Matemáticas universitarias — Grado 1 · Bachelor Year 1

22Determinantes y sistemas lineales

El determinante condensa en un escalar la respuesta a "¿son estos?" $n$ vectoriza un base?” — y, geométricamente, mide el volumen ellos engendrado. Lo caracterizamos por sus propiedades (multilineal, alternante, normalizado), calcularlo en las dimensiones $2$ y $3$ y por expansión de cofactor en general, y ponerlo a funcionar en sistemas lineales, junto con el algoritmo multiuso: eliminación gaussiana.

22.1 el determinante

Teorema 22.1 (Caracterización)

Hay exactamente una aplicación $\det \colon \mathcal{M}_n(K) \to K$ , visto como una función de las columnas $n$ , es decir:

lineal in each column (los demás arreglados);
alterno: intercambiar dos columnas cambia el signo (por lo tanto, dos columnas iguales dan $0$ );
normalizado: $\det I_n = 1$ .

Para $n = 2$ y $3$ :

\begin{vmatrix} a & b\\ c & d\end{vmatrix} = ad - bc, \qquad \begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i\end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh

(la regla $3 \times 3$ de Sarrus: productos de diagonales descendentes menos los ascendentes).

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 22.2

Para $n = 2$ : expandir por bilinealidad en las columnas canónicas da la fórmula, que a la inversa satisface los axiomas — una completa prueba; $n = 3$ es idéntico a más términos. El caso general (existencia por la suma sobre permutaciones, unicidad por el mismo expansión) exige la firma de un permutación y se difiere a el segundo año; Usamos libremente los axiomas y las consecuencias. abajo.

La expansión $n = 2$ al completo, ya que es la plantilla: con columnas $C_1 = a\,e_1 + c\,e_2$ y $C_2 = b\,e_1 + d\,e_2$ , la bilinealidad da

\det(C_1, C_2) = ab\det(e_1, e_1) + ad\det(e_1, e_2) + cb\det(e_2, e_1) + cd\det(e_2, e_2),

y la alternancia mata los pares repetidos mientras se voltea $\det(e_2, e_1) = -\det(e_1, e_2)$ : todo la aplicación colapsa para $(ad - bc)\det(e_1, e_2) = ad - bc$ por normalización. Unicidad es visible en el cálculo mismo — los axiomas no dejaron elección en cualquier paso — y esta es exactamente la singularidad escalada hecho utilizado en la prueba de la regla del producto a continuación.

Teorema 22.3 (Propiedades)

Para $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$ :

agregar a una columna un múltiplo de otra no cambia la determinante; multiplicar una columna por $\lambda$ la multiplica por $\lambda$ (entonces $\det(\lambda A) = \lambda^n \det A$ );
$\det(AB) = \det A\, \det B$ ;
$A$ es invertible $\iff$ $\det A \neq 0$ $\iff$ las columnas formar un base de $K^n$ ; y luego $\det(A^{-1}) = (\det A)^{-1}$ ;
$\det(A^{\mathsf T}) = \det A$ — entonces cada regla de columna es también una regla de fila;
el determinante de una matriz triangular es el producto de su entradas diagonales.

Demostración. (1) Por linealidad, $\det(\dots, C_i + \lambda C_j, \dots) = \det A + \lambda\det(\dots, C_j, \dots)$ donde el segundo determinante tiene dos columnas iguales: cero.

(2) Repare $A$ y considere $\varphi(B) = \det(AB)$ como una función de las columnas de $B$ : como $AB$ tiene columnas $AB_j$ , $\varphi$ es multilineal y alterno en el $B_j$ . Admitimos, con Teorema 22.1, su singularidad enunciado en forma escalada: cada multilineal alternante aplicación $\varphi$ de las columnas es igual a $\varphi(I_n) \cdot \det$ . Aquí $\varphi(I_n) = \det A$ , entonces $\det(AB) = \det A \cdot \det B$ .

(3) Si $A$ es invertible: $\det A\,\det A^{-1} = \det I = 1$ , entonces $\det A \neq 0$ y se cumple la fórmula inversa. Si $A$ no es invertible, sus columnas están vinculadas (Corolario 20.9 y Proposición 20.2); expresando una columna a través los demás y expandir por linealidad deja a los determinantes con dos columnas iguales: $\det A = 0$ . El base enunciado es Proposición 19.8.

(4) Admitido con la construcción general (es inmediato al fórmula permutación); lo grabamos para usar operaciones de fila.

(5) Si alguna entrada diagonal desaparece, las primeras columnas $k$ son vinculado para algunos productos $k$ (consideraciones de clasificación) y $\det = 0 =$ . De lo contrario, borre cada columna debajo y a la izquierda por operaciones de tipo (1) — posible en forma triangular — llegando a la diagonal matriz, cuyo determinante es el producto de las entradas por multilinealidad de $I_n$ . ∎

Ejemplo 22.4 (Las reglas, comprobadas en números.)

Tome $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}$ ( $\det A = -2$ ) y $B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ ( $\det B = -1$ ). entonces

AB = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 4 & 7\end{pmatrix}, \quad \det(AB) = 14 - 12 = 2 = (-2)(-1) ; \qquad \det(A^{\mathsf T}) = \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{vmatrix} = -2 = \det A .

Multiplicatividad e invariancia de transposición confirmadas — mientras la aditividad FALSO falla en el mismo par:

\det(A + B) = \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 4 & 5\end{vmatrix} = -7 \neq \det A + \det B = -3 .

Treinta segundos de aritmética de este tipo, después de cualquier determinante Se invoca la identidad, es el seguro contra errores más barato disponible.

Ejemplo 22.5 (Determinantes como áreas)

El paralelogramo abarcado por $u = (2, 0)$ y $v = (1, 3)$ tiene base $2$ y altura $3$ : área $6$ . y

\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3\end{vmatrix} = 6 :

el determinante $2\times2$ is el área firmada del paralelogramo de sus columnas. Los axiomas vuelven a contar la geometría: agregar un múltiplo de una columna a la otra es cortar, deslizar el paralelogramo paralelo a un lado sin cambiar base o altura (operación (1) de Teorema 22.3); escalar una columna escala el área; intercambiando las columnas volteadas la orientación, de donde el signo, $\det(v, u) = -6$ . En $\R^3$ la misma lectura da volúmenes firmados, y $\abs{\det}$ se convierte en el factor de escala de volumen universal de aplicaciones lineales — el hecho detrás de la fórmula de cambio de variables para múltiples integrales en el volumen Año 2.

Teorema 22.6 (Expansión de cofactor)

Sean $A \in \mathcal{M}_n(K)$ y $\Delta_{ij}$ el determinante de $A$ con la fila $i$ y la columna $j$ eliminadas. Entonces, para cualquier columna fija $j$ (o fila, por transposición):

\det A = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}\, a_{ij}\, \Delta_{ij} .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Ejemplo 22.7

Expandiendo a lo largo de la primera columna:

\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2\end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 1 & 2\end{vmatrix} = 2 \times 3 - 2 = 4 .

Estrategia: crear ceros primero (operaciones de fila/columna), luego expandir a lo largo de la línea más vacía.

