Matemáticas universitarias — Grado 1 · Bachelor Year 1

20Aplicaciones lineales

Las aplicaciones que merece la pena estudiar entre espacios vectoriales son las compatibles con la estructura: las aplicaciones lineales. Sus dos subespacios fundamentales —núcleo e imagen— miden la inyectividad y la sobreyectividad y, en dimensión finita, el teorema del rango ata sus tamaños en una sola ley de conservación. Las proyecciones y las simetrías, y después las formas lineales y los hiperplanos, cierran el capítulo.

20.1 Definiciones y primeras propiedades

Definición 20.1

Sean $E, F$ espacios vectoriales sobre $K$ . Una aplicación $u \colon E \to F$ es lineal cuando

\forall x, y \in E,\ \forall \lambda \in K, \qquad u(x + \lambda y) = u(x) + \lambda u(y).

Entonces $u(0) = 0$ y $u(\sum \lambda_i x_i) = \sum \lambda_i u(x_i)$ . El conjunto $\mathcal{L}(E, F)$ de las aplicaciones lineales es él mismo un espacio vectorial; la composición de aplicaciones lineales es lineal, y bilineal en la pareja. Un endomorfismo es una aplicación lineal $E \to E$ ; un isomorfismo es una aplicación lineal biyectiva (cuya inversa es entonces automáticamente lineal); y $u^{-1}$ de un isomorfismo, así como las composiciones de isomorfismos, son isomorfismos.

Demostración de que la inversa es lineal. Sea $u$ lineal y biyectiva, sean $y, y' \in F$ y $\lambda \in K$ . Póngase $x = u^{-1}(y)$ y $x' = u^{-1}(y')$ . Entonces

u\bigl(x + \lambda x'\bigr) = u(x) + \lambda u(x') = y + \lambda y' ,

y, aplicando $u^{-1}$ a los dos extremos: $u^{-1}(y + \lambda y') = x + \lambda x' = u^{-1}(y) + \lambda\,u^{-1}(y')$ . No se ha calculado nada de $u^{-1}$ : la linealidad se transporta solo por la propiedad que define $u$ — un patrón que conviene recordar, pues la estructura suele viajar gratis a lomos de las biyecciones. ∎

Proposición 20.2 (Una aplicación lineal se conoce en una base)

Sea $(e_1, \dots, e_n)$ una base de $E$ y sean $(v_1, \dots, v_n)$ vectores arbitrarios de $F$ . Hay exactamente una aplicación lineal $u \colon E \to F$ con $u(e_i) = v_i$ para todo $i$ . Además:

u \text{ inyectiva} \iff (v_i) \text{ libre}; \qquad u \text{ sobreyectiva} \iff (v_i) \text{ genera } F .

Demostración. Existencia y unicidad: todo $x$ tiene coordenadas únicas $x = \sum \lambda_i e_i$ (Proposición 18.15); la linealidad fuerza $u(x) = \sum \lambda_i v_i$ , y esa fórmula sí define una aplicación lineal.

Inyectividad: por la Proposición 20.5 de más abajo, $u$ es inyectiva si y solo si su núcleo es trivial. Ahora bien, $u\bigl(\sum\lambda_i e_i\bigr) = 0$ significa exactamente $\sum\lambda_i v_i = 0$ . Si $(v_i)$ es libre, esto fuerza que todos los $\lambda_i = 0$ , es decir, que el núcleo se reduzca a $0$ : inyectiva. Y si $(v_i)$ es ligada, una relación no trivial $\sum\lambda_i v_i = 0$ produce el vector no nulo $\sum\lambda_i e_i$ en el núcleo ( $(e_i)$ es libre): no inyectiva. Las dos condiciones se corresponden término a término.

Sobreyectividad: la imagen de $u$ es el conjunto de todos los $\sum\lambda_i v_i$ , es decir, exactamente $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_n)$ , que es igual a $F$ si y solo si la familia genera. ∎

Definición 20.3 (Núcleo e imagen)

Para $u \in \mathcal{L}(E, F)$ :

\ker u = \{x \in E : u(x) = 0\} \subseteq E, \qquad \operatorname{im} u = u(E) \subseteq F ,

los dos subespacios (comprobación directa con el criterio).

Método 20.4 (Núcleo e imagen, en la práctica)

Núcleo: escríbase $u(x) = 0$ como un sistema sobre las coordenadas (o los coeficientes) de $x$ , resuélvase y parametrícese — el núcleo sale con una base incorporada (Método 19.10). Imagen: es el subespacio generado por las imágenes de cualquier familia generadora de $E$ —normalmente una base, con lo que $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}\bigl(u(e_1), \dots, u(e_n)\bigr)$ —; elimínense después las imágenes redundantes para extraer una base. Atajo: calcúlese el más fácil de los dos y obténgase gratis la dimensión del otro por el teorema del rango (Teorema 20.7); y cuando se conoce un subespacio candidato plausible para la imagen, comparar dimensiones eleva la inclusión fácil a igualdad (Teorema 19.14). Los dos atajos se usan en el Ejemplo 20.11 de más abajo.

Proposición 20.5

$u$ es inyectiva $\iff$ $\ker u = \{0\}$ ; y $u$ es sobreyectiva $\iff$ $\operatorname{im} u = F$ .

Demostración. Como en los grupos (Proposición 7.11): $u(x) = u(y) \iff u(x - y) = 0 \iff x - y \in \ker u$ . El segundo punto es la definición. ∎

20.2 El teorema del rango

Definición 20.6

El rango de $u \in \mathcal{L}(E, F)$ (con $E$ de dimensión finita) es $\operatorname{rk} u = \dim \operatorname{im} u$ — también el rango de la familia $\bigl(u(e_1), \dots, u(e_n)\bigr)$ para cualquier base $(e_i)$ de $E$ .

Teorema 20.7 (Teorema del rango)

Sea $E$ de dimensión finita y $u \in \mathcal{L}(E, F)$ . Entonces

\dim E = \dim \ker u + \operatorname{rk} u .

Con más precisión: si $S$ es un subespacio suplementario cualquiera de $\ker u$ en $E$ , entonces $u$ se restringe a un isomorfismo de $S$ sobre $\operatorname{im} u$ .

Demostración. Sea $S$ tal que $E = \ker u \oplus S$ (Teorema 19.14) y sea $v \colon S \to \operatorname{im} u$ la restricción de $u$ .

$v$ es inyectiva: $\ker v = S \cap \ker u = \{0\}$ .

$v$ es sobreyectiva: cualquier $u(x)$ con $x = k + s$ ( $k \in \ker u$ , $s \in S$ ) es igual a $u(s) = v(s)$ .

Luego $v$ es un isomorfismo; y un isomorfismo lleva una base a una base (Proposición 20.2), de modo que $\dim S = \dim\operatorname{im} u$ , y $\dim E = \dim\ker u + \dim S$ concluye. ∎

Ejemplo 20.8 (Construir una aplicación a medida)

Constrúyase $u \in \mathcal{L}(\R^3)$ con $\ker u = \operatorname{Vect}(1,1,1)$ y $\operatorname{im} u = \{z = 0\}$ . Primero, coherencia: el teorema del rango exige $1 + 2 = 3$ — cuadra, así que puede existir solución. Elíjase una base adaptada al núcleo, digamos $\bigl((1,1,1),\ e_1,\ e_2\bigr)$ (Ejemplo 19.7), y prescríbanse las imágenes (Proposición 20.2):

u(1,1,1) = 0, \qquad u(e_1) = e_1, \qquad u(e_2) = e_2 .

Entonces $\ker u \supseteq \operatorname{Vect}(1,1,1)$ y $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}(e_1, e_2) = \{z = 0\}$ ; y el teorema del rango fuerza $\dim\ker u = 1$ , de modo que el núcleo es exactamente la recta prescrita. Explícitamente, descomponiendo $(x, y, z) = z(1,1,1) + (x - z)e_1 + (y - z)e_2$ :

u(x, y, z) = (x - z,\ y - z,\ 0).

La receta se generaliza: existe una aplicación lineal con núcleo prescrito $N$ e imagen prescrita $I$ exactamente cuando $\dim N + \dim I = \dim E$ — la necesidad es el teorema del rango y la suficiencia es esta construcción.

Corolario 20.9

Si $\dim E = \dim F$ (finita), entonces, para $u \in \mathcal{L}(E, F)$ :

u \text{ inyectiva} \iff u \text{ sobreyectiva} \iff u \text{ biyectiva}.

En particular, esto vale para los endomorfismos en dimensión finita. (Falla en dimensión infinita: en $K[X]$ , la derivada es sobreyectiva pero no inyectiva, y $P \mapsto XP$ es inyectiva pero no sobreyectiva.)

