Matemáticas universitarias — Grado 1 · Bachelor Year 1

22Determinantes y sistemas lineales

El determinante condensa en un solo escalar la respuesta a «¿son estos $n$ vectores una base?» — y, geométricamente, mide el volumen que generan. Lo caracterizamos por sus propiedades (multilineal, alternado, normalizado), lo calculamos en las dimensiones $2$ y $3$ y, en general, por desarrollo por cofactores, y lo ponemos a trabajar sobre los sistemas lineales, junto al algoritmo para todo uso: la eliminación de Gauss.

22.1 El determinante

Teorema 22.1 (Caracterización)

Hay exactamente una aplicación $\det \colon \mathcal{M}_n(K) \to K$ , vista como función de las $n$ columnas, que sea:

lineal en cada columna (con las demás fijas);
alternada: intercambiar dos columnas cambia el signo (y, por tanto, dos columnas iguales dan $0$ );
normalizada: $\det I_n = 1$ .

Para $n = 2$ y $3$ :

\begin{vmatrix} a & b\\ c & d\end{vmatrix} = ad - bc, \qquad \begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i\end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh

(la regla de Sarrus $3 \times 3$ : los productos de las diagonales descendentes menos los de las ascendentes).

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 22.2

Para $n = 2$ : desarrollar por bilinealidad sobre las columnas canónicas da la fórmula, que recíprocamente cumple los axiomas — una demostración completa; $n = 3$ es idéntico, con más términos. El caso general (la existencia por la suma sobre las permutaciones, la unicidad por el mismo desarrollo) exige la signatura de una permutación y queda aplazado al segundo año; usamos con libertad los axiomas y las consecuencias de más abajo.

El desarrollo para $n = 2$ al completo, ya que es la plantilla: con columnas $C_1 = a\,e_1 + c\,e_2$ y $C_2 = b\,e_1 + d\,e_2$ , la bilinealidad da

\det(C_1, C_2) = ab\det(e_1, e_1) + ad\det(e_1, e_2) + cb\det(e_2, e_1) + cd\det(e_2, e_2),

y la alternancia mata las parejas repetidas y voltea $\det(e_2, e_1) = -\det(e_1, e_2)$ : toda la aplicación se colapsa en $(ad - bc)\det(e_1, e_2) = ad - bc$ por la normalización. La unicidad es visible en el propio cálculo —los axiomas no dejaron elección en ningún paso— y este es exactamente el hecho de unicidad con escala que se usa en la demostración de la regla del producto de más abajo.

Teorema 22.3 (Propiedades)

Para $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$ :

sumar a una columna un múltiplo de otra no cambia el determinante; y multiplicar una columna por $\lambda$ lo multiplica por $\lambda$ (de modo que $\det(\lambda A) = \lambda^n \det A$ );
$\det(AB) = \det A\, \det B$ ;
$A$ es invertible $\iff$ $\det A \neq 0$ $\iff$ las columnas forman una base de $K^n$ ; y entonces $\det(A^{-1}) = (\det A)^{-1}$ ;
$\det(A^{\mathsf T}) = \det A$ — de modo que toda regla para columnas es también una regla para filas;
el determinante de una matriz triangular es el producto de sus entradas diagonales.

Demostración. (1) Por linealidad, $\det(\dots, C_i + \lambda C_j, \dots) = \det A + \lambda\det(\dots, C_j, \dots)$ , donde el segundo determinante tiene dos columnas iguales: cero.

(2) Fíjese $A$ y considérese $\varphi(B) = \det(AB)$ como función de las columnas de $B$ : como $AB$ tiene columnas $AB_j$ , $\varphi$ es multilineal y alternada en las $B_j$ . Admitimos, con el Teorema 22.1, su enunciado de unicidad en forma escalada: toda aplicación $\varphi$ multilineal y alternada de las columnas es igual a $\varphi(I_n) \cdot \det$ . Aquí $\varphi(I_n) = \det A$ , luego $\det(AB) = \det A \cdot \det B$ .

(3) Si $A$ es invertible: $\det A\,\det A^{-1} = \det I = 1$ , luego $\det A \neq 0$ y vale la fórmula de la inversa. Y si $A$ no es invertible, sus columnas son ligadas (Corolario 20.9 y Proposición 20.2); expresar una columna mediante las demás y desarrollar por linealidad deja determinantes con dos columnas iguales: $\det A = 0$ . El enunciado sobre la base es la Proposición 19.8.

(4) Admitido con la construcción general (es inmediato sobre la fórmula con permutaciones); lo registramos para usar operaciones por filas.

(5) Si alguna entrada diagonal se anula, las primeras $k$ columnas son ligadas para algún $k$ (consideraciones de rango) y $\det = 0 =$ el producto. En caso contrario, límpiese cada columna por debajo y a la izquierda con operaciones de tipo (1) —posible en la forma triangular—, llegando a la matriz diagonal, cuyo determinante es el producto de las entradas por multilinealidad desde $I_n$ . ∎

Ejemplo 22.4 (Las reglas, comprobadas con números)

Tómense $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}$ ( $\det A = -2$ ) y $B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ ( $\det B = -1$ ). Entonces

AB = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 4 & 7\end{pmatrix}, \quad \det(AB) = 14 - 12 = 2 = (-2)(-1) ; \qquad \det(A^{\mathsf T}) = \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{vmatrix} = -2 = \det A .

Multiplicatividad e invariancia por trasposición confirmadas — y la aditividad falsa falla con la misma pareja:

\det(A + B) = \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 4 & 5\end{vmatrix} = -7 \neq \det A + \det B = -3 .

Treinta segundos de aritmética de este tipo, tras invocar cualquier identidad de determinantes, es el seguro contra errores más barato que existe.

Ejemplo 22.5 (Los determinantes como áreas)

El paralelogramo generado por $u = (2, 0)$ y $v = (1, 3)$ tiene base $2$ y altura $3$ : área $6$ . Y

\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3\end{vmatrix} = 6 :

el determinante $2\times2$ es el área con signo del paralelogramo de sus columnas. Los axiomas vuelven a contar la geometría: sumar a una columna un múltiplo de la otra es una cizalla, que desliza el paralelogramo paralelamente a un lado sin cambiar la base ni la altura (operación (1) del Teorema 22.3); escalar una columna escala el área; e intercambiar las columnas voltea la orientación, de ahí el signo, $\det(v, u) = -6$ . En $\R^3$ la misma lectura da volúmenes con signo, y $\abs{\det}$ se convierte en el factor universal de escala de volúmenes de las aplicaciones lineales — el hecho que hay detrás de la fórmula del cambio de variables para integrales múltiples en el volumen del segundo año.

Teorema 22.6 (Desarrollo por cofactores)

Sea $A \in \mathcal{M}_n(K)$ y sea $\Delta_{ij}$ el determinante de $A$ suprimiendo la fila $i$ y la columna $j$ . Entonces, para cualquier columna $j$ fija (o fila, por trasposición):

\det A = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}\, a_{ij}\, \Delta_{ij} .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Ejemplo 22.7

Desarrollando a lo largo de la primera columna:

\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2\end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 1 & 2\end{vmatrix} = 2 \times 3 - 2 = 4 .

Estrategia: créense ceros primero (operaciones por filas o columnas) y desarróllese después por la línea más vacía.