Ejemplo 22.8 (El cofactor inverso, una vez a mano)

Para $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}$ : $\det A = 1(1) - 1(-1) + 0 = 2$ . los nueve cofactores $(-1)^{i+j}\Delta_{ij}$ se ensamblan en

\operatorname{Com}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\ -1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1\\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix},

la fórmula citada en Ejercicio 22.8. Marque una fila-columna par: (fila $1$ de $A$ )(columna $1$ de $A^{-1}$ ) $= \frac12(1 + 1 + 0) = 1$ , y contra la columna $2$ : $\frac12(-1 + 1 + 0) = 0$ . Nueve determinantes $2\times2$ para una inversa $3\times3$ : ya en este tamaño, la reducción de filas (Ejercicio 22.3) es más barata — El valor de la fórmula del cofactor es teórico (integralidad en Ejercicio 22.8, diferenciabilidad de la inversa en posteriores volúmenes), no computacionales.

Ejemplo 22.9 (La regla del bloque triangular, en tamaño $4$ )

Reclamación: $\det\begin{pmatrix} M & N\\ 0 & P\end{pmatrix} = \det M\,\det P$ para bloques $2\times2$ . Borre el bloque $N$ por columna operaciones: agregar a las columnas $3, 4$ combinaciones adecuadas de columnas $1, 2$ elimina $N$ cuando $M$ es invertible (resolver $M\Lambda = -N$ para los coeficientes de combinación $\Lambda$ ), dejando $\det\begin{pmatrix} M & 0\\ 0 & P\end{pmatrix}$ ; entonces expansión de cofactor a lo largo de la primera columna, dos veces, da $\det M\det P$ para esta forma de bloque diagonal. Si $M$ no es invertible, sus columnas están vinculadas, por lo que las dos primeras columnas de la matriz grande están vinculadas (sus mitades inferiores son cero): ambas los lados desaparecen. La regla se extiende a cualquier tamaño de bloque por el mismo argumento de dos casos — y es el motor de Ejercicio 22.10.

Ejemplo 22.10 (Un determinante $4 \times 4$ , estratégicamente)

\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 3 & 4 & 1\\ 3 & 4 & 1 & 2\\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}.

Cada fila suma $10$ : la operación $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3 + C_4$ hace que la primera columna sea constante y la factorización $10$ deja unos. Entonces $L_i \leftarrow L_i - L_1$ ( $i \geq 2$ ) se borra la primera columna:

\Delta = 10\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 1 & -3\\ 0 & 2 & -2 & -2\\ 0 & -1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 10\begin{vmatrix} 1 & 1 & -3\\ 2 & -2 & -2\\ -1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 10 \times 16 = 160,

el último determinante $3\times3$ se expande a lo largo de su primera fila: $1(2 - 2) - 1(-2 - 2) + (-3)(-2 - 2) = 0 + 4 + 12 = 16$ . Moraleja: una operación bien elegida (detectar la suma constante de filas) supera dieciséis cofactores.

Método 22.11 (Elegir una estrategia determinante)

Escanee la matriz antes de calcular nada.

Sumas constantes de filas o columnas: agrega todo en una línea, factoriza el valor común (Ejemplo 22.10, Ejercicio 22.7).
Estructura repetitiva: restar filas vecinas o columnas para crear ceros; Los patrones de escaleras colapsan hacia la forma triangular, cuyo determinante se lee en la diagonal.
Ceros aislados: expandir a lo largo de la línea más vacía (Ejemplo 22.7); familias recursivas (tridiagonal, Ejercicio 22.6) produce recurrencias este manera.
un parametro: el determinante es un polinomio en eso; encontrar sus raíces detectando los valores degenerados (filas iguales, columnas proporcionales), luego fije el polinomio descendido por grado y coeficiente principal. Para la matriz de Ejercicio 22.7: $m = 1$ da tres filas iguales (rango $1$ , una raíz doble), $m = -2$ hace que las filas suman cero (una raíz más); el determinante tiene grado $3$ en $m$ con término principal $-m^3$ (el producto anti-diagonal $m\cdot m\cdot m$ , cuyo Sarrus el signo es $-1$ ), por lo que debe ser $-(m+2)(m-1)^2$ — no Se necesita expansión y los dos métodos se controlan entre sí.

Ejemplo 22.12 (determinante de Vandermonde)

Para escalares $x_1, \dots, x_n$ :

V(x_1, \dots, x_n) = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1}\\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1}\\ \vdots & & & & \vdots\\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i) .

Bosquejo de prueba (detallado en Ejercicio 22.5): operaciones de columna $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ desde la derecha despeja el primero fila, y factorizar cada fila restante se reduce a $V(x_2, \dots, x_n)$ . Distinto de cero si el $x_i$ son distintos por pares — el determinante detrás de interpolación de Lagrange (Ejemplo 20.10).

22.2 Sistemas lineales

Definición 22.13

Un sistema lineal de ecuaciones $n$ en $p$ las incógnitas son $AX = B$ con $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$ , $B \in K^n$ ; es homogéneo cuando $B = 0$ . Su solución conjunto, cuando no vacío, es $X_0 + \ker A$ : una solución particular más la general solución homogénea — un afín subespacio de dimensión $p - \operatorname{rk} A$ (rango - nulidad).

Ejemplo 22.14 (La estructura afín, hecha visible)

resolver

\begin{cases} x + y + z = 3\\ x - y + 2z = 2 . \end{cases}

Restando las ecuaciones: $2y - z = 1$ , entonces $z = 2y - 1$ y $x = 3 - y - z = 4 - 3y$ . Las soluciones forman la línea.

(x, y, z) = (4,\ 0,\ -1) + y\,(-3,\ 1,\ 2) \qquad (y \in \R):

la solución particular $X_0 = (4, 0, -1)$ (la elección $y = 0$ ) más la línea del kernel $\ker A = \operatorname{Vect}(-3, 1, 2)$ de el sistema homogéneo asociado — comprobar: $(-3) + 1 + 2 = 0$ y $(-3) - 1 + 4 = 0$ . Geométricamente, dos planos no paralelos de $\R^3$ se cruza a lo largo de una línea, y el recuento de dimensiones $p - \operatorname{rk} A = 3 - 2 = 1$ lo sabía antes de que resolviéramos cualquier cosa. Cambiar la solución particular (digamos $y = 1$ : $X_0' = (1, 1, 1)$ ) cambia la descripción, no la línea: un afín subespacio tiene muchos orígenes y una dirección.

Teorema 22.15 (Sistemas Cramer cuadrados)

Si $A \in GL_n(K)$ , el sistema $AX = B$ tiene la solución única $X = A^{-1}B$ , cuyos coordenadas son

x_j = \frac{\det A_j}{\det A}, \qquad A_j = A \text{ with column } j \text{ replaced by } B .