Demostración. Inyectiva $\iff \dim\ker u = 0 \iff \operatorname{rk} u = \dim E = \dim F \iff \operatorname{im} u = F$ (un subespacio de dimensión máxima lo es todo, Teorema 19.14) $\iff$ sobreyectiva. ∎

Ejemplo 20.10 (La interpolación, estructuralmente)

Fíjense $x_0, \dots, x_n$ distintos y sea $u \colon \R_n[X] \to \R^{n+1}$ , $P \mapsto (P(x_0), \dots, P(x_n))$ : lineal. Su núcleo es $\{P : \deg P \leq n,\ n+1 \text{ raíces}\} = \{0\}$ (Corolario 8.8). Dimensiones iguales $n + 1$ : $u$ es un isomorfismo — la existencia y la unicidad del interpolador de Lagrange (Teorema 8.23) en una línea.

El mismo patrón de una línea trata datos que mezclan valores y derivadas: $v \colon \R_3[X] \to \R^4$ , $P \mapsto \bigl(P(0), P'(0), P(1), P'(1)\bigr)$ es lineal, y su núcleo consta de los polinomios de grado $\leq 3$ con raíces dobles en $0$ y en $1$ , es decir, divisibles por $X^2(X-1)^2$ , de grado $4$ : solo $P = 0$ . Otra vez dimensiones iguales: cada cuádrupla de datos $(P(0), P'(0), P(1), P'(1))$ la realiza exactamente una cúbica — la interpolación de Hermite, concedida por un cálculo de núcleo antes de escribir ninguna fórmula (el problema del fin de semana del Capítulo 22 se encuentra con su determinante).

Ejemplo 20.11 (El teorema del rango en acción: el operador de diferencias)

Sea $\Delta \colon \R_n[X] \to \R_n[X]$ , $P \mapsto P(X+1) - P(X)$ : lineal. Núcleo: si $\Delta P = 0$ , entonces $P(0) = P(1) = P(2) = \dots$ , luego $P - P(0)$ tiene infinitas raíces y se anula (Corolario 8.8): $\ker\Delta$ es la recta de las constantes. Teorema del rango: $\operatorname{rk}\Delta = (n + 1) - 1 = n$ . Y como $\deg \Delta P < \deg P$ para $P$ no constante (los términos de cabeza se cancelan), $\operatorname{im}\Delta \subseteq \R_{n-1}[X]$ , que tiene dimensión exactamente $n$ : la inclusión es una igualdad. Conclusión, sin calcular ninguna imagen recíproca: todo polinomio $Q$ de grado $\leq n - 1$ es una diferencia $Q = P(X+1) - P(X)$ — la primitiva discreta existe. (Compárese con el problema del fin de semana del Capítulo 18, donde $\Delta$ se invirtió explícitamente en la base binomial.)

Ejemplo 20.12 (Contabilidad del rango a lo largo de una composición)

En $\R_2[X]$ , compóngase la derivada $D(P) = P'$ (de rango $2$ : imagen $\R_1[X]$ , núcleo las constantes) consigo misma. Entonces $D \circ D = D^2$ lleva $P \mapsto P''$ , con imagen $\R_0[X]$ : rango $1$ . Compárese con las cotas generales: la tosca da $\operatorname{rk} D^2 \leq \min(2, 2) = 2$ ; y la fórmula exacta del Ejercicio 20.12 explica la pérdida con precisión,

\operatorname{rk} D^2 = \operatorname{rk} D - \dim\bigl(\ker D \cap \operatorname{im} D\bigr) = 2 - 1 = 1 ,

ya que las constantes (núcleo del $D$ exterior) están dentro de $\R_1[X]$ (imagen del $D$ interior) con dimensión $1$ . El rango se pierde exactamente donde el núcleo exterior embosca a la imagen interior — la frase que hay que recordar cuando los rangos de una composición se portan mal.

Ejemplo 20.13 (Núcleo e imagen del operador de Euler)

En $\R_n[X]$ , sea $u(P) = X\,P'$ (lineal: lo son derivar y multiplicar por $X$ ). Núcleo: $XP' = 0$ fuerza $P' = 0$ (un producto de polinomios se anula solo si lo hace un factor), luego $\ker u$ es la recta de las constantes. Imagen: sobre la base monomial,

u(X^k) = k\,X^{k} \qquad (k = 0, 1, \dots, n),

luego $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}(X, 2X^2, \dots, nX^n) = \operatorname{Vect}(X, X^2, \dots, X^n)$ : los polinomios con término constante nulo. Comprobación con el teorema del rango: $\operatorname{rk} u = (n + 1) - 1 = n$ , que es en efecto la dimensión hallada. Dos observaciones que conviene guardar. Primera: aquí $\operatorname{im} u \oplus \ker u = \R_n[X]$ — pero eso es un feliz accidente de este operador, no un teorema: para el $v(P) = P'$ , de tipo desplazamiento, en $\R_1[X]$ se tiene $\ker v = \operatorname{im} v = \R_0[X]$ y la suma no es directa. Segunda: la relación $u(X^k) = kX^k$ dice que cada monomio simplemente se reescala con $u$ — una base adaptada a la aplicación, el germen de la idea de valor propio que se desarrolla en el volumen del segundo año.

20.3 Proyecciones y simetrías

Definición 20.14

Sea $E = F \oplus G$ . La proyección sobre $F$ paralelamente a $G$ lleva $x = f + g$ (descomposición única) a $p(x) = f$ ; la simetría asociada es $s(x) = f - g$ . Las dos son lineales, y $s = 2p - \mathrm{id}$ .

Teorema 20.15 (Algebraic characterization)

Un endomorfismo $p$ es una proyección (sobre cierto $F$ paralelamente a cierto $G$ ) si y solo si $p \circ p = p$ ; y entonces $F = \operatorname{im} p = \ker(p - \mathrm{id})$ y $G = \ker p$ .
Un endomorfismo $s$ es una simetría si y solo si $s \circ s = \mathrm{id}$ ; y entonces $E = \ker(s - \mathrm{id}) \oplus \ker(s + \mathrm{id})$ .

Demostración. (1) Una proyección cumple $p(f + g) = f$ y $p(f) = f$ : $p^2 = p$ . Recíprocamente, sea $p^2 = p$ ; póngase $F = \operatorname{im} p$ , $G = \ker p$ . Todo $x$ se escribe $x = p(x) + (x - p(x))$ con $p(x) \in F$ y $p\bigl(x - p(x)\bigr) = p(x) - p^2(x) = 0$ : $E = F + G$ . Si $y \in F \cap G$ : $y = p(z)$ y $p(y) = 0$ , luego $y = p(z) = p^2(z) = p(y) = 0$ : suma directa, y $p$ es la proyección sobre $F$ paralelamente a $G$ . Por último, en $F$ : $y = p(z)$ da $p(y) = y$ , luego $F \subseteq \ker(p - \mathrm{id})$ ; y, recíprocamente, $p(y) = y$ mete a $y$ en la imagen.

(2) La correspondencia $s = 2p - \mathrm{id}$ , $p = \frac{s + \mathrm{id}}2$ es una biyección entre endomorfismos, y mediante ella

s^2 = 4p^2 - 4p + \mathrm{id} = \mathrm{id} \iff 4p^2 = 4p \iff p^2 = p :

las simetrías se corresponden exactamente con las proyecciones. Traduciendo los subespacios: $s(x) = x \iff p(x) = x$ , luego $\ker(s - \mathrm{id}) = \operatorname{im} p = F$ ; y $s(x) = -x \iff 2p(x) = 0 \iff x \in \ker p = G$ , luego $\ker(s + \mathrm{id}) = G$ . La suma directa $E = F \oplus G$ del punto (1) se convierte en la descomposición anunciada en los vectores fijos y los vectores invertidos por $s$ . ∎

Ejemplo 20.16 (Una proyección y su simetría, explícitamente)

En $\R^2$ , proyéctese sobre $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ paralelamente a $G = \operatorname{Vect}(0,1)$ . Descompóngase $(x, y) = a(1,1) + b(0,1)$ : la primera coordenada da $a = x$ y la segunda, $b = y - x$ . Por tanto,

p(x, y) = (x, x), \qquad s(x, y) = 2p(x,y) - (x,y) = (x,\ 2x - y).