Ejemplo 22.8 (La inversa por cofactores, una vez a mano)

Para $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}$ : $\det A = 1(1) - 1(-1) + 0 = 2$ . Los nueve cofactores $(-1)^{i+j}\Delta_{ij}$ se ensamblan en

\operatorname{Com}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\ -1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1\\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix},

la fórmula citada en el Ejercicio 22.8. Compruébese una pareja fila-columna: (fila $1$ de $A$ )(columna $1$ de $A^{-1}$ ) $= \frac12(1 + 1 + 0) = 1$ , y contra la columna $2$ : $\frac12(-1 + 1 + 0) = 0$ . Nueve determinantes $2\times2$ para una inversa $3\times3$ : ya a este tamaño, la reducción por filas (Ejercicio 22.3) es más barata — el valor de la fórmula de los cofactores es teórico (la integralidad en el Ejercicio 22.8, la derivabilidad de la inversa en volúmenes posteriores), no computacional.

Ejemplo 22.9 (La regla triangular por bloques, en tamaño $4$ )

Afirmación: $\det\begin{pmatrix} M & N\\ 0 & P\end{pmatrix} = \det M\,\det P$ para bloques $2\times2$ . Límpiese el bloque $N$ con operaciones de columna: sumar a las columnas $3, 4$ combinaciones adecuadas de las columnas $1, 2$ elimina $N$ cuando $M$ es invertible (resuélvase $M\Lambda = -N$ para los coeficientes $\Lambda$ de la combinación), dejando $\det\begin{pmatrix} M & 0\\ 0 & P\end{pmatrix}$ ; y entonces el desarrollo por cofactores a lo largo de la primera columna, dos veces, da $\det M\det P$ para esa forma diagonal por bloques. Si $M$ no es invertible, sus columnas son ligadas, luego las dos primeras columnas de la matriz grande son ligadas (sus mitades inferiores son nulas): los dos miembros se anulan. La regla se extiende a bloques de cualquier tamaño con el mismo argumento de dos casos — y es el motor del Ejercicio 22.10.

Ejemplo 22.10 (Un determinante $4 \times 4$ , con estrategia)

\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 3 & 4 & 1\\ 3 & 4 & 1 & 2\\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}.

Todas las filas suman $10$ : la operación $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3 + C_4$ vuelve constante la primera columna, y sacar factor $10$ deja unos. Después, $L_i \leftarrow L_i - L_1$ ( $i \geq 2$ ) limpia la primera columna:

\Delta = 10\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 1 & -3\\ 0 & 2 & -2 & -2\\ 0 & -1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 10\begin{vmatrix} 1 & 1 & -3\\ 2 & -2 & -2\\ -1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 10 \times 16 = 160,

expandiendo el último determinante $3\times3$ por su primera fila: $1(2 - 2) - 1(-2 - 2) + (-3)(-2 - 2) = 0 + 4 + 12 = 16$ . Moraleja: una operación bien elegida (advertir que las filas suman lo mismo) gana a dieciséis cofactores.

Método 22.11 (Elegir una estrategia para un determinante)

Recórrase la matriz con la vista antes de calcular nada.

Sumas de filas o de columnas constantes: súmese todo en una sola línea y sáquese factor común el valor común (Ejemplo 22.10, Ejercicio 22.7).
Estructura repetitiva: réstense filas o columnas vecinas para crear ceros; los patrones en escalera se colapsan hacia la forma triangular, cuyo determinante se lee en la diagonal.
Ceros aislados: desarróllese por la línea más vacía (Ejemplo 22.7); las familias recursivas (tridiagonales, Ejercicio 22.6) dan así recurrencias.
Un parámetro: el determinante es un polinomio en él; hállense sus raíces detectando los valores degenerados (filas iguales, columnas proporcionales) y fíjese después el polinomio por el grado y el coeficiente director. Para la matriz del Ejercicio 22.7: $m = 1$ da tres filas iguales (rango $1$ , una raíz doble) y $m = -2$ hace que las filas sumen cero (una raíz más); el determinante tiene grado $3$ en $m$ con término dominante $-m^3$ (el producto de la antidiagonal $m\cdot m\cdot m$ , cuyo signo de Sarrus es $-1$ ), así que tiene que ser $-(m+2)(m-1)^2$ — sin desarrollar nada, y los dos métodos se comprueban entre sí.

Ejemplo 22.12 (Determinante de Vandermonde)

Para escalares $x_1, \dots, x_n$ :

V(x_1, \dots, x_n) = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1}\\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1}\\ \vdots & & & & \vdots\\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i) .

Esbozo de la demostración (detallada en el Ejercicio 22.5): las operaciones de columna $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ desde la derecha limpian la primera fila, y sacar factor común en cada fila restante reduce a $V(x_2, \dots, x_n)$ . Es no nulo si y solo si los $x_i$ son distintos dos a dos — el determinante que hay detrás de la interpolación de Lagrange (Ejemplo 20.10).

22.2 Sistemas lineales

Definición 22.13

Un sistema lineal de $n$ ecuaciones con $p$ incógnitas es $AX = B$ con $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$ , $B \in K^n$ ; es homogéneo cuando $B = 0$ . Su conjunto de soluciones, cuando es no vacío, es $X_0 + \ker A$ : una solución particular más la solución general homogénea — un subespacio afín de dimensión $p - \operatorname{rk} A$ (teorema del rango).

Ejemplo 22.14 (La estructura afín, hecha visible)

Resuélvase

\begin{cases} x + y + z = 3\\ x - y + 2z = 2 . \end{cases}

Restando las ecuaciones: $2y - z = 1$ , luego $z = 2y - 1$ y $x = 3 - y - z = 4 - 3y$ . Las soluciones forman la recta

(x, y, z) = (4,\ 0,\ -1) + y\,(-3,\ 1,\ 2) \qquad (y \in \R):

la solución particular $X_0 = (4, 0, -1)$ (la elección $y = 0$ ) más la recta núcleo $\ker A = \operatorname{Vect}(-3, 1, 2)$ del sistema homogéneo asociado — compruébese: $(-3) + 1 + 2 = 0$ y $(-3) - 1 + 4 = 0$ . Geométricamente, dos planos no paralelos de $\R^3$ se cortan en una recta, y el recuento de dimensiones $p - \operatorname{rk} A = 3 - 2 = 1$ ya lo sabía antes de resolver nada. Cambiar la solución particular (digamos $y = 1$ : $X_0' = (1, 1, 1)$ ) cambia la descripción, no la recta: un subespacio afín tiene muchos orígenes y una sola dirección.

Teorema 22.15 (Sistemas de Cramer cuadrados)

Si $A \in GL_n(K)$ , el sistema $AX = B$ tiene la solución única $X = A^{-1}B$ , cuyas coordenadas son

x_j = \frac{\det A_j}{\det A}, \qquad A_j = A \text{ con la columna } j \text{ sustituida por } B .