Demostración. La unicidad y la existencia son la invertibilidad. Para la fórmula: escriba $B = \sum_k x_k C_k$ (columnas de $A$ ); entonces, por multilinealidad y alternancia,

\det A_j = \det\Bigl(C_1, \dots, \sum_k x_k C_k, \dots, C_n\Bigr) = \sum_k x_k \det(C_1, \dots, C_k, \dots, C_n) = x_j \det A ,

todos los términos excepto $k = j$ tienen una columna repetida. ∎

Ejemplo 22.16 (Cramer con un parámetro, completo)

Para $m \in \R$ , resuelva

\begin{cases} x + m y = 1\\ m x + y = 2 . \end{cases}

El determinante es $1 - m^2$ . Caso genérico $m \neq \pm1$ : Cramer da

x = \frac{\begin{vmatrix} 1 & m\\ 2 & 1\end{vmatrix}}{1 - m^2} = \frac{1 - 2m}{1 - m^2}, \qquad y = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1\\ m & 2\end{vmatrix}}{1 - m^2} = \frac{2 - m}{1 - m^2},

una solución limpia para cada $m$ admisible (verificar en $m = 0$ : $(1, 2)$ , obviamente cierto). Casos degenerados: en $m = 1$ las ecuaciones dicen $x + y = 1$ y $x + y = 2$ : incompatibles; en $m = -1$ leen $x - y = 1$ y $-x + y = 2$ , es decir $x - y = 1$ y $x - y = -2$ : incompatibles nuevamente. La desaparición del determinante anuncia que algo degenera, pero nunca dice qué — vacío o infinito debe decidirse mirando en el lado derecho. Observe también cómo las fórmulas señalan su límites propios: como $m \to 1^{-}$ , $x = \frac{1 - 2m}{1 - m^2} \to -\infty$ ; el punto de solución se escapa cuando las dos líneas se vuelven paralelo.

Método 22.17 (Eliminación gaussiana en sistemas)

Reducir por filas la matriz aumentada $(A \mid B)$ a escalón formulario.

Si aparece un pivote en la última columna (línea $0 = 1$ ): no solución.
De lo contrario, las incógnitas se dividen en incógnitas de pivote y libre unknowns (parámetros); sustitución hacia atrás expresa lo primero en lo segundo: la solución conjunto es una afín subespacio de dimensión $=$ número de libre incógnitas.

Las fórmulas de Cramer son para teoría y sistemas pequeños; la eliminación es El algoritmo práctico.

Ejemplo 22.18 (Una discusión con el parámetro)

Para $m \in \R$ , considere

\begin{cases} x + y + mz = 1\\ x + my + z = 1\\ mx + y + z = 1 . \end{cases}

La matriz tiene el determinante $-(m+2)(m-1)^2$ (calculado en Ejercicio 22.7 sumando todas las columnas a la primera). Para $m \neq 1, -2$ : solución única $x = y = z = \frac{1}{m+2}$ (por simetría). Para $m = 1$ : una ecuación repetida tres veces, un plano de soluciones. Para $m = -2$ : la suma de las tres ecuaciones da $0 = 3$ , sin solución.

Observación 22.19 (Errores comunes)

The determinant is not lineal in the matrix: $\det(A + B) \neq \det A + \det B$ (ya $\det(I_2 + I_2) = 4 \neq 2$ ); eso es lineal en cada columna por separado, que es un diferente cosa por completo. Escalada: $\det(\lambda A) = \lambda^n\det A$ , no $\lambda\det A$ — cada una de las columnas $n$ está escalada. Operaciones de fila are not all libre: $L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j$ preserva el determinante, pero un intercambio cambia el firmar y $L_i \leftarrow \lambda L_i$ lo multiplica por $\lambda$ — Los errores contables aquí son la fuente clásica de errores. signos en cálculos basados en eliminación. Un determinante cero es el comienzo, no el final.: dice “rango $< n$ ” pero no qué rango; sólo trabajo adicional (escalón formulario, o los menores de Ejercicio 22.12) lo localiza — cf. el caso $m = 1$ vs $m = -2$ en Ejemplo 22.18. Cramer necesita invertibilidad: cuando $\det A = 0$ el Las fórmulas $x_j = \det A_j/\det A$ no tienen sentido y el sistema perfectamente puede tener (infinitas) soluciones. Sólo las matrices cuadradas tienen determinantes: para un rectangular sistema, la eliminación es la única herramienta.

Observación 22.20 (Adónde van los determinantes)

Tres vidas aguardan a este escalar. Geométrico: $\abs{\det}$ es el factor de escala de área o volumen del aplicación asociado — hecho preciso para el plano en Capítulo 23 y, como el jacobiano de un cambio de variables, en el múltiplo integrales del Año 2 volumen. Algebraico: $\det(A - \lambda I)$ , el característica polinomio, abre teoría de valores propios en el año 2 — la identidad $A^2 - (\operatorname{tr} A)A + (\det A)I = 0$ de el problema del fin de semana Capítulo 21 es su primera sombra. Analítico: determinantes de matrices especiales (Vandermonde, Cauchy, Gram) deciden cuando la interpolación, la descomposición y proyección los problemas están bien planteados; el problema del fin de semana a continuación evalúa las dos primeras familias por completo.

Observación 22.21 (Perspectivas dentro del Libro 3)

Este capítulo cierra la columna vertebral de álgebra lineal del volumen y sus dos capítulos restantes cobran los dividendos. en Capítulo 23: la matriz de Gram $\bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)$ prueba la libertad mediante un determinante (Ejercicio 23.11), y las isometrías planas dividirse en rotaciones y reflexiones a lo largo del signo de su determinante — la clasificación del problema del fin de semana allí corre sobre él. En Capítulo 25: la cantidad de Monge $rt - s^2$ es el determinante de la matriz simétrica de segunda derivados, y las ecuaciones normales de mínimos cuadrados son una Sistema Cramer cuya matriz es una matriz de Gram (por lo tanto, momento) — invertible precisamente según los criterios con sabor a Vandermonde establecido aquí. Cuando esos capítulos afirman "invertible" o “positivo”, los recibos están en este.

22.3 Ceremonias

Ejercicio 22.1 ★

Calcular:

\begin{vmatrix} 3 & 1\\ 5 & 2 \end{vmatrix}, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\end{vmatrix}, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 4\\ 1 & 3 & 9\end{vmatrix}.

Solución

Solución de Ejercicio 22.1.

$3 \times 2 - 1 \times 5 = 1$ .

Segundo: $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ , $L_3 \leftarrow L_3 - L_2$ (en las filas originales) dan filas $(1,2,3), (3,3,3), (3,3,3)$ : dos iguales filas, determinante $0$ . (Sarrus confirma: $45 + 84 + 96 - 105 - 48 - 72 = 0$ .)

Tercero: es Vandermonde con $x = 1, 2, 3$ (Ejemplo 22.12): $(2-1)(3-1)(3-2) = 2$ .

Ejercicio 22.2 ★

¿Para qué $\lambda \in \R$ es la familia $\bigl((1, 1, \lambda), (1, \lambda, 1), (\lambda, 1, 1)\bigr)$ una base de $\R^3$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 22.2.

El determinante es igual (suma todas las columnas al primer factor) $(\lambda + 2)$ veces

\begin{vmatrix} 1 & 1 & \lambda\\ 1 & \lambda & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -(\lambda - 1)^2

(borrar con $L_1 \leftarrow L_1 - L_3$ , $L_2 \leftarrow L_2 - L_3$ y expandir), dando $\det = -(\lambda+2)(\lambda-1)^2$ . Base $\iff \det \neq 0 \iff \lambda \notin \{1, -2\}$ .

Ejercicio 22.3 ★

Resuelva por la regla de Cramer:

\begin{cases} 2x + y = 5\\ 3x - 2y = 4 , \end{cases} \qquad\text{then}\qquad \begin{cases} x + y + z = 6\\ x - y + z = 2\\ 2x + y - z = 1 . \end{cases}

Solución

Solución de Ejercicio 22.3.