Compruébese el álgebra: $p(p(x,y)) = p(x,x) = (x,x)$ y $s(s(x,y)) = s(x, 2x - y) = (x, 2x - (2x - y)) = (x, y)$ . Geométricamente, $s$ es la «reflexión oblicua» respecto de la recta $y = x$ en la dirección vertical: deja $F$ fijo punto a punto e invierte $G$ . Si hubiéramos proyectado sobre el mismo $F$ pero paralelamente a $G' = \operatorname{Vect}(1,-1)$ , la fórmula cambiaría a $p'(x,y) = \bigl(\frac{x+y}2, \frac{x+y}2\bigr)$ : una proyección queda determinada por su imagen y su núcleo, nunca por la imagen sola.

La proyección sobre F = Vect(1,1) paralelamente a G = Vect(0,1) y su simetría, sobre el punto M = (2,\ 0.5): deslizándose verticalmente, M llega a F en p(M) = (2,2) y aterriza en s(M) = 2p(M) - M = (2,\ 3.5), tan por encima de F (medido a lo largo de G) como M estaba por debajo. — La proyección sobre $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ paralelamente a $G = \operatorname{Vect}(0,1)$ y su simetría, sobre el punto $M = (2,\ 0.5)$ : deslizándose verticalmente, $M$ llega a $F$ en $p(M) = (2,2)$ y aterriza en $s(M) = 2p(M) - M = (2,\ 3.5)$ , tan por encima de $F$ (medido a lo largo de $G$ ) como $M$ estaba por debajo.

20.4 Formas lineales e hiperplanos

Definición 20.17

Una forma lineal en $E$ es una aplicación lineal $\varphi \colon E \to K$ . Un hiperplano de $E$ ( $\dim E = n$ ) es un subespacio de dimensión $n - 1$ .

Ejemplo 20.18 (Una forma de evaluación y su hiperplano)

En $\R_2[X]$ , la evaluación $\varphi(P) = P(2)$ es una forma lineal no nula ( $\varphi(1) = 1$ ). Su núcleo es el hiperplano de los polinomios que se anulan en $2$ , es decir (teorema del factor, Teorema 8.7), los múltiplos de $X - 2$ dentro de $\R_2[X]$ :

\ker\varphi = \operatorname{Vect}\bigl(X - 2,\ X(X - 2)\bigr), \qquad \dim = 2 .

En coordenadas sobre $(1, X, X^2)$ , $\varphi(a + bX + cX^2) = a + 2b + 4c$ : toda forma lineal en un espacio de dimensión finita es, una vez fijada una base, una expresión lineal fija en las coordenadas — las formas son «vectores fila», como el Capítulo 21 volverá literal, y la fila de coeficientes de aquí, $(1, 2, 4)$ , es una fila de Vandermonde: las formas de evaluación son la puerta por la que entra en el álgebra lineal la teoría de interpolación del problema del fin de semana del Capítulo 22.

Teorema 20.19

Los hiperplanos de $E$ son exactamente los núcleos de las formas lineales no nulas. Y dos formas no nulas tienen el mismo núcleo si y solo si son proporcionales.

Demostración. Si $\varphi \neq 0$ : $\operatorname{rk}\varphi = 1$ (la imagen es un subespacio no nulo de $K$ ), luego $\dim\ker\varphi = n - 1$ : un hiperplano. Recíprocamente, sea $H$ un hiperplano y $(e_1, \dots, e_{n-1})$ una base de $H$ completada por $e_n$ : la forma «última coordenada» tiene núcleo $H$ .

Dos formas proporcionales comparten su núcleo. Recíprocamente, supóngase $\ker\varphi = \ker\psi = H$ y tómese $a \notin H$ : todo $x$ se escribe $x = h + \lambda a$ (pues $E = H \oplus Ka$ ), y

\varphi(x) = \lambda \varphi(a), \qquad \psi(x) = \lambda\psi(a):

luego $\varphi = \frac{\varphi(a)}{\psi(a)}\,\psi$ . ∎

Ejemplo 20.20

En $K^n$ , un hiperplano es un conjunto de soluciones $\{a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = 0\}$ con los $a_i$ no todos nulos — la conocida ecuación de un plano que pasa por el origen en $\R^3$ . En los espacios de funciones, las formas de evaluación $P \mapsto P(1)$ o $f \mapsto \int_0^1 f$ definen hiperplanos de $\R_n[X]$ y de $C(\intcc{0}{1})$ (cf. Ejercicio 19.6).

Ejemplo 20.21 (Un hiperplano, trabajado de tres maneras)

Tómense $\varphi(x, y, z) = x - 2y + 3z$ en $\R^3$ y $H = \ker\varphi$ . Base: resuélvase $x = 2y - 3z$ :

(2y - 3z,\ y,\ z) = y\,(2, 1, 0) + z\,(-3, 0, 1),

dos vectores libres: $\dim H = 2$ , un hiperplano, como predice el Teorema 20.19 a partir de $\varphi \neq 0$ . Recta suplementaria: cualquier vector fuera de $H$ genera una, por ejemplo $a = (1, 0, 0)$ ( $\varphi(a) = 1 \neq 0$ ); y la descomposición de un $v$ arbitrario es explícita:

v = \underbrace{\bigl(v - \varphi(v)\,a\bigr)}_{\in\,H} + \underbrace{\varphi(v)\,a}_{\in\,\operatorname{Vect}(a)},

ya que $\varphi\bigl(v - \varphi(v)a\bigr) = \varphi(v) - \varphi(v)\varphi(a) = 0$ . Proporcionalidad: si $\psi(x,y,z) = -2x + 4y - 6z$ , entonces $\psi = -2\varphi$ y las dos tienen núcleo $H$ ; recíprocamente, toda forma que se anule en $H$ es múltiplo de $\varphi$ (Ejercicio 20.8) — la ecuación de un hiperplano es única salvo escala, hecho que se usa constantemente para los planos en geometría.

Observación 20.22 (Errores frecuentes)

El núcleo y la imagen viven en espacios distintos: $\ker u \subseteq E$ , $\operatorname{im} u \subseteq F$ ; la suma $\ker u + \operatorname{im} u$ solo tiene sentido para endomorfismos y, aun así, no tiene por qué ser directa ( $u(x, y) = (y, 0)$ tiene $\ker u = \operatorname{im} u$ ; el Ejercicio 20.7 caracteriza cuándo sí lo es). $u^2 = 0$ no significa $u = 0$ : ese mismo $u(x,y) = (y, 0)$ tiene cuadrado nulo sin anularse — lo que $u^2 = 0$ dice de verdad es $\operatorname{im} u \subseteq \ker u$ (Ejercicio 20.5). Inyectiva $\iff$ sobreyectiva exige dimensiones finitas iguales: en $K[X]$ , la derivada es sobreyectiva y no inyectiva, y $P \mapsto XP$ es inyectiva y no sobreyectiva (Corolario 20.9); y entre espacios de dimensiones distintas, una de las dos implicaciones es sencillamente imposible ( $\operatorname{rk} u \leq \min(\dim E, \dim F)$ ). Prescribir imágenes funciona sobre una base, no sobre una familia cualquiera: exigir $u(1, 0) = a$ , $u(0, 1) = b$ , $u(1, 1) = c$ sobredetermina $u$ salvo que $c = a + b$ ; una aplicación lineal es libre en una base y esclava en todo lo demás. El rango no se conserva al componer: solo puede bajar, $\operatorname{rk}(vu) \leq \min(\operatorname{rk} u, \operatorname{rk} v)$ (Ejercicio 20.4), con la pérdida exacta medida en el Ejercicio 20.12.

Observación 20.23 (Adónde van estas aplicaciones)

Las aplicaciones lineales están a punto de convertirse en matrices: una vez fijadas las bases, el Capítulo 21 codifica cada $u \in \mathcal{L}(E, F)$ mediante una tabla rectangular, y la composición pasa a ser el producto de matrices — y el teorema del rango dirige después la teoría de los sistemas lineales en el Capítulo 22. Las proyecciones vuelven en el Capítulo 23 en su caso particular más útil, la proyección ortogonal, donde el núcleo se elige perpendicular a la imagen. El problema del fin de semana de más abajo lleva el álgebra de proyectores tan lejos como alcanzan las herramientas de primer año, hasta el lema de Fitting; y el volumen del segundo año va más allá, con la traza y con la teoría de valores propios, para la que los proyectores sobre subespacios estables son las piezas básicas.

Observación 20.24 (Perspectivas dentro del libro 3: el teorema del rango tres veces más)

La ley de conservación $\dim E = \dim\ker u + \operatorname{rk} u$ se releerá tres veces antes de que acabe el volumen. En el Capítulo 22 se convierte en la forma de los conjuntos de soluciones: un sistema compatible con $p$ incógnitas y rango $r$ tiene un conjunto de soluciones de dimensión $p - r$ — la dimensión del núcleo disfrazada. En el Capítulo 23 se parte de forma ortogonal, $\dim F + \dim F^\perp = \dim E$ , y mueve todo cálculo de distancias. Y en el problema del fin de semana del Capítulo 25 es el contable de los mínimos cuadrados: $n$ observaciones, $2$ parámetros ajustados, $n - 2$ dimensiones de residuo, y la identidad pitagórica $\norm b^2 = \norm p^2 + \norm{b - p}^2$ es la sombra euclídea del teorema del rango. Un teorema, cuatro disfraces.