Demostración. La unicidad y la existencia son la invertibilidad. Para la fórmula: escríbase $B = \sum_k x_k C_k$ (las columnas de $A$ ); entonces, por multilinealidad y alternancia,

\det A_j = \det\Bigl(C_1, \dots, \sum_k x_k C_k, \dots, C_n\Bigr) = \sum_k x_k \det(C_1, \dots, C_k, \dots, C_n) = x_j \det A ,

teniendo todos los términos salvo $k = j$ una columna repetida. ∎

Ejemplo 22.16 (Cramer con un parámetro, al completo)

Para $m \in \R$ , resuélvase

\begin{cases} x + m y = 1\\ m x + y = 2 . \end{cases}

El determinante es $1 - m^2$ . Caso genérico $m \neq \pm1$ : Cramer da

x = \frac{\begin{vmatrix} 1 & m\\ 2 & 1\end{vmatrix}}{1 - m^2} = \frac{1 - 2m}{1 - m^2}, \qquad y = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1\\ m & 2\end{vmatrix}}{1 - m^2} = \frac{2 - m}{1 - m^2},

una solución limpia para cada $m$ admisible (compruébese en $m = 0$ : $(1, 2)$ , obviamente correcto). Casos degenerados: en $m = 1$ las ecuaciones dicen $x + y = 1$ y $x + y = 2$ : incompatibles; y en $m = -1$ dicen $x - y = 1$ y $-x + y = 2$ , es decir, $x - y = 1$ y $x - y = -2$ : incompatibles otra vez. Que el determinante se anule anuncia que algo degenera, pero nunca dice qué — si es vacío o infinito hay que decidirlo mirando el miembro derecho. Obsérvese también cómo las fórmulas señalan sus propios límites: cuando $m \to 1^{-}$ , $x = \frac{1 - 2m}{1 - m^2} \to -\infty$ ; el punto solución se escapa conforme las dos rectas se vuelven paralelas.

Método 22.17 (Eliminación de Gauss sobre sistemas)

Redúzcase por filas la matriz ampliada $(A \mid B)$ a forma escalonada.

Si aparece un pivote en la última columna (una línea $0 = 1$ ): no hay solución.
En caso contrario, las incógnitas se reparten en incógnitas principales e incógnitas libres (los parámetros); y la sustitución hacia atrás expresa las primeras en función de las segundas: el conjunto de soluciones es un subespacio afín de dimensión $=$ el número de incógnitas libres.

Las fórmulas de Cramer son para la teoría y los sistemas pequeños; la eliminación es el algoritmo práctico.

Ejemplo 22.18 (Una discusión con parámetro)

Para $m \in \R$ , considérese

\begin{cases} x + y + mz = 1\\ x + my + z = 1\\ mx + y + z = 1 . \end{cases}

La matriz tiene determinante $-(m+2)(m-1)^2$ (calculado en el Ejercicio 22.7 sumando todas las columnas a la primera). Para $m \neq 1, -2$ : solución única $x = y = z = \frac{1}{m+2}$ (por simetría). Para $m = 1$ : una sola ecuación repetida tres veces, un plano de soluciones. Y para $m = -2$ : sumando las tres ecuaciones se obtiene $0 = 3$ , sin solución.

Observación 22.19 (Errores frecuentes)

El determinante no es lineal en la matriz: $\det(A + B) \neq \det A + \det B$ (ya $\det(I_2 + I_2) = 4 \neq 2$ ); es lineal en cada columna por separado, que es una cosa completamente distinta. Escala: $\det(\lambda A) = \lambda^n\det A$ , no $\lambda\det A$ — se escalan las $n$ columnas. Las operaciones por filas no salen todas gratis: $L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j$ conserva el determinante, pero un intercambio cambia el signo y $L_i \leftarrow \lambda L_i$ lo multiplica por $\lambda$ — los errores de contabilidad aquí son la fuente clásica de signos equivocados en los cálculos basados en la eliminación. Un determinante nulo es el principio, no el final: dice «rango $< n$ », pero no qué rango; solo un trabajo adicional (la forma escalonada, o los menores del Ejercicio 22.12) lo localiza — cf. el caso $m = 1$ frente a $m = -2$ en el Ejemplo 22.18. Cramer necesita la invertibilidad: cuando $\det A = 0$ , las fórmulas $x_j = \det A_j/\det A$ no significan nada, y el sistema puede perfectamente tener (infinitas) soluciones. Solo las matrices cuadradas tienen determinante: para un sistema rectangular, la eliminación es la única herramienta.

Observación 22.20 (Adónde van los determinantes)

A este escalar le esperan tres vidas. Geométrica: $\abs{\det}$ es el factor de escala de áreas o volúmenes de la aplicación asociada — precisado para el plano en el Capítulo 23 y, como jacobiano de un cambio de variables, en las integrales múltiples del volumen del segundo año. Algebraica: $\det(A - \lambda I)$ , el polinomio característico, abre la teoría de valores propios del segundo año — la identidad $A^2 - (\operatorname{tr} A)A + (\det A)I = 0$ del problema del fin de semana del Capítulo 21 es su primera sombra. Analítica: los determinantes de ciertas matrices especiales (Vandermonde, Cauchy, Gram) deciden cuándo están bien planteados los problemas de interpolación, de descomposición y de proyección; y el problema del fin de semana de más abajo evalúa por completo las dos primeras familias.

Observación 22.21 (Perspectivas dentro del libro 3)

Este capítulo cierra la espina dorsal de álgebra lineal del volumen, y los dos capítulos restantes cobran los dividendos. En el Capítulo 23: la matriz de Gram $\bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)$ comprueba la libertad con un determinante (Ejercicio 23.11), y las isometrías del plano se reparten en rotaciones y reflexiones según el signo de su determinante — la clasificación del problema del fin de semana de allí corre sobre ello. En el Capítulo 25: la cantidad de Monge $rt - s^2$ es el determinante de la matriz simétrica de segundas derivadas, y las ecuaciones normales de los mínimos cuadrados son un sistema de Cramer cuya matriz es una matriz de Gram (y, por tanto, de momentos) — invertible precisamente por los criterios de sabor Vandermonde establecidos aquí. Cuando aquellos capítulos afirmen «invertible» o «positiva», los recibos están en este.

22.3 Ejercicios

Ejercicio 22.1 ★

Calcúlense:

\begin{vmatrix} 3 & 1\\ 5 & 2 \end{vmatrix}, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\end{vmatrix}, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 4\\ 1 & 3 & 9\end{vmatrix}.

Solución

Solución de Ejercicio 22.1.

$3 \times 2 - 1 \times 5 = 1$ .

Segundo: $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ , $L_3 \leftarrow L_3 - L_2$ (sobre las filas originales) dan las filas $(1,2,3), (3,3,3), (3,3,3)$ : dos filas iguales, determinante $0$ . (Sarrus lo confirma: $45 + 84 + 96 - 105 - 48 - 72 = 0$ .)

Tercero: es un Vandermonde con $x = 1, 2, 3$ (Ejemplo 22.12): $(2-1)(3-1)(3-2) = 2$ .

Ejercicio 22.2 ★

¿Para qué $\lambda \in \R$ es la familia $\bigl((1, 1, \lambda), (1, \lambda, 1), (\lambda, 1, 1)\bigr)$ una base de $\R^3$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 22.2.

El determinante es (súmense todas las columnas a la primera y sáquese factor común) $(\lambda + 2)$ por

\begin{vmatrix} 1 & 1 & \lambda\\ 1 & \lambda & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -(\lambda - 1)^2

(límpiese con $L_1 \leftarrow L_1 - L_3$ , $L_2 \leftarrow L_2 - L_3$ y desarróllese), lo que da $\det = -(\lambda+2)(\lambda-1)^2$ . Es base $\iff \det \neq 0 \iff \lambda \notin \{1, -2\}$ .

Ejercicio 22.3 ★

Resuélvanse por la regla de Cramer:

\begin{cases} 2x + y = 5\\ 3x - 2y = 4 , \end{cases} \qquad\text{y después}\qquad \begin{cases} x + y + z = 6\\ x - y + z = 2\\ 2x + y - z = 1 . \end{cases}

Solución

Solución de Ejercicio 22.3.