Primer sistema: $\det = -7$ ; $x = \frac{1}{-7}\begin{vmatrix} 5 & 1\\ 4 & -2\end{vmatrix} = \frac{-14}{-7} = 2$ , $y = \frac{1}{-7}\begin{vmatrix} 2 & 5\\ 3 & 4\end{vmatrix} = \frac{-7}{-7} = 1$ . Verificar: $2(2) + 1 = 5$ ; $3(2) - 2 = 4$ .

Segundo sistema: después de $L_2 - L_1$ y $L_3 - 2L_1$ , las filas pasan a ser $(1,1,1)$ , $(0,-2,0)$ , $(0,-1,-3)$ , entonces

\det A = \begin{vmatrix} 1&1&1\\ 1&-1&1\\ 2&1&-1\end{vmatrix} = 1 \times \begin{vmatrix} -2 & 0\\ -1 & -3\end{vmatrix} = 6 .

Cramer, reemplazando columnas por $(6,2,1)^{\mathsf T}$ :

x = \frac{6}{6} = 1, \qquad y = \frac{12}{6} = 2, \qquad z = \frac{18}{6} = 3

(los numeradores se calculan de la misma manera). Verificar: $1 + 2 + 3 = 6$ ; $1 - 2 + 3 = 2$ ; $2 + 2 - 3 = 1$ .

Ejercicio 22.4 ★

Resuelva por eliminación gaussiana, describiendo la solución conjunto:

\begin{cases} x + 2y - z + t = 1\\ 2x + 4y + z - t = 5\\ x + 2y + 2z - 2t = 4 . \end{cases}

Solución

Solución de Ejercicio 22.4.

Reducir la matriz aumentada: $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ , $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ :

\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 3 & -3 & 3\\ 0 & 0 & 3 & -3 & 3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Pivote desconocido $x, z$ ; libre desconocidos $y, t$ . Sustitución hacia atrás: $z = 1 + t$ , $x = 1 - 2y + z - t = 2 - 2y$ . Solución conjunto:

\{(2 - 2y,\; y,\; 1 + t,\; t) : y, t \in \R\} = (2, 0, 1, 0) + \operatorname{Vect}\bigl((-2,1,0,0),\, (0,0,1,1)\bigr),

un plano afín (dimensión $2 = 4 - \operatorname{rk} 2$ ) de $\R^4$ .

Ejercicio 22.5 ★★

Demuestre la fórmula de Vandermonde de Ejemplo 22.12 mediante inducción en $n$ , con las operaciones de columna $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ realizadas desde $k = n$ hasta $k = 2$ .

Solución

Solución de Ejercicio 22.5.

Inducción; $n = 1$ es el producto vacío $= 1$ . Para el paso, realice $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ para $k = n, n-1, \dots, 2$ (en este orden, por lo que cada operación utiliza una columna aún no modificada). el la primera fila pasa a ser $(1, 0, \dots, 0)$ ; en la fila $i \geq 2$ , el $k$ -ésimo la entrada se convierte en $x_i^{k-1} - x_1 x_i^{k-2} = x_i^{k-2}(x_i - x_1)$ . Expandiendo a lo largo de la primera fila y factorizando $(x_i - x_1)$ de cada fila $i$ :

V(x_1, \dots, x_n) = \prod_{i=2}^{n} (x_i - x_1)\cdot V(x_2, \dots, x_n),

y la hipótesis de inducción completa el producto $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ .

Ejercicio 22.6 ★★

(Tridiagonal) Sea $D_n$ el determinante $n \times n$ con $2$ en la diagonal, $1$ en las dos diagonales adyacentes, $0$ en el resto. Expandiendo a lo largo de la primera fila, demuestre $D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$ y calcular $D_n$ ( $D_1 = 2$ , $D_2 = 3$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 22.6.

Expandiendo $D_n$ a lo largo de la primera fila: $D_n = 2 D_{n-1} - 1\cdot\begin{vmatrix} 1 & \ast\\ 0 & D_{n-2}\text{-block} \end{vmatrix}$ ; el segundo determinante, expandido a lo largo de su primera columna, es $D_{n-2}$ . Entonces $D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$ , es decir $D_n - D_{n-1} = D_{n-1} - D_{n-2}$ : las diferencias son constantes, iguales a $D_2 - D_1 = 1$ . Por lo tanto $D_n = D_1 + (n - 1) = n + 1$ . (Compruebe: $D_2 = 3$ , y el caso $3\times3$ es Ejemplo 22.7: $D_3 = 4$ .)

Ejercicio 22.7 ★★

Completar Ejemplo 22.18: calcular el determinante $\begin{vmatrix} 1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ m & 1 & 1\end{vmatrix}$ por la operación $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ , y realizar la discusión completa del sistema.

Solución

Solución de Ejercicio 22.7.

$C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ hace que la primera columna sea constante $(m+2)$ ; factorizarlo:

\det = (m+2)\begin{vmatrix} 1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \overset{L_1 - L_3,\ L_2 - L_3}{=} (m+2)\begin{vmatrix} 0 & 0 & m-1\\ 0 & m-1 & 0\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (m+2)\cdot\bigl(-(m-1)^2\bigr)

(expandir a lo largo de la primera columna: la entrada única $1$ lleva el signo $+$ , y el determinante restante $2 \times 2$ es $0 \cdot 0 - (m-1)(m-1) = -(m-1)^2$ ).

Discusión. $m \notin \{1, -2\}$ : Sistema Cramer; por la simetría de las ecuaciones, $x = y = z$ , y cada ecuación da $(m + 2)x = 1$ : solución única $\bigl(\frac{1}{m+2}, \frac{1}{m+2}, \frac{1}{m+2}\bigr)$ . $m = 1$ : las tres ecuaciones se leen $x + y + z = 1$ : las soluciones forman el plano afín $x + y + z = 1$ . $m = -2$ : sumando las tres ecuaciones se obtiene $0 = 3$ : solución vacía conjunto.

Ejercicio 22.8 ★★

Sea $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ con entradas entero. probar que $A$ tiene una inversa con entradas enteras si y sólo si $\det A = \pm 1$ . (For the direct sense, take determinants; for the converse, admit — or prove for $n \leq 3$ via cofactors — that $A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T}$ with integer cofactor matrix.)

Solución

Solución de Ejercicio 22.8.

( $\Rightarrow$ ) Si $A^{-1}$ tiene entradas enteras: $\det A \cdot \det A^{-1} = 1$ con ambos determinantes enteros (sumas de productos de entradas): dos números enteros con producto $1$ son ambos $\pm1$ .

( $\Leftarrow$ ) La fórmula del cofactor $A^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T}$ (comprobada para $n \leq 3$ por expansión directa, admitida en general) tiene $\operatorname{Com}(A)$ con entradas enteras (cada cofactor es un determinante entero); dividir por $\det A = \pm 1$ mantiene los números enteros.

Ejercicio 22.9 ★★★

Calcular el determinante $n \times n$ de la matriz $aI + bJ$ (Ejercicio 21.9), es decir con $a + b$ en la diagonal y $b$ en otro lugar. (Suma todas las columnas a la primera, factoriza, luego claro.) Recuperar la condición de invertibilidad $a \neq 0$ , $a + nb \neq 0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 22.9.