20.5 Ejercicios

Ejercicio 20.1 ★

¿Qué aplicaciones son lineales?

$\R^2 \to \R^2$ , $(x, y) \mapsto (x + y, x - 2y)$ ;
$\R^2 \to \R$ , $(x, y) \mapsto xy$ ;
$\R[X] \to \R[X]$ , $P \mapsto P' + XP$ ;
$\mathcal{F}(\R,\R) \to \R$ , $f \mapsto f(3)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 20.1.

(1) Lineal: las coordenadas son expresiones lineales. (2) No lineal: $u(2(1,1)) = 4 \neq 2 = 2u(1,1)$ . (3) Lineal: lo son derivar y multiplicar por $X$ , y las sumas de aplicaciones lineales también. (4) Lineal: la evaluación respeta las operaciones punto a punto.

Ejercicio 20.2 ★

Sea $u \colon \R^3 \to \R^3$ , $(x,y,z) \mapsto (x + y - z,\; 2x + y + z,\; 3x + 2y)$ . Determínense $\ker u$ (base y dimensión), $\operatorname{rk} u$ y una base de $\operatorname{im} u$ . ¿Es $u$ inyectiva? ¿sobreyectiva?

Solución

Solución de Ejercicio 20.2.

Núcleo: resuélvase $x + y - z = 0$ , $2x + y + z = 0$ , $3x + 2y = 0$ . De la tercera, $y = -\frac{3x}{2}$ ; la primera da $z = x + y = -\frac x2$ ; y compruébese en la segunda: $2x - \frac{3x}{2} - \frac x2 = 0$ : se cumple. Luego $\ker u = \operatorname{Vect}\bigl((2, -3, -1)\bigr)$ (tomando $x = 2$ ), de dimensión $1$ .

Teorema del rango: $\operatorname{rk} u = 3 - 1 = 2$ . Imagen: generada por las imágenes de la base canónica, $u(e_1) = (1,2,3)$ , $u(e_2) = (1,1,2)$ , $u(e_3) = (-1,1,0)$ ; las dos primeras son libres y el rango es $2$ : base $\bigl((1,2,3), (1,1,2)\bigr)$ .

No es inyectiva ( $\ker \neq \{0\}$ ) ni sobreyectiva (rango $2 < 3$ ): coherente con el Corolario 20.9.

Ejercicio 20.3 ★

Sea $u \colon \R_n[X] \to \R_n[X]$ , $P \mapsto P - P'$ . Demuéstrese que $u$ es un isomorfismo: una vez por $\ker u$ y otra exhibiendo la inversa (considérese $P + P' + P'' + \dots$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 20.3.

Núcleo: $P = P'$ fuerza $\deg P = \deg P'$ salvo que $P = 0$ ; pero $\deg P' < \deg P$ para $P \neq 0$ : luego $\ker u = \{0\}$ y $u$ , endomorfismo inyectivo del $\R_n[X]$ de dimensión finita, es un isomorfismo (Corolario 20.9).

Inversa: sea $v(P) = P + P' + P'' + \dots + P^{(n)}$ (suma finita en $\R_n[X]$ ). Entonces

v\bigl(u(P)\bigr) = \sum_{k=0}^{n} (P - P')^{(k)} = \sum_{k=0}^{n} P^{(k)} - \sum_{k=0}^{n} P^{(k+1)} = P - P^{(n+1)} = P ,

telescopando, ya que $P^{(n+1)} = 0$ . Luego $v = u^{-1}$ .

Ejercicio 20.4 ★

Sean $u \in \mathcal{L}(E, F)$ y $v \in \mathcal{L}(F, G)$ , con los espacios de dimensión finita. Demuéstrese:

\operatorname{rk}(v \circ u) \leq \min\bigl(\operatorname{rk} u,\ \operatorname{rk} v\bigr).

Solución

Solución de Ejercicio 20.4.

$\operatorname{im}(v \circ u) = v(\operatorname{im} u) \subseteq \operatorname{im} v$ : rango $\leq \operatorname{rk} v$ . Y $v$ restringida a $\operatorname{im} u$ tiene imagen $\operatorname{im}(vu)$ ; con el teorema del rango dentro de $\operatorname{im} u$ : $\operatorname{rk}(vu) \leq \dim\operatorname{im} u = \operatorname{rk} u$ .

Ejercicio 20.5 ★★

Sea $u$ un endomorfismo de $E$ (de dimensión finita) con $u^2 = 0$ . Demuéstrese que $\operatorname{im} u \subseteq \ker u$ y, por tanto, que $\operatorname{rk} u \leq \frac{\dim E}{2}$ . Para $E = \R^2$ , dese un ejemplo con igualdad.

Solución

Solución de Ejercicio 20.5.

$u^2 = 0$ significa $u(u(x)) = 0$ para todo $x$ : todo $u(x)$ está en $\ker u$ , es decir, $\operatorname{im} u \subseteq \ker u$ . Y entonces el teorema del rango:

\dim E = \dim\ker u + \operatorname{rk} u \geq 2\operatorname{rk} u .

Ejemplo con igualdad en $\R^2$ : $u(x, y) = (y, 0)$ : $u^2 = 0$ y $\operatorname{rk} u = 1 = \frac{\dim E}{2}$ .

Ejercicio 20.6 ★★

Sean $p, q$ proyecciones de $E$ con $p \circ q = q \circ p$ . Demuéstrese que $p \circ q$ es una proyección, con

\operatorname{im}(pq) = \operatorname{im} p \cap \operatorname{im} q , \qquad \ker (pq) = \ker p + \ker q .

Solución

Solución de Ejercicio 20.6.

$(pq)^2 = pqpq = ppqq = pq$ (por la conmutación): una proyección (Teorema 20.15).

Imagen: $\operatorname{im}(pq) \subseteq \operatorname{im} p$ y $= \operatorname{im}(qp) \subseteq \operatorname{im} q$ : está contenida en la intersección. Recíprocamente, si $x \in \operatorname{im} p \cap \operatorname{im} q$ , entonces $p(x) = x$ y $q(x) = x$ (los puntos fijos caracterizan la imagen de una proyección), luego $pq(x) = x$ : $x \in \operatorname{im}(pq)$ .

Núcleo: $\ker p \subseteq \ker(qp) = \ker(pq)$ y, análogamente, $\ker q \subseteq \ker(pq)$ : la suma está contenida. Recíprocamente, sea $pq(x) = 0$ y escríbase

x = \underbrace{q(x)}_{\in\, \ker p} + \underbrace{(x - q(x))}_{\in\, \ker q} :

el primer término cumple $p(q(x)) = 0$ , luego está en $\ker p$ ; y el segundo está en $\ker q$ , ya que $q(x - q(x)) = q(x) - q^2(x) = 0$ . Por tanto, $x \in \ker p + \ker q$ .

Ejercicio 20.7 ★★

Sea $u \in \mathcal{L}(E)$ , con $E$ de dimensión finita. Demuéstrese la equivalencia de:

$E = \ker u \oplus \operatorname{im} u$ ;
$\ker u = \ker u^2$ ;
$\operatorname{im} u = \operatorname{im} u^2$ .

Solución

Solución de Ejercicio 20.7.

Nótense primero las inclusiones generales $\ker u \subseteq \ker u^2$ y $\operatorname{im} u^2 \subseteq \operatorname{im} u$ y, por el teorema del rango, (2) $\iff$ (3) (núcleos iguales $\iff$ rangos iguales $\iff$ imágenes iguales, dadas las inclusiones).

(1 $\Rightarrow$ 2): sea $u^2(x) = 0$ ; entonces $u(x) \in \ker u \cap \operatorname{im} u = \{0\}$ , luego $x \in \ker u$ .

(2 $\Rightarrow$ 1): por Grassmann y el teorema del rango, $\dim(\ker u + \operatorname{im} u) = \dim\ker u + \operatorname{rk} u - \dim(\ker u \cap \operatorname{im} u) = \dim E - \dim(\ker u \cap \operatorname{im} u)$ : la suma es $E$ si y solo si la intersección es $\{0\}$ . Sea $y \in \ker u \cap \operatorname{im} u$ : $y = u(x)$ y $u(y) = 0$ , luego $u^2(x) = 0$ y, por (2), $u(x) = 0$ : $y = 0$ . Por tanto, $E = \ker u \oplus \operatorname{im} u$ .