Primer sistema: $\det = -7$ ; $x = \frac{1}{-7}\begin{vmatrix} 5 & 1\\ 4 & -2\end{vmatrix} = \frac{-14}{-7} = 2$ , $y = \frac{1}{-7}\begin{vmatrix} 2 & 5\\ 3 & 4\end{vmatrix} = \frac{-7}{-7} = 1$ . Comprobación: $2(2) + 1 = 5$ ; $3(2) - 2 = 4$ .

Segundo sistema: tras $L_2 - L_1$ y $L_3 - 2L_1$ , las filas pasan a ser $(1,1,1)$ , $(0,-2,0)$ , $(0,-1,-3)$ , luego

\det A = \begin{vmatrix} 1&1&1\\ 1&-1&1\\ 2&1&-1\end{vmatrix} = 1 \times \begin{vmatrix} -2 & 0\\ -1 & -3\end{vmatrix} = 6 .

Cramer, sustituyendo columnas por $(6,2,1)^{\mathsf T}$ :

x = \frac{6}{6} = 1, \qquad y = \frac{12}{6} = 2, \qquad z = \frac{18}{6} = 3

(los numeradores calculados igual). Comprobación: $1 + 2 + 3 = 6$ ; $1 - 2 + 3 = 2$ ; $2 + 2 - 3 = 1$ .

Ejercicio 22.4 ★

Resuélvase por eliminación de Gauss, describiendo el conjunto de soluciones:

\begin{cases} x + 2y - z + t = 1\\ 2x + 4y + z - t = 5\\ x + 2y + 2z - 2t = 4 . \end{cases}

Solución

Solución de Ejercicio 22.4.

Redúzcase la matriz ampliada: $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ , $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ :

\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 3 & -3 & 3\\ 0 & 0 & 3 & -3 & 3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Incógnitas principales $x, z$ ; incógnitas libres $y, t$ . Sustitución hacia atrás: $z = 1 + t$ , $x = 1 - 2y + z - t = 2 - 2y$ . Conjunto de soluciones:

\{(2 - 2y,\; y,\; 1 + t,\; t) : y, t \in \R\} = (2, 0, 1, 0) + \operatorname{Vect}\bigl((-2,1,0,0),\, (0,0,1,1)\bigr),

un plano afín (de dimensión $2 = 4 - \operatorname{rk} 2$ ) de $\R^4$ .

Ejercicio 22.5 ★★

Demuéstrese la fórmula de Vandermonde del Ejemplo 22.12 por inducción sobre $n$ , con las operaciones de columna $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ realizadas desde $k = n$ hasta $k = 2$ .

Solución

Solución de Ejercicio 22.5.

Inducción; $n = 1$ es el producto vacío $= 1$ . Para el paso, háganse $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ para $k = n, n-1, \dots, 2$ (en ese orden, de modo que cada operación use una columna aún no modificada). La primera fila pasa a ser $(1, 0, \dots, 0)$ ; y en la fila $i \geq 2$ , la entrada $k$ -ésima pasa a ser $x_i^{k-1} - x_1 x_i^{k-2} = x_i^{k-2}(x_i - x_1)$ . Desarrollando por la primera fila y sacando factor $(x_i - x_1)$ de cada fila $i$ :

V(x_1, \dots, x_n) = \prod_{i=2}^{n} (x_i - x_1)\cdot V(x_2, \dots, x_n),

y la hipótesis de inducción completa el producto $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ .

Ejercicio 22.6 ★★

(Tridiagonal) Sea $D_n$ el determinante $n \times n$ con $2$ en la diagonal, $1$ en las dos diagonales adyacentes y $0$ en el resto. Desarrollando por la primera fila, demuéstrese $D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$ y calcúlese $D_n$ ( $D_1 = 2$ , $D_2 = 3$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 22.6.

Desarrollando $D_n$ por la primera fila: $D_n = 2 D_{n-1} - 1\cdot\begin{vmatrix} 1 & \ast\\ 0 & D_{n-2}\text{-bloque} \end{vmatrix}$ ; y el segundo determinante, desarrollado por su primera columna, es $D_{n-2}$ . Luego $D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$ , es decir, $D_n - D_{n-1} = D_{n-1} - D_{n-2}$ : las diferencias son constantes e iguales a $D_2 - D_1 = 1$ . Por tanto, $D_n = D_1 + (n - 1) = n + 1$ . (Compruébese: $D_2 = 3$ , y el caso $3\times3$ es el Ejemplo 22.7: $D_3 = 4$ .)

Ejercicio 22.7 ★★

Complétese el Ejemplo 22.18: calcúlese el determinante $\begin{vmatrix} 1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ m & 1 & 1\end{vmatrix}$ con la operación $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ , y llévese a cabo la discusión completa del sistema.

Solución

Solución de Ejercicio 22.7.

$C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ vuelve constante la primera columna, igual a $(m+2)$ ; sáquese factor común:

\det = (m+2)\begin{vmatrix} 1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \overset{L_1 - L_3,\ L_2 - L_3}{=} (m+2)\begin{vmatrix} 0 & 0 & m-1\\ 0 & m-1 & 0\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (m+2)\cdot\bigl(-(m-1)^2\bigr)

(desarróllese por la primera columna: la única entrada $1$ lleva signo $+$ , y el determinante $2 \times 2$ restante es $0 \cdot 0 - (m-1)(m-1) = -(m-1)^2$ ).

Discusión. $m \notin \{1, -2\}$ : sistema de Cramer; por la simetría de las ecuaciones, $x = y = z$ , y cada ecuación da $(m + 2)x = 1$ : solución única $\bigl(\frac{1}{m+2}, \frac{1}{m+2}, \frac{1}{m+2}\bigr)$ . $m = 1$ : las tres ecuaciones dicen todas $x + y + z = 1$ : las soluciones forman el plano afín $x + y + z = 1$ . $m = -2$ : sumando las tres ecuaciones se obtiene $0 = 3$ : conjunto de soluciones vacío.

Ejercicio 22.8 ★★

Sea $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ con entradas enteras. Demuéstrese que $A$ tiene inversa con entradas enteras si y solo si $\det A = \pm 1$ . (Para el sentido directo, tómense determinantes; y para el recíproco, admítase —o demuéstrese para $n \leq 3$ con cofactores— que $A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T}$ con matriz de cofactores entera.)

Solución

Solución de Ejercicio 22.8.

( $\Rightarrow$ ) Si $A^{-1}$ tiene entradas enteras: $\det A \cdot \det A^{-1} = 1$ con los dos determinantes enteros (sumas de productos de entradas): dos enteros de producto $1$ son los dos $\pm1$ .

( $\Leftarrow$ ) La fórmula de los cofactores $A^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T}$ (comprobada para $n \leq 3$ por desarrollo directo y admitida en general) tiene $\operatorname{Com}(A)$ con entradas enteras (cada cofactor es un determinante entero); y dividir por $\det A = \pm 1$ mantiene los enteros.

Ejercicio 22.9 ★★★

Calcúlese el determinante $n \times n$ de la matriz $aI + bJ$ (Ejercicio 21.9), es decir, con $a + b$ en la diagonal y $b$ en el resto. (Súmense todas las columnas a la primera, sáquese factor común y límpiese.) Recupérese la condición de invertibilidad $a \neq 0$ , $a + nb \neq 0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 22.9.