Agregue todas las columnas a la primera: cada entrada de la nueva primera columna es $a + nb$ ; Factorízalo, de modo que la primera columna sea todo unos. entonces el operaciones de fila $L_i \leftarrow L_i - L_1$ ( $i \geq 2$ ) claro cada entrada debajo de $1$ en la parte superior izquierda y deje $a$ en la diagonal y $0$ en otras partes de esas filas: la matriz es triangular superior con diagonal $(1, a, \dots, a)$ . Por lo tanto

\det(aI + bJ) = (a + nb)\, a^{\,n-1} ,

distinto de cero si $a \neq 0$ y $a + nb \neq 0$ : la condición de Ejercicio 21.9.

Ejercicio 22.10 ★★★

Sea $A, B \in \mathcal{M}_n(\R)$ . demostrar que

\det\begin{pmatrix} A & B\\ B & A \end{pmatrix} = \det(A + B)\,\det(A - B),

por columna de bloque y operaciones de fila ( $C_1 \leftarrow C_1 + C_2$ , luego $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ , en forma de bloque), suponiendo el natural regla triangular de bloque $\det\begin{pmatrix} M & N\\ 0 & P\end{pmatrix} = \det M \det P$ — probada para $2 \times 2$ bloques en Ejemplo 22.9.

Solución

Solución de Ejercicio 22.10.

Operaciones de bloque (cada una de las cuales es una composición del escalar $n$ correspondiente operaciones, permitidas por Teorema 22.3 (1)):

\begin{vmatrix} A & B\\ B & A\end{vmatrix} \overset{C_1 \leftarrow C_1 + C_2}{=} \begin{vmatrix} A + B & B\\ A + B & A\end{vmatrix} \overset{L_2 \leftarrow L_2 - L_1}{=} \begin{vmatrix} A + B & B\\ 0 & A - B\end{vmatrix} = \det(A+B)\,\det(A-B),

usando la regla del bloque triangular para el último paso.

Ejercicio 22.11 ★★

(Circulante de orden $3$ ) Sea $a, b, c \in \C$ y

\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c\\ c & a & b\\ b & c & a \end{vmatrix}.

Demuestre que $\Delta = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ y factorice completamente $\C$ usando $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ :

\Delta = (a + b + c)(a + jb + j^2c)(a + j^2b + jc) .

(Start with $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ ; for the complex form, note that the column $(1, j, j^2)^{\mathsf T}$ almost behaves like an eigenvector.)

Solución

Solución de Ejercicio 22.11.

$C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ hace que la primera columna sea constante $(a + b + c)$ ; factorizarlo, entonces $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ , $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ :

\Delta = (a+b+c)\begin{vmatrix} 1 & b & c\\ 0 & a - b & b - c\\ 0 & c - b & a - c \end{vmatrix} = (a+b+c)\bigl[(a-b)(a-c) + (b-c)^2\bigr],

y ampliando, $(a-b)(a-c) + (b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$ . Sobre $\C$ , con $j^3 = 1$ y $1 + j + j^2 = 0$ :

\begin{align*} (a + jb + j^2c)(a + j^2b + jc) &= a^2 + b^2 + c^2 + (j + j^2)(ab + bc + ca)\\ &= a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca , \end{align*}

de ahí la factorización completa. (Estructuralmente: la columna $(1, j, j^2)^{\mathsf T}$ satisface $M\,(1, j, j^2)^{\mathsf T} = (a + jb + j^2c)(1, j, j^2)^{\mathsf T}$ , y de manera similar para $j^2$ y $1$ : los tres factores son los tres "valores propios" del circulante, una historia sistematizada en el volumen Año 2.)

Ejercicio 22.12 ★★★

(Rango y menores) Let $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$ . demostrar que $\operatorname{rk} A$ equivale al tamaño más grande $r$ de un submatriz $r \times r$ invertible de $A$ (una submatriz mantiene la entradas en los cruces de $r$ filas elegidas y $r$ elegidas columnas). (If $\operatorname{rk} A = r$ , select $r$ libre columns, then $r$ libre rows of the resulting $n \times r$ block; conversely, an invertible submatrix forces the corresponding columns of $A$ to be libre.)

Solución

Solución de Ejercicio 22.12.

Escribe $r = \operatorname{rk} A$ .

An invertible $r \times r$ submatrix exists. Elige $r$ libre columnas de $A$ y dejemos que $B \in \mathcal{M}_{n,r}$ sea la matriz que forman: $\operatorname{rk} B = r$ . Desde el rango de fila es igual al rango de columna (Teorema 21.13), $B$ tiene $r$ libre filas; mantener esas filas produce una submatriz $r \times r$ de $A$ de rango $r$ , es decir invertible.

Ninguno más grande lo hace. Sea $S$ un $s \times s$ invertible submatriz, tomada de las columnas $j_1, \dots, j_s$ y las filas $i_1, \dots, i_s$ de $A$ . Si una combinación $\sum_k \lambda_k C_{j_k} = 0$ de las columnas lleno correspondientes desaparece, luego, al leer solo las filas $i_1, \dots, i_s$ se obtiene $\sum_k \lambda_k S_k = 0$ en las columnas de $S$ , por lo que todo $\lambda_k = 0$ ( $S$ invertible): las columnas $C_{j_1}, \dots, C_{j_s}$ de $A$ son libre y $s \leq \operatorname{rk} A = r$ .

Por lo tanto $\operatorname{rk} A$ es exactamente el tamaño más grande de un submatriz reversible.

22.4 Problema: la doble alternante de Cauchy

Problema 22.1

Dos determinantes rigen las aplicaciones de este capítulo: la Determinante de Vandermonde, evaluado en Ejercicio 22.5, y el determinante de cauchy $\det\bigl(\frac{1}{a_i + b_j}\bigr)$ , evaluado aquí. A su alrededor se acumula este problema. la caja de herramientas alternativa: polinomio trucos de columna, interpolación por Cramer, el matriz de hilabert, el discriminante de una cúbica, y el método de alternancia polinomios. En todo momento, $V(x_1, \dots, x_n) = \prod_{i < j}(x_j - x_i)$ denota Vandermonde. valor.

Parte I — The Vandermonde toolbox.

Calcule $V(1, 2, 3, 4)$ y recuerde por qué la interpolación en $n$ nodos distintos por pares es un sistema Cramer.
(Polinomio alternante) Sea $P_0, \dots, P_{n-1}$ mónico con $\deg P_k = k$ . probar

$\det\bigl(P_{j-1}(x_i)\bigr)_{1 \leq i, j \leq n} = V(x_1, \dots, x_n) :$

Las operaciones de columna reemplazan cada columna de potencia por cualquier mónico. escalera, libre.
Aplicar la pregunta 2 al binomio polinomios $B_k = \frac{X(X-1)\cdots(X-k+1)}{k!}$ : demostrar que para números enteros $m_1 < m_2 < \dots < m_n$ ,

$\frac{V(m_1, \dots, m_n)}{0!\,1!\,2!\cdots(n-1)!} \in \N :$

el producto de todas las diferencias por pares de números enteros $n$ es divisible por el superfactorial $0!\,1!\cdots(n-1)!$ .
Probar $\det\bigl(x_i^{\,j}\bigr)_{1 \leq i, j \leq n} = x_1 x_2 \cdots x_n\, V(x_1, \dots, x_n)$ (poderes ahora a partir de $1$ ).
(Matriz de momentos) Sea $S = \bigl(p_{i+j-2}\bigr)_{1 \leq i, j \leq n}$ donde $p_k = x_1^k + \dots + x_n^k$ . probar que $S = W^{\mathsf T} W$ para la matriz $W = (x_i^{\,j-1})_{ij}$ , deduzca

$\det S = V(x_1, \dots, x_n)^2 ,$

y concluya: $n$ real los números están en pares distintos si y sólo si su matriz de momentos es invertible y $\det S \geq 0$ siempre.