Ejercicio 20.8 ★★

Sean $\varphi, \psi$ formas lineales en $E$ con $\ker\varphi \subseteq \ker\psi$ . Demuéstrese que $\psi = \lambda\varphi$ para algún $\lambda \in K$ (incluidos los casos degenerados).

Solución

Solución de Ejercicio 20.8.

Si $\varphi = 0$ : entonces $\ker\varphi = E \subseteq \ker\psi$ fuerza $\psi = 0 = 0\cdot\varphi$ . Si $\varphi \neq 0$ : $\ker\varphi$ es un hiperplano; tómese $a \notin \ker\varphi$ y póngase $\lambda = \frac{\psi(a)}{\varphi(a)}$ . La forma $\psi - \lambda\varphi$ se anula en $\ker\varphi$ (las dos lo hacen, por la inclusión) y en $a$ : se anula en $\ker\varphi \oplus Ka = E$ . Luego $\psi = \lambda\varphi$ .

Ejercicio 20.9 ★★★

Sea $u \in \mathcal{L}(E)$ con $\dim E = n$ , y supóngase $u^n = 0$ pero $u^{n-1} \neq 0$ (un endomorfismo nilpotente máximo). Tómese $x$ con $u^{n-1}(x) \neq 0$ ; demuéstrese que $\bigl(x, u(x), \dots, u^{n-1}(x)\bigr)$ es una base de $E$ . (Aplíquense potencias de $u$ a una combinación nula, empezando por $u^{n-1}$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 20.9.

Supóngase $\lambda_0 x + \lambda_1 u(x) + \dots + \lambda_{n-1} u^{n-1}(x) = 0$ . Aplíquese $u^{n-1}$ : mueren todos los términos con un factor $u^{\geq n}$ y queda $\lambda_0 u^{n-1}(x) = 0$ , luego $\lambda_0 = 0$ . Aplíquese $u^{n-2}$ a la relación restante: $\lambda_1 u^{n-1}(x) = 0$ , luego $\lambda_1 = 0$ ; y así sucesivamente. La familia es libre y, al ser de tamaño $n = \dim E$ , es una base (Proposición 19.8). (En esa base, $u$ actúa como un desplazamiento — el modelo de la nilpotencia máxima.)

Ejercicio 20.10 ★★★

Sea $f \in \mathcal{L}(\R^n)$ con $f \circ f = -\mathrm{id}$ .

Demuéstrese que $f$ es un isomorfismo y que ningún $x \neq 0$ cumple $f(x) = \lambda x$ con $\lambda \in \R$ .
Demuéstrese que $n$ es par. Indicación: tómese $x_1 \neq 0$ ; véase que $\operatorname{Vect}(x_1, f(x_1))$ es un plano estable por $f$ ; elíjase $x_2$ fuera de él e itérese, demostrando que $\bigl(x_1, f(x_1), x_2, f(x_2), \dots\bigr)$ sigue libre.

Solución

Solución de Ejercicio 20.10.

$f \circ f = -\mathrm{id}$ es biyectiva, luego $f$ lo es (Proposición 1.26 adaptada: $f$ tiene la inversa bilátera $-f$ ). Si $f(x) = \lambda x$ con $x \neq 0$ : aplicando $f$ , $-x = \lambda^2 x$ , luego $\lambda^2 = -1$ : imposible en $\R$ .
Constrúyase la familia con voracidad. Tómese $x_1 \neq 0$ : $(x_1, f(x_1))$ es libre por (1). Si el $\operatorname{Vect}$ de la familia en curso $\bigl(x_1, f(x_1), \dots, x_k, f(x_k)\bigr)$ , llamémoslo $V_k$ —un subespacio estable por $f$ (cada generador va a otro generador o a su opuesto: $f(f(x_i)) = -x_i$ )—, no es todo $E$ , elíjase $x_{k+1} \notin V_k$ . Afirmación: la familia ampliada es libre. Supóngase $\alpha x_{k+1} + \beta f(x_{k+1}) + v = 0$ con $v \in V_k$ y $(\alpha, \beta) \neq (0,0)$ . Aplíquese $f$ : $\alpha f(x_{k+1}) - \beta x_{k+1} + f(v) = 0$ con $f(v) \in V_k$ . Elimínese $f(x_{k+1})$ entre las dos relaciones (multiplíquese la primera por $\alpha$ , la segunda por $-\beta$ y súmense):

$(\alpha^2 + \beta^2)\, x_{k+1} \in V_k ,$

y $\alpha^2 + \beta^2 \neq 0$ fuerza $x_{k+1} \in V_k$ : contradicción. Así que la construcción continúa, añadiendo vectores de dos en dos, hasta que $V_k = E$ : la familia final es una base de tamaño par, y $n$ es par.

Ejercicio 20.11 ★★

Sean $u, v \in \mathcal{L}(E, F)$ , con los espacios de dimensión finita. Demuéstrese la cota por los dos lados

\abs{\operatorname{rk} u - \operatorname{rk} v} \;\leq\; \operatorname{rk}(u + v) \;\leq\; \operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v .

(Para la cota superior, compárese $\operatorname{im}(u+v)$ con $\operatorname{im} u + \operatorname{im} v$ ; y para la inferior, aplíquese hábilmente la cota superior.)

Solución

Solución de Ejercicio 20.11.

Cota superior: para todo $x$ , $(u + v)(x) = u(x) + v(x) \in \operatorname{im} u + \operatorname{im} v$ , luego

\operatorname{rk}(u + v) \leq \dim(\operatorname{im} u + \operatorname{im} v) \leq \operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v

(Grassmann, Teorema 19.18). Cota inferior: aplíquese la cota superior a la pareja $(u + v, -v)$ , cuya suma es $u$ :

\operatorname{rk} u \leq \operatorname{rk}(u + v) + \operatorname{rk}(-v) = \operatorname{rk}(u + v) + \operatorname{rk} v,

luego $\operatorname{rk} u - \operatorname{rk} v \leq \operatorname{rk}(u+v)$ ; e intercambiando $u$ y $v$ se obtiene el valor absoluto.

Ejercicio 20.12 ★★★

(Desigualdad de Frobenius) Sean $u \in \mathcal{L}(E, F)$ , $w \in \mathcal{L}(F, G)$ y $v \in \mathcal{L}(G, H)$ , con todos los espacios de dimensión finita. Demuéstrese la fórmula exacta

\operatorname{rk}(v \circ w) = \operatorname{rk} w - \dim\bigl(\ker v \cap \operatorname{im} w\bigr),

y dedúzcase la desigualdad de Frobenius

\operatorname{rk}(v \circ w) + \operatorname{rk}(w \circ u) \;\leq\; \operatorname{rk} w + \operatorname{rk}(v \circ w \circ u) .

Compruébese que el caso $w = \mathrm{id}_F$ es la desigualdad de Sylvester, demostrada en forma matricial en el Ejercicio 21.10.

Solución

Solución de Ejercicio 20.12.

Fórmula exacta. Sea $v'$ la restricción de $v$ al subespacio $\operatorname{im} w$ . Su imagen es $v(w(F)) = \operatorname{im}(v \circ w)$ y su núcleo es $\ker v \cap \operatorname{im} w$ . Teorema del rango para $v'$ sobre el espacio $\operatorname{im} w$ :

\operatorname{rk} w = \dim\operatorname{im} w = \operatorname{rk}(v \circ w) + \dim(\ker v \cap \operatorname{im} w) .

Frobenius. Aplíquese dos veces la fórmula exacta, a $w$ y a $w \circ u$ :

\operatorname{rk} w - \operatorname{rk}(vw) = \dim\bigl(\ker v \cap \operatorname{im} w\bigr), \qquad \operatorname{rk}(wu) - \operatorname{rk}(vwu) = \dim\bigl(\ker v \cap \operatorname{im}(wu)\bigr) .

Como $\operatorname{im}(w \circ u) \subseteq \operatorname{im} w$ , la segunda intersección está contenida en la primera y su dimensión no es mayor:

\operatorname{rk}(wu) - \operatorname{rk}(vwu) \;\leq\; \operatorname{rk} w - \operatorname{rk}(vw) ,

que se reordena en la desigualdad de Frobenius. Con $w = \mathrm{id}_F$ (de rango $\dim F$ , y con $\operatorname{im}\, \mathrm{id}_F = F$ ): $\operatorname{rk} v + \operatorname{rk} u \leq \dim F + \operatorname{rk}(vu)$ , la desigualdad de Sylvester — demostrada de nuevo, en forma matricial, en el Ejercicio 21.10.