Súmense todas las columnas a la primera: cada entrada de la nueva primera columna es $a + nb$ ; sáquese factor común, de modo que la primera columna sea de unos. Después, las operaciones por filas $L_i \leftarrow L_i - L_1$ ( $i \geq 2$ ) limpian todas las entradas por debajo del $1$ superior izquierdo y dejan $a$ en la diagonal y $0$ en el resto de esas filas: la matriz es triangular superior con diagonal $(1, a, \dots, a)$ . Por tanto,

\det(aI + bJ) = (a + nb)\, a^{\,n-1} ,

no nulo si y solo si $a \neq 0$ y $a + nb \neq 0$ : la condición del Ejercicio 21.9.

Ejercicio 22.10 ★★★

Sean $A, B \in \mathcal{M}_n(\R)$ . Demuéstrese que

\det\begin{pmatrix} A & B\\ B & A \end{pmatrix} = \det(A + B)\,\det(A - B),

con operaciones por columnas y por filas en bloques ( $C_1 \leftarrow C_1 + C_2$ y después $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ , en forma de bloques), suponiendo la regla natural triangular por bloques $\det\begin{pmatrix} M & N\\ 0 & P\end{pmatrix} = \det M \det P$ — demostrada para bloques $2 \times 2$ en el Ejemplo 22.9.

Solución

Solución de Ejercicio 22.10.

Operaciones por bloques (cada una, una composición de las $n$ operaciones escalares correspondientes, permitidas por el Teorema 22.3 (1)):

\begin{vmatrix} A & B\\ B & A\end{vmatrix} \overset{C_1 \leftarrow C_1 + C_2}{=} \begin{vmatrix} A + B & B\\ A + B & A\end{vmatrix} \overset{L_2 \leftarrow L_2 - L_1}{=} \begin{vmatrix} A + B & B\\ 0 & A - B\end{vmatrix} = \det(A+B)\,\det(A-B),

usando en el último paso la regla triangular por bloques.

Ejercicio 22.11 ★★

(Circulante de orden $3$ ) Sean $a, b, c \in \C$ y

\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c\\ c & a & b\\ b & c & a \end{vmatrix}.

Demuéstrese que $\Delta = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ , y factorícese por completo sobre $\C$ usando $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ :

\Delta = (a + b + c)(a + jb + j^2c)(a + j^2b + jc) .

(Empiécese con $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ ; y para la forma compleja, obsérvese que la columna $(1, j, j^2)^{\mathsf T}$ casi se comporta como un vector propio.)

Solución

Solución de Ejercicio 22.11.

$C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ vuelve constante la primera columna, igual a $(a + b + c)$ ; sáquese factor común y háganse después $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ , $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ :

\Delta = (a+b+c)\begin{vmatrix} 1 & b & c\\ 0 & a - b & b - c\\ 0 & c - b & a - c \end{vmatrix} = (a+b+c)\bigl[(a-b)(a-c) + (b-c)^2\bigr],

y, desarrollando, $(a-b)(a-c) + (b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$ . Sobre $\C$ , con $j^3 = 1$ y $1 + j + j^2 = 0$ :

\begin{align*} (a + jb + j^2c)(a + j^2b + jc) &= a^2 + b^2 + c^2 + (j + j^2)(ab + bc + ca)\\ &= a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca , \end{align*}

de donde la factorización completa. (Estructuralmente: la columna $(1, j, j^2)^{\mathsf T}$ cumple $M\,(1, j, j^2)^{\mathsf T} = (a + jb + j^2c)(1, j, j^2)^{\mathsf T}$ , y análogamente para $j^2$ y $1$ : los tres factores son los tres «valores propios» del circulante, historia que se sistematiza en el volumen del segundo año.)

Ejercicio 22.12 ★★★

(Rango y menores) Sea $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$ . Demuéstrese que $\operatorname{rk} A$ es igual al mayor tamaño $r$ de una submatriz $r \times r$ invertible de $A$ (una submatriz conserva las entradas en los cruces de $r$ filas y $r$ columnas elegidas). (Si $\operatorname{rk} A = r$ , selecciónense $r$ columnas libres y después $r$ filas libres del bloque $n \times r$ resultante; recíprocamente, una submatriz invertible fuerza que las columnas correspondientes de $A$ sean libres.)

Solución

Solución de Ejercicio 22.12.

Escríbase $r = \operatorname{rk} A$ .

Existe una submatriz $r \times r$ invertible. Elíjanse $r$ columnas libres de $A$ y sea $B \in \mathcal{M}_{n,r}$ la matriz que forman: $\operatorname{rk} B = r$ . Como el rango por filas es igual al rango por columnas (Teorema 21.13), $B$ tiene $r$ filas libres; y quedarse con esas filas da una submatriz $r \times r$ de $A$ de rango $r$ , es decir, invertible.

No hay ninguna mayor. Sea $S$ una submatriz $s \times s$ invertible, tomada de las columnas $j_1, \dots, j_s$ y las filas $i_1, \dots, i_s$ de $A$ . Si se anula una combinación $\sum_k \lambda_k C_{j_k} = 0$ de las columnas completas correspondientes, entonces leer solo las filas $i_1, \dots, i_s$ da $\sum_k \lambda_k S_k = 0$ sobre las columnas de $S$ , luego todos los $\lambda_k = 0$ ( $S$ es invertible): las columnas $C_{j_1}, \dots, C_{j_s}$ de $A$ son libres y $s \leq \operatorname{rk} A = r$ .

Por tanto, $\operatorname{rk} A$ es exactamente el mayor tamaño de una submatriz invertible.

22.4 Problema: el doble alternante de Cauchy

Problema 22.1

Dos determinantes gobiernan las aplicaciones de este capítulo: el determinante de Vandermonde, evaluado en el Ejercicio 22.5, y el determinante de Cauchy $\det\bigl(\frac{1}{a_i + b_j}\bigr)$ , evaluado aquí. En torno a ellos, este problema reúne el utillaje de los alternantes: trucos de columnas con polinomios, la interpolación por Cramer, la matriz de Hilbert, el discriminante de una cúbica y el método de los polinomios alternados. En todo el problema, $V(x_1, \dots, x_n) = \prod_{i < j}(x_j - x_i)$ designa el valor de Vandermonde.

Parte I — El utillaje de Vandermonde.

Calcúlese $V(1, 2, 3, 4)$ y recuérdese por qué la interpolación en $n$ nodos distintos dos a dos es un sistema de Cramer.
(Alternante polinómico) Sean $P_0, \dots, P_{n-1}$ mónicos con $\deg P_k = k$ . Demuéstrese

$\det\bigl(P_{j-1}(x_i)\bigr)_{1 \leq i, j \leq n} = V(x_1, \dots, x_n) :$

las operaciones de columna sustituyen cada columna de potencias por cualquier escalera mónica, gratis.
Aplíquese la pregunta 2 a los polinomios binomiales $B_k = \frac{X(X-1)\cdots(X-k+1)}{k!}$ : demuéstrese que para enteros $m_1 < m_2 < \dots < m_n$ ,

$\frac{V(m_1, \dots, m_n)}{0!\,1!\,2!\cdots(n-1)!} \in \N :$

el producto de todas las diferencias dos a dos de $n$ enteros es divisible por el superfactorial $0!\,1!\cdots(n-1)!$ .
Demuéstrese $\det\bigl(x_i^{\,j}\bigr)_{1 \leq i, j \leq n} = x_1 x_2 \cdots x_n\, V(x_1, \dots, x_n)$ (con las potencias empezando ahora en $1$ ).
(Matriz de momentos) Sea $S = \bigl(p_{i+j-2}\bigr)_{1 \leq i, j \leq n}$ , donde $p_k = x_1^k + \dots + x_n^k$ . Demuéstrese que $S = W^{\mathsf T} W$ para la matriz $W = (x_i^{\,j-1})_{ij}$ , dedúzcase

$\det S = V(x_1, \dots, x_n)^2 ,$

y conclúyase: $n$ números reales son distintos dos a dos si y solo si su matriz de momentos es invertible, y $\det S \geq 0$ siempre.