Parte II — Interpolation revisited. Nodos $x_1 < \dots < x_n$ , valores $y_1, \dots, y_n$ .

Escriba las condiciones “ $P = c_0 + c_1X + \dots + c_{n-1}X^{n-1}$ interpola” como sistema lineal en el $c_k$ con la matriz $W$ , y recuperar de $\det W = V \neq 0$ la existencia y unicidad del interpolante (compare las dos pruebas anteriores, Teorema 8.23 y Ejemplo 20.10).
Por la regla de Cramer y expansión de cofactor de la pertinente determinante a lo largo de su última columna, demuestre que el El coeficiente principal del interpolante es

$c_{n-1} = \sum_{i=1}^{n} \frac{y_i}{\prod_{j \neq i}(x_i - x_j)} .$
(Confluente Vandermonde) Computación

$\begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2\\ 0 & 1 & 2x_1\\ 1 & x_2 & x_2^2 \end{vmatrix} = (x_2 - x_1)^2 ,$

e interpretar: los datos $\bigl(P(x_1), P'(x_1), P(x_2)\bigr)$ determinan un $P \in \R_2[X]$ único cuando $x_1 \neq x_2$ (interpolación de Hermite).
Encuentre el $P \in \R_2[X]$ único con $P(0) = 1$ , $P'(0) = 0$ , $P(1) = 2$ y compare su respuesta con pregunta 8.

Parte III — The determinante de cauchy. Sean $a_1, \dots, a_n$ y $b_1, \dots, b_n$ escalares con $a_i + b_j \neq 0$ para todos $i, j$ , y

C_n = \det\Bigl(\frac{1}{a_i + b_j}\Bigr)_{1 \leq i, j \leq n} .

Calcule $C_2$ a mano y póngalo en la forma “productos de diferencias sobre productos de sumas”.
Para $n \geq 2$ , realice $L_i \leftarrow L_i - L_n$ ( $i < n$ ) y factorice filas y columnas para demostrar

$C_n = \frac{\prod_{i<n}(a_n - a_i)}{\prod_{j}(a_n + b_j)}\;\det M,$

donde $M$ concuerda con la matriz de Cauchy en las filas $i < n$ y tiene la última fila $(1, 1, \dots, 1)$ .
Realice $C_j \leftarrow C_j - C_n$ ( $j < n$ ) en $M$ , factorizar nuevamente y concluir por inducción La doble alternante de Cauchy:

$C_n = \frac{\prod_{1 \leq i < j \leq n}(a_j - a_i)(b_j - b_i)}{\prod_{i, j}(a_i + b_j)} .$
Deducir el criterio de invertibilidad (el $a_i$ por pares distinto y el $b_j$ distinto por pares). Para el matriz de hilabert $H_n = \bigl(\frac{1}{i + j - 1}\bigr)$ : calcula $\det H_2$ y $\det H_3$ a partir del fórmula y verifique que $H_2^{-1}$ tenga entradas enteras.
Demuestre que para $b_j$ distintos por pares y cualquier mano derecha lado, el sistema $\sum_j \frac{c_j}{a_i + b_j} = y_i$ ( $i = 1, \dots, n$ ) tiene una solución única y se relaciona esto a la existencia y unicidad de la fracción parcial descomposiciones con polos simples (Teorema 9.5).

Parte IV — The discriminant of a cubic. Deja $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ sean las raíces (en $\C$ ) de $X^3 + pX + q$ y $p_k = \lambda_1^k + \lambda_2^k + \lambda_3^k$ .

Usando $\lambda^3 = -p\lambda - q$ en cada raíz y Vieta ( $p_1 = 0$ ), calcule $p_2 = -2p$ , $p_3 = -3q$ y $p_4 = 2p^2$ .
Con la pregunta 5 (sobre $\C$ , manteniendo $\det S = V^2$ ), calcular

$\operatorname{disc} = V(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)^2 = \begin{vmatrix} 3 & 0 & -2p\\ 0 & -2p & -3q\\ -2p & -3q & 2p^2 \end{vmatrix} = -4p^3 - 27q^2 .$
Deducir: $X^3 + pX + q$ tiene una raíz repetida si y sólo si $4p^3 + 27q^2 = 0$ ; consulte $X^3 - 3X + 2 = (X - 1)^2(X + 2)$ .
Supongamos que $p, q$ es real. Demostrar que la cúbica tiene tres. raíces reales distintas si y sólo si $\operatorname{disc} > 0$ , y una raíz conjugada real más dos no reales si y sólo si $\operatorname{disc} < 0$ . (If $\lambda_3 = \conj{\lambda_2} \neq \lambda_2$ and $\lambda_1 \in \R$ , show $V$ is purely imaginary.)

Part V — Dividends, and the alternating method.

Para $0 < a_1 < a_2 < \dots < a_n$ , mostrar $\det\bigl(\frac{1}{a_i + a_j}\bigr) > 0$ .
Calcular $\det\bigl(\binom{m_i}{j-1}\bigr)_{1 \leq i, j \leq 3}$ para $(m_1, m_2, m_3) = (2, 4, 7)$ , primero por preguntas 2–3, luego por expansión directa.
Sea $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ distinto por pares y distinto de cero. Usando una matriz de Vandermonde invertible, demostrar nuevamente que las sucesiones geométricas $\bigl((\lambda_i^{\,k})_{k \geq 0}\bigr)_{1 \leq i \leq n}$ forma un familia libre del espacio de secuencias.
Calcular $\det\bigl(\frac{1}{i + j}\bigr)_{1 \leq i, j \leq 3}$ a partir de la doble alternante.
(Alternando polinomios) Llame a polinomio $F$ en $x_1, \dots, x_n$ alterno al intercambiar dos variable cambia de signo. Demuestre que un $F$ alterno desaparece cada vez que $x_i = x_j$ ( $i \neq j$ ), y deduce — una variable a la vez, según el teorema del factor — que $F$ es divisible por $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ .
Utilice la pregunta 23 para refutar la fórmula de Vandermonde con sin inducción: el determinante $\det(x_i^{\,j-1})$ es un alternando polinomio de grado total $\binom n2$ , por tanto, un múltiplo constante de $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ ; Identifica la constante comparando un monomio.
Síntesis, en cuatro frases: ¿qué propiedad única de el determinante (qué axioma) genera todos los factorizaciones de este problema; ¿Por qué la matriz de momentos? La identidad de la pregunta 5 genera un enunciado sobre complejo distinción en un computable real prueba de signos; cuales dos matrices clásicas eran evaluados completamente aquí y qué problemas lineal gobernar; y cómo el método alterno de preguntas 23–24 explica, de un plumazo, por qué sigue apareciendo $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ . Nombra el teorema de la Parte III.

Solución

Solución de Problema 22.1.

1. $V(1,2,3,4) = (2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3) = 1 \cdot 2\cdot 3\cdot 1\cdot 2\cdot 1 = 12$ . Interpolación en distintos nodos solicita los coeficientes de $P$ resolviendo $W c = y$ con $W = (x_i^{\,j-1})$ y $\det W = V \neq 0$ : un Cramer sistema.

