' ,

y aplicando $u^{-1}$ en ambos extremos: $u^{-1}(y + \lambda y') = x + \lambda x' = u^{-1}(y) + \lambda\,u^{-1}(y')$ . Nada sobre Se calculó $u^{-1}$ : la linealidad se transporta a través del propiedad definitoria de $u$ sola — un patrón que vale la pena recordar, ya que la estructura a menudo viaja a lo largo de biyecciones de forma gratuita. ∎

Proposición 20.2 (Una aplicación lineal queda determinada por la base)

Sea $(e_1, \dots, e_n)$ un base de $E$ y $(v_1, \dots, v_n)$ vectores arbitrarios de $F$ . Hay exactamente una aplicación lineal $u \colon E \to F$ con $u(e_i) = v_i$ para todos los $i$ . Además:

u \text{ injective} \iff (v_i) \text{ free}; \qquad u \text{ surjective} \iff (v_i) \text{ generates } F .

Demostración. Existencia/singularidad: cada $x$ tiene coordenadas $x = \sum \lambda_i e_i$ (Proposición 18.15); linealidad fuerza $u(x) = \sum \lambda_i v_i$ , y esta fórmula define un aplicación lineal.

Inyectividad: por Proposición 20.5 más abajo, $u$ es inyectiva si y solo si su núcleo es trivial. Ahora bien, $u\bigl(\sum\lambda_i e_i\bigr) = 0$ significa exactamente $\sum\lambda_i v_i = 0$ . Si $(v_i)$ es libre, esto fuerza cada $\lambda_i = 0$ , es decir el núcleo se reduce a $\{0\}$ : inyectiva. Si $(v_i)$ es ligada, una relación no trivial $\sum\lambda_i v_i = 0$ produce el vector no nulo $\sum\lambda_i e_i$ en el núcleo ( $(e_i)$ es libre): no es inyectiva. Las dos condiciones coinciden término a término.

Sobreyectividad: la imagen de $u$ es el conjunto de todas las $\sum\lambda_i v_i$ , es decir exactamente $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_n)$ , que coincide con $F$ si y solo si la familia genera. ∎

Definición 20.3 (Kernel e imagen)

Para $u \in \mathcal{L}(E, F)$ :

\ker u = \{x \in E : u(x) = 0\} \subseteq E, \qquad \operatorname{im} u = u(E) \subseteq F ,

tanto subespacios (verificación directa con el criterio).

Método 20.4 (Kernel e imagen, en la práctica)

Núcleo: escribe $u(x) = 0$ como sistema en el coordenadas (o coeficientes) de $x$ , resolver y parametrizar — el núcleo sale con un base adjunto (Método 19.10). Imagen: es el engendrado del imágenes de cualquier familia generadora de $E$ — normalmente un base, por lo que $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}\bigl(u(e_1), \dots, u(e_n)\bigr)$ ; entonces elimine imágenes redundante para extraer un base. Atajo: Calcula cuál de los dos es más fácil y obtén el del otro. dimensión libre por rango - nulidad (Teorema 20.7); cuando un candidato plausible Se conoce subespacio para imagen, comparando las actualizaciones de dimensiones la fácil inclusión a la igualdad (Teorema 19.14). Ambos atajos se utilizan en Ejemplo 20.11 a continuación.

Proposición 20.5

$u$ is inyectivo $\iff$ $\ker u = \{0\}$ ; $u$ is sobreyectivo $\iff$ $\operatorname{im} u = F$ .

Demostración. En cuanto a grupos (Proposición 7.11): $u(x) = u(y) \iff u(x - y) = 0 \iff x - y \in \ker u$ . El segundo punto es el definición. ∎

20.2 El teorema de rango-nulidad

Definición 20.6

El rango de $u \in \mathcal{L}(E, F)$ (con $E$ de dimensión finita) es $\operatorname{rk} u = \dim \operatorname{im} u$ — también el rango de la familia $\bigl(u(e_1), \dots, u(e_n)\bigr)$ para cualquier base $(e_i)$ de $E$ .

Teorema 20.7 (rango–nulidad)

Sea $E$ de dimensión finita y $u \in \mathcal{L}(E, F)$ . Entonces

\dim E = \dim \ker u + \operatorname{rk} u .

Más precisamente, si $S$ es cualquier suplementario subespacio de $\ker u$ en $E$ , luego $u$ restringe a isomorfismo desde $S$ a $\operatorname{im} u$ .

Demostración. Deja que $S$ satisfaga a $E = \ker u \oplus S$ (Teorema 19.14), y sea $v \colon S \to \operatorname{im} u$ la restricción de $u$ .

$v$ is inyectivo: $\ker v = S \cap \ker u = \{0\}$ .

$v$ es sobreyectivo: cualquier $u(x)$ con $x = k + s$ ( $k \in \ker u$ , $s \in S$ ) es igual a $u(s) = v(s)$ .

Entonces $v$ es un isomorfismo; un isomorfismo envía un base a un base (Proposición 20.2), por lo que concluyen $\dim S = \dim\operatorname{im} u$ y $\dim E = \dim\ker u + \dim S$ . ∎

Ejemplo 20.8 (Construir una aplicación a partir de especificaciones)

Construya $u \in \mathcal{L}(\R^3)$ con $\ker u = \operatorname{Vect}(1,1,1)$ y $\operatorname{im} u = \{z = 0\}$ . La cordura primero: rango - demandas de nulidad $1 + 2 = 3$ — consistente, por lo que puede existir una solución. Elija un base adaptado a el núcleo, digamos $\bigl((1,1,1),\ e_1,\ e_2\bigr)$ (Ejemplo 19.7), y prescribir imágenes (Proposición 20.2):

u(1,1,1) = 0, \qquad u(e_1) = e_1, \qquad u(e_2) = e_2 .

Entonces $\ker u \supseteq \operatorname{Vect}(1,1,1)$ y $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}(e_1, e_2) = \{z = 0\}$ ; La nulidad de rango fuerza a $\dim\ker u = 1$ , por lo que núcleo es exactamente la línea prescrita. Explícitamente, descomponiendo $(x, y, z) = z(1,1,1) + (x - z)e_1 + (y - z)e_2$ :

u(x, y, z) = (x - z,\ y - z,\ 0).

La receta generaliza: una aplicación lineal con prescrito núcleo $N$ y imagen $I$ existe exactamente cuando $\dim N + \dim I = \dim E$ — necesidad es rango –nulidad, suficiencia es esto construcción.

Corolario 20.9

Si $\dim E = \dim F$ (finito), entonces para $u \in \mathcal{L}(E, F)$ :

u \text{ injective} \iff u \text{ surjective} \iff u \text{ bijective}.

En particular, esto es válido para los endomorfismos en dimensión finita. (Es falla en dimensión infinita: en $K[X]$ , el derivado es sobreyectivo pero no inyectivo, y $P \mapsto XP$ es inyectivo pero no sobreyectivo.)

Demostración. inyectivo $\iff \dim\ker u = 0 \iff \operatorname{rk} u = \dim E = \dim F \iff \operatorname{im} u = F$ (un subespacio de dimensión completa es todo, Teorema 19.14) $\iff$ sobreyectivo. ∎

Ejemplo 20.10 (Interpolación estructural)

Fíjense $x_0, \dots, x_n$ distintos y sea $u \colon \R_n[X] \to \R^{n+1}$ , $P \mapsto (P(x_0), \dots, P(x_n))$ : es lineal. Su núcleo es $\{P : \deg P \leq n,\ n+1 \text{ raíces}\} = \{0\}$ (Corolario 8.8). Las dimensiones coinciden ( $n+1$ ): $u$ es un isomorfismo — existencia y unicidad del interpolante de Lagrange (Teorema 8.23) de un golpe.

El mismo patrón unifilar maneja valores de mezcla de datos y derivados: $v \colon \R_3[X] \to \R^4$ , $P \mapsto \bigl(P(0), P'(0), P(1), P'(1)\bigr)$ es lineal y su núcleo consta de grado- $\leq 3$ polinomios con raíces dobles en $0$ y $1$ , es decir divisible por $X^2(X-1)^2$ de grado $4$ : sólo $P = 0$ . Dimensiones iguales nuevamente: cada cuádruple de datos $(P(0), P'(0), P(1), P'(1))$ se realiza exactamente en un cúbico — Interpolación de Hermite, otorgada por un cálculo núcleo antes cualquier fórmula está escrita (el problema del fin de semana de Capítulo 22 cumple con su determinante).