Parte II — La interpolación, revisitada. Nodos $x_1 < \dots < x_n$ , valores $y_1, \dots, y_n$ .

Escríbanse las condiciones « $P = c_0 + c_1X + \dots + c_{n-1}X^{n-1}$ interpola» como un sistema lineal en las $c_k$ con matriz $W$ , y recupérense de $\det W = V \neq 0$ la existencia y la unicidad del interpolador (compárense las dos demostraciones anteriores, Teorema 8.23 y Ejemplo 20.10).
Con la regla de Cramer y el desarrollo por cofactores del determinante pertinente a lo largo de su última columna, demuéstrese que el coeficiente director del interpolador es

$c_{n-1} = \sum_{i=1}^{n} \frac{y_i}{\prod_{j \neq i}(x_i - x_j)} .$
(Vandermonde confluente) Calcúlese

$\begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2\\ 0 & 1 & 2x_1\\ 1 & x_2 & x_2^2 \end{vmatrix} = (x_2 - x_1)^2 ,$

e interprétese: los datos $\bigl(P(x_1), P'(x_1), P(x_2)\bigr)$ determinan un único $P \in \R_2[X]$ cuando $x_1 \neq x_2$ (interpolación de Hermite).
Hállese el único $P \in \R_2[X]$ con $P(0) = 1$ , $P'(0) = 0$ , $P(1) = 2$ , y compruébese la respuesta con la pregunta 8.

Parte III — El determinante de Cauchy. Sean $a_1, \dots, a_n$ y $b_1, \dots, b_n$ escalares con $a_i + b_j \neq 0$ para todos $i, j$ , y

C_n = \det\Bigl(\frac{1}{a_i + b_j}\Bigr)_{1 \leq i, j \leq n} .

Calcúlese $C_2$ a mano y póngase en la forma «productos de diferencias entre productos de sumas».
Para $n \geq 2$ , háganse $L_i \leftarrow L_i - L_n$ ( $i < n$ ) y sáquense factores comunes de filas y columnas para demostrar

$C_n = \frac{\prod_{i<n}(a_n - a_i)}{\prod_{j}(a_n + b_j)}\;\det M,$

donde $M$ coincide con la matriz de Cauchy en las filas $i < n$ y tiene por última fila $(1, 1, \dots, 1)$ .
Háganse $C_j \leftarrow C_j - C_n$ ( $j < n$ ) sobre $M$ , sáquense factores de nuevo y conclúyase por inducción el doble alternante de Cauchy:

$C_n = \frac{\prod_{1 \leq i < j \leq n}(a_j - a_i)(b_j - b_i)}{\prod_{i, j}(a_i + b_j)} .$
Dedúzcase el criterio de invertibilidad (los $a_i$ distintos dos a dos y los $b_j$ distintos dos a dos). Para la matriz de Hilbert $H_n = \bigl(\frac{1}{i + j - 1}\bigr)$ : calcúlense $\det H_2$ y $\det H_3$ con la fórmula, y compruébese que $H_2^{-1}$ tiene entradas enteras.
Véase que, para $b_j$ distintos dos a dos y cualquier miembro derecho, el sistema $\sum_j \frac{c_j}{a_i + b_j} = y_i$ ( $i = 1, \dots, n$ ) tiene solución única, y relaciónese esto con la existencia y la unicidad de las descomposiciones en fracciones simples con polos simples (Teorema 9.5).

Parte IV — El discriminante de una cúbica. Sean $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ las raíces (en $\C$ ) de $X^3 + pX + q$ , y $p_k = \lambda_1^k + \lambda_2^k + \lambda_3^k$ .

Usando $\lambda^3 = -p\lambda - q$ en cada raíz y Vieta ( $p_1 = 0$ ), calcúlense $p_2 = -2p$ , $p_3 = -3q$ y $p_4 = 2p^2$ .
Con la pregunta 5 (sobre $\C$ , manteniendo $\det S = V^2$ ), calcúlese

$\operatorname{disc} = V(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)^2 = \begin{vmatrix} 3 & 0 & -2p\\ 0 & -2p & -3q\\ -2p & -3q & 2p^2 \end{vmatrix} = -4p^3 - 27q^2 .$
Dedúzcase: $X^3 + pX + q$ tiene una raíz múltiple si y solo si $4p^3 + 27q^2 = 0$ ; compruébese con $X^3 - 3X + 2 = (X - 1)^2(X + 2)$ .
Supóngase $p, q$ reales. Demuéstrese que la cúbica tiene tres raíces reales distintas si y solo si $\operatorname{disc} > 0$ , y una real más dos conjugadas no reales si y solo si $\operatorname{disc} < 0$ . (Si $\lambda_3 = \conj{\lambda_2} \neq \lambda_2$ y $\lambda_1 \in \R$ , véase que $V$ es imaginario puro.)

Parte V — Dividendos, y el método de los alternados.

Para $0 < a_1 < a_2 < \dots < a_n$ , véase que $\det\bigl(\frac{1}{a_i + a_j}\bigr) > 0$ .
Calcúlese $\det\bigl(\binom{m_i}{j-1}\bigr)_{1 \leq i, j \leq 3}$ para $(m_1, m_2, m_3) = (2, 4, 7)$ , primero con las preguntas 2–3 y después por desarrollo directo.
Sean $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ distintos dos a dos y no nulos. Usando una matriz de Vandermonde invertible, demuéstrese de nuevo que las sucesiones geométricas $\bigl((\lambda_i^{\,k})_{k \geq 0}\bigr)_{1 \leq i \leq n}$ forman una familia libre del espacio de las sucesiones.
Calcúlese $\det\bigl(\frac{1}{i + j}\bigr)_{1 \leq i, j \leq 3}$ con el doble alternante.
(Polinomios alternados) Dígase que un polinomio $F$ en $x_1, \dots, x_n$ es alternado cuando intercambiar dos variables cualesquiera le cambia el signo. Véase que un $F$ alternado se anula siempre que $x_i = x_j$ ( $i \neq j$ ), y dedúzcase —de una variable en una, por el teorema del factor— que $F$ es divisible por $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ .
Úsese la pregunta 23 para volver a demostrar la fórmula de Vandermonde sin inducción: el determinante $\det(x_i^{\,j-1})$ es un polinomio alternado de grado total $\binom n2$ y, por tanto, un múltiplo constante de $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ ; identifíquese la constante comparando un monomio.
Síntesis, en cuatro frases: qué única propiedad del determinante (qué axioma) genera todas las factorizaciones de este problema; por qué la identidad de la matriz de momentos de la pregunta 5 convierte un enunciado sobre distinción compleja en un test de signo real calculable; qué dos matrices clásicas se evaluaron aquí por completo y qué problemas lineales gobiernan; y cómo el método de los alternados de las preguntas 23–24 explica de un golpe por qué $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ no deja de aparecer. Nómbrese el teorema de la parte III.

Solución

Solución de Problema 22.1.

1. $V(1,2,3,4) = (2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3) = 1 \cdot 2\cdot 3\cdot 1\cdot 2\cdot 1 = 12$ . La interpolación en nodos distintos pide los coeficientes de $P$ que resuelven $W c = y$ con $W = (x_i^{\,j-1})$ , y $\det W = V \neq 0$ : un sistema de Cramer.