2. Trabaje en las columnas de izquierda a derecha. $C_1$ es la columna constante $P_0(x_i) = 1$ ( $P_0$ mónico de grado $0$ ). Supongamos que las columnas $1, \dots, j-1$ ya se han reducido. a los poderes puros $1, x_i, \dots, x_i^{\,j-2}$ . Desde $P_{j-1} = X^{j-1} + \sum_{k < j-1}\alpha_k X^k$ , restando de $C_j$ la combinación $\sum_k \alpha_k\,(\text{column of } x_i^k)$ — una operación que no cambia el determinante — deja la columna de pura potencia $x_i^{\,j-1}$ . Después de la última columna, La matriz es la matriz de Vandermonde: $\det = V(x_1, \dots, x_n)$ .

3. Los polinomios $(j-1)!\,B_{j-1}$ son mónico de grado $j - 1$ , por lo que la pregunta 2 da

\det\bigl(B_{j-1}(m_i)\bigr) = \frac{V(m_1, \dots, m_n)}{0!\,1!\cdots(n-1)!} .

El lado izquierdo es el determinante de una matriz con entero entradas ( $B_k$ tiene un valor entero en $\Z$ : preguntas 16–17 de el problema del fin de semana Problema 18.1), por lo tanto, un número entero; y es positivo desde $V(m_1, \dots, m_n) > 0$ para $m_1 < \dots < m_n$ . Entonces el superfactorial divide es el producto de todos diferencias por pares.

4. Factoriza $x_i$ de cada fila $i$ : $\det(x_i^{\,j})_{j = 1..n} = x_1\cdots x_n\, \det(x_i^{\,j-1}) = x_1\cdots x_n\,V$ .

5. $(W^{\mathsf T}W)_{ij} = \sum_k x_k^{\,i-1} x_k^{\,j-1} = p_{i+j-2}$ : $S = W^{\mathsf T}W$ . Por lo tanto $\det S = \det(W^{\mathsf T})\det W = V^2$ (Teorema 22.3 (2),(4)). De verdad $x_i$ : $\det S = V^2 \geq 0$ y $S$ son invertibles si $V \neq 0$ y si $x_i$ son distinto por pares — una prueba de signo definido computable a partir de la sumas de potencia solas.

6. Las condiciones de interpolación $\sum_{k} c_k\,x_i^{\,k} = y_i$ forman el sistema $Wc = y$ ; $\det W = V \neq 0$ da existencia y unicidad a la vez. Este es el tercero prueba en el libro: fórmula explícita en Teorema 8.23, argumento del núcleo en Ejemplo 20.10, aquí Cramer.

7. Cramer: $c_{n-1} = \det W'/\det W$ donde $W'$ es $W$ con su última columna reemplazada por $y$ . Expandiendo $\det W'$ a lo largo esa columna:

\det W' = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+n} y_i\,V(x_1, \dots, \widehat{x_i}, \dots, x_n) .

Ahora $V = V(\setminus i)\cdot\prod_{j<i}(x_i - x_j)\prod_{j>i} (x_j - x_i)$ , y convirtiendo los costos del segundo producto. $(-1)^{n-i}$ :

(-1)^{i+n}\,\frac{V(\setminus i)}{V} = \frac{(-1)^{i+n}(-1)^{n-i}}{\prod_{j\neq i}(x_i - x_j)} = \frac{1}{\prod_{j\neq i}(x_i - x_j)} ,

de donde $c_{n-1} = \sum_i y_i/\prod_{j \neq i}(x_i - x_j)$ — la fórmula de diferencia dividida nuevamente.

8. $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ proporciona las filas $(1, x_1, x_1^2)$ , $(0, 1, 2x_1)$ , $(0,\ x_2 - x_1,\ (x_2-x_1)(x_2+x_1))$ ; expandiendo a lo largo de la primera columna y factorizando $(x_2 - x_1)$ :

(x_2 - x_1)\begin{vmatrix} 1 & 2x_1\\ 1 & x_2 + x_1 \end{vmatrix} = (x_2 - x_1)(x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)^2 .

No nulo para $x_1 \neq x_2$ : el sistema lineal expresa $P(x_1) = u$ , $P'(x_1) = v$ , $P(x_2) = w$ sobre los coeficientes de $P \in \R_2[X]$ es Cramer — interpolación de Hermite con un El nudo duplicado está bien planteado.

9. $P = a + bX + cX^2$ con $a = P(0) = 1$ , $b = P'(0) = 0$ , $a + b + c = P(1) = 2$ : $c = 1$ , entonces $P = 1 + X^2$ , único. Consistencia: aquí $x_1 = 0$ , $x_2 = 1$ y el determinante de La pregunta 8 es $(1 - 0)^2 = 1 \neq 0$ .

10. Cálculo directo:

C_2 = \frac{1}{(a_1+b_1)(a_2+b_2)} - \frac{1}{(a_1+b_2)(a_2+b_1)} = \frac{(a_1+b_2)(a_2+b_1) - (a_1+b_1)(a_2+b_2)} {\prod_{i,j}(a_i+b_j)} ,

y el numerador se expande a $a_1b_1 + a_2b_2 - a_1b_2 - a_2b_1 = (a_2 - a_1)(b_2 - b_1)$ : diferencias sobre sumas.

11. Para $i < n$ , la nueva entrada de la fila $i$ es

\frac{1}{a_i + b_j} - \frac{1}{a_n + b_j} = \frac{a_n - a_i}{(a_i + b_j)(a_n + b_j)} .

Factorice $(a_n - a_i)$ de cada fila $i < n$ , luego $\frac1{a_n + b_j}$ de cada columna $j$ : lo que queda tiene entradas $\frac1{a_i + b_j}$ en filas $i < n$ y constante $1$ en fila $n$ — la matriz $M$ , con el prefactor anunciado.

12. En $M$ , para $j < n$ la operación $C_j \leftarrow C_j - C_n$ convierte la fila $n$ en $(0, \dots, 0, 1)$ y, en la fila $i < n$ ,

\frac{1}{a_i + b_j} - \frac{1}{a_i + b_n} = \frac{b_n - b_j}{(a_i + b_j)(a_i + b_n)} .

Factorice $(b_n - b_j)$ de cada columna $j < n$ y $\frac1{a_i + b_n}$ de cada fila $i < n$ , luego expanda a lo largo de la última fila (signo $(-1)^{n+n} = +1$ ): el determinante restante es $C_{n-1}$ . Recopilando los factores de las preguntas 11–12:

C_n = \frac{\prod_{i<n}(a_n - a_i)\,\prod_{j<n}(b_n - b_j)} {\prod_{j}(a_n + b_j)\,\prod_{i<n}(a_i + b_n)}\;C_{n-1},

y la inducción (base $C_1 = \frac1{a_1+b_1}$ ) ensambla exactamente la doble alternante de Cauchy: los factores $(a_j - a_i)(b_j - b_i)$ para todos los pares, sobre todas las sumas $(a_i + b_j)$ .