Ejemplo 20.11 (Rango - nulidad en funcionamiento: el operador de diferencia)

Sea $\Delta \colon \R_n[X] \to \R_n[X]$ , $P \mapsto P(X+1) - P(X)$ : lineal. Núcleo: si $\Delta P = 0$ , entonces $P(0) = P(1) = P(2) = \dots$ , entonces $P - P(0)$ tiene infinitas raíces y desaparece (Corolario 8.8): $\ker\Delta$ es la línea de constantes. Rango–nulidad: $\operatorname{rk}\Delta = (n + 1) - 1 = n$ . Desde $\deg \Delta P < \deg P$ para $P$ no constante (la parte superior términos cancelar), $\operatorname{im}\Delta \subseteq \R_{n-1}[X]$ , que tiene dimensión exactamente $n$ : la inclusión es una igualdad. Conclusión, sin cálculo de imágenes inversas: cada polinomio $Q$ de grado $\leq n - 1$ es una diferencia $Q = P(X+1) - P(X)$ — existe la antiderivada discreta. (Compare el problema de fin de semana de Capítulo 18, donde estaba $\Delta$ invertido explícitamente en el binomio base.)

Ejemplo 20.12 (Contabilidad de rangos en una composición)

En $\R_2[X]$ , compóngase el derivado $D(P) = P'$ (rango $2$ : imagen $\R_1[X]$ , núcleo las constantes) consigo mismo. Entonces $D \circ D = D^2$ es la aplicación $P \mapsto P''$ , con imagen $\R_0[X]$ : rango $1$ . Compárese con las cotas generales: la cota cruda da $\operatorname{rk} D^2 \leq \min(2, 2) = 2$ ; la fórmula exacta de Ejercicio 20.12 cuenta la pérdida con precisión,

\operatorname{rk} D^2 = \operatorname{rk} D - \dim\bigl(\ker D \cap \operatorname{im} D\bigr) = 2 - 1 = 1 ,

pues las constantes (núcleo del $D$ exterior) están dentro de $\R_1[X]$ (imagen del $D$ interior) con dimensión $1$ . El rango es perdido exactamente donde el núcleo externo tiende una emboscada al imagen interno — la frase para recordar cuando la composición rangos se porta mal.

Ejemplo 20.13 (Kernel e imagen del operador Euler)

En $\R_n[X]$ , dejemos que $u(P) = X\,P'$ (lineal: diferenciación y multiplicación por $X$ son). Núcleo: $XP' = 0$ fuerza a $P' = 0$ (un producto de polinomios desaparece sólo si un factor lo hace), entonces $\ker u$ es la línea de constantes. Imagen: en el monomio base,

u(X^k) = k\,X^{k} \qquad (k = 0, 1, \dots, n),

entonces $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}(X, 2X^2, \dots, nX^n) = \operatorname{Vect}(X, X^2, \dots, X^n)$ : el polinomios con término constante cero. Verificar contra rango - nulidad: $\operatorname{rk} u = (n + 1) - 1 = n$ , que efectivamente es el dimensión encontrada. Dos comentarios que vale la pena conservar. Primero, aquí $\operatorname{im} u \oplus \ker u = \R_n[X]$ — pero eso es un feliz accidente de este operador, no un teorema: para el $v(P) = P'$ en $\R_1[X]$ , $\ker v = \operatorname{im} v = \R_0[X]$ y la suma no es directa. En segundo lugar, la relación $u(X^k) = kX^k$ dice que cada monomio simplemente es reescalado por $u$ — un base adaptado al aplicación, el germen de la idea del valor propio desarrollado en el volumen Year 2.

20.3 Proyecciones y simetrías.

Definición 20.14

Sea $E = F \oplus G$ . El proyección sobre $F$ a lo largo $g$ aplicaciones $x = f + g$ (descomposición única) para $p(x) = f$ ; el simetría asociado es $s(x) = f - g$ . Ambos son lineal y $s = 2p - \mathrm{id}$ .

Teorema 20.15 (Caracterización algebraica)

Un endomorfismo $p$ es un proyección (en algún $F$ a lo largo algunos $G$ ) si y sólo si $p \circ p = p$ ; luego $F = \operatorname{im} p = \ker(p - \mathrm{id})$ y $G = \ker p$ .
Un endomorfismo $s$ es una simetría si y sólo si $s \circ s = \mathrm{id}$ ; luego $E = \ker(s - \mathrm{id}) \oplus \ker(s + \mathrm{id})$ .

Demostración. (1) A proyección satisface $p(f + g) = f$ y $p(f) = f$ : $p^2 = p$ . Por el contrario, sea $p^2 = p$ ; establezca $F = \operatorname{im} p$ , $G = \ker p$ . Cada $x$ escribe $x = p(x) + (x - p(x))$ con $p(x) \in F$ y $p\bigl(x - p(x)\bigr) = p(x) - p^2(x) = 0$ : $E = F + G$ . Si $y \in F \cap G$ : $y = p(z)$ y $p(y) = 0$ , entonces $y = p(z) = p^2(z) = p(y) = 0$ : suma directa y $p$ es proyección en $F$ a lo largo de $G$ . Finalmente en $F$ : $y = p(z)$ da $p(y) = y$ , por lo que $F \subseteq \ker(p - \mathrm{id})$ y, a la inversa, $p(y) = y$ pone $y$ en el imagen.

(2) La correspondencia $s = 2p - \mathrm{id}$ , $p = \frac{s + \mathrm{id}}2$ es una biyección entre endomorfismos, y bajo ella

s^2 = 4p^2 - 4p + \mathrm{id} = \mathrm{id} \iff 4p^2 = 4p \iff p^2 = p :

Las simetrías corresponden exactamente a proyecciones. Traduciendo el subespacios: $s(x) = x \iff p(x) = x$ , entonces $\ker(s - \mathrm{id}) = \operatorname{im} p = F$ ; y $s(x) = -x \iff 2p(x) = 0 \iff x \in \ker p = G$ , entonces $\ker(s + \mathrm{id}) = G$ . El suma directa $E = F \oplus G$ del punto (1) pasa a ser la descomposición anunciada en los vectores fijos y los vectores invertidos de $s$ . ∎

Ejemplo 20.16 (Una proyección y su simetría, explícitamente)

En $\R^2$ , proyecte sobre $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ a lo largo de $G = \operatorname{Vect}(0,1)$ . Descomponer $(x, y) = a(1,1) + b(0,1)$ : la primera coordenada da $a = x$ , la segunda $b = y - x$ . Por lo tanto

p(x, y) = (x, x), \qquad s(x, y) = 2p(x,y) - (x,y) = (x,\ 2x - y).

Verifique el álgebra: $p(p(x,y)) = p(x,x) = (x,x)$ y $s(s(x,y)) = s(x, 2x - y) = (x, 2x - (2x - y)) = (x, y)$ . Geométricamente, $s$ es la “reflexión oblicua” a través de la línea $y = x$ en el dirección vertical: fija $F$ puntualmente e invierte $G$ . tenia Si proyectamos el mismo $F$ a lo largo de $G' = \operatorname{Vect}(1,-1)$ , la fórmula cambiaría a $p'(x,y) = \bigl(\frac{x+y}2, \frac{x+y}2\bigr)$ : un proyección es determinado por su imagen y su núcleo, nunca por la imagen solo.

El proyección en F = Vect(1,1) junto G = Vect(0,1) y su simetría, en el punto M = (2,\ 0.5): deslizándose verticalmente,Mgolpea aF en p(M) = (2,2) y aterriza en s(M) = 2p(M) - M = (2,\ 3.5), muy por encima de F (medido a lo largo de G) como M estaba debajo. — El proyección en $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ junto $G = \operatorname{Vect}(0,1)$ y su simetría, en el punto $M = (2,\ 0.5)$ : deslizándose verticalmente, $M$ golpea a $F$ en $p(M) = (2,2)$ y aterriza en $s(M) = 2p(M) - M = (2,\ 3.5)$ , muy por encima de $F$ (medido a lo largo de $G$ ) como $M$ estaba debajo.

20.4 Formas lineales e hiperplanos.

Definición 20.17

Un forma lineal en $E$ es una aplicación lineal $\varphi \colon E \to K$ . A hiperplano de $E$ ( $\dim E = n$ ) es un subespacio de dimensión $n - 1$ .

Ejemplo 20.18 (Un formulario de evaluación y su hiperplano.)

En $\R_2[X]$ , la evaluación $\varphi(P) = P(2)$ es lineal forma, distinta de cero ( $\varphi(1) = 1$ ). Su núcleo es el hiperplano de polinomios que desaparece en $2$ , es decir, (teorema del factor, Teorema 8.7) los múltiplos de $X - 2$ dentro $\R_2[X]$ :

\ker\varphi = \operatorname{Vect}\bigl(X - 2,\ X(X - 2)\bigr), \qquad \dim = 2 .

En coordenadas en $(1, X, X^2)$ , $\varphi(a + bX + cX^2) = a + 2b + 4c$ : cada forma lineal en un espacio de dimensión finita es, una vez que se fija un base, una expresión lineal fija en el coordenadas — las formas son “vectores de fila”, como Capítulo 21 se hará literal y el coeficiente La fila aquí, $(1, 2, 4)$ , es una fila de Vandermonde: formularios de evaluación. Así es como funciona la teoría de interpolación del fin de semana de Capítulo 22. El problema entra en álgebra lineal.

Teorema 20.19

El hiperplanos de $E$ es exactamente el granos de lineal formas distinto de cero. Dos formas distintas de cero tienen el mismo núcleo si y sólo si son proporcionales.

Demostración. Si $\varphi \neq 0$ : $\operatorname{rk}\varphi = 1$ (imagen un valor distinto de cero subespacio de $K$ ), por lo que $\dim\ker\varphi = n - 1$ : a hiperplano. Por el contrario, sea $H$ un hiperplano, $(e_1, \dots, e_{n-1})$ un base. de $H$ completado por $e_n$ : la forma “última coordenada” tiene núcleo $H$ .

Las formas proporcionales comparten su núcleo. Por el contrario, supongamos $\ker\varphi = \ker\psi = H$ y elige $a \notin H$ : cada $x$ escribe $x = h + \lambda a$ (como $E = H \oplus Ka$ ), y

\varphi(x) = \lambda \varphi(a), \qquad \psi(x) = \lambda\psi(a):

entonces $\varphi = \frac{\varphi(a)}{\psi(a)}\,\psi$ . ∎

Ejemplo 20.20

En $K^n$ , hiperplano es una solución conjunto $\{a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = 0\}$ sin que todo $a_i$ sea cero — la familiar ecuación de a plano que pasa por el origen en $\R^3$ . En espacios funcionales, evaluación. los formularios $P \mapsto P(1)$ o $f \mapsto \int_0^1 f$ definen hiperplanos de $\R_n[X]$ , de $C(\intcc{0}{1})$ (cf. Ejercicio 19.6).

Ejemplo 20.21 (Un hiperplano, funcionó de tres maneras.)

Tome $\varphi(x, y, z) = x - 2y + 3z$ en $\R^3$ y $H = \ker\varphi$ . Base: resolver $x = 2y - 3z$ :

(2y - 3z,\ y,\ z) = y\,(2, 1, 0) + z\,(-3, 0, 1),

dos vectores libre: $\dim H = 2$ , un hiperplano, como Teorema 20.19 predice a partir de $\varphi \neq 0$ . Suplementario line: cualquier vector fuera de $H$ engendran uno, por ejemplo $a = (1, 0, 0)$ ( $\varphi(a) = 1 \neq 0$ ); el La descomposición de un $v$ arbitrario es explícita:

v = \underbrace{\bigl(v - \varphi(v)\,a\bigr)}_{\in\,H} + \underbrace{\varphi(v)\,a}_{\in\,\operatorname{Vect}(a)},

desde $\varphi\bigl(v - \varphi(v)a\bigr) = \varphi(v) - \varphi(v)\varphi(a) = 0$ . Proporcionalidad: si $\psi(x,y,z) = -2x + 4y - 6z$ , entonces $\psi = -2\varphi$ y ambos tienen núcleo $H$ ; por el contrario, cualquier forma que desaparezca en $H$ es un múltiplo de $\varphi$ (Ejercicio 20.8) — la ecuación de a hiperplano es único a escala, hecho utilizado constantemente para Planos en geometría.

Observación 20.22 (Errores comunes)

Núcleo and imagen live in different spaces: $\ker u \subseteq E$ , $\operatorname{im} u \subseteq F$ ; la suma $\ker u + \operatorname{im} u$ solo tiene sentido para endomorfismos, y aun así no es necesario que sea directo ( $u(x, y) = (y, 0)$ tiene $\ker u = \operatorname{im} u$ ; Ejercicio 20.7 caracteriza cuando se mantiene la franqueza). $u^2 = 0$ no significa $u = 0$ : el mismo $u(x,y) = (y, 0)$ cuadra a cero sin desaparecer — qué $u^2 = 0$ realmente dice que es $\operatorname{im} u \subseteq \ker u$ (Ejercicio 20.5). inyectivo $\iff$ sobreyectivo needs equal finito dimensiones: en $K[X]$ , el derivado es sobreyectivo y no inyectivo, $P \mapsto XP$ inyectivo y no sobreyectivo (Corolario 20.9); y entre espacios de diferente dimensiones, una implicación es simplemente imposible ( $\operatorname{rk} u \leq \min(\dim E, \dim F)$ ). Prescribing imágenes works on a base, not on any family: exigente $u(1, 0) = a$ , $u(0, 1) = b$ , $u(1, 1) = c$ sobredetermina $u$ a menos que $c = a + b$ ; una aplicación lineal es libre en un base, esclavizado en todos lados. Rango is not preserved by composition: sólo puede caer, $\operatorname{rk}(vu) \leq \min(\operatorname{rk} u, \operatorname{rk} v)$ (Ejercicio 20.4), con pérdida exacta medido en Ejercicio 20.12.

Observación 20.23 (Adónde van estas aplicaciones)

aplicaciones lineales están a punto de convertirse en matrices: una vez que las bases estén fijo, Capítulo 21 codifica cada $u \in \mathcal{L}(E, F)$ mediante una matriz rectangular, y la composición se convierte en la matriz producto — rango –nulidad impulsa la teoría de lineal sistemas en Capítulo 22. Proyecciones regreso en Capítulo 23 en su caso especial más útil, el ortogonal proyección, donde se elige el núcleo perpendicular al imagen. El siguiente problema del fin de semana empuja al álgebra del proyector hasta donde llegan las herramientas del primer año, hasta Lema de apropiado; el volumen Year 2 va más allá con la traza y con la teoría de valores propios, para la cual los proyectores sobre estables subespacios son los componentes básicos.

Observación 20.24 (Perspectivas dentro del Libro 3: rango–nulidad tres veces más)

La ley de conservación $\dim E = \dim\ker u + \operatorname{rk} u$ Se volverá a leer tres veces antes de que termine el volumen. en Capítulo 22 se convierte en la forma de la solución conjuntos: a sistema compatible con $p$ desconocidos y rango $r$ tiene una solución conjunto de dimensión $p - r$ — dimensión núcleo disfrazada. en Capítulo 23 se divide ortogonalmente, $\dim F + \dim F^\perp = \dim E$ , y potencia todos los cálculos de distancia. en el problema del fin de semana de Capítulo 25, es el contador de mínimos cuadrados: $n$ observaciones, $2$ ajustado parámetros, dimensiones residuales $n - 2$ y el método pitagórico. identidad $\norm b^2 = \norm p^2 + \norm{b - p}^2$ es rango: la sombra euclidiana de la nulidad. Un teorema, cuatro disfraces.

20.5 Ceremonias

Ejercicio 20.1 ★

¿Cuáles aplicaciones son lineal?

$\R^2 \to \R^2$ , $(x, y) \mapsto (x + y, x - 2y)$ ;
$\R^2 \to \R$ , $(x, y) \mapsto xy$ ;
$\R[X] \to \R[X]$ , $P \mapsto P' + XP$ ;
$\mathcal{F}(\R,\R) \to \R$ , $f \mapsto f(3)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 20.1.

(1) Lineal: coordenadas son expresiones lineales. (2) No lineal: $u(2(1,1)) = 4 \neq 2 = 2u(1,1)$ . (3) Lineal: diferenciación y la multiplicación por $X$ son y las sumas de aplicaciones lineales son. (4) Lineal: La evaluación respeta las operaciones puntuales.

Ejercicio 20.2 ★

Sea $u \colon \R^3 \to \R^3$ , $(x,y,z) \mapsto (x + y - z,\; 2x + y + z,\; 3x + 2y)$ . Determine $\ker u$ (base, dimensión), $\operatorname{rk} u$ y un base de $\operatorname{im} u$ . Es $u$ inyectivo? sobreyectivo?

Solución

Solución de Ejercicio 20.2.

Núcleo: resolver $x + y - z = 0$ , $2x + y + z = 0$ , $3x + 2y = 0$ . Del tercero, $y = -\frac{3x}{2}$ ; el primero da $z = x + y = -\frac x2$ ; comprobar en el segundo: $2x - \frac{3x}{2} - \frac x2 = 0$ : satisfecho. Entonces $\ker u = \operatorname{Vect}\bigl((2, -3, -1)\bigr)$ (tomando $x = 2$ ), dimensión $1$ .

Rango–nulidad: $\operatorname{rk} u = 3 - 1 = 2$ . Imagen: abarcado por el imágenes de los canónicos base, $u(e_1) = (1,2,3)$ , $u(e_2) = (1,1,2)$ , $u(e_3) = (-1,1,0)$ ; los dos primeros son libre y el rango es $2$ : base $\bigl((1,2,3), (1,1,2)\bigr)$ .

No inyectivo ( $\ker \neq \{0\}$ ), no sobreyectivo (rango $2 < 3$ ): consistente con Corolario 20.9.

Ejercicio 20.3 ★

Sea $u \colon \R_n[X] \to \R_n[X]$ , $P \mapsto P - P'$ . demostrar que $u$ es un isomorfismo: una vez a través de $\ker u$ , una vez exhibiendo el inverso (consider $P + P' + P'' + \dots$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 20.3.

Núcleo: $P = P'$ fuerza a $\deg P = \deg P'$ a menos que $P = 0$ ; pero $\deg P' < \deg P$ para $P \neq 0$ : entonces $\ker u = \{0\}$ y $u$ , un endomorfismo inyectivo del de dimensión finita $\R_n[X]$ , es un isomorfismo (Corolario 20.9).

Inverso: deja que $v(P) = P + P' + P'' + \dots + P^{(n)}$ (un suma finita en $\R_n[X]$ ). entonces

v\bigl(u(P)\bigr) = \sum_{k=0}^{n} (P - P')^{(k)} = \sum_{k=0}^{n} P^{(k)} - \sum_{k=0}^{n} P^{(k+1)} = P - P^{(n+1)} = P ,

telescópico, desde $P^{(n+1)} = 0$ . Entonces $v = u^{-1}$ .

Ejercicio 20.4 ★

Sea $u \in \mathcal{L}(E, F)$ y $v \in \mathcal{L}(F, G)$ , espacios de dimensión finita. Demostrar:

\operatorname{rk}(v \circ u) \leq \min\bigl(\operatorname{rk} u,\ \operatorname{rk} v\bigr).

Solución

Solución de Ejercicio 20.4.

$\operatorname{im}(v \circ u) = v(\operatorname{im} u) \subseteq \operatorname{im} v$ : rango $\leq \operatorname{rk} v$ . Y $v$ restringido a $\operatorname{im} u$ tiene imagen $\operatorname{im}(vu)$ con rango–nulidad dentro $\operatorname{im} u$ : $\operatorname{rk}(vu) \leq \dim\operatorname{im} u = \operatorname{rk} u$ .

Ejercicio 20.5 ★★

Sea $u$ un endomorfismo de $E$ (de dimensión finita) con $u^2 = 0$ . Demuestre que $\operatorname{im} u \subseteq \ker u$ , por lo tanto $\operatorname{rk} u \leq \frac{\dim E}{2}$ . Para $E = \R^2$ , proporcione un ejemplo con igualdad.

Solución

Solución de Ejercicio 20.5.

$u^2 = 0$ significa $u(u(x)) = 0$ para todos los $x$ : cada $u(x)$ se encuentra en $\ker u$ , es decir $\operatorname{im} u \subseteq \ker u$ . entonces rango–nulidad:

\dim E = \dim\ker u + \operatorname{rk} u \geq 2\operatorname{rk} u .

Ejemplo de igualdad en $\R^2$ : $u(x, y) = (y, 0)$ : $u^2 = 0$ , $\operatorname{rk} u = 1 = \frac{\dim E}{2}$ .

Ejercicio 20.6 ★★

Sea $p, q$ proyecciones de $E$ con $p \circ q = q \circ p$ . Demuestre que $p \circ q$ es un proyección, con

\operatorname{im}(pq) = \operatorname{im} p \cap \operatorname{im} q , \qquad \ker (pq) = \ker p + \ker q .

Solución

Solución de Ejercicio 20.6.

$(pq)^2 = pqpq = ppqq = pq$ (conmutación): a proyección (Teorema 20.15).

Imagen: $\operatorname{im}(pq) \subseteq \operatorname{im} p$ , y $= \operatorname{im}(qp) \subseteq \operatorname{im} q$ : contenido en la intersección. Por el contrario, si $x \in \operatorname{im} p \cap \operatorname{im} q$ , entonces $p(x) = x$ y $q(x) = x$ (puntos fijos caracterizan la imagen de un proyección), por lo que $pq(x) = x$ : $x \in \operatorname{im}(pq)$ .

Núcleo: $\ker p \subseteq \ker(qp) = \ker(pq)$ y también $\ker q \subseteq \ker(pq)$ : la suma está contenida. Por el contrario, deja $pq(x) = 0$ y escribe

x = \underbrace{q(x)}_{\in\, \ker p} + \underbrace{(x - q(x))}_{\in\, \ker q} :

el primer término satisface $p(q(x)) = 0$ , por lo que se encuentra en $\ker p$ ; el el segundo está en $\ker q$ desde $q(x - q(x)) = q(x) - q^2(x) = 0$ . Por lo tanto $x \in \ker p + \ker q$ .

Ejercicio 20.7 ★★

Sea $u \in \mathcal{L}(E)$ , $E$ de dimensión finita. demostrar el equivalencia de:

$E = \ker u \oplus \operatorname{im} u$ ;
$\ker u = \ker u^2$ ;
$\operatorname{im} u = \operatorname{im} u^2$ .

Solución

Solución de Ejercicio 20.7.

Tenga en cuenta primero las inclusiones generales $\ker u \subseteq \ker u^2$ y $\operatorname{im} u^2 \subseteq \operatorname{im} u$ , y por rango–nulidad, (2) $\iff$ (3) (igual granos $\iff$ igual rangos $\iff$ es igual a imágenes, dadas las inclusiones).

(1 $\Rightarrow$ 2): deja $u^2(x) = 0$ ; luego $u(x) \in \ker u \cap \operatorname{im} u = \{0\}$ , entonces $x \in \ker u$ .

(2 $\Rightarrow$ 1): por Grassmann y rango–nulidad, $\dim(\ker u + \operatorname{im} u) = \dim\ker u + \operatorname{rk} u - \dim(\ker u \cap \operatorname{im} u) = \dim E - \dim(\ker u \cap \operatorname{im} u)$ : la suma es $E$ si la intersección es $\{0\}$ . Sea $y \in \ker u \cap \operatorname{im} u$ : $y = u(x)$ y $u(y) = 0$ , entonces $u^2(x) = 0$ , entonces (por (2)) $u(x) = 0$ : $y = 0$ . Por lo tanto $E = \ker u \oplus \operatorname{im} u$ .

Ejercicio 20.8 ★★

Sea $\varphi, \psi$ formas lineales en $E$ con $\ker\varphi \subseteq \ker\psi$ . Pruebe $\psi = \lambda\varphi$ para algunos $\lambda \in K$ (incluidos los casos degenerados).

Solución

Solución de Ejercicio 20.8.

Si $\varphi = 0$ : entonces $\ker\varphi = E \subseteq \ker\psi$ fuerza $\psi = 0 = 0\cdot\varphi$ . Si $\varphi \neq 0$ : $\ker\varphi$ es un hiperplano; elija $a \notin \ker\varphi$ . Establezca $\lambda = \frac{\psi(a)}{\varphi(a)}$ . El formulario $\psi - \lambda\varphi$ desaparece en $\ker\varphi$ (ambos lo hacen, por la inclusión) y en $a$ : desaparece en $\ker\varphi \oplus Ka = E$ . Entonces $\psi = \lambda\varphi$ .

Ejercicio 20.9 ★★★

Sea $u \in \mathcal{L}(E)$ con $\dim E = n$ y supongamos $u^n = 0$ pero $u^{n-1} \neq 0$ (un endomorfismo máximamente nilpotente). Elija $x$ con $u^{n-1}(x) \neq 0$ ; demuestre que $\bigl(x, u(x), \dots, u^{n-1}(x)\bigr)$ es un base de $E$ . (Apply powers of $u$ to a null combination, starting with $u^{n-1}$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 20.9.

Supongamos $\lambda_0 x + \lambda_1 u(x) + \dots + \lambda_{n-1} u^{n-1}(x) = 0$ . Aplicar $u^{n-1}$ : todos los términos con factor $u^{\geq n}$ mueren, quedando $\lambda_0 u^{n-1}(x) = 0$ , por lo que $\lambda_0 = 0$ . Aplique $u^{n-2}$ a la relación restante: $\lambda_1 u^{n-1}(x) = 0$ , por lo que $\lambda_1 = 0$ ; etcétera. La familia es libre; siendo de tamaño $n = \dim E$ , es un base (Proposición 19.8). (En este base, $u$ actúa como un cambio — el modelo de máximo nilpotencia.)

Ejercicio 20.10 ★★★

Sea $f \in \mathcal{L}(\R^n)$ con $f \circ f = -\mathrm{id}$ .

Demuestre que $f$ es un isomorfismo y que no $x \neq 0$ satisface $f(x) = \lambda x$ con $\lambda \in \R$ .
Demuestre que $n$ es par. Hint: pick $x_1 \neq 0$ ; show $\operatorname{Vect}(x_1, f(x_1))$ is a plane stable under $f$ ; choose $x_2$ outside it and iterate, proving that $\bigl(x_1, f(x_1), x_2, f(x_2), \dots\bigr)$ sigue siendo libre.

Solución

Solución de Ejercicio 20.10.

$f \circ f = -\mathrm{id}$ es biyectivo, por lo que $f$ es (Proposición 1.26 adaptado: $f$ tiene las dos caras inversa $-f$ ). Si $f(x) = \lambda x$ con $x \neq 0$ : aplicando $f$ , $-x = \lambda^2 x$ , entonces $\lambda^2 = -1$ : imposible en $\R$ .
Construir la familia con avidez. Tome $x_1 \neq 0$ : $(x_1, f(x_1))$ es libre por (1). Si $\operatorname{Vect}$ del familia actual $\bigl(x_1, f(x_1), \dots, x_k, f(x_k)\bigr)$ , llámala $V_k$ — un subespacio estable bajo $f$ (cada generador aplicaciones a otro generador o su negativo: $f(f(x_i)) = -x_i$ ) — no es todo $E$ , elija $x_{k+1} \notin V_k$ . Claim: the enlarged family is libre. Supongamos $\alpha x_{k+1} + \beta f(x_{k+1}) + v = 0$ con $v \in V_k$ y $(\alpha, \beta) \neq (0,0)$ . Aplicar $f$ : $\alpha f(x_{k+1}) - \beta x_{k+1} + f(v) = 0$ con $f(v) \in V_k$ . Eliminar $f(x_{k+1})$ entre las dos relaciones. (multiplica el primero por $\alpha$ , el segundo por $-\beta$ y agregar):

$(\alpha^2 + \beta^2)\, x_{k+1} \in V_k ,$

y $\alpha^2 + \beta^2 \neq 0$ fuerza a $x_{k+1} \in V_k$ : contradicción. Entonces la construcción continúa, sumando vectores. dos a la vez, hasta $V_k = E$ : la familia final es una base de tamaño par y $n$ es par.

Ejercicio 20.11 ★★

Sea $u, v \in \mathcal{L}(E, F)$ , espacios de dimensión finita. Demostrar el límite de dos caras

\abs{\operatorname{rk} u - \operatorname{rk} v} \;\leq\; \operatorname{rk}(u + v) \;\leq\; \operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v .

(For the límite superior, compare $\operatorname{im}(u+v)$ with $\operatorname{im} u + \operatorname{im} v$ ; for the lower one, apply the límite superior cleverly.)

Solución

Solución de Ejercicio 20.11.

límite superior: por cada $x$ , $(u + v)(x) = u(x) + v(x) \in \operatorname{im} u + \operatorname{im} v$ , entonces

\operatorname{rk}(u + v) \leq \dim(\operatorname{im} u + \operatorname{im} v) \leq \operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v

(Grassmann, Teorema 19.18). Límite inferior: aplicar el límite superior al par $(u + v, -v)$ , cuya suma es $u$ :

\operatorname{rk} u \leq \operatorname{rk}(u + v) + \operatorname{rk}(-v) = \operatorname{rk}(u + v) + \operatorname{rk} v,

entonces $\operatorname{rk} u - \operatorname{rk} v \leq \operatorname{rk}(u+v)$ ; intercambiar $u$ y $v$ da la absoluta valor.

Ejercicio 20.12 ★★★

(Desigualdad de Frobenius) Sean $u \in \mathcal{L}(E, F)$ , $w \in \mathcal{L}(F, G)$ y $v \in \mathcal{L}(G, H)$ , todos los espacios de dimensión finita. Demostrar la fórmula exacta

\operatorname{rk}(v \circ w) = \operatorname{rk} w - \dim\bigl(\ker v \cap \operatorname{im} w\bigr),

y deducir la desigualdad de Frobenius

\operatorname{rk}(v \circ w) + \operatorname{rk}(w \circ u) \;\leq\; \operatorname{rk} w + \operatorname{rk}(v \circ w \circ u) .

Comprueba que el caso $w = \mathrm{id}_F$ es de Sylvester. desigualdad, demostrada en forma matricial en Ejercicio 21.10.

Solución

Solución de Ejercicio 20.12.

Fórmula exacta. Sea $v'$ la restricción de $v$ al subespacio $\operatorname{im} w$ . Su imagen es $v(w(F)) = \operatorname{im}(v \circ w)$ y su núcleo es $\ker v \cap \operatorname{im} w$ . Rango: nulidad para $v'$ en el espacio $\operatorname{im} w$ :

\operatorname{rk} w = \dim\operatorname{im} w = \operatorname{rk}(v \circ w) + \dim(\ker v \cap \operatorname{im} w) .

Frobenio. Aplicar la fórmula exacta dos veces, a $w$ y a $w \circ u$ :

\operatorname{rk} w - \operatorname{rk}(vw) = \dim\bigl(\ker v \cap \operatorname{im} w\bigr), \qquad \operatorname{rk}(wu) - \operatorname{rk}(vwu) = \dim\bigl(\ker v \cap \operatorname{im}(wu)\bigr) .

Desde $\operatorname{im}(w \circ u) \subseteq \operatorname{im} w$ , la segunda intersección está contenida en la primera, y su la dimensión no es mayor:

\operatorname{rk}(wu) - \operatorname{rk}(vwu) \;\leq\; \operatorname{rk} w - \operatorname{rk}(vw) ,

que se reordena en la desigualdad de Frobenius. Con $w = \mathrm{id}_F$ (rango $\dim F$ y $\operatorname{im}\, \mathrm{id}_F = F$ ): $\operatorname{rk} v + \operatorname{rk} u \leq \dim F + \operatorname{rk}(vu)$ , desigualdad de Sylvester — demostrado nuevamente, en forma matricial, en Ejercicio 21.10.

20.6 Problema: cálculo del proyector y lema de adaptación

Problema 20.1

Proyecciones son los endomorfismos que produce sumas directas, y por el contrario: cada identidad $E = F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ es En secreto una familia de proyectores sumando la identidad. esto problema desarrolla ese diccionario — el álgebra de uno proyector, de dos, de $k$ — luego se aplica lo mismo ideas de estabilización a un endomorfismo arbitrario y demuestra Lema de montaje: todo endomorfismo de un de dimensión finita el espacio se divide en una parte nilpotente y una parte reversible. En todo momento, $E$ es un espacio vectorial $K$ de dimensión $n$ y proyector significa $p \in \mathcal{L}(E)$ con $p^2 = p$ (Teorema 20.15).

Parte I — The algebra around one projector. Sea $p$ un proyector, $p \neq 0$ , $p \neq \mathrm{id}$ .

Demuestre que $\mathrm{id} - p$ es un proyector e identifique $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p)$ y $\ker(\mathrm{id} - p)$ .
Calcular $(\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p)^2$ y determinar todos los pares $(\lambda, \mu) \in K^2$ para los cuales $\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p$ es un proyector.
Muestra que el avión $\operatorname{Vect}(\mathrm{id}, p)$ de $\mathcal{L}(E)$ es estable bajo composición, y que por cada polinomio $Q \in K[X]$ ,

$Q(p) = Q(0)\,\mathrm{id} + \bigl(Q(1) - Q(0)\bigr)\,p .$
Determinar para qué $(\lambda, \mu)$ la aplicación $\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p$ es invertible y da su inverso en la forma $\alpha\,\mathrm{id} + \beta\,p$ . Interpretar la respuesta mediante la acción de $\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p$ en $\operatorname{im} p$ y en $\ker p$ .
Sea $p'$ sea otro proyector con el same imagen $\operatorname{im} p' = \operatorname{im} p$ . mostrar eso $p\,p' = p'$ y $p'\,p = p$ . ¿Qué significan estas identidades? decir sobre componer proyecciones en el mismo subespacio ¿A lo largo de diferentes granos?

Parte II — Two projectors. Sea $p, q$ proyectores $E$ ; asumir que la característica no es $2$ (verdadero para $K = \R, \C$ ).

Supongamos que $p + q$ es un proyector. Expandiendo $(p + q)^2$ , mostrar $pq + qp = 0$ ; componiendo con $p$ a la izquierda, luego a la derecha, deduzca $pq = qp$ y concluya $pq = qp = 0$ .
Por el contrario, supongamos $pq = qp = 0$ . Demuestre que $p + q$ es un proyector, con

$\operatorname{im}(p + q) = \operatorname{im} p \oplus \operatorname{im} q, \qquad \ker(p + q) = \ker p \cap \ker q .$
Demuestre que $p - q$ es un proyector si y sólo si $pq = qp = q$ . (Apply questions 6–7 to $\mathrm{id} - p$ and $q$ .)
Muestre el significado geométrico de $pq = qp = q$ : se cumple si y sólo si $\operatorname{im} q \subseteq \operatorname{im} p$ y $\ker p \subseteq \ker q$ . (Uno luego escribe $q \leq p$ : “ $q$ se proyecta en menos, junto más ”.)
Ahora deja que $p, q$ conmute. Recordar de Ejercicio 20.6 que $pq$ es el proyector en $\operatorname{im} p \cap \operatorname{im} q$ junto $\ker p + \ker q$ . Demuestre que $r = p + q - pq$ es un proyector con

$\operatorname{im} r = \operatorname{im} p + \operatorname{im} q, \qquad \ker r = \ker p \cap \ker q .$

(Consider $\mathrm{id} - r = (\mathrm{id} - p)(\mathrm{id} - q)$ .)

Parte III — Decompositions of the identity.

Sea $E = F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ y, para $x = x_1 + \dots + x_k$ (descomposición única, $x_i \in F_i$ ), establezca $p_i(x) = x_i$ . Demuestre que cada $p_i$ es un proyector, que $p_i p_j = 0$ por $i \neq j$ , y que $p_1 + \dots + p_k = \mathrm{id}$ ; identificar $\operatorname{im} p_i$ y $\ker p_i$ .
Por el contrario, sea $p_1, \dots, p_k \in \mathcal{L}(E)$ satisface $p_1 + \dots + p_k = \mathrm{id}$ y $p_i p_j = 0$ para todos los $i \neq j$ . Demuestre que cada $p_i$ es un proyector y ese $E = \operatorname{im} p_1 \oplus \dots \oplus \operatorname{im} p_k$ .
Dos proyectores con $p + q = \mathrm{id}$ : muestran que $pq = qp = 0$ se mantiene automáticamente.
Tres proyectores con $p + q + r = \mathrm{id}$ : espectáculo que $p + q$ es un proyector, y deducir de la pregunta 6 que los productos por pares todo desaparecen — por lo tanto $E = \operatorname{im} p \oplus \operatorname{im} q \oplus \operatorname{im} r$ , sin hipótesis sobre los productos.
Para proyectores $k$ con $p_1 + \dots + p_k = \mathrm{id}$ : muestre primero eso para cualquier subespacios, $\dim (F_1 + \dots + F_k) \leq \dim F_1 + \dots + \dim F_k$ , con igualdad si y sólo si la suma es directa; entonces muestre $E = \operatorname{im} p_1 + \dots + \operatorname{im} p_k$ y demuestre que if además $\sum_i \operatorname{rk} p_i \leq n$ , la suma es directo y $p_i p_j = 0$ para $i \neq j$ .

Parte IV — Iterated granos: Fitting’s lemma. Sea $u \in \mathcal{L}(E)$ , $\dim E = n$ .

Muestra las dos cadenas, válidas para cada $k \geq 0$ :

$\ker u^k \subseteq \ker u^{k+1}, \qquad \operatorname{im} u^{k+1} \subseteq \operatorname{im} u^k .$
Demuestre que si $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ para algún $r$ , luego $\ker u^{k} = \ker u^{r}$ para todos los $k \geq r$ ; estado y demostrar la estabilización análoga para imágenes.
Deduzca que existe un entero más pequeño $r$ con $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ , ese $r \leq n$ y ese imágenes estabilizarse en el mismo $r$ .
(Lema de Fitting) Demuestre que

$E \;=\; \ker u^{r} \,\oplus\, \operatorname{im} u^{r} .$
Demuestre que ambos subespacios son estables bajo $u$ , que el la restricción de $u$ a $\ker u^{r}$ es nilpotente, y que la restricción de $u$ a $\operatorname{im} u^{r}$ es una isomorfismo de $\operatorname{im} u^{r}$ : cada El endomorfismo es, en un suma directa canónico, "nilpotente". más invertible”.
Sea $\pi$ sea el proyector en $\ker u^{r}$ junto $\operatorname{im} u^{r}$ . Muestre que $\pi \circ u = u \circ \pi$ .

Part V — A worked case, and synthesis.

Deja $u(x, y, z) = (y, 0, z)$ en $\R^3$ . Calcular $u^2$ y $u^3$ , determine el índice de estabilización $r$ , el subespacios $\ker u^{r}$ y $\operatorname{im} u^{r}$ , el Conjunto el proyector $\pi$ y verificar las fórmulas que $\pi u = u\pi$ y que $u$ es nilpotente en un factor, biyectivo por el otro.
Mostrar las equivalencias: $u$ nilpotente $\iff$ $\ker u^{r} = E$ $\iff$ $\pi = \mathrm{id}$ ; y deducir que un endomorfismo nilpotente de un espacio de dimensión $n$ siempre satisface $u^{n} = 0$ (el índice de nilpotencia nunca excede la dimensión).
(Singularidad) Supongamos que $E = A \oplus B$ con $A, B$ estable bajo $u$ , la restricción $u|_A$ nilpotente y $u|_B$ biyectivo. Demuestre $A = \ker u^{r}$ y $B = \operatorname{im} u^{r}$ : la descomposición del ajuste es único.
Síntesis, en cuatro frases: qué diccionario Parte III establece entre sumas directas y familias de proyectores; ¿Por qué la pregunta 14 no necesitaba ningún producto? hipótesis mientras que la pregunta 15 necesitaba una hipótesis rango (y qué herramienta del Año 2, el rastro, lo elimina); en que El lema de sensefit es la versión estabilizada de Ejercicio 20.7; y cuáles son los dos factores de El ajuste se convierte en la teoría de valores propios del año 2 volumen. Nombra el teorema demostrado en la Parte IV.

Solución

Solución de Problema 20.1.

1. $(\mathrm{id} - p)^2 = \mathrm{id} - 2p + p^2 = \mathrm{id} - p$ : un proyector. Si $y = x - p(x)$ , entonces $p(y) = p(x) - p^2(x) = 0$ , y viceversa $x \in \ker p$ da $x = (\mathrm{id} - p)(x)$ : $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p) = \ker p$ . Y $(\mathrm{id} - p)(x) = 0 \iff p(x) = x \iff x \in \operatorname{im} p$ (puntos fijos, Teorema 20.15): $\ker(\mathrm{id} - p) = \operatorname{im} p$ .

2. $(\lambda\,\mathrm{id} + \mu p)^2 = \lambda^2\,\mathrm{id} + (2\lambda\mu + \mu^2)\,p$ . la pareja $(\mathrm{id}, p)$ es libre en $\mathcal{L}(E)$ : $p = c\, \mathrm{id}$ daría $c^2 = c$ , entonces $p = 0$ o $\mathrm{id}$ , excluido. Coeficientes identificativos, la aplicación es un proyector si y así $\lambda^2 = \lambda$ y $2\lambda\mu + \mu^2 = \mu$ . Para $\lambda = 0$ : $\mu \in \{0, 1\}$ . Para $\lambda = 1$ : $\mu^2 + \mu = 0$ , $\mu \in \{0, -1\}$ . Exactamente cuatro proyectores en el plano: $0$ , $p$ , $\mathrm{id}$ , $\mathrm{id} - p$ .

3. $(\lambda\,\mathrm{id} + \mu p)(\lambda'\,\mathrm{id} + \mu' p) = \lambda\lambda'\,\mathrm{id} + (\lambda\mu' + \mu\lambda' + \mu\mu')\,p$ : el avión está estable bajo composición. Desde $p^k = p$ por cada $k \geq 1$ , por $Q = \sum_k a_k X^k$ :

Q(p) = a_0\,\mathrm{id} + \Bigl(\sum_{k \geq 1} a_k\Bigr) p = Q(0)\,\mathrm{id} + \bigl(Q(1) - Q(0)\bigr)\,p .

4. En $\operatorname{im} p$ (donde $p$ actúa como identidad), $\lambda\,\mathrm{id} + \mu p$ se multiplica por $\lambda + \mu$ ; en $\ker p$ , por $\lambda$ . Como $E = \operatorname{im} p \oplus \ker p$ , la aplicación es biyectivo si es $\lambda \neq 0$ y $\lambda + \mu \neq 0$ . Resolviendo $\lambda\alpha = 1$ , $\lambda\beta + \mu\alpha + \mu\beta = 0$ en la regla de composición de la pregunta 3:

(\lambda\,\mathrm{id} + \mu p)^{-1} = \frac1\lambda\,\mathrm{id} - \frac{\mu}{\lambda(\lambda + \mu)}\,p ,

cuya acción es por $1/\lambda$ sobre $\ker p$ y $1/(\lambda + \mu)$ sobre $\operatorname{im} p$ , como debe ser.

5. Escribe $F = \operatorname{im} p = \operatorname{im} p'$ . Para cada $x$ , $p'(x) \in F$ y $p$ corrige $F$ puntualmente: $p(p'(x)) = p'(x)$ , es decir $p\,p' = p'$ ; simétricamente $p'\,p = p$ . Cuando dos proyecciones comparten su imagen, el aplicado primero decide: su salida ya se encuentra en $F$ , donde proyección externo actúa como la identidad y no cambia nada.

6. $(p + q)^2 = p^2 + pq + qp + q^2 = (p + q) + pq + qp$ , por lo que el proyector $p + q$ fuerza a $pq + qp = 0$ . componer en el izquierda con $p$ : $pq + pqp = 0$ ; a la derecha con $p$ : $pqp + qp = 0$ . Restando, $pq = qp$ ; luego $pq + qp = 2pq = 0$ y el la característica no es $2$ : $pq = qp = 0$ .

7. Con $pq = qp = 0$ , la misma expansión da $(p + q)^2 = p + q$ . Imagen: $\operatorname{im}(p + q) \subseteq \operatorname{im} p + \operatorname{im} q$ siempre. Por el contrario, para $x \in \operatorname{im} p$ : $q(x) = q(p(x)) = 0$ , entonces $(p + q)(x) = p(x) = x$ y $x \in \operatorname{im}(p+q)$ ; lo mismo para $\operatorname{im} q$ . Directo: $x \in \operatorname{im} p \cap \operatorname{im} q$ da $x = p(x) = p(q(x)) = 0$ . Núcleo: si $p(x) + q(x) = 0$ , aplicando $p$ da $p(x) + p(q(x)) = p(x) = 0$ , y aplicando $q$ da $q(x) = 0$ : $\ker(p + q) = \ker p \cap \ker q$ (la inclusión inversa es clara).

8. $p - q$ es un proyector si $\mathrm{id} - (p - q) = (\mathrm{id} - p) + q$ lo es (pregunta 1 dos veces). Por preguntas 6–7 aplicado a los proyectores $\mathrm{id} - p$ y $q$ , esto contiene iff $(\mathrm{id} - p)q = q(\mathrm{id} - p) = 0$ , es decir sif $pq = q$ y $qp = q$ .

9. $pq = q$ significa que $p$ corrige cada $q(x)$ , es decir $\operatorname{im} q \subseteq \ker(p - \mathrm{id}) = \operatorname{im} p$ . Y $qp = q$ significa $q\bigl((\mathrm{id} - p)(x)\bigr) = 0$ para todos los $x$ , es decir, $q$ desaparece en $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p) = \ker p$ : $\ker p \subseteq \ker q$ . Ambos pasos son equivalencias: la orden $q \leq p$ dice $q$ se proyecta sobre un imagen más pequeño, junto con un núcleo más grande.

10. Expandiendo, $(\mathrm{id} - p)(\mathrm{id} - q) = \mathrm{id} - p - q + pq = \mathrm{id} - r$ . los proyectores $\mathrm{id} - p$ y $\mathrm{id} - q$ conmutan, por lo que por Ejercicio 20.6 su producto $\mathrm{id} - r$ es el proyector en $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p) \cap \operatorname{im}(\mathrm{id} - q) = \ker p \cap \ker q$ junto $\ker(\mathrm{id} - p) + \ker(\mathrm{id} - q) = \operatorname{im} p + \operatorname{im} q$ . Por la pregunta 1, $r = \mathrm{id} - (\mathrm{id} - r)$ es entonces el proyector con $\operatorname{im} r = \operatorname{im} p + \operatorname{im} q$ y $\ker r = \ker p \cap \ker q$ .

11. $p_i$ está bien definido (singularidad del descomposición) y lineal (la descomposición de $x + \lambda y$ es la suma de las descomposiciones, nuevamente por unicidad). Para $x_i \in F_i$ la descomposición es el propio $x_i$ , por lo que $p_i(x_i) = x_i$ : $p_i^2 = p_i$ y $p_j(x_i) = 0$ para $j \neq i$ : $p_i p_j = 0$ ( $p_j(x) \in F_j$ ). Sumando los componentes, $\sum_i p_i = \mathrm{id}$ . Finalmente $\operatorname{im} p_i = F_i$ y $\ker p_i = \bigoplus_{j \neq i} F_j$ .

12. $p_i = p_i \circ \mathrm{id} = p_i\sum_j p_j = p_i^2 + \sum_{j \neq i} p_i p_j = p_i^2$ : cada $p_i$ es un proyector. Cada $x = \mathrm{id}(x) = \sum_i p_i(x)$ se encuentra en $\sum_i \operatorname{im} p_i$ : la suma imágenes es $E$ . Directo: supongamos $y_1 + \dots + y_k = 0$ con $y_i \in \operatorname{im} p_i$ , entonces $p_i(y_i) = y_i$ . Aplicar $p_j$ : $p_j (y_i) = p_j p_i (y_i) = 0$ para $i \neq j$ , es decir, $0 = p_j\bigl(\sum y_i\bigr) = y_j$ , para cada $j$ . Por lo tanto $E = \bigoplus_i \operatorname{im} p_i$ .

13. $q = \mathrm{id} - p$ , y la pregunta 1 da $pq = p - p^2 = 0 = qp$ directamente: para dos proyectores, sumando el La identidad ya fuerza la ortogonalidad del par.

14. $p + q = \mathrm{id} - r$ con $r$ un proyector, y $(\mathrm{id} - r)$ es un proyector (pregunta 1): entonces $p + q$ es un proyector, y la pregunta 6 da $pq = qp = 0$ . Por simetría ( $q + r = \mathrm{id} - p$ y $p + r = \mathrm{id} - q$ ), todos Los productos por pares desaparecen y la pregunta 12 concluye: $E = \operatorname{im} p \oplus \operatorname{im} q \oplus \operatorname{im} r$ , automáticamente.