2. Recórranse las columnas de izquierda a derecha. $C_1$ es la columna constante $P_0(x_i) = 1$ ( $P_0$ es mónico de grado $0$ ). Supóngase que las columnas $1, \dots, j-1$ ya se han reducido a las potencias puras $1, x_i, \dots, x_i^{\,j-2}$ . Como $P_{j-1} = X^{j-1} + \sum_{k < j-1}\alpha_k X^k$ , restar a $C_j$ la combinación $\sum_k \alpha_k\,(\text{columna de } x_i^k)$ —una operación que no cambia el determinante— deja la columna de potencias puras $x_i^{\,j-1}$ . Tras la última columna, la matriz es la de Vandermonde: $\det = V(x_1, \dots, x_n)$ .

3. Los polinomios $(j-1)!\,B_{j-1}$ son mónicos de grado $j - 1$ , así que la pregunta 2 da

\det\bigl(B_{j-1}(m_i)\bigr) = \frac{V(m_1, \dots, m_n)}{0!\,1!\cdots(n-1)!} .

El miembro izquierdo es el determinante de una matriz con entradas enteras ( $B_k$ es de valores enteros en $\Z$ : preguntas 16–17 del problema del fin de semana Problema 18.1) y, por tanto, un entero; y es positivo, ya que $V(m_1, \dots, m_n) > 0$ para $m_1 < \dots < m_n$ . Luego el superfactorial divide al producto de todas las diferencias dos a dos.

4. Sáquese factor $x_i$ de cada fila $i$ : $\det(x_i^{\,j})_{j = 1..n} = x_1\cdots x_n\, \det(x_i^{\,j-1}) = x_1\cdots x_n\,V$ .

5. $(W^{\mathsf T}W)_{ij} = \sum_k x_k^{\,i-1} x_k^{\,j-1} = p_{i+j-2}$ : $S = W^{\mathsf T}W$ . Por tanto, $\det S = \det(W^{\mathsf T})\det W = V^2$ (Teorema 22.3 (2),(4)). Para $x_i$ reales: $\det S = V^2 \geq 0$ , y $S$ es invertible si y solo si $V \neq 0$ , si y solo si los $x_i$ son distintos dos a dos — un test de signo definido y calculable solo a partir de las sumas de potencias.

6. Las condiciones de interpolación $\sum_{k} c_k\,x_i^{\,k} = y_i$ forman el sistema $Wc = y$ ; y $\det W = V \neq 0$ da de golpe la existencia y la unicidad. Esta es la tercera demostración del libro: fórmula explícita en el Teorema 8.23, argumento de núcleo en el Ejemplo 20.10 y Cramer aquí.

7. Cramer: $c_{n-1} = \det W'/\det W$ , donde $W'$ es $W$ con su última columna sustituida por $y$ . Desarrollando $\det W'$ por esa columna:

\det W' = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+n} y_i\,V(x_1, \dots, \widehat{x_i}, \dots, x_n) .

Ahora bien, $V = V(\setminus i)\cdot\prod_{j<i}(x_i - x_j)\prod_{j>i} (x_j - x_i)$ , y convertir el segundo producto cuesta $(-1)^{n-i}$ :

(-1)^{i+n}\,\frac{V(\setminus i)}{V} = \frac{(-1)^{i+n}(-1)^{n-i}}{\prod_{j\neq i}(x_i - x_j)} = \frac{1}{\prod_{j\neq i}(x_i - x_j)} ,

de donde $c_{n-1} = \sum_i y_i/\prod_{j \neq i}(x_i - x_j)$ — otra vez la fórmula de las diferencias divididas.

8. $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ da las filas $(1, x_1, x_1^2)$ , $(0, 1, 2x_1)$ , $(0,\ x_2 - x_1,\ (x_2-x_1)(x_2+x_1))$ ; desarrollando por la primera columna y sacando factor $(x_2 - x_1)$ :

(x_2 - x_1)\begin{vmatrix} 1 & 2x_1\\ 1 & x_2 + x_1 \end{vmatrix} = (x_2 - x_1)(x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)^2 .

No nulo para $x_1 \neq x_2$ : el sistema lineal que expresa $P(x_1) = u$ , $P'(x_1) = v$ , $P(x_2) = w$ sobre los coeficientes de $P \in \R_2[X]$ es de Cramer — la interpolación de Hermite con un nodo doble está bien planteada.

9. $P = a + bX + cX^2$ con $a = P(0) = 1$ , $b = P'(0) = 0$ , $a + b + c = P(1) = 2$ : $c = 1$ , luego $P = 1 + X^2$ , único. Coherencia: aquí $x_1 = 0$ , $x_2 = 1$ y el determinante de la pregunta 8 es $(1 - 0)^2 = 1 \neq 0$ .

10. Cálculo directo:

C_2 = \frac{1}{(a_1+b_1)(a_2+b_2)} - \frac{1}{(a_1+b_2)(a_2+b_1)} = \frac{(a_1+b_2)(a_2+b_1) - (a_1+b_1)(a_2+b_2)} {\prod_{i,j}(a_i+b_j)} ,

y el numerador se desarrolla como $a_1b_1 + a_2b_2 - a_1b_2 - a_2b_1 = (a_2 - a_1)(b_2 - b_1)$ : diferencias entre sumas.

11. Para $i < n$ , la nueva entrada de la fila $i$ es

\frac{1}{a_i + b_j} - \frac{1}{a_n + b_j} = \frac{a_n - a_i}{(a_i + b_j)(a_n + b_j)} .

Sáquese factor $(a_n - a_i)$ de cada fila $i < n$ y después $\frac1{a_n + b_j}$ de cada columna $j$ : lo que queda tiene entradas $\frac1{a_i + b_j}$ en las filas $i < n$ y constante $1$ en la fila $n$ — la matriz $M$ , con el prefactor anunciado.

12. Sobre $M$ , para $j < n$ la operación $C_j \leftarrow C_j - C_n$ convierte la fila $n$ en $(0, \dots, 0, 1)$ y, en la fila $i < n$ ,

\frac{1}{a_i + b_j} - \frac{1}{a_i + b_n} = \frac{b_n - b_j}{(a_i + b_j)(a_i + b_n)} .

Sáquese factor $(b_n - b_j)$ de cada columna $j < n$ y $\frac1{a_i + b_n}$ de cada fila $i < n$ , y desarróllese después por la última fila (con signo $(-1)^{n+n} = +1$ ): el determinante restante es $C_{n-1}$ . Reuniendo los factores de las preguntas 11–12:

C_n = \frac{\prod_{i<n}(a_n - a_i)\,\prod_{j<n}(b_n - b_j)} {\prod_{j}(a_n + b_j)\,\prod_{i<n}(a_i + b_n)}\;C_{n-1},

y la inducción (con base $C_1 = \frac1{a_1+b_1}$ ) ensambla exactamente el doble alternante de Cauchy: los factores $(a_j - a_i)(b_j - b_i)$ para todas las parejas, entre todas las sumas $(a_i + b_j)$ .