20.6 Problema: cálculo de proyectores y lema de Fitting

Problema 20.1

Las proyecciones son los endomorfismos que producen las sumas directas, y recíprocamente: toda identidad $E = F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ es en secreto una familia de proyectores que suman la identidad. Este problema desarrolla ese diccionario —el álgebra de un proyector, de dos, de $k$ — y aplica después las mismas ideas de estabilización a un endomorfismo arbitrario, demostrando el lema de Fitting: todo endomorfismo de un espacio de dimensión finita se parte en una parte nilpotente y una parte invertible. En todo el problema, $E$ es un $K$ -espacio vectorial de dimensión $n$ , y proyector significa $p \in \mathcal{L}(E)$ con $p^2 = p$ (Teorema 20.15).

Parte I — El álgebra en torno a un proyector. Sea $p$ un proyector, $p \neq 0$ , $p \neq \mathrm{id}$ .

Véase que $\mathrm{id} - p$ es un proyector e identifíquense $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p)$ y $\ker(\mathrm{id} - p)$ .
Calcúlese $(\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p)^2$ y determínense todas las parejas $(\lambda, \mu) \in K^2$ para las que $\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p$ es un proyector.
Véase que el plano $\operatorname{Vect}(\mathrm{id}, p)$ de $\mathcal{L}(E)$ es estable por composición y que, para todo polinomio $Q \in K[X]$ ,

$Q(p) = Q(0)\,\mathrm{id} + \bigl(Q(1) - Q(0)\bigr)\,p .$
Determínese para qué $(\lambda, \mu)$ la aplicación $\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p$ es invertible, y dese su inversa en la forma $\alpha\,\mathrm{id} + \beta\,p$ . Interprétese la respuesta mediante la acción de $\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p$ sobre $\operatorname{im} p$ y sobre $\ker p$ .
Sea $p'$ otro proyector con la misma imagen $\operatorname{im} p' = \operatorname{im} p$ . Véase que $p\,p' = p'$ y $p'\,p = p$ . ¿Qué dicen estas identidades sobre componer proyecciones sobre el mismo subespacio paralelamente a núcleos distintos?

Parte II — Dos proyectores. Sean $p, q$ proyectores de $E$ ; supóngase que la característica no es $2$ (cierto para $K = \R, \C$ ).

Supóngase que $p + q$ es un proyector. Desarrollando $(p + q)^2$ , véase que $pq + qp = 0$ ; componiendo con $p$ por la izquierda y después por la derecha, dedúzcase $pq = qp$ y conclúyase $pq = qp = 0$ .
Recíprocamente, supóngase $pq = qp = 0$ . Véase que $p + q$ es un proyector, con

$\operatorname{im}(p + q) = \operatorname{im} p \oplus \operatorname{im} q, \qquad \ker(p + q) = \ker p \cap \ker q .$
Véase que $p - q$ es un proyector si y solo si $pq = qp = q$ . (Aplíquense las preguntas 6–7 a $\mathrm{id} - p$ y a $q$ .)
Véase el significado geométrico de $pq = qp = q$ : se cumple si y solo si $\operatorname{im} q \subseteq \operatorname{im} p$ y $\ker p \subseteq \ker q$ . (Entonces se escribe $q \leq p$ : « $q$ proyecta sobre menos, paralelamente a más».)
Supóngase ahora que $p, q$ conmutan. Recuérdese del Ejercicio 20.6 que $pq$ es el proyector sobre $\operatorname{im} p \cap \operatorname{im} q$ paralelamente a $\ker p + \ker q$ . Véase que $r = p + q - pq$ es un proyector con

$\operatorname{im} r = \operatorname{im} p + \operatorname{im} q, \qquad \ker r = \ker p \cap \ker q .$

(Considérese $\mathrm{id} - r = (\mathrm{id} - p)(\mathrm{id} - q)$ .)

Parte III — Descomposiciones de la identidad.

Sea $E = F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ y, para $x = x_1 + \dots + x_k$ (descomposición única, $x_i \in F_i$ ), póngase $p_i(x) = x_i$ . Véase que cada $p_i$ es un proyector, que $p_i p_j = 0$ para $i \neq j$ y que $p_1 + \dots + p_k = \mathrm{id}$ ; identifíquense $\operatorname{im} p_i$ y $\ker p_i$ .
Recíprocamente, sean $p_1, \dots, p_k \in \mathcal{L}(E)$ con $p_1 + \dots + p_k = \mathrm{id}$ y $p_i p_j = 0$ para todos $i \neq j$ . Véase que cada $p_i$ es un proyector y que $E = \operatorname{im} p_1 \oplus \dots \oplus \operatorname{im} p_k$ .
Dos proyectores con $p + q = \mathrm{id}$ : véase que $pq = qp = 0$ se cumple automáticamente.
Tres proyectores con $p + q + r = \mathrm{id}$ : véase que $p + q$ es un proyector y dedúzcase de la pregunta 6 que se anulan todos los productos dos a dos — luego $E = \operatorname{im} p \oplus \operatorname{im} q \oplus \operatorname{im} r$ , sin ninguna hipótesis sobre los productos.
Para $k$ proyectores con $p_1 + \dots + p_k = \mathrm{id}$ : véase primero que, para subespacios cualesquiera, $\dim (F_1 + \dots + F_k) \leq \dim F_1 + \dots + \dim F_k$ , con igualdad si y solo si la suma es directa; véase después que $E = \operatorname{im} p_1 + \dots + \operatorname{im} p_k$ , y demuéstrese que si además $\sum_i \operatorname{rk} p_i \leq n$ , la suma es directa y $p_i p_j = 0$ para $i \neq j$ .

Parte IV — Núcleos iterados: el lema de Fitting. Sea $u \in \mathcal{L}(E)$ , $\dim E = n$ .

Véanse las dos cadenas, válidas para todo $k \geq 0$ :

$\ker u^k \subseteq \ker u^{k+1}, \qquad \operatorname{im} u^{k+1} \subseteq \operatorname{im} u^k .$
Véase que si $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ para algún $r$ , entonces $\ker u^{k} = \ker u^{r}$ para todo $k \geq r$ ; enúnciese y demuéstrese la estabilización análoga para las imágenes.
Dedúzcase que hay un entero mínimo $r$ con $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ , que $r \leq n$ y que las imágenes se estabilizan en ese mismo $r$ .
(Lema de Fitting) Demuéstrese que

$E \;=\; \ker u^{r} \,\oplus\, \operatorname{im} u^{r} .$
Véase que los dos subespacios son estables por $u$ , que la restricción de $u$ a $\ker u^{r}$ es nilpotente y que la restricción de $u$ a $\operatorname{im} u^{r}$ es un isomorfismo de $\operatorname{im} u^{r}$ : todo endomorfismo es, sobre una suma directa canónica, «nilpotente más invertible».
Sea $\pi$ el proyector sobre $\ker u^{r}$ paralelamente a $\operatorname{im} u^{r}$ . Véase que $\pi \circ u = u \circ \pi$ .

Parte V — Un caso trabajado, y síntesis.

Sea $u(x, y, z) = (y, 0, z)$ en $\R^3$ . Calcúlense $u^2$ y $u^3$ , determínense el índice de estabilización $r$ , los subespacios $\ker u^{r}$ y $\operatorname{im} u^{r}$ y el proyector de Fitting $\pi$ , y compruébese en las fórmulas que $\pi u = u\pi$ y que $u$ es nilpotente en un factor y biyectiva en el otro.
Véanse las equivalencias: $u$ nilpotente $\iff$ $\ker u^{r} = E$ $\iff$ $\pi = \mathrm{id}$ ; y dedúzcase que un endomorfismo nilpotente de un espacio de dimensión $n$ siempre cumple $u^{n} = 0$ (el índice de nilpotencia nunca supera la dimensión).
(Unicidad) Supóngase $E = A \oplus B$ con $A, B$ estables por $u$ , la restricción $u|_A$ nilpotente y $u|_B$ biyectiva. Demuéstrese $A = \ker u^{r}$ y $B = \operatorname{im} u^{r}$ : la descomposición de Fitting es única.
Síntesis, en cuatro frases: qué diccionario establece la parte III entre las sumas directas y las familias de proyectores; por qué la pregunta 14 no necesitó hipótesis sobre los productos mientras que la 15 necesitó una hipótesis de rango (y qué herramienta del segundo año, la traza, la elimina); en qué sentido el lema de Fitting es la versión estabilizada del Ejercicio 20.7; y en qué se convierten los dos factores de Fitting en la teoría de valores propios del volumen del segundo año. Nómbrese el teorema demostrado en la parte IV.

Solución

Solución de Problema 20.1.