13. La fórmula desaparece si solo si $a_j = a_i$ o $b_j = b_i$ : la matriz de Cauchy es invertible si ambas familias son distintos por pares. Hilbert: $a_i = i$ , $b_j = j - 1$ . Para $n = 2$ : numerador $(2-1)(1-0) = 1$ , denominador $1\cdot2\cdot2\cdot3 = 12$ : $\det H_2 = \frac1{12}$ . Para $n = 3$ : numerador $\bigl[(1)(2)(1)\bigr]^2 = 4$ , denominador $(1\cdot2\cdot3) (2\cdot3\cdot4)(3\cdot4\cdot5) = 6\cdot24\cdot60 = 8640$ : $\det H_3 = \frac{4}{8640} = \frac1{2160}$ . Inverso para $n = 2$ :

H_2^{-1} = 12\begin{pmatrix} \frac13 & -\frac12\\[2pt] -\frac12 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -6\\ -6 & 12 \end{pmatrix},

todos los números enteros (un fenómeno cierto para cada $n$ ).

14. La matriz del sistema es la matriz de Cauchy, invertible por la pregunta 13 cuando el $b_j$ (y el $a_i$ ) son distinta por pares: solución única. Interpretación: un racional La función $R = \sum_j \frac{c_j}{X + b_j}$ con polos simple es determinado por $n$ de sus valores $R(a_1), \dots, R(a_n)$ , y por el contrario, cualquier hoja de datos de este tipo se realiza exactamente una vez — la contraparte muestral de la existencia de fracción parcial y teorema de unicidad (Teorema 9.5).

15. Vieta para $X^3 + pX + q$ : $\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 0$ , $\sum_{i<j}\lambda_i\lambda_j = p$ , entonces $p_1 = 0$ y $p_2 = p_1^2 - 2p = -2p$ . Cada raíz satisface $\lambda^3 = -p\lambda - q$ ; sumando: $p_3 = -p\,p_1 - 3q = -3q$ . multiplicando por $\lambda$ y sumando: $p_4 = -p\,p_2 - q\,p_1 = 2p^2$ .

16. Por pregunta 5 (la identidad $S = W^{\mathsf T}W$ y $\det S = V^2$ son válidos sobre $\C$ ),

V^2 = \begin{vmatrix} 3 & 0 & -2p\\ 0 & -2p & -3q\\ -2p & -3q & 2p^2 \end{vmatrix} = 3\bigl(-4p^3 - 9q^2\bigr) + (-2p)\bigl(0 - 4p^2\bigr) = -4p^3 - 27q^2 ,

expandiéndose a lo largo de la primera fila.

17. Una raíz repetida significa dos $\lambda_i$ iguales, es decir $V = 0$ , es decir $\operatorname{disc} = -4p^3 - 27q^2 = 0$ . Para $X^3 - 3X + 2$ : $4(-3)^3 + 27\cdot4 = -108 + 108 = 0$ , coincidente la doble raíz $1$ de $(X-1)^2(X+2)$ .

18. Las raíces no reales de un cúbico real vienen en conjugado pares, por lo que ocurren exactamente dos casos cuando $\operatorname{disc} \neq 0$ . Tres raíces reales distintas: $V$ es real y distinta de cero, por lo que $\operatorname{disc} = V^2 > 0$ . Una raíz real $\lambda_1$ y $\lambda_3 = \conj{\lambda_2} \notin \R$ : entonces

(\lambda_2 - \lambda_1)(\lambda_3 - \lambda_1) = \abs{\lambda_2 - \lambda_1}^2 > 0, \qquad \lambda_3 - \lambda_2 = -2\iu\,\operatorname{Im}\lambda_2 \neq 0,

entonces $V$ es un número puramente imaginario distinto de cero y $\operatorname{disc} = V^2 < 0$ . Los dos signos caracterizan el dos casos.

19. Tome $b_i = a_i$ en la doble alternante: el el numerador es $\prod_{i<j}(a_j - a_i)^2 > 0$ y el denominador $\prod_{i,j}(a_i + a_j) > 0$ (todas las entradas positivas): el determinante es positivo. (En lenguaje posterior: el núcleo $\frac1{x+y}$ es positivo definido.)

20. Por las preguntas 2–3, el determinante es igual $V(2,4,7)/(0!\,1!\,2!) = \frac{(4-2)(7-2)(7-4)}{2} = \frac{30}{2} = 15$ . Directamente, la matriz es

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 1 & 4 & 6\\ 1 & 7 & 21 \end{pmatrix}, \qquad \det = (84 - 42) - 2(21 - 6) + (7 - 4) = 42 - 30 + 3 = 15 .

21. Supongamos $\sum_i c_i\,(\lambda_i^{\,k})_{k} = 0$ como una secuencia. Al leer $k = 0, 1, \dots, n-1$ se obtiene $W^{\mathsf T}c = 0$ con $W = (\lambda_i^{\,j-1})$ invertible ( $\det = V \neq 0$ , distinto $\lambda_i$ ): $c = 0$ . Las secuencias geométricas son libre.

22. $a = b = (1, 2, 3)$ : numerador $\bigl[(2-1)(3-1) (3-2)\bigr]^2 = 4$ ; denominador $\prod_{i,j}(i + j) = (2\cdot3\cdot4)(3\cdot4\cdot5)(4\cdot5\cdot6) = 24\cdot60\cdot120 = 172800$ . Por lo tanto $\det\bigl(\frac1{i+j}\bigr) = \frac{4}{172800} = \frac1{43200}$ .

23. Si $x_i = x_j$ , el intercambio de las dos variables soluciona el punto pero debe cambiar el signo de $F$ : $F = -F$ , por lo $F = 0$ allí. Divisibilidad: ver $F$ como polinomio en el single variable $x_n$ con coeficientes en las demás variables; eso desaparece en los “valores” $n - 1$ $x_1, \dots, x_{n-1}$ , por lo que La factorización repetida (Teorema 8.7) da $F = \prod_{i<n}(x_n - x_i)\cdot G$ con $G$ polinomio. el el prefactor es invariante bajo swaps de dos índices $i, j < n$ , por lo que $G$ se alterna en $x_1, \dots, x_{n-1}$ y la inducción completa: $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ divide $F$ .

24. $D = \det(x_i^{\,j-1})$ es un polinomio en el $x_i$ ; intercambiar dos variables intercambia dos filas, por lo que $D$ es alternando, y por la pregunta 23, $D = c\,\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ para algunos polinomio $c$ . Grados totales: $D$ tiene grado $\leq 0 + 1 + \dots + (n-1) = \binom n2$ , el producto tiene grado exactamente $\binom n2$ : $c$ es una constante. El monomio $x_2\,x_3^2\cdots x_n^{\,n-1}$ tiene coeficiente $1$ en $D$ (producto diagonal) y $1$ en el producto (elija la variable de índice mayor en cada factor): $c = 1$ , y la fórmula de Vandermonde cae sin inducción.

25. (i) Alternancia — el axioma “dos columnas iguales matar el determinante” — es el motor: produjo cada factor $(x_j - x_i)$ , $(a_j - a_i)$ , $(b_j - b_i)$ en el problema. (ii) La identidad $\det S = V^2$ reemplaza la raíces individualmente complejas e inalcanzables por sus sumas de potencias, que son reales polinomios en los coeficientes, por lo que la distinción se convierte en el signo de un número real computable. (iii) El Determinante de Vandermonde gobierna la interpolación polinomio, el determinante de cauchy gobierna fracciones parciales y muestreadas funciones racionales (con el matriz de hilabert como su más famoso caso especial). (iv) Cualquier polinomio alternativo es divisible por $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ , y un conteo de grados luego fija dicho polinomio hasta una constante — razón por la cual este producto sigue reapareciendo dondequiera que un determinante desaparece coincidencias. El teorema de la Parte III es El doble de Cauchy alternante.