13. La fórmula se anula si y solo si algún $a_j = a_i$ o $b_j = b_i$ : la matriz de Cauchy es invertible si y solo si las dos familias son distintas dos a dos. Hilbert: $a_i = i$ , $b_j = j - 1$ . Para $n = 2$ : numerador $(2-1)(1-0) = 1$ , denominador $1\cdot2\cdot2\cdot3 = 12$ : $\det H_2 = \frac1{12}$ . Para $n = 3$ : numerador $\bigl[(1)(2)(1)\bigr]^2 = 4$ , denominador $(1\cdot2\cdot3) (2\cdot3\cdot4)(3\cdot4\cdot5) = 6\cdot24\cdot60 = 8640$ : $\det H_3 = \frac{4}{8640} = \frac1{2160}$ . Inversa para $n = 2$ :

H_2^{-1} = 12\begin{pmatrix} \frac13 & -\frac12\\[2pt] -\frac12 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -6\\ -6 & 12 \end{pmatrix},

todas enteras (fenómeno cierto para todo $n$ ).

14. La matriz del sistema es la de Cauchy, invertible por la pregunta 13 cuando los $b_j$ (y los $a_i$ ) son distintos dos a dos: solución única. Interpretación: una función racional $R = \sum_j \frac{c_j}{X + b_j}$ con polos simples queda determinada por $n$ de sus valores $R(a_1), \dots, R(a_n)$ y, recíprocamente, cualquier hoja de datos así se realiza exactamente una vez — la contrapartida por muestreo del teorema de existencia y unicidad de las fracciones simples (Teorema 9.5).

15. Vieta para $X^3 + pX + q$ : $\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 0$ , $\sum_{i<j}\lambda_i\lambda_j = p$ , luego $p_1 = 0$ y $p_2 = p_1^2 - 2p = -2p$ . Cada raíz cumple $\lambda^3 = -p\lambda - q$ ; sumando: $p_3 = -p\,p_1 - 3q = -3q$ . Y multiplicando por $\lambda$ y sumando: $p_4 = -p\,p_2 - q\,p_1 = 2p^2$ .

16. Por la pregunta 5 (la identidad $S = W^{\mathsf T}W$ y $\det S = V^2$ valen sobre $\C$ ),

V^2 = \begin{vmatrix} 3 & 0 & -2p\\ 0 & -2p & -3q\\ -2p & -3q & 2p^2 \end{vmatrix} = 3\bigl(-4p^3 - 9q^2\bigr) + (-2p)\bigl(0 - 4p^2\bigr) = -4p^3 - 27q^2 ,

desarrollando por la primera fila.

17. Una raíz múltiple significa dos $\lambda_i$ iguales, es decir, $V = 0$ , es decir, $\operatorname{disc} = -4p^3 - 27q^2 = 0$ . Para $X^3 - 3X + 2$ : $4(-3)^3 + 27\cdot4 = -108 + 108 = 0$ , acorde con la raíz doble $1$ de $(X-1)^2(X+2)$ .

18. Las raíces no reales de una cúbica real vienen en parejas conjugadas, así que solo se dan dos casos cuando $\operatorname{disc} \neq 0$ . Tres raíces reales distintas: $V$ es real y no nulo, luego $\operatorname{disc} = V^2 > 0$ . Una raíz real $\lambda_1$ y $\lambda_3 = \conj{\lambda_2} \notin \R$ : entonces

(\lambda_2 - \lambda_1)(\lambda_3 - \lambda_1) = \abs{\lambda_2 - \lambda_1}^2 > 0, \qquad \lambda_3 - \lambda_2 = -2\iu\,\operatorname{Im}\lambda_2 \neq 0,

luego $V$ es un número imaginario puro no nulo y $\operatorname{disc} = V^2 < 0$ . Los dos signos caracterizan los dos casos.

19. Tómese $b_i = a_i$ en el doble alternante: el numerador es $\prod_{i<j}(a_j - a_i)^2 > 0$ y el denominador, $\prod_{i,j}(a_i + a_j) > 0$ (todas las entradas positivas): el determinante es positivo. (En lenguaje posterior: el núcleo $\frac1{x+y}$ es definido positivo.)

20. Por las preguntas 2–3, el determinante vale $V(2,4,7)/(0!\,1!\,2!) = \frac{(4-2)(7-2)(7-4)}{2} = \frac{30}{2} = 15$ . Directamente, la matriz es

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 1 & 4 & 6\\ 1 & 7 & 21 \end{pmatrix}, \qquad \det = (84 - 42) - 2(21 - 6) + (7 - 4) = 42 - 30 + 3 = 15 .

21. Supóngase $\sum_i c_i\,(\lambda_i^{\,k})_{k} = 0$ como sucesión. Leyendo $k = 0, 1, \dots, n-1$ se obtiene $W^{\mathsf T}c = 0$ con $W = (\lambda_i^{\,j-1})$ invertible ( $\det = V \neq 0$ , con los $\lambda_i$ distintos): $c = 0$ . Las sucesiones geométricas son libres.

22. $a = b = (1, 2, 3)$ : numerador $\bigl[(2-1)(3-1) (3-2)\bigr]^2 = 4$ ; denominador $\prod_{i,j}(i + j) = (2\cdot3\cdot4)(3\cdot4\cdot5)(4\cdot5\cdot6) = 24\cdot60\cdot120 = 172800$ . Por tanto, $\det\bigl(\frac1{i+j}\bigr) = \frac{4}{172800} = \frac1{43200}$ .

23. Si $x_i = x_j$ , el intercambio de las dos variables deja fijo el punto, pero tiene que cambiar el signo de $F$ : $F = -F$ , luego $F = 0$ ahí. Divisibilidad: véase $F$ como polinomio en la única variable $x_n$ con coeficientes en las demás; se anula en los $n - 1$ «valores» $x_1, \dots, x_{n-1}$ , de modo que factorizar repetidamente (Teorema 8.7) da $F = \prod_{i<n}(x_n - x_i)\cdot G$ con $G$ polinomio. El prefactor es invariante por los intercambios de dos índices $i, j < n$ , así que $G$ es alternado en $x_1, \dots, x_{n-1}$ , y la inducción remata: $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ divide a $F$ .

24. $D = \det(x_i^{\,j-1})$ es un polinomio en los $x_i$ ; intercambiar dos variables intercambia dos filas, luego $D$ es alternado y, por la pregunta 23, $D = c\,\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ para cierto polinomio $c$ . Grados totales: $D$ tiene grado $\leq 0 + 1 + \dots + (n-1) = \binom n2$ y el producto tiene grado exactamente $\binom n2$ : $c$ es una constante. El monomio $x_2\,x_3^2\cdots x_n^{\,n-1}$ tiene coeficiente $1$ en $D$ (el producto diagonal) y $1$ en el producto (elíjase en cada factor la variable de índice mayor): $c = 1$ , y la fórmula de Vandermonde cae sin ninguna inducción.

25. (i) La alternancia —el axioma «dos columnas iguales matan el determinante»— es el motor: produjo todos los factores $(x_j - x_i)$ , $(a_j - a_i)$ , $(b_j - b_i)$ del problema. (ii) La identidad $\det S = V^2$ sustituye las raíces complejas individuales, inalcanzables, por sus sumas de potencias, que son polinomios reales en los coeficientes, de modo que la distinción pasa a ser el signo de un número real calculable. (iii) El determinante de Vandermonde gobierna la interpolación polinómica, y el determinante de Cauchy gobierna las fracciones simples y las funciones racionales muestreadas (con la matriz de Hilbert como su caso particular más famoso). (iv) Todo polinomio alternado es divisible por $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ , y un recuento de grados fija después un polinomio así salvo una constante — y por eso este producto no deja de reaparecer allí donde un determinante se anula sobre las coincidencias. El teorema de la parte III es el doble alternante de Cauchy.

Términos definidos en este capítulo

system

Ver los 395 términos del glosario