1. $(\mathrm{id} - p)^2 = \mathrm{id} - 2p + p^2 = \mathrm{id} - p$ : un proyector. Si $y = x - p(x)$ , entonces $p(y) = p(x) - p^2(x) = 0$ y, recíprocamente, $x \in \ker p$ da $x = (\mathrm{id} - p)(x)$ : $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p) = \ker p$ . Y $(\mathrm{id} - p)(x) = 0 \iff p(x) = x \iff x \in \operatorname{im} p$ (los puntos fijos, Teorema 20.15): $\ker(\mathrm{id} - p) = \operatorname{im} p$ .

2. $(\lambda\,\mathrm{id} + \mu p)^2 = \lambda^2\,\mathrm{id} + (2\lambda\mu + \mu^2)\,p$ . La pareja $(\mathrm{id}, p)$ es libre en $\mathcal{L}(E)$ : $p = c\, \mathrm{id}$ daría $c^2 = c$ , luego $p = 0$ o $\mathrm{id}$ , excluidos. Identificando coeficientes, la aplicación es un proyector si y solo si $\lambda^2 = \lambda$ y $2\lambda\mu + \mu^2 = \mu$ . Para $\lambda = 0$ : $\mu \in \{0, 1\}$ . Para $\lambda = 1$ : $\mu^2 + \mu = 0$ , $\mu \in \{0, -1\}$ . Exactamente cuatro proyectores en el plano: $0$ , $p$ , $\mathrm{id}$ , $\mathrm{id} - p$ .

3. $(\lambda\,\mathrm{id} + \mu p)(\lambda'\,\mathrm{id} + \mu' p) = \lambda\lambda'\,\mathrm{id} + (\lambda\mu' + \mu\lambda' + \mu\mu')\,p$ : el plano es estable por composición. Y como $p^k = p$ para todo $k \geq 1$ , para $Q = \sum_k a_k X^k$ :

Q(p) = a_0\,\mathrm{id} + \Bigl(\sum_{k \geq 1} a_k\Bigr) p = Q(0)\,\mathrm{id} + \bigl(Q(1) - Q(0)\bigr)\,p .

4. En $\operatorname{im} p$ (donde $p$ actúa como la identidad), $\lambda\,\mathrm{id} + \mu p$ multiplica por $\lambda + \mu$ ; y en $\ker p$ , por $\lambda$ . Como $E = \operatorname{im} p \oplus \ker p$ , la aplicación es biyectiva si y solo si $\lambda \neq 0$ y $\lambda + \mu \neq 0$ . Resolviendo $\lambda\alpha = 1$ , $\lambda\beta + \mu\alpha + \mu\beta = 0$ en la regla de composición de la pregunta 3:

(\lambda\,\mathrm{id} + \mu p)^{-1} = \frac1\lambda\,\mathrm{id} - \frac{\mu}{\lambda(\lambda + \mu)}\,p ,

cuya acción es por $1/\lambda$ en $\ker p$ y por $1/(\lambda + \mu)$ en $\operatorname{im} p$ , como debe ser.

5. Escríbase $F = \operatorname{im} p = \operatorname{im} p'$ . Para todo $x$ , $p'(x) \in F$ y $p$ deja $F$ fijo punto a punto: $p(p'(x)) = p'(x)$ , es decir, $p\,p' = p'$ ; y simétricamente $p'\,p = p$ . Cuando dos proyecciones comparten su imagen, decide la que se aplica primero: su salida ya está en $F$ , donde la proyección exterior actúa como la identidad y no cambia nada.

6. $(p + q)^2 = p^2 + pq + qp + q^2 = (p + q) + pq + qp$ , de modo que ser $p + q$ un proyector fuerza $pq + qp = 0$ . Compóngase por la izquierda con $p$ : $pq + pqp = 0$ ; y por la derecha con $p$ : $pqp + qp = 0$ . Restando, $pq = qp$ ; entonces $pq + qp = 2pq = 0$ y la característica no es $2$ : $pq = qp = 0$ .

7. Con $pq = qp = 0$ , el mismo desarrollo da $(p + q)^2 = p + q$ . Imagen: siempre $\operatorname{im}(p + q) \subseteq \operatorname{im} p + \operatorname{im} q$ . Recíprocamente, para $x \in \operatorname{im} p$ : $q(x) = q(p(x)) = 0$ , luego $(p + q)(x) = p(x) = x$ y $x \in \operatorname{im}(p+q)$ ; igual para $\operatorname{im} q$ . Que es directa: $x \in \operatorname{im} p \cap \operatorname{im} q$ da $x = p(x) = p(q(x)) = 0$ . Núcleo: si $p(x) + q(x) = 0$ , aplicar $p$ da $p(x) + p(q(x)) = p(x) = 0$ , y aplicar $q$ da $q(x) = 0$ : $\ker(p + q) = \ker p \cap \ker q$ (la inclusión recíproca es clara).

8. $p - q$ es un proyector si y solo si lo es $\mathrm{id} - (p - q) = (\mathrm{id} - p) + q$ (pregunta 1, dos veces). Por las preguntas 6–7 aplicadas a los proyectores $\mathrm{id} - p$ y $q$ , esto se cumple si y solo si $(\mathrm{id} - p)q = q(\mathrm{id} - p) = 0$ , es decir, si y solo si $pq = q$ y $qp = q$ .

9. $pq = q$ significa que $p$ deja fijo todo $q(x)$ , es decir, $\operatorname{im} q \subseteq \ker(p - \mathrm{id}) = \operatorname{im} p$ . Y $qp = q$ significa $q\bigl((\mathrm{id} - p)(x)\bigr) = 0$ para todo $x$ , es decir, que $q$ se anula en $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p) = \ker p$ : $\ker p \subseteq \ker q$ . Los dos pasos son equivalencias: el orden $q \leq p$ dice que $q$ proyecta sobre una imagen menor, paralelamente a un núcleo mayor.

10. Desarrollando, $(\mathrm{id} - p)(\mathrm{id} - q) = \mathrm{id} - p - q + pq = \mathrm{id} - r$ . Los proyectores $\mathrm{id} - p$ y $\mathrm{id} - q$ conmutan, luego, por el Ejercicio 20.6, su producto $\mathrm{id} - r$ es el proyector sobre $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p) \cap \operatorname{im}(\mathrm{id} - q) = \ker p \cap \ker q$ paralelamente a $\ker(\mathrm{id} - p) + \ker(\mathrm{id} - q) = \operatorname{im} p + \operatorname{im} q$ . Por la pregunta 1, $r = \mathrm{id} - (\mathrm{id} - r)$ es entonces el proyector con $\operatorname{im} r = \operatorname{im} p + \operatorname{im} q$ y $\ker r = \ker p \cap \ker q$ .

11. $p_i$ está bien definida (por la unicidad de la descomposición) y es lineal (la descomposición de $x + \lambda y$ es la suma de las descomposiciones, otra vez por la unicidad). Para $x_i \in F_i$ , la descomposición es el propio $x_i$ , luego $p_i(x_i) = x_i$ : $p_i^2 = p_i$ ; y $p_j(x_i) = 0$ para $j \neq i$ : $p_i p_j = 0$ (pues $p_j(x) \in F_j$ ). Sumando las componentes, $\sum_i p_i = \mathrm{id}$ . Por último, $\operatorname{im} p_i = F_i$ y $\ker p_i = \bigoplus_{j \neq i} F_j$ .

12. $p_i = p_i \circ \mathrm{id} = p_i\sum_j p_j = p_i^2 + \sum_{j \neq i} p_i p_j = p_i^2$ : cada $p_i$ es un proyector. Todo $x = \mathrm{id}(x) = \sum_i p_i(x)$ está en $\sum_i \operatorname{im} p_i$ : las imágenes suman $E$ . Que es directa: supóngase $y_1 + \dots + y_k = 0$ con $y_i \in \operatorname{im} p_i$ , de modo que $p_i(y_i) = y_i$ . Aplíquese $p_j$ : $p_j (y_i) = p_j p_i (y_i) = 0$ para $i \neq j$ , luego $0 = p_j\bigl(\sum y_i\bigr) = y_j$ , para todo $j$ . Por tanto, $E = \bigoplus_i \operatorname{im} p_i$ .

13. $q = \mathrm{id} - p$ , y la pregunta 1 da $pq = p - p^2 = 0 = qp$ directamente: para dos proyectores, sumar la identidad ya fuerza la ortogonalidad de la pareja.