15. Lema. Por inducción con Grassmann (Teorema 19.18):

\dim(F_1 + \dots + F_k) \leq \dim(F_1 + \dots + F_{k-1}) + \dim F_k \leq \dots \leq \sum_i \dim F_i .

Si el total es una igualdad, cada paso es: $(F_1 + \dots + F_{j-1}) \cap F_j = \{0\}$ por cada $j$ , y una relación $y_1 + \dots + y_k = 0$ ( $y_i \in F_i$ ) se colapsa por la derecha: $y_k \in (F_1 + \dots + F_{k-1}) \cap F_k = \{0\}$ , luego $y_{k-1} = 0$ , etc.: la suma es directa. Por el contrario, un suma directa tiene dimensiones aditivas (concatenar bases). Solicitud: $x = \sum_i p_i(x)$ muestra $E = \sum_i \operatorname{im} p_i$ , entonces $n \leq \sum_i \operatorname{rk} p_i$ ; la hipótesis da igualdad y, por tanto, franqueza. Productos: arreglo $j$ y $y \in \operatorname{im} p_j$ . Entonces $y = \sum_i p_i(y)$ con $p_i(y) \in \operatorname{im} p_i$ , mientras que $y = y$ también es un descomposición (componente $j$ solo); la unicidad fuerza $p_i(y) = 0$ para $i \neq j$ . Aplicado a $y = p_j(x)$ : $p_i p_j = 0$ .

16. Si $u^k(x) = 0$ entonces $u^{k+1}(x) = u(0) = 0$ . y $\operatorname{im} u^{k+1} = u^k\bigl(u(E)\bigr) \subseteq u^k(E) = \operatorname{im} u^k$ .

17. Supongamos $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ y dejemos que $x \in \ker u^{r+2}$ : luego $u(x) \in \ker u^{r+1} = \ker u^{r}$ , entonces $u^{r+1}(x) = 0$ : $x \in \ker u^{r+1}$ . Con la pregunta 16, $\ker u^{r+1} = \ker u^{r+2}$ , y por inducción todo después granos coincide con $\ker u^{r}$ . Para imágenes: rango–nulidad da $\dim\operatorname{im} u^k = n - \dim\ker u^k$ , por lo que el Las dimensiones imagen se congelan exactamente cuando lo hacen las dimensiones núcleo, y con las inclusiones de la pregunta 16, dimensiones iguales significan igual subespacios (Teorema 19.14).

18. La secuencia $\bigl(\dim\ker u^k\bigr)_k$ es no decreciente con valores en $\intint{0}{n}$ ; no puede aumentar estrictamente $n + 1$ veces, por lo que algunos $\dim\ker u^{r} = \dim\ker u^{r+1}$ con $r \leq n$ , por lo tanto $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ (inclusión más igual dimensión). Tome $r$ el más pequeño; pregunta 17 congela todo desde $r$ en adelante, incluido imágenes.

19. Intersección: digamos $x \in \ker u^{r} \cap \operatorname{im} u^{r}$ , digamos $x = u^{r}(y)$ con $u^{r}(x) = 0$ . Luego $u^{2r}(y) = 0$ y $\ker u^{2r} = \ker u^{r}$ . (pregunta 17), entonces $x = u^{r}(y) = 0$ . Dimensiones: rango–nulidad para $u^{r}$ da $\dim\ker u^{r} + \dim\operatorname{im} u^{r} = n$ ; con intersección trivial, Grassmann hace que la suma sea subespacio de dimensión $n$ : $E = \ker u^{r} \oplus \operatorname{im} u^{r}$ .

20. Estabilidad: $u^{r}(u(x)) = u(u^{r}(x)) = 0$ para $x \in \ker u^{r}$ ; y $u(u^{r}(y)) = u^{r}(u(y)) \in \operatorname{im} u^{r}$ . En $N = \ker u^{r}$ : $(u|_N)^{r} = 0$ por definición de $N$ : nilpotente. En $I = \operatorname{im} u^{r}$ : $\ker(u|_I) = \ker u \cap I \subseteq \ker u^{r} \cap I = \{0\}$ , entonces $u|_I$ es un endomorfismo inyectivo del de dimensión finita $I$ , por lo tanto biyectivo (Corolario 20.9).

21. Sea $x = a + b$ con $a \in N$ , $b \in I$ . entonces $u(x) = u(a) + u(b)$ con $u(a) \in N$ y $u(b) \in I$ (pregunta 20): este is es la descomposición de $u(x)$ , por lo que $\pi(u(x)) = u(a) = u(\pi(x))$ : $\pi u = u\pi$ .

22. $u^2(x,y,z) = u(y, 0, z) = (0, 0, z)$ y $u^3(x,y,z) = u(0,0,z) = (0,0,z) = u^2(x,y,z)$ . granos: $\ker u = \{y = z = 0\} = \operatorname{Vect}(e_1)$ , $\ker u^2 = \{z = 0\} = \operatorname{Vect}(e_1, e_2)$ , $\ker u^3 = \ker u^2$ : estabilización en $r = 2$ . Imágenes: $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}(e_1, e_3)$ , $\operatorname{im} u^2 = \operatorname{Vect}(e_3)$ . Montaje: $\R^3 = \operatorname{Vect}(e_1, e_2) \oplus \operatorname{Vect}(e_3)$ , y $\pi(x, y, z) = (x, y, 0)$ . Verificar: $\pi u(x,y,z) = \pi(y, 0, z) = (y, 0, 0)$ y $u\pi(x,y,z) = u(x, y, 0) = (y, 0, 0)$ : igual. Sobre el primer factor $u(x, y, 0) = (y, 0, 0)$ , cuyo el cuadrado es $0$ : nilpotente; en el segundo $u(0,0,z) = (0,0,z)$ : la identidad, biyectivo.

23. Si $u^m = 0$ entonces $\ker u^m = E$ ; desde granos son congelado desde $r$ en adelante, $\ker u^{r} = \ker u^{\max(m, r)} = E$ . Por el contrario, $\ker u^{r} = E$ significa $u^{r} = 0$ . Y $\ker u^{r} = E \iff$ el proyector apropiado está en $E$ junto con $\{0\}$ , es decir, $\pi = \mathrm{id}$ . Finalmente $r \leq n$ (pregunta 18) da: todo endomorfismo nilpotente satisface $u^{n} = 0$ — el El índice de nilpotencia nunca excede la dimensión.

24. Sea $m$ un índice de nilpotencia de $u|_A$ : $A \subseteq \ker u^{m} \subseteq \ker u^{\max(m,r)} = \ker u^{r}$ . Dado que $u|_B$ es biyectivo, $B = u(B) = u^{k}(B) \subseteq \operatorname{im} u^{k}$ por cada $k$ , en particular $B \subseteq \operatorname{im} u^{r}$ . entonces

n = \dim A + \dim B \leq \dim\ker u^{r} + \dim\operatorname{im} u^{r} = n :

ambas inclusiones son igualdades de dimensiones, por lo tanto de subespacios: $A = \ker u^{r}$ , $B = \operatorname{im} u^{r}$ .

25. (i) La Parte III es un diccionario: las divisiones $E = F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ corresponden exactamente a familias de proyectores con $\sum p_i = \mathrm{id}$ y $p_i p_j = 0$ , el siendo $F_i$ el imágenes. (ii) Para $k = 3$ los complementos $\mathrm{id} - p_i$ son en sí mismos proyectores, que cerraron el argumento sin hipótesis adicionales; para $k$ general se necesita $\sum_i \operatorname{rk} p_i \leq n$ , una desigualdad el Año 2 trace se ofrece de forma gratuita ( $\operatorname{tr} p = \operatorname{rk} p$ para un proyector, y los rastros suman $\operatorname{tr} \mathrm{id} = n$ ). (iii) Ejercicio 20.7 es de montaje lema en el caso ya estabilizado $r \leq 1$ ; en general uno permite que las cadenas núcleo y imagen se congelen, lo que tarda como máximo $n$ pasos. (iv) En el volumen del Año 2, aplicado a $u - \lambda\, \mathrm{id}$ , el factor nilpotente se convierte en el generalizado espacio propio en $\lambda$ y los proyectores de la Parte III se convierten los proyectores espectrales de la teoría de la reducción. El teorema de La parte IV es Lema de montaje.