14. $p + q = \mathrm{id} - r$ con $r$ proyector, y $(\mathrm{id} - r)$ es un proyector (pregunta 1): luego $p + q$ es un proyector, y la pregunta 6 da $pq = qp = 0$ . Por simetría ( $q + r = \mathrm{id} - p$ y $p + r = \mathrm{id} - q$ ), se anulan todos los productos dos a dos, y la pregunta 12 concluye: $E = \operatorname{im} p \oplus \operatorname{im} q \oplus \operatorname{im} r$ , automáticamente.

15. Lema. Por inducción con Grassmann (Teorema 19.18):

\dim(F_1 + \dots + F_k) \leq \dim(F_1 + \dots + F_{k-1}) + \dim F_k \leq \dots \leq \sum_i \dim F_i .

Si el total es una igualdad, lo es cada paso: $(F_1 + \dots + F_{j-1}) \cap F_j = \{0\}$ para todo $j$ , y una relación $y_1 + \dots + y_k = 0$ ( $y_i \in F_i$ ) se derrumba desde la derecha: $y_k \in (F_1 + \dots + F_{k-1}) \cap F_k = \{0\}$ , después $y_{k-1} = 0$ , etc.: la suma es directa. Recíprocamente, una suma directa tiene dimensiones aditivas (concaténense bases). Aplicación: $x = \sum_i p_i(x)$ muestra $E = \sum_i \operatorname{im} p_i$ , luego $n \leq \sum_i \operatorname{rk} p_i$ ; la hipótesis da la igualdad y, por tanto, que es directa. Productos: fíjese $j$ y $y \in \operatorname{im} p_j$ . Entonces $y = \sum_i p_i(y)$ con $p_i(y) \in \operatorname{im} p_i$ , mientras que $y = y$ también es una descomposición (solo la componente $j$ ); la unicidad fuerza $p_i(y) = 0$ para $i \neq j$ . Aplicado a $y = p_j(x)$ : $p_i p_j = 0$ .

16. Si $u^k(x) = 0$ , entonces $u^{k+1}(x) = u(0) = 0$ . Y $\operatorname{im} u^{k+1} = u^k\bigl(u(E)\bigr) \subseteq u^k(E) = \operatorname{im} u^k$ .

17. Supóngase $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ y sea $x \in \ker u^{r+2}$ : entonces $u(x) \in \ker u^{r+1} = \ker u^{r}$ , luego $u^{r+1}(x) = 0$ : $x \in \ker u^{r+1}$ . Con la pregunta 16, $\ker u^{r+1} = \ker u^{r+2}$ y, por inducción, todos los núcleos posteriores coinciden con $\ker u^{r}$ . Para las imágenes: el teorema del rango da $\dim\operatorname{im} u^k = n - \dim\ker u^k$ , de modo que las dimensiones de las imágenes se congelan exactamente cuando lo hacen las de los núcleos y, con las inclusiones de la pregunta 16, dimensiones iguales significan subespacios iguales (Teorema 19.14).

18. La sucesión $\bigl(\dim\ker u^k\bigr)_k$ es no decreciente con valores en $\intint{0}{n}$ ; no puede crecer estrictamente $n + 1$ veces, así que para algún $r \leq n$ se tiene $\dim\ker u^{r} = \dim\ker u^{r+1}$ y, por tanto, $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ (inclusión más igualdad de dimensiones). Tómese el $r$ mínimo; la pregunta 17 lo congela todo a partir de $r$ , imágenes incluidas.

19. Intersección: sea $x \in \ker u^{r} \cap \operatorname{im} u^{r}$ , digamos $x = u^{r}(y)$ con $u^{r}(x) = 0$ . Entonces $u^{2r}(y) = 0$ , y $\ker u^{2r} = \ker u^{r}$ (pregunta 17), luego $x = u^{r}(y) = 0$ . Dimensiones: el teorema del rango para $u^{r}$ da $\dim\ker u^{r} + \dim\operatorname{im} u^{r} = n$ ; y con intersección trivial, Grassmann hace de la suma un subespacio de dimensión $n$ : $E = \ker u^{r} \oplus \operatorname{im} u^{r}$ .

20. Estabilidad: $u^{r}(u(x)) = u(u^{r}(x)) = 0$ para $x \in \ker u^{r}$ ; y $u(u^{r}(y)) = u^{r}(u(y)) \in \operatorname{im} u^{r}$ . En $N = \ker u^{r}$ : $(u|_N)^{r} = 0$ por definición de $N$ : nilpotente. En $I = \operatorname{im} u^{r}$ : $\ker(u|_I) = \ker u \cap I \subseteq \ker u^{r} \cap I = \{0\}$ , luego $u|_I$ es un endomorfismo inyectivo del $I$ de dimensión finita y, por tanto, biyectivo (Corolario 20.9).

21. Sea $x = a + b$ con $a \in N$ , $b \in I$ . Entonces $u(x) = u(a) + u(b)$ con $u(a) \in N$ y $u(b) \in I$ (pregunta 20): esa es la descomposición de $u(x)$ , luego $\pi(u(x)) = u(a) = u(\pi(x))$ : $\pi u = u\pi$ .

22. $u^2(x,y,z) = u(y, 0, z) = (0, 0, z)$ y $u^3(x,y,z) = u(0,0,z) = (0,0,z) = u^2(x,y,z)$ . Núcleos: $\ker u = \{y = z = 0\} = \operatorname{Vect}(e_1)$ , $\ker u^2 = \{z = 0\} = \operatorname{Vect}(e_1, e_2)$ , $\ker u^3 = \ker u^2$ : estabilización en $r = 2$ . Imágenes: $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}(e_1, e_3)$ , $\operatorname{im} u^2 = \operatorname{Vect}(e_3)$ . Fitting: $\R^3 = \operatorname{Vect}(e_1, e_2) \oplus \operatorname{Vect}(e_3)$ , y $\pi(x, y, z) = (x, y, 0)$ . Comprobación: $\pi u(x,y,z) = \pi(y, 0, z) = (y, 0, 0)$ y $u\pi(x,y,z) = u(x, y, 0) = (y, 0, 0)$ : iguales. En el primer factor, $u(x, y, 0) = (y, 0, 0)$ , cuyo cuadrado es $0$ : nilpotente; y en el segundo, $u(0,0,z) = (0,0,z)$ : la identidad, biyectiva.

23. Si $u^m = 0$ , entonces $\ker u^m = E$ ; y como los núcleos están congelados a partir de $r$ , $\ker u^{r} = \ker u^{\max(m, r)} = E$ . Recíprocamente, $\ker u^{r} = E$ significa $u^{r} = 0$ . Y $\ker u^{r} = E \iff$ el proyector de Fitting es sobre $E$ paralelamente a $\{0\}$ , es decir, $\pi = \mathrm{id}$ . Por último, $r \leq n$ (pregunta 18) da: todo endomorfismo nilpotente cumple $u^{n} = 0$ — el índice de nilpotencia nunca supera la dimensión.

24. Sea $m$ un índice de nilpotencia de $u|_A$ : $A \subseteq \ker u^{m} \subseteq \ker u^{\max(m,r)} = \ker u^{r}$ . Como $u|_B$ es biyectiva, $B = u(B) = u^{k}(B) \subseteq \operatorname{im} u^{k}$ para todo $k$ ; en particular, $B \subseteq \operatorname{im} u^{r}$ . Entonces

n = \dim A + \dim B \leq \dim\ker u^{r} + \dim\operatorname{im} u^{r} = n :

las dos inclusiones son igualdades de dimensiones y, por tanto, de subespacios: $A = \ker u^{r}$ , $B = \operatorname{im} u^{r}$ .

25. (i) La parte III es un diccionario: las descomposiciones $E = F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ se corresponden exactamente con las familias de proyectores con $\sum p_i = \mathrm{id}$ y $p_i p_j = 0$ , siendo los $F_i$ las imágenes. (ii) Para $k = 3$ , los complementarios $\mathrm{id} - p_i$ son ellos mismos proyectores, lo que cerró el argumento sin ninguna hipótesis extra; para $k$ general hace falta $\sum_i \operatorname{rk} p_i \leq n$ , una desigualdad que la traza del segundo año da gratis ( $\operatorname{tr} p = \operatorname{rk} p$ para un proyector, y las trazas suman $\operatorname{tr} \mathrm{id} = n$ ). (iii) El Ejercicio 20.7 es el lema de Fitting en el caso ya estabilizado $r \leq 1$ ; en general se deja que las cadenas de núcleos e imágenes se congelen, lo que lleva a lo sumo $n$ pasos. (iv) En el volumen del segundo año, aplicado a $u - \lambda\, \mathrm{id}$ , el factor nilpotente se convierte en el subespacio propio generalizado en $\lambda$ , y los proyectores de la parte III, en los proyectores espectrales de la teoría de reducción. El teorema de la parte IV es el lema de Fitting